Fecha de vigencia:Marzo 2020

GUÍA N° 2 MATEMÁTICAS 1° MEDIO

Nombre: _______________________________________ Curso: __________ Fecha: ___________

Asignatura: ______________________________________________________________________Profesor(a):______________________________________________________________________

OBJETIVOS:1)Comprender los números racionales y su desarrollo.2)Explicar los algoritmos usuales para las operaciones básicas con fracciones y decimales.3) Aplicar las técnicas sugeridas para el cálculo mental y/o escrito.

INSTRUCCIONES:

- Leer el contenido antes de responder.

- Cada pregunta, problema o ejercicio tiene un puntaje de 1 pto.

- Enviar la evaluación desarrollada dentro del plazo establecido.

- Te puedes ayudar del texto escolar oficial del estudiante de primero medio, desde la página 16 a la 25.

FECHA DE ENTREGA: 30/04/2020

ENVIAR AL CORREO: carolinaangulo@comeduc.cl

IMPORTANTE: La guía consta de 2 partes que son: Fracciones y Decimales finitos. Se realizará en todo el mes de abril, pensando en la semaana del 6 al 9 realizar la primera parte y del 27 al 30 la segunda.

MATERIAL DE APOYOGUÍA N°2: “NÚMEROS RACIONALES”

PARTE I: “FRACCIONES”Breve repaso de los conjuntos numéricos

Cada conjunto numérico nuevo contiene los números del anterior.

En el transcurso de la historia, los números surgieron naturalmente para contar y,

a la vez, para ordenar. Por este motivo, el primer conjunto de números que

aparece es el de los números naturales. Es razonable comenzar cualquier estudio

de los números con ellos, porque los números naturales están en la base de todos

los otros conjuntos. Sin embargo, con el tiempo aparecieron nuevos usos para los

números y, con los usos, nuevos números.

Con los enteros también se pueden hacer divisiones, siempre que se acepte que las

divisiones pueden tener resto. Dado un número natural fijo n, si se divide un

entero cualquiera por él, el resto será un número entero entre 0 y n−1. Sin

embargo, los números enteros no permiten divisiones si no se está dispuesto a

tener resto. Si trabajamos en geometría, incluso si se adoptan unidades de medida

tales que las cantidades a medir sean enteras, poco se podrá hacer si no se utilizan

fracciones, es decir sin introducir los números racionales.

Pero pronto se ve que si se quiere medir distancias, tampoco alcanza con números

racionales. Por el Teorema de Pitágoras, la diagonal de un cuadrado cuyo lado

mide 1 metro, mide √2 metros. Y este número no es racional. Hacen falta entonces

los números reales.

Y, a veces, tampoco alcanza con los enteros, los racionales o los reales. Por

ejemplo, la ecuación x2+1=0 no tiene solución en los números reales, pues no

existen las raíces de números negativos. Los números complejos se introdujeron,

precisamente, para resolver este tipo de ecuaciones, aunque fueron mirados con

mucha desconfianza durante tres siglos. Hizo falta que matemáticos de la talla de

Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss los usaran para que la comunidad

científica dejara de lado los prejuicios. Hoy en día, no sólo se usan para resolver

este tipo de ecuaciones. Las ecuaciones de James Clerk Maxwell, por ejemplo,

que explican los campos electromagnéticos, precisan de los números complejos.

Los conjuntos de números que se usan hoy en día no se reducen a los que

presentamos aquí: naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Dependiendo

del problema que se intente resolver, se utilizan muchos otros. Como ejemplo,

basta mencionar a los Cuaterniones (introducidos en 1843, que se utilizan para

describir movimientos del espacio, como rotaciones, traslaciones u homotecias) y

a los Surreales (introducidos en 1974, que se utilizan en teoría de juegos). No

obstante, estos conjuntos se usan en medida mucho menor, y los que se presentan

bastan para la gran mayoría de las aplicaciones.

1. En una palabra, indica para qué se construyeron los siguientes conjuntos:

Naturales:________________________ Cardinales:_____________________________

Enteros:__________________________ Racionales:_____________________________

2. Indica algunos ejemplos en los que uses los números:

Cardinales:______________________________________________________________________________________________________________________________________

Enteros:_________________________________________________________________________________________________________________________________________

Racionales:________________________________________________________

__________________________________________________________________

____________

Números Racionales

Así como los Enteros resultaron de agregar los “inversos aditivos” de cada

número natural, los números Racionales resultan de agregar los “inversos

multiplicativos” de cada número entero.

La palabra Fracción viene del latín “Fractio”, que significa romper o quebrar. Las

fracciones representan números no enteros, como 0,5 o 9,91 y se utilizan para

pesaje (un cuarto de kilo de Jamón), en volúmenes (2 litros y medio), y en

general, al establecer porciones (la mitad de un pastel).

Las fracciones son 2 números enteros relacionados por una división. Tienen la

forma ab , donde a y b son números enteros, pero b no puede ser cero. Al

número a (el de arriba) se le llama Numerador y al número b (el de abajo) se le

llama Denominador.

Las fracciones tienen múltiples identidades

Con el concepto de Mitad, podemos ver que se tienen varias formas de escribir el

mismo número: 1 es la mitad de 2, 2 es la mitad de 4, 3 es la mitad de 6, 4 es la

mitad de ocho, etc. Entonces: 12=2

4=3

6=4

8 . E incluso:

12=1 ∙1

1 ∙2, 2

4=2∙1

2∙2, 3

6=3∙ 1

3∙ 2, 4

8=4 ∙1

4 ∙2.

El proceso de multiplicar una fracción el

numerador y el denominador por el mismo

número, se llama AMPLIFICACIÓN, y el

proceso de dividir ambos por el mismo

número, se llama SIMPLIFICACIÓN. Esto se

indica en la siguiente afirmación:

“Sea cual sea la fracción ab , podemos obtener una fracción equivalente a ∙ k

b ∙ k

o incluso a :kb :k , donde k es un número entero no nulo”.

1. ¿Por qué se dice que las fracciones tienen múltiples identidades?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

____________

2. Indica 6 fracciones equivalentes (o distintas identidades) a la fracción 54 .

¿Qué hacer para sumar fracciones?

El concepto de mitad se aprende antes que su relación con el número 12. En ciertos

casos, sirve la analogía de que dos mitades forman un entero, deduciendo que:

12+ 1

2=1, pero cuando se lleva a la práctica, no mucha gente estaría dispuesta a

aceptar dos mitades de celular por uno entero…

Para aprender a sumar y/o restar fracciones, se puede deducir un método general.

Dado que muchas fracciones distintas pueden representar la misma cantidad, para

sumar o restar fracciones, se les puede dejar con el mismo nombre (o

denominador). Por ejemplo:

12+ 1

3=3

6+ 2

6=5

6

Tres sextos sumados con dos sextos, nos da en total cinco sextos.

Así como 3 lápices más 2 lápices es igual a 5 lápices, o 3 panes junto a 2 panes son 5 panes.

Nótese que 36+ 2

6=3 ∙1

3 ∙2+ 2 ∙1

2∙ 3 (aparecen las fracciones originales). En general, para

sumar (o restar) dos fracciones se resuelve el siguiente algoritmo (procedimiento):

ab+ c

d=a ∙d+b ∙ c

b∙ d

Se multiplican las diagonales y se suman o restan, para luego dividirlas por la multiplicación de los denominadores. Esto también se conoce como el método de la cara feliz o de la mariposa.

Actividad (Cálculo Escrito): realice las siguientes sumas o restas.

12+ 1

4=¿ 1

2+ 3

4=¿ 1

2−1

3=¿

13+ 1

4=¿ 2

3+ 3

4=¿ 2

3−1

4=¿

15+ 1

2=¿ 2

5+ 1

4=¿ 4

5−3

4=¿

16+ 5

7=¿ 5

6+ 7

8=¿ 7

8−5

6=¿

49+ 2

3=¿ 5

9+ 3

4=¿ 8

9−5

6=¿

1310

+ 12=¿ 17

10+ 5

3=¿ 12

11−8

9=¿

2711

−34=¿ 30

13+ 5

9=¿ 51

17−30

15=¿

125

− 512

=¿ 1013

+ 1310

=¿ 3013

−1330

=¿

¿Cómo se multiplican y dividen las fracciones?

La multiplicación de fracciones pierde sentido como suma iterada (ejemplo: un

cuarto de vez), aunque si se puede aplicar para casos como 3 veces 2 quintos.

3 ∙ 25=2

5+ 2

5+ 2

5=2+2+2

5=6

5=3 ∙2

5

En el caso de multiplicar fracciones, se dan casos como por ejemplo:

Lo anterior coincide con que: 13

∙ 12=1

6=1 ∙1

3 ∙2 .

ab

∙ cd=a ∙ c

b ∙ d

En general, para multiplicar fracciones se multiplica numerador con numerador y

denominador con denominador.

En cuanto la división, esta pierde sentido como una repartición (repartir 3 dulces

en 2 personas y media) y como resta iterada. Pero, si se pueden interpretar como:

¿Cuántos cuartos caben en un medio? 12

: 14=2=4

2=1 ∙4

2∙1

¿Cuántas veces caben dos tercios en 2 enteros? 2 : 23=3=6

2=2∙ 3

1∙ 2

Lo anterior coincide con que se invierte la segunda fracción.

ab

: cd=a : c

b :d=a ∙d

b ∙ c

Para dividir fracciones:

- Se invierte la segunda fracción y se multiplican

- Se multiplica el numerador de la primera con el denominador de la segunda, y el resultado

se divide por el producto del denominador de la primera con el numerador de la segunda.

- Se divide el producto de las diagonales.

**Se recomienda ver si es que se puede simplificar, para facilitar el cálculo.

Actividad (Cálculo Escrito): realice las siguientes multiplicaciones o divisiones

12

∙ 14=¿ 1

2: 3

4=¿ 1

2∙ 13=¿

13

∙ 14=¿ 2

3: 3

4=¿ 2

3: 1

4=¿

15

∙ 12=¿ 2

5: 1

4=¿ 4

5∙ 3

4=¿

16

∙ 57=¿ 5

6∙ 7

8=¿ 7

8: 56=¿

49

∙ 23=¿ 5

9: 34=¿ 8

9∙ 56=¿

1310

∙ 12=¿ 17

10: 53=¿ 12

11:−8

9=¿

2711

∙ 34=¿ 30

13: 59=¿ 51

17∙ 3015

=¿

−125

∙ 512

=¿ 1013

: 1013

=¿ 3013

: 1330

=¿

125

∙ 512

=¿ 125

: 512

=¿ −155

∙−510

=¿

PARTE II: NÚMEROS DECIMALES

Números decimales y su operatoria

Los números decimales son otra forma de representar números no enteros. A

diferencia de las fracciones, los números decimales nos brindan mayor exactitud a

la hora de pensar en el valor de cierto número. Por ejemplo, no es tan evidente que 72 es un número cuyo valor está entre 3 y 4, pero si decimos 7

2=3,5 lo anterior

queda a la vista.

Se tiene la siguiente secuencia:Unidad de

Mil

Centena Decena Unidad Décima Centésima Milésima

Equivale a 10

Centenas

Equivale a 10

Decenas

Equivale a 10

Unidades

-- La unidad

dividida en

10 partes

La unidad

dividida en

100 partes

La unidad

dividida en

1.000 partes

1.0001

1001

101

11

110

1100

11.000

1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Adición y Sustracción de Números Decimales

Se presentan dos métodos, análogos tanto para la suma como para la resta:

Método tradicional Por descomposición

Se alinean los números por la coma y se procede Se suman por separado las unidades con las

sumando el dígito de arriba con el de abajo.

Cuidado con las reservas.

unidades, décimas con décimas, centésimas con

centésimas y así sucesivamente.

Actividad (Cálculo Escrito): realice las siguientes operaciones con decimales:

0,2+0,3=¿ 0,5−0,2=¿ −0,2+0,3=¿

0,4+0,7=¿ 0,9−0,2=¿ −0,5+(−0,6)=¿

1,3+0,9=¿ 0.8−0,5=¿ 4,7−(−1,31)=¿

2,7+1,3=¿ 2,8−1,3=¿ 5,5−4,38=¿

5,6+2,5=¿ 4,9−3,8=¿ −8,92−(−7,17)=¿

8,39+2,5=¿ 7,19−5,04=¿ 12,08+(−6 )=¿

10,2+0,31=¿ 9,4−6,65=¿ −14,14+(−11,34 )=¿

11,45+0,09=¿ 10,7−9,79=¿ −30,88+27,39=¿

16,37+3,63=¿ 26,78−18,87=¿ 26,26−(−32,74 )=¿

27,245+3,8653=¿ 45,273−45,009=¿ −48,543−17,762=¿

50,8752+34,8989=¿ 67,067−58,327=¿ 3,27+6,54−5,97=¿

103,4057+86,00207=¿ 147,1006−38,0502=¿ 6,071+4,5017−3,9072=¿

Multiplicación y división de decimales

La multiplicación de decimales tiene como única dificultad las cifras decimales.

Tiene algunos métodos como los siguientes:

Enteros y comas Pasando a fracción

Se multiplica como si fueran enteros y luego se

mueve la coma tantos lugares hacia la izquierda

como cifras decimales tenían en conjunto los

números iniciales.

Cada decimal se escribe como fracción (lo más

fácil es hacerlo con fracciones decimales)

1,6 ∙ 0,4 -> dos cifras decimales

¿16 ∙ 4 ∙ 0,01

¿64 ∙ 0,01

¿0,64

1,6 ∙ 0,4

¿ 1610

∙ 410

¿ 64100

¿0,64

4,05 ∙5,2 -> tres cifras decimales

¿405 ∙ 52∙ 0,001

¿21.060 ∙ 0,001

¿21,06

4,05 ∙ 5,2

¿ 405100

∙ 5210

¿ 21.0601.000

¿21,06

Respecto de la división, tiene la gran ventaja que se puede trabajar como si fuera

una división clásica de enteros. Por ejemplo: 0,64 se puede entender como 64

centesimales y 0,08 como 8 centesimales. 0,64 :0,08 se puede entender como

¿cuántas veces caben 8 centesimales en 64?, pregunta que nos permite calcular

con números enteros.

0,64 :0,08=0,640,08

=6,40,8

=648

=8

1,25 :0,5=1,250,5

=12,55

=12550

=2,5

8,125 :2,5=8,1252,5

=8.1252.500

=3,25

Actividad (Cálculo Escrito): realice las siguientes operaciones con decimales:

5 ∙ 0,1=¿ 0,8 :0,2=¿ −0,9 ∙ 0,9=¿

0,4 ∙2=¿ 0,9 :0,3=¿ 0,32 :(−0,8)=¿

0,9 ∙3=¿ 1,2 :0,4=¿ 0,7 ∙(−0,02)=¿

0,7 ∙ 0,1=¿ 2,8 :1,4=¿ 5,4 :0,9=¿

1,2 ∙0,5=¿ 4,8 :0,8=¿ −2,1 ∙(−3,2)=¿

4,6 ∙ 0,5=¿ 1,2 :0,8=¿ 9 : (−1,8 )=¿

1,3 ∙1,3=¿ 3,5 :1,4=¿ −12,45 ∙(−0,4)=¿

2,4 ∙1,6=¿ 8 :2,5=¿ −3 :1,2=¿

3,8 ∙2,1=¿ 21,08 :6,2=¿ 26,26 ∙(−32,74)=¿

4,6 ∙2,3=¿ 38,7 :8,6=¿ −6,4 :2,4=¿

7,7 ∙ 3,1=¿ 5,05 :2,6=¿ 50,01∙ 0,03=¿

12,1 ∙0,201=¿ 20,808 :3,4=¿ 43,06 : 0,02=¿