VECTORES

FISICA I, CICLO 01/2014

ING. RIGOBERTO VARGAS SAAVEDRA

ESCALARES Y VECTORES

Escalar es la cantidad totalmente especificada por un

número y sus unidades; tiene magnitud pero no

dirección. Los escalares obedecen las reglas del

álgebra ordinaria. Ejemplos: longitud, masa, tiempo,

área, volumen, densidad, presión y temperatura.

Vector es la cantidad especificada por una

magnitud, una dirección y un sentido en el espacio.

Los vectores responden a las leyes del álgebra

vectorial. Ejemplos: desplazamiento, velocidad,

aceleración, fuerza, peso y tensión.

ESCALARES Y VECTORES

REPRESENTACION GRAFICA DE UN VECTOR Un vector se representa por medio de una flecha a

una cierta escala. La longitud de la flecha

representa el módulo del vector. La línea sobre la

que se encuentra es la dirección del vector.

𝑪

𝑫 𝑩 𝑨

𝑨 :𝑴ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑨

Dos vectores A y B son iguales si tienen el mismo módulo y la

misma dirección.

El negativo de un vector A lo definimos como el vector A

que al sumarle el vector A su resultado es cero.

A + ( A) = 0

El vector A posee el mismo módulo que el vector A pero su

dirección es opuesta. ( A es antiparalelo a A)

𝑨

𝑩

𝑨

𝑩

𝑨 = 𝑩 𝑨 𝑩

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

La proyección de un vector sobre los ejes de un

sistema de coordenadas rectangulares se

denominan componentes rectangulares de un

vector.

VECTOR EN EL PRIMER CUADRANTE

Y

A

Ay

Ax X

Y

A

Ay

X Ax

VECTOR EN EL SEGUNDO CUADRANTE

X Ax

A Ay

Y

VECTOR EN EL TERCER CUADRANTE

Ax X

Ay

A

Y

VECTOR EN EL CUARTO CUADRANTE

Para todos los casos, el cálculo de Ax y Ay es con las

siguientes ecuaciones:

𝐴𝑥 = ±𝐴𝐶𝑜𝑠𝜃 𝐴𝑦 = ±𝐴𝑆𝑒𝑛𝜃

El módulo de un vector puede escribirse en función de

sus componentes rectangulares. Las componentes Ax y

Ay forman catetos de un triángulo rectángulo cuya

hipotenusa es el módulo de A aplicando el teorema

de Pitágoras.

𝐴 = 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦

2

Si el vector esta en el espacio, tendrá tres componentes y su

módulo se calcula así:

𝐴 = 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦

2 + 𝐴𝑧2

Podemos también establecer la dirección del vector A en

función de las componentes rectangulares, así:

𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝐴𝑦

𝐴𝑥

VECTOR UNITARIO

Cuando se divide un vector entre su propio módulo

obtenemos un vector unitario que posee de módulo

la unidad, sin dimensiones físicas, paralelo y del

mismo sentido del vector que se divide.

𝑈 𝐴 =𝐴

𝐴

Donde: 𝑈 𝐴 = 1

Para los vectores en dirección de los ejes X, Y y Z:

𝑖 =𝑋

𝑋 𝑗 =

𝑌

𝑌 𝑘 =

𝑍

𝑍

Donde: 𝑖 = 𝑗 = 𝑘 = 1

Ahora los vectores en el plano y en el espacio los podemos

expresar con sus respectivos vectores unitarios, así:

𝐴 = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗

𝐴 = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 + 𝐴𝑧𝑘

Ejemplo 1: Determine las componentes de los vectores A y B

y expréselos con los vectores unitarios.

Ejemplo 2: Para el vector 𝐶 = −6𝑖 + 7𝑗 − 9𝑘 determine su

magnitud y el vector unitario en dirección de 𝐶 .

35o B

58o

A

SUMA Y RESTA DE VECTORES

•En la suma de vectores se cumplen las siguientes leyes:

•Ley conmutativa: A + B = B + A.

•Ley asociativa: A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) =

(A + C) + B.

MÉTODO GRAFICO O MÉTODO DEL POLÍGONO

Se colocan los vectores, uno a continuación del

otro, en cualquier orden, incluyéndolos a todos,

siendo el vector suma, el vector que va del

origen o cola del primero hasta la punta de

flecha del último.

Por ejemplo, si queremos sumar los siguientes vectores, es

decir, obtener el resultado de A + B + C.

A

C

B

ALGUNAS FORMAS DE HACERLO SERÍAN:

A

B

R

C

B A

R

C

C

R

A

B

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Este método se puede utilizar cuando se quieren

sumar solo dos vectores. Los vectores se colocan cola

con cola, siendo estos vectores no paralelos; el vector

suma es la diagonal que parte del vértice que es el

origen común de los vectores.

B

A

R B

A

Es el ángulo entre los dos vectores

+ + = 180º

+ = 180º

El módulo del vector resultante R se obtiene

mediante el teorema del coseno o ley del coseno.

𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃

𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝛾

Para encontrar la dirección del vector resultante

R se utiliza el teorema del seno o ley del seno.

𝑆𝑒𝑛𝛼

𝐴=𝑆𝑒𝑛𝛽

𝐵=𝑆𝑒𝑛𝛾

𝐶

MÉTODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES

Este es un método analítico en el que primero se

calculan las componentes rectangulares de cada

vector, tanto en la dirección X como en la dirección Y,

acompañadas de los respectivos vectores unitarios i y

j, y luego, se suman todas las componentes en X para

obtener una resultante en X y se suman todas las

componentes en Y para obtener una resultante en Y.

De esta forma se obtiene el vector suma o vector

resultante.

RESTA DE VECTORES

Para restar el vector B del vector A basta con sumar

geométricamente, el vector A con el opuesto al B; es decir,

A – B = A + (– B).

A B = A + ( B)

Ejemplo 3: Determine el vector resultante de la suma

de A + B – C – D.

B

A 37o D

C

45o

A = 20 B = 28 C = 35 D = 40

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR “N”

a) n es un escalar sin unidades

Se obtiene otro vector de la misma magnitud física,

de módulo n veces el primero, paralelo al vector

inicial, en la misma dirección si n es positivo y en

dirección contraria si n es negativo.

Si 𝐶 = −3𝑖 + 4𝑗 + 5𝑘 entonces −2𝐶 = 6𝑖 − 8𝑗 − 10𝑘

V = 3 m/s

F = 8 N 3F = 24 N 4V = 12 m/s

b) n es un escalar con unidades

Se obtiene otro vector con diferente magnitud física

y paralelo al vector inicial y con módulo que resulta

del producto de los módulos del vector y el escalar.

Ejemplo:

Si el escalar es el tiempo (t = 6 s) y el vector es la

velocidad (V = 9i m/s), el resultado de multiplicar t

por V es el vector desplazamiento X = 54i m.

DIVISIÓN DE UN VECTOR ENTRE UN ESCALAR “N”

Esto equivale a multiplicar el vector por 1

𝑛.

Por ejemplo, si a = 3.5 m/s2 entonces,

a 2 = ½ a = ½ (3.5 m/s2), por lo tanto

½ a = 1.75 m/s2.

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO El producto escalar de vectores se puede definir de dos

maneras equivalentes, una manera algebraica, y otra

geométrica. Comenzaremos con la manera geométrica, que

tiene un significado intuitivo.

Tomemos dos vectores A y B, y llamemos al ángulo que

ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichos

vectores es:

𝐴 . 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝐶𝑜𝑠𝜃

En donde 𝐴 y 𝐵 corresponden a los módulos de los vectores 𝐴 y

𝐵, respectivamente. Naturalmente, debe cumplirse que

𝐴 . 𝐴 = 𝐴 2

Si usamos la representación cartesiana, se tiene que:

𝐴 2= 𝐴𝑥

2 + 𝐴𝑦2 + 𝐴𝑧

2

es decir, se satisface el teorema de Pitágoras. Indudablemente, la

definición del producto escalar de vectores puede usarse para

definir el ángulo entre dos vectores,

𝐶𝑜𝑠𝜃 =𝐴 . 𝐵

𝐴 𝐵

Geométricamente, el producto escalar se representa

como la proyección de un vector sobre el otro.

A

ACos

B

De acuerdo a la definición dada, es fácil ver que el producto

escalar de dos vectores puede también definirse usando las

componentes cartesianas de los vectores.

Si 𝐴 = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 + 𝐴𝑧𝑘 y 𝐵 = 𝐵𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑗 + 𝐵𝑧𝑘 entonces,

𝐴 . 𝐵 = 𝐴𝑥𝑖 . 𝐵𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 . 𝐵𝑦𝑗 + 𝐴𝑧𝑘 . 𝐵𝑧𝑘

Pero sabemos que: 𝑖 . 𝑖 = 𝑗 . 𝑗 = 𝑘 . 𝑘 = 1, por lo tanto obtenemos:

𝐴 . 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴𝑧 𝐵𝑧

El producto escalar es conmutativo ya que se cumple

que 𝐴 . 𝐵 = 𝐵. 𝐴

El producto escalar también cumple la ley

distributiva: 𝐴 . 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 + 𝐴 . 𝐶

Ejemplo 4: Determine el ángulo entre los vectores

𝐴 = −8𝑖 − 2𝑗 + 9𝑘 y 𝐵 = −6𝑖 + 9𝑗 + 8𝑘 .

BIBLIOGRAFÍA

SEARS, Francis W., ZEMANSKY, Mark W.,

YOUNG, Hugh D. y FREEDMAN, Roger A. Física

Universitaria. Undécima edición Volumen 1. México,

2004. Paginas 14 – 30.