28/12/2015

1

Vectores 1) Vectores en 𝑹𝟐

• Vector fijo en el plano • Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido,

origen y extremo) • Vectores equipolentes • Vector libres • Propiedad fundamental de los vectores libres • Definición de vectores • Operaciones ( gráficas) de vectores libres.

Vectores 2)Coordenadas y base

• Combinación lineal • Vectores linealmente dependiente • Bases. Bases canónica

3) Sistema de referencia Euclídeo • Vector de posición • Coordenadas de un vector fijo y libre • Operaciones analíticas de vectores • Módulo y argumento • Punto medio de un segmento. • Puntos alineados.

28/12/2015

2

Vectores 4) Producto escalar

• Producto escalar

• Propiedades

• Expresión analítica del producto escalar

• Interpretación geométrica

• Ángulo de dos vectores

1) Vectores en 𝑅2 • Vector fijo en el plano

28/12/2015

3

• Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido, origen y extremo)

Ejercicio: relaciona los vectores fijos siguientes. Fíjate en dirección, sentido y módulo

28/12/2015

4

• Vectores equipolentes

• Vector libres

28/12/2015

5

• Propiedad fundamental de los vectores libres

• Definición de vectores

• Vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (o extensión) nulo. Se representa como 0 .

• Vector unitario tienen de módulo la unidad.

Normalizar un vector consiste en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para normalizar un vector se divide éste por su módulo.

• Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si sus direcciones son perpendiculares ( forman 90°); es decir si su producto escalar es cero.

• Dos vectores son opuestos , si tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

• Vectores concurrentes tienen el mismo origen.

• Dos vectores son ortonormales si: Son ortogonales (Su producto escalar es cero.) y si los dos vectores son unitarios.

28/12/2015

6

• Operaciones ( gráficas) de vectores libres.

28/12/2015

7

2) Coordenadas y base • Combinación lineal

El vector 𝑎 se dice que es combinación lineal (C.L.) de los vectores 𝑢, 𝑣 si existe dos números reales 𝛼 , 𝛽 𝜖 𝑅 que cumplan

𝑎 = 2𝑢 + 4𝑣

𝑎 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣

• Vectores linealmente dependiente

Los vectores 𝑎 , 𝑢 , 𝑣 se dice que son linealmente dependiente (L.D.) si existe entre ellos una combinación lineal; es decir, si existe dos números reales 𝛼 , 𝛽 𝜖 𝑅 que cumplan 𝑎 = 𝛼 ∙ 𝑢 + 𝛽 ∙ 𝑣

𝑎 = 2𝑢 + 4𝑣

𝑎 , 𝑢 , 𝑣 son L.D

28/12/2015

8

SÍ

Indica una combinación lineal entre ellos

¿Son linealmente dependientes los vectores de la figura?

𝑤 = 3𝑣 + 2𝑢

¿Existe otra combinación lineal entre ellos?

SÍ 𝑤 − 2𝑢 = 3𝑣

𝑤 − 2𝑢

3= 𝑣

𝑣 = 1

3𝑤 −

2

3𝑢

𝑤 = 3𝑣 + 2𝑢

Dos vectores 𝑎 , 𝑢 se dice que son linealmente dependiente (L.D.) si existe un números reales 𝛼 𝜖 𝑅 que cumplan 𝑎 = 𝛼 ∙ 𝑢

𝒂

𝒃

𝒄

= 𝟐 ∙ 𝒂

= −𝟏

𝟐∙ 𝒂

𝒂 𝒚 𝒃 (L.D.)

𝒂 𝒚 𝒄 (L.D.)

Dos vectores 𝑎 , 𝑢 se dice que son linealmente dependiente (L.D.) tiene la misma dirección

Dos vectores 𝑎 , 𝑢 se dice que son linealmente independiente (L.I.) NO tiene la misma dirección

28/12/2015

9

Dados dos vectores libres 𝑢, 𝑣 con diferente dirección; es decir (L.I.), cualquier otro vector 𝑤 se puede expresar como combinación lineal (C.L) de ellos;

𝑏 = 𝑢 + 𝑣

• Bases.

En este caso, se dice que B= 𝑢, 𝑣 es una base y que 𝛼 , 𝛽 son las coordenadas de 𝑤 respecto a la base B

B= 𝑣 , 𝑢 es una base

𝒃

Indica una combinación lineal

del vector 𝒃 con respecto a la base B= 𝑢, 𝑣

Indica una las coordenadas del

vector 𝒃 respecto a la base B= 𝑢, 𝑣

𝑏 = (1 , 1)

𝑊 = 𝛼 ∙ 𝑢 + 𝛽 ∙ 𝑣

𝒄

𝑐 = −3𝑢 + 𝑣 𝑐 = (−3 , 1)

?

Las coordenadas del vector 𝐵𝐶 respecto a la base B= 𝑢, 𝑣 es 𝐵𝐶=(3,-3)

28/12/2015

10

Prueba corta 1) Expresa los vectores 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 en función de 𝑢 y 𝑣

2)

Si los vectores que forman la base tienen direcciones perpendiculares se dice que es una base ortogonal, y si además sus módulos son unitarios, la base es ortonormal

La base canónoca está formada por los vectores 𝑖 , 𝑗

• Base canónica

28/12/2015

11

Combinación lineal del vector 𝒂 con respecto a la base canónica B= 𝑖 , 𝑗

𝑎 = 4𝑖 + 3𝑗

Las coordenadas del vector 𝒂 respecto a la base canónica B= 𝑖 , 𝑗

𝑎 = (4 , 3)

3) Sistema de referencia Euclídeo • Vector de posición

28/12/2015

12

• Coordenadas de un vector fijo y libre respecto al sistema de referencia Euclídeo

1º) Actividad en clase. Demostración

2º) Actividad en clase. Encontrar de forma razonada los puntos M1 y M2 puntos que dividen tren partes iguales un segmento