VECTORES LIBRES

En ciencias, cantidades fsicas tales como fuerza, velocidad, desplazamiento (movimiento de una partcula de un lugar a otro) y la aceleracin se describen por medio de una magnitud y una direccin. El trmino vector se emplea para identificar dichas cantidades. Para ayudar a construir la idea intuitiva iniciemos con una analoga entre los nmeros racionales y los vectores. Sabemos que las razones etc., son razones distintas que representan un mismo nmero racional. Veremos en la figura 3.1. Que diferentes segmentos de recta dirigidos pueden representar un mismo vector.

Usualmente representamos un nmero racional con la razn simplificada, en este caso escogemos Geomtricamente un vector puede representarse como un segmento dirigido o flecha. La longitud del segmento denota la magnitud del vector, por ejemplo una fuerza de 8 Newton puede representarse por una flecha de 8 unidades de largo y en la misma direccin de la fuerza. Todos esos segmentos de lnea dirigidos representan el mismo vector. Geomtricamente son distintos conjuntos de puntos pero como representaciones de vectores son iguales.

Fig 3.1

DEFINICIN 3.1

Dos segmentos de recta dirigidos (flechas) con longitudes no nulas representan el mismo vector si y slo si tienen la misma longitud y la misma direccin. Para denotar los vectores libres usaremos letras latinas con una barra encima. Si el punto inicial y terminal del vector son los puntos A y B respectivamente, tambin podemos escribir

Fig 3.2

SUMA DE VECTORESExisten dos procedimientos que se pueden emplear para la suma de vectores. Como se observa en la figura 3.3, se dibuja el vector desde el punto terminal de se dibuja el vector, el vector es el vector que va desde el punto inicial de hasta el punto terminal de. Este mtodo de suma de vectores se conoce como la REGLA DEL TRINGULO.

Un mtodo alternativo equivalente es la REGLA DEL PARALELOGRAMO (figura 3.3) dibujamos las representantes de los vectores y desde el mismo punto (se hacen coincidir los puntos iniciales de y) y se completa el paralelogramo, la diagonal trazada desde el punto comn representa la suma.

Metodo del triangulo

Metodo del paralelogramo

Fig 3.3

En la figura 3.3 podemos observar de la regla del tringulo que la suma de vectores es conmutativa, es decir, .

La magnitud o longitud del vector se denota por. La direccin del vector se denota por dir. Si y son vectores tales que dibujados desde un mismo punto inicial forman un ngulo de 180 escribiremos que y diremos que la direccin de es opuesta a la direccin de.

Fig. 3.4

El vector cero representado por , es un vector que tiene longitud cero. El vector cero no tiene direccin. Por la regla del tringulo para la suma tenemos que.

Para cualquier vector, diferente del vector cero definimos (se lee menos , opuesto de v o inverso aditivo de v) como el vector tal que cumple las siguientes condiciones:a.

b.

Si , entonces .De la regla del tringulo para la suma de vectores tenemos que .

Fig. 3.5

Si dos vectores libres y son paralelos y tienen igual longitud, entonces o . Observando las direcciones de las flechas podemos deducir si o .

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Como todo vector libre tiene un inverso aditivo podemos definir la resta de los vectores y as

Fig. 3.6

Una forma alternativa de hacer la resta de los vectores y

Fig. 3.7

La figura 3.7 se obtiene al complementar el paralelogramo en la figura 3.6 por lo tanto para hacer la diferencia de los vectores y se puede proceder as:a. Construimos los vectores y de tal manera que sus puntos iniciales coincidan.b. El vector diferencia es un vector que tiene por punto inicial al punto terminal del vector (vector sustraendo) y por punto terminal al punto terminal del vector (vector minuendo).