vibraciones mecanicas
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DINAMICA
VIBRACIONES MECANICAS
AMORTIGUADAS Y SIN AMORTIGUAMIENTO
4 -A
7 DE JUNIO DE 2010
INTEGRANTES:
CHIN UVALLE JOSE EFRAIN CUJ KUK SERGIO ANTONIO CANCHE CANCHE JOSE GUADALUPE EK CHAN IVAN JESUS
รNDICE CAPITULO 1.- GENERALIDADES ........................................................................................................... 3
1.1 introducciรณn. ............................................................................................................................. 3
CAPITULO 2.- MARCO TEORICO .......................................................................................................... 5
2.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO ................................................................................... 5
2.1.1 Vibraciones libres de partรญculas. Movimiento armรณnico simple ........................................ 5
2.1.2 Pรฉndulo simple (soluciรณn aproximada) ............................................................................ 11
2.1.3 Pรฉndulo simple (soluciรณn exacta) ..................................................................................... 13
2.1.4 Vibraciones libres de cuerpos rรญgidos ............................................................................... 15
2.1.5 Aplicaciรณn del principio de conservaciรณn de la energรญa ................................................... 17
2.1.6 Vibraciones forzadas ........................................................................................................ 19
2.2 vibraciones amortiguadas ....................................................................................................... 23
2.2.1.- vibraciones libres amortiguadas ................................................................................... 23
2.2.2.- vibraciones forzadas amortiguadas ............................................................................... 26
CAPITULO 3.-EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................ 29
CAPITULO 4.- CONCLUSIONES ........................................................................................................... 37
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................... 38
3
CAPITULO 1.- GENERALIDADES
1.1 introducciรณn.
Una vibraciรณn mecรกnica es el movimiento de una partรญcula o cuerpo que
oscila alrededor de una posiciรณn de equilibrio. La mayorรญa de las vibraciones en
mรกquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a
las pรฉrdidas de energรญa que las acompaรฑan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas
o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseรฑo apropiado. El anรกlisis
de vibraciones se ha vuelto cada vez mas importante en los รบltimos aรฑos debido a
la tendencia actual para producir maquinas de mรกs alta velocidad y estructuras
mรกs ligeras. Hay razones para esperar que esta tendencia continรบe y que una
incluso mayor necesidad de anรกlisis de vibraciones genere en el futuro.
El anรกlisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado
textos completos. En consecuencia, este estudio de limitarรก a los tipos mรกs
simples de vibraciones, a saber, las vibraciones de un cuerpo o un sistema de
cuerpos con un grado de libertad.
Una vibraciรณn mecรกnica se produce por lo general cuando un sistema se
desplaza de una posiciรณn bajo la acciรณn de fuerzas restauradoras (Ya sea fuerzas
elรกsticas, como en el caso de una masa unida a un resorte, o fuerzas
gravitacionales, dodo en el caso de un pรฉndulo). Pero el sistema por lo general
alcanza su posiciรณn original con cierta velocidad adquirida que lo lleva mรกs allรก de
esa posiciรณn. Puesto que el proceso puede repetirse de manera indefinida, el
sistema se mantiene moviรฉndose de un lado a otro de su posiciรณn de equilibrio. El
intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un ciclo de movimiento
completo recibe el nombre de periodo de la vibraciรณn. El nรบmero de ciclos por
unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento mรกximo de un sistema
a partir de su posiciรณn de equilibrio de conoce como amplitud de la vibraciรณn.
Cuando el movimiento se mantiene รบnicamente por medio de fuerzas
restauradoras, se dice que la fricciรณn es una vibraciรณn libre (secciones 2.2 a 2.6).
4
Cuando se aplica una fuerza periรณdica al sistema, el movimiento resultante de
describe como una vibraciรณn forzada. (Secciรณn 2.7). Cuando es posible ignorar los
efectos de la fricciรณn se afirma que las vibraciones son no amortiguadas. Sin
embargo, todas las vibraciones son en realidad amortiguadas hasta cierto grado.
Si una vibraciรณn libre sรณlo se amortigua de manera ligera, su amplitud decrece de
manera lenta hasta que, despuรฉs de cierto tiempo, el movimiento se interrumpe.
Pero si el amortiguamiento es suficientemente largo para evitar cualquier vibraciรณn
verdadera, en ese caso el sistema recupera lentamente su posiciรณn original
(Secciรณn 6.8). Una vibraciรณn forzada amortiguada se mantiene siempre y cuando
se aplique la fuerza periรณdica que la produce. Sin embargo, la amplitud de la
vibraciรณn se ve afectada por la magnitud de las fuerzas de amortiguamiento
(Secciรณn 6.9).
1.2 OBJETIVO GENERAL
Aprender y conocer los conceptos acerca sobre las vibraciones mecรกnicas
como son la vibraciones de amortiguamiento y las vibraciones sin amortiguamiento
y como poder aplicarlos en la vida cotidiana.
1.3 OBBJETIVO ESPESIFICO
1; Conocer los conceptos de amortiguaciones
2; Aprender sobre las formulas para poder realizar los ejercicios
3; Poder aplicar los conceptos y las formulas en la vida cotidiana
5
CAPITULO 2.- MARCO TEORICO
2.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO
2.1.1 Vibraciones libres de partรญculas. Movimiento armรณnico simple Considere un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante k (figura
19.1a). Puesto que en el tiempo presente se considera solo el movimiento de su
centro de masa, a este cuerpo se le considerara como una partรญcula. Cuando la
partรญcula se encuentra en equilibrio estรกtico, las fuerzas que actรบan sobre ella son
su peso ๐พ y la fuerza ๐ป ejercida por el resorte, de magnitud ๐ = ๐๐ฟ๐ ๐ก , donde ๐ฟ๐ ๐ก
denota la elongaciรณn del resorte. Por consiguiente,
๐ = ๐๐ฟ๐ ๐ก
Supรณngase ahora que la partรญcula se desplaza una distancia ๐ฅ๐ se
seleccionรณ mรกs pequeรฑa que ๐ฟ๐ ๐ก , la partรญcula se moverรก hacia arriba y hacia
debajo de su posiciรณn de equilibrio; se genero una vibraciรณn de amplitud ๐ฅ๐ .
Obsรฉrvese que la vibraciรณn tambiรฉn se puede producir si se le imparte una cierta
velocidad inicial a la partรญcula, cuando esta se encuentra en su posiciรณn de
equilibrio ๐ฅ = 0 o, mas generalmente, soltรกndola desde cualquier posiciรณn dada
๐ฅ = ๐ฅ0 con una velocidad inicial dada ๐ฃ0.
Para analizar la vibraciรณn, considรฉrese que la partรญcula estรก en una posiciรณn
๐ en un instante arbitrario ๐ก (figura 19.1b). Si ๐ฅ denota el desplazamiento ๐๐
medido desde la posiciรณn de equilibrio ๐ (positivo hacia abajo), se observa que las
fuerzas que actรบan sobre la partรญcula son su peso ๐พ y la fuerza ๐ป ejercida por el
resorte, que, en esta posiciรณn, tiene una magnitud ๐ = ๐(๐ฟ๐ ๐ก + ๐ฅ). Recordando que
๐ = ๐๐ฟ๐ ๐ก , la magnitud de la fuerza resultante ๐ญ de las dos fuerzas (positiva hacia
abajo) es
๐น = ๐ โ ๐ ๐ฟ๐ ๐ก + ๐ฅ = โ๐๐ฅ (2.1)
6
a)
wEquilibrio
t=kstNo deformado
..ma=mx
-Xm
P
O
+Xm
X
+
FIGURA(19.1)B)
w
Equilibrio
T= (st + x)
=
7
Por lo tanto, la resultante de las fuerzas ejercidas sobre la partรญcula es
proporcional al desplazamiento ๐๐ medido a partir de la posiciรณn de equilibrio. De
acuerdo con la convenciรณn de signos, se observa que la direcciรณn de ๐ญ siempre es
hacia la posiciรณn de equilibrio ๐. Si sustituye ๐น en la ecuaciรณn fundamental ๐น =
๐๐, y puesto que ๐ es la segunda derivada de แบ de ๐ฅ con respecto a ๐ก, se escribe
๐แบ + ๐๐ฅ = 0 (2.2)
Obsรฉrvese que la misma convenciรณn de signos se debe usar para la
aceleraciรณn แบ y para el desplazamiento ๐ฅ, es decir, positivos hacia abajo.
El movimiento definido por la ecuaciรณn (2.2) se llama movimiento armรณnico
simple. Se caracteriza por el hecho de que la aceleraciรณn es proporcional al
desplazamiento y tiene direcciรณn opuesta. Se puede verificar que cada una de las
funciones ๐ฅ1 = ๐ ๐๐ ( ๐
๐ ๐ก) y ๐ฅ2 = ๐๐๐ (
๐
๐ ๐ก) satisface la ecuaciรณn (2.2). Estas
funciones, por consiguiente, constituyen dos soluciones particulares de la
ecuaciรณn diferencial (2.2). La soluciรณn general de la ecuaciรณn (2.2) se obtiene
multiplicando cada una de las soluciones particulares por una constante arbitraria
y sumando. Por tanto, la soluciรณn general se expresa como
๐ฅ = ๐ถ1๐ฅ1 + ๐ถ2๐ฅ2 = ๐ถ1๐ ๐๐ ๐
๐ ๐ก + ๐ถ2๐๐๐
๐
๐ ๐ก (2.3)
Se observa que ๐ฅ es una funciรณn periรณdica del tiempo ๐ก y, por tanto,
representa una vibraciรณn de la partรญcula ๐. El coeficiente de ๐ก de la expresiรณn
obtenida se conoce como la frecuencia circular natural de la vibraciรณn, y esta
denotada por ๐๐ . Se tiene
๐ญ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ = ๐๐ = ๐
๐ (2.4)
Si en la ecuaciรณn (6.3) se sustituye, ๐
๐, se escribe
๐ฅ = ๐ถ1๐ ๐๐ ๐๐๐ก + ๐ถ2๐๐๐ ๐๐๐ก (2.5)
8
Esta es la soluciรณn general de la ecuaciรณn diferencial
แบ + ๐๐๐๐ = ๐ (2.6)
La cual se puede obtener a partir de la ecuaciรณn (2.2) dividiendo ambos tรฉrminos
entre ๐ y observando que ๐
๐= ๐๐
2. Diferenciando ambos miembros de la ecuaciรณn
(2.5) con respecto a ๐ก, se obtienen las siguientes expresiones para la velocidad y
la aceleraciรณn en el instante ๐ก:
๐ฃ = แบ = ๐ถ1๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก + ๐ถ2 ๐๐ sen๐๐ ๐ก (2.7)
๐ = แบ = โ๐ถ1๐๐2 ๐ ๐๐ ๐๐๐ก โ ๐ถ2๐๐
2 cos๐๐๐ก (2.8)
Los valores de las constantes ๐ถ1 y ๐ถ2 dependen de las condiciones iniciales
del movimiento. Por ejemplo, ๐ถ1 = 0 si la partรญcula se desplaza de su posiciรณn de
equilibrio y se suelta en el instante ๐ก = 0 sin la velocidad inicial, y ๐ถ2 = 0 si la
particula se suelta de la posiciรณn ๐ en el instante ๐ก = 0 con una cierta velocidad
inicial. En general, si se sustituye ๐ก = 0 y los valores iniciales ๐ฅ0 y ๐ฃ0 del
desplazamiento y la velocidad en las ecuaciones (2.5) y (2.7), se encuentra que
๐ถ1 =๐ฃ0
๐๐ y ๐ถ2 = ๐ฅ0.
Las expresiones obtenidas para el desplazamiento, la velocidad y la
aceleraciรณn de una partรญcula se pueden escribir en una forma mรกs compacta si se
observa que la ecuaciรณn (2.5) expresa que le desplazamiento ๐ฅ = ๐๐ es la suma
de las componentes ๐ฅ de los dos vectores ๐ช1 y ๐ช2, respectivamente, de magnitud
๐ถ1 y ๐ถ2, dirigidos como se muestra en la figura 19.2a. Conforme ๐ก varia, los dos
vectores giran en el sentido de las manecillas del reloj; tambiรฉn se observa que la
magnitud de su resultante ๐๐ es igual al desplazamiento mรกximo ๐ฅ๐ . El
movimiento armรณnico simple de ๐ a lo largo del eje ๐ฅ se puede obtener, portanto,
proyectando en este eje el movimiento de un punto ๐ que describe un cรญrculo
auxiliar de radio ๐ฅ๐ con una velocidad angular constante ๐๐ (lo cual explica el
nombre de frecuencia circular natural dado a ๐๐ ). Si ๐ denota el angulo formado
por los vectores ๐๐ y ๐ช1, entonces
9
๐๐ = ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ก + ๐ (2.9)
La que conduce a nuevas expresiones para el desplazamiento, la velocidad y la
aceleraciรณn de ๐ท:
๐ฅ = ๐ฅ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ก + ๐ (2.10)
๐ฃ = ๐ฅ = ๐ฅ๐๐๐cos(๐๐๐ก + ๐) (2.11)
๐ = ๐ฅ = โ๐ฅ๐๐๐2๐ ๐๐(๐๐๐ก + ๐) (2.12)
La curva desplazamiento โ tiempo estรก representada por una curva senoidal
(figura 19.2b); el valor mรกximo ๐ฅ๐ del desplazamiento se llama amplitud de la
vibraciรณn, y el รกngulo ๐ que define la posiciรณn inicial de ๐ en el circulo se llama
รกngulo de fase. En la figura 2.2 se observa que se describe un cรญrculo completo
conforme el รกngulo ๐๐๐ก se incrementa 2๐ ๐๐๐. El valor correspondiente de ๐ก,
demostrado por ๐๐ , se llama periodo de la vibraciรณn libre, y se mide en segundos.
Por consiguiente,
๐๐๐๐๐๐๐ = ๐๐ =2๐
๐๐ (2.13)
El tรฉrmino ๐๐ denota el nรบmero de ciclos descritos por unidad de tiempo, y se
conoce como la frecuencia natural de la vibraciรณn. Por tanto,
๐น๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐ข๐๐๐ = ๐๐ =1
๐๐=
๐๐
2๐ (2.14)
10
La unidad de frecuencia es una frecuencia de 1 ciclo por segundo, que
corresponde a un periodo de 1๐ . En funciรณn de unidades base, la unidad de
frecuencia es, por tanto, 1/๐ o ๐ โ1. Se llama hertz (Hz) en el sistema SI de
unidades. De la ecuaciรณn (2.4) tambiรฉn se desprende que una frecuencia de 1๐ โ1
o 1 ๐ป๐ง correponde a una frecuencia circular de 2๐ ๐๐๐/๐ . En problemas que
implican velocidades angulares expresadas en revoluciones por minuto (rpm), se
tiene 1 ๐๐๐ =1
60๐ โ1 =
1
60๐ป๐ง, o 1 ๐๐๐ =
2๐
60 ๐๐๐/๐ .
Puesto que ๐๐ se definiรณ en la ecuaciรณn (2.4) en funciรณn de la constante ๐
del resorte y la masa ๐ de la partรญcula, se observa que el periodo y la frecuencia
son independientes de las condiciones iniciales y de la amplitud de la vibraciรณn.
Obsรฉrvese que ๐๐ y ๐๐ dependen de la masa y no del peso de la partรญcula y, por
tanto, son independientes del valor de ๐.
Las curvas velocidad โ tiempo y aceleraciรณn โ tiempo se pueden
representar por medio de curvas senoidales del mismo periodo que en la curva
desplazamiento โ tiempo, pero con diferentes รกngulos fase. De acuerdo con las
ecuaciones (2.11) y (2.12), se observa que los valores mรกximos de las magnitudes
de la velocidad y la aceleraciรณn son
๐ฃ๐ = ๐ฅ๐๐๐ ๐๐ = ๐ฅ๐๐๐2 (2.15)
Como el punto ๐ describe el cรญrculo auxiliar, de radio ๐ฅ๐ , a la velocidad angular
constante ๐๐ , su velocidad y aceleraciรณn son iguales, respectivamente, a las
expresiones (2.15). De acuerdo con las ecuaciones (2.11) y (2.12), se ve, por
consiguiente, que la velocidad y aceleraciรณn de ๐ se pueden obtener en cualquier
instante proyectando en el eje ๐ฅ vectores de magnitudes ๐ฃ๐ = ๐ฅ๐๐๐ y ๐๐ = ๐ฅ๐๐๐2
que representan, respectivamente, la velocidad y la aceleraciรณn de ๐ en el mismo
instante (figura 19.3).
11
nW t
Q
Xm
X
O
FIGURA(19.3)
0 2am=xm w
P
W t +
Q
n
Vm= XmWn
n
Los resultados obtenidos no se limitan a la soluciรณn del problema de una masa
conectada a un resorte. Se pueden usar para analizar el movimiento rectilรญneo de
una partรญcula siempre que la resultante ๐ญ de las fuerzas que actรบan sobre la
partรญcula sea proporcional al desplazamiento ๐ฅ y dirigida hacia ๐. La ecuaciรณn
fundamental de movimiento ๐น = ๐๐ se puede escribir, entonces, en la forma de la
ecuaciรณn (2.6), la cual es caracterรญstica de un movimiento armรณnico simple. Puesto
que el coeficiente de ๐ฅ debe ser igual a ๐๐2, la frecuencia circular natural ๐๐ del
movimiento se puede determinar con facilidad. Al sustituir el valor obtenido para
๐๐ en las ecuaciones (2.13) y (2.14), se obtienen entonces el periodo ๐๐ y la
frecuencia natural ๐๐ del movimiento.
2.1.2 Pรฉndulo simple (soluciรณn aproximada) La mayorรญa de las vibraciones que se presentan en aplicaciones de
ingenierรญa se pueden representar mediante un movimiento armรณnico simple.
Muchas otras, aunque de diferente tipo, se pueden representar de una manera
aproximada mediante un movimiento armรณnico simple, siempre que su amplitud
12
permanezca pequeรฑa. Considรฉrese, por ejemplo, un pรฉndulo simple, que consiste
en una plomada de masa ๐ que pende de una cuerda de longitud ๐, el cual puede
oscilar en un plano vertical (figura 19.4a). en un instante dado ๐ก, la cuerda forma
un
tman
=
ma
b)
T
FIGURA(19.4)
a)
W
L
angulo ๐ con la vertical. Las fuerzas que actรบan sobre la plomada son su peso ๐พ
y la fuerza ๐ป ejercida por la cuerda (figura 19.4b). al transformar el vector ๐๐ en
componentes tangencial y normal, con ๐๐๐ dirigido hacia la derecha, es decir, en
la direcciรณn correspondientes a valores crecientes de ๐, y puesto que ๐๐ก = ๐๐ผ = ๐๐ ,
se puede escribir
๐น๐ก = ๐๐๐ก : โ๐ ๐ ๐๐ ๐ = ๐๐๐
Como ๐ = ๐๐ y dividiendo entre ๐๐, se obtiene
๐ +๐
๐ ๐ ๐๐ ๐ = 0 (2.16)
En el caso de oscilaciones de pequeรฑa amplitud, se pueden remplazar ๐ ๐๐ ๐ con
๐, expresando en radianes y, por tanto,
13
๐ +๐
๐๐ = 0 (2.17)
Si se compara con la ecuaciรณn (2.6) se ve que la ecuaciรณn diferencial (2.17) es la
de un movimiento armรณnico simple con una frecuencia circular natural ๐๐ igual a
(๐/๐) 1/2 . La soluciรณn general de la ecuaciรณn (2.17) se puede expresar, entonces,
como
๐ = ๐๐ ๐ ๐๐ (๐๐๐ก + ๐)
Donde ๐๐ es la amplitud de las oscilaciones y ๐ es un รกngulo fase. Con la
sustituciรณn en la ecuaciรณn (2.13) del valor obtenido para ๐๐ , se obtiene la siguiente
expresiรณn para el periodo de las oscilaciones pequeรฑas de un pรฉndulo de longitud
๐:
๐๐ =2๐
๐๐= 2๐
๐
๐ (2.18)
2.1.3 Pรฉndulo simple (soluciรณn exacta) La formula (2.18) es solo aproximada. Para obtener una expresiรณn exacta para el
periodo de las oscilaciones de un pรฉndulo simple, se tiene que regresar a la
ecuaciรณn (2.16). si se multiplica ambos tรฉrminos por 2๐ y se integra desde un
posiciรณn inicial correspondiente a la deflexiรณn mรกxima, es decir, ๐ = ๐๐ y ๐ = 0, se
puede escribir
๐๐
๐๐ก
2
=2๐
๐(cos๐ โ cos๐๐ )
Si se remplazan cos ๐ con 1 โ 2 ๐ ๐๐2 ๐
2 y cos ๐๐ con una expresiรณn similar, se
despeja ๐๐ก y se integra a lo largo de un cuarto de periodo desde ๐ก = 0, ๐ = 0 a
๐ก = ๐๐/4, ๐ = ๐๐ se tiene
๐๐ = 2 ๐
๐
๐๐
๐ ๐๐2 ๐๐2 โ ๐ ๐๐2
๐2
๐๐
0
14
La integral del lado derecho se conoce como integral elรญptica; no se puede
expresar en funciรณn de las funciones algebraicas o trigonomรฉtricas usuales. Sin
embargo, con
๐ ๐๐ ๐
2 = ๐ ๐๐
๐๐2 ๐ ๐๐ ๐
Se puede escribir
๐๐ = 4 ๐
๐
๐๐
1โ๐ ๐๐ 2 ๐๐
2 ๐ ๐๐ 2๐
๐/2
0 (2.19)
Donde la integral obtenida, comรบnmente denotada por ๐พ, puede calcularse
mediante un mรฉtodo numรฉrico de integraciรณn. Tambiรฉn se puede encontrar en
tabla de integrales elรญpticas para diferentes valores de ๐๐/2. Para compara el
resultado que se acaba de obtener con el de la secciรณn anterior, se escribe la
ecuaciรณn (2.19) en la forma
๐๐ =2๐พ
๐ 2๐
๐
๐ (2.20)
La formula (2.20) demuestra que el valor real del periodo de un pรฉndulo simple se
obtiene multiplicando el valor aproximado dado en la ecuaciรณn (6.18) por el factor
de correcciรณn 2๐พ/๐. En la tabla 2.1 se dan valores de correcciรณn para diferentes
valores de la amplitud ๐๐ . Se observa que en cรกlculos comunes de ingenierรญa el
factor de correcciรณn se puede omitir siempre que la amplitud no sobrepase de 10ยฐ.
Tabla 2.1. Factor de correcciรณn para el periodo de un pรฉndulo simple
๐๐ 0ยฐ 10ยฐ 20ยฐ 30ยฐ 60ยฐ 90ยฐ 120ยฐ 150ยฐ 180ยฐ
๐พ 1.571 1.574 1.598 1.686 1.854 2.157 2.157 2.768 โ
2๐พ/๐ 1.000 1.002 1.008 1.017 1.073 1.180 1.373 1.762 โ
15
2.1.4 Vibraciones libres de cuerpos rรญgidos El anรกlisis de las vibraciones de un cuerpo rรญgido o de un sistema de cuerpos
rรญgidos que posee un grado รบnico de libertad, es similar al anรกlisis de las
vibraciones de una partรญcula. Se selecciona una variable apropiada, tal como una
distancia ๐ฅ o un angulo ๐, para definir la posiciรณn del
cuerpo o un sistema de cuerpos, y se escribe una
ecuaciรณn que relaciona esta variable y su segunda
derivada con respecto a ๐ก. Si la ecuaciรณn obtenida es
de la misma forma que la ecuaciรณn (2.6), es decir, si
se tiene
๐ฅ + ๐๐2๐ฅ = 0 O
๐ + ๐๐2๐ = 0 (2.21)
La vibraciรณn considerada es un movimiento armรณnico
simple. El periodo y la frecuencia natural de la
vibraciรณn se obtienen, entonces, identificando ๐๐ y
sustituyendo su valor en las ecuaciones (2.13) y
(2.14).
En general, una manera simple de obtener
una de las ecuaciones (2.21) es expresar que el
sistema de las fuerzas externas es equivalente al
sistema de las fuerzas efectivas por medio de una
ecuaciรณn de diagramas de cuerpo libre para un valor
arbitrario de la variable y escribiendo la ecuaciรณn de
movimiento apropiada. Se recuerda que el objetivo
debe ser la determinaciรณn del coeficiente de la variable ๐ฅ o ๐, no la determinaciรณn
de la variable misma o de la derivada ๐ฅ o ๐ . Si este coeficiente se hace igual a ๐๐2
se obtienen la frecuencia circular natural ๐๐ , con la cual se puede determinar ๐๐ y
๐๐ .
16
El mรฉtodo descrito se puede usar para analizar vibraciones que
verdaderamente estรกn representadas por un movimiento armรณnico simple, o
vibraciones de pequeรฑa amplitud que pueden estar representadas de manera
aproximada por un movimiento armรณnico simple. Como ejemplo, se determinara el
periodo de las pequeรฑas oscilaciones de una placa cuadrada de 2๐ por lado la
cual esta suspendida del punto medio ๐ de uno de sus lados (figura 19.5a). la
placa se considera en una posiciรณn arbitraria definida por el รกngulo ๐ que la lรญnea
๐๐บ forma con la vertical, y se dibuja una ecuaciรณn de diagramas de cuerpo libre
para expresar que el peso ๐พ de las placas y las componentes ๐น๐ y ๐น๐ de la
reacciรณn en ๐ son equivalentes a los vectores ๐๐๐ y ๐๐๐ y al par ๐ผ๐ถ (figura
19.5b). Como la velocidad angular y la aceleraciรณn angular de la placa son iguales,
respectivamente, a ๐ y ๐ , las magnitudes de los dos vectores son,
respectivamente, ๐๐๐ y ๐๐๐ 2, mientras que el momento de par es ๐ผ๐ . En
aplicaciones previas de este mรฉtodo, siempre que fue posible, se trato de suponer
el mimo sentido positivo para ๐ y ๐ para obtener una ecuaciรณn de la forma (2.21).
Por consiguiente, la aceleraciรณn angular ๐ se supondrรก positiva en sentido
contrario al de las manecillas del reloj, aun cuando esta suposiciรณn es
obviamente irreal. Si se igualan los momento con respecto a ๐, se tiene
+โ โ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ = ๐๐๐ ๐ + ๐ผ๐
Como ๐ผ =1
12๐ 2๐ 2 + 2๐ 2 =
2
3๐๐2 y ๐ = ๐๐, se obtiene
๐ + 3
5
๐
๐ ๐ ๐๐ ๐ = 0 (2.22)
Para oscilaciones de pequeรฑa amplitud, se puede remplazar ๐ ๐๐ ๐ por ๐,
expresado en radianes, y escribir
๐ + 3
5
๐
๐ ๐ = 0 (2.23)
La comparaciรณn con (2.21) demuestra que la ecuaciรณn obtenida es la de un
movimiento armรณnico simple, y que la frecuencia circular natural ๐๐ de las
17
oscilaciones es igual a 3๐
5๐
1/2
. Al sustituir en (2.13), se halla que el periodo de las
oscilaciones es
๐๐ =2๐
๐๐= 2๐
5๐
3๐ (2.24)
El resultado obtenido es vรกlido solo para oscilaciones de pequeรฑa amplitud. Una
descripciรณn mรกs precisa del movimiento de la placa se obtiene comparando las
ecuaciones (2.16) y (2.22). Se observa que las dos ecuaciones son idรฉnticas si se
selecciona ๐ igual 5๐/3. Esto significa que la placa oscilara como un pรฉndulo
simple de longitud ๐ = 5๐/3, y los resultados de la secciรณn 2.1.3 se pueden usar
para corregir el valor del periodo dado en (2.24). el punto A de la placa localizado
en la lรญnea ๐๐บ a una distancia ๐ = 5๐/3 de ๐, se define como el centro de
oscilaciรณn correspondiente a ๐ (figura 6.5a).
2.1.5 Aplicaciรณn del principio de conservaciรณn de la energรญa En secciones anteriores se vio que, cuando una partรญcula de masa ๐ se encuentra
en movimiento armonico simple, la resultante ๐ญ de las fuerzas ejercidas sobre ella
tiene una magnitud proporcional al desplazamiento ๐ฅ medido a partir de la posiciรณn
de equilibrio ๐ y su direcciรณn es hacia ๐; por consiguiente, ๐น = โ๐๐ฅ. De acuerdo
con los temas anteriores, se ve que ๐ญ es una fuerza conservativa y que la energia
potencial correspondiente es ๐ =1
2๐๐ฅ2, donde ๐ se supone igual a cero en la
posiciรณn de equilibrio ๐ฅ = 0. Como la velocidad de la partรญcula es igual a ๐ฅ , su
energia cinรฉtica es ๐ =1
2๐๐ฅ 2, y se puede expresar que la energia total de la
partรญcula se conserva escribiendo.
๐ + ๐ = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐ 1
2๐๐ฅ 2 +
1
2๐๐ฅ2 = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐
Si se divide entre ๐/2 y, de acuerdo con secciones anteriores, ๐/๐ = ๐๐2 donde
๐๐ , es la frecuencia circular natural de la vibraciรณn, se tiene
๐ฅ 2 + ๐๐2๐ฅ2 = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐ (2.25)
18
La ecuaciรณn (2.25) es caracterรญstica de un movimiento armรณnico simple, puesto
que se puede obtener a partir de la ecuaciรณn (2.6) multiplicando ambos tรฉrminos
por 2๐ฅ e integrando.
El principio de conservaciรณn de la energรญa proporciona un mรฉtodo conveniente
para determinar el periodo de vibraciรณn de un cuerpo rรญgido o de un sistema de
cuerpos rรญgidos que posee un solo grado de libertad, una vez que se establece
que el movimiento del sistema es un movimiento armรณnico simple o que puede
estar representado por un movimiento armรณnico simple. Con la selecciรณn de una
variable apropiada, tal como una distancia ๐ฅ o un angulo ๐, se consideran dos
posiciones particulares del sistema:
1. El desplazamiento del sistema es mรกximo; en tal caso, ๐1 = 0 y ๐1 se puede
expresar en funciรณn de la amplitud ๐ฅ๐ o ๐๐ (si se elige ๐ = 0 en la posiciรณn de
equilibrio).
2. El sistema pasa por su posiciรณn de equilibrio; en tal caso, ๐2 = 0 y ๐2 se
puede expresar en funciรณn de la velocidad mรกxima ๐ฅ ๐ o de la velocidad angular
mรกxima ๐ ๐ .
Por tanto, se expresa que la energรญa total del sistema se conserva, es decir
๐1 + ๐1 = ๐2 + ๐2. De acuerdo con la secciรณn (2.15), en un movimiento armonico
simple la velocidad mรกxima es igual al producto de la amplitud y de la frecuencia
circular natural ๐๐ ; por consiguiente, se ve que la ecuaciรณn obtenida se puede
resolver para ๐๐ .
Como ejemplo, considรฉrese otra vez la placa cuadrada de la secciรณn (2.5).
En la posiciรณn de desplazamiento mรกximo (figura 6.6a), se tiene
๐1 = 0 ๐1 = ๐ ๐ โ ๐ cos ๐๐ = ๐๐(1 โ cos ๐๐ )
O, puesto que 1 โ cos๐๐ = 2 ๐ ๐๐2 ๐๐
2 โ 2
๐๐
2
2
= ๐๐2 /2 en el caso de
oscilaciones de pequeรฑa amplitud,
๐1 = 0 ๐1 =1
2๐๐๐๐
2 (2.26)
19
Cuando la placa pasa por su posiciรณn de equilibrio (figura 6.6b), su velocidad es
mรกxima, y se tiene
๐2 =1
2๐๐ฃ๐
2+
1
2๐ผ๐๐
2 =1
2๐๐2๐ ๐
2 +1
2๐ผ๐ ๐
2 ๐2 = 0
O, de acuerdo con la secciรณn anterior, como ๐ผ =2
3๐๐2,
๐2 =1
2
5
3๐๐2 ๐ ๐
2 ๐2 = 0 (2.27)
Si se hacen sustituciones de (2.26) y (2.27) en ๐1 + ๐1 = ๐2 + ๐2, y como la
velocidad mรกxima ๐ ๐ es igual al producto ๐๐๐๐ , se puede escribir
1
2๐๐๐๐
2 =1
2
5
3๐๐2 ๐๐
2 ๐๐2 (2.28)
La cual da ๐๐2 = 3๐/5๐ y
๐๐ =2๐
๐๐= 2๐
5๐
3๐ (2.29)
Como previamente se obtuvo.
2.1.6 Vibraciones forzadas Desde el punto de vista de las aplicaciones de ingenierรญa, las vibraciones mรกs
importantes son las vibraciones forzadas de un sistema. Estas vibraciones ocurren
cuando un sistema se somete a una fuerza periรณdica o cuando esta elรกsticamente
conectado a un apoyo que tiene un movimiento alternante.
Considรฉrese en primer lugar el caso de un cuerpo de masa ๐ suspendido
de un resorte y sometido a una fuerza periรณdica ๐ท de magnitud ๐ = ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก,
donde ๐๐ es la frecuencia circular de ๐ท y se conoce como frecuencia circular
forzada del movimiento (figura 6.7). Esta fuerza puede ser una fuerza externa real
aplicada al cuerpo, o una fuerza centrifuga producida por la rotaciรณn de alguna
parte desbalanceada del cuerpo, medido a partir de su posiciรณn de equilibrio, se
escribe la ecuaciรณn de movimiento
+โ ๐น = ๐๐: ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก + ๐ โ ๐ ๐ฟ๐ ๐ก โ ๐ฅ = ๐๐ฅ
20
Como ๐ = ๐๐ฟ๐ ๐ก , se tiene
๐๐ฅ + ๐๐ฅ = ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก (2.30)
A continuaciรณn se considera el caso de un cuerpo de masa ๐ suspendido de un
resorte conectado a un apoyo mรณvil cuyo desplazamiento ๐ฟ es igual a ๐ฟ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก
(figura 6.8). Si el desplazamiento ๐ฅ del cuerpo se mide a partir de la posiciรณn de
equilibrio estรกtico correspondiente a ๐๐๐ก = 0, se halla que el alargamiento total del
resorte en el instante ๐ก es ๐ฟ๐ ๐ก + ๐ฅ โ ๐ฟ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก . La ecuaciรณn de movimiento es, por
tanto,
+โ ๐น = ๐๐: ๐ โ ๐ ๐ฟ๐ ๐ก + ๐ฅ โ ๐ฟ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก = ๐๐ฅ
Como ๐ = ๐๐ฟ๐ ๐ก , se tiene
๐๐ฅ + ๐๐ฅ = ๐๐ฟ๐๐ ๐๐ ๐๐ (2.31)
Se ve que las ecuaciones (2.30) y (2.31) son de la misma forma y que una
soluciรณn de la primera ecuaciรณn satisfarรก la segunda si se hace ๐๐ = ๐๐ฟ๐ .
Una ecuaciรณn diferencial como la (2.30) o la (2.31), con el miembro del lado
derecho diferente de cero, se conoce como no homogรฉnea. Su soluciรณn general
se obtiene agregando una soluciรณn particular de la ecuaciรณn dad a la soluciรณn
general de la ecuaciรณn homogรฉnea correspondiente (con el miembro del lado
derecho igual a cero). Se puede obtener una soluciรณn particular de (6.30) o (6.31)
probando una soluciรณn de la forma
๐ฅ๐๐๐๐ก = ๐ฅ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ก (2.32)
Si se sustituye ๐ฅ๐๐๐๐ก por ๐ฅ en la ecuaciรณn (2.30), se obtiene
โ๐๐๐2๐ฅ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ก + ๐๐ฅ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก = ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก
La que se puede resolver para la amplitud,
๐ฅ๐ =๐๐
๐ โ๐๐๐2
21
Puesto que, de acuerdo con la ecuaciรณn (2.4), ๐
๐= ๐๐
2 donde ๐๐ es la frecuencia
circular natural del sistema, se puede escribir
๐ฅ๐ =๐๐ /๐
1โ(๐๐/๐๐ )2 (2.33)
Si se sustituye de (2.32) en (2.31), se obtiene de la misma manera
๐ฅ๐ =๐ฟ๐
1โ(๐๐/๐๐ )2 (2.33โฒ)
La ecuaciรณn homogรฉnea correspondiente a la (2.30) o (2.31) es la ecuaciรณn
(2.2), que define la vibraciรณn libre del cuerpo. Su soluciรณn general, llamada funciรณn
complementaria, se hallo en secciones anteriores:
๐ฅ๐๐๐๐ = ๐ถ1๐ ๐๐ ๐๐๐ก + ๐ถ2๐๐๐ ๐๐๐ก (2.34)
Si se asegura la soluciรณn particular (2.32) a la funciรณn complementaria (2.34), se
obtiene la soluciรณn general de las ecuaciones (6.30) y (6.31):
๐ฅ = ๐ถ1๐ ๐๐ ๐๐๐ก + ๐ถ2๐๐๐ ๐๐๐ก + ๐ฅ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ก (2.35)
Se ve que la vibraciรณn obtenida se compone de dos vibraciones
superpuestas. Los primeros dos tรฉrminos de la ecuaciรณn (2.35) representan una
vibraciรณn libre del sistema. La frecuencia de esta vibraciรณn es la frecuencia natural
del sistema, la cual depende solo de la constante ๐ del resorte y de la masa ๐ del
cuerpo, y las constantes ๐ถ1 y ๐ถ2 se pueden determinar a partir de las condiciones
iniciales. Esta vibraciรณn libre tambiรฉn se llama vibraciรณn transitoria, puesto que en
la prรกctica real se ve amortiguada de inmediato por las fuerzas de fricciรณn.
El รบltimo tรฉrmino de la ecuaciรณn (2.35) representa la vibraciรณn de estado
estable producida y mantenida por la fuerza aplicada o por el movimiento aplicado
del apoyo o soporte. Su frecuencia es la frecuencia forzada generada por esta
fuerza o movimiento, y su amplitud ๐ฅ๐ , definida por la ecuaciรณn (2.33) o por la
ecuaciรณn (2.33โ), depende de la razรณn de frecuencia ๐๐/๐๐ . La razรณn de la
amplitud ๐ฅ๐ de la vibraciรณn de estado estable a la deflexiรณn estรกtica ๐๐/๐
22
provocada por una fuerza ๐๐ , o a la amplitud ๐ฟ๐ del movimiento del apoyo, se
llama factor de amplificaciรณn. Con las ecuaciones (6.33) y (6.33โ), se obtiene
๐น๐๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ =๐ฅ๐
๐๐ /๐=
๐ฅ๐
๐ฟ๐=
1
1โ ๐๐/๐๐ 2 (2.36)
La figura 6.9 es una grafica del factor de amplificaciรณn contra la razรณn de
frecuencia ๐๐/๐๐ . Se ve que cuando ๐๐ = ๐๐ , la amplitud de la vibraciรณn forzada
se vuelve infinita. Se dice que la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el
apoyo esta en resonancia con el sistema dado. En realidad, la amplitud de la
vibraciรณn permanece finita debido a fuerzas amortiguadoras; sin embargo, se debe
evitar una situaciรณn como esa, y la frecuencia forzada no debe ser seleccionada
muy cercana a la frecuencia natural del sistema. Asimismo, se ve que para
๐๐ < ๐๐ el coeficiente de ๐ ๐๐ ๐๐๐ก en la ecuaciรณn (2.35) es positivo, mientras que
para ๐๐ > ๐๐ este coeficiente es negativo. En el primer caso, la vibraciรณn forzada
estรก en fase con la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el apoyo,
mientras que en el segundo, esta 180ยฐ fuera de fase.
Por รบltimo, se observa que la velocidad y la aceleraciรณn en la vibraciรณn de
estado estable se pueden obtener diferenciando dos veces con respecto a ๐ก el
รบltimo tรฉrmino de la ecuaciรณn (2.35). Expresiones similares a las de las
ecuaciones (2.15) de la secciรณn (2.1) dan sus valores mรกximos, excepto que estas
expresiones ahora incluyen la amplitud y la frecuencia circular de la vibraciรณn
forzada:
๐ฃ๐ = ๐ฅ๐๐๐ ๐๐ = ๐ฅ๐๐๐2 (2.37)
23
2.2 vibraciones amortiguadas
2.2.1.- vibraciones libres amortiguadas Los sistemas vibratorios considerados en la primera parte de este capรญtulo se
supusieron libres de amortiguamiento. En realidad, todas las vibraciones son
amortiguadas hasta cierto grado por fuerzas de fricciรณn. Estas fuerzas pueden ser
provocadas por fricciรณn seca, o fricciรณn de coulomb, entre cuerpos rรญgidos, por
fricciรณn fluida cuando cuรกndo un cuerpo rรญgido se mueve en un fluido, o por
fricciรณn interna entre las molรฉculas de un cuerpo aparentemente elรกstico.
Un tipo de amortiguamiento de especial interรฉs es el amortiguamiento viscoso
provocado por la fricciรณn fluida a velocidad baja y moderada. El amortiguamiento
viscoso caracterizado por el hecho de que la fuerza de fricciรณn es directamente
proporcional y opuesta a la velocidad del cuerpo en movimiento. Como ejemplo
considรฉrese un cuerpo de masa m suspendido de un resorte de constante k,
suponiendo que el cuerpo estรก conectado al embolo de un amortiguador (figura
19.10). La magnitud de la fuerza de fricciรณn ejercida sobre el embolo por el fluido
circundante es igual s c๐ , donde la constante c, expresa a en N*s/m o lb*s/ft
(conocida como coeficiente de amortiguamiento viscoso), depende de las
propiedades fรญsicas del fluido y de la construcciรณn del amortiguador. La ecuaciรณn
de movimiento es
+โ โ ๐ญ = ๐๐: ๐พโ ๐ ๐น๐๐ + ๐ฟ โ ๐๐ฟ = ๐๐ฟ
Como ๐ = ๐๐น๐๐, se puede escribir
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ = ๐ (2.38)
Como la sustituciรณn de ๐ฅ = ๐โท๐ก en la ecuaciรณn (2.38) y dividiรฉndola entre ๐โท๐ก , se
obtiene la ecuaciรณn caracterรญstica
๐โท๐ + ๐โท + ๐ = ๐ (2.39)
Y se obtienen las raรญces
24
โท = โ๐
๐ยฑ (
๐
๐๐)๐ โ
๐
๐ (2.40)
Si se define el coeficiente de amortiguamiento critico ๐๐ como el valor de c hace
que el radical de la ecuaciรณn (6.40) sea cero, se puede escribir
(๐๐
๐๐)๐ โ
๐
๐= ๐ ๐๐ = ๐๐
๐
๐= ๐๐๐๐ง (2.41)
Donde ๐๐ง es la frecuencia circular natural del sistema sin amortiguamiento. Se
distinguen tres casos diferentes de amortiguamiento, segรบn sea el valor del
coeficiente c.
1.- Sobre amortiguamiento: cห๐๐. Las raรญces โท๐ ๐โท๐ de la ecuaciรณn
caracterรญstica (19.3) son reales y distintas, y la soluciรณn general de la ecuaciรณn
diferencial (19.38) es
๐ฟ = ๐๐๐โท๐๐ + ๐๐๐
โท๐๐ (2.42)
Esta soluciรณn corresponde a un movimiento no vibratorio. Como โท๐ ๐โท๐ son
negativas, x tiende a cero conforme t se incrementa de manera indefinida. Sin
embargo, el sistema realmente recobra su posiciรณn de equilibrio despuรฉs de
un tiempo finito.
2.- amortiguamiento crรญtico: c=๐๐. la ecuaciรณn caracterรญstica tiene una doble
raรญz โท = โ๐๐
๐๐ฆ= โ๐๐, y al soluciรณn general de la ecuaciรณn (6.38) es
๐ฟ = (๐๐ + ๐๐๐)๐โ๐๐๐ญ (2.43)
De nuevo, el movimiento obtenido es no vibratorio. Los sistemas crรญticamente
amortiguados son de especial interรฉs en las aplicaciones de ingenierรญa, puesto
que recobran su posiciรณn de equilibrio en el tiempo mรกs corto posible sin
oscilaciรณn
3.- sub amortiguamiento: c<๐๐.Las raรญces de la ecuaciรณn (2.39) son complejas y
conjugadas, y la soluciรณn general de la ecuaciรณn (2.38) es de la forma
25
๐ฟ = ๐โ(๐
๐๐)๐(๐๐๐ฌ๐๐ง๐๐ ๐ญ โ ๐๐๐๐จ๐ฌ๐๐ ๐ญ) (2.44)
Donde ๐๐ estรก definida por la relaciรณn
๐๐ ๐ =
๐
๐โ (
๐
๐๐)๐
Si se sustituye ๐
๐= ๐๐
๐ y se recuerda la ecuaciรณn (2.41), se escribe
๐๐ = ๐๐ ๐ โ (๐
๐๐)๐ (2.45)
Donde la constante c/๐๐ se conoce como factor de amortiguamiento.
Aun cuando el movimiento en realidad se repite, la constante ๐๐ se designa
comรบnmente como frecuencia circular de la vibraciรณn amortiguada. Una
sustituciรณn similar a la utilizada en la secciรณn 2.2 permite escribir la soluciรณn
general de la secciรณn (19.38) en la forma
๐ฟ = ๐ฟ๐๐โ
๐
๐๐ฆ ๐ญ๐ฌ๐๐ง(๐๐ ๐ญ + โ ) (2.46)
El movimiento definido por la ecuaciรณn (19.46) es vibratorio con amplitud
decreciente (figura 19.11), y el intervalo de tiempo ๐๐ =๐๐
๐๐ que separa dos
puntos suspensivos donde la curva definida por la ecuaciรณn (19.46) toca una
de las curvas limitantes mostradas en la figura 19.11.
De acuerdo con la ecuaciรณn con la ecuaciรณn (2.45), se observa que ๐๐ < ๐๐
y, por tanto, que ๐๐ es mayor que el periodo de vibraciรณn ๐๐ del sistema no
amortiguado correspondiente.
26
Figura (19.11)
2.2.2.- vibraciones forzadas amortiguadas
Si el sistema considerado en la secciรณn anterior se somete a una fuerza periรณdica
P de magnitud ๐ท = ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ญ, la ecuaciรณn de movimiento se transforma en
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ = ๐๐๐ฌ๐๐ง๐๐๐ญ (2.47)
La soluciรณn general de la ecuaciรณn (19.479) se obtiene al agregar una soluciรณn
particular de รฉsta a la funciรณn complementaria o soluciรณn general de la ecuaciรณn
homogรฉnea (19.38). La funciรณn complementaria estรก dada por las ecuaciones
27
(19.42), (19.43) o (19.44), segรบn sea el tipo de amortiguamiento considerado.
Representa un movimiento transitorio que finalmente es amortiguado.
El interรฉs en estรก secciรณn se centra en la vibraciรณn de estado estable
representada por una soluciรณn particular de la ecuaciรณn (6.47) de la forma.
๐๐๐๐๐ = ๐๐๐ฌ๐๐ง(๐๐๐ญ โ ๐) (2.48)
Al sustituir ๐๐๐๐๐ por x en la ecuaciรณn (6.47), se obtiene
โ๐๐๐๐๐๐๐ฌ๐๐ง ๐๐๐ญ โ ๐ + ๐๐๐๐๐๐๐จ๐ฌ ๐๐๐ญ โ ๐ + ๐ค๐๐๐ฌ๐๐ง(๐๐๐ญ โ๐)
= ๐ฉ๐๐ฌ๐๐ง๐๐๐ญ
Si se hace ๐๐๐ญ โ ๐ sucesivamente igual a 0 y a ๐/2 , se escribe
๐๐๐๐๐ = ๐ฉ๐๐ฌ๐๐ง๐ (2.49)
๐ โ๐๐๐๐ ๐๐ = ๐ฉ๐๐๐จ๐ฌ๐ (2.50)
Si ambos miembros de las ecuaciones (19.49) y (19.50) se elevan al cuadrado y
se suman, se obtiene
(๐ โ๐๐๐๐)๐ + (๐๐๐)๐ ๐๐
๐ = ๐๐๐ (2.51)
Al resolver la ecuaciรณn (19.51) para ๐๐ y dividiendo las ecuaciones (2.49) y (2.50)
miembro a miembro, se obtiene, respectivamente
๐๐ =๐ท๐
(๐ โ๐๐๐๐)๐ + (๐๐๐
๐)๐
๐ก๐๐๐ =๐๐๐
๐ โ ๐๐๐๐
(2.52)
De acuerdo con la ecuaciรณn (2.4), como ๐
๐= ๐๐
๐ donde ๐๐ es la frecuencia
circular de la vibraciรณn libre no amortiguada, y de acuerdo con la (2.41),2๐๐๐ = ๐๐
, donde ๐๐ es el coeficiente de amortiguamiento crรญtico del sistema, se escribe
28
๐ฟ๐
๐ท๐/๐=
๐ฟ๐
๐น๐=
1
1โ(๐๐/๐๐)๐ 2
+ (2๐
๐๐)(๐๐/๐๐)
2 (2.53)
๐ก๐๐๐ =
2๐
๐๐)(๐๐/๐๐
1โ(๐๐/๐๐)๐ (2.45)
La formula (19.53) expresa el factor de amplificaciรณn en funciรณn de la razรณn de
frecuencia ๐๐/๐๐ y del factor de amortiguaciรณn๐ถ/๐ถ๐ . Se puede usar para
determinar la amplitud de la vibraciรณn de estado estable producida por una fuerza
aplicada de magnitud ๐ = ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก o por el movimiento del apoyo aplicado๐ฟ =
๐ฟ๐๐ ๐๐๐๐๐ก. La fรณrmula (19.54) define, en funciรณn de los mismos parรกmetros, la
diferencia de fase ฯ entre la fuerza aplicada o el movimiento del apoyo aplicado y
la vibraciรณn de estado estable resultante del sistema amortiguado. En la figura
19.12, el factor de amplificaciรณn se grafico contra la razรณn de frecuencias para
varios valores del factor de amortiguamiento. Se observa que la amplitud de una
vibraciรณn forzada se puede mantener pequeรฑa seleccionando un coeficiente
grande de amortiguamiento viscoso c , o manteniendo alejadas las frecuencias
natural y forzada.
29
CAPITULO 3.-EJERCICIOS RESUELTOS
PROBLEMA RESUELTO 3.1
Un bloque de 50 Kg se desplaza entre guรญas verticales, como se muestra. Se tira
del bloque 40 mm hacia debajo de su posiciรณn de equilibrio y se suelta. Para cada
una de las disposiciones de los resortes, determรญnese el periodo de vibraciรณn, la
velocidad y aceleraciรณn mรกximas del bloque.
SOLUCION
a. Resortes dispuestos en paralelo. En primer lugar, se determina la
constante ๐ de un solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el cรกlculo
de la magnitud de la fuerza P requerida para producir una deflexiรณn dada ๐ฟ. Como
con una deflexiรณn ๐ฟ laas magnitudes de las fuerzas ejercidas por los resortes son,
respectivamente, ๐1๐ฟ y ๐2๐ฟ, se tiene
๐ = ๐1๐ฟ + ๐2๐ฟ = (๐1 + ๐2)๐ฟ
La constante ๐ del resorte equivalente es
๐ =๐
๐ฟ= ๐1 + ๐2 = 4
๐๐
๐+ 6
๐๐
๐= 10
๐๐
๐= 104
๐
๐
Periodo de vibraciรณn: Como ๐ = 50 ๐พ๐, la ecuaciรณn (6.4) da
30
๐๐2 =
๐
๐=
104๐
๐
50 ๐พ๐ ๐๐ = 14.14 ๐๐๐/๐
๐๐ = 2๐/๐๐ ๐๐ = 0.444 ๐
Velocidad mรกxima: ๐ฃ๐ = ๐ฅ๐๐๐ = 0.040 ๐ (14.14๐๐๐
๐ )
๐ฃ๐ = 0.566 ๐/๐ ๐๐ = 0.566๐
๐ โ
Aceleraciรณn mรกxima: ๐๐ = ๐ฅ๐๐๐2 = (0.040 ๐)(14.14
๐๐๐
๐ )2
๐๐ = 8.00 ๐/๐ 2 ๐๐ = 8.00 ๐/๐ 2 โ
b. Resortes unidos en serie. En primer lugar, se determina la constante ๐ de
un solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el cรกlculo del alargamiento
total ๐ฟ de los resortes sometidos a una carga estรกtica dada ๐ท. Para facilitar el
cรกlculo, se utiliza una carga estรกtica de magnitud ๐ = 12 ๐๐.
๐ฟ = ๐ฟ1 + ๐ฟ2 =๐
๐1+
๐
๐2=
12 ๐๐
4 ๐๐/๐+
12 ๐๐
6 ๐๐/๐= 5 ๐
๐ =๐
๐ฟ=
12 ๐๐
5 ๐= 2.4
๐๐
๐= 2400
๐
๐
Periodo de vibraciรณn: ๐๐2 =
๐
๐=
2400 ๐/๐
50 ๐๐ ๐๐ = 6.93 ๐๐๐/๐
๐๐ = 2๐/๐๐ ๐๐ = 0.907 ๐
Velocidad mรกxima: ๐ฃ๐ = ๐ฅ๐๐๐ = 0.040 ๐ (6.93๐๐๐
๐ )
๐ฃ๐ = 0.277 ๐/๐ ๐๐ = 0.277 ๐/๐ โ
Aceleraciรณn mรกxima: ๐๐ = ๐ฅ๐๐๐2 = 0.040 ๐ (6.93
๐๐๐
๐ )2
๐๐ = 1.920 ๐/๐ 2 ๐๐ = 1.920 ๐/๐ 2 โ
31
PROBLEMA RESUELTO 3.2
Un cilindro de peso ๐ y radio ๐ esta suspendido por una cuerda que le da la
vuelta, como se muestra. Un extremo de la cuerda estรก atado directamente a un
soporte rรญgido, mientras que el otro estรก atado a un resorte de constante ๐.
Determรญnese el periodo y la frecuencia natural de las vibraciones del cilindro.
SOLUCION
Cinemรกtica del movimiento. El desplazamiento lineal y la aceleraciรณn del
cilindro se expresan en funciรณn del desplazamiento angular ๐. Si el sentido
positivo se selecciona como en el sentido de las manecillas del reloj y se miden los
desplazamientos a partir de la posiciรณn de equilibrio, se escribe
๐ฅ = ๐๐ ๐ฟ = 2๐ฅ = 2๐๐
๐ถ = ๐ โ ๐ = ๐๐ผ = ๐๐ ๐ = ๐๐ (1)
32
Ecuaciones de movimiento. El sistema de fuerzas externas que actรบa
sobre el cilindro se compone del peso ๐พ y de las fuerzas ๐ป๐ y ๐ป๐ ejercidas por la
cuerda. Se dice que este sistema es equivalente al sistema de fuerzas efectivas (o
inerciales) representando por el vector ๐๐ aplicado en ๐บ y al par ๐ผ๐ถ.
+โ ๐๐ด = (๐๐ด)๐๐๐ ๐๐ โ ๐2 2๐ = ๐๐๐ + ๐ผ๐ผ (2)
Cuando el cilindro estรก en su posiciรณn de equilibrio, la tensiรณn en la cuerda es
๐0 =1
2๐. Se observa que, para un desplazamiento angular ๐, la magnitud de ๐ป๐
es
๐2 = ๐0 + ๐๐ฟ =1
2๐ + ๐๐ฟ =
1
2๐ + ๐(2๐๐) (3)
Despuรฉs de sustituir de (1) y (3) en (2), y puesto que ๐ผ =1
2๐๐2, se puede escribir
๐๐ โ 1
2๐ + 2๐๐๐ 2๐ = ๐ ๐๐ ๐ +
1
2๐๐2๐
๐ +8
3
๐
๐๐ = 0
Se ve que el movimiento es armรณnico simple y, por consiguiente,
๐๐2 =
8
3
๐
๐ ๐๐ =
8
3
๐
๐
๐๐ =2๐
๐๐ ๐๐ = 2๐
3
8
๐
๐
๐๐ =๐๐
2๐ ๐๐ =
1
2๐
8
3
๐
๐
33
PROBLEMA RESUELTO 3.3
Determรญnese el periodo de las pequeรฑas oscilaciones de un cilindro de radio ๐ el
cual rueda sin resbalarse dentro de una superficie curva de radio ๐ .
SOLUCION
Si ๐ denota el angulo que la lรญnea ๐๐บ forma con la vertical, y puesto que el cilindro
rueda sin resbalarse, se puede aplicar el principio de conservaciรณn de la energia
entre la posiciรณn 1, donde ๐ = ๐๐ , y la posiciรณn 2, donde ๐ = 0.
Posiciรณn 1
Energia cinรฉtica. Como la velocidad del cilindro es cero, ๐1 = 0
Energia potencial. Si se selecciona un plano de referencia como se
muestra y ๐ denota el peso del cilindro, se tiene
๐1 = ๐๐ = ๐ ๐ โ ๐ (1 โ cos๐)
Por tratarse de pequeรฑas oscilaciones 1 โ cos ๐ = 2๐ ๐๐2 ๐
2 โ ๐2/2; por
consiguiente,
๐1 = ๐ ๐ โ ๐ ๐๐2 /2
34
Posiciรณn 2. Si ๐ ๐ denota la velocidad angular de la lรญnea ๐๐บ cuando el
cilindro pasa por la posiciรณn 2, y se observa que le punto C es el centro de
rotaciรณn instantรกneo del cilindro, se escribe
๐ฃ๐ = (๐ โ ๐)๐ ๐ ๐๐ =๐ฃ๐
๐=
๐ โ๐
๐๐ ๐
Energia cinรฉtica
๐2 =1
2๐๐ฃ๐
2+
1
2๐ผ๐๐
2
๐2 =1
2๐(๐ โ ๐)2๐ ๐
2 +1
2
1
2๐๐2
๐ โ ๐
๐
2
๐ ๐2
๐2 =3
4๐(๐ โ ๐)2๐ ๐
2
Energia potencial
๐2 = 0
Conservaciรณn de la energia
๐1 + ๐1 = ๐2 + ๐2
0 + ๐ ๐ โ ๐ ๐๐
2
2=
3
4๐ ๐ โ ๐ 2๐ ๐
2 + 0
Como ๐๐ = ๐๐๐๐ y ๐ = ๐๐, se escribe
๐๐ ๐ โ ๐ ๐๐
2
2=
3
4๐ ๐ โ ๐ 2(๐๐๐๐ )2 ๐๐
2 =2
3
๐
๐ โ๐
๐๐ =2๐
๐๐ ๐๐ = 2๐
3
2 ๐ โ๐
๐
35
PROBLEMA RESUELTO 3.4
Un motor de 350 lb esta sostenido por cuatro resortes con constante de 750 lb/in.
Cada uno. El desbalanceo del rotor equivale a un peso de 1 oz localizado a 6 in.
Del eje de rotaciรณn. Si el motor estรก restringido a moverse verticalmente,
determรญnese a) la velocidad en rpm a la que ocurrirรก la resonancia, b) la amplitud
de la vibraciรณn del motor a 1200 rpm.
SOLUCION
a. Velocidad de resonancia. La velocidad de resonancia es igual a la
frecuencia circular natural ๐๐ (en rpm) de la vibraciรณn libre del motor. La masa de
este y la constante equivalente de los resortes de sustentaciรณn son
๐ =350 ๐๐
32.2 ๐๐๐/๐ 2= 10.87 ๐๐ โ ๐ 2/ยด๐๐๐
๐ = 4 750๐๐
๐๐ = 3000
๐๐
๐๐๐= 36000
๐๐
๐๐๐
๐๐ = ๐
๐=
36000
10.87= 57.5
๐๐๐
๐๐= 549 ๐๐๐
36
๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ = 549 ๐๐๐
b. Amplitud de la vibraciรณn a 1200 rpm. La velocidad angular del motor y la
masa equivalente al peso de 1 oz son
๐ = 1200 ๐๐๐ = 125.7 ๐๐๐/๐
๐ = 1 ๐๐ง 1 ๐๐
16 ๐๐ง
1
32.2 ๐๐๐/๐ 2= 00.001941 ๐๐ โ ๐ 2/๐๐๐
La magnitud de la fuerza centrifuga provocada por el desbalanceo del rotor es
๐๐ = ๐๐๐ = ๐๐๐2 = 0.001941 ๐๐ โ ๐
๐๐๐
6
12๐๐๐ 125.7
๐๐๐
๐
2
= 15.33 ๐๐
La deflexiรณn estรกtica que una carga constante ๐๐ provocarรญa es
๐๐๐
=15.33 ๐๐
3000 ๐๐/๐๐= 0.00511 ๐๐
La frecuencia circular forzada ๐๐ del movimiento es la velocidad angular del motor,
๐๐ = ๐ = 125.7 ๐๐๐/๐
Si sustituyen los valores de๐๐/๐, ๐๐ y ๐๐ en la ecuaciรณn (2.33), se obtiene
๐ฅ๐ =๐๐/๐
1 โ (๐๐/๐๐)2=
0.00511 ๐๐
1 โ (125.7/57.5)2= โ0.001352 ๐๐
๐ฅ๐ = 0.001352 ๐๐ (๐๐ข๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐)
Nota. Como ๐๐ > ๐๐ , la vibraciรณn esta 180ยฐ fuera de fase con la fuerza centrifuga
debida al desbalanceo del rotor. Por ejemplo, cuando la masa desbalanceada esta
directamente debajo del eje de rotaciรณn, la posiciรณn del motor es ๐ฅ๐ = 0.001352 ๐๐
sobre la posiciรณn de equilibrio.
37
CAPITULO 4.- CONCLUSIONES
2.3 resultados obtenidos
Los resultados obtenidos sobre estos temas son el haber conocido sobre los
conceptos acerca de las vibraciones, se aprendiรณ acerca de las formulas que
se utilizan para resolver los problemas planteados y saber donde poder
utilizarlo en la vida cotidiana.
2.4 Conclusiones
Para poder concluir con el tema de vibraciones con amortiguamiento y
vibraciones sin amortiguamiento, se debe saber que estos temas se
encuentran al nuestro alrededor como las estructuras las maquinas entre otras,
y como ya se sabe sobre los temas de vibraciones se puede saber si las
estructuras estรกn bien diseรฑadas o las pueden corregir de algรบn modo que no
le cueste tanto, por ello es importante aprender bien los conceptos.
38
BIBLIOGRAFIA
[1]Bedford-Fowler/Addison-Wesley. Mecanica para Ingeniero. Mc-graw-Hill.
[2]Beer-Johston. Mecanica Vectorial para Ingenieros. Mc-Graw-Hill.
[3]Schmindt/Thomson, P. B.-r. Mecanica para Ingenieros. Mc-graw-Hill.