Teorema de reversin de LagrangeEsta pgina es sobre el Teorema de reversin de Lagrange. Para la inversin, vase el Teorema de inversin de Lagrange.En matemticas, el Teorema de la reversin de Lagrange nos da la expansin en serie de potencias o en serie formal de potencias de ciertas funciones implcitamente definidas, de hecho, de composiciones de tales funciones.Sea una funcin de e definida a partir de otra funcin tal que

Entonces, cualquier funcin se puede desarrollar en serie de Taylor alrededor de para pequeo, es decir, se tiene

Si es la funcin identidad, es decir, ,

En 1770, Joseph Louis Lagrange (17361813) public su solucin en serie de potencias de la ecuacin implcita de antes mencionada. Sin embargo, su solucin era algo engorrosa, pues utiliz desarrollos en serie de logaritmos.1 2 En 1780, Pierre-Simon Laplace (17491827) public una prueba ms simple del teorema, la cul estaba basada en relaciones entre derivadas parcialescon respecto a la variable y al parmetro .3 4 5 Charles Hermite (18221901) present la prueba ms sencilla del teorema usando integracin de contorno.6 7 8El Teorema de reversin de Lagrange se usa para obtener solucciones numricas de la ecuacin de Kepler.PruebaEmpezamos escribiendo:

Escribiendo la delta de Dirac en forma integral, tenemos:

La integral sobre nos da (pues es otra vez la representacin integral de la delta de Dirac), por lo que podemos resolver tambin la integral sobre obteniendo la serie

Reordenando la serie, obtenemos el resultado buscado:

Serie de potenciasDefinicinUna serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes son los trminos de una sucesin.Ejemplos La serie geomtrica es una serie de potencias absolutamente convergente si y divergente si La serie de potencias es absolutamente convergente para todo La serie de potencias solamente converge para

Si una funcin es:Continua en [a, b]Derivable en (a, b)Entonces, existe algn punto c (a, b) tal que:

La interpretacin geomtrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que f(a) = f(b). EjemploSe puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x3 en [1, 2]?f(x) es continua en [1, 2] y derivable en (1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

Teorema de Rolle.

Si una funcin es:Continua en [a, b]Derivable en (a, b)Y si f(a) = f(b)Entonces, existe algn punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.La interpretacin grfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

Ejemplos1. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la funcin:

En primer lugar comprobamos que la funcin es continua en x = 1.

En segundo lugar comprobamos si la funcin es derivable en x = 1.

Como las derivadas laterales no coinciden, la funcin no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.

2.Es aplicable el teorema de Rolle a la funcin f(x) = ln (5 x2) en el intervalo [2, 2]?En primer lugar calculamos el dominio de la funcin.

La funcin es continua en el intervalo [2, 2] y derivable en (2, 2), porque los intervalos estn contenidos en .Adems se cumple que f(2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

3.Comprobar que la ecuacin x7 + 3x + 3 = 0 tiene una nica solucin real.La funcin f(x) = x7 + 3x + 3 es continua y derivable en Teorema de Bolzano.f(1) = 1f(0) = 3 Por tanto la ecuacin tiene al menos una solucin en el intervalo (1, 0).Teorema de Rolle.f' (x) = 7x6 + 3Como la derivada no se anula en ningn valor est en contradiccin con el teorema de Rolle, por tanto slo tiene una raz real.

TEOREMA DE CAUCHYSi f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe un punto c (a, b) tal que:

El valor del primer miembro es constante:

La interpretacin geomtrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.Al teorema de Cauchy tambin se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.Ejemplos1 Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:f(x) = x2 2x + 3 y g(x) = x3 7x2 + 20x 5.En caso afirmativo, aplicarlo.Las funciones f(x) y g(x) son continuas y derivables en por ser polinmincas, luego, en particular, son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4) .Adems se cumple que g(1) g(4).Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:

2 Analizar si el el teorema de Cauchy es aplicable a las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x en el intervalo [0, /2]. Las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas y derivables en toda la recta real. Y en particular son continuas en el intervalo [0, /2] y derivables en (0, /2). g(/2) g(0)Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Cauchy:

g' (c) 0 sen(/4) 0.

Regla de L'Hpital

Si , en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe , entonces este lmite coincide con .

Para aplicar la regla de L'Hpital hay que tener un lmite de la forma , donde a puede ser un nmero o infinito, y aparecer las indeterminaciones:

Ejemplos1

2

3

4

Indeterminacin infinito menos infinitoEn la indeterminacin infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen a comn denominador.

Indeterminacin cero por infinitoLa indeterminacin cero por infinito, se transforma del siguiente modo:

Indeterminaciones En las indeterminaciones cero elevado cero, infinito elevado a cero y uno elevado a infinito; se realiza en primer lugar las siguientes operaciones:

Ejemplos1

2

3

http://www.vitutor.com/fun/6/lopital.htmlhttp://books.google.com.co/books?id=FH7fpeUW-m0C&pg=PP4&lpg=PP4&dq=curso+basico+de+variable+antonio+compleja&source=bl&ots=iQrfsaLNqc&sig=3pMizok0FKBQZLtGV6eENdx_5cQ&hl=es&sa=X&ei=_PJCVPudBYyVgwSLlYIw#v=onepage&q=curso%20basico%20de%20variable%20antonio%20compleja&f=falsehttp://www.red-mat.unam.mx/foro/volumenes/vol008/notas.pdfhttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias

http://books.google.com.co/books?id=jEl6dvjy3ewC&pg=PA129&lpg=PA129&dq=LIBRO+DE+HISTORIA+DE+LOS+INGENIEROS+MILITARES&source=bl&ots=jN1aeNcLQb&sig=Yxnnt7mOgjjPaAuwaJZJ-pcObqE&hl=es&sa=X&ei=BYpEVIG4DceWgwTovIE4&ved=0CFQQ6AEwCQ#v=onepage&q=LIBRO%20DE%20HISTORIA%20DE%20LOS%20INGENIEROS%20MILITARES&f=false