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WIKI ARITMTICA BSICA

ContenidosArtculos

Potenciacin 1Divisin (matemtica) 8Divisin larga 12Logaritmo 15Multiplicacin 26Resta 30Suma 31Aritmtica 38Acarreo 47Base (aritmtica) 48Cero 49Cubo (aritmtica) 54Divisibilidad 55Divisin eucldea 58Divisin entre dos 61Igualdad matemtica 62Mximo comn divisor 64Mnimo comn denominador 68Mnimo comn mltiplo 69Mltiplo 72Nmeros pares e impares 73Nmero peridico 76Ojo de Horus 78Paridad del cero 80Porcentaje 83Prueba del nueve 84Razn (matemticas) 87Numeracin romana 90Signos ms y menos 99Sistema binario 100Sistema de numeracin 112Fraccin 116Anillo cociente 123Anillo de fracciones 124

Crculo de Ford 124Coeficiente binomial 126Fraccin continua 137Cuerpo de cocientes 145Derivada 146Divisin polinomial 156Fraccin egipcia 159Espacio cociente 162Forma indeterminada 164Fraccin molar 166Funcin algebraica 167Funcin racional 168Grupo cociente 170Infinitesimal 172Inverso multiplicativo 175Fraccin irreducible 176Mediante (matemticas) 177Millonsimo 178Nmero racional 178P/p 183Fraccin parcial 184Particin de un conjunto 187Problema de Znm 188Proporcionalidad 191Regla de Cramer 199Sucesin de Farey 202Un medio 205Fraccin unitaria 206Desarrollo usando fracciones continuas 207Fraccin continua de Euler 208Fraccin continua generalizada 209Fraccin continua de Gauss 217Constante de Lvy 225Fraccin continua de Rogers-Ramanujan 226Media (matemticas) 228Media de Cesro 231Desigualdad de las medias aritmtica y geomtrica 232Media aritmtica 234

Media aritmtico-geomtrica 236Media armnica 237Media cuadrtica 238Media generalizada 239Media geomtrica 240Media heroniana 242Media ponderada 243Media-f generalizada 244Mediala 245Mediana (estadstica) 247Medias potenciales 250Medio rango 252Moda (estadstica) 253Media truncada 254Matemtica elemental 256Belleza matemtica 256Conjuntos numricos 260Contar 262Cuadrado (lgebra) 264Cuenta (matemticas) 264Distancia 268Ecuacin irracional 270Factores de escala (coordenadas ortogonales) 272Funcin constante 273Funcin matemtica 274Funcin peridica 288Magnitud (matemtica) 293Numeracin cirlica 294Nmero complejo 295Nmero natural 303Nmero real 308Nmero normal 314Nmeros arbigos 316Anexo:Orden de magnitud 319Paradoja del cuadrado perdido 322Pendiente (matemticas) 325Problema matemtico 328Proporcionalidad compuesta 330

Raz cuadrada 330Raz de una funcin 342Recta numrica 344Variable (matemticas) 345Variables independientes y dependientes 347lgebra elemental 347Aridad 352Asociatividad (lgebra) 353Binomio 353Cocientes notables 356Conmutatividad 357Desigualdad matemtica 359Distributividad 361Divisores binmicos 362Ecuacin 363Ecuacin de primer grado 371Ecuacin de segundo grado 373Ecuacin de tercer grado 379Eliminacin de Gauss-Jordan 385Inecuacin 389Ley de composicin 391Monomio 401Mtodo de Cardano 403Operacin binaria 406Operacin nularia 408Operacin ternaria 409Operacin unaria 409Operador 410Opuesto 413Productos notables 414Propiedades de las operaciones binarias 418Racionalizacin de radicales 423Radicacin 426Raz cbica 429Relacin transitiva 431Sistema de ecuaciones 432Sistema de ecuaciones lineales 436Trinomio 445

Funcin elemental 447Ley de Brillouin 449Coseno hiperblico 450Funcin cuadrtica 451Delta de Kronecker 454Funcin escalonada 454Funciones de parte entera 456Funcin escaln de Heaviside 459Funcin exponencial 461Funcin hiperblica 464Funcin rampa 468Funcin rectangular 470Funcin sigmoide 471Funcin signo 472Funcin sinc 474Funcin lineal 475Funcin lineartmica 477Logaritmo complejo 478Parte fraccionaria 485Funcin polinmica 486Seno hiperblico 487Tangente hiperblica 488Valor absoluto 490Multiplicidad 493Radical de un ideal 494Radical jerarquizado 496Raz cuadrada de dos 500Raz cuadrada de tres 505Raz cuadrada de cinco 507Raz de la unidad 511Media cuadrtica de la velocidad de un gas 515Raz primitiva mdulo n 516Suma de Gauss 516Resolucin numrica de ecuaciones no lineales 517Mtodo de Bairstow 519Mtodo de biseccin 521Mtodo de Broyden 530Mtodo de Laguerre 532

Mtodo de Newton 532Mtodo del punto fijo 537Clculo de la raz cuadrada 541Regla de Ruffini 548Mtodo de la regla falsa 551Mtodo de la secante 554Mtodo de Steffensen 561Teorema de la raz racional 563Catenaria 564Catstrofe malthusiana 568Crecimiento exponencial 569Demostracin de la irracionalidad de e 573Distribucin exponencial 574Ejemplos de funciones generadoras 576Exponenciacin binaria 585Exponencial de una matriz 587Funcin de Gudermann 589Funcin de Kohlrausch-Williams-Watts 591Funcin gaussiana 592Funcin generadora 593Identidad de Euler 599Integral exponencial 601Anexo:Integrales de funciones exponenciales 605Ley de Beer-Lambert 606Ley de Moore 608Ley de potencias 610Leyenda de Sisa 612Malthusianismo 613Modelo exponencial 616Notacin cientfica 617Nmero e 620Periodo de semidesintegracin 626Potencia prima 628Suma exponencial 629Teorema de LindemannWeierstrass 630Tetracin 631Vida media 633Paul R. Ehrlich 635

Thomas Malthus 638Neomalthusianismo 645Population Matters 652Funcin trigonomtrica 654Arcocosecante 663Arcocoseno 664Arcocotangente 667Arcosecante 668Arcoseno 669Arcotangente 671Cosecante 672Cosecante hiperblica 675Coseno 676Cotangente 679Cotangente hiperblica 682Derivacin de funciones trigonomtricas 683Identidades trigonomtricas 686Secante (trigonometra) 696Secante hiperblica 699Seno (trigonometra) 700Tangente (trigonometra) 705Verseno 708Caracterstica (logaritmos) 710Cologaritmo 711Decibelio 711Escala logartmica 715Espiral logartmica 720Funcin polilogartmica 725Identidades logartmicas 734Logaritmo binario 736Logaritmo de una matriz 738Logaritmo decimal 739Logaritmo discreto 741Logaritmo en base imaginaria 742Logaritmo iterado 743Logaritmo natural 744Logaritmo neperiano 749Logit 750

Mantisa 752Serie de Mercator 753Neper 755PH 756PKa 760POH 761Regla de clculo 762Representacin logartmica 770Representacin semilogartmica 776Teorema de Apolonio 779Base (geometra) 782Centro (geometra) 783Ceviana 783Cilindro 784Crculo 786Circunferencia inscrita 791Conicidad 791Cono (geometra) 793Coordenadas cartesianas 797Corona circular 803Dimetro angular 804Eje de simetra 805Esfera 807Foco (geometra) 814Gran crculo 815Imagen especular 816Lugar geomtrico 817Mediana (geometra) 818Origen de coordenadas 821Ortoedro 821Ovoide 823Paralelismo (matemtica) 824Permetro 826Plano (geometra) 828Plano bisector 831Plano mediador 832Punto (geometra) 832Punto medio 834

Radio (geometra) 835Recta 836Teorema de Routh 842Sector hiperblico 843Segmento 844Simetra axial 846Sistema de coordenadas 848Superficie (matemtica) 852Teorema de la bisectriz 855Teorema de Pitgoras 858Trilateracin 867rea 869Cuadratura de la lnula 875Unidades de superficie 876Acre (unidad de superficie) 877rea (unidad de superficie) 878Arpende 878Barn 879Centirea 879Centmetro cuadrado 880Decmetro cuadrado 881Hanegada 881Hectrea 882Homestead 883Kilmetro cuadrado 884Legua cuadrada 884Metro cuadrado 885Milla cuadrada 886Milmetro cuadrado 886Pie cuadrado 887Plaza (unidad de superficie) 888Pulgada cuadrada 888Rod cuadrado 889Rood 889Unidad mnima de cultivo 890Yarda cuadrada 890Tamiz de Apolonio 891Cadena de Steiner 896

Crculos exinscritos 897Circunferencia 898Circunferencia circunscrita 907Circunferencia de Apolonio 908Circunferencia de los nueve puntos 911Circunferencia goniomtrica 913Teorema de los crculos de Descartes 916Dimetro 917Disco unidad 919Exincentro 920N-esfera 921Problema de Apolonio 923Recta polar 942Sector circular 944Segmento circular 945Teorema de empaquetamiento de circunferencias 946Anlisis complejo 947Fractal 949Plano complejo 961Conjunto de Mandelbrot 962Conjunto de Julia 969Nmero 971Nmero algebraico 983Nmero trascendente 985Test de primalidad 987Diofanto de Alejandra 996Teorema del nmero poligonal de Fermat 997Nmero poligonal 998Nmero pentagonal 1000Nmero triangular 1001Nmero tetradrico 1003Nmero figurado 1004Nmero heptagonal 1005Nmero hexagonal 1006Nmero octogonal 1007Nmero piramidal cuadrado 1007

Referencias

Fuentes y contribuyentes del artculo 1009Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 1026

Licencias de artculosLicencia 1041

Potenciacin 1

Potenciacin

Grfica de varias funciones potencia, funcin cuadrtica y funcincbica.

La potenciacin es una operacin matemtica entredos trminos denominados: base a y exponente n. Seescribe an y se lee usualmente como a elevado a n oa elevado a la n y el sufijo en femeninocorrespondiente al exponente n. Hay algunos nmerosespeciales, como el 2, al cuadrado o el 3, que lecorresponde al cubo. Ntese que en el caso de lapotenciacin la base y el exponente pueden pertenecera conjuntos diferentes, en un anillo totalmente generalla base ser un elemento del anillo pero el exponenteser un nmero natural que no tiene porqu perteneceral anillo. En un cuerpo el exponente puede ser unnmero entero o cero.

Definicin

Se llama potencia a una expresin de la forma ,donde a es la base y n es el exponente. Su definicinvara segn el conjunto numrico al que pertenezca el exponente.

Exponente entero

Cuando el exponente es un nmero natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por s mismo, siendoa un nmero cualquiera:

(1)

Esta definicin puede aplicarse, tanto a nmeros reales o complejos, as como a otras estructuras algebraicas msabstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.

Multiplicacin de potencias de igual base

El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene comoexponente la suma de los exponentes, es decir:

Ejemplos:

Potenciacin 2

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambosexponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Debido a esto, la notacin se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente como.

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:

Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:

si n es par. si n es impar.

Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir ca = 1 o que , entonces este se denota por y el

exponente se puede ampliar a todos los nmeros enteros:

(2)

Observacin

Potenciacin 3

Divisin de potencias de igual base

El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a ladiferencia del exponente del dividendo menos el del divisor ,[1] esto es:

De forma extendida aparecen 3 casos:

Ejemplo:

Potencia de exponente 0

Un nmero distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:

El caso particular de , en principio, no est definido [citarequerida] (ver cero).

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los nmeros elevado al mismo exponente.

O de forma extendida:

Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo , por lo que slo se presentan exponentes denmeros naturales por (1) quedando as prohibida la notacin (2) como valor numrico:

Exponente racionalLa potenciacin con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuacin del tipo , demanera que , pero se ha de garantizar que dicha x sea un nmero real y esto slo se puede garantizar paratoda n si la base a es un nmero real positivo, por lo que existe un teorema que dice:

Potenciacin 4

Dado un nmero real positivo a, este tiene una nica raz n-sima positiva.Para notar la raz se define el uso de fracciones en el exponente:

(3)

Observacin

En general para las fracciones se define que:(4)

Relacin

Propiedades

Exponente realLa potenciacin puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en el siguienteteorema:

Dado un nmero real positivo a y una sucesin de nmeros racionales que tiene lmite b, entonces existe ellmite de la sucesin que se escribe como:

Ntese que las sucesivas aproximaciones de ab tienen como exponente nmeros racionales, con lo que para que ladefinicin sea consistente, se exige que a sea un nmero real positivo.Anlogamente, se puede extender la potenciacin a funciones, usando la funcin exponencial, y su inversa, lafuncin logaritmo natural, en un proceso que se denomina exponenciacin. As, se define

.De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de f(x) es el conjunto de los nmeros realespositivos R+, o algn subconjunto de este, siendo los valores de la funcin exponente g(x) nmeros realescualesquiera, debido a que el logaritmo natural no est definido para nmeros negativos.

Potenciacin 5

Propiedades

Exponente complejoPuede extenderse a exponentes complejos usando funciones analticas o holomorfas, as

donde det-exp es la determinacin de la exponencial y det-log la determinacindel logaritmo.

Resultados de potenciacin

Propiedades que no cumple la potenciacinNo es distributiva con respecto a la adicin y sustraccin (vase productos notables), es decir, no se puede distribuircuando dentro del parntesis es suma o resta:

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor oson equivalentes. En general:

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

Potencia de base 10Para las potencias con base 10 y exponente entero, el efecto ser desplazar la coma decimal tantas posiciones comoindique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.Ejemplos:

Potenciacin 6

Representacin grficaLa representacin grfica de una funcin potencia f(x) = xn con exponente natural n par tiene la forma de unaparbola. Su vrtice se sita en el punto (0, 0) y la curva es decreciente en el segundo cuadrante y creciente en elprimero.La representacin grfica de una funcin potencia f(x) = xn con exponente natural n impar es una curva con dosramas unidas en el punto (0, 0), que posee simetra rotacional alrededor de este. El punto de inflexin precisamentese encuentra en el punto (0, 0), la curva es siempre creciente y ocupa el tercer y primer cuadrante.Dichas curvas son continuas y derivables en todo su dominio de definicin.

Grfico de una parbola .

Grfico de .

Potenciacin 7

Lmites

Indeterminacin 00

El caso especial se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valoresdependiendo de las propiedades especficas que se quieran mantener.Por ejemplo, puede argumentarse que es el igual al valor del lmite

y como para , dicho valor podra ser igual a 1. Sin embargo tambin puede considerarse dichaexpresin como el valor del lmite

y como para , dicho valor podra ser igual a 0. Esto ilustra que la forma puede corresponde adiferentes valores y por ello se considera indefinida.El debate sobre el valor de la forma tiene casi 2 siglos de antigedad. Durante los primeros das del anlisismatemtico en que el fundamento formal del clculo no se haba establecido, era comn aceptar que =1. Sinembargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'cole Royale Polytechnique estableciendo elprimer tratamiento riguroso del anlisis, dicha lista forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0.En los aos 1830, Libri[2][3] public un argumento para asignar 1 como valor de y August Mbius[4] lo apoyafirmando errneamente que

siempre que

Sin embargo un comentarista que firm simplemente como S proporcion un contraejemplo

cuyo lmite cuando es , lo cual calm el debate con la aparente conclusin del incidente que debera permanecer indefinida. Se pueden encontrar ms detalles en Knuth (1992).[5]

En la actualidad, suele considerarse la forma como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto enel cual el valor asignado tenga sentido.Para calcular lmites cuyo valor aparente es suele usarse la Regla de l'Hpital.

Generalizaciones

Extensin a estructuras abstractasLa definicin de potenciacin puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales. Dado un anillo

la operacin de potenciacin se define como:

Esto difiere de la exponenciacin que es definible sobre un cuerpo que contenga a los racionales o ciertas lgebrassobre los reales o complejos:

Obviamente la exponenciacin slo se puede definir sobre un conjunto en el que sea posible definir la potenciacin,aunque un anillo admitir siempre la operacin de potenciacin (con exponente natural) aunque no admita la

Potenciacin 8

exponenciacin.

Potencia de nmeros complejos

Para cualquiera de los nmeros reales se tiene la identidad:

Referencias[1][1] Dolciani-Berman- Wooton, Algebra Modera y Trigonometra- ISBN 968-439-024-6[2] Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal fr die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 6772.[3] Guillaume Libri, Mmoire sur les fonctions discontinues, Journal fr die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303316.[4] A. F. Mbius, Beweis der Gleichung = 1, nach J. F. Pfaff, Journal fr die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), 134136.[5] Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403422.

Bibliografa Joaqum M. Ortega, Introduccin al anlisis matemtico, Ed. Labor, 1993.

Enlaces externos Actividades de potenciacin (http:/ / www. ematematicas. net/ potencia. php?a=1) Potenciacin en escolar.com (http:/ / www. escolar. com/ matem/ 25potenc. htm) Artculo sobre potenciacin en Enciclopedia universal en espaol (http:/ / enciclopedia. us. es/ index. php/

Potenciacin)

Divisin (matemtica)En matemtica, la divisin es una operacin aritmtica dedescomposicin que consiste en averiguar cuntas veces unnmero (divisor) est contenido en otro nmero (dividendo). Elresultado de una divisin recibe el nombre de cociente. De manerageneral puede decirse que la divisin es la operacin inversa de lamultiplicacin.

Debe distinguirse la divisin exacta (sujeto principal de esteartculo) de la divisin con resto o residuo (la divisin eucldea).A diferencia de la suma, la resta o la multiplicacin, la divisinentre nmeros enteros no est siempre definida; en efecto: 4dividido 2 es igual a 2 (un nmero entero), pero 2 entre 4 es iguala un medio, que ya no es un nmero entero. La definicin formalde divisin , divisibilidad y conmensurabilidad, dependerluego del conjunto de definicin.

Divisin (matemtica) 9

DefinicinConceptualmente, la divisin describe dos nociones relacionadas aunque diferentes, la de separar y la derepartir.[1] De manera formal, la divisin es una operacin binaria que a dos nmeros asocia el producto delprimero por el inverso del segundo. Para un nmero no nulo, la funcin divisin por ese nmero es el recproco demultiplicacin por ese nmero. De este modo, el cociente dividido se interpreta como el producto por .

Si la divisin no es exacta, es decir, el divisor no est contenido un nmero exacto de veces en el dividendo, laoperacin tendr un resto o residuo, donde:

NotacinEn lgebra y ciencias, la divisin se denota generalmente a modo de fraccin, con el dividendo escrito sobre eldivisor. Por ejemplo se lee: tres dividido cuatro. Tambin puede emplearse una barra oblcua: ; este es el

modo ms corriente en los lenguajes de programacin por computadora, puesto que puede ser fcilmente inscritocomo secuencia simple del cdigo ASCII.Otro modo indicar una divisin es por medio del smbolo belo ( ) (tambin llamado "signo de la divisin"). Estesmbolo tambin se usa para representar la operacin de divisin en s, como es de uso frecuente en las calculadoras.Otras variantes son los dos puntos (:) o el punto y coma (;).

PropiedadesLa divisin no es propiamente dicho una "operacin" (es decir, una ley de composicin interna definida por todaspartes), sus propiedades no tienen implicaciones estructurales sobre el conjunto de nmeros, y deben sercomprendidas dentro del contexto de los nmeros fraccionarios.

no-conmutativa, contraejemplo: ; no-asociativa, contraejemplo: ; pseudo-elemento neutro a la derecha: 1

;

pseudo-elemento absorbente a la izquierda: 0

;

fracciones equivalentes:

.

Divisin (matemtica) 10

Algoritmos para la divisin

Ejemplo de una divisin.

Hasta el el siglo XVI, fue muy comn el algoritmo de la divisin porgalera, muy similar a la divisin larga, y a la postre sustituido por stacomo mtodo predilecto de divisin. El proceso usual de divisin(divisin larga) suele representarse bajo el diagrama:

Tambin se usa un diagrama equivalente con la lnea debajo del dividendo

Y tambin se usa otro diagrama equivalente

Otro mtodo consiste en la utilizacin de una tabla elemental, similar a las tablas de multiplicar, con los resultadospreestablecidos.

Divisin de nmeros

Divisin de nmeros enterosLa divisin no es una operacin cerrada, lo cual quiere decir que, en general, el resultado de dividir dos nmerosenteros no ser otro nmero entero, a menos que el dividendo sea un mltiplo entero del divisor.Existen criterios de divisibilidad para nmeros enteros (por ejemplo, todo nmero terminado en 0,2,4,6 u 8 serdivisible entre 2), utilizados particularmente para descomponer los enteros en factores primos, lo que se usa enclculos como el mnimo comn mltiplo o el mximo comn divisor.

Divisin (matemtica) 11

Divisin de nmeros racionalesEn los racionales, el resultado de dividir dos fracciones es otra fraccin (siempre y cuando el divisor no sea 0). Sepuede definir de la manera siguiente: dados p/q y r/s,

Esta definicin demuestra que la divisin funciona como la operacin inversa de la multiplicacin.

Divisin de nmeros realesEl resultado de dividir dos nmeros reales es otro nmero real (siempre y cuando el divisor no sea 0). Se definecomo a/b = c si y solo si a = cb y b 0.

Divisin entre ceroLa divisin de cualquier nmero entre cero es una indefinicin. Esto resulta del hecho que cero multiplicado porcualquier cantidad finita es otra vez cero, es decir que el cero no posee un inverso multiplicativo.

Divisin de nmeros complejosEl resultado de dividir dos nmeros complejos es otro nmero complejo (siempre y cuando el divisor no sea 0). Sedefine como

en donde r y s 0.En forma polar:

Divisin entre otros objetos matemticos

Divisin de polinomiosEl concepto de divisin se puede extender a los polinomios, y definir as una estructura algebraica y una divisinpolinomial. Existen varios algoritmos para ello, los ms conocidos son: el algoritmo de Horner, la regla de Ruffini oel teorema del resto.

Notas y referencias[1] Fosnot and Dolk 2001. Young Mathematicians at Work: Constructing Multiplication and Division. Portsmouth, NH: Heinemann.

Bibliografa Weisstein, Eric W. Division (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Division. html) (en ingls). MathWorld.

Wolfram Research. Jos Manuel Serrano Gonzlez, et al (1997). Aprendizaje corporativo en matemticas (http:/ / books. google. es/

books?id=Zbt40dfAW4MC& lpg=PA1& dq=enseanza de las matematicas& hl=es& pg=PA75#v=onepage&q=divisin& f=false). Universidad de Murcia. pp.75. ISBN 84-7684-805-6.

Divisin (matemtica) 12

Enlaces externos Wikiquote alberga frases clebres de o sobre Divisin (matemtica). Wikiquote Matemticas en la BBC (http:/ / www. bbc. co. uk/ schools/ revisewise/ maths/ ) Ejemplos de divisiones (lgebra) (http:/ / palaestramundi. 50webs. com/ bibliotheca/ articulos/ division. htm)

Divisin largaEn aritmtica, la divisin larga es un algoritmo para dividir dos nmeros,obtenindose el cociente un dgito por vez. La implementacin de un procesoestndar de divisin permite encontrar cocientes entre nmeros arbitrariamentegrandes, sin necesidad de recurrir a tablas con los resultados. Existen numerosasvariantes (como el mtodo de la potencia, o el mtodo de la galera) dependiendodel arreglo particular de los elementos de la divisin. Tambin se utiliza el trminopara referirse a la divisin larga de polinomios.

La divisin larga o el mtodo de la potencia son algoritmos que separan odescomponen el problema tradicional de la divisin euclidiana, a saber, el de unnmero entero a (llamado dividendo) por un nmero entero b (el divisor) paraobtener el cociente y el resto. El algoritmo descompone el problema de divisinoriginal en varios pequeos problemas de solucin metdica, cuya resolucin seapoya en tablas de multiplicar o de dividir. La aplicacin de estos algoritmos, conalgunas variantes, es lo que comnmente se denomina efectuar una divisin.

Algoritmo de la divisin largaEn la divisin larga, el dividendo se escribe a la derecha del divisor (la casilla de la divisin no tiene un nombrepredefinido), los sucesivos cocientes y residuos se construyen por arriba y por debajo.

Ejemplo : Divisin de 500 por 4.

125 (Detalles)

4)500

4 (4 1 = 4)

10 (5 - 4 = 1)

8 (4 2 = 8)

20 (10 - 8 = 2)

20 (4 5 = 20)

0 (20 - 20 = 0)

Resultado : En la divisin de 500 por 4 el cociente es 125 y el resto 0.

Divisin larga 13

Variante cortaEn esta variante, se omite la escritura explcita de las multiplicaciones sucesivas.

125 (Detalles)

4)500

10 (5 - 4 = 1)

20 (10 - 8 = 2)

0 (20 - 20 = 0)

Mtodo de la potenciaSe escribe el dividendo arriba a la izquierda y el divisor arriba a la derecha. El cociente se construye paso a paso y seescribe sobre el divisor. Los restos sucesivos y los dividendos sucesivos se escriben bajo el primer dividendo.En el siguiente ejemplo, se calcula cada mltiplo y enseguida el resto, efectuando la sustraccin indicada.Ejemplo : Divisin de 6359 por 17.

Etapa 1 : divisin de 63 por 17

6 3 5 9 17

- 5 1 3

1 2

Etapa 2: divisin de 125 por 17

6 3 5 9 17

- 5 1 37

1 2 5

- 1 1 9

6

Etapa 3 : divisin de 69 por 17

6 3 5 9 17

- 5 1 374

1 2 5

- 1 1 9

6 9

- 6 8

1

Resultado : En la divisin de 6359 por 17 el cociente es 374 y el resto 1.

Variante cortaEsta variante consiste en efectuar a la vez las sustracciones sin escribirlas explcitamente.En el ejemplo siguiente, estas restas implcitas se indican con sub-ndices.

6 23 5 9 17

1 2 3

6 3 5 9 17

1 2 55 37

0 6

6 3 5 9 17

1 2 5 374

0 6 29

0 1

Divisin larga 14

Generalizacin

Nmeros decimalesEl algoritmo para la divisin larga (o el mtodo de la potencia) se generaliza al caso de nmeros decimales; el pasajede la coma decimal al dividendo induce la aparicin de la coma decimal en el cociente.Ejemplo : divisin de 63,59 por 17 por el mtodo de la potencia (se resuelve como la divisin de 6359 por 17).

6 3 , 5 9 17

1 2 3

6 3 , 5 9 17

1 2 , 5 3,7

6

6 3 , 5 9 17

1 2 , 5 3,74

6 9

1

El mismo algoritmo permite prolongar el proceso ms all del separador decimal y obtener un valor aproximado delcociente con tantas cifras decimales como se desee.Ejemplo: valor aproximado de 63/17 al milsimo por divisin larga (se resuelve como la divisin de 63000 por 17).

3 , 7 0 5

17 6 3 , 0 0 0

1 2 , 0

1 0

1 0 0

1 5

PolinomiosLa generalizacin de la divisin larga de polinomios recibe el nombre de divisin polinomial.

Referencias

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ORFELINA RIJO DE JESUS. cientifica

Divisin larga 15

Enlaces externos Pierce, Rod. Divisin larga - cmo y por qu (http:/ / www. disfrutalasmatematicas. com/ numeros/

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Logaritmo

Logaritmo

Grfica de LogaritmoDefinicin

Tipo Funcin real

Descubridor(es) John Napier (1614)

Dominio

Codominio

Imagen

Propiedades BiyectivaCncavaEstrictamente crecienteTrascendente

Clculo infinitesimal

Derivada

Funcin inversa

Lmites

Funciones relacionadas Funcin exponencial

El rojo representa el logaritmo en base e.El verde corresponde a la base 10.

El prpura al de la base 1,7.

Logaritmo 16

En matemticas, el logaritmo de un nmero en una base de logaritmo determinada es el exponente al cual hayque elevar la base para obtener dicho nmero. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 esigual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 101010.De la misma manera que la operacin opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicacin la divisin, el clculode logaritmos es la operacin inversa a la exponenciacin de la base del logaritmo.Para representar la operacin de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subndice labase y despus el nmero resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5.Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificacin delos clculos. Estos fueron prontamente adoptados por cientficos, ingenieros, banqueros y otros para realizaroperaciones fcil y rpidamente, usando reglas de clculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en elhecho ms importante por identidades logartmicas que el logaritmo de un producto es la suma de loslogaritmos de los factores:

La nocin actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conect estos con la funcin exponencial en elsiglo XVIII.

DefinicinDado un nmero real (argumento x), la funcin logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un nmerofijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la funcin inversa de b a la potencia n. Esta funcin seescribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.

(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y slo si b elevado a la n da por resultado a x)Para que la definicin sea vlida, no todas las bases y nmeros son posibles. La base b tiene que ser positiva ydistinta de 1, luego b> 0 y b 1, x tiene que ser un nmero positivo x > 0 y n puede ser cualquier nmero real (n R).As, en la expresin 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

Propiedades generalesLos logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que loscaracterizan. As, logaritmo de su base es siempre 1; logbb=1 ya que b

1=b. El logaritmo de 1 es cero(independientemente de la base); logb1=0 ya que b

0=1.Si el nmero real a se encuentra dentro del intervalo 0

Logaritmo 17

20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16 etc. luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4 etc.

Identidades logartmicasLos logaritmos mantienen ciertas identidades aritmticas muy tiles a la hora de realizar clculos: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

El logaritmo de una raz es igual al producto entre la inversa del ndice y el logaritmo del radicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin ms que hacer:

Eleccin y cambio de baseEntre los logaritmos ms utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo comn),base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La eleccin de un determinado nmero comobase de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre s. Es til la siguiente frmula que defineal logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son nmeros reales positivos y que tanto b como k sondiferentes de 1):

en la que k es cualquier base vlida. Si hacemos k=x, obtendremos:

El logaritmo ms ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en fsica, matemticas,ingeniera y en ciencias en general. Tambin es bastante utilizado el logaritmo decimal, que se indica como ,en ciencias que hacen uso de las matemticas, como la qumica en la medida de la acidez (denominada pH) y enfsica en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), de intensidad de sonido (dB), de la energa de unterremoto (escala sismolgica de Richter), etc. En informtica se usa el logaritmo en base 2 la mayora de veces.

Logaritmo 18

Propiedades analticasUn estudio ms profundo de los logaritmos requiere el concepto de funcin. Un ejemplo es la funcin que produce lax-sima potencia de b para cualquier nmero real x, donde la base (o raz) b es un nmero fijo. Esta funcin seescribe como

Funcin logartmicaPara justificar la definicin de logaritmos, es necesario mostrar que la ecuacin exponencial

tiene una solucin x y que esta solucin es nica, provista de que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1.Una demostracin de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del clculo elemental.[1] Este teoremaestablece que una funcin continua que produce dos valores m y n tambin produce cualquier valor que se encuentreentre m y n. Una funcin es continua si esta no salta, esto es, si su grfico puede ser escrito sin levantar el lpiz delpapel.Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la funcin f(x) = bx. Puesto que f toma arbitrariamente valoresgrandes positivos y valores pequeos positivos, cualquier nmero y > 0 que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para unadecuado x0 y x1. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuacin f(x) = y tiene una solucin.Ms an, hay nicamente una solucin para esta ecuacin, puesto que la funcin f es estrictamente creciente (para b> 1), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1).[2]

La nica solucin x es el logaritmo de y en la base b, logb(y). La funcin que asigna a cada y su logaritmo se llamafuncin logaritmo o funcin logartmica (o logaritmo a secas).

Funcin inversa

Grfico de la funcin logartmica logb(x) (azul) seobtiene mediante reflexin del grfico de la

funcin bx (roja) sobre la lnea diagonal (x = y).

La frmula para el logaritmo de una potencia dice en particular quepara cualquier nmero x,

En lenguaje llano, tomando la x-sima potencia de b y luego el base-blogaritmo se vuelve a obtener x. De modo contrario, dado un nmeropositivo y, la frmula

dice que tomando primero el logaritmo y despus exponenciando sevuelve a obtener y. As, las dos maneras posibles de combinar (ocomponer) logaritmos y exponenciales vuelve a dar el nmero original.Por lo tanto, el logaritmo en base b es la funcin inversa de f(x) = bx.[3]

Las funciones inversas estn ntimamente relacionadas con lasfunciones originales. Sus grficos se corresponden el uno con el otromediante el intercambio de las coordenadas x e y (o por reflexin sobrela lnea diagonal x = y), como se muestra en la figura de la derecha: unpunto (t, u = bt) sobre el grfico de f proporciona un punto (u, t = logbu) sobre el grfico del logaritmo y viceversa.Como consecuencia, logb(x) diverge a infinito (se hace ms grande que cualquier nmero dado) si x tiende a infinito,siempre que b sea mayor que 1. En ese caso, logb(x) es un funcin creciente. Para b < 1, logb(x) tiende a menosinfinito en lugar de a infinito. Cuando x se aproxima a cero, logb(x) tiende a menos infinito para b > 1 (a ms infinitocuando b < 1, respectivamente).

Logaritmo 19

Derivada e integral indefinida

El grfico del logaritmo natural (verde) y sutangente en x = 1.5 (negro)

Las propiedades analticas de las funciones pasan a sus inversas.[1] As,como f(x) = bx es una funcin continua y diferenciable, tambin lo serlogb(y). Toscamente hablando, una funcin continua es diferenciable sisu grfico no tiene trazos puntiagudos. Ms an, como la derivada def(x) evaluada en ln(b)bx por las propiedades de la funcin exponencial,la regla de la cadena implica que la derivada de logb(x) es dada por

[2]

Esto es, la pendiente de la tangente que toca el grfico del logaritmo enbase-b en el punto (x, logb(x)) es igual a 1/(x ln(b)). En particular, laderivada de ln(x) es 1/x, lo que implica que la integral indefinida de 1/x es ln(x) + C.La derivada con un argumentofuncional generalizado f(x) es

El cociente del miembro derecho es denominado derivada logartmica de f. Calcular f'(x) por medio de la derivada deln(f(x)) se conoce como diferenciacin logartmica.[4] La integral indefinida del logaritmo natural ln(x) es:

Frmulas relacionadas, tales como integrales indefinidas de logaritmos en otras bases pueden ser obtenidas de estaecuacin usando el cambio de bases.

Representacin integral del logaritmo natural

El logaritmo natural de t es el rea sombreadabajo el grfico de la funcin f(x) = 1/x (inversa de

x).

El logaritmo natural de t concuerda con la integral de 1/xdx desde 1 at:

En otras palabras, ln(t) es igual al rea entre el eje x y el grfico de lafuncin 1/x, recorrido desde x = 1 a x = t (figura a la derecha). Esto esuna consecuencia del teorema fundamental del clculo y del hecho deque la derivada de ln(x) sea 1/x. El miembro de la derecha de estaecuacin puede servir con una definicin para el logaritmo natural. Lasfrmulas del producto y potencias de logaritmo pueden ser obtenidasde esta definicin.[5] Por ejemplo, la frmula del producto ln(tu) = ln(t) + ln(u) se deduce como:

La igualdad (1) descompone la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un cambio de variable (w = x/t).En la ilustracin de abajo, la descomposicin corresponde a dividir el rea en las partes azul y amarilla. Reescalandoel rea azul de la izquierda verticalmente mediante el factor t y contrayendo esta por el mismo factor horizontalmenteno se cambia su tamao. Movindola apropiadamente, el rea de la grfica se ajusta a la funcin f(x) = 1/x de nuevo.Por lo tanto, el rea azul del trmino izquierdo, que es la integral de f(x) desde t a tu es la misma que la de la integraldesde 1 a u. Esto justifica la igualdad (2) con otra demostracin geomtrica ms.

Logaritmo 20

Una demostracin visual de la frmula del producto del logaritmo natural.

La frmula de la potencia ln(tr) = r ln(t) puede ser obtenida de manera similar:

La segunda igualdad usa los cambios de variable (integracin por sustitucin), w := x1/r.La suma sobre los inversos de los nmeros naturales,

es llamada serie armnica. Est estrechamente vinculada al logaritmo natural: cuando n tiende a infinito, ladiferencia,

converge (i.e., se aproxima arbitrariamente cerca) a un nmero conocido como constante de Euler-Mascheroni. Estarelacin ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos, como quicksort.[6]

Transcendencia del logaritmoEl logaritmo es un ejemplo de funcin trascendente y desde un punto de vista terico, el teorema deGelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar valores difciles . La declaracin formal se basa en lanocin de nmeros algebraicos, que incluye a todos los nmeros racionales, pero tambin nmeros tales como la razcuadrada de 2 o

Nmeros complejos que no son algebraicos son llamados transcendentes; por ejemplo, y e son dos de esosnmeros. Casi todos los nmeros complejos son trascendentes. Usando estas nociones, el teorema deGelfondScheider declara que dados dos nmeros algebraicos a y b, logb(a) es, o un nmero trascendente, o unnmero racional p / q (en cuyo caso aq = bp, de manera que, para empezar, a y b estaban estrechamenterelacionados).[7]

ClculoLos logaritmos son fciles del calcular en algunos casos, tales como log10(1,000) = 3. En general, los logaritmospueden ser calculados usando series de potencias o la media aritmtico-geomtrica, o ser obtenidos de una tabla delogaritmos precalculada que proporciona una precisin fijada.[8][9] El mtodo de Newton, un mtodo iterativo pararesolver ecuaciones aproximadamente, puede ser usado tambin para calcular el logaritmo, porque su funcininversa, la funcin exponencial, puede ser calculada eficientemente.[10] Usando tablas de referencias, mtodos comoCORDIC pueden ser usados para calcular logaritmos si la nicas operaciones disponibles son la adicin y eldesplazamiento de bits. Ms an, el algoritmo del logaritmo binario calcula lb(x) recursivamente basado en larepeticin cuadrtica de x, aprovechando la relacin

Logaritmo 21

Serie de potenciasSerie de Taylor

Serie de Taylor de ln(z) atz=1. La animacinmuestra las primeras 10 aproximaciones junto

con las aproximaciones 99 y 100.

Para cualquier nmero real z que satisfaga 0 < z < 2, la siguiente seriede potencias se cumple:[11]

Esta es una manera rpida de decir que ln(z) puede ser aproximado aun valor ms y ms preciso mediante las siguientes expresiones:

Por ejemplo, con z = 1.5 la tercera aproximacin obtiene 0.4167, que es alrededor de 0.011 mayor que ln(1.5) =0.405465. Esta serie aproxima ln(z) con precisin arbitraria, siempre que el nmero de sumandos sea losuficientemente grande. En clculo elemental, ln(z) es por tanto, el lmite de la serie. Esta es la serie de Taylor dellogaritmo natural en z = 1. La serie de Taylor de ln z proporciona una particular aproximacin til de ln(1+z) cuandoz es pequeo, |z| 0.[12] Usando la notacin sumatorio esta tambin puede ser escrita como

Esta serie se puede obtener de la serie de Taylor anterior. Converge ms rpido que la serie de Taylor, especialmentesi z es cercano a 1. Por ejemplo, para z = 1.5, los tres primeros trminos de la segunda serie aproximan ln(1.5) con unerror del entorno de 3106. La rpida convergencia para z cercano a 1 puede ser tomada como una ventaja de lasiguiente manera.: da una aproximacin de baja exactitud y ln(z) y calculando

el logaritmo de z es:

Cuando mejor es la aproximacin inicial y, ms cerca est A de 1, as que su logaritmo puede ser calculadoeficientemente. A puede ser calculado usando la serie exponencial, que converge rpidamente siempre que y no seademasiado grande. Calculando el logaritmo de un z mayor, puede ser reducido a valores ms pequeos que zmediante la escritura z = a 10b, as que ln(z) = ln(a) + b ln(10).

Logaritmo 22

Un mtodo ntimamente relacionado puede ser utilizado para calcular el logaritmo de enteros. De la serie anterior, sededuce que:

Si el logaritmo de un entero grande n es conocido, entonces esta serie obtiene una veloz serie convergente paralog(n+1).

Aproximacin mediante media aritmtico-geomtricaLa media aritmtico-geomtrica da aproximaciones con gran precisin del logaritmo natural. ln(x) es aproximadocon una precisin de 2p (o p bits precisos) mediante la siguiente frmula (dada por Carl Friedrich Gauss):

Aqu M denota la media aritmtico-geomtrica. Se puede obtener mediante el clculo repetido de la media (mediaaritmtica) y de la raz cuadrada del producto de dos nmeros (media geomtrica). Ms an, m es escogido tal que

Ambas, media aritmtico-geomtrica y las constantes y ln(2) pueden ser calculadas mediante series convergentesmuy rpidas.

ExtensionesEs posible extender el concepto de logaritmo ms all de los reales positivos.

Nmeros reales

Para enteros b y x, el nmero es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o xtienen un factor primo que el otro no tiene.El logaritmo natural de un nmero real positivo est bien definido y es un nmero real. Sin embargo, generalizar ellogaritmo natural a nmeros reales negativos slo puede hacerse introduciendo nmeros complejos.Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de nmeros complejos la eleccin de logaritmo de un nmero negativono es nica, aunque la eleccin hecha es la ms frecuentemente usada para extender el logaritmo a nmeros realesnegativos.

Nmeros complejos

Logaritmo 23

Principal rama del logaritmo complejo, Log(z).

El logaritmo natural de un nmero complejo z es otro nmero complejob = ln(z) que sea solucin de la ecuacin:

(*) La ecuacin anterior no tiene solucin nica. De hecho, tiene unnmero infinito de soluciones, aunque todas ellas son fciles deencontrar. Dado un nmero complejo z escrito en forma polar, unasolucin posible de la ecuacin (*) es b0:

Puede comprobarse que sta no es la nica solucin, sino que paracualquier valor resulta que el nmero complejo bk, definido acontinuacin, tambin es solucin:

De hecho cada valor particular de k define una superficie de Riemann.

Logaritmo en base imaginariaUn logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad imaginaria). Este tipo delogaritmos se puede resolver fcilmente con la frmula:

Dnde z es cualquier nmero complejo excepto 0. Sin embargo, cabe sealar que la frmula anterior slo es una delas posibles soluciones ya que la ecuacin:

admite no slo la solucin dada anteriormente sino que cualquier x de la forma:

tambin es solucin.

MatricesUna matriz B es logaritmo de una matriz dada A si la exponenciacin de B es A:

A diferencia de la exponenciacin de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no estar definido siempre.En el caso de una matriz diagonalizable es necesario que logaritmo est definido para todos y cada uno de losautovalores o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz est definido y es una matriz real.Si el logaritmo no est definido sobre el espectro o conjunto de autovalores, aun as es posible definir una matrizlogaritmo (en forma similar a como se definen los logaritmos de nmeros negativos o complejos), aunque no resultanica.En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es ms complicado, ya que requiere encontrar primero suforma cannica de Jordan.

Logaritmo 24

Logaritmo discretoLos logaritmos discretos son los anlogos en teora de grupos de los logaritmos ordinarios. En particular, unlogaritmo ordinario loga(b) es una solucin de la ecuacin a

x=b sobre nmeros reales o nmeros complejos. Demanera similar, si g y h son elementos de un grupo cclico finito G, entonces una solucin x de la ecuacin gx=h esllamada logaritmo discreto en la base g de h en el grupo G.Si (G,) es un grupo cclico finito de orden n, donde es el operador multiplicacin, si se escoge un generador g de G,entonces cada elemento h de G puede ser escrito como h=gk para algn entero k, de manera que la funcin

asigna a cada h la clase de equivalencia modulo n de k, esto es, todos los k que cumplan que hgk mod n.Este logaritmo tiene aplicaciones en criptografa, en especial en el mtodo de intercambio de claves deDiffie-Hellman o en el sistema de ElGamal.

Historia

John Napier (Neper), fue el primero que defini ydesarroll los logaritmos.

El mtodo de clculo mediante logaritmos fue propuesto por primeravez, pblicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, ensu libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. JoostBrgi, un matemtico y relojero suizo al servicio del duque deHesse-Kassel, concibi por primera vez los logaritmos; sin embargo,public su descubrimiento cuatro aos despus que Napier. La inicialresistencia a la utilizacin de logaritmos fue cambiada por Kepler, porel entusiasta apoyo de su publicacin y la impecable y claraexplicacin de cmo funcionaban.

Este mtodo contribuy al avance de la ciencia, y especialmente de laastronoma, facilitando la resolucin de clculos muy complejos. Loslogaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegacinmartima y otras ramas de la matemtica aplicada, antes de la llegadade las calculadoras y computadoras. Adems de la utilidad en elclculo, los logaritmos tambin ocuparon un importante lugar en lasmatemticas ms avanzadas; el logaritmo natural presenta una solucinpara el problema de la cuadratura de un sector hiperblico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Napier no us una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban demanera eficaz con base 1/e. Para los propsitos de interpolacin y facilidad de clculo, eran tiles para hallar larelacin r en una serie geomtrica tendente a 1. Napier escogi r=1-107=0,999999 (Brgi eligir=1+104=1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenan log1=0, sino log107=0. As, si N es unnmero y L es el logaritmo, Napier calcula: N=107(1107)L. Donde (1107)107 es aproximadamente 1/e,haciendo L/107 equivalente a log1/eN/10

7. Vase logaritmo neperiano.Inicialmente, Napier llam nmeros artificiales a los logaritmos y nmeros naturales a los antilogaritmos. Mstarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un nmero que indica una proporcin: (logos) elsentido de proporcin, y (arithmos) significado nmero, y se define, literalmente, como un nmero queindica una relacin o proporcin. Se refiere a la proposicin que fue hecha por Napier en su teorema fundamental,que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relacin de los nmeros a los cuales corresponden, demanera que una progresin aritmtica de logaritmos corresponde a una progresin geomtrica de nmeros. Eltrmino antilogaritmo fue introducido a finales de siglo xvii y, aunque nunca se utiliz ampliamente en matemticas,perdur en muchas tablas, hasta que cay en desuso.

Logaritmo 25

Notas[1][1] Lang, 1997, Seccin III.3.[2][2] Lang, 1997, Seccin IV.2.[3][3] , section 1.6[4][4] , p. 386[5][5] , section III.6[6][6] , sections 11.5 and 13.8[7][7] , p. 10[8][8] , sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)[9] , section 6.3, p. 105111[10][10] , section 1 for an overview[11] La misma serie se cumple para el valor principal del logaritmo complejo para nmeros complejos z que satisfacen que

UNIQ-nowiki-0-e326f89b838c35ea-QINU z 1 UNIQ-nowiki-1-e326f89b838c35ea-QINU < 1.[12] La misma serie se cumple para el valor principal del logaritmo complejo para nmeros complejos z con parte real positiva.

Referencias

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ExpoLog. pdf)

Multiplicacin 26

Multiplicacin

Propiedad conmutativa:34 = 12 = 43

doce elementos pueden ser ordenados en tres filasde cuatro, o cuatro columnas de tres.

La multiplicacin es una operacin matemtica que consiste en sumarun nmero tantas veces como indica otro nmero. As, 43 (lasecuatro multiplicado por tres o, simplemente, cuatro por tres) esigual a sumar tres veces el valor 4 por s mismo (4+4+4). Es unaoperacin diferente de la suma, pero equivalente; no es igual a unasuma reiterada, slo son equivalentes porque permiten alcanzar elmismo resultado. La multiplicacin est asociada al concepto de reageomtrica.

La potenciacin es un caso particular de la multiplicacin donde elexponente indica las veces que debe multiplicarse un nmero por smismo.

El resultado de la multiplicacin de varios nmeros se llama producto.Los nmeros que se multiplican se llaman factores o coeficientes, eindividualmente: multiplicando (nmero a sumar o nmero que se est multiplicando) y multiplicador (veces que sesuma el multiplicando). Aunque esta diferenciacin en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjuntodonde est definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicacin (por ejemplo, en los conjuntosnumricos), pero puede ser til cuando se ocupa para referirse al multiplicador de una expresin algebraica (ej: ena2b + a2b + a2b 3a2b, 3 es el multiplicador o coeficiente, mientras que el monomio a2b es el multiplicando).

En lgebra moderna se suele usar la denominacin cociente o multiplicacin con su notacin habitual paradesignar la operacin externa en un mdulo, para designar tambin la segunda operacin que se define en un anillo(aquella para la que no est definido el elemento inverso del 0), o para designar la operacin que dota a un conjuntode estructura de grupo. La operacin inversa de la multiplicacin es la divisin.

NotacinLa multiplicacin se indica con un aspa () o el punto medio (). En ausencia de estos caracteres se suele emplear elasterisco (*), sobre todo en computacin (este uso tiene su origen en FORTRAN), pero est desaconsejado en otrosmbitos y slo debe utilizarse cuando no hay otra alternativa. A veces se utiliza la letra equis (x), pero esto esdesaconsejable porque crea una confusin innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incgnita en unaecuacin. Por ltimo, se puede omitir el signo de multiplicacin a menos que se multipliquen nmeros o se puedagenerar confusin sobre los nombres de las incgnitas, constantes o funciones (por ejemplo, cuando el nombre dealguna incgnita tiene ms de una letra y podra confundirse con el producto de otras dos). Tambin suelen utilizarsesignos de agrupacin como parntesis (), corchetes [] o llaves { }. Esto mayormente se utiliza para multiplicarnmeros negativos entre s o por nmeros positivos.Si los factores no se escriben de forma individual pero pertenecen a una lista de elementos con cierta regularidad sepuede escribir el producto mediante una elipsis, es decir, escribir explcitamente los primeros trminos y los ltimos,(o en caso de un producto de infinitos trminos slo los primeros), y sustituir los dems por unos puntos suspensivos.Esto es anlogo a lo que se hace con otras operaciones aplicadas a infinitos nmeros (como las sumas).As, el producto de todos los nmeros naturales desde el 1 hasta el 100 se puede escribir:

mientras que el producto de los nmeros pares del entre 1 y 100 se escribira:.

Esto tambin se puede denotar escribiendo los puntos suspensivos en la parte media de la lnea de texto:

Multiplicacin 27

En cualquier caso, deben estar claros cules son los trminos omitidos.Por ltimo, se puede denotar el producto mediante el smbolo productorio, que proviene de la letra griega (Pimayscula).Esto se define as:

El subndice indica una variable que recorre los nmeros enteros desde un valor mnimo ( , indicado en elsubndice) y un valor mximo ( , indicado en el superndice).

Definicin

Cuatro bolsas de tres globos da un total de doceglobos (34=12).

La multiplicacin de dos nmeros enteros n y m se expresa como:

sta no es ms que una forma de simbolizar la expresin sumar m a smismo n veces. Puede facilitar la comprensin al expandir laexpresin anterior:

mn = m + m + m +...+ mtal que hay n sumandos. As, por ejemplo: 52 = 5 + 5 = 10 25 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 43 = 4 + 4 + 4 = 12 m6 = m + m + m + m + m + m = 6m m5 = m + m + m + m + m = 5mEl producto de infinitos trminos se define como el lmite del productode los n primeros trminos cuando n crece indefinidamente.

Definicin recursivaUna definicin recursiva de la multiplicacin puede darse segn estas reglas:

x0 = 0xy = x + x(y-1)

donde x es una cantidad arbitraria e y es un nmero natural. Una vez el producto est definido para los nmerosnaturales, se puede extender a conjuntos ms grandes, como ya se ha indicado anteriormente.

Multiplicacin 28

Propiedades

Multiplicacin de nmeros del 0 al 10. Cada lneatrazada representa un multiplicando. Eje x =

multipliadores. Eje y = productos.

Para los nmeros naturales, enteros, fracciones y nmeros reales ycomplejos, la multiplicacin tiene ciertas propiedades:Propiedad conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

Propiedad asociativa

nicamente expresiones de multiplicacin o adicin soninvariantes con respecto al orden de las operaciones.

Propiedad distributiva

El total de la suma de dos nmeros multiplicado por un tercernmero es igual a la suma de los productos entre el tercernmero y cada sumando.

Elemento identidad (neutro)

La identidad multiplicativa es 1; el producto de todo nmero multiplicado por 1 es s mismo. Esto se conocecomo la propiedad de identidad.

Elemento cero (absorbente)

Cualquier nmero multiplicado por cero da como producto cero. Esto se conoce como la propiedad cero de lamultiplicacin.

NegacinMenos uno multiplicado por cualquier nmero es igual al opuesto de ese nmero.

Menos uno multiplicado por menos uno es uno.

El producto de nmeros naturales no incluye nmeros negativos.Elemento inverso

Todo nmero x, excepto cero, tiene un inverso multiplicativo, , tal que .

Multiplicacin 29

Producto de nmeros negativosEl producto de nmeros negativos tambin requiere reflexionar un poco. Primero, considrese el nmero -1. Paracualquier entero positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -mste es un resultado interesante que muestra que cualquier nmero negativo no es ms que un nmero positivomultiplicado por -1. As que la multiplicacin de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicacin deenteros positivos y factores -1. Lo nico que queda por definir es el producto de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1De esta forma, se define la multiplicacin de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse a conjuntos cada vezmayores de nmeros: primero el conjunto de las fracciones o nmeros racionales, despus a todos los nmeros realesy finalmente a los nmeros complejos y otras extensiones de los nmeros reales.

Conexin con la geometraDesde un punto de vista puramente geomtrico, la multiplicacin entre 2 valores produce un rea que esrepresentable. Del mismo modo el producto de 3 valores produce un volumen igualmente representable. Y engeneral el producto de cualquier nmero de valores mayores de 0 produce un resultado geomtrico representable seaste ms o menos intuitivo y ms o menos fcil de representar.

ExtencionesEn matemticas, producto es sinnimo de multiplicacin.Se denominan tambin producto ciertas operaciones binarias realizadas en contextos especializados. Producto escalar es una operacin binaria entre elementos de un espacio vectorial que tiene por resultado un

elemento del campo subyacente. El caso ms relevante es el de producto punto. Producto vectorial o producto cruz es una operacin entre vectores de un espacio euclidiano 3-dimensional que

tiene como resultado otro vector. Producto mixto o triple producto escalar es un producto que combina el producto vectorial y el escalar. Producto matricial es una operacin binaria entre matrices. Producto cartesiano es una operacin entre conjuntos cuyo resultado son pares ordenados de elementos

respectivos. Topologa producto es una topologa construida en un producto cartesiano de espacios topolgicos.

Topologa caja es otra topologa construida en un producto cartesiano de espacios topolgicos que coincidecon la anterior en productos finitos.

Producto exterior es una generalizacin del producto vectorial. Producto directo es un abstraccin que permite definir estructuras algebraicas en productos de otros algebraicos

(usualmente productos cartesianos) Productoria Notacin para denotar un producto arbitrario de trminos. Producto (teora de categoras) es una generalizacin abstracta de los productos encontrados en diversas

estructuras algebraicas.El trmino producto tambin se relaciona con Regla del producto, un mtodo para calcular la derivada de un producto de funciones. Principio del producto, uno de los principios fundamentales de conteo. Producto vaco es el producto de cero factores.

Multiplicacin 30

Enlaces externos Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Multiplicacin. Commons Wikcionario tiene definiciones para multiplicacin.Wikcionario

Resta

5 2 = 3

La resta o sustraccin es una de las cuatro operaciones bsicas de laaritmtica; se trata de una operacin de descomposicin que consisteen, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado seconoce como diferencia o resto.

Es la operacin inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entoncescb=a.En la resta, el primer nmero se denomina minuendo y el segundo es elsustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.

En el conjunto de los nmeros naturales, N, slo se pueden restar dosnmeros si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, ladiferencia sera un nmero negativo, que por definicin estara excluido del conjunto. Esto implica la ampliacin delconjunto de los nmeros naturales con un nuevo concepto de nmero, el conjunto de los nmeros enteros Z, queincluye a los naturales. Esto tambin es as para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los nmeros realespositivos.

En matemticas avanzadas no se habla de restar sino de sumar el opuesto. En otras palabras, no se tiene a bsino a + (b), donde b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.

Algoritmo de la restaSe procede colocando el minuendo encima del sustraendo, ordenando las cifras en columnas de derecha a izquierdasegn el orden de unidades, decenas, centenas etc. igual que en la suma.A continuacin se comienza restando la cifra de la columna de unidades del minuendo al sustraendo, teniendo encuenta que si la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo se suma a la cifra 10 unidades, colocando en lalnea de acarreo sobre la columna siguiente (las decenas) un 1, que se sumar a la cifra del sustraendo de las decenas.Una vez hecho esto se restan las cifras de minuendo a sustraendo de la columna unidades y se escribe la cifraresultado en la lnea de resto de la misma columna. De igual manera, se procede en la columna de las decenas,centenas, unidades de millar, etc. sin olvidar sumar los acarreos de columnas anteriores al sustraendo debido a lasuma de diez unidades en la columna anterior a la cifra del minuendo si ste es menor que el sustraendo.La cifra 0 en el minuendo se considera como un 10, mientras que en el sustraendo no tiene ningn efecto.Como ejemplo ilustrativo del proceso de restado de dos nmeros, se utilizarn el 1419 y 751, obtenindose:

La comprobacin del resultado como Resto o Diferencia se hace sumando dicho resultado con el sustraendo, yaque en toda resta se cumple que: Sustraendo + Diferencia = Minuendo, o sea, el resultado de dicha suma debe de serel minuendo, en este caso ejemplo sera 668+751=1419.

Resta 31

Referencias

Enlaces externos http:/ / www2. gobiernodecanarias. org/ educacion/ 17/ WebC/ eltanque/ OtraFormaDeRestar/ pagrestar_p. html

Suma

3 + 2 = 5 manzanas.[1]

La suma o adicin es una operacin bsica por su naturalidad, que se representa conel signo (+), el cual se combina con facilidad matemtica de composicin en la queconsiste en combinar o aadir dos nmeros o ms para obtener una cantidad final ototal. La suma tambin ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con elfin de obtener una sola coleccin. Por otro lado, la accin repetitiva de sumar uno esla forma ms bsica de contar.

En trminos cientficos, la suma es una operacin aritmtica definida sobreconjuntos de nmeros (naturales, enteros, racionales, reales y complejos), y tambinsobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyascomponentes sean estos nmeros o funciones que tengan su imagen en ellos.

En el lgebra moderna se utiliza el nombre suma y su smbolo "+" para representarla operacin formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, ola operacin de un mdulo que dota al mdulo de estructura de grupo abeliano.Tambin se utiliza a veces en teora de grupos para representar la operacin que dotaa un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominacinpuramente simblica, sin que necesariamente coincida esta operacin con la suma habitual en nmeros, funciones,vectores, etc.

Propiedades de la suma Propiedad conmutativa: si el orden de los factores cambia no altera el resultado: a+b=b+a. Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suma tres o ms nmeros, la suma siempre es la

misma independientemente de su agrupamiento.[2] Un ejemplo es: a+(b+c) = (a+b)+c. Elemento neutro: 0. Para cualquier nmero a, a + 0 = 0 + a = a. Elemento opuesto o inverso aditivo: Para cualquier nmero entero, racional, real o complejo a, existe un nmero

a tal que a + (a) = (a) + a = 0. Este nmero a se denomina elemento opuesto, y es nico para cada a. Noexiste en algunos conjuntos, como el de los nmeros naturales.

Propiedad distributiva: La suma de dos nmeros multiplicada por un tercer nmero es igual a la suma delproducto de cada sumando multiplicado por el tercer nmero. Por ejemplo, (6+3) * 4 = 6*4 + 3*4.

Propiedad de cerradura:Cuando se suman nmeros naturales el resultado es siempre un nmero natural. Porejemplo a+b=c.

Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del lmite de sumas parciales cuando tienden al infinito.

Suma 32

NotacinSi todos los trminos se escriben individualmente, se utiliza el smbolo "+" (ledo ms). Con esto, la suma de losnmeros 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7.Tambin se puede emplear el smbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los trminos, se indicanlos nmeros omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los nmeros omitidos. Por ejemplo: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros nmeros naturales. 2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2.En sumas largas o infinitas se emplea un nuevo smbolo, llamado sumatorio, y se representa con la letra griegaSigma mayscula (). Por ejemplo:

es la suma de los cien primeros nmeros naturales.

es la suma de las diez primeras potencias de 2.

es la suma de todos los nmeros racionales de la forma 1/k2. Como idea que se acerca esta es una suma

infinita que nunca termina; es decir, se suman todos los elementos de un conjunto infinito; sim embargo, enrealidad se calcula el lmite de la sucesin cuyo n trmino es la suma primeros n trminos de la serie

TablaPara realizar una tabla de la parte de la tabla de sumar, en la que se representa la tabla de los diez primeras sumas ,que se aprende por memorizacin, conocida esta suma se pueden realizar tablas de nmeros de cualquier nmero desumas.

Tabla de sumar

Tabla del 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

1 + 3 = 4

1 + 4 = 5

1 + 5 = 6

1 + 6 = 7

1 + 7 = 8

1 + 8 = 9

1 + 9 = 10

1 + 10 = 11

Suma 33

Tabla del 2

2 + 0 = 2

2 + 1 = 3

2 + 2 = 4

2 + 3 = 5

2 + 4 = 6

2 + 5 = 7

2 + 6 = 8

2 + 7 = 9

2 + 8 = 10

2 + 9 = 11

2 + 10 = 12

Tabla del 3

3 + 0 = 3

3 + 1 = 4

3 + 2 = 5

3 + 3 = 6

3 + 4 = 7

3 + 5 = 8

3 + 6 = 9

3 + 7 = 10

3 + 8 = 11

3 + 9 = 12

3 + 10 = 13

Tabla del 4

4 + 0 = 4

4 + 1 = 5

4 + 2 = 6

4 + 3 = 7

4 + 4 = 8

4 + 5 = 9

4 + 6 = 10

4 + 7 = 11

4 + 8 = 12

4 + 9 = 13

4 + 10 = 14

Suma 34

Tabla del 5

5 + 0 = 5

5 + 1 = 6

5 + 2 = 7

5 + 3 = 8

5 + 4 = 9

5 + 5 = 10

5 + 6 = 11

5 + 7 = 12

5 + 8 = 13

5 + 9 = 14

5 + 10 = 15

Tabla del 6

6 + 0 = 6

6 + 1 = 7

6 + 2 = 8

6 + 3 = 9

6 + 4 = 10

6 + 5 = 11

6 + 6 = 12

6 + 7 = 13

6 + 8 = 14

6 + 9 = 15

6 + 10 = 16

Tabla del 7

7 + 0 = 7

7 + 1 = 8

7 + 2 = 9

7 + 3 = 10

7 + 4 = 11

7 + 5 = 12

7 + 6 = 13

7 + 7 = 14

7 + 8 = 15

7 + 9 = 16

7 + 10 = 17

Suma 35

Tabla del 8

8 + 0 = 8

8 + 1 = 9

8 + 2 = 10

8 + 3 = 11

8 + 4 = 12

8 + 5 = 13

8 + 6 = 14

8 + 7 = 15

8 + 8 = 16

8 + 9 = 17

8 + 10 = 18

Tabla del 9

9 + 0 = 9

9 + 1 = 10

9 + 2 = 11

9 + 3 = 12

9 + 4 = 13

9 + 5 = 14

9 + 6 = 15

9 + 7 = 16

9 + 8 = 17

9 + 9 = 18

9 + 10 = 19

Tabla del 10

10 + 0 = 10

10 + 1 = 11

10 + 2 = 12

10 + 3 = 13

10 + 4 = 14

10 + 5 = 15

10 + 6 = 16

10 + 7 = 17

10 + 8 = 18

10 + 9 = 19

10 + 10 = 20

Suma 36

La tabla de sumar en forma cartesianaOtra forma de representar la tabla de sumar es en forma cartesiana. En esta representacin, la primera fila y laprimera columna contienen los nmeros que se van a sumar, y en la interseccin de cada fila con cada columna semuestra la suma de ambos nmeros.

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Realizar una suma

El procedimiento estndar para efectuar sumas de varios nmeros, llamados "sumandos", es el siguiente:Los sumandos se colocan en filas sucesivas ordenando las cifras en columnas, empezando por la derecha con la cifrade las unidades(U), a la izquierda las decenas(D), la siguiente las centenas(C), la siguiente los millares(M), etc.La suma de los nmeros 750 + 1583 + 69 se ordenaran de la siguiente forma:

Se suman en primer lugar las cifras de la columna de las unidades segn las tablas elementales, colocando en elresultado la cifra de unidades que resulte; cuando estas unidades sean ms de 10 las decenas se acumulan como unsumando ms en la fila de acarreo.En este caso 3 ms 9 son 12, el 2 del 12 se pone en la parte inferior y el 1 se pasa como acarreo en la columnasiguiente.

En la columna de las decenas, procediendo entonces a la suma de esa columna como si fueran unidades.Sumamos el 1 del acarreo ms 5, 8 y 6 que dan un total de 20, el 0 de 20 se pone en la parte inferior como resultadoy el 2 se pasa como acarreo a la columna siguiente.

Suma 37

Se procede de igual forma con la columna de las decenas, acarreo incluido, colocando en la fila de acarreo sobre lacolumna de las centenas las decenas (de unidades de decenas).En la columna de las centenas tenemos, el 2 de acarreo, el 7 y el 5 que sumados dan 14, el 4 del 14 se pone en laparte inferior y el 1 se pasa a la siguiente columna como acarreo.

Se procede de igual forma con todas las columnas, aadiendo a la columna ltima de la izquierda las decenas de lacolumna anterior en vez de subir a la fila de acarreo.En la columna de los millares tenemos 1 de acareo ms el 1 de sumando que sumados dan 2, que se pone en la parteinferior como resultado, al no haber ms sumandos damos por finalizada la operacin.

Normalmente los acarreos o llevadas no se anotan en el papel, sumando directamente el acarreo a los sumandos de lacolumna siguiente y el aspecto de la realizacin de la suma sin las anotaciones auxiliares sera el siguiente:

Referencias[1] From Enderton (p.138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by

textbooks."[2] Definicin: propiedad asociativa de la suma (http:/ / www. elko. k12. nv. us/ webapps/ vmd/ mathdictionary/ htmldict/ spanish/ vmd/ full/ a/

ociativepropertyofaddition. htm)

Enlaces externos Wikcionario tiene definiciones para suma.Wikcionario Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Suma. Commons Definicin: propiedad asociativa de la suma (http:/ / www. elko. k12. nv. us/ webapps/ vmd/ mathdictionary/

htmldict/ spanish/ vmd/ full/ a/ ociativepropertyofaddition. htm)

Aritmtica 38

Aritmtica

Alegora de la Aritmtica.Pintura de Laurent de La Hyre.

La aritmtica (del lat. arithmetcus, y este del gr. , nmero) es la rama de la matemtica cuyo objeto deestudio son los nmeros y las operaciones elementales hechas conellos: suma, resta, multiplicacin y divisin.

Al igual que en otras reas de la matemtica, como el lgebra o lageometra, el sentido de la aritmtica ha ido evolucionando con elprogresivo desarrollo de las ciencias. Originalmente, la aritmtica sedesarrolla de manera formal en la Antigua Grecia, con el refinamientodel rigor matemtico y las demostraciones, y su extensin a lasdistintas disciplinas de las ciencias naturales.[1] En la actualidad,puede referirse a la aritmtica elemental, enfocada a la enseanza de lamatemtica bsica; tambin al conjunto que rene el clculo aritmticoy las operaciones matemticas, especficamente, las cuatro operaciones bsicas aplicadas ya sea a nmeros(naturales, fracciones, etc.) como a entidades matemticas ms abstractas (matrices, operadores, etc); tambin a la asllamada alta aritmtica,[2] mejor conocida como teora de nmeros.

Operaciones aritmticas

Suanpan:baco chino.

Las cuatro operaciones bsicas (o elementales) de laaritmtica son:

Suma Resta Multiplicacin DivisinEn el sentido de la definicin expuesta, el sustantivoaritmtica, en los primeros grados de enseanzaescolar, suele designarse simplemente comomatemtica, la distincin comienza a precisarse conla introduccin del lgebra y la consiguienteimplementacin de "letras" para representar "variables"e "incgnitas", as como las definiciones de las propiedades algebraicas tales como conmutatividad, asociatividad odistributividad, que son propias del lgebra elemental.

De manera ms general, el cmputo numrico incluye, adems de las operaciones bsicas: el clculo decongruencias, la factorizacin, el clculo de potencias y la extraccin de races. En este sentido, el trmino aritmticase aplica para designar operaciones realizadas sobre entidades que no son nmeros enteros solamente, sino quepueden ser decimales, racionales, etc., o incluso objetos matemticos con caractersticas completamente diferentes.El trmino aritmtica es utilizado tambin como adjetivo, como por ejemplo en una progresin aritmtica.

Aritmtica 39

Instrumentos de clculoLos utensilios para facilitar las cuentas numricas y el conteo han sido utilizados durante miles de aos, por ejemplocontar con los dedos estableciendo una correspondencia uno-a-uno con los dedos de la mano. El primer objeto paracontar fue probablemente un palo de conteo. Registros posteriores a lo largo del Creciente Frtil incluyen clculos(esferas de barro, conos, etc.) que representan cuentas de objetos, posiblemente granos. La numeracin con varillases otro ejemplo.

Clculo mental Contar con los dedos Palos de conteo

Numeracin china con varillas Numeracin maya

Tablilla babilnica baco inca Regla de clculo

Aritmtica 40

baco Mquina de sumar Calculadora de bolsillo

Historia

OrigenLos orgenes de la aritmtica se pueden rastrear hasta los comienzos de la matemtica misma, y de la ciencia engeneral. Los registros ms antiguos datan de la Edad de Piedra: huesos, palos, piedras talladas y escarbadas conmuescas, presumiblemente con fines de conteo, de representacin numrica y calendarios.

Edad antigua

Fracciones egipcias.

Hay evidencias de que los babilonios tenan slidosconocimientos de casi todos los aspectos de laaritmtica elemental hacia 1800a.C., gracias atranscripciones de caracteres cuneiformes sobretablillas de barro cocido, referidas a problemas degeometra y astronoma. Solo se puede especular sobrelos mtodos utilizados para generar los resultadosaritmticos - tal y como se muestra, por ejemplo, en latablilla de arcilla Plimpton 322, que parece ser una listade ternas pitagricas, pero sin mostrar cmo se generla lista.

Los antiguos textos Shulba-sutras (datados ca. 800 a.C y 200 a.C) recopilan los conocimientos matemticos de laIndia durante el perodo vdico; constan de datos geomtricos relacionados con la construccin de altares de fuego, eincluyen el problema de la cuadratura del crculo.

Otras civilizaciones mesopotmicas, como sirios y fenicios, alcanzaron grados de desarrollo matemtico similar queutilizaron tanto para el comercio como para la resolucin de ecuaciones algebraicas.El sistema de numeracin egipcio, basado en fracciones unitarias, permita efectuar cuentas aritmticas avanzadas,como se muestra en papiros conservados como el Papiro de Mosc o el Papiro de Ahmes (que data de ca. 1650a.C.,aunque es una copia de un antiguo texto de ca. 1850a.C.) que muestra sumas, restas, multiplicaciones y divisiones,utilizando un sistema de fracciones, as como los problemas de determinar el volumen de una esfera, o el volumen deuna prmide truncada. El papiro de Ahmes es el primer texto egipcio que menciona los 365 das del calendarioegipcio, es el primer calendario solar conocido.

Aritmtica 41

Aritmtica formal en la Antigua GreciaLa aritmtica en la Grecia Antigua era considerada como el estudio de las propiedades de los nmeros, y no incluaclculos prcticos, los mtodos operatorios eran considerados una ciencia aparte. Esta particularidad fue heredada alos europeos durante la Edad Media, y no fue hasta el Renacimiento que la teora de nmeros y los mtodos declculo comenzaron a considerarse aritmticos.La matemtica griega hace una aguda diferencia entre el concepto de nmero y el de magnitud o conmensurabilidad.Para los antiguos griegos, nmero significaba lo que hoy se conoce por nmero natural, adems de diferenciar entrenmero y magnitud geomtrica. Los libros 79 de Los elementos de Euclides tratan de la aritmticaexclusivamente en este sentido.Nicmaco de Gerasa (ca. 60 - 120d.C.), en su Introduccin a la Aritmtica, resume la filosofa de Pitgoras y dePlatn enfocada a los nmeros y sus relaciones fundamentales. Nicmaco hace por primera vez la diferenciaexplcita entre Msica, Astronoma, Geometra y Aritmtica, y le da a esta ltima un sentido ms moderno, esdecir, referido a los nmeros enteros y sus propiedades fundamentales.[3] El quadrivium (lat. "cuatro caminos"),agrupaba estas cuatro disciplinas cientficas relacionadas con la matemtica proveniente de la escuela pitagrica.Diofanto de Alejandra (siglo III d.C), es el autor de Arithmetica, una serie de libros sobre ecuaciones algebraicas endonde por primera vez se reconoce a las fracciones como nmeros, y se utilizan smbolos y variables como parte dela notacin matemtica; redescubierto por Pierre de Fermat en el siglo XVII, las hoy llamadas ecuaciones diofnticascondujeron a un gran avance en la teora de nmeros.

Edad Media y Renacimiento europeoEl mayor progreso matemtico de los griegos se dio entre los aos 300 a.C y el 200 d.C. Despus de esto los avancescontinuaron en regiones islmicas. La matemtica floreci en particular en Irn, Siria e India. Si bien losdescubrimientos no fueron tan sustanciales como los llevados a cabo por la ciencia griega, s contribuyeron en granmedida a preservar sus obras originales. A partir del siglo XI, Adelardo de Bath y ms adelante Fibonacci,introducen nuevamente en Europa esta matemtica islmica y sus traducciones del griego.De las siete artes liberales en que se organizaban los estudios formales en la Antigedad y la Edad Media, laaritmtica era parte de las enseanzas escolsticas y universitarias.[4] En 1202, Fibonacci, en su tratado Liber Abaci,introduce el sistema de numeracin decimal con nmeros arbigos. Las operaciones aritmticas, an las ms bsicas,realizadas hasta entonces con numerales romanos resultaban muy complicadas; la importancia prctica encontabilidad hizo que las nuevas tcnicas aritmticas se popularizaran enseguida en Europa. Fibonacci lleg aescribir que comparado con este nuevo mtodo, todos los dems haban sido errneos.

Aritmtica 42

Civilizaciones precolombinas

Quipu.

Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban unsistema de numeracin de base vigesimal (base aritmtica 20) para medir eltiempo y participar del comercio a larga distancia. Los mayas preclsicosdesarrollaron independientemente el concepto del cero alrededor del ao36a.C. Aunque posean sistema de numeracin, la ciencia maya y aztecaestaba ms enfocada en predecir el paso del tiempo, elaborar calendarios ypronosticar eventos astronmicos. Las culturas andinas, que no poseansistema de escritura, s parecen haber desarrollado ms el clculo aritmtico.Algunas inscripciones fijan con gran precisin el ao solar real en 365 das.Fueron las primeras civilizaciones en inventar el cero, aunque con algunaspeculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.[5]

Los incas se destacaron principalmente por su capacidad de clculo para fineseconmicos y comerciales. Los quipus y yupanas fueron seal de laimportancia que tuvo la administracin incaica. Esto dot a los incas de unaaritmtica sencilla pero efectiva para fines contables; basada en un sistemadecimal, conocieron el cero y dominaron la suma, la resta, la multiplicacin yla divisin.

Aritmtica en China

Varillas de conteo.

La matemtica china temprana es tan diferente ala de otras partes del mundo, que es razonablesuponer que se desarroll independientemente.El texto de matemticas ms antiguo que seconserva es el Chou Pei Suan Ching(literalmente: La Aritmtica Clsica del Gnomony los Senderos Circulares del Cielo), datado del300a.C.[6]

De particular notoriedad es el uso de un sistema decimal posicional, la as llamada numeracin con varillas, utilizadamuchos siglos antes del sistema indoarbigo de numeracin. El sistema de numeracin con varillas permitarepresentar cantidades arbitrariamente grandes, y facilitaba el clculo matemtico con suanpan (o baco chino). Lafecha de invencin del "suan pan" es incierta, pero los registros escrito ms antiguos que lo mencionan datan del ao190 a.C., en las Notas Suplementarias en el arte de las Figuras, de Xu Yue.

Los nueve captulos sobre el arte matemtico, contiene problemas de agricultura, comercio, geometra e ingeniera,as como trabajos con tringulos rectngulos y aproximaciones al nmero . El matemtico chino Zu Chongzhicalcul el valor de hasta siete decimales.

Aritmtica en la India: el cero y la notacin posicionalLa matemtica hind alcanz su madurez durante los siglos I al VIII, con el invento trascendental de la notacinposicional empleando la cifra cero como valor nulo. Utilizaron, como en Occidente, un sistema de numeracin debase 10 (con diez dgitos). Egipcios, griegos y romanos, aunque utilizaban un sistema decimal, este no eraposicional, ni posea el cero, el cual fue transmitido a occidente mucho ms tarde por los rabes, que le llamabanhesab, a travs de la Espaa e Italia medievales.

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El sistema de numeracin decimal aparece ya en el Sryasiddhanta, pequeo tratado que data probablemente delsiglo VI. Los trabajos matemticos de los hindes se incorporaron en general a las obras astronmicas. Este es elcaso de Aryabhata, nacido hacia 476, y de Brahmagupta, nacido hacia 598. Hacia 1150, Bhaskara escribi un tratadode aritmtica en el que expona el procedimiento del clculo de races cuadradas. Se trata de una teora de lasecuaciones de primer y segundo grado, no en forma geomtrica, como lo hacan los griegos, sino en una forma quese puede llamar algebraica.En el siglo VII, el obispo sirio Severo Sebhokt menciona este mtodo con admiracin, indicando no obstante que elmtodo indio iba ms all de esa descripcin. Las mltiples ventajas prcticas y tericas del sistema de notacinposicional con cero dieron el impulso definitivo a todo el desarrollo ulterior de la matemtica. Los modernosalgoritmos de clculo fueron posibles gracias a la introduccin de los nmeros rabes y la notacin decimalposicional.

Aritmtica rabeLa matemtica hind, con el temprano desarrollo de la notacin posicional y uso del cero, revistieron granimportancia en el progreso matemtico posterior. Esta herencia fue recogida por los rabes, netamente con lostrabajos de al-Jwarizmi y las primeras traducciones de textos griegos al rabe, incluyendo los Elementos de Euclidesrealizada por al-Hajjaj. En la Casa de la sabidura (Bayt al-Hikma, una institucin de investigacin y traduccinestablecida en Bagdad), los cientficos y matemticos tradujeron las obras de Euclides, Diofanto, Menelao,Arqumedes, Ptolomeo, Apolonio entre otros clsicos de la ciencia griega. Uno de los avances ms significativos seda con los trabajos de Abu Yafar Mohamed ibn Musa al-Jwarizmi: el lgebra,[7] que representaba un apartamientorevolucionario del concepto geometricista de los griegos, permitiendo un tratamiento distinto de los "objetos" talescomo los nmeros racionales, los irracionales o las magnitudes geomtricas, y una aplicacin sistemtica de laaritmtica al lgebra.[8] Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji, nacido en 953, es probablemente elprimero en liberar completamente al lgebra de las operaciones geomtricas y remplazarlas por el tipo deoperaciones aritmticas que constituyen el corazn del lgebra actual. al-Samawal (nacido en 1130) fue el primeroen dar al nuevo tpico del lgebra una descripcin precisa, cuando escribi que ella se ocupaba ...de operar sobre lasincgnitas usando todas las herramientas aritmticas, de la misma forma que el aritmtico opera sobre lo conocido.Thabit ibn Qurra (nacido en 836), hizo mltiples contribuciones en los ms diversos campos de la matemtica, enespecial a la teora de nmeros.Tres distintos tipos de sistemas aritmticos se empleaban simultneamente alrededor del siglo X: la aritmtica porconteo con los dedos, con los numerales enteramente escritos en palabras, era el mtodo empleado por la comunidadmercantil; el sexagesimal, con los numerales denotados por letras del alfabeto rabe, provena de la matemticababilnica, y los matemticos del islam lo usaron principalmente para el trabajo astronmico; el tercer sistema fue laaritmtica de los numerales indios y las fracciones con valor posicional decimal.

Alta aritmticaEl trmino aritmtica tambin hace referencia a la teora de nmeros, la cual desarrolla y profundiza las propiedadesde los nmeros (enteros) relacionadas con su primalidad, divisibilidad y las soluciones de ecuaciones en los enteros;en particular, el teorema fundamental de la aritmtica y las funciones aritmticas se desarrollan dentro de estemarco y este es el uso reflejado en A Course in Arithmetic de Jean-Pierre Serre, o el que le da Harold Davenport enfrases como: "aritmtica de primer orden" o "alta aritmtica". La aritmtica modular trata de las congruencias de nmeros enteros; su estudio se inscribe dentro de la teora de

nmeros. La aritmtica binaria y el lgebra de Boole, muy utilizadas en informtica, es el clculo aritmtico efectuado en

un sistema de numeracin binario, y el lgebra resultante. Documentado por Leibniz, en el siglo XVII, en suartculo Explication de l'Arithmtique Binaire.

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La aritmtica ordinal, en teora de conjuntos, describe el clculo aritmtico con las operaciones suma,multiplicacin y potenciacin aplicadas a los nmeros ordinales.

La aritmtica de Peano es el conjunto de axiomas de construccin de los nmeros naturales. Teoremas de incompletitud de Gdel, enunciados por Gdel en 1930, demuestra que ninguna teora matemtica

formal capaz de describir los nmeros naturales y la aritmtica con suficiente expresividad, es a la vez consistentey completa.

El Teorema Fundamental de la AritmticaTambin conocido como teorema de factorizacin nica, afirma que todo entero positivo se puede representar deforma nica como producto de factores primos. Este resultado fue obtenido por Euclides, y presentado originalmentecomo un corolario al llamado Primer Teorema de Euclides