vibraciones mecanicas

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DINAMICA VIBRACIONES MECANICAS AMORTIGUADAS Y SIN AMORTIGUAMIENTO 4 -A 7 DE JUNIO DE 2010 INTEGRANTES: CHIN UVALLE JOSE EFRAIN CUJ KUK SERGIO ANTONIO CANCHE CANCHE JOSE GUADALUPE EK CHAN IVAN JESUS

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Page 1: VIBRACIONES MECANICAS

DINAMICA

VIBRACIONES MECANICAS

AMORTIGUADAS Y SIN AMORTIGUAMIENTO

4 -A

7 DE JUNIO DE 2010

INTEGRANTES:

CHIN UVALLE JOSE EFRAIN CUJ KUK SERGIO ANTONIO CANCHE CANCHE JOSE GUADALUPE EK CHAN IVAN JESUS

Page 2: VIBRACIONES MECANICAS

รNDICE CAPITULO 1.- GENERALIDADES ........................................................................................................... 3

1.1 introducciรณn. ............................................................................................................................. 3

CAPITULO 2.- MARCO TEORICO .......................................................................................................... 5

2.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO ................................................................................... 5

2.1.1 Vibraciones libres de partรญculas. Movimiento armรณnico simple ........................................ 5

2.1.2 Pรฉndulo simple (soluciรณn aproximada) ............................................................................ 11

2.1.3 Pรฉndulo simple (soluciรณn exacta) ..................................................................................... 13

2.1.4 Vibraciones libres de cuerpos rรญgidos ............................................................................... 15

2.1.5 Aplicaciรณn del principio de conservaciรณn de la energรญa ................................................... 17

2.1.6 Vibraciones forzadas ........................................................................................................ 19

2.2 vibraciones amortiguadas ....................................................................................................... 23

2.2.1.- vibraciones libres amortiguadas ................................................................................... 23

2.2.2.- vibraciones forzadas amortiguadas ............................................................................... 26

CAPITULO 3.-EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................ 29

CAPITULO 4.- CONCLUSIONES ........................................................................................................... 37

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................... 38

Page 3: VIBRACIONES MECANICAS

3

CAPITULO 1.- GENERALIDADES

1.1 introducciรณn.

Una vibraciรณn mecรกnica es el movimiento de una partรญcula o cuerpo que

oscila alrededor de una posiciรณn de equilibrio. La mayorรญa de las vibraciones en

mรกquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a

las pรฉrdidas de energรญa que las acompaรฑan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas

o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseรฑo apropiado. El anรกlisis

de vibraciones se ha vuelto cada vez mas importante en los รบltimos aรฑos debido a

la tendencia actual para producir maquinas de mรกs alta velocidad y estructuras

mรกs ligeras. Hay razones para esperar que esta tendencia continรบe y que una

incluso mayor necesidad de anรกlisis de vibraciones genere en el futuro.

El anรกlisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado

textos completos. En consecuencia, este estudio de limitarรก a los tipos mรกs

simples de vibraciones, a saber, las vibraciones de un cuerpo o un sistema de

cuerpos con un grado de libertad.

Una vibraciรณn mecรกnica se produce por lo general cuando un sistema se

desplaza de una posiciรณn bajo la acciรณn de fuerzas restauradoras (Ya sea fuerzas

elรกsticas, como en el caso de una masa unida a un resorte, o fuerzas

gravitacionales, dodo en el caso de un pรฉndulo). Pero el sistema por lo general

alcanza su posiciรณn original con cierta velocidad adquirida que lo lleva mรกs allรก de

esa posiciรณn. Puesto que el proceso puede repetirse de manera indefinida, el

sistema se mantiene moviรฉndose de un lado a otro de su posiciรณn de equilibrio. El

intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un ciclo de movimiento

completo recibe el nombre de periodo de la vibraciรณn. El nรบmero de ciclos por

unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento mรกximo de un sistema

a partir de su posiciรณn de equilibrio de conoce como amplitud de la vibraciรณn.

Cuando el movimiento se mantiene รบnicamente por medio de fuerzas

restauradoras, se dice que la fricciรณn es una vibraciรณn libre (secciones 2.2 a 2.6).

Page 4: VIBRACIONES MECANICAS

4

Cuando se aplica una fuerza periรณdica al sistema, el movimiento resultante de

describe como una vibraciรณn forzada. (Secciรณn 2.7). Cuando es posible ignorar los

efectos de la fricciรณn se afirma que las vibraciones son no amortiguadas. Sin

embargo, todas las vibraciones son en realidad amortiguadas hasta cierto grado.

Si una vibraciรณn libre sรณlo se amortigua de manera ligera, su amplitud decrece de

manera lenta hasta que, despuรฉs de cierto tiempo, el movimiento se interrumpe.

Pero si el amortiguamiento es suficientemente largo para evitar cualquier vibraciรณn

verdadera, en ese caso el sistema recupera lentamente su posiciรณn original

(Secciรณn 6.8). Una vibraciรณn forzada amortiguada se mantiene siempre y cuando

se aplique la fuerza periรณdica que la produce. Sin embargo, la amplitud de la

vibraciรณn se ve afectada por la magnitud de las fuerzas de amortiguamiento

(Secciรณn 6.9).

1.2 OBJETIVO GENERAL

Aprender y conocer los conceptos acerca sobre las vibraciones mecรกnicas

como son la vibraciones de amortiguamiento y las vibraciones sin amortiguamiento

y como poder aplicarlos en la vida cotidiana.

1.3 OBBJETIVO ESPESIFICO

1; Conocer los conceptos de amortiguaciones

2; Aprender sobre las formulas para poder realizar los ejercicios

3; Poder aplicar los conceptos y las formulas en la vida cotidiana

Page 5: VIBRACIONES MECANICAS

5

CAPITULO 2.- MARCO TEORICO

2.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO

2.1.1 Vibraciones libres de partรญculas. Movimiento armรณnico simple Considere un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante k (figura

19.1a). Puesto que en el tiempo presente se considera solo el movimiento de su

centro de masa, a este cuerpo se le considerara como una partรญcula. Cuando la

partรญcula se encuentra en equilibrio estรกtico, las fuerzas que actรบan sobre ella son

su peso ๐‘พ y la fuerza ๐‘ป ejercida por el resorte, de magnitud ๐‘‡ = ๐‘˜๐›ฟ๐‘ ๐‘ก , donde ๐›ฟ๐‘ ๐‘ก

denota la elongaciรณn del resorte. Por consiguiente,

๐‘Š = ๐‘˜๐›ฟ๐‘ ๐‘ก

Supรณngase ahora que la partรญcula se desplaza una distancia ๐‘ฅ๐‘š se

seleccionรณ mรกs pequeรฑa que ๐›ฟ๐‘ ๐‘ก , la partรญcula se moverรก hacia arriba y hacia

debajo de su posiciรณn de equilibrio; se genero una vibraciรณn de amplitud ๐‘ฅ๐‘š .

Obsรฉrvese que la vibraciรณn tambiรฉn se puede producir si se le imparte una cierta

velocidad inicial a la partรญcula, cuando esta se encuentra en su posiciรณn de

equilibrio ๐‘ฅ = 0 o, mas generalmente, soltรกndola desde cualquier posiciรณn dada

๐‘ฅ = ๐‘ฅ0 con una velocidad inicial dada ๐‘ฃ0.

Para analizar la vibraciรณn, considรฉrese que la partรญcula estรก en una posiciรณn

๐‘ƒ en un instante arbitrario ๐‘ก (figura 19.1b). Si ๐‘ฅ denota el desplazamiento ๐‘‚๐‘ƒ

medido desde la posiciรณn de equilibrio ๐‘‚ (positivo hacia abajo), se observa que las

fuerzas que actรบan sobre la partรญcula son su peso ๐‘พ y la fuerza ๐‘ป ejercida por el

resorte, que, en esta posiciรณn, tiene una magnitud ๐‘‡ = ๐‘˜(๐›ฟ๐‘ ๐‘ก + ๐‘ฅ). Recordando que

๐‘Š = ๐‘˜๐›ฟ๐‘ ๐‘ก , la magnitud de la fuerza resultante ๐‘ญ de las dos fuerzas (positiva hacia

abajo) es

๐น = ๐‘Š โˆ’ ๐‘˜ ๐›ฟ๐‘ ๐‘ก + ๐‘ฅ = โˆ’๐‘˜๐‘ฅ (2.1)

Page 6: VIBRACIONES MECANICAS

6

a)

wEquilibrio

t=kstNo deformado

..ma=mx

-Xm

P

O

+Xm

X

+

FIGURA(19.1)B)

w

Equilibrio

T= (st + x)

=

Page 7: VIBRACIONES MECANICAS

7

Por lo tanto, la resultante de las fuerzas ejercidas sobre la partรญcula es

proporcional al desplazamiento ๐‘‚๐‘ƒ medido a partir de la posiciรณn de equilibrio. De

acuerdo con la convenciรณn de signos, se observa que la direcciรณn de ๐‘ญ siempre es

hacia la posiciรณn de equilibrio ๐‘‚. Si sustituye ๐น en la ecuaciรณn fundamental ๐น =

๐‘š๐‘Ž, y puesto que ๐‘Ž es la segunda derivada de แบ de ๐‘ฅ con respecto a ๐‘ก, se escribe

๐‘šแบ + ๐‘˜๐‘ฅ = 0 (2.2)

Obsรฉrvese que la misma convenciรณn de signos se debe usar para la

aceleraciรณn แบ y para el desplazamiento ๐‘ฅ, es decir, positivos hacia abajo.

El movimiento definido por la ecuaciรณn (2.2) se llama movimiento armรณnico

simple. Se caracteriza por el hecho de que la aceleraciรณn es proporcional al

desplazamiento y tiene direcciรณn opuesta. Se puede verificar que cada una de las

funciones ๐‘ฅ1 = ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐‘˜

๐‘š ๐‘ก) y ๐‘ฅ2 = ๐‘๐‘œ๐‘  (

๐‘˜

๐‘š ๐‘ก) satisface la ecuaciรณn (2.2). Estas

funciones, por consiguiente, constituyen dos soluciones particulares de la

ecuaciรณn diferencial (2.2). La soluciรณn general de la ecuaciรณn (2.2) se obtiene

multiplicando cada una de las soluciones particulares por una constante arbitraria

y sumando. Por tanto, la soluciรณn general se expresa como

๐‘ฅ = ๐ถ1๐‘ฅ1 + ๐ถ2๐‘ฅ2 = ๐ถ1๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘˜

๐‘š ๐‘ก + ๐ถ2๐‘๐‘œ๐‘ 

๐‘˜

๐‘š ๐‘ก (2.3)

Se observa que ๐‘ฅ es una funciรณn periรณdica del tiempo ๐‘ก y, por tanto,

representa una vibraciรณn de la partรญcula ๐‘ƒ. El coeficiente de ๐‘ก de la expresiรณn

obtenida se conoce como la frecuencia circular natural de la vibraciรณn, y esta

denotada por ๐œ”๐‘› . Se tiene

๐‘ญ๐’“๐’†๐’„๐’–๐’†๐’๐’„๐’Š๐’‚ ๐’„๐’Š๐’“๐’„๐’–๐’๐’‚๐’“ ๐’๐’‚๐’•๐’–๐’“๐’‚๐’ = ๐Ž๐’ = ๐’Œ

๐’Ž (2.4)

Si en la ecuaciรณn (6.3) se sustituye, ๐‘˜

๐‘š, se escribe

๐‘ฅ = ๐ถ1๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘›๐‘ก + ๐ถ2๐‘๐‘œ๐‘  ๐œ”๐‘›๐‘ก (2.5)

Page 8: VIBRACIONES MECANICAS

8

Esta es la soluciรณn general de la ecuaciรณn diferencial

แบ + ๐Ž๐’๐Ÿ๐’™ = ๐ŸŽ (2.6)

La cual se puede obtener a partir de la ecuaciรณn (2.2) dividiendo ambos tรฉrminos

entre ๐‘š y observando que ๐‘˜

๐‘š= ๐œ”๐‘›

2. Diferenciando ambos miembros de la ecuaciรณn

(2.5) con respecto a ๐‘ก, se obtienen las siguientes expresiones para la velocidad y

la aceleraciรณn en el instante ๐‘ก:

๐‘ฃ = แบ‹ = ๐ถ1๐œ”๐‘›๐‘๐‘œ๐‘  ๐œ”๐‘›๐‘ก + ๐ถ2 ๐œ”๐‘› sen๐œ”๐‘› ๐‘ก (2.7)

๐‘Ž = แบ = โˆ’๐ถ1๐œ”๐‘›2 ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘›๐‘ก โˆ’ ๐ถ2๐œ”๐‘›

2 cos๐œ”๐‘›๐‘ก (2.8)

Los valores de las constantes ๐ถ1 y ๐ถ2 dependen de las condiciones iniciales

del movimiento. Por ejemplo, ๐ถ1 = 0 si la partรญcula se desplaza de su posiciรณn de

equilibrio y se suelta en el instante ๐‘ก = 0 sin la velocidad inicial, y ๐ถ2 = 0 si la

particula se suelta de la posiciรณn ๐‘‚ en el instante ๐‘ก = 0 con una cierta velocidad

inicial. En general, si se sustituye ๐‘ก = 0 y los valores iniciales ๐‘ฅ0 y ๐‘ฃ0 del

desplazamiento y la velocidad en las ecuaciones (2.5) y (2.7), se encuentra que

๐ถ1 =๐‘ฃ0

๐œ”๐‘› y ๐ถ2 = ๐‘ฅ0.

Las expresiones obtenidas para el desplazamiento, la velocidad y la

aceleraciรณn de una partรญcula se pueden escribir en una forma mรกs compacta si se

observa que la ecuaciรณn (2.5) expresa que le desplazamiento ๐‘ฅ = ๐‘‚๐‘ƒ es la suma

de las componentes ๐‘ฅ de los dos vectores ๐‘ช1 y ๐‘ช2, respectivamente, de magnitud

๐ถ1 y ๐ถ2, dirigidos como se muestra en la figura 19.2a. Conforme ๐‘ก varia, los dos

vectores giran en el sentido de las manecillas del reloj; tambiรฉn se observa que la

magnitud de su resultante ๐‘‚๐‘„ es igual al desplazamiento mรกximo ๐‘ฅ๐‘š . El

movimiento armรณnico simple de ๐‘ƒ a lo largo del eje ๐‘ฅ se puede obtener, portanto,

proyectando en este eje el movimiento de un punto ๐‘„ que describe un cรญrculo

auxiliar de radio ๐‘ฅ๐‘š con una velocidad angular constante ๐œ”๐‘› (lo cual explica el

nombre de frecuencia circular natural dado a ๐œ”๐‘› ). Si ๐œ™ denota el angulo formado

por los vectores ๐‘‚๐‘„ y ๐‘ช1, entonces

Page 9: VIBRACIONES MECANICAS

9

๐‘‚๐‘ƒ = ๐‘‚๐‘„ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘›๐‘ก + ๐œ™ (2.9)

La que conduce a nuevas expresiones para el desplazamiento, la velocidad y la

aceleraciรณn de ๐‘ท:

๐‘ฅ = ๐‘ฅ๐‘š ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘›๐‘ก + ๐œ™ (2.10)

๐‘ฃ = ๐‘ฅ = ๐‘ฅ๐‘š๐œ”๐‘›cos(๐œ”๐‘›๐‘ก + ๐œ™) (2.11)

๐‘Ž = ๐‘ฅ = โˆ’๐‘ฅ๐‘š๐œ”๐‘›2๐‘ ๐‘’๐‘›(๐œ”๐‘›๐‘ก + ๐œ™) (2.12)

La curva desplazamiento โ€“ tiempo estรก representada por una curva senoidal

(figura 19.2b); el valor mรกximo ๐‘ฅ๐‘š del desplazamiento se llama amplitud de la

vibraciรณn, y el รกngulo ๐œ™ que define la posiciรณn inicial de ๐‘„ en el circulo se llama

รกngulo de fase. En la figura 2.2 se observa que se describe un cรญrculo completo

conforme el รกngulo ๐œ”๐‘›๐‘ก se incrementa 2๐œ‹ ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘. El valor correspondiente de ๐‘ก,

demostrado por ๐œ๐‘› , se llama periodo de la vibraciรณn libre, y se mide en segundos.

Por consiguiente,

๐‘ƒ๐‘’๐‘Ÿ๐‘–๐‘œ๐‘‘๐‘œ = ๐œ๐‘› =2๐œ‹

๐œ”๐‘› (2.13)

El tรฉrmino ๐‘“๐‘› denota el nรบmero de ciclos descritos por unidad de tiempo, y se

conoce como la frecuencia natural de la vibraciรณn. Por tanto,

๐น๐‘Ÿ๐‘’๐‘๐‘ข๐‘’๐‘›๐‘๐‘–๐‘Ž ๐‘›๐‘Ž๐‘ก๐‘ข๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘™ = ๐‘“๐‘› =1

๐œ๐‘›=

๐œ”๐‘›

2๐œ‹ (2.14)

Page 10: VIBRACIONES MECANICAS

10

La unidad de frecuencia es una frecuencia de 1 ciclo por segundo, que

corresponde a un periodo de 1๐‘ . En funciรณn de unidades base, la unidad de

frecuencia es, por tanto, 1/๐‘  o ๐‘ โˆ’1. Se llama hertz (Hz) en el sistema SI de

unidades. De la ecuaciรณn (2.4) tambiรฉn se desprende que una frecuencia de 1๐‘ โˆ’1

o 1 ๐ป๐‘ง correponde a una frecuencia circular de 2๐œ‹ ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘/๐‘  . En problemas que

implican velocidades angulares expresadas en revoluciones por minuto (rpm), se

tiene 1 ๐‘Ÿ๐‘๐‘š =1

60๐‘ โˆ’1 =

1

60๐ป๐‘ง, o 1 ๐‘Ÿ๐‘๐‘š =

2๐œ‹

60 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘/๐‘  .

Puesto que ๐œ”๐‘› se definiรณ en la ecuaciรณn (2.4) en funciรณn de la constante ๐‘˜

del resorte y la masa ๐‘š de la partรญcula, se observa que el periodo y la frecuencia

son independientes de las condiciones iniciales y de la amplitud de la vibraciรณn.

Obsรฉrvese que ๐œ๐‘› y ๐‘“๐‘› dependen de la masa y no del peso de la partรญcula y, por

tanto, son independientes del valor de ๐‘”.

Las curvas velocidad โ€“ tiempo y aceleraciรณn โ€“ tiempo se pueden

representar por medio de curvas senoidales del mismo periodo que en la curva

desplazamiento โ€“ tiempo, pero con diferentes รกngulos fase. De acuerdo con las

ecuaciones (2.11) y (2.12), se observa que los valores mรกximos de las magnitudes

de la velocidad y la aceleraciรณn son

๐‘ฃ๐‘š = ๐‘ฅ๐‘š๐œ”๐‘› ๐‘Ž๐‘š = ๐‘ฅ๐‘š๐œ”๐‘›2 (2.15)

Como el punto ๐‘„ describe el cรญrculo auxiliar, de radio ๐‘ฅ๐‘š , a la velocidad angular

constante ๐œ”๐‘› , su velocidad y aceleraciรณn son iguales, respectivamente, a las

expresiones (2.15). De acuerdo con las ecuaciones (2.11) y (2.12), se ve, por

consiguiente, que la velocidad y aceleraciรณn de ๐‘ƒ se pueden obtener en cualquier

instante proyectando en el eje ๐‘ฅ vectores de magnitudes ๐‘ฃ๐‘š = ๐‘ฅ๐‘š๐œ”๐‘› y ๐‘Ž๐‘š = ๐‘ฅ๐‘š๐œ”๐‘›2

que representan, respectivamente, la velocidad y la aceleraciรณn de ๐‘„ en el mismo

instante (figura 19.3).

Page 11: VIBRACIONES MECANICAS

11

nW t

Q

Xm

X

O

FIGURA(19.3)

0 2am=xm w

P

W t +

Q

n

Vm= XmWn

n

Los resultados obtenidos no se limitan a la soluciรณn del problema de una masa

conectada a un resorte. Se pueden usar para analizar el movimiento rectilรญneo de

una partรญcula siempre que la resultante ๐‘ญ de las fuerzas que actรบan sobre la

partรญcula sea proporcional al desplazamiento ๐‘ฅ y dirigida hacia ๐‘‚. La ecuaciรณn

fundamental de movimiento ๐น = ๐‘š๐‘Ž se puede escribir, entonces, en la forma de la

ecuaciรณn (2.6), la cual es caracterรญstica de un movimiento armรณnico simple. Puesto

que el coeficiente de ๐‘ฅ debe ser igual a ๐œ”๐‘›2, la frecuencia circular natural ๐œ”๐‘› del

movimiento se puede determinar con facilidad. Al sustituir el valor obtenido para

๐œ”๐‘› en las ecuaciones (2.13) y (2.14), se obtienen entonces el periodo ๐œ๐‘› y la

frecuencia natural ๐‘“๐‘› del movimiento.

2.1.2 Pรฉndulo simple (soluciรณn aproximada) La mayorรญa de las vibraciones que se presentan en aplicaciones de

ingenierรญa se pueden representar mediante un movimiento armรณnico simple.

Muchas otras, aunque de diferente tipo, se pueden representar de una manera

aproximada mediante un movimiento armรณnico simple, siempre que su amplitud

Page 12: VIBRACIONES MECANICAS

12

permanezca pequeรฑa. Considรฉrese, por ejemplo, un pรฉndulo simple, que consiste

en una plomada de masa ๐‘š que pende de una cuerda de longitud ๐‘™, el cual puede

oscilar en un plano vertical (figura 19.4a). en un instante dado ๐‘ก, la cuerda forma

un

tman

=

ma

b)

T

FIGURA(19.4)

a)

W

L

angulo ๐œƒ con la vertical. Las fuerzas que actรบan sobre la plomada son su peso ๐‘พ

y la fuerza ๐‘ป ejercida por la cuerda (figura 19.4b). al transformar el vector ๐‘š๐’‚ en

componentes tangencial y normal, con ๐‘š๐’‚๐’• dirigido hacia la derecha, es decir, en

la direcciรณn correspondientes a valores crecientes de ๐œƒ, y puesto que ๐‘Ž๐‘ก = ๐‘™๐›ผ = ๐‘™๐œƒ ,

se puede escribir

๐น๐‘ก = ๐‘š๐‘Ž๐‘ก : โˆ’๐‘Š ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œƒ = ๐‘š๐‘™๐œƒ

Como ๐‘Š = ๐‘š๐‘” y dividiendo entre ๐‘š๐‘™, se obtiene

๐œƒ +๐‘”

๐‘™ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œƒ = 0 (2.16)

En el caso de oscilaciones de pequeรฑa amplitud, se pueden remplazar ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œƒ con

๐œƒ, expresando en radianes y, por tanto,

Page 13: VIBRACIONES MECANICAS

13

๐œƒ +๐‘”

๐‘™๐œƒ = 0 (2.17)

Si se compara con la ecuaciรณn (2.6) se ve que la ecuaciรณn diferencial (2.17) es la

de un movimiento armรณnico simple con una frecuencia circular natural ๐œ”๐‘› igual a

(๐‘”/๐‘™) 1/2 . La soluciรณn general de la ecuaciรณn (2.17) se puede expresar, entonces,

como

๐œƒ = ๐œƒ๐‘š ๐‘ ๐‘’๐‘› (๐œ”๐‘›๐‘ก + ๐œ™)

Donde ๐œƒ๐‘š es la amplitud de las oscilaciones y ๐œ™ es un รกngulo fase. Con la

sustituciรณn en la ecuaciรณn (2.13) del valor obtenido para ๐œ”๐‘› , se obtiene la siguiente

expresiรณn para el periodo de las oscilaciones pequeรฑas de un pรฉndulo de longitud

๐‘™:

๐œ๐‘› =2๐œ‹

๐œ”๐‘›= 2๐œ‹

๐‘™

๐‘” (2.18)

2.1.3 Pรฉndulo simple (soluciรณn exacta) La formula (2.18) es solo aproximada. Para obtener una expresiรณn exacta para el

periodo de las oscilaciones de un pรฉndulo simple, se tiene que regresar a la

ecuaciรณn (2.16). si se multiplica ambos tรฉrminos por 2๐œƒ y se integra desde un

posiciรณn inicial correspondiente a la deflexiรณn mรกxima, es decir, ๐œƒ = ๐œƒ๐‘š y ๐œƒ = 0, se

puede escribir

๐‘‘๐œƒ

๐‘‘๐‘ก

2

=2๐‘”

๐‘™(cos๐œƒ โˆ’ cos๐œƒ๐‘š )

Si se remplazan cos ๐œƒ con 1 โˆ’ 2 ๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐œƒ

2 y cos ๐œƒ๐‘š con una expresiรณn similar, se

despeja ๐‘‘๐‘ก y se integra a lo largo de un cuarto de periodo desde ๐‘ก = 0, ๐œƒ = 0 a

๐‘ก = ๐œ๐‘›/4, ๐œƒ = ๐œƒ๐‘š se tiene

๐œ๐‘› = 2 ๐‘™

๐‘”

๐‘‘๐œƒ

๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐œƒ๐‘š2 โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›2

๐œƒ2

๐œƒ๐‘š

0

Page 14: VIBRACIONES MECANICAS

14

La integral del lado derecho se conoce como integral elรญptica; no se puede

expresar en funciรณn de las funciones algebraicas o trigonomรฉtricas usuales. Sin

embargo, con

๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œƒ

2 = ๐‘ ๐‘’๐‘›

๐œƒ๐‘š2 ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ™

Se puede escribir

๐œ๐‘› = 4 ๐‘™

๐‘”

๐‘‘๐œ™

1โˆ’๐‘ ๐‘’๐‘› 2 ๐œƒ๐‘š

2 ๐‘ ๐‘’๐‘› 2๐œ™

๐œ‹/2

0 (2.19)

Donde la integral obtenida, comรบnmente denotada por ๐พ, puede calcularse

mediante un mรฉtodo numรฉrico de integraciรณn. Tambiรฉn se puede encontrar en

tabla de integrales elรญpticas para diferentes valores de ๐œƒ๐‘š/2. Para compara el

resultado que se acaba de obtener con el de la secciรณn anterior, se escribe la

ecuaciรณn (2.19) en la forma

๐œ๐‘› =2๐พ

๐œ‹ 2๐œ‹

๐‘™

๐‘” (2.20)

La formula (2.20) demuestra que el valor real del periodo de un pรฉndulo simple se

obtiene multiplicando el valor aproximado dado en la ecuaciรณn (6.18) por el factor

de correcciรณn 2๐พ/๐œ‹. En la tabla 2.1 se dan valores de correcciรณn para diferentes

valores de la amplitud ๐œƒ๐‘š . Se observa que en cรกlculos comunes de ingenierรญa el

factor de correcciรณn se puede omitir siempre que la amplitud no sobrepase de 10ยฐ.

Tabla 2.1. Factor de correcciรณn para el periodo de un pรฉndulo simple

๐œƒ๐‘š 0ยฐ 10ยฐ 20ยฐ 30ยฐ 60ยฐ 90ยฐ 120ยฐ 150ยฐ 180ยฐ

๐พ 1.571 1.574 1.598 1.686 1.854 2.157 2.157 2.768 โˆž

2๐พ/๐œ‹ 1.000 1.002 1.008 1.017 1.073 1.180 1.373 1.762 โˆž

Page 15: VIBRACIONES MECANICAS

15

2.1.4 Vibraciones libres de cuerpos rรญgidos El anรกlisis de las vibraciones de un cuerpo rรญgido o de un sistema de cuerpos

rรญgidos que posee un grado รบnico de libertad, es similar al anรกlisis de las

vibraciones de una partรญcula. Se selecciona una variable apropiada, tal como una

distancia ๐‘ฅ o un angulo ๐œƒ, para definir la posiciรณn del

cuerpo o un sistema de cuerpos, y se escribe una

ecuaciรณn que relaciona esta variable y su segunda

derivada con respecto a ๐‘ก. Si la ecuaciรณn obtenida es

de la misma forma que la ecuaciรณn (2.6), es decir, si

se tiene

๐‘ฅ + ๐œ”๐‘›2๐‘ฅ = 0 O

๐œƒ + ๐œ”๐‘›2๐œƒ = 0 (2.21)

La vibraciรณn considerada es un movimiento armรณnico

simple. El periodo y la frecuencia natural de la

vibraciรณn se obtienen, entonces, identificando ๐œ”๐‘› y

sustituyendo su valor en las ecuaciones (2.13) y

(2.14).

En general, una manera simple de obtener

una de las ecuaciones (2.21) es expresar que el

sistema de las fuerzas externas es equivalente al

sistema de las fuerzas efectivas por medio de una

ecuaciรณn de diagramas de cuerpo libre para un valor

arbitrario de la variable y escribiendo la ecuaciรณn de

movimiento apropiada. Se recuerda que el objetivo

debe ser la determinaciรณn del coeficiente de la variable ๐‘ฅ o ๐œƒ, no la determinaciรณn

de la variable misma o de la derivada ๐‘ฅ o ๐œƒ . Si este coeficiente se hace igual a ๐œ”๐‘›2

se obtienen la frecuencia circular natural ๐œ”๐‘› , con la cual se puede determinar ๐œ๐‘› y

๐‘“๐‘› .

Page 16: VIBRACIONES MECANICAS

16

El mรฉtodo descrito se puede usar para analizar vibraciones que

verdaderamente estรกn representadas por un movimiento armรณnico simple, o

vibraciones de pequeรฑa amplitud que pueden estar representadas de manera

aproximada por un movimiento armรณnico simple. Como ejemplo, se determinara el

periodo de las pequeรฑas oscilaciones de una placa cuadrada de 2๐‘ por lado la

cual esta suspendida del punto medio ๐‘‚ de uno de sus lados (figura 19.5a). la

placa se considera en una posiciรณn arbitraria definida por el รกngulo ๐œƒ que la lรญnea

๐‘‚๐บ forma con la vertical, y se dibuja una ecuaciรณn de diagramas de cuerpo libre

para expresar que el peso ๐‘พ de las placas y las componentes ๐‘น๐’™ y ๐‘น๐’š de la

reacciรณn en ๐‘‚ son equivalentes a los vectores ๐‘š๐’‚๐’• y ๐‘š๐’‚๐’ y al par ๐ผ๐œถ (figura

19.5b). Como la velocidad angular y la aceleraciรณn angular de la placa son iguales,

respectivamente, a ๐œƒ y ๐œƒ , las magnitudes de los dos vectores son,

respectivamente, ๐‘š๐‘๐œƒ y ๐‘š๐‘๐œƒ 2, mientras que el momento de par es ๐ผ๐œƒ . En

aplicaciones previas de este mรฉtodo, siempre que fue posible, se trato de suponer

el mimo sentido positivo para ๐œƒ y ๐œƒ para obtener una ecuaciรณn de la forma (2.21).

Por consiguiente, la aceleraciรณn angular ๐œƒ se supondrรก positiva en sentido

contrario al de las manecillas del reloj, aun cuando esta suposiciรณn es

obviamente irreal. Si se igualan los momento con respecto a ๐‘‚, se tiene

+โ†– โˆ’๐‘Š ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œƒ = ๐‘š๐‘๐œƒ ๐‘ + ๐ผ๐œƒ

Como ๐ผ =1

12๐‘š 2๐‘ 2 + 2๐‘ 2 =

2

3๐‘š๐‘2 y ๐‘Š = ๐‘š๐‘”, se obtiene

๐œƒ + 3

5

๐‘”

๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œƒ = 0 (2.22)

Para oscilaciones de pequeรฑa amplitud, se puede remplazar ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œƒ por ๐œƒ,

expresado en radianes, y escribir

๐œƒ + 3

5

๐‘”

๐‘ ๐œƒ = 0 (2.23)

La comparaciรณn con (2.21) demuestra que la ecuaciรณn obtenida es la de un

movimiento armรณnico simple, y que la frecuencia circular natural ๐œ”๐‘› de las

Page 17: VIBRACIONES MECANICAS

17

oscilaciones es igual a 3๐‘”

5๐‘

1/2

. Al sustituir en (2.13), se halla que el periodo de las

oscilaciones es

๐œ๐‘› =2๐œ‹

๐œ”๐‘›= 2๐œ‹

5๐‘

3๐‘” (2.24)

El resultado obtenido es vรกlido solo para oscilaciones de pequeรฑa amplitud. Una

descripciรณn mรกs precisa del movimiento de la placa se obtiene comparando las

ecuaciones (2.16) y (2.22). Se observa que las dos ecuaciones son idรฉnticas si se

selecciona ๐‘™ igual 5๐‘/3. Esto significa que la placa oscilara como un pรฉndulo

simple de longitud ๐‘™ = 5๐‘/3, y los resultados de la secciรณn 2.1.3 se pueden usar

para corregir el valor del periodo dado en (2.24). el punto A de la placa localizado

en la lรญnea ๐‘‚๐บ a una distancia ๐‘™ = 5๐‘/3 de ๐‘‚, se define como el centro de

oscilaciรณn correspondiente a ๐‘‚ (figura 6.5a).

2.1.5 Aplicaciรณn del principio de conservaciรณn de la energรญa En secciones anteriores se vio que, cuando una partรญcula de masa ๐‘š se encuentra

en movimiento armonico simple, la resultante ๐‘ญ de las fuerzas ejercidas sobre ella

tiene una magnitud proporcional al desplazamiento ๐‘ฅ medido a partir de la posiciรณn

de equilibrio ๐‘‚ y su direcciรณn es hacia ๐‘‚; por consiguiente, ๐น = โˆ’๐‘˜๐‘ฅ. De acuerdo

con los temas anteriores, se ve que ๐‘ญ es una fuerza conservativa y que la energia

potencial correspondiente es ๐‘‰ =1

2๐‘˜๐‘ฅ2, donde ๐‘‰ se supone igual a cero en la

posiciรณn de equilibrio ๐‘ฅ = 0. Como la velocidad de la partรญcula es igual a ๐‘ฅ , su

energia cinรฉtica es ๐‘‡ =1

2๐‘š๐‘ฅ 2, y se puede expresar que la energia total de la

partรญcula se conserva escribiendo.

๐‘‡ + ๐‘‰ = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›๐‘ก๐‘’ 1

2๐‘š๐‘ฅ 2 +

1

2๐‘˜๐‘ฅ2 = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›๐‘ก๐‘’

Si se divide entre ๐‘š/2 y, de acuerdo con secciones anteriores, ๐‘˜/๐‘š = ๐œ”๐‘›2 donde

๐œ”๐‘› , es la frecuencia circular natural de la vibraciรณn, se tiene

๐‘ฅ 2 + ๐œ”๐‘›2๐‘ฅ2 = ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›๐‘ก๐‘’ (2.25)

Page 18: VIBRACIONES MECANICAS

18

La ecuaciรณn (2.25) es caracterรญstica de un movimiento armรณnico simple, puesto

que se puede obtener a partir de la ecuaciรณn (2.6) multiplicando ambos tรฉrminos

por 2๐‘ฅ e integrando.

El principio de conservaciรณn de la energรญa proporciona un mรฉtodo conveniente

para determinar el periodo de vibraciรณn de un cuerpo rรญgido o de un sistema de

cuerpos rรญgidos que posee un solo grado de libertad, una vez que se establece

que el movimiento del sistema es un movimiento armรณnico simple o que puede

estar representado por un movimiento armรณnico simple. Con la selecciรณn de una

variable apropiada, tal como una distancia ๐‘ฅ o un angulo ๐œƒ, se consideran dos

posiciones particulares del sistema:

1. El desplazamiento del sistema es mรกximo; en tal caso, ๐‘‡1 = 0 y ๐‘‰1 se puede

expresar en funciรณn de la amplitud ๐‘ฅ๐‘š o ๐œƒ๐‘š (si se elige ๐‘‰ = 0 en la posiciรณn de

equilibrio).

2. El sistema pasa por su posiciรณn de equilibrio; en tal caso, ๐‘‰2 = 0 y ๐‘‡2 se

puede expresar en funciรณn de la velocidad mรกxima ๐‘ฅ ๐‘š o de la velocidad angular

mรกxima ๐œƒ ๐‘š .

Por tanto, se expresa que la energรญa total del sistema se conserva, es decir

๐‘‡1 + ๐‘‰1 = ๐‘‡2 + ๐‘‰2. De acuerdo con la secciรณn (2.15), en un movimiento armonico

simple la velocidad mรกxima es igual al producto de la amplitud y de la frecuencia

circular natural ๐œ”๐‘› ; por consiguiente, se ve que la ecuaciรณn obtenida se puede

resolver para ๐œ”๐‘› .

Como ejemplo, considรฉrese otra vez la placa cuadrada de la secciรณn (2.5).

En la posiciรณn de desplazamiento mรกximo (figura 6.6a), se tiene

๐‘‡1 = 0 ๐‘‰1 = ๐‘Š ๐‘ โˆ’ ๐‘ cos ๐œƒ๐‘š = ๐‘Š๐‘(1 โˆ’ cos ๐œƒ๐‘š )

O, puesto que 1 โˆ’ cos๐œƒ๐‘š = 2 ๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐œƒ๐‘š

2 โ‰ˆ 2

๐œƒ๐‘š

2

2

= ๐œƒ๐‘š2 /2 en el caso de

oscilaciones de pequeรฑa amplitud,

๐‘‡1 = 0 ๐‘‰1 =1

2๐‘Š๐‘๐œƒ๐‘š

2 (2.26)

Page 19: VIBRACIONES MECANICAS

19

Cuando la placa pasa por su posiciรณn de equilibrio (figura 6.6b), su velocidad es

mรกxima, y se tiene

๐‘‡2 =1

2๐‘š๐‘ฃ๐‘š

2+

1

2๐ผ๐œ”๐‘š

2 =1

2๐‘š๐‘2๐œƒ ๐‘š

2 +1

2๐ผ๐œƒ ๐‘š

2 ๐‘‰2 = 0

O, de acuerdo con la secciรณn anterior, como ๐ผ =2

3๐‘š๐‘2,

๐‘‡2 =1

2

5

3๐‘š๐‘2 ๐œƒ ๐‘š

2 ๐‘‰2 = 0 (2.27)

Si se hacen sustituciones de (2.26) y (2.27) en ๐‘‡1 + ๐‘‰1 = ๐‘‡2 + ๐‘‰2, y como la

velocidad mรกxima ๐œƒ ๐‘š es igual al producto ๐œƒ๐‘š๐œ”๐‘› , se puede escribir

1

2๐‘Š๐‘๐œƒ๐‘š

2 =1

2

5

3๐‘š๐‘2 ๐œƒ๐‘š

2 ๐œ”๐‘›2 (2.28)

La cual da ๐œ”๐‘›2 = 3๐‘”/5๐‘ y

๐œ๐‘› =2๐œ‹

๐œ”๐‘›= 2๐œ‹

5๐‘

3๐‘” (2.29)

Como previamente se obtuvo.

2.1.6 Vibraciones forzadas Desde el punto de vista de las aplicaciones de ingenierรญa, las vibraciones mรกs

importantes son las vibraciones forzadas de un sistema. Estas vibraciones ocurren

cuando un sistema se somete a una fuerza periรณdica o cuando esta elรกsticamente

conectado a un apoyo que tiene un movimiento alternante.

Considรฉrese en primer lugar el caso de un cuerpo de masa ๐‘š suspendido

de un resorte y sometido a una fuerza periรณdica ๐‘ท de magnitud ๐‘ƒ = ๐‘ƒ๐‘š๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘“๐‘ก,

donde ๐œ”๐‘“ es la frecuencia circular de ๐‘ท y se conoce como frecuencia circular

forzada del movimiento (figura 6.7). Esta fuerza puede ser una fuerza externa real

aplicada al cuerpo, o una fuerza centrifuga producida por la rotaciรณn de alguna

parte desbalanceada del cuerpo, medido a partir de su posiciรณn de equilibrio, se

escribe la ecuaciรณn de movimiento

+โ†“ ๐น = ๐‘š๐‘Ž: ๐‘ƒ๐‘š๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘“๐‘ก + ๐‘Š โˆ’ ๐‘˜ ๐›ฟ๐‘ ๐‘ก โˆ’ ๐‘ฅ = ๐‘š๐‘ฅ

Page 20: VIBRACIONES MECANICAS

20

Como ๐‘Š = ๐‘˜๐›ฟ๐‘ ๐‘ก , se tiene

๐‘š๐‘ฅ + ๐‘˜๐‘ฅ = ๐‘ƒ๐‘š๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘“๐‘ก (2.30)

A continuaciรณn se considera el caso de un cuerpo de masa ๐‘š suspendido de un

resorte conectado a un apoyo mรณvil cuyo desplazamiento ๐›ฟ es igual a ๐›ฟ๐‘š๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘“๐‘ก

(figura 6.8). Si el desplazamiento ๐‘ฅ del cuerpo se mide a partir de la posiciรณn de

equilibrio estรกtico correspondiente a ๐œ”๐‘“๐‘ก = 0, se halla que el alargamiento total del

resorte en el instante ๐‘ก es ๐›ฟ๐‘ ๐‘ก + ๐‘ฅ โˆ’ ๐›ฟ๐‘š๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘“๐‘ก . La ecuaciรณn de movimiento es, por

tanto,

+โ†“ ๐น = ๐‘š๐‘Ž: ๐‘Š โˆ’ ๐‘˜ ๐›ฟ๐‘ ๐‘ก + ๐‘ฅ โˆ’ ๐›ฟ๐‘š๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘“๐‘ก = ๐‘š๐‘ฅ

Como ๐‘Š = ๐‘˜๐›ฟ๐‘ ๐‘ก , se tiene

๐‘š๐‘ฅ + ๐‘˜๐‘ฅ = ๐‘˜๐›ฟ๐‘š๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘“ (2.31)

Se ve que las ecuaciones (2.30) y (2.31) son de la misma forma y que una

soluciรณn de la primera ecuaciรณn satisfarรก la segunda si se hace ๐‘ƒ๐‘š = ๐‘˜๐›ฟ๐‘š .

Una ecuaciรณn diferencial como la (2.30) o la (2.31), con el miembro del lado

derecho diferente de cero, se conoce como no homogรฉnea. Su soluciรณn general

se obtiene agregando una soluciรณn particular de la ecuaciรณn dad a la soluciรณn

general de la ecuaciรณn homogรฉnea correspondiente (con el miembro del lado

derecho igual a cero). Se puede obtener una soluciรณn particular de (6.30) o (6.31)

probando una soluciรณn de la forma

๐‘ฅ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ก = ๐‘ฅ๐‘š ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘“๐‘ก (2.32)

Si se sustituye ๐‘ฅ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ก por ๐‘ฅ en la ecuaciรณn (2.30), se obtiene

โˆ’๐‘š๐œ”๐‘“2๐‘ฅ๐‘š ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘“๐‘ก + ๐‘˜๐‘ฅ๐‘š๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘“๐‘ก = ๐‘ƒ๐‘š๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘“๐‘ก

La que se puede resolver para la amplitud,

๐‘ฅ๐‘š =๐‘ƒ๐‘š

๐‘˜ โˆ’๐‘š๐œ”๐‘“2

Page 21: VIBRACIONES MECANICAS

21

Puesto que, de acuerdo con la ecuaciรณn (2.4), ๐‘˜

๐‘š= ๐œ”๐‘›

2 donde ๐œ”๐‘› es la frecuencia

circular natural del sistema, se puede escribir

๐‘ฅ๐‘š =๐‘ƒ๐‘š /๐‘˜

1โˆ’(๐œ”๐‘“/๐œ”๐‘› )2 (2.33)

Si se sustituye de (2.32) en (2.31), se obtiene de la misma manera

๐‘ฅ๐‘š =๐›ฟ๐‘š

1โˆ’(๐œ”๐‘“/๐œ”๐‘› )2 (2.33โ€ฒ)

La ecuaciรณn homogรฉnea correspondiente a la (2.30) o (2.31) es la ecuaciรณn

(2.2), que define la vibraciรณn libre del cuerpo. Su soluciรณn general, llamada funciรณn

complementaria, se hallo en secciones anteriores:

๐‘ฅ๐‘๐‘œ๐‘š๐‘ = ๐ถ1๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘›๐‘ก + ๐ถ2๐‘๐‘œ๐‘  ๐œ”๐‘›๐‘ก (2.34)

Si se asegura la soluciรณn particular (2.32) a la funciรณn complementaria (2.34), se

obtiene la soluciรณn general de las ecuaciones (6.30) y (6.31):

๐‘ฅ = ๐ถ1๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘›๐‘ก + ๐ถ2๐‘๐‘œ๐‘  ๐œ”๐‘›๐‘ก + ๐‘ฅ๐‘š ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘“๐‘ก (2.35)

Se ve que la vibraciรณn obtenida se compone de dos vibraciones

superpuestas. Los primeros dos tรฉrminos de la ecuaciรณn (2.35) representan una

vibraciรณn libre del sistema. La frecuencia de esta vibraciรณn es la frecuencia natural

del sistema, la cual depende solo de la constante ๐‘˜ del resorte y de la masa ๐‘š del

cuerpo, y las constantes ๐ถ1 y ๐ถ2 se pueden determinar a partir de las condiciones

iniciales. Esta vibraciรณn libre tambiรฉn se llama vibraciรณn transitoria, puesto que en

la prรกctica real se ve amortiguada de inmediato por las fuerzas de fricciรณn.

El รบltimo tรฉrmino de la ecuaciรณn (2.35) representa la vibraciรณn de estado

estable producida y mantenida por la fuerza aplicada o por el movimiento aplicado

del apoyo o soporte. Su frecuencia es la frecuencia forzada generada por esta

fuerza o movimiento, y su amplitud ๐‘ฅ๐‘š , definida por la ecuaciรณn (2.33) o por la

ecuaciรณn (2.33โ€™), depende de la razรณn de frecuencia ๐œ”๐‘“/๐œ”๐‘› . La razรณn de la

amplitud ๐‘ฅ๐‘š de la vibraciรณn de estado estable a la deflexiรณn estรกtica ๐‘ƒ๐‘š/๐‘˜

Page 22: VIBRACIONES MECANICAS

22

provocada por una fuerza ๐‘ƒ๐‘š , o a la amplitud ๐›ฟ๐‘š del movimiento del apoyo, se

llama factor de amplificaciรณn. Con las ecuaciones (6.33) y (6.33โ€™), se obtiene

๐น๐‘Ž๐‘๐‘ก๐‘œ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘’ ๐‘Ž๐‘š๐‘๐‘™๐‘–๐‘“๐‘–๐‘๐‘Ž๐‘๐‘–๐‘œ๐‘› =๐‘ฅ๐‘š

๐‘ƒ๐‘š /๐‘˜=

๐‘ฅ๐‘š

๐›ฟ๐‘š=

1

1โˆ’ ๐œ”๐‘“/๐œ”๐‘› 2 (2.36)

La figura 6.9 es una grafica del factor de amplificaciรณn contra la razรณn de

frecuencia ๐œ”๐‘“/๐œ”๐‘› . Se ve que cuando ๐œ”๐‘“ = ๐œ”๐‘“ , la amplitud de la vibraciรณn forzada

se vuelve infinita. Se dice que la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el

apoyo esta en resonancia con el sistema dado. En realidad, la amplitud de la

vibraciรณn permanece finita debido a fuerzas amortiguadoras; sin embargo, se debe

evitar una situaciรณn como esa, y la frecuencia forzada no debe ser seleccionada

muy cercana a la frecuencia natural del sistema. Asimismo, se ve que para

๐œ”๐‘“ < ๐œ”๐‘› el coeficiente de ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ”๐‘“๐‘ก en la ecuaciรณn (2.35) es positivo, mientras que

para ๐œ”๐‘“ > ๐œ”๐‘› este coeficiente es negativo. En el primer caso, la vibraciรณn forzada

estรก en fase con la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el apoyo,

mientras que en el segundo, esta 180ยฐ fuera de fase.

Por รบltimo, se observa que la velocidad y la aceleraciรณn en la vibraciรณn de

estado estable se pueden obtener diferenciando dos veces con respecto a ๐‘ก el

รบltimo tรฉrmino de la ecuaciรณn (2.35). Expresiones similares a las de las

ecuaciones (2.15) de la secciรณn (2.1) dan sus valores mรกximos, excepto que estas

expresiones ahora incluyen la amplitud y la frecuencia circular de la vibraciรณn

forzada:

๐‘ฃ๐‘š = ๐‘ฅ๐‘š๐œ”๐‘“ ๐‘Ž๐‘š = ๐‘ฅ๐‘š๐œ”๐‘“2 (2.37)

Page 23: VIBRACIONES MECANICAS

23

2.2 vibraciones amortiguadas

2.2.1.- vibraciones libres amortiguadas Los sistemas vibratorios considerados en la primera parte de este capรญtulo se

supusieron libres de amortiguamiento. En realidad, todas las vibraciones son

amortiguadas hasta cierto grado por fuerzas de fricciรณn. Estas fuerzas pueden ser

provocadas por fricciรณn seca, o fricciรณn de coulomb, entre cuerpos rรญgidos, por

fricciรณn fluida cuando cuรกndo un cuerpo rรญgido se mueve en un fluido, o por

fricciรณn interna entre las molรฉculas de un cuerpo aparentemente elรกstico.

Un tipo de amortiguamiento de especial interรฉs es el amortiguamiento viscoso

provocado por la fricciรณn fluida a velocidad baja y moderada. El amortiguamiento

viscoso caracterizado por el hecho de que la fuerza de fricciรณn es directamente

proporcional y opuesta a la velocidad del cuerpo en movimiento. Como ejemplo

considรฉrese un cuerpo de masa m suspendido de un resorte de constante k,

suponiendo que el cuerpo estรก conectado al embolo de un amortiguador (figura

19.10). La magnitud de la fuerza de fricciรณn ejercida sobre el embolo por el fluido

circundante es igual s c๐’™ , donde la constante c, expresa a en N*s/m o lb*s/ft

(conocida como coeficiente de amortiguamiento viscoso), depende de las

propiedades fรญsicas del fluido y de la construcciรณn del amortiguador. La ecuaciรณn

de movimiento es

+โ†“ โ…€๐‘ญ = ๐’Ž๐’‚: ๐‘พโˆ’ ๐’Œ ๐œน๐’”๐’• + ๐‘ฟ โˆ’ ๐’„๐‘ฟ = ๐’Ž๐‘ฟ

Como ๐‘Š = ๐’Œ๐œน๐’”๐’•, se puede escribir

๐’Ž๐’™ + ๐’„๐’™ + ๐’Œ๐’™ = ๐ŸŽ (2.38)

Como la sustituciรณn de ๐‘ฅ = ๐‘’โ„ท๐‘ก en la ecuaciรณn (2.38) y dividiรฉndola entre ๐‘’โ„ท๐‘ก , se

obtiene la ecuaciรณn caracterรญstica

๐’Žโ„ท๐Ÿ + ๐’„โ„ท + ๐’Œ = ๐ŸŽ (2.39)

Y se obtienen las raรญces

Page 24: VIBRACIONES MECANICAS

24

โ„ท = โˆ’๐’Œ

๐’Žยฑ (

๐’„

๐Ÿ๐’Ž)๐Ÿ โˆ’

๐’Œ

๐’Ž (2.40)

Si se define el coeficiente de amortiguamiento critico ๐’„๐’„ como el valor de c hace

que el radical de la ecuaciรณn (6.40) sea cero, se puede escribir

(๐’„๐’„

๐Ÿ๐’Ž)๐Ÿ โˆ’

๐’Œ

๐’Ž= ๐ŸŽ ๐’„๐’„ = ๐Ÿ๐’Ž

๐’Œ

๐’Ž= ๐Ÿ๐’Ž๐Ž๐ง (2.41)

Donde ๐Ž๐ง es la frecuencia circular natural del sistema sin amortiguamiento. Se

distinguen tres casos diferentes de amortiguamiento, segรบn sea el valor del

coeficiente c.

1.- Sobre amortiguamiento: cหƒ๐’„๐’„. Las raรญces โ„ท๐Ÿ ๐’šโ„ท๐Ÿ de la ecuaciรณn

caracterรญstica (19.3) son reales y distintas, y la soluciรณn general de la ecuaciรณn

diferencial (19.38) es

๐‘ฟ = ๐’„๐Ÿ๐’†โ„ท๐Ÿ๐’• + ๐’„๐Ÿ๐’†

โ„ท๐Ÿ๐’• (2.42)

Esta soluciรณn corresponde a un movimiento no vibratorio. Como โ„ท๐Ÿ ๐’šโ„ท๐Ÿ son

negativas, x tiende a cero conforme t se incrementa de manera indefinida. Sin

embargo, el sistema realmente recobra su posiciรณn de equilibrio despuรฉs de

un tiempo finito.

2.- amortiguamiento crรญtico: c=๐’„๐’„. la ecuaciรณn caracterรญstica tiene una doble

raรญz โ„ท = โˆ’๐’„๐’„

๐Ÿ๐ฆ= โˆ’๐Ž๐’„, y al soluciรณn general de la ecuaciรณn (6.38) es

๐‘ฟ = (๐’„๐Ÿ + ๐’„๐Ÿ๐’•)๐’†โˆ’๐Ž๐’๐ญ (2.43)

De nuevo, el movimiento obtenido es no vibratorio. Los sistemas crรญticamente

amortiguados son de especial interรฉs en las aplicaciones de ingenierรญa, puesto

que recobran su posiciรณn de equilibrio en el tiempo mรกs corto posible sin

oscilaciรณn

3.- sub amortiguamiento: c<๐’„๐’„.Las raรญces de la ecuaciรณn (2.39) son complejas y

conjugadas, y la soluciรณn general de la ecuaciรณn (2.38) es de la forma

Page 25: VIBRACIONES MECANICAS

25

๐‘ฟ = ๐’†โˆ’(๐’„

๐Ÿ๐’Ž)๐’•(๐’„๐Ÿ๐ฌ๐ž๐ง๐Ž๐’…๐ญ โˆ’ ๐’„๐Ÿ๐œ๐จ๐ฌ๐Ž๐’…๐ญ) (2.44)

Donde ๐Ž๐’… estรก definida por la relaciรณn

๐Ž๐’…๐Ÿ =

๐’Œ

๐’Žโˆ’ (

๐’„

๐Ÿ๐’Ž)๐Ÿ

Si se sustituye ๐’Œ

๐’Ž= ๐Ž๐’…

๐Ÿ y se recuerda la ecuaciรณn (2.41), se escribe

๐Ž๐’… = ๐Ž๐’ ๐Ÿ โˆ’ (๐œ

๐’„๐’„)๐Ÿ (2.45)

Donde la constante c/๐’„๐’„ se conoce como factor de amortiguamiento.

Aun cuando el movimiento en realidad se repite, la constante ๐Ž๐’… se designa

comรบnmente como frecuencia circular de la vibraciรณn amortiguada. Una

sustituciรณn similar a la utilizada en la secciรณn 2.2 permite escribir la soluciรณn

general de la secciรณn (19.38) en la forma

๐‘ฟ = ๐‘ฟ๐ŸŽ๐žโˆ’

๐œ

๐Ÿ๐ฆ ๐ญ๐ฌ๐ž๐ง(๐Ž๐’…๐ญ + โˆ…) (2.46)

El movimiento definido por la ecuaciรณn (19.46) es vibratorio con amplitud

decreciente (figura 19.11), y el intervalo de tiempo ๐’•๐’… =๐Ÿ๐›‘

๐Ž๐’… que separa dos

puntos suspensivos donde la curva definida por la ecuaciรณn (19.46) toca una

de las curvas limitantes mostradas en la figura 19.11.

De acuerdo con la ecuaciรณn con la ecuaciรณn (2.45), se observa que ๐Ž๐’… < ๐Ž๐’

y, por tanto, que ๐’•๐’… es mayor que el periodo de vibraciรณn ๐’•๐’ del sistema no

amortiguado correspondiente.

Page 26: VIBRACIONES MECANICAS

26

Figura (19.11)

2.2.2.- vibraciones forzadas amortiguadas

Si el sistema considerado en la secciรณn anterior se somete a una fuerza periรณdica

P de magnitud ๐‘ท = ๐’‘๐’Ž๐’”๐’†๐’ ๐Ž๐’‡๐ญ, la ecuaciรณn de movimiento se transforma en

๐’Ž๐’™ + ๐’„๐’™ + ๐’Œ๐’™ = ๐’‘๐’Ž๐ฌ๐ž๐ง๐Ž๐’‡๐ญ (2.47)

La soluciรณn general de la ecuaciรณn (19.479) se obtiene al agregar una soluciรณn

particular de รฉsta a la funciรณn complementaria o soluciรณn general de la ecuaciรณn

homogรฉnea (19.38). La funciรณn complementaria estรก dada por las ecuaciones

Page 27: VIBRACIONES MECANICAS

27

(19.42), (19.43) o (19.44), segรบn sea el tipo de amortiguamiento considerado.

Representa un movimiento transitorio que finalmente es amortiguado.

El interรฉs en estรก secciรณn se centra en la vibraciรณn de estado estable

representada por una soluciรณn particular de la ecuaciรณn (6.47) de la forma.

๐’™๐’‘๐’‚๐’“๐’• = ๐’™๐’Ž๐ฌ๐ž๐ง(๐Ž๐’‡๐ญ โˆ’ ๐›—) (2.48)

Al sustituir ๐’™๐’‘๐’‚๐’“๐’• por x en la ecuaciรณn (6.47), se obtiene

โˆ’๐’Ž๐Ž๐’‡๐Ÿ๐’™๐’Ž๐ฌ๐ž๐ง ๐Ž๐’‡๐ญ โˆ’ ๐›— + ๐œ๐Ž๐’‡๐’™๐’Ž๐œ๐จ๐ฌ ๐Ž๐’‡๐ญ โˆ’ ๐›— + ๐ค๐’™๐’Ž๐ฌ๐ž๐ง(๐Ž๐’‡๐ญ โˆ’๐›—)

= ๐ฉ๐’Ž๐ฌ๐ž๐ง๐Ž๐’‡๐ญ

Si se hace ๐Ž๐’‡๐ญ โˆ’ ๐›— sucesivamente igual a 0 y a ๐œ‹/2 , se escribe

๐’„๐Ž๐’‡๐’™๐’Ž = ๐ฉ๐’Ž๐ฌ๐ž๐ง๐›— (2.49)

๐’Œ โˆ’๐’Ž๐Ž๐’‡๐Ÿ ๐’™๐’Ž = ๐ฉ๐’Ž๐œ๐จ๐ฌ๐›— (2.50)

Si ambos miembros de las ecuaciones (19.49) y (19.50) se elevan al cuadrado y

se suman, se obtiene

(๐’Œ โˆ’๐’Ž๐Ž๐’‡๐Ÿ)๐Ÿ + (๐’„๐Ž๐’‡)๐Ÿ ๐’™๐’Ž

๐Ÿ = ๐๐Ÿ๐’Ž (2.51)

Al resolver la ecuaciรณn (19.51) para ๐’™๐’Ž y dividiendo las ecuaciones (2.49) y (2.50)

miembro a miembro, se obtiene, respectivamente

๐’™๐’Ž =๐‘ท๐’Ž

(๐‘˜ โˆ’๐’Ž๐Ž๐’‡๐Ÿ)๐Ÿ + (๐’„๐Ž๐’‡

๐Ÿ)๐Ÿ

๐‘ก๐‘Ž๐‘›๐œ‘ =๐’„๐Ž๐’‡

๐‘˜ โˆ’ ๐’„๐Ž๐’‡๐Ÿ

(2.52)

De acuerdo con la ecuaciรณn (2.4), como ๐‘˜

๐‘š= ๐Ž๐’

๐Ÿ donde ๐Ž๐’ es la frecuencia

circular de la vibraciรณn libre no amortiguada, y de acuerdo con la (2.41),2๐‘š๐Ž๐’ = ๐’„๐’„

, donde ๐’„๐’„ es el coeficiente de amortiguamiento crรญtico del sistema, se escribe

Page 28: VIBRACIONES MECANICAS

28

๐‘ฟ๐’Ž

๐‘ท๐’Ž/๐’Œ=

๐‘ฟ๐’Ž

๐œน๐’Ž=

1

1โˆ’(๐Ž๐’‡/๐Ž๐’)๐Ÿ 2

+ (2๐‘

๐’„๐’„)(๐Ž๐’‡/๐Ž๐’)

2 (2.53)

๐‘ก๐‘Ž๐‘›๐œ‘ =

2๐‘

๐’„๐’„)(๐Ž๐’‡/๐Ž๐’

1โˆ’(๐Ž๐’‡/๐Ž๐’)๐Ÿ (2.45)

La formula (19.53) expresa el factor de amplificaciรณn en funciรณn de la razรณn de

frecuencia ๐œ”๐‘“/๐œ”๐‘› y del factor de amortiguaciรณn๐ถ/๐ถ๐‘ . Se puede usar para

determinar la amplitud de la vibraciรณn de estado estable producida por una fuerza

aplicada de magnitud ๐‘ƒ = ๐‘ƒ๐‘š๐‘ ๐‘’๐‘›๐œ”๐‘“๐‘ก o por el movimiento del apoyo aplicado๐›ฟ =

๐›ฟ๐‘š๐‘ ๐‘’๐‘›๐œ”๐‘“๐‘ก. La fรณrmula (19.54) define, en funciรณn de los mismos parรกmetros, la

diferencia de fase ฯ† entre la fuerza aplicada o el movimiento del apoyo aplicado y

la vibraciรณn de estado estable resultante del sistema amortiguado. En la figura

19.12, el factor de amplificaciรณn se grafico contra la razรณn de frecuencias para

varios valores del factor de amortiguamiento. Se observa que la amplitud de una

vibraciรณn forzada se puede mantener pequeรฑa seleccionando un coeficiente

grande de amortiguamiento viscoso c , o manteniendo alejadas las frecuencias

natural y forzada.

Page 29: VIBRACIONES MECANICAS

29

CAPITULO 3.-EJERCICIOS RESUELTOS

PROBLEMA RESUELTO 3.1

Un bloque de 50 Kg se desplaza entre guรญas verticales, como se muestra. Se tira

del bloque 40 mm hacia debajo de su posiciรณn de equilibrio y se suelta. Para cada

una de las disposiciones de los resortes, determรญnese el periodo de vibraciรณn, la

velocidad y aceleraciรณn mรกximas del bloque.

SOLUCION

a. Resortes dispuestos en paralelo. En primer lugar, se determina la

constante ๐‘˜ de un solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el cรกlculo

de la magnitud de la fuerza P requerida para producir una deflexiรณn dada ๐›ฟ. Como

con una deflexiรณn ๐›ฟ laas magnitudes de las fuerzas ejercidas por los resortes son,

respectivamente, ๐‘˜1๐›ฟ y ๐‘˜2๐›ฟ, se tiene

๐‘ƒ = ๐‘˜1๐›ฟ + ๐‘˜2๐›ฟ = (๐‘˜1 + ๐‘˜2)๐›ฟ

La constante ๐‘˜ del resorte equivalente es

๐‘˜ =๐‘ƒ

๐›ฟ= ๐‘˜1 + ๐‘˜2 = 4

๐‘˜๐‘

๐‘š+ 6

๐‘˜๐‘

๐‘š= 10

๐‘˜๐‘

๐‘š= 104

๐‘

๐‘š

Periodo de vibraciรณn: Como ๐‘š = 50 ๐พ๐‘”, la ecuaciรณn (6.4) da

Page 30: VIBRACIONES MECANICAS

30

๐œ”๐‘›2 =

๐‘˜

๐‘š=

104๐‘

๐‘š

50 ๐พ๐‘” ๐œ”๐‘› = 14.14 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘/๐‘ 

๐œ๐‘› = 2๐œ‹/๐œ”๐‘› ๐œ๐‘› = 0.444 ๐‘ 

Velocidad mรกxima: ๐‘ฃ๐‘š = ๐‘ฅ๐‘š๐œ”๐‘› = 0.040 ๐‘š (14.14๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘ )

๐‘ฃ๐‘š = 0.566 ๐‘š/๐‘  ๐’—๐‘š = 0.566๐‘š

๐‘ โ†•

Aceleraciรณn mรกxima: ๐‘Ž๐‘š = ๐‘ฅ๐‘š๐œ”๐‘›2 = (0.040 ๐‘š)(14.14

๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘ )2

๐‘Ž๐‘š = 8.00 ๐‘š/๐‘ 2 ๐‘Ž๐‘š = 8.00 ๐‘š/๐‘ 2 โ†•

b. Resortes unidos en serie. En primer lugar, se determina la constante ๐‘˜ de

un solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el cรกlculo del alargamiento

total ๐›ฟ de los resortes sometidos a una carga estรกtica dada ๐‘ท. Para facilitar el

cรกlculo, se utiliza una carga estรกtica de magnitud ๐‘ƒ = 12 ๐‘˜๐‘.

๐›ฟ = ๐›ฟ1 + ๐›ฟ2 =๐‘ƒ

๐‘˜1+

๐‘ƒ

๐‘˜2=

12 ๐‘˜๐‘

4 ๐‘˜๐‘/๐‘š+

12 ๐‘˜๐‘

6 ๐‘˜๐‘/๐‘š= 5 ๐‘š

๐‘˜ =๐‘ƒ

๐›ฟ=

12 ๐‘˜๐‘

5 ๐‘š= 2.4

๐‘˜๐‘

๐‘š= 2400

๐‘

๐‘š

Periodo de vibraciรณn: ๐œ”๐‘›2 =

๐‘˜

๐‘š=

2400 ๐‘/๐‘š

50 ๐‘˜๐‘” ๐œ”๐‘› = 6.93 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘/๐‘ 

๐œ๐‘› = 2๐œ‹/๐œ”๐‘› ๐‰๐‘› = 0.907 ๐‘ 

Velocidad mรกxima: ๐‘ฃ๐‘š = ๐‘ฅ๐‘š๐œ”๐‘› = 0.040 ๐‘š (6.93๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘ )

๐‘ฃ๐‘š = 0.277 ๐‘š/๐‘  ๐’—๐‘› = 0.277 ๐‘š/๐‘  โ†•

Aceleraciรณn mรกxima: ๐‘Ž๐‘š = ๐‘ฅ๐‘š๐œ”๐‘›2 = 0.040 ๐‘š (6.93

๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘ )2

๐‘Ž๐‘š = 1.920 ๐‘š/๐‘ 2 ๐’‚๐‘š = 1.920 ๐‘š/๐‘ 2 โ†•

Page 31: VIBRACIONES MECANICAS

31

PROBLEMA RESUELTO 3.2

Un cilindro de peso ๐‘Š y radio ๐‘Ÿ esta suspendido por una cuerda que le da la

vuelta, como se muestra. Un extremo de la cuerda estรก atado directamente a un

soporte rรญgido, mientras que el otro estรก atado a un resorte de constante ๐‘˜.

Determรญnese el periodo y la frecuencia natural de las vibraciones del cilindro.

SOLUCION

Cinemรกtica del movimiento. El desplazamiento lineal y la aceleraciรณn del

cilindro se expresan en funciรณn del desplazamiento angular ๐œƒ. Si el sentido

positivo se selecciona como en el sentido de las manecillas del reloj y se miden los

desplazamientos a partir de la posiciรณn de equilibrio, se escribe

๐‘ฅ = ๐‘Ÿ๐œƒ ๐›ฟ = 2๐‘ฅ = 2๐‘Ÿ๐œƒ

๐œถ = ๐œƒ โ†™ ๐‘Ž = ๐‘Ÿ๐›ผ = ๐‘Ÿ๐œƒ ๐‘Ž = ๐‘Ÿ๐œƒ (1)

Page 32: VIBRACIONES MECANICAS

32

Ecuaciones de movimiento. El sistema de fuerzas externas que actรบa

sobre el cilindro se compone del peso ๐‘พ y de las fuerzas ๐‘ป๐Ÿ y ๐‘ป๐Ÿ ejercidas por la

cuerda. Se dice que este sistema es equivalente al sistema de fuerzas efectivas (o

inerciales) representando por el vector ๐‘š๐’‚ aplicado en ๐บ y al par ๐ผ๐œถ.

+โ†™ ๐‘€๐ด = (๐‘€๐ด)๐‘’๐‘“๐‘“ ๐‘Š๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘‡2 2๐‘Ÿ = ๐‘š๐‘Ž๐‘Ÿ + ๐ผ๐›ผ (2)

Cuando el cilindro estรก en su posiciรณn de equilibrio, la tensiรณn en la cuerda es

๐‘‡0 =1

2๐‘Š. Se observa que, para un desplazamiento angular ๐œƒ, la magnitud de ๐‘ป๐Ÿ

es

๐‘‡2 = ๐‘‡0 + ๐‘˜๐›ฟ =1

2๐‘Š + ๐‘˜๐›ฟ =

1

2๐‘Š + ๐‘˜(2๐‘Ÿ๐œƒ) (3)

Despuรฉs de sustituir de (1) y (3) en (2), y puesto que ๐ผ =1

2๐‘š๐‘Ÿ2, se puede escribir

๐‘Š๐‘Ÿ โˆ’ 1

2๐‘Š + 2๐‘˜๐‘Ÿ๐œƒ 2๐‘Ÿ = ๐‘š ๐‘Ÿ๐œƒ ๐‘Ÿ +

1

2๐‘š๐‘Ÿ2๐œƒ

๐œƒ +8

3

๐‘˜

๐‘š๐œƒ = 0

Se ve que el movimiento es armรณnico simple y, por consiguiente,

๐œ”๐‘›2 =

8

3

๐‘˜

๐‘š ๐œ”๐‘› =

8

3

๐‘˜

๐‘š

๐œ๐‘› =2๐œ‹

๐œ”๐‘› ๐œ๐‘› = 2๐œ‹

3

8

๐‘š

๐‘˜

๐‘“๐‘› =๐œ”๐‘›

2๐œ‹ ๐‘“๐‘› =

1

2๐œ‹

8

3

๐‘˜

๐‘š

Page 33: VIBRACIONES MECANICAS

33

PROBLEMA RESUELTO 3.3

Determรญnese el periodo de las pequeรฑas oscilaciones de un cilindro de radio ๐‘Ÿ el

cual rueda sin resbalarse dentro de una superficie curva de radio ๐‘….

SOLUCION

Si ๐œƒ denota el angulo que la lรญnea ๐‘‚๐บ forma con la vertical, y puesto que el cilindro

rueda sin resbalarse, se puede aplicar el principio de conservaciรณn de la energia

entre la posiciรณn 1, donde ๐œƒ = ๐œƒ๐‘š , y la posiciรณn 2, donde ๐œƒ = 0.

Posiciรณn 1

Energia cinรฉtica. Como la velocidad del cilindro es cero, ๐‘‡1 = 0

Energia potencial. Si se selecciona un plano de referencia como se

muestra y ๐‘Š denota el peso del cilindro, se tiene

๐‘‰1 = ๐‘Š๐‘• = ๐‘Š ๐‘… โˆ’ ๐‘Ÿ (1 โˆ’ cos๐œƒ)

Por tratarse de pequeรฑas oscilaciones 1 โˆ’ cos ๐œƒ = 2๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐œƒ

2 โ‰ˆ ๐œƒ2/2; por

consiguiente,

๐‘‰1 = ๐‘Š ๐‘… โˆ’ ๐‘Ÿ ๐œƒ๐‘š2 /2

Page 34: VIBRACIONES MECANICAS

34

Posiciรณn 2. Si ๐œƒ ๐‘š denota la velocidad angular de la lรญnea ๐‘‚๐บ cuando el

cilindro pasa por la posiciรณn 2, y se observa que le punto C es el centro de

rotaciรณn instantรกneo del cilindro, se escribe

๐‘ฃ๐‘š = (๐‘… โˆ’ ๐‘Ÿ)๐œƒ ๐‘š ๐œ”๐‘š =๐‘ฃ๐‘š

๐‘Ÿ=

๐‘…โˆ’๐‘Ÿ

๐‘Ÿ๐œƒ ๐‘š

Energia cinรฉtica

๐‘‡2 =1

2๐‘š๐‘ฃ๐‘š

2+

1

2๐ผ๐œ”๐‘š

2

๐‘‡2 =1

2๐‘š(๐‘… โˆ’ ๐‘Ÿ)2๐œƒ ๐‘š

2 +1

2

1

2๐‘š๐‘Ÿ2

๐‘… โˆ’ ๐‘Ÿ

๐‘Ÿ

2

๐œƒ ๐‘š2

๐‘‡2 =3

4๐‘š(๐‘… โˆ’ ๐‘Ÿ)2๐œƒ ๐‘š

2

Energia potencial

๐‘‰2 = 0

Conservaciรณn de la energia

๐‘‡1 + ๐‘‰1 = ๐‘‡2 + ๐‘‰2

0 + ๐‘Š ๐‘… โˆ’ ๐‘Ÿ ๐œƒ๐‘š

2

2=

3

4๐‘š ๐‘… โˆ’ ๐‘Ÿ 2๐œƒ ๐‘š

2 + 0

Como ๐œƒ๐‘š = ๐œƒ๐‘š๐œ”๐‘› y ๐‘Š = ๐‘š๐‘”, se escribe

๐‘š๐‘” ๐‘… โˆ’ ๐‘Ÿ ๐œƒ๐‘š

2

2=

3

4๐‘š ๐‘… โˆ’ ๐‘Ÿ 2(๐œƒ๐‘š๐œ”๐‘› )2 ๐œ”๐‘›

2 =2

3

๐‘”

๐‘…โˆ’๐‘Ÿ

๐œ๐‘› =2๐œ‹

๐œ”๐‘› ๐œ๐‘› = 2๐œ‹

3

2 ๐‘…โˆ’๐‘Ÿ

๐‘”

Page 35: VIBRACIONES MECANICAS

35

PROBLEMA RESUELTO 3.4

Un motor de 350 lb esta sostenido por cuatro resortes con constante de 750 lb/in.

Cada uno. El desbalanceo del rotor equivale a un peso de 1 oz localizado a 6 in.

Del eje de rotaciรณn. Si el motor estรก restringido a moverse verticalmente,

determรญnese a) la velocidad en rpm a la que ocurrirรก la resonancia, b) la amplitud

de la vibraciรณn del motor a 1200 rpm.

SOLUCION

a. Velocidad de resonancia. La velocidad de resonancia es igual a la

frecuencia circular natural ๐œ”๐‘› (en rpm) de la vibraciรณn libre del motor. La masa de

este y la constante equivalente de los resortes de sustentaciรณn son

๐‘š =350 ๐‘™๐‘

32.2 ๐‘๐‘–๐‘’/๐‘ 2= 10.87 ๐‘™๐‘ โˆ— ๐‘ 2/ยด๐‘๐‘–๐‘’

๐‘˜ = 4 750๐‘™๐‘

๐‘–๐‘› = 3000

๐‘™๐‘

๐‘๐‘–๐‘’= 36000

๐‘™๐‘

๐‘๐‘–๐‘’

๐œ”๐‘› = ๐‘˜

๐‘š=

36000

10.87= 57.5

๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘–๐‘›= 549 ๐‘Ÿ๐‘๐‘š

Page 36: VIBRACIONES MECANICAS

36

๐‘ฃ๐‘’๐‘™๐‘œ๐‘๐‘–๐‘‘๐‘Ž๐‘‘ ๐‘‘๐‘’ ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ ๐‘œ๐‘›๐‘Ž๐‘›๐‘๐‘–๐‘Ž = 549 ๐‘Ÿ๐‘๐‘š

b. Amplitud de la vibraciรณn a 1200 rpm. La velocidad angular del motor y la

masa equivalente al peso de 1 oz son

๐œ” = 1200 ๐‘Ÿ๐‘๐‘š = 125.7 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘/๐‘ 

๐‘š = 1 ๐‘œ๐‘ง 1 ๐‘™๐‘

16 ๐‘œ๐‘ง

1

32.2 ๐‘๐‘–๐‘’/๐‘ 2= 00.001941 ๐‘™๐‘ โˆ— ๐‘ 2/๐‘๐‘–๐‘’

La magnitud de la fuerza centrifuga provocada por el desbalanceo del rotor es

๐‘ƒ๐‘š = ๐‘š๐‘Ž๐‘› = ๐‘š๐‘Ÿ๐œ”2 = 0.001941 ๐‘™๐‘ โˆ— ๐‘ 

๐‘๐‘–๐‘’

6

12๐‘๐‘–๐‘’ 125.7

๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘ 

2

= 15.33 ๐‘™๐‘

La deflexiรณn estรกtica que una carga constante ๐‘ƒ๐‘š provocarรญa es

๐‘ƒ๐‘š๐‘˜

=15.33 ๐‘™๐‘

3000 ๐‘™๐‘/๐‘–๐‘›= 0.00511 ๐‘–๐‘›

La frecuencia circular forzada ๐œ”๐‘“ del movimiento es la velocidad angular del motor,

๐œ”๐‘“ = ๐œ” = 125.7 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘/๐‘ 

Si sustituyen los valores de๐‘ƒ๐‘š/๐‘˜, ๐œ”๐‘“ y ๐œ”๐‘› en la ecuaciรณn (2.33), se obtiene

๐‘ฅ๐‘š =๐‘ƒ๐‘š/๐‘˜

1 โˆ’ (๐œ”๐‘“/๐œ”๐‘›)2=

0.00511 ๐‘–๐‘›

1 โˆ’ (125.7/57.5)2= โˆ’0.001352 ๐‘–๐‘›

๐‘ฅ๐‘š = 0.001352 ๐‘–๐‘› (๐‘“๐‘ข๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘‘๐‘’ ๐‘“๐‘Ž๐‘ ๐‘’)

Nota. Como ๐œ”๐‘“ > ๐œ”๐‘› , la vibraciรณn esta 180ยฐ fuera de fase con la fuerza centrifuga

debida al desbalanceo del rotor. Por ejemplo, cuando la masa desbalanceada esta

directamente debajo del eje de rotaciรณn, la posiciรณn del motor es ๐‘ฅ๐‘š = 0.001352 ๐‘–๐‘›

sobre la posiciรณn de equilibrio.

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37

CAPITULO 4.- CONCLUSIONES

2.3 resultados obtenidos

Los resultados obtenidos sobre estos temas son el haber conocido sobre los

conceptos acerca de las vibraciones, se aprendiรณ acerca de las formulas que

se utilizan para resolver los problemas planteados y saber donde poder

utilizarlo en la vida cotidiana.

2.4 Conclusiones

Para poder concluir con el tema de vibraciones con amortiguamiento y

vibraciones sin amortiguamiento, se debe saber que estos temas se

encuentran al nuestro alrededor como las estructuras las maquinas entre otras,

y como ya se sabe sobre los temas de vibraciones se puede saber si las

estructuras estรกn bien diseรฑadas o las pueden corregir de algรบn modo que no

le cueste tanto, por ello es importante aprender bien los conceptos.

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BIBLIOGRAFIA

[1]Bedford-Fowler/Addison-Wesley. Mecanica para Ingeniero. Mc-graw-Hill.

[2]Beer-Johston. Mecanica Vectorial para Ingenieros. Mc-Graw-Hill.

[3]Schmindt/Thomson, P. B.-r. Mecanica para Ingenieros. Mc-graw-Hill.