vibraciones libres no amortiguadas.docx

7/24/2019 VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS.docx

1/16

1.1 VIBRACIONES

1. VIBRACIN LIBRENO

AMORTIGUADA


2/16

Se denomina vibracin a la propagacin de ondas elsticas

produciendo deformaciones y tensiones sobre un medio

continuo (o posicin de equilibrio). En su forma ms sencilla,

una vibracin se puede considerar como un movimiento

repetitivo alrededor de una posicin de equilibrio. La posicin deequilibrio es a la que llegar cuando la fuer!a que act"a sobre

#l sea cero. $lgunas vibraciones son deseables, como por

e%emplo el movimiento pendular que controla el movimiento de

un relo%, o la vibracin de una cuerda de un instrumento

musical. En cambio en muc&as aplicaciones mecnicas no se

desea la presencia de las vibraciones. $s' por e%emplo la

vibracin ecesiva de mquinas y estructuras puede ocasionar

que se ao%en las uniones y las coneiones llegando en algunos

casos a producir el colapso de la estructura, tambi#n tenemos alas vibraciones generadas por un sismo, generando distintos

tipos de ondas que ocasionan colapso a trav#s del terreno que

atraviesa, unas ms que otras (ver imagen 1.a).

1.2 VIBRACIN LIBRE NO AMORTIGUADA

*magen (1.a). Vibracin libre no aor!i"#a$a%este tipo de vibraciones

son ideales y no presentan fuer!as de friccin alguna y deeste modo permite que la vibracin perdure a trav#s deltiempo sin la intervencin de fuer!as algunas claro est.(E%emplo+ p#ndulo)

Vibracin libre aor!i"#a$a% este tipo de vibraciones lasencontramos ms a menudo, ya que tiene variables ms


3/16

*niciaremos el estudio de la inmica Estructural con el

anlisis de los Sistemas de un -rado de Libertad, en el cual

despreciaremos las fuer!as de friccin o de amortiguamiento.

$dems, consideraremos que el Sistema, durante el movimiento

o vibracin, no est# ba%o la accin de fuer!as ecitadoras.ebido a esto, el movimiento del Sistema es gobernado solo por

la inuencia de las condiciones iniciales, esto es, dando

despla!amiento y velocidad para un tiempo t/ cuando se

inicia el estudio del fenmeno.$ un Sistema que cumple con estas condiciones, se le

denomina S*S0E$ E 23 S4L4 -5$4 E L*6E50$ E3

7*65$8*43ES L*65ES 34 $450*-2$$S.La ecuacin fundamental de la inmica Estructural para

los Sistemas de un grado de libertad sin amortiguamiento, sededucen a continuacin y est dada por la ecuacin (1.b)

m X''+kX=F( t)(1.b)

9ero en el caso d los sistemas su%eto a vibraciones libres, la

fuer!a ecitadora F( t)=0 : sustituyendo este valor en la

*magen (;.a). iagrama fundamental para deducirla ecuacin fundamental de la inmica

*magen (


4/16

ecuacin (1.b), obtenemos la ecuacin que gobierna el

movimiento del sistema.

m X''+kX=0(2.b)

1.2.1&roblea $e 'alore( iniciale( )ara el o'iien!oen 'ibracione( libre( $e Si(!ea( $e #n (olo "ra$o$e liber!a$.

El ob%etivo de esta seccin es encontrar la solucin

de la ecuacin diferencial (;.b), para las condiciones

iniciales de despla!amiento y velocidad, com"nmente

denominado >9546E$ E 7$L45ES *3*8*$LE?, el cual

queda de@nido por el siguiente modelo matemtico+

m X''+kX=0

X(t=0)=X0 (


5/16

X1=Acos (pt)

X '1=Ap sen (pt) (6.b )

X ' '1=A p2cos (pt)

X2=B sen (pt)

X '2=Bp cos (pt) (7.b )

X ' '2=B p2

sen (pt)

D sustituyendo los valores de las ecs. (.b) en la ec. (;.b)

(pt)

A p2

cosm

(m p2+k)Acos (pt)=0

e la misma manera puede veri@carse que las ecs. (F.b)

satisfacen la ec. (;.b) para p2

de@nido por la ecuacin

(G.b). La ra'! positiva de la ecuacin (G.b) es conocida

como la frecuencia natural circular del Sistema. $s',tenemos+

p= km (9.b)8omo ya se demostr, las funciones de@nidas en las

ecuaciones (B.b) y (C.b) son soluciones de las ec. (;.b), y

como esta es lineal, la suma de las dic&as funciones

tambi#n es solucin, es decir

X=Acos (pt)+Bsen (pt)(10.b)

ebido a que la ecuacin (1/.b) consta de dos

constantes de integracin A y B , es en realidad la

solucin general de la ecuacin diferencial de ;A orden

(;.b).Las ecuaciones de la velocidad y la aceleracin se

obtienen derivando dos veces la ec. (1/.b) respecto a t .


6/16

X'=Ap sen (pt)+Bpcos (pt)(11.b)

X' '=A p2cos (pt)B p2 sen (pt)(12.b)

Los valores de las constantes

A

y

B

se determinan apartir de las condiciones iniciales de despla!amiento y

velocidad+X(t=0)=Xo ; X '(t=0)=X 'o

Sustituyendo estos valores en las ecs. (1/.b) y (11.b), se

obtiene+

A=Xo

B=X 'o

p

Hinalmente, al sustituir los valores de A y B en las

ecs. (1/.b), (11.b) y (1;.b) obtenemos las ecuaciones dedespla!amiento, velocidad y aceleracin para vibracioneslibres de los Sistemas de un grado de libertad noamortiguados.

X(t)=Xo cos (pt)+X 'o

p sen (pt)(13.b)

X '(t)=p Xosen (pt)+X 'ocos (pt)(14.b)

X ' '(t)=p2Xo cos (pt)p X 'o sen (pt)(15.b)

1.2.2Re)re(en!acin "r*+ca $e la( 'ibracione( libre(.$l representar gr@camente, para distintas

condiciones iniciales de despla!amiento y velocidad, la

variacin en el tiempo del despla!amiento, velocidad y

aceleracin se tomarn como base las ecs. (10 , X 'o=0 .

Sustituyendo las condiciones iniciales en las ecs.

del movimiento (1


7/16

ii, Xo=0 , X 'o>0 .

Sustituyendo las condiciones iniciales en las ecs.

del movimiento (1


8/16

iii, Ca(o "eneral- Xo 0 , X 'o 0 .

9ara obtener la representacin gr@ca del

movimiento para el caso general, es decir, condiciones

iniciales distintas de cero, es necesario &acer el siguiente

planteamiento.$nali!ando la ecuacin de despla!amiento (1


9/16

(.a.b). El despla!amiento total de X para cualquier

pt se obtiene sumando las coordenadas de las dos

curvas para esept

como se muestra en la imagen

(.a.c).8omo puede observarse, la mima ordenada de la

curva de la imagen (.a.c) esta despla!ada con respecto a

la mima ordenada de la curva de la imagen (.a.a) por

la cantidad . En este caso puede decirse que el

despla!amiento total, representado por la curva de la

imagen (.a.c), se retrasa respecto a la componente del

despla!amiento dad por la curva de la imagen (.a.a).El mismo ro!amiento puede &acerse con las

ecuaciones de velocidad y aceleracin, (1B.b) y (1C.b),

obteni#ndose de las gr@cas de la imagen (.a.d) y

(.a.e).


10/16

1.2.Gr*+ca al!erna!i'a a$ien(ional.9ara su determinacin basta con despe%ar la funcin

seno o coseno de la ecuacin de movimiento. 9ara el

caso ii de la seccin 1.;.< por e%emplo, la gr@ca

adimensional del despla!amiento, dada por la siguiente

ecuacin, se muestra en la siguiente imagen (F.a).

X(t)=

X 'o

p sen (pt)

*magen (.a). 5epresentacin gr@ca del movimiento para las condiciones


11/16

1.2./0rec#encia &erio$o.2n eamen de la ec. (1


12/16

circular p es 2 veces la frecuencia natural f . La

frecuencia natural circular p se epresa en

radianesIseg.

1.2.A)li!#$ $e $e()la3aien!o- 'eloci$a$-

aceleracin *n"#lo $e 4a(e.La ec. (1


13/16

sin=X 'o

p A(20.b)

cos=Xo

A(21.b)

tan= X 'o

p Xo(22.b)

Sustituyendo (;/.b) y (;1.b) en la ec. (1G.b)

X(t)=A[(cospt) (cos)+ ( sen pt) (sen)](23.b)

y aplicando la identidad trigonom#trica+cos(AB)=(cosA ) (cos B )+( sen A ) (sen B )

$ la ec. (;


14/16

Si la gr@ca de la imagen (K.a) la despla!amos &acia la

derec&a una cantidad se obtiene el despla!amiento

en funcin de

pt

, el cual se muestra gr@camente enla imagen (1/.a).

9or "ltimo, para epresar el despla!amiento en

funcin del tiempo t debe dividirse cada valor

representado en el e%e de las abscisas de la imagen

(1/.a) por p , obteni#ndose as', la gr@ca de la @gura

(11.a). e la misma forma que se obtuvo la gr@ca del

despla!amiento en funcin del tiempo, dadas por las

imgenes (1/.a.b) y (1/.a.c) respectivamente.

*magen (1/.a). 5epresentacin gr@ca del despla!amiento de un oscilador

simple en funcin pt


15/16

1. &ROBLEMA 5&RACTICA,

En el Sistema de vibracin libre, gra@car (t), ngulo de fase

MI


16/16

Solucin

Ecuacin diferencial que la gobierna+

Seg"n lo eplicado en el marco terico la respuesta a esta

interrogante seria la ecuacin (;.b)+

m X''+kX=0

La solucin general+

La solucin general est dada por la ecuacin (;B.b)+

X(t)=Acos (pt+) onde p es la velocidad circular

5eempla!amos los valores iniciales para encontrar la gr@ca

adimensional dndole distintos valores para 0t 44 +

-r@ca adimensional en funcin del tiempo

vibraciones libres no amortiguadas.docx

Documents