VECTORES

Existen algunas magnitudes (de sumo interés para la Física) de las que que no basta decir cuánto valen, también importa saber hacia dónde apuntan. Ese tipo de magnitudes se llaman magnitudes vectoriales.

Magnitudes vectoriales típicas son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, y muchas otras.

Las que no son vectoriales se llaman escalares; por ejemplo, el volumen, la masa, la guita... fijate que alcanza un número (y una unidad) para indicar la magnitud. Si decimos esta botella tiene un volumen de 750 cc, no tiene gollete preguntar 750 cc hacia dónde.

Para representar esas magnitudes se inventaron unos instrumentos matemáticos llamadosvectores. Son flechitas cuya longitud indica la cantidad y su dirección y sentido, indica la dirección y el sentido de la magnitud que representan.

Las magnitudes vectoriales se pueden sumar y restar y multiplicar, pero estas operaciones son diferentes a las que conocemos para los números, y en algunos casos yn poquito más elaborados. Vamos de a una.

ELEMENTOS DE UN VECTOR

Los elementos o características de los vectores son: módulo, dirección y sentido (y en algunos casos punto de aplicación). El módulo (muchas veces también llamado intensidad) en la parte cuantitativa de la magnitud, cuánto vale. Se trata de un número positivo y una unidad. Por ejemplo un vector velocidad puede tener un módulo de6 m/s. La dirección y el sentido es lo que indica hacia dónde apunta. Nosotros distinguimos dos sentidos para cada dirección

SUMA DE VECTORES, RESULTANTE

Para no hacerlo tan árido voy a presentar las operaciones ejemplificadas. Voy a trabajar con vectores que representan fuerzas, operación que posee un potencial intuitivo que podemos aprovechar. Acá va:

magnitudesvectoriales

posiciónvelocidad

aceleraciónfuerza

impulso

magnitudesescalares

masavolumendensidadenergíatrabajopresión

Si dos personas hacen fuerzas en la misma dirección y sentido, sus fuerzas se suman. Los vectores que representan sus fuerzas también se suman y el resultado de esa suma se denomina Resultante, Res.

En este caso, la resultante tiene la misma dirección y sentido que las fuerzas originales y su módulo es igual a la suma de ellos.

Res  =  F1 + F2

ΣF = F1 + F2

   

Por ejemplo, si el grande empuja con una fuerza de 15 kgf y el chico con una fuerza de8 kgf, la cosa funciona como si hubiese una sola persona empujando con una fuerza de23 kgf . (23 = 15 + 8)

   

Si dos personas hacen fuerzas en la misma dirección pero con sentidos opuestos la resultante tendrá la misma dirección de ambas, el sentido de la más grande (módulo mayor) y su módulo será igual a la resta entre los módulos

ΣF = Res  =  F1 – F2

Fijate que la operación sigue llamándose suma. Y la resultante se sigue llamando sumatoria (no digas nunca restatoria porque se van a reír mucho de vos).

   

Por ejemplo, si el grande empuja con una fuerza de 15 kgf y el chico resiste con una fuerza de 8 kgf, la cosa funciona como si hubiese una sola persona empujando con una fuerza de 7 kgf . (7 = 15 – 8).

   

Imaginate que dos personas tiran de una caja con sogas. Ambos tirarn con fuerzas de distinta eintensidad, y también, con distinatsa direcciones.

La caja reacciona como si una sola soga estuviera tirando de ella, es la fuerzas resultante, que tendrá una dirección intermedia y un módulo que se puede obtener gráfica o analíticamente... y hay que aprender ambas modalidades.

Pero voy a destacar que la suma de vectores, salvo en los casos unidireccionales que te comenté arriba, no ocurre alegremente como si de números se tratara. Por ejemplo en nuestro caso el tipito rojo puede estar haciendo una fuerza de F1 = 15 kgf (la roja), el otro una de F2 = 8 kgf (la verde), y la resultante, o sea, la suma de ambas (que representé en azul) puede vale, digamos, 19 kgf , dependiendo del ángulo que forman F1 con F2.

   

Las operaciones con vectores (suma, resta y multiplicación) son necesarias para este curso. Al conjunto de operaciones se lo llama álgebra vectorial. En la página siguientes vas a encontrar el álgebra vectorial necesaria para este curso de física.

VECTORES Y VERSORES - MULTIPLICACION POR UN NUMERO

Los vectores pueden multiplicarse por un número (real) cualquiera. Por ejemplo, si tenemos un vector V y lo multiplicamos por 3, el resultado es un nuevo vector que tiene la misma dirección y el mismo sentido que V, y un módulo 3 veces mayor.

De modo que multiplicar por un número es una operación que sólo afecta al módulo de los vectores.

En muchos libros de texto a esta operación se la llama producto por un escalar(pero no lo confundas

 Los símbolos

para los vectores

contienen una flecha arriba de la letra.

con producto escalar, que es otra cosa).La operación la escribiríamos así (usando símbolos correctos para los vectores, es decir, con flechita arriba):

V . 3 = 3 V = U

El número por el que se multiplica no necesariamente debe ser entero. Por ejemplo:

V . 3,54 = 3,54 V

El número por el que se multiplica un vector puede ser negatiivo. En ese caso además de alterar el módulo, invierte el sentido.

 

No me salenpide

disculpas, pero HTML no

dispone de algunos símbolos

necesarios para los vectores.

El signo menos del escalar cambia el sentido original del vector de partida de la operación. Simbólicamente:

V . (-3) = -3 V = W

 

En esteapunte uséU, V, W... 

pero cualquier letra (con una flechita arriba) es apropiada

para representarun vector.

Esta operación permite expresar cualquier vector en función de otro. En particular, de otro vector cuyo módulo vale uno y sólo por eso recibe el nombre de versor.

Los versores son vectores cuyo módulo (o intensidad) vale 1. Los versores suelen indicarse con un sombrerito o con un bonete, en lugar de una flechita... pero no dejan de ser vectores como cualquier otro.

   

Así, si yo tengo un vector cualquiera, por ejemplo el vector A, me busco un versor que tenga su misma dirección y lo multiplico por su módulo. Por ejemplo, si el módulo de A vale 5...

A = 5 û

   

Se trata de un método práctico para construir vectores: partiendo de un versor que tenga la dirección y sentido necesario, se lo multiplica por un número y se obtiene el vector que uno quiera.

El versor, principalmente, contagia el carácter vectorial a un número. Esa es la idea.

SUMA DE VECTORES, MÉTODO GRÁFICO

Para sumar gráficamente dos vectores hay dos métodos que, en el fondo, son el mismo método. El primero se llama método del paralelogramo.

Consiste en colocar los dos vectores que se desean sumar en un mismo origen, luego construir un paralelogramo (un cuadrilátero que posee sus lados no consecutivos paralelos) tomando como lados los dos vectores.

   

El vector suma es aquel que tiene origen en el mismo origen de los vectores que se suman y extremo en el vértice opuesto del paralelogramo. Coincide así, con una de las diagonales del paralelogramo.

A + B = S

   

La otra diagonal se corresponde con la resta de los vectores. La resta no es conmutativa, con los vectores tampoco:

B – A = R1

A – B = R2

   

El segundo método de sumar vectores se llama método de la poligonal y consiste en dibujar un vector a continuación de otro:

   

Lo que tiene de bueno el método de la poligonal es que se puede iterar repetidas veces sin mucha dificultad para sumar un número grande de vectores. (Un poco más laborioso es el del paralelogramo.

El vector suma, también suele llamarse resultante.

   

 La suma sí es conmutativa, y es fácil ver (miralo en el gráfico de suma por el método del paralelogramo) que A + B = B + A = S.

 

CHISMES IMPORTANTES:  

Si te cuesta resolver la resta, podes probar convertirla en una suma, que es más fácil. Por ejemplo, no sabés cuál de los sentidos (R1 o R2) es el correcto para resolver la resta A – B. Entonces te puede resultar más sencillo resolver la suma A+(–B). ¿Te cierra ahora?

DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES

Para poder operar analíticamente con vectores (por ejemplo hacer sumas y restas) es apropiado previamente hacer una descomposición, en componentes paralelas a los ejes de un sistema de referencia. El mejor modo de explicar qué significa todo esto es mortrar cómo se hace, paso a paso. Aquí va:

Supongamos que tenemos el vector A, que podría representar cualquier magnitud vectorial: una fuerza, una velocidad, una aceleración... Para descomponerlo necesitamos primero un sistema de referencia, x-y, que ya coloqué acá.

Por el extremo de A trazo rectas paralelas a los ejes delSR.

   

     Cuando esas rectas cortan los ejes queda definido un punto (llamado coordenada) que es el extremo de los vectores componentes de A.

Entonces quedan definidas las componentes de A, también llamadas proyecciones de A sobre los ejes delSR.

 

En el ejemplo, el módulo

deAx vale 7 y el módulo

de Ayvale 2.

La componente de A sobre el eje x suele recibir el nombre Ax. Y la componente sobre el eje y, Ay.

 En el ejemplo,

el módulo

Entre el vector original y sus componentes hay establecidas ciertas relaciones matemáticas, por ejemplo la relación pitagórica:

Ax² + Ay² = A²

Si te cabe duda de de dónde viene eso, prestale atención al triangulito sombreado:

deA resulta valer7,28

Y también deberás admitir que:

sen α = Ay / A

cos α = Ax / A

tg α = Ay / Ax

  En el ejemplo, el valor

de αresulta 16°

Y lo más interesante que tienen las componentes es que (si recordás el asunto de la suma de vectores por el método de la poligonal o por el método del paralelogramo) la suma de las componente es igual al vector original.

          Ax + Ay = A       (¡Ojo! ¡esto que acabo de escribir es una suma vectorial!)

O sea que la descomposición de vectores es la operación inversa de la suma.

 

Acá se ve qué importante sería contar con flechitas para colocar arriba de las

letras...

El broche de oro. Si para cada eje hubiéramos definido previamente un versor, entonces podríamos expresar lal vector A de esta manera:

A = 7 î + 2 ĵ

donde î y j son los nombres habituales que reciben los versores de eje x e y respectivamente.

   

La combinación de estas dos operaciones (expresión con múltiplo de un versor y suma) nos ofrece un método apropiado para la operación analítica con vectores.

  

CHISMES IMPORTANTES:   

Si los los ejes del sistema de referencia no fuesen ortogonales (es decir: no formasen 90° entre sí) no habría inconveniente en hacer descomposiciones y luego sumas o restas. Qué loca es la matemática.

SUMA ANALITICA DE VECTORES

En las páginas anteriores llegamos a la conclusión de que un buen método para expresar analíticamente un vector es la siguiente:

V = Vx î + Vy ĵ

donde V es el vector que queda expresado en la forma analítica; Vx y Vy son las coordenadas de los ejes x e y respectivamente; î y ĵ son los versores en cada eje.

Inventemos un ejemplo: los vectores A y B se expresarán de esta manera:

A = 7 î + 2 ĵ

B = î + 4 ĵ

   

Expresados de esta manera, hallar el vector suma de A y B es muy sencillo.    

Basta con sumar los segundos miembros componente a componente:

S = 8 î + 6 ĵ

Ya que (7 î + î = 8 î ) y (2 ĵ + 4 ĵ = 6 ĵ ).

   

La explicación de esto es muy sencilla, y podés encararla por dos caminos. Para que los entiendas más fácil dibujé uno de los vectores, el B, a continuación del otro.

   

Así se ve, claramente, que S es la suma de A y B. Además dibujé dos triangulitos debajo de cada vector que se suma, para que tengas en cuenta los catetos, que no son otros que las descomposiciones, las proyecciones x ey de cada vector.

Si tenemos éxito, entonces, te habrás dado cuenta de que la componente x del vector suma es igual a la suma de los componentes x de cada vector que se suma. Y lo mismo para las componentes y. ¿Te cerró?

   

    

CHISMES IMPORTANTES:     En mis clases postergo todo lo que puedo la enseñanza del álgebra vectorial hasta que

se torna imprescindible. Pese a que los físicos afirman que la cinemática y la dinámica son totalmente vectoriales (y tienen razón), yo opino que se puede hacer una cinemática muy rica y útil sin necesidad de vectores, y que la vectorialización temprana es un estorbo muchas veces desmoralizador.

PRODUCTO ENTRE VECTORES (multiplicación entre vectores)

Por el contrario que los escalares, los vectores pueden multiplicarse de dos maneras diferentes: producto escalar y producto vectorial.

El producto escalar es una operación de multiplicar dos vectores cuyo resultado deja de ser un vector: el producto se transforma en un escalar (un número más su unidad si correspondiera).

El producto vectorial es una operación diferente a la anterior, y el resultado es un nuevo vector que tiene todas las características de los vectores.

 Producto escalar

Dos vectores cualesquiera (por ejemplo uno que representa una fuerza y otro que representa un desplazamiento) se pueden multiplicar entre sí de esta manera.

A . B = c

Donde A es un vector, B es el otro vector y c es el resultado: un escalar. La operación se puede realizar de dos maneras (absolutamente equivalentes). Modo uno, conociendo los módulos de los vectores A y B, y , α, el ángulo que forman entre sí.

A . B = |A| . |B| . cos α = c

Fijate que todo se resume a un producto entre 3 escalares, ya que los módulos de los vectores -|A| y |B|- son escalares, y los cosenos idem. Luego, el resultado, c, no puede ser otra cosa que un escalar.

El segundo modo, equivalente al primero, lo usás cuando no conocés el ángulo que forman los vectores que vas a multiplicar escalarmente ni sus módulos... pero conocés las componentes (o proyecciones de cada vector):

A = ax î + ay ĵ

B = bx î + by ĵ

A . B = ax . bx + ay . by = c

Fijate que se trata de la suma de dos productos entre dos escalares (las componentes sin los versores), de modo que el resultado debe ser un escalar.

Mirá este ejemplo muy usado en Física Elemental:

El trabajo, W (que se mide en joules, J), se define como el producto escalar entre la fuerza F(constante) que actúa sobre un cuerpo y el desplazamiento, d, del cuerpo.

W = F . d = |F| . |d| . cos (F^d)

(Tenés más información sobre este ejemplo acá).

   

     

Producto vectorial (también llamado producto interno)

Dos vectores cualesquiera (por ejemplo uno que representa una velocidad angular y otro que representa una posición) se pueden multiplicar entre sí de esta manera.

A x B = V

Donde A es un vector, B es el otro vector y V es el resultado: un nuevo vector. La operación se puede realizar de dos maneras (absolutamente equivalentes). Modo uno, conociendo los módulos de los vectores A y B, y , α, el ángulo que forman entre sí.

A x B = |A| . |B| . sen α = V

Donde V es el vector resultado de la operación y cuya dirección es perpendicular al plano que forman A y B, y el sentido está señalado por el dedo pulgar de la mano derecha, el índice al primer vector y el mayor al segundo (el producto vectorial no es conmutativo: A x B = — B x A ).

El segundo modo, equivalente al primero, lo usás cuando no conocés el ángulo que forman los vectores que vas a multiplicar vectorialmente ni sus módulos... pero conocés

   

las componentes (o proyecciones de cada vector):

A x B = ( ax + ay ) î x ( bx + by) ĵ = V k

donde k es el versor (de módulo 1, naturalmente) perpendicular al plano x-y, o sea, perpendicular a î y perpendicular a ĵ. (Debe escribirse con sombrerito* igual que los otros versores, pero no hallé el símbolo en lenguaje HTML, de internet, así que si vos lo encontrás no dejes de enviármelo).

Te lo hago más simple:

|A x B| = ( ax + ay ) x ( bx + by) = V

Así encontramos el módulo del vector buscado y la dirección y sentido la sacás con la regla de la mano derecha.

Mirá este otro ejemplo:

El momento angular (o torque), M, es una magnitud vectorial (aunque no le demos demasiada importancia en la Física Elemental). Y resulta del producto vectorial entre la fuerza,F, que actúa sobre un cuerpo y la distancia d, en la que produce su efecto (generalmente un giro).

M = F x d

M = |F| . |d| . sen (F^d)

El momento angular es una magnitud que se utiliza mucho en la estática de los cuerpos extensos.

   

El producto vectorial lo vas a utilizar muy poco (o nada) en los cursos de Física Elemental. El escalar sí.

   

     

*sombrerito es el nombre coloquial del acento circumflexo.   

CHISMES IMPORTANTES:   

Fijate que para distinguir ambos tipos de producto usamos el símbolo "." para el producto escalar y el símbolo "x" para el vectorial.

Conclusiones triviales: el producto escalar entre dos vectores perpendiculares vale cero, y el producto vectorial entre dos vectores paralelos es un vector nulo. Aunque triviales, estas propiedades se usan a veces para encontrar perpendicularidad o paralelismo entre vectores (creeme).

 PREGUNTAS CAPCIOSAS:

¿Cúanto vale el producto escalar de un vector caulquiera por sigo mismo? ¿Cúanto vale el producto vectorial de un vector caulquiera por sigo mismo?

En un espacio tridimensional x-y-z, ¿cuál es el resultado de multiplicar dos versores cualesquiera entre sí?

basta de vectores, por favor...