Guía de Geometría y Trigonometría

Ángulos

¿Que representa el Vértice? es el nombre que recibe el punto que marca la unión entre los segmentos que originan un ángulo.

¿Qué es el segmento? Es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados puntos extremos o finales.

¿Qué es un ángulo?  Abertura comprendida entre la intersección de dos líneas que parten de un mismo punto o vértice, y que es medido en grados.

 

- Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.

- El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.

-Una letra minúscula dentro del ángulo, generalmente se emplea una letra del alfabeto griego.

-Tres letras mayúsculas de manera que quede en el medio la letra que está situada en el vértice del ángulo. 

La notación se lee cómo el Ángulo ABC o CBA.

Clasificación de ángulos:

Ángulos Convexos y Concavos

Digamos que se tiene dos partes una interior y una exterior, la interior tiende a ser menor a 180° y mayor a 0° y la exterior mayor a 180° y menor a 360°

Ángulos por su medida:

Ángulo cuya medida está comprendida entre 0 y 90° se dice que es un ángulo Agudo

Ángulo cuya medida está comprendida entre 90° y 180° se dice que es un ángulo Obtuso

Ángulo que contiene un ángulo de 90° se dice que es un ángulo Recto

Ángulo cuya medida es igual 180° se dice que es un ángulo llano o colineal

Ángulo cuya medida es mayor a 180° y menor a 360° se dice que es un ángulo entrante.

Ángulo cuya medida es igual a 360° se dice que es un ángulo perígono o completo.

Los ángulos complementarios son todos aquellos que al sumarse dan como resultado 90°

Los ángulos suplementarios son todos aquellos que al sumarse dan como resultado 180°

Los ángulos consecutivos tienen un lado en común y el mismo vértice.

Los ángulos conjugados son aquellos que sumados nos da un valor de 360°.

Rectas paralelas cortadas por una transversal.

Al cortar cualquier par de rectas paralelas por una transversal se producen ocho ángulos, cuatros ángulos quedan entre las dos paralelas (los ángulos 3, 4, 5 y 6) a estos se les llama ángulos interiores.

El resto queda por fuera de las paralelas y se les nombra ángulos exteriores (los ángulos 1, 2, 7 y 8)

Cuando se toma en cuenta la posición de los ángulos con respecto a la transversal se denominan ángulos alternos internos y ángulos alternos externos.

Para encontrar los ángulos congruentes (son de la misma magnitud) se hace lo siguiente:

Se busca los ángulos que sean opuesto en un mismo vértice, en este caso los ángulos 1 y 4, 3 y 2, 5 y 8, 7 y 6 son congruente por qué son ángulos opuestos.

Ahora que ya sabemos cuáles son congruentes tenemos que encontrar los ángulos alternos internos y alternos externos (los ángulos se encuentran de lado contrario en la transversal)

Para ellos nos enfocamos en aquellos ángulos que sean correspondientes. Para encontrar la correspondencia verificamos que los ángulos estén del mismo lado de la transversal y de su respectiva recta paralela.

El ángulo 1 y 5 está del lado derecho de la transversal y están por así decirlo arriba de su respectiva recta paralela.

Quiere decir que el ángulo 1 y 5 son correspondientes.

Ahora el segundo paso vemos que el ángulo opuesto al 5 es el 8 por lo tanto:

¿1=¿5=¿8

El ángulo 1 y 8 son ángulos alternos externos, porque están por fuera de las rectas paralelas y este de forma contraria.

También se puede concluir que estos ángulos además de ser alternos externos son congruentes.

Medidas de ángulos

El grado Sexagesimal: Sistema de circunferencia que se divide en 360 partes iguales

llamadas grados y se simbolizas con (°) cada una de ellas representan 1

360 .

Una sub-unidad es el minuto que se representa con una comilla (‘), equivale a 1

6 0 de un

grado, 60’ = 1°.

Otra sub-unidad es el segundo, que se simboliza con doble colilla (‘’) y es 1

60de un

minuto; es decir 1’=60’’ .

Estos grados los podemos representar de dos formas:

Grado-minuto-segundos = 36° 20’ 24’’

O con valor decimal = 36.34°

Circular para ángulosEn este sistema se utiliza como unidad de medida el ángulo llamado “radián”. Un radián es el ángulo cuyos lados comprende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Así, si la longitud del arco AC de la siguiente figura es igual a r, entonces ∠ABC = 1 radián.

Ejercicios para Estudio

1.- Determine el ángulo complementario de los siguientes:

1)14° 2°) 65° 3) 34°

Respuestas: solo es una diferencia (una resta) donde a los 180° le restas el ángulo conocido y el resultado será su complementario.

1) 90°= 14° + X

X=90°-14°= 76°

Realice el inciso 2 y 3 y compare resultados: 2) 25° 3)56°

2.- Determine el ángulo suplementario de los siguientes ángulos:

1)45° 2)100° 3)134°

Respuestas: solo es una diferencia (una resta) donde a los 180° le restas el ángulo conocido y el resultado será su suplementario.

1)180°=45+X

X=180°-45°=135° x=180°-100=80° x=180°-134°=46°

Realice el inciso 2 y 3 y compare resultados: 2)80° 3)46°

3.- Determine la congruencia de los ángulos calculando el valor de cada ángulo faltantes y denotando cuales son opuestos, alternos internos y alternos externos.

Podemos ver claramente el ángulo de color verde (<1) cuyo valor es de 45° es opuesto al vértice con el ángulo de color amarillo (<4) por lo tanto son congruentes.

<1=<4

Ya que denotamos la congruencia del ángulo de 45° de color verde (<1), notamos la correspondencia del ángulo amarillo (<4) al estar del mismo lado de la transversal y debajo de su respectiva recta paralela como lo está el ángulo <8.

Podemos demostrar que lo anterior es válido solo sumando el ángulo de color rojo con el valor de 135 ° y el ángulo de color amarillo de 45°, esta suma nos da un resultado de 180° y si verificamos en la figura podemos notarlo claramente.

135°+45° = 180°

También de esta forma podemos sacar los valores faltantes.

Ahora es tu turno, calcula los valores faltantes y denota cuales son opuesto y internos alternos y externos alternos, compara resultados: los ángulos que tienen el valor de 135° son 3, 2 y 6, los ángulos 3 y 6 son internos alternos.

<5 =<8 =<4 por lo tanto <5=<4 y son internos alternos

<7=<6=<2 por lo tanto <7 =<2 y son externos alternos

4.-Calcula el valor decimal de los siguientes grados Sexagesimales:

1) 19° 47’ 23’’ 2)63° 23’ 34’’ 3) 50° 24’ 54’’

Respuestas: Se divide los minutos entre 60 y los segundos entre 3600, se hace la sumatoria para que nos dé el valor en notación decimal.

1) 19 °+ 47 °60°

+ 23 °3600°

=19 ° +.7833°+ .006388= 19.7897°

Realiza el inciso 2 y 3 y compara resultados: 2) 63.3928 ° 3) 50.415°

5.- Calcula los minutos y segundos de los siguientes grados sexagesimales:

1) 23.23° 2)135.76° 3) 123.54°

Por lo tanto:

<1=<4 =<8

Son alternos externos los ángulos

<1 =<8

Respuestas: Se multiplica la parte decimal por 60’, nos dará un numero entero con decimales, el entero serán nuestros minutos y los decimales se vuelven a multiplicar por 60’’ el resultado nos dará aproximadamente el valor de los segundos.

23.23° = .23 x60=13.8 ' => 23° 13’ ---Convertimos ahora los segundos .8 x60=48 ' '

Quedaría: 23° 13’ 48’’

Realiza el inciso 2 y 3 y compara resultados: 2) 135° 45’ 36’’ 3) 123° 32’ 24’’

6.- Realice las siguientes conversiones de radianes a sexagesimal:

1) 3π8rad2)

2π3rad 3)

5π9rad

Respuesta: Multiplica el radian por (180°πrad )

( 3π8 )x ( 180 °

π )=67.5 °

Ahora es tu turno realiza el inciso 2 y 3, compara resultados: 2) 120° 3) 100°

7-. Realiza las siguientes conversiones de grados sexagesimales a radianes:

1)255° 2) 72° 3) 50°

Respuesta: Multiplica el grado por (π

180°rad ) y simplifica la fracción:

(255°) x ( π180 °

rad)=255 π180

=51π36

=17π12

rad

(para simplificar divide tanto el numerador y el denominador por un mismo valor, el primero se divide 255 y 180 entres 5, la segunda reducción se divide entre 3)

Ahora es tu turno realiza el inciso 2 y 3, compara resultados: 2)2π5rad 3)

5π18rad )

Triángulos

Hay 6 tipos principales de triangulo, los que se dividen por sus ángulos y por sus lados.

Características del triángulo equilátero:

Tres lados iguales Tres ángulos iguales a 60°

Características del triángulo isósceles:

Dos lados iguales y uno diferente Dos ángulos iguales

Características del triángulo escaleno:

Todos sus lados diferentes Todos sus ángulos son diferentes

Característica principal de los triángulos acutángulos: Sus ángulos internos son agudos (menores a 90°)

Característica principal de los triángulos rectángulos: Tienen un ángulo Recto (igual a 90°)

Característica principal de los triángulos obtusángulos: Tiene un ángulo obtuso (mayor a 90° y menor a 180°)

Semejanza de TriángulosDos triángulos que tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño. Cuando dos triángulos son semejantes, los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales en medida.

Criterio Lado-Lado-Lado (LLL):

Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Criterio Lado-Ángulo-Lado (LAL)

Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triangulo son congruentes con dos ángulos de un segundo triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

Criterio Ángulo-Ángulo-Ángulo (AAA)

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes don dos ángulos de un segundo triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

Ejemplo criterio LLL:

si tiene el triángulo ABC y sus medidas son 25, 30, 45 y le dan otros triangulo DEF que sus medidas son 5, 6,9¿Cuál es la razón de semejanza? Pues si observamos bien los números del triángulo ABC se pueden dividir entre 5 y al dividirlos te dan las cantidades del triángulo DEF, o si lo hacemos a la inversa si multiplicamos los valores del

triángulo DEF por 5 nos dan como resultado los números del triángulo ABC. Por lo tanto, la razón de semejanza es 1/5 o 5.

Ejemplo: si posicionamos dos triangulos, de la misma forma en la misma orientación podemos visualizar que hay una relación en sus números:

Para sacar la razón proporcional de semejanza, solo debemos hacer algo parecido a tales, cada valor grande lo vamos dividir entre un número del otro triángulo que tiene menor tamaño de acuerdo a su lado correspondiente; En otras palabras, el lado de MO que de valor tiene 40 mm lo puede dividir entre 20 ya que es el mismo lado, pero en triángulo pequeño.

40/20 = 2…. Ahora lo hace con los demás lados…… 60/30= 2 ……..54/27=2…..

Nos da el mismo número en las tres divisiones hay una razón de semejanza ya que la razón proporcional cada lado es 2

Ejemplo criterio AAA:

Solo debe ver que los ángulos tengan los mismos valores.

Tenemos al triángulo DEF y al triángulo ABC si nos enfocamos, ambos tienen los mismos valores en sus respectivos ángulos, entonces sabemos que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° por lo tanto para encontrar el valor faltante:

30+60+ x=180°

Despejamos x, que representa el valor del ángulo faltante:

X=180-30-60

X=90°

Comprobamos sustituyendo a x

30+60+90= 180

En este criterio no importa tanto en qué lugar estén situados los ángulos, pudieron estar cambiados de lugar, pero al hacer la operación hubiera notado que el resultado es el mismo.

Caso en el criterio LAL

En este criterio se juntan los dos anteriores, pero no en su totalidad solo están pidiendo que haya una razón de proporción en solamente dos lados y un ángulo del mismo valor.

Teorema PitagorasNos dicta que la sumatoria de los valores de los catetos elevados al cuadrado, es igual al valor de la hipotenusa elevada al cuadrado.

c2=a2+b2

Hipotenusa (c): Es el lado (Diagonal) opuesto al ángulo recto.

Cateto Opuesto (b): Es el lado del triángulo que esta opuesto al ángulo de referencia.

Cateto adyacente (a): Es el lado del triángulo que está adyacente al ángulo de referencia

Para calcular los valores de los otros catetos cuando se sabe le valor de hipotenusa solo se despeja ese cateto:

a2=b2−c2

b2=a2−c2

1.- Calcule la razón de proporcionalidad de los siguientes triangulos y especifique a que criterio pertenecen, compare resultados: 1) la razón 2 y criterio LLL 2) la razón 2 y el ángulo es el mismo cirterio LAL, 3) Pertenece al criterio AA

2.- Dado el valor de los catetos calcule la hipotenusa

La ecuación está dada de la siguiente forma, pero queremos saber el valor del cateto b:

c2=a2+b2

Solo tenemos que despejar la variable que deseamos:

Por lo tanto el cateto a2es positiva, pasa del otro lado negativa.

b2=c2−a2

Ahora necesitamos quitar el cuadrado de b, aplicando raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación:

√b2=√c2−a2

(b2 )12=√c2−a2

Por lo tanto, mi ecuación queda de la siguiente forma:

b=√c2−a2

Ahora solo sustituimos valores:

b=√532−452=√2809−2025=√784=28

,

Sabemos que el valor del cateto b = 28 podemos comprobar sustituyendo todos los valores en la ecuación original y realizar las operaciones:

c2=a2+b2

532=452+282

2809=2025+784

2809=2809

Si nos fijamos cumple con la igualación por lo tanto el resultado es correcto.

2.- Determina el valor del siguiente cateto y compara tu resultado: R= 60 cm

Poligonos

Los cuadriláteros figuras planas limitadas por cuatro rectas que se cortan dos a dos formando vértices. Tienen cuatro lados, cuatros ángulos interiores y cuatro exteriores. Se llaman paralelogramos cuándo cuando tiene dos pares de rectas paralelas que los forman

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

Trapecios cuando tiene un solo par de paralelas y sus lados no paralelos son oblicuos Rectos Isósceles Escalenos

Por último, se les llaman Trapezoides cuando carecen de rectas paralelas. El cuadrilátero tiene ciertas propiedades las cuales nos ayudan para los cálculos de su ángulos interiores y exteriores.

Los poligonos regulares Son todos los polígonos cuyos lados y ángulos son iguales, por ejemplo, el cuadrado entra dentro de los cuadriláteros, pero también dentro de los polígonos regulares.En cambio, el trapecio forma parte del grupo de cuadriláteros, pero no son polígonos regulares.

Polígonos Regulares

Áreas y Perímetros de poligonos regulares e irregulares

El perímetro se define como el contorno de una figura, para calcularlo se suma la longitud de cada uno de los lados que la forman; sus unidades de medición son lineales.

El área es a la cantidad de unidades cuadráticas que abarca una superficie, las unidades de medición son cuadradas, 𝑐𝑚2, 𝑚2 etcétera.

Para calcular el perímetro de una figura es necesario conocer la longitud de todos sus lados, mientras que para calcular el área se requieren sólo dos dimensiones (largo y ancho).

1.- Determine el área y perímetro de las siguientes figuras y compare resultados:

Respuestas : 1) A=81 cm2 P=36 cm 2) A= 42 cm2 P=34 cm 3) A= 12 cm2 P= 16 cm

1) 2) 3)

Determine el área de las siguientes figuras con un dato faltante:

El área se obtiene aplicando la formula directa.

A=Dd2

=8cm (4cm)2

=16cm2

Aquí el inconveniente es el perímetro ya que es multiplicar por 4 solo un lado del rombo, pero no tiene le valor ese lado, para esto se realiza lo siguiente:

EL perímetro es igual 𝑷=𝟒a Cuando no se conoce la longitud de los lados, debemos calcular con el teorema de Pitágoras. En este caso solo tenemos el valor de las diagonales, pero sabemos

que el rombo, sus diagonales se bisecan, por lo tanto, un cateto sería D2 y el otro cateto sería

d2

Al dividir las digonales entre dos, nos arroja la medida de cada línea y asi podremos sacar la hipotenusa del triángulo rectangulo.

D2

=82=4 cm=b

d2=4

2=2cm=a

a= hipotenusa = C

c2=a2+b2

c2=(2cm )2+(4 cm )2

c=√4cm2+16cm2

c=4.47 cm

Ya conocemos el lado “L” del perpimetro, por lo tanto podemos sacar el perimetro del rombo

P=4 ( 4.47 cm )=17.88 cm

Realiza el siguiente ejercicio y compara resultados:

Para calcular el perímetro se necesita saber la longitud de todos sus lados, pero solo se conocen las bases y la altura.Al trazar las alturas de G y H, se generan triángulos rectángulos congruentes, catetos de 4 cm y 3 cm; nos damos cuenta que podemos sacar el valor de la hipotenusa, usando el teorema de Pitágoras.

32+42=h2

9+16=h2

h=√25=5h=lado del trapecio, NO es la altura del trapecio

Perímetro:P=B+b+2 I

P=12+6+(2 x5)P=28 cm

Área

A=h (B+b)

2

A=4(12+6)

2=36 cm2

Los vidrios de un ventana tienen forma de trapecio rectangular, mide 60 m de ancho, sus bases tienen 1.3 m y 90 cm ¿Cuál es el área que ocupa la ventana si se forma por dos vidrios?Compara resultados: A=.66m2 At= 1.32 m2