vector diario- vol 1
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Vectores Un vector en el plano, se denota por un par ordenado de números reales y la notación x, y se emplea en lugar de ( x, y) para evitar la confusión entre vector y punto. V2 es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y). Un vector en el plano es un par ordenado de números reales x, y , Los números x y y son las componentes del vector x, y . Sea el vector A el par ordenado de números reales a1, a2 Si A es el punto (a1, a2 ) , entonces el vector A puede representarse geométricamente por el segmento dirigido OA este segmento dirigido es una representación del vector A. La representación particular de un vector con su punto inicial en el origen se denomina representación de posición del vector. El vector 0, 0 , se denomina vector cero y se denota por 0; esto es, 0 = 0, 0 cualquier punto es una representación del vector cero.
Para escribir en los vectores en r2 se utilizan varias notaciones. Forma vectorial:
𝑥𝑦= 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 + 𝑡𝑑
Forma Paramétrica: 𝑥 = 𝑝! + 𝑡𝑑! 𝑦 = 𝑝! + 𝑡𝑑!
Forma normal: 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝
Forma general: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Definición de vector: Segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento de un punto inicial a un punto final.
Suma de vectores
𝑉 = [𝑎, 𝑏] 𝑈 = [𝑐,𝑑]
𝑅 = [𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑]
Resta de vectores
𝑉 = [𝑎, 𝑏] 𝑈 = [𝑐,𝑑]
𝑅 = [𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑑]
Magnitud de un vector
𝑉 = [𝑥, 𝑦]
𝑉 = 𝑥! + 𝑦!
Producto escalar
𝑉 = [𝑥, 𝑦] Un escalar k
𝑅 = [𝑘𝑥, 𝑘𝑦]
Producto Punto
𝑉 = [𝑎, 𝑏] 𝑈 = [𝑐,𝑑]
R = (a ∗ c) + (b ∗ d)
Producto Cruz
Solo existe para vectores en R3 y el vector resultante es ortogonal a ambos.
𝑉 = [𝑎, 𝑏, 𝑐] 𝑈 = [𝑑, 𝑒, 𝑓]
𝑅 = [ 𝑏𝑓 − 𝑐𝑒 , 𝑐𝑑 − 𝑎𝑓 , 𝑎𝑒 − (𝑏𝑑)]
Vector Unitario
Tiene tamaño 1. Formula: !| ! |
Angulo entre dos vectores
cos!!( !∗!! ∗| ! |
)
Distancia entre dos vectores
|𝑈 − 𝑉|
Proyecciones
Si el ángulo formada entre los dos es igual a cero entonces la proyección nos da el vector cero, de lo contrario nos da el vector formado por la proyección de U en V.
𝑃𝑟𝑜𝑦 𝑣 𝑈 =𝑈 ∗ 𝑉𝑉 ∗ 𝑉
∗ 𝑉
Ejemplos
1. Determine el área del paralelogramo con vertices P=(2,2,-‐1) Q=(3,0,5) R=(-‐2,0,7)
𝑃𝑄 = [1,−2,6]
𝑄𝑅 = [−5,0,2]
Área = ||𝑃𝑄 𝑥 𝑄𝑅||
Ejercicios para practicar
Respuestas
1. A(7,-‐1)
2. 𝑉 = !!,− !
!
3. D(0,1) 4. 26
Rectas en R3
Una recta en R3 es la intersección de dos planos.
Forma Normal:
𝑛! ∙ 𝑥! = 𝑛! ∙ 𝑃! (𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 1)
𝑛! ∙ 𝑥! = 𝑛! ∙ 𝑃! (𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 2)
Forma General:
𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦 + 𝑐!𝑧 = 𝑑! (𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 1)
𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦 + 𝑐!𝑧 = 𝑑! (𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 2)
Forma Vectorial:
𝑥𝑦𝑧=
𝑃!𝑃!𝑃!
+ 𝑡𝑑!𝑑!𝑑!
Forma Paramétrica:
𝑥 = 𝑃! + 𝑡𝑑!
𝑦 = 𝑃! + 𝑡𝑑!
𝑧 = 𝑃! + 𝑡𝑑!
Ecuaciones Simétricas:
𝑥 − 𝑃!𝑑!
= 𝑦 − 𝑃!𝑑!
= 𝑧 − 𝑃! 𝑑!
Ejercicio de ejemplo:
Obtenga la ecuación en forma vectorial de la recta en R3 que pasa por los puntos A(2,3,1) y B(-2,5-1).
Para expresar la ecuación en forma vectorial es necesario un punto conocido y el vector dirección.
El vector dirección ( 𝐴𝐵 = 𝑑) se encuentra con la resta de las componentes de los puntos dados.
Por lo tanto el vector dirección es:
𝑑 = −2− 2 , 5− 3 , −1− 1 = [−4,2,−2]
Utilizamos cualquiera de los puntos dados, por conveniencia escogemos el punto A.
La ecuación queda así:
𝑥𝑦𝑧=
231+ 𝑡
−42−2
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑛 ℝ!
Ø Tiene 2 parámetros y 2 vectores dirección los cuales no son paralelos entre sí Ø Formas:
o Forma vectorial
!=!+𝑠
!+𝑡
!
o Ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑝! + 𝑠𝑢! + 𝑡𝑣! 𝑦 = 𝑝! + 𝑠𝑢! + 𝑡𝑣! 𝑧 = 𝑝! + 𝑠𝑢! + 𝑡𝑣!
o Forma normal
!=!×!
!∙!=!∙!
o Forma general 𝑎𝑏𝑐∙𝑥𝑦𝑧=𝑎𝑏𝑐∙𝑝!𝑝!𝑝!
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 o Ecuaciones paramétricas
𝑥 −𝑝!𝑑!
=𝑦 −𝑝!𝑑!
=𝑧 −𝑝!𝑑!
= 𝑡
Ø Distancia de un punto fuera del plano al plano
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑝𝑟𝑜𝑦
! !!!
Encontrar los nombres de las diferentes formas de los 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑛 ℝ!
P Q W E R T Y U I O P G A
L A B Z I Q U Z G E X E S
K W R U N S Y X F D S N D
J D P A Q W T C S C W E F
N M O B M E R V A V A R F
O J I Y V E C T O R I A L
R S U A R Q T Z X G Q L G
M R T P A Q Y R p T B V H
A T F S E E R F I S N C J
L G J A H H J O P C M X K
D B S F U C K Q Q A A Z L
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