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Matemáticas. 3º ESO

Ficha 1 Actividad de desarrollo

UNIDAD 1. Números racionales e irracionales

1. Calcula las siguientes potencias:

a) 23− = b) 23− = c) 03− = d) ( ) 23 −− =

e) ( )23− =

f) 2

31 −

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ =

2. Expresa como una sola potencia:

a) 12

23:

23 −

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ =

b) ( ) 217 22−−⋅ =

c) 23

3 2212 ⋅⎟⎠⎞⎜⎝

⎛⋅ =

d) 32

23

3462⋅⋅

=

3. Escribe la fracción generatriz de los siguientes números decimales: a) 2,13 =

b) 17,12)

=

c) 4,3)

=

4. En un partido de baloncesto un jugador A ha metido 3 triples de 7 intentos, mientras que otro B ha conseguido 4 triples de 9 intentos. ¿Cuál de ellos ha estado más acertado?




1. Un pintor prepara una mezcla con 5 litros de pintura por 3 de agua; otro, por cada 6 litros de pintura echa 5 de agua. ¿Cuál de los dos preparados tiene más proporción de pintura?

2. Calcula:

a) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−−

73

21

145

21

72

=

b) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

32

3:152

31

=

c) 87

25

53

47

415

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅− =

d) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ +⋅−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

21

727

25:

43

61

34

=

e) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅−

35

21

21

45

32

41

=




1. Clasifica los siguientes números en naturales, enteros, racionales y/o reales:

3

24825137,123792,3 3 −−−− π

)

2. Halla las cotas de error absoluto y relativo cometidos al aproximar 3 a 73,1 .

3. Representa en la recta real los siguientes números:

8237,13732,3 π−−

)

4. Escribe en forma de potencias de exponente fraccionario las siguientes raíces:

a) 4 32 =

b) 3 513 =

c) 5 32 =

d) 52

=

5. Calcula: a) 5551058 +− =

b) 2421216612613 +−+ =



UNIDAD 1. Números racionales e irracionales 1. En una clase hay 30 estudiantes, de los cuales

53

son alumnas. ¿Cuántas alumnas hay en clase?

¿Cuántos alumnos?

2. ¿Qué fracción del día representan 8 horas? ¿Y 8 horas y media?

3. En un depósito de agua había 2 000 litros de agua. Un día se gastó 51

del depósito, el siguiente

un 41

de lo que quedaba y el tercer día 500 litros. ¿Qué fracción del agua que había al principio

queda?

3. En un quiosco se han vendido a lo largo de la mañana los 32

de los periódicos existentes. Por la

tarde se venden la mitad de los que han quedado: a) ¿Qué fracción de periódicos representan los vendidos por la tarde?

b) Si no se han vendido 20 periódicos, ¿cuántos había al comenzar la venta?

5. El área de un cuadrado es 13 m2. ¿Cuál es su lado?

6. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?



UNIDAD 2. Proporcionalidad numérica

1. Si compramos por 35 € un pantalón cuyo precio han rebajado un 30 %, ¿cuánto valía ese mismo

pantalón antes de que lo rebajaran?

2. Una empresa comercial (A) vende un determinado producto que compra a la empresa (B) que lo fabrica por 76 € cada unidad. ¿Cuál debería ser el PVP (precio de venta al público) de ese producto si la empresa A quiere obtener una ganancia del 20 % sobre el precio de venta? No olvides tener en cuenta el IVA de ese producto, que es del 16 %.

3. Mezclamos 200 mL de agua salada que tiene una concentración de sal de 39 g/L con 500 mL de otra agua salada que tiene una concentración de sal de 33g/L. ¿Qué concentración de sal tendrá el agua salada mezclada? Dar la respuesta en gramos de sal por litro de agua.

4. Un camión ha efectuado un recorrido por carretera en el que ha tardado algo más de hora y media. Los primeros tres cuartos de hora los ha recorrido a una velocidad media de 80 km/h, los siguientes 36 minutos a una velocidad media de 60 km/h y los últimos 12 minutos a una velocidad media de 100 km/h. ¿A qué velocidad media ha realizado todo el recorrido el camión?.

5. Para obtener un fertilizante que contenga entre un 30 % y un 35 % de nitrógeno, un agricultor mezcla 70 kg de fertilizante con un contenido del 30 % de nitrógeno con 50 kg de fertilizante que contiene un 35 % de nitrógeno. ¿Qué porcentaje exacto de nitrógeno tendrá el fertilizante resultante.




1. La siguiente tabla representa la relación de la cantidad de basura recogida durante varios años en una determinada comarca:

Año Toneladas Habitantes Kg/habitante Incremento (%)

1990 88 000 242 993

1993 102 886 266 825

1996 109 741 271 427

1999 123 838 281 204

2000 128 757 287 667

a) Construye un diagrama de barras que represente las cantidades de residuos producidos en estos años.

b) Calcula el incremento de producción de residuos del año 2000 con respecto al año 1993.

c) Calcula el incremento de población del año 2000 con respecto al año 1993.

d) Compara ambos incrementos, ¿han crecido proporcionalmente?

e) Calcula la producción de basura por habitante en cada año y coloca los datos en la cuarta columna de la tabla (redondea a un decimal).

f) Calcula el incremento de producción de residuos por habitante en los años 1993, 1996, 1999 y 2000 con respecto al dato anterior. Coloca los datos en la quinta columna de la tabla (redondea a un decimal).

g) ¿Ha sido proporcional el incremento anterior?




1. Ángela, Félix y Jorge se desplazan en coche todos los días desde su lugar de residencia al lugar donde trabajan. La distancia entre las dos localidades es de 55 km. Salen por la mañana temprano y vuelven por la tarde, al acabar la jornada laboral. En cada desplazamiento, de ida o de vuelta, recorren 50 km del trayecto utilizando la autopista, por la que pagan 7 céntimos de euro por kilómetro recorrido. La empresa que gestiona la autopista dispone de un sistema de bonificación mensual para los vehículos que utilizan la autopista, de forma que al finalizar el mes cuenta los viajes que un vehículo ha realizado por la autopista y le devuelve un porcentaje de lo que ha pagado, atendiendo a los criterios de la tabla siguiente:

N.º de viajes Devolución sobre el precio del viaje

Los 8 primeros viajes 25 % Del viaje n.º 9 al n.º 20 55 % A partir del viaje n.º 21 75 %

Este mes, Ángela, Félix y Jorge han trabajado 22 días. Responde a las cuestiones siguientes: a) ¿Cuánto dinero han pagado este mes por la utilización de la autopista?

b) ¿Qué porcentaje de dinero, sobre el total pagado, les devuelven? c) Si tenemos en cuenta el gasto neto de la autopista (el total pagado menos lo devuelto), ¿a qué precio han pagado realmente este mes cada kilómetro de autopista recorrido? ¿Qué porcentaje lo han rebajado? d) Teniendo en cuenta el balance neto, ¿qué gasto diario han tenido, en autopista y gasolina, si viajan en un coche que utiliza gasolina sin plomo de 95 octanos –cuyo precio por litro es de 0,979 €– y que consume una media de 7 litros de gasolina cada 100 km?

e) Los gastos de gasolina y autopista de cada mes se reparten de manera que Félix y Jorge pagan lo mismo y Ángela la tercera parte de lo que pagan ellos, ya que ella siempre lleva el coche. ¿Cuánto tiene que poner cada uno de ellos este mes para cubrir los gastos?




1. Una persona dispone de 3 850 € y consulta a una entidad bancaria sobre qué productos de ahorro a plazo fijo le ofrecen. La entidad le ofrece dos posibilidades:

• Ingresar el dinero en una cuenta durante dos años a un interés simple del 3,5 %. • Ingresar el dinero en una cuenta de interés simple creciente, de forma que los primeros 6 meses el

interés es del 3 %, los seis siguientes del 3,25 %, el tercer semestre del 3,5 % y el cuarto semestre del 5 %.

a) ¿Cuál de los dos productos es más ventajoso para esa persona, el de interés fijo o el de interés creciente?

b) Al cabo de los dos años, Hacienda le va a retener un 18 % de las ganancias que obtenga. ¿Cuál es la ganancia neta que obtendrá esa persona en esos dos años? ¿Qué porcentaje del capital inicial supone?

2. Una pareja cuenta con 100 000 € para la compra de un piso. Puesto que es insuficiente para el tipo de piso que quieren, el resto lo tienen que pedir prestado al banco. Quieren realizar un cálculo aproximado de lo que les va a suponer todo ello, para lo que disponen de los siguientes datos:

• Están pensando en un piso de unos 80 m2.

• Hace muy poco se ha vendido un piso de 90 m 2 por 276 000 €, en la misma zona y de muy parecida calidad al que ellos desean.

• El banco les ofrece un préstamo a 25 años con un interés simple fijo del 2 %, con la forma de pago siguiente: el banco calcula los intereses que genera el capital prestado en 25 años al interés simple acordado y ellos tienen que pagar el préstamo más los intereses con una cantidad fija mensual durante esos 25 años.

a) Sobre el precio aproximado del piso, ¿qué porcentaje de su valor tienen que pedir prestado? b) ¿Cuánto dinero en total tienen que dar al banco en esos 25 años? c) ¿Qué cantidad tendrían que destinar mensualmente para pagar el préstamo?


Ficha 1 Actividades de desarrollo

UNIDAD 4. Polinomios

6. Simplifica las expresiones algebraicas siguientes:

a) (7x3 – 5x2 + 3x + 10) – (5x2 – 2x2 – 6x – 7) – (2x3 – 4x2 + 9x + 17) =

b) 3·(2x + 3) – 2x·(3x – 2) + (x – 1)·(x + 1) – (x – 2)·(x + 3)

c) 2x·(x2 – 1)+ (x + 2)·(x – 2)·(x + 1) – 2(x – 1)·(x + 1)·(x + 2)

d) 6

)23(3

)2(22

)12( 2−−

−+

− xxxxx

e) x

xxxx

x )1(2)3(43)15(

21)1(2 2 +

−++−−+

f) 222 )5(53

45)32)(2()12( xxxxx −−+−−−−

7. Halla el valor de n para que se cumpla cada una de las siguientes igualdades:

a) 81246)3()42( 232 −−+=+⋅− xxxnxx

b) Que P(2) = 0 siendo P(x) = x3 + 3x2 – nx + 6

c) 22222 )13()13( +=+− xnxx

d) )()(772 xynyyxyxy −⋅+=+−−

8. Completa los términos que faltan en las igualdades siguientes:

a) ( + 2)2 = 25x2 + 20x + 4

b) (7x – )2 = 49x2 – + 16

c) 81 – = (9 – ) · ( + 7x)

d) (2a – )3 = – + – 64




1. Dados los siguientes polinomios: 65)( 2 +−= xxxP , xxxQ 32)( 2 −= y

35)( 2 −+= xxxR , calcula el polinomio resultante en cada caso:

a) P – R + 2Q

b) Q · R

c) 3R – 2Q + P

2. Realiza la división )()(

xQxP

en cada uno de los casos y completa la tabla:

a) P(x) = – 5x3 + 4x2 – 3x + 2 Q(x) = x2 + 2x – 3

b) P(x) = 4x4 + 6x3 – 8x2 +10x – 4 Q(x) = x3 + 2x2 – x + 2

c) P(x) = 2x3 – 5x2 +12x + 10 Q(x) = x2 – 1

Dividendo Divisor Cociente Resto

– 5x3 + 4x2 – 3x + 2 x2 + 2x – 3

4x4 + 6x3 – 8x2 +10x – 4 x3 + 2x2 – x + 2

2x3 – 5x2 +12x +10 x2 – 1




1. Descompón los polinomios siguientes en factores:

a) P(x) = 2x3 – 12x2 +18x

b) Q(x) = 16xy2 – 24x2y2 + 24x3y2

c) R(x) = 15a2x2 – 60a2y2

d) S(x) = (4x2 – 12x + 9) + (4x2 – 9)

2. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) 1

222

23

−−−+

xxxx

b) xxx

xxx232

48223

23

−++−−

c) 123

1927272

23

−+−+−

xxxxx

3. Las tres raíces de un polinomio P(x) de tercer grado son las siguientes: – 1, +3 y – 4. Teniendo en cuenta estos datos, desarrolla la expresión algebraica completa de dicho polinomio.

P(x) =




1. Calcula el cociente entre los polinomios )()(

xQxP

así como el resto, utilizando la regla de Ruffini:

a) P(x) = 2x4 + 3x3 – 8x2 + 15x + 10 Q(x) = x + 4

b) P(x) = x4 – 10x3 + 18x2 – 36x + 27 Q(x) = x – 3

c) P(x) = 3x5 – 2x4 + x2 – 3x + 1 Q(x) = x + 1

2. Expresa el perímetro de cada una de las figuras geométricas siguientes en función de los datos que se muestran.

x

x - 1

FIGURA 1

FIGURA 2


UNIDAD 5. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

1. Despeja la variable que se indica en las ecuaciones siguientes:

a) y = mx + b → m =

b) A = 2πR → R =

c) v = v0 + gt → t =

d) yba111

−= → y =

2. Una compañía telefónica cobra 0,3 € por el establecimiento de llamada y 0,60 € por cada minuto de uso, mientras que otra compañía cobra 0,45 € por el establecimiento de llamada y 0,55 € por cada minuto de uso. ¿A partir de qué minuto de una llamada telefónica sale más barata la tarifa de la segunda compañía?

3. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 5x – 3 > 7 – (1 – 2x)

b) 324

12−≤+

− xxx

4. La longitud de la base de un rectángulo es 5 cm mayor que su altura. Si aumentamos cada dimensión en 1 cm, la superficie aumenta en 26 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones de ese rectángulo?



1. Luis ha salido de casa hacia la piscina, situada a 1 km de distancia. Al cabo de 6 minutos su hermano Julián sale corriendo detrás de él porque se le ha olvidado el traje de baño. Si Julián corre a una velocidad media de 12 km/h y Luis camina a una media de 5 km/h y los dos van por el mismo camino, ¿alcanzará Julián a su hermano antes de que llegue a la piscina?

2. Si se repartieran a partes iguales entre 9 personas las galletas contenidas en una caja de galletas,

sobrarían dos, pero si se repartieran entre 8 personas, cada uno tendría una galleta más y sobraría una. ¿Cuántas galletas tiene la caja?

3. Un camión de la basura recoge todos los contenedores de una zona en 4 h y otro camión recoge los

de la misma zona en 3 h, ¿en cuánto tiempo los recogerán si trabajan a la vez?

4. Halla el valor de la operación siguiente sin multiplicar ninguno de los valores que aparecen en la

misma y contemplándola como una ecuación:

4 567 890 1232 – (4 567 890 121 · 4 567 890 125)


UNIDAD 5. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 1. Resuelve las ecuaciones de segundo grado siguientes:

a) 2x2 +3 x - 9 = 0

b) 9x2 + 6x – 8 =0

c) 13

67

21

31

2

−

−=

−−

+x

xxx

2. Halla el valor de m para que la ecuación de segundo grado 4x2 – 2 (m + 3) x + 4 = 0 tenga una única solución doble, es decir, para que las dos soluciones de la ecuación sean iguales.

3. Resuelve las ecuaciones bicuadradas siguientes:

a) x4 – 4x2 + 3 = 0

b) 2x4 – 21x2 + 27 = 0



1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) ⎩⎨⎧

−−=++−=−

yyxxyx

315432224

b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−

=++

32

113

233

xy

xyyx

2. Un agricultor quiere fertilizar una parte de un terreno, pero quiere ajustar bien el porcentaje de nitrógeno, ya que si se excede puede ser perjudicial para el medio ambiente y si se queda corto, no va a abonar bien ese terreno. Necesita 100 kg de fertilizante que contenga un 30 % de nitrógeno, pero a mano tiene solamente dos tipos de fertilizante: uno con un contenido del 25 % de nitrógeno y oro con un contenido del 40 % de nitrógeno. ¿Cuantos kg de cada fertilizante tendrá que emplear para obtener lo que quiere?

3. En un aparcamiento de una autopista hay 30 vehículos entre coches y camiones de tres ejes (6 ruedas). Calcula el número de coches y camiones que hay, sabiendo que el número total de ruedas sobre el asfalto es de 136.



UNIDAD 6. Figuras planas

1. Indica en cada uno de los siguientes casos a qué polígono regular nos estamos refiriendo y completa la tabla.

Ángulo central Ángulo interior Ángulo exterior Nombre polígono regular

120º

108º

30º

90º

120º

45º

2. Paula dispone de un trozo cuadrado de 1,6 m2 de tela muy fina que quiere emplear para construir una cometa con forma de rombo de 60 cm de ancho y 130 cm de largo. ¿Tiene tela suficiente para hacerlo?

3. Las bases mayor y menor de un trapecio isósceles miden 160 y 70 mm respectivamente y cada uno de los lados iguales del trapecio 65 mm. Calcula el área, en cm2, de ese trapecio.

4. ¿Cuál es el perímetro y el área de un hexágono regular de 7 cm de lado?



UNIDAD 6. Figuras planas 1. Calcula el área del siguiente triángulo rectángulo utilizando alguno de los teoremas más importantes que has visto sobre ellos. m = 3 cm; n = 12 cm

2. En un día soleado, la sombra que proyecta un palo de 72 cm que colocamos

verticalmente es de 30 cm. Unos segundos más tarde medimos la sombra que proyecta un edificio que se encuentra al lado, siendo esta de aproximadamente 6,4 m. ¿Cuál es la altura aproximada del edificio?

3. Pablo va todos los días de casa a la escuela en una bicicleta cuyas ruedas tienen 28 cm de radio. En el manillar tiene colocado un aparato que, entre otras cosas, le dice el número de vueltas que han dado las ruedas de la bicicleta. Si cada día las ruedas dan aproximadamente 2 842 vueltas en el total del recorrido de ida y vuelta, ¿qué distancia recorre aproximadamente Pablo para ir de su casa a la escuela?

4. De una lámina metálica circular de 20 cm de radio cortamos un sector de 45º de

amplitud. ¿Qué superficie tiene la chapa restante?

·m

n

45º


x +1

Figura 3


UNIDAD 6. Figuras planas 1. Calcula el área de las siguientes figuras planas, en función de x, como sumas y restas

de áreas de figuras planas básicas (rectángulo, triángulo, círculo, sectores de círculo, polígonos regulares). Particularizar para el caso en que x = 1 cm y rellena la tabla con esos valores.

Figura Área (A) 1 2 3

x

x

Figura 1

3x cm

Figura 2



UNIDAD 6. Figuras planas 1. Calcula el área de la corona circular definida por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 40 cm de lado. 2. Calcula el perímetro y el área de la siguiente figura en función de x y de y. ¿Cuál es el valor

del área si y = 3 cm y x = 2 cm

y

x

x 2y

y

Matemáticas 3º ESO


UNIDAD 7. Movimientos en el plano

1. Dado el hexágono de la figura:

a) Calcula las coordenadas de los vectores AB , BC ,

CD , FE , AF y OA .

b) Calcula los módulos de los vectores anteriores. ¿Se trata de un hexágono regular?

c) ¿Existen vectores equipolentes entre los anteriores? Si los hay, señala cuáles son.

2. Las coordenadas de un vector AB son (– 8, – 9). Halla las coordenadas del origen A, siendo las de B (– 5, – 3).

3. Comprueba si los vectores AB y CD son equipolentes, siendo A (3 , 5), B (5 , – 1), C (– 4 , 4) y D (– 1 , – 2). 4. Las coordenadas de los vectores de un triángulo son: A (1 , 5), B (3 , 1) y C (7 , 4). Calcula las coordenadas de los vértices del triángulo que resulta de hacer una traslación con el anterior según el vector guía u

r= (– 7 , –

4).

A B

C

DE

F O

Y

X




1. Construye la figura que resulta de la traslación de las siguientes según los vectores guía ur

y vr

señalados.

Señala las coordenadas de los vectores guía. 2. Una traslación hace corresponder al punto A (2 , 8) el homólogo A’ (10 , – 11). Sin necesidad de realizar

ningún dibujo, calcula las coordenadas del vector guía ur

. 3. En una traslación de vector guía u

r = (2 , 6), el punto A se transforma en el punto A’ (– 1 , – 8). Calcula

las coordenadas de A. 4. Indica el vector guía que se ha empleado en las siguientes traslaciones y calcula su módulo.

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X




1. Traza las figuras simétricas a las dadas a continuación, con respecto al eje de simetría horizontal señalado. 2. Traza las figuras simétricas a las dadas a continuación, con respecto al eje de simetría e señalado. 3. Dibuja una circunferencia y una recta vertical que sea secante a la misma y no pase por su centro. a) Aplica una simetría axial con respecto a esa recta y dibuja la circunferencia simétrica a la inicial. ¿Hay algún punto que no se mueva al realizar la simetría? b) ¿Existe alguna recta vertical con respecto a la cual la simetría deja invariante la circunferencia? ¿Qué tiene de particular?

e

e

e

e




1. Haciendo centro en O, gira el ángulo indicado las siguientes figuras planas. 2. Dibuja el cuadrilátero de vértices A (1 , – 2), B (0 , – 1), C (3 , 2) y D (4 , 1). Dibuja ahora el cuadrilátero A’B’C’D’ que resulta de trasladar el cuadrilátero ABCD según el vector guía u

r = (1 , 2). Seguidamente, dibuja

el cuadrilátero A’’B’’C’’D’’ resultante de realizar una traslación de A’B’C’D’ según el vector guía vr

= (– 2 , 2). Finalmente, indica cuáles son las coordenadas de los vértices del cuadrilátero A’’B’’C’’D’’.

3. En una traslación de vector guía u

r = (3 , 7) se transforma el punto A (0 , – 3) en su homólogo A’. A

continuación se transforma ese punto A’ en otro A’’ a través de una traslación de vector guía vr

= (– 5 , 6). Por último, transformamos el punto A’’ en otro A’’’ mediante una traslación de vector guía w

r = (2 , – 3).

a) Calcula las coordenadas del vector guía que transforma directamente A en A’’’ b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto A’’’?

O

O

90º

O

90º180º



UNIDAD 8. Cuerpos geométricos

1. Seguidamente tienes el desarrollo de algunos poliedros comunes. Reconstrúyelos en el espacio y completa la siguiente tabla.

Tipo de polígonos que lo forman N.º caras

N.º vértices

N.º aristas Nombre del poliedro

P1

P2

P3

P4

a) Calcula el área lateral de los poliedros P2 y P4 en función del parámetro x.

b) Calcula el área total de los poliedros P1 y P3 si x = 1 cm

6x

2x

P3

2x

3x+1P4

x 8x

P1

2x 2x

P2

4x




1. Calcular el volumen de las figuras siguientes, que tienen 30 cm de anchura a) b)

2. ¿Cuántos litros de agua caben en un depósito con forma de prisma de base triangular regular de 10 cm de altura si cada lado de la base del triángulo mide 12 cm? 3. Una caja de galletas de cartón tiene forma de ortoedro, siendo sus dimensiones exteriores de 15 cm, 12 cm y 9 cm. ¿Cuál es su volumen interior si el espesor del cartón es de 1,5 mm?

6 cm 20 cm 6 cm

8 cm

6 cm

6 cm

9 cm

12 cm

20 cm

32 c

m

9 cm




1. Calcula los m ² de lona que serían precisos utilizar para construir una carpa de 4 m de altura en su punto más alto y con la forma de un prisma triangular, tal como indica la figura.

2. El ascensor de una casa mide 90 cm de largo, 100 cm de ancho y 230 cm de alto. El vecino del último piso quiere meter una varilla muy fina y rígida de 2,6 m. ¿Puede conseguirlo? 3. Una sala de un museo tiene forma de ortoedro de base cuadrada. Se desea pintar por dentro las paredes laterales de esa sala cuya diagonal mide 17,69 m y donde el lado de la base mide 12 m. Calcula cuánto se debe pagar al pintor sabiendo que cobra a razón de 5,5 € por metro cuadrado pintado.

4. Un prisma recto de 45 m de altura tiene por base un cuadrado de 210,25 m² de superficie. ¿Cuál es la superficie total del prisma?.

8 m

10 m

a

4 m




1. Calcula el área de la base, el área lateral, el área total, la altura, el volumen y la capacidad (volumen en litros) de una pirámide cuadrangular cuyo lado de base es de 28 cm, si la apotema de la pirámide es igual a 60 cm. 2. Un pisapapeles tiene forma de pirámide cuadrangular regular. La apotema de la pirámide es de 10 cm, y el área de la base, de 36 cm2. ¿Cuál es el área lateral y total?. Si el pisapapeles es 100 % de un acero inoxidable de densidad 7,85 g/cm3, ¿Cuánto pesa? 3. Una lámpara de mesa tiene una pantalla en forma de tronco de pirámide de base cuadrada. El lado del cuadrado de la base mayor mide 25 cm y el de la base menor 10 cm. Si la apotema de la pirámide mide 16 cm, calcula:

a) La altura del tronco piramidal que define la pantalla de la lámpara. b) El área lateral de la pantalla de la lámpara. c) El área de cada una de las bases.

4. El techo de un pabellón ferial está cubierto por planchas de titanio y tiene la forma de una pirámide hexagonal de 6 m de altura y 3 m de lado de base. ¿Cuántas planchas de titanio de dimensiones 2,50 m x 0,60 m se necesitan para forrar el techo, suponiendo que las podemos cortar como nosotros queramos?


90450

600

960

900


UNIDAD 9. Cuerpos de revolución

1. Seguidamente se muestran algunas ciudades del mundo con sus coordenadas correspondientes (longitud y latitud). Algunas se encuentran en el hemisferio norte y otras en el hemisferio sur. Ordénalas en función de la distancia que existe entre ellas y el polo del hemisferio en el que se encuentran, colocando primero la ciudad que esté más cerca del polo de su hemisferio y en último lugar la más alejada. Supón que la Tierra es una esfera perfecta.

Si en un momento dado en Londres son las 15:00 h (hora solar), ¿qué hora será en las ciudades de la tabla? Coloca la hora en la tabla.

2. Calcula la superficie de la Tierra, suponiendo que es una esfera perfecta con radio aproximado de 6 370 km.

3. Un estudio que hemos realizado ha dado como resultado una gráfica circular tipo «tarta» como la que se muestra en la figura. Cada porción de la gráfica va acompañado de un valor que representa el número de habitantes que hay en cada pueblo de una comarca que comprende 5 pueblos, aunque esto es lo de menos, porque lo que interesa es que calcules el volumen y la superficie que corresponde a cada trozo de la tarta, sabiendo que el grosor de la misma es de 23 mm y que su radio es de 7 cm.

Ciudad Coordenadas Hora Ciudad Coordenadas Hora Sydney (33,55º S , 151,10º E) Johanesburgo (26,10º S , 28,02º E) Madrid (40,25º N , 3,43º O) Punta Arenas (53,10º S , 70,56º O) Estambul (41,02º N , 28,57º E) Tokio (35,40º N , (139,45º E) Atenas (38,00º N , 23,44º E) Quito (0,14º S , 78,30º O) Hanoi (21,01ºN , 105,52º E) Yakarta (6,08º S , 106,45º E)




1. Una hormiga se encuentra situada en el punto A de la parte inferior de un bote de plástico transparente con forma cilíndrica que contiene galletas y se encuentra abierto por su parte superior. Se da cuenta de que en el borde de la parte superior del bote hay un trozo pequeño de galleta y se dirige hacia el mismo en línea recta. Si el bote tiene una altura de 19 cm y su base tiene un diámetro de 15 cm, calcula la distancia que recorre la hormiga hasta llegar al trozo de galleta. 2. Una apisonadora está trabajando en un tramo de carretera recién asfaltado de 300 m de largo y 5 m de ancho. Cada rueda de la apisonadora tiene un diámetro de 1,5 m y una longitud de 2 m. ¿Cuál es el mínimo número de vueltas que darán las ruedas de la apisonadora para terminar de apisonar el asfalto? 3. Fabricamos una pelota de la siguiente manera: tomamos una bola maciza de acero inoxidable de 2 cm de diámetro y vamos enrollando alrededor de la misma -y en forma esférica-, un hilo grueso de un material elástico. Hecho esto, lo forramos con cuero. Si el diámetro de la pelota así fabricada es de 6 cm y su peso de 101 g, ¿cuál es la densidad del hilo elástico utilizado si sabemos que la densidad del acero empleado es de 7,85 g/m3? Para los cálculos, desprecia tanto el grosor del forro de cuero como su peso.

A

B




1. Calcula el área lateral del embudo de la figura si D = 12 cm; d = 1,5 cm; a = 10 cm y h = 10 cm.

2. Calcula el volumen de los cuerpos de revolución generados por las figuras planas siguientes cuando giran alrededor del eje señalado.

a) b) c) d)

10 cm

6 cm

4 cm

3 cm

6 cm 6

cm

12 c

m




1. En la figura se muestra una copa de cristal de 2 mm de grosor. Las líneas que delimitan la copa se refieren a la superficie exterior de la misma. h = 4 cm; r = 2,5 cm ¿Cuál es su capacidad, en cL, es decir, cuántos centilitros de agua puede contener si la llenamos hasta arriba?

2. Calcula el volumen del cuerpo de revolución generado por la siguiente figura plana cuando gira alrededor del eje señalado.

3. Calcula la capacidad, en cm3, del vaso que se genera haciendo girar la figura siguiente alrededor del eje señalado.

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UNIDAD 10. Funciones

1. El campeonato del mundo de ciclismo se disputa en un circuito de 7 kilómetros, cuyo perfil se da en el siguiente gráfico:

a) Dibuja el perfil de la segunda vuelta. b) ¿Es periódica la función que representa el perfil de todo el campeonato? Si lo es ¿Cuál es su periodo? c) Si el campeonato se disputa a 30 vueltas. Calcula el dominio de la función y su recorrido. d) Si tenemos en cuenta el desnivel que superan los ciclista en cada vuelta, ¿cuál será el desnivel superado a

lo largo del campeonato?

2. Indica qué tipo de simetría tienen las siguientes funciones: a) b) c)




1. A finales del año 2 006 los récords mundiales al aire libre nos los da la siguiente tabla.

Distancia (m) 100 200 400 800 1 500 5 000 10 000 Maraton (42 195)

Tiempo (seg) 9.77 19.32 43.18 1:41.11 3:26.00 12:37.37 26:17.53 2.04:55 Velocidad media

(m/s) 10,24 10,35 9,26 7,91 7,28 6,60 6,34 5,63

La gráfica de arriba representa la función espacio–velocidad. Contesta a las siguientes preguntas:

a) Calcula el dominio y el recorrido de la función. b) Estudia el crecimiento y da una explicación del mismo. d) Tal y como está representada, ¿es continua? d) ¿Observas alguna simetría? e) Estima la velocidad media que conseguiría un atleta en las siguientes distancias:

- 40 000 m - 20 000 m - 6 000 m - 500 m

f) Estima la distancia que deberían recorrer para que la velocidad media fuera de 7,5 m/s ¿Y si fuera de 6 m/s?




1. En un cultivo de microbios estos se reproducen de manera que el número de microbios se duplica cada minuto (progresión geométrica). Contesta a las siguientes cuestiones:

a) Si el cultivo cuenta al principio con 100 000 microbios, calcula la población al cabo de 1 minuto, 2

minutos, 3 minutos, 4 minutos, 5 minutos y 6 minutos:

Tiempo (min) 0 1 2 3 4 5 6 N.º microbios

b) Representa gráficamente los valores obtenidos en la tabla anterior.

c) Expresa la función y = f (x) que relaciona el tiempo (x) en minutos con el número de microbios (y). Ten en cuenta que están en progresión geométrica.

d) Calcula el número de microbios a los 2,5 minutos y a los 7 minutos.

e) ¿Cuánto tiempo hace falta para que el número de microbios sea un millón?

f) ¿Cuál es el dominio de definición?

g) ¿Es continua la función?

h) ¿Dónde crece y dónde decrece?

i) ¿Se observa alguna simetría o periodicidad?




1. En el conjunto de los números reales positivos incluido el 0 definimos la función parte decimal de x, DEC (x) = x – ENT (x), donde ENT (x) es la parte entera de x.

a) Calcula el dominio y el recorrido de la función.

b) Represéntala en el intervalo [0 , 1), utilizando la siguiente tabla de valores: x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 y 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

c) Represéntala en el intervalo [1 , 2), completando la siguiente tabla de valores:

x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 y

d) ¿Es periódica la función? En caso afirmativo, calcula el periodo.

e) ¿Es continua? Si no lo es calcula sus puntos de discontinuidad.

f) Halla los puntos de corte con los ejes.

g) Se te ocurre alguna forma de extender esta función a los números negativos, respetando la periodicidad. Hazlo gráficamente.

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