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512.8F543ns2 Grupo Fénix

Matemática 10; Un Enfoque con base en laResolución de Problemas-4. Ed.- San José, C.R.: Grupo Fénix., 2013. 150p.

ISBN: 9768-14-754-01. Matemáticas – Estudio y Enseñanza.2. Matemáticas – Problemas, ejercicios, etc.

Copyright 2013

Grupo Fénix

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,

por cualquier medio, sin autorización escrita del Grupo Fénix.

Pedidos al 2494-8133; 8301-8947 ó 8855-1678

Correo electrónico: [email protected]

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INTRODUCCIÓNPrimero, es conveniente hacer una breve aclaración sobre nuestro nombre y símbolo (Ave Fénix Tribal),

se tiene como referente histórico-ideológico el mito del Ave Fénix que alimentó varias doctrinas y concepcionesreligiosas de supervivencia en el Plus Ultra, pues el Fénix muere para renacer con toda su gloria. Se trataba deun ave fabulosa que se consumía por acción del fuego cada 500 años, para luego resurgir de sus cenizas. Esdecir, el GRUPO FÉNIX representa un nuevo comienzo, un resurgimiento, levantarse de las cenizas, espor esta razón que es nuestro emblema.

Segundo, el presente texto pretende ser un material de apoyo en el proceso de enseñanza yaprendizaje de la matemática, exponiendo de forma pragmática y didáctica todos los Conocimientos,Habilidades Específicas e Indicaciones Puntuales expuesta y vigentes en el Programa de Estudio enMatemáticas (Transición 2013), con base en los Programas de Estudio en Matemática aprobados por elConsejo Superior de Educación el 21 de mayo de 2012, considerando como referente metodológico el enfoquecon base en la resolución de problemas, propuesto en los Nuevos Programas de Estudio.

Después de muchos años de trabajo, un grupo de profesionales en la Enseñanza de la Matemática nospropusimos elaborar una propuesta pragmática y didáctica basada en la resolución de problemas que propicieel desarrollo de competencias matemáticas en el estudiante, y hemos querido tomar siempre en cuenta a losdocentes en servicio, es así que, agradecemos en las siguientes páginas las sugerencias, los aportes, loscomentarios y hasta las inquietudes presentadas por los profesores de matemática de todo el país, quienes deuna u otra forma han permitido que tengamos un mejor libro de texto cada año.

Un problema que consideramos sustantivo, consiste en que algunos docentes guiados por otros textos,desconocen de forma fidedigna el Programa de Estudio con todos sus elementos que lo conforman, llámeseestos, Conocimientos, Habilidades Específicas e Indicaciones Puntuales, provocando que se trabaje en el aulacontenidos que no están en las directrices curriculares del MEP, o en su defecto, alcanzando niveles deprofundización de temas que no se consideran “importantes” para las habilidades generales previstas para eleducando en cada año de su respectivo ciclo. Es por este motivo, que hemos insertado textualmente dichoselementos (en algunos casos planteamos inclusive los mismos problemas que citan en las IndicacionesPuntuales, nunca con el afán de atribuirnos tales derechos de autor, por el contrario, respetamos y citamos quetales problemas pertenecen a los Programas de Estudio en Matemáticas del Ministerio de Educación de CostaRica), de modo que sean el verdadero referente para las actividades de mediación que el docente proponga.

Tercero, esta nueva edición 2013 contempla una situación problema al inicio de cada tema, permitiendoal docente y al estudiante incursionar en la nueva temática partiendo de un reto de la vida cotidiana, intentandoaprehender del estudiante los conocimientos previos y fomentar para la vida el principio filosófico queconsideramos eje transversal de la educación en general –los problemas son para resolverlos–

Sin embargo, teniendo en cuenta la diversidad de capacidades que presentan los estudiantes en lasaulas, el deseo de los docentes por preparar a sus estudiantes con bases sólidas en los principales contenidosde esta disciplina, hemos mejorado esta versión 2013 con una sugerencia de trabajo extraclase y ejercicios deprofundización para cada trabajo cotidiano propuesto.

El material está constituido por niveles de conocimiento, en el cual la teoría, los ejemplos y los trabajoscotidianos mantienen una dificultad partiendo de lo más elemental a lo más complejo, además toda la obra sedesarrolla en fichas didácticas para una mejor comprensión de los educandos.

Cuarto y último, en una investigación previa realizada por el Grupo Fénix con un grupo focal dedocentes de una Región Educativa, nos dicta que en la mayoría de los casos los estudiantes buscan primero lasrespuestas antes de resolver los ejercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de la capacidaddel docente cuando las respuestas de este último no coinciden con las ofrecidas por el libro, a pesar que enmuchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los formatos digitalesantes de ser impresos; por tanto, no se adjuntan las respuestas. Sin embargo, junto a nuestros librosofrecemos a cada docente un dispositivo de almacenamiento masivo con las respuesta en electrónico para quelas utilice según considere mejor con sus estudiantes, e incluimos una serie de materiales de apoyo para eldocente de matemática, que busca simplificar al menos un poco tanto trabajo que tiene sobre sus hombroscada docente en su ejemplar labor como formador de nuestros jóvenes estudiantes que participan en suslecciones.

“El estudio de la matemática debe ser el comienzo del conocimiento depurado” (Los autores, 2009)

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RECONOCIMIENTOS

Sr. Adolfo Méndez CorralesProfesor de MatemáticaC.T.P. Santa Elena

Sra. Ana Cristina Herrera V.Profesora de MatemáticaI.E.G.B. Andrés Bello

Sr. Benjamín RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo del Pacífico

Sra. Cindy Marín S.Profesora de MatemáticaVirtual Marco Tulio Salazar

Sra. Adriana MarínProfesora de MatemáticaI.E.G.B. América Central

Sra. Ana Grace AriasProfesora de MatemáticaLiceo Rural de CabecerasTilarán

Sr. Bernal LunaProfesor de MatemáticaLiceo Salvador Umaña

Sra. Cindy Ovando G.Profesora de MatemáticaI.P.E.C. Sindea Arabela Jiménezde Bolio

Sr. Alberto Rodríguez JirónProfesor de MatemáticaParrita

Sra. Ana Grace CarranzaProfesora de MatemáticaLiceo Purral de Cabeceras

Sr. Bryan Aguilar ÁlvarezProfesor de MatemáticaJorgue Bolio de la LuchaSabalito

Sr. Cristhian CalderónProfesor de MatemáticaLiceo Julio Fonseca Gutiérrez

Sr. Alex Canales BenavidesProfesor de MatemáticaSindea 28 Millas

Sra. Ana Isabel Noguera E.Profesora de MatemáticaLiceo Santa Cruz

Sr. Carlos Cordero CorderoProfesor de MatemáticaC.T.P. Mansión de Nicoya

Sr. Cristian Barrientos Q.Profesor de MatemáticaLiceo de Chomes

Sr. Alexander LópezProfesor de MatemáticaItskatzu Educación Integral

Sra. Ana Margarita Angulo C.Profesora de MatemáticaC.T.P. 27 de Abril

Sr. Carlos Edo Gómez GarcíaProfesor de MatemáticaSindea Jícara

Sr. Cristian CalderónProfesor de MatemáticaLiceo Julio Fonseca Gutiérrez

Sr. Alexander Solano G.Profesor de MatemáticaLiceo Unesco

Sra. Andrea AriasProfesora de MatemáticaC.T.P. de Heredia

Sr. Carlos Gónzalez A.Profesor de MatemáticaLiceo de Cervantes

Sr. Cristian Chávez Z.Profesor de MatemáticaLiceo Alejandro Aguilar Machado

Sra. Alexandra Mata DelgadoProfesora de MatemáticaC.T.P. General de PérezZeledón

Sra. Andrea Jiménez JiménezProfesora de MatemáticaLiceo Sta. Ana

Sr. Carlos MoraProfesor de MatemáticaColegio de los Ángeles

Sr. Cristian Peralta CruzProfesor de MatemáticaLiceo El Carmen de Nandayure

Sr. Alexis Torres OrtegaProfesor de MatemáticaLiceo San Diego Tres Ríos

Sra. Andrea MadrigalProfesora de MatemáticaLiceo León Cortez Castro

Sr. Carlos RetanaProfesor de MatemáticaGreen Valley

Sr. Cristian Rojas CarrilloProfesor de MatemáticasLiceo Experimental Bilingüe LosÁngeles.

Sr. Alfonso Mora FallasProfesor de MatemáticaJohn F. Kennedy High School

Sra. Andrea VenegasProfesora de MatemáticaDeportivo Santo Domingo

Sra. Carmen Liley MonteroProfesora de MatemáticaLiceo Experimental BilingüeGrecia, Alajuela

Sra. Cristina Sánchez LariosProfesora de MatemáticaRincón Grande de Pavas

Sr. Alfonso RojasProfesor de MatemáticaColegio Sta. Gertrudis

Sra. Andreina Vásquez RojasProfesora de MatemáticaC.T.P. Bolívar

Sra. Carmen Quesada V.Profesora de MatemáticaLiceo Escazú

Sr. Daniel CéspedesProfesor de MatemáticaLiceo Coronado

Sr. Allan Chanto ToleivaProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno San PedroPérez Zeledón

Sr. Andrés CubilloProfesor de MatemáticaSan Enrique de Osso

Sra. Carmen RodríguezProfesora de MatemáticaSan Paul College

Sr. Daniel LeónProfesor de MatemáticaC.T.P. Platanales

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Sr. Allan MairenaProfesor de MatemáticaLiceo San José

Sr. Ariel GómezProfesor de MatemáticaColegio Talamanca

Sra. Carolina FloresProfesora de MatemáticaSaint Benedicto

Sr. Danny Gaitán RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo Francisco Amigutti

Sr. Álvaro Barbosa SalasProfesor de MatemáticaLiceo Pacto del Jocote

Sra. Beatriz MonteroProfesora de MatemáticaEsc. Internacionales Cristianas

Sra. Cecilia Pérez SalasProfesora de MatemáticaLiceo Poasito

Sr. David Alexis Alfaro AlfaroProfesor de MatemáticaLiceo Sta. Gertrudis Norte

Sr. David Alfaro VíquezProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno NuevasOportunidades

Sr. Eliecer Madrigal DelgadoProfesor de MatemáticaBilingüe Naciones Unidas

Sr. Francisco Quesada S.Profesor de MatemáticaInst. Pedagógico Caminante

Sra. Hannia Leiva FallasProfesora de MatemáticaLiceo Sinaí Diurno

Sr. David SolanoProfesor de MatemáticaEnrique Malavassi Vargas

Sr. Emanuel Alvarado R.Profesor de MatemáticaColegio Telesecundaria MaríaDrake

Sra. Gabriela BonillaProfesora de MatemáticaInstituto CentroamericanoAdventista

Sr. Harold CamposProfesor de MatemáticaCentro Educativo CatólicoSan José

Sra. Denia RodríguezProfesora de MatemáticaBilingüe del Caribe

Sr. Erick Araya UrtadoProfesor de MatemáticaLiceo las Delicias

Sra. Gabriela ZúñigaProfesora de MatemáticaLiceo Experimental Moravia

Héctor Castro CastilloProfesor de MatemáticaColegio Marco Tulio Salazar

Sra. Denia Salas NuñesProfesora de MatemáticaColegio Patriarca San José

Sr. Erick Gómez U.Profesor de MatemáticaC.T.P. Ambientalista Isaías Ret.Arias

Sr. Gerardo Arroyo BrenesProfesor de MatemáticaLiceo Ambientalista

Sra. Heilyn Vargas C.Profesora de MatemáticaC.T.P Platanales

Sr. Diego Gómez ChavarríaProfesor de MatemáticaLiceo Costa Rica

Sra. Erika Ureña FallasProfesora de MatemáticaC.T.P. Pérez Zeledón San Isidro

Sr. Gerardo RamírezProfesor de MatemáticaLiceo regional de Flores

Sr. Henrry VillarrealProfesor de MatemáticaColegio Los Delfines

Sra. Dilsia Navarro DuránProfesora de MatemáticaI.E.G.B. Limón

Sr. Ernesto Villareal BarrantesProfesor de MatemáticaC.T.P. Cartagena

Sr. Gerardo Rodríguez BarriosProfesor de MatemáticaLiceo Turrúcares

Sra. Mariela SolanoProfesora de MatemáticaColegio Los Delfines

Sra. Doriana Quirós AriasProfesora de MatemáticaLiceo Coronado

Sra. Estefannie BarbosaProfesora de MatemáticaColegio Nocturno Hernán LópezHernández

Sr. Gilberto MonteroProfesor de MatemáticaLiceo Samuel Sáenz Flores

Sr. Helbert Jiménez ChinchillaProfesor de MatemáticaLiceo Costa Rica

Sr. Edgar CamposProfesor de MatemáticaLiceo Diurno de Ciudad Colón

Sra. Estrella León HernándezProfesora de MatemáticaLiceo Santa Cruz

Sra. Gloria BadillaProfesora de MatemáticaColegio Pacto del Jocote

Sr. Hubert MongeProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno MonseñorRubén Odio

Sr. Eduardo Robles UreñaProfesor de MatemáticaSindea Upala

Sra. Ethilma Jiménez R.Profesora de MatemáticaInstituto Guanacaste

Sra. Gloria BadillaProfesora de MatemáticaLiceo Sabanilla

Sra. Ileana Cascante V.Profesora de MatemáticaLiceo Nocturno Juan Santamaría

Sr. Eduardo RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo Edgar Cervantes Villalta

Sra. Eva Arevalo PorrasProfesora de MatemáticaI.P.E.C. de Barva de Heredia

Sra. Grettel Guitiérrez RuizProfesora de MatemáticaLiceo Utilio Ulate Blanco

Sra. Ileana Lescano R.Profesora de MatemáticaC.T.P Talamanca Bribri Limón

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Sr. Edwin Alfaro ArceProfesor de MatemáticaLiceo Sto. Domingo

Sra. Evelin Urbina GuzmánProfesora de MatemáticaLiceo San Carlos

Sra. Grettel LeónProfesora de MatemáticaColegio Nacional Virtual

Sra. Isabel VásquezProfesora de MatemáticaColegio Francis J. Orlich

Sr. Eitel Vega RodríguezProfesor de MatemáticaRedentorista San Alfonso

Sr. Francisco CortezProfesor de MatemáticaLiceo de Sta. Ana

Sra. Guisella TrejosProfesora de MatemáticaColegio Vicente Laghner

Sr. Iván Parra VenegasProfesor de MatemáticaLiceo Platanillo Barú de Quepos

Sr. Eliécer MadrigalProfesor de MatemáticaAbelardo Bonilla

Sr. Francisco CortezProfesor de MatemáticaU.P. José Rafael Araya

Sra. Hannia CecilianoProfesora de MatemáticaLiceo de Cot Cartago

Sr. Javier Calvo CorderoProfesor de MatemáticaLiceo Julio Fonseca

Sr. Jeffrey Álvarez PérezProfesor de MatemáticaColegio Nuevo Mundo

Sr. Jose Luis MasísProfesor de MatemáticaLiceo José Fidel Tristán

Sr. Kenneth MoreraProfesor de MatemáticaEscuela República de Nicaragua

Sr. Luis Ángel RíosProfesor de MatemáticaC.T.P Valle de la Estrella

Sr. Jeremy Chacón CéspedesProfesor de MatemáticaColegio Talamanca Cahuita

Sr. Jose Rolando Cascante R.Profesor de MatemáticaColegio Cindea Lomas deCocorí

Sra. Kerlyn EsquivelProfesora de MatemáticaColegio Puente de Piedra

Sr. Luis CastilloProfesor de MatemáticaLiceo de Santa Ana

Sra. Jéssica GómezProfesora de MatemáticaColegio San Vicente

Sr. Juan Carlos GProfesor de MatemáticaLiceo de Orosi

Sra. Laura Arroyo RojasProfesora de MatemáticaLiceo Santo Domingo

Sr. Luis Diego ArayaProfesor de MatemáticaCorporación EducativaSagrado Corazón de Jesús

Sra. Jéssica Villalobos RojasProfesora de MatemáticaTelesecundaria el Llano

Sr. Juan Carlos QuesadaProfesor de MatemáticaLiceo Mauro Fernández

Sra. Laura QuesadaProfesora de MatemáticaColegio Claretiano

Sr. Luis Diego Salazar V.Profesor de MatemáticaColegio Nuevas OportunidadesGrecia

Sr. Jesús GutiérrezProfesor de MatemáticaLiceo de Nicoya

Sr. Juan Morgan MorenoProfesor de MatemáticaColegio HumanísticoCostarricense

Sra. Ligia Jiménez GómezProfesora de MatemáticaC.T.P Nicoya

Sr. Luis Martínez GonzálezProfesor de MatemáticaCindea Alberto Manuel Brenes

Sr. Jesús HidalgoProfesor de MatemáticaColegio Snta Josefina

Sr. Juan Pablo Rodríguez A.Profesor de MatemáticaC.T.P. Ulloa

Sra. Lilliana VillalobosProfesora de MatemáticaLiceo de San Carlos

Sr. Luis Rodríguez JhonsonProfesor de MatemáticaC.T.P Nandayure Guanacaste

Sr. Jonathan GranadosProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno Pérez Zeledón

Sra. Karen Camacho EspinozaProfesora de MatemáticaCentro Educativo Pasos deJuventud

Sra. Lineth Quesada M.Profesora de MatemáticaLiceo de Tucurrique

Sr. Luis Ruiz TorresProfesor de MatemáticaC.T.P Carrillo

Sr. Jonathan RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo Jorge Volio

Sra. Karen Vindas MonestelProfesora de MatemáticaColegio Cristiano Reformado

Sra. Lisbeth Allen DaileyProfesora de MatemáticaCindea de Heredia Limón

Sr. Luis Salazar CastroProfesor de MatemáticaLiceo Alfaro Ruiz

Sr. Jonny Fernández S.Profesor de MatemáticaLiceo Dulce Nombre

Sra. Karina BrenesProfesora de MatemáticaColegio Agropecuario deSan Carlos

Sra. Lissette FallasProfesora de MatemáticaLiceo de Curridabat

Sr. Maikel CarbajalProfesor de MatemáticaColegio Santa Marta

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Sr. Jorge BrenesProfesor de MatemáticaLiceo Braulio Carrillo

Sra. Karla Guevara VillegasProfesora de MatemáticaLiceo de Colorado de Abangares

Sra. Lissette UlateProfesora de MatemáticaLiceo Pacto del Jocote

Sr. Mainor Abarca CorderoProfesor de MatemáticaLiceo de Curridabat

Sr. José Ángel AmpieProfesor de MatemáticaCristian Génesis School

Sra. Karla Venegas ValverdeProfesora de MatemáticaLiceo Experimental BilingüeAugusto Briseño

Sra. Lorena Masis TorresProfesora de MatemáticaLiceo Francisca Carrasco

Sr. Manrique Barrientos Q.Profesor de MatemáticaLiceo de Miramar de Puntarenas

Sr. José Ángel AmpieProfesor de MatemáticaLiceo Nuevo de Hatillo

Sra. Katherine SandíProfesora de MatemáticaLiceo de Mata de Plátano

Sra. Lorena Rojas DonatoProfesora de MatemáticaLiceo de Coronado

Sr. Manuel ArtaviaProfesor de MatemáticaLiceo Técnico de Purral

Sr. José Carlos CalvoProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno MonseñorRubén Odio

Sr. Kenneth ÁlvarezProfesor de MatemáticaLiceo de Moravia

Sra. Lucia Mata VindasProfesora de MatemáticaLiceo Hernán Zamora Elizondo

Sr. Manuel QuirósProfesor de MatemáticaInstituto Educativo San Gerardo

Sr. Manuel VillegasProfesor de MatemáticaLiceo de San Roque

Sra. María RojasProfesora de MatemáticaLiceo Braulio Carrillo

Sr. Marvin MuñozProfesor de MatemáticaLiceo La Guácima

Sr. Norberto Oviedo UProfesor de MatemáticaLiceo de Heredia

Sra. Marcela Arce SotoProfesora de MatemáticaLiceo San Nicolás

Sra. Maricela AlfaroProfesora de MatemáticaLiceo de San Roque

Sra. Maureen Castro MesénProfesora de MatemáticaColegio Laboratorio San José

Sra. Olga Segura AlfaroProfesora de MatemáticaU.P. José María Zeledón

Sr. Marcial CorderoProfesor de MatemáticaLiceo San Gabriel

Sra. Mariela JiménezProfesora de MatemáticaLiceo de San Carlos

Sra. Maureen Mora BadillaProfesora de MatemáticaLiceo Rincón Grande de Pavas

Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemáticaCentro Educativo Mi Patria

Sr. Marco GuevaraProfesor de MatemáticaColegio Santa Inés

Sra Marilú BallesterosProfesora de MatemáticaColegio Valle del Sol

Sra. Maureen RojasProfesora de MatemáticaLiceo de Santa Ana

Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemáticaColegio Rodrigo Hernández

Sr. Marco SolísProfesor de MatemáticaColegio Científico y Artístico delPacífico

Sr. Mario CartachoProfesor de MatemáticaColegio Adventista Paso Canoas

Sr. Mauricio Muñoz JiménezProfesor de MatemáticaLiceo Brasilia de Upala

Sr. Omar Quesada GonzálezProfesor de MatemáticaLiceo de Poás

Sr. Marcos Angulo CisnerosProfesor de MatemáticaC.T.P. 27 de abril

Sra. Marisol Benel AlamaProfesora de MatemáticaLiceo La Aurora

Sr. Mauricio Peñaranda FallasProfesor de MatemáticaLiceo San Gabriel

Sr. Oscar Cruz MontanoProfesor de MatemáticaLiceo de Pavas

Sr. Marcos ChacónProfesor de MatemáticaLiceo Bolívar de Grecia

Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemáticaInstituto de Alajuel

Sra. Mayela Abarca CorderoProfesora de MatemáticaLiceo de Curridabat

Sr. Oscar Marín GonzálezProfesor de MatemáticaC.T.P. Carrisal de Alajuela

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Sra. Margel Valverde S.Profesora de MatemáticaLiceo de Sabanilla

Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemáticaLiceo del Carmen

Sr. Michael Chávez MadrigalProfesor de MatemáticaC.T.P Cartagena Guanacaste

Sr. Oscar Mario CastilloProfesor de MatemáticaC.T.P. Liberia

Sra. Margot Castro R.Profesora de MatemáticaInstituto Educativo San Gerardo

Sra. Marjorie Navarro NúñezProfesora de MatemáticaColegio de Turrialba

Sr. Miguel Ángel SánchezProfesor de MatemáticaColegio La Aurora

Sr. Oscar Reyes PeñascoProfesor de MatemáticaI.P.E.C.

Sra. María AmeliaProfesora de MatemáticaI.P.F La Pradera

Sra. Marta MataProfesora de MatemáticaColegio María Auxiliadora

Sra. Mirta BritoProfesora de MatemáticaColegio Educativo Royal

Sr. Pablo Leandro JiménezProfesor de MatemáticaColegio Nocturno de Siquirres

Sra. María Hernández H.Profesora de MatemáticaLiceo del Este

Sra. Martha E Ulate QuesadaProfesora de MatemáticaLiceo San Marcos de Tarrazú

Sra. Mónica BlancoProfesora de MatemáticaColegio Ilpal

Sr. Pablo Leandro JiménezProfesor de MatemáticaColegio San Judes

Sra. María Mayela González G.Profesora de MatemáticaLiceo Rural Coope-Silencio

Sr. Martín Martínez ChávezProfesor de MatemáticaC.T.P. Tronadora

Sra. Nasly Giraldo G.Profesora de MatemáticaLiceo de San José

Sr. Pedro MoreraProfesor de MatemáticaLiceo de Atenas

Sra. María OviedoProfesora de MatemáticaColegio Castella

Sr. Martín Martínez ChávezProfesor de MatemáticaColegio Nocturno de Tilarán

Sr. Nestor CerdasProfesor de MatemáticaColegio Ambientalista El Roble

Sr. Rafael Arce LópezProfesor de MatemáticaC.T.P. Puntarenas

Sr. Randall VillalobosProfesor de MatemáticaColegio Ambientalista El Roble

Sra. Ruth Bent CastroProfesora de MatemáticaLiceo de Curridabat

Sra. Tania CórdobaProfesora de MatemáticaColegio San Rafael

Sr. William GuillénProfesor de MatemáticaColegio Virtual

Sr. Raúl Badilla RamírezProfesor de MatemáticaLiceo San Miguel

Sr. Samuel Arevalo VásquezProfesor de MatemáticaC.T.P. Acosta

Sra. Tatiana Quesada C.Profesora de MatemáticaLiceo de Tarrazú

Sr. Willy TorresProfesor de MatemáticaLiceo Sinaí Pérez ZeledónDiurno

Sra. Rebeca Monge MoraProfesora de MatemáticaC.T.P. Acosta

Sra. Sandra Rodríguez HerreraProfesora de MatemáticaC.T.P. Sabanilla

Sra. Thais Sandi MenaProfesora de MatemáticaLiceo San Rafael Arriba

Sra. Xenia ParkerProfesora de MatemáticaLiceo Centro EducativoAdventista de C.R.

Sr. Ricardo Chávez SánchezProfesor de MatemáticaC.T.P. Corralillo

Sr. Santiago Bustos C.Profesor de MatemáticaC.T.P. Cartagena Guanacaste

Sr. Víctor RetanaProfesor de MatemáticaLiceo del Sur

Sra. Xinia AcuñaProfesora de MatemáticaLiceo Purral

Sr. Ricardo VenegasProfesor de MatemáticaLiceo de Curridabat

Sr. Santiago Zamora CastilloProfesor de MatemáticaC.T.P. Valle la Estrella

Sra. Victoria MatarritaProfesora de MatemáticaColegio Virtual Alajuela

Sra. Xinia EspinosaProfesora de MatemáticaLiceo San Francisco de Asís

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Sr. Ricardo ZúñigaProfesor de MatemáticaInstituto de Educación Integral

Sra. Seidy Parajeles GranadosProfesora de MatemáticaC.T.P. Tronadora TilaránGuanacaste

Sra. Vivian Lizano ArroyoProfesora de MatemáticaLiceo Luis Noble Segreda

Sra. Xinia RománProfesora de MatemáticaColegio Campestre

Sr. Roberto Rojas BadillaProfesor de MatemáticaColegio Madre del Divino Pastor

Sr. Sergio Morales RosalesProfesor de MatemáticaColegio Técnico RegionalSanta Cruz

Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemáticaC.T.P. Nicoya

Sra. Yajaira Rodríguez VillegasProfesora de MatemáticaLiceo Rural de Manzanillo

Sr. Rodolfo Bustos MarchenaProfesor de MatemáticaLiceo Maurilio Alvarado

Sra. Shirley González A.Profesora de MatemáticaC.T.P. Quepos

Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemáticaLiceo de Nicoya

Sra. Yamileth ZumbadoProfesora de MatemáticaLiceo de Heredia

Sr. Román Ruiz C.Profesor de MatemáticaLiceo Experimental BilingüeSanta Cruz

Sra. Silvia FonsecaProfesora de MatemáticaSaint Gabriel High School

Sra. Viviana SolísProfesora de MatemáticaSaint Gregory School

Sra. Yanin Gutiérrez SolísProfesora de MatemáticaColegio María Inmaculada deSan Carlos

Sr. Ronald Ríos RodríguezProfesor de MatemáticaC.T.P. Cardinal de Carrillo

Sra. Silvia PaniaguaProfesora de MatemáticaFormación Integral Montecarlo

Sra. Wendy Herrera MoralesProfesora de MatemáticaINA. Orotina

Sra. Yasmín Orozco SanchoProfesora de MatemáticaC.T.P. La Mansión

Sra. Rosibell Castro RodríguezProfesora de MatemáticaC.T.P. Liceo de Coronado

Sra. Sonia MirandaProfesora de MatemáticaColegio San Lorenzo

Sra. Wendy TijerinoProfesora de MatemáticaC.T.P. Ulloa

Sra. Yeini Barrantes NProfesora de MatemáticaLiceo Manuel Benavides

Sra. Rosibell VallejosProfesora de MatemáticaLiceo Mauro Fernández

Sra. Susan JiménezProfesora de MatemáticaC.T.P. Mercedes Norte

Sr. Werner JuárezProfesor de MatemáticaLiceo Anastasio

Sra. Yelba GutiérrezProfesora de MatemáticaLiceo Teodoro Picado

Sr. Roy Lauren SanabriaProfesor de MatemáticaC.T.P. Humberto Melloni

Sra. Susan MoralesProfesora de MatemáticaColegio Marista Alajuela

Sr. Wilbert VargasProfesor de MatemáticaSamuel Sáenz Flores

Sra. Yendri Salas ValverdeProfesora de MatemáticaLiceo Regional de Flores

Sra. Yendri SandovalProfesora de MatemáticaLiceo San Diego

Sra. Yendri SotoProfesora de MatemáticaUnidad Pedagógica San Diego

Sra. Yessenia RodríguezProfesora de MatemáticaLiceo el Ambientalista El Roble

Sr. Yoahan Gómez GarroProfesor de MatemáticaC.T.P. Jícara

Sra. Yolanda Elizondo G.Profesora de MatemáticaUnidad PedagógicaCalderón Guardia

Sra. Yorleni GómezProfesora de MatemáticaLiceo Sucre

Sra. Yuri Lobo HernándezProfesora de MatemáticaColegio La Aurora

Sra. Yuri QuintanillaProfesora de MatemáticaColegio Adventista Limón

Sra. Zeidy ChávezProfesora de MatemáticaLiceo Castro Madriz

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ÍNDICE

UNIDAD I: RELACIONES Y ÁLGEBRA1. Ecuaciones cuadráticas con una incógnita. 13

2. Problemas que involucran, en su solución, ecuaciones cuadráticas con una

incógnita.22

3. Factorización de polinomios en forma completa, mediante la combinación de

métodos.

30

4. Concepto de relación. 48

5. Concepto de variable dependiente y de variable independiente en las

relaciones.

49

6. Relaciones que corresponden a funciones. 52

7. Relaciones que corresponden a funciones, cuyo criterio está modelado por

expresiones algebraicas sencillas.

59

8. Dominio, codominio, ámbito, imagen y preimagen de funciones. 62

9. Dominio máximo de funciones 73

10.Representación gráfica de una función. 79

11.Régimen de variación de una función. 84

12.Magnitudes directamente proporcionales. 87

13.Concepto de función lineal. 88

14.Concepto de pendiente y de intersección de funciones lineales. 90

15.Problemas relacionados con la ecuación de la recta. 96

16.Ecuación de una recta paralela o perpendicular a otra recta dada. 100

17.Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variables. 105

18.Problemas con sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variables. 110

19.Función cuadrática. 113

20.Concepto de la función inversa. 124

21.Función exponencial. 133

22.Ecuaciones exponenciales. 136

23.Función logarítmica. 138

24.Ecuaciones logarítmicas. 141

25.Ecuaciones logarítmicas y exponenciales aplicando las propiedades de los

logaritmos.

143

26.Ecuaciones exponenciales de la forma P x Q xa b 146

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UNIDAD I

RELACIONES YÁLGEBRA

Conocimientos Habilidades específicasEcuaciones

Ecuaciones de segundo grado conuna incógnita Raíces Discriminante Conjunto solución

Expresiones algebraicas Polinomios

Factorización

Funciones Cantidades constantes Cantidades variables Dependencia Independencia Elementos para el análisis de una

función Dominio Ámbito Codominio Imagen Preimagen

Función lineal Representación algebraica Representación tabular Representación gráfica La recta Pendiente Intersección Creciente Decreciente Sistema de ecuaciones

lineales

1. Analizar el número de raíces de una ecuación de segundo grado con una incógnita a partirdel discriminante.

2. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2ax c , utilizando el método deldespeje.

3. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx , utilizando factorización yel método del despeje.

4. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx c , utilizando la fórmulageneral.

5. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.6. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnita.7. Factorizar trinomios de segundo grado con una variable mediante los siguientes métodos:

inspección, fórmula notable, fórmula general.8. Factorizar en forma completa polinomios de tres o cuatro términos con una o dos variables

mediante los siguientes métodos: Factor común y fórmula notable, grupos y factor común,grupos y diferencia de cuadrados.

9. Distinguir entre cantidades constantes y variables.10. Identificar y aplicar relaciones entre dos cantidades variables en una expresión matemática.11. Identificar si una relación dada en forma tabular, simbólica o gráfica corresponde a una

función.12. Evaluar el valor de una función dada en forma gráfica o algebraica, en distintos puntos de su

dominio13. Interpretar hechos y fenómenos mediante relaciones que corresponden a funciones.14. Identificar el dominio, codominio, ámbito, imágenes y preimágenes de una función a partir de

su representación gráfica.15. Determinar el dominio máximo de funciones con criterio dado por expresiones algebraicas

sencillas tales como: expresiones polinomiales de una variable; expresiones racionales condenominador de la forma ,ax b ,a b reales; expresiones radicales de índice par con

subradical de la forma ,ax b ,a b reales.16. Identificar situaciones del entorno que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma

y ax b .

17. Representar en forma tabular, algebraica y gráfica una función lineal (incluidas la identidad yla constante).

18. Determinar la pendiente y las intersecciones con los ejes de coordenadas de una funciónlineal dada en forma gráfica o algebraica.

19. Analizar la monotonía de una función lineal dada en forma tabular, gráfica o algebraica.20. Determinar la ecuación de una recta a partir de su pendiente y un punto que pertenece a la

recta.

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12 RELACIONES Y ÁLGEBRA

GRUPO FÉNIX

Conocimientos Habilidades específicas Función cuadrática

Representación algebraica Representación tabular Representación gráfica La parábola: Concavidad,

simetría, vértice Intersección Creciente Decreciente

La función inversa Inyectividad Sobreyectividad Gráfica de la función inversa Inversa de una función lineal Inversa de una función

cuadrática La función exponencial y la

ecuación exponencial La función logarítmica y la

ecuación logarítmica

21. Determinar la ecuación de una recta a partir de dos puntos que pertenecen a la recta.22. Determinar la ecuación de una recta paralela a otra recta dada.23. Determinar la ecuación de una recta perpendicular a otra recta dada.24. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante funciones lineales.25. Identificar situaciones que se modelan por un sistema de ecuaciones lineales con dos

variables.26. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante un sistema de

ecuaciones lineales con dos variables.27. Identificar situaciones del entorno que pueden ser modeladas por una función cuadrática.

28. Representar gráficamente una función con criterio 2y ax bx c .

29. Determinar el dominio, ámbito, concavidad, simetrías, vértice y las intersecciones con losejes de coordenadas de una función cuadrática dada en forma gráfica o algebraica.

30. Analizar la monotonía de una función cuadrática dada en forma tabular, gráfica o algebraica.31. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante funciones

cuadráticas.32. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones inversas.33. Identificar las condiciones para que una función tenga inversa.34. Relacionar la gráfica de una función con la gráfica de su inversa, considerando el concepto

de eje de simetría.35. Determinar intervalos en los cuales una función representada gráficamente tiene inversa.36. Determinar el criterio de las funciones inversas correspondientes a funciones con criterio de

la forma:

, 0,f x mx b m 2 , 0g x ax c a h x x b c , , ,a b c m reales.

37. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones exponenciales.38. Caracterizar la función exponencial de acuerdo a su criterio, dominio, ámbito.39. Representar en forma tabular, algebraica y gráfica una función exponencial.40. Analizar la monotonía de una función exponencial dada en forma tabular, gráfica o

algebraica.41. Determinar el conjunto solución de una ecuación exponencial que se reduce a la forma

, ,P x Q xb b P x Q x polinomios de grado menor que 3.

42. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante una funciónexponencial.

43. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones logarítmicas.44. Caracterizar la función logarítmica de acuerdo a su criterio, dominio, ámbito.45. Representar en forma tabular, algebraica y gráfica una función logarítmica.46. Analizar la monotonía de una función logarítmica dada en forma tabular, gráfica o algebraica.47. Aplicar las propiedades de la función logarítmica.48. Determinar el conjunto solución de una ecuación logarítmica que se reduce a la forma

loga logaf x g x .

49. Determinar el conjunto solución de una ecuación exponencial que se reduce a la forma P x Q xa b , ,P x Q x polinomios de grado menor que 3.

50. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante una funciónlogarítmica.

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RELACIONES Y ÁLGEBRA 13

GRUPO FÉNIX

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA

Una ecuación cuadrática o de segundo grado en una variable con coeficientes reales es unaecuación que puede escribirse como 2 0ax bx c donde a, b, c son constantesreales, con 0a .

I Caso: 2ax c

Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2ax c con a, c constantes reales,se resuelven simplemente despejando la variable “x” y luego, calculando la raíz cuadradaen ambos lados de la igualdad.

Ejemplo 1Resolver la ecuación 28 512x

Ejemplo 2Resolver la ecuación 26 246 0x

2

2

2

8 512

512

8

64

64 8

: 8,8

x

x

x

x

S

2

2

2

2

6 246 0

6 246

246

6

41

41

: 41, 41

x

x

x

x

x

S

Ejemplo 3Resolver la ecuación 2 5 4 5x x x

Ejemplo 4Resolver la ecuación 3 2 3 2 0x x

2

2

0

2

5 4 5

5 5 4

4

4

: 2,2

x x x

x x x

x

x

S

29 4

2

2

2

3 2 3 2 0

9 4 0

9 4

4

9

4 2

9 3

2 2: ,

3 3

x

x x

x

x

x

x

S

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 11. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas

a) 22 8x

b) 23 27x

c) 24 64x

d) 25 125x

e) 26 216x

f) 22 8x

g) 23 27x

h) 24 64x

i) 25 125x

j) 26 216x

k) 2 49x

l) 2 64x

m) 2 81x

n) 2 100x

o) 2 121x

p) 22 8 0x

q) 23 27 0x

r) 24 64 0x

s) 25 125 0x

t) 26 216 0x

u) 2 64 0x

v) 2 81 0x

w) 2 100 0x

x) 2 121 0x

y) 22 10 8 10x x x

z) 23 7 27 7x x x

aa) 24 13 64 13x x x

bb) 25 42 125 42x x x

cc) 26 101 216 101x x x

dd) 2 3 9 40 3x x x

ee) 2 5 4 60 5x x x

ff) 2 3 10 91 3x x x

gg) 2 15 115x x x

hh) 2 11 14 135 11x x x

ii) 2 2 0x x

jj) 2 3 2 3 0x x

kk) 3 4 3 4 0x x

ll) 5 6 5 6 0x x

mm) 7 10 7 10 0x x

nn) 2 2 5 5x x x x

oo) 2 3 2 3 13 13x x x x

pp) 3 4 3 4 11 11x x x x

qq) 5 6 5 6 12 12x x x x

rr) 7 10 7 10 2x x x

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GRUPO FÉNIX


II Caso: 2 0ax bx c

Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2 0ax bx c con a, b, c

constantes reales, se pueden resolver por Fórmula General.

Procedimiento:

1. Se identifica el valor de a, b, c en el polinomio y se calcula el discriminante ( )

2 4b ac

2. Se realiza el estudio del discriminante:

Valor del Interpretación

0 La ecuación tiene dos soluciones

0 La ecuación tiene una soluciones

0 La ecuación NO tiene soluciones reales

3. Se calculan las soluciones con la Fórmula General:

Fórmula general para ecuacionescuadráticas

2

bx

a

Forma alternativa

1 2

bx

a

2 2

bx

a

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GRUPO FÉNIX


II Caso: 2 0ax bx c

Ejemplo 1Resolver la ecuación 22 5 3 0x x

Ejemplo 2Resolver la ecuación 2 16 63m m

1. Se calcula el discriminante ( )

2

2

4

5 4 2 3 49

b ac

2. El discriminante es positivo ( 0 ),

entonces la ecuación tiene dos soluciones

3. Se calculan las soluciones:

Primera solución Segunda solución

1

1

25 7

32 2

bx

a

x

2

2

25 7 1

2 2 2

bx

a

x

1: 3,

2S


2

2

4

16 4 1 63 4

b ac





1

1

216 2

92 1

bm

a

m

2

2

216 2

72 1

bm

a

m

: 9,7S

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GRUPO FÉNIX


II Caso: 2 0ax bx c

Ejemplo 3Resolver la ecuación 3 2 11 2x x x

Ejemplo 4

Resolver la ecuación 2 32 4

2

x xx

1. Ordenamos la ecuación de la forma

2

2

2

3 2 11 2

3 6 11 2

3 6 11 2 0

3 17 2 0

x x x

x x x

x x x

x x


2

3 , 17 , 2

17 4 3 2

265

a b c





1

1

1

2

17 265

2 3

17 265

6

bx

a

x

x

2

2

2

2

17 265

2 3

17 265

6

bx

a

x

x

17 265 17 265: ,

6 6S


2

2

2

2 2

2 2

2

342

1 28 3

22

4 8 3

4 8 3

4 8 3 0

5 3 8 0

x xx

x xx

x x x

x x x

x x x

x x


2

5 , 3 , 8

3 4 5 8

169

a b c





1

1

1

23 13

2 510

110

bx

a

x

x

2

2

2

23 13

2 516 8

10 5

bx

a

x

x

8: 1 ,

5S

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 2

1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas

a) 22 3 1 0x x

b) 23 2 1 0x x

c) 22 5 2 0x x

d) 24 3 1 0x x

e) 22 7 3 0x x

f) 25 4 1 0x x

g) 22 9 4 0x x

h) 26 7 1 0x x

i) 22 11 5 0x x

j) 27 8 1 0x x

k) 22 1 0x x

l) 24 4 1 0x x

m) 22 3 2 0x x

n) 29 6 1 0x x

o) 22 5 3 0x x

p) 216 8 1 0x x

q) 22 7 4 0x x

r) 225 10 1 0x x

s) 22 9 5 0x x

t) 236 12 1 0x x

u) 2 3 2x x

v) 2 4 3x x

w) 2 5 4x x

x) 2 6 5x x

y) 2 7 6x x

z) 2 2x x

aa) 2 2 3x x

bb) 2 3 4x x

cc) 2 4 5x x

dd) 2 5 6x x

ee) 23 2 1x x

ff) 24 3 1x x

gg) 25 4 1x x

hh) 26 7 1x x

ii) 27 8 1x x

jj) 24 4 1x x

kk) 29 6 1x x

ll) 216 8 1x x

mm) 225 10 1x x

nn) 236 12 1x x

oo) 3 2 3 3x x

pp) 4 2 1x x

qq) 5 3 2 5x x

rr) 6 2 5 12x x

ss) 7 4 3 7x x

tt) 8 2 7 24x x

uu) 8 11 6 5x x x

vv) 3 12 9 10 12x x x

ww) 4 4 7 10 4x x x

xx) 3 9 9 4 8x x x

yy) 7 10 10 9 1x x x

zz) 15 11 44 16 1x x x

aaa) 2 7 3

24

x xx

bbb) 2 7 3

14 282

x xx

ccc) 2 4

3 53

x xx

ddd) 2 5

4 64

x xx

eee) 2 3 1

5 25

x xx

fff) 2 3 1

12

x xx

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GRUPO FÉNIX


III Caso: 2 0ax bx

Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2 0ax bx con a, b constantes

reales, se pueden resolver por Fórmula General. Es importante señalar que este es un caso

particular del II Caso porque 0c .

Ejemplo 1

Resolver la ecuación 2 23 2 2 12x x x x

Ejemplo 2

Resolver la ecuación 2 21 2 1 0x x

1. Ordenamos la ecuación de la forma2 2

2 2

2

3 2 2 12

3 2 2 12 0

5 10 0

x x x x

x x x x

x x


2

5 , 10, 0

10 4 5 0

100

a b c





1

1

1

210 10

2 50

010

bx

a

x

x

2

2

2

210 10

2 520

210

bx

a

x

x

: 0, 2S


2 2

2 2

2 2

2

1 2 1 0

2 1 4 4 1 0

2 1 4 4 1 0

3 6 0

x x

x x x x

x x x x

x x


2

3 , 6, 0

6 4 3 0

36

a b c





1

1

1

26 6

2 312

26

bx

a

x

x

2

2

2

26 6

2 30

06

bx

a

x

x

: 2,0S

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GRUPO FÉNIX


1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas

a) 2 23 3 4x x x x

b) 2 22 4 3x x x x

c) 24 4 6x x

d) 23 6 1 1 2x x x

e) 22 5 3 3x x x

f) 22 10 8 8 11x x x

g) 23 6 27 27 7x x x

h) 2 24 13 64 13x x x x

i) 2 25 42 125 42x x x x

j) 2 26 111 216 101x x x x

k) 2 2 223 9 40 31x x x x x

l) 2 2 22 4 60 5x x x x x

m) 2 2 213 10 91 3x x x x x

n) 2 2 215 115x x x x x

o) 2 2 211 14 135 11x x x x x

p) 2 5 6 6x x

q) 2 4x x

r) 23 0x x

s) 26 0x x

t) 23 3 3 0x x

u) 25 2 2 2 3 4x x x x x

v) 2 22 2 1 3 1x x x

w) 24 4 4x x x

x) 7 2 4 1 2 8x x x x

y) 2 5 6 1 3 1 2 5x x x x

z) 4 1 2 3 5 2 3 2 7x x x x x

aa) 63 1 3

2

xx x

bb)21 2 1

2 3 6

x x

cc)2 2

33 2

x x x xx

dd)2 1 3 5

2 4 4

x x

ee)2 1 1

1 13 3

xx

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GRUPO FÉNIX

Ejercicios de profundización1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas

a) 21 (2 ) ( 1)x x x

b) 2 1 3 3x x

c) 22 0x x

d) 23 2 2 2x x x

e)1 1 2

2x

x x

f)3 16

42 2

x

x x

g)2

1 2

1 1x x

h)2 2

2 3 1

4x x x

i) 13 5 3

2 2

xx x

j) 4 3 6x x

k) 3 2 3 2 3x x x

l) 1 1 5x x

m) 21 2 3x x

n) 2 1 2x x

o) 2 26 5x a ax

p) 1 2 2 2 1x x

q)

8 26 14

2 3 2 3

x x

x x x x

r) 1 2 5x x

s) 2 2 3 2x x x x x x

t) 2 2 2 5 3x x x

u) 52 1 2

3

xx x x

x

v) 3 23 2 4 0x x x

w) 2 5 4x x

x)2

32 33

3 2 1

x

x x x

y) 72 2 4 2

2x k k

x

z) 2

5 4 14 3

2 3 2 3 4 9

x

x x x

aa) 4 24 13 9 0x x

bb)2

1 21

x x

cc)2

5 32

4 2 8x x x

dd)2

2

2 7 16 2

6 2 3

x x x

x x x x

ee) 4 24 5 0x x

ff)2 13 33 4 4 0x x

gg)10 5

1 12 7 5

2 2x x

hh) 4 22 23 3 2 3 3 3x x x x

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GRUPO FÉNIX

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS

En la solución de problemas es importante considerar el método que planteó George Polya

(Matemático Húngaro), sugiriendo cuatro pasos:

1. Entender el problema.

2. Configurar un plan de solución.

3. Ejecutar el plan de solución.

4. Mirar hacia atrás (¿la respuesta satisface lo establecido en el problema?)

Ejemplo 1

Celeste desea calcular la medida del ancho de un rectángulo que tiene las siguientes

características: La medida de la diagonal excede en 1 al largo y en 8 al ancho.

Plan de solución:

Suponiendo un caso particular Caso general

Ejecución del plan de solución:

2 2 2

2 2 2

2

1 2

1 8

2 1 16 64

18 65 0

13 5

x x x

x x x x x

x x

x x

Respuesta: Celeste calculó que la medida

del ancho del rectángulo mide 5, porque al

sustituir los valores en 8x se obtiene un

número positivo, siendo éste la medida del

ancho.

100

99

92 8x

1x

x

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GRUPO FÉNIX

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS







Ejemplo 2

Gustavo Adolfo desea calcular el perímetro de un cuadrado que tiene las siguientes

características: Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 6, entonces el

área del cuadrado que se forma es cuatro veces el área del cuadrado original.

Plan de solución:

Cuadrado original Cuadrado aumentado


2 2

2 2

2

1 2

6 4

12 36 4

3 12 36 0

6 2

x x

x x x

x x

x x

Respuesta: Gustavo Adolfo calculó que el

perímetro del cuadrado original mide 24.

xx

x

x

6x

6x

6x6x

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 41. Resuelva los siguientes problemas utilizando ecuaciones cuadráticas

a) La medida de la diagonal de un rectángulo excede en 1 al largo y en 2 al ancho. ¿Cuál es

la medida del ancho del rectángulo?

b) La medida de la diagonal de un rectángulo excede en 5 al largo y en 10 al ancho. ¿Cuál

es la medida del largo del rectángulo?

c) La medida del ancho de un rectángulo es 7cm menor que el largo y 14cm menor que la

diagonal. ¿Cuál es la medida de la diagonal del rectángulo?

d) La medida del ancho de un rectángulo es 8cm menor que el largo y 16cm menor que la

diagonal. ¿Cuál es la medida de la diagonal del rectángulo?

e) La medida del largo de un rectángulo es 9cm menor que la diagonal y 9cm mayor que el

ancho. ¿Cuál es la medida del largo del rectángulo?

f) La medida del largo de un rectángulo es 10cm menor que la diagonal y 10cm mayor que

el ancho. ¿Cuál es la medida del ancho del rectángulo?

g) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 2, entonces el área del

cuadrado que se forma es cuatro veces el área del cuadrado original. ¿Cuál es el

perímetro del cuadrado original?

h) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 3, entonces el área del

cuadrado que se forma es cuatro veces el área del cuadrado original. ¿Cuál es el

perímetro del cuadrado original?

i) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 8, entonces el área del

cuadrado que se forma es nueve veces el área del cuadrado original. ¿Cuál es el área

del cuadrado original?

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GRUPO FÉNIX

j) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 15, entonces el área del

cuadrado que se forma es dieciséis veces el área del cuadrado original. ¿Cuál es el área

del cuadrado aumentado?

k) Si el área de un terreno rectangular mide 672m2 y el largo excede al ancho en 4m,

entonces determine la longitud del largo del rectángulo.

l) Si en un rectángulo, el perímetro mide 34cm y el área es de 72cm2, entonces determine

las dimensiones del rectángulo.

m) El área de un rectángulo es 24. Si el largo es igual a 2 aumentado en el doble del ancho,

entonces determine la longitud del largo del rectángulo.

n) Si aumentamos el lado de un cuadrado en 9cm y disminuimos el otro lado también en

9cm, obtenemos con estas nuevas dimensiones un rectángulo de área 144 cm2.

Determine los lados del rectángulo.

o) Si una sala de sesiones tiene 12m ancho y 14m de largo, y quieren alfombrarla, excepto

un borde de ancho uniforme, entonces determine las dimensiones que deberá tener la

alfombra si su área es de 80m2

p) Si la suma de dos números es 36 y su producto 323, entonces determine cuáles son esos

números.

q) La suma de dos números es 42 y su producto es 432. Determine los dos números.

r) La suma de dos números es 16, la diferencia de sus cuadrados es 32. Hallar los

números.

s) Considere dos números pares consecutivos, tal que el cuadrado del mayor sumado al

menor equivale a 810. Determine cuáles son los números.

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GRUPO FÉNIX

Ejercicios de profundizacióna) Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla

la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 2m .

b) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de

arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 2m .

c) Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es

semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

d) Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es26

5.

e) Dos caídas de agua, A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo

en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

f) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números

pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

g) Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de

840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes.

Halla las dimensiones de la caja.

h) Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se

llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

i) La suma de las áreas de dos círculos es 276 y la diferencia entre las medidas de sus

respectivos radios es 8. ¿Cuál es la medida del radio del círculo menor?

j) Un trozo de alambre de 100 2cm de largo, se corta en dos y cada pedazo se dobla para

que tome la forma de un cuadrado. Si la suma de las áreas formadas es 397 2cm ,

encuentre la longitud de cada pedazo de alambre.

Vers

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GRUPO FÉNIX

k) Un hombre desea usar 6 3m de concreto para construir el piso de un patio rectangular. Si

la longitud del patio debe ser el doble de ancho y el grosor del piso debe ser de 8cm ,

encuentre las dimensiones del patio.

l) Se quiere construir un barril de petróleo cilíndrico y cerrado con una altura de 4 metros,

de manera que el área superficial total sea de 210 m . Determine el diámetro del barril.

m) Cuando el precio de una marca popular de aparatos de videos es de $300 (dólares) por

unidad, una tienda vende 15 unidades a la semana. Cada vez que el precio se reduce en

$10, sin embargo, las ventas aumentan en 2 unidades a la semana. ¿Qué precio de venta

debe ponerse para obtener ingresos mensuales de $7000(dólares)?

n) Dos muchachos con radio-transmisores salen del mismo lugar a las 9:00 a.m, uno de

ellos camina hacia el sur a 4km/h y el otro camina hacia el oeste a 3km/h. ¿Cuánto

tiempo pueden comunicarse si cada radio tiene un alcance de 2km?

Trabajo extraclase # 1

1. Considere las siguientes ecuaciones

I. 2 4 0x II. 2 2 1 0x x ¿Cuáles de ellas no tienen soluciones reales?

A) AmbasB) Ninguna

C) Solo la ID) Solo la II

2. El conjunto solución de 5 2 1 9x x x x es

A) 6

B) 5,5

C) 5, 5

D) 1 6,1 6

3. El conjunto solución de 222 2 20 2x x x es

A) 8 , 2

B) 6 , 4

C) 6 , 4

D)8

2 ,3

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GRUPO FÉNIX

4. Una solución de 2 1 43 2 5

4

xx x

es

A)3

2

B)7

6

C)1 2 2

2

D)1 73

12

5. El conjunto de la solución de 222 3 1x x x es

A)1 5 1 5

,2 2

B)3 5 3 5

,2 2

C)3 21 3 21

,6 6

D)5 13 5 13

,6 6

6. El conjunto solución de 223 9 3x x x es

A) 3

B)3

2

C)3

, 32

D)3

, 32

7. Una solución de 4 2 1x x es

A)1

4

B)3

2

C)3

12

D)5

12

8. Considere el siguiente enunciado: “La diferencia de los cuadrados de dos númerosnaturales consecutivos es –17. Hallar los números”. Si x representa el mayor de losnúmeros, una ecuación que permite resolver el problema anterior es

A) 2 2 1 17x x

B) 2 2 1 17x x

C) 22 1 17x x

D) 22 1 17x x 9. Si el área de un terreno rectangular mide 896m2 y el largo excede al ancho en 4m,

entonces ¿cuál es la longitud en metros del largo del rectángulo?

A) 28B) 30

C) 32D) 34

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GRUPO FÉNIX

10.El producto de dos números positivos es 2. Si el número mayor excede en17

10al menor,

entonces ¿cuál es el número mayor?

A) 5

2

B)4

5

C)2

5

D)3

1011.El área de un rectángulo es 15. Si el largo es igual a 4 aumentado en el triple del ancho,

entonces ¿cuál es la longitud del largo del rectángulo?

A) 13

B)7

8

C)3

5D) 9

12.La suma de dos números es 23 y su producto 102. ¿Cuáles son esos números?

A) 17 y 6 B) 7 y 30

C) 11 y 12

D) 6 y 17

13.Si el área de un rombo es 6,4 y la longitud de una diagonal es un quinto del cuádruplo dela longitud de la otra diagonal, entonces ¿cuál es la medida de la diagonal de mayorlongitud?

A)16

5

B)16

9

C) 4

D) 2

14.El producto de dos números negativos es 90. El número mayor excede en siete a untercio del número menor. ¿Cuál es el número menor?

A) 3B) 9

C) 30D) 10

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GRUPO FÉNIX

FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE

I Método: Fórmula General

La fórmula general además es útil para la factorización de un polinomio de la forma

2ax bx c con a, b, c constantes reales y 0c

Procedimiento:

1. Se identifica el valor de a, b, c en el polinomio y se calcula el discriminante ( )

2 4b ac

2. Se realiza el estudio del discriminante:

Valor del Interpretación

0 El polinomio es factorizable como el producto

de dos factores distintos

0 El polinomio es factorizable como el producto

de dos factores iguales

0 El polinomio NO es factorizable

3. Se calculan los valores de x con la Fórmula General:

Fórmula general

2

bx

a

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GRUPO FÉNIX



Ejemplo 1Factorice el polinomio 24 12 9x x

Ejemplo 2Factorice el polinomio 25 2x x


2

2

4

12 4 4 9 0

b ac

2. El discriminante es cero ( 0 ),

entonces el polinomio es factorizable

como el producto de dos factores iguales.

3. Se calculan los valores de x :

Primer factor Segundo factor

1

1

212 0 3

2 4 2

bx

a

x

12 3x

2

2

212 0 3

2 4 2

bx

a

x

22 3x

2

22

/ : 4 12 9 2 3 2 3

4 12 9 2 3

R x x x x

x x x

1. Ordenamos el polinomio de la forma

22 5x x


2

2

4

1 4 2 5 39

b ac

3. El discriminante es negativo ( 0 ),

entonces el polinomio NO es factorizable.

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GRUPO FÉNIX



Ejemplo 3

Factorice el polinomio 22 5 3x x

Ejemplo 4

Factorice el polinomio 216 63y y


2

2

2 , 5, 3

4

5 4 2 3

49

a b c

b ac



como el producto de dos factores distintos

3. Se calculan los valores de x :


1

1

1

1

25 7

2 212

43

bx

a

x

x

x

1 3x

2

2

2

2

25 7

2 22

41

2

bx

a

x

x

x

22 1x

2/ : 2 5 3 3 2 1R x x x x

1. Ordenamos el polinomio de la forma2 16 63y y


2

2

1 , 16, 63

4

16 4 1 63

4

a b c

b ac



como el producto de dos factores distintos

4. Se calculan los valores de y :


1

1

1

1

216 2

2 118

29

by

a

y

y

y

1 9y

2

2

2

2

216 2

2 114

27

by

a

y

y

y

1 7y

2/ : 16 63 9 7R y y y y

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GRUPO FÉNIX


1. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando la Fórmula General.

a) 22 3 1x x

b) 23 2 1x x

c) 22 5 2x x

d) 24 3 1x x

e) 22 7 3x x

f) 25 4 1x x

g) 22 9 4x x

h) 26 7 1x x

i) 22 11 5x x

j) 27 8 1x x

k) 22 1x x

l) 24 4 1x x

m) 22 3 2x x

n) 29 6 1x x

o) 22 5 3x x

p) 216 8 1x x

q) 22 7 4x x

r) 225 10 1x x

s) 22 9 5x x

t) 236 12 1x x

u) 23 2x x

v) 24 3x x

w) 25 4x x

x) 26 5x x

y) 27 6x x

z) 2 2x x

aa) 22 3x x

bb) 23 4x x

cc) 24 5x x

dd) 25 6x x

ee) 23 18y y

ff) 22 15y y

gg) 22 1y y

hh) 2 7 60a a

ii) 210 3 11a a

jj) 29 25 30a a

kk) 240 100 4m m

ll) 29 4 12m m

mm) 2 169 26m m

nn) 224 144m m

oo) 210 15 20n n

pp) 213 90m m

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GRUPO FÉNIX


II Método: Inspección

Se utiliza para polinomios de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a . La

factorización de dicho polinomio debe ser de la forma 2ax bx c Ax B Cx D ,

donde , ,A B C son números enteros con , ,A C a B D c y A D B C b .

Caso generalEjemplo 1


1. Se buscan los factores para 2ax y c

2. Se expresa la factorización 2ax bx c Ax B Cx D

1. Se buscan los factores para 2 3y

2. Se expresa la factorización 22 5 3 3 2 1x x x x



1. Se buscan los factores para6 10y

2. Se expresa la factorización 26 23 10 3 10 2 1x x x x

1. Se buscan los factores para 4 9y

2. Se expresa la factorización de

224 12 9 2 3 2 3 2 3x x x x x

3x

2 1x

22 5 3x x

1 2 3 5x x x

3 10x

2 1x

26 23 10x x

3 1 2 10 23x x x

2 3x

2 3x

24 12 9x x

2 3 2 3 12x x x

C x D

A D B C b

2ax bx c Ax B

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GRUPO FÉNIX


1. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando Inspección.

a) 22 3 1x x

b) 23 2 1x x

c) 22 5 2x x

d) 24 3 1x x

e) 22 7 3x x

f) 25 4 1x x

g) 22 9 4x x

h) 26 7 1x x

i) 22 11 5x x

j) 27 8 1x x

k) 22 1x x

l) 24 4 1x x

m) 22 3 2x x

n) 29 6 1x x

o) 22 5 3x x

p) 216 8 1x x

q) 22 7 4x x

r) 225 10 1x x

s) 22 9 5x x

t) 236 12 1x x

u) 23 2x x

v) 24 3x x

w) 25 4x x

x) 26 5x x

y) 27 6x x

z) 2 2x x

aa) 22 3x x

bb) 23 4x x

cc) 24 5x x

dd) 25 6x x

ee) 23 18y y

ff) 22 15y y

gg) 22 1y y

hh) 2 7 60a a

ii) 210 3 11a a

jj) 29 25 30a a

kk) 240 100 4m m

ll) 29 4 12m m

mm) 2 169 26m m

nn) 224 144m m

oo) 24 2 6x x

pp) 26 3 9x x

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GRUPO FÉNIX


III Método: Fórmula Notable

Se utiliza para polinomios de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a .

1. Se calcula 2ax y c

2. Se determina si 22 ax c bx

3. En caso de ser cierto el procedimiento # 2 se expresa 22 2ax bx c ax c


Ejemplo 2Factorice el polinomio 220 100y y

1. Se calcula225 5x x y 49 7

2. Se determina si

2 5 7 70x x 3. El procedimiento # 2 es cierto, entonces

2225 70 49 5 7x x x

1. Se calcula2y y y 100 10

2. Se determina si

2 10 20y y 3. El procedimiento # 2 es cierto, entonces

22 220 100 20 100 10y y y y y

Trabajo cotidiano # 71. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando Fórmulas Notables.

a) 2 2 1x x b) 24 4 1x x c) 29 6 1x x d) 216 8 1x x e) 225 10 1x x f) 2 4 4x x g) 24 12 9x x h) 29 24 16x x i) 216 40 25x x j) 225 60 36x x k) 2 6 9x x l) 24 20 25x x m) 29 42 49x x n) 225 40 16x x o) 2 2 1x x

p) 24 4 1x x q) 29 6 1x x r) 216 8 1x x s) 225 10 1x x t) 2 4 4x x u) 24 12 9x x v) 29 24 16x x w) 216 40 25x x x) 225 60 36x x y) 2 6 9x x z) 24 20 25x x aa) 29 42 49x x bb) 236 60 25x x cc) 225 40 16x x dd) 236 60 25x x

ee) 249 28 4b b ff) 2 1 2w w gg) 225 9 30x x hh) 216 4 16x x

ii)2

14

aa

jj)2

14

bb

kk)2

2 99

nn

ll)2 2

19 3

b b

mm)24 1

9 3 16

x x

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GRUPO FÉNIX


IV Método: Teorema del factor

Un polinomio f x tiene un factor x d si y sólo si 0f d . En nuestro caso, un

polinomio de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a , tiene un factor x d si y

sólo si 0f d .

Procedimiento:

1. Se determinan los divisores de “ c ”

1 2 3: , , ,... nDivisores d d d d

2. Se determina uno de los divisores que cumpla que 0f d .

3. Se realiza la división sintética entre 2ax bx c y x d para determinar el

cociente, es decir el segundo factor del polinomio.

Ejemplo 1


Procedimiento:

1. Se determinan los divisores de “ 3 ”

: 1, 3Divisores


23 2 3 5 3 3 0f

3. Se realiza la división sintética entre 22 5 3x x y 3x para determinar el cociente,

es decir el segundo factor del polinomio.

Cociente: 2 1x

4. La factorización del polinomio 22 5 3 3 2 1x x x x

2 5 3 3

2

6

1

3

0

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 81. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando el teorema del factor.

a) 22 3 1x x

b) 23 2 1x x

c) 22 5 2x x

d) 24 3 1x x

e) 22 7 3x x

f) 25 4 1x x

g) 22 9 4x x

h) 26 7 1x x

i) 22 11 5x x

j) 27 8 1x x

k) 22 1x x

l) 24 4 1x x

m) 22 3 2x x

n) 29 6 1x x

o) 22 5 3x x

p) 22 7 4x x

q) 22 9 5x x

r) 23 2x x

s) 24 3x x

t) 25 4x x

u) 26 5x x

v) 27 6x x

w) 2 2x x

x) 22 3x x

y) 23 4x x

z) 24 5x x

aa) 25 6x x

bb) 23 18y y

cc) 22 15y y

dd) 22 1y y

ee) 2 7 60a a ff) 2 169 26m m gg) 224 144m m


IV Método: Teorema del factor


1. Se determinan los divisores de “ 4 ” : 1, 2, 4Divisores


22 2 4 2 4 0f

3. Se realiza la división sintética entre 2 4 4x x y 2x para determinar el cociente,es decir el segundo factor del polinomio.

Cociente: 2x

4. La factorización del polinomio 22 4 4 2 2 2x x x x x

1 4 4 2

1

2

2

4

0

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FACTORIZACIÓN COMPLETA DE POLINOMIOS DE TRES Y CUATRO TÉRMINOS CONUNA O DOS VARIABLES

Factor Común y Fórmula Notable

Ejemplo 1Factorice de forma completa el polinomio

228 28 7x y xy y


3 2 2 2 28 40 50

7 7 7x y x y xy

1. Se determina el factor común delpolinomio

2

2

28 28 7

7 4 4 1

x y xy y

y x x

2. Se factoriza el trinomio de segundo grado

2

2

7 4 4 1

7 2 1

y x x

y x

1. Se determina el factor común delpolinomio

2 224 20 25

7xy x x

2. Se factoriza el trinomio de segundo grado

2 2

22

24 20 25

72

2 57

xy x x

xy x

Ejemplo 3Factorice de forma completa el polinomio 3 2 2 1x x x x

1. Se determina el factor común del polinomio

3 2

2 2

2 1

2 1

x x x x

x x x x

2. Se factoriza el trinomio de segundo grado:

2 2

22

2 1

1

x x x x

x x x

3. Se factoriza la expresión que está dentro del paréntesis cuadrado utilizando diferencia decuadrados:

22 1

1 1

x x x

x x x x x

4. Se simplifican los factores

1 1

1 1

2 1 1

2 1

x x x x x

x x x x x

x x

x x

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 91. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.

a) 3 218 12 2x y x y xy

b) 4 3 248 24 3x y x y x y

c) 3 3 2 3 34 16 16x y x y xy

d) 4 2 3 2 2 245 120 80x y x y x y

e) 3 4 5 4 4 4150 54 180x y x y x y

f) 250 80 32

3 3 3x y xy y

g) 3 264 64 16

5 5 5x y x y xy

h) 2 2 2 3 284 147 12

11 11 11x y xy x y

i) 2 3 4 3 3 336 16 48

7 7 7x y x y x y

j) 3 4 4 4 5 4125 120 45

3 3 3x y x y x y

k) 3 2 10 25x x x x

l) 3 2 4 4x x x x

m) 4 2 2 6 9x x x x

n) 5 3 24 4 1x x x x

o) 6 4 29 12 4x x x x

p) 5 2 72 9 24 16 8x x x x

q) 6 2 816 9 30 25 36x x x x

r) 7 2 9125 16 40 25 80x x x x

s) 2 38 1825 20 4

3 3x x x x

t) 3 2 54 925 30 9

5 80x x x x

u) 3 2 22xy xy x xy y

v) 4 2 2 24 4xy xy x xy y

w) 5 3 2 26 9xy xy x xy y

x) 2 3 2 2 24 4x y x y x xy y

y) 3 3 3 2 29 12 4x y x y x xy y

z) 3 4 3 2 2 29 24 16x y x y x xy y

aa) 2 2 216 40 25xy xy x xy y

bb) 4 2 4 4 2 225 20 4x y x y x xy y

cc) 4 2 225 30 9xy xy x xy y

dd) 3 5 2 29 30 25x y xy x xy y

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GRUPO FÉNIX


Grupos y Factor Común


23 8 6 4x y xy x


23 4 6 2xy x y x

1. Se agrupan los términos de dos en dos

tomando como criterio que cada

agrupación tenga factor común

2

2

3 8 6 4

3 6 8 4

x y xy x

x xy y x

2. Se determina el factor común de cada

agrupación

23 6 8 4

3 2 4 2

x xy y x

x x y y x

3. Se determina el factor común entre los

dos grupos

3 2 4 2

3 2 4 2

2 3 4

x x y y x

x x y x y

x y x

1. Se agrupan los términos de dos en dos

tomando como criterio que cada

agrupación tenga factor común

2

2

3 4 6 2

3 6 4 2

xy x y x

xy y x x

2. Se determina el factor común de cada

agrupación

23 6 4 2

3 2 2 2

xy y x x

y x x x

3. Se determina el factor común entre los

dos grupos

3 2 2 2

3 2 2 2

2 3 2

2 2 3

y x x x

y x x x

x y x

x x y

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GRUPO FÉNIX


1. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.

a) 2 31x x x

b) 21 2 2x x x

c) 3 24 1 4x x x

d) 3 23 2 12 8x x x

e) 2 33 9 3x xy y y

f) 24 6 3 2x y xy x

g) 1 3 2 6x y xy

h) 24 3 6 2x xy y x

i) 2 28 4 5 10y x x y xy

j) n ym m yn

k) 2a a ax x

l) 3 1 3ab b a

m) 2yz z y y

n) 2 21by y b

o) 2 2 3 31ab a b a b

p) 4 43 2 3 2mx m x

q) 2 33 9 3a ab b b

r) 2 29 1 6n a an

s) 26 8 4 3mn n m m

t) 2 39 3 3ax x a x

u) 2 2 2 23 4 3 4x a x a

v) 2 22 6 3bx b x

w) 21 9 14 6x mx m

x) 2 22 2x z x z

y) 2 22 6 3b b a a

z) 4 3 4 3w m nw mn

aa) 2 2 2 33 12 4n mn nm m n

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GRUPO FÉNIX


Grupos y Diferencia de Cuadrados


2 210 16 25x x y


3 2x x y xy

1. Se agrupan los términos tres a uno,

2 2

2 2

10 16 25

10 25 16

x x y

x x y

2. Se factoriza el trinomio por Fórmula

Notable

2 25 16x y

3. Se factoriza por diferencia de cuadrados

5 4 5 4x y x y

4. Se simplifican los factores

5 4 5 4x y x y

1. Se agrupan los términos de dos en dos,

3 2

3 2

x x y xy

x xy x y

2. Se factoriza uno de los binomios por

factor común

2 2x x y x y

3. Se factoriza uno de los binomios por

diferencia de cuadrados

x x y x y x y

4. Se factoriza toda la expresión por factor

común y se simplifica

2

1

1

x y x x y

x y x xy

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 111. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.

a) 2 2 22ab a b c

b) 2 26 9n n c

c) 2 2 22ac a c b

d) 2 2 22xz x z y

e) 2 22 1ax a x

f) 2 24 4 1x y xy

g) 2 2 22a ab b x

h) 2 22 1a a b

i) 2 22 1a a c

j) 2 225 1 2a m a

k) 225 10 9n n

l) 2 2 29 6a b c bc

m) 2 2 29 4 4x m am a

n) 2 224 9 1 16xy x y

o) 2 29 1 16 24x a ax

p) 2 2 29 4 6y x ay a

q) 2 2 4 2x y x x xy

r) 3 22 3 3 2x x y xy

s) 4 2 2 25 5xy x x y x

t) 4 2 24 1 4x x x

u) 3 212 4 27 9x x x

v) 3 28 12 18 27x x x

w) 2 336 4 9 16x x x

x) 2 390 8 40 18x x x

y) 2 318 4 8 9x x y x y

z) 2 236 4 9a ab b

aa) 2 216 36 4 9a ab b

bb) 2 24 1 4a b ab

cc) 3 2 2 3x x y xy y

dd) 4 3 2y y y y

ee) 4 3 22 3 2 3y y y y

ff) 3 3xy y x y y

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GRUPO FÉNIX

Ejercicios de profundización1. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.

a) 6 38x x

b) 2 35 3

2 2x x x

c) 3 23 2 6y y y

d) 2 22 2

2

7 8 9x x

b b

e) 2

2

3 16 1 xx

a a

f) 2 2 3 4 3 2

12 18

x x x

g) 2 24 9 10 15a b b a b

h) 2 2 24 12 4 9m ab a b

i)

2 2

2

15 12

2 2

m mp mp p

m m

j)

22 3 2 2

21 1

b a ba b a b

a a

k) 23 28 10 3q q p q q p q

l) 23 215 4 2 3 4 2 3y y x y y x y

m) 2 2 2 2q p q q p q p p q p p q

n) 4 2 3b ba a

o) 3 2 410 am m

p) 3 2 1z zs s

q) 22 3n nx x

r) 1 2 1 1a ax x

s) 2 2j x jm m

t) 45 a b a b nz z

u) 2 4 31 5 1

mx x

v) 1 3 12 2

a am m

w) 3 1 3 2x xa b a b

x) 2 1 22 2

my y

y) 2 1 1 2 1 2 1 2m m mx x x

z) 2 3 2 3 2n nx y x y

aa) 2 2 415 2 5 2

mx x

bb) 1

24 8

n nb a b a b

a a

cc) 2 1 3 2 1 1

4 8

x xk k

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GRUPO FÉNIX

Trabajo extraclase # 21. Al factorizar 3 2 1a a a un factor es

A) 1a B) 2 1a

C) 2 1a

D) 22 1a

2. Un factor del polinomio 249 2 3x corresponde a

A) 5 3xB) 5 3x

C) 25 xD) 2 1 2 5x x

3. Al factorizar 2 26x ax a uno de los factores esA) 3x aB) 2x a

C) 6x aD) 2x a

4. Al factorizar 26 2x x uno de los factores es

A) 2 2x B) 3 2x

C) 2 2x D) 3 2x

5. La factorización de 2 3

164

x es

A) 1 5 11

2x x

B) 1 5 11

2x x

C) 1 5 11

4x x

D) 1 5 11

4x x

6. Un factor de 2 1 2x y y es

A) 1x B) 2 y

C) 1x y D) 1x y

7. Un factor de 24 1 1x x y es

A) 1x B) 1y

C) 2 1x y D) 2 1x y

8. Un factor de 2 26 3 6 3y x x y esA) x yB) x y

C) 2x y D) 2x y

9. Al factorizar 2 2 4 4a b b uno de los factores esA) 1 bB) a b

C) 2a b D) 2a b

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GRUPO FÉNIX

10.La expresión 2 22 1x y x factorizada corresponde a

A) 1 1y x y x B) 1 1y x y x

C) 1 1y x y x D) 1 1y x y x

11.En la factorización completa de 2 1

2 2

xx uno de los factores es

A) 2 1x

B) 2 1x

C)1

2x

D)1

2x

12.En la factorización completa de 3 2 28 4 8 4x x y x xy uno de los factores esA) x yB) 1x

C) 2x yD) 2 1x

13.En la factorización completa de 6 38x x uno de los factores esA) 2x B) 3

2x C) 2 4 4x x D) 2 2 4x x

14.En la factorización completa de 316 4x x uno de los factores esA) 2 1x B) 2

2 1x C) 24 2 1x x D) 24 2 1x x

15.Una factorización de 4 2 2 44 12 9x x y y es

A) 4 44 6x y

B) 22 22 3x y

C) 22 22 3x y

D) 2 2 2 22 3 2 3x y x y

16.Uno de los factores de 2 2 3 4 3 2x x x es

A) 4x B) 2x

C) 3 2x D) 2 4x

17.Uno de los factores de 2 2 2k p k p es

A) 2 pB) 22 p

C) 2 2k p

D) 2k p

18.En la factorización completa de 2 24 4y x x uno de los factores esA) 4x B) 2y

C) 2y x D) 2y x

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GRUPO FÉNIX

CONCEPTO DE RELACIÓN

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dosconjuntos.

Ejemplo 1 Ejemplo 2Analicemos mediante un diagrama elsiguiente caso donde existe una relaciónentre estudiantes y su edad.

Analicemos el siguiente caso donde existeuna relación entre estudiantes y el númerode miembros de su familia.

Ejemplo 3Analicemos el siguiente caso donde la relación o correspondencia es comprar.Cuatro estudiantes, Carlos, María, José y Laura, ingresan a la librería, que entre otrascosas ofrece: lápices, lapiceros, plumas, cuadernos, reglas, borradores, hojas blancas,fólder, clips, grapas, etc. Luego de observar lo que la librería les ofrecía: Carlos compró lapiceros, un cuaderno y un borrador; María compró dos borradores y una regla; José compró un lápiz; Laura no compró.

Podemos decir que los estudiantes forman un conjunto A y los útiles que ofrece la librería unconjunto B para representarlo de la siguiente forma:

En este caso Laura fue a la librería pero no compró nada, por lo tanto en una relaciónpueden sobrar elementos en ambos conjuntos.

Mary

Rosy

Celeste

Gustavo

5

3

4

6

RA B

Mary

Rosy

Celeste

Gustavo

13

17

15

14

RA B

16

Carlos

María

José

Laura

lápizplumascuadernosreglasborradoreshojasfólderlapiceros

A B

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GRUPO FÉNIX

VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE

Variables Variable independiente Variable dependienteEs todo aquello que puedeasumir diferentes valores.

Es aquella propiedad de unfenómeno a la que se le va aevaluar su capacidad parainfluir, incidir o afectar a otrasvariables.

Es la característica queaparece o cambia cuando seaplica, suprime o modifica lavariable independiente.

Ejemplo 1Podemos decir que los estudiantes son la variable independiente (conjunto A) y los útilesque ofrece la librería son la variable dependiente (conjunto B):

Ejemplo 2Si se paga a 350 colones la hora. El salario de un trabajador depende de las horas quetrabaje. El salario será igual a 350 por el número de horas trabajadas.Si S : salario y h : horas trabajadas entonces

Esto significa que el valor de la variable S depende del valor del variable h . Es decir,entre más horas trabaje mayor es su salario.

Ejemplo 3Un ciclista viaja a una velocidad constante durante cierto tiempo, recorre una distancia igualal producto de la velocidad por el tiempo transcurrido, es decir, d v t Esto significa que si el cuerpo viaja a 5 /m s se puede determinar cuál es la distanciarecorrida con solo saber el tiempo trascurrido.La distancia depende de la duración (tiempo) del recorrido.Si d : distancia y t : tiempo de recorrido, entonces

Carlos

María

José

Laura

lápizplumascuadernosreglasborradoreshojasfólderlapiceros

A B

350S harv iable independientevar iab le dependiente

5d tarv iable independientevar iab le dependiente

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GRUPO FÉNIX

VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE

Ejemplos de variables

Variables independientes Variables dependientes

Número de fotocopias Precio total de las fotocopias

Tiempo Distancia

Velocidad Distancia

Medida del radio Longitud de la circunferencia

Medida del radio Área de la circunferencia

Medida del ancho de un rectángulo Perímetro del rectángulo

Medida del largo de un rectángulo Perímetro del rectángulo

Velocidad inicial de un objeto lanzado haciaarriba Altura

Tiempo Altura

Trabajo cotidiano # 11. A continuación se presentan relaciones de variables que son comunes en nuestra vida.

Determine cuál es variable dependiente y cual es independiente.

a) El salario de un constructor depende de la cantidad de horas trabajadas por semana.b) La producción de azúcar en un ingenio es proporcional a la cantidad de caña que se

produce.c) El salario de un peón en una finca depende de la cantidad de horas trabajadas por

semana.d) La cantidad de diputados por partido político es proporcional a la cantidad de votos que

obtenga en una elección.e) Que un equipo de fútbol quede campeón depende de la cantidad de juegos que gane en

todo el torneo.f) La cantidad de vacunas contra la gripe AH1N1 es proporcional a la cantidad de personas

en riesgo.g) Que un estudiante apruebe el curso lectivo depende del promedio de sus notas en los

tres trimestres.h) La pobreza de un país depende de la cantidad de impuestos que se cobran se destinen

para brindar nuevas oportunidades a los ciudadanos.i) La capacidad de procesar información de una computadora depende de la velocidad de

su procesador.j) La capacidad de una computadora para almacenar información depende de la capacidad

de almacenamiento de su disco duro.

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GRUPO FÉNIX

CONTENIDOS DE PROFUNDIZACIÓNDESPEJE DE VARIABLE

Consiste en resolver una ecuación para una determinada variable, pero en términos de las

otras variables. De una fórmula original se puede derivar al menos otra más.

Ejemplo 1 Ejemplo 2La fórmula del movimiento lineal casi siempre

se escribe

Supongamos que un determinado problema

nos plantea como variable dependiente la

velocidad v, entonces simplemente

despejamos

dv

t

El área de un triángulo es igual al producto

de la base por la altura dividido por 2.

2

bhA

Si la variable dependiente fuese h, quedaría

la fórmula así:

Si la variable dependiente fuera b, quedaría

la fórmula así

2Ab

h

Trabajo cotidiano # 21. De las fórmulas que se presentan a continuación obtenga nuevas fórmulas despejando

las variables indicadas.

a) despejarf ii

V Va V

t

b) despejarf iV V at t

c) despejarf if

V Vg V

t

d) 2 22 despejarf i igh V V V

e)2

despejarh

tb hg

f)2

2 despejarh

tv gg

g) 3

despejar2

n nD n

h) despejar2

DdA d

22

2

2

bhA

A bh

Ah

bA

hb

arv iable

independiente

arv iable

dependiente

d v t

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GRUPO FÉNIX

CONCEPTO DE FUNCIÓN

En el primer objetivo de esta unidad hemos analizado el concepto de relación o

correspondencia entre dos conjuntos, en los cuales basta con que exista una conexión o un

criterio que los relacione. Para entender mejor el concepto de función analicemos los

siguientes ejemplos.

Ejemplo 1

Tres estudiantes, Carlos, María y José, ingresan a la librería, que entre otras cosas ofrece:

lápices, lapiceros, plumas, cuadernos, reglas, borradores, hojas blancas, fólder, clips,

grapas, etc. Luego de observar lo que la librería les ofrecía:

Carlos compró un borrador;

María compró dos borradores;

José compró un lápiz.

Podemos decir que los estudiantes forman un conjunto A y los útiles que ofrece la librería un

conjunto B para representarlo de la siguiente forma:

¿Cuáles son las diferencias entre este ejemplo y el que se planteó en el objetivo estudiado

anteriormente en la página 68?

Carlos

Maria

José

Lápiz

Plumas

Cuadernos

Reglas

Borradores

Hojas

A B V

ersión

Elec

trónic

a

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GRUPO FÉNIX


Ejemplo 2

Analicemos el siguiente caso donde existe una relación entre estudiantes y su edad.

En este caso encontramos que cada uno de los elementos del Conjunto A se relaciona con

un único elemento del Conjunto B. Es decir, cada estudiante se relaciona con un único

número que representa su edad.

Mediante un diagrama podemos representar la información.

Podemos observar lo siguiente:

1) Todos los elementos del Conjunto A se relacionaron con algún elemento del Conjunto B,

o sea, no sobraron elementos en el Conjunto A (Conjunto de Salida).

2) Contrario al Conjunto A, notamos que existen elementos del Conjunto B que no fueron

“seleccionados” por elementos del Conjunto A. Es decir, sobraron elementos en el

Conjunto B (Conjunto de llegada).

Mary

Rosy

Pedro

Juan

13

17

15

14

R

A B

16 Vers

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GRUPO FÉNIX


Ejemplo 3

Analicemos el siguiente caso donde existe una relación entre estudiantes y el número de

miembros de su familia.

En este caso encontramos que cada uno de los elementos del Conjunto A se relaciona con

un único elemento del Conjunto B. Es decir, cada estudiante se relaciona con un único

número que representa los miembros de su familia.

Mediante un diagrama podemos representar la información.

Podemos observar lo siguiente:

1) Todos los elementos del Conjunto A se relacionaron con algún elemento del Conjunto B,

o sea, no sobraron elementos en el Conjunto A (Conjunto de Salida).

2) Al igual todos los elementos del Conjunto B se relacionaron con algún elemento del

Conjunto A, o sea, no sobraron elementos en el Conjunto B (Conjunto de llegada).

R

BA

3

4Pedro

Rosy

Juan

56Mary

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GRUPO FÉNIX


Ejemplo 4

Un grupo de 25 estudiantes de undécimo año, realiza una prueba escrita. Supongamos que

el conjunto A está formado por los 25 estudiantes del grupo, y el conjunto B por las posibles

notas que se pueden obtener en una escala de 1a 100.

A = {Rosy, Beatriz, Carmen, Denia, Estefany,

Francini, Gretel, Hazle, Ileana, Jeannet,

Karol, Lorena, María, Alvaro, Bolivar, Carlos,

Dagoberto, Eduardo, Francisco,

Geovanny, Harol, Ignacio, José, Kenneth,

Luis}

B = {1,2,3,4,…,98,99,100} (números entre el

1 y el 100 inclusive)

La relación de correspondencia = Nota obtenida en la prueba.

De acuerdo con lo anterior hagamos un análisis de las siguientes situaciones:

Todo alumno debe tener una y solo una nota.

Un alumno no puede tener más de una nota.

Pueden haber notas, que ningún alumno haya obtenido.

Pueden haber varios alumnos, o todos, que hayan obtenido la misma nota.

Bajo estas condiciones diremos que se ha establecido una correspondencia entre el

conjunto de los alumnos y el conjunto de las notas, esta correspondencia se le llama

función.

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GRUPO FÉNIX


Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B no vacíos, en la cual para

todo elemento que pertenece al conjunto A , existe un solo elemento y solo uno, que

pertenece al conjunto B al cual se le asocia o corresponde.

Dicho de otro modo, una función es una relación entre dos conjuntos, que cumple dos

condiciones:

1. Todo elemento del conjunto de partida o Dominio está relacionado con un elemento en el

conjunto de llegada o Codominio.

2. No es posible que un elemento del conjunto de partida o dominio esté asociado con dos

o más elementos del conjunto de llegada o Codominio

Para simbolizar que se ha establecido una función f de un conjunto A en un conjunto B

usaremos la siguiente notación:

:f A B

Diagramas de Venn

La información anterior la podemos representar mediante un diagrama de Venn.

Conjunto A Conjunto Bf

1

2

3

4

x

x

x

x

1

2

3

4

5

6

y

y

y

y

y

y

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GRUPO FÉNIX


Ejemplo 1Por medio de diagramas de Venn analicemos las siguientes correspondencias y

determinemos cuales corresponden a una función.

NO corresponde a una función ya que a un

elemento en A no le corresponde un

elemento en B.

SI corresponde a una función, a cada

elemento del conjunto A le corresponde un

elemento en B.

NO corresponde a una función ya que un

elemento en A le corresponde dos

elementos en B.

SI corresponde a una función, a cada

elemento del conjunto A le corresponde un

elemento en B.

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 31. Determine cual correspondencia en cada uno de los siguientes casos corresponde a una

función.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

a

bc

123

A B

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GRUPO FÉNIX

RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE CONJUNTOS NUMÉRICOS, CUYOCRITERIO ESTÁ FORMULADO MEDIANTE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una relación se establece por medio de la correspondencia entre dos conjuntos y una regla

de asociación que permita relacionar los elementos de un conjunto con los del otro conjunto,

en este objetivo trabajaremos con reglas de asociación compuestas por expresiones

algebraicas.

Ejemplo 1

Si el criterio de la función es

Para encontrar los valores del conjunto B, sustituimos cada valor del conjunto A en el criterio.

a) b) c)(4) 2(4) 1

(4) 8 1

(4) 9

f

f

f

(3) 2(3) 1

(3) 6 1

(3) 7

f

f

f

(2) 2(2) 1

(2) 4 1

(2) 5

f

f

f

( ) 2 1f x x

( ) 2 1f x x

2

3

4

5

7

9

A B

2

3

4

A B

f

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GRUPO FÉNIX

RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE CONJUNTOS NUMÉRICOS, CUYOCRITERIO ESTÁ FORMULADO MEDIANTE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Ejemplo 2

En el ejemplo anterior representamos los conjuntos con diagramas de Venn, ahora los

denotaremos con llaves, veamos:

Si 2,3,4,5A y el criterio es ( ) 4 2f x x determine el conjunto B.

a) b) c) d)

Concluinos que Si 2,3,4,5A entonces 6,10,14,18B

Ejemplo 3

Analicemos un problema de aplicación.

Una empresa que fabrica cintas de audio estima que el costo C (en colones) al producir

cintas está dado por la función ( ) 20 100C x x

1. Calcule el costo de producir 50 unidades

(50) 20(50) 100

(50) 1000 100

(50) 1100

C

C

C

R/ El costo de producir 50 cintas es de

₡ 1100

2. Calcule el costo de producir 75 unidades

(75) 20(75) 100

(75) 1500 100

(75) 1600

C

C

C

R/ El costo de producir 50 cintas es de

₡ 1600

(2) 4(2) 2

(2) 8 2

(2) 6

f

f

f

(3) 4(3) 2

(3) 12 2

(3) 10

f

f

f

(4) 4(4) 2

(4) 16 2

(4) 14

f

f

f

(5) 4(5) 2

(5) 20 2

(5) 18

f

f

f

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Trabajo cotidiano # 41. De acuerdo al criterio de la función indicado determine los elementos del conjunto B

Conjunto de salida A Criterio Conjunto de llegada B

a) 3, 4, 5, 6A ( ) 3 1f x x _____________B

b) 1, 3, 4, 6A ( ) 3 2f x x _____________B

c) 3, 2, 4, 5, 6A ( ) 5 6f x x _____________B

d) 6, 4, 0, 3A 2( ) 3 1f x x _____________B

e) 7, 4, 2, 5, 8A 2( ) 5 7f x x _____________B

f) 9, 8, 1, 8, 9A 4 2( )

7

xf x

_____________B

g)2 3 5

, 0, , , 37 7 2

A

28 2( )

5

xf x

_____________B

h)3 1

7, 3, , , 115 3

A

( ) 4 2f x x _____________B

i)3 2

0, ,5 7

A

2( )f x x _____________B

2. Resuelva cada uno de los siguientes problemas.

a) El costo de producción de una empresa que produce periódicos está dado por la función

( ) 400 200C x x ¿Cuál es el costo de producir 20 000 periódicos? ¿Cuál es el costo

de producir 15 000 periódicos?

b) Celeste y Gustavo Adolfo tienen una empresa donde se produce chips de computadora el

costo en colones está dado por la función3

( ) 2004

C x x . Calcule el costo de

producir 700 unidades. Calcule el costo de producir 5000 unidades.

c) Un fabricante de computadoras determina que el ingreso obtenido por la producción y

venta de las mismas esta dado por la función 2( ) 350 0.25I x x x . Calcule el ingreso

si se venden 500 computadoras. Calcule el ingreso si se venden 1500 computadoras.

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GRUPO FÉNIX

DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGENY NOTACIÓN DE FUNCIONES

Para entender mejor el concepto de función es importante tener claro los siguientes

componentes que satisfacen una relación que corresponde a una función.

Componentes Ejemplos

DominioEl dominio de una función son todos los

elementos que puede tomar el conjunto de

salida.

PreimágenesSon todos los elementos del dominio.

CodominioEl codominio de una función son todos los

valores que puede tomar el conjunto de

llegada.

ÁmbitoEl ámbito de una función son los únicos

elementos del codominio que tienen relación

con los elementos del dominio.

ImágenesSon todos los elementos del ámbito.

Notación de funcionesPara denotar una función utilizaremos la siguiente simbología ,

f indica que existe una función.

A determina el conjunto de salida, o dominio.

B determina el conjunto de llegada o codominio.

Nota: la expresión ( ) ( )f x y ó y f x

:f A B

1 2 3Ámbito : , ,y y y

BA

3x2x1x

3y2y1y

4y

f

1 2 3 4Codominio : , , ,y y y y

BA

3x2x1x

3y2y1y

4y

f

BA

3x2x1x

3y2y1y

4y

f

1 2 3Dominio : , ,x x x

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Ejemplo 1

Considere la función f , tal que :f ; con ( ) 5 7f x x

Determine Solución

a) Dominio de f

b) Codominio de f

c) Criterio de f

d) La imagen de 4

e) La preimagen de 10

f) Ámbito de f

a) El dominio de f es 0 ,

b) Codominio de f es

c) Criterio de f es 5 7f x x

d) Para calcular una imagen se debe sustituir el valor dado en

lugar de “x” :

e) Para calcular una preimagen se debe sustituir el valor dado

en lugar de ( )f x :

f) El ámbito de f es , 7 porque el dominio es

0 , , 0 7f y " "f

Concluimos que :f con ( ) 5 7f x x tiene las siguientes características

Dominio Codominio Criterio Imagen de 4 Preimagen de -10 Ámbito

(4) 5(4) 7

(4) 20 7

(4) 27

f

f

f

4 27La imagen de es

5 7

10 5 7

10 7 5

3 5

3

5

f x x

x

x

x

x

310

5La preimagen de es

3

5 5 7f x x 27 , 7

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GRUPO FÉNIX


Ejemplo 2

Considere la función f , tal que :f ; con ( ) 5 7f x x

Determine Solución

a) Dominio de f

b) Codominio de f

c) Criterio de f

d) La imagen de 4


f) Ámbito de f

a) El dominio de f es , 0


c) Criterio de f es 5 7f x x


lugar de “x” :



f) El ámbito de f es 7 , porque el dominio es

, 0 , 0 7f y " "f

Concluimos que :f ; con ( ) 5 7f x x tiene las siguientes características

Dominio Codominio Criterio Imagen de - 4 Preimagen de 12 Ámbito

7 ,

( 4) 5( 4) 7

( 4) 20 7

( 4) 27

f

f

f

4 27La imagen de es

5 7

12 5 7

12 7 5

5 5

5

51

f x x

x

x

x

x

x

12 1La preimagen de es

1 5 7f x x 27

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GRUPO FÉNIX


Ejemplo 3

Considere la función f , tal que : 2 ,10f ; con5

( )3

xf x

Determine Solución

a) Dominio de f

b) Codominio de f

c) Criterio de f

d) La imagen de1

2


f) Ámbito de f

a) El dominio de f es 2 ,10


c) Criterio de f es5

( )3

xf x


lugar de “x” :



f) El ámbito de f es5 7

,3 3

porque el dominio es

2 ,10 , 72

3f y 5

103

f

15

1 22 3

1 11

2 6

f

f

1 11

2 6La imagen de es

5( )

35

23

2 3 5

6 5

6 5

1

1

xf x

x

x

x

x

x

x

2 1La preimagen de es

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GRUPO FÉNIX


Ejemplo 4

Considere la función f , tal que : 3, 1, 0 , 5f ; con 2 1f x x x

Determine Solución

a) Dominio de f

b) Codominio de f

c) Criterio de f

d) La imagen de 1

e) Las preimágenes de 1

f) Ámbito de f

a) El dominio de f es 3, 1, 0 , 5


c) Criterio de f es 2 1f x x x


lugar de “x” :

e) Para calcular las preimágenes se debe sustituir el valor

dado en lugar de ( )f x :

f) El ámbito de f es 5 , 1 , 29 porque el dominio es

3, 1, 0 , 5 , 3 5f , 1 1f , 0 1f y

5 29f

21 1 1 1

1 1

f

f

1 1La imagen de es

2

2

2

2

1 2

1

1 1

1 1 0

0

0 1

f x x x

x x

x x

x x

x x

1 1 0La preimágenes de son y

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 51. De las siguientes funciones determine el Df (dominio), Cf (codominio), Af (ámbito), el

criterio y la preimagen e imagen que se solicita en cada una.

a) 2 5; :f x x f y preimagen de 8 e imagen de 8 .

b) 4 3; :f x x f y preimagen de7

2e imagen de

1

2

.

c) 6; :f x x f y preimagen de 0 e imagen de5

3.

d) 5; :f x x f y preimagen de23

4

e imagen de 123 .

e) 2; :

7

xf x f

y preimagen de 19 e imagen de 81 .

f) 1 2; :

3

xf x f

y preimagen de31

7

e imagen de

2

5.

g) 2 5; : 7 , 15f x x f y preimagen de 5 e imagen de 2 .

h) 4 3; : 10 , 1f x x f y preimagen de 4 50 e imagen de 3 7 .

i) 2 1; : 15 ,

7 7

xf x f

y preimagen de

8

7e imagen de

15

4

.

j) 1 2 27 27; : ,

3 5 5

xf x f

y preimagen de 0 e imagen de 3 .

k) 2 32 ; : 0,2, 1,

5f x x x f

y preimágenes de 0 e imagen de 1 .

l) 2 73; : 2, , 3

3f x x f

y preimagen de 1 e imagen de

7

3.

m) 12 1; : , 100

2f x x f

y preimagen de 3 e imagen de18

7.

n) 33 2 1; : 9 , 1f x x f y preimagen de 3 15 e imagen de 5 .

o) 2 31 ; : 1,0,

2 2

xf x f

y preimagen de1

2

e imagen de 0 .

p) 4 44 3 ; : 4,

5 3f x x f

y preimagen de

4

5e imagen de 4 .

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GRUPO FÉNIX

EJERCICIOS DE PROFUNDIZACIÓNDOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGEN

Y NOTACIÓN DE FUNCIONES

1. Para la función f : , con 1 si 0

si 0

xf x

-x x

determine la imagen de –3.

2. Si 2

3

xf x

, entonces determine 1f .

3. Para la función f dada por 1

2f x

x

, determine:

a) 5 4 3f f f

b)

5 4

3

f f

f

c)

30 1 3 4

2 5

f f f f

f f

4. Para la función f dada por 3 5f x a , si a es una constante, entonces

determine 0 1f f .

5. Si 2f x x y la preimagen de 3 es 4 1k , entonces determine el valor de k .

6. Si para :f G IR con 3 1f x x el ámbito es 3,5 , entonces determine G.

7. Si fG 1,0 , 2,1 , 3,2 , 4,3 , 5,4 es el gráfico de la función f , entonces

determine el ámbito de esa función.

8. Sea la función : .f P Si el dominio de f tiene 7 elementos, entonces ¿cuál es el

menor número posible de elementos del ámbito de f ?

9. Sea 1

2f x

x

con dominio 2 entonces determine el ámbito de f .

10. Para la función :f dada por 2f x x , determine el ámbito de f .

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IDENTIFICACIÓN DEL DOMINIO, EL CODOMINIO, EL ÁMBITO, IMÁGENES YPREIMÁGENES DE UNA FUNCIÓN, A PARTIR DE SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Dominio 4 , Dominio , 1

Codominio Codominio

Ámbito , 4 Ámbito , 1

Imagen de 0 2 Imagen de 1 no existe

Preimagen de 0 6 Preimagen de 1 0

Ejemplo 3 Ejemplo 4

Dominio , Dominio 4 , 2

Codominio Codominio

Ámbito , Ámbito 3 , 3

Imagen de 1 4 Imagen de 0 3

Preimagen de 4 1 Preimagen de 0 4

x

y

21-1

4

-2

-4

x

y3

-4

-3

2

-4 6x

4

2

2 4

y

x

y

-1

1

-2 212 1

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 6De las siguientes gráficas de funciones determine el dominio, codominio, ámbito ypreimagen e imagen que se solicita en cada una.

Ejercicio 1 Ejercicio 2

Preimagen de 0 , Imagen de 0 Preimágenes de 0 , Imagen de 1Ejercicio 3 Ejercicio 4

Preimagen de 3 , Imagen de 2 Preimagen de 0 , Imagen de 2Ejercicio 5 Ejercicio 6

Preimagen de 0 , Imagen de 4 Preimagen de 0 , Imagen de 6


Preimágenes de 0 , Imagen de 2 Preimagen de 4 , Imagen de 1

y

x-4

34

4

-3

32

-2

2

11

-1-1

30x

3y

1

1 4

-2

3 ∙

∙

y

x2∙

x21

-2

-1-2

3

y

-4 3

-3 ∙∙

y

x4

-4 6x

4

2

∙2 4

y

∙

4

2 5x

y

-2-4

x

y

3-3

-4

f

1

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GRUPO FÉNIX

De las siguientes gráficas de funciones determine el dominio, codominio, ámbito, preimagene imagen.


Preimagen de 4 , Imagen de 3 Preimágenes de 0 , Imagen de 0


Preimagen de 3 , Imagen de 1 Preimagen de 2 , Imagen de 1Ejercicio 13 Ejercicio 14

Preimágenes de 2 , Imagen de 2 Una preimagen de 2 , Imagen de 1Ejercicio 15 Ejercicio 16

Preimagen de 3 , Imagen de 1 Preimagen de 3 , Imagen de 1

x

y

-3 432

3

-2-4

y

3

f

-1-1-2

21x

2

1

1 2-2 -1-1

x

y

4

y

x321

1

-1

4

2

2

x

y

-1 1

1

2

x

y

2 43-1

1

1

-2

3

2-1

y

x-2-3 -1

1

3

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GRUPO FÉNIX

Ejercicios de profundización

Determine el dominio, el codominio, el ámbito, 1f , 2f , intervalo para x si 0f x ,

intervalo para x si 0f x , el número de preimágenes de 2 .




1

2

-3 -2-1

2 3

3

-2

-1

1

1 2 4 5-4

-3

-5-1

-3 -2 -1 3 x

y

-2

12

y

2312

1x

2

-4 -3 -1 1 2 5-1

-3

1 2 4 5-4

-3

-5-1

x

y

1

1

-3 -2 -1 2 3

2

-2

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GRUPO FÉNIX

DOMINIO MÁXIMO DE FUNCIONES CUYO CRITERIO SE ENUNCIA CON EXPRESIONESALGEBRAICAS SENCILLAS

Si se describe la imagen bajo una función f , por medio de una fórmula algebraica y un

codominio B sin especificar el dominio, esta función tendrá un dominio implícito que

corresponde a todos los valores “x” tal que ( )f x pertenezca al codominio; al conjunto de

estos valores se le llama Dominio Máximo y lo denotamos con fD .

I Caso: Expresiones polinomiales de una variable.

Ejemplo 1Determine el dominio máximo de 23 4 1f x x x

Para expresiones polinomiales de una variable, el dominio máximo es , cualquier número

real tiene imagen. Simbólicamente se representa: fD =

II Caso: Expresiones racionales con denominador de la forma x b , con IRb

Ejemplo 2

Determine el dominio máximo de 5

6f x

x

1. Igualamos a cero el denominador y resolvemos:

2. El dominio máximo es: fD = 6

III Caso: Expresiones radicales de índice par, con subradical de la forma x b , conIRb

Ejemplo 3Determine el dominio máximo de 4f x x

1. Resolvemos la inecuación:

2. El dominio máximo es: 4 ,fD

6 0

6

x

x

4 0

4

x

x

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 71. Determine el dominio máximo de las siguientes funciones

a) 23 2 3f x x x

b) 23 2 3f x x x

c) 23 2 3f x x x

d) 222 3

3f x x x

e) 223

3 5

xf x x

f) 223

3 5

xf x x

g) 2 5f x x

h) 2 5f x x

i) 2 5f x x

j) 55

3f x x

k) 4 3f x x

l) 13

5f x x

m) 24 3f x x

n) 23 4f x x

o) 27f x x

p) 2f x x

q) f x x

r) 1f x

s) 3 24 7 6f x x x x

t) 1

9f x

x

u) 10

15f x

x

v) 7

xf x

x

w) 7

xf x

x

x) 7

xf x

x

y) 7

xf x

x

z) 11 2

2

xf x

x

aa) 4

3

xf x

x

bb) 10

5

xf x

x

cc) 9 1

7

xf x

x

dd) 24 3 1

4

x xf x

x

ee) 210 6

2

x xf x

x

ff) 3

2

4

xf x

x

gg) 4

1

9

xf x

x

hh) 9f x x

ii) 15f x x

jj) 7f x x

kk) 7f x x

ll) 7f x x

mm) 7f x x

nn) 4 10f x x

oo) 46

7f x x

pp) 4 3f x x

qq) 41

4f x x

rr) 6 3f x x

ss) 6 3f x x

tt) 68

3f x x

uu) 61

6f x x

vv) 8 3f x x

ww) 8 2f x x

xx) 8 5f x x

yy) f x x

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GRUPO FÉNIX

CONTENIDOS DE PROFUNDIZACIÓNDOMINIO MÁXIMO DE FUNCIONES CUYO CRITERIO SE ENUNCIA CON EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

II Caso (profundización): Expresiones racionales

Ejemplo 1

Determine el dominio máximo de 2

2

5 7 13

3 5 2

x xf x

x x

1. Igualamos a cero el denominador y resolvemos:

2. El dominio máximo es: fD =1

2 ,3

III Caso (profundización): Expresiones radicales de índice par

Ejemplo 2Determine el dominio máximo de 4 5f x x


2. El dominio máximo es:5

,4fD

IV Caso: Expresiones racionales con radicales de índice par en el denominador

Ejemplo 3

Determine el dominio máximo de 3 2

4

2 5 7 3

9 7

x x xf x

x


2. El dominio máximo es:9

,7fD

2

1 2

3 5 2 0

12 y

3

x x

x x

4 5 0

5

4

x

x

9 7 0

9

7

x

x

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 81. Determine el dominio máximo de las siguientes funciones

a) 2

2 3

2 3

xf x

x x

b) 2

2

1 3 4

28 8 12

x xf x

x x

c) 2

1

4 9

xf x

x

d) 2

2

1 xf x

x x

e) 2

2

3 6 3x xf x

x x

f) 2

2

4 1

16

xf x

x

g) 3

11 2

6 2

xf x

x x

h) 4 8

2 3

xf x

x x

i) 2 1

3 2

xf x

x x

j) 2

4 1

5 7 1

xf x

x x

k) 2

3 5 1

xf x

x x

l) 5

4 2 3

xf x

x

m) 2 6f x x

n) 5 2f x x

o) 1f x x

p) 4 2f x x

q) 21

3f x x

r) 1

2 4

xf x

s) 5 2 4 13f x x x

t) 3 45 1 1f x x x

u) 2

2f x

x

v) 7 1

5

xf x

x

w) 2 4

5

xf x

x

x) 1

2 13 2

f x

x

y) 1 5

3 2 5

xf x

x x

z) 12 3

44f x

xx

aa) 5 3

5

xf x

x

bb) 2

3 1

xf x

x

cc) 3

1

xf x

x

dd) 2 1

9 2

xf x

x

ee) 4 4 5

5 1

x xf x

x x

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GRUPO FÉNIX

Trabajo extraclase # 11. Sea la función dada por : 1, 7 2 ,3,5f , ¿cuál de los siguientes conjuntos

puede corresponder a un gráfico de f ?A) 1, 3 , 7 , 5

B) 2 , 3 , 3 , 5C) 1, 2 , 1, 3 , 7 , 5

D) 2 ,1 , 3 ,1 , 5 , 7

2. Si g es una función con 33( ) 2 1g x x entonces la preimagen de 2 esA) 5

B) 39

2

C) 37

2

D) 3 15

3. La imagen de1

4en la función 1( ) 2 xf x corresponde a

A) 4 8

B) 3

C)3

4D) 3

4. Para la función f dada por 1

2f x

x

, considere las siguientes proposiciones.

. 3 1

. 1 0

I f f

II f f

¿Cuáles de ellas son verdaderas?A) Solo la I.B) Solo la II.

C) Ambas.D) Ninguna.

5. Sea 3 2 1f x x con dominio 1,2

entonces el ámbito de f es

A) 0

B) ,0

C) 0,

D) 12

IR

6. Para la función : 0 ,f A , con f x x , si el ámbito de f es

1 , 4 , 9 , entonces, el dominio de f es

A) B) 1 , 2 , 3

C) 1 , 4 , 9

D) 1 , 16 , 817. Considere las siguientes relaciones:

I. :f con 4f x x

II. :g con 2 3g x x De ellas, ¿Cuáles corresponden a una función?A) AmbasB) Ninguna

C) Solo la ID) Solo la II

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GRUPO FÉNIX

y

5

2

1x

2

8. El ámbito def esA) B) , 5 C) , 2 5 D) , 2 5 ,

9. El ámbito de f esA) B) 1C) 0,1

D) 0

10. De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica, el ámbito de f esA) 2B) 2 , 4

C) 0 , 4

D) 0 , 2

11. En la función f cuyo criterio es 1

2

xf x

x

el dominio máximo es

A) 0 , B) 0

C) 1D) 0 , 2

12. El dominio máximo de la función f dada por 3

1

1f x

x

es

A) B) 1

C) , 1 D) 1 ,

13. El máximo dominio de la función 3

1

xH x

x

es

A) , 3 1, B) 3 ,1

C) 3 ,1D) , 3 1,

14. Considere las funciones cuyo criterio se da a continuación.

2

2

xf x

x

12g x x 2h x x

¿Cuáles de ellas tienen por dominio máximo 2 ?A) Solo f y g.B) Solo f y h.

C) Solo h y g.D) f , g y h.

-2

-2x

y

1

2

4

y

x

f

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GRUPO FÉNIX

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función f x corresponde al conjunto de puntos de la forma ,x f x

ó ,x y en el Sistema de Coordenadas Cartesianas, donde “x” es la preimagen y f x

ó “y” es la imagen.Si trazamos una recta perpendicular a la recta horizontal en el punto que corresponde alnúmero real “x” y trazamos una recta perpendicular a la recta vertical en el punto quecorresponde al número real f x ó “y”, entonces el punto de intersección de estas dos

rectas se identifica con el par ordenado ,x f x ó ,x y .

De acuerdo a lo anterior, significa que el eje “x” estará representando el dominio de lafunción, el eje “y” el codominio, y la regla de asociación quedará determinada por lospuntos de la gráfica.

Ejemplo 1Ubique en el siguiente sistema de coordenadas los pares ordenados que se presentan a

continuación. 2, 1 ; 2 ,1 ; 0, 2 ; 1 , 2 2, 3y y

x

2 , 1

2 , 1

0 , 2

1 , 2

2 , 3

, ,x f x ó x y

eje y

eje x

Vers

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lectró

nica

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ial G

rupo

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ix


GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 9Ubique los pares ordenados en el siguiente sistema de coordenadas

a) 4,3 ; 3,3 ; 1, 1 ; 2, 1 ; 3, 2 ; 3,0

b) 1,0 ; 1,3 ; 0,2 ; 2,3 ; 3,2 ; 3,3

Vers

ión E

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ix


GRUPO FÉNIX


Ejemplo 2Dada la función ( ) 2 2f x x ,

:con f determine su gráfica.

Ejemplo 3Dada la función 2( ) 2f x x ,


1. Escogemos algunos valores del dominio ycalculamos sus respectivas imágenes.

x 2 1 0 1 2

( )f x 6 4 2 0 2

2. Es este caso obtenemos los siguientespares ordenados:

2, 6 ; 1, 4 ; 0, 2 ;

1, 0 2,2y


x 2 1 0 1 2

( )f x 2 1 2 1 2

2. Es este caso obtenemos los siguientespares ordenados:

2,2 ; 1, 1 ; 0, 2 ;

1, 1 2,2y

1, 1

0, 2

1, 1

2, 2 2,2

x

y

f

2, 6

1, 4

0, 2

1, 0

2, 2

x

y

Vers

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ix


GRUPO FÉNIX


Ejemplo 4

Dada la función 2( ) 2f x x ,


Ejemplo 5

Dada la función 3( ) 1f x x ,



2. Es este caso obtenemos los siguientes

pares ordenados:

2, 2 ; 1,1 ; 0,2 ;

1,1 2, 2y

x 2 1 0 1 2

( )f x 2 1 2 1 2


2. Es este caso obtenemos los siguientes

pares ordenados:

2, 7 ; 1, 0 ; 0,1 ;

1, 2 2,9y

x 2 1 0 1 2

( )f x 7 0 1 2 9

2, 2

1,1

0,2

1,1

2, 2

( )f x

x

y

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 10Represente gráficamente en el sistema de coordenadas las siguientes funciones (se

recomienda el uso del Software Geogebra en http://www.geogebra.org/cms/ ):

a) ( ) 2 1f x x , :con f

b) ( ) 2 2f x x , :con f

c) ( ) 2 3f x x , :con f

d) ( ) 2 4f x x , :con f

e) ( ) 2 1f x x , :con f

f) ( ) 2 2f x x , :con f

g) ( ) 2 3f x x , :con f

h) ( ) 2 4f x x , :con f

i) 2( ) 1f x x , :con f

j) 2( ) 2f x x , :con f

k) 2( ) 3f x x , :con f

l) 2( ) 1f x x , :con f

m) 2( ) 2f x x , :con f

n) 2( ) 3f x x , :con f

o) 2( ) 4f x x , :con f

p) 3( )f x x , :con f

q) 3( ) 2f x x , :con f

r) 3( ) 3f x x , :con f

s) 3( )f x x , :con f

t) 3( ) 2f x x , :con f

u) 3( ) 3f x x , :con f

Ejercicios de profundizaciónRepresente gráficamente en el sistema de coordenadas las siguientes funciones:

a) ( ) 2 1f x x , :con f

b) ( ) 2 1f x x , :con f

c) ( ) 2 1f x x , :con f

d) 2( ) 1f x x , :con f

e) 2( ) 1f x x , :con f

f) 2( ) 1f x x , :con f

g) 2( ) 1f x x , :con f

h) 2( ) 1f x x , :con f

i) 3( )f x x , : 1 , 5con f

j) 3( )f x x , : 2 , 4 , 6 , 8con f

k) 3( )f x x , : 10 , 5con f

l) 3( )f x x , : 1 , 3 , 5 , 7con f

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GRUPO FÉNIX

CONTENIDOS DE PROFUNDIZACIÓNRÉGIMEN DE VARIACIÓN

Estrictamente creciente (EC) Estrictamente decreciente (ED)

Se dice que f es una función estrictamentecreciente si 1( )f x < 2( )f x siempre que

1x < 2x .

Se dice que f es una función estrictamentedecreciente si 1( )f x > 2( )f x siempre que

1x < 2x .

Creciente (C) Decreciente (D)

Se dice que f es una función creciente si

1( )f x 2( )f x siempre que 1x < 2x .

Se dice que f es una función decrecientesi 1( )f x 2( )f x siempre que 1x < 2x .

Constante (CO)

Se dice que f es una función constante si f x b , con b , para todo “x” que

pertenece al dominio. Es decir, los puntos de la gráfica están en una recta horizontal quepasa por 0,b

Ejemplo 1

Estrictamente Creciente

5 , 3 1 , 2

Estrictamente Decreciente

1 , 1 2 ,

Creciente

5 , 1

Decreciente

3 , 1

Constante

3 , 1

f

x

y Vers

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 11De las siguientes gráficas de funciones determine su respectivo régimen de variación, es

decir, intervalo(s) donde la función es EC, ED, C, D, CO.





y

x-4

34

4

-3

32

-2

2

11

-1-1

30x

3y

1

1 4

-4 3

-3 ∙∙

y

x4

-4 6x

4

2

∙2 4

y

∙

-2

3 ∙

∙

y

x2∙

x21

-2

-1-2

3

y

4

2 5x

y

-2-4

x

y

3-3

-4

f

1

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ix


GRUPO FÉNIX

De las siguientes gráficas de funciones determine su respectivo régimen de variación, es

decir, intervalo(s) donde la función es EC, ED, C, D, CO.





x

y

-3 432

3

-2-4

4

y

x321

1

-1

4

2

2

x

y

-1 1

1

2

y

3

f

-1-1-2

21x

2

1

1 2-2 -1-1

x

y

x

y

2 43-1

1

1

-2

3

2-1

y

x-2-3-1

1

3

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GRUPO FÉNIX

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES QUE SE EXPRESANMEDIANTE LA ECUACIÓN • , 0y k x k

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellaspor un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:a) A más corresponde más.b) A menos corresponde menos.

Ejemplo 1Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio.

Si 1 kg de tomates cuesta ₡ 500, 2 kg costarán ₡ 1000, 3kg costaran ₡ 1500 y así a máskilogramos de tomates más colones. Y a menos kilógramos de tomate menos colones.

Ejemplo 2En un autobús la tarifa fija de cada pasajero está dada por la función •y k x

y : total por pagar k : tarifa x : número de pasajeros

₡150 ₡150 1₡300 ₡150 2₡450 ₡150 3

En este casoa) “ y “ Representa la variable dependiente (imágenes)b) “ x ” La variable independiente (preimágenes)c) “ k ” La constante de proporcionalidad

Trabajo cotidiano # 121.- ¿Cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales?Justifica cada una de las respuestas.a) La velocidad de un automóvil y el tiempo que tarda en realizar un mismo recorrido.b) La distancia recorrida por un automóvil y el tiempo empleado, manteniendo la misma

velocidad.c) La longitud del lado de un cuadrado y la superficie del mismo.d) La edad de un niño y su estatura.e) Las horas trabajadas por semana y el salario mensual.f) La tarifa que cobra un taxi y la cantidad de kilómetros recorridos.g) La tarifa fija que cobra un taxi por kilometro recorrido y el dinero obtenido.h) La cantidad de nutrientes que se le echan a un árbol y su altura.i) El número de llamadas por teléfono y la tarifa a pagar.j) El número de minutos que se hablan por teléfono y la tarifa a pagar.k) La producción en una empresa y el salario de los trabajadores.l) La cantidad de libros leídos y el conocimiento adquirido.m) La producción de azúcar y el ingreso en colones del ingenio.n) La producción de azúcar y el ingreso en colones de los trabajadores.

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GRUPO FÉNIX

FUNCIÓN LINEAL: CONCEPTO

Es una función :f , tal que ( )f x mx b donde m y b y su

representación gráfica es una recta, a “ m ” se le denomina pendiente de la recta, es

decir, el grado de inclinación de dicha recta con respecto al eje x .

Notación simbólica Dominio Codominio Ámbito

( )f x mx b

ó

y mx b

Excepto en la función

constante.

Representación gráfica de la función lineal

Creciente Decreciente Constante Identidad

Trabajo cotidiano # 131. Grafique las siguientes funciones (se recomienda el uso del Software Geogebra en

http://www.geogebra.org/cms/) y determine en cada caso: el dominio, codominio y ámbito,

además, si la función es creciente, creciente (identidad), decreciente o constante.

a) ( ) 2 3f x x

b) ( ) 2 0f x x

c) ( )f x x

d) ( ) 6f x

e) ( ) 9f x x

f) 2 0y x

g) y x

h) 9 9y x

i) 4y x

j) 9y

k) ( ) 2 3g x x

l) ( ) 8g x x

m) ( ) 10 7g x x

n) ( ) 9 1g x x

o) ( ) 7g x

f

0m

f

0m

f

0m

f

f x x

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GRUPO FÉNIX

Ejercicios de profundización2. Determine para cada una de las siguientes funciones lineales si son crecientes,

decrecientes, constantes o corresponden a la identidad.a) La función dada por con 0f x mx b, m .

b) Si f x mx b es una función tal que 1 4 3 4f y f - .

c) Si f x mx b es una función tal que 6 1 11 1f y f .

d) Si f x mx b es una función tal que 1 4 3 6f y f .

e) Si f x mx b es una función tal que 10 8 4 5f y f .

f) Si f x mx b es una función tal que 10 5 4 8f y f .

g) Si f x mx b es una función tal que 1 6 3 4f y f .

h) Si f x mx b es una función tal que 1 1 3 3f y f .

i) Si f x mx b es una función tal que 6 6 11 11f y f .

3. Si 3 2 3,4ff x x y D entonces determine el ámbito de f .

4. Si el dominio de la función 3 1f x x es , 3 entonces determine su ámbito.

5. Si el ámbito de la función 2 5 2,5f x x es entonces determine su dominio.

6. Si el ámbito de la función 4 1 1,21f x x es entonces determine su dominio.

7. Si el ámbito de la función 12

xf x es

1,1

2

, entonces determine su dominio.

8. Si el ámbito de la función 2 5 1,f x x es entonces determine su dominio.

9. Si el ámbito de 4 1 11,f x x es entonces determine su dominio.

10.Si 3 9 8f x k x es una función creciente entonces determine el valor de k .

11.Si 3 9 8f x k x es una función decreciente entonces determine el valor de k .

12.Si 3 9 8f x k x es una función constante entonces determine el valor de k .

13.Si f es una función lineal dada por 5 4 .f x p x q Si f es una funciónconstante, entonces determine el valor de p .

14.Si f es una función lineal dada por 5 4 .f x p x q Si f es una funcióncreciente, entonces determine el valor de p .

15.Si f es una función lineal dada por 5 4 .f x p x q Si f es una funcióndecreciente, entonces determine el valor de p .

16.Si f es una función lineal dada por 10f x mx y 2 3f , calcule 2f .

17.Si f es una función lineal dada por 10f x ax y 3 2f , calcule 2f .

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GRUPO FÉNIX

CONCEPTO DE PENDIENTE Y DE INTERSECCIÓN EN LA FUNCIÓN LINEALSea f una función de la forma ( )f x mx b , con :f

Estudio de la pendiente Intersección con los ejes de coordenadas

a) Si 0m , entonces la función esestrictamente creciente.

b) Si 0m , entonces la función esestrictamente decreciente.

c) Si 0m , entonces la función esconstante.

a) La intersección con el eje y es en el

punto (0, )b

b) La intersección con el eje x es en el

punto ,0b

m

PENDIENTE E INTERSECCIÓN A PARTIR DE DOS PUNTOS DE SU GRÁFICO

Ejemplo1Determinar el criterio de una función lineal y la intersección con los ejes,

si (2) 8f y ( 3) 7f .

Para determinar el criterio de una función lineal, debemos calcular el valor “ m ” y de “b ”.

1. La pendiente se calcula con la fórmula:

En este caso los pares ordenados son;

1 1 2 2

( 2 , 8 ) ( 3 , 7 )x y x y

y

Sustituyendo: 2 1

2 1

7 8 153

3 2 5

y ym

x x

2. Para calcular b se utiliza la fórmula:

1 1

8 3 2

2

b y mx

b

b

3. Por lo tanto, el criterio de la función lineal es ( ) 3 2f x x

4. La intersección con el eje y es en el punto 0 , 0 , 2b

5. La intersección con el eje x es en el punto2 2

, 0 , 0 , 03 3

b

m

2 1

2 1

y ym

x x

V

ersión

Elec

trónic

a

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rupo

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ix


GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 141. En cada caso determine el criterio de la función lineal y la intersección con los ejes que

cumple con las condiciones dadas.

a) 2 4 1 5f y f

b) 2 3 2 4g y g

c) 6 3 8 12h y h

d) 42 2 3

3p y p

e) 2 3 3 18f y f

f) 2 6 1 3g y g

g) 2 1 0 5h y h

h)1 3 3 7

2 4 4 5p y p

i) 1 3 2 1f y f

j) 4 0 3 2g y g

k) 1 1 2 5h y h

l)3 14 3 2

4 13 2 3p y p

2. A continuación se presentan dos pares ordenados, determine el criterio de la función lineal yla intersección con los ejes.

a) 2,3 , 4,1

b) 1,7 , 7,6

c) 3,4 , 5,2

d) 7,2 , 6, 2

e) 3,4 , 2, 2

f) (6 7) , 3,5

g) 9,5 , 6, 5

h) 1,2 , 4, 7

i)1 5

,5 4

7 2,

5 3

j)5 3

,6 2

,7 21

,2 3

k)5 11

,2 4

,5 9

,2 4

3. A continuación se presenta el valor de la pendiente y un par ordenado determine en cadacaso el criterio de la función lineal y la intersección con los ejes.

a) m = 2 2,3

b) m = 3 5,2

c) m =2

3

1, 5

d) m = 2 2,6

e) m = 6 2, 3

f) m = -1 5, 1

g) m = 1 3, 5

h) m =1

2 4,2

i) m =1

2

4 2,

3 3

j) m = -17 4

,3 3

k) m =5

4

1 3,

2 4

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GRUPO FÉNIX

Ejercicios de profundización4. A continuación se presentan ecuaciones de diferentes rectas, determine en cada caso el

valor de “ m ” y de “b ”, la intersección con los ejes y el régimen de variación.

a) 2 3 2y x

b) 4 5 4y x

c) 3 3 2y x

d) 6 3 4y x

e)4 7

53 4

xy

f) 12 4

y x

g)2 3 4

5 10 5

y x

h)4

13 2

xy

i)3 1

2 2 4

y x

j) 5 2 3 0x y

k) 4 6 6 0x y

l)3 1

08 4 2

y x

m)4 7 3

03 4 2

x y

n)1

02 4 2

x y

o)1

03 9

yx

5. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen de las coordenadas y tiene

pendiente3

5

?

6. Si la variable dependiente de 4 5f x x se aumenta en 12 unidades, entonces en

¿cuántas unidades se incrementa la variable independiente?

7. Si la variable dependiente de 7 3f x x se disminuye en 9 unidades, entonces en

¿cuántas unidades se incrementa la variable independiente?

8. Si f es una función lineal, tal que 2 14f x f x , entonces determine la

pendiente de la recta que representa a f .

9. Si f es una función lineal, tal que 2 8f x f x , entonces determine la

pendiente de la recta que representa a f .

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GRUPO FÉNIX

PENDIENTE E INTERSECCIÓN A PARTIR DE LOS DATOS QUE PROPORCIONA LAREPRESENTACIÓN GRÁFICA

Ejemplo 1Determinar la pendiente y la intersección con los ejes de la siguiente gráfica de una función

Intersección eje x

2 , 0 , 0b

m

Intersección eje y

0 , 3 0 , b

Pendiente

2 1

2 1

3 0 3 3

0 2 2 2

y ym

x x

Criterio de la función

33

2

f x mx b

f x x


Intersección eje x

1, 0 , 0b

m

Intersección eje y

0 , 5 0 , b

Pendiente

2 1

2 1

5 0 55

0 1 1

y ym

x x


5 5

f x mx b

f x x

f

y

x

f

x

y

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GRUPO FÉNIX

PENDIENTE E INTERSECCIÓN A PARTIR DE LOS DATOS QUE PROPORCIONA LAREPRESENTACIÓN GRÁFICA


Intersección eje x

No interseca

Intersección eje y

0 , 3 0 , b

Pendiente

0m


0 3

3

f x mx b

f x x

f x

Trabajo cotidiano #15De acuerdo a las siguientes gráficas de funciones, determine la intersección con los ejes, la

pendiente y el criterio de la función.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

2

21

32

y

x

2

2

x

y

3

2

x

y

3

2

x

y

4

2

x

y

31

x

y

y

x

x

f

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GRUPO FÉNIX

Ejercicios de profundizaciónComplete el espacio indicado con el símbolo >, <, = según corresponda.

1. 2. 3.

m ____ 0

b ____ 0b

m

____ 0

m ____ 0

b ____ 0b

m

____ 0

m ____ 0

b ____ 0b

m

____ 0

4. 5. 6.

m ____ 0

b ____ 0b

m

____ 0

m ____ 0

b ____ 0b

m

____ 0

m ____ 0

b ____ 0b

m

____ 0

7. 8. 9.

m ____ 0

b ____ 0b

m

____ 0

m ____ 0

b ____ 0b

m

____ 0

m ____ 0

b ____ 0b

m

____ 0

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

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GRUPO FÉNIX

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA ECUACIÓN DE LA RECTA







Ejemplo

Celeste y Gustavo Adolfo tienen una empresa donde se produce chips de computadoras, el

costo de la producción en colones está dado por la función3

( ) 2004

C x x . Calcule el

costo de producir 5000 unidades. Calcule la cantidad de chips producidos si el costo fue de

1736 colones.

Costo de producir 5000 unidades Cantidad de chips producidos

3( ) 200

43

(5000) 5000 2004

(5000) 3950

C x x

C

C

R/ El costo de producir 5000 unidades es

de ₵ 3950.

3( ) 200

43

1736 2004

2048

C x x

x

x

R/ La cantidad de chips producidos es de

2048.

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano #161. Una empresa que fabrica cintas de audio estima que el costo C (en colones) al producir

cintas está dado por la función ( ) 200 100C x x . Calcule el costo en colones de

producir 50 unidades. Calcule la cantidad de cintas de audio producidas si el costo en

colones fue de 24 500 .

2. El costo semanal “C” en dólares por producir “x” unidades de un producto está dado por

( ) 5 200C x x . Si en una semana se produjeron 1250 unidades de ese producto,

entonces, ¿cuál será el costo por dicha producción? Si en una semana el costo por

producir cierta cantidad de ese producto es 825 dólares, entonces ¿cuántas unidades se

produjeron esa semana?

3. El precio “p” en colones y la cantidad vendida “x” de cierto producto está dado por

( ) 1004

xp x

con 0 400x . ¿Cuál es el precio en colones si se venden 120

unidades de ese producto? ¿Cuántas unidades de ese producto se vendieron si el precio

fue un colón?

4. El crecimiento de un feto de más de 12 semanas de gestación se calcula mediante la

fórmula 1,53 6,7L t ; donde L es la longitud (en cm) y t es el tiempo (en

semanas). La longitud prenatal se puede determinar por ultrasonido. Calcule la longitud

de un feto de 24 semanas de gestación. Calcule la edad de un feto cuya longitud es 28

centímetros.

5. Se ha calculado que 1000 curies de una sustancia radioactiva, introducidos en un punto

del mar abierto, se extendería por una superficie de 40000km2 en 40 días. Suponiendo

que la superficie cubierta por la sustancia radiactiva sea una función lineal del tiempo t y

sea siempre circular se tiene que 1000r t t . Calcule la superficie contaminada en

60 días. Calcule los días transcurridos para que la superficie contaminada sea de

90 000 km2.

6. El fenómeno de la isla de calor urbano se ha observado en Tokio. El promedio de

temperatura era 13,5 °C en 1915, y desde entonces ha subido 0,032 °C por año.

Considere que la temperatura T (en °C) está linealmente relacionada con el tiempo t (en

años) y que t = 0 corresponde a 1915. Pronostique el promedio de temperatura para el

año 2004. Pronostique el año en el que el promedio de temperatura será

aproximadamente 17,82 °C.

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GRUPO FÉNIX


1. Si la pendiente de gráfica de una función lineal f es3

2

y 2,0 es un punto que

pertenece a ella, entonces 1f es igual a

A) 3

2

B) 7

2

C) 9

2

D) 3

2

2. De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica, considere las siguientes proposicionesI. 0f x , con 1x II. La función f es creciente

De ellas, ¿Cuáles son verdaderas?A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

3. De acuerdo con los datos de la gráfica, el criterio de la función g corresponde aA) 2 2g x x

B) 12

xg x

C) 2 2g x x

D) 12

xg x

4. Si el dominio de la función 3 1f x x es , 3 entonces su ámbito es

A) ,10 B) 10,

C) , 10 D) 10,

5. Si el ámbito de 4 1 11,f x x es entonces el dominio de f es

A) ,3 B) 3,

C) ,3 D) ,45

6. Si el ámbito de la función f dada por 12

xf x es

1,1

2

, entonces el dominio

de f es

A) 0,3

B) 0,3

C)1 5

,2 4

D)1 5

,2 4

x

y

-2 2

1

2 g

2

1 21

2

2

y

x

f

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GRUPO FÉNIX

7. Sean 1l y 2l rectas cuyos criterios forman un sistema de ecuaciones dependientes. Si

1l está definida por 3 6x y y 2l por 6 2 12x y r , entonces el valor de laconstante r esA) 0B) 1

C) 2D) 3

8. Si 3 9 8f x k x es una función decreciente entonces se cumple con certezaque k pertenece al conjuntoA) ,3 B) 3,

C) 3, D) , 3

9. Si f es una función lineal dada por 5 4 .f x p x q Si f es una funcióncreciente, entonces se cumple con certeza que p pertenece al conjunto

A)4

,5

B)4

,5

C)4

,5

D)4

,5

10. Si f es una función lineal dada por 10.f x mx Si 2 3f entonces 2f es

A) 3B) 10

C) 23D) 25

11. Si 2, 1 4, 1y pertenecen al gráfico de una función lineal f , considere lassiguientes proposiciones.

I. f es estrictamente creciente.II. El ámbito de f es 1, 1 .

¿Cuáles de ellas son verdaderas?A) Ambas.B) Ninguna.

C) Solo la I.D) Solo la II.

12. El costo en dólares “C ” por producir “ x ” de un producto está dado por4 850C x . Si se han producido 190 unidades de producto, entonces, ¿cuál es el

costo de tal producción?A) 90B) 165

C) 660D) 850

13. Una empresa que fabrica cintas de audio estima que el costo C (en colones) al producircintas está dado por la función ( ) 200 100C x x . Calcule la cantidad de cintas deaudio producidas si el costo en colones fue de 24 500 .A) 100B) 122

C) 4 900 000D) 4 900100

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GRUPO FÉNIX

RECTAS PARALELAS

Dos rectas con pendientes 1 2m y m son paralelas si y solo si 1 2m m .

Ejemplo 1Determine la ecuación de la recta 1 que

pasa por el punto 1,4 y es paralela a la

recta 2 : 12 4 32 0x y


pasa por el punto 2,5 y es paralela a la

recta 2 : 5 2 1 0y x

1. Expresamos la ecuación de la recta dada

de la forma 2 2: y m x b

2

2

: 3 8

3

y x

m

2. Sabemos que 1 1: y m x b entonces

determinamos los valores de 1m y b .

3. Tenemos que 1 3m , por ser rectas

paralelas, es decir 1 2 .

4. Calculamos el valor de b con 1,4

1 1 1b y m x

4 3 1

1

b

b

5. Entonces la ecuación de la recta es

1 : 3 1y x



2

2

2 1:

52

5

xy

m



3. Tenemos que 1

2

5m

, por ser rectas

paralelas, es decir 1 2 .


1 1 1b y m x

25 2

521

5

b

b


1

2 21:

5 5y x

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano #171. Determine la ecuación de la recta paralela a la recta dada y que pasa por el punto

indicado.

a) 2 3 0x y ; pasa por 5, 3

b) 3 10 0x y ; pasa por 4, 2

c) 3 1 0y x ; pasa por 1, 1

d) 2 1 0y x ; pasa por 5,0

e) 2 3 6 0x y ; pasa por3 4

,2 5

f)2

3 02 3

y x ; pasa por 3, 6

g)3

2 14

y x ; pasa por 1,2

h)2 3

4

xy

; pasa por 1,0

i)6 2

3

xy ; pasa por 1,5

j) 8 4 2y x ; pasa por 2,3

k) 5 3y x ; pasa por 2,1

l) 0y x ; pasa por 0,2

Ejercicios de profundización2. Determine la ecuación de la recta que contenga el punto 7,6 y que sea paralela a una

recta que interseca el eje “y” en 4 e interseca el eje “x” en -3.

3. Determine la ecuación de la recta que sea paralela a una recta que contiene los puntos

4,1 2,5y y que contenga el punto 4,2 .

4. Determine la ecuación de la recta que interseca el eje “y” en 3 y que sea paralela a una

recta que pasa por los puntos 2, 1 5, 3y .

5. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto 2, 5 y que es paralela a la

recta 1y .

14. Determine el valor de k para que la recta 3 10k x y sea paralela a la recta2 3 6x y .

15. Si las rectas definidas por 5 3 4 7 1x y y x ky son paralelas entonces,determine el valor de k .

16. ¿Cuál es el valor de k para que la recta cuya ecuación es 2 1 6y k x seaparalela a la recta determinada por 2 4 5y x ?

17. Si las rectas definidas por5

7 5 2 14

xy y x ky y son paralelas entonces,

determine el valor de k .18. Si la recta definida por 5 3 2 2 1a x a y a es paralela a la recta definida por

12y x entonces, determine el valor de “ a ”.

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GRUPO FÉNIX

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas con pendientes 1 2m y m son perpendiculares si y solo si 1 2 1m m .


pasa por el punto 1,4 y es perpendicular

a la recta 2 : 12 4 32 0x y


pasa por el punto 2,5 y es

perpendicular a la recta 2 : 5 2 1 0y x



2

2

: 3 8

3

y x

m



3. Tenemos que 1

1

3m

, por ser rectas

perpendiculares, es decir 1 2 .


1 1 1b y m x

14 1

313

3

b

b


1

1 13:

3 3y x



2

2

2 1:

52

5

xy

m



3. Tenemos que 1

5

2m , por ser rectas

perpendiculares, es decir 1 2 .


1 1 1b y m x

55 2

210

b

b


1

5: 10

2y x

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano #181. Determine la ecuación de la recta perpendicular a la recta dada y que pasa por el punto

indicado.

a) 2 3 0x y ; pasa por 5, 3

b) 3 10 0x y ; pasa por 4, 2

c) 3 1 0y x ; pasa por 1, 1

d) 2 1 0y x ; pasa por 5,0

e) 2 3 6 0x y ; pasa por3 4

,2 5

f)2

3 02 3

y x ; pasa por 3, 6

g)3

2 14

y x ; pasa por 1,2

h)2 3

4

xy

; pasa por 1,0

i)6 2

3

xy ; pasa por 1,5

j) 8 4 2y x ; pasa por 2,3

k) 5 3y x ; pasa por 2,1

l) 0y x ; pasa por 0,2

Ejercicios de profundización2. Determine la ecuación de la recta que contenga el punto 7,6 y que sea perpendicular a

una recta que interseca el eje “y” en 4 e interseca el eje “x” en -3.3. Determine la ecuación de la recta que interseca el eje “y” en 3 y que sea perpendicular a

una recta que pasa por los puntos 2, 1 5, 3y .

4. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto 2, 5 y que es perpendicular

a la recta 1y .

5. Determine el valor de k para que la recta 3 10k x y sea perpendicular a la recta2 3 6x y .

6. Si las rectas definidas por 5 3 4 7 1x y y x ky son perpendicular entonces,

determine el valor de k .7. ¿Cuál es el valor de k para que la recta cuya ecuación es 2 1 6y k x sea

perpendicular a la recta determinada por 2 4 5y x ?

8. Si las rectas definidas por5

7 5 2 14

xy y x ky y son perpendicular

entonces, determine el valor de k .9. Si la recta definida por 5 3 2 2 1a x a y a es perpendicular a la recta

definida por 12y x entonces, determine el valor de “ a ”.

10.Si 25 2 3 0 4 3 1 0x ky y k x y son las ecuaciones que definen dos rectas

perpendiculares entonces, determine el valor de k .

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GRUPO FÉNIX

Trabajo extraclase # 31. De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica, la ecuación a una recta paralela a 1

es

A) 22

xy

B) 2 2y x

C) 22

xy

D) 2 2y x

2. La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por 4 5 6 0x y es

A)4

25

xy

B) 52

4

xy

C) 51

4

xy

D)4

75

xy

3. Si los puntos 3 , 2 y 4 , 0 pertenecen a la recta l entonces la pendientede una recta perpendicular a l es

A) 2

B) 1

C) 1

2

D) 1

2

4. Sean 1 y 2 dos rectas perpendiculares entre sí. Si la recta 1 está dada por3 2y x , entonces, el valor de la pendiente de 2 es

A) 3

B)1

3

C) 3

D)1

3

5. La ecuación de la recta que contiene el punto 3 , 0 y es perpendicular a la recta2 6x y está definida por

A) 2 6y x

B) 2 3y x

C) 3y x

D) 32

xy

6. El valor de k para que la recta 3 10kx y sea paralela a la recta 2 3 6x y esA) 2

B)2

3

C) 2

D) 3

2

7. ¿Cuál es el valor de k para que la recta cuya ecuación es 2 1 6y k x seaparalela a la recta determinada por 2 4 5y x

A) 1

4

B) 5

2

C) 1

2

D) 3

2

x3

2

y

1

3

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GRUPO FÉNIX

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas esax by c

dx ey f

donde , , , , ,a b c d e f son constantes; ,x y son incógnitas. Una solución del sistema es

un par ordenado ,x y que es solución simultáneamente de ambas ecuaciones. Si un

sistema no tiene soluciones se dice que es inconsistente.

Ejemplo 1

2 3

4 5 6

x y

x y

Ejemplo 2

2 3 4

3 5 6

x y

x y

Sistemas de ecuaciones incompatiblesDe un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución.

Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

2 4

2 4 7

x y

x y

Las ecuaciones corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente.

Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga

a la vez ambas ecuaciones.

Sistemas de ecuaciones indeterminadosDe un sistema se dice que es indeterminado cuando presenta infinitas soluciones.

Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

2 1

2 4 2

x y

x y

Las ecuaciones corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente

5 y que pasan por el punto 1 , 1 , por lo que ambas se intersecan en todos los puntos

de dicha recta.

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GRUPO FÉNIX

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE POREL MÉTODO DE SUMA Y RESTA

Consiste en multiplicar cada ecuación por un número adecuado de modo que, al sumar

ambas ecuaciones, una de las incógnitas desaparezca obteniéndose así una ecuación con

una incógnita cuyo valor se determina y se usa para encontrar el valor de la otra incógnita.

Ejemplo 1Determine la intersección de las rectas

10 2 2 0

5 4

x y

y x


10 7 24 0

2 4

3

x y

xy

1. Se ordena el sistema de la forma general10 2 2

4 5

x y

x y

2. Se multiplica la segunda ecuación por 2 yse suma con la primera para obtener elvalor de x

10 2 2

8 2 10

2 0 12

x y

x y

x y

2 12

126

2

x

x

3. Se sustituye en la “x” de la primeraecuación

10 2 2

10 6 2 2

60 2 2

2 2 60

2 58

5829

2

x y

y

y

y

y

y

4. El punto de intersección es 6 , 29


2 3 4

x y

x y

2. Se multiplica la segunda ecuación por 5y se suma con la primera para obtener elvalor de y

10 7 24

10 15 20

0 22 44

x y

x y

x y

22 44

442

22

y

y

3. Se sustituye en la “y” de la primeraecuación

10 7 24

10 7 2 24

10 14 24

10 24 14

10 10

101

10

x y

x

x

x

x

x


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GRUPO FÉNIX

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE POREL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituir en la otra ecuación.

De esta forma se obtiene una ecuación en una sola incógnita; se determina el valor de ésta y

se utiliza para encontrar el valor de la otra incógnita.


10 2 2 0

5 4

x y

y x


10 7 24 0

2 4

3

x y

xy


4 5

x y

x y

2. Se despeja una de las incógnitas en laprimera ecuación

10 2 2

10 2 2

2 2

10

x y

x y

yx

3. Se sustituye el valor “x” en la segundaecuación

4 5

2 24 5

10

8 85

108 8 10

510

8 2 50

50 829

2

x y

yy

yy

y y

y

y

4. Se sustituye el valor “y” en la primeraecuación y se obtiene 6x .



2 3 4

x y

x y

2. Se despeja una de las incógnitas en laprimera ecuación

2 3 4

2 4 3

4 3

2

x y

x y

yx

3. Se sustituye el valor “x” en la segundaecuación

10 7 24

4 310 7 24

2

40 307 24

240 30 14

24240 44 24 2

48 402

44

x y

yy

yy

y y

y

y

4. Se sustituye el valor “y” en la primeraecuación y se obtiene 1x .


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GRUPO FÉNIX

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE POREL MÉTODO DE IGUALACIÓN

Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualar los resultados

para obtener el valor de una de las incógnitas. Dicho valor se utiliza para encontrar el valor

de la otra incógnita.


10 2 2 0

5 4

x y

y x


10 7 24 0

2 4

3

x y

xy


4 5

x y

x y

2. Se despeja la misma incógnita en las dosecuaciones

Primera ecuación Segunda ecuación

10 2 2

10 2 2

2 2

10

x y

x y

yx

4 5

4 5

5

45

4

x y

x y

yx

yx

3. Se iguala el resultado de x y calculamosel valor de y

2 2 5

10 44 2 2 10 5

8 8 10 50

8 50 10 8

58 2

29

y y

y y

y y

y y

y

y

4. Se sustituye el valor “y” en cualquierade las ecuaciones y se obtiene 6x .



4 5

x y

x y

2. Se despeja la misma incógnita en las dosecuaciones

Primera ecuación Segunda ecuación

10 7 24

7 24 10

24 10

7

x y

y x

xy

2 3 4

3 4 2

4 2

32 4

3

x y

y x

xy

xy

3. Se iguala el resultado de y y calculamosel valor de x

24 10 2 4

7 33 24 10 7 2 4

72 30 14 28

72 28 14 30

44 44

1

x x

x x

x x

x x

x

x

4. Se sustituye el valor “x” en cualquierade las ecuaciones y se obtiene 2y .


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Trabajo cotidiano # 191. Determine la intersección de cada par de rectas que se presentan a continuación.

(Sugerencia: utilizar los tres métodos estudiados anteriormente para cada ejercicio)

a)5 0

3 3

x y

y x

b)6 3 0

3 13 4

x y

y x

c)4 5 11 0

3 11 2

x y

y x

d)2 15

11

x y

x y

e)3 2 3

4 2 41

x y

y x

f)2 0

53 4

4

x y

y x

g)

175

67

2 23

x y

x y

h)22

10 2 53

3 2 6 11

x y

x y

i)

72 3

29

6 12

x y

x y

j)

13 4

350

6 8 23

x y

x y

k)3 2 8

4 6 14

3 3

x y

x y

l)

3 2 5

3 32

24

x y

x y

m)

4 8 44

3 33 2

36

x y

y x

n)

4 2 2 4

3 36 3 5

102

x y

x y

o)

2 3 23

2 22 2

3 5 3

x y

x y

p)

4 3 73

3 2 32 4

3 3

x y

x y

q)

2 6 18

5 529

43 6

x y

yx

r)

2 293

3 32 1 9

2 3 2

xy

x y

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GRUPO FÉNIX

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CONDOS VARIABLES







Ejemplo 1Celeste y Gustavo Adolfo tienen juntos 89 millones de colones. Si Gustavo Adolfo tiene 4

millones de colones más que el doble de los que tiene Celeste. ¿Cuántos millones de

colones tiene cada uno?

Plan de solución:

Paso #1Se definen las variables

Paso #2Se plantean dos ecuaciones lineales

con dos variables

:

:

x dinero que tiene Celeste

y dinero que tiene Gustavo Adolfo

89

4 2

x y

x y

Ejecución del plan de solución:Se resuelve el sistema de ecuaciones siguiente por cualesquiera de los métodos estudiados

89

2 4

x y

x y

Respuesta: Celeste tiene182

3millones de colones (un poco más de 60 millones) y Gustavo

Adolfo tiene85

3millones de colones (un poco más de 28 millones).

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GRUPO FÉNIX

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CONDOS VARIABLES

Ejemplo 2

Dados dos números, si el triple del mayor más el quíntuplo del menor es igual a 4 , y el

doble del mayor menos el triple del menor es igual a2

15, entonces ¿cuál es el número

menor?

Plan de solución:

Paso #1Se definen las variables

Paso #2Se plantean dos ecuaciones lineales

con dos variables

:

:

x el número menor

y el número mayor

3 5 4

22 3

15

x y

y x


Se resuelve el sistema de ecuaciones siguiente por cualesquiera de los métodos estudiados

5 3 4

23 2

15

x y

x y

Respuesta: El número menor es2

5.

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Trabajo cotidiano # 20Resuelva los siguientes problemas utilizando cualesquiera de los tres métodos estudiadosanteriormente para sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.

1. Dos personas A y B tienen juntas ochenta y nueve colones. Si B tiene cuatro colones

menos que el doble de lo que tiene A, entonces ¿cuántos colones tiene B?

2. Manuel y José tienen entre los dos ¢1.200. Manuel tiene ¢400 menos que José. ¿Cuánto

dinero tiene cada uno de ellos?

3. La edad de Daniel excede en 4 años a la edad de Paulo y ambas suman 32 años. ¿Cuál

es la edad de cada uno de ellos?

4. La edad de María excede en 5 años a la edad de Carlos y la suma de sus edades es 40

años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

5. María compra 5 cuadernos y 3 lapiceros en ¢3400. Noelia compra, a los mismos precios,

8 cuadernos y 9 lapiceros en ¢6700. ¿Cuál es el precio en colones de un cuaderno?

¿Cuál es el precio en colones de un lapicero?

6. La suma de dos números es 30 y la quinta parte de la diferencia de esos números es 4.

¿Cuáles son los números?

7. Dados dos números, si el triple del mayor más el quíntuplo del menor es igual a 5 , y el

doble del mayor menos el triple del menor es igual a3

7, entonces ¿cuál es el número

mayor?

8. La suma de un número más el triple de otro es igual a 14. Si el triple del primero se le

resta al duplo del segundo, se obtiene 9. ¿Cuáles son los números?

9. La suma de un número más el triple de otro es igual a 14. Si al triple del primero se le

resta el duplo del segundo, se obtiene 9. ¿Cuáles son los números?

10.La suma de un número más el cuádruplo de otro es igual a 21. Si el quíntuplo del primero

se le resta al triple del segundo, se obtiene 12. ¿Cuáles son los números?

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GRUPO FÉNIX

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función polinómica real de variable real que tiene grado dos recibe el nombre defunción cuadrática. Se representa por 2( )f x ax bx c con , , , ; 0a b c a . Sugráfica es una parábola cuyo eje es paralelo al eje “ y ”.

Análisis de una función cuadrática

Discriminanteacb 42

Si 0 interseca al eje “x” en dos puntos diferentes.

Si 0 no interseca al eje “x”.

Si 0 interseca al eje “x” en un solo punto.

Concavidad

Si 0a entonces la parábola es cóncava hacia arriba

y el vértice se llama punto mínimo.

Punto mínimo o vértice =

4,

2 aa

b

Si 0a entonces la parábola es cóncava hacia abajo

y el vértice se llama punto máximo.

Punto máximo o vértice =

4,

2 aa

b

Intersección con el eje “ x ” Se resuelve la ecuación cuadrática 20 ax bx c .

Los pares ordenados serían: 1 , 0x y 2 , 0x .

Intersección con el eje “ y ” En el punto 0 , c

Eje de simetría Es la recta2

bx

a

Ámbito

0a 0a

,4a

,

4a

Creciente

0a 0a

,2

b

a

,2

b

a

Decreciente

0a 0a

,2

b

a

,

2

b

a

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GRUPO FÉNIX


Ejemplo 1Realice el estudio completo de la función :f , tal que 2( ) 6 5f x x x .


Discriminante2 4b ac

2 4b ac 2( 6) 4(1)(5) 16

Interseca al eje “x” en dos puntos diferentes.

Concavidad

1a , es decir, 0a

entonces la parábola es cóncava hacia arriba

( 6) (16) 6 16 , , , 3 , 42 4 2(1) 4(1) 2 4

bV

a a

Intersección con el eje“ x ”

Se resuelve la ecuación cuadrática 2 6 5 0x x

1 25 , 1x x

Los pares ordenados donde se interseca al eje x son:

( 5 , 0 ) ( 1 , 0 )y

Intersección con el eje“ y ”

En el punto 0 , c 0 , 5

Eje de simetría Es la recta( 6)

32 2(1)

bx

a

Ámbito

1a , es decir, 0a 0a

, 4,4a

No aplica

Creciente


, 3,2

b

a

No aplica

Decreciente


, , 32

b

a

No aplica

Dominio: Codominio:

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GRUPO FÉNIX

REPRESENTACIÓN GRÁFICA


vértice 3, 4

eje de simetría 3x

intersección eje x 5,0

intersección eje x 1,0

intersección eje y 0,5

x

y

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GRUPO FÉNIX




Discriminante2 4b ac

2 4b ac 2(6) 4( 1)( 5) 16

Interseca al eje “x” en dos puntos diferentes.

Concavidad

1a , es decir, 0a

entonces la parábola es cóncava hacia abajo

(6) (16) 6 16 , , , 3 , 42 4 2( 1) 4( 1) 2 4

bV

a a

Intersección con el eje“ x ”

Se resuelve la ecuación cuadrática 2 6 5 0x x

1 25 , 1x x

Los pares ordenados donde se interseca al eje x son:

( 5 , 0 ) ( 1 , 0 )y

Intersección con el eje“ y ”

En el punto 0 , c 0 , 5

Eje de simetría Es la recta(6)

32 2( 1)

bx

a

Ámbito

0a 1a , es decir, 0a

No aplica , , 44a

Creciente


No aplica , , 32

b

a

Decreciente


No aplica , 3,2

b

a

Dominio: Codominio:

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GRUPO FÉNIX

REPRESENTACIÓN GRÁFICA


vértice 3,4

eje de simetría 3x

intersección eje x 1,0 intersección eje x 5,0

intersección eje y 0,5

y

x

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 211. Realice el estudio completo de las siguientes funciones cuadráticas incluyendo su gráfica.

a) 2 5 6f x x x , :f

b) 2 5 6f x x x , :f

c) 24 8 4f x x x , :f

d) 24 8 4f x x x , :f

e) 22 2f x x , :f

f) 22 2f x x , :f

g) 23 6f x x x , :f

h) 23 6f x x x , :f

i) 21f x x , :f j) 1 1f x x x , :f

2. De acuerdo a las siguientes gráficas de funciones cuadráticas realice el estudio completo.Puede utilizar valores aproximados según la gráfica.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

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GRUPO FÉNIX

Ejercicios de profundización3. Realice el estudio completo de las siguientes funciones cuadráticas incluyendo su gráfica.

a) 2 5 6f x x x , : ,4f

b) 2 5 6f x x x , : 4,f

c) 2 5 6f x x x , : 5,5f

d) 2 5 6f x x x , : ,4f

e) 2 5 6f x x x , : 4,f

f) 2 5 6f x x x , : 5,5f

g) 24 8 4f x x x , : ,3f

h) 24 8 4f x x x , : 3,f

i) 24 8 4f x x x , : 4,4f

j) 24 8 4f x x x , : ,3f

k) 24 8 4f x x x , : 2,f

l) 24 8 4f x x x , : 4,0f

4. De acuerdo a las siguientes gráficas de funciones cuadráticas determine su criterio.

a) b) c)

d) e) f)

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GRUPO FÉNIX

5. Si la gráfica de la función dada por 2( ) 2 3 3f x m x x es una parábola cóncava

hacia arriba, entonces determine el valor de m.

6. Si la gráfica de 22 3 6f x a x x es una parábola cóncava hacia abajo,

entonces determine el valor de “ a ”.

7. Si la gráfica de 22 4 1f x x mx m pasa por el punto 2,18 entonces

determine la intersección con el eje de las ordenadas.

8. Si 22 4 2f x x mx y la coordenada en x del vértice es 16 entonces determine

el valor de m.

9. Si 22h x x bx c y la gráfica de h interseca al eje x en y3

22 entonces

determine el criterio de h .

10.Si el punto mínimo de 2 es6 1,4f x ax bx entonces determine el valor de

“ a ”.

11.Determine el valor de n para que la función cuyo criterio es 24f x nx sea

estrictamente creciente en 6,0 .

12.Para la función f con 2f x x x , determine el valor de x de modo que

0f x .

13.Para la función f con 2 4 3f x x x , determine el valor de x de modo que

0f x .

14.Para la función f con 24 4 3f x x x , determine el valor de x de modo

que 0f x .

15.Sea :f tal que 23 11 4f x x x entonces determine el valor de x de

modo que 0f x .

16.Sea f una función cuadrática dada por 2f x x c con 0c . Si 0f x ,

entonces determine el valor de x .

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GRUPO FÉNIX

17.Sea f la función dada por 220 4,9 50f t t t que describe la trayectoria a los

" "t segundos de una piedra lanzada hacia arriba desde el techo de un edificio.i ¿Cuál es aproximadamente el tiempo en segundos necesario para que la piedra

alcance su máxima altura con respecto al suelo?ii ¿Cuál es aproximadamente la máxima altura que puede alcanzar dicha piedra

respecto al suelo?18.En una fábrica se determinó que el costo " "C al producir una cantidad " "x de

artículos está dado por 260 800C x x x .

i ¿Cuál es el costo máximo que se puede obtener al producir estos artículos?ii ¿Cuál es la producción necesaria para que la fábrica alcance el costo máximo?

19.El ingreso en dólares " "I obtenido al vender " "x de cierto producto está dado por

2 60I x x x .

i ¿Cuántas unidades de ese producto deben venderse para obtener el ingreso máximo?ii ¿Cuál es el ingreso máximo que se puede obtener al vender dicho producto?

20.La producción " "P en kilogramos de manzanas de una finca está dada por

2500 5 ,P x x x donde " "x es el número de árboles por hectárea.

i ¿Cuál es la producción máxima en kilogramos de manzanas que se puede obtener?ii ¿Cuál es el número de árboles por hectárea que hace que la producción total sea

máxima?21.Al lanzar un objeto con velocidad inicial 0v (en m/seg), su altura s sobre el suelo

después de t segundos está dada por la función 20 4,9s t v t t . Si la velocidad inicial

es 120m/seg,i entonces la altura máxima que puede alcanzar dicho objeto es aproximadamente?ii entonces el tiempo en segundos en el cual el objeto alcanza la altura máxima es

aproximadamente?22.El ozono se presenta en todos los niveles de la atmósfera terrestre y su densidad varía

según la estación del año y la latitud. En Edmonton, Canadá, la densidad D(h) del ozono(en 10-3 cm/km) para altitudes h entre 20km y 35km se determinó a nivel experimental.Para 2( ) 0,058 2,867 24,239 (otoño)D h h h ,i calcule la altitud a la que la densidad del ozono es máxima.ii calcule la máxima densidad que puede alcanzar el ozono en otoño en Edmonton,

Canadá.23.El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de gasolina, a

una velocidad v en mph, está dado por 21 5 para 0 < < 70.

30 2M v v v

.

i Indique la velocidad más económica para un viaje.ii Indique el máximo de millas que puede alcanzar un automóvil con un galón de

gasolina para un viaje.

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1. Considere las siguientes proporsiones para la función f dada por 2 9f x x I. f es creciente en el intervalo , 0II. La gráfica de f interseca el eje y en 9

De ellas, ¿cuáles son verdaderas?A) AmbasB) ninguna

C) solo la ID) solo la II

2. Las siguientes proposiciones se refieren a la función f dada por 2 1f x x I. El ámbito de f es II. El eje de simetría de la gráfica de f está dado por 1x

De ellas, ¿cuáles son verdaderas?A) AmbasB) ninguna

C) solo la ID) solo la II

3. sea f una función dada por : 4 , 0f , con 2 4f x x x . ¿cuál es elámbito de f ?

A) 0 , 4

B) 2 , 4C) 4 , 0D) , 4

4. Sea f una funcion dada por 22 4 5f x x x . ¿cuál es la imagen de 3 enf ?

A) 1B) 6

C) 11D) 11

5. Sea f una función dada por 24

4

xf x

, un intervalo donde f es creciente es

A) , 0B) , 2

C) 1 , D) 4,

6. Si la gráfica de la función dada por 2( ) 2 3 3f x m x x es una parábola cóncavahacia arriba, entonces el valor de m puede ser cualquier número que pertenece alA) 0,B) ,3

C) , 2D) 2,

7. El eje de simetría de la función 23 2 1f x x x corresponde a

A)3

4x

B)1

3x

C)4

3x

D)1

3x

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8. El vértice de la parábola dada por 2 2

2

x xf x

es

A)1 1

,2 2

B)1 1

,2 4

C)1

1 ,2

D)1

,12

9. Si f es la función dada por 2

3

xf x

,entonces f es estrictamente decreciente en

A) , 0

B) 0 ,

C)1

,3

D)1

,3

10. Si “ f ” es una función dada por 23 10f x x x , entonces para todo IRx secumple queA) 5f x

B) 10f x

C) 3

2f x

D) 49

4f x

11. Sea :f tal que 23 11 4f x x x entonces 0f x si x pertenece alconjunto

A) 1, 4,

3

B)1

,43

C)1

4,3

D) 1, 4 ,

3

12. En una fábrica se determinó que el costo " "C al producir una cantidad " "x de artículosestá dado por 260 800C x x x . ¿Cuál es el costo máximo que se puede obteneral producir estos artículos?A) 30B) 40

C) 1700D) 6800

13. La producción " "P en kilogramos de manzanas de una finca está dada por

2500 5 ,P x x x donde " "x es el número de árboles por hectárea. ¿Cuál es elnúmero de árboles por hectárea que hace que la producción total sea máxima?A) 50B) 100

C) 9375D) 12500

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CONCEPTO DE FUNCIÓN INVERSA NOCIÓN DE BIYECTIVIDAD

Clasificación de funciones de acuerdo a su codominio

InyectivaSe dice que una función es inyectiva si cada

elemento del ámbito es imagen de un y sólo

un elemento del dominio.

SOBREYECTIVASe dice que una función es sobreyectiva si

todo elemento del codominio es imagen de al

menos un elemento del dominio. Es decir si

todos los elementos del codominio

pertenecen al ámbito.

BIYECTIVAUna función es biyectiva si es al mismo

tiempo inyectiva y sobreyectiva.

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CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES DE ACUERDO A SU CODOMINIO

Ejemplo 1 Ejemplo 2

: 4 ,f : 4 , 2 3 , 3f

Codominio Codominio 3 , 3

Ámbito , 4 Ámbito 3 , 3

Conclusiones:1. La relación no es uno a uno, por tanto la

función no es inyectiva.

2. Codominio distinto que el ámbito, por

tanto la función no es sobreyectiva.

Conclusiones:1. La relación sí es uno a uno, por tanto la

función es inyectiva.

2. Codominio es igual que el ámbito, por

tanto la función es sobreyectiva.

3. Es inyectiva y sobreyectiva a la vez, por

tanto la función es biyectiva.

Ejemplo 3 Ejemplo 4

Si : 2 , 3 5 , 11 ,f con

3 1,f x x se cumple que f es…

La función : , 0 4 ,f

con 2 4f x x es…

Codominio 5 , 11 Codominio 4 ,

Ámbito 5 , 10 Ámbito 4 ,



2. Codominio distinto que el ámbito, por

tanto la función no es sobreyectiva.



2. Codominio es igual que el ámbito, por

tanto la función es sobreyectiva.

3. Es inyectiva y sobreyectiva a la vez, por

tanto la función es biyectiva.

-4 6x

4

2

∙2 4

y

∙x

y3

-4

-3

2

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 22Clasifique las siguientes funciones de acuerdo a su codominio en inyectivas, sobreyectivas,

biyectivas u otras.


: 2 , 3f :f


: 1 , 1 1 , 1f : 3 , 4 ,f


: , 2f :f


: 2 , 3 ,f :f

30x

3y

1

1 4x

21

-2

-1-2

3

y

x

y

3-3

-4

f

1

y

3

f

-1-1-2

21x

-4 3

-3 ∙∙

y

x4

1

1

24

2

2

x

y

-1

2-1

y

x-2-3-1

1

3

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GRUPO FÉNIX

14. Para que la función dada por 2 2f x x x sea sobreyectiva con dominio IR,¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?


16. Para que la función dada por 2 2f x x sea sobreyectiva con dominio IR,¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?


18. Para que la función dada por 221

3 4

xf x x sea sobreyectiva con dominio IR,

¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?19. Para que la función dada por 22f x x sea sobreyectiva con dominio IR,

¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?20. Sean f y g funciones, definidas de en y dadas respectivamente por

23

xf x y 2 2g x x . ¿Cuáles de ellas son sobreyectivas?

21. Sean f y g funciones, definidas de en y dadas respectivamente por

5 12f x x y 23 7 2g x x x . ¿Cuáles de ellas son sobreyectivas?


1

2

xf x

y 21g x x . ¿Cuáles de ellas son sobreyectivas?

23. Clasifique las siguientes funciones de acuerdo a su codominio en inyectivas,sobreyectivas, biyectivas u otras.a) :f con 2 4f x x

b) : 4 ,f con 2 4f x x

c) : 0 ,f con 2 4f x x

d) : , 0f con 2 4f x x

e) : 0 , 4 ,f con 2 4f x x f) :f con 4f x x

g) : 1 ,f con 2 4f x x

h) : 15 , 2f con 73

xf x

i) 23: 15 , 2 2 ,

3f

con 73

xf x

j) : 0 , ,f con ,f x xk) : 0 , 0 , ,f con ,f x x

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CRITERIO DE LAS FUNCIONES INVERSAS CORRESPONDIENTES A FUNCIONESCUYO CRITERIO ES DE LA FORMA: 2, ,f x mx b h x ax c g x x c

CON , , , 0 , 0m b a c m a Si una función es biyectiva entonces tiene una función inversa. El procedimiento paradeterminar la inversa de una función dada f , es plantear la ecuación f x yy despejar en ella a " "x en términos de " "y .

Dicho de otro modo, si tenemos una función biyectiva f tal que :f IR IR , entonces

la función inversa de f es 1f tal que 1 :f IR IR Ejemplo 1

Determinar la función inversa de

: 3 ,f IR , tal que

( ) 4 3f x x

Ejemplo 2Determinar la función inversa de

: 0 , 5,f , tal que

23

52

xf x

a) Debemos recordar siempre que

y f x4 3y x

b) Despejar “x” de la ecuación original4 3

3

43

4

y x

yx

yx

c) Intercambiar los valores de “ x ” y de “ y ”

3

4

xy

d) Escribir la función inversa como

1y f x

1

1

3

4: 3 ,

xf x tal que

f IR


y f x23

52

xy

b) Despejar “x” de la ecuación original

2

2

2

35

23

52

2 5

3

2 10

3

xy

xy

yx

yx


2 10

3

xy


1y f x

1

1

2 10

3

: 5, 0,

xf x tal que

f

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GRUPO FÉNIX

CRITERIO DE LAS FUNCIONES INVERSAS CORRESPONDIENTES A FUNCIONES

CUYO CRITERIO ES DE LA FORMA: 2, ,f x mx b h x ax c g x x c CON , , , 0 , 0m b a c m a

Ejemplo 3

Determinar la función inversa de 7: , ,0

3f

, tal que 3 7f x x


y f x

3 7y x

b) Despejar “x” de la ecuación original

2

2

3 7

3 7

7

3

y x

y x

yx


2 7

3

xy


1y f x

2

1 17 7: ,0 ,

3 3

xf x tal que f

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Trabajo cotidiano # 231. Determine el criterio de la función inversa de las siguientes funciones, suponga que todas

están bien definidas y son biyectivas.a) ( ) 3 4f x x b) ( ) 5 6f x x c) ( ) 2 3f x x d) ( ) 5 6f x x e) ( ) 2 3f x x f) ( ) 3 4f x x g) ( ) 3 4f x x h) ( ) 5 6f x x

i) 3 4f x x

j) 5 6f x x

k) 7 8f x x

l) 9 36f x x

m) 10 12f x x

n) 15 3f x x

o)3

( ) 24

f x x

p)6

( ) 57

f x x

q) 497

3f x x

r) 1810

7f x x

s) 23

xf x

t) 54

xf x

u) 74

xf x

v) 65

xf x

w) 24

3

xf x

x) 36

4

xf x

y) 46

5

xf x

z) 57

6

xf x

2. Determine el criterio de la función inversa de las siguientes funciones, suponga que todasestán bien definidas y son biyectivas.

a)5 6

( )7

xf x

b)8 9

( )10

xf x

c) 2( ) 3 4f x x d) 2( ) 5 6f x x e) 29 36f x x

f) 210 12f x x

g) 2 6( ) 5

7f x x

h) 2 12( ) 8

5f x x

i) 2497

3f x x

j) 21810

7f x x

k) 2

74

xf x

l) 22

43

xf x

m) 25

76

xf x

n)25 6

( )7

xf x

o)28 9

( )10

xf x

p) ( ) 2f x x

q) ( ) 4f x x

r)1

( )2

f x x

s)3

( )4

f x x

Ejercicios de profundización3. Determine el criterio de la función inversa de las siguientes funciones, suponga que todas

están bien definidas y son biyectivas.a) 2 5f x x

b) 3 12

xf x

c) 24

5 3

xf x

d) 12 1

3f x x

e) ( ) 1f x x

f) ( ) 1f x x

g) 4 9f x x

h) 82

xf x

i) 35

2

xf x

j) 1 6

2

xf x

k) 5

3 2

xf x

l) 12

xf x

m) 7 5f x x

n) 2 1xf x

x

o) 1

3

xf x

x

p) 3 2

6 4

xf x

x

q) 2 5

xf x

x

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4. Si los puntos 4 , 2 y 3 , 5 pertenecen a la gráfica de la función lineal f ,

entonces, determine el criterio de la función inversa de f .5. Si f es una función lineal tal que 13 1 y 2 2-f f , entonces determine el

criterio de 1f .

6. Si 2: 0

3f

y 5

3 2f x

x

entonces, determine 1f x .

7. Si : 1, 0,f y 1

1f x

x

entonces, determine 1f x .

8. Considere 2: ,0 , 2 2h con h x x y determine 1h x .

9. Considere : ,0 ,1h con 2 1h x x y determine 1h x .

10.Si : 0, 1,f dada por 2

12

xf x , entonces, determine 1f x .

11.Si 3 1f x x , entonces determine la preimagen de 12 en -f .

12.Si 12 y

5-x

h x h

es la inversa de “ h ” entonces, determine 1 2-h .

13.Si 1 1,5

-xf x f es la inversa de “ f ” entonces, determine 1 3-f .

14.Si “ f ” es una función dada por 4 3f x x entonces, determine 1 6f .

15.Si f es una función cuyo criterio es 23

xf x entonces, determine 1 3-f .

16.Si f es una función biyectiva y 1 6 4f x x , entonces, determine 2f .

17.Sea : 0, 2,f con 2 2f x x , entonces, determine 1 4-f .

18.Determine 1 2f para la función dada por 4 3f x x .

19.Si 3 1

4

xf x

, halle la preimagen de 12

en5

-f

.

20.Determine la preimagen de 2 en 1f para la función dada por 32

xf x .

21.Determine la imagen de 4 en 1f para la función dada por 2 1f x x .

22.Si 3

2

xf x

, halle la imagen de 12

en5

-f

.

23.Si h 13 y

8-x

x h

es la inversa de “h” ; halle 1 3-h .

24.Si 2

1 1, g4

-xg x es la inversa de “ g ” halle 1 3-g .

25.Determine la preimagen de 1 en 1f para la función dada por 3 1

2 2

xf x

x

.

Vers

ión E

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nica

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rupo

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ix


GRUPO FÉNIX



23

xf x y 2 2g x x . ¿Cuáles de ellas son sobreyectivas?

A) Sólo fB) Sólo g

C) Ni f ni gD) Tanto f como g

2. La función :f con 2 4f x x esA) Inyectiva y sobreyectiva.B) sobreyectiva y no Inyectiva.

C) Inyectiva y no sobreyectiva.D) no inyectiva y no sobreyectiva.

3. La función : 4 ,f con 2 4f x x esA) inyectiva y sobreyectiva.B) sobreyectiva y no inyectiva.

C) Inyectiva y no sobreyectiva.D) no inyectiva y no sobreyectiva.

4. Si ,a b pertenece al gráfico de una función biyectiva f , entonces un par ordenadoque pertenece al gráfico de la función inversa de f es

A)1 1

,a b

B) ,b a

C) ,a b

D) ,b a

5. Sea :f B , con 2 4f x x una función biyectiva. ¿Cuál es el dominio de lainversa de f ?

A) B) 4 ,

C) , 0D) 4

6. Sea : 0, 2,f con 2 2f x x , entonces 1 4-f corresponde aA) 4B) 18

C) 2

D) 6

7. De acuerdo con los datos de la gráfica de la función“ f ”. ¿Cuál es el criterio de la funcióninversa?A) 1 2 4-f x x

B) 1 2 4-f x x

C) 1 22

- xf x

D) 1 22

- xf x

x

y

f4

2

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GRUPO FÉNIX

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Es una función definida por la ecuación xf x a con 1a y 1a , donde a es una

constante llamada base, el exponente es una variable, y, :f

I Caso

Base mayor que uno 1a II Caso

Base entre cero y uno (0 1)a

Características1. Dominio:

2. Codominio:

3. Ámbito: 4. Es biyectiva.

5. No interseca al eje x.

6. Interseca al eje y en ( 0 , 1 ).

7. Es estrictamente creciente.

8. Es asintótica al eje x por la izquierda.

Características1. Dominio:

2. Codominio:

3. Ámbito: 4. Es biyectiva.

5. No interseca al eje x.

6. Interseca al eje y en ( 0 , 1 ).

7. Es estrictamente decreciente.

8. Es asintótica al eje x por la derecha.

x

y

x

y

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GRUPO FÉNIX

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Ejemplo 1Considere la función exponencial cuyo

criterio es 2 xf x y determine

Ejemplo 2Considere la función exponencial cuyo

criterio es 1

2

x

f x

y determine

a) Dominio:

b) Codominio:

c) Ámbito:

d) 11

2f

e) 1 2f

f) Intersección con el eje x: No existe

g) Intersección con el eje y : 0,1

h) Régimen de variación: Estrictamente

creciente

i) Gráfica:

a) Dominio:

b) Codominio:

c) Ámbito:

d) 11

2f

e) 1 2f

f) Intersección con el eje x: No existe

g) Intersección con el eje y : 0,1


creciente

i) Gráfica:

x x

y y

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 241. Determine el dominio, codominio, ámbito, 1f , 1f , intersección con los ejes,

régimen de variación y gráfica de las siguientes funciones exponenciales.

a) 3 , :xf x f

b) 3 , : 2,1xf x f

c) 3 , : 2,xf x f

d) 3 , : ,4xf x f

e) 1, :

3

x

f x f

f) 1, : 2,1

3

x

f x f

g) 1, : 2,

3

x

f x f

h) 1, : ,4

3

x

f x f

i) 1, :

4

x

f x f

j) 1, : 2,1

4

x

f x f

k) 1, : 2,

4

x

f x f

l) 1, : ,4

4

x

f x f

m) 5 , :xf x f

n) 5 , : 2,1xf x f

o) 5 , : 2,xf x f

p) 5 , : ,4xf x f

q) 5, :

2

x

f x f

r) 5, : 2,1

2

x

f x f

s) 5, : 2,

2

x

f x f

t) 5, : ,4

2

x

f x f

u) 5, :

2

x

f x f

v) 2 , :x

f x f

w) 2 , : 2,1x

f x f

x) 2 , : 2,x

f x f

y) 2 , : ,4x

f x f

z) 2 , :x

f x f

aa) 2 , : 2,1x

f x f

bb) 2 , : 2,x

f x f

cc) 2 , : ,4x

f x f

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GRUPO FÉNIX

ECUACIONES EXPONENCIALES

La función exponencial f dada por xf x a con 1a es biunívoca; en consecuencia,se satisfacen las condiciones equivalentes que siguen para números reales 1x y 2x :

1. Si 1 2x x , entonces 1 2x xa a2. Si 1 2x xa a , entonces 1 2x x

Ejemplo 1Resuelva la ecuación 3 2 15 5x x

Ejemplo 2Resuelva la ecuación 3 27y

1. Se igualan los exponentes por tener lamisma base

3 2 15 5

3 2 1

x x

x x

2. Se resuelve la ecuación resultante3 2 1

3 1 2

2

x x

x x

x

1. Se factorizan las bases

3

3 27

3 3

y

y

2. Se igualan los exponentes por tener la

misma base33 3

3

y

y

Ejemplo 3Resuelva la ecuación 12 4 8x x

Ejemplo 4

Resuelva la ecuación2 1

1343 7

49

xx


1

12 3

2 4 8

2 2 2

x x

x x

2. Se aplican las leyes de potencias

2 2 3

2 1 3

2 2 2

2 2

x x

x x


2 1 3x x 4. Se resuelve la ecuación resultante

2 1 3

1 3 2

1

x x

x x

x


2 1

2 13 2

1343 7

49

7 7 7

xx

x x

2. Se aplican las leyes de potencias

2 2 13

3 1 4 2

3 4 1

7 7 7

7 7

7 7

xx

x x

x x


3 4 1x x 4. Se resuelve la ecuación resultante

3 4 1

3 4 1

7 1

1

7

x x

x x

x

x

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 251. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales.

a) 3 2 17 7x x

b) 3 2 19 9x x

c) 2 3 5 111 11x x

d) 3 4 2 112 12x x

e) 10 3 7 113 13x x

f)26 21615 15x

g)26 101 216 10117 17x x x

h)23 2 120 20x x

i) 44 16 115 1125 25 x xx

j)22 10 8 1127 27x x x

k) 2 22 2 1 3 129 29x x x

l) 2 8y

m) 5 625y

n) 7 2401y

o) 10 100000y

p) 11 121y

q) 13 2197y

r) 13 9 27x x

s) 15 25 125x x

t) 2 1 5 37 49 343x x

u) 2 13 9 27x x x

v) 6 3 15 25 125x x x

w)1

2 2 13 9 27x x x

x)2 1

18 2

4

xx

y)2 1

127 3

9

xx

z)2 1

1125 5

25

xx

aa)

2 31

231

816

xx

bb)

2 1 12 3

62 9 8

3 4 27

x xx

cc) 2

32

3 21 12

8 32

x xx

dd) 1

2 120,25 0,25 0,125

xx

ee) 2 1

1 331

0,125 2 44

xx

ff) 2 1 1

4 2 2 14

16 9 41,5

81 4 9

x x

x

gg)1 1

3 2

2 4

2 8

x x

x

hh)2 1

1

153 5 14

225

x

x

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ix


GRUPO FÉNIX

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Si ( ) ;xf x a tal que :f entonces, 1( ) log ;af x x tal que 1 :f y

viceversa. Además, log a x y si y solo si ya x , para todo 0x y para todo

y .

I Caso

Base mayor que uno 1a II Caso

Base entre cero y uno (0 1)a

Características

1. Dominio: 2. Codominio: 3. Ámbito: 4. Es biyectiva.

5. No interseca al eje y.

6. Interseca al eje x en ( 1 , 0 ).

7. Es estrictamente creciente.

8. Es asintótica al eje y por abajo.

Características

1. Dominio: 2. Codominio: 3. Ámbito: 4. Es biyectiva.

5. No interseca al eje y.

6. Interseca al eje x en ( 1 , 0 ).

7. Es estrictamente decreciente.

8. Es asintótica al eje y por arriba

x

y

x

y

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GRUPO FÉNIX

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Ejemplo 1Considere la función logarítmica cuyo criterio

es 2logf x x y determine

Ejemplo 2Considere la función logarítmica cuyo criterio

es 12

logf x x y determine

a) Dominio:

b) Codominio:

c) Ámbito:

d) 1 0f

e) 2 1f

f) Intersección con el eje x: 1,0

g) Intersección con el eje y : No existe


creciente

i) Gráfica:

a) Dominio:

b) Codominio:

c) Ámbito:

d) 11

2f

e) 1 2f

f) Intersección con el eje x: 1,0

g) Intersección con el eje y : No existe


decreciente

i) Gráfica:

x

y

x

y

Vers

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 261. Determine el dominio, codominio, ámbito, 2f , 1f , intersección con los ejes, régimen

de variación y gráfica de las siguientes funciones exponenciales.

a) 3log , :f x x f

b) 3log , : 2,7f x x f

c) 3log , : 2,f x x f

d) 3log , : 0,4f x x f

e) 13

log , :f x x f

f) 13

log , : 2,7f x x f

g) 13

log , : 2,f x x f

h) 13

log , : 0,4f x x f

i) 52

log , :f x x f

j) 52

log , : 2,7f x x f

k) 52

log , : 2,f x x f

l) 52

log , : 0,4f x x f

m) 2log , :f x x f

n) 2log , : 2,7f x x f

o) 2log , : 2,f x x f

p) 2log , : 0,4f x x f

q) 1

2

log , :f x x f

r) 1

2

log , : 2,7f x x f

s) 1

2

log , : 2,f x x f

t) 1

2

log , : 0,4f x x f

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GRUPO FÉNIX

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Sea a un número real positivo diferente de 1. El logaritmo de x con base a se definecomo log a x y si y sólo si yx a para toda 0x y todo número real y .

Ejemplo 1Determine el valor de a en

la expresión3

log 22a

Ejemplo 2Determine el valor de x en

la expresión 3log 2x

Ejemplo 3Determinar el valor de y si

3log 27 y

1. Se utiliza la definición ypasamos a notaciónexponencial

32

3log 2

2

2

a

a

2. Se eleva el otro lado al

exponente inverso32

23

3 2

3

2

(2)

2

4

a

a

a

a


3

2

log 2

3

x

x

2. Se resuelve la potencia

23

9

x

x


3log 27

3 27y

y

2. Se resuelve la ecuaciónexponencial

3

3 27

3 3

3

y

y

y

Trabajo cotidiano # 271. Determine el valor de x en las siguientes ecuaciones logarítmicas utilizando la definición.a) log 81 4x

b)1

log 23x

c)1

log 52x

d)1

log 43x

e) log 3 2x

f) log 3 3 3x

g)5

log 2432x

h) 3 1log 5

3x

i)1

log 42401x

j) 3log 2 1 1x x

k) 3log 2x

l) log 4x

m) 3

1log

2x

n) 8

1log

6x

o) 3

1log

4x

p) 13

log 2x

q) 132

1log

5x

r) 4log 2 2x

s) 13

1log

2x

t) 3

1log 4

x

u) 17

1log 3

x

v) 2log 8 xw) 2log 32 xx) 3log 81 x

y) 14

log 8 x

z) 14

log 16 x

aa) 25

1log

5x

bb) 5

1log

625x

cc) 18

1log

2x

dd)

18

3

1log

81x

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GRUPO FÉNIX

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Si x y y denotan números reales positivos, entonces se cumplen las siguientespropiedades.

Nombre de la Propiedad Propiedad Ejemplos

Logaritmo de unamultiplicación

log log loga a ax y x y 2 2 2log 7 log 7 logx x

2 2log8 log8 logx x

Logaritmo de una divisiónlog log loga a a

xx y

y

2 2 2log log log 77

xx

22

8log log8 log x

x

Logaritmo de unaexpresión en notación

exponenciallog logy

a ax y x

73 3log 7logx x

3log 3logy y

Logaritmo de la base log 1a a 5log 5 1

log 10 1

Logaritmo de la unidad log 1 0a 3log 1 0

log 1 0

Cambio de baselog

logloga

yy

a

2

log 3log 3

log 2

7

log 5log 5

log 7

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GRUPO FÉNIX

ECUACIONES LOGARÍTMICAS QUE INCLUYEN UNA O DOS OPERACIONES, Y QUE SEPUEDEN LLEVAR A LA FORMA log loga af x g x

Para resolver ecuaciones logarítmicas, es necesario conocer y aplicar el teorema sobre las

funciones logarítmicas, el cual pasamos a detallar:

La función logarítmica f dada por logaf x x con 1a es biunívoca; en

consecuencia, se satisfacen las condiciones equivalentes que siguen para números reales

1x y 2x :

1. Si 1 2x x , entonces 1 2log loga ax x

2. Si 1 2log loga ax x , entonces 1 2x x

Ejemplo 1Resuelva la ecuación

4 4log 3 log 2 1x x


2 27 7log 5 7 2 log 3 2 1x x x x

Procedimiento:

1. Se igualan los argumentos utilizando la

segunda condición

4 4log 3 log 2 1

3 2 1

x x

x x

2. Se resuelve la ecuación resultante

3 2 1

3 1 2

2

x x

x x

x

3. Al sustituir el valor de “x” el argumento

es positivo, por tanto

2S

Procedimiento:

1. Se igualan los argumentos utilizando la

segunda condición

2 27 7

2 2

log 5 7 2 log 3 2 1

5 7 2 3 2 1

x x x x

x x x x

2. Se resuelve la ecuación resultante

2 2

2 2

2

1 2

5 7 2 3 2 1

5 7 2 3 2 1 0

2 5 3 0

13

2

x x x x

x x x x

x x

x x

3. Al sustituir el valor de “x” el argumento

es positivo, por tanto

1 , 32

S

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GRUPO FÉNIX

ECUACIONES LOGARÍTMICAS QUE INCLUYEN UNA O DOS OPERACIONES, Y QUE SEPUEDEN LLEVAR A LA FORMA log loga af x g x


log 3 1 log 2 3 1 log 5x x

Procedimiento:

1. Se ordena la ecuación con los términos logarítmicos al lado izquierdo de la igualdad

log 3 1 log 2 3 1 log 5

log 3 1 log 5 log 2 3 1

x x

x x

2. Se aplica la propiedad del logaritmo de una multiplicación

log 3 1 log 5 log 2 3 1

log 5 3 1 log 2 3 1

x x

x x

3. Se aplica la propiedad del logaritmo de una división

log 5 3 1 log 2 3 1

5 3 1log 1

2 3

x x

x

x

4. Se expresa en notación exponencial

1

5 3 1log 1

2 3

5 3 110

2 3

x

x

x

x

5. Se resuelve la ecuación

1 5 3 110

2 320 30 15 5

5 35

7

x

xx x

x

x

4. Al sustituir el valor de “x” el argumento es positivo, por tanto

7S

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GRUPO FÉNIX

Trabajo cotidiano # 281. Determine el valor de x en las siguientes ecuaciones logarítmicas utilizando la definición.

a) 2 2log 3 1 log 2x x

b) log 3 2 logx x

c) 7 7log 3 log 5 6x x

d) 6 6log 2 3 log 5 3x x

e) 2 2log 12 log 5 3x x

f) 3 3log 4 log 4x x

g) 2 21 12 2

log logx x x x

h) 21 12 2

log 2 10 log 8 10x x x

i) 21 12 2

log 3 7 log 27 7x x x

j) 21 12 2

log 4 13 log 64 13x x x

k) 23 3log 5 42 log 125 42x x x

l) 23 3log 6 111 log 216 101x x x

m) 23 3log 23 9 log 40 31x x x

n) 3 3log 7 10 log 10 9 1x x x

o) 2 2log 3 1 1 log 2x x

p) log 1 log 2 3 x x

q) 7 7log 3 1 log 5 6x x

r) log4 1 log 2x x

s) log 2 1 log 3 0x x

t) 3 32 log 4 log 2x x

u) 1

3 3log 4 log 1 1x x

v) 1

5 51 log 3 log 1 0x x

w) 1

2 24 2log 2 log 2 4 0x x

x) 3 3 3log log 2 log 9 3x

y) log 2 log 5 log8x

z) 2log log 25 log 5x

aa) 4 4 4log 5 log 3 2 log 3x

bb) 3 3 3

1log log 9 log 6

2x x

cc) 125 5 5log 9 log 3 log 2x x x

dd) 4

1log 3 7

2x

ee)1

9 9

1 1log log 5 10

21x

x

ff) 2 9log 6 7 1

xx

gg)5

5

1log

42log 8x

hh) 7 3log log 2 0x x

Vers

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ix


GRUPO FÉNIX

ECUACIONES EXPONENCIALES DE LA FORMA P x Q xa b , DONDE P(X) Y Q(X)SON POLINOMIOS CON UNA VARIABLE DE GRADO CERO (NO

SIMULTÁNEAMENTE), DE GRADO UNO O DOSDebemos igualar los logaritmos de ambos miembros de la ecuación. Con esto, las variablesen el exponente se convierten en multiplicadores y la ecuación resultante es más fácil deresolver. En otras palabras, es la estrategia de “aplicar logaritmos a ambos miembros de laigualdad”.

Ejemplo 1Resuelva la ecuación 2 1 3 43 5x x

1. Se aplica logaritmo a ambos miembros de la igualdad2 1 3 4log3 log5x x

2. Se aplica la propiedad del logaritmo de una expresión en notación exponencial

2 1 log3 3 4 log5x x 3. Se aplica la propiedad distributiva

2 log3 log3 3 log5 4log5x x 4. Se resuelve la ecuación para “x”

2 log3 3 log5 4log5 log3

2log3 3log5 4log5 log3

4log5 log3

2log3 3log5

x x

x

x

Trabajo cotidiano # 291. Determine el valor de x en las siguientes ecuaciones logarítmicas utilizando la definición.

a) 2 1 3 42 3x x

b) 3 1 2 43 5x x

c) 1 5 15 7x x

d) 1 5 17 10x x

e) 5 4 6 110 11x x

f)22 10 8 102 3x x x

g)23 7 27 73 5x x x

h)24 13 64 135 7x x x

i)25 42 125 427 10x x x

j)26 101 216 10110 11x x x

k)2 23 3 42 3x x x x

l)2 22 4 33 5x x x x

m)24 4 65 7x x

n)23 6 1 1 27 10x x x

o)22 5 3 310 11x x x

p)23 5

5 9

x x

q) 3

281 3

2x

x

r) 2

564 16

5

xx

s)2

3 2 1

3 1

3 4x x

t) 2

15

2x

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Editor

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GRUPO FÉNIX

Trabajo extraclase # 61. Sea f la función exponencial dada por xf x a . Si 2 5f f , entonces, un

posible valor para a es

A) 2

B)4

3

C)9

4

D)11

15

2. Sea f la función dada por 3

2

x

f x

. Considere las siguientes proposiciones.

I. El ámbito de f es 0 , .II. f es decreciente.

¿Cuáles de ellas son VERDADERAS?A) Ambas.B) Ninguna.C) Sólo la I.D) Sólo la II.

3. Para la función f dada por ,xf x a si 1a y 0 ,x entonces se cumple que

A) 1xa B) 0xa C) 0 1xa D) 0 1xa

4. La solucion de3 1 2 3

2 49

7 4

x x

es

A) 1B) 5C) 4D) 7

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GRUPO FÉNIX

5. La solución de3 9 243x es

A) 2

B) 4

C)5

2

D) 5

3

6. La solución de 1 2 13

9x es

A) 2

B)3

2C) 2

D)3

2

7. Si f es una función logarítmica de base " "a y 0f x para 1 ,x entonces se

cumple queA) 1 aB) 1a C) 0 1a D) 1 0a

8. La gráfica de la función f dada por 65

logf x x interseca el eje x en

A) 0 , 1

B) 1 , 0

C)2

, 05

D)2

0 ,5

Vers

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GRUPO FÉNIX

9. Para la función logarítmica f dada por log .af x x Si 1 2 ,f x f x entonces un posible valor de " "a es

A)3

2

B)5

2

C)4

5

D)6

510.La solución de 23 2x x es

A)3

2

log 2

B)

3

21

log2

C)

3

22

log3

D)

3

23

log2

11.El conjunto solución de log 2 5 0x es

A)

B)1

5

C)2

5

D)8

5

12.Los científicos utilizan la función dada por log 3,7 0,2d g , para calcular el

diámetro, en kilómetros, de asteroides, donde “ d ” representa el diámetro y “ g ”representa la magnitud del asteroide. ¿Cuál es el diámetro aproximado, en kilómetros, deun cuerpo que presenta magnitud 11?A) 1,50

B) 13,29C) 31, 62D) 35, 21

13.La presión atmosférica “p” sobre un avión que se encuentra a una altura “x” en kilómetros

sobre el nivel del mar está dada por 0,145760 xp x e . ¿Cuál es aproximadamente la

presión sobre un avión que se encuentra a una altura de 20 km sobre el nivel del mar?A) 8,64B) 41,74C) 417,40D) 864,00

Vers

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BIBLIOGRAFÍA

- Baldor. Geometría plana y del espacio y trigonometría. Ediciones Códice. Madrid, España, 1987.

- Baldor. Álgebra. Ediciones Códice. Madrid, España, 1987.

- Baldor. Aritmética. Ediciones Códice. Madrid, España, 1987.

- Corrales, Mario. Matemática Estadística. Editorial UNED.

- Cárdenas, Humberto y otros. Matemática Primer Curso y Matemática Segundo Curso. 3era Edición.

- Clemens, Santanley y otros. Geometría con aplicaciones y soluciones de problemas. Adison-Wesley

Iberoamericana, S.A., Wilmington, E.U.A, 1989

- Gamboa, G. Porras, V. Matemáticas 10º. Publicaciones Porras y Gamboa, San José, Costa Rica. 2006.

- Larson, R. Hostetler, R. Cálculo y geometría analítica. Mc Graw-Hill, México, 1988 (Capítulo I).

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- Ministerio de Educación Pública. Plan de Transición 2013 del Programa de Estudio. San José, Costa

Rica. 2012.

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- Murillo, Manuel. Matemática básica con aplicaciones. EUNED, San José, Costa Rica, 2000.

- Polya, G. (1966). Matemáticas y razonamiento plausible. Madrid: Tecnos.

- Polya, G. (1990). Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas.

- Ruiz, A. (2006). Universalización de la educación secundaria y reforma educativa. San José, Costa Rica:

EUCR-CONARE.

- Ruiz, A. (2010). Conocimientos y currículo en la educación matemática. Cuadernos de Investigación y

Formación en Educación Matemática, 6, 107-141.

- Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. Orlando: Academic Press.

- Schoenfeld, A. (1991). On mathematics as sense making: An informal attack on the unfortunate divide

of formal and informal mathematics. En J.F. Voss, D.N. Perkins & J.W. Segal (Eds.), Informal reasoning

and education. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates, pp. 311-343.

- Schoenfeld, A. (2011). How we think. New York: Routledge.

- Swokowski, Earlw. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Editorial Iberoamericana. 1988.

- Tsijli, Teodora. Geometría Euclidea 1. EUNED, San José, Costa Rica, 1994.

Vers

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Editor

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rupo

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ix

Estimados profesores:

Reciban un cordial saludo y un sincero deseo de éxito en sus labores

profesionales, como Editorial Líder estamos a la vanguardia con respecto a los cambios efectuados por el Ministerio de Educación Pública para los Nuevos

Programas de Estudio; siendo fieles al enfoque con base en la resolución de

problemas.

Es por eso que orgullosamente les entregamos esta versión en electrónico; y el Plan de Transición 2013 de los Nuevos Programas de Estudio en Matemática, con los respectivos cambios en 7°, 8°, 9°, 10° y 11°.

Los Docentes que decidan trabajar con nuestros libros se les entregarán

ejemplares gratuitos con los niveles que vayan a impartir, a continuación citamos

algunas de las razones por las cuales trabajar con nuestros libros:

1. CARBONO NEUTRAL, estamos comprometidos con que nuestro país alcance

esta meta, por esta razón nuestra promoción de los libros ha sido solo en

electrónico, asimismo, utilizamos papel hecho con la fibra de la caña de azúcar y

las portadas son hechas a base de material reciclado.

2. NUEVOS PROGRAMAS DE ESTUDIO, nuestros libros de texto han sido

elaborados tomando como referente las nuevas tendencias en Educación

Matemática, en particular, de acuerdo a los nuevos programas en matemática -

enfoque con base en la resolución de problemas-.

3. PLAN DE TRANSICIÓN 2013, nuestros libros cumplen al 100% con lo que solicita

el MEP para la implementación eficaz de los nuevos programas en matemática en

III Ciclo y Ciclo Diversificado. Por tal motivo, adjuntamos dicho Plan de Transición

en este disco para que puedan constatar lo que promulgamos.

4. PRECIO, para las Instituciones Educativas y Profesores es de ¢3516 c/u.

5. DESCUENTO ADICIONAL DE UN 2,5 % en el monto de la factura si el pago

correspondiente se realiza por depósito bancario a alguna de las cuentas de Grupo

Fénix.

6. CRÉDITO DE UN MES, el plazo de crédito que Grupo Fénix brinda es de un mes a

partir de la fecha de facturación y entrega de los libros, con la condición de realizar

pagos semanales (exactamente cada siete días naturales después de

entregados los libros). El atraso en la cancelación de la factura al cabo del mes de

crédito, generará un interés de un 1% diario (aplican sólo días laborales).

7. EMPASTE TRADICIONAL, la presentación de la Edición 2013 no viene con resorte como las Ediciones anteriores, no obstante, si alguna Institución por

razones de comodidad ergonómica lo desean pueden solicitar el libro con resorte.

San José, 21 Enero 2013D.P.V. - 105

Un Nuevo Comienzo... un Resurgimiento!

Grupo FénixEDITORIAL

Grupo Fénix de C.R.

Papel elaborado delbagazo de caña de

azúcar

MÁS ARBOLESPARA EL FUTURO!

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1. CARBONO NEUTRAL, estamos comprometidos con que nuestro país alcance

esta meta, por esta razón nuestra promoción de los libros ha sido solo en

electrónico, asimismo, utilizamos papel hecho con la fibra de la caña de azúcar y

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2. NUEVOS PROGRAMAS DE ESTUDIO, nuestros libros de texto han sido

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Matemática, en particular, de acuerdo a los nuevos programas en matemática -

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3. PLAN DE TRANSICIÓN 2013, nuestros libros cumplen al 100% con lo que solicita

el MEP para la implementación eficaz de los nuevos programas en matemática en

III Ciclo y Ciclo Diversificado. Por tal motivo, adjuntamos dicho Plan de Transición

en este disco para que puedan constatar lo que promulgamos.

4. PRECIO, para las Instituciones Educativas y Profesores es de ¢3516 c/u.

5. DESCUENTO ADICIONAL DE UN 2,5 % en el monto de la factura si el pago

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7. EMPASTE TRADICIONAL, la presentación de la Edición 2013 no viene con resorte como las Ediciones anteriores, no obstante, si alguna Institución por

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10UN ENFOQUE CON BASEEN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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