versores

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Page 1: versores

3.3. Movimiento curvilíneo 31

3.3.3. Componentes tangencial y normal de la velocidad yla aceleración

En tanto que el vector velocidad v es tangente a la trayectoria, el vector acelera-

ción a puede descomponerse en dos componentes (llamadas componentes intrínse-

cas) mutuamente perpendiculares: una componente tangencial at (en la dirección

de la tangente a la trayectoria), llamada aceleración tangencial, y una componen-

te normal an (en la dirección de la normal principal a la trayectoria), llamada

aceleración normal o centrípeta (este último nombre en razón a que siempre está

dirigida hacia el centro de curvatura).

Derivando la velocidad con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que el versor

tangente cambia de dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria (esto

es, no es constante) obtenemos

a =dv

dt=

d

dt(v et) =

dv

dtet + v

det

dt= atet + v(ω × et)

siendo et el versor tangente a la trayectoria en el mismo sentido que la velocidad

y ω la velocidad angular.

Resulta conveniente escribir la expresión anterior en la forma

a =dv

dt= atet +

v2

ρen = atet + anen

siendo en el versor normal a la trayectoria, esto es dirigido hacia el centro de

curvatura de la misma.

Las magnitudes de estas dos componentes de la aceleración son:

at =dv

dtan =

v2

ρ

Cada una de estas dos componentes de la aceleración tiene un signi�cado físico

bien de�nido. Cuando una partícula se mueve, su celeridad puede cambiar y este

cambio lo mide la aceleración tangencial. Pero si la trayectoria es curva también

cambia la dirección de la velocidad y este cambio lo mide la aceleración normal.

Si en el movimiento curvilíneo la celeridad es constante (v = cte), la ace-

leración tangencial será nula, pero habrá una cierta aceleración normal, de

modo que en un movimiento curvilíneo siempre habrá aceleración.

Si el movimiento es circular, entonces el radio de curvatura es el radio R de

la circunferencia y la aceleración normal se escribe como an = v2/R.

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32 3. Cinemática de partículas

Si la trayectoria es rectilínea, entonces el radio de curvatura es in�nito (ρ →∞) de modo que an = 0 (no hay cambio en la dirección de la velocidad) y

la aceleración tangencial at será nula o no según que la celeridad sea o no

constante

.

Los versores que aparecen en las expresiones anteriores son los versores del

triedro de Frenet que aparece en la geometría diferencial de curvas del siguiente

modo:

et es el versor tangente a la curva. en es el versor normal a la curva. ω es el

vector velocidad angular que es paralelo al versor binormal a la curva.