Números IrracionalesPagliero, Ana Carolina

Índice general

1 Número irracional 11.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4.1 Voces de expertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Número π 42.1 El nombre π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Historia del cálculo del valor π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Antiguo Egipto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Mesopotamia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3 Referencias bíblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.4 Antigüedad clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.5 Matemática china . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.6 Matemática india . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.7 Matemática islámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.8 Renacimiento europeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.9 Época moderna (precomputacional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.10 Época moderna (computacional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Características matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.1 Definiciones y caracterizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2 Número irracional y trascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.3 Las primeras cincuenta cifras decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Fórmulas que contienen el número π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.1 En geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.2 En cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.3 En probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.4 En análisis matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

i

ii ÍNDICE GENERAL

2.5 Cómputos de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5.1 Pi y los números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5.2 Fórmula de Machin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5.3 Métodos eficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6 Aproximaciones geométricas a π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6.1 Método de Kochanski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6.2 Método de Mascheroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7 Uso en matemática y ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7.1 Geometría y trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7.2 Variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7.3 Cálculo superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7.4 Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7.5 Probabilidad y estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8 Curiosidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8.1 Reglas mnemotécnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8.2 Aparición en medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8.3 Otras curiosidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8.4 Días de Aproximación a Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.8.5 Canción de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.9 Cuestiones abiertas sobre π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.10 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.11 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.12 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Número e 193.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1 Fórmula del “pi-e” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.2 Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.3 Desarrollo de la función exponencial y del número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.4 Desarrollo decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.5 Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.6 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Representaciones de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5.1 Dígitos conocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.7 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.9 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.10 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

ÍNDICE GENERAL iii

4 Número áureo 254.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.1 Cálculo del valor del número áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Historia del número áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.1 Antigüedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.2 Edad Moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 El número áureo en las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.1 Propiedades y representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.2 El número áureo en la geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.3 Teoría de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 El número áureo en la Naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5 El número áureo en el arte y en la cultura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.7 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.8 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.9 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Raíz cuadrada de dos 385.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2 Algoritmo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Pruebas de irracionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4 Existencia y unicidad de la raíz cuadrada en ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5 Infinitud de la expresión decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.5.1 Visión topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.6 Propiedades de la raíz cuadrada de dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.7 Series y representaciones en productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.8 Distintas expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.9 En la geometría euclídea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.10 En álgebra abstracta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.11 Noticias y amenidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.12 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.13 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.13.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.14 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.15 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.15.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.15.2 Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.15.3 Licencia del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Capítulo 1

Número irracional

En matemáticas, un número irracional es un númeroque no puede ser expresado como una fracción m/n ,donde m y n sean enteros y n sea diferente de cero. Escualquier número real que no es racional. Un decimal in-finito (id est con infinitas cifras) aperiódico, como

√7 = 2, 645751311...

no puede representar un número racional. A tales núme-ros se los nombra «números irracionales». Esta denomi-nación significa la imposibilidad de representar dicho nú-mero como razón de dos números enteros. [1]

1.1 Historia

Dado que en la práctica de medir la longitud de un seg-mento de recta solo puede producir como resultado unnúmero fraccionario, en un inicio, los griegos identifi-caron los números con las longitudes de los segmentosde recta.[2] Al identificar del modo mencionado, surge lanecesidad de considerar una clase de números más am-plia que la de los números fraccionarios. Se atribuye aPitágoras de Samos (580- 500a. C.) y su escuela el des-cubrimiento de la existencia de segmentos de recta in-conmensurables con respecto a un segmento que se tomacomo unidad en un sistema de medición. Pues, existensegmentos de recta cuya longitud medida en este sistemano es un número fraccionario.[3]

Por ejemplo, en un cuadrado, la diagonal de este es incon-mensurable con respecto a sus lados. Este hecho ocasionóuna convulsión en el mundo científico antiguo. Provocóuna ruptura entre la geometría y la aritmética de aquellaépoca, ya que esta última, por entonces, se sustentaba enla teoría de la proporcionalidad, la cual solo se aplica amagnitudes conmensurables.Intentaron salvar el obstáculo distinguiendo entre el con-cepto de número y el de longitud de un segmento de recta,y tomaron estos últimos como elementos básicos para suscálculos. De tal modo, a los segmentos inconmensurablescon respecto a la unidad tomada como patrón de medi-da les asignaron un nuevo tipo de magnitud: los númerosirracionales, los cuales por largo tiempo no se reconocie-ron como verdaderos números.[4]

1.2 Notación

No existe una notación universal para indicarlos, como I, que es generalmente aceptada. Las razones son que elconjunto de Números Irracionales no constituyen algunaestructura algebraica, como sí lo son los naturales ( N ),los enteros ( Z ), los racionales (Q ), los reales ( R ) y loscomplejos ( C ), por un lado, y que la I es tan apropiadapara designar al conjunto de Números Irracionales comoal conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puedecrear confusión. Fuera de ello,

I := R\Q = {x ∈ R|x /∈ Q}

1.3 Clasificación

Tras distinguir los números componentes de la recta realen tres categorías (no excluyentes): (naturales, enteros yracionales), podría parecer que ha terminado la clasifi-cación de los números, pero aún quedan “huecos” porrellenar en la recta de los números reales. Los númerosirracionales son los elementos de dicha recta que cubrenlos vacíos que dejan los números racionales. Debe notarseque aquí se está entendiendo como “recta real” el conjun-to de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchyde números racionales. Puede demostrarse que el límitede algunas de esas sucesiones (de hecho la mayor parte deellas), no es un número racional, por lo que si no se con-sideraran racionales existirían “huecos” en el conjunto delímites.Los números irracionales son los elementos de la rectareal que no pueden expresarse mediante el cociente dedos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifrasdecimales aperiódicas. De este modo, puede definirse alnúmero irracional como una fracción decimal aperiódicainfinita.[5] En general, toda expresión en números deci-males es solo una aproximación en números racionales alnúmero irracional referido, por ejemplo, el número racio-nal 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras deci-males del número irracional raíz cuadrada de 2, el cualposee infinitas cifras decimales no periódicas.Entonces, decimos con toda propiedad que el número raízcuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135

1

2 CAPÍTULO 1. NÚMERO IRRACIONAL

en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde lostres puntos hacen referencia a los infinitos decimales quehacen falta y que jamás terminaríamos de escribir. De-bido a ello, los números irracionales más conocidos sonidentificados mediante símbolos especiales; los tres prin-cipales son los siguientes:

1. π (Número “pi” 3,14159...): razón entre la longitudde una circunferencia y su diámetro.

2. e (Número “e” 2,7182...): limn→+∞(1 + 1

n

)n3. Φ (Número "áureo” 1,6180...): 1+

√5

2

4. las soluciones reales de x2 - 3 = 0; de x5 −7 = 0; dex3 = 11; 3x = 5; sen 7º, etc[6]

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:

1. Número algebraico: Son la solución de algunaecuación algebraica y se representan por un núme-ro finito de radicales libres o anidados en algunoscasos [7]; si “x” representa ese número, al eliminarradicales del segundo miembro mediante operacio-nes inversas, queda una ecuación algebraica de cier-to grado. Todas las raíces no exactas de cualquierorden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, elnúmero áureo es una de las raíces de la ecuación al-gebraica x2−x−1=0 , por lo que es un número irra-cional algebraico.

2. Número trascendente: No pueden representarse me-diante un número finito de raíces libres o anida-das; provienen de las llamadas funciones trascen-dentes (trigonométricas, logarítmicas y exponencia-les, etc.) También surgen al escribir números deci-males no periódicos al azar o con un patrón que nolleva periodo definido, respectivamente, como losdos siguientes:

0, 193650278443757 ...0, 101001000100001 ...

Los llamados números trascendentes tienenespecial relevancia ya que no pueden ser solu-ción de ninguna ecuación algebraica. Los nú-meros pi y e son irracionales trascendentes,puesto que no pueden expresarse mediante ra-dicales.

Los números irracionales no son numerables, es decir, nopueden ponerse en biyección con el conjunto de los nú-meros naturales. Por extensión, los números reales tam-poco son contables ya que incluyen el conjunto de los irra-cionales.

1.4 Propiedades• La suma y la diferencia de un número racional y deun número irracional es un número irracional.

• El producto de un racional diferente de cero por unirracional es un número irracional.

• El cociente de un racional (≠ 0) entre un irracionales un número irracional.

• El inverso de un número irracional es número irra-cional.

• Sea un binomio, formado por un racional más unradical de segundo orden, o la suma de dos radica-les de segundo orden, que es irracional. Entonces suconjugado es irracional.

• Los valores de logaritmos vulgares o naturales y losvalores de las razones trigonométricas, la inmensamayoría no numerable, son irracionales.

• El número de Gelfond (2 elevado a la raíz cuadradade 2) es un número irracional trascendente[8]

• la raíz cuadrada de un número natural no cuadra-do perfecto es un número irracional; también lo esla raíz enésima de un natural p que no es potenciaenésima perfecta.

• Entre dos racionales distintos, existe por lo menos,un número irracional[9]

• Las razones trigonométricas de un ángulo son irra-cionales, excepcionalmente, una de ellas en el casode que dos de los lados del triángulo rectángulo seanracionales.[10]

• La medida de Lebesgue de cualquier intervalo ce-rrado del tipo [a,b]∩I⊂R es igual a la medida b-a. Esoimplica que si existiera un procedimiento para se-leccionar al azar un número de dicho intervalo, conprobabilidad 1 el número obtenido sería irracional.

• Cualquier número irracional que está en un intervaloabierto de números reales es punto de acumulaciónde los números reales de tal intervalo, como de losnúmeros irracionales del mismo. Por ejemplo:

√5

es punto de acumulación de los números reales delintervalo K =< 1; 4 > , como también de los nú-meros irracionales deK . [11]

• El conjunto de los números irracionales es equiva-lente (tienen el mismo cardinal) al conjunto de losnúmeros reales. [12]

1.4.1 Voces de expertos«Los números reales que no son racionales

se llaman irracionales. Su conjunto se denotapor I .»

1.6. REFERENCIAS 3

[13]

«Un número que no es racional se llamairracional. Así,

√2 es irracional. »

[14]

1.5 Véase también• Número normal

1.6 Referencias[1] César A. Trejo. El concepto de número. Ediciones de

OEA,Wáshington. D.C. (1973). 2º edición, revisada y co-rregida.

[2] Rodríguez Macías, Raúl y coautores:«Cálculo diferen-cial e integral» Editorial Pueblo y Educación, La Habana(1988)pág 2

[3] Rodríguez Macías: Op. cit. ibídem

[4] Rodríguez Macías: obra citada, misma pág.

[5] Kalnin:«Álgebra y funciones elementales» editorial Mir,Moscú, impreso en la URSS

[6] Kalnin: Op. cit.

[7] Se supone que las raíces de una ecuación algebraica dequinto grado son números algebraicos, pero no siempre esposible representar por radicales: Galois y Abel.

[8] González. Mancil: “Algebra Moderna”

[9] Courant- John: Introducción al cálculo y analisis matemá-tico

[10] Courant: Ibídem

[11] Introducción a la topología. Ediciones de Organización deestados Americanos.

[12] Introdución a la topología y teoría de conjuntos de Kura-towsky.

[13] L. D. Kudriátsev: Curso de análisis matemático. EditorialMir, Moscú (1983)

[14] Serge Lang: Introducción al análisis matemático. Addison-Wesley Iberoamericana, Wimington, Delaware, E.U.A(1990)

1.6.1 Bibliografía

1.6.2 Enlaces externos

• Wikcionario tiene definiciones y otra informa-ción sobre número irracional.Wikcionario

• Números IrracionalesMás información sobre núme-ros irracionales

Capítulo 2

Número π

π (pi) es la relación entre la longitud de unacircunferencia y su diámetro, en geometría eucli-diana. Es un número irracional y una de las constantesmatemáticas más importantes. Se emplea frecuentemen-te en matemáticas, física e ingeniería. El valor numéricode π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

π ≈ 3, 14159265358979323846 . . .

El valor de π se ha obtenido con diversas aproximacionesa lo largo de la historia, siendo una de las constantes ma-temáticas que más aparece en las ecuaciones de la física,junto con el número e. Cabe destacar que el cociente entrela longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetrono es constante en geometrías no euclidianas.

π es la relación entre la longitud de una circunferencia y sudiámetro. Es una constante en geometría euclidiana.

2.1 El nombre π

La notación con la letra griega π proviene de la ini-cial de las palabras de origen griego περιφέρεια 'peri-feria' y περίμετρον 'perímetro' de un círculo,[1] notaciónque fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660) y cuyo uso fue propuesto por el matemático galésWilliam Jones[2] (1675-1749); aunque fue el matemáti-co Leonhard Euler, con su obra Introducción al cálculoinfinitesimal, de 1748, quien la popularizó. Fue conoci-da anteriormente como constante de Ludolph (en honoral matemático Ludolph van Ceulen) o como constante deArquímedes (que no se debe confundir con el número deArquímedes). Jones plantea el nombre y símbolo de estenúmero en 1706 y Euler empieza a difundirlo en 1736.[3]

Arquímedes lo calculó con la aproximación de 3 + 1071 <

π < 3 + 17 , tal como consignó en su obra Medición del

Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 por William Jones ypopularizado por Leonhard Euler.

círculo, ciertamente con otra notación.[4]

2.2 Historia del cálculo del valor π

La búsqueda del mayor número de decimales del númeroπ ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos cien-tíficos a lo largo de la historia. Algunas aproximacioneshistóricas de π son las siguientes.

2.2.1 Antiguo Egipto

El valor aproximado de π en las antiguas culturas se re-monta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año1800 a. C., descrito en el papiro Rhind,[5] donde se em-plea un valor aproximado de π afirmando que el área deun círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado esigual al diámetro del círculo disminuido en 1/9; es decir,igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:

S = πr2 ≃(8

9· d)2

=64

81d2 =

64

81

(4r2)

π ≃ 256

81= 3,16049 . . .

4

2.2. HISTORIA DEL CÁLCULO DEL VALOR Π 5

Detalle del papiro Rhind.

Entre los ocho documentos matemáticos hallados de laantigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Unoes el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sóloen el primero se habla del valor aproximado del núme-ro π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de sulibro The Exact Sciences in Antiquity,[6] describe un méto-do inspirado en los problemas del papiro de Ahmes paraaveriguar el valor de π, mediante la aproximación del áreade un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro8.

2.2.2 Mesopotamia

Hacia el 1900-1600 a. C., algunos matemáticosmesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos,valores de π igual a 3, alcanzando en algunos casosvalores más aproximados, como el de:

π ≈ 3 +1

8= 3, 125

2.2.3 Referencias bíblicas

Una de las referencias indirectas más antiguas del valoraproximado de π se puede encontrar en un versículo dela Biblia:

«Hizo fundir asimismo un mar de diezcodos de un lado al otro, perfectamenteredondo. Tenía cinco codos de altura y a sualrededor un cordón de treinta codos».

I Reyes 7:23-24 (Reina-Valera 1995)

Una cita similar se puede encontrar en Segundo Libro delas Crónicas. En él aparece en una lista de requerimien-tos para la construcción del Gran Templo de Salomón,construido sobre el 950 a. C.:

«También hizo un mar de metal fundido,el cual tenía diez codos de un borde al otro,enteramente redondo; su altura era de cincocodos, y un cordón de treinta codos de largo loceñía alrededor».II Crónicas 4:2 (Reina-Valera 1995)

Ambas citas dan 3 como valor de π lo que supone unanotable pérdida de precisión respecto de las anterioresestimaciones egipcia y mesopotámica.

Método de Arquímedes para encontrar dos valores que se apro-ximen al número π, por exceso y defecto.

A B

D C

Método de aproximación de Liu Hui.

2.2.4 Antigüedad clásica

El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue ca-paz de determinar el valor de π entre el intervalo com-prendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, co-mo valor máximo. Con esta aproximación de Arquíme-des se obtiene un valor con un error que oscila entre

6 CAPÍTULO 2. NÚMERO Π

0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usadopor Arquímedes[7] era muy simple y consistía en circuns-cribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en cir-cunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos.Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e ins-critos, y fue doblando el número de lados hasta llegar apolígonos de 96 lados.Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero ro-mano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8midiendo la distancia recorrida en una revolución por unarueda de diámetro conocido.En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valorfraccionario por aproximaciones:

π ≃ 377

120= 3,1416 . . .

2.2.5 Matemática china

El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticosexpertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrónomochino Zhang Heng (78-139) fue uno de los primeros enusar la aproximación

√10 , que dedujo de la razón en-

tre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscri-ta. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimóen 142/45 (3,155555), aunque se desconoce el métodoempleado.[8] Pocos años después, hacia 263, el matemá-tico Liu Hui fue el primero en sugerir[9] que 3,14 erauna buena aproximación, usando un polígono de 96[10]o 192[8] lados. Posteriormente estimó π como 3,14159empleando un polígono de 3072 lados.[10][11]

A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chinoZu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926, al quellamó «valor por defecto», y 3,1415927, «valor por ex-ceso», y dio dos aproximaciones racionales de π, 22/7 y355/113, muy conocidas ambas,[12] siendo la última apro-ximación tan buena y precisa que no fue igualada hastamás de nueve siglos después, en el siglo XV.[10]

2.2.6 Matemática india

Usando un polígono regular inscrito de 384 lados, a fi-nales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimóel valor en 3,1416. A mediados del siglo VII, estimandoincorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmaguptacalcula π como

√10 , cálculo mucho menos preciso que

el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene unaaproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359),siendo el primero en emplear series para realizar laestimación.[8]

2.2.7 Matemática islámica

En el siglo IX Al-Jwarizmi, en su Álgebra (Hisab al yabrua al muqabala), hace notar que el hombre práctico usa22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astróno-mo 3,1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyathal-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de πcon nueve dígitos, empleando una base numérica sexage-simal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitosdecimales: 2π = 6,2831853071795865.

2.2.8 Renacimiento europeo

John Wallis (1616–1703).

A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas enlos cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtenermejores cálculos para π. El matemático Fibonacci (1170-1250), en su Practica Geometriae, amplifica el método deArquímedes, proporcionando un intervalo más angosto.Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usa-ron polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarsecon buena precisión a 3,141592653. En 1593 el flamencoAdriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtiene unaprecisión de 16 dígitos decimales usando el método deArquímedes.

2.2.9 Época moderna (precomputacional)

En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan or-gulloso de esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida.Los libros de matemática alemanes durante muchos años

2.2. HISTORIA DEL CÁLCULO DEL VALOR Π 7

Leonhard Euler (1707–1783).

denominaron a π como número ludolfiano. En 1665 IsaacNewton desarrolla la serie[13]

arcsinx = x+1

2· x

3

3+

1 · 32 · 4

· x5

5+

1 · 3 · 52 · 4 · 6

· x7

7+ . . .

Con x = 12 obtuvo una serie para:

arcsin(1

2

)=

π

6

El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 laconocida serie Producto de Wallis:

2

1· 23· 43· 45· 65· 67· 87· 89· · · · = π

2

En 1699, a sugerencia de Edmond Halley, el matemá-tico inglés Abraham Sharp (1651-1742) calculó pi conuna precisión de 71 dígitos decimales usando la serie deGregory:

arctan(x) = x− x3

3+

x5

5− . . .

Con x = 1√3se obtiene una serie para:

arctan(

1√3

)=

π

6

Para alcanzar la precisión obtenida, debió usar alrededorde trescientos términos en la serie. En 1720 el francésThomas de Lagny utilizó el mismo método para obteneruna aproximación de 127 dígitos (solo los primeros 112eran correctos).Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 lasiguiente serie matemática que lleva su nombre:

∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1= 1− 1

3+

1

5− · · · = π

4

El inglés William Oughtred fue el primero que empleó laletra griega π como símbolo del cociente entre las lon-gitudes de una circunferencia y su diámetro. Fue en elaño 1706 cuando el galésWilliam Jones afirmó: «3,14159andc. = π» y propuso usar siempre el símbolo π, y fueLeonhard Euler el que al adoptarlo en 1737 lo convirtióen la notación habitual que se usa hasta nuestros días.El matemático japonés Takebe empezó a calcular el nú-mero π en el año 1722, con el mismo método expuestopor Arquímedes, y fue ampliando el número de lados pa-ra polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1.024lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinaraπ con 41 decimales.En 1789 el matemático de origen esloveno Jurij Ve-ga, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 deci-males de π, de los cuales 126 eran correctos; este récordse mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 WilliamRutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 erancorrectos.El matemático aficionado de origen inglés WilliamShanks trabajó, durante 20 años, en hallar los guarismosde π, habiendo obtenido 707 decimales en 1873. En elaño 1944, D. F. Ferguson encontró un error en en el quin-gentésimo vigésimo octavo guarismo decimal (528º) dela serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos sub-siguientes eran erróneos.[14] En 1947, Ferguson recalcu-ló π con 808 decimales con la ayuda de una calculadoramecánica.[cita requerida]

Algunas aproximaciones históricas de valores de π, an-teriores a la época computacional, se muestran en la si-guiente tabla:

2.2.10 Época moderna (computacional)

Desde el diseño de la primera computadora se empeza-ron a desarrollar programas para el cálculo del número πcon la mayor cantidad de cifras posible. De esta forma, en1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords,obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas. Poco a po-co fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, de

8 CAPÍTULO 2. NÚMERO Π

esta forma, pocos años después (1954) un NORAC lle-gó a 3092 cifras. Durante casi toda la década de los años1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (en8 h y 23 min). Durante esta época se probaban las nue-vas computadoras con algoritmos para la generación deseries de números procedentes de π.En la década de 2000, los ordenadores son capaces deobtener números que poseen una inmensa cantidad dedecimales. En 2009 se hallaron más de dos billonesy medio de decimales de pi mediante el uso de unasupercomputadora T2K Tsukuba System, compuesta por640 computadoras de alto rendimiento, que juntas con-siguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Loobtuvieron en 73 horas y 36 minutos.

En la época computacional del cálculo de π las cifras sehan disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo queestas máquinas son capaces de generar, sino también porel prestigio que conlleva para el constructor de la máquinacuando su marca aparece en la lista de los récords.

2.3 Características matemáticas

Se muestra la relación entre un cuadrado de lado r y un círculode radio r . El área del círculo es πr2 .

2.3.1 Definiciones y caracterizaciones

Euclides fue el primero en demostrar que la relaciónentre una circunferencia y su diámetro es una cantidadconstante.[18] No obstante, existen diversas definicionesdel número π , pero las más común es:

• π es la razón entre la longitud de cualquiercircunferencia y la de su diámetro.

Además π es:

• El área de un círculo unitario (de radio que tienelongitud 1, en el plano geométrico usual o plano eu-clídeo).

• El menor número real x positivo tal que sin(x) = 0.

También es posible definir analíticamente π ; dos defini-ciones son posibles:

• La ecuación sobre los números complejos eix+1 =0 admite una infinidad de soluciones reales positi-vas, la más pequeña de las cuales es precisamente π(véase identidad de Euler).

• La ecuación diferencial S′′(x) + S(x) = 0 con lascondiciones de contorno S(0) = 0, S′(0) = 1 pa-ra la que existe solución única, garantizada por elteorema de Picard-Lindelöf, es un función analítica(la función trigonométrica sin(x) ) cuya raíz positi-va más pequeña es precisamente π .

• A través de una integral definida se obtiene el valorde π/4. Se integra la función f(x) = 1/ ( 1 + x2) de 0a 1.[19]

• Todos los ensayos estadísticos realizados sobre lasucesión de los dígitos decimales de pi han corro-borado su carácter aleatorio. No hay orden ni re-gularidad, hay varias series de 7777 y la chocante999999, hay apariciones que confunden o agradan alos intuicionistas.[20]

2.3.2 Número irracional y trascendente

Se trata de un número irracional, lo que significa que nopuede expresarse como fracción de dos números ente-ros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o1767). También es un número trascendente, es decir, queno es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros.En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lin-demann demostró este hecho, cerrando con ello defini-tivamente la permanente y ardua investigación acerca delproblema de la cuadratura del círculo indicando que notiene solución.También se sabe que π tampoco es un número de Liou-ville (Mahler,[21] 1953), es decir, no sólo es trascenden-tal sino que no puede ser aproximado por una secuen-cia de racionales “rápidamente convergente” (Stoneham1970[cita requerida]).

2.3.3 Las primeras cincuenta cifras deci-males

Apesar de tratarse de un número irracional continúa sien-do averiguada la máxima cantidad posible de decimales.Los cincuenta primeros son:

π ≈ 3, 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

2.4. FÓRMULAS QUE CONTIENEN EL NÚMERO Π 9

Para ver secuencias mayores de este número consúlteselas referencias (5·1012 decimales),[22] así como Las pri-meras diez mil cifras decimales A00796 y OEIS.En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse,la mayoría de las veces, con una precisión de sólo unadocena de decimales. Con cincuenta decimales se podríadescribir con precisión la curvatura del Universo con unerror más pequeño que el tamaño de un protón.[23]

2.4 Fórmulas que contienen el nú-mero π

2.4.1 En geometría

• Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 π r

Áreas de secciones cónicas:

• Área del círculo de radio r: A = π r²

• Área interior de la elipse con semiejes a y b: A = πab

Áreas de cuerpos de revolución:

• Área del cilindro: 2 π r (r+h)

• Área del cono: π r² + π r g

• Área de la esfera: 4 π r²

Volúmenes de cuerpos de revolución:

• Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³

• Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h:V = π r² h

• Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V =π r² h / 3

Ecuaciones expresadas en radianes:

• Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.

• El volumen del toro conlleva π al cuadrado[24]

2.4.2 En cálculo

• Área limitada por la astroide: (3/8) π a2[25]

• Área de la región comprendida por el ejeX y un arcode la cicloide: 3 π a2

• Área encerrada por la cardioide: (3/2) π a2

• Área de la región entre el eje polar y las dos primerasvueltas de la espiral de Arquímedes r = aα[26] es 8π3

a2

• Área entre la curva de Agnesi y la asíntota es S =πa2.[27]

• Cisoide

• Estrofoide

• Caracol de Pascal. El área usando esta curva y cual-quiera de las anteriores lleva en la fórmula el valorde pi[28]

2.4.3 En probabilidad

• La probabilidad de que dos enteros positivos esco-gidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²

• Si se eligen al azar dos números positivos menoresque 1, la probabilidad de que junto con el número 1puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es:(π−2)/4

• El número medio de formas de escribir un enteropositivo como suma de dos cuadrados perfectos esπ/4 (el orden es relevante).

• Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja delongitud L sobre una superficie en la que hay dibu-jadas líneas paralelas separadas una distancia D, laprobabilidad de que la aguja corte a una línea es:2L/Dπ

2.4.4 En análisis matemático

• Fórmula de Leibniz:∞∑

n=0

(−1)n

2n+ 1=

1

1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9− · · · = π

4

• Producto de Wallis:∞∏

n=1

(2n

2n− 1· 2n

2n+ 1

)=

2

1·23·43·45·65·67·87·89· · · = π

2

• Euler:∞∑

n=0

2nn!2

(2n+ 1)!= 1+

1

3+1 · 23 · 5

+1 · 2 · 33 · 5 · 7

+· · · = π

2

• Identidad de Euler

eπi + 1 = 0

• Área bajo la campana de Gauss:∫ ∞

−∞e−x2

dx =√π

10 CAPÍTULO 2. NÚMERO Π

• Fórmula de Stirling:

n! ≈√2πn

(ne

)n• Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735:

ζ(2) =1

12+

1

22+

1

32+

1

42+ · · · = π2

6

• Euler:

ζ(4) =1

14+

1

24+

1

34+

1

44+ · · · = π4

90

• Además, π tiene varias representaciones comofracciones continuas:

π

4=

1

1 +1

3 +4

5 +9

7 +16

9 +25

11 +36

13 +49

. . .

• También como desarrollo en series:

π =∞∑k=0

2(−1)k 312−k

2k + 1

• Formas de representación aproximada a π [29]

355

113≈ 3.141592....

29√261424513284461 ≈ π

• Método de Montecarlo

En un círculo de radio r inscrito en uncuadrado de lado 2r (2 veces el radio), elárea del círculo es πr² y la del cuadrado(2r)². De esto se deduce que la relaciónde área entre el cuadrado y el círculo deπ/4.[30]

• Fórmula de Srinivāsa Rāmānujan demostrada en1985 por Jonathan y Peter Borwein, descubierta en1910. Es muy eficaz porque aporta 8 decimales acada iteración:

1

π=

2√2

9801

∞∑k=0

(4k)!(1103 + 26390k)

(k!)43964k

2.5 Cómputos de π

2.5.1 Pi y los números primos

Utilizando el inverso del producto de Euler para lafunción zeta de Riemann y para el valor del argumentoigual a 2 se obtiene:

1

ζ(2)= lim

n→∞pn∈P

(1− 1

22

)(1− 1

32

)(1− 1

52

)(1− 1

72

)(1− 1

112

)...

(1− 1

p2n

)=

6

π2

donde pn es el n-ésimo número primo. Euler fue el pri-mero en hallar este valor de la función zeta (empleandola expresión de sumatoria) y resolviendo así el famosoProblema de Basilea.

2.5.2 Fórmula de Machin

Una forma exacta de poder calcular π en términos de tan-gentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula deMachin, descubierta en 1706:

π

4= 4 arctan 1

5− arctan 1

239

Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averi-guar dígitos por encima de la centena (por ejemplo, el yacitado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posicio-nes decimales de π).

2.5.3 Métodos eficientes

Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pue-den consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces ex-ternos). Uno de los records más recientes fue alcan-zado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada dela Universidad de Tokio, fijando el número pi con1.241.100.000.000 dígitos; se necesitaron unas 602 ho-ras con un superordenador de 64 nodos Hitachi SR8000con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo2 billones de operaciones por segundo, más de seis ve-ces el record previo (206 mil millones de dígitos). Paraello se emplearon las siguientes fórmulas modificadas deMachin:

• K. Takano (1982).

π

4= 12 arctan 1

49+32 arctan 1

57−5 arctan 1

239+12 arctan 1

110443

• F. C. W. Störmer (1896).

π

4= 44 arctan 1

57+7 arctan 1

239−12 arctan 1

682+24 arctan 1

12943

Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad taningente de dígitos que puede decirse que ya no es útil

2.7. USO EN MATEMÁTICA Y CIENCIA 11

sino para comprobar el funcionamiento de los superor-denadores. La limitación no está en la computación sinoen la memoria necesaria para almacenar una cadena conuna cantidad tan grande de números.

2.6 Aproximaciones geométricas aπ

Es posible obtener una aproximación al valor de π de for-ma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron ob-tener sin éxito una solución exacta al problema del valorde π mediante el empleo de regla y compás. El problemagriego conocido como cuadratura del círculo o, lo que eslo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área deun círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valorexacto de π.Una vez demostrado que era imposible la obtención de πmediante el uso de regla y compás, se desarrollaron variosmétodos aproximados. Dos de las soluciones aproxima-das más elegantes son las debidas a Kochanski (usandoregla y compás) y la de Mascheroni (empleando única-mente un compás).

2.6.1 Método de Kochanski

Método de Kochanski.

Se dibuja una circunferencia de radio R. Se inscribe eltriángulo equilátero OEG. Se traza una recta paralela alsegmento EG que pase por A, prolongándola hasta quecorte al segmento OE, obteniendo D. Desde el punto Dy sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de lacircunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BCes aproximadamente la mitad de la longitud de la circun-ferencia.

Demostración (suponiendo R = 1)

BC2 = AB2 + (3−DA)2

OF =√32

DAEF = OA

OF → DA1/2 = 1√

3/2→ DA =

√33

Sustituyendo en la primera fórmula:

BC2 = 22 +(3−

√33

)2→ BC =

√40−6

√3

3 =

3, 141533...

2.6.2 Método de Mascheroni

Método de Mascheroni.

Método desarrollado por Lorenzo Mascheroni: se dibujauna circunferencia de radio R y se inscribe un hexágonoregular. El punto D es la intersección de dos arcos de cir-cunferencia: BD con centro en A', y CD con centro en A.Obtenemos el punto E como intersección del arco DE,con centro en B, y la circunferencia. El segmento AE esun cuarto de la longitud de la circunferencia, aproxima-damente.

Demostración (suponiendo R = 1)

AD = AC =√3 OD =

√3− 1 =

√2

BE = BD =√(OD −MB)2 +MO2 BE =

BD =

√(√2−

√32

)2+ 1

4 =√3−

√6

Por el teorema de Ptolomeo, en el cuadrilátero ABEB'BB′ ·AE = AB · EB′ +BE ·AB′

2 ·AE =√1 +

√6 +

√9− 3 ·

√6 = 3, 142399...

2.7 Uso en matemática y ciencia

π es ubicuo en matemática; aparece incluso en lugaresque carecen de una conexión directa con los círculos dela geometría euclídea.[31]

12 CAPÍTULO 2. NÚMERO Π

2.7.1 Geometría y trigonometría

Para cualquier círculo de radio r y diámetro d = 2r, lalongitud de la circunferencia es πd y el área del círcu-lo es πr2. Además, π aparece en fórmulas para áreas yvolúmenes de muchas otras figuras geométricas relacio-nadas con la circunferencia, como elipses, esferas, conos,y toroides.[32] π aparece en integrales definidas que des-criben la circunferencia, área o volumen de figuras gene-radas por circunferencias y círculos. En el caso básico, lamitad del área de un círculo unitario es:[33]

∫ 1

−1

√1− x2 dx =

π

2

y la mitad de la longitud de la circunferencia unitariaes:[34]

∫ 1

−1

1√1− x2

dx = π

Se puede integrar formas más complejas como sólidos derevolución.[35]

De la definición de las funciones trigonométricas desdeel círculo unitario se llega a que el seno y el coseno tie-nen período 2π. Lo que significa, para todo x y enterosn, sin(x) = sin(x + 2πn) y cos(x) = cos(x + 2πn). Porquesin(0) = 0, sin(2πn) = 0 para todos los enteros n. Además,el ángulo 180° es igual a π radianes. En otras palabras 1°= (π/180) radianes.En la matemática moderna, π es a menudo definido usan-do funciones trigonométricas, por ejemplo como el me-nor entero positivo x para el cual sinx = 0, para evitar de-pendencias innecesarias de las sutilezas de la geometríaeuclidiana y la integración. Equivalentemente, π puedeser definido usando funciones trigonométricas inversas,por ejemplo como π = 2 arccos(0) o π = 4 arctan(1). Ex-pandir funciones trigonométricas inversas como series depotencias es la manera más fácil de obtener series infini-tas para π.

2.7.2 Variable compleja

La frecuente aparición de π en análisis complejo puedeestar relacionada con el comportamiento de la funciónexponencial de una variable compleja, descrito por lafórmula de Euler[36]

eiφ = cosφ+ i sinφ

donde i es la unidad imaginaria que satisface la ecuacióni2 = −1 y e ≈ 2.71828 es el número de Euler. Esta fór-mula implica que las potencias imaginarias de e describenrotaciones un círculo unitario en el plano complejo; estas

Representación geométrica de la fórmula de Euler.

rotaciones tienen un período de 360º = 2π. En particular,la rotación de 180º φ = π resulta en la notable identidadde Euler

eiπ + 1 = 0.

Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad

e2πik/n (k = 0, 1, 2, . . . , n− 1).

2.7.3 Cálculo superior

La integral de Gauss

∫∞−∞ e−x2

dx =√π. [37]

Una consecuencia es que el resultado de la división en-tre la función gamma de un semientero (la mitad de unnúmero impar) y √π es un número racional.

2.7.4 Física

Aunque no es una constante física, π aparece rutinaria-mente en ecuaciones que describen los principios funda-mentales del Universo, Debido en gran parte a su rela-ción con la naturaleza del círculo y, correspondientemen-te, con el sistema de coordenadas esféricas. Usando uni-dades como las unidades de Planck se puede eliminar aveces a π de las fórmulas.

• La constante cosmológica:[38]

Λ =8πG

3c2ρ

2.8. CURIOSIDADES 13

• Principio de incertidumbre de Heisenberg:[39]

∆x∆p ≥ h

4π

• Ecuación del campo de Einstein de la relatividad ge-neral:[40]

Rik − gikR

2+ Λgik =

8πG

c4Tik

• Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica:[41]

F =|q1q2|4πε0r2

• Permeabilidad magnética del vacío:[42]

µ0 = 4π · 10−7N/A2

• Tercera ley de Kepler:

P 2

a3=

(2π)2

G(M +m)

2.7.5 Probabilidad y estadística

En probabilidad y estadística, hay muchas distribucionescuyas fórmulas contienen a π, incluyendo:

• la función de densidad de probabilidad para ladistribución normal con media μ y desviación están-dar σ, que depende de la integral gaussiana:[43]

f(x) =1

σ√2π

e−(x−µ)2/2σ2

• la función de densidad de probabilidad para ladistribución de Cauchy (estándar):[44]

f(x) =1

π(1 + x2).

Nótese que para todas las funciones de densidad de pro-babilidad se cumple que

∫∞−∞ f(x) dx = 1 , entonces

las fórmulas anteriores pueden usarse para producir otrasfórmulas integrales para π.[45]

El problema de la aguja de Buffon es llamado en ocasionescomo una aproximación empírica de π. Se trata de lanzaruna aguja de longitud l repetidamente sobre una superficieen la que se han trazado rectas paralelas distanciadas entresí, en t unidades, de manera uniforme (con t > l de formaque la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja selanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entoncesse puede aproximar π usando el Método de Montecarlo,lanzándola gran cantidad de veces:[46][47][48][49]

π ≈ 2nl

xt.

al

b

t

Representación del experimento en el modelo de la “aguja de Buf-fon”, se lanzan dos agujas (a, b) ambas con longitud l. En el di-bujo la aguja a está cruzando la línea mientras que la aguja bno.

Aunque este resultado es matemáticamente impecable,no puede usarse más que para determinar unos cuan-tos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólotres dígitos correctos (incluyendo el “3” inicial) requierede millones de lanzamientos,[46] y el número de lanza-mientos crece exponencialmente con el número de dígi-tos deseados. Además, cualquier error en la medida delas longitudes l y t se transfiere directamente como unerror en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferen-cia de un simple átomo en una aguja de 10 centímetrospodría acarrear errores en el noveno dígito del resultado.En la práctica, incertidumbres en la determinación de sila aguja en realidad cruza una línea que parece estar solotocándola lleva el límite de precisión alcanzable a muchomenos de 9 dígitos.

2.8 Curiosidades

2.8.1 Reglas mnemotécnicas

Es muy frecuente emplear poemas como regla mnemo-técnica para poder recordar las primeras cifras del nú-mero pi.

• Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos escon este poema, sólo hay que contar las letras de ca-da palabra:

Soy y seré a todos definiblemi nombre tengo que daroscociente diametral siempre inmediblesoy de los redondos aros

• Otra versión, que permite enumerar los 27 primerosdígitos, es la siguiente:"¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tie-ne que haber períodos repetidos! Tampoco compren-do que de una cantidad poco sabida se afirme al-go así, tan atrevido!" Nótese que para el segundo 1(3,14159...) se utiliza la letra griega π.

14 CAPÍTULO 2. NÚMERO Π

• Un tercer poema:

Voy a amar a solas, deprimidono sabrán jamás que sueño hallarte,perímetro difícil, escondidoque en mis neuronas late...Oscuro el camino para verlos secretos que tú ocultas¿hallarlos podré?...

• Otra regla, que permite recordar las primeras 32 ci-fras:"Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, queserie preciosa valorando, enunció magistral. Por suley singular, bien medido el grande orbe por fin re-ducido fue al sistema ordinario usual." (del autor Ra-fael Nieto París[50]) Aquí también se utiliza la letragriega π para el primer 1.

• Otra forma, que permite recordar las primeras 14cifras:

“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavylectures involving quantum mechanics![51]

Existen cuentos amplios que son capaces de hacermemorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el titulado"Cadaeic Cadenza", escrito en 1996 por el matemáticoMichael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizarlos primeros 3.834 dígitos. De esta forma, tomando “A”como 1, “B” como 2, “C” como 3, etc., el nombre dela historia saca los dígitos de pi, como “Cadaeic” es laprimera palabra de 7 dígitos de pi:

C a d a e i c3.1 4 1 5 9 3

Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglasmnemotécnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia paradescubrir el arte empleado en cada idioma).

2.8.2 Aparición en medios

• En el año 1998 aparece una película del directorDarren Aronofsky denominada Pi sobre un mate-mático que cree que el mundo se representa por nú-meros.

• Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada haceaparecer el símbolo π como una organización de es-pionaje.

• En La Película The Net, Aparece en la parte inferiorderecho de una página de conciertos y música, deun programa llamado The Mozart Ghost, Aparen-temente es solo un adorno, pero cuando se presionaCRTL+ALT+Click en π, se accede a la interfaz dedatos de el Guardián de la Puerta, un Programa delos Pretorianos, Que pedía un Usuario y un Pass-word.

• En la serie de dibujos The Simpsons, en el episo-dio “Bye Bye Nerdie”, el Professor Frink grita, avoz en cuello, que "¡π es igual a tres!", para atraerla atención de un auditorio compuesto por científi-cos. Cuando todos se dan vuelta para mirarlo, pi-de disculpas por haberse visto obligado a semejantesacrilegio.

• En la serie Futurama aparecen diferentes referenciasa π, tales como 'aceite π en 1', y 'compre en πkea'.

• La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la queluego se filmó la película homónima— toma a π(aunque no en base decimal) como un número queesconde la esencia misma del universo.

2.8.3 Otras curiosidades

“Piso-Pi”, mosaico en la entrada del edificio de la matemática enTU Berlín.

Detalle del “Mazda Pi”, se añadieron 27 cifras decimales de π aeste automóvil.

• El método de Arquímedes no fue superado en casidos mil años a pesar de los grandes avances realiza-dos en su evaluación numérica.[52]

2.8. CURIOSIDADES 15

Tarta con el número pi.

Construcción aproximada para la cuadratura del círculo, encon-trada por Ramanujan.

• El valor de Pi usado por Posidonio (135-51 a.C.)debió ser correcto en varias cifras decimales. El va-lor que obtuvo para la circunferencia de la tierrafue adoptado tres siglos más tarde por el astróno-mo alejandrino Claudio Ptolomeo y mucho despuéspor Cristobal Colón, entre muchos otros.[53]

• El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la apro-ximación de π.

• El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Esta-dos Unidos) se marca también como el día pi en elque los fans de este número lo celebran con diferen-tes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaños deEinstein.

• 355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como

una simulación ¡cuasi-perfecta!

• John Squire (de la banda The Stone Roses) mencio-na π en una canción escrita para su segunda bandaThe Seahorses denominada “Something Tells Me”.La canción acaba con una letra como: “What’s thesecret of life? It’s 3.14159265, yeah yeah!!".

• El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π sepuede consultar en el Proyecto Gutenberg o en esteenlace.

• La numeración de las versiones del programa de tra-tamiento de texto TeX de Donald Knuth se realizasegún los dígitos de π. La versión del año 2002 seetiquetó con 3.141592

• Se emplea este número en la serie de señales envia-das por la tierra con el objeto de ser identificadospor una civilización inteligente extraterrestre.

• La probabilidad de que dos enteros positivos esco-gidos al azar sean primos entre si es 6/π2 .

• Existen programas en internet que buscan tu númerode teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π.

• En algunos lenguajes de programación se puedenaveriguar tantos dígitos como se desee con simple-mente emplear expresiones como: RealDigits[ N[Pi, 105]] en «Mathematica».

• En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompióel recordmundial recitando durante 13 horas 83.431dígitos del número pi sin parar, doblando el ante-rior record en posesión del también japonés Hiro-yuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 dela madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchivolvió a romper su propio record recitando 100.000dígitos del número pi, realizando una parada cadados horas de 10 minutos para tomar aire.

• El máximo número de dígitos de π necesario parabuscar cualquier secuencia de día-mes-año con cua-tro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.

• Existe una canción de Kate Bush llamada “Pi” en lacual se recitan más de veinte dígitos decimales delnúmero.

• En Argentina, el número telefónico móvil paraemergencias en estaciones de trenes y subterráneoses ∗31416.[54]

• El valor principal de la expresión ii es un númeroreal y está dado por[55]

ii =(eiπ/2

)i= ei

2π/2 = e−π/2 = 0.207879...

• Existe un vehículo Mazda 3 modificado, al que se leañadieron 27 cifras de π, después del 3.[56]

16 CAPÍTULO 2. NÚMERO Π

• Srinivasa Ramanujan publicó una solución aproxi-mada, con regla y compás, a la cuadratura del círculoen 1913 en la que obtuvo un segmento aproximada-mente igual a r√π :[57]

segmento = d2

√355113 ≈ r

√π

• Los hebreos consideran al número pi como “el nú-mero de Dios”. En la película Pi: Fe en el Caos losestudiantes de la Torá consideran los 216 (6x6x6)primeros decimales como representación del verda-dero nombre de Dios. En la Biblia (hebrea y cris-tiana) el nombre de Dios aparece en el capítulo 3 yversículo 14 del Libro del Éxodo (Éxodo 3,14).

2.8.4 Días de Aproximación a Pi

Según determinadas coincidencias numéricas, los Días deAproximación a Pi son:

• 14 de marzo (3/14 en formato de fecha inglés)

• 26 de abril

• 22 de julio (22/7 que es una aproximación de pi)

• 10 de noviembre (es el 314º día del calendario gre-goriano)

• 21 de diciembre (es el día 355, en referencia a laaproximación 355/113)

2.8.5 Canción de πSoy π, lema y razón ingeniosa de hombre

sabio,

Qué serie preciosa valorando, enunció suamor hacia ti.A los 7 continentes comunicaríaMi cariño y amor hacia tiEl mundo entero recorreríaSolo para verte sonreírLobos y perros aullaríanAl verme junto a tiY para siempre mi vidaEstaría muy feliz¿Y cómo reúno infinidad de amor?Tiene que haber tiempo y espacioMas mi amor es infinitoY nunca te dejaré irLos océanos yo nadaría,En la Antártida viviría,De la selva me alimentariaCon tal de verte a tiSoy π, lema y razón ingeniosa de hombresabio,

Qué serie preciosa valorando, enunció su amorhacia ti.Todo lo haría por tiNada ni nadie sabe cómo yo te amo y te amosin finSi los granos de arenaY las estrellas contarasTendrías una idea

Del amor que tengo por ti

2.9 Cuestiones abiertas sobre π

• Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decima-les de π?

• La denominada cuestión de Brouwer: en la expansióndecimal de π, ¿existe alguna posición donde existauna sucesión de mil ceros consecutivos?

• ¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir,¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema deci-mal la misma probabilidad de aparición en una ex-pansión decimal?

• No se sabe si π+e, π/e, ln(π) son irracionales. Sesabe que no son raíces de polinomios de grado in-ferior a nueve y con coeficientes enteros del orden109.[58][59]

2.10 Véase también

• Cuadratura del círculo

• Día de pi

• Lista de constantes matemáticas

• Número e

• Número irracional

• Número trascendente

• Tau (2π)

2.11 Referencias[1] G L Cohen and A G Shannon, John Ward’s method for

the calculation of pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981),133-144

[2] New Introduction to Mathematics, William Jones, 1706,London

[3] Beskin. “Fracciones maravillosas” Mir Moscú, (1987)

2.11. REFERENCIAS 17

[4] Beskin: “Fracciones maravillosas”, Editorial Mir, Moscú,(1987)

[5] Gay Robins y Charles Shute: The Rhind MathematicalPapyrus: an ancient Egyptian text, British Museum Publi-cations, London, 1987, véase “Squaring the Circle”, pági-nas 44 a 46.

[6] “The Exact Sciences in Antiquity”, Otto Neugebauer,1957, Dover, New York,(nueva edición de 1969).

[7] Petr Beckmann: A History of Pi, publicado por primeravez por The Golem Press, 1971, edición consultada porBarnes and Books, New York, 1993.

[8] Bailey DH, Borwein JM, Borwein PB, y Plouffle S, “Thequest for Pi”, The Mathematical Intelligencer 19 (1997),pp. 50-57.

[9] A. Volkov,Calculation of π in ancient China: from Liu Huito Zu Chongzhi, Historia Sci. (2) 4 (2) (1994), 139-157

[10] Boyer Carl (1999). Historia de la Matemática. Madrid :Alianza Editorial. 84-206-8186-5.

[11] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Liu Hui»(en inglés), MacTutor History of Mathematics archive,Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Liu_Hui.html.

[12] C. Jami, Une histoire chinoise du 'nombre π', Archive forHistory of Exact Sciences 38 (1) (1988), 39-50

[13] Arndt J., Haenel C. Pi unleashed (trad. de C. y D. Lisch-ka). Berlin, Nueva York: Springer, 2001, p. 188 y 228.ISBN 978-3-540-66572-4

[14] Gardner: Nuevos pasatiempos matemáticos ISBN 84-206-1391-6

[15] Bailey David H., Some Background on Kanada’s Re-cent Pi Calculation (2003). Disponible en este enlace.Consultada:22 de abril de 2008

[16] Yomiuri Online, 17 de agosto de 2009,« … » (en japonés)

[17] Pi Computation Record, por Fabrice Bellard (en inglés)

[18] Euclides, Elementos. Libro V

[19] Apostol: Calculus

[20] Gardner: obra mencionada, en El trascendente número Pi

[21] Mahler, K. “On the Approximation of.” Nederl. Akad.Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.

[22] http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html, 133-144

[23] Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Borwein, Jonat-han M. (January 1997). “The Quest for Pi”. MathematicalIntelligencer (1): 50-57.

[24] Schaumm: Cálculo superior, Mc Graw Hill, EE. UU.

[25] La ecuación se halla en Cálculo de Granville

[26] Maynard Kong: Cálculo integral

[27] Bronshtein-Semendiaev: “Manual de matemáticas paraingenieros y estudiantes”, Editorial Mir, Moscú (1987)

[28] Bonshtein. Semediaev: Op. cit, pág.116

[29] Existen otras doce representaciones de π en http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/

[30] Calculation of Pi Using the Montecarlo Method

[31] «Japonés rompe el récord de memorizar cifras de pi».BBC News. 2 de febrero de 2005. Consultado el 30 de oc-tubre de 2007.

[32] «Área y circunferencia de un Círculo de Arquímedes».Penn State. Consultado el 8 de noviembre de 2007.

[33] Weisstein, EricW (28 de enero de 2006). «Unit Disk Inte-gral». MathWorld. Consultado el 8 de noviembre de 2007.

[34] «Area and Circumference of a Circle by Archimedes».Penn State. Consultado el 8 de noviembre de 2007.

[35] Weisstein, Eric W (4 de mayo de 2006). «Solid of Re-volution». MathWorld. Consultado el 8 de noviembre de2007.

[36] Granville y otros: Cálculo diferencial e integral, Uteha,México D. F. pág. 538

[37] Schaumm: Cálculo superior. Mc graw Hill, EE: UU:

[38] Miller, Cole. «The Cosmological Constant» (PDF).University of Maryland. Consultado el 8 de noviembre de2007.

[39] Imamura, James M (2005-08-17). «Heisenberg Uncer-tainty Principle». University of Oregon. Archivado desdeel original el 28 de noviembre de 2015. Consultado el 9de noviembre de 2007.

[40] Einstein, Albert (1916). «The Foundation of the GeneralTheory of Relativity» (PDF). Annalen der Physik. Archi-vado desde el original el 28 de noviembre de 2015. Con-sultado el 9 de noviembre de 2007.

[41] Nave, C. Rod (2005-06-28). «Coulomb’s Constant».HyperPhysics. Georgia State University. Consultado el 9de noviembre de 2007.

[42] «Magnetic constant». NIST. 2006 CODATA recommen-ded values. Consultado el 9 de noviembre de 2007.

[43] Weisstein, Eric W. «Gaussian Integral». En Weisstein,Eric W.MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Con-sultado el 8 de noviembre de 2007.

[44] Weisstein, Eric W. «Cauchy Distribution». En Weisstein,Eric W.MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Con-sultado el 8 de noviembre de 2007.

[45] Weisstein, Eric W. «Probability Function». En Weisstein,Eric W.MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Con-sultado el 8 de noviembre de 2007.

[46] Weisstein, Eric W. «Buffon’s Needle Problem». EnWeisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Re-search. Consultado el 10 de noviembre de 2007.

18 CAPÍTULO 2. NÚMERO Π

[47] Bogomolny, Alexander. «Math Surprises: An Example».Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (en in-glés). Consultado el 28 de octubre de 2007.

[48] Ramaley, J. F. (Oct 1969). «Buffon’s Noodle Problem».The American Mathematical Monthly 76 (8): 916–918.

[49] «The Monte Carlo algorithm/method». datastructures.2007-01-09. Consultado el 7 de noviembre de 2007.

[50] http://www.matematicasdivertidas.com/Poesia%20Matematica/poesiamatematica.html

[51] Beckmann, Petr (2006). Historia de Pi. CONACULTA.p. 167.

[52] Beckmann, Petr (2006).Historia de Pi. Conaculta. p. 101.

[53] Beckmann, Petr (2006). Historia de Pi. CONACULTA.p. 167.

[54] Plan de seguridad para el subte Artículo del diario Clarín

[55] Unidad imaginaria enMathworld (en inglés). consulta: 21de abril de 2008

[56] “Mazda Pi” en Gaussianos.com. Consultado: 23 de abrilde 2008

[57] Ramanujan, Srinivasa (1913). «Squaring the circle»(djvu). Journal of the Indian Mathematical Society. Con-sultado el 25 de abril de 2008.

[58] Bailey, D. H. “Numerical Results on the Transcendenceof Constants Involving π, e and Euler’s Constant.” Math.Comput. 50, 275-281, 1988a.

[59] Pi enMathworld (en inglés). consulta: 21 de abril de 2008

2.12 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Número π. Commons

• Wikiquote alberga frases célebres de o sobreNúmero π. Wikiquote

• Número Pi con 10.000 decimales.

• Historia del cálculo de Pi y algoritmos utilizados.

• Rodríguez del Río, Roberto (2008) El número Pi:de la Geometría al Cálculo Numérico.

• Historia de Pi, en astroseti.org

• Club de Amigos de Pi

• Para buscar cualquier número entre las primeras200.000.000 de cifras de Pi

• Programa para el cálculo de π y de otro gran númerode constantes (en inglés)

• Lista con los valores calculados con autores y valores(en inglés)

Capítulo 3

Número e

1

2

e3

−2 −1 0 1

e es el único número a, tal que la derivada de la función expo-nencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1.En comparación, las funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curvaa trazos) son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente1 (rojo).

La constante matemática e es uno de los más importan-tes números reales irracionales y trascendentes.[1] Se re-laciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo,la derivada de la función exponencial f(x) = ex es esamisma función y su primitiva (o antiderivada) es la mis-ma función más una constante arbitraria C. Un sistemade logaritmos tiene como base, precisamente, el númeroe . Dicho sistema de logaritmos se denomina el de los lo-garitmos naturales o neperianos y tiene presencia en lascalculadoras de uso difundido y vigente. El número e ,conocido en ocasiones, como número de Euler o cons-tante de Napier, fue reconocido y utilizado por primeravez por el matemático escocés John Napier, quien intro-dujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.Juega un rol importante en el cálculo y en el análisis ma-temático, en la definición de la función más importantede la matemática:[2]

y = ex

así como π lo es de la geometría y el número i del análisiscomplejo y del álgebra.[3] El simple hecho de que la fun-ción ex coincida con su derivada hace que la funciónexponencial se encuentre frecuentemente en el resultadode ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuen-cia de esto, describe el comportamiento de acontecimien-tos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser lavelocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro deuna veleta frente a una ráfaga de viento, el movimientodel sistema de amortiguación de un automóvil o el cim-breo de un edificio metálico en caso de terremoto. De lamisma manera, aparece en muchos otros campos de laciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos yelectrónicos (descarga de un condensador, amplificaciónde corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (creci-miento de células, etc.), químicos (concentración de io-nes, periodos de semidesintegración, etc.), y muchosmás.El número e , al igual que el número π y el número áu-reo (φ), es un número irracional, no expresable medianteuna razón de dos números enteros; o bien, no puede serrepresentado por un numeral decimal exacto o un decimalperiódico. Además, es un número trascendente, es decir,que no puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica concoeficientes racionales. O bien no puede ser cero de unafunción polinomial de coeficientes racionales.[4]

Uno de los tantos valores aproximados (truncado) es elsiguiente:

e ≈2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

3.1 Historia

Las primeras referencias a la constante fueron publicadasen 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobrelogaritmos de John Napier.[5] No obstante, esta tabla nocontenía el valor de la constante, sino que era simplemen-te una lista de logaritmos naturales calculados a partir deésta. Se cree que la tabla fue escrita por William Ough-tred.El “descubrimiento” de la constante está acreditado aJacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del

19

20 CAPÍTULO 3. NÚMERO E

Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e para representar laconstante; además fue el descubridor de numerosas propiedadesreferentes a ella.

llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Mo-netaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) conun interés del 100% anual y se pagan los intereses unavez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidadobtenida es 1 UMmultiplicado por 1,5 dos veces, es decir1 UM x 1,502 = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 perío-dos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen1 UM x 1,254 = 2,4414... En caso de pagos mensuales elmonto asciende a 1 UM x (1 + 1

12 )12 = 2,61303...UM.

Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de perío-dos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sinlímite) y se reduce la tasa de interés en el período, en unfactor de 1

n , el total de unidades monetarias obtenidasestá expresado por la siguiente ecuación:

limn→∞

(1 +

1

n

)n

Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima alvalor de 2,7182818...UM. De aquí proviene la definiciónque se da de e en finanzas, que expresa que este númeroes el límite de una inversión de 1 UM con una tasa deinterés al 100% anual compuesto en forma continua. Enforma más general, una inversión que se inicia con un ca-pital C y una tasa de interés anual R, proporcionará CeR

UM con interés compuesto.El primer uso conocido de la constante, representadopor la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a

Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler co-menzó a utilizar la letra e para identificar la constante en1727, y el primer uso de e en una publicación fue enMe-chanica, de Euler, publicado en 1736.Mientras que en losaños subsiguientes algunos investigadores usaron la letrac, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la ter-minología usual.En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrarque e es trascendente, a dicho logro llegó usando un po-linomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas,empleadas, anteriormente, por Lambert. David Hilbert— también Karl Weierstrass y otros — propusieron, pos-teriomente, variantes y modificaciones de las primerasdemostraciones.[6]

3.2 Definiciones

e1 2

1

2

3

3

El área entre el eje x y la gráfica y = 1/ x, entre x = 1 y x = e es1.

Se considera la sucesión {x } que tiene por término ge-neral x = (1 + 1/n)n:

(1 +1)1, (1 + 1/2)2, ... , (1 +1/n)n,... y se demuestra que ella convergey es acotada superiormente.

Luego el límite de (1+ 1n )

n cuando n tiende a inifinito sedefine como el número e. [7]

Cabe el límite limn→∞(1 + 1

n

)n+1= e [8]

Otra definición más directa de e es como el valor límitede la serie [9]

e =∞∑

n=0

1

n!

3.3. PROPIEDADES 21

que se expande como

e =1

0!+

1

1!+

1

2!+

1

3!+ · · ·

Otra definición habitual[10] dada a través del cálculointegral es como solución de la ecuación:

ln(x) = 1

que implica

∫ x

1

dt

t= 1

es decir que se define e como el número para el que

ln(e) = 1

o lo que es lo mismo, el número para el que

∫ e

1

dt

t= 1

3.3 Propiedades

3.3.1 Fórmula del “pi-e”

Una fórmula famosa, concisa y conectora de constantesque aparececen en contextos -aparentemente- disímiles.Es la identidad de Euler, forjada en base al aporte deMoivre:

eiπ + 1 = 0

Esta fórmula llegó como una revelación a Benjamin Peir-ce, profesor de Harvard, quien la expuso ante sus alum-nos, y manifestó su reconocimiento ante la maravillosaconexión de los cinco más famosos números de toda lamatemática.[11]

3.3.2 Cálculo

La función exponencial f(x) = ex es su propia derivada ysu valor es 1 para x=0, y por lo tanto su propia primitivatambién:

d

dxex = ex

y

ex =

∫ x

−∞et dt

Además, e es el límite de la sucesión de término general:(1 + 1

n

)nPrimero, la propiedad se puede generalizar a una variablereal, pasando del límite de una sucesión al de una función:

e = limx→∞(1 + 1

x

)xComo el término de la derecha tiene un exponente quevaría, lo más práctico es tomar su logaritmo y hacer elcambio de variable h = 1/x :

ln((1 + h)1h ) =

ln(1 + h)

h=

∫ 1+h

1dxx

h=

=

∫ h

0dx1+x

h=

∫ h

0(1 +O(x)) dx

h=

h+O(h2)

h= 1+O(h)

Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando h tiende acero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.

3.3.3 Desarrollo de la función exponencialy del número e

Se va a desarrollar según la fórmula de Maclaurin. Seapues f(x) = ex. Puesto que

f(x) = f′(x) = f

′′(x) = ... = fn+1(x) = ex,

f(0) = f′(0) = f

′′(0) = ... = fn+1(0) = 1,

la fórmula de Maclaurin se escribe de esta manera:

ex = 1 + x1! +

x2

2! +x3

3! + ...+ xn

n! + o(xn)

Suponiendo x= 1, se obtiene el valor aproximado del nú-mero

e := 1 + 11! +

12! +

13! + ...+ 1

n!

Donde := se entiende como un valor aproximado.[12]

22 CAPÍTULO 3. NÚMERO E

3.3.4 Desarrollo decimal

El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna.Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden sernormalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) ono, obtenemos, en fracción continua normalizada:

e = 2 +1

1 +1

2+1

1 +1

1 +1

4+1

1 +1

1 +1

6+1

1 + · · ·

Lo que se escribe e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1... 1,2n,1,... ],propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fraccióncontinua no normalizada:

e = 2 + 2

2+3

3 +4

4 +5

5 +6

6 +7

7 + · · ·

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

3.3.5 Álgebra

El número real e es irracional, y también trascendental(ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primernúmero trascendental que fue probado como tal, sin habersido construido específicamente para tal propósito (com-parar con el número de Liouville). La demostración deesto fue dada por Charles Hermite en 1873. Se cree quee además es un número normal.

3.3.6 Números complejos

El número e presenta en la fórmula de Euler un papel im-portante relacionado con los números complejos:

eix = cosx+ i sinx,

El caso especial con x = π es conocido como identidad deEuler

eiπ + 1 = 0.

de lo que se deduce que:

loge(−1) = iπ.

Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se ob-tiene:

(cosx+i sinx)n =(eix)n

= einx = cos(nx)+i sin(nx)

que es la fórmula de De Moivre.

3.4 Función exponencial

Se llama función exponencial a la función real cuya varia-ble independiente recorre el conjunto ℝ de los númerosreales, y se define, analíticamente, mediante la expresión:x 7−→ ex

• La función exponencial es la única función quees siempre igual a su derivada (de ahí su espe-cial interés en el análisis, más precisamente paralas ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1cuando la variable vale 0.

• La exponencial se extiende al cuerpo de loscomplejos, mediante la relación: eix = cosx +i sinx . Un caso particular de esta relación es laidentidad de Euler.

En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguientefórmula[13] que se aproxima a “e” (Expresión de Keller):

e = limn→∞

nn

(n− 1)(n−1)− (n− 1)(n−1)

(n− 2)(n−2)para |n| > 2.

3.5 Representaciones de e

El número e puede ser representado como un número realen varias formas: como una serie infinita, un producto in-finito, una fracción continua o como el límite de una su-cesión. La principal de estas representaciones, particular-mente en los cursos básicos de cálculo, es el límite:

limn→∞

(1 +

1

n

)n

,

Desarrollando la potencia del binomio indicado en la pro-piedad anterior usando el teorema del binomio de New-ton:

(1 +

1

n

)n

= 1+n

1

1

n+n(n− 1)

1 · 21

n2+n(n− 1)(n− 2)

1 · 2 · 31

n3+...+

1

nn

3.7. VÉASE TAMBIÉN 23

= 1+1

1!+

1(1− 1n )

2!+

1(1− 1n )(1−

2n )

3!+ ...+

1

nn

Cuando n tiende a infinito, los productos que están en losnumeradores tienden a 1, por lo que cada término de estaexpresión tiende a 1

k! , como se quería demostrar.La serie infinita anterior no es única; e también puede serrepresentado como:

e =∞∑k=1

k2

2(k!)

e =

∞∑k=1

k3

5(k!)

e =∞∑k=1

k4

15(k!)

e =∞∑k=1

k5

52(k!)

e =

∞∑k=1

k6

203(k!)

e =∞∑k=1

k7

877(k!)

3.5.1 Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de e ha aumentado enor-memente durante las últimas décadas. Esto es debido tan-to al aumento del desempeño de las computadoras comotambién a la mejora de los algoritmos utilizados.[14][15]

3.6 Aplicaciones

El número e tiene diversas características que permitenque sea utilizado en la vida real. Es tan importante, quemuchas calculadoras dedican un espacio a la función ex-ponencial de este número y a la inversa de esta misma,los logaritmos naturales; los logaritmos cuya base es elnúmero e. Este puede ser usado tanto en la determina-ción de la hora en la que alguien falleció; ayudando a re-solver muchos crímenes investigados por la policía, tantoen la determinación de la edad de un fósil e incluso en lapredicción de la evolución de una epidemia.

3.7 Véase también

3.8 Referencias

• El contenido de este artículo incorpora material deuna entrada de la Enciclopedia Libre Universal,publicada en español bajo la licencia CreativeCommons Compartir-Igual 3.0.

[1] Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the His-tory of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston.

[2] Calculus de Spivak

[3] Sin el concurso de i las ecuaciones de 2º, con determinantenegativo, no tendrían solución

[4] Elon Lages. Análisis matemático.

[5] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001), «Thenumber e» (en inglés), MacTutor History of Mathe-matics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html.

[6] Pro Mathematica, Volumen IV/ Nºº. 7-8. (1990) PUCP,Lima.ISSN 1012-3938

[7] V. S. Shipachev. « Fundamentos de las matemáticas su-periores » Editorial MiR, Moscú (1991)

[8] P.P.Kprovkin. : Desigualdades

[9] Que resulta del desarrollo y simplificación del término ge-neral de la sucesión anterior

[10] Esta forma de definir la función logaritmo natural, el nú-mero e, la función exponencial, etc. puede encontrarse enCálculo Infinitesimal 2.ª edición, cap. 17 (p. 465) de Mi-chael Spivak, Reverté o en Calculus 2.ª edición, cap. 6 (p.277) de Tom Apostol, Reverté.

[11] Kasner -Newman. Matemáticas e imaginación

[12] V. S. Shipachev. Op. cit.

[13] Mathsoft “Expresión de Keller”, Steven Finch (1998)

[14] Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its compu-tation

[15] Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast

[16] Euler, Leonard (1748). Marc-Michel Bousquet, ed.Introductio In Analysin Infinitorum (Primer Tomo) (pdf)(en latín). p. 90. Consultado el 16 de junio de 2013.

[17] Shanks, Daniel; John Wrench (1962). «Calculation of Pito 100 000 decimals». Mathematics of Computation 16(77): 76–79. Consultado el 16 de junio de 2013.

[18] Wozniak, Steve (Junio de 1981). «The Impossible Dream:Computing e to 116,000 places with a Personal Compu-ter». Byte Magazine (en inglés) 6 (6): 392. Consultado el16 de junio de 2013.

24 CAPÍTULO 3. NÚMERO E

[19] Nemiroff, Robert; Bonnell, Jerry. «The Number e to 1Million Digits» (en inglés). Consultado el 16 de junio de2013.

[20] Announcing 500 billion digits of e...

[21] A list of notable large computations of e

3.9 Bibliografía• V.S Shipachev.«Fundamentos de las matemáticassuperiores». Editorial Mir, Moscú (1991)

• Elon Lages Lima. «Curso de análisi matemático».Edunsa, Barcelona (1991)

• Stefan Banach.«Cálculo diferencial e integral»UTEHA, México D.F. (1967)

• Maynard Kong. «Cálculo diferencial»

• Granville º Smih º Longley «Cálculo diferencial eintegral»

• N. Piskunov. «Cálculo diferencia e integral» TomoI

• Rodríguezº Vasalloº Gómezº Domínguez. «Cálculodiferencial e integral» Primera parte

3.10 Enlaces externos•

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Número eCommons.

• Un millón de cifras del número e.

• Fórmula para el cálculo de límites de sucesiones deltipo 1 elevado a infinito

Capítulo 4

Número áureo

El número áureo (también llamado número de oro,razón extrema y media,[1] razón áurea, razón dora-da, media áurea, proporción áurea y divina propor-ción[2]) es un número irracional,[3] representado por laletra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayús-cula) en honor al escultor griego Fidias.La ecuación se expresa de la siguiente manera:

φ = 1+√5

2 ≈ 1, 61803398874988...

El número áureo surge de la división en dos de un segmento guar-dando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es alsegmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

También se representa con la letra griegaTau (Τ τ),[4] porser la primera letra de la raíz griega τομή, que significaacortar, aunque es más común encontrarlo representadocon la letra fi (phi) (Φ,φ). También se representa con laletra griega alpha minúscula.[5]

Se trata de un número algebraico irracional (su repre-sentación decimal no tiene período) que posee muchaspropiedades interesantes y que fue descubierto en la an-tigüedad, no como una expresión aritmética, sino comorelación o proporción entre dos segmentos de una recta,es decir, una construcción geométrica. Esta proporciónse encuentra tanto en algunas figuras geométricas comoen la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algu-nos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón deun caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una desus propiedades aritméticas más curiosas es que su cua-drado (Φ2 = 2,61803398874988...) y su inverso (1/Φ =0,61803398874988...) tienen las mismas infinitas cifrasdecimales.Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetoscuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos in-

cluso creen que posee una importancia mística. A lo largode la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño dediversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algu-nos de estos casos han sido cuestionados por los estudio-sos de las matemáticas y el arte.

4.1 Definición

El número áureo es el valor numérico de la proporciónque guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a máslargo que b), que cumplen la siguiente relación:

• La longitud total, suma de los dos segmentos a y b,es al segmento mayor a, lo que este segmento a esal menor b. Escrito como ecuación algebraica:

a+ba = a

b

Siendo el valor del número áureo φ el cociente: ϕ = a/bSurge al plantear el problema geométrico siguiente: par-tir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir lalongitud total entre la del segmento mayor, obtengamosel mismo resultado que al dividir la longitud del segmentomayor entre la del menor.

4.1.1 Cálculo del valor del número áureo

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

a+ba = a

b

Si φ = a/b entonces la ecuación queda:

1+φ−1 = φ, ⇒ φ+1 = φ2, ⇒φ2 − φ− 1 = 0

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

1+√5

2 =1.6180339887498948482045868343656381177203 . . .

que es el valor del número áureo, equivalente a la relacióna/b .

25

26 CAPÍTULO 4. NÚMERO ÁUREO

4.2 Historia del número áureo

Algunos autores sugieren que el número áureo se en-cuentra como proporción en varias estelas de Babiloniay Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no exis-te documentación histórica que indique que el númeroáureo fuera utilizado conscientemente por dichos artis-tas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide unaestructura compleja, es fácil obtener resultados curiosossi se tienen muchas medidas disponibles. Además, paraque se pueda afirmar que el número áureo está presente,las medidas deben tomarse desde puntos significativos delobjeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis quedefienden la presencia del número áureo. Por todas es-tas razones Mario Livio concluye que es muy improbableque los babilonios hayan descubierto el número áureo.[6]

4.2.1 Antigüedad

El primero en hacer un estudio formal del número áureofue Euclides (c. 300-265 a. C.), quien lo definió de la si-guiente manera:

“Se dice que una recta ha sido cortada enextrema y media razón cuando la recta enteraes al segmento mayor como el segmento mayores al segmento menor”.Euclides Los Elementos Definición 3 del LibroSexto.

Euclides demostró también que este número no puede serdescrito como la razón de dos números enteros; es decir,es un número irracional.Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estu-diara el número áureo. Sin embargo, a veces se le atribuyeel desarrollo de teoremas relacionados con el número áu-reo debido a que el historiador griego Proclo escribió:

"Eudoxo... multiplicó el número de teore-mas relativos a la sección a los que Platón dioorigen”.Proclo en Un comentario sobre el Primer Librode los Elementos de Euclides.

Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή)como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIXesta interpretación ha sido motivo de gran controversiay muchos investigadores han llegado a la conclusión deque la palabra sección no tuvo nada que ver con el núme-ro áureo. No obstante, Platón consideró que los númerosirracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de par-ticular importancia y la llave de la física del cosmos. Estaopinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos ymatemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.

A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el nú-mero áureo, Platón se ocupó de estudiar el origen y laestructura del cosmos, cosa que intentó usando los cincosólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto.En particular, combinó la idea de Empédocles sobre laexistencia de cuatro elementos básicos de la materia, conla teoría atómica de Demócrito. Para Platón, cada unode los sólidos correspondía a una de las partículas queconformaban cada uno de los elementos: la tierra estabaasociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro,el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como untodo, estaba asociado con el dodecaedro.

4.2.2 Edad Moderna

En 1509 el matemático y teólogo italiano Luca Paciolipublicó De Divina Proportione (La Divina Proporción),donde plantea cinco razones por las que estima apropiadoconsiderar divino al número áureo:

1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del nú-mero áureo con la unicidad de Dios.

2. El hecho de que esté definido por tres segmentos derecta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.

3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmen-surabilidad del número áureo y la inconmensurabi-lidad de Dios son equivalentes.

4. La autosimilaridad asociada al número áureo; Pacio-li la compara con la omnipresencia e invariabilidadde Dios.

5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dioser al Universo a través de la quinta esencia, repre-sentada por el dodecaedro, el número áureo dio seral dodecaedro.

En 1525, Alberto Durero publicó Instrucción sobre la me-dida con regla y compás de figuras planas y sólidas, dondedescribe cómo trazar con regla y compás la espiral áureabasada en la sección áurea, que se conoce como “espiralde Durero”.El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló unmodelo platónico del Sistema Solar utilizando los sólidosplatónicos, y se refirió al número áureo en términos gran-diosos:

“La geometría tiene dos grandes tesoros:uno es el teorema de Pitágoras; el otro, ladivisión de una línea entre el extremo y suproporcional. El primero lo podemos comparara una medida de oro; el segundo lo debemosdenominar una joya preciosa”.Johannes Kepler en Mysterium Cosmographi-cum (El misterio cósmico).

4.3. EL NÚMERO ÁUREO EN LAS MATEMÁTICAS 27

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o deoro, para referirse a este número lo hace el matemáticoalemán Martin Ohm, hermano del célebre físico GeorgSimon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libroDie Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puraselementales). Ohm escribe en una nota al pie:

“Uno también acostumbra llamar a estadivisión de una línea arbitraria en dos partescomo éstas la sección dorada”.Martin Ohm en Die Reine Elementar Matema-tik (Las matemáticas puras elementales).

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el términoya era de uso común para la fecha, el hecho de que no loincluyera en su primera edición sugiere que el términopudo ganar popularidad alrededor de 1830.En los textos de matemáticas que trataban el tema, el sím-bolo habitual para representar el número áureo fue τ, delgriego τομή, que significa ‘corte o sección’. Sin embargo,la moderna denominación Φ o φ la efectuó en 1900 elmatemático Mark Barr en honor a Fidias, ya que ésta erala primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας).Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valorestético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya porentonces se le atribuía también al número áureo. MarkBarr y Schooling fueron responsables de los apéndicesmatemáticos del libro The Curves of Life, de sir Theodo-re Cook.

4.3 El número áureo en las mate-máticas

4.3.1 Propiedades y representaciones

Ángulo de oro

360◦

φ+ 1≈ 137,5◦

Propiedades aritméticas

• φ ≈ 1, 618033988749894848204586834365638117720309...es el único número real positivo tal que:

φ2 = φ+ 1

• φ posee además las siguientes propiedades:

φ− 1 =1

φ

φ3 =φ+ 1

φ− 1

• Las potencias del número áureo pueden expresarseen función de una suma de potencias de grados infe-riores del mismo número, establecida una verdaderasucesión recurrente de potencias.

El caso más simple es: Φn = Φn−1 + Φn−2

, cualquiera sea n un número entero. Este casoes una sucesión recurrente de orden k = 2, puesse recurre a dos potencias anteriores.

Una ecuación recurrente de orden k tiene la for-ma:

a1un+k−1 + a2un+k−2 + ...+ akun

donde ai es cualquier número real o complejoy k es un número natural menor o igual a n ymayor o igual a 1. En el caso anterior es k=2 ,a1=1 y a2=1 .

Pero podemos «saltar» la potencia inmediata-mente anterior y escribir:

Φn = Φn−2 + 2Φn−3 + Φn−4 . Aquí k=4 ,a1=0 , a2=1 , a3=2 y a4=1 .

Si anulamos las dos potencias inmediatamenteanteriores, también hay una fórmula recurrentede orden 6:

Φn = Φn−3 + 3Φn−4 + 3Φn−5 +Φn−6

En general:

Φn =

12k∑i=0

( 12k

i

)Φ

[n−

(12k + i

)]; k = 2j ∈ N , n ∈ N , i ∈ N

En resumen: cualquier potencia del número áu-reo puede ser considerada como el elemento deuna sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,...,2k; donde k es un número natural. En la fór-mula recurrente es posible que aparezcan po-tencias negativas de Φ , hecho totalmente co-rrecto. Además, una potencia negativa de Φcorresponde a una potencia positiva de su in-verso, la sección áurea.

Este curioso conjunto de propiedades y el he-cho de que los coeficientes significativos seanlos del binomio, parecieran indicar que entreel número áureo y el número e hay un paren-tesco.

28 CAPÍTULO 4. NÚMERO ÁUREO

• El número áureo√5+12 es la unidad fundamental

«ε» del cuerpo de números algebraicos Q(√

5)y

la sección áurea√5−12 es su inversa, « ε−1 ». En

esta extensión el «emblemático» número irracional√2 cumple las siguientes igualdades:

√2 =

√5 + 1

2

√3−

√5 =

√5− 1

2

√3 +

√5

Representación mediante fracciones continuas

La expresión mediante fracciones continuas es:

φ = 1 + 1φ −→ φ = 1 +

11+ 1

1+ 11+ 1

1+...

Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar yrestar es dividir. Es también la más simple de todas lasfracciones continuas y la que tiene la convergencia máslenta. Esa propiedad hace que además el número áureosea un número mal aproximable mediante racionales quede hecho alcanza el peor grado posible de aproximabili-dad mediante racionales.[7]

Por ello se dice que φ es el número más alejado de loracional o el número más irracional. Este es el motivopor el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.

Representación mediante ecuaciones algebraicas

φ(φ−1) = 1 −→ φ2−φ−1 = 0 −→φ = 1+

√5

2 , que surge de la ecuación definito-ria de un término cualquiera en la sucesión deFibonacci, a partir del tercero[8]

El número áureo√5+12 y la sección áurea

√5−12 son so-

luciones de las siguientes ecuaciones:

x2 −√5x+ 1 = 0

x3 − y3 − 4 = 0

x4 − x3 − x− 1 = 0

8x3 − 4x + 1 = 0 que da el valor de sen 18ºe ímplícitamente al número aúreo[9]

Inecuación algebraica

φ/2 >(4 -φ2)1/2/φ[10]

Representación trigonométrica

φ = 1 + 2 sin(π/10) = 1 + 2 sin 18◦

φ =1

2csc(π/10) = 1

2csc 18◦

φ = 2 cos(π/5) = 2 cos 36◦

φ =1

2sec 2

5π =

1

2sec 72◦

φ =sin(2π/5)sin(1π/5) =

sin(72◦)sin(36◦)

Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de unpentágono regular (distancia entre dos vértices no con-secutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otrasrelaciones similares en el pentagrama.

Representación mediante raíces anidadas

φ =√1 + φ −→ φ =

√1 +

√1 +

√1 +

√1 + · · ·

Esta fórmula como caso particular de una identidad gene-ral publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Univer-sidad de Oklahoma, en la revista American MathematicalMonthly, 1917.El teorema general dice:

La expresión limn→∞

√√√√a1 +

√a2 +

√a3 +

√a4 +

√· · ·+√

an

(donde ai = a ), es igual a la mayor de las raíces de laecuación: x2 − x− a = 0; o sea, 1+

√1+4a2 .

Relación con la sucesión de Fibonacci

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como F ,y al siguiente número de Fibonacci como F ₊ ₁, des-cubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón os-cila y es alternativamente menor y mayor que la razónáurea. Podemos también notar que la fracción continuaque describe al número áureo produce siempre númerosde Fibonacci a medida que aumenta el número de unosen la fracción. Por ejemplo: 3

2 = 1, 5 ; 85 = 1, 6 ; y

2113 = 1, 61538461... , lo que se acerca considerablemen-te al número áureo. Entonces se tiene que:

φ = 1 +1

1 + 11+ 1

1+ 11+...

= limn→∞

Fn+1

Fn= ϕ

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemánJohannes Kepler, pero pasaron más de cien años antes de

4.3. EL NÚMERO ÁUREO EN LAS MATEMÁTICAS 29

que fuera demostrada por el matemático inglés RobertSimson.Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión adi-tiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Porejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios,por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 - 7 -10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301... Los cocien-tes de términos sucesivos producen aproximaciones ra-cionales que se acercan asintóticamente por exceso y pordefecto al mismo límite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 =1,613636...; 301/186 = 1,6182795.[11]

Amediados del siglo XIX, el matemático francés JacquesPhilippe Marie Binet redescubrió una fórmula que apa-rentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y porotro matemático francés, Abraham de Moivre. La fór-mula permite encontrar el enésimo número de Fibonaccisin la necesidad de producir todos los números anteriores.La fórmula de Binet depende exclusivamente del númeroáureo:

Fn =1√5

[(1 +

√5

2

)n

−

(1−

√5

2

)n]=

1√5

[(ϕ)

n −(−1

ϕ

)n]

4.3.2 El número áureo en la geometría

φφ2

1

El tríangulo de Kepler:φ2 = φ+ 1

El número áureo y la sección áurea están presentes en to-dos los objetos geométricos regulares o semiregulares enlos que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos oque aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

• Relaciones entre las partes del pentágono.

• Relaciones entre las partes del pentágono estrellado,pentáculo o pentagrama.

• Relaciones entre las partes del decágono.

• Relaciones entre las partes del dodecaedro y del ico-saedro.

El rectángulo áureo de Euclides

1

2

A B

CD

E

F

G

Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadradoABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y ADestán en la proporción del número áureo. Euclides, en suproposición 2.11 de Los elementos, obtiene su construc-ción:

GC =√5

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto:

GE = GC =√5

con lo que resulta evidente que

AE = AG+GE = 1 +√5

de donde, finalmente,

AE

AD=

1 +√5

2= φ

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son se-mejantes, de modo que este último es asimismo unrectángulo áureo.

En el pentagrama

El número áureo tiene un papel muy importante en lospentágonos regulares y en los pentagramas. Cada inter-sección de partes de un segmento se interseca con otrosegmento en una razón áurea.

30 CAPÍTULO 4. NÚMERO ÁUREO

Generación de un rectángulo áureo a partir de otro.

Los segmentos coloreados del pentagrama poseen proporcionesáureas.

El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cincoacutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón delado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocencomo los triángulos áureos.Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo, seobserva que dentro del pentágono interior es posible di-bujar una nueva estrella, con una recursividad hasta elinfinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentá-gono por el exterior, que sería a su vez el pentágono inte-rior de una estrella más grande. Al medir la longitud totalde una de las cinco líneas del pentáculo interior, resultaigual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estre-lla mayor, o sea Φ. Por lo tanto, el número de veces enque aparece el número áureo en el pentagrama es infinitoal añadir infinitos pentagramas.

El teorema de Ptolomeo y el pentágono

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido comoel teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pen-

A B

C

D

b

a

a

abb

Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Pto-lomeo en un pentágono regular.

tágono regular mediante regla y compás. Aplicando es-te teorema, se forma un cuadrilátero al quitar uno de losvértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayormiden b, y los lados y la base menor miden a, resulta queb2 = a2 + ab lo que implica:

b

a=

(1 +√5)

2.

Pentágono estrellado

Aparece el número de la justa razón entre los segmentosparciales de los lados de un pentágono estrellado.[12]

Trigonometría

El seno de 18º es la mitad del inverso del número de lajusta razón.[13]

• cos 36º es la mitad del número aúreo.[14]

• De igual modo 2cos 36º - 2 sen 18º = phi - 1/phi.

Relación con los sólidos platónicos

El número áureo está relacionado con los sólidos platóni-cos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyasdimensiones están dadas en términos del número áureo.Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud2 pueden expresarse en coordenadas cartesianas por lossiguientes puntos:(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

4.4. EL NÚMERO ÁUREO EN LA NATURALEZA 31

Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud2/φ=√5−1 también se pueden dar en términos similares:(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

Los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden con loscentros de las caras de un dodecaedro.

Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumeny su área total se pueden expresar también en términosdel número áureo:

A = 3√15 + 20φ · a2

V =4 + 7φ

2· a3

Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente ensus centros, los 12 vértices de los tres rectángulos áureoscoinciden exactamente con los vértices de un icosaedro,y con los centros de las caras de un dodecaedro.El punto que los rectángulos tienen en común es el centrotanto del dodecaedro como del icosaedro.

4.3.3 Teoría de números

4.4 El número áureo en la Natura-leza

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados conla sección áurea y/o los números de Fibonacci:

• Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de losábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesiónque lleva su nombre para calcular el número de pa-res de conejos n meses después de que una primerapareja comienza a reproducirse (suponiendo que losconejos están aislados por muros, se empiezan a re-producir cuando tienen dos meses de edad, tardan

Concha de nautilus en espiral logarítmica.[15]

un mes desde la fecundación hasta la aparición y ca-da camada es de dos conejos). Este es un problemamatemático puramente independiente de que seanconejos los involucrados. En realidad, el conejo co-mún europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos yvarias veces al año, aunque no cada mes, pese a quela preñez dura 32 días. El problema se halla en laspáginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fueel que llegó hasta nosotros, y parece que el plantea-miento recurrió a conejos como pudiera haber sidoa otros seres; es un soporte para hacer comprensibleuna incógnita, un acertijo matemático. El cocientede dos términos consecutivos de la sucesión de Fi-bonacci tiende a la sección áurea o al número áureosi la fracción resultante es propia o impropia, res-pectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesiónrecurrente de orden dos, según demostraron Barr ySchooling en la revista The Field del 14 de diciem-bre de 1912.[16]

• La disposición de los pétalos de las flores (el papeldel número áureo en la botánica recibe el nombre deLey de Ludwig).[17][18]

• La distribución de las hojas en un tallo. Ver:Sucesión de Fibonacci.[17]

• La relación entre las nervaduras de las hojas de losárboles.[19]

• La relación entre el grosor de las ramas principalesy el tronco, o entre las ramas principales y las secun-darias (el grosor de una equivale a Φ tomando comounidad la rama superior).[19]

• La cantidad de espirales de una piña (ocho y tre-ce espirales), flores o inflorescencias. Estos núme-ros son elementos de la sucesión de Fibonacci y elcociente de dos elementos consecutivos tiende al nú-mero áureo.[20][21]

• La distancia entre el ombligo y la planta de los piesde una persona, respecto a su altura total.[22]

32 CAPÍTULO 4. NÚMERO ÁUREO

• La cantidad de pétalos en las flores. Existen florescon 3, 5 y 8 pétalos y también con 13, 21, 34, 55, 89y 144.[20]

• La distribución de las hojas de la yuca y la disposi-ción de las hojas de las alcachofas.[20]

• La relación entre la distancia entre las espiras delinterior espiralado de cualquier caracol o de cefaló-podos como el nautilus. Hay por lo menos tres es-pirales logarítmicas más o menos asimilables a pro-porciones aúreas. La primera de ellas se caracterizapor la relación constante igual al número áureo en-tre los radiovectores de puntos situados en dos evo-lutas consecutivas en una misma dirección y senti-do. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, deScalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium tro-chleare, entre otras, siguen este tipo de espiral decrecimiento.[23][24] Se debe entender que en todaconsideración natural, aunque involucre a las cien-cias consideradas más matemáticamente desarrolla-das, como la Física, ninguna relación o constanteque tenga un número infinito de decimales puedellegar hasta el límite matemático, porque en esa es-cala no existiría ningún objeto físico. La partículaelemental más diminuta que se pueda imaginar esinfinitamente más grande que un punto en una recta.Las leyes observadas y descriptas matemáticamen-te en los organismos las cumplen transgrediéndolasorgánicamente.[25]

• Para que las hojas esparcidas de una planta (VerFilotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan elmáximo de insolación con la mínima interferenciaentre ellas, éstas deben crecer separadas en héliceascendente según un ángulo constante y teóricamen-te igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136276 726 855 462 662 132 999...” En la naturalezase medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º30' 28” en el mejor de los casos.[17]Para el cálculose considera iluminación vertical y el criterio mate-mático es que las proyecciones horizontales de unassobre otras no se recubran exactamente. Aunque lailuminación del Sol no es, en general, vertical y varíacon la latitud y las estaciones, esto garantiza el máxi-mo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fuedescubierto empíricamente por Church[17] y confir-mado matemáticamente por Weisner en 1875. Enla práctica no puede medirse con tanta precisión elángulo y las plantas lo reproducen “orgánicamente";o sea, con una pequeña desviación respecto al valorteórico. No todas las plantas se benefician con unmáximo de exposición solar o a la lluvia, por lo quese observan otros ángulos constantes diferentes delideal de 137.ª 30'. Puede encontrar una tabla en lapágina 26 del documento completo accesible en elenlace de la referencia.[21]

• En la cantidad de elementos constituyentes de lasespirales o dobles espirales de las inflorescencias,

como en el caso del girasol, y en otros objetos or-gánicos como las piñas de los pinos se encuentrannúmeros pertenecientes a la sucesión de Fibonacci.El cociente de dos números sucesivos de esta suce-sión tiende al número áureo.

• Existen cristales de pirita dodecaédricos pentagona-les (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregu-lares. Sin embargo, las proporciones de dicho po-liedro irregular no involucran el número áureo. Enel mundo inorgánico no existe el pentágono regu-lar. Éste aparece (haciendo la salvedad de que conun error orgánico; no podemos pretender exactitudmatemática al límite[26]) exclusivamente en los or-ganismos vivos.[27]

4.5 El número áureo en el arte y enla cultura

En la representación del Hombre de Vitruvio Leonardo da Vincino utiliza el número áureo, sino el sistema fraccionario

propuesto por Vitruvio

• Relaciones en la forma de la Gran Pirámide deGizeh. La afirmación de Heródoto de que el cua-drado de la altura es igual a la superficie de una caraes posible únicamente si la semi-sección meridia-na de la pirámide es proporcional al triángulo rec-tángulo

(1,

√√5+12 ,

√5+12

), donde 1 represen-

ta proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz

4.5. EL NÚMERO ÁUREO EN EL ARTE Y EN LA CULTURA 33

cuadrada del número áureo a la altura hasta el vér-tice (inexistente en la actualidad) y el número áureoo hipotenusa del triángulo a la apotema de la GranPirámide. Esta tesis ha sido defendida por los ma-temáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price(ver referencias), se apoya en la interpretación de unpasaje de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) yresulta teóricamente con sentido, aunque una cons-trucción de semejante tamaño deba contener erroresinevitables a toda obra arquitectónica y a la mismanaturaleza de la tecnología humana, que en la prác-tica puede manejar únicamente números racionales.

Otros investigadores famosos se inclinan por la hipóte-sis de que los constructores intentaron una cuadratura delcírculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxi-mamucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construccióntal, aunque se conociera π con una aproximación grande,carecería completamente de interés geométrico.[28]

No obstante, con base en mediciones no es posible elegirentre una u otra pues la diferencia sobre el monumentoreal no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación que-da enmascarada por las incertidumbres de las medidas,los errores constructivos y, principalmente, porque la pi-rámide perdió el revestimiento en manos de los primerosconstructores de El Cairo. Para que esto quede más cla-ro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metrosequivale a 23 centímetros y en la altura está en el ordende la diferencia real que debería existir entre ambas po-sibilidades.

• La relación entre las partes, el techo y las columnasdel Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el pri-mer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Uni-versidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teetetode Platón para estudiar las proporciones relativas delas superficies, algo muy natural cuando se trata deobras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejan-tes se distinguen entre sí por el cociente de su ladomayor por el menor, número que basta para carac-terizar a estas figuras y que denominó módulo delrectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doblecuadradomódulo 2. Aquellos rectángulos cuyos mó-dulos son números enteros o racionales fueron deno-minados “estáticos” y los que poseen módulos irra-cionales euclidianos, o sea, expresables algebraica-mente como raíces de ecuaciones cuadráticas o re-ducibles a ellas, “dinámicos”. El doble cuadrado es ala vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadradade 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elementales aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadradade 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulola raíz cuadrada de 5.[29] Posteriormente Hambidgeestudió a los monumentos y templos griegos y llegóa encuadrar el frontón del Partenón en un rectángu-lo de módulo 4Φ−2

Φ+1 . Por medio de cuatro diagona-les suministra las principales proporciones verticalesy horizontales. Este rectángulo es descompuesto en

seis de módulo√5 y cuatro cuadrados.[30]

Como dato adicional para indicar la complejidad del tra-tamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron des-cubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templotiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieranefectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelasy perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exac-tos, por las propiedades de la visión humana el conjuntose vería más ancho arriba que en la base, sus columnasse percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fun-damenta el techo sobre las columnas se vería como unaespecie de catenaria, con los extremos del edificio apa-rentemente más altos que el centro. Los constructores hi-cieron la construcción compensando estos efectos de ilu-sión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a loselementos involucrados. Así las columnas exteriores, enambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro enun ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las queestán en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundosde arco. La línea que formarían los dinteles entre colum-nas y que constituye la base del triángulo que corona eledificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos dearco con el vértice más elevado que los extremos. De es-ta forma, y con otras correcciones que no se mencionanaquí, se logra que cualquier observador que se sitúe enlos tres puntos principales de vista vea todo el conjuntoparalelo, uniforme y recto.[31]

• Estudios como los del dr. Fechner han demostradoque la percepción de la belleza radica en la propor-ción áurea. Por ende, aquello que matemáticamen-te más se aproxime a fi, se percibirá como más be-llo y perfecto. Ésta noción de belleza y perfecciónes aplicable a estructuras arquitectónicas, pinturas,partituras musicales, fractales y personas.[32]

• En el cuadro Leda atómica, de Salvador Dalí, hechoen colaboración con el matemático rumano MatilaGhyka.[33][34][35]

• En las estructuras y tiempos de las películas "El aco-razado Potemkin" e “Iván el Terrible” de Serguéi Ei-senstein.[36][35]

• En los violines, la ubicación de las efes o eses (los“oídos” u orificios en la tapa) se relaciona con el nú-mero áureo.[cita requerida]

• El número áureo aparece en las relaciones entre al-tura y ancho de los objetos y personas que aparecenen las obras de Miguel Ángel, Durero y LeonardoDa Vinci, entre otros.

• Es necesario desmentir la expandida aseveración deque el número áureo aparece en la conocida repre-sentación del hombre de Vitruvio de Leonardo daVinci. En este dibujo Leonardo da Vinci sigue es-trictamente las proporciones fraccionarias del cuer-po humano que Vitruvio describe en su libro De ar-

34 CAPÍTULO 4. NÚMERO ÁUREO

chitectura; concretamente en el Capítulo I del LibroTercero, “El origen de las medidas del Templo”.

• En las estructuras formales de las sonatas deWolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Sinfo-nía de Ludwig van Beethoven[cita requerida], en obrasde Franz Schubert[cita requerida] y Claude Debussy[cita requerida](estos compositores probablemente com-pusieron estas relaciones de manera inconsciente,basándose en equilibrios de masas sonoras).[37]

• En la pág. 56 de la novela de Dan Brown El códi-go Da Vinci aparece una versión desordenada de losprimeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21,1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada porel curador del museo del Louvre, Jacques Saunière.En las pp. 121 a 123 explica algunas de las aparicio-nes del número phi (1,618) en la naturaleza y el serhumano. Menciona que las distancias entre nuestrocuerpo son proporcionales entre si, como las de lapierna al muslo, el brazo al antebrazo, etc.

• En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisiónNUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio dela matemática Charlie Eppes menciona que el nú-mero fi se encuentra en la estructura de los cristales,en la espiral de las galaxias y en la concha del Nau-tilus.

• En el episodio de Mentes Criminales “Obra maes-tra” (Cuarta temporada, episodio 8), los crímenesdel profesor Rothschild siguen una sucesión de Fi-bonacci; en la primera zona, mató a una víctima; enla segunda, a otra; en la tercera, a dos; en la cuarta,a tres; y en la quinta, a cinco: doce en total. Las lo-calizaciones también se disponen según una espiraláurea, de fuera hacia dentro: el sitio donde estabansecuestrados los niños estaba justo en el centro. Has-ta eligió a sus doce primeras víctimas según cuántose acercaran las relaciones entre sus rasgos facialesal número áureo: buscaba que fueran los “especíme-nes más perfectos de ser humano”.

• El arte Póvera fue un movimiento artístico italianode los años 1960, muchas de cuyas obras se basanen esta sucesión.[cita requerida]

• En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos/Pi,el orden del caos, el personaje central, el matemá-tico Max Cohen, explica la relación que hay entrelos números de Fibonacci y la sección áurea, aunquedenominándola incorrectamente Theta (θ) en vez dePhi (Φ).

• El número phi aparece en la película de Disney “Do-nald en el país de las matemáticas”.[38]

4.6 Véase también• Triángulo de Kepler

• Número π

• Espiral logarítmica

• Estrella mágica

• Sucesión de Fibonacci

• Composición áurea

• Pitágoras

• Luca Pacioli

• Matila Ghyka

• Roger Penrose

• Decágono regular

• Rectángulo cordobés

4.7 Referencias[1] Fernando Corbalán (2010). La proporción áurea. RBA

Coleccionables S. A. ISBN 978-84-473-6623-1.

[2] Luca Pacioli, De Divina Proportione (De la divina propor-ción, escrito entre 1496 y 1498.

[3] Este número es irracional, aunque es algebraico de segun-do grado por ser raíz de una ecuación cuadrática y tambiénconstructible mediante regla y compás, y existen numero-sas aproximaciones racionales con mayor o menor error.En el año 2008 se obtuvieron cien mil millones de cifrasdecimales correctas. (Ver: http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html) Al igualque ocurre con la raíz cuadrada de dos, es posible cons-truir un segmento idealmente exacto con regla no gradua-da de un solo borde y longitud indefinida y un compás deabertura variable.

[4] Proporción Áurea en WolframMathWorld

[5] N.N. Vorobiov:Lecciones de matemáticas populares. Nú-meros de Fibonnacci, Editorial Mir, Moscú (1974)

[6] Mario Livio (2002). The Golden Ratio. Broadway Books.ISBN 0-7679-0816-3.Mario Livio (2009). La ProporciónÁurea. La historia de phi, el número más sorprendente delmundo. Editorial Ariel S. A. ISBN 978-84-394-4495-X.

[7] Bad approximable numbers inWolframMathWorld

[8] Vorobiov: Op. cit.

[9] Vavilov: Problemas de matemática. editorial mir, moscú

[10] Adaptación de un problema inserto en “Problemas Ma-temáticos” de Litvinenko y Mordkóvich.Editorial Mir,Moscú ( 1984)

[11] Trabajo presentado porMark Barr y Shooling en la revistaThe Field del 14 de diciembre de 1912.

[12] Bruño: Geometría superior

4.7. REFERENCIAS 35

[13] Se calcula partiendo de seno y coseno de 36º

[14] Se halla usando los respectivos valores de los dos datos

[15] Sir Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life.Constable and Company Ltd, Londres, Capítulo IV: “FlatSpirals in Shells”.

[16] N. N. Vorobiov; traducción de Carlos vega (1974). Núme-ros de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, rústica, 112 pági-nas.

[17] Sir Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life.Constable and Company Ltd, Londres, Capítulo V: “Bo-tany: The Meaning of Spiral Leaf Arrangements”, página81 en adelante.

[18] http://www.archive.org/stream/cu31924028937179#page/n10/mode/1up (Libro on line, Biblioteca delCongreso de Estados Unidos de América)

[19] Artículo publicado por Astroseti: “Las espirales de Fi-bonacci podrían estar relacionadas con la tensión “26/04/2007 (Probablemente, también con el principio demínima acción): “Zexian Cao y sus colegas de la Acade-mia de Ciencias China usaron la ingeniería de tensión pa-ra crear microestructuras de distintas formas de sólo 12μm de longitud con un núcleo de plata y una cáscara deSiO2. Descubrieron que si se establecían las cáscaras enformas esféricas durante el enfriamiento, se formaban enellas patrones de tensión triangulares. Por otra parte, si seestablecían en formas cónicas, aparecían patrones de ten-sión en espiral. Estos patrones espirales eran “espirales deFibonacci” – esto es, espirales que tienen sus dimensio-nes gobernadas por las series de Fibonacci.” “El equipode Cao no cree que las espirales de Fibonacci se formenpor accidente, sin embargo – creen que su causa puedeestar relacionada con un delicado problema planteado porel físico J. J. Thomson en 1904. Thomson preguntó cómoun conjunto de cargas se organizaría a sí mismo en unaesfera conductora para minimizar su energía. Los físicoshan calculado ya que las cargas tomarían patrones triangu-lares – similares a las microestructuras esféricas de Cao.Debido a esto, el equipo de Cao piensa que las espiralesde Fibonacci en las microestructuras cónicas debe ser laconfiguración equivalente de energía mínima (y por tan-to tensión mínima) para un cono, aunque no han llevadoa cabo cálculos por sí mismos.” “Los biólogos han sos-pechado desde hace tiempo que las ramas de los árbolesy otras ocurrencias de la serie de Fibonacci en la natu-raleza son simples reacciones para la minimización de latensión, pero hasta ahora no se había encontrado ningunaprueba concreta. «Nuestro experimento usando materia-les puramente inorgánicos proporciona la prueba para esteprincipio», comenta Cao a Physics Web.”

[20] "[...] la flor de un girasol está formada por pequeñas es-tructuras que se encuentran alineadas de tal forma queproducen hileras dispuestas en espiral, algunas de ellasabren sus brazos en el sentido de las agujas del reloj ylas restantes en la dirección contraria. Si las contamos ve-remos que siempre habrá 13 espirales que se abren ha-cia la derecha por 21 que se abren a la izquierda (13/21).Este hecho puede parecer banal, pero adquiere relevan-cia cuando se repite esta cuenta con girasoles de diferen-tes tamaños y con otras flores como las margaritas y los

mirasoles; pues encontramos que algunas tienen 21/34,otras 34/55 y que incluso las hay de 55/89. [...]" Mira-montes, Pedro (abril-junio 1996). «"La geometría de lasformas vivas"». E Journal, Universidad Autónoma de Mé-xico (42).

[21] “Los números de Fibonacci en Botánica ocurren con granregularidad. En 1968, Brousseau usó 4290 piñas de diezespecies de pinos encontrados en California, de las cualessolo 74 piñas (1.7 por ciento) se desvió de los números deFibonacci. En 1992, Jean R.V. en su artículo “Model tex-ting in phyllotaxis” publicó que de 12.750 observacionesen 650 especies encontradas en la literatura de Botánicade los últimos 150 años, la sucesión de Fibonaci apare-cía en más del 92 por ciento de todos los posibles casosde plantas con disposición espiral de sus elementos. Entrelos 12.750 casos, la sucesión de Lucas (Edouard A. Lucas,1842- 1891) se encontró en un dos por ciento. Coxeter lla-ma a la apariencia de los números de Fibonacci: “Fasci-nante tendencia”. Otros se refieren a la prevalencia de Fi-bonacci como: “El misterio de la Filotaxis” o “La obsesióno pesadilla de los botánicos.” La disposición de las esca-mas de las piñas, frutos de diferentes especies de pinos, seorganiza en torno a dos espirales de escamas: una dextró-gira y otra levógira. Se ha constatado empíricamente queen un número muy elevado de estas especies, son númerosconsecutivos de la sucesión de Fibonacci. Otros ejemplosson las tortas de girasol, las cabezuelas de las margaritas,etc. Las hojas de la mayor parte de plantas de tallo alto,están colocadas alrededor del mismo pudiendo ser recorri-das siguiendo una espiral (figura 13). Mas concretamente,en Filotaxis se verifica la llamada ley de divergencia: “pa-ra cada especie de plantas el ángulo que forman dos hojasconsecutivas, llamado ángulo de divergencia, es constan-te”.” (Página 23 en adelante) Reyes Iglesias, Encarnación(2009). «"Arte y Naturaleza en clave geométrica"». Uni-versidad de Valladolid.

[22] LA RAZÓN AUREA - Ministerio de Educación de Es-paña

[23] Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en laNaturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Ai-res, Capítulo V: “Del Crecimiento Armonioso”, páginas118 a 144.

[24] D'Arcy Wentworth Thompson (1917). “On Growth andForm”. Cambridge University Press. D'Arcy WentworthThompson (1992). “On Growth and Form”. Dover edi-tion, 1116 páginas. D'Arcy Thompson (1980). “Sobre elCrecimiento y la Forma. Editorial Hermann Blume, Ma-drid.Existen ediciones de unas 300 páginas, una recientede Cambridge.

[25] Es una paráfrasis de un pensamiento de Ruskin mencio-nado en la página 139 del libro citado de Matila Ghyka.

[26] En cualquier ser orgánico o inorgánico sus partes consti-tuyentes (moléculas, átomos, células) son objetos que tie-nen dimensiones; el punto geométrico no. Por esa razón,cuando se sostiene que se verifica una proporción esta noserá jamás un número iracional con infinitos decimales,pues ello implicaría que las partes que forman al obje-to en cuestión no tuvieran dimensiones como los puntosgeométricos. Tendremos forzosamente un intervalo de in-certidumbre, del que podremos indicar por lo menos dos

36 CAPÍTULO 4. NÚMERO ÁUREO

racionales que lo limitan. Explicado de otra forma: si unacélula está en el borde de un ser y decimos que otra par-te está situada en proporción áurea con ese borde, ¿Desdedónde tenemos que medir para que haya infinitos decima-les exactos? Esa célula no es un cuerpo rígido, se deforma,los bordes no son líneas perfectas. En la práctica la mayo-ría de los decimales infinitos del número áureo no tendránrazón de aparecer debido a la incertidumbre de la medida.

[27] Ghyka, Matila. “Estética de las Proporciones en la Natu-raleza y en las Artes”, Capítulo V: “Del Crecimiento Ar-monioso"; obra citada.

[28] “Lógicamente, la tesis de la sección áurea parecería másprobable, porque de ella emana una construcción riguro-sa, elegante y sencilla del triángulo meridiano, mientrasque en la otra hipótesis, aún suponiendo conocido con unaaproximación muy grande el valor de π, la construcciónsería puramente empírica y desprovista de verdadero in-terés geométrico” [Es notable, además, que aunque los an-tiguos no sabían de la trascendencia de π, estaban comple-tamente conscientes de la carencia de exactitud de algunosintentos de cuadratura del círculo] Matila Ghyka (1953).Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Ar-tes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo VIII: “LaPirámide de Keops”, página 222.

[29] Jay Hambidge (1920; 1930; 1931). “Dynamic SymmetryThe Greek Vase”. Yale University Press, New Haven.JayHambidge (22 de agosto de 2007). Dynamic SymmetryThe greek vase. Rough Draf Printing. ISBN 978-1-60386-037-6.

[30] Jay Hambidge (1924). “The Parthenon and Other Greektemples, their Dynamic Symmetry”. Yale University Press,New haven. Hay todavía disponibles ejemplares de esaedición, tanto nuevos como usados y a la venta a apro-ximadamente $ (USA) 250.

[31] Banister; Fletcher. “A History of Architecture”. B. T. Bas-ford, Londres.

[32] The golden ratio and aesthetics, by Mario Livio.

[33] http://www.educacion.gob.es/exterior/ad/es/publicaciones/Aula_Abierta2_Belleza.pdf, página86.

[34] J. L. Ferrier, Dalí, Leda atómica, París: Denöel, Gonthier,1980.

[35] Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Filoso-fía. “Aspectos Estéticos de la Divina proporción. Memo-ria para optar al grado de Doctor”, Araceli Casans Artea-ga, Madrid, 2001, ISBN: 84-669-1867-1. http://eprints.ucm.es/tesis/fsl/ucm-t25388.pdf

[36] S. M. Eisenstein, La nueva etapa del contrapunto del mon-taje, en contracampo, nro. 29, año IV, abril-junio 1982,página 42.

[37] Por ejemplo, la sonata Nº 1 de Mozart para piano subdi-vide su primer movimiento en 38 y 62 compases. El co-ciente, 62/38 = 1,6315, difiere en menos de un 1% de laproporción áurea. Lo mismo puede decirse de su segundomovimiento, que con 28 y 46 compases en sus dos seccio-nes principales arrojan una proporción 46/28 = 1,6428,

también muy cercana a φ. La sonata Nº 2 subdivide elprimer movimiento en 56 y 88 compases, cuyo cocientees 88/56 = 1,5714, también bastante próximo a la relaciónáurea. Aunque desde luego no toda la música se seccionade esta manera, es uno de los posibles principios para laorganización del tiempo en la música. Otro es la simetría,según el cual las secciones tienen igual duración. Curio-samente, la simetría funciona mejor en el corto plazo (anivel de frases o motivos), mientras que la relación áu-rea domina las grandes extensiones. Se ha argumentadoque en tiempos considerables el ser humano es incapaz depercibir objetivamente la duración, pero es posible que síexista una percepción inconsciente de la estructura gene-ral. "La música de las esferas: de Pitágoras a Xena-kis... y más acá", Apuntes para el coloquio del Depar-tamento de Matemática, Federico Miyara, páginas 14 y15. http://www.sectormatematica.cl/musica/esferas.pdf

[38] http://www.youtube.com/watch?v=jZjYLbZh_mo&feature=related

4.8 Bibliografía

En orden cronológico:

• Jarolimek (Viena, 1890). Der MathematischenSchlüssel zu der Pyramide des Cheops.

• Kleppisch, K. (1921). Die Cheops-Pyramide: EinDenkmal Mathematischer Erkenntnis. Múnich: Ol-denburg.

• Cook, Theodore Andrea (1979; obra original:1914). The Curves of Live. Nueva York: Dover.ISBN 0-486-23701-X; ISBN 978-0-486-23701-5.

• Pacioli, Luca (1991). La Divina Proporción. TresCantos: Ediciones Akal, S. A. ISBN 978-84-7600-787-7.

• Ghyka, Matila (1992). El Número de Oro. Barcelo-na: Poseidón, S.L. ISBN 978-84-85083-11-4.

• Ghyka, Matila (2006). El Número de Oro. I Los rit-mos. II Los Ritos. Madrid: Ediciones Apóstrofe, S.L. ISBN 978-84-455-0275-4.

• Corbalán, Fernando (2010). La proporción áurea.RBA Coleccionables S. A. ISBN 978-84-473-6623-1.

4.9 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Número áureo. Commons

• Weisstein, Eric W. «GoldenRatio». En Weisstein,Eric W.MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

4.9. ENLACES EXTERNOS 37

• Matematicasvisuales.com. «La proporción áurea»(en español). Consultado el 16 de abril de 2015.

• Langarita Felipe, Ignacio A. «El número de oro» (enespañol). Consultado el 16 de abril de 2015.

• Paniagua Sánchez, Juan Ángel. «El número áureoo Phi» (en español). Castor.es. Consultado el 16 deabril de 2015.

• De Castro P., Carlos Armando. «Sucesiones áureas:Parte I.» (en español). Consultado el 16 de abril de2015.

• De Castro P., Carlos Armando. «Sucesiones áureas:Parte II.» (en español). Consultado el 16 de abril de2015.

• Tomasini, María Cecilia. «El número y lo sagradoen el arte» (en español). Consultado el 16 de abrilde 2015.

• Knott, Ron (9 de diciembre de 2011). «The Goldensection ratio: Phi» (en inglés). Archivado desde eloriginal el 28 de noviembre de 2015. Consultado el16 de abril de 2015.

Capítulo 5

Raíz cuadrada de dos

'

√2 equivale a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rec-

tángulo e isósceles cuyos catetos tienen una longitud igual a launidad.

1.414213562373095048801688

Representación numérica de √2.

La raíz cuadrada de 2, o simplemente raíz de 2,se define como el único número real positivo tal que,multiplicado por sí mismo, es igual a 2. Su resulta-do no llega a ser nunca periódico, porque siempretiene decimales nuevos. La notación tradicional, uti-lizando el símbolo de radicación es √2, empleandola notación de potencias: 21/2 . La raíz cuadrada de2 es un número irracional (más aún, es algebraicode grado 2), su valor numérico es aproximadamente1,4, y truncado en 65 dígitos decimales es:[1]

√2 ≈

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764 . . .

La raíz cuadrada de 2 fue posiblemente el primer númeroirracional conocido. Geométricamente equivale a la lon-gitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado es iguala la unidad, lo cual se comprueba aplicando el llamadoteorema de Pitágoras, también conocida como constan-te pitagórica.[cita requerida]

La raíz cuadrada de 2 no es un número racional. Perosatisface la ecuación de segundo grado en una incógnitade coeficientes racionales

x2 = 2

[2]

Este número tiene numerosas aplicaciones en la vida co-rriente:

• las hojas de papel en formato internacional (ISO216) están en proporción largo/ancho igual a √2;

• en música, la razón de frecuencias de la cuarta au-mentada de la gama temperada vale √2;

• en electricidad, la máxima tensión de la corrientealterna monofásica vale √2 del valor eficaz indicado(generalmente 110 o 220 voltios);

• en fotografía, la sucesión de valores de aperturadel diafragma son los valores aproximados de unaprogresión geométrica de razón √2.

5.1 Historia

La tabla babilónica YBC 7289 (c. 2000-1650 a. C.)proporciona una aproximación de

√2 en cuatro dígitos

sexagesimales, que es similar a seis cifras decimales:[3]

1 +24

60+

51

602+

10

603= 1, 41421296

Otra aproximación antigua a este número irracional se daen la antigua India en el texto matemático Baudhaiana-sulba-sutra (entre el 600 y el 300 a. C.) diciendo: Incre-menta la longitud [del lado] por su tercera parte, y su

38

5.3. PRUEBAS DE IRRACIONALIDAD 39

Representación de la raíz de 2 en sistema hexadecimal. El 30 deun lado corresponde a un ejemplo donde la diagonal correspondea los números 42 25 35 que es la aproximación de 30

√2 .

tercera por sus tres cuartas y su tercera por su treinta ycuatroava parte de cuatro.[4] Esto es

1 +1

3+

1

3 · 4− 1

3 · 4 · 34=

577

408≈ 1, 414215686.

El descubrimiento de la raíz cuadrada de 2 como unnúmero irracional se atribuye generalmente al pitagóricoHipaso de Metaponto, quien fue el primero en producirla demostración (vía demostración geométrica) de la irra-cionalidad. La historia narra que precisamente descubrióla irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averi-guar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pi-tágoras creía en la definición absoluta de los números co-mo media, y esto le obligaba a no creer en la existencia delos números irracionales. Por esta razón estuvo ya desdeel principio en contra de esa demostración, por esta ra-zón fue sentenciado a la pena capital por sus compañerospitagóricos.El matemático griego Teeteto (417 a. C. - 369 a. C) pro-ponía el problema de encontrar el lado de un cuadrado,cuya área sea el doble del área de un cuadrado de ladom. Cuya solución conlleva la aparición de la raíz cuadradade dos.[5]

5.2 Algoritmo computacional

Existen muchos algoritmos empleados para la aproxima-ción de cuadrada de 2. El más común de los algorit-mos para averiguar una aproximación en computadoreso calculadoras es el denominado método babilónico[6] decálculo de las raíces cuadradas, siendo éste uno de losmuchos empleados para el cálculo de raíces cuadradas.Funciona como sigue:

Se toma en primer lugar un valor arbitrario, que deno-minaremos, F0 ; esta primera aproximación importa po-co, es considerada sólo como un punto de comienzo delalgoritmo y afecta en cuantas iteraciones debe hacer elalgoritmo hasta alcanzar la aproximación con una preci-sión requerida. Entonces, empleando esta suposición ini-cial, se procede a iterar mediante la siguiente cómputorecursivo:

Fn+1 =Fn + 2

Fn

2

Cuanto más iteraciones se hagan mediante este algorit-mo (es decir más cálculos con un valor de n grande), seobtendrá una mejor aproximación del valor real de raízcuadrada de 2.El valor de

√2 ha sido calculado hasta 137 438 953 444

posiciones decimales por el equipo de Yasumasa Kana-da en el año 1997. Entre las constantes matemáticas concifras no periódicas, sólo π ha sido calculado con mayorprecisión.[7]

5.3 Pruebas de irracionalidad

Existen varias pruebas de la irracionalidad de √2 basa-

das en el método del descenso infinito y en el método dereducción al absurdo, que se fundamenta en suponer que√2 es un número racional y llegar, utilizando razonamien-

tos rigurosamente correctos, a una contradicción, lo quehace concluir que la primera suposición tiene que ser fal-sa.

Prueba geométrica

Se fundamenta en el método del descenso infinito. Es unaconstrucción geométrica clásica de regla y compás, pro-bando el teorema por un modo muy similar a como lohacían los antiguos geómetras griegos.SeaABC un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusade longitud de m y catetos de longitud n. Por el teoremade Pitágoras, n ² + n ² = m ²; 2n ² =m ²; √

2 = m/n.Supongamos que m y n son números enteros.Trazamos los arcos BD y CE con centro en A. UnimosDE. Se sigue que AB = AD, AC = AE y el ∠BAC y el∠DAE coinciden. Por lo tanto los triángulos ABC y ADEson congruentes por tener dos lados iguales y el ángulocomprendido también.Como ∠EBF es un ángulo recto y ∠BEF es la mitad de unrecto, BEF es también un triángulo rectángulo isósceles.Se cumple que BE = BF =m − n. Razonando análogamen-te, FDC es también un triángulo rectángulo isósceles, concatetosDF =DC =m − n, y con hipotenusa FC = n − (m −n) = 2n −m, que son números también enteros y menores

40 CAPÍTULO 5. RAÍZ CUADRADA DE DOS

a n y m respectivamente. Al ser ABC y FDC dos trián-gulos semejantes podemos repetir el anterior proceso deforma recurrente. Con las longitudes de las hipotenusas ycon las de los catetos de los sucesivos triángulos, obtene-mos dos sucesiones de números enteros estrictamente de-crecientes que no son finitas, lo cual es imposible porquesi n y m son enteros debe existir una fracción irreducible.Esta contradicción nos hace concluir que la suposición dequem y n son números enteros es falsa y que √

2 no puedeser una fracción m

n con m y n enteros, por tanto √2 tiene

que ser un número irracional.

Prueba basada en argumentos de paridad

1. Se asume que: √2 es un número racional, con ello sesabe que existen dos números enteros a y b tal quese satisfaga que la fracción a / b = √

2 .

2. Entonces √2 puede ser escrito como una fracción

irreducible (la fracción es reducida tanto como seaposible) a / b tal que a y b son números primos entresí y (a / b)² = 2.

3. Se sigue que a² / b² = 2 y a² = 2 b².

4. Por lo tanto a² es par debido a que es igual a 2 b² locual es obvio.

5. Se sigue que a debe ser número par. (Los númerosimpares tienen raíces impares y los pares tienen raí-ces pares.)

6. Debido a que a es par, entonces existe un númeroentero k tal que satisface: a = 2k.

7. Insertamos el resultado en la última ecuación de (6):2b² = (2k)² equivale a 2b² = 4k² que equivale a b² =2k².

8. Como 2k² es par se deduce que b² es también par ypor tanto que b es par.

9. Pero que (4) y (8) a y b sean ambos pares contradiceque a / b es irreducible tal y como se afirmó en (2).

Se ha encontrado una contradicción al asumir en (1) que√2 es un número racional, luego esta afirmación es falsa.

Se demuestra entonces lo contrario: √2 es irracional.

5.4 Existencia y unicidad de la raízcuadrada en R

Se obtiene como resultado del Principio de Cantor de losintervalos encajados, de modo que el extremo izquierdosea un número mayor que 1 y su cuadrado menor que 2,el extremo derecho es menor que 2, tal que su cuadradoes mayor que 2. Esta sucesión garantiza la existencia yunicidad del único real que se denota

√2

5.5 Infinitud de la expresión deci-mal

Si se obtiene√2 mediante una sucesión infinita de in-

tervalos encajados, los extremos inferiores forman unasucesión creciente estricta, tal que el siguiente tiene máscifras, como esto puede continuar indefinidamente, el nú-mero de cifras decimales, aumenta sin cesar, o es unainfinidad.[8]

5.5.1 Visión topológica

Sea el conjunto H={x: x real positivo, x2 < 2}, este con-junto es un abierto en la topología usual de la recta real ysu clausura es H− = [0,

√2] [9]

5.6 Propiedades de la raíz cuadra-da de dos

La mitad de√2 , es aproximadamente 0,70710 67811

86548, y es muy usada en geometría y trigonometría, de-bido, en parte, a que el vector unitario que hace un ángulode 45° con los ejes de un plano tiene como coordenadas:

(√2

2,

√2

2

).

5.8. DISTINTAS EXPRESIONES 41

Este número satisface:

√2

2=

√1

2=

1√2= cos(45◦) = sin(45◦).

Una propiedad interesante de la raíz cuadrada de dos esla que sigue:

1√2− 1

=√2 + 1.

Este resultado es una propiedad de la razón plateada.La raíz cuadrada es conocida también como una fraccióncontinua

1 +1

2 + 12+ 1

2+···

.

La raiz cuadrada de dos√2 es uno de los cate-

tos de un triángulo rectángulo, cuyo otro catetoes 1; la hipotenusa,

√3 .

√2 +

√3 ≃ π, donde pi es la razón entre la

longitud de la circunferencia y la longitud deldiámetro.

5.7 Series y representaciones enproductos

La identidad cos(π4

)= sin

(π4

)= 1√

2, mediante un

producto infinito de senos y cosenos, queda como sigue

1√2=

∞∏k=0

(1− 1

(4k + 2)2

)=

(1− 1

4

)(1− 1

36

)(1− 1

100

)· · ·

y

√2 =

∞∏k=0

(4k + 2)2

(4k + 1)(4k + 3)=

(2 · 21 · 3

)(6 · 65 · 7

)(10 · 109 · 11

)(14 · 1413 · 15

)· · ·

o equivalentemente

√2 =

∞∏k=0

(1 +

1

4k + 1

)(1− 1

4k + 3

)=

(1 +

1

1

)(1− 1

3

)(1 +

1

5

)(1− 1

7

)· · · .

El número puede ser expresado mediante una expansiónen serie de Taylor de una función trigonométrica. Porejemplo, las series para cos

(π4

)da

1√2=

∞∑k=0

(−1)k(π4

)2k(2k)!

La serie de Taylor de:√(1 + x) x = 1 proporciona:

√2 =

∞∑k=0

(−1)k+1 (2k − 3)!!

(2k)!!= 1+

1

2− 1

2 · 4+

1 · 32 · 4 · 6

− 1 · 3 · 52 · 4 · 6 · 8

+· · · .

La convergencia de esta serie puede ser acelerada por unatransformada de Euler, produciendo

√2 =

∞∑k=0

(2k + 1)!

(k!)223k+1=

1

2+3

8+15

64+

35

256+

315

4096+

693

16384+· · · .

No se sabe si√2 puede ser representado con una fórmula

de tipo BBP. Sin embargo, si se conocen las fórmulas detipo-BBP para π

√2 y para

√2 ln(1 +

√2) .

5.8 Distintas expresionesBinario: 1.0110101000001001111...Decimal: 1.4142135623730950488...Hexadecimal: 1.6A09E667F3BCC908B2F...Fracción continua: 1 + 1

2+ 1

2+ 12+ 1

. . .

5.9 En la geometría euclídea• En el estudio del cuadrado

• En el octógono regular

• En el triángulo rectángulo isósceles

5.10 En álgebra abstracta

El conjunto H = {a + b√2 ; a,

b∈ℚ} provisto de la adición y lamúltiplicación es un cuerpo, pre-viamente <H, + > es un grupo con-mutativo, con la adición.[10] Al nú-mero irracional a + b

√2 se lla-

ma irracionalidad cuadrática,[11]porquejunto con su conjugado a - b

√2

son raíces de una ecuación algebrai-ca de segundo grado.

5.11 Noticias y amenidades• Con el algoritmo a ₊₁ = (a +2/a )/2 en 2006, ShigeruKondo con su ordenador que trabajó algo más de 13

42 CAPÍTULO 5. RAÍZ CUADRADA DE DOS

días, obtuvo un resultado de la raíz cuadrada de doscon doscientos mil millones de decimales, que paraimprimir se necesitarían 100 millones de hojas depapel.[12]

• Tómese una varilla, que se dirá que tiene una uni-dad de longitud, colóquese en un día de Sol la varillaverticalmente y marque la punta de la sombra, en elmomento que tenga la misma medida que la varilla.Se une la punta de la sombra con la parte alta de lavarilla mediante una cuerda, esta tiene una longitudigual a la raíz cuadrada de dos.[13]

5.12 Véase también• La raíz cuadrada de dos es el cociente de aspecto delFormato de papeles bajo ISO 216.

• Raíz cuadrada de 3• Raíz cuadrada de 5• Rectángulo RR

5.13 Referencias[1] (sucesión A002193 en OEIS)

[2] Cotlar- de Sadosky. introducción al álgebra. Eudeba, Bue-nos Aires

[3] Fowler and Robson, p. 368.Fotografía, ilustración, y descripción de la root(2) tablillaprocedente de la "Yale Babylonian Collection"Fotografías de alta resolución y análisis descriptivo de lastablas de la root(2) (YBC 7289) procedente de la "Y“aleBabylonian Collection”

[4] Henderson.

[5] Hofmann: “Historia de la matemática” (2003)

[6] Aunque se denomine “Método babilónico” generalmen-te, no existe evidencia que muestre un uso de estaaproximación por los babilónicos en el cálculo de la apro-ximación de

√2 tal y como se puede ver en la tablilla

YBC 7289. Fowler and Robson ofrece generalmente de-talle y conjeturas sobre esto.Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.

[7] Number of known digits

[8] Trejo: El concepto de número

[9] Mesa y otros: Continuidad en espacios topológicos ISBN978-958-648-808-2

[10] Dubreil - Jacotin: “Lecciones de álgebra moderna”

[11] Beskin. “Fracciones maravillosas”

[12] Alsina:«La secta de los números» ISBN 978-473-6627-9

[13] Romero Méndez:« Matemática recreativa» edición deldiario La Prensa de Lima

5.13.1 Bibliografía

• Flannery, David (2005). The Square Root of Two.Springer. ISBN 0-387-20220-X.

• Fowler, David; Eleanor Robson (noviembre de1998). «Square Root Approximations in Old Baby-lonian Mathematics: YBC 7289 in Context» (PDF).Historia Mathematica 25 (4): 366–378. Archivadodesde el original el 27 de noviembre de 2015.

• Gourdon, X. & Sebah, P. Pythagoras’ Constant:√2

. Incluye información de como calcular dígitos de√2 .

• Henderson, David W., Square Roots in the Sulbasu-tra

• Weisstein, Eric W. «Pythagoras’s Constant». EnWeisstein, Eric W.MathWorld (en inglés). WolframResearch.

5.14 Enlaces externos• La raíz cuadrada de 2 con cinco millones de dígitospor Bonnell & Robert Nemiroff. May, 1994.

• Bogomolny, Alexander. «Square root of 2 is irratio-nal». InteractiveMathematics Miscellany and Puzzles(en inglés)., una colección de pruebas

• √2.net, sitio de entusiastas del número con cálculoson-line

• Representación de la raíz cuadrada de 2.

5.15. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 43

5.15 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

5.15.1 Texto• Número irracional Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional?oldid=87313098 Colaboradores: Youssefsan, PA-

CO, Joseaperez, Oblongo, Sabbut, Moriel, Sanbec, Aparejador, Vivero, Zwobot, Sms, Tano4595, Ramjar, Xenoforme, Renabot, Hispa,Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathematicae, Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, Chobot, Yrbot, BOT-Superzerocool, Varano, .Ser-gio, YurikBot, Mortadelo2005, GermanX, Wewe, KnightRider, Manolo456, YoaR, Banfield, Angel.F, Er Komandante, Tomatejc, Jarke,Mencey, Axxgreazz, Kn, BOTpolicia, CEM-bot, Ca in, JMCC1, Especiales, Marianov, Davius, Rosarinagazo, Julian Mendez, Ggenellina,Thijs!bot, Tortillovsky, RoyFocker, Will vm, LMLM, Botones, JAnDbot, Muro de Aguas, Iulius1973, Zufs, Gsrdzl, TXiKiBoT, HiTe,Humberto, Netito777, Rei-bot, Fixertool, Pólux, Snakefang, VolkovBot, Technopat, Nicoguaro, Raystorm, Matdrodes, BlackBeast, LucienleGrey, HanniballL, 3coma14, Muro Bot, Radical88, Mjollnir1984, SieBot, Ctrl Z, Loveless, Cobalttempest, BOTarate, STBot~eswiki,Manwë, Greek, Carabás, Mafores, PipepBot, Tirithel, XalD, Dnu72, Gato ocioso, Eduardosalg, Leonpolanco, Pan con queso, Charly ge-nio, Poco a poco, Alexbot, Rαge, Raulshc, Açipni-Lovrij, Camilo, UA31, Abajo estaba el pez, AVBOT, Msdus, Louperibot, Ialad, Die-gusjaimes, Luckas-bot, Nallimbot, Roinpa, Jotterbot, Dangelin5, ArthurBot, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, Alexcumbal, Igna, Botarel,Decot, TobeBot, Halfdrag, Vubo, PatruBOT, Tarawa1943, RamonExio, Foundling, Adriansm, Edslov, EmausBot, Savh, HRoestBot, All-forrous, Grillitus, Rubpe19, Lsdelrio, Waka Waka, Paco.requena, SaeedVilla, MerlIwBot, Mr-lonxito, Franco68, TeleMania, MetroBot,DerKrieger, Nikho 98, LlamaAl, Érico, Helmy oved, Facuman8, Diego Javier Gomez, Ralgisbot, Juanitorreslp, 2rombos, Syum90, CotiixeOn, MaKiNeoH, Addbot, Balles2601, DavosMat, JacobRodrigues, Manuel Balarezo, Qhcd3967, Yandy santos, Fedebayud, Jarould, Abi!mil8mil, Strongerpi, Sabryna montenegro, X2y3, LaloxD16, ~Expresses life y Anónimos: 364

• Número π Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80?oldid=87584129 Colaboradores: Eralos, Joseaperez, Sab-but, Moriel, Frutoseco, Pieter, ManuelGR, Robbot, Cdlfd, Angus, Kraton~eswiki, Achury, Sanbec, Vivero, Diego Caro, Apartidista, Ja-mawano, Surscrd, Interwiki, Rosarino, Dodo, Ascánder, Tostadora, Tano4595, Ramjar, Barcex, Jarfil, Feliciano, Gengiskanhg, Oconel,Arkady, Cinabrium, Robotico, Richy, FAR, Peejayem, Petronas, Airunp, Edub, Natrix, Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), LP, Magis-ter Mathematicae, RedTony, Suso de la Vega, Further (bot), Alpertron, RobotQuistnix, Alhen, Superzerocool, Chobot, Pertile, Palica,YonDemon, Yrbot, Amadís, BOT-Superzerocool, Oscar ., FlaBot, Vitamine, .Sergio, YurikBot, Mortadelo2005, Cameri, ALVHEIM, Za-ka, GermanX, David gonzalez, Wewe, Euratom, Gaijin, KnightRider, Jclerman, Santiperez, Heliocrono, Banfield, CHV, Dove, KeplerOort, Götz, Purodha, Maldoror, Cheveri, Chlewbot, Tomatejc, Jarke, Filipo, Folkvanger, Arthurfx, Paintman, Jgomez53, Jorgechp, Fae-lomx, Kn, BOTpolicia, Qwertyytrewqqwerty, JEDIKNIGHT1970, Gizmo II, CEM-bot, Jorgelrm, Lordsito, Laura Fiorucci, Gonmator,JMCC1, -jem-, Rpmi1640, Ignacio Icke, Sefirah, Aswarp, Hispalois, QnanG5284, Baiji, Ezequiel3E, Roberpl, Davius, Rosarinagazo, An-tur, Julian Mendez, Luis Cortés Barbado, CF, Wiles, Dorieo, Brahma~eswiki, Ingenioso Hidalgo, Resped, Thijs!bot, Alvaro qc, Srengel,Roberto Fiadone, Escarbot, Zupez zeta, Hugone, RoyFocker, Jordissm, Irfit, Bryant1410, Mauricio Maluff, Segavi, OiraM, Sapiensjpa,Botones, Isha, MSBOT, Gusgus, LitOrdes, Cgb, Mpeinadopa, JAnDbot, Stifax, Kved, Diego Godoy, Rafa3040, Homo logos, Trejina,Muro de Aguas, Gaius iulius caesar, Cristianuz12, Gsrdzl, El Caro, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Cronos x, Gustronico, Bot-Schafter,Humberto, Netito777, Pabloallo, Rei-bot, ZrzlKing, Nioger, Felknight, Idioma-bot, Pólux, Snakefang, Rovnet, Jtico, Bucephala, Fremen,Remedios.Frutos, Lmcuadros, Cinevoro, VolkovBot, Snakeyes, Technopat, Nicoguaro, Stormnight, Megalfático, Mahey94, Nestoreledi-tor, Barba roja, Josell2, Dcoetzee, Matdrodes, Synthebot, ElVaka, House, DJ Nietzsche, BlackBeast, Lucien leGrey, KPM, AlleborgoBot,Bnom, Muro Bot, Edmenb, Numbo3, Alvaro 789, SieBot, Ferenckv, Ctrl Z, PaintBot, Harvin, Loveless, Carmin, Cobalttempest, Diegohurtado, Drinibot, Novellón, Bigsus-bot, Luiscg, BOTarate, Manwë, Furado, Govalant, Chico palm, Belb, PipepBot, Chico512, Jorosmtz,Jacksys, Gijzopium, Tirithel, Mutari, JaviMad, M S, Jarisleif, Javierito92, Dnu72, Miguel, GeminiSaga, HUB, Antón Francho, Gydunhn,DragonBot, Quijav, Makete, Eduardosalg, Mcleod ideafix, Rafagb, Leonpolanco, Pan con queso, Alejandrocaro35, LordT, Romanovich,Petruss, Ener6, Alexbot, Juan Mayordomo, Valentin estevanez navarro, Crypdan, El guardian999, Raulshc, Açipni-Lovrij, Osado, Dequet,MarcosTusar, Kadellar, UA31, Abajo estaba el pez, Krysthyan, AVBOT, David0811, LucienBOT, MastiBot, Angel GN, Ezarate, Diegus-jaimes, MelancholieBot, HerculeBot, Arjuno3, Raúl González Molina, InflaBOT, Madalberta, Luckas-bot, FariBOT, Jesam, Vivaelcelta,Nixón, XZeroBot, Soro 04, Pilielena, ArthurBot, Billyrobshaw, Javivierjavi, SuperBraulio13, Navelegante, Almabot, Manuelt15, Xqbot,Jkbw, GhalyBot, Fonshu23, -Erick-, Pablocuchis3902, Ricardogpn, Marsi Mario, Mariantobis, Igna, AstaBOTh15, Zulucho, BOTirithel,Hprmedina, TobeBot, Halfdrag, Manimecker, DixonDBot, Jerowiki, HUBOT, Gustavo Girardelli, Humbefa, Tarawa1943, AstroF7, Jmac-wikipedista, Foundling, Juan A. Malo de Molina, Miss Manzana, Edslov, EmausBot, Savh, Wiilliam, Sergio Andres Segovia, Santaia70,Grillitus, Emiduronte, ChuispastonBot, MadriCR, Waka Waka, WikitanvirBot, Mjbmrbot, John PC, The Scene, Edocastillo, Blackman.cl,Drc1997, UltimateTroll, Abián, MerlIwBot, KLBot2, AvicBot, AvocatoBot, Sebrev, MetroBot, SpanishMath, Vichock, -seb-, GusamaRomero, Anonimo12345, Acratta, Minsbot, Carliitaeliza, Jaime Xenius, LlamaAl, Elvisor, Avrtm, Helmy oved, Shebaks, Sergiotarran-cas, D33311, Facundos 23, Syum90, Rotlink, Fisica y mas, Ericka Suárez, Jabazon, Lautaro 97, Googledj, Addbot, Caballeroaryo01,Balles2601, Enchiladasblablabla, JacobRodrigues, Manuel Balarezo, Maikel1714, David 154, MarioFinale, Daltreck, Jarould, Matiia, Pa-blitoblanco, BenjaBot, AnÖnÎmÙs12011990, Stellamb, Fernandoelmusico, Psovo137, Rplanello, Sapristi1000, Gonzaloribadeo, Pearl Fey,Machine1991, Ajalascaca, Natalia rios g, CienaciaUniversidad, Juamprez0, PentagramaOMG666, Fernando2812l, El vigilante de los AB,Diquitidiez, Robertotorres69 y Anónimos: 707

• Número e Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e?oldid=87087282 Colaboradores: Romero Schmidtke, Joseaperez,Sabbut, Moriel, JorgeGG, Hashar, Cdlfd, Angus, Fito hg, Kraton~eswiki, Vivero, Fak119, Togo~eswiki, Rosarino, Dodo, Sms, Tano4595,Ramjar, Juanpabl, Guillermo-, Gengiskanhg, Renabot, FAR, Gaspar~eswiki, Hispa, Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathemati-cae, Orgullobot~eswiki, Alpertron, RobotQuistnix, Platonides, Chobot, BOT-Superzerocool, Davidsevilla, Vitamine, YurikBot, GermanX,Wewe, Jclerman, Cheveri, Jgomez53, Kn, BOTpolicia, Qwertyytrewqqwerty, CEM-bot, Laura Fiorucci, -jem-, Retama, Baiji, Davius, An-tur, Wiles, Davidr89, AJSM, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, Roberto Fiadone, Bradomín, Herraiz, Botones, Isha, Mizar, JAnDbot, Maueruk07, Kved, Muro de Aguas, Gsrdzl, TXiKiBoT, Netito777, Nioger, Pólux, Jmvkrecords, Jcea, AlnoktaBOT, VolkovBot, Nicoguaro, Mat-drodes, Synthebot, DJ Nietzsche, BlackBeast, AlleborgoBot, Muro Bot, Gerard 123, Comu nacho, SieBot, Mushii, Victorespejo, PaintBot,Loveless, Gonso6gonso, Drinibot, Bigsus-bot, BOTarate, Jorjum, Manwë, Greek, BuenaGente, Jaenerisimo, Tirithel, Paulienator, AntónFrancho, Fonsi80, PixelBot, Eduardosalg, Leonpolanco, Alecs.bot, Alexbot, CestBOT, Juan Mayordomo, Darkicebot, Raulshc, Açipni-Lovrij, Camilo, UA31, Ucevista, AVBOT, LucienBOT, Ginosbot, Speedplus, Diegusjaimes, Arjuno3, Luckas-bot, Xtquique, Ptbotgourou,FariBOT, Jesam, Yaakob7, DSisyphBot, Luis Felipe Schenone, Usuwiki, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, Nach90, Glenn L, JViejo, Ig-na, Botarel, AstaBOTh15, Jorgicio, TiriBOT, MAfotBOT, AlbertoCrakito, TobeBot, RedBot, Marsal20, Jerowiki, GrouchoBot, Angiolo,Savh, AVIADOR, Africanus, Grillitus, Mecamático, Cal Jac02, Brandon Jose, Mjbmrbot, Esteban Gadacz, Gadacz Esteban, MerlIwBot,Satanás va de retro, MetroBot, Invadibot, Jacevix, Acratta, Jaime Xenius, Freecore, 2rombos, Syum90, Rauletemunoz, Estudiante077,Addbot, Balles2601, ConnieGB, Manuel Balarezo, Jarould, Gonzalo Rodriguez Zabala, Hagunara, Mario-Vicente-99, X2y3, Wiki LIC,

44 CAPÍTULO 5. RAÍZ CUADRADA DE DOS

Juan123brs, Wikiformater y Anónimos: 246• Número áureo Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo?oldid=87703108 Colaboradores:Youssefsan, Era-

los, Pino, Joseaperez, Oblongo, Sabbut, Moriel, Bluenote, JorgeGG, Cdlfd, Angus, Meredhit, Vivero, Zwobot, Rosarino, Uaxuctum~eswiki,Dodo, Ascánder, Sms, SimónK, Xgarciaf, Sefer, Tano4595, Ramjar, Galio, Lopezmts, Lew XXI, Joselarrucea, Leonbloy, Chalisimo5,Xenoforme, CarlosGarcia, Arkady, Toad32767, Txuspe, Desatonao, Elsenyor, Papix, Renabot, Ronaldo16, Yurik, Petronas, Vester, Yrit-hinnd, Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), Strigoiul, Kelden, Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, EvolvE, Alhen, Superzerocool, Chobot,Caiserbot, Deprieto, Yrbot, Amadís, FlaBot, Varano, Vitamine, BOTijo, YurikBot, Mortadelo2005, Icvav, GermanX, Lin linao, Unaiaia,JAGT, Gaijin, KnightRider, The Photographer, YoaR, Gothmog, Santiperez, Heliocrono, Eskimbot, Varusso, Banfield, CHV, Götz, Jo-sé., Swazmo, Maldoror, Carlos Alberto Carcagno, Lasneyx, Jarke, Filipo, Covi, Alexlm78, Miguel303xm, Sigmanexus6, VictorSanchez2,Faelomx, Tamorlan, Kn, BOTpolicia, CEM-bot, Goliardo, Cokepe, Laura Fiorucci, Gonmator, Mrsyme, Saul ip, JMCC1, -jem-, Salva-dor alc, Marianov, Evaristor, Retama, Eli22, Baiji, Man77, Roberpl, Davius, Rastrojo, Antur, Gafotas, Dorieo, Montgomery, FrancoGG,Ggenellina, Thijs!bot, Srengel, Tortillovsky, Smartlink, Diosa, Davidfase~eswiki, Yeza, Zupez zeta, Isha, Kim FOR sure, Hanjin, Mpei-nadopa, Rrmsjp, Tuliopa, VanKleinen, Kved, Integral triple, Lecuona, Robertollefi, Homo logos, Muro de Aguas, CommonsDelinker,TXiKiBoT, Mephystovals, Humberto, Netito777, Gregoriobart, Rei-bot, Algarabia, Fixertool, Nioger, Chabbot, Pólux, Demonacho, Jtico,Azcarlos2, Castorpuntoes, Escale, VolkovBot, Technopat, The Bear That Wasn't, Queninosta, Tláloc, Libertad y Saber, Manuribadeo, Mat-drodes, Jiacontrerasp, Synthebot, Mrexcel, Reolgovi, Lucien leGrey, Luis1970, Tatvs, Vatelys, Matias111, IIM 78, Muro Bot, YonaBot,Srbanana, Mjollnir1984, SieBot, Mushii, Ctrl Z, Mignog, PaintBot, Ensada, Obelix83, Cobalttempest, OLM, RASECZENITRAM, Lean-drodiazezequiel, Drinibot, Novellón, Bigsus-bot, BOTarate, Barmes, Mel 23, Inri, Urbtecto~eswiki, Caronte.Rules, Manwë, Correogsk,Greek, BuenaGente, Tirithel, Mutari, **JDP**, Javierito92, HUB, Antón Francho, Nicop, Icabezud, Quijav, Makete, Eduardosalg, Veon,Neodop, Botellín, Leonpolanco, Charly genio, Botito777, LordT, Juan Mayordomo, Paporrubio, Frei sein, Raulshc, Açipni-Lovrij, Mi-ke.lifeguard, Damian cf, Kadellar, Ponchi182, Andrew diaz, UA31, Shalbat, Hermzz, AVBOT, LucienBOT, Gizbot, MastiBot, Geronime,Matematico2008, Angel GN, MarcoAurelio, Desde el planeta de los simios, Ialad, Ambil, Diegusjaimes, DumZiBoT, MelancholieBot,Arjuno3, Gallo Pinto, Raúl González Molina, Saloca, Madalberta, Andreasmperu, Luckas-bot, Piccard, Nallimbot, Roinpa, FariBOT,Jotterbot, Jesam, Yodigo, Yonidebot, Jamercues, Aacugna, GerGhiotti, Xaero476, Wikirom, ArthurBot, Clone2, SuperBraulio13, Xq-bot, Simeón el Loco, Jkbw, Rubinbot, Dreitmen, Santi Gomà, Ricardogpn, Kismalac, Torrente, C90182, Artlejandra, Botarel, Firulillo,D'ohBot, TiriBOT, MAfotBOT, Gusbelluwiki, Llsalcedo, Hprmedina, TobeBot, RedBot, Marsal20, Enrique Cordero, Jerowiki, TorQueAstur, PatruBOT, CVBOT, Frankwillis, Pincho76, Humbefa, AstroF7, Almamora, Proferichardperez, Foundling, Miss Manzana, Edslov,Afrasiab, EmausBot, Savh, ZéroBot, Hulp, Africanus, Negyek, Grillitus, Rubpe19, Wisho mayor Junior, Cencina~eswiki, Jcaraballo, WakaWaka, WikitanvirBot, Dactilos, Lawaya, Hiperfelix, Rufflos, Miguelectronico, Correogskmaya, Abián, MerlIwBot, Vagobot, EspaisNT,MetroBot, Invadibot, Alexandroverdugo, Óscar Becerril, Gabriela Ruellan, Jonhrafe, Acratta, Ovidio Santana Salvador, LlamaAl, Elvi-sor, Santga, Campo estético, Helmy oved, Facuman8, Remalbi2012, RosenJax, YFdyh-bot, ProfesorFavalli, Syum90, Legobot, Addbot,Balles2601, Pcarrilloalvarez, JacobRodrigues, Manoletito, Arstempo, Qhcd3967, Master-gelo, Ineditable, Jarould, Egis57, Faraones 2,2,Crystallizedcarbon, Sfr570, Juan Antonio León Ruiz, Tropicalkitty y Anónimos: 711

• Raíz cuadrada de dos Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada_de_dos?oldid=87308867 Colaboradores: Fibonac-ci, Rosarino, Richy, FAR, Taichi, Magister Mathematicae, Kokoo, GermanX, Heliocrono, Banfield, BOTpolicia, Qwertyytrewqqwerty,CEM-bot, Mcetina, Thijs!bot, Yeza, Gusgus, Soulbot, Homo logos, Muro de Aguas, R2D2!, Netito777, Muro Bot, Alexandrosas, PaintBot,Macarrones, Drinibot, Bigsus-bot, Rogersolano, Carabás, Dnu72, Leonpolanco, BetoCG, CestBOT, Juan Mayordomo, Raulshc, AVBOT,Elliniká, LucienBOT, Diegusjaimes, DumZiBoT, Ernesto Bueno, Andreasmperu, Amirobot, MystBot, Majora2, SuperBraulio13, Rcapsa-da, Xqbot, Jkbw, Rubinbot, Eviruena, Jean-François Clet, TiriBOT, Halfdrag, Marsal20, Jerowiki, Gapaciaa, Hirowe, EmausBot, Hk2 t,Thebiguserpratwiki, Grillitus, Rubpe19, Waka Waka, Wolfmaniaco, KLBot2, MetroBot, Gusama Romero, Acratta, Elvisor, YFdyh-bot,Gustavo Parker, Manuel Balarezo, MrCharro, Jarould, Jordiventura96, X2y3, Isaacverdeamarillo, Jpmdwiki y Anónimos: 69

5.15.2 Imágenes• Archivo:Animation_GoldenerSchnitt.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/Animation_

GoldenerSchnitt.gif Licencia: Public domain Colaboradores: No machine-readable source provided. Own work assumed (based oncopyright claims). Artista original: No machine-readable author provided. Akribix~commonswiki assumed (based on copyright claims).

• Archivo:Approximately_squaring_the_circle.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/95/Approximately_squaring_the_circle.svg Licencia: Public domain Colaboradores: Own creation using eukleides and inkscape. The eukleides code is asfollows: Artista original: GrafZahl

• Archivo:Archimedes_pi.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Archimedes_pi.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Leszek Krupinski (disputed, see File talk:Archimedes pi.svg)

• Archivo:Artículo_bueno.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/Art%C3%ADculo_bueno.svg Licencia:Public domain Colaboradores: Circle taken from Image:Symbol support vote.svg Artista original: Paintman y Chabacano

• Archivo:Broom_icon.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Broom_icon.svg Licencia: GPL Colaborado-res: http://www.kde-look.org/content/show.php?content=29699 Artista original: gg3po (Tony Tony), SVG version by User:Booyabazooka

• Archivo:Buffon_needle.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/58/Buffon_needle.svg Licencia: CC BY 2.5Colaboradores:

• Buffon_needle.gif Artista original: Buffon_needle.gif: Claudio Rocchini• Archivo:CircleArea.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/61/CircleArea.gif Licencia: CC-BY-SA-3.0 Cola-

boradores: Trabajo propio Artista original: kn• Archivo:Commons-logo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Licencia: Public do-

main Colaboradores: This version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions usedto be slightly warped.) Artista original: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version,created by Reidab.

• Archivo:Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/22/Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg Licencia: Public domain Colaboradores:Leonardo Da Vinci - Photo from www.lucnix.be. 2007-09-08 (photograph). Photograpy:Artista original: Leonardo da Vinci

5.15. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 45

• Archivo:Dodecaedro_rectangulos_aureos.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6e/Dodecaedro_rectangulos_aureos.png Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Homo logos

• Archivo:Egyptian_A'h-mosè_or_Rhind_Papyrus_(1065x1330).png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original:?

• Archivo:Euclides._Rectángulo_áureo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0e/Euclides._Rect%C3%A1ngulo_%C3%A1ureo.svg Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Euler’{}s_formula.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/71/Euler%27s_formula.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Drawn by en User:Gunther, modified by others. Artista original: Originally created by gunther using xfig, re-created in Inkscape by Wereon, italics fixed by lasindi.

• Archivo:Exp_derivative_at_0.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/Exp_derivative_at_0.svg Licencia:Public domain Colaboradores: en:Image:Exp derivative at 0.svg, user Dicklyon: “I made it by mangling E-derivative.svg, which was al-ready public domain.” Artista original: en:User:Dicklyon

• Archivo:Hyperbola_E.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Hyperbola_E.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0Colaboradores: Transferido desde en.wikipedia a Commons. Artista original: Cronholm144 de Wikipedia en inglés

• Archivo:Image-Golden_ratio_line.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Image-Golden_ratio_line.pngLicencia: Public domain Colaboradores: en:File:Golden ratio line.png Artista original: Eisnel

• Archivo:Irrationality_of_sqrt2.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/29/Irrationality_of_sqrt2.png Licen-cia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:John_Wallis_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/89/John_Wallis_by_Sir_Godfrey_Kneller%2C_Bt.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: National Portrait Gallery: NPG 578 Artista original:Según Sir Godfrey Kneller

• Archivo:Kepler_triangle.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Kepler_triangle.svg Licencia: Public do-main Colaboradores: Transferido desde en.wikipedia a Commons. Artista original: Vancho de Wikipedia en inglés

• Archivo:Leonhard_Euler.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/Leonhard_Euler.jpg Licencia: Public do-main Colaboradores:2. Kunstmuseum BaselArtista original: Jakob Emanuel Handmann

• Archivo:Leonhard_Euler_by_Handmann.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/03/Leonhard_Euler_by_Handmann.png Licencia: Public domain Colaboradores:Cropped from: http://www.euler-2007.ch/doc/Bild0015.pdfArtista original: JakobEmanuel Handmann

• Archivo:Liuhui_Pi_Inequality.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/34/Liuhui_Pi_Inequality.svg Licencia:CC BY-SA 3.0 Colaboradores:

• Liuhui_Pi_Inequality.jpg Artista original:• derivative work: Pbroks13 (talk)• Archivo:Matheon2.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Matheon2.jpg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colabo-

radores: Trabajo propio (own photo) Artista original: Holger Motzkau• Archivo:Metodo_Kochanski_aprox_pi.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/Metodo_Kochanski_

aprox_pi.svg Licencia: CC BY 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Nicolás Guarín• Archivo:Metodo_Mascheroni_aprox_pi.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/12/Metodo_Mascheroni_

aprox_pi.svg Licencia: CC BY 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Nicolás Guarín• Archivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/

NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: ? Artista original: ?• Archivo:Número_raiz_de_dos.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ec/N%C3%BAmero_raiz_de_dos.svg

Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Dnu72• Archivo:Pentagram2.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/Pentagram2.png Licencia: CC-BY-SA-3.0

Colaboradores: ? Artista original: ?• Archivo:Pi-CM.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f3/Pi-CM.svg Licencia: Public domain Colaboradores:

No machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims). Artista original: No machine-readable authorprovided. Phrood~commonswiki assumed (based on copyright claims).

• Archivo:Pi-unrolled-720.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Pi-unrolled-720.gif Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Edited version of Image:Pi-unrolled.gif. Artista original: John Reid

• Archivo:Pi_pie2.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Pi_pie2.jpg Licencia: Public domain Colaborado-res: Pi_pie2.jpg Artista original: GJ

• Archivo:Ptolemy_Pentagon.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/Ptolemy_Pentagon.svg Licencia: Pu-blic domain Colaboradores: Trabajo propio by en:User:Dicklyon Artista original: en:User:Dicklyon

• Archivo:Spanish_Wikiquote.SVG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/Spanish_Wikiquote.SVG Licencia:CC BY-SA 3.0 Colaboradores: derived from Wikiquote-logo.svg Artista original: James.mcd.nz

• Archivo:Square_root_of_2_triangle.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f2/Square_root_of_2_triangle.png Licencia: Public domain Colaboradores: en.wikipedia.org Artista original: en:User:Fredrik

• Archivo:Wiktionary-logo-es.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/06/Wiktionary-logo-es.png Licencia:CCBY-SA 3.0 Colaboradores: originally uploaded there by author, self-made by author Artista original: es:Usuario:Pybalo

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46 CAPÍTULO 5. RAÍZ CUADRADA DE DOS

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