vii coloquio · 2016. 7. 28. · memorias del vii coloquio internacional de matemÁtica educativa...

MEMORIAS

DEL VII COLOQUIO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA

EDUCATIVA PARA PROFESORES

PACHUCA, HIDALGO

7 al 9 de diciembre de 2015

Editores Carlos Rondero-Guerrero

Anna Tarasenko

Aarón Reyes-Rodríguez

Juan Alberto Acosta-Hernández

Oleksandr Karelin

Marcos Campos-Nava

Agus%n Torres Rodríguez

Coloquio internacional

VII

de Matemá*ca Educa*va para Profesores

VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para profesores

Pachuca, Hidalgo

7 al 9 de diciembre de 2015

Citar como:

Rondero, C., Tarasenko, A., Reyes, A., Acosta, J. A., Karelin, A., Campos, M. y Torres, A.

(Eds.), Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa Para Profesores.

Pachuca: México.

ISBN: En trámite

I

Presentación

El VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores representa una

continuación de los esfuerzos desarrollados desde hace varios años en el Área Académica

de Matemáticas y Física de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, para

contribuir en la formación y actualización de los profesores de matemáticas. Esta

actividad surge de la inquietud que un grupo de investigadores de la UAEH ha mantenido

para vincular los resultados de la investigación con propuestas didácticas que impacten de

manera significativa en la educación matemática que reciben los estudiantes.

Consideramos que la interacción y comunicación entre profesores, matemáticos y

educadores matemáticos permitirá intercambiar puntos de vista y experiencias, con la

intención de generar propuestas encaminadas a resolver la problemática del aprendizaje

de las matemáticas presente en las aulas de todos los niveles educativos.

En cada edición del Coloquio se adopta un lema, cuyo propósito es proponer una

temática que oriente la actividad académica. Este año el eje del coloquio es “El desarrollo

del pensamiento crítico en la formación de profesores”, ya que en una sociedad de la

información y el conocimiento como la actual, la creatividad y la innovación son

habilidades fundamentales para el desarrollo de un profesional. En este año se contará

con la participación de investigadores de España, Chile, Cuba y Panamá, además de

profesores y educadores matemáticos de Instituciones Educativas de diferentes estados de

la República, particularmente del Distrito Federal, Estado de México, Puebla e Hidalgo.

Agradecemos el apoyo económico bridado por la Universidad Autónoma del Estado de

Hidalgo a través del Programa Anual Operativo 2014 y el Patronato de la UAEH, sin el

cual la realización de esta actividad académica no hubiera sido posible. Orientaremos

todos nuestros esfuerzos para que esta edición 2015 del coloquio sea productiva para

todos los participantes.

El Comité Organizador

III

Contenido

Presentación………………………………………………………………………….….…I

Contenido…………………………………………………………………………………II

FORMACIÓN DE PROFESORES

La WebQuest como estrategia de enseñanza para el desarrollo del pensamiento

estocástico en estudiantes normalistas de matemáticas: una experiencia que promueve el

trabajo colaborativo y autónomo….………………………………………………………3

Saúl Elizarráraz

Dificultades y errores al resolver problemas geométricos por estudiantes normalistas que

cursan la especialidad en Matemáticas: El caso de la semejanza de triángulos………..11

Saúl Elizarrarás, José Luis Medardo Quiroz, Orlando Vázquez y Mario Rodríguez

Relevancia de la formación de profesores de matemáticas del nivel superior…………..21

Agustín Torres-Rodríguez

Dificultades en la resolución de problemas geométricos con estudiantes normalistas de la

especialidad en matemáticas…………………………………………………………..…31

Orlando Vázquez

NUEVAS TECNOLOGÍAS EN LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE

El pensamiento crítico en la selección de contenidos matemáticos de un MOOC de

precálculo………………………………………………………………………………...41

Juan Alberto Acosta y Anna Tarasenko

Tareas de aprendizaje matemático con el uso de software de geometría dinámica como

elemento articulador: el caso del mecanismo de pistón………………………………….49

Marcos Campos

IV

Gráficas interactivas en 3D con R……………………………………….………………61

Maricarmen González-Videgaray y Rubén Romero-Ruiz

Manipulables virtuales un recurso didáctico en la enseñanza de las matemáticas………71

Juan Oaxaca y Carmen Valderrama

Uso de una página web y un laboratorio virtual para la enseñanza de estadística

descriptiva……………………………………………………………………………….83

Miguel Pineda, Armando Aguilar, Juan Axotla, Frida León, Omar García y

DomingoMárquez

Enseñanza del tema de prueba de hipótesis en las carreras de ingeniería de la FESC con

apoyo un curso e-learning………………………………………………………………..91

Miguel Pineda, Armando Aguilar, Juan Axotla, Frida León, Omar García y Rogelio

Ramos

Formación de profesores de matemáticas en Geogebra y Comics……………………101

Zaira Eréndira Rojas-García y Ma. Emma Bautista-García

INNOVACIÓN EDUCATIVA

Sistemas de creencias hacia las matemáticas en alumnos universitarios……..…….111

María Eugenia Canut

Formación de estudiantes motivando el aprendizaje y la aplicación de las

matemáticas, con la integración de proyectos basados en competencias profesionales a

nivel superior…………………………………………………………………………...119

Yucels Del Carmen y Heidi Del Carmen

La matemática y el método de enseñanza por proyecto…………………………….….127

Orlando García-Marimón

V

Resultados preliminares de la aplicación de la secuencia didáctica para la factorización de

polinomios de segundo grado y su aplicación en la ecuación cuadrática………..……..139

Vianet Olimpia González-Medina

Habilidades de los niños en edad preescolar para resolver problemas matemáticos...…149

Luisa Morales-Maure

El uso de producciones textuales de los alumnos para la indagación de errores

conceptuales en la resolución de problemas con números racionales………………….163

Giselle Ochoa-Hofmann y Jorge Ramírez-González

Diseño de un instrumento piloto de valoración de habilidades del pensamiento

matemático y de razonamiento lógico para una licenciatura de una Institución de

Educación Superior…………………………………………………………………..…173

Nelly Rigaud- Téllez

La importancia del pensamiento crítico en la didáctica de las matemáticas………..….183

Anna Tarasenko y Juan Alberto Acosta

La experiencia de la asignatura de Matemáticas Básicas para el alumnado………...….191

Fernando Velasco-Luna, Hortensia Reyes-Cervantes, Solano Tajonar-Sanabria y Luis

Arévalo-Aguilar

FORMACIÓN

DE

PROFESORES

VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores

2015. En Rondero, C., Tarasenko, A., Reyes, A., Acosta, J. A., Karelin, A., Campos, M.

y Torres, A. (Eds.), Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa

Para Profesores (pp. 3-10). Pachuca: México. ISBN: En trámite.

La WebQuest como estrategia de enseñanza para el desarrollo del pensamiento estocástico en estudiantes

normalistas de matemáticas: una experiencia que promueve el trabajo colaborativo y autónomo

Saúl Elizarrarás

Escuela Normal Superior de México, Distrito Federal, México. [email protected]

Resumen. El presente reporte forma parte de un proyecto de

investigación cualitativo (Eisner, 1998) más amplio, realizado con un grupo de doce estudiantes del sexto semestre de la Licenciatura en

Educación Secundaria con Especialidad en Matemáticas (LESEM) de la

Escuela Normal Superior de México (ENSM); a modo de ejemplo, se

presentan algunas dificultades sobre ideas fundamentales de estocásticos (Heitele, 1975) manifestadas por los participantes al resolver problemas

propuestos en una WebQuest (WQ), quienes refirieron que esto se debió

a que faltaron explicaciones sencillas y precisas, así como ejemplos cuya dificultad fuera gradual; también manifestaron poca familiaridad con los

conceptos propios de la probabilidad y estadística, aunque en algunos

casos accedieron a su comprensión mediante el trabajo colaborativo y

reconocieron la ventaja de conocer las distintas formas de resolver un mismo problema; no obstante, hubo equipos que consideraron

indispensable resolverlo en el aula para validar procedimientos y

establecer acuerdos sobre los resultados.

Abstract. This report is part of a broader project of qualitative research

(Eisner, 1998), conducted with a group of twelve students of the sixth

semester of the Bachelor of Secondary Education with specialization in Mathematics (LESEM) Escuela Normal Superior de Mexico (ENSM);

for example, some difficulties on fundamental ideas of stochastic

(Heitele, 1975) expressed by the participants to resolve problems posed

in a WebQuest (WQ), who stated that this was because they lacked simple and accurate explanations are presented, as well as Examples

whose difficulty was gradual; also they expressed unfamiliarity with the

concepts of probability and statistics, although in some cases agreed to their understanding through collaborative work and recognized the

advantage of knowing the different ways of solving the same problem;

however, it was considered essential equipment in the classroom to solve validate procedures and establish agreements on the results.

La WebQuest como estrategia de enseñanza

S. Elizarrarás

4

1 Introducción

El presente estudio, a modo de exploración, tuvo como objetivo principal al siguiente:

Interpretar el impacto en el proceso de formación continua de los estudiantes normalistas

cuando se utiliza como estrategia de enseñanza a la WQ para promover el trabajo

colaborativo y autónomo. Asimismo, se planteó como objetivo secundario: identificar

dificultades de comprensión en estudiantes normalistas de la LESEM sobre ideas

fundamentales de estocásticos. Se planteó como punto de partida a dos de los cinco

rasgos del perfil de egreso de la LESEM (SEP, 1999); el primero, denominado

habilidades intelectuales, señala que los estudiantes normalistas deben ser capaces de

plantear, analizar y resolver problemas, enfrentar desafíos intelectuales generando

respuestas propias a partir de sus conocimientos y experiencias; asimismo, deben

localizar, seleccionar y utilizar información de diverso tipo, tanto de fuentes escritas

como de material audiovisual, entre otras características de igual importancia; lo anterior

debe verse reflejado en el trabajo con los estudiantes que habrán de tener bajo su

responsabilidad. El segundo rasgo que fue incorporado es el conocido como identidad

profesional y ética, el cual establece, entre otros atributos, que los estudiantes normalistas

deben valorar el trabajo en equipo como un medio para la formación continua, así como

manifestar actitudes favorables para la cooperación.

1.1 Referentes teóricos

Se han destacado algunas de sus características de los dos rasgos del perfil de egreso

citados porque tienen estrecha relación con el planteamiento de la temática tratada en el

presente reporte de investigación. En este sentido, la WQ como estrategia de enseñanza

puede ser de gran utilidad cuando se trata de fomentar el trabajo colaborativo y autónomo

en la formación de futuros profesores de Matemáticas para la Escuela Secundaria de

México, adquiriendo una gran importancia el aspecto social del aprendizaje en el que

como lo enfatiza Adell (2004) favorece la búsqueda de información en un auténtico viaje

intelectual cuyo producto es la asimilación y acomodación de nueva información.

Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores

5

A pesar de que hace 40 años, Heitele (1975) formuló su perspectiva epistemológica sobre

lo que es verdaderamente fundamental para la enseñanza y el aprendizaje de estocásticos

(conjugación de los temas de probabilidad y estadística), todavía se podría considerar

vigente su planteamiento porque la lista de diez ideas fundamentales que propuso el

autor, siguen siendo trascendentales para caracterizar la comprensión de los estudiantes

que en este caso corresponden a la educación normal y que trasciende a la formación de

estudiantes del nivel secundaria de México, a saber: medida de probabilidad, espacio

muestra, regla de la adición, regla del producto e independencia, equidistribución y

simetría, combinatoria, modelo de urna y simulación, variable estocástica, ley de los

grandes números y muestra. El autor concibe a estas ideas de forma interrelacionada y

descarta una concepción estructuralista; además, destaca la necesidad de que sean

incluidas de forma honesta y responsable en los procesos de enseñanza y de aprendizaje

desde los niveles básicos hasta el nivel superior en forma gradual y sistemática.

Cabe señalar que los temas de estocásticos promueven de forma preponderante el

desarrollo del pensamiento crítico y reflexivo, ya que permiten el planteamiento de

alternativas para la toma de decisiones, lo cual conlleva una base racional, científica y

sobre todo ética para la resolución de problemas que afectan a las grandes masas, lo cual

debería implicar tomar en cuenta los intereses comunes por encima de los particulares.

Por su parte, Frawley (1999) unifica a internalistas y externalistas, planteando que no hay

algo que sea completamente individual ni totalmente social; de este modo, señala que la

mente social y la mente computacional confluyen en la relación entre el lenguaje y el

pensamiento y caracteriza tres etapas subjetivas para su estudio, a saber: procesamiento

no consciente, conciencia y metaconciencia.

1.2 Enfoque metodológico y organización de la investigación

El presente artículo forma parte de un proyecto de investigación de tipo cualitativo más

amplio, que en términos de Eisner (1998), su enfoque es todavía más profundo que lo

propuesto por la Etnografía Educativa; no obstante, se reconoce a la observación

participante como método y a la bitácora (a modo de diario de campo) como técnica.

Asimismo, se utilizaron como instrumentos a cuestionarios con interrogantes específicas


S. Elizarrarás

6

en las que se recuperaron las experiencias que tuvieron a bien compartir un grupo de doce

estudiantes normalistas de la LESEM de la ENSM con el equipo en el cual les

correspondió trabajar y cuya contestación la hicieron en archivo en Word y los enviaron

vía correo electrónico para su evaluación por parte del docente e investigador; se les

propuso la resolución de problemas sobre ideas fundamentales de estocásticos que fueron

propuestos en una WQ y de forma complementaria, se les solicitó la elaboración de un

mapa conceptual en el que pudieran reconocer todos los conceptos relacionados con la

temática propuesta. Cabe señalar que estas actividades fueron solicitadas a los

participantes luego de haber llevado a cabo un aproximado de quince sesiones en las que

se propusieron actividades diversas que fueron guiadas por el docente e investigador y

contestadas en forma grupal, conforme a los resultados obtenidos de repeticiones

independientes de fenómenos aleatorios diversos, tales como: discusión y análisis de

fenómenos deterministas y aleatorios, lanzar dados para jugar a alcanzar la meta de un

juego simulado de autos de carreras, realizar volados para simular hasta tres nacimientos

deseados de una pareja de recién casados, extracción de canicas de botellas (urnas) para

simular la producción de piezas defectuosas de dos máquinas productoras de trofeos, etc.

2 Interpretación y análisis de los hallazgos

En términos generales, los estudiantes presentaron dificultades de comprensión sobre

ideas fundamentales de estocásticos tales como: espacio muestra, regla del producto e

independencia, variable aleatoria, combinatoria y modelo de urna y simulación. Por

ejemplo, en el problema siguiente se debió haber obtenido la probabilidad, multiplicando

cincuenta veces por sí mismo a un cincuentavo; sin embargo, sólo se reconocieron los

eventos elementales de forma aislada sin establecer una relación entre estos:

En una urna hay 50 bolas, aparentemente iguales, numeradas del 1 al 50. ¿Cuál es la

probabilidad de extraer, una a una con reemplazo, las 50 bolas en el orden natural?

Solución: B: "bolas" P(B)=1/50 P(1)=1/50; P(2)=1/50; P(3)=1/50; P(4)=1/50; P(6)=1/50; P(n)=n/50.....

Fig. 1. Ejemplo de respuesta con ausencia de comprensión sobre la regla del producto e independencia


7

Otro ejemplo en el que manifestaron falta de consistencia y adecuado reconocimiento

sobre la dependencia de eventos es el que se muestra en la Figura 2, pues a pesar de que

recurren al cálculo de probabilidad condicional, formulan su respuesta en términos de la

independencia de eventos; además también se puede destacar que no utilizaron

apropiadamente los conceptos de evento y en su lugar, recurrieron a términos y al final,

simplificaron la probabilidad, lo cual resulta inconveniente, debido a que se desconoce a

todos los eventos que conforman el espacio muestra correspondiente:

Se considera el experimento aleatorio “lanzar dos veces un dado”. ¿Cuál es la probabilidad de

obtener número par en el segundo lanzamiento condicionado a obtener impar en el primero?

¿Son dependientes o independientes estos sucesos? ¿Por qué? (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6) (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6) (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6) (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6) (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6) (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,6); (6,6) N: "obtener un número par en el segundo lanzamiento" P(N)= 18/36 I: "Impar 1° lanzamiento y par 2° lanzamiento. P (I) = 9/36 P (I/N)= P (I∩B)/P(A)=1/4/1/2 P (I/N)=P(N)=1/2 Por tanto A y B son términos independientes porque la probabilidad de sacar un número par en el segundo lanzamiento es = 9/36 y la probabilidad de obtener un número impar y par en los lanzamiento.

Fig. 2. Ejemplo de respuesta con ausencia de comprensión sobre la dependencia de eventos

Otra actividad que fue solicitada refirió a la presentación de los conceptos propios de la

probabilidad y la estadística, previa búsqueda de su definición formal que en algunos

casos ya habían sido tratados en el aula desde las primeras sesiones de trabajo. En la

Figura 3, se muestra un ejemplo proporcionado por uno de los equipos y que de modo

más o menos similar, también fue presentado por los demás equipos. Se puede observar

la ausencia de algunos conceptos tales como: combinatoria, equiprobabilidad,

independencia, regla de la adición y regla del producto, etc.; además, faltó relacionar de

manera directa algunos de los conceptos incluidos como por ejemplo, el caso del espacio

muestra y su vínculo con el diagrama de Venn e incluso, se debió haber excluido la

presentación de frases y en cambio, se debieron haber sintetizado por ideas específicas.


S. Elizarrarás

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Fig. 3. Ejemplo de mapa conceptual proporcionado por uno de los equipos.

Como actividad final o de cierre, los participantes debían contestar una serie de

preguntas, cuya finalidad fue que pudieran reflexionar sobre la experiencia adquirida y de

este modo, les permitiera favorecer su formación docente en cuanto a los rasgos del perfil

de egreso que fueron citados al principio de este artículo y por ende, brindar elementos

para que en un futuro pudieron incorporar estrategias docentes en ambientes virtuales.

De modo específico, una primera pregunta fue la siguiente: ¿Cuáles dificultades tuvieron

al desarrollar la WebQuest sobre probabilidad? A este respecto, las contestaciones

manifestaron la falta de familiaridad con los conceptos y el lenguaje de la probabilidad,

así como la contrariedad de elaborar una sola definición (Equipo 1). También hubo

quienes manifestaron lo complicado que les resultó la organización de la información en

diagramas de árbol para la resolución de ciertos problemas (Equipo 2).

Las dificultades que se presentaron son los conceptos que nos son familiares y además,

comprender el lenguaje de probabilidad y a la vez formalizar una respuesta de acorde a la

probabilidad. En los conceptos hay semejanzas pero fue un poco difícil poder realizar una sola

definición para la probabilidad ya que deberíamos de conjuntar toda la información. (Equipo 1)

Algunas dificultades que se presentaron en la realización de la Web Quest es el planteamiento de

algunos diagramas ya que al tener los datos no sabíamos cómo desarrollarlos. (Equipo 2)

Previendo lo anterior, se les planteó la pregunta siguiente: ¿De qué manera pudieron

remontar esas dificultades mediante el trabajo en equipo? En este sentido, las


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aportaciones fueron de dos tipos; por un lado, quienes se dieron a la tarea de buscar

información complementaria o ejemplos en otras fuentes (Equipo 1) y por el otro, quienes

movilizaron y socializaron sus conocimientos previos para formular la resolución de los

problemas propuestos (Equipo 3).

Mediante la comunicación e investigando en otras fuentes con ejercicios más sencillos, retomar

apuntes de clase y conceptos de la Webquets (Equipo 1).

Partiendo de los conocimientos de cada integrante del equipo ya que cada uno tiene su forma de

comprender y analizar los ejercicios planteados en la web Quest. (Equipo 3)

Una tercera pregunta se enuncia a continuación: ¿Qué importancia tiene el trabajo

colaborativo en el desarrollo de la WebQuest sobre probabilidad? En este caso, todos

coincidieron en que el trabajo en equipo les permitió remontar las dificultades que habían

tenido para desarrollar la WQ y en particular, para resolver los problemas propuestos.

El trabajo colaborativo fue importante ya que si no comprendíamos lo solicitado había compañeros

que nos ayudaron en la comprensión y además, para ver las diferentes maneras de resolver un

ejercicio de probabilidad (Equipo 2).

Asimismo, pudimos establecer una convivencia de reflexión en cuestión de los métodos para

resolver problemas de probabilidad desde la perspectiva de cada uno de nosotros y el lograr

trabajar en equipo es un reto (Equipo 3)

Ala cuarta pregunta refirió a: ¿Cuáles cambios propondrían para mejorar la WebQuest

sobre probabilidad? a pesar de que en la pregunta anterior se había tenido coincidencia en

la trascendencia que tuvo el trabajo en equipo, aquí se manifestaron dos tipos de

respuesta, una que demandaba la ejemplificación sobre la resolución de problemas

similares (Equipo 3) y también que se trabajen en el aula (Equipo 4).

Dar solución a varios ejemplos para que sea fácil de comprender lo que se solicita. (Equipo 3).

Trabajarlas en el aula y que haya menos información teórica o que sea clara y precisa (Equipo 4).

La quinta y última pregunta cuestionó lo siguiente: ¿Cuáles ventajas y desventajas tiene

el trabajo colaborativo para el cumplimiento de las tareas y de la evaluación de la

WebQuest sobre probabilidad? En este sentido, se destaca como ventaja la promoción del

pensamiento crítico y como desventaja, se citó el caos que más o menos, ocasionó la

socialización de las distintas estrategias de resolución de un problema (Equipo 1).

Ventajas: Aumenta el interés, promueve el pensamiento crítico y mejora el logro académico.

Desventajas: Dividir el trabajo y fragmentarlo. (Equipo 2)


S. Elizarrarás

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3 A modo de conclusiones

Estos hallazgos permiten tener un acercamiento a la interpretación del uso de una

WebQuest como estrategia de enseñanza durante la formación docente de estudiantes

normalistas de Matemáticas. En general, los participantes aludieron que sus dificultades

se debieron a la falta de explicaciones sencillas y precisas, así como ejemplos cuya

complejidad fuera gradual; también manifestaron poca familiaridad con conceptos,

aunque en algunos casos accedieron a su comprensión mediante el trabajo colaborativo,

pero en otros casos no fue así, debido a que no pudieron cohesionar sus actividades en el

equipo y cuando se trató de resolver un problema, hubo equipos que consideraron una

desventaja no hacerlo en el aula, ya que se presentaron discusiones al interior del equipo

que no fue posible establecer acuerdos que en el fondo representa la posibilidad de

flexibilizar el pensamiento sobre la base de una perspectiva reflexiva, crítica, analítica y

sintética. Se pretende realizar otros estudios con los estudiantes normalistas que cursan el

séptimo y el octavo semestres de la LESEM e incluso, con egresados con la finalidad de

continuar recabando información sobre su desempeño en el aula y en su interacción con

los estudiantes de secundaria cuando el medio que se utiliza es la WQ como estrategia de

enseñanza.

4 Referencias

Adell, J. (2004). Internet en el aula: las WebQuest. Revista Electrónica de Tecnología

Educativa, 17 (4).

Eisner, E. (1998). El ojo ilustrado. Indagación cualitativa y mejora de la práctica

educativa. Barcelona: Paidós.

Frawley, W. (1999). Vygotsky y la ciencia cognitiva. España: Paidos.

Heitele, D. (1975). An epistemological View on Fundamental Sthocastic Ideas.

Educational Studies in Mathematics, 6, 187-205.





Dificultades y errores al resolver problemas geométricos por estudiantes normalistas que cursan la especialidad en matemáticas: el caso de la semejanza

de triángulos

Saúl Elizarrarás1, José Luis Medardo Quiroz

2, Orlando Vázquez

3 y Mario Rodríguez

Escuela Normal Superior de México, Distrito Federal, México. [email protected]

[email protected]

[email protected]

Resumen. Este estudio es de carácter cualitativo (Eisner, 1998, Carvalho

y Loila, 2008). Se aplicó un cuestionario de 25 reactivos relacionados

con problemas de tipo geométrico de contenidos diversos, a 10 estudiantes normalistas que cursan el quinto semestre de la Licenciatura

en Educación Secundaria con Especialidad en Matemáticas (LESEM), en

la Escuela Normal Superior de México (ENSM). El instrumento fue

conformado por una selección de problemas propuestos en las pruebas estandarizadas que se han aplicado a estudiantes mexicanos de la escuela

secundaria (de los tres grados). Los criterios de análisis devinieron de los

referentes teóricos que fueron consultados y en particular, la discusión de los resultados fue centrada en los temas siguientes: Proporcionalidad,

Criterios de semejanza de triángulos, Teorema de Tales y Escala. Las

respuestas otorgadas muestran cómo los participantes de este estudio manifestaron dificultades y errores para su contestación y en términos

generales, la media aritmética obtenida fue de cinco.

Abstract. This study is qualitative (Eisner, 1998, Carvalho and Loila,

2008). A questionnaire of 25 reagents geometric problems related to different content type was applied to 10 normal school students in the

fifth semester of the Bachelor of Secondary Education with

Specialization in Mathematics (LESEM) in the Superior Normal School of Mexico (ENSM). The instrument was made up of a selection of

proposed problems on standardized tests have been applied to Mexican

students of secondary school (three grades). Become Sound analysis criteria of theoretical references that were consulted and in particular the

results of the discussion were focused on the following topics:

Proportionality, criteria similar triangles, Theorem of Tales and Scale.

The responses given show how participants in this study reported difficulties and errors for your reply and in general, the arithmetic mean

obtained was five.

Dificultades y errores al resolver problemas geométricos por estudiantes normalistas

S. Elizarrarás, J. L. M. Quiroz, O. Vázquez y M. Rodríguez

12

1 Introducción

En este apartado se describen los referentes teóricos que fueron utilizados, los cuales

devinieron en criterios de análisis. En un segundo momento, se alude a la organización y

método de la investigación, por lo que se tratan aspectos como: el método, los

instrumentos y los participantes en el estudio.

1.1 Referentes teóricos y conceptuales

Desde una perspectiva filosófica, Abrate, Pochulu y Vargas (2006) señalan que el error es

atribuible a la capacidad de considerar como verdaderos conceptos y procedimientos que

están deficientemente desarrollados, incluyendo ideas contradictorias o interpretaciones y

justificaciones falsas. Además, los autores afirman que el desarrollo del conocimiento

científico ha estado acompañado de errores, lo cual ha permitido sustituir un

conocimiento viejo e institucionalizado en la sociedad por uno nuevo que se revela lleno

de fuerza y vigor, con el correspondiente, por lo cual el problema del error ha estado

vinculado al problema de la verdad y de la fuente última del conocimiento, y la historia

de la Filosofía. Derivado de lo anterior, sintetizan que no hay fuentes últimas del

conocimiento, ya que todo conocimiento es humano y está mezclado con nuestros errores

y prejuicios; además, el error forma parte constituyente de nuestra adquisición del

conocimiento.

Sin un carácter rígido, los autores puntualizan que las investigaciones en análisis de

errores pueden ser agrupadas en torno a dos objetivos principales: la superación del error

a través de su eliminación, o a través de la exploración de sus potencialidades. En la

primera categoría se encuentran las investigaciones realizadas por la influencia del

conductismo y del procesamiento de la información. En segundo lugar, aparecen los

trabajos más recientes de carácter constructivista en los que se privilegia la comprensión

por encima de la eficacia y la eficiencia.

Abrate, Pochulu y Vargas (2006) destacan que los métodos descriptivos desempeñan un

papel fundamental en la investigación educativa dado que pueden proporcionar hechos,


13

datos, etc., y preparan el camino para la configuración de nuevas teorías o nuevas

investigaciones. Asimismo, refieren que todas las teorías sobre la enseñanza y

aprendizaje de la Matemática coinciden en la necesidad de identificar los errores de los

alumnos en el proceso de aprendizaje, determinar sus causas y organizar la enseñanza

teniendo en cuenta esa información. En consecuencia, el profesor debe ser sensible a las

ideas previas de los alumnos y debería utilizar las técnicas del conflicto cognitivo para

lograr el progreso en el aprendizaje; sobre todo debe tomar en cuenta que existe una gran

variedad de dificultades que son potencialmente generadoras de errores. Sin pretender

una categorización exhaustiva, Di Blasi Regner y Otros (2003; en Abrate, Pochulu y

Vargas, 2006) las agrupan en los siguientes tópicos:

1) Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos. Este conflicto

asociado al uso del lenguaje ordinario, dentro del contexto matemático, es un conflicto de

precisión en el que debería haber una interpretación exacta de los signos.

2) Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático. A este respecto, se

recomienda que al abandonar ciertas demostraciones formales en beneficio de una

aplicación más instrumental de las reglas matemáticas, para nada debe implicar la

renuncia del desarrollo del pensamiento lógico como parte de la competencia matemática.

3) Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza. Tienen relación con la capacidad

de organización de la institución escolar sobre la disposición de materiales curriculares y

recursos, así como con el currículo de Matemática y con los métodos de enseñanza.

4) Dificultades asociadas al desarrollo cognitivo de los alumnos. Conocer los estadios

generales del desarrollo intelectual para diseñar material de enseñanza, representado cada

uno de ellos por un modo característico de razonamiento y por unas tareas específicas de

Matemática que los alumnos son capaces de hacer.

5) Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales. Refiere a la aversión

por el aprendizaje de la Matemática, manifestada por sentimientos de tensión, ansiedad

por acabar una tarea y miedo al fracaso o a equivocarse, cuyos aspectos que influyen son:



14

la naturaleza jerárquica del conocimiento matemático, la actitud de los profesores, estilos

de enseñanza, y las actitudes y creencias hacia la Matemática que les son transmitidas.

Respecto a los errores, Radatz (1980; en Abrate, Pochulu y Vargas, 2006) proponen la

siguiente categorización general de los errores:

1) Dificultades del lenguaje. Se deben al mal uso de los símbolos y términos

matemáticos, así como a la falta de comprensión semántica del lenguaje matemático.

2) Dificultades para obtener información espacial. Provienen de la producción de

representaciones icónicas (imágenes espaciales) inadecuadas de situaciones matemáticas.

3) Aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos. Son originados por

deficiencias en la comprensión de conceptos, contenidos y procedimientos para la

realización de una tarea matemática. Estas deficiencias incluyen la ignorancia de los

algoritmos, conocimiento inadecuado de hechos básicos, procedimientos incorrectos en la

aplicación de técnicas y dominio insuficiente de símbolos y conceptos necesarios.

4) Asociaciones incorrectas o rigidez del pensamiento. Son causados por la incapacidad

del pensamiento para ser flexible, es decir, para adaptarse a situaciones nuevas. Dentro de

esta clase de errores se tienen

4.1) Por perseverancia. Predominan los elementos singulares de un problema.

4.2) De asociación. Razonamientos o asociaciones incorrectas entre elementos

singulares.

4.3) De interferencia. Los conceptos u operaciones interfieren unos con otros.

4.4) De asimilación. La información es mal procesada debido a fallas de percepción.

5) Aplicación de reglas o estrategias irrelevantes. Son producidos cuando se aplican

reglas o estrategias similares en contenidos diferentes (razonamiento analógico).


15

Aunado a los errores antes descritos, Abrate, Pochulu y Vargas (2006) identificaron de

manera específica que algunos errores fueron debidos a: la recuperación de un esquema

previo, a cálculos incorrectos o accidentales, a deficiencias en la construcción de

conocimientos previos y a la ausencia de conocimientos previos. De un modo particular,

los autores señalan que pare el caso de la Geometría plana, la especificidad del lenguaje

matemático puede constituirse en un obstáculo para los alumnos, pues su uso correcto

está estrechamente ligado al proceso de conceptualización y ambos se retroalimentan; en

este sentido, los errores que encontraron devinieron de las dificultades que los estudiantes

tuvieron para obtener información espacial, cuya causa la atribuyeron al modo en que

ciertos conceptos han quedado atados a los ejemplos típicos que presentan los profesores

para su enseñanza, y para los cuales aún no se ha logrado la abstracción de las relaciones

geométricas verdaderamente esenciales. Aunado a lo anterior, refieren que la posibilidad

de estimar cantidades, resultados y medidas contribuye a desarrollar las capacidades

relacionadas con la medición y como este tema en la currícula de Matemática es casi

teórico, en el sentido de que se plantean problemas limitados a una actividad de

manipulación de números que disfraza, en el fondo, una actividad aritmética bajo el título

de “Medidas”; así, los errores que aparecieron sobre este contenido se relacionaron, a su

juicio, con deficiencias en la construcción de conocimientos previos sobre el uso

totalmente inadecuado de las unidades de medida, pues los alumnos proporcionaron sólo

resultados numéricos carentes de unidades, o cantidades relacionadas a longitudes o

volúmenes, y no a una superficie.

1.2 Método y organización

Este estudio es de carácter cualitativo (Eisner, 1998, Carvalho y Loila, 2008). El método

utilizado es el de la observación participante, ya que el docente titular se encontraba

realizando funciones de investigador. Para recabar la información, se diseñaron

cuestionarios con problemas geométricos que fueron de lo general hasta centrarlos en

temas como la escala y los criterios de semejanza en triángulos.

Antes de iniciada la enseñanza, se aplicó un cuestionario de 25 reactivos relacionados con

problemas de tipo geométrico de contenidos diversos, a 10 estudiantes normalistas que



16

cursan el quinto semestre de la Licenciatura en Educación Secundaria con Especialidad

en Matemáticas (LESEM), en la Escuela Normal Superior de México (ENSM). El

instrumento fue conformado por una selección de problemas propuestos en pruebas

estandarizadas que se han aplicado a estudiantes mexicanos de secundaria (de los tres

grados). En particular, los temas tratados fueron: Propiedades de las medidas en los

ángulos que pueden trazarse en la circunferencia, Teorema de Pitágoras, Congruencia de

triángulos, Proporcionalidad, Criterios de semejanza de triángulos, etc.

2 Análisis y discusión de resultados

Las respuestas otorgadas muestran cómo los participantes de este estudio manifestaron

dificultades y errores para su contestación y en términos generales, la media aritmética

obtenida fue de cinco. En la tabla 1, se muestran los resultados específicos para los temas

relacionados con la semejanza de triángulos, cuya media aritmética fue muy aproximada

al resultado general obtenido para los 22 reactivos.

Tabla 1. Media aritmética para los temas relacionados con la semejanza

Contenido Aciertos del grupo

Semejanza figuras (rectángulos) 3

Triángulos congruentes y suma de ángulos internos 4

Criterios congruencia de triángulos 5

Criterios semejanza triángulos 3

Proporcionalidad / lados homólogos 5

Razón de semejanza 9

Congruencia de triángulos 9

Media aritmética 5.1

En la Figura 1, se muestra un ejemplo de reactivo cuyo tema fue el de semejanza de

triángulos y cuya respuesta inicial del estudiante excluyó la relación entre la altura del

tablero de basquetbol respecto a la longitud del triángulo mayor en correspondencia con

la relación que estableció entre los catetos del triángulo menor (en azul se muestra la

corrección realizada al estudiante. La dificultad presentada por el estudiante se puede

deber al aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos (Radatz, 1980).


17

Fig. 1. Ejemplo de dificultades relacionada con el aprendizaje deficiente.

De manera similar al caso anterior, en la Figura 2 se muestra la respuesta proporcionada

por un estudiante respecto a otra de las situaciones planteadas, que a la letra señala lo

siguiente: Una lámpara emite una luz a 25 cm de distancia de la figura triangular,

proyectando la sombra amplificada en una pared que dista 75 cm de la figura. ¿Cuál es la

razón entre la figura y su sombra proyectada en la pared si la figura pequeña mide 2.5 cm

de altura?; aun cuando lo hace de forma correcta, se puede destacar que su cálculo lo hace

en términos de la regla de tres y excluye poner de relevancia los conceptos propios de la

semejanza tales como: la razón y proporción. Otro aspecto que se derivaba de su cálculo

era la escala a la que se proyectaba la sombra, desconociendo que se trataba de una

ampliación y no de una reducción.

Fig. 2. Ejemplo de dificultades relacionada con conceptos y hechos previos.

Un tercer caso que se presenta en la Figura 3, refiere a un ejercicio que fue planteado sin

vincularlo a una situación y contexto específico, el cual se podía resolver utilizando el

teorema de tales que establece que toda paralela trazada respecto a uno de los lados de un



18

triángulo determina segmentos proporcionales en los otros dos o bien, la otra forma era

recurriendo a uno de los criterios de semejanza de triángulos, lo cual implicaba la

movilización de la habilidad matemática denominada como visualización y otras como el

cálculo. Si bien es cierto que la respuesta proporcionada es la correcta, se debe poner de

relevancia que también se utilizó la regla de tres y excluyendo todo lo que implica a las

dos posibles estrategias que fueron enunciadas en el caso anterior.

Fig. 3. Ejemplo de dificultades relacionada con conceptos y hechos previos.

3 A modo de conclusiones

Aunado a los resultados obtenidos en función de los criterios de análisis establecidos, se

ha podido establecer de forma preliminar que las causas pudieron deberse a los factores

siguientes:

La redacción de las preguntas planteadas en los problemas ofrece ambigüedades,

provocando confusión en el alumno. No obstante, también se pudo identificar que los

estudiantes presentaron una falta de cabal comprensión de la pregunta por deficiente

competencia lectora de parte de los estudiantes normalistas.

Los estudiantes hacían un intento infructuoso por resolver los problemas, aplicando un

contenido memorizado, pues presentaban fallas en su evocación. También manifestaron

confusión al aplicar la correcta función trigonométrica cuando se les plantearon reactivos

que debían ser movilizados para resolver problemas que se relacionaban con la semejanza


19

de triángulos, lo cual también implicó a su memorización en estudios de bachillerato,

previos.

Asimismo, persistieron los conocimientos olvidados (Perkins, 2002) y propiedades

implícitas (por ejemplo, diferenciar cuando se trataba de una ampliación o una reducción

relacionadas con el concepto de escala) por parte de los estudiantes respecto a conceptos

de carácter geométrico y en consecuencia, la resolución misma de los problemas.

Se debe destacar la ausencia de flexibilidad del pensamiento para relacionar

conocimientos de tipo aritmético o algebraico en la resolución de problemas geométricos.

Asimismo, hubo falta de la reversibilidad del pensamiento para verificar o comprobar

resultados en función de los datos que se proporcionan en el problema.

Este estudio permite reflexionar sobre la necesidad de analizar el impacto de la enseñanza

que se desprende de los resultados obtenidos, posterior a su intervención y que en

definitiva requieren de profundizar en su estudio con la finalidad de proponer algunas

alternativas que puedan incidir de manera favorable en el desarrollo de competencias

matemáticas en estudiantes normalistas de la Especialidad en Matemáticas que a su vez,

les faciliten el desarrollo de otras competencias docentes que se inscriben en el proceso

de formación inicial de futuros profesores de Matemáticas para la Escuela Secundaria de

México.

Asimismo, este estudio ha permitido reflexionar sobre la necesidad de explorar otros

contenidos propios de la Geometría, de tal modo que se pueda interrelacionar con los

contenidos de tipo aritmético o algebraico e incluso, haciendo uso de las tecnología de la

Información y Comunicación.

Referencias

Abrate, R.; Pochulu, M. y Vargas, J. (2006). Errores y dificultades en matemática.

Análisis de causas y sugerencias de trabajo. Universidad Nacional de Villa

María: Buenos Aires.



20

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Eisner, E. (1998). El ojo ilustrado. Indagación cualitativa y mejora de la práctica

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educación de la mente. Barcelona: Gedisa Editorial.

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Aplicada a la Ingeniería y Enseñanza de la Matemática en Ingeniería (Buenos

Aires, Diciembre 2003).


2015. En Rondero, C., Tarasenko, A., Reyes, A., Acosta, J. A., Karelin, A., Campos, M. y Torres, A. (Eds.), Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa Para Profesores (pp. 21-30). Pachuca: México. ISBN: En trámite.

Relevancia de la formación de profesores de matemáticas del nivel superior

Agustín Torres-Rodríguez Instituto Tecnológico de Atitalaquia, Hidalgo, México.

[email protected]

Resumen. El contenido de esta ponencia constituye un avance de tesis de posgrado, que aborda como objeto de estudio la formación de profesores de matemáticas. Concretamente, describe algunos elementos que contribuyen al estado del conocimiento. Se divide en tres partes: una introducción dónde explico primeramente mi interés por este tema de investigación, en la segunda parte, acompaño la discusión con algunos datos que denotan la relevancia de estudiar esta temática. En la tercera parte, propongo un análisis de hallazgos sobresalientes acerca de los estudios que se han realizado en este tema, desde la mirada de la matemática educativa y que aportan a las bases teóricas y conceptuales que le dan sustento. Con estos elementos, pretendo delimitar los ejes de análisis que utilizaré para finalmente acercarme al objeto de estudio o problema de investigación.

Abstract. The content of this paper represents an advance graduate thesis, which addresses as object of study the formation of mathematics teachers. Specifically, it describes some elements that contribute to the state of knowledge. It is divided into three parts: an introduction where first explain my interest in the subject of research, in the second part, I accompany the discussion with some data that show the importance of studying this subject. In the third part, I propose an analysis of important findings about the studies that have been done on this issue, from the perspective of mathematics education and to contribute to the theoretical and conceptual foundations that support it. With these elements, I intend to delimit the areas of analysis that I will use to finally approach the object of study or research problem.

1 Introducción

Es muy conocido el problema de la deserción y/o reprobación en los distintos niveles

escolares, sobre todo en el área de las matemáticas, tal y como lo reportan diversos

autores (Ruiz y Lupercio, 2013:148). En el caso concreto de las matemáticas que se


A. Torres-Rodríguez

22

imparten en el tronco básico de las distintas carreras de ingeniería, el problema tiene

implicaciones graves en el aprovechamiento académico de los estudiantes, al grado de

complicar su avance y egreso. No soslayo el hecho de que existen varios elementos que

inciden directa o indirectamente en este proceso de enseñanza-aprendizaje: el estudiante,

los docentes, las instituciones, los padres de familia y por supuesto los programas de

estudio y en general el currículum. Mi interés se centra, sin embargo en el papel que

juega el docente de matemáticas en el nivel superior por dos razones: la primera se basa

en el reconocimiento que diversos autores e instancias han definido sobre el importante

papel que juegan los docentes en el aprendizaje de los estudiantes. Varios estudios

señalan al factor docente como actor principal de la transformación educativa y de la

renovación de los modelos de enseñanza, (Aguerrondo, 2004; Fullan 2002; Vaillant,

2005), citados en Vesub (2007). Los docentes, sin embargo, no son los únicos

responsables de los resultados y de la calidad del sistema educativo, y tampoco pueden

asumir el desafío del cambio en forma particular y aislada, pero desde luego tienen un rol

protagónico. Se requiere por lo tanto ayudarles a esta tarea, implementando una serie de

acciones sostenidas en el tiempo, que posibiliten su desarrollo profesional. La segunda

razón tiene que ver con un rasgo que resulta muy común en el docente de este nivel

educativo, quien normalmente tiene como profesión de origen una ingeniería y se

incorpora la enseñanza universitaria sin contar con una formación de índole pedagógica

(Barrera y Cisneros, 2012; García et. al., 2005).

1.1 Importancia del docente en el proceso educativo

En la sociedad actual, el fenómeno educativo se encuentra en la agenda de los diversos

países, y además forma parte sustancial de diversos organismos internacionales. Tiana

(2008) identifica dos argumentos que explican las razones o causas de este creciente

interés. Uno de ellos es la forma tan rápida en que se suceden los cambios en el ámbito

educativo, y el otro tiene relación con las respuestas que demanda la propia sociedad de

que dichos procesos de cambio resulten eficaces. Esta situación la describe acertadamente

Pérez (2010), quien plantea que “el desafío actual más urgente de nuestro sistema


23

educativo es preparar a los ciudadanos para afrontar la cambiante, compleja, incierta y

profundamente desigual sociedad contemporánea”.

Para este mismo autor, el hecho de que la educación se haya tornado en un elemento

crucial tiene que ver con la fuerte conexión existente entre educación y desarrollo, lo que

ha llevado a los distintos gobiernos a preocuparse por la calidad de la enseñanza que se

imparte en las instituciones. La vital importancia del tema se debe a que se considera que

estas actividades van estrechamente relacionadas con el nivel de vida y bienestar que

puede alcanzar una sociedad, de ahí la necesidad de que los sistemas educativos de un

país respondan de la manera más eficaz a estos retos que plantean el desarrollo científico

y tecnológico, así como los nuevos contextos de globalización.

Todos esos cambios en la sociedad actual, han tenido su impacto en las últimas décadas

en la formación, actualización y aplicación de los conocimientos dentro de los ámbitos

académicos. Se han vinculado cada vez más la calidad y la eficacia de los sistemas

educativos en la labor de los profesores, ello no significa que los docentes sean el único

elemento que directamente afecta la calidad, pero si resulta un componente importante.

De hecho, para poder mejorar la calidad, se tienen que potenciar diversos aspectos, desde

la gestión de los sistemas, el aprovechamiento de los recursos, el reforzamiento de la

gestión de los distintos centros educativos, y el punto que me interesa rescatar en este

análisis, que es la función del docente, para reforzar el proceso de enseñanza y

aprendizaje y planificar de forma más integral los procesos de evaluación de los sistemas

(Silva, 2004). Este papel preponderante del profesorado como elemento de la calidad

educativa, y que ha sido reconocido por numerosos autores, pone de manifiesto la

necesidad de atender la formación y actualización de sus docentes. De manera que el

fortalecimiento de la función docente y el proceso de enseñanza-aprendizaje son dos

aspectos en los que la participación de los profesores resulta de suma relevancia. En

palabras de Gimeno (1982), la formación del profesorado representa una de las piedras

angulares de cualquier intento de renovación del sistema educativo.



24

1.2 El perfil deseable del profesor de matemáticas en las IES

Si acotamos la problemática al docente de nivel universitario en nuestro país, resulta que

este docente, se caracteriza en general por no tener una formación específica en

pedagogía o en enseñanza, sino que se trata generalmente de profesionistas que dan clase

en una licenciatura similar a la de su campo disciplinar, y en el mejor de los casos dan

clase en la misma carrera que ellos estudiaron. (García et. al. 2005). Es por esta situación

que varios autores han evidenciado la necesidad de que el profesor universitario inicie un

proceso de formación adicional a su campo disciplinar. Escudero (1999) enfatiza que la

atención a la enseñanza en el nivel universitario tiene grandes pendientes, si se compara

con la que han recibido los restantes niveles educativos. Señala también que el nivel

universitario debería “aspirar a un profesor que esté permanentemente abierto a un nivel

más profundo y extenso en su área de conocimiento, así como en las capacidades y

disposiciones que le llevan a participar activamente en la recreación del mismo a través

de la práctica investigadora” (Escudero,1999:136). En este sentido, se ha identificado

que las rutas de formación debe tener dos vertientes: una profundización y/o

actualización de contenidos disciplinares, y otra componente de naturaleza didáctica.

Por otro lado, también se ha identificado la necesidad de que la formación del docente

proporcione al profesor herramientas teórico-metodológicas que lo habiliten en el campo

de la investigación educativa. Varios autores han identificado la estrecha relación entre el

quehacer docente y la investigación educativa (Hidalgo, 1993; Piñero, et al., 2007).

Aunque hay que reconocer que lo que todavía está en una fuerte discusión es la base

teórica de esta relación y la forma en cómo influye la investigación educativa en la

transferencia hacia el quehacer docente. Sin embargo no hay duda que es pertinente que

la investigación educativa forme parte sustantiva de un proceso de formación docente en

general. Así lo plantea Hidalgo (1993):

La formación de maestros que se lleva a cabo en las escuelas normales y los

programas de educación continua, actualización y capacitación para docentes en

servicio, en las universidades y otros centros de educación superior, han asumido,


25

en efecto, algunos criterios teórico-metodológicos propios de la investigación

como elementos sustantivos.

Asumida entonces la importancia de la investigación como eje central dentro de un

proceso de formación docente, surge la necesidad de configurar e insertar en el currículo

competencias investigativas en el proceso de formación de los docentes. Para Piñero et al.

(2007):

La tarea de investigar ya no es función exclusiva de los laboratorios o grupos de

investigación, y en la actualidad el proceso de investigación está orientado a

recuperar la capacidad de cuestionamiento, crítica y construcción de

conocimiento en el aula de clase (p. 177).

Se ha identificado también que se requiere que los programas de formación tengan una

estructura flexible que pueda permitir una serie de modificaciones y/o adaptaciones que

dependen finalmente del entorno en dónde se pretenda implementar. También hay que

considerar que para los docentes en servicio activo, no siempre resulta viable poder

acceder a programas más estructurados como es el caso de los posgrados, debido a

limitaciones de tiempo y también a factores económicos, esto es el acceso a becas y/o

planes de financiamiento por parte de su propio centro de trabajo o de las instituciones

que lo proporcionan. A este respecto Braslavsky (1999) señala que:

Los profesores que recibieron su formación de grado en la universidad tienen la

oportunidad de realizar cursos de perfeccionamiento docente en cualquier

institución, e incluso la posibilidad de hacer estudios de postgrado más

sistemáticos, como maestrías y doctorados diversos. Estas oportunidades cuentan

con la ventaja de ser altamente formalizadas y estructuradas. Su desventaja es que

no especializan a los profesores como docentes (p. 34).

Tal como lo señala esta autora, encontramos otra razón para resaltar la importancia de un

proyecto de formación docente que considere aspectos de la investigación educativa: la

mayoría de los estudios de posgrado tienen como propósito dotar a los estudiantes de



26

mayores conocimientos dentro de su perfil profesional, esto es, atienden en mayor

medida contenidos curriculares que apuntan hacia una mayor especialización en su área

de conocimientos disciplinares, pero no abordan en forma suficiente los aspectos

pedagógicos necesarios para completar la formación que la labor docente requiere.

En este mismo sentido, una propuesta de formación docente debe considerar dichas

limitaciones, ofreciendo en contraparte una mayor flexibilidad y tomar en consideración

las condiciones laborales del entorno de los profesores, los espacios adecuados y los

mecanismos de gestión necesarios para poder implementar estos procesos de forma

satisfactoria. Es así como Piñero et al. (2007) resaltan un perfil deseable del docente con

este tipo de formación:

El docente, entonces, debe ser capaz de elaborar cooperativamente, un proyecto

educativo y un proyecto pedagógico para su escuela; que sepa buscar y

seleccionar la información, que sea capaz de identificar las necesidades básicas de

aprendizaje de sus alumnos y convertirlas en currículo para la enseñanza; que sabe

organizar el trabajo en grupo entre sus alumnos, y participar y cooperar él mismo

en el trabajo grupal con sus colegas; que tiene la capacidad para reflexionar crítica

y colectivamente sobre su rol y sobre su práctica (p. 179).

1.3 Los aportes desde la matemática educativa.

Desde el campo de la educación matemática, se ha señalado también la relevancia de los

conocimientos y características que requiere un docente que enseña matemáticas en los

distintos niveles educativos. Qué tanta importancia tienen los conocimientos de los

docentes de matemáticas lo pone de manifiesto la siguiente aseveración del National

Council of Teachers of Mathematics (NCTM) en un documento denominado Principios y

Estándares para la Educación Matemática, correspondiente al año 2000:

Los estudiantes aprenden matemáticas a través de las experiencias que los

profesores les proporcionen [énfasis agregado]. Así, el entendimiento que los


27

estudiantes adquieren de las matemáticas, su capacidad para usarlas para resolver

problemas, su confianza en, y su disposición hacia las matemáticas son moldeadas

por las formas de enseñanza que encuentran en la escuela. La mejora de la

educación matemática para todos los estudiantes, requiere una enseñanza efectiva

en todos los salones de clase (NCTM, 2000, p.16).

¿Cuáles son los conocimientos deseables de un profesor de matemáticas? Báez et. al.

(2007) consideran que “los cambios conceptuales requeridos por la escuela, exigen la

redefinición de los roles del profesor….[por lo que] se considera imprescindible su

formación como investigador capaz de diseñar, desarrollar y evaluar estrategias que le

permitan resolver los problemas que la realidad [educativa[ le presenta”. Para la

UNESCO los docentes deben de tener un perfil acorde con las necesidades actuales, por

lo que es necesario que desarrollen y mejoren sus estrategias de enseñanza (Díaz y

Poblete, 2003).

En este sentido se habla de que el docente debe poseer y/o adquirir ciertas características

que le permitan afrontar su labor con mayor eficacia. No se debe olvidar que es el

docente quien desarrolla estrategias o acciones para que los estudiantes aprendan

matemáticas. En este contexto, se han sugerido varias características deseables en el

docente. Además existen otros elementos importantes cuando se analiza el papel del

profesor de matemáticas. Los mismos autores identifican tres aspectos en este sentido, y

que tienen una gran influencia en la práctica docente: las creencias del profesor, su

experiencia y su formación. Como ejemplo de esta incidencia, de las concepciones del

profesor dependen la interpretación y toma de decisiones acerca de las creencias, errores

de aprendizaje u obstáculos epistemológicos que sostengan los estudiantes. Asimismo de

sus concepciones depende el modo en que aborda los contenidos, las situaciones

didácticas que desarrolla y las estrategias que utiliza. Para hacer frente a dichas

exigencias del perfil del docente de matemáticas, investigadores como Barrera y Reyes

(2013), definen que un proceso de formación docente para el área de matemáticas en los

niveles medio superior y superior, debe contener conocimientos estructurados en torno a

tres grandes ejes como mínimo, los conocimientos disciplinares, conocimientos sobre



28

epistemología y conocimientos didácticos sobre los contenidos matemáticos. La

importancia del estudio de la epistemología ha sido puesta en la discusión por teóricos

como Bruno D’Ámore (2004), para quien conocer la epistemología de la matemática es

profundizar sobre la forma en cómo ha evolucionado el conocimiento y el pensamiento

matemáticos, lo que se constituye en una fuerte herramienta para la adecuada

transposición didáctica que se requiere en su enseñanza. En general la formación

matemática y didáctica de los profesores, puede funcionar como campo de acción e

investigación que debe enriquecer a la propia didáctica de la matemática, como campo de

estudio (Godino, 2002).

1.4 Conclusiones.

La revisión de la literatura nos permite definir algunos de los elementos más relevantes

para construir el estado del conocimiento. Dentro de estos elementos tenemos los

siguientes: la importancia de por lo menos dos grandes ejes formativos, el disciplinar y el

pedagógico. Además de los anteriores, la necesidad de incorporar a los procesos de

formación las herramientas teóricas y metodológicas que le permitan habilitarlo en

competencias investigativas. Se considera que la inclusión de tales competencias

permitiría vincular la práctica y la reflexión docente, desde el análisis crítico,

interpretativo y transformacional del quehacer educativo. Resulta entonces pertinente y

necesario que el proceso de formación docente lleve también a la formación de

investigadores educativos que sean capaces de identificar problemas concretos,

abordarlos en forma crítica y poder construir propuestas de solución desde las teorías

educativas hasta su concreción en el trabajo dentro del aula.

Por otro lado, desde la educación matemática se identifica la necesidad de proporcionar a

los docentes de matemáticas una formación que considere el desarrollo de competencias

profesionales que lo habiliten para poder dar respuesta a las problemáticas que en

particular se presentan en la enseñanza de las matemáticas en el nivel superior,

empleando para ello los constructos teórico-conceptuales desarrollados desde este campo

disciplinar.


29

Referencias

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Dificultades en la resolución de problemas geométricos con estudiantes normalistas de la especialidad en

matemáticas

Orlando Vázquez Escuela Normal Superior de México, Distrito Federal, México.

[email protected]

Resumen. Aquí interesa dar a conocer las dificultades que tuvieron

nueve estudiantes normalistas del tercer semestre que cursan la Licenciatura en Educación Secundaria con Especialidad en Matemáticas

(LESEM) de la Escuela Normal Superior de México (ENSM), durante el

ciclo escolar: 2014-2015, al aplicarles seis instrumentos con cinco problemas cada uno. Este estudio es de carácter cualitativo (Eisner, 1998;

Carvalho, 2008). Quien esto escribe, fue profesor de los estudiantes

referidos durante el segundo y tercer semestres. Se esperaba que los

estudiantes pudieran resolver los “problemas” propuestos por el docente, pues para su resolución solo se necesitaban conocimiento básicos de

matemáticas, no obstante, se identificó que la mayoría de ellos, carecen

de tales conocimientos, que los conceptos matemáticos aprendidos en los niveles básicos han sido memorizados a corto plazo, quedando al

descubierto un conocimiento inerte (Perkins, 2002), por consiguiente

distan de tener una comprensión de los mismos.

Abstract. Is relevant to publicize the difficulties that had nine third semester student teachers enrolled in the Bachelor of Secondary

Education with Specialization in Mathematics (LESEM) of the Ecole

Normale Superieure in Mexico (ENSM) during the school year: 2014-2015 to apply six instruments with five problems each. This study is

qualitative (Eisner, 1998; Carvalho, 2008). This writer, he taught

students referred during the second and third semesters. It was hoped that students could solve the "problems" proposed by the teacher, because for

resolution only basic knowledge of mathematics is needed, however, it

was identified that most of them lack such knowledge, that mathematical

concepts learned in baselines have been stored in the short term, it has revealed an inert knowledge (Perkins, 2002) thus far to have an

understanding of them.

Dificultades en la resolución de problemas geométricos

O. Vázquez

32

1 Introducción

Hoy enfrentamos la disyuntiva, seguir en la zona de confort o ser más competitivos en

todos los sentidos, en el caso particular de los profesores de matemáticas, no solo se

requiere que tengan el dominio de los contenidos a enseñar, sino también ser capaces de

poder enseñar didácticamente mejor, pues ambos aspectos son trascendentes. No es lo

mismo ir a enseñar que saber enseñar un contenido. Plantear y resolver problemas es una

de las competencias que propone la SEP (2006, 2011) en los Planes y Programas de

estudio en la educación básica (primaria y secundaria), en este sentido, ¿qué contenidos

debe tener el curriculum de las escuelas formadoras de docentes con relación a la

resolución de problemas?, ¿qué competencias matemáticas deben ser enseñadas a los

estudiantes para que estos las desarrollen relacionadas con la resolución de problemas?,

¿qué habilidades matemáticas deben enseñarse en la educación básica?, ¿qué tipo de

actividades se deben proponer a los estudiantes para erradicar las dificultades que

presentan al resolver problemas?

1.1 Escenario de la investigación

Cabe señalar, que quien esto escribe fue profesor de los mismos alumnos durante el

segundo semestre correspondiente al ciclo escolar: 2013-2014. Durante el segundo

semestre al igual que el tercero, se aplicaron instrumentos que aludieron a la resolución

de problemas, esto, con la finalidad de identificar el tipo de estrategias que utilizaban los

estudiantes y las dificultades que pudieran tener al resolver problemas.

1.2 Caracterización y estrategia de enseñanza

Se aplicaron seis instrumentos con cinco problemas cada uno, sumando un total de 30

problemas durante el semestre. Las sesiones fueron dos veces a la semana con una

duración de dos horas cada una. El profesor entregaba a cada estudiante una hoja impresa

con demanda de justificación en el tipo de respuestas que los estudiantes otorgaban para

cada problema, esto con el fin de identificar las posibles estrategias o bien, las

dificultades que éstos tenían al resolver los problemas. Se les daba el tiempo necesario


33

que los estudiantes solicitaban para resolverlos, una vez que los estudiantes indicaban que

ya habían resuelto los problemas, el profesor les solicitaba a los estudiantes que pasaran

al pizarrón para explicaran a sus demás compañeros la estrategia que habían utilizado. El

profesor también, mostraba la(s) estrategia(s) para que los estudiantes observaran

distintos procedimientos de cómo resolver un “problema”. De acuerdo con Gardner

(2000), para llegar a la comprensión de un concepto o una nueva situación “lo

importante es que los estudiantes exploren con profundidad suficiente un número

razonable de ejemplos para que puedan ver cómo piensa y actúa un científico, un

geómetra” (pág. 137).

1.3 Diseño del cuestionario

En seguida se presentan tres de los treinta problemas que se aplicaron en el instrumento, a

saber:

Problema 1. ¿Cuál es el área de los triángulos ABC y EDC?

Problema 2. ¿Cuál es el área del rectángulo con base en los datos de la figura adjunta?


O. Vázquez

34

Problema 3. Encontrar el área sombreada de la figura adjunta.

1.4 Resultados y evidencias generales del instrumento

En la Figura 1, se puede caracterizar el tipo de respuesta que dio el alumno, sin embargo

no hay más evidencias de la justificación en su respuesta, por lo que es probable que haya

utilizado la expresión para calcular el área del triángulo.

Fig 1. Respuesta incorrecta

Cabe señalar que la respuesta presentada en la Figura 1 es incorrecta, aun cuando aplicó

el teorema de Pitágoras correctamente, el resultado no es el esperado. Asimismo, se

advierte la falta de dominio de las habilidades matemáticas tales como la medición,

imaginación espacial e inferir datos, principalmente. Por otra parte, se prescindió de

razonamientos analítico y deductivo.

El problema 2, causó también dificultades.

Fig 2. Respuesta otorgada para el problema 2


35

La Figura 2, permite advertir que el estudiante considera el largo del rectángulo como el

doble del ancho, pues es el dato que tiene a la vista, sin embargo, se puede interpretar que

este estudiante al igual que otros, no recurren a la habilidad matemática de la imaginación

espacial, la medición de manera correcta, así como a inferir datos en el problema

planteado.

Otro estudiante recurrió a la regla de tres, sin embargo, aplicó de manera equivocada tal

propiedad, pues éste consideró a los lados y ángulos del rectángulo, por lo que, lo

conllevó a dar una respuesta incorrecta.

Fig 3. Aplicación de la regla proporcional de manera incorrecta en el problema 2

Fig 4. Respuesta incorrecta para el problema 3

1.5. Alcances y limitaciones

Respecto a los alcances logrados, se puede señalar que los estudiantes resolvieron

distintos problemas de carácter geométrico principalmente; además observaron cómo

resolvieron cada uno de los problemas planteados con sus compañeros de clases, también

pudieron apreciar las estrategias que el docente titular utilizó para resolver problemas, y

que además dio sugerencias de que aspectos son necesarios considerar antes de resolver


O. Vázquez

36

un problema, pues en cada sesión el docente explicaba que antecedentes se necesitaban

para resolver tales problemas y daba sugerencias de cómo poder explicarlos a sus futuros

estudiantes de nivel secundaria. También cabe señalar, que debido a que mostraron desde

un principio carencias en el dominio de conocimientos básicos de matemáticas, quien

escribe este documento, solicito a los estudiantes que resolvieran en el segundo semestre

un libro de ejercicios de primer grado de secundaria, y en el tercer semestre se les pidió

que resolvieran el correspondiente a segundo grado; esto con la finalidad de que

recordaran conocimientos olvidados (Perkins, 2002); sin embargo, muchos estudiantes,

con el fin de ganar el 10% de su calificación entregaron los libros contestados, pero para

su llenado, solo en algunos casos, se dedicaban a copiar a otros compañeros, por lo que,

en lugar de “aprender” y recordar conceptos olvidados, solo arraigaban más dichos

conocimientos.

En lo que se refiere a las limitaciones, podemos subrayar que el Plan de Estudios actual

(SEP, 1999) que cursan los estudiantes de la LESEM de la ENSM no contempla de

manera sistemática la resolución de problemas, por lo que, a lo largo de los distintos

semestres, es necesario que los estudiantes lleven asignaturas específicas que aludan a la

resolución de problemas, pues, en este caso en particular, quien esto escribe, se dio a la

tarea de abrir un espacio en su Plan de Trabajo Semestral incluyendo la resolución de

problemas que aludieran al desarrollo de habilidades matemáticas.

1.6. A modo de conclusiones

Si bien es cierto, que los estudiantes ya han cursado por distintos niveles de escolaridad

básicos, no tienen un dominio de aspectos de la matemática básica, esto trae como

consecuencia, que los alumnos carezcan de estrategias para resolver problemas. Pues en

este estudio, queda al descubierto, que tuvieron dificultades en la aplicación de la ley de

los signos, propiedades de la igualdad, leyes de los exponentes, factorización de números

primos, factorización de leyes de los exponentes, entre otros aspectos de las matemáticas.

Por otra parte, los estudiantes de la LESEM muestran poco interés por erradicar sus

dificultades para resolver problemas, pesé a que saben que carecen del dominio de


37

conocimientos básicos, no muestran el más mínimo interés por estudiar de manera

autónoma, pues, a pesar de darles recomendaciones para que erradiquen sus dificultades a

través de la resolución de libros de ejercicios de nivel de secundaria, y de que consulten

libros para resolver problemas, pareciera que no les interesa saber un poco más sobre el

tema, pues concentran su atención en solo pasar el semestre con la calificación que sea,

esto con la esperanza de que tarde o temprano serán profesores de educación básica. Una

vez más, podemos advertir que las nuevas generaciones de futuros docentes son alumnos

que no estudian la profesión de ser docentes por convicción, pues, de manera informal se

ha podido constatar de que muchos de los alumnos que estudian la LESEM en la ENSM

han sido rechazados de otras escuelas, o bien, se dicen ser hijos de profesores, o porque

ya no tenían otra opción para seguir estudiando, o bien, argumentan que quieren ser

docentes porque los profesores tienen muchas “vacaciones”.

Referencias

Carvalho, M. “Investigación cualitativa en educación matemática”. México, Limusa,

2008.

Eisner, E. “El ojo ilustrado. Indagación cualitativa y mejora de la práctica educativa”.

España, Paidós, 1998.

Gardner, H. “La educación de la mente y el conocimiento de las disciplinas”. España,

Paidós, 2000.

Perkins, D. “La escuela inteligente: del adiestramiento de la memoria a la educación de

la mente”. Barcelona, Gedisa Editorial, 2002.

SEP. “Plan de estudios 1999. Documentos básicos. Licenciatura en educación

secundaria”. Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos

de las Escuelas Normales, 1999.

SEP. “Programas de Estudio. Educación Básica. Secundaria”. Dirección General de

Desarrollo Curricular. Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la

Secretaría de Educación Pública, México, 2006.


O. Vázquez

38

SEP. “Programas de Estudio. Educación Básica. Secundaria”. Dirección General de

Desarrollo Curricular. Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la

Secretaría de Educación Pública. México, 2011.

NUEVAS TECNOLOGÍAS

EN LA ENSEÑANZA Y

EL APRENDIZAJE





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