vibraciones (muy bueno)

7/29/2019 Vibraciones (Muy Bueno)

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Facultad de Ciencias y TecnologaIngeniera Mecnica - Vibraciones Mecnicas

VIBRACIONES MECNICAS

Detalles Pg.

INTRODUCCIN..................................................................................... 1

Vibracin libre.......................................................................................................................... 1

Vibracin forzada..................................................................................................................... 1

Ecuacin del movimiento......................................................................................................... 2

Periodo y frecuencia................................................................................................................. 2Frecuencia natural.................................................................................................................... 2

Frecuencia natural amortiguada............................................................................................... 2

I. VIBRACIN LIBRE.............................................................................. 3

Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................ 3

Movimiento armnico.............................................................................................................. 4

Ecuacin del movimiento - frecuencia natural......................................................................... 5

Pndulo simple......................................................................................................................... 11

Pndulo compuesto o pndulo fsico........................................................................................ 13

Combinacin de resortes.......................................................................................................... 16

En paralelo................................................................................................................................ 16

En serie..................................................................................................................................... 18

Mtodo de la energa................................................................................................................ 24

Mtodo Newton........................................................................................................................ 27

Mtodo de Rayleigh................................................................................................................. 28

Vibracin forzada sin amortiguamiento................................................................................... 41

Tipos de amortiguamiento........................................................................................................ 46

Vibracin libre amortiguada..................................................................................................... 47

Sistema con amortiguamiento crtico....................................................................................... 48

Movimiento sub-amortiguado.................................................................................................. 50


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Movimiento sobre-amortiguado............................................................................................... 52

II. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO................ 60

Excitacin indirecta.................................................................................................................. 66

Desbalanceamiento rotacional.................................................................................................. 69

Decremento logartmico........................................................................................................... 71

Aislamiento de las vibraciones................................................................................................. 79

Transmisibilidad....................................................................................................................... 80

Energa disipada por amortiguamiento.....................................................................................83

III. SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD............................. 85

Coordenadas principales........................................................................................................... 87

Modo normal de vibracin....................................................................................................... 87

Acoplamiento de coordenadas.................................................................................................. 98

Acoplamiento esttico.............................................................................................................. 99

Acoplamiento dinmico........................................................................................................... 100

Acoplamiento esttico dinmico........................................................................................... 101

Ecuacin de Lagrange.............................................................................................................. 102

Ecuacin de Lagrange para una partcula................................................................................. 103

Clculo de las fuerzas generalizadas........................................................................................ 106

Ecuacin de Lagrange para un sistema de partculas............................................................... 107

Ecuacin de Lagrange para cuerpos rgidos............................................................................. 109

Vibracin armnica forzada..................................................................................................... 113

Absorbedor de vibraciones dinmicas...................................................................................... 115

Vibracin libre amortiguada..................................................................................................... 118

Vibracin forzada con amortiguamiento.................................................................................. 120

IV. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD.......................... 122

Introduccin.............................................................................................................................. 122


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ndice Pgina: III



Ecuacin de Lagrange.............................................................................................................. 124Matrices de flexibilidad y rigidez............................................................................................. 125

Coeficientes de influencia........................................................................................................ 136

V. VIBRACIN TORSIONAL.................................................................. 143

Pndulo de torsin.................................................................................................................... 143

Vibracin torsional................................................................................................................... 147

Mtodo Holzer..........................................................................................................................149

Mtodo Holzer para vibracin torsional................................................................................... 152

Sistemas con rotores acoplados por engranajes......................................................................... 157

VI. VELOCIDADES CRTICAS EN ROTORES...................................... 161

Introduccin.............................................................................................................................. 161

Mtodo Prohl-Myklestad para vibracin flexotorsional.......................................................... 161

Balanceo de rotores.................................................................................................................. 164

Desbalance rotatorio................................................................................................................. 164

Equilibrado............................................................................................................................... 164

Causas de desequilibrio............................................................................................................ 164

Balanceo en un plano............................................................................................................... 165

Mtodo vectorial de balanceo en un plano............................................................................... 166

Tipos de desequilibrio.............................................................................................................. 167

Esttico..................................................................................................................................... 167

Por par de fuerzas..................................................................................................................... 167

Dinmico.................................................................................................................................. 168

Cuasi esttico............................................................................................................................ 168

Balanceo en dos planos............................................................................................................ 168


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ndice Pgina: IV


VII. VIBRACIONES EN MEDIOS CONTINUOS..................................... 170

Vibracin longitudinal de barras.............................................................................................. 170

Problema de la cuerda vibrante................................................................................................ 174

Vibracin transversal de vigas................................................................................................. 178


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Introduccin Pgina: 1


INTRODUCCIN.

Detalles Pg.

Vibracin libre.......................................................................................................................... 1

Vibracin forzada..................................................................................................................... 1


Periodo y frecuencia................................................................................................................. 2

Frecuencia natural.................................................................................................................... 2

Frecuencia natural amortiguada...............................................................................................2

Todo sistema que posee masa y tiene elasticidad, est capacitados para tener movimiento

vibratorio.

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos oscilatorios de los cuerpos y a las

fuerzas asociadas con ellos.

La vibracin, en general es una forma de energa disipada y en muchos casos es inconveniente,

especialmente en maquinarias; ya que debido a las vibraciones se producen ruidos, se transmiten

fuerzas y movimientos no deseados.

Vibracin libre.

Es la que ocurre cuando un sistema oscila bajo la accin de fuerzas inherentes al sistema mismo,

es decir, cuando no acta ninguna fuerza externa. El sistema bajo vibracin libre vibrar a una o

ms de sus frecuencias naturales que son propiedades del sistema dinmico que dependen de sudistribucin de masa y de rigidez.

Vibracin forzada.

Es la que ocurre cuando la vibracin tiene lugar bajo la excitacin de fuerzas externas. Cuando la

excitacin es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitacin. Si esta

coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situacin de resonancia

y ocurren oscilaciones peligrosamente grandes.


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Vibracin Libre Pgina: 3


VIBRACIN LIBRE

Detalles Pg.

Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................ 3

Movimiento armnico.............................................................................................................. 4

Ecuacin del movimiento - frecuencia natural......................................................................... 5

Pndulo simple......................................................................................................................... 11

Pndulo compuesto o pndulo fsico........................................................................................ 13

Combinacin de resortes..........................................................................................................16

En paralelo................................................................................................................................ 16

En serie..................................................................................................................................... 18

Mtodo de la energa................................................................................................................ 24

Mtodo Newton........................................................................................................................ 27

Mtodo de Rayleigh................................................................................................................. 28

Vibracin forzada sin amortiguamiento................................................................................... 41

Tipos de amortiguamiento........................................................................................................46Vibracin libre amortiguada..................................................................................................... 47

Sistema con amortiguamiento crtico....................................................................................... 48

Movimiento sub-amortiguado.................................................................................................. 50

Movimiento sobre-amortiguado............................................................................................... 52

Sistema de un solo grado de libertad.

Muchos sistemas pueden vibrar en ms de una manera y direccin. Si un sistema est restringido

a vibrar de una manera o necesita solo una coordenada independiente para determinar por

completo la localizacin geomtrica de las masas del sistema en el espacio, este es un sistema de

un solo grado de libertad.

Por Ej.:


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Movimiento armnico.

El movimiento oscilatorio puede repetirse a si mismo regularmente, como es el caso de un

balancn de reloj o desplegar considerable irregularidad, como es el casos de los movimientos

ssmicos.

Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo t, se le llama PERIDICO donde es

el periodo de oscilacin.

Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento peridico debe satisfacer la relacin:

x(t) =x(t +)El movimiento peridico ms simple es el MOVIMIENTO ARMNICO. Este movimiento

puede ilustrarse por medio de una masa suspendida de un resorte liviano (Ver Fig.) Si la masa se

desplaza de su posicin de reposo y se la libera, oscilar hacia arriba y abajo; si se coloca una

fuente de luz en la masa, su movimiento puede ser registrado en una tira de pelcula sensible a la

luz que es movida a velocidad constante.

Este movimiento registrado en la pelcula

puede representarse por medio de la ecuacin:

tAsenx 2

Donde :

A =Amplitud de oscilacin, medida desde

su posicin de equilibrio.

=Periodo y se repite cuando t

m

K c

x F

senwt

0

J

K

m

x

K

m

K

t

xA


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Ecuacin del movimiento frecuencia natural.

El sistema oscilatorio ms simple consta de una masa y un resorte (Fig.). Se supone despreciablela masa del resorte cuya rigidez es K (N/m). Note que el sistema tiene un grado de libertad, ya

que su movimiento est descrito por una coordenada x.

Cuando se pone en movimiento, la oscilacin tendr lugar a la frecuencia natural que es una

propiedad del sistema.

La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema.

La posicin del equilibrio esttico:

mgK (1)

Si se desplaza un x a partir del equilibrio esttico, las fuerzas que actan son:

En el resorte xK

Debido al peso mgW

Si se toma a x como positivo hacia abajo, entonces todas las cantidades, fuerza, velocidad y

aceleracin son tambin positivas por estar dirigidas hacia abajo.

xmxKmg xmKxKmg

Segn (1) mgK

xmKxKgm Por tanto: 0Kxxm (2)

m

K

m

m

x

0,7

1

K

mg

mg

K(G +x)

Posicin de

Equilibrio estticoesforzada

Posicin no

x x


10/200



Note que el hecho de haber elegido como referencia la posicin de equilibrio esttico a la medida

x, ha eliminado a la fuerza debida a la gravedad mgW y a la fuerza esttica del resorte KF de la ecuacin del movimiento (Ver ecuacin (2)) y la fuerza resultante es solamente

debida al desplazamiento x.

0Kxxm m

0xm

Kx (3)

La frecuencia natural circular 2n ser:

mK2

n

La ecuacin (3) queda por tanto:

0xx 2n (4)El movimiento definido por la ecuacin (4) se llama Movimiento Armnico Simple y se

caracteriza porque la aceleracin es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto.

Note que tcos,tsen satisfacen la ecuacin; por tanto constituyen soluciones particulares.La solucin a esta ecuacin es de la forma:

stex (5)

Derivando dos veces:

stsex (6)

st2esx (7)

Reemplazando (5) y (7) en (4)

0ees st2st2 0se

22st

is0s 22

Como: ti2ti

1 eses son soluciones linealmente independientes

Entonces ti22ti

11 eCseCs tambin son soluciones

Y tambin ser: ti2ti

1 eCeCx (8)


11/200



Pero: tsenitcose ti (9)tsenitcose ti (10)

(9) y (10) en (8)

tsenitcosCtsenitcosCx 21 tsenCtcosCtseniCtcosCx 2211

tcosCCtseniCiCxB

21

A

21

tcosBtsenAx (11)Donde: A, B son constantes a determinarse por condiciones de contorno.

Suponiendo que:

0t

p 0xx Condiciones de contorno

0t

p 0xx o Condiciones inicialesDerivando (11)

tsenBtAx cos (12)

Reemplazando las condiciones de contorno en (11) y (12) se obtiene las cts.. A y BEn (11) 00 0cos0 xBBAsenx

En (12) 00 00cosx

AsenBAx

Reemplazando las cts. A y B en (11)

txtsenx

x cos00

Donde mK

frecuencia natural circular

El periodo natural de oscilacin es:

t

pero: t2

Por tanto:

22 o tambin:

K

m 2

La frecuencia natural: ffn


12/200



1f

Estas cantidades pueden expresarse en funcin a la deflexin o deformacin esttica ya que:

mgKmgK

Reemplazando en estas ltimas ecuaciones:

* Frecuencia natural circular:

g

m

mg

* Periodo natural:g

2

2

* Frecuencia natural:

gff

211

La solucin general tambin puede obtenerse multiplicando las dos soluciones particulares

ttsen cos por cts.. arbitrarias y sumndolas, es decir:

tBtAsenx cos (a)

tsenBtAx cos (b)

tBtsenAx cos22 (c)

(a)y (c) en (4)

0coscos2

2222 xx

tBtAsentBtsenA

Cumple la igualdad, por tanto es solucin de (4) la ecuacin (a)

Como esta expresin contiene 2 cts. arbitrarias A y B, la solucin obtenida (a) es la solucin

general y A y B dependen de las condiciones iniciales.

m

Kf

2

1

t

Xm

x

t

Xm

wt wt

B

P

A

O


13/200



Las expresiones del desplazamiento velocidad y aceleracin obtenidas para una partcula, pueden

escribirse en forma ms compacta si nota que (a) expresa el desplazamiento x =OP como la sumade las componentes en x de los vectores A y B respectivamente.

Note que la magnitud de OQ es igual a la amplitud mx

El M.A.S. de P a lo largo del eje x puede obtenerse proyectando sobre este eje el movimiento

de un punto Q que describe un crculo de radio mx con una velocidad angular constante .

Representando por el ngulo formado por los vectores OQ y A, se escribe: tOQsenOP

Que conduce a otras formas de expresin del desplazamiento, velocidad y aceleracin.

tsenxx m

txx m cos

tsenxx m2

Ejm. Una masa de Kg. est suspendida de un resorte, cuya rigidez es 0.1533 N/mm. Determine

su frecuencia natural en ciclos por segundo. Calcule la deflexin esttica y verifique la frecuencia

natural.

m

N3.153

m1

mm1000

mm

N1533.0K

a) Frecuencia naturalKg25.0

mN3.153

2

1

m

K

2

1f Hzseg

ciclos94.3f

b) La deflexin esttica mgK 3.153

81.925.0

K

mg m016.0

mm981.15m015981.0

Ejm. Determinar la frecuencia natural de la masa M en el extremo de un voladizo de masa

despreciable.

Primero se encuentra la deformacin de la viga en el extremo (Donde est la carga).


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LxPPLPxdx

ydEI

2

2

12

CLx2

P

dx

dy

EI

213

CxCLx6

PEIy

Por condiciones de contorno:

0x

P y =0

2

3

C6

LP0

32 PL

6

1C

0x

P 0

dx

dy 1

2CLP

2

10 21 PL

2

1C

Por tanto la deformacin es: 323 PL6

1xPL

2

1LxP

6

1EIy

La deformacin mxima ocurre en x =L

33 PL6

1PL

2

10EI

EI3

PL3

Como KP siendo la deformacin, entonces la ecuacin (*) se adecua a:

3

L

EI3PK

Se sabe que la frecuencia natural circular es:m

K

2

1f

Entonces.mL

EI3

2

1f

3

3mLEI3

2

1f

m

y

LM

P

x

M = PL


15/200



1. Si la masa de la viga es despreciable comparada con la masa m, derive una expresin para la

frecuencia de la masa.

Segn tablas: La deformacin en el centro de la viga doblemente empotrada (Donde est m)

viene dada por:

EI192

PLy

3

Adecuando a nuestro caso:

y

PK

3L

EI192K

Se sabe que la frecuencia natural est dada por:

m

K

Entonces:m

L

IE192

3

Pndulo simple.

3mL

EI192

seg

Rad

m

y

L

T

mg

mg

Ft

FN

T

m


16/200


17/200



L

g

L

g2 Llegando a la conclusin que el pndulo simple es un M.A.S. para pequeas oscilaciones.

Su periodo est dado (Frmula de HUYHENS):

2

t

g

L2

Ejm. Suponiendo que el pndulo de un reloj sigue la teora del pndulo simple. Cul ser la

longitud si tiene el periodo de un segundo?

Se sabe que el periodo est dado por:g

L2

Despejando:2

222

4

gL

g

L4

Trabajando en [pies]

Pndulo compuesto o pndulo fsico.

Un cuerpo rgido que puede oscilar libremente

alrededor de un punto en suspensin que es su

centroide, constituye un pndulo compuesto.

Los distintos puntos materiales del rgido,

constituyen otros tantos pndulos simples que siestn a diferentes distancias del eje de giro

tendran que oscilar con periodos distintos.

Pero como se trata de un pndulo fsico, este se

mueve con un periodo propio de oscilacin

.lgP78.9L

L

T

mg

b

Ox


18/200



Si el pndulo compuesto es desplazado de su posicin de equilibrio, esta vuelve por efecto delmomento de su peso W respecto al eje.

mgbM

pero senLb senmgLM senmgl

dt

dI

2

2

donde:

Momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotacin I= 2mr

Radio de giro r

Aceleracin angular

2

2

dt

d

Para oscilaciones pequeas sen [Rad]Ordenando (1) y teniendo en cuenta lo dicho:

0mglI I 0

I

mgl como 2mrI

0r

gL0

mr

mgl22

(2)Analizando esta frmula (2), se nota que para oscilaciones pequeas, el movimiento oscilatorio

del pndulo fsico es M.A.S. siendo:

2

2

r

gL Frecuencia natural circular

y su periodo de oscilacin es:

Ejm. Una chapa cuadrada homognea de lado L (Pies) y masa m est suspendida del punto

medio de uno de sus lados. Encuentre su frecuencia de oscilacin.

gL

r22


19/200


20/200



0mgL21mL

125 2

0gL6

5

0L5

g6

Combinacin de resortes.

Cuando la deformacin de la masa vibratoria implica a ms de un resorte. Para facilitar el clculo

de la frecuencia natural, es necesario determinar la constante del resorte equivalente.

En paralelo.

Las caractersticas son:

- Todos los resortes tienen la misma deformacin

L5

g6

K1 K2 K3

m

P1 P2 P3

P


21/200



321 (1)- La fuerza total es la suma de todas las fuerzas en los resortes 0Fv ; es decir:

.....PPPP 321 (2)

- Se sabe que: KP adecuando a (2) segn (1) se tiene:.....KKKK 321eq

n

1ii321eq K.....KKKK

Ahora bien: El sistema mostrado en la sgt. Figura tambin representa un sistema en paralelo.

- Considerando la masa m descompuesta en dos partes 1m y

2m tales que

21 mmm (1)

- Sean las frecuencias naturales de cada una:

1

121

m

K

2

222

m

K (2)

Estas frecuencias deben ser iguales, ya que se trata de una sola masa.

Por tanto:

222

21 (3)

(2) en (3)2

2

1

1eq

m

K

m

K

m

K

mK

Km

eq

11 (4)

mK

Km

eq

22 (5)

(4) y (5) en (1) mK

Km

K

Km

eq

2

eq

1

m

Keq

21eq KKK

K2

m

K1

m1

m2


22/200



En serie.

El sistema mostrado representa un sistema vibratorio en serie y tiene las sgts. Caractersticas:

- La fuerza o peso es la misma en todos los resortes, ya que se supone despreciable la masa de

los resortes; es decir:

.....PPPP 321 (1)

- El desplazamiento total es la suma de los desplazamientos.

.....321 (2)

Pero: K

P

KP Teniendo en cuenta (1) reemplazamos en (2)

.....K

P

K

P

K

P

K

P

321eq

P

Ejm. Determine la frecuencia natural del vibracin del bloque, si sabe que los resortes estninicialmente comprimidos.

n

1i i321eq K

1......

K

1

K

1

K

1

K

1

K1

K2

m

K3

m

K

KK

K


23/200



rR

C

R

mg

Por la figura, se puede decir que el sistema est en paralelo, por tanto:

KKKKKeq K4Keq

Luego la figura se reduce a :

xmKx4

0xm

K4x0Kx4xm

donde:m

K42 pero f2

2

m

K4

2f

Ejercicios:1. Un disco homogneo semi-circular de radio r y masa m est pivotado en su centro y gira

libremente alrededor de este. Determine su frecuencia natural de oscilacin para desplazamientos

pequeos.

IM IsenmgR

Para oscilaciones pequeas: sen

m

K1f

m

mx

Kx

x


24/200



K

rxm

mg

Grr

A

To+

0mgRI I I =Momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro. 0

ImgR

Extrayendo de tablas: 3r4

R 2mr2

1I

Reemplazando: 0mr

2

13

r4mg

2

0r3

g8

2. Un cilindro homogneo de masa m est suspendido por un resorte de constante K [lb/Plg]

y una cuerda inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibracin del cilindro.

D.C.L. para la posicin de equilibrio esttico:

0Fv 0mgTK 0

0M A 0mgrrK2 (1)

r3

g8

seg

Rad


25/200


26/200



0M 0

LKx41mgL

43

0 (1)

Cuando se desplaza un x, la sumatoria de momentos ser:

IM 0 IL

4

1xxKL

4

3mg 0

Pero 2mrI

Donde L4

3r

2

0 L4

3mKLx

4

1KLx

4

1mgL

4

3

(2)

Segn (1) queda:

2mL16

9KLx

4

1 (3)

Pero rx donde en este caso L4

1xL

4

1r

(4) en (3)

2mL16

9L

4

1KL

4

1

0KL16

1mL

16

9 22

2L

16

0Km9 0

m9

K

3/4L 1/4L

mgK (xo + x)

O


27/200



segrad

4. Una varilla delgada tiene una masa despreciable y soporta una masa de 5 Kg. En su extremo.

Determine el periodo natural de vibracin.

Inicialmente para estar en esa posicin, el resorte debe estar comprimido.

Equilibrio esttico:

0M 2.0mgK1.0 (1)

Si se desplaza un cierto ngulo o distancia x

IM I1.0xK2.0mg 2mL1.0Kx1.0K2.0mg

Segn (1)

0Kx1.04002.0m 2

Pero 1.0x 01.04001.052.0 2

042.0 2.0

m9

K

200 mm.

100mm

.

K =400 N/m.

5 Kg.

C

A

B

mg

0.2 m.

0.1 m.0.2 m.

mg

0.1 m.

KK( +x)


28/200



2

2

seg

rad20020

22

20

2

Mtodo de la energa.

El movimiento armnico simple de un cuerpo es generado solo por las fuerzas gravitacionales y

elsticas de restauracin que actan sobre el cuerpo. Estas fuerzas son del tipo conservativos.

Entonces la conservacin de la energa puede usarse para determinar la ecuacin diferencial de

movimiento y a partir de esta hallar la frecuencia natural o el periodo de vibracin del cuerpo.

Para vibraciones libres sin amortiguamiento, la energa total es parte cintica y parte potencial.

La energa cintica T es almacenada en la masa en virtud de la velocidad, mientras que la

energa potencial V es almacenada en forma de energa elstica de deformacin o de trabajo

realizado en un campo de fuerza gravitacional.

Coma la energa total se mantiene constante, su rata de cambio es cero, es decir:

.ctteVT

0VTdt

d

Como el inters se limita a la frecuencia natural del sistema, se puede plantear:

2211 VTVT

Donde (1) es el instante en que la masa est pasando por su posicin de equilibrio esttico(por

seg4.1


29/200



tanto 0V1 ) (Ya que el N. R. Est ah).

Sea (2) el instante en que ocurre el mximo desplazamiento de la masa 0T2

21 V00T

Sin embargo, si el sistema est experimentando un movimiento armnico, 1T y 2V son valores

mximos y por tanto:

maxmax VT

que conduce de inmediato a la frecuencia natural.

Ejm. Considerando el bloque y el resorte (fig.). Hallar la frecuencia natural, cuando el bloque se

desplaza una cantidad arbitraria x desde su posicin de equilibrio.

La energa cintica es: 2xm21T

La energa potencial es: 2Kx2

1V

Segn la conservacin de la energa .ctteVT

.ctteKx2

1xm

2

1 22

El movimiento del bloque puede obtenerse diferenciando esta ecuacin respecto a t:

0xKxxxm Factorizando x 0Kxxmx

0Kxxm

0xm

Kx

m

K2

Km


30/200



Si se escribe la ecuacin de energa para Un sistema de cuerpos conectados, tambin puede

determinarse la frecuencia natural o ecuacin del movimiento por medio de la derivacin.

(Este mtodo permite determinar Directamente la frecuencia circular )Procedimiento para el anlisis.

1. Trazar un dibujo del cuerpo cuando se desplaza una pequea distancia x desde la posicin

de equilibrio esttico. (L. R.)

2. Formule la ecuacin de energa para el cuerpo .ctteVT , recordando que la energa

cintica es para traslacin y rotacin, es decir: 2G2G I

2

1xm

2

1T y la energa potencial es:

eg VVV (Gravitacional y elstica).

3. Se procede a la derivacin y se factoriza los trminos comunes.

4. La ecuacin resultante representa la ecuacin del movimiento para el sistema.

Ejm. Un cilindro slido homogneo de masa m se sujeta por medio de un resorte de constante

K lb/plg y reposa sobre un plano inclinado. Si el cilindro rueda sin deslizar; demostrar que la

frecuencia es:m3

K2

seg

rad.

Por el mtodo energtico

2G

2G I

2

1mV

2

1T

Pero rVG ; 2G mr2

1I ;

Kx

mr


31/200


32/200



Esttica:

0MA 0rKrsenmg (1)

Dinmica:

AA IM

22 mrmr

2

1rxKrsenmg

2mr2

3KxrrKrsenmg (2)

Reemplazando (1) en (2) y ordenando

0Kxrmr2

3 2

Como no existe deslizamiento

rx 0Krmr

2

3 22

m3

2

0m3

K2

Mtodo de Rayleigh:

El mtodo de energa, puede ser usado para sistemas con masas concentradas o distribuidas,

siempre que el movimiento de cada punto del sistema sea conocido.

En sistemas donde las masas estn unidas por conectores rgidos, palancas o engranajes, el

movimiento de las diferentes masas puede expresarse en trminos del movimiento x de algn

punto especfico y el sistema es simplemente de un solo grado de libertad.

La energa cintica puede escribirse como:

2efxm

2

1T

m3

K2


33/200



m

K

x

dy

y

Masa efectiva o equivalente, concentrada en un punto especfico.= efm

Ahora bien, si la rigidez K de este punto es tambin conocida, la frecuencia natural puedecalcularse por:

efm

K

En sistemas con masas distribuidas, como resortes y vigas, es necesario primero conocer la

distribucin de la amplitud de vibracin antes de calcular la energa cintica RAYLEIGH.

1. Determinar el efecto de la masa del resorte en la frecuencia natural del sistema.

Sea x la velocidad de la masa M

Se supone que la velocidad de cualquier punto del resorte en y vara linealmente.

V

dt x

L

yy

y

x

y

L

La energa cintica del sistema puede ser ahora:

dyyL

m

2

1T 2

Masa por unidad de longitud=L

m

L

0

2

3

22L

0

dyyL

xm

2

1Tdyx

L

y

L

m

2

1T


34/200



23

3

2

x

3

m

2

1TL

3

1

L

xm

2

1T

Se concluye que el efecto de la masa del resorte sobre la masa M es 1/3m; es decir:

m3

1mef

Aadiendo esto a la masa concentrada M, la frecuencia natural ser:

2. Una viga simplemente apoyada de masa m tiene una masa concentrada M en el centro de

la luz. Determine la masa efectiva del sistema en el centro de la luz y halle su frecuencia.

Primero se halla la variacin de la amplitud (Deformacin) con respecto a x segn tablas:

La ecuacin de la elstica y la flecha mxima estn dadas por:

22 xL

4

3

12

PxEIy Para

2

Lx0

EI48

PLy

3

mx

Operando en la ecuacin de la elstica se tiene:

2222

x4L3EI48

Pxy

4

x4L3

EI12

Pxy

m3

1M

K

y

Mm


35/200



33

3

332

L

x4

L

x3

EI48

PLy

L

Lx4

L

LxL3

EI48

Py

Por tanto:

3

mxL

x4

L

x3yy

La energa cintica ser:

dxL

x4

L

x3y

L

m2

2

1Tdx

L

x4

L

x3y

2

L

m

2

1T

2

3

3

mx

2L

0

2

3

3

mx

2L

06

6

4

4

2

22mx

22L

03

32mx dx

L

x16

L

x24

L

x9y

L

m2

2

1Tdx

L

x4

L

x3y

L

m2

2

1T

128

L

L7

16

32

L

L5

24

8

L

L

3ym2

2

1T

7

7

5

5

3

3

2mx

2mx2mx ym4857.0

21T

89616

16024

83ym2

21T

De donde la masa efectiva es:

Por tanto la frecuencia es:

efmM

K

Pero se sabe que:

PKKP

33 L

EI48K

EI48

PL

PK

2L

0

6

7

4

5

2

32mx

L

x

7

16

L

x

5

24

L

x3y

L

m2

2

1T

m4857.0mef

m4857.0MLEI48

3


36/200



O

LK

h

x

a

3. La masa de la varilla delgada de seccin uniforme es pequea comparada con la masa que

tiene colocada en su extremo. Calcule la frecuencia natural de oscilacin de la masa, suponiendoque la oscilacin es pequea.

La energa potencial es la gravitacional y la elstica:

mghVg Pero: cosLLh cos1mgLVg (1)

2e Kx

2

1V Pero: atagx Para oscilaciones pequeas tag

22

e

2

e Ka2

1

VaK2

1

V (2)La energa cintica es de traslacin:

2mV2

1T Pero: LLV

222 mL2

1TLm

2

1T (3)

La derivada temporal 0VVT eg

0mLKasenmgL22

0KamgLmL 22

0mL

KamgL2

2

2

2

mL

KamgL


37/200



4. Una esfera homognea de radio r y masa m puede rodar libremente sin deslizar sobre una

superficie esfrica de radio R. Si el movimiento de la esfera se restringe al plano vertical.Determine la frecuencia natural de oscilacin de la esfera.

La energa potencial es: mghV

cos1rRmgVcosrRrRmgV

La energa cintica es de traslacin y rotacin

2

G

2

G I2

1

mV2

1

T 2G1 mV

2

1T donde: rRVG (Respecto del punto O)

2212

1 rRm2

1TrRm

2

1T

2G2 I

2

1T Pero: 2G mr

5

2I (Considerando A centro instantneo)

r

rR

r

VG

22

22

2

2

22

r

rRrm

5

1T

r

rRmr

5

2

2

1T

222 rRm5

1T

hr

RR - r

AB

VG


38/200



10

K K

Por tanto: 0TTVdt

d21

0rRm5

2rRmsenrRmg

2

0senrRmgrRm5

2rRm

22

Pero: sen

0rRmgrR5

7rRm

0

rR57

g

5. Un disco homogneo circular tiene un momento de inercia alrededor de su centro igual a 10 lb-

plg-seg2. En la posicin de equilibrio esttico ambos resortes estn estirados 1 plg.. Encuentre la

frecuencia natural angular de oscilacin del disco, cuando se le da un pequeo desplazamiento

angular y se le deja en libertad. K=10 lb/plg.

rR7g5


39/200



La energa cintica:

2I

2

1T

2GI

2

1T (1)

La energa potencia elstica:

2K

2

1V

21 VVV

1xK2

11xK

2

1V 22

222 KxK2

1Kx

2

1K

2

1Kx

2

1V

Como: 222 KrVrKVrx (2)Pero: 0VT

dt

d

0KrI2

1

dt

d 222

0Kr2I2

0Kr2I 2 I

0I

Kr2 2

Reemplazando valores:

0

10

101022

2000200 2

6. Un cilindro homogneo de masa m est suspendido por un resorte K y una cuerda

inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibracin del cilindro.

seg

rad14.14


40/200



Energa cintica:

212

G2G TTTI

2

1mV

2

1T

rVG 2221 mr

2

1rm

2

1T

22222 mr

4

1mr

2

1

2

1T

Por tanto: 222222 mr4

3Tmr

4

1mr

2

1T

Energa potencial:

2Kx2

1V Pero: r2x

222 Kr2r2K2

1V

0VTdtd 0Kr2mr

43

dtd 2222

0rK4rm2

3 22

0K4m2

3

2

m3

0m3

K8

K

xm

rVG

A


41/200



7. El disco tiene una masa de 8 Kg. Determine su frecuencia natural de vibracin f si los

resortes estn originalmente no estirados.

Energa cintica:

2G

2G I

2

1I

2

1T

Pero: 2G mr2

1I

2222 mr4

1Tmr

2

1

2

1T

(1)

Energa potencial (Elstica solamente):

2Kx

2

1V 21 VVV

22 Kx2

1Kx

2

1V pero: rx

222 KrVKxV (2) 0TV

dt

d 0mr

4

1Kr

dt

d 2222

0rm2

1rK2 22

m3

K8

K = 400 N/m

m100 mm.

x

xK = 400 N/m


42/200



0K2m2

1

2

m

m

K2

m

K40

m

K4 2

Se sabe que:2m

K2

2ff2

8

4001

m

K1f

8. Determine La ecuacin diferencial de movimiento del carrete de 3 Kg., suponiendo que no se

desliza en la superficie de contacto a medida que oscila. El radio de giro del carrete en torno de

su centro de masa es .mm125KG

R =100 mm. =0.1 m.

R =200 mm. =0.2 m.

GK =125 mm. =0.125 m.

Energa cintica (Traslacin y rotacin):

2Gt mV

2

1T Pero: 22tG mr

2

1TrV (1)

2Gr I

2

1T pero: 22Gr2GG mK

2

1TmKI (2)

Hz25.2f

K = 400 N/m

200 mm.

100 mm.

VG

x

G


43/200



r 3r

rr

r

K1

K2

Energa potencial (Elstica solamente):

2Kx

21V Pero: 22RrK

21VRrx (3)

0RrK2

1mK

2

1mr

2

1

dt

d 2222G

22

0RrKmKmr 22G2 0RrKmKmr 22G2

Reemplazando valores:

02.01.0400125.0301.3 222 036077.0 077.0

9. Para ngulos pequeos de oscilacin, encuentre la frecuencia de oscilacin del sistema.

Por el mtodo de la Energa2

G2

G2G I

2

1TI

2

1Vm

2

1T

222

211

2 xK2

1xK

2

1VhmgKx

2

1V

Pero rx1 r4r3rx2

0468


44/200



2G mr

2

1I

Reemplazando

0r4K2

1rK

2

1mr

2

1

2

1 22

2

122

0r16K2

1rK

2

1mr

4

1 222

221

22 Derivando

0rK16rKmr

2

1 22

21

2 2r

0K16Km2

121

0m

K32K2 21

10. Hallar la ecuacin del movimiento de un pndulo invertido que est restringido por un

resorte, cuya constante es K. Se supone que la masa del pndulo est concentrada a una

distancia L del punto de apoyo y que el resorte es lo suficientemente rgido para que el pndulo

sea estable.

m

K32K2 21

m

K

m x

1

2

a

L


45/200



2mV

2

1T Pero Lx =velocidad

222 mL2

1Lm

2

1T

2E K

2

1V Pero a

Ka2

1aK

2

1V 22

2

E mghVG

1cosmglmgLcosmgLVG

1cosmgLKa

2

1mL

2

1

dt

d0VVT

dt

d 2222GE

0senmglKamL 22 Pero sen 0mgLKamL 22 2mL

Vibracin forzada sin amortiguamiento.

Para este caso la ecuacin diferencial tiene la forma siguiente:

tsenPKxxm o (1)Este tipo de ecuaciones tiene dos soluciones: pc xxx

a) Solucin a-transitoria complementaria: Cuando la ecuacin es homognea, es decir:

0Kxxm

La cual tiene como solucin:

tcosBtsenAx

0Lg

mLKa

2

2


46/200



b) Solucin estacionaria o particular: Cuando la ecuacin es:

tsenPKxxm o Su solucin es del tipo:

tsenGtx (2)Derivando dos veces:

tcosGtx tsenGtx 2 (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1)

tsenPtsenGKtsenGm o2 tsenPtsenKGtsenmG o

2 tsen o

2 PKGmG K

K

PG

K

mG o2

Factorizando G y ordenando

K

P

GK

m1

o2

Pero: mK2

K

PG1 o

2

2

Sea:2

2

K

PG1 o2

2o

1K

PG (4)

Reemplazando (4) en (2)

tsen1K

Ptx

2

op (Solucin particular)

Como la solucin general es del tipo:

pc xxtx

Entonces:

tsen1K

PtcosBtsenAtx

2

o (5)


47/200



Las constantes A y B se determinan por las condiciones de contorno

Si 00x0t (a)Si 00x0t (b)

Reemplazando (a) en (5)

o

2

ooo 0sen1K

P0cosB0senA0

0B

Derivando (5)

tcos1KPtsenBtcosAtx

2o (6)

Reemplazando (b) en (6)

o

2

ooo 0cos1K

P0senB0cosA0

2

o

2

o

1K

PA

1K

PA0

Pero 2o

2

2

1K

PA

Reemplazando las constantes A y B en (5)

tsen1K

Ptsen

1K

Ptx

2

o

2

o

(7)

Donde:

oP Amplitud de la fuerza externa

K Rigidez del resorte

Frecuencia circular del movimiento

Frecuencia circular de carga

Si se analiza la ecuacin (7), se nota que:

tsentsen1K

Ptx

2

o


48/200



2

3

4

5

6

21 3

Si 1 , es decir; entonces el factor 01 2 lo que implica que al estar en eldenominador se hace infinita la expresin. Esta situacin se llamaRESONANCIA.

La solucin particular para el caso tiene la forma: tsentGtx 1p

Donde : m2P

G o1

Esta expresin muestra que la amplitud crece ilimitadamente con el tiempo.

Ejm. Un bloque de masa m est soportado por un resorte de ctte. K el cual est montado

sobre una base de peso despreciable que tiene un movimiento armnico tsenA o hacia arriba yhacia abajo. Determine el movimiento del bloque.

tsentm2

Ptx op

20

1 K

P

22

2

K

P0

t


49/200



xmyxK

xmKyKx

tsenKAKxxm o Solucin complementaria tcosBtsenAxc Solucin particular:Por uno de los mtodos abreviados, se tiene que la solucin es de la forma:

baxsen

aF

1baxsen

DF

1y

22

: 0aF 2

Por tanto en este caso, la ecuacin diferencial ser:

Sea xDx 2

tsenKAxKmD o2

tsenKAKmD1xo2p

tsenKAKm

1x o2p

tsenKA

m

Km

1

x o2

p Pero

m

K2

w

0

x

K

K (x - y)

m


50/200



tsen

m

KAx

22

op

tsen

Ax 2

2

222

op

tsen

1

Ax

2

2

op

Por tanto la solucin general es:

Tipos de amortiguamiento.

a) Amortiguamiento viscoso. Para cuerpos que se mueven con velocidad moderada a

travs de fluidos.

cVF c Ctte. De proporcionalidad

V Velocidad

b) Amortiguamiento turbulento. Ocurre cuando la rapidez con que se mueve un cuerpo

dentro un fluido es alta.

2bVF b Ctte. De proporcionalidad

V Velocidad

c) Amortiguamiento Coulombiano. Cuando una superficie seca se desliza sobre otra

superficie.

NF Coeficiente de roce cinticoN Fuerza normal

tsen

1

AtcosBtsenAx

2

2

o


51/200



m

K

c

x

K( +x)

mg

mg

FR Fa

cxx

Vibracin libre amortiguada.

En la situacin de equilibrio esttico (caso b) no acta todava la amortiguacin

mgK (1)

En la situacin (c) se tiene:

xmF

xmmgxcxK xmmgxcKxK Segn (1)

xmxcKx

Ordenando: 0Kxxcxm (2)

Si Dxdt

dx y xD

dt

xd 22

2

0KxcDxxmD2 (3)

Dividiendo entre m la ecuacin (3)

0m

K

Dm

c

D

2 (4)

Resolviendo cual si fuese una ecuacin de segundo grado.

2

m

K4

m

c

m

c

D2

2

Comom

K2


52/200



2

4

m4

c4

m

c

D

2

2

2

2

2

m2

c

m2

cD

Analizando el discriminante, se ve tres situaciones posibles:

Si

0

m2

c 22

El sistema tiene amortiguamiento CRITICO

Si

0

m2c 2

2

El sistema es SUB-AMORTIGUADO

Si

0

m2

c 22

El sistema est SOBRE-AMORTIGUADO

Sistema con amortiguamiento crtico.

Como

m2

c

m2

c0

m2

c 22

2

2

De ah m2Cc cC Amortiguamiento crticoPor tanto la raz de la ecuacin (4) son iguales y sern:

m2

m2

m2

CD

2

4m

c

m

c

D c

0

2

2

2

Por tanto la solucin de la ecuacin (4) tendr la forma:

Dt2Dt

1 teGeGtx Donde 21 G,G Ctts. a determinar

Factorizando Dt21 etGGtx

Como D t21 etGGtx (5)

D


53/200



t

m2

c

21 etGGtx

(5 )

Conforme t se tiene que 0et

m2

c

ms rpidamente que tse aproxima a ; el movimiento

se disipa exponencialmente.

De hecho, el caso de amortiguamiento crtico es el caso lmite de sobre-amortiguamiento.

El amortiguamiento crtico, representa una condicin en la que etiene el valor mnimo necesario

para hacer que el sistema seaNO VIBRATORIO

Para hallar las constantes 21 G,G de la ecuacin (5) se realiza segn condiciones de contorno.

Se sabe que: tsenhtcoshe t (6)(6) en (5)

tsenhtcoshtGGtx 21 tsenhtGtcoshtGtsenhGtcoshGtx 2211 (7)

0xtx0tP Reemplazando en (7)

o2o

2o

1o

1 0senh0G0cosh0G0senhG0coshG0x

0xG1

Derivando (7)

tsenhGtcoshtGtcoshGtsentGtcoshGtsenhGtx 222211 0xtx0

t

P

o2o

2o

2o

2o

1o

1 0senhG0cosh0G0coshG0sen0G0coshG0senhG0x 21 GG0x

0x0xGG0xG 212

Reemplazando las constantes 1G y 2G en (5)


54/200



tet0x0x0xtx Ordenando:

Movimiento sub-amortiguado.

Esta situacin ocurre cuando:

0m2

c 22

Que implica tener un discriminante negativo, por tanto tendr soluciones imaginarias.

Sea Razn de amortiguamiento

m2CCCC

Cc

c

Reemplazando en: 22

m2cm2cD

22

m2

m2

m2

m2D

1DD 2222 21iD

tet0xt10xtx

t

X(0)

X(0)>0

X(0)=0

X(0)


55/200



Sea: 20 1 Velocidad angular amortiguado

Frecuencia de oscilaciones amortiguadas

0iD (a)La solucin a la ecuacin diferencial tendr la forma:

tD2tD

121 eGeGtx (b)

Reemplazando (a) en (b)

ti2ti

100 eGeGtx

tit

2

tit

1

00 eeGeeGtx

ti2ti1t 00 eGeGetx (c)

Como: tsenitcose 00ti 0

tsenitcose 00ti 0

Reemplazando en (c)

tsenitcosGtsenitcosGetx 002001t

tseniGtcosGtseniGtcosGetx 02020101t

tsenGGitcosGGetx 0B

210

A

21t

tsenBtcosAetx 00t (d)

Para 0xtx0t

0xA0senB0cosAe0x oo0

Derivando (d):

tsenBtcosAetcosBtsenAetx 00t

0000t

Para 0xtx0t

oo0o0o

00 0senB0cosAe0cosB0senAe0x

AB0x 00 Pero 0xA


56/200



0

000

0x0xB0xB0x

Movimiento sobre-amortiguado.Esto ocurre cuando:

0m2

c 22

Razn de amortiguamiento

m2CCCC

Cc

c

Reemplazando en: 22

m2

c

m2

cD

1D 2 1D 2 (a)

La solucin a la ecuacin diferencial es del tipo:

tDtD 21 BeAetx (b)

tsen

0x0xtcos0xetx 0

0

00

t

x sen

x

wt

txe


57/200



Reemplazando (a) en (b)

t1t122

BeAetx

(c)

Derivando (c)

t12t1222

e1Be1Atx (d)

Las condiciones de contorno son:

Para: 0t ; 0xtx ; 0xtx

Reemplazando en (c)

B0xABeAe0x00

(*)Reemplazando en (d)

0202 e1Be1A0x (**)Reemplazando (*) en (**)

B1B1B0x0x 22 B1BB1B0x10x0x 222

0x0x0x1B12 22

12

0x0x1B

2

2

Reemplazando en (*)

12

0x0x10xA

2

2

12

0x0x0x10x12A2

22

12

0x10xA

2

2

*****

t1

2

2t1

2

2 22

e12

0x0x1e

12

0x10xtx


58/200



m

cK

x

L.R.t = 0

h

El movimiento es una funcin exponencialmente decreciente con el tiempo y se la clasifica como

APERIODICA.

Ejm. Si el sistema mostrado en la figura, se suelta desde una altura h sobre una superficie dura.

Cul ser el movimiento resultante de la masa m?

La ecuacin diferencial para este sistema es:

0Kxxcxm m

0xm

Kx

m

cx (1)

La expresin se puede escribir como:

0m

KD

m

cD2

wt

A

O

B

tAe

12


59/200



La solucin de esta ecuacin es:

22

m2c

m2cD

(2)

ComoCC

c y m2cm2CC

Reemplazando en (2)

22

m2

m2

m2

m2D

1DD 2222 Cambiando el orden del discriminante; este se hace negativo, por tanto imaginario:

21iD Sea: 20 1

0iD La solucin a la ecuacin (1) es de la forma:

tD2tD1 21 eGeGtx

ti2ti

100 eGeGtx

ti2ti1t 00 eGeGetx

Como: tsenitcose 00ti 0

tsenitcose 00ti 0

Reemplazando y simplificando:

tsenBtcosAetx 00t (3)Derivando (3)


0000t (4)

Considerando el nivel de referencia (L.R) del grfico, se tiene las consideraciones de contorno

0tP ; 0x ; gh2x

Reemplazando en (3) y (4) Se determina las constantes.


60/200



K

xm

c

tsenegh2

tx 0t

m2

c

0

En (3)

0A0senB0cosAe0 oo0

En (4)

oo0o0o00 0senB0cosAe0cosB0senAegh2

0

0

gh2BBgh2

Reemplazando en (3)

tsen

gh2tcos0etx 0

0

0t

tsenegh2

tx 0t

0

Pero m2

c

tsenegh2

tx 0t

m2

c

0

1. Una masa de 50 lb. Reposa sobre un resorte de 35 lb/Plg.y un amortiguador de 075 lb-seg/Plg..

Si se aplica una velocidad de 4 Plg/seg a la masa en su posicin de reposo. Cul ser el

desplazamiento al final del primer segundo?.

tsenegh2

tx 0t

m2

c

0


61/200



La ecuacin diferencial para este caso es:

0Kxxcxm m

0xm

Kx

m

cx

La solucin o primitiva de esta ecuacin es:

tsenBtcosAetx 00t (a)

20 1 m2

c

0tP ; 0tx ; 40x [Plg/seg] (b)

Reemplazando en (a)

0A0senB0cosAe0 oo0

Derivando (a)


0000t

oo0o

0

o

0

0

0senB0cosAe0cosB0senAe4

AB4 0 Pero0

4B0A

Reemplazando en (a)

tsene4

txtsen4

etx 0t

0

0

0

t

(c)

Pero

seg

rad86.13

seg

lgp384

lb

lgp/lb

50

25

m

K2

2

21.0

86.13502

288

m2

c

seg

lgp384

lgp

seglb75.0c

2

seg

rad55.1321.0186.131 0

220

Por tanto estos valores reemplazado en (c)


62/200



155.13sene55.13

41x 186.1321.0

2. Un pndulo simple est pivotado en 0. Si la masa de la varilla es despreciable y las

oscilaciones pequeas; encuentre la frecuencia natural amortiguada del pndulo.

IM donde 22 mLMmLI 22211 mLsenmgLLxcLKx (1)pero 11 Lx

2222 LxLx Reemplazando en (1)

22221 mLmgLcLKL Ordenando

0mgLKLcLmL 2122

2 (2)0

mL

mgLKL

mL

cL2

21

2

22

La solucin de esta ecuacin de segundo grado es:

2

21

2

2

22

2

22

mL

mgLKL14

mL

cL

2

1

2mL

cL

D

lgp0013.01x

K

m

L

L2

L1

c

O


63/200



2

21

2

2

22

2

22

mL

mgLKL4

mL2

cL2

2

1

mL2

cLD

2

21

2

2

22

2

22

mL

mgLKL

mL2

cL

mL2

cLD

De aqu, la frecuencia circular amortiguada es la raz, pero cambiando los trminos:

2

2

22

2

21

mL2

cL

mL

mgLKL


64/200

Vibracin excitada armnicamente Pgina: 60


m

c

K

x

mg

xcx

K( +x)

F

senwt

0

VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO

Detalles Pg.

Excitacin indirecta.................................................................................................................. 66

Desbalanceamiento rotacional.................................................................................................. 69

Decremento logartmico........................................................................................................... 71

Aislamiento de las vibraciones................................................................................................. 79

Transmisibilidad....................................................................................................................... 80

Energa disipada por amortiguamiento.....................................................................................83

Cuando un sistema est sometido a una excitacin armnica forzada, su respuesta de vibracin

tiene lugar a la misma frecuencia de excitacin.

Una fuente comn de excitacin armnica es el desbalance en mquinas rotatorias, aunque la

excitacin armnica es menos probable que la peridica u otros tipos de excitacin. Pero se

estudia la excitacin armnica para comprender como el sistema responde a tipos ms generales

de excitacin.

Considerando un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, excitado por una

fuerza armnica tsenF0

En el nivel de equilibrio esttico

mgK (1)


65/200



Aun desplazamiento x

tsenFmgxcxKxm 0 tsenFgmxcKxKxm 0

tsenFKxxcxm 0 (2)Se sabe que la solucin de la ecuacin (2) consta de dos partes: Una parte complementaria

(Solucin homognea) y una solucin particular; es decir:

pc xxx (3)

la solucin complementaria o transitoria es la solucin de un sistema libre amortiguado y est

dado por una de estas tres, segn cual sea el caso

- Caso sobre - amortiguado CCc

ttc

21 BeAex ( 21, son reales y diferentes)- Caso amortiguado crtico CCc

tc eBtAx ( 21, iguales y reales)

- Caso sub amortiguado CCc

tsenBtcosAex 00t

c ( 21, son complejos)La solucin particular o estacionaria es una solucin estacionaria de la misma frecuencia deexcitacin.

Existen varias formas de resolucin de la ecuacin diferencial (2); una de ellas es:

Sea: tcosBtsenAxp (4)O tambin: tsenxxp (5)

Donde x Amplitud de oscilacin

Fase de desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz.

Derivando dos veces (4)

tsenBtcosAxp (6)tcosBtsenAx 22p (7)

Reemplazando (4), (6) y (7) en (2)


66/200



tsenFtcosBtsenAKtsenBtcosActcosBtsenAm 022 Multiplicando y factorizando senos y cosenos

tsenFtcosKBAcBmtsenKABcAm 022

Igualando trminos segn sean senos o cosenos se tiene:

02 FKABctm (a)

0KBAcBm 2 (b)Resolviendo el sistema: Despejando A de (b)

c

KBBm

A

2

(c)

Reemplazando (c) en (a)

0

222 F

c

KBBmKBc

c

KBBmm

c

02222242 FcBKKBmBcKBmm

0222242 FccKKm2mB

022222 FccKKm2mB

1

222

00

222

cKm

FcBFccKmB

Reemplazando en (c)

222

02

cKm

FmKA

Reemplazando en (4)

tcos

cKm

Fctsen

cKm

FmKx

222

0

222

02

p

Factorizando:

tcosctsenmK

cKm

Fx 2

222

0p (7)

Segn (3), la solucin es:


67/200



Considerando la ecuacin (5) tambin se puede resolver por el mtodo de la impedancia

mecnica, que es un mtodo sencillo y directo para la vibracin del estado estacionario.

tsenxx (5)

tcosxx (8)

tsenxx 2 (9)

Recordando que en el movimiento armnico las fases de la velocidad y la aceleracin estn

delante del desplazamiento en 90 y 180 respectivamente.

.La suma vectorial es:

02 FxcxmKx la magnitud ser: 202

2222 FxcxmK

2220

cmK

Fx

(10)

La fase se obtiene del grfico:

2mKc

arctagxmK

xctag

(11)

Dividiendo entre K el numerador y denominador de (10) y (11) se obtiene:

tcosctsenmKcKmF

tsenBtcosAex2

222

0

00

t

Kxx

mw x

cwx

wt

x

o

Fo

2

o(K - mw)x

cwx


68/200



222

0

K

c

K

m1

K

F

x

K

m1

K

c

arctag 2

Considerando las expresiones:

m

K Frecuencia natural de oscilacin no amortiguado m2Cc Amortiguamiento crtico

cC

c Factor de amortiguamiento

22K

m2K

CC

c

K

c2c

c

Reemplazando en estas ltimas ecuaciones

22

2

20

21

1

F

xK

2

1

2arctag

Estas ecuaciones indican que la amplitud adimensional0F

xKy la fase son funciones solamente

0

1.0

1.0

2.0

3.0

2.0 3.0 4.0 5.0

-1.0 0.5

0.375

0.25

0.10

0.050.00

0 1 2 3 4 5

90

180

Razn de frecuencias w/w

A

ngulodefase

Razn de frecuencias w/w

0.375

0.15

0.05

0F

xK

cC

C

1


69/200



de la razn de frecuencias

y el factor de amortiguacin , que grficamente se representancomo:

Estas curvas muestran que el factor de amortiguacin tiene gran influencia sobre la amplitud y el

ngulo de fase en la regin de frecuencia prxima a resonancia.

Un entendimiento adicional sobre el comportamiento del sistema puede obtenerse estudiando el

diagrama de fuerzas para

, pequeo, igual a uno y grande.

Para valores pequeos, las fuerzas de inercia y las de amortiguamiento son pequeas, lo que

implica un (ngulo de fase) pequeo. Por tanto la magnitud de la fuerza global es igual a lafuerza del resorte.

Para 1 el ngulo de fase es 90, note que la fuerza de inercia es mayor y es equilibrada porla fuerza del resorte, mientras que la fuerza aplicada supera a la fuerza de amortiguacin.

Para 1

, se aproxima a 180 y la fuerza aplicada se emplea casi enteramente en vencer lagran fuerza de inercia.

cwx

Kxx

Fo

o

mw x2

cwx

Kx

mw x2

o o = 90

mw x2

cwx

KxFo xo


70/200



Por tanto : La solucin a la ecuacin diferencial (1) puede escribirse como:

Hasta aqu se ve que la fuerza externa acta directamente sobre la masa vibratoria; pero puede

ocurrir tambin que esta fuerza acte de forma indirecta.

Excitacin indirecta.

Si la fuerza excitadora se origina en un elemento intermedio

Como tcosUy Considerando un sistema inercial se tiene:

xyKxycxKxcxm 2211

xKyKxcycxKxcxm 222211

yKycxKKxccxm 22K

21

c

21

yKycKxxcxm 22

Pero tcosUy Derivando tsenUy

tcosUKtsenUcKxxcxm 22

tsenUctcosUKKxxcxm 22 tcosPKxxcxm

Donde: 2222 cKUP

mx

K1

K2 c2

c1

yy (t) =Ucoswt


71/200



2

2

K

carctag

a) Cuando no hay elementos intermedios conectados al sistema vibratorio y el movimiento

armnico de la fuente de excitacin se transmite directamente al punto base del resorte y

amortiguador. Es el caso de los instrumentos ssmicos.

La ecuacin diferencial del movimiento, se obtiene considerando un sistema inercial, por tanto la

deformacin del resorte es:

xmyxKyxc (a)

sea

yzxyxz (b)

yxz

Derivando dos veces:

yzx (c)

Reemplazando en (a)

yzmKzzc

ymKzzczm

Pero tsenAy tsenAy 2 tsenAmKzzczm 2

tsenAmKzzczm

Note que la ecuacin siempre es la misma y lo nico que cambia es la amplitud de excitacin.

c(x - y)

m

K

x

y

y =Asenwt


72/200



Ejm. El pistn mostrado en la Fig. oscila con un movimiento armnico tcosAx dentro de uncilindro de masa m el cual es soportado por un resorte de cte. K. Si entre el pistn y la pareddel cilindro hay amortiguamiento viscoso c; encuentre la amplitud del movimiento del cilindro

y su diferencia de fase con el pistn.

Sistema equivalente

xmKxyxc

ycKxxcxm

Pero tcosAy tsenAy tsencAKxxcxm (1)

La solucin particular tiene la forma:

tcosGtsenGx 21 tsenGtcosGx 21

tcosGtsenGx 222

1 Reemplazando en (1)

tsencAtcosKGtsenKGtsencGtcoscGtcosmGtsenmG 21212

2

2

1 Factorizando senos y cosenos

tsencAtcosGcGmKtsenGcGmK 122212 Igualando trminos

cAGcGmK 212 0GmKGc 2

21

y = Acoswt

mc

K

m

Kx

cy

y =Acoswt

m

c(x - y)


73/200



wt

wt

o

x

G2

G1

x

Resolviendo este sistema, se halla las constantes 1G y 2G

Sea: 2mKa cb

Reemplazando a y b en el sistema

bAbGaG 21

0aGbG 21

2222

1221

cmK

AcmKG

ba

abAG

2222

222

2

2

cmK

AcG

ba

AbG

La amplitud

222

22

222

222

21

ba

Ab

ba

abAxGGx

2222

2

222

222

ba

bA

ba

Abx

ba

bAbax

La fase:a

barctag

ba

abAba

Ab

arctagG

Garctag

22

22

2

1

2

Desbalanceamiento rotacional.

El desbalance en mquinas rotatorias es una causa de excitacin vibratoria.

222 cmK

Acx

2mK

carctag


74/200



wt

K/2

Fm

e

M

c K/2

esenwt

Existe desbalanceamiento rotacional en una mquina, si en centro de gravedad de la parte

rotatoria no coincide con el eje de rotacin.

Considerando que el sistema est restringido a moverse en direccin vertical.

El desbalance est representado por una masa excntrica m con excentricidad e que rota con

velocidad .

La fuerza centrfuga debido al desbalanceamiento en la parte rotatoria de la mquina es:

2N emmaF

La proyeccin vertical de F es:

tsenmeF 2V Por tanto la ecuacin diferencial del movimiento es:

tsenmeKxxcxM 2 (1)Esta ecuacin es idntica al caso de la oscilacin forzada con amortiguacin; siendo

meF0

tsen

cmK

mex

222

2

p

tsen

21

K

me

x22

2

2

2

p


75/200



Decremento logartmico.

Un modo conveniente de determinar la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema,

consiste en medir la rata de cada de las oscilaciones libres.

Se sabe que a mayor amortiguamiento, mayor rata de cada.

Considerando una vibracin amortiguada (Sub amortiguada) expresada por la ecuacin

tsenBtcosAetx 00t

El decremento logartmico, se define como el logaritmo natural de la razn de dos amplitudes

sucesivas cualesquiera.

1010t

00t

2

1

tsenBtcosAe

tsenBtcosAeln

x

xln

1

1

Como el seno y el coseno son funciones peridicas, pueden simplificarse los factores y queda:

eln

ee

eln

e

eln

1

1

1

1

t

t

t

t

Como :21

2

x

t

X1

X2


76/200



22

1

2

1

2

Cuando 111 2

Valor aproximado

El grfico muestra los valores exactos y aproximados de como funcin de Al determinar experimentalmente; se debe notar que cualquier pequeo error al medir dosamplitudes sucesivas dar resultados errneos, ya que generalmente estas amplitudes son muy

prximas una de otra.

Para evitar esta dificultad, se mide dos amplitudes separadas n ciclos. Sea 0x la primera

amplitud medida y nx la amplitud despus de n ciclos transcurridos.

Comon

1n

1n

2n

2

1

1

0

xxln

xxln...

xxln

xxln

n

1n

1n

2n

2

1

1

0

x

x

x

x...

x

x

x

xe

La razn: nnn

1n

3

2

2

1

1

0

n

0 eex

x...

x

x

x

x

x

x

x

x

2

0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0

2

4

6

8

1 0

1 2

F a c t o r d e a m o r tig u a m ie n t o

Decremento

logartmico

12

2

cC

C


77/200



n

0

x

xlnelnn

Ejm. Los datos siguientes estn dados para un sistema vibratorio con amortiguamiento viscoso,

donde m =10 lb., K =30 lb/plg y c =0.12 (lb/plg)seg. Determine el decremento logartmico y la

razn de dos amplitudes sucesivas cualesquiera.

Se sabe que21

2

seg

rad94.33seglg/p384

lb10

lgp/lb30

m

K 2

0698.0seglg/p384seg/rad94.33lb102

lgp/seglb12.0

m2

c 2

20698.01

0698.02

44.0

1

0

1

0

1

0 e

x

xe

x

x

x

xln

1. Encuentre los cuatro primeros trminos de la representacin en series de Fourier de la onda

cuadrada o funcin quebrada.

n

0

x

xln

n

1

44.0

55.1x

x

1

0


78/200



Se sabe que:

1n0n0n0 tnsenbtncosaa2

1

tf Donde

T

20

T =PeriodoSegn el grfico tf 1 t0

1 2t Segn las frmulas:

dttfT

2a 2

T

2T0

(1)

dttmcostfT

2a 0

2

T

2

Tn (2)

dttnsentfT

2b 0

2

T

2

Tn (3)Clculo de 0a

0201

tt

1

dt2

2

dt2

2

a

2

0

2

00

Clculo de nb

0

2

0

00

0

0

00n dttncosn

1tncos

n

11dttnsen

2

2dttnsen

2

2b

x

1

-1

2 3 4 5 t


79/200


80/200



2. Encuentre los cuatro primeros trminos de la representacin en series de Fourier de la onda

triangular.

tf

1t2

Para t0

t

23 Para 2t

ComoT

20

; 12T 0

Clculo de 0a

dtt2322dt1t

22

22a

2

00

222

2

2

0

20 3

4600

11t

1t3tt

11a

022001a0 Clculo de na

dtntcost2322dtntcos1t2

22a

2

0n

0 02 2

n dtntcost2

dtntcos3dtntcosdtntcost21

a

(1) (2) (3) (4)

Integrando por partes

(1)=(4)

-1

x

1

2 3 t


81/200



sea dtdutu

ntsenn1vdtntcosdv

dtntsenn1

ntsenn

tudv

ntcosn

1ntsen

n

tI

2

Desarrollando

2

2

2

002n ntcos

n

1ntsen

n

t2ntsen

n

13ntsen

n

1ntcos

n

1ntsen

n

t21a

(1) 1ncosn

2

n

1ncos

n

120cos

n

10sen

n

02ncos

n

10sen

n

222222

(2) 00senn

1nsen

n

1

(3) 0nsenn

1n2sen

n

13

(4)

ncosn

1n2cosn

12ncosn

1nsennn2cosn

1n2senn

222222

Por tanto:

ncosn

2n2cos

n

21ncos

n

21a

222n

Si n es par

01n

21

n

211

n

21a

222n

Si n es impar

2n n

8a

Clculo de nb

02

n ntsent2

3ntsen1t2

2

2b


82/200



0 0

2 2

n dtntsent2

dtntsen3dtntsendtntsent21

b

De tabla: ntcosn

tntsen

n

1dtntsent

2

2

2

2

002n

ntcosn

tntsen

n

12ntcos

n

13ntcos

n

1ntcos

n

tntsen

n

121b

(1) (2) (3) (4)

(1) ncosn2

ncosn

20cos

n

00sen

n

1ncos

nnsen

n

1222

(2) ncos1n

1

n

1ncos

n

10cos

n

1ncos

n

1

(3) n2cosncosn

3ncos

n

1n2cos

n

13

(4) ncosn2cos2n

2ncos

nnsen

n

1n2cos

n

2n2sen

n

1

n

222

Por tanto:

ncosn2cos2n

2n2cosncos

n

3ncos1

n

1ncos

n

21bn

Si n es par

0n

2

n

21112

n

211

n

311

n

11

n

21bn

Si n es impar

0n6

n

6

vibraciones (muy bueno)

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