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Construcción de los Sistemas Numéricos:

NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALESPara futuros Profesores de Matemática que egresan de la Universidad

San Sebastián.

Autor:Profesor: Jorge Wevar Negrier

2 Políticas para el desarrollo universitario:

principios y evidencias

Los Documentos de Trabajo son una publicación del Centro de Investigación en Educación Superior (CIES) de la Universidad San Sebastián que divulgan los trabajos de investigación en docencia y en políticas públicas realizados por académicos y profesionales de la universidad o solicitados a terceros.

El objetivo de la serie es contribuir al debate de temáticas relevantes de las políticas públicas de educación superior y de nuevos enfoques en el análisis de estrategias, innovaciones y resultados en la docencia universitaria. La difusión de estos documentos contribuye a la divulgación de las investigaciones y al intercambio de ideas de carácter preliminar para discusión y debate académico.

En caso de citar esta obra:

Webar, J. (2017). Construcción de los Sistemas Numéricos:Naturales, Enteros, Racionales y Reales. Serie Creación n° 17. Facultad de Ciencias de la Educación. Centro de Investigación en Educación Superior CIES - USS; Santiago.

Serie CreaCión nº 17

Construcción de los Sistemas Numéricos:

Naturales, Enteros, Racionales y Reales

PEMM,USS JorgeWevarNegrier

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Construcción de los naturales Definición. Sea𝑋conjunto,sedefineydenotaelsucesorde𝑋alconjunto𝑋" = 𝑋 ∪ 𝑋 .Definición. Sedenotaydefinecomoelcero“0”alconjuntovacío∅,esdecir,0 = ∅.Axiomadelinfinito

Existeunconjuntoquecontieneel0yelsucesordetodosycadaunodesuselementos.

∃𝑊,0 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ⇒ 𝑥" ∈ 𝑊 Notas.

ElconjuntoWsellamaconjuntosucesor.Así,elaxiomadelinfinitonosdiceque,existeunconjuntosucesor.Esteeseltipodeaxiomanecesarioparaintroducirlosnaturales.

Teorema1.

Sea 𝑋. .∈/unafamiliadeconjuntossucesoresde𝐴.

Entonces 𝑋..∈/ esunconjuntosucesor.

Demostración.Sea𝑊 = 𝑋..∈/ ,donde 𝑋. .∈/

esunafamiliadeconjuntossucesoresde𝐴.Entoncesdebemosprobarque𝑊esconjuntosucesor,esdecir,queverifica:

i) 0 ∈ 𝑊ii) Si𝑥 ∈ 𝑊,entonces𝑥" ∈ 𝑊.

Enefecto:

i) Como𝑋. esconjuntosucesor∀𝑗 ∈ 𝐽,entonces0 ∈ 𝑋., ∀𝑗 ∈ 𝐽,luego0 ∈𝑋..∈/ ,esdecir,0 ∈ 𝑊.

ii) Porotrolado,si𝑥 ∈ 𝑊 ⟺ 𝑥 ∈ 𝑋..∈/ ⟺ 𝑥 ∈ 𝑋., ∀𝑗 ∈ 𝐽 ⟹ 𝑥" ∈ 𝑋., ∀𝑗 ∈ 𝐽,(yaque𝑋. esconjuntosucesor∀𝑗 ∈ 𝐽)⟺ 𝑥" ∈ 𝑋..∈/ ⟺ 𝑥" ∈ 𝑊.

Definición.Sea∁unacoleccióndetodoslossubconjuntosde𝐴quesonconjuntossucesores,

esdecir,∁= 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∶ 𝑋𝑒𝑠𝑢𝑛𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜𝑟 ,sedefineelconjuntode“númerosnaturales”como𝜔 = 𝑋C∈∁


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Observación.

Porelteoremaanterior,elconjunto𝜔 = 𝑋C∈∁ esunconjuntosucesor.Teorema2.

Si𝑊esconjuntosucesor,entonces𝜔 ⊂ 𝑊.Esdecir𝜔esminimal.Demostración.

Sea𝑊unconjuntosucesorarbitrario,entonces𝑊 ∩ 𝐴estambiénconjuntosucesorycomo𝑊 ∩ 𝐴 ⊂ 𝐴,entonces𝑊 ∩ 𝐴esotrodelosconjuntossucesoresdelacolección∁quecontienealconjuntodenúmerosnaturales𝜔 = 𝑋C∈∁ ,luego𝜔 ⊂ 𝑊 ∩ 𝐴yporlotanto,𝜔 ⊂ 𝑊.

Loanteriorpruebalapropiedadminimalquecaracterizaalosnaturales.Teorema3.

Elconjunto𝜔 = 𝑋C∈∁ esúnico(nodependedeA)Demostración.

Supongamosqueexisteotro,𝜔.Como𝜔esminimal,𝜔 ⊂ 𝜔yelotro𝜔tambiénesminimal,porlotanto𝜔 ⊂ 𝜔,por

elaxiomadeextensión,𝜔 = 𝜔.Luego𝜔esúnico.Observación. Como0 = ∅

1 = 0" = 0 ∪ 0 = 0

2 = 1" = 1 ∪ 1 = 0 ∪ 1 = 0, 1

3 = 2" = 2 ∪ 2 = 0, 1 ∪ 2 = 0, 1, 2

4 = 3" = 3 ∪ 3 = 0, 1, 2 ∪ 3 = 0, 1, 2, 3

⋮

Sehademostradoqueelconjuntodelosnúmerosnaturales𝜔eselúnicoconjuntodesucesoresqueessubconjuntodecualquierconjuntodesucesores.

Porelaxiomadelinfinito,concluimosdeinmediatopartedelsiguienteteorema.

Teorema4.

a. 0 ∈ 𝜔b. 𝑛 ∈ 𝜔 ⇒ 𝑛" ∈ 𝜔c. ~ ∃𝑛 ∈ 𝜔,𝑛" = 0 d. 𝑆 ⊂ 𝜔,0 ∈ 𝑆, 𝑛 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑛" ∈ 𝑆 ⟹ 𝑆 = 𝜔


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e. 𝑥 ∈ 𝑛 ⇒ 𝑥 ⊂ 𝑛, ∀𝑛 ∈ 𝜔f. ∀𝑛,𝑚 ∈ 𝜔 ⟹ 𝑛" = 𝑚" ⇒ 𝑛 = 𝑚

Demostración.

a. Inmediatoporaxiomadelinfinito.b. Inmediatotambiénporelaxiomadelinfinito.c. Supongamoslocontrario,esdecir,queseverificalanegacióndelaproposición.

Así,∃𝑛 ∈ 𝜔,𝑛" = 0,esdecir,n ∪ 𝑛 = ∅,locualescontradictorio.d. Delasegundaytercerapartedelantecedenteohipótesis,esdecir,de0 ∈ 𝑆yde

𝑛 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑛" ∈ 𝑆 ,porelaxiomadelinfinito,seconcluyeque𝑆esconjuntosucesoryporlapropiedadminimal,𝜔 ⊂ 𝑆.Como𝑆 ⊂ 𝜔,porlaprimerapartedelahipótesis,usandoelaxiomadeextensiónconcluimosque𝑆 = 𝜔.

e. Sea𝑆 = 𝑛 ∈ 𝜔 ∶ 𝑥 ∈ 𝑛 ⇒ 𝑥 ⊂ 𝑛 ,verifiquemosprimerolastreshipótesisdelteorema4.d.:

o) 𝑆 ⊂ 𝜔.i) 0 ∈ 𝑆.Enefecto,𝑥 ∈ 0 ⇒ 𝑥 ⊂ 0eslógicamenteverdadera.ii) Si𝑛 ∈ 𝑆,entonces𝑥 ∈ 𝑛 ⇒ 𝑥 ⊂ 𝑛.(h)

“debemosprobarque𝑥 ∈ 𝑛" ⇒ 𝑥 ⊂ 𝑛"“Si𝑥 ∈ 𝑛" ⟺ 𝑥 ∈ 𝑛 ∪ 𝑛 ,entonces𝑥 ∈ 𝑛 ∨ 𝑥 ∈ 𝑛 Si𝑥 ∈ 𝑛 ⇒(Q) 𝑥 ⊂ 𝑛yporlotanto𝑥 ⊂ 𝑛 ⊂ 𝑛 ∪ 𝑛 = 𝑛" Ysi𝑥 ∈ 𝑛 ⇒ 𝑥 = 𝑛yporlotanto𝑥 = 𝑛 ⊂ 𝑛 ∪ 𝑛 = 𝑛"Porlotantohemosprobadoque𝑛" ∈ 𝑆.

Deo),i)yii),aplicandoahoraelteorema4.d.,seconcluyeque𝑆 = 𝜔.Loanteriorequivaleadecirque,𝑥 ∈ 𝑛 ⇒ 𝑥 ⊂ 𝑛esválidaoverdadera∀𝑛 ∈ 𝜔.

f. ∀𝑛,𝑚 ∈ 𝜔,supongamosque𝑛" = 𝑚",entonces,

i) Si𝑛 ∈ 𝑛" = 𝑛 ∪ 𝑛 ⟹ 𝑛 ∈ 𝑚" = 𝑚 ∪ 𝑚 .Luego𝑛 ∈ 𝑚 ∨ 𝑛 = 𝑚.Aplicandoelteorema4.e.,tenemosque𝑛 ⊂ 𝑚 ∨ 𝑛 = 𝑚.

ii) Análogamente,si𝑚 ∈ 𝑚" = 𝑚 ∪ 𝑚 ,setieneque𝑚 ⊂ 𝑛 ∨ 𝑚 = 𝑛.Dei,yii.,porelaxiomadeextensión,seconcluyeque𝑛 = 𝑚.

Observaciones.

Elteorema4,partea.,b.,c.,f.yd.,constituyeelconocido“SistemadeAxiomáticodePeano”,yqueaquíhemosdemostrado.

Elteorema4.d.,sedenominaPrincipiodeInducciónMatemáticao5ºAxiomadePeano.

Lademostracióndelteorema4.e.,fuerealizadausandoelteorema4.d.,conocidapopularmentecomo“demostraciónporinducción”(sobren).

Estademostraciónconsisteen:o) Definirunsubconjunto𝑆denúmeronaturalesqueverificalapropiedadque

sedeseaprobar,porlotantoseverificadelapartidaque𝑆 ⊂ 𝜔.


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i) Posteriormentesedebeprobarque0 ∈ 𝑆,loqueequivaleaverificarquelapropiedadseverificapara𝑛 = 0.

ii) Finalmentesuponerquesi𝑛 ∈ 𝑆,entonces𝑛" ∈ 𝑆.Alsuponerque𝑛 ∈ 𝑆,equivaleasuponerlaveracidaddelaproposiciónpara𝑛,estasuposiciónsedenomina“hipótesisdeinducción”yconellosedebeprobarqueelsucesorde𝑛,tambiénlaverifica,esdecir,que𝑛" ∈ 𝑆.

Delostrespasosanterioresaplicandoelteorema4.d.,esdecir,elprincipiodeinducciónmatemática,seconcluyequeelconjunto𝑆eselconjuntodenúmerosnaturales,esdecir,que𝑆 = 𝜔.Loanteriorequivaleaprobarlaveracidaddelaproposiciónparatodoslosnúmerosnaturales.

Observaciones.

Ningún𝑛 ∈ 𝜔,essubconjuntodeunodesuselementos.Todoelementodeun𝑛 ∈ 𝜔,essubconjuntode𝑛,(teorema4.e.)Hemosdefinidoelconjunto𝜔,comoelconjuntodelosnúmerosnaturaleso

simplemente“naturales”.Así,0 ∈ 𝜔,1 ∈ 𝜔,2 ∈ 𝜔,…𝜔 = 0, 1, 2, … .Ustedsabeoconocequeelconjuntoℕ = 1, 2, 3, … ,eselconjuntodelosnúmeros

naturales.Aceptemosque𝜔 = ℕ ∪ 0 ,estambiénelconjuntodelosnúmerosnaturalesyqueℕ = 𝜔 ∖ 0 ,eselconjuntodelosnúmerosnaturales.Esdecir,tenemosdosobjetosdistintosconunmismonombre.Porlotantoelconjuntodelosnúmerosnaturaleses𝜔 ∨ ℕ.Así,loqueustednodebeaceptar,esquealguienafirme,que”esfalsoque0,seaunnúmeronatural”,ytampocolaafirmación,”esfalsoque0,noseaunnúmeronatural”.

Teorema5.

a. 𝑛 ≠ 𝑛",∀𝑛 ∈ 𝜔b. 𝑛 ∉ 𝑛,∀𝑛 ∈ 𝜔c. ∀𝑚 ∈ 𝜔\ 0 = ℕ ⟹ ∃𝑛 ∈ 𝜔 ∶ 𝑚 = 𝑛" d. 𝑛 ∈ 𝜔 ⟹ 𝑛 ⊂ 𝜔e. 𝑥 ∈ 𝑛 ⟹ 𝑥 ∈ 𝜔,∀𝑛 ∈ 𝜔f. Si𝑓 = 𝑛, 𝑛" ∈ 𝜔Z ∶ 𝑛 ∈ 𝜔 ,entonces𝑓:𝜔 ⟶ 𝜔\ 0 esbiyectiva.

Demostración.a. Usemoselprincipiodeinducciónmatemática:

Sea𝑆 = 𝑛 ∈ 𝜔 ∶ 𝑛 ≠ 𝑛" o) Claramente𝑆 ⊂ 𝜔i) 0 ∈ 𝑆,enefecto0 ≠ 0",yaque0" = 0 ∪ 0 = 0 y 0 ≠ 0.ii)Si𝑛 ∈ 𝑆,entonces𝑛 ≠ 𝑛",aplicandoaestadesigualdadelcontrarecíprocodelteorema4.f.,seobtieneque𝑛" ≠ 𝑛" ",porlotanto𝑛" ∈ 𝑆Deo),i)yii)porelteorema4.d.(principiodeinducciónmatemática)𝑆 = 𝜔.Porlotanto,𝑛 ≠ 𝑛",∀𝑛 ∈ 𝜔.

b. Sino:∃𝑛 ∈ 𝜔,𝑛 ∈ 𝑛,entonces 𝑛 ⊂ 𝑛,luego𝑛 ∪ 𝑛 = 𝑛.


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Loanteriorimplicaque𝑛" = 𝑛 ∪ 𝑛 = 𝑛,esdecir,𝑛 = 𝑛"loqueescontradictorioporelteoremaanterior.Luego𝑛 ∉ 𝑛,∀𝑛 ∈ 𝜔.

Indicacionesparalasdemostracionesdec.,d.ye.

c. Utiliceelprincipiodeinducciónmatemáticasobre“𝑚”,considerando:𝑆 = 𝑚 ∈ 𝜔 ∶ 𝑛 = 0⋁ ∃𝑛 ∈ 𝜔,𝑚 = 𝑛"

d. Utiliceelprincipiodeinducciónmatemáticasobre“𝑛”,considerando:𝑆 = 𝑛 ∈ 𝜔 ∶ 𝑛 ⊂ 𝜔

e. Useelteorema5.d..f. Estademostraciónsedejacomoundesafíoopcional.

Observaciones

LaaxiomáticadePeano(expresadaporelmatemáticoitalianoGiuseppePeano1852-1932)enlabibliografíatradicionalescomúnencontrarlaexpuestacomo:AxiomasdePeano

(1) 0 ∈ 𝜔(2) 𝑛 ∈ 𝜔 ⇒ ∃!𝑛" ∈ 𝜔(3) ∀𝑛 ∈ 𝜔, 𝑛" ≠ ∅,obien~ ∃𝑛 ∈ 𝜔,𝑛" = 0 (4) 𝑛,𝑚 ∈ 𝜔 ⇒ 𝑛" = 𝑚" ⇒ 𝑛 = 𝑚 (5) Si𝑆 ⊂ 𝜔yseverifican: i) 0 ∈ 𝑆 ii) 𝑛 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑛" ∈ 𝑆 Entonces𝑆 = 𝜔

Axioma5ºdePeano “Unconjuntodenúmerosnaturalesalquepertenezcanel0yelnúmerosiguientede

cadaunodesuselementos,eslatotalidaddeellos” Elaxioma(5)esconocidocomoel“AxiomadeRecurrencia”o“AxiomadeInducciónMatemática”.Consecuenciasdel5ºaxiomadePeano

I. Comométododedefinición:

Aldefinirelente𝐸(𝑛),seutilizaunrazonamientoconstructivo,queconsisteendefinir:i) 𝐸(0) (obien𝐸(1)esverdadera)


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ii) 𝐸(𝑛")apartirde𝐸(𝑛),∀𝑛 ∈ 𝜔. (o∀𝑛 ∈ ℕ) Aestetipodedefiniciónseledenomina“recursiva”opor“recurrencia”Ejemplos:

1) Potencia𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑑𝑒𝑥. 𝑥g,𝑥 ∈ ℝ\ 0

i) 𝑥i = 1, ∀𝑥 ∈ ℝ\ 0 ii) 𝑥gj = 𝑥g ∙ 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ\ 0 , ∀𝑛 ∈ 𝜔 Para𝑛 ∈ 𝜔, −𝑛 ∈ ℤ\𝜔,sedefine:𝑥mg = n

op,∀𝑥 ∈ ℝ\ 0 , ∀𝑛 ∈ 𝜔.

2) Factorialde𝑛. 𝑛!

i) 0! = 1ii) 𝑛" ! = 𝑛" ∙ 𝑛!, ∀𝑛 ∈ 𝜔

3) Sumatoriadelos𝑥q,para𝑘 = 1,… , 𝑛. 𝑥qg

qsn ,𝑥q ∈ ℝ

i) 𝑥qnqsn = 𝑥n

ii) 𝑥qg"nqsn = 𝑥qg

qsn + 𝑥g"n,∀𝑛 ∈ ℕ4) Productoriadelos𝑥q,para𝑘 = 1,… , 𝑛. 𝑥qg

qsn ,𝑥q ∈ ℝ i) 𝑥qn

qsn = 𝑥nii) 𝑥qg"n

qsn = 𝑥qgqsn ∙ 𝑥g"n,∀𝑛 ∈ ℕ

II. Comométododedemostración: PrincipiodeInducciónMatemática

Sea𝑃(𝑛)unaproposiciónquedependede𝑛ysi:i) 𝑃(0)esverdadera. (o𝑃(1)esverdadera)ii) Si𝑃(𝑛)esverdadera,entonces𝑃(𝑛")esverdadera.Entonces𝑃(𝑛)esverdadera∀𝑛 ∈ 𝜔. (o∀𝑛 ∈ ℕ)

Ejemplos SepuedendemostrarporInducciónmatemática,entreotraspropiedades,que:

1) 1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑛 " = 𝑛" Z, ∀𝑛 ∈ 𝜔2) 𝑎 ∙ 𝑏 g = 𝑎g ∙ 𝑏g,∀𝑛 ∈ 𝜔


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3) 𝑘g

qsn = g∙gj

Z,∀𝑛 ∈ 𝜔

AritméticayordenenlosnaturalesAritméticaen𝝎(definicionesrecursivas)Adición:

Sedefinela”sumade𝑚𝑐𝑜𝑛𝑛“,∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔:𝑚 + 𝑛 = 𝑠z 𝑛 donde

𝑠z:𝜔 ⟶ 𝜔eslafunciónuoperaciónadicióncon𝑚,talquei. 𝑠z 0 = 𝑚ii. 𝑠z 𝑛" = 𝑠z(𝑛) "

Teorema6.a. ∀𝑛 ∈ 𝜔,𝑛" = 𝑛 + 1b. 𝑛 + 0 = 𝑛,∀𝑛 ∈ 𝜔c. 0 + 𝑛 = 𝑛,∀𝑛 ∈ 𝜔d. 𝑠gj 𝑚 = 𝑠g(𝑚) ",∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔e. 𝑛 +𝑚 = 𝑚 + 𝑛,∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔f. 𝑛 + 𝑚 + 𝑘 = 𝑛 +𝑚 + 𝑘,∀𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ 𝜔g. 𝑛 + 𝑘 = 𝑚 + 𝑘 ⇒ 𝑛 = 𝑚 ,∀𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ 𝜔

Demostración

a. 𝑛 + 1 = 𝑠g 1 = 𝑠g 0" = 𝑠g(0) " = 𝑛 ",∀𝑛 ∈ 𝜔;porlotanto𝑛" = 𝑛 + 1.b. 𝑛 + 0 = 𝑠g 0 = 𝑛,∀𝑛 ∈ 𝜔.c. Usemoselprincipiodeinducciónmatemática,sea𝑆 = 𝑛 ∈ 𝜔 ∶ 0 + 𝑛 = 𝑛

o) 𝑆 ⊂ 𝜔.i) 0 ∈ 𝑆,enefecto,0 + 0 = 𝑠i 0 = 0.ii) Si𝑛 ∈ 𝑆,0 + 𝑛 = 𝑛(hipótesisdeinducción).

Entonces0 + 𝑛" = 𝑠i 𝑛" = 𝑠i(𝑛) " = 0 + 𝑛 " =(Q{) 𝑛 " = 𝑛",porlotanto𝑛" ∈ 𝑆.

Deo),i)yii)yporelteorema4.d.(principiodeinducciónmatemática)𝑆 = 𝜔.Lasdemostracionesdelosteoremasd.,e.,f.yg.sedejancomoejercicios.

Multiplicación:

Sedefineel”productode𝑚𝑐𝑜𝑛𝑛“,∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔:𝑚 ∙ 𝑛 = 𝑝z 𝑛 donde

𝑝z:𝜔 ⟶ 𝜔eslafunciónuoperaciónmultiplicacióncon𝑚,talquei. 𝑝z 0 = 0ii. 𝑝z 𝑛" = 𝑠z 𝑝z(𝑛)

Teorema7.a. ∀𝑚 ∈ 𝜔,𝑚 ∙ 0 = 0b. ∀𝑚 ∈ 𝜔,𝑚 ∙ 1 = 𝑚c. ∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔,𝑚 ∙ 𝑛" = 𝑚 +𝑚 ∙ 𝑛


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d. ∀𝑛 ∈ 𝜔,0 ∙ 𝑛 = 0e. 𝑛 ∙ 𝑚 +𝑚 = 𝑛" ∙ 𝑚,∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔f. 𝑛 ∙ 𝑚 = 𝑚 ∙ 𝑛,∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔g. 𝑛 ∙ 𝑚 + 𝑘 = 𝑛 ∙ 𝑚 + 𝑛 ∙ 𝑘,∀𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ 𝜔h. 𝑛 ∙ 𝑚 ∙ 𝑘 = 𝑛 ∙ 𝑚 ∙ 𝑘,∀𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ 𝜔

Demostración

a. 𝑚 ∙ 0 = 𝑝z 0 = 0,∀𝑚 ∈ 𝜔.b. 𝑚 ∙ 1 = 𝑝z 1 = 𝑝z 0" = 𝑠z 𝑝z 0 = 𝑚 +𝑚 ∙ 0 = 𝑚 + 0 = 𝑚,∀𝑚 ∈ 𝜔.c. 𝑚 ∙ 𝑛" = 𝑝z 𝑛" = 𝑠z 𝑝z 𝑛 = 𝑚 +𝑚 ∙ 𝑛,∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔.d. Usemoselprincipiodeinducciónmatemática,sea𝑆 = 𝑛 ∈ 𝜔 ∶ 0 ∙ 𝑛 = 0

o) 𝑆 ⊂ 𝜔.i) 0 ∈ 𝑆,enefecto,0 ∙ 0 = 𝑝i 0 = 0.ii) Si𝑛 ∈ 𝑆,0 ∙ 𝑛 = 0(hipótesisdeinducción).Entonces0 ∙ 𝑛" = 0 + 0 ∙ 𝑛 =(Q{) 0 + 0 = 0,porlotanto𝑛" ∈ 𝑆.Deo),i)yii)yporelteorema4.d.(principiodeinducciónmatemática)𝑆 = 𝜔.

Lasdemostracionesdelosteoremase.,f.,g.yh.sedejancomoejercicios.Potenciación

Sedefinela”potencia𝑛,de𝑚“,obien,la”potenciadebase𝑚,yexponente𝑛“,∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔:𝑚g = 𝑒z 𝑛 donde

𝑒z:𝜔 ⟶ 𝜔eslafunciónuoperaciónpotenciaciónde𝑚,talquei. 𝑒z 0 = 1ii. 𝑒z 𝑛" = 𝑝z 𝑒z(𝑛)

Teorema8.a. ∀𝑚 ∈ 𝜔,𝑚i = 1b. ∀𝑚 ∈ 𝜔,𝑚n = 𝑚c. 𝑚gj = 𝑚 ∙ 𝑚g,∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔d. 𝑚g"q = 𝑚g ∙ 𝑚q,∀𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ 𝜔e. 𝑚g q = 𝑚g∙q,∀𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ 𝜔

Demostración

a. 𝑚i = 𝑒z 0 = 1,∀𝑚 ∈ 𝜔.b. 𝑚n = 𝑒z 1 = 𝑒z 0" = 𝑝z 𝑒z 0 = 𝑚 ∙ 𝑚i = 𝑚 ∙ 1 = 𝑚,∀𝑚 ∈ 𝜔.Lasdemostracionesdelosteoremasc.,d.ye.sedejancomoejercicios.

Ordenen𝝎

Teorema9.Si𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔,entonces a. ~ 𝑛 ∈ 𝑚 ∧ 𝑛 = 𝑚 b. ~ 𝑚 ∈ 𝑛 ∧ 𝑛 = 𝑚 c. ~ 𝑛 ∈ 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ 𝑛


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Demostración.

a. Sino:𝑛 ∈ 𝑚 ∧ 𝑛 = 𝑚,entonces𝑚 ∈ 𝑚,contradictorioconelteorema5.b.b. Análogaalademostraciónanterior.c. Sino:𝑛 ∈ 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ 𝑛,entoncesporteorema4.e.,𝑛 ⊂ 𝑚 ∧ 𝑚 ⊂ 𝑛,luegopor

axiomadelaextensión𝑚 = 𝑛yporlotanto𝑛 ∈ 𝑛,loquecontradiceelteorema5.b.

Observación.

Delteoremaanteriorconcluimosque:Si𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔,entonces 𝑛 ∈ 𝑚) ∨ (𝑛 = 𝑚 ∨(𝑚 ∈ 𝑛)

Definición.Para𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔,sedefinelarelacióndeorden“menoroigualque” ≤ ,como

(𝑛 ≤ 𝑚) ⇔ (𝑛 ∈ 𝑚) ∨ (𝑛 = 𝑚) Nota. (𝑛 < 𝑚) ⇔ (𝑛 ≤ 𝑚) ∧ (𝑛 ≠ 𝑚) ⇔ 𝑛 ∈ 𝑚 Teorema10.

Elpar 𝜔, ≤ esunconjuntoparcialmenteordenado(CPO),esdecir,larelación“menoroigualque”en𝜔,verificaquees:

a. 𝑛 ≤ 𝑛,∀𝑛 ∈ 𝜔 (reflexividad)b. 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ 𝑛 ⇒ 𝑛 = 𝑚 (antisimetría)c. 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ 𝑝 ⇒ 𝑛 ≤ 𝑝 (transitividad)

Demostración

a. 𝑛 ≤ 𝑛,∀𝑛 ∈ 𝜔esverdadera,yaqueladisyunción𝑛 ∈ 𝑛 ∨ 𝑛 = 𝑛esverdadera,aunque𝑛 ∈ 𝑛esfalsoporelteorema5.b.Porlotanto,esrefleja.

b. Si𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ 𝑛,entonces 𝑛 ∈ 𝑚 𝑛 = 𝑚 𝑚 ∈ 𝑛 𝑚 =𝑛 Si𝑛 ∈ 𝑚y𝑚 ∈ 𝑛,entoncessecontradiceconelteorema9.c.Si𝑛 ∈ 𝑚y𝑚 = 𝑛,entoncessecontradiceconelteorema9.a.Si𝑛 = 𝑚y𝑚 ∈ 𝑛entoncessecontradiceconelteorema9.b.Luego𝑛 = 𝑚.Porlotanto,esantisimétrica.

c. Si𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ 𝑝,entonces 𝑛 ∈ 𝑚 𝑛 = 𝑚 𝑚 ∈ 𝑝 𝑚 =𝑝 Si𝑛 ∈ 𝑚y𝑚 ∈ 𝑝,entoncesporteorema4.e.,𝑚 ⊂ 𝑝yporlotanto𝑛 ∈ 𝑝Si𝑛 ∈ 𝑚y𝑚 = 𝑝,entonces𝑛 ∈ 𝑝Si𝑛 = 𝑚y𝑚 ∈ 𝑝,entonces𝑛 ∈ 𝑝Si𝑛 = 𝑚y𝑚 = 𝑝,entonces𝑛 = 𝑝Luegoloscuatrocasos,𝑛 ∈ 𝑝 ∨ 𝑛 = 𝑝,entonces𝑛 ≤ 𝑝.Porlotanto,estransitiva.

Observación.


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Larelacióndeorden“menoroigualque”(≤),noverificalapropiedadsimétrica,esdecir, ~ 𝑛 ≤ 𝑚 ⇒ 𝑚 ≤ 𝑛 .Teorema11. 𝑛 < 𝑚 ⟹𝑛" < 𝑚",∀𝑛,𝑚 ∈ 𝜔.Demostración.

Equivalentementedemostraremos𝑥 ∈ 𝑛 ⟹ 𝑥" ∈ 𝑛",∀𝑥, 𝑛 ∈ 𝜔.Usemoselprincipiodeinducciónmatemática.Sea𝑆 = 𝑛 ∈ ω ∶ 𝑥 ∈ 𝑛 ⟹ 𝑥" ∈ 𝑛" o) 𝑆 ⊂ 𝜔.i) 0 ∈ 𝑆,enefecto,𝑥 ∈ 0 ⟹ 𝑥" ∈ 0"eslógicamenteverdadera,yaqueel

antecedenteesfalso.ii) Si𝑛 ∈ 𝑆,𝑥 ∈ 𝑛 ⟹ 𝑥" ∈ 𝑛"(hipótesisdeinducción).

Si𝑥 ∈ 𝑛" = 𝑛 ∪ 𝑛 ,entonces𝑥 ∈ 𝑛 ∨ 𝑥 = 𝑛.Si𝑥 ∈ 𝑛⟹Q{ 𝑥" ∈ 𝑛",pero 𝑛" " = 𝑛" ∪ 𝑛" ,luego𝑛" ⊂ 𝑛" ",

porlotanto,𝑥" ∈ 𝑛" ".Si𝑥 = 𝑛 ⟹ 𝑥" = 𝑛",pero𝑛" ∈ 𝑛" ",porlotanto,𝑥" ∈ 𝑛" ".

Luegoenamboscasos𝑥" ∈ 𝑛" ",si𝑥 ∈ 𝑛".Porlotanto,𝑛" ∈ 𝑆.Deo),i)yii)yporelteorema4.d.(principiodeinducciónmatemática)𝑆 = 𝜔.

Teorema12.

Elpar 𝜔, ≤ esunconjuntototalmenteordenado(CTO),esdecir,elpar 𝜔, ≤ esCPO,ylarelación“menoroigualque”en𝜔,verificaque:

Si∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝜔,𝑚 ≠ 𝑛,entonces 𝑛 ≤ 𝑚)∨ (𝑚 ≤ 𝑛 .Demostración.

Indicaciónparalademostraciónporelprincipiodeinducciónmatemática,considere𝑆g = 𝑚 ∈ 𝜔 ∶ 𝑚 < 𝑛 ∨ 𝑛 ≤ 𝑚 yrealiceinducciónsobrem.

Sedicetambiénque"≤"esunaordenacióntotal(unordenestricto,unordenlineal

oconvexo).Tambiénsedicequeelpar 𝜔, ≤ esunacadena.Teorema13.

𝑛 < 𝑚 ⇒ 𝑛 + 𝑘 < 𝑚 + 𝑘𝑛 ∙ 𝑘 < 𝑚 ∙ 𝑘,𝑠𝑖𝑘 ≠ 0 ,∀𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ 𝜔.

DemostraciónCon𝑛 < 𝑚,realiceinducciónsobre𝑘ydefina𝑆 = 𝑘 ∈ 𝜔 ∶ 𝑛 + 𝑘 < 𝑚 + 𝑘 ,paralaprimerapartey𝑆 = 𝑘 ∈ 𝜔 ∶ 𝑘 = 0 ∨ 𝑛 ∙ 𝑘 < 𝑚 ∙ 𝑘 ,paralasegundaparte.

Teorema14.

𝑇 ⊂ 𝜔, 𝑇 ≠ ∅ ⇒∃𝑝 ∈ 𝑇talque𝑝 ≤ 𝑚, ∀𝑚 ∈ 𝑇“𝑝esprimerelementode𝑇”.Observación.


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Sedicequeelpar 𝜔, ≤ esunconjuntobienordenado(CBO),yaquetodosubconjunto𝑇novacíode𝜔,poseeprimerelementoconrespectoa"≤".


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Construccióndelosenteros.

Definición.

Enelconjunto𝜔Z = 𝜔×𝜔,sedefinelarelación"~",como:𝑚, 𝑛 ~ 𝑎, 𝑏 ⇔ 𝑚 + 𝑏 = 𝑛 + 𝑎

Teorema15.

Larelación"~"en𝜔Zesrelacióndeequivalencia.Demostración. Parademostrarqueesrelacióndeequivalencia,debemosprobarque,∀𝑚, 𝑛, 𝑎, 𝑏, 𝑝, 𝑞 ∈ 𝜔,severifican:

a. 𝑚, 𝑛 ~ 𝑚, 𝑛 ,esdecir,queesrefleja.b. 𝑚, 𝑛 ~ 𝑎, 𝑏 ⟹ 𝑎, 𝑏 ~ 𝑚, 𝑛 ,esdecir,queessimétrica.c. 𝑚, 𝑛 ~ 𝑎, 𝑏 ⋀ 𝑎, 𝑏 ~ 𝑝, 𝑞 ⟹ 𝑚, 𝑛 ~ 𝑝, 𝑞 ,esdecir,queestransitiva.Enefecto:Demostracióndea.

𝑚, 𝑛 ~ 𝑚, 𝑛 ⇔ 𝑚 + 𝑛 = 𝑛 +𝑚esverdaderoporlaconmutatividaddelaadiciónen𝜔,porteorema6.d.

Lasdemostracionesdeb.yc.sedejancomoejercicios.

Observación.Determinemoslasclasesdeequivalenciadeloselementosde𝜔Z = 𝜔×𝜔yel

conjuntocuociente𝜔×𝜔 ~.Nota. Clasedeequivalenciasedenotaydefinecomo

(𝑚, 𝑛) = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝜔Z ∶ 𝑥, 𝑦 ~ 𝑚, 𝑛

Ejemplos. 1) Laclasedeequivalencia

• (5,2) = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝜔Z ∶ 𝑥, 𝑦 ~ 5,2

= 𝑥, 𝑦 ∈ 𝜔Z ∶ 𝑥 + 2 = 𝑦 + 5 = 6,3 , 5,2 , 4,1 , 3,0 , 7,4 , 8,5 , 9,6 , …

2) Laclasedeequivalencia

• (5,9) = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝜔Z ∶ 𝑥, 𝑦 ~ 5,9

= 𝑥, 𝑦 ∈ 𝜔Z ∶ 𝑥 + 9 = 𝑦 + 5 = …

¡Identifiquealgunosdesuselementos!


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Ejercicio.Determineotrasclasesdeequivalencia,¡alomenostres!Enelsiguientediagrama𝜔Z = 𝜔×𝜔estánrepresentadaslasclasesdeequivalencia

determinadasenlosejemplosanteriores,estoes,lasclases: (5,2) y (5,9) .1) Representeenelmismodiagrama,otrasclasesqueusteddeterminó.

2) Encuentreelmejorrepresentanteparacadaunadelasclases.

Notación:o (𝑚, 𝑛) = 𝑚 + −𝑛 = 𝑚 − 𝑛;𝑚 ∈ 𝜔,𝑛 ∈ 𝜔.• (𝑚, 0) = 𝑚;𝑚 ∈ 𝜔.• (0, 𝑛) = −𝑛;𝑛 ∈ 𝜔“enteronegativo(opuestode𝑛)”

Definición.

ℤ = 𝜔×𝜔 ~


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Aritméticayordenenlosenteros.Adición:

Sedefineoperaciónadicióncomolafunción ⊕ℤ∶ ℤ×ℤ ⟶ ℤ

𝑎, 𝑏 , 𝑐, 𝑑 ⟼ 𝑎, 𝑏 ⊕ℤ 𝑐, 𝑑

donde 𝑎, 𝑏 ⊕ℤ 𝑐, 𝑑 = 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 ,llamadasumade 𝑎, 𝑏 con 𝑐, 𝑑 Determine:

• 5,2 ⊕ℤ 5,9 =• 5,0 ⊕ℤ 0,9 =

Teorema16.

ℤ, ⊕ℤ esungrupoabeliano.Demostración.

Parademostrarqueesgrupoabeliano,debemosprobarque,∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈ 𝜔,severifican:

a. 𝑎, 𝑏 ⊕ℤ 𝑐, 𝑑 = 𝑐, 𝑑 ⊕ℤ 𝑎, 𝑏 ,esdecir,queesconmutativa.b. 𝑎, 𝑏 ⊕ℤ 𝑐, 𝑑 ⊕ℤ 𝑒, 𝑓 = 𝑎, 𝑏 ⊕ℤ 𝑐, 𝑑 ⊕ℤ 𝑒, 𝑓 ,esdecir,

queesasociativa.c. ∃ 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ,talque 𝑎, 𝑏 ⊕ℤ 𝑥, 𝑦 = 𝑎, 𝑏 ,esdecir,queexisteuna

“clasecero”.d. ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ,∃ 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ,talque 𝑎, 𝑏 ⊕ℤ 𝑥, 𝑦 esla“clasecero”,es

decir,queexisteuna“claseopuesta”paracadaclase.Enefecto:

Demostracióndea.𝑎, 𝑏 ⊕ℤ 𝑐, 𝑑 = 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 ,𝑐, 𝑑 ⊕ℤ 𝑎, 𝑏 = 𝑐 + 𝑎, 𝑑 + 𝑏 ,

peroporteorema6.d.(conmutatividaddelaadiciónen𝜔),𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑎, 𝑑 + 𝑏

Luego 𝑎, 𝑏 ⊕ℤ 𝑐, 𝑑 = 𝑐, 𝑑 ⊕ℤ 𝑎, 𝑏 .Lasdemostracionesdeb.,c.yd.sedejancomoejercicios.

Multiplicación:

Sedefineoperaciónmultiplicacióncomolafunción ⊗ℤ∶ ℤ×ℤ ⟶ ℤ

𝑎, 𝑏 , 𝑐, 𝑑 ⟼ 𝑎, 𝑏 ⊗ℤ 𝑐, 𝑑

donde 𝑎, 𝑏 ⊗ℤ 𝑐, 𝑑 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 ,llamadoproductode 𝑎, 𝑏 con 𝑐, 𝑑


15

Determine:• 5,2 ⊗ℤ 5,9 =• 0,2 ⊗ℤ 5,0 =

Teorema17.

ℤ, ⊗ℤ esunmonoideconmutativoosemigrupoabelianoconelementoneutro.Demostración.

Parademostrarqueessemigrupoabeliano,debemosprobarque,∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈𝜔,severifican:

a. 𝑎, 𝑏 ⊗ℤ 𝑐, 𝑑 = 𝑐, 𝑑 ⊗ℤ 𝑎, 𝑏 ,esdecir,queesconmutativa.b. 𝑎, 𝑏 ⊗ℤ 𝑐, 𝑑 ⊗ℤ 𝑒, 𝑓 = 𝑎, 𝑏 ⊗ℤ 𝑐, 𝑑 ⊗ℤ 𝑒, 𝑓 ,es

decir,queesasociativa.c. ∃ 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ,talque 𝑎, 𝑏 ⊗ℤ 𝑥, 𝑦 = 𝑎, 𝑏 ,esdecir,queexisteuna

“claseunidad”.Enefecto:Demostracióndea.

𝑎, 𝑏 ⊗ℤ 𝑐, 𝑑 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 ,𝑐, 𝑑 ⊗ℤ 𝑎, 𝑏 = 𝑐𝑎 + 𝑑𝑏, 𝑐𝑏 + 𝑑𝑎 ,

peroporteorema7.f.(conmutatividaddelamultiplicaciónen𝜔),ytambiénporelteorema6.d.(conmutatividaddelaadiciónen𝜔),𝑎𝑐 + 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 𝑐𝑎 + 𝑑𝑏, 𝑐𝑏 + 𝑑𝑎

Luego 𝑎, 𝑏 ⊗ℤ 𝑐, 𝑑 = 𝑐, 𝑑 ⊗ℤ 𝑎, 𝑏 .Lasdemostracionesdeb.yc.sedejancomoejercicios.

Observaciones.

Sepuededemostrarquenoexisteuna“claseinversa”paracadaclase.Sepuededemostrarladistributividaddelamultiplicación,respectodelaadición,es

decirque,laadicióndistribuyealamultiplicaciónenℤ.

Ordenenℤ = 𝜔×𝜔 ~

Elordensepuededefinircomo 𝑎, 𝑏 ≤ℤ 𝑐, 𝑑 ⇔ 𝑎 + 𝑑 ≤ 𝑏 + 𝑐Yseleecomo 𝑎, 𝑏 “esmenoroigualque” 𝑐, 𝑑 .Determinelaveracidadolafalsedadde:

• 5,2 ≤ℤ 5,9 • 6,7 ≤ℤ 4,2 • 5,2 ≤ℤ 7,4

Enterospositivos

ℤ" = 𝑚, 𝑛 ∶ 𝑚 > 𝑛 ,estoselementos 𝑚, 𝑛 sedicenpositivosysedenotancomo 𝑚, 𝑛 > 0.


16

Teorema18.Elpar ℤ, ≤ℤ esunconjuntoparcialmenteordenado(CPO),esdecir,larelación

“menoroigualque”enℤ,verificaquees:a. 𝑚, 𝑛 ≤ℤ 𝑚, 𝑛 ,∀𝑛,𝑚 ∈ 𝜔

(reflexividad)b. 𝑚, 𝑛 ≤ℤ 𝑎, 𝑏 ∧ 𝑎, 𝑏 ≤ℤ 𝑚, 𝑛 ⇒ 𝑚, 𝑛 = 𝑎, 𝑏

(antisimetría)c. 𝑚, 𝑛 ≤ℤ 𝑎, 𝑏 ∧ 𝑎, 𝑏 ≤ℤ 𝑝, 𝑞 ⇒ 𝑚, 𝑛 ≤ℤ 𝑝, 𝑞

(transitividad)Demostración

a. 𝑚, 𝑛 ≤ℤ 𝑚, 𝑛 ,∀𝑛,𝑚 ∈ 𝜔esverdadera,yaque𝑚 + 𝑛 ≤ 𝑛 +𝑚loes,porelteorema6.d.oporelteorema10.a.(antisimetríadelordenen𝜔)

Lasdemostracionesb.yc.sedejancomoejercicio.

Teorema19.Elpar ℤ, ≤ℤ esunconjuntototalmenteordenado(CTO),esdecir,elpar ℤ, ≤ℤ

esCPO,ylarelación“menoroigualque”enℤ,verificaque:Si∀ 𝑚, 𝑛 , 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑚, 𝑛 ≠ 𝑎, 𝑏 .Entonces, 𝑚, 𝑛 ≤ℤ 𝑎, 𝑏 ,obien 𝑎, 𝑏 ≤ℤ 𝑚, 𝑛 .

DemostraciónApliqueelordentotalen𝜔,esdecirelteorema12.


17

Construccióndelosracionales.

Definición.

Enelconjuntoℤ×ℤ\ 0 ,sedefinelarelación"~",como:𝑝, 𝑞 ~ 𝑎, 𝑏 ⇔ 𝑝 ∙ 𝑏 = 𝑞 ∙ 𝑎

Teorema20.

Larelación"~"enℤ×ℤ\ 0 esrelacióndeequivalencia.

Demostración. Parademostrarqueesrelacióndeequivalencia,debemosprobarque,∀𝑝, 𝑞, 𝑎, 𝑏, 𝑟, 𝑠 ∈ ℤ,severifican:

a. 𝑝, 𝑞 ~ 𝑝, 𝑞 ,esdecir,queesrefleja.b. 𝑝, 𝑞 ~ 𝑎, 𝑏 ⟹ 𝑎, 𝑏 ~ 𝑝, 𝑞 ,esdecir,queessimétrica.c. 𝑝, 𝑞 ~ 𝑎, 𝑏 ⋀ 𝑎, 𝑏 ~ 𝑟, 𝑠 ⟹ 𝑝, 𝑞 ~ 𝑟, 𝑠 ,esdecir,queestransitiva.Enefecto:Demostracióndea.

𝑝, 𝑞 ~ 𝑝, 𝑞 ⇔ 𝑝 ∙ 𝑞 = 𝑞 ∙ 𝑝esverdaderoporlaconmutatividaddelamultiplicaciónenℤ,porteorema17.a.

Lasdemostracionesdeb.yc.sedejancomoejercicios.

Observación.Determinemoslasclasesdeequivalenciadeloselementosdeℤ×ℤ\ 0 yelconjunto

cuocienteℤ×ℤ\ 0 ~.Nota. Clasedeequivalenciasedenotaydefinecomo

(𝑝, 𝑞) = 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ×ℤ\ 0 ∶ 𝑥, 𝑦 ~ 𝑝, 𝑞 Ejemplos.


• (5,2) = 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ×ℤ\ 0 ∶ 𝑥, 𝑦 ~ 5,2

= 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ×ℤ\ 0 ∶ 𝑥 ∙ 2 = 𝑦 ∙ 5 = 5,2 , 10,4 , 15,6 , … , −5,−2 , −10,−4 ,…


• (2,3) = 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ×ℤ\ 0 ∶ 𝑥, 𝑦 ~ 2,3

= 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ×ℤ\ 0 ∶ 𝑥 ∙ 3 = 𝑦 ∙ 2 = …

Identifiquealgunosdesuselementos.


18


• (−3,4) = 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ×ℤ\ 0 ∶ 𝑥, 𝑦 ~ −3,4

= 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ×ℤ\ 0 ∶ 𝑥 ∙ 4 = 𝑦 ∙ (−3) = …

Identifiquealgunosdesuselementos.Enelsiguientediagramaℤ×ℤ\ 0 estánrepresentadaslasclasesdeequivalencia

determinadasenlosejemplosanteriores,estoes,lasclases: (5,2) , (2,3) y (−3,4) .1) Representeotrasclasesenelmismodiagrama.2) Determineelmejorrepresentanteparacadaunadelasclases.


19

Notación:

o (𝑝, 𝑞) = 𝑝 ∙ 𝑞mn = ��;𝑝 ∈ ℤ,𝑞 ∈ ℤ\ 0 .

• (𝑝, 1) = 𝑝;𝑝 ∈ ℤ.• (1, 𝑞) = 𝑞mn = n

�;𝑞 ∈ ℤ\ 0 “racional,inversode𝑞”

Definición.

ℚ = ℤ×ℤ\ 0 ~Aritméticayordenenlosracionales.Adición:

Sedefineoperaciónadicióncomolafunción ⊕ℚ∶ ℚ×ℚ ⟶ ℚ

𝑎, 𝑏 , 𝑐, 𝑑 ⟼ 𝑎, 𝑏 ⊕ℚ 𝑐, 𝑑

donde 𝑎, 𝑏 ⊕ℚ 𝑐, 𝑑 = 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐, 𝑏𝑑 ,llamadasumade 𝑎, 𝑏 con 𝑐, 𝑑 Determine:

• 5,2 ⊕ℚ 5,9 = • 5,−2 ⊕ℚ −2,9 =

Teorema21.

ℚ, ⊕ℚ esungrupoabeliano.Demostración.

Parademostrarqueesgrupoabeliano,debemosprobarque,∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈ ℤ,con𝑏 ≠ 0, 𝑑 ≠ 0𝑦𝑓 ≠ 0severifican:

a. 𝑎, 𝑏 ⊕ℚ 𝑐, 𝑑 = 𝑐, 𝑑 ⊕ℚ 𝑎, 𝑏 ,esdecir,queesconmutativa.b. 𝑎, 𝑏 ⊕ℚ 𝑐, 𝑑 ⊕ℚ 𝑒, 𝑓 = 𝑎, 𝑏 ⊕ℚ 𝑐, 𝑑 ⊕ℚ 𝑒, 𝑓 ,es

decir,queesasociativa.c. ∃ 𝑥, 𝑦 ∈ ℚ,talque 𝑎, 𝑏 ⊕ℚ 𝑥, 𝑦 = 𝑎, 𝑏 ,esdecir,queexisteuna

“clasecero”.d. ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ,∃ 𝑥, 𝑦 ∈ ℚ,talque 𝑎, 𝑏 ⊕ℚ 𝑥, 𝑦 esla“clasecero”,es

decir,queexisteuna“claseopuesta”paracada.Enefecto:Demostracióndea.

𝑎, 𝑏 ⊕ℚ 𝑐, 𝑑 = 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐, 𝑏𝑑 ,𝑐, 𝑑 ⊕ℤ 𝑎, 𝑏 = 𝑐𝑏 + 𝑑𝑎, 𝑑𝑏 ,


20

Peroporlaconmutatividaddelamultiplicaciónylaadiciónenℤ(teoremas17.a.y16.a.)tenemosque 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐, 𝑏𝑑 = 𝑐𝑏 + 𝑑𝑎, 𝑑𝑏 Luego 𝑎, 𝑏 ⊕ℤ 𝑐, 𝑑 = 𝑐, 𝑑 ⊕ℤ 𝑎, 𝑏 .

Lasdemostracionesdeb.,c.yd.sedejancomoejercicios.Multiplicación:

Sedefineoperaciónmultiplicacióncomolafunción ⊗ℚ∶ ℚ×ℚ ⟶ ℚ

𝑎, 𝑏 , 𝑐, 𝑑 ⟼ 𝑎, 𝑏 ⊗ℚ 𝑐, 𝑑

donde 𝑎, 𝑏 ⊗ℚ 𝑐, 𝑑 = 𝑎𝑐, 𝑏𝑑 ,llamadoproductode 𝑎, 𝑏 con 𝑐, 𝑑 Determine:

• 5,2 ⊗ℚ 5,9 = • −1,2 ⊗ℚ 5,−2 =

Teorema22.

ℚ, ⊗ℚ esungrupoabeliano.Demostración.

Parademostrarqueesgrupoabeliano,debemosprobarque,∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈ ℤ,con𝑏 ≠ 0, 𝑑 ≠ 0𝑦𝑓 ≠ 0severifican:

a. 𝑎, 𝑏 ⊗ℚ 𝑐, 𝑑 = 𝑐, 𝑑 ⊗ℚ 𝑎, 𝑏 ,esdecir,queesconmutativa.b. 𝑎, 𝑏 ⊗ℚ 𝑐, 𝑑 ⊗ℚ 𝑒, 𝑓 = 𝑎, 𝑏 ⊗ℚ 𝑐, 𝑑 ⊗ℚ 𝑒, 𝑓 ,es

decir,queesasociativa.c. ∃ 𝑥, 𝑦 ∈ ℚ,talque 𝑎, 𝑏 ⊗ℚ 𝑥, 𝑦 = 𝑎, 𝑏 ,esdecir,queexisteuna

“claseunidad”.d. ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ,exceptola“clasecero”,∃ 𝑥, 𝑦 ∈ ℚ,talque

𝑎, 𝑏 ⊗ℚ 𝑥, 𝑦 esla“claseunidad”,esdecir,queexisteuna“claseinversa”paracadaclase,distintaala“clasecero”.

Enefecto:Demostracióndea.

𝑎, 𝑏 ⊗ℚ 𝑐, 𝑑 = 𝑎𝑐, 𝑏𝑑 ,𝑐, 𝑑 ⊗ℚ 𝑎, 𝑏 = 𝑐𝑎, 𝑑𝑏 ,

peroporteorema17.a.(conmutatividaddelamultiplicaciónenℤ), 𝑎𝑐, 𝑏𝑑 =𝑐𝑎, 𝑑𝑏

Luego 𝑎, 𝑏 ⊗ℚ 𝑐, 𝑑 = 𝑐, 𝑑 ⊗ℚ 𝑎, 𝑏 .Lasdemostracionesdeb.c.yd.sedejancomoejercicios.

Observación.

Sepuededemostrarladistributividaddelamultiplicación,respectodelaadición,esdecirque,laadicióndistribuyealamultiplicaciónenℚ.


21

Ordenenℚ = ℤ×ℤ\ 0 ~

Elordensepuededefinircomo: 𝑎, 𝑏 ≤ℚ 𝑐, 𝑑 ⇔ 𝑎𝑏 𝑑𝑑 ≤ 𝑐𝑑 𝑏𝑏 Yseleecomo 𝑎, 𝑏 “esmenoroigualque” 𝑐, 𝑑 .

Nota.

Sepuededefinirelordendemaneramássimple,cuando𝑏y𝑑,sondelmismosigno(𝑏𝑑 > 0)odesignocontrario(𝑏𝑑 < 0).

Determinelaveracidadolafalsedadde:

• 5,2 ≤ℚ 2,3 • −3,4 ≤ℚ 5,2 • 2,3 ≤ℚ −3,4

Racionalespositivos

ℚ" = 𝑝, 𝑞 ∶ 𝑝𝑞 > 0 ,estoselementos 𝑝, 𝑞 sedicenpositivosysedenotantambiéncomo 𝑝, 𝑞 > 0.Teorema23.

Elpar ℚ, ≤ℚ esunconjuntoparcialmenteordenado(CPO),esdecir,larelación“menoroigualque”enℚ,verificaqueesrefleja,antisimétricaytransitiva:

a. 𝑝, 𝑞 ≤ℚ 𝑝, 𝑞 ,∀𝑝, 𝑞 ∈ ℤ,con𝑞 ≠ 0. b. 𝑝, 𝑞 ≤ℚ 𝑎, 𝑏 ∧ 𝑎, 𝑏 ≤ℚ 𝑝, 𝑞 ⇒ 𝑝, 𝑞 = 𝑎, 𝑏 c. 𝑚, 𝑛 ≤ℚ 𝑎, 𝑏 ∧ 𝑎, 𝑏 ≤ℚ 𝑝, 𝑞 ⇒ 𝑚, 𝑛 ≤ℚ 𝑝, 𝑞

Demostración

a. 𝑝, 𝑞 ≤ℚ 𝑝, 𝑞 ,∀𝑝, 𝑞 ∈ ℤ,con𝑞 ≠ 0.esverdadera,yaque 𝑝𝑞 (𝑝𝑞) ≤𝑝𝑞 (𝑝𝑞)loes,porelteorema18.a.oporelteorema18.b.(antisimetriadelordenenℤ)

Lasdemostracionesb.yc.sedejancomoejercicio.

Teorema24.Elpar ℚ, ≤ℚ esunconjuntototalmenteordenado(CTO),esdecir,elpar

ℚ, ≤ℚ esCPOylarelación“menoroigualque”enℚ,verificaque:Si∀ 𝑝, 𝑞 , 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ, 𝑝, 𝑞 ≠ 𝑎, 𝑏 .Entonces, 𝑝, 𝑞 ≤ℚ 𝑎, 𝑏 ,obien 𝑎, 𝑏 ≤ℚ 𝑝, 𝑞 .

Demostración

Apliqueelordentotalenℤ,esdecirelteorema19.Densidadenlosracionales Si𝑠, 𝑟 ∈ ℚ,con𝑠 <ℚ 𝑟,entonces

�"�Z∈ ℚy𝑠 <ℚ

�"�Z<ℚ 𝑟.


22

CortadurasdeDedekind

Sabemosquelosnúmerosracionalesseextiendenalolargodetodalarectayquesondensosenella,esdecir,haynúmerosracionales“tancercaunodeotro,comounoquiera”decualquierpuntosobrelarecta.Sinembargo,essabidotambiénquehaypuntossobrelarecta,porejemplo,elcorrespondienteal 2,quenoesningúnnúmeroracional,aunquesepuedaconstruirgeométricamente,usandoelTeoremadePitágorasconuntriángulodecatetosigualesa1.

Aunquelosnúmerosracionalesℚtienenmuybuenaspropiedades,lasde“cuerpototalmenteordenadoydenso”,tieneundefectoimportante,lapresenciademuchos“agujeros”,losqueprovocanquealgunasoperacionesnotieneninversasenℚ.

Elsiguienteteoremapresentaundefectodeℚ,ydemaneraformal.Teorema25.

~ ∃𝑥 ∈ ℚ, 𝑥Z − 2 = 0 , 2 ∉ ℚDemostración. Supongaqueexisteunracional𝑥 = 𝑝, 𝑞 = �

�,irreductibleytalque𝑥Z = 2

(irreductibleenelsentidoquelosenteros,𝑝y𝑞notienenfactorescomunes),luego𝑝Z =2𝑞Z,loqueimplicaque𝑝Zesparyporlotanto,𝑝tambiénespar.Entoncespodemosescribir𝑝 = 2𝑘,paraalgún𝑘entero,loqueimplicaque𝑝Z = 4𝑘Z = 2𝑞Z,porlotanto,𝑞Z = 2𝑘Z,luego𝑞Zespary𝑞tambiénespar,loquecontradiceque𝑝y𝑞seanenterosirreductibles.

Lasiguientedefiniciónyadehecho,introducelosnúmerosreales.Sinembargo,estadefiniciónesmuytécnicaysedeberecorreruncaminomuylargoparaver(yprobar)quelascortadurasrealmentepuedensertratadascomonúmerosreales.

Demodoqueseránllamadasnúmerossólodespuésdedefinirydemostrarlas

propiedadesaritméticasydeordenenelconjuntodelascortaduras.

LapresentacióndelosnúmerosrealesquedesarrollaremosfuepropuestaporprimeravezporDedekinden1888.Estanoeslaúnicamaneradeconstruirlosnúmerosreales,CantorlopropusoconsucesionesdeCauchy,sinembargorequieredeconocimientosdeanálisis,encambioladeDedekindesnetamenteconjuntistaoalgebraica.


23

Definición.

UnacortaduradeDedekindosimplementeunacortadura(izquierda)enlosnúmerosracionalesesunsubconjunto𝛼deℚquecumplelassiguientescondiciones:

1) 𝛼 ≠ ∅y𝛼 ≠ ℚ.2) Si𝑟 ∈ 𝛼,∀𝑥 ∈ ℚ,𝑥 <ℚ 𝑟,entonces𝑥 ∈ 𝛼.3) Si𝑟 ∈ 𝛼,entonces∃𝑦 ∈ 𝛼,𝑟 <ℚ 𝑦.

Observación. Lascondicionesanterioresindicanque:

1) 𝛼subconjuntopropiodeℚ .2) Siunracional𝑟 ∈ 𝛼,entoncestodoslosracionalesmáspequeñostambiénestán

en𝛼.3) 𝛼notieneunelementomáximo.

Ejemplos.

1) Elconjuntovacíonoescortadura.2) Si𝛼 = ℚ ,entonces𝛼noescortadura.3) Si𝑠 ∈ ℚ ,entonces𝛼� = 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝑥 <ℚ 𝑠 esunacortadura.4) 𝛽 = 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝑥Z <ℚ 2 noescortadura.5) 𝛾 = 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝑥 <ℚ 0 ∨ 𝑥Z <ℚ 2 = 𝛼i⋃ 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝑥Z <ℚ 2 escortadura.

Observación.

UnacortaduradeDedekindizquierda(osimplementecortadura)es,intuitivamente,unsubconjuntodelosracionalesquesepareceaunrayoizquierdo.Paraunnúmero𝑠 ∈ ℚ

𝛼� = 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝑥 <ℚ 𝑠 .


24

Dehecho,situviéramoselconjuntoℝdelosnúmerosreales,entoncescadacortaduraseríaunconjuntodetipo −∞, 𝑐 ∩ ℚ,paraalgún𝑐 ∈ ℝ.

Demostremosque𝛼� = 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝑥 <ℚ 𝑠 efectivamenteesunacortadura.Esdecirque,𝛼�esunsubconjuntodeℚquecumplelassiguientescondiciones:1) 𝛼� ≠ ∅y𝛼� ≠ ℚ.2) Si𝑟 ∈ 𝛼�,∀𝑥 ∈ ℚ,𝑥 <ℚ 𝑟,entonces𝑥 ∈ 𝛼�.3) Si𝑟 ∈ 𝛼�,entonces∃𝑦 ∈ 𝛼�,𝑟 <ℚ 𝑦.

Enefecto:1) 𝑠 − 1 <ℚ 𝑠ycomo𝑠 − 1 ∈ ℚ,𝑠 − 1 ∈ 𝛼�,luego𝛼� ≠ ∅.

𝑠 + 1 ∈ ℚpero𝑠 <ℚ 𝑠 + 1,luego𝑠 + 1 ∉ 𝛼�,entonces𝛼� ≠ ℚ.2) Sea𝑟 ∈ 𝛼�⟺𝑟 ∈ ℚ, 𝑟 <ℚ 𝑠

∀𝑥 ∈ ℚ,𝑥 <ℚ 𝑟⟹𝑥 <ℚ 𝑠portransitividadenlosracionales,luego𝑥 ∈ 𝛼�.3) Sea𝑟 ∈ 𝛼�⟺𝑟 ∈ ℚ, 𝑟 <ℚ 𝑠

Porladensidaddeℚ,∃𝑦 = �"�Z∈ ℚtalque𝑟 <ℚ

�"�Z<ℚ 𝑠,luego𝑦 ∈ 𝛼�,y

ademásverificaque𝑟 <ℚ 𝑦,esdecir,𝛼�notieneelementomaximal.De1),2)y3)seconcluyeque𝛼�escortadura.

Definición.

Sedefineelconjuntodelosnúmerosrealesℝ,como

ℝ = 𝛼 ⊂ ℚ ∶ 𝛼𝑒𝑠𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 .

Hayunaobviainyeccióndeℚenℝ,asaber𝑓 ∶ ℚnmn

ℝdefinidacomo𝑓 𝑠 = 𝛼� = 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝑥 <ℚ 𝑠 ,deestaforma,aligualquelosnaturalespuedenconsiderarsecontenidosdentrodelosenterosquienesestándentrodelosracionales,estosúltimosestáncontenidosdentrodelosreales.Esdecir:𝜔 ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Cuandosedotaalosrealesdeunaestructuraalgebraicaydeorden,veremosque

estacopiadeℚenℝrespetatodaslaspropiedadesesencialesdeℚ.

Lascortadurasdeltipo𝛼�con𝑠 ∈ ℚsellamancortadurasracionales.Lascortadurasquenosondeesetiposellamancortadurasirracionalesonúmerosirracionales.


25

Ordenyaritméticaenlosreales.Ordenenℝ.

Larelacióndeorden" ≤ℝ "definidacomo"𝛼 ≤ℝ 𝛽"siysolosi𝛼 ⊂ 𝛽. Teorema26.

Elpar ℝ, ≤ℝ esunconjuntoparcialmenteordenado(CPO),esdecir,larelación“menoroigualque”enℝ,verificaquees:

a. 𝛼 ≤ℝ 𝛼,∀𝛼 ∈ ℝ. (reflexividad)b. 𝛼 ≤ℝ 𝛽 ∧ 𝛽 ≤ℝ 𝛼 ⇒ 𝛼 = 𝛽 (antisimetría)c. 𝛼 ≤ℝ 𝛽 ∧ 𝛽 ≤ℝ 𝛾 ⇒ 𝛼 ≤ℝ 𝛾 (transitividad)

Demostración

a. 𝛼 ≤ℚ 𝛼,∀𝛼 ∈ ℝ,yaque𝛼 ⊂ 𝛼.Lasdemostracionesb.yc.sedejancomoejercicio.

Teorema27.Elpar ℝ, ≤ℝ esunconjuntototalmenteordenado(CTO),esdecir,elpar

ℝ, ≤ℝ esCPOylarelación“menoroigualque”enℝ,verificaque:Si∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ,𝛼 ≠ 𝛽.Entonces,𝛼 ≤ℝ 𝛽,obien𝛽 ≤ℝ 𝛼.

Demostración

Si𝛼 ≠ 𝛽,entoncesexisteunracional𝑟,talque𝑟 ∈ 𝛼 − 𝛽 obien𝑟 ∈ 𝛽 − 𝛼 .a. Si𝑟 ∈ 𝛼 − 𝛽 ,entonces∀𝑥 ∈ 𝛽,𝑥 <ℚ 𝑟,

Luegoporlaparte2deladefinicióndecortadurapara𝛼,𝑥 ∈ 𝛼.Así𝛽 ⊂ 𝛼,yporlotanto,𝛽 ≤ℝ 𝛼.

b. Si𝑟 ∈ 𝛽 − 𝛼 ,análogamenteseconcluyeque𝛼 ≤ℝ 𝛽.Porlotanto,dea.yb.,∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, 𝛼 ≠ 𝛽.Entonces,𝛼 ≤ℝ 𝛽,obien𝛽 ≤ℝ 𝛼.

Observación.

Esteordentambiénesdensoysinprimerniúltimoelementoenℝ.Definición.

Ordenestricto," <ℝ "sedefinecomo"𝛼 <ℝ 𝛽"siysolosi𝛼 ⊂ 𝛽 ∧ 𝛼 ≠ 𝛽.


26

Teorema28.

Si𝑆esunconjuntodecortaduras,𝑆 ≠ ∅yacotadosuperiormente,entonces𝑆tieneunacotasuperiormínima.Conocidocomoel“axiomadelsupremo”enlateoríaaxiomáticadelcuerpoordenadoycompletodelosnúmerosreales.Demostración. Sea𝑆unconjuntodecortaduras,𝑆 ≠ ∅yacotadosuperiormente. Sea𝛽 = 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝛼o <ℝ 𝛼, 𝑎𝑙𝑔ú𝑛𝛼 ∈ 𝑆

Probaremosque:a. 𝛽escortadura.b. 𝛽escotasuperiorde𝑆.c. 𝛽eslamínimacotasuperiorde𝑆.Enefecto:a. Parademostrarqueescortadura,debemosverificarladefinición.

1) 𝛽 ⊂ ℚ,𝛽 ≠ ∅,𝛽 ≠ ℚ.2) Si𝑟 ∈ 𝛽,entonces𝛼� <ℝ 𝛼, 𝑎𝑙𝑔ú𝑛𝛼 ∈ 𝑆.Luego∀𝑥 ∈ ℚ,𝑥 <ℚ 𝑟,

entonces𝛼o ≤ℝ 𝛼� ,así𝛼o <ℝ 𝛼,porlotanto𝑥 ∈ 𝛽.3) Si𝑚fueramáximode𝛽,sedebecumplirque𝛼z <ℝ 𝛼,algún𝛼 ∈ 𝑆,es

decir,𝑚 ∈ 𝛼yseríamáximode𝛼también,pero𝛼escortaduraynotienemáximo,loqueescontradictorio.

De1.,2.y3.,𝛽escortadura.b. Si𝛼 ∈ 𝑆,entoncespordefinición∀𝑥 ∈ 𝛼 ⇒ 𝑥 ∈ 𝛽,luego𝛼 ⊂ 𝛽 ⟺ 𝛼 ≤ℝ 𝛽,por

lotanto,𝛽escotasuperiorde𝑆.c. Si𝛾esotracotasuperiorde𝑆,implicaque𝛼 ≤ℝ 𝛾,∀𝛼 ∈ 𝑆,luegoque𝛼 ⊂ 𝛾,

∀𝛼 ∈ 𝑆.Luegosi𝑥 ∈ 𝛽,entonces𝑥 ∈ 𝛾,esdecir,𝛽 ⊂ 𝛾,porlotanto𝛽 ≤ℝ 𝛾.Porlotanto𝛽eslamenorcotasuperior,esdecir,𝛽 = sup 𝑆.

AritméticaenℝDefinición.

Si𝛼y𝛽soncortaduras,entoncessedefinelasumade𝛼con𝛽,comosigue:𝛼 + 𝛽 = 𝑧 ∶ 𝑧 = 𝑥 + 𝑦,𝑎𝑙𝑔ú𝑛𝑥 ∈ 𝛼,𝑎𝑙𝑔ú𝑛𝑦 ∈ 𝛽 .

Definiciones.

1) 𝒪 = 𝛼i = 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝑥 <ℚ 0 .2) −𝛼 = 𝑥 ∈ ℚ ∶ −𝑥 ∉ 𝛼, −𝑥𝑛𝑜𝑒𝑠𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑑𝑒ℚ\𝛼 .3) 𝒫 = 𝛼:𝛼𝑒𝑠𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎𝑦𝒪 <ℝ 𝛼 .(cortaduraspositivas)


27

Teorema29.Si𝛼,𝛽y𝛾soncortaduras,entoncesa. 𝛼 + 𝛽escortadura.b. 𝛼 + 𝛽 = 𝛽 + 𝛼.c. 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 .d. 𝛼 + 𝒪 = 𝛼.e. −𝛼escortaduray𝛼 + −𝛼 = 𝒪.

Demostración.

a. Parademostrarque𝛼 + 𝛽escortadura,sedebemosprobarqueseverificaladefinición.Esdecirque𝛼 + 𝛽cumplelassiguientescondiciones:1) 𝛼 + 𝛽 ≠ ∅y𝛼 + 𝛽 ≠ ℚ(𝛼 + 𝛽subconjuntopropiodeℚ).2) Si𝑟 ∈ 𝛼 + 𝛽,∀𝑧 ∈ ℚ,𝑧 <ℚ 𝑟,entonces𝑧 ∈ 𝛼 + 𝛽.3) Si𝑤 ∈ 𝛼 + 𝛽,entonces∃𝑧 ∈ 𝛼 + 𝛽,𝑤 <ℚ 𝑧(𝛼 + 𝛽notieneun

elementomáximo).Enefecto:1) Como𝛼 ≠ ∅y𝛽 ≠ ∅,existen𝑥 ∈ 𝛼y𝑦 ∈ 𝛽,entonces𝑥 + 𝑦 ∈ 𝛼 + 𝛽,por

lotanto𝛼 + 𝛽 ≠ ∅.Como𝛼 ≠ ℚy𝛽 ≠ ℚ,existen𝑟, 𝑠 ∈ ℚ,talque∀𝑥 ∈ 𝛼y∀𝑦 ∈ 𝛽,𝑥 <ℚ 𝑟,𝑦 <ℚ 𝑠,porlotanto𝑥 + 𝑦 <ℚ 𝑟 + 𝑠,entonces𝑟 + 𝑠 ∉ 𝛼 + 𝛽porlotanto𝛼 + 𝛽 ≠ ℚ.

2) Si𝑧 ≤ℚ 𝑟 = 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝛼 + 𝛽,entonces𝑧 − 𝑥 ≤ℚ 𝑟 − 𝑥 = 𝑦 ∈ 𝛽ycomo𝛽escortadura,𝑧 − 𝑥 ∈ 𝛽,luego𝑧 = 𝑥 + 𝑤 − 𝑥 ∈ 𝛼 + 𝛽.

3) Si𝑤 ∈ 𝛼 + 𝛽,entonces𝑤 = 𝑟 + 𝑠con𝑟 ∈ 𝛼,𝑠 ∈ 𝛽.Como𝛼y𝛽soncortaduras∃𝑥 ∈ 𝛼,𝑟 <ℚ 𝑥.∃𝑦 ∈ 𝛼,𝑠 <ℚ 𝑦,entoncespara𝑤 = 𝑟 + 𝑠 ∈𝛼 + 𝛽,existe𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝛼 + 𝛽talque𝑤 = 𝑟 + 𝑠 <ℚ 𝑥 + 𝑦 = 𝑧,esdecir𝛼 + 𝛽notieneunelementomáximo.

Lasdemostracionesdeb.,c.,d,ye.,sedejancomoejercicios.Teorema30.

a. Si𝛼, 𝛽 ∈ 𝒫,entonces𝛼 + 𝛽 ∈ 𝒫.b. Si𝛼escortadura,entonces𝛼 = 𝒪 ∨ 𝛼 ∈ 𝒫 ∨ −𝛼 ∈ 𝒫.c. Si𝛼,𝛽y𝛾soncortadurasy𝛼 <ℝ 𝛽,entonces𝛼 + 𝛾 <ℝ 𝛽 + 𝛾.

Demostración.

a. Si𝛼, 𝛽 ∈ 𝒫,𝛼, 𝛽soncortadurasy𝒪 <ℝ 𝛼,𝒪 <ℝ 𝛽,entonces𝒪 <ℝ 𝛼 + 𝛽,yaque𝒪 ⊂ 𝛼,𝒪 ⊂ 𝛽implicanque𝒪 ⊂ 𝛼 + 𝛽.Porlotanto𝛼 + 𝛽 ∈ 𝒫.

Lasdemostracionesdeb.yc.,sedejancomoejercicios.Definición.

Si𝛼y𝛽soncortaduras,con𝛼, 𝛽 ∈ 𝒫,entoncessedefineelproductode𝛼con𝛽,comosigue:


28

𝛼 ∙ 𝛽 = 𝑧 ∈ ℚ ∶ 𝑧 ≤ℚ 0 ∨ 𝑧 = 𝑥𝑦, 𝑎𝑙𝑔ú𝑛𝑥 ∈ 𝛼, 𝑎𝑙𝑔ú𝑛𝑦 ∈ 𝛽, 𝑐𝑜𝑛0 <ℚ 𝑥, 0 <ℚ 𝑦 .Teorema31.

Si𝛼y𝛽soncortaduras,con𝛼, 𝛽 ∈ 𝒫,entoncesa. 𝛼 ∙ 𝛽escortadura.b. 𝛼 ∙ 𝛽 = 𝛽 ∙ 𝛼.

Demostración.

a. Parademostrarque𝛼 ∙ 𝛽escortadura,sedebemosprobarqueseverificaladefinición.Esdecirque𝛼 ∙ 𝛽cumplelassiguientescondiciones:1) 𝛼 ∙ 𝛽 ≠ ∅y𝛼 ∙ 𝛽 ≠ ℚ(𝛼 ∙ 𝛽subconjuntopropiodeℚ).2) Si𝑟 ∈ 𝛼 ∙ 𝛽,∀𝑧 ∈ ℚ,𝑧 <ℚ 𝑟,entonces𝑧 ∈ 𝛼 ∙ 𝛽.3) Si𝑤 ∈ 𝛼 ∙ 𝛽,entonces∃𝑧 ∈ 𝛼 ∙ 𝛽,𝑤 <ℚ 𝑧(𝛼 ∙ 𝛽notieneunelemento

máximo).Enefecto:1) Como𝛼 ≠ ∅y𝛽 ≠ ∅,existen𝑥 ∈ 𝛼y𝑦 ∈ 𝛽,con0 <ℚ 𝑥,0 <ℚ 𝑦,entonces

𝑧 = 𝑥𝑦 ∈ 𝛼 ∙ 𝛽,porlotanto𝛼 ∙ 𝛽 ≠ ∅.Como𝛼 ≠ ℚy𝛽 ≠ ℚ,existen𝑟, 𝑠 ∈ ℚ,talque∀𝑥 ∈ 𝛼y∀𝑦 ∈ 𝛽,𝑥 <ℚ 𝑟,

𝑦 <ℚ 𝑠,porlotanto𝑥𝑦 <ℚ 𝑟𝑠,entonces𝑟𝑠 ∉ 𝛼 ∙ 𝛽porlotanto𝛼 ∙ 𝛽 ≠ ℚ.2) Sea𝑟 ∈ 𝛼 ∙ 𝛽.Paracualquier𝑧 ∈ ℚ,𝑧 <ℚ 𝑟. Si𝑧 ≤ℚ 0,entonces𝑧 ∈ 𝛼 ∙ 𝛽. Si0 <ℚ 𝑧,entonces0 <ℚ 𝑟.Porlotanto𝑟 = 𝑥𝑦algún𝑥 ∈ 𝛼,algún𝑦 ∈ 𝛽. Luego𝑧 = ¤�

�= ¤o¥

�= ¤

�𝑥 𝑦,como0 <ℚ 𝑧 <ℚ 𝑟,entonces

¤�<ℚ 1.

Porlotanto¤�𝑥 ∈ 𝛼,luego𝑧 ∈ 𝛼 ∙ 𝛽.

3) Sea𝑤 ∈ 𝛼 ∙ 𝛽,entonces: Si𝑤 ≤ℚ 0,entoncesexistealgún𝑥 ∈ 𝛼,con0 <ℚ 𝑥yalgún𝑦 ∈ 𝛽,con

0 <ℚ 𝑦,luego𝑧 = 𝑥𝑦 ∈ 𝛼 ∙ 𝛽y𝑤 ≤ℚ 𝑧. Supongamosahoraque0 ≤ℚ 𝑤,entonces𝑤 = 𝑥𝑦paraalgún𝑥 ∈ 𝛼,con

0 <ℚ 𝑥,algún𝑦 ∈ 𝛽,con0 <ℚ 𝑦.Además𝛼contienealgún𝑥,𝑥 <ℚ 𝑥. Ahorasi𝑧 = 𝑥𝑦,entonces𝑤 = 𝑥𝑦 <ℚ 𝑧y𝑧 ∈ 𝛼 ∙ 𝛽. Luego𝛼 ∙ 𝛽notieneunelementomáximo.

b. Parademostrarque𝛼 ∙ 𝛽 = 𝛽 ∙ 𝛼serecurrealaconmutatividaddelosracionalespositivos.Enefecto:

𝛼 ∙ 𝛽 = 𝑧 ∈ ℚ ∶ 𝑧 ≤ℚ 0 ∨ 𝑧 = 𝑥𝑦, 𝑎𝑙𝑔ú𝑛𝑥 ∈ 𝛼, 𝑎𝑙𝑔ú𝑛𝑦 ∈ 𝛽, 𝑐𝑜𝑛0 <ℚ 𝑥, 0 <ℚ 𝑦 = 𝑧 ∈ ℚ ∶ 𝑧 ≤ℚ 0 ∨ 𝑧 = 𝑦𝑥, 𝑎𝑙𝑔ú𝑛𝑦 ∈ 𝛽, 𝑎𝑙𝑔ú𝑛𝑥 ∈ 𝛼, 𝑐𝑜𝑛0 <ℚ 𝑦, 0 <ℚ 𝑥 = 𝛽 ∙ 𝛼.

Definición.

Si𝛼escortadura,entoncessedefine

1) 𝛼 = 𝛼,𝑠𝑖𝛼 ∈ 𝒫 ∨ 𝛼 = 𝒪.−𝛼,𝑠𝑖 −𝛼 ∈ 𝒫.


29

2) 𝛼 ∙ 𝛽 =𝒪,𝑠𝑖𝛼 = 𝒪 ∨ 𝛽 = 𝒪 𝛼 ∙ 𝛽 ,𝑠𝑖𝛼, 𝛽 ∈ 𝒫 ∨ −𝛼 , −𝛽 ∈ 𝒫− 𝛼 ∙ 𝛽 ,𝑠𝑖𝛼, −𝛽 ∈ 𝒫 ∨ −𝛼 , 𝛽 ∈ 𝒫

3) ℐ = 𝛼n = 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝑥 <ℚ 1 Definición.

Si𝛼escortadura,entoncessedefinesi1) 𝛼 ∈ 𝒫:

𝛼mℐ = 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝑥 ≤ℚ 0, ∨ 𝑥 >ℚ 0 ∧ §¨ ∉ 𝛼, 𝑝𝑒𝑟𝑜

§¨𝑛𝑜𝑒𝑠𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑑𝑒ℚ\𝛼 .

2) −𝛼 ∈ 𝒫:𝛼mℐ = − 𝛼 mℐ .

Teorema32.

Si𝛼,𝛽y𝛾soncortaduras,entoncesa. 𝛼 ∙ 𝛽 = 𝛽 ∙ 𝛼.b. 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝛾 = 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝛾 .c. 𝛼 ∙ ℐ = 𝛼.d. 𝛼mℐescortadura,si𝛼 ≠ 𝒪y𝛼 ∙ 𝛼−ℐ = ℐ. e. 𝛼 ∙ 𝛽 + 𝛾 = 𝛼 ∙ 𝛽 + 𝛼 ∙ 𝛾.

Demostración.

a. 𝛼 ∙ 𝛽 =𝒪,𝑠𝑖𝛼 = 𝒪 ∨ 𝛽 = 𝒪 𝛼 ∙ 𝛽 ,𝑠𝑖𝛼, 𝛽 ∈ 𝒫 ∨ −𝛼 , −𝛽 ∈ 𝒫− 𝛼 ∙ 𝛽 ,𝑠𝑖𝛼, −𝛽 ∈ 𝒫 ∨ −𝛼 , 𝛽 ∈ 𝒫

Peroporteorema31.b.(conmutatividaddelproductodecortaduraspositivas)𝛽 ∙ 𝛼 =

𝒪,𝑠𝑖𝛼 = 𝒪 ∨ 𝛽 = 𝒪 𝛽 ∙ 𝛼 ,𝑠𝑖𝛽, 𝛼 ∈ 𝒫 ∨ −𝛽 , −𝛼 ∈ 𝒫− 𝛽 ∙ 𝛼 ,𝑠𝑖𝛽, −𝛼 ∈ 𝒫 ∨ −𝛽 , 𝛼 ∈ 𝒫

Luegoseverificaque𝛼 ∙ 𝛽 = 𝛽 ∙ 𝛼.Lasdemostracionesdeb.,c.,d.ye.,sedejancomoejercicios.

Asísedemuestraqueℝ = 𝛼 ⊂ ℚ ∶ 𝛼𝑒𝑠𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 conelordendefinidoylas

operacionesaritméticasdeadiciónymultiplicaciónesuncuerpoordenadoyademáscompleto.

Launicidaddelosdenominadosahoraconpropiedaddelosnúmerosrealesculminaconlaconstruccióndelosnúmerosreales,“únicocuerpoordenadoycompleto”,salvoisomorfismo.


30

Comentariosfinales

LaconstruccióndeCantorestápensadaparaquelassucesionesdeCauchyseansiempreconvergentes,yaquetodonúmerorealdebeserellímitedealgunasucesióndeCauchydenúmerosracionales,perocomomuchas(mejordichoinfinitas)sucesionessonconvergentesaunmismo𝛼sedebedefinirlaequivalenciadedossucesiones.Definición.

Sean 𝑥g g∈© ⊂ ℚ, 𝑦g g∈© ⊂ ℚ,dossucesionesdeCauchy,entonceslarelación"~",como 𝑥g g∈©~ 𝑦g g∈© ⟺ lim

g→®𝑥g − 𝑦g = 0.

Observación.

Estarelación"~",sedemuestraqueesdeequivalencia.Si las clases de equivalencias de las sucesiones 𝑎g g∈© ⊂ ℚ y 𝑏g g∈© ⊂ ℚ se

denotanpor𝛼 = 𝑥g g∈© ⊂ ℚ ∶ 𝑥g g∈©~ 𝑎g g∈© .𝛽 = 𝑥g g∈© ⊂ ℚ ∶ 𝑥g g∈©~ 𝑏g g∈© .Sedemuestraque𝛼 ∩ 𝛽 = ∅,obien𝛼 = 𝛽.

Definición.

Sedefineelconjuntodelosnúmerosrealesℝ,como

ℝ = 𝛼 ∶ 𝛼𝑒𝑠𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑑𝑒𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Observación.Posteriormentesedefineunaaritméticayunordenenℝ,ysedemuestraqueℝ,es

un“cuerpoordenadoycompleto”.Finalmentepodríamospreguntarnos:

• ¿Conquéconstrucciónnosquedamos,conladeDedekindoladeCantor?• ¿Lascortadurasracionales?o¿lassucesionesracionalesdeCauchy?• ¿Porquénounasucesiónconvergentedeaproximacionesracionales?,esdecir,• ¿Porquénorecurriralosmétodosnuméricos?

Resultamásnaturaloreal,dondeelconceptoestéporsobreladefiniciónformaly

rigurosaylademostracióndesuspropiedades.Porejemplo,generaraproximacionesracionalesalreal 2:

Determinarunconjuntodeaproximacionesracionalesdeninguna,deuna,dedos,de

tres,cifrasdecimalesqueverifiqueque𝑥Z <ℚ 2.Lacualespartedelacortadura𝛾 = 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝑥 <ℚ 0 ∨ 𝑥Z <ℚ 2

Esdecir,concalculadorasepuedeobtener: 1; 1,4; 1,41; 1,414; … ⊂ 𝛾.


31

Observacionesfinales.

1. Hayunaobviainyeccióndeℚenℝ,asaber𝑓 ∶ ℚ

nmnℝdefinidacomo𝑓 𝑠 = 𝛼� = 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝑥 <ℚ 𝑠 ,∀𝑠 ∈ ℚ.

Yunisomorfismoentre ℚ, +ℚ, ∙ℚ, ≤ℚ y 𝑓 ℚ , +ℝ, ∙ℝ, ≤ℝ .Deestaforma,puedeconsiderarsequeℚ ⊂ ℝ.

2. Tambiénhayunainyeccióndeℤenℚ,asaber𝑓 ∶ ℤ

nmnℚdefinidacomo𝑓 𝑝 = (𝑝, 1) ,∀𝑝 ∈ ℤ.

Yunisomorfismoentre ℤ, +ℤ, ∙ℤ, ≤ℤ y 𝑓 ℤ , +ℚ, ∙ℚ, ≤ℚ .Asímismo,puedeconsiderarsequeℤ ⊂ ℚ.

3. Delamismaforma,hayunainyecciónde𝜔enℤ,asaber𝑓 ∶ 𝜔

nmnℤdefinidacomo𝑓 𝑚 = (𝑚, 0) ,∀𝑚 ∈ 𝜔.

Yunisomorfismoentre 𝜔, +©, ∙©, ≤© y 𝑓(𝜔), +ℤ, ∙ℤ, ≤ℤ .Luegotambiénpuedeconsiderarseque𝜔 ⊂ ℤ.Así,podemosescribir𝜔 ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.Cuandosedotaalosrealesdeunaestructuraalgebraicaydeorden,veremosque

estacopiadeℚenℝrespetatodaslaspropiedadesesencialesdeℚ.

Lascortadurasdeltipo𝛼�con𝑠 ∈ ℚsellamancortadurasracionales.Lascortadurasquenosondeesetiposellamancortadurasirracionalesonúmerosirracionales.


32

AnexoA:

Sistema Axiomático de Zermelo-Fraenkel-Skolem (ZFS) Axiomadeextensión.Dosconjuntossonigualessiysólositienenlosmismoselementos.

𝐸 = 𝑋Axiomadelaespecificación.Atodoconjuntoyatodacondicióncorrespondeunnuevoconjuntocuyoselementossonprecisamenteaquellosdelconjuntoparaloscualessecumplelacondición.

𝐸 = 𝑝 ∈ 𝐶 ∶ 𝐹 𝑝 Axiomadelapareamiento.Paradosconjuntoscualquiera,existeunconjuntoalcualpertenecenambos.

𝑃 = 𝐴, 𝑅 Axiomadelaunión.Paratodacoleccióndeconjuntosexisteunconjuntoquecontieneatodosloselementosquepertenecencuandomenosaunodelosconjuntosdelacolección.

𝑈 = 𝑁¶∈·

Axiomadelapotencia.Paracadaconjuntoexisteunacoleccióndeconjuntosquecontieneentresuselementosatodoslossubconjuntosdelconjuntodado.

𝑃 𝑂 = 𝑇 ∶ 𝑇 ⊂ 𝑂 Definicionesypropiedadesde:

• Relaciones.Funciones.(revisadaenAlgebradeFunciones)• Equivalenciayorden.(estudiadaenFundamentosEstructurantesdelaMatemática).

Axiomadelinfinito(axiomadePeano).

Existeunconjuntoquecontieneal0yalsucesordecadaunodesuselementos.∃𝑊, 0 ∈ 𝑊⋀ 𝑥 ∈ 𝑊 ⟹ 𝑥 ∪ 𝑥 ∈ 𝑊

Axiomadeelección.Elproductocartesianodeunafamilianovacíadeconjuntosnovacíosesnovacío.

∀ 𝐴. .∈/≠ ∅, 𝐴. ≠ ∅, ∀𝑗 ∈ 𝐽 ⟹ 𝐴.

.∈/≠ ∅

Axiomadesustituciónoreemplazo.Si𝑆(𝑎, 𝑏),esunacondiciónofrasetalqueparacadaelemento𝑎deunconjunto𝐴elconjunto{𝑏 ∶ 𝑆(𝑎, 𝑏)}puedeserformado,entoncesexisteunafunción𝐹condominio𝐴talque𝐹(𝑎) = {𝑏: 𝑆(𝑎, 𝑏)}paracada𝑎de𝐴.


33

AnexoB:Relaciones de equivalencia y Conjuntos Cuocientes. Notación.

Unarelación𝑅en𝐴esdeequivalencia,siesrefleja,simétricaytransitiva.Clasedeequivalenciade𝑎 ∈ 𝐴,eselconjuntodetodosloselementosde𝐴queestánrelacionadoscon"𝑎"bajolarelación𝑅. 𝑎 = 𝑥 ∈ 𝐴 ∶ 𝑥𝑅𝑎 Conjuntocuociente:Si𝑅esunarelacióndeequivalenciaen𝐴,entonceselconjuntocuocientede𝐴conlarelación𝑅eselconjuntoformadoportodaslasclasesdeequivalencias. 𝐴

𝑅 = 𝑎 ∶ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ObservaciónVIPSi 𝑎 = 𝑏 ,entonces𝑎𝑅𝑏.

EjemplosderelacionesdeequivalenciaEnelconjuntoderectasenelespacio: 𝑥𝑅𝑦 ⟺ 𝑥 ∥ 𝑦Enunconjunto𝐴cualquiera: 𝑥𝑅𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑦Enelconjuntopotencia𝑃(𝐴)deunconjunto𝐴cualquierafinito: 𝑥𝑅𝑦 ⟺ 𝑘 𝑥 = 𝑘(𝑦) 𝑥, 𝑦 ⊂ 𝐴Enelconjuntopotencia𝑃(𝐴)deunconjunto𝐴cualquierainfinito: 𝑥𝑅𝑦 ⟺ 𝑥

∃¼𝑦 𝑥, 𝑦 ⊂ 𝐴

Enparticular,si𝐴 = ℚ,tenemosvariossubconjuntosdelosracionales,talescomoℙ,𝜔, ℤ,dondeℙdenotaelconjuntodelospares(ℙ ⊂ 𝜔 ⊂ ℤ ⊂ ℚ)

𝜔𝑅ℙ⟺ 𝜔∃¼

ℙ ≡ 𝜔 ≈ ℙ ⇔ 𝜔esequipotenteconℙ 𝜔𝑅ℤ ⟺ 𝜔

∃¼ℤ ≡ 𝜔 ≈ ℤ ⇔ 𝜔esequipotenteconℤ

𝜔𝑅ℚ⟺ 𝜔∃¼

ℚ ≡ 𝜔 ≈ ℚ ⇔ 𝜔esequipotenteconℚTambiénseverificaque:

𝜔𝑅𝜔×𝜔 ⟺ 𝜔∃¼

𝜔×𝜔 ≡ 𝜔 ≈ 𝜔×𝜔 ⇔ 𝜔esequipotentecon𝜔×𝜔

Notas:• 𝑥|𝑦 ⇔𝑥dividea𝑦⇔∃𝑛 ∈ ℕ, 𝑦 = 𝑛𝑥• 𝑝esdivisiblepor𝑚⇔∃𝑘 ∈ ℤ, 𝑝 = 𝑘𝑚⇔ 𝑝 ∈ 𝑚ℤ• 𝑚ℤ = 0,±𝑚,±2𝑚,±3𝑚,… enterosmúltiplosde𝑚

• 𝑥𝑅𝑦 ⟺ 𝑥 − 𝑦𝑒𝑠𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑝𝑜𝑟𝑚

⟺ 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑒𝑥𝑐𝑜𝑛𝑦,𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜𝑚⟺ 𝑥 ≡ 𝑦 𝑚𝑜𝑑𝑚

Engeneral,usamoselsímbolo“~”acambiodela“R”.


34

Resumenfinal

LaAxiomáticadelaTeoríadeConjuntostratalossiguientestemas:

Axiomasdelaextensión,especificación,apareamiento,uniónypotencia.(estudiadaenasignaturasdeÁlgebra)• Primeraparte(Unidad1deTópicosdeMatemáticaContemporánea,desde2016):

§ AxiomadelinfinitoyaxiomasdePeano.§ Construccióndelosnaturales𝜔.§ PrincipiodeInducciónMatemáticayrecursividad.§ Aritméticayordenenlosnaturales𝜔.§ RelacionesdeEquivalencia.Clasesdeequivalencia.§ Construccióndelosenterosℤylosracionalesℚcomoconjuntoscuocientes.§ Aritméticayordenenlosenterosℤylosracionalesℚ.§ CortadurasdeDedekindoSucesionesdeCauchydeCantor.§ Aritmética,ordenycompletitudenlosrealesℝ.

• Segundaparte(Unidad2deTópicosdeMatemáticaContemporánea,desde2016):§ Equipotencia,Ordensubordinadoalaequipotenciaentreconjuntos.§ TeoremasdeCantor.§ CardinalidaddeconjuntosfinitoseInfinitos.§ Cardinalidaddelosconjuntosnuméricos:𝜔, ℤ,ℚ,ℝeintervalos.§ Alefylahipótesisdelcontinuo.

Bibliografíarecomendada• Ayres,F.(1969),AlgebraModerna.ImpresoenColombia.México.EditorialMcGrawHill.• Babini, J. (1974), Historia de las ideas modernas en matemática. Washington, DC.

EstadosUnidos.MonografíaOEA.• De Lorenzo, J. (1972), Iniciación a la Teoría Intuitiva de Conjuntos.Madrid, España.

EditorialTECNOS.• Halmos, P. (1973), Teoría Intuitiva de los Conjuntos, México. Editorial CECSA 8º

impresiónenespañol.• Lewin, R. (2011), La Teoría de Conjuntos y los Fundamentos de la Matemática,

Monografía“HerramientasparalaFormacióndeProfesoresdeMatemática”,Santiago,Chile.EditorialJ.C.Sáez.

• Lipschutz, S. (1970), Teoría de Conjuntos. Impreso en Colombia. México. EditorialMcGrawHill.

• Lipschutz,S.(1970),Topologíageneral.ImpresoenColombia.México.EditorialMcGrawHill.

• Spivak,M. (2012).Calculus, Volumen2, terceraedición.Barcelona, España. EditorialReverté.

• Trejo,C.(1978),ElConceptodeNúmero.Washington,DC.EstadosUnidos.MonografíaOEA.

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