EJEMPLO: VISCOSMETRO DE CONO Y PLACA.

-Suponer que la distribucin de velocidad en la separacin puede aproximarse bastante por la

velocidad correspondiente para flujo entre lminas paralelas, donde la lmina superior se mueve a

velocidad constante. Comprobar que esto conduce a la distribucin de velocidad aproximada en el

viscosmetro (en coordenadas esfricas).

( )

( )

1. Se aplican coordenadas esfricas para las superficies del cono y placa. Pueden ser

definidas como =superficies constantes. El ngulo que se forma por el cono y el plato

es aproximadamente menor a 3, se considera que = /2, por lo tanto:

Superficie del cono: =

Superficie de la placa: = /2

El viscosmetro de cono y plata consiste en una delgada

placa, que est ubicada en el fondo donde se encuentra el

fluido cuya viscosidad ser medida dentro de un cono

invertido que se encuentra sobre el fluido hasta que el

vrtice toca la placa. El cono rota con alguna velocidad

angular , y el torque (torsin) requiere que el cono gire o

para mantener la placa fija cuando se mide la viscosidad

para fluidos newtonianos y algunos no newtonianos.

2. En el cono se experimenta una rotacin para :

V(r) = xr

y=rsin

3. En coordenadas esfricas la posicin del vector r es:

r=rer(,)

Justificacin: Los vectores unitarios en coordenadas esfricas dependen de la posicin, el vector er

es un vector de longitud igual a la unidad en la direccin r.

El vector unitario e es un vector unitario de longitud igual a la unidad en direccin de creciente.

La geometra elemental conduce a:

er= (cos)ex+(sin)ey+(0)ez

Despejando ex ,se obtiene:

ex= (cos)er-(sin)e+(0) ez

4. Por lo anterior, la velocidad angular es:

(1)

5. Obtener el producto vectorial de los vectores ( y r):

V(r) = xr= rsine ;

Desde la existencia de un solo componente de velocidad , las lneas de corriente del fluido

resultan ser en forma circular (contorno corresponde a r=cte y =cte). El crculo corresponde a

02.

9. Por analoga la presin que lleva un fluido en una tubera debe disminuir a lo largo de la

direccin del flujo. Sin embargo en un flujo constante, la presin no puede reducirse

constantemente con para toda . Como mnimo, la presin debe ser peridica en , en

otras palabras:

P(r,,)=P(r,,+2)

Para cualquier disminucin en la presin la parte de la trayectoria circular donde pasa el fluido se

podr balancear por aumentos a lo largo de la parte restante, por qu la presin puede ser alta

en algunos puntos a lo largo de las lneas de corriente que en otras? La razn es que su geometra

asimtrica con respecto a hace que no se espere alguna dependencia con con la presin.

10. El perfil de velocidad automticamente satisface la Ley de viscosidad de Newton

(ec.continuidad), en coordenadas esfricas:

11. Ignorando la gravedad, la ec. Navier Stokes en coordenadas esfricas para r,,:

r:

:

:

[

(

)

(

)

]

12. Los perfiles de velocidad y de presin han sido separados, el primer paso es resolver el

perfil de velocidad y luego sustituir el resultado en las ecs. de los componentes r y para

as poder resolver el perfil de presin. Basado en la condicin limite, se postula una

solucin de la forma:

V(r,)=rf()

Sustituyendo V(r,)=rf() en la ecuacin del componente se cancela la dependencia de r,

as se obtiene una derivada ordinaria de segundo orden en la f(), la solucin es la siguiente:

[

(

)

(

)

]

[

(

)

(

)

]

[

(

)

(

)

]

[

(

)

]

[

(

)

]

[

(

)

]

[

]

[

(

) ]

C1 : = V =rsin V()=V(r)=0

C2: =/2 V = V (,r) V = V =V=0

V()= rsin ec.5

Para calcular el perfil de velocidad en la superficie de los conos.

Se disean los ngulos de los conos cerca de /2 aparentemente por el momento.

r y r1- (/2)

r y r1, vienen de una distancia vertical desde algn punto arbitrario (r,) dentro del fluido al

plato.

lim {r1}= h(r)

1/2

La ecuacin (5) queda:

( )

( )

=/2-.

La velocidad de la corriente es independiente de la posicin:

Para /2

-Para un instrumento de placa y cono con radio 10cm y ngulo igual a 0.5 grados, qu momento

de torsin (en dinas*cm) se requiere para hacer girar el cono a una velocidad angular de 10

radianes por minuto si la viscosidad del fluido es 100cp?

Datos::

R=10cm

=100cp=1g cm-1 s-1

=10 radianes min-1 = 10/60 radianes/s= 1/6 radianes/s

(/2)-1=0.5= /360 radianes= 0.008727 radianes

= ((2/3) (1)(10)3 (1/6))/(/360)=40000 dyn-cm