vectores
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Vectores. CAPÍTULO 7. Contenidos. 7.1 Vectores en 2 Dimensiones 7.2 Vectores en 3 Dimensiones 7.3 Producto Escalar 7.4 Producto Vectorial 7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones 7.6 Espacios Vectoriales 7.7 Proceso de Ortogonalización de Gram -Schmidt. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Vectores
CAPÍTULO 7
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Contenidos
• 7.1 Vectores en 2 Dimensiones• 7.2 Vectores en 3 Dimensiones• 7.3 Producto Escalar• 7.4 Producto Vectorial• 7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones• 7.6 Espacios Vectoriales• 7.7 Proceso de Ortogonalización de
Gram-Schmidt
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7.1 Vectores en 2 Dimensiones
• Repaso de VectoresVuelva a la Fig 7.1 después de la Fig 7.6.
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Fig 7.1 (Vectores geométricos)
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Fig 7.2 (Vectors equivalentes)
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Fig 7.3 (Vectores paralelos)
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Fig 7.4 (suma)
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Fig 7.5 (resta)
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Fig 7.6 (vectores de posición)
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Ejemplo 1
• Observe la Fig 7.7.Fig 7.7
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Sea a = <a1, a2>, b = <b1, b2> vectores en R2
(i) Suma: a + b = <a1 + a2, b1 + b2> (1)(ii) Producto por un escalar: ka = <ka1, ka2>,
k es un escalar (2)(iii)Igualdad: a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2 (3)
DEFINICIÓN 7.1
Suma, Producto por un Escalar, Igualdad
a – b = <a1− b1, a2 − b2> (4)
1 2 2 1 2 1 2 1,PP OP OP x x y y ������������������������������������������
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Solución Gráfica
• Fig 7.8 ilustra las solucones gráficas de suma y resta de dos vectores.
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Ejemplo 2
Si a = <1, 4>, b = <−6, 3>, hallar a + b, a − b, 2a + 3b.Solución Usando (1), (2), (4), tenemos
17,169,188,232
1,734),6(1
7,534),6(1
ba
ba
ba
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Propiedades
• (i) a + b = b + a(ii) a + (b + c) = (a + b) + c(iii) a + 0 = a(iv) a + (−a) = 0(v) k(a + b) = ka + kb k escalar(vi) (k1 + k2)a = k1a + k2a k1, k2 escalares(vii) k1(k2a) = (k1k2)a k1, k2 escalares(viii) 1a = a(ix) 0a = 0 = <0, 0>
• 0 = <0, 0>
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Longitud, Norma
• a = <a1 , a2>, entonces
Naturalmente, tenemos ||a|| 0, ||0|| = 0
22
21|||| aa a
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Vector Unitaros
• Un vector cuya norma vale 1 se denomina vector unitario. u = (1/||a||)a es un vector unitario, puesto que
1||||||||
1||||
1|||| a
aa
au
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Ejemplo 3
• Dado a = <2, −1>, el vector unitario en la misma dirección u es
y
51
,5
21,2
51
51 au
51
,5
2 u
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Los vectores i, j
• Si a = <a1, a2>, entonces
(5)
Sea i = <1, 0>, j = <0, 1>, entonces (5) se transforma en
a = a1i + a2j (6)
1,00,1,00,
,
2121
21
aaaa
aa
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Fig 7.10
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Ejemplo 4
• (i) <4, 7> = 4i + 7j(ii) (2i – 5j) + (8i + 13j) = 10i + 8j(iii) (iv) 10(3i – j) = 30i – 10j(v) a = 6i + 4j, b = 9i + 6j son paralelos
y b = (3/2)a
2|||| ji
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Ejemplo 5
Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b SoluciónFig 7.11
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7.2 Vectores en 3 Dimensiones
• RepasoVualva a la Fig 7.22 después de la Fig 7.24.
• Fig 7.22
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Fig 7.23
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Fig 7.24
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Ejemplo 1
Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0).Solución Fig 7.25.
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Formula de Distancia
(1)
• Fig 7.26
212
212
21221 )()()(),( zzyyxxPPd
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Ejemplo 2
Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)Solución
29)46())7(3())1(2( 222 d
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Formula del Punto Medio
(2)
2,
2,
2212121 zzyyxx
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Ejemplo 2
Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)SoluciónDe (2), tenemos
5 ,5 ,21
246
,2
)7(3,
2)1(2
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Vectores en 3 Dimensiones
• Fig 7.27.
321 ,, aaaa
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Sea a = <a1, a2 , a3>, b = <b1, b2, b3 > en R3
(i) a + b = <a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3>(ii) ka = <ka1, ka2, ka3>(iii) a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3
(iv) –b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3>(v) a – b = <a1 − b1, a2 − b2, a3 − b3>(vi) 0 = <0, 0 , 0>(vi)
DEFINICIÓN 7.2
Definiciones en 3 Dimensiones
23
22
21|||| aaa a
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Fig 7.28
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Ejemplo 4
Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3)Solución
5,2,3
)2(3,68,411221 OPOPPP
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Ejemplo 5
• De la Definición 7.2, tenemos
149
369476
73
72
||||222
a
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Los vectores i, j, k
• i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1>
a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j + a3j
1,0,00,1,00,0,1
,0,00,,00,0,
,,
321
321
321
aaa
aaa
aaa
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Fig 7.29
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Ejemplo 6a = <7, −5, 13> = 7i − 5j + 13j
Ejemplo 7(a) a = 5i + 3k está en el plano xz(b)
Ejemplo 8Si a = 3i − 4j + 8k, b = i − 4k, hallar 5a − 2b
Solución5a − 2b = 13i − 20j + 48k
3435||35|| 22 ki
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7.3 Producto Escalar
El producto escalar de a y b es el escalar
(1)
donde es el ángulo que forman los vectores 0 .
DEFINICIÓN 7.3 Producto Escalar de Dos Vectores
cos|||||||| baba .
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Fig 7.32
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Ejemplo 1
• De (1) obtenemos
i i = 1, j j = 1, k k = 1(2)
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Producto Escalar en Forma de Componentes
(3)
(4)
• Fig 7.33
cos||||||||2|||||||||||| 22 baabc
222 ||||||||||(||2/1cos|||||||| cabba
332211 bababa ba.
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Fig 7.33
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Ejemplo 2
• Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k, entonces
21)3)(6()4)(2(21
)10(
ba.
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Propiedades
• (i) a b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0(ii) a b = b a(iii) a (b + c) = a b + a c (iv) a (kb) = (ka) b = k(a b)(v) a a 0(vi) a a = ||a||2
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Orthogonal Vectors
• (i) a b > 0 si y sólo si es agudo(ii) a b < 0 si y sólo si es obtuso (iii) a b = 0 si y sólo si cos = 0, = /2
• Observación: Como 0 b = 0, decimos que el vector nulo es ortogonal a todos los vectores.
Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y sólo si a b = 0.
TEOREMA 7.1Criterio de Vectores Ortogonales
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Ejemplo 3 i, j, k son vectores ortogonales.i j = j i = 0, j k = k j = 0, k i = i k = 0
(5)
Ejemplo 4Si a = −3i − j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entonces
a b = –6 – 14 + 20 = 0Son ortogonales.
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Ángulo que Forman Dos Vectores
(6)||||||||
cos 332211
babababa
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Ejemplo 5
Hallar el ángulo entre a = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k.
Solución14,27||||,14|||| baba .
942
271414
cos
44.9
77.0942
cos 1
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Cosenos DirectoresObservando la Fig 7.34, los ángulos , , se llaman ángulos directores. Ahora por (6)
decimos que cos , cos , cos son cosenos directores, y
cos2 + cos2 + cos2 = 1
||k||||a||ka
||j||||a||ja
||i||||a||ia ... cos,cos,cos
||a||||a||||a||321 cos,cos,cosaaa
kjik||a||
j||a||
i||a||
a||a||
)(cos)(cos)(cos1 321 aaa
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Fig 7.34
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Ejemplo 6
Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de a = 2i + 5j + 4k.Solución
5345452|||| 222 a
534
cos,53
5cos,
532
cos
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Componentes de a en b
• Como a = a1i + a2j + a3k, entonces(7)
Escribimos los componentes de a como(8)
Observe la Fig 7.35. El componente de a en cualquier vector b es
compba = ||a|| cos (9)escribiendo (9) como
(10)
kajaia ... 321 ,, aaa
,comp iaai . ,comp jaaj . kaak .comp
bba
bb
a
bba
bba
ab
||||1
||||||||cos||||||||
comp
.
.
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Fig 7.35
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Ejemplo 7
Sea a = 2i + 3j – 4k, b = i + j + 2k. Hallar compba y compab.
SoluciónDe (10), a b = −3
)2(6
1||||
1,6|||| kjibb
b
63
)2(6
1)432(comp kjikjiab .
)432(291
||||1
,29|||| kjiaa
a
293
)432(291
)2(comp kjikjibb .
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Interpretación Física
• Observe la Fig 7.36. Si F produce un desplazamiento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es
W = F d(11)
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Fig 7.36
![Page 57: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/57.jpg)
Ejemplo 8
Sea F = 2i + 4j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a(4, 6), hallar el trabajo realizado por F.Solución d = 3i + 5j
W = F d = 26 N-m
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Proyección de a sobre b
• Observe la Fig 7.37. La proyección de a sobre i es
• Observe la Fig 7.38. La proyección de a sobre b es
(12)b
bb
bab
b
1aa bb
)(compproy
iaiiaiaa ii 1)()(compproy
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Fig 7.37
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Fig 7.38
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Ejemplo 9
Hallar la proyección de a = 4i + j sobre b = 2i + 3j.
Solución13
11)(2
131
)(4comp 3jijiab
jijiab 13
33
13
22)3(2
13
1
13
11proy
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Fig 7.39
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7.4 Cross Product
El producto vectorial de dos vectores a y b es(1)
donde es el ángulo entre ellos, 0 , y nes un vector unitario perpendicular al plano de a y b Con la dirección que viene dada por la regla de la mano derecha.
DEFINICIÓN 7.4
Producto Vectorial de Dos Vectores
nbaba )sin||||||(||
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Fig 7.46
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Ejemplo 1• Para entender el sentido físico del producto
vectorial, observe las Fig 7.37 y 7.48. El momento producido por la fuerza F que actúa en la posición final del vector r está dado por = r F.Fig 7.47 Fig 7.48
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Propiedades
• (i) a b = 0, if a = 0 or b = 0(ii) a b = −b a(iii) a (b + c) = (a b) + (a c)(iv) (a + b) c = (a c) + (b c)(v) a (kb) = (ka) b = k(a b)(vi) a a = 0(vii) a (a b) = 0(viii) b (a b) = 0
Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y sólo sisi a b = 0.
TEOREMA 7.2Criterio de Vectroes Paralelos
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Ejemplo 2• (a) De propiedades (iv)
i i = 0, j j = 0, k k = 0 (2)
(b) Si a = 2i + 3j – k, b = –6i – 3j + 3k = –3a, entonces a y b son paralelos. Así a b = 0
• Si a = i, b = j, entonces
(3)
Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k. Por lo que i j = k
nnjiji
2sin||||||||
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Ejemplo 3
• De Fig 7.49, tenemos
(4)
(ii) propiedad la dey
jik
ikj
kji
jki
ijk
kii
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Fig 7.49
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Alternative Definition
• Como
(5)
tenemos(6)
)()()(
)()()(
)()()(
)(
)()(
)()(
332313
322212
312111
3213
32123211
321321
kkjkik
kjjjij
kijiii
kjik
kjijkjii
kjikjiba
bababa
bababa
bababa
bbba
bbbabbba
bbbaaa
kjiba )()()( 122113312332 babababababa
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También podemos escribir (6) como
(7)
Por otro lado, (7) se transforma en
(8)
kjiba21
21
31
31
32
32
bb
aa
bb
aa
bb
aa
321
321
bbb
aaa
kji
ba
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Ejemplo 4
Sea a = 4i – 2j + 5k, b = 3i + j – k, hallar a b.SoluciónDe (8), tenemos
kji
kji
ba
13
24
13
54
11
52
113
524
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Productos Especiales
• Tenemos
(9)
se denomina el producto mixto. Los resultados siguientes se dejan como ejercicio.
(10)
321
321
321
)(
ccc
bbb
aaa
cba.
cbabcacba )()()( ..
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Area y Volumen
• Area de un paralelograma A = || a b|| (11)
Area de un triánguloA = ½||a b|| (12)
Volumen del paralelepípedo V = |a (b c)| (13)
Fig 7.50 y Fig 7.51
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Fig 7.50
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Fig 7.51
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Ejemplo 5
Hallar el area del triángulo definido por los puntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0, –1).SoluciónUsando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemos dos vectores a = <1, 2, 3>, b = <2, –1, –2>
kji
kji
kji
58
31
21
51
31
53
32
531
3213221
PPPP
1023
||58||21 kjiA
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Vectores Coplanarios
a (b c) = 0 si y sólo si a, b, c son coplanarios.
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7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones
• Rectas: Ecuación VectorialFig 7.55. Hallamos que r2 – r1 es paralelo a r – r2, entonces r – r2 = t(r2 – r1) (1)Si escribimos
a = r2 – r1 = <x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1> = <a1, a2, a3> (2)
luego (1) implica que una ecuación vectorial para la recta es
r = r2 + tadonde a se llama vector director.
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Fig 7.55
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Ejemplo 1Hallar una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, –1, 8) y (5, 6, –3).SoluciónDefinimos a = <2 – 5, –1 – 6, 8 – (– 3)> = <–3, –7, 11>.Las siguientes ecuaciones son tres posibles ecuaciones vectoriales de la recta:
(3)
(4)
(5)
11,7,38,1,2,, tzyx
11,7,33,6,5,, tzyx
11,7,33,6,5,, tzyx
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Ecuación Paramétrica
• También podemos escribir (2) como
(6)
las ecuaciones (6) se denominan ecuaciones paramétricas .
tazztayytaxx 322212 ,,
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Ejemplo 2
Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta del Ejemplo 1.SoluciónDe (3), se tiene
x = 2 – 3t, y = –1 – 7t, z = 8 + 11t (7)
De (5),
x = 5 + 3t, y = 6 + 7t, z = –3 – 11t (8)
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Ejemplo 3
Determinar un vector a que sea paralelo a la recta:
x = 4 + 9t, y = –14 + 5t, z = 1 – 3tSolución
a = 9i + 5j – 3k
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Ecuación continua
• De (6)
siendo ai son no nulos. Entonces
(9)
se dice que es una ecuación continua.
3
2
2
2
1
2
azz
ayy
axx
t
3
2
2
2
1
2
azz
ayy
axx
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Ejemplo 4
Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por(4, 10, −6) y (7, 9, 2)SoluciónDefinimos a1 = 7 – 4 = 3, a2 = 9 – 10 = –1, a3 = 2 – (–6) = 8, luego
82
19
37
zyx
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Ejemplo 5
Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por(5, 3, 1) y (2, 1, 1)SoluciónDefinimos a1 = 5 – 2 = 3, a2 = 3 – 1 = 2, a3 = 1 – 1 = 0,luego
1,2
33
5 zyx
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Fig 7.56
![Page 89: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/89.jpg)
Ejemplo 6
Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua para la recta que pasa por (4, 6, –3) y es paralela a a = 5i – 10j + 2k.SoluciónEc. Vectorial: <x, y, z> = < 4, 6, –3> + t(5, –10, 2)
Ecs. Paramétricas : x = 4 + 5t, y = 6 – 10t, z = –3 + 2t, Ec. Continua:
23
106
54 zyx
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Planos: Ecuación Vectorial
• Fig 7.57(a) ilustra el concepto del vector normal a un plano. Cualquier vector del plano debe ser perpendicular al vector normal, esto es
n (r – r1) = 0 (10)
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Fig 7.57
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Ecuaciones Cartesianas
• Si el vector normal es ai + bj + ck , entonces la ecuación cartesiana del plano que contiene aP1(x1, y1, z1) es
a(x – x1) + a(y – y1) + c(z – z1) = 0(11)
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Ejemplo 7
Determine el palno que contiene (4, −1, 3) y es perpendicular a n = 2i + 8j − 5kSoluciónDe (11):
2(x – 4) + 8(y + 1) – 5(z – 3) = 0ó
2x + 8y – 5z + 15 = 0
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• ecuación (11) también puede escribirse comoax + by + cz + d = 0
(12)
La gráfiaca de cualquier ecuación ax + by + cz + d = 0,a, b, c no todos nulos, es un plano con el vector normal
n = ai + bj + ck
TEOREMA 7.3Plano con Vector Normal
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Ejemplo 8
• Un vector normal al plano 3x – 4y + 10z – 8 = 0 es n = 3i – 4j + 10k.
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• Dados tres puntos no alineados, P1, P2, P3, elegimos P1 como le punto origen. Observe la Fig 7.58, Podemos obtener
(13)
0)()]()[( 11312 rrrrrr .
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Fig 7.58
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Ejemplo 9Determinar la ecuación del palno que contiene (1, 0 −1), (3, 1, 4) y (2, −2, 0).SoluciónObtenemos dos vectores a partir de los puntos dados, u = <2, 1, 5> y v = <1, 3, 4>.
,)2()2(),,(
)0,2,2(
,43)0,2,2(
)4,1,3(
,52)4,1,3(
)1,0,1(
kjiw
kjiv
kjiu
zyxzyx
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Ejemplo 9 (2)
Si escogemos (2, −2, 0) como el punto origen, entonces<x – 2, y + 2, z – 0> <−11, −3, 5> = 0
kji
kji
vu 5311
431
512
05)2(3)2(11 zyx
0165311 zyx
![Page 100: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/100.jpg)
Gráficas
• La gráfica de (12) caundo faltan una o ods variables sigue siendo un plano.
![Page 101: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/101.jpg)
Ejemplo 10
Gráfica 2x + 3y + 6z = 18SoluciónPoniendo: y = z = 0 nos da x = 9
x = z = 0 nos da y = 6x = y = 0 nos da z = 3
Fig 7.59.
![Page 102: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/102.jpg)
Fig 7.59
![Page 103: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/103.jpg)
Ejemplo 11
Gráfica 6x + 4y = 12SoluciónEsta ecuación carece de la variable z, por lo cual el plano es paralelo al eje z. Puesto que x = 0 nos da y = 3
y = 0 nos da x = 2 Fig 7.60.
![Page 104: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/104.jpg)
Fig 7.60
![Page 105: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/105.jpg)
Ejemplo 12
Gráfica x + y – z = 0SoluciónPriemro observamos que el plano pasa por (0, 0, 0). Sea y = 0, entonces z = x; x = 0, entonces z = y.
![Page 106: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/106.jpg)
Fig 7.61
![Page 107: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/107.jpg)
• Dos planos no paralelos se cortan en una recta. Observe la Fig 7.62. Fig 7.63 ilustra la intersección de una recta con un plano.
![Page 108: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/108.jpg)
Fig 7.62
![Page 109: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/109.jpg)
Fig 7.63
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Ejemplo 13
Hallar la ecuación paramétrica de la recta de la intersección de
2x – 3y + 4z = 1 x – y – z = 5
SoluciónPriemro dejamos que sea z = t,
2x – 3y = 1 – 4t x – y = 5 + tluego x = 14 + 7t, y = 9 + 6t, z = t.
![Page 111: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/111.jpg)
Ejemplo 14
Determinar el punto de intersección del plano3x – 2y + z = −5 y la recta x = 1 + t, y = −2 + 2t, z = 4t. SoluciónSuponemos que (x0, y0, z0) es el punto de intersección.
3x0 – 2y0 + z0 = −5 y x0 = 1 + t0, y0 = −2 + 2t0, z0 = 4t0
entonces 3(1 + t0) – 2(−2 + 2t0) + 4t0 = −5, t0 = −4Así, (x0, y0, z0) = (−3, −10, −16)
![Page 112: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/112.jpg)
7.6 Espacios Vectoriales
• n DimensionesSimilar al de 3 dimensiones
(1)
(2)
nn bababa ,,, 2211 ba
nkakakak ,,, 21 a
nn
nn
bababa
bbbaaa
2211
2121 ,,,,,, ..ba
![Page 113: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/113.jpg)
Sea V un conjunto de elemntos en el que se definen las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. Entonces se dice que V es un espacio vectorial si se cumple lo siguiente.
DEFINICIÓN 7.5
Espacio Vectorial
![Page 114: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/114.jpg)
Axiomas para la suma vectorial(i) Si x y y son de V, entonces x + y es de V.(ii) Para todo x, y de V, x + y = y + x(iii) Para todo x, y, z de V, x + (y + z) = (x + y) + z(iv) Existe un único vector 0 de V, tal que
0 + x = x + 0 = x(v) Para cada x de V, existe un vector −x de V, tal que x + (−x) = (−x) + x = 0
DEFINICIÓN 7.5
Espacio Vectorial
![Page 115: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/115.jpg)
Axiomas para el producto por un escalar(vi) Si k es un escalar y x es de V, entonces kx es de V.(vii) k(x + y) = kx + ky(viii) (k1+k2)x = k1x+ k2x
(ix) k1(k2x) = (k1k2)x
(x) 1x = xPropiedades (i) y (vi) are called the closure axioms.
DEFINICIÓN 7.5
Espacio Vectorial
![Page 116: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/116.jpg)
Ejemplo 1
Determinar si cada uno de los conjuntos (a) V = {1} y (b) V = {0} bajo la suma y producto por un escalar son espacios vectoriales.Solución (a) V = {1}, viola muchos de los axiomas.(b) V = {0}, es fácil de comprobar que es un espacio vectorial.
Además, se denomina el espacio vectorial nulo o trivial.
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Ejemplo 2
Considere el conjunto V de todos los números reales positivos. Si x y y denotan números reales positivos, entonces escribimos vectores como x = x, y = y. Ahora la suma de vectores se define como
x + y = xyy producto por un escalar como
kx = xk
Determinar si el conjunto es un espacio vectorial.
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Ejemplo 2 (2)
Solución Repasamos los 10 axiomas.(i) Pra x = x > 0, y = y > 0 de V, x + y = x + y > 0(ii) Para todo x = x, y = y de V,
x + y = x + y = y + x = y + x(iii) Para x = x , y = y, z = z de V
x + (y + z) = x(yz) = (xy) = (x + y) + z(iv) Como 1 + x = 1x = x = x, x + 1 = x1 = x = x
El vector nulo 0 es 1 = 1
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Ejemplo 2 (3)
(v) Si definimos −x = 1/x, entoncesx + (−x) = x(1/x) = 1 = 1 = 0−x + x = (1/x)x = 1 = 1 = 0
(vi) Si k es un escalary x = x > 0 es de V, entonces kx = xk > 0
(vii) Si k es un escalar, k(x + y) = (xy)k = xkyk = kx + ky
(viii) (k1+k2)x = xk1+k2 = xk1xk2 = k1x+ k2x (ix) k1(k2x) = (xk2 )k1 = xk1k2 = (k1k2)x (x) 1x = x1 = x = x
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Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V, entonces W se denomina un subespacio de V.
DEFINICIÓN 7.6
Subespacio
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Un conjunto no vacío W es un subespacio de V si y sólo si W es cerrado frente las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V:
(i) Si x y y son de W, entonces x + y es de W.(ii) Si x es de W y k un escalar cualquiera, entonces kx es de W.
TEOREMA 7.4Criterios para un Subespacio
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Ejemplo 3
• Suponemos que f y g son funciones continuas y de valor real definidas en (−, ). Sabemos que f + g y kf, para cualquier número real k, son continuas y de valor real. Por lo cual, llegamos a la conclusión de que C(−, ) es un subespacio del espacio vectorial de funciones de valores reales definidas en (−, ).
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Ejemplo 4
• El conjunto Pn de polinomios de grado menor o igual que n es un subespacio de C(−, ).
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Un conjunto de vectores {x1, x2, …, xn} se dice que es linealmente independiente, las únicas constantes que satisfacen
k1x1 + k2x2 + …+ knxn = 0 (3)son k1= k2 = … = kn = 0. Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente, es linealmente dependiente.
DEFINICIÓN 7.7
Independencia Lineal
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• Por ejemplo: i, j, k son linealmente independiente.
<1, 1, 1> , <2, –1, 4> y <5, 2, 7> son linealmente dependiente, porque3<1, 1, 1> + <2, –1, 4> − <5, 2, 7> = <0, 0, 0>
3a + b – c = 0
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• Puede demostrarse que cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes es una base de R3. Por ejemplo
<1, 0, 0>, <1, 1, 0>, <1, 1, 1>
Considere un conjunto de vectores B = {x1, x2, …, xn} deun Espacio Vectorial V. Si el conjunto es linealmente independiente y si todo vector de V puede expresarse Como combinación lineal de estos vectores, entonces se dice que B es una base de V.
DEFINICIÓN 7.8
Base de un Espacio Vectorial
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• Base Estándar: {i, j, k} Para Rn : e1 = <1, 0, …, 0>, e2 = <0, 2, …, 0> …..
en = <0, 0, …, 1> (4)Si B es un base, entonces existen cierto escalares tales que
(5)
donde estos escalares ci, i = 1, 2, .., n, se llaman coordenadas de v respecto de la base B.
cnccc xxxv 2211
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Se dice que el número de vectores de una base B del espacio vectorial V es la dimensión del espacio.
DEFINICIÓN 7.8
Dimensión de un Espacio Vectorial
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Ejemplo 5
(a) Las dimensiones de R, R2, R3, Rn son respectivamente 1, 2, 3, n.
(b) Hay n + 1 vectores en B = {1, x, x2, …, xn}. La dimensión es n + 1
(c) La dimensión del espacio nulo {0} es ceero.
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ED Lineales
• La solución general de la siguiente ED
(6)
puede escribirse como y = c1y1 + c1y1 + … cnyn y se dice que es espacio solución. Así {y1, y2, …, yn} es una base.
0)()()()( 011
1
1
yxadxdy
xadx
ydxa
dx
ydxa n
n
nn
n
n
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Ejemplo 6
La solución general de y” + 25y = 0 es
y = c1 cos 5x + c2 sen 5x
entonces {cos 5x , sin 5x} es una base.
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Span
• Si S denota un conjunto cualquiera de vectores {x1, x2, …, xn} entonces al combinación lineal
k1x1 + k2x2 + … + knxn
se llama span de los vectores y se escribe como Span(S) o Span{x1, x2, …, xn}.
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Otras formas de Definiciones 7.8 y 7.9
• Un conjunto S de vectores {x1, x2, …, xn} de un espacio vectorial V es una base, si S es linealmente independiente y es un conjunto de span de V. El número de vectores de este conjunto de span S es la dimensión del espacio V.
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7.7 Gram-Schmidt Orthogonalization Process
• Base OrtonormalTodos los vectores de la base son ortogonales entre sí y tienen la longitud unidad.
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Ejemplo 1
• El conjunto de vectores
(1)
es linealmente independiente en R3. De ahí que B = {w1, w2, w3} es una base. Como ||wi|| = 1, i = 1, 2, 3, wi wj = 0, i j, B es una base ortonormal.
21
,2
1 0,
,6
1 ,
61
,6
2
,3
1 ,
31
,3
1
3
2
1
w
w
w
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• DemostraciónComo B = {w1, w2, …, wn} es una base ortonormal, entonces cualquier vector puede expresare como
u = k1w1 + k2w2 + … + knwn (2)(u wi) = (k1w1 + k2w2 + … + knwn) wi
= ki(wi wi) = ki
Supongamos que B = {w1, w2, …, wn} es una base
ortonormal de Rn. Si u es un vector cualquiera de Rn, entonces u = (u w1)w1 + (u w2)w2 + … + (u wn)wn
TEOREMA 7.5
Coordenadas respecto a una Base Ortonormal
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Ejemplo 2
Determinar las coordenadas de u = <3, – 2, 9> respecto a la base ortonormal del Ejemplo 1.Solución
321
321
211
61
310
211
,6
1 ,
310
wwwu
wuwuwu
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Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt
• La transformación de la base B = {u1, u2} en una base ortogonal B’= {v1, v2} consta de dos pasos. Fig 7.64.
(3)
111
1222
11
vvvvu
uv
uv
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Fig 7.64(a)
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Fig 7.64(b)
![Page 141: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/141.jpg)
Fig 7.64(c)
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Ejemplo 3 Sea u1 = <3, 1>, u2 = <1, 1>. Transformarlos en una base ortonormal.Solución De (3)
Normalizando:
Fig 7.65
53 ,
51
1 3,104
1 1,
1 3,
2
11
v
uv
103
,1011
101
,1031
22
2
11
1
vv
w
vv
w
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Fig 7.65
![Page 144: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/144.jpg)
Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt
• Para R3:
(4) 222
231
11
1333
111
1222
11
vvvvu
vvvvu
uv
vvvvu
uv
uv
![Page 145: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/145.jpg)
• Observe la Fig 7.66. Suponemos que W2 = Span{v1, v2}, entonces
es de W2 y se llama proyección ortogonal de u3 sobre W2, denotado por x = proyw2u3.
(5)
(6)
222
231
11
1332
proy vvv
vuv
vv
vuux
w
111
1221
proy vvv
vuux
w
222
231
11
13 vvvvu
vvvvu
x
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Fig 7.66
![Page 147: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/147.jpg)
Ejemplo 4
Sea u1 = <1, 1, 1>, u2 = <1, 2, 2>, u3 = <1, 1, 0>. Transformarlos en una base ortonormal.Solución De (4)
21
,21
0,
31 ,
31 ,
32
1) 1, 1,35
2 2, 1,
1 1, 1,
222
231
11
1333
111
1222
11
vvvvu
vvvvu
uv
vvvvu
uv
uv
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Ejemplo 4 (2)
,2
1 ,
2
1 0,
,6
1 ,
6
1 ,
6
2 ,
3
1 ,
3
1 ,
3
1
, ,
3, 2, 1, ,1
y 2
2 ,
3
6 ,3
2
1 ,
2
1 ,0 ,
3
1 ,
3
1 ,
3
2 ,1 1, 1, v, v,v
3
21
321
321
321
w
ww
www
vv
wvvv
B
i
B
ii
i
![Page 149: Vectores](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081516/568150be550346895dbedec8/html5/thumbnails/149.jpg)
Sea B = {u1, u2, …, um}, m n, una base del subespacio Wm de
Rn. Entonces {v1, v2, …, vm}, donde
es una base ortogonal de Wm. Una base ortonormal de Wm es
TEOREMA 7.6Proceso de Ortogonalización
111
12
22
21
11
1
222
231
11
1333
111
1222
11
mmm
mmmmmm v
vvvu
vvvvu
vvvvu
uv
vvvvu
vvvvu
uv
vvvvu
uv
uv
m
mmB v
vv
vv
vwww
1 , ,
1 ,
1 , , , 2
21
121