Vectores

Luis Fernando Aguas

DEFINICIÓN DE VECTORES:

Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:Un origen o punto de aplicación: A. Un extremo: B. Una dirección: la de la recta que lo contiene. Un sentido: indicado por la punta de flecha en B. Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.

Origen:

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto donde comienza del vector.

Módulo: Es la longitud del vector, se expresa como un valor numérico.

Dirección: Recta sobre la que se apoya el vector. Esta inclinación se mide a través del ángulo menor que forma el vector con el eje OX ó un eje paralelo a éste.

Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

El sistema de referencia de los vectores, estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud, este sistema es conocido como el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, usaremos tres vectores unitarios unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

• Magnitudes Escalares

Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras:MasaTemperaturaPresiónDensidad

• Magnitudes vectoriales

Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.La fuerza o la velocidad son ejemplos de magnitudes vectoriales, ya que no quedan bien determinadas con un valor numérico solo.

• Vectores igualesDos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.

• Vector libreUn vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

Vectores en 2 Dimensiones

• Repaso de VectoresVuelva a la Fig 7.1 después de la Fig 7.6.

Fig 7.1 (Vectores geométricos)

Fig 7.2 (Vectors equivalentes)

Fig 7.3 (Vectores paralelos)

Fig 7.4 (suma)

Fig 7.5 (resta)

Fig 7.6 (vectores de posición)

Ejemplo 1

• Observe la Fig 7.7.Fig 7.7

Sea a = <a1, a2>, b = <b1, b2> vectores en R2

(i) Suma: a + b = <a1 + a2, b1 + b2> (1)(ii) Producto por un escalar: ka = <ka1, ka2>,

k es un escalar (2)(iii)Igualdad: a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2 (3)

DEFINICIÓN 7.1

Suma, Producto por un Escalar, Igualdad

a – b = <a1− b1, a2 − b2> (4)

1 2 2 1 2 1 2 1,PP OP OP x x y y ������������������������������������������

Solución Gráfica

• Fig 7.8 ilustra las solucones gráficas de suma y resta de dos vectores.

Ejemplo 2

Si a = <1, 4>, b = <−6, 3>, hallar a + b, a − b, 2a + 3b.Solución Usando (1), (2), (4), tenemos

17,169,188,232

1,734),6(1

7,534),6(1

ba

ba

ba

Propiedades

• (i) a + b = b + a(ii) a + (b + c) = (a + b) + c(iii) a + 0 = a(iv) a + (−a) = 0(v) k(a + b) = ka + kb k escalar(vi) (k1 + k2)a = k1a + k2a k1, k2 escalares(vii) k1(k2a) = (k1k2)a k1, k2 escalares(viii) 1a = a(ix) 0a = 0 = <0, 0>

• 0 = <0, 0>

Longitud, Norma

• a = <a1 , a2>, entonces

Naturalmente, tenemos ||a|| 0, ||0|| = 0

22

21|||| aa a

Vector Unitaros

• Un vector cuya norma vale 1 se denomina vector unitario. u = (1/||a||)a es un vector unitario, puesto que

1||||||||

1||||

1|||| a

aa

au

Ejemplo 3

• Dado a = <2, −1>, el vector unitario en la misma dirección u es

y

51

,5

21,2

51

51 au

51

,5

2 u

Los vectores i, j

• Si a = <a1, a2>, entonces

(5)

Sea i = <1, 0>, j = <0, 1>, entonces (5) se transforma en

a = a1i + a2j (6)

1,00,1,00,

,

2121

21

aaaa

aa

Fig 7.10

Ejemplo 4

• (i) <4, 7> = 4i + 7j(ii) (2i – 5j) + (8i + 13j) = 10i + 8j(iii) (iv) 10(3i – j) = 30i – 10j(v) a = 6i + 4j, b = 9i + 6j son paralelos

y b = (3/2)a

2|||| ji

Ejemplo 5

Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b SoluciónFig 7.11

• Un avión vuela a 40 m/s , Este y es empujado al norte por un viento que sopla a 30 m/s, Norte

• a)       Haz el diagrama• b)       Determina la velocidad

resultante.

• Usando el Teorema de Pitágoras:• c2=a2+b2

• VR2= VH

2+VV2 VH

2= 40m/s, VV2=30m/s

• = (40m/s)2 + (30m/s)2 = 2500 m2/s2

• VR = 50 m/s rapidez (magnitud)

• ¿Cómo obtenemos la velocidad? =Tan-1 (VV/VH) = = Tan-1[(30m/s)/(40m/s)] =37° VR = 50 m/s, 37°

VH

VV

VR

Problemas de aplicación de vectores

• Suma los siguientes vectores

20 m

25 m15 m

Solución• Dibujando a escala:

Componente en X

Componente en y

20m cos 45º = 14.14 m

20m sen 45º =14.14 m

25m cos 300º =12.50 m

25m sen 300º =-21.65 m

15m cos 210º =-12.99 m

15m sen 210º =-7.50 m

13.65 m -15.01 mDr=20.2 m , 312 º

7.2 Vectores en 3 Dimensiones

• RepasoVualva a la Fig 7.22 después de la Fig 7.24.

• Fig 7.22

Fig 7.23

Fig 7.24

Ejemplo 1

Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0).Solución Fig 7.25.

Formula de Distancia

(1)

• Fig 7.26

212

212

21221 )()()(),( zzyyxxPPd

Ejemplo 2

Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)Solución

29)46())7(3())1(2( 222 d

Formula del Punto Medio

(2)

2,

2,

2212121 zzyyxx

Ejemplo 2

Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)SoluciónDe (2), tenemos

5 ,5 ,21

246

,2

)7(3,

2)1(2

Vectores en 3 Dimensiones

• Fig 7.27.

321 ,, aaaa

Sea a = <a1, a2 , a3>, b = <b1, b2, b3 > en R3

(i) a + b = <a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3>(ii) ka = <ka1, ka2, ka3>(iii) a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3

(iv) –b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3>(v) a – b = <a1 − b1, a2 − b2, a3 − b3>(vi) 0 = <0, 0 , 0>(vi)

DEFINICIÓN 7.2

Definiciones en 3 Dimensiones

23

22

21|||| aaa a

Fig 7.28

Ejemplo 4

Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3)Solución

5,2,3

)2(3,68,411221 OPOPPP

Ejemplo 5

• De la Definición 7.2, tenemos

149

369476

73

72

||||222

a

Los vectores i, j, k

• i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1>

a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j + a3j

1,0,00,1,00,0,1

,0,00,,00,0,

,,

321

321

321

aaa

aaa

aaa

Fig 7.29

Ejemplo 6a = <7, −5, 13> = 7i − 5j + 13j

Ejemplo 7(a) a = 5i + 3k está en el plano xz(b)

Ejemplo 8Si a = 3i − 4j + 8k, b = i − 4k, hallar 5a − 2b

Solución5a − 2b = 13i − 20j + 48k

3435||35|| 22 ki

7.3 Producto Escalar

El producto escalar de a y b es el escalar

(1)

donde es el ángulo que forman los vectores 0 .

DEFINICIÓN 7.3 Producto Escalar de Dos Vectores

cos|||||||| baba ．

Fig 7.32

Ejemplo 1

• De (1) obtenemos

i i = 1, j j = 1, k k = 1(2)

Producto Escalar en Forma de Componentes

(3)

(4)

• Fig 7.33

cos||||||||2|||||||||||| 22 baabc

222 ||||||||||(||2/1cos|||||||| cabba

332211 bababa ba．

Fig 7.33

Ejemplo 2

• Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k, entonces

21)3)(6()4)(2(21

)10(

ba．

Propiedades

• (i) a b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0(ii) a b = b a(iii) a (b + c) = a b + a c (iv) a (kb) = (ka) b = k(a b)(v) a a 0(vi) a a = ||a||2

Orthogonal Vectors

• (i) a b > 0 si y sólo si es agudo(ii) a b < 0 si y sólo si es obtuso (iii) a b = 0 si y sólo si cos = 0, = /2

• Observación: Como 0 b = 0, decimos que el vector nulo es ortogonal a todos los vectores.

Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y sólo si a b = 0.

TEOREMA 7.1Criterio de Vectores Ortogonales

Ejemplo 3 i, j, k son vectores ortogonales.i j = j i = 0, j k = k j = 0, k i = i k = 0

(5)

Ejemplo 4Si a = −3i − j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entonces

a b = –6 – 14 + 20 = 0Son ortogonales.

Ángulo que Forman Dos Vectores

(6)||||||||

cos 332211

babababa

Ejemplo 5

Hallar el ángulo entre a = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k.

Solución14,27||||,14|||| baba ．

942

271414

cos

44.9

77.0942

cos 1

Cosenos DirectoresObservando la Fig 7.34, los ángulos , , se llaman ángulos directores. Ahora por (6)

decimos que cos , cos , cos son cosenos directores, y

cos2 + cos2 + cos2 = 1

||k||||a||ka

||j||||a||ja

||i||||a||ia ．．． cos,cos,cos

||a||||a||||a||321 cos,cos,cosaaa

kjik||a||

j||a||

i||a||

a||a||

)(cos)(cos)(cos1 321 aaa

Fig 7.34

Ejemplo 6

Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de a = 2i + 5j + 4k.Solución

5345452|||| 222 a

534

cos,53

5cos,

532

cos

Componentes de a en b

• Como a = a1i + a2j + a3k, entonces(7)

Escribimos los componentes de a como(8)

Observe la Fig 7.35. El componente de a en cualquier vector b es

compba = ||a|| cos (9)escribiendo (9) como

(10)

kajaia ．．． 321 ,, aaa

,comp iaai ． ,comp jaaj ． kaak ．comp

bba

bb

a

bba

bba

ab

||||1

||||||||cos||||||||

comp

．

．

Fig 7.35

Ejemplo 7

Sea a = 2i + 3j – 4k, b = i + j + 2k. Hallar compba y compab.

SoluciónDe (10), a b = −3

)2(6

1||||

1,6|||| kjibb

b

63

)2(6

1)432(comp kjikjiab ．

)432(291

||||1

,29|||| kjiaa

a

293

)432(291

)2(comp kjikjibb ．

Interpretación Física

• Observe la Fig 7.36. Si F produce un desplazamiento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es

W = F d(11)

Fig 7.36

Ejemplo 8

Sea F = 2i + 4j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a(4, 6), hallar el trabajo realizado por F.Solución d = 3i + 5j

W = F d = 26 N-m

Proyección de a sobre b

• Observe la Fig 7.37. La proyección de a sobre i es

• Observe la Fig 7.38. La proyección de a sobre b es

(12)b

bb

bab

b

1aa bb

)(compproy

iaiiaiaa ii 1)()(compproy

Fig 7.37

Fig 7.38

Ejemplo 9

Hallar la proyección de a = 4i + j sobre b = 2i + 3j.

Solución13

11)(2

131

)(4comp 3jijiab

jijiab 13

33

13

22)3(2

13

1

13

11proy

Fig 7.39

7.4 Cross Product

El producto vectorial de dos vectores a y b es(1)

donde es el ángulo entre ellos, 0 , y nes un vector unitario perpendicular al plano de a y b Con la dirección que viene dada por la regla de la mano derecha.

DEFINICIÓN 7.4

Producto Vectorial de Dos Vectores

nbaba )sin||||||(||

Fig 7.46

Ejemplo 1• Para entender el sentido físico del producto

vectorial, observe las Fig 7.37 y 7.48. El momento producido por la fuerza F que actúa en la posición final del vector r está dado por = r F.Fig 7.47 Fig 7.48

Propiedades

• (i) a b = 0, if a = 0 or b = 0(ii) a b = −b a(iii) a (b + c) = (a b) + (a c)(iv) (a + b) c = (a c) + (b c)(v) a (kb) = (ka) b = k(a b)(vi) a a = 0(vii) a (a b) = 0(viii) b (a b) = 0

Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y sólo sisi a b = 0.

TEOREMA 7.2Criterio de Vectroes Paralelos

Ejemplo 2• (a) De propiedades (iv)

i i = 0, j j = 0, k k = 0 (2)

(b) Si a = 2i + 3j – k, b = –6i – 3j + 3k = –3a, entonces a y b son paralelos. Así a b = 0

• Si a = i, b = j, entonces

(3)

Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k. Por lo que i j = k

nnjiji

2sin||||||||

Ejemplo 3

• De Fig 7.49, tenemos

(4)

(ii) propiedad la dey

jik

ikj

kji

jki

ijk

kii

Fig 7.49

Alternative Definition

• Como

(5)

tenemos(6)

)()()(

)()()(

)()()(

)(

)()(

)()(

332313

322212

312111

3213

32123211

321321

kkjkik

kjjjij

kijiii

kjik

kjijkjii

kjikjiba

bababa

bababa

bababa

bbba

bbbabbba

bbbaaa

kjiba )()()( 122113312332 babababababa

También podemos escribir (6) como

(7)

Por otro lado, (7) se transforma en

(8)

kjiba21

21

31

31

32

32

bb

aa

bb

aa

bb

aa

321

321

bbb

aaa

kji

ba

Ejemplo 4

Sea a = 4i – 2j + 5k, b = 3i + j – k, hallar a b.SoluciónDe (8), tenemos

kji

kji

ba

13

24

13

54

11

52

113

524

Productos Especiales

• Tenemos

(9)

se denomina el producto mixto. Los resultados siguientes se dejan como ejercicio.

(10)

321

321

321

)(

ccc

bbb

aaa

cba．

cbabcacba )()()( ．．

Area y Volumen

• Area de un paralelograma A = || a b|| (11)

Area de un triánguloA = ½||a b|| (12)

Volumen del paralelepípedo V = |a (b c)| (13)

Fig 7.50 y Fig 7.51

Fig 7.50

Fig 7.51

Ejemplo 5

Hallar el area del triángulo definido por los puntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0, –1).SoluciónUsando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemos dos vectores a = <1, 2, 3>, b = <2, –1, –2>

kji

kji

kji

58

31

21

51

31

53

32

531

3213221

PPPP

1023

||58||21 kjiA

Vectores Coplanarios

a (b c) = 0 si y sólo si a, b, c son coplanarios.

7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones

• Rectas: Ecuación VectorialFig 7.55. Hallamos que r2 – r1 es paralelo a r – r2, entonces r – r2 = t(r2 – r1) (1)Si escribimos

a = r2 – r1 = <x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1> = <a1, a2, a3> (2)

luego (1) implica que una ecuación vectorial para la recta es

r = r2 + tadonde a se llama vector director.

Fig 7.55

Ejemplo 1Hallar una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, –1, 8) y (5, 6, –3).SoluciónDefinimos a = <2 – 5, –1 – 6, 8 – (– 3)> = <–3, –7, 11>.Las siguientes ecuaciones son tres posibles ecuaciones vectoriales de la recta:

(3)

(4)

(5)

11,7,38,1,2,, tzyx

11,7,33,6,5,, tzyx

11,7,33,6,5,, tzyx

Ecuación Paramétrica

• También podemos escribir (2) como

(6)

las ecuaciones (6) se denominan ecuaciones paramétricas .

tazztayytaxx 322212 ,,

Ejemplo 2

Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta del Ejemplo 1.SoluciónDe (3), se tiene

x = 2 – 3t, y = –1 – 7t, z = 8 + 11t (7)

De (5),

x = 5 + 3t, y = 6 + 7t, z = –3 – 11t (8)

Ejemplo 3

Determinar un vector a que sea paralelo a la recta:

x = 4 + 9t, y = –14 + 5t, z = 1 – 3tSolución

a = 9i + 5j – 3k

Ecuación continua

• De (6)

siendo ai son no nulos. Entonces

(9)

se dice que es una ecuación continua.

3

2

2

2

1

2

azz

ayy

axx

t

3

2

2

2

1

2

azz

ayy

axx

Ejemplo 4

Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por(4, 10, −6) y (7, 9, 2)SoluciónDefinimos a1 = 7 – 4 = 3, a2 = 9 – 10 = –1, a3 = 2 – (–6) = 8, luego

82

19

37

zyx

Ejemplo 5

Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por(5, 3, 1) y (2, 1, 1)SoluciónDefinimos a1 = 5 – 2 = 3, a2 = 3 – 1 = 2, a3 = 1 – 1 = 0,luego

1,2

33

5 z

yx

Fig 7.56

Ejemplo 6

Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua para la recta que pasa por (4, 6, –3) y es paralela a a = 5i – 10j + 2k.SoluciónEc. Vectorial: <x, y, z> = < 4, 6, –3> + t(5, –10, 2)

Ecs. Paramétricas : x = 4 + 5t, y = 6 – 10t, z = –3 + 2t, Ec. Continua:

23

106

54

zyx

Planos: Ecuación Vectorial

• Fig 7.57(a) ilustra el concepto del vector normal a un plano. Cualquier vector del plano debe ser perpendicular al vector normal, esto es

n (r – r1) = 0 (10)

Fig 7.57