Ecuaciones lineales homogeneas1

Lisandro Curia - Monica Perez

Facultad de Ingeniera

Universidad Nacional del Comahue

1Este apunte constituye solo una gua para abordar el tema. Para el estudio completo de estoscontenidos, el alumno debera remitirse a la bibliografa de referencia que cite la catedra.

Consideraremos ecuaciones diferenciales lineales y homogeneas de segundo orden de la formaa(x)y + b(x)y + c(x)y = 0, con a(x) 6= 0, que escribiremos en forma canonica como sigue:

y + p(x)y + q(x)y = 0 (1)

donde: p(x) =b(x)

a(x)y q(x) =

c(x)

a(x).

Supondremos que p(x) y q(x) son funciones continuas en un intervalo I, para estas ecuaciones esvalido el siguiente principio de superposicion de soluciones.

Teorema 1: Principio de superposicion.Si y1 e y2 son soluciones de la ecuacion homogenea (1) y C1 y C2 son dos constantes, entoncesC1y1 + C2y2 es tambien una solucion de esa ecuacion.

Observaciones:

1. Un multiplo constante y = C1y1(x) de una solucion y1(x) de una ecuacion diferencial linealhomogenea tambien es una solucion.

2. Una ecuacion diferencial lineal homogenea siempre tiene la solucion trivial y = 0.

Se deja como ejercicio a cargo del lector las demostraciones de estas propiedades.

Ejemplos

1. La ecuacion lineal homogenea y + y = 0 tiene soluciones y1 = cos(x) , y2 = sen(x), entoncesC1cos(x) + C2sen(x) es tambien solucion.

2. La ecuacion yy = (y)2 tiene soluciones y1 = ex y y2 = 1, sin embargo C1y1 + C2y2 no essolucion de la ecuacion diferencial. Por que?

3. Las funciones y1 = ex y y2 = xe

x son soluciones de la ecuacion y 2yy = ex , peroC1y1 + C2y2 no es solucion. Por que?

Teorema 2: Existencia y unicidad de una solucion.Supongamos que p(x) , q(x) y g(x) son funciones continuas en (a, b) que contiene al punto x0. Entoncesel problema de valores iniciales:

y + p(x)y + q(x)y = g(x)

y(x0) = y0

y(x0) = y1

tiene una unica solucion en (a, b) .

Observacion: Notemos que en este teorema la ecuacion diferencial no es homogenea. En un casogeneral como este el teorema garantiza la existencia y unicidad de una solucion antes de intentarresolverla.

2

Ejemplo: Determinar el mayor intervalo donde el problema de valores iniciales

x2y +1

x 2y +xy = ex

y(1) = y(1) = 0

tiene solucion unica.

De acuerdo al Teorema de Existencia y Unicidad, el problema tiene solucion unica en el intervalo(0, 2), ya queen dicho intervalo p(x) , q(x) y g(x) son funciones continuas y x0 = 1 esta conternido en ese intervalo.

Definicion 1. Wronskiano de dos funciones.El wronskiano de dos funciones diferenciables y1 e y2 es el determinante

W [y1, y2] =

y1 y2y1 y2 = y1y2 y2y1

Observaciones:

1. El wronskiano en x es una funcion.

2. El wronskiano en un valor x0 es un numero.

Teorema 3. Solucion general.Consideremos la ecuacion y + p(x)y + q(x)y = 0 (1) . Supongamos que:(a) y1 e y2 son soluciones de la ecuacion (1) en (a, b)(b) p(x) y q(x) son continuas en (a, b) que contiene a x0(c) En x0 se satisface W (x0) 6= 0Entonces la solucion general de (1) es y(x) = C1y1 + C2y2

Demostracion: Por el principio de superposicion, como y1 e y2 son soluciones de la ecuacionhomogenea (1) , entonces C1y1 +C2y2 es tambien una solucion de esa ecuacion cualesquiera sean lasconstantes C1 y C2.

Demostremos, ahora, que cualesquiera sean las condiciones iniciales y(x0) = y0, y(x0) = y1, es posible

elegir los valores de las constantes arbitrarias C1 y C2 de modo tal que la solucion correspondienteC1y1 + C2y2 satisfaga las condiciones iniciales dadas.Poniendo las condiciones iniciales y(x0) = y0, y

(x0) = y1 en la igualdad y(x) = C1y1+C2y2, tenemos:{y0 = C1y1(x0) + C2y2(x0)y1 = C1y

1(x0) + C2y

2(x0)

Al resolver este sistema, se verifica que las expresiones que corresponden a C1 y C2 son las siguientes:

C1 =y0y2(x0) y1y2(x0)

y1(x0)y2(x0) y2(x0)y1(x0)C2 =

y1y1(x0) y0y1(x0)y1(x0)y2(x0) y2(x0)y1(x0)

Puesto que, por hipotesis, W (x0) = y1(x0)y2(x0) y2(x0)y1(x0) 6= 0, siempre es posible definir C1 y

C2.Luego, para los valores hallados de C1 y C2, queda determinada la solucion general y(x) = C1y1+C2y2,que satisface tanto la ecuacion diferencial como las condiciones iniciales dadas. De este modo elteorema queda demostrado.En estas condiciones y1 e y2 forman un conjunto fundamental de soluciones en (a, b).

3

Ejemplo:

En la ecuacion y + y = 0

(a) y1 = cos(x) e y2 = sen(x) son soluciones de la ecuacion en R

(b) p(x) = 0 y q(x) = 1 son continuas en R

(c) y1(x0)y2(x0) y2(x0)y1(x0) = cos(x0)cos(x0) sen(x0)(sen(x0)) = 1 6= 0 x0 R

Luego la solucion general es y(x) = C1cos(x) + C2sen(x).

En la definicion de Wronskiano se considero a y1 e y2 como un par de funciones cualesquiera.El siguiente teorema establece condiciones para el comportamiento del wronskiano cuando y1 e y2son soluciones de la ecuacion diferencial y + p(x)y + q(x)y = 0.

Teorema 4. Consideremos la ecuacion diferencial (1), supongamos que el wronskiano de las solu-ciones y1 e y2 no se anula en un punto de (a, b), donde p(x) y q(x) son continuas . Entonces W [y1, y2]no se anula en ningun punto de (a, b).

Demostracion: Si y1 e y2 son dos soluciones de la ecuacion (1), tenemos:

y2 + p(x)y2 + q(x)y2 = 0 . y

1 + p(x)y

1 + q(x)y1 = 0 ,

Multiplicando los terminos de la primera igualdad por y1 y los terminos de la segunda por y2 yluego restandolas, obtenemos:

(y2y1 y1y2) + p(x)(y1y2 y2y1) = 0 , (2)

La diferencia encerrada en el segundo parentesis es el wronskiano

W [y1, y2] = y1y2 y2y1.

Mientras que la diferencia encerrada en el primer parentesis es la derivada del wronskiano respectode x

d

dxW [y1, y2] =

d

dx(y1y

2 y2y1) = y2y1 y1y2

Luego la igualdad (2) se puede escribir de la forma:

W [y1, y2] + p(x)W [y1, y2] = 0 (3)

Resolvamos la ecuacion (3). Separando variables tenemos:dW

W= p(x)dx

Integrando, hallamos ln(W ) = p(x)dx + ln(C)o ln

(W

C

)= p(x)dx,

de donde W = Cep(x)dx.

4

El valor de C depende de las soluciones y1 e y2, dado que la funcion exponencial nunca es cero,resulta W [y1, y2] 6= 0 en todo punto de (a, b), a menos que C = 0, en cuyo caso W [y1, y2] = 0 paratodo punto de (a, b). Esto completa la demostracion.

La formula W = Cep(x)dx se conoce como formula de Abel

Observacion:

Si el wronskiano es nulo para cierto valor de x = x0, este determinante tambien es nulo para cualquiervalor de x en el intervalo considerado. Esto se deduce directamente de la formula W = Ce

p(x)dx,

ya que si W = 0 para x = x0, entonces C = 0; por consiguiente, W 0, cualquiera sea el valor de x.

Ejemplo: Puede ser la funcion w(x) = (x1)3 el wronskiano de un par de soluciones de la ecuaciony + p(x)y + q(x)y = 0, con p(x) y q(x) continuas en el intervalo (2, 2)?La respuesta es no, porque w(x) = 0 si x = 1 y w(x) 6= 0 si x 6= 1. Es decir (x 1)3 puede ser elwronskiano de una par de funciones y1 e y2 , pero estas no pueden ser soluciones de unaecuacion diferencial y + p(x)y + q(x)y = 0. Puesto que si as fuera, el wronskiano nunca seanulara o siempre sera cero.

Otro concepto que permite establecer condiciones para construr la solucion general de una ecuaciondiferencial de la forma y + p(x)y + q(x)y = 0, es el de independencia lineal de dos funciones en unintervalo.Tal como hicimos con el wronskiano, comenzaremos estableciendo el concepto de dependencia linealde dos funciones, en forma general; es decir, para un par arbitrario de funciones y1 e y2. Luegoanalizaremos el caso en que y1 e y2 sean soluciones de la ecuacion diferencial y

+ p(x)y+ q(x)y = 0,y finalmente relacionaremos los conceptos de dependencia lineal con el de wronskiano y conjuntofundamental de soluciones para el caso en que y1 e y2 sean soluciones de la ecuacion diferencialy + p(x)y + q(x)y = 0 en un intervalo (a, b).

Definicion 2. Dependencia lineal de dos funciones.

Dos funciones y1 e y2 son linealmente independientes en (a, b) si su razony1y26= k en (a, b). En caso

contrario se dice que las funciones son linealmente dependientes.

Ejemplos:

1. Las funciones y1 = x e y2 = |x| son linealmente dependientes en (0,), pero linealmenteindependientes en (,).

2. La ecuacion y y = 0 tiene soluciones ex , ex , 3ex , 5ex.El cociente

ex

ex= e2x 6= k vara con x. Luego ex y ex son linealmente independientes en R.

Sin embargo el cocienteex

3ex=

1

3= k . Por lo tanto ex y 3ex son linealmente dependientes en

R.

5

El siguiente teorema permite observar lo que ocurre cuando se construye el wronskiano de un par defunciones y1 e y2 cuando una de ellas es combinacion lineal de la otra.

Teorema 5. Si y1 e y2 son linealmente dependientes en (a, b), entonces W [y1, y2] = 0 en (a, b).

Demostracion: Si y1 e y2 son linealmente dependientes en (a, b), entonces y1=ky2. Luego si calcu-

lamos W [y1, y2], resulta W [y1, y2] =

ky2 y2ky2 y2 = 0.

Ejemplo:

Las funciones y1(x) = e3x e y2(x) = e

3x son soluciones de la ecuacion diferencial y 9y = 0 en elintervalo (,).Ademas

y1y2

= e6x 6= 0, entonces y1 e y2 son linealmente independientes en (,) y es facilcomprobar que W [y1, y2] 6= 0 x R.

Teorema 6. Si las soluciones y1 e y2 de la ecuacion (1) son linealmente independientes en (a, b), elW [y1, y2] no se anula en ningun punto de (a, b).

Demostracion: Supongamos que W [y1, y2] = 0, entonces y1y2 y2y1 = 0.

Escribamosy1y2 y2y1y21

= 0 =(y2y1

)= 0 = y2

y1= cte = y1e y2 son linealmente dependientes.

Pero por hipotesis esto no puede ocurrir.

Ahora definiremos Comjunto Fundamental de Soluciones considerando que y1 e y2 son solucioneslinealmente independientes en (a, b).

Definicion 3.Conjunto fundamental de soluciones.El conjunto formado por dos soluciones y1 e y2 linealmente independientes de la ecuacion linealhomogenea de segundo orden (1), en un intervalo (a, b), se llama conjunto fundamental de solucionesen el intervalo.

Los resultados anteriores pueden combinarse en el siguiente teorema, donde el cumplimiento de unacondicion implica el cumplimiento de las restantes.

Teorema 7. Si y1 e y2 son soluciones de la ecuacion y + p(x)y + q(x)y = 0 en (a, b), entonces las

siguientes afirmaciones son equivalentes:(i) {y1, y2} es un conjunto fundamental de soluciones en (a, b)(ii) y1 e y2 son linealmente independientes en (a, b)(iii) W [y1, y2] 6= 0 para todo x en (a, b).

6

Procedimiento para resolver Ecuaciones Diferenciales Homogeneas:

1. Determinar soluciones de y + p(x)y + q(x)y = 0 que constituyan un conjunto fundamentalde soluciones. Esto es que W [y1, y2] 6= 0 para algun x0 de (a, b) o bien que y1 e y2 seanlinealmente independientes en (a, b)

2. Formar la combinacion lineal y = C1y1 + C2y2 donde C1 y C2 son dos constantes arbitrarias.

Ejemplos:

1. Dada la ecuacion y+9y = 0 se pueden determinar dos soluciones y1 = cos(3x) e y2 = sen(3x).

W [y1, y2] = 3 6= 0, luego {cos(3x), sen(3x)} es un conjunto fundamental de soluciones en(,).

Por lo tanto la solucion general de la ecuacion dada es y = C1cos(3x) + C2sen(3x).

2. Mostrar que y1 =1

xe y2 = x

3 son soluciones de x2yxy 3y = 0 en (0,) y dar la soluciongeneral.

Escribiendo la ecuacion en forma canonica resulta y 1xy 3

x2y = 0. Luego p(x) = 1

xy

q(x) = 3x2

son continuas en (0,).

y1y2

=x1

x3=

1

x46= k, con lo cual y1 e y2 son linealmente independientes y la solucion general

en (0,) es y = C1 1x

+ C2x3.

3. La ecuacion y +1

xy 1

x2y = 0 tiene soluciones y1 = x e y2 =

1

x, ademas se verifica que

y1y2

= x2 6= k, con lo cual y1 e y2 sean linealmente independientes en (0,) y la solucion general

es y = C1x + C21

xen (0,) .

Metodo de Reduccion de Orden.

En general encontrar la solucion general de la ecuacion diferencial y + p(x)y + q(x)y = 0 puedellevar a un proceso complejo de calculos. Pero este procedimiento puede simplificarse si se conoceuna solucion no nula y1(x) de la ecuacion diferencial homogenea dada. Bajo esas condiciones elMetodo de Reduccion de Orden siempre nos permite hallar una segunda solucion y2(x)linealmente independiente con la primera y1(x), y construr, por lo tanto, un conjunto fundamentalde soluciones.

Teorema 8. Si y1(x) es una solucion no nula de la ecuacion y + p(x)y + q(x)y = 0, entonces la

busqueda de segunda solucion linealmente independiente y2(x) se reduce a la integracion de funciones.

7

Demostracion: Si y1(x) es una solucion no nula de la ecuacion y + p(x)y + q(x)y = 0, se verifica

que y1 + p(x)y1 + q(x)y1 = 0.

Hallemos otra solucion y2(x) de la ecuacion diferencial dada de modo que y1 e y2 sean linealmenteindependientes .Entonces, la solucion general se expresara mediante la formula y = C1y1 + C2y2 donde C1 y C2 sondos constantes arbitrarias.En virtud de la formula de Abel se puede escribir:

y2y1 y2y1 = Cep(x)dx .

As, para determinar y2 tenemos una ecuacion lineal de primer orden. Integremosla de la siguientemanera. Dividamos todos los terminos por y21:

y2y1 y2y1y21

=Ce

p(x)dx

y21

o d

(y2y1

)=Ce

p(x)dx

y21

de dondey2y1

=

Ce

p(x)dx

y21dx + C2

Luego, eligiendo las constantes de manera conveniente (C = 1 y C2 = 0), resulta:

y2 = y1

e

p(x)dx

y21dx.

Es evidente, que y1 e y2 son linealmente independientes, puesto quey2y16= k, con k constante.

De tal modo, la solucion general de la ecuacion diferencial y + p(x)y + q(x)y = 0 tiene la forma:

y = C1y1 + C2y1

e

p(x)dx

y21dx.

Ejemplo:

Hallar la solucion general de la ecuacion : (1 x2)y 2xy + 2y = 0Por inspeccion directa se puede verificar que esta ecuacion tiene una solucion y1(x) = x. Hallemos lasegunda solucion y2(x) tal que y1 e y2 sean linealmente independientes .

Escribiendo la ecuacion diferencial en forma canonica, resulta p(x) = 2x1 x2 .

Luego:

y2 = x

e

2x1 x2dx

x2dx = x

eln(1x

2)

x2dx = x

1

x2(1 x2)dx = x (

1

x2+

1

2(1 x) +1

2(1 + x)

)dx =

= x

(1x

+1

2ln

1 + x1 x)

Por lo tanto, la solucion general tiene la forma:

y = C1x + C2

(1

2xln

1 + x1 x 1) .

8

Bibliografa.

1. Piskunov, N. Calculo Diferencial e Integral. Tomo I y Tomo II. Limusa. 1982.

2. Nagle, k. Saff, E. Snider, A. Fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales. Addison Wesley.2008.

3. Edwards, C. Penney, D. Differential Equations and Boundary Value Problems, Computingand Modeling. Prentice Hall. 2007.

9