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VARIEDADES ISOPARAMETRICAS

EDWIN BARRIOS RIVERA

UNIVERSIDAD DEL VALLE

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

SANTIAGO DE CALI, 2011

VARIEDADES ISOPARAMETRICAS

EDWIN BARRIOS RIVERA

Trabajo de grado presentado como requisito

parcial para optar al tıtulo de Magister en ciencias Matematicas.

Director

Oscar Mario Perdomo Ortiz

Ph.D

UNIVERSIDAD DEL VALLE

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

SANTIAGO DE CALI, 2011

Nota de Aceptacion.

Oscar A. Montano, Mg.S (Representante)

Mikhail Malakhaltsev, Dr.

Hebert Mesa Palomino, Mg.S

Dedicatoria

A Patricia

Agradecimientos

A Patricia, que desde que nos conocemos ha estado apoyandome e impulsandome a ser

mejor. Que maravilloso es tenerte a mi lado.

A Mama, Papa y mis hermanos por su apoyo sentimental. Gracias por estar conmigo.

Al profesor Oscar Mario Perdomo por su tiempo, paciencia, dedicacion y orientacion.

v

Contenido

Contenido VI

Introduccion VIII

1. Hipervariedades Isoparametricas 1

1.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Hipervariedades Paralelas en la Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Subvariedades Focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Funciones Homogeneas 11

2.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Variedades isoparametricas son subvariedades algebraicas 15

3.1. Calculo de la funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Subvariedad algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Bibliografıa 26

vi

Resumen

Una hipervariedad isoparametrica se puede caracterizar curvaturas principales, las cuales

son constantes. En este trabajo queremos mostrar una de sus caracterısticas, la cual es, que

toda hipervariedad isoparametrica encajada en Sn es una variedad algebraica. Para obtener

dicho resultado estudiaremos la estructura de estas hipervariedades isoparametricas y calcu-

laremos la funcion que las define en Sn, la cual, al extenderla a Rn+1 se mostrara que es un

polinomio homogeneo.

vii

Introduccion

Una hipervariedad es isoparametrica si ella pertenece a una familia de hipersuperfices Mt

de Sn, tal que cada Mt es igual a V −1(t), donde V es una funcion de valor real no constante

definida en un dominio de Sn, la cual satisface un sistema de ecuaciones diferenciales de la

forma

|∇V |2 = T V

∆V = S V

para algunas funciones reales S, T . Equivalentemente, una familia de hipervariedades isopa-

rametricas se puede caracterizar por una familia de hipervariedades paralelas donde cada una

tiene curvaturas principales constantes. Ası, podemos decir que una hipervariedad es isopa-

rametrica si tiene sus curvaturas principales constantes.

Se han caracterizado ya muchas hipervariedades isoparametricas, pero de los primeros que

estudio estas hipervariedades en Sn fue E. Cartan [1]− [2]. El supuso que una hipervariedad

isoparametrica M tiene g curvaturas principales λ1, λ2, . . . , λg con sus respectivas multiplici-

dades m1, . . . ,mg. Entonces Cartan establecio una identidad que fue la piedra angular de su

trabajo. Sin embargo, la identidad basica de Cartan conlleva a una gran cantidad de restric-

ciones, entonces lo que hizo Cartan fue producir algunos ejemplos interesantes con mas de

dos curvaturas principales distintas. En el proceso, el probo en general que cualquier familia

isoparametrica con g curvaturas principales distintas y la misma multiplicidad se puede definir

por

F =

|x|g cos

(gt

(x

|x|

))si x 6= 0

0 si x = 0

viii

ix

el cual es un polinomio homogeneo de grado g en En+1 (En+1 es un espacio euclidiano de

dimension n+ 1) que cumple

|∇F |2 = g2r2g−2 (gradiente en En+1)

Cerca de los anos setenta H.F. Munzner [6]−[7] produjo una gran generalizacion del trabajo de

Cartan. El estudio la geometrıa de las subvariedades focales y la segunda forma fundamental,

y mostro que si M es una hipervariedad isoparametrica con curvaturas principales cot θi,

0 < θ1 < . . . < θg < π y multiplicidad mi, entonces

θl = θ1 +(l − 1)

gπ 1 ≤ l ≤ g

y ademas, que las variedades focales deben ser mınimas, entonces con estos resultados, el

pudo probar que las hipervariedades de cualquier familia isoparametrica con g curvaturas

principales distintas en Sn se pueden representar por subconjuntos abiertos de superficies de

nivel en Sn del polinomio homogeneo F , de grado g en En+1 (es decir, se pueden ver como una

variedad algebraica intersecada con Sn) que satisface el sistema de ecuaciones diferenciales

|∇F |2 = g2r2g−2

∆F = crg−2

donde c =g2(m2 −m1)

2, y m1, m2 son dos multiplicidades de las curvaturas principales

(posiblemente iguales), entonces el resultado de Munzner cubre el de Cartan cuando las mul-

tiplicidades son la misma.

En este trabajo monografico nos centraremos en mostrar detalladamente que cada hiperva-

riedad isoparametrica es una variedad algebraica

x INTRODUCCION

Capıtulo 1

Hipervariedades Isoparametricas

1.1. Preliminares

Sea f : M → M una inmersion, donde M es una variedad de dimension n − 1 y M es

una variedad riemanniana de dimension n. Entonces para todo p ∈ M existe una vecindad

U ⊂M de p tal que f(U) ⊂M es una variedad difeomorfa a U . Identificaremos U con f(U),

p con f(p) y cada vector v ∈ TpM con dfp(v) ∈ Tf(p)M , ası para cada p ∈ M se tiene que

TpM = TpM ⊕ (TpM)⊥ donde (TpM)⊥ = genν(p) para algun ν(p) ∈ TpM con |ν(p)| = 1,

en particular 〈v, ν(p)〉p = 0 para todo v ∈ TpM ; aquı 〈, 〉p denota la metrica riemanniana de

M en p.

Observacion: Si ν define una funcion diferenciable cerca de p0 ∈ M y v ∈ Tp0M , en-

tonces (∇vν)(p0) ∈ Tp0M , donde ∇ denota la conexion riemanniana en M . Veamos esto,

sea α(t) una curva en M , t ∈ (−ε, ε) tal que α(0) = p0 y α′(0) = v; 〈ν(α(t)), ν(α(t))〉 = 1,

luegod

dt〈ν(α(t)), ν(α(t))〉 |t=0 = 0 ası,

⟨(∇vν)(α(0)), ν(α(0))

⟩=⟨(∇vν)(p), ν(p)

⟩= 0, luego

(∇vν)(p) ∈ TpM .

Definicion 1.1. : Sea p ∈ M , la aplicacion lineal Ap : TpM → TpM , definida por Ap(v) =

−(∇vν)(p) para v ∈ TpM , es llamada el operador de forma.

Observacion: Se puede demostrar que el operador de forma Ap es una aplicacion lineal

autoadjunta, es decir, para todo v, w ∈ TpM se tiene que 〈Ap(v), w〉 = 〈Ap(w), v〉; esto

garantiza la existencia de n− 1 vectores e1, . . . , en−1 de TpM ortonormales y n− 1 numeros

1

2 Hipervariedades Isoparametricas

reales λ1, . . . , λn−1, tales que Ap(ei) = λiei, para i = 1, . . . , n − 1; los λi son llamados las

curvaturas principales de la inmersion f en p.

Ejemplo 1. : Consideremos la variedad

M = Sk(r)× Sl(√

1− r2) = (x, y) ∈ Rk+1 × Rl+1 : | x |2= r2 y | y |2= 1− r2

M = Sn.

donde 0 < r < 1 y la condicion k+ l = n− 1, se tiene que M ⊆M y podemos definir nuestra

inmersion como la inclusion.

Ahora, definamos f1, f2 : Rn+1 → R como f1(x, y) =| x |2 y f2(x, y) =| y |2, entonces podemos

ver a M como

M = (x, y) ∈ Rk+1 × Rl+1 : f1(x, y) = r2 y f2(x, y) = 1− r2.

i) Calculemos ν : M → Rn+1 tal que |ν(p)|2 = 1, ν(p) ⊥ TpM y 〈ν(p), p〉 = 0 con

p = (x, y) ∈M .

Tenemos que ∇f1(x, y) = 2(x, 0) y ∇f2(x, y) = 2(0, y); ya que deseamos que 〈ν, v〉 = 0

∀v ∈ TpM se debe tener que ν(x, y) = α(x, 0) + β(0, y) entonces, usando las condiciones

tenemos:

|ν(x, y)|2 = α2|x|2 + β2|y|2 = r2α2 + (1− r2)β2 = 1

ν(x, y) · (x, y) = (αx, βy)(x, y) = α|x|2 + β|y|2 = r2α+ (1− r2)β = 0.

Obteniendo el sistema de ecuaciones

r2α2 + (1− r2)β2 = 1

r2α+ (1− r2)β = 0

Que al resolverlo obtenemos como una de las soluciones

α =

√1− r2r

β = − r√1− r2

Ası,

ν(x, y) =

(√1− r2r

x,− r√1− r2

y

)

Preliminares 3

ii) Calculemos las curvaturas principales de M .

Tenemos que TpM = v ∈ Rn+1 : 〈∇f1(p), v〉 = 0, 〈∇f2(p), v〉 = 0, entonces 〈(x, 0), v〉 = 0 y

〈(0, y), v〉 = 0, es decir:

x1v1 + . . .+ xk+1vk+1 = 0

y1vk+2 + . . .+ yl+1vn+1 = 0

Ası, obtenemos que

TpM = V1 ⊕ V2

Donde V1 es el subespacio k-dimensional en Rn+1 de vectores de la forma (v1, 0) ∈ Rk+1 ×

Rl+1 : v1 · x = 0 y V2 es el subespacio l-dimensional en Rn+1 de vectores de la forma

(0, v2) ∈ Rk+1 × Rl+1 : v2 · y = 0.

Por otro lado notemos que como ν : M → Sn entonces como indicamos antes (∇vν)(p) ∈ TpM

entonces, dνp : TpM → TpM . Sea α : (−ε, ε)→M con α(t) = (α1(t), α2(t)), tal que α(0) = p

y α(0) = v, ası podemos definir:

β(s) = ν(α(s)) =

(√1− r2r

α1(s),−r√

1− r2α2(s)

)

de donde

β(0) = dνα(s)(˙α(0)) =

(√1− r2r

α1(0),− r√1− r2

α2(0)

)Ası

dνp(v) =

√1− r2r

v1 −r√

1− r2v2 donde v = v1 + v2 ∈ TpM

Y notamos que los vectores en V1 son vectores propios de dνp asociados al valor propio

√1− r2r

y los vectores en V2 son vectores propios de dνp asociados al valor propio − r√1− r2

.

Por lo tanto las curvaturas principales en M son

λ1 = −√

1− r2r

de multiplicidad k λ2 =r√

1− r2de multiplicidad l.

Observacion: Note que en este caso particular las curvaturas principales son constantes

(no dependen del punto p escogido).


1.2. Hipervariedades Paralelas en la Esfera

Consideremos M una variedad (n − 1)−dimensional conexa, orientada e inmersa en Sn

como en la seccion anterior.

Definicion 1.2. : Sea p ∈ M , Ap el operador de forma y λ1, . . . , λn−1 sus valores propios,

diremos que M es una hipervariedad isoparametrica si los valores propios del operador de

forma son constantes (no dependen del punto p escogido).

En lo que sigue consideraremos que M tiene g curvaturas principales λi, 1 5 i 5 g las

cuales son constantes y el conjunto Ti(x) = v ∈ TxM : Axv = λiv.

Definamos la funcion ϕ : M ×R→ Sn como ϕ(x, t) = x cos t+ν(x) sen t donde ν : M → Rn+1

es la aplicacion de Gauss. Por simplicidad para cada t ∈ R fijo se tomara ϕt : M → Sn como

ϕt(x) = ϕ(x, t), es decir, ϕt(x) es un punto en Sn a una distancia orientada t desde x a lo

largo de una geodesica.

Observemos que si α : (−ε, ε) → M es una curva tal que α(0) = p y α(0) = v ∈ TpM y

definamos β(s) = ϕt [α(s)] entonces β(0) = ϕt [α(0)] = ϕt(p) = q y

β(0) = α(0) cos t+(dα(0)ν

)(α(0)) sen t

= v cos t+ (dpν) (v) sen t

= v cos t−Ap(v) sen t

Como Ap es el operador de forma de M en p, para v ∈ Ti(p) se tiene:

β(0) = v cos t− λiv sen t

= (cost− λisent)v

Por lo tanto cuando cos t− λi sen t 6= 0, vi ∈ Tqϕt(M) y Tqϕt(M) = TpM . Por otro lado

cuando cos t− λi sen t = 0 Tqϕt(M) ⊂ TpM .

Analizando mas el caso cos t−λi sen t = 0 tenemos que λi = cot t, entonces podemos conside-

rar para simplicidad las curvaturas principales de M como λi = cot θi 0 < θi < π 1 5 i 5 g

Hipervariedades Paralelas en la esfera 5

(como tomamos los λi constantes los θi tambien lo son). Ası para v ∈ Ti(p)

(Dϕt(p)) (v) =d

dsβ(s)

∣∣∣∣s=0

= v cos t+Ap(v) sen t

= v cos t− cot θiv sen t

= (cos t− sen t cot θi)v

=sen(θi − t)

sen θiv, 1 5 i 5 g

De aquı obtenemos que el rango de (Dϕt(p)) = n− 1 en p siempre que t 6= θi +π para todo i.

Ahora, de manera local podemos observar que si p ∈ M y Up es una vecindad de p tenemos

que ϕt es una inmersion para ciertos rangos de valores de t. Por ejemplo, si Up es compacta

y ε = min θ1, . . . , θg en Up, entonces ϕt es una inmersion en Up para |t| < ε. Otros valores

de t situados de manera adyacente a θi tambien producen una inmersion local.

Ası, la hipervariedad inmersa definida por ϕt : M → Sn es llamada hipervariedad paralela a

una distancia t (orientada). Como los θi son constantes, cada ϕt es una inmersion para todo

M , excepto cuando t = π+ θi. Entonces cada hipervariedad isoparametrica posee una familia

de hipervariedades paralelas, las cuales, tambien son isoparametricas. Para mostrar este hecho

hallemos el operador de forma de estas hipervariedades paralelas y calculemos sus curvaturas

principales.

Teorema 1.3. : Si una hipervariedad M de Sn tiene curvaturas principales λ = cot θ en

un punto p ∈ M entonces, las hipervariedades paralelas ϕt(M) tienen curvaturas principales

λ = cot(θ − t), siempre que t 6= θ + π.

Demostracion: Claramente ν : M → Rn+1 definida como ν(x) = −x sen t + ν(x) cos t es

un vector unitario y normal a ϕt(M). Consideremos nuevamente α : (−ε, ε) → M tal que

α(0) = p, α(0) = v ∈ Ti(p) y definamos β(s) = ν (α(s)), por lo tanto β(s) = −α(s) sen t +

ν(α(s)) cos t, entonces calculemos D(Dϕt(p))(v)ν

D(Dϕt(p))(v)ν =d

dsβ(s)

∣∣∣∣s=0

= −α(0) sen t+ (dpν) (v) cos t

= −v sen t+Apv cos t

= −v sen t− λiv cos t

= −(sen t+ cot θi cos t)v

= −cos(θi − t)sen θi

v


Pero por otro lado, por la definicion del operador de forma Aϕt(p) para ϕt(M)

D(Dϕt(p))(v)ν = −At [(Dϕt(p))v]

= −At[

sen(θi − t)sen θi

v

]= −sen(θi − t)

sen θiAtv

entonces;

−sen(θi − t)sen θi

Atv = −cos(θi − t)sen θi

v

Atv =cos(θi − t)sen(θi − t)

v

Atv = cot(θi − t)v

ası, las curvaturas principales de ϕt(M) son λi = cot(θi − t)

Corolario 1.4. : Sea M una hipervariedad isoparametrica en Sn con g curvaturas principales

λi = cotθi 1 5 i 5 g y respectivas multiplicidades mi. Si t ∈ R es tal que t 6= θi + π

entonces ϕt(M) es una hipervariedad isoparametrica con curvaturas principales λi = cot(θi−t)

1 5 i 5 g, y con multiplicidades respectivas iguales.

Con esto mostramos que si M es una hipervariedad isoparametrica, ϕt tambien lo es,

siempre que t 6= θ + π, por lo tanto lo primero que nos preguntamos es que sucede cuando

t = θ + π. En la siguiente seccion encontraremos respuesta a este interrogante.

1.3. Subvariedades Focales

Consideraremos ahora el caso en que t = θi +π. Asumiremos que M es una hipervariedad

isoparametrica con curvaturas principales λi = cotθi como antes y por simplicidad tomaremos

t = θi.

Definicion 1.5. : Consideremos α : (−ε, ε) → M una curva tal que α(0) = p y α(t) =

v ∈ TpM y β(s) = ϕt [α(s)]. Diremos que β(s) es un punto focal respecto a la curva α(s) sid

dsβ(s)

∣∣∣∣s=s0

= 0.

En nuestro caso si s = 0 tenemos qued

dsβ(s)

∣∣∣∣s=0

=sen(θi − t)

sen θiv la cual solo es cero

cuando t = θi +π, por lo tanto si t = θi se tiene que β(0) = ϕt(p) es un punto focal para cada

v ∈ Ti(p), ası, ϕθi(M) consiste enteramente de puntos focales.

Subvariedades Focales 7

Ejemplo 2. Consideremos S2 la esfera en R3 y sea M la variedad generada por todos los

puntos en S2 que son perpendiculares a un diametro dado; M es entonces un cırculo maxi-

mo. Las hipervariedades paralelas serian cırculos paralelos en S2 a el cırculo maximo y las

variedades focales serian los extremos del diametro.

Teorema 1.6. : V1 = ϕθ1(M) es una subvariedad n− 1−m1 dimensional.

Demostracion: Sea p0 = ϕθi(x0) ∈ V1, por el teorema del rango existen difeomorfismos

ψ : U → M y φ : V → Sn tales que ϕθi (ψ(U)) ⊂ φ(V ), ψ(0) = x0, φ(0) = p0 y

φ−1 ϕθi ψ(x1, . . . , xn−1) = (0, 0, . . . , 0, xm+1, . . . , xn−1).

En consecuencia, si W = x ∈ V : x1 = 0, . . . , xm1 = 0 entonces p ∈ ϕθi (ψ(U)) si y solo si

p ∈ φ(W )

Corolario 1.7. : Vi = ϕθi(M) 1 ≤ i ≤ g es un subvariedad n− 1−mi dimensional.

Demostracion: Para cada i fijo realizamos la misma demostracion del teorema anterior

Definamos ν : M → Sn como ν(x) = −x sen θi + ν(x) cos θi y consideremos p = ϕθi(x),

entonces ν(x) es tangente a Sn en p, ademas, 〈ν(x), v〉 = 0 para todo v ∈ Ti(x), ası ν(x) es

normal a la subvariedad focal Vi en el punto p.

Haremos uso del hecho de que cada hoja de Ti en M es un subconjunto abierto de una

mi−esfera, que se asigna a un solo punto por ϕθi , para buscar una representacion conveniente

del espacio normal de Vi y los operadores de forma correspondientes. Especıficamente, sea p

un punto arbitrario de ϕθi(M), entonces podemos considerar

ν : ϕ−1θi (p)→ S⊥p Vi =η ∈ T⊥p Vi| |η| = 1

donde el dominio es un subconjunto C de una mi− esfera, y su rango esta contenido en la

mi−esfera S⊥p Vi. Ası, para x ∈ ϕ−1θi (p) y v ∈ Ti(x), se tiene,

D(ν(p))(v) = −v sen θi + (−Ap(v)) cos θi

= −v sen θi − cot θiv cos θi

= −1sen θi

v 6= 0

Por lo tanto, D(ν) tiene rango mi en C y es un difeomorfismo local de subconjuntos abierto

de mi−esferas.


Teorema 1.8. : Sea p ∈ Vi un punto focal de una hipervariedad isoparametrica M . Sea η un

vector normal unitario a Vi en p y suponga que η = ν(x) para algun x ∈ ϕ−1θi (p). Entonces el

operador de forma Aη de Vi esta dado por:

Aηv = cot(θj − θi)v, para v ∈ Tj , j 6= i.

Demostracion: Sea η = ν(x) para x ∈ ϕ−1θi (p). Siguiendo la demostracion del Teorema 1.3

podemos escribir el operador de forma como

Aηv = cot(θj − θi)v

para v ∈ Tj , j 6= i

Corolario 1.9. : Sea p ∈ Vi un punto focal de una hipervariedad isoparametrica M . Todo

operador de forma Aη tiene valores propios cot(θj − θi) con multiplicidades mj, j 6= i,

1 5 j 5 g.

Demostracion: Por el teorema anterior, el resultado se tiene en un subconjunto abierto

ν(C) de S⊥p Vi. Consideremos el polinomio caracterıstico χγ(η) = det(Aη − γI), el cual es

una funcion de η en T⊥p Vi. Como Aη es lineal en η, tenemos para cada γ fijo, que χγ(η) es

un polinomio de grado n − mi en funcion del espacio vectorial T⊥p Vi. En consecuencia, la

restriccion de χγ(η) en la esfera S⊥p Vi es una funcion analıtica de η. Como χγ(η) es constante

en el conjunto abierto ν(C), entonces es constante en S⊥p Vi.

Teorema 1.10. : Sea M una variedad isoparametrica con curvaturas principales cot θk, 0 <

θ1 < . . . < θk < π, con multiplicidad mk. Entonces:

θk = θ1 +(k − 1)

gπ, 1 ≤ k ≤ g.

y las multiplicidades satisfacen mk = mk+2 (subındices mod g).

Demostracion: El corolario anterior nos muestra que para cada i fijo, el conjunto de los

valores propios cot(θj − θi) del operador de forma Aη de la subvariedad focal Vi es indepen-

diente del vector η escogido. En particular, como A−η = −Aη, los conjuntos cot(θj − θi)j 6=iy − cot(θj − θi)j 6=i coinciden para cada i fijo.

Subvariedades Focales 9

Sean Γ el conjunto de los numeros complejos con norma 1, y Ω el subconjunto de Γ que con-

siste en todos los que tienen la forma e2iθ, donde cot θ es una curvatura principal. Entonces

Ω es invariante bajo la reflexion z → w2z, para todo w ∈ Ω, lo cual implica

θj+1 − θj = θj − θj−1, mj+1 = mj−1, 2 ≤ j ≤ g − 1

y

θ2 − θ1 = θ1 − (θg − π) m2 = mg

Consideraremos g > 1. Si escribimos θ2 − θ1 = δ, entonces θg = (g − 2)δ + θ2, entonces

θg − θ1 = (g − 1)δ y por el otro lado, θg − θ1 = π − δ, por lo tanto (g − 1)δ = π − δ de donde

se tiene θ2 = θ1 + πg .

Corolario 1.11. : Sea M una variedad isoparametrica con g curvaturas principales distintas.

Si g es impar, entonces todas las curvaturas principales tienen la misma multiplicidad. Si g

es par, entonces hay al menos dos multiplicidades distintas.

Demostracion: Se sigue del teorema anterior por las multiplicidades cumplir mk = mk+2

con los subındices modulo g.

Corolario 1.12. : Cada subvariedad focal Vi de una variedad isoparametrica es una subva-

riedad mınima de Sn.

Demostracion: Para un vector unitario normal a Vi, η

Traza Aη =∑j 6=i

mj cot(θj − θi)

=

g−1∑k=1

mk cot

(kπ

g

)

= −g−1∑k=1

mk cot

(π − kπ

g

)

= −g−1∑k=1

mk cot

(g − kg

π

)

= −g−1∑j=1

mg−j cot

(jπ

g

)


Si g es par, entonces mg−j = mj para todo j, mientras que si es impar, todas las multiplici-

dades son iguales. En ambos casos, la ultima expresion es igual a −Traza Aη, por lo tanto

Traza Aη = 0 y Vi es mınima.

Capıtulo 2

Funciones Homogeneas

Nuestro objetivo es mostrar que las hipervariedades isoparametricas son algebraicas, pero

como veremos en el siguiente capıtulo, esto depende de un polinomio homogeneo, entonces

primero estudiaremos algunas propiedades de las funciones homogeneas.

2.1. Propiedades

Nuestro uso en particular se limita a observar el gradiente y el laplaciano de una funcion

homogenea restringida a Sn. Denotaremos el gradiente y el laplaciano de F en Sn como

gradSF y ∆SF respectivamente; a sus analogos en Rn+1 simplemente los denotaremos gradF

y ∆F .

Definicion 2.1. : Sea f : Rn+1 → R. Diremos que f es una funcion homogenea de grado g si

f(tx) = tgf(x) para todo x ∈ Rn+1, t ∈ R.

Proposicion 2.2. : Si F : Rn+1 → R es una funcion homogenea de grado g entonces para

todo x ∈ Rn+1 se tiene 〈x, gradF (x)〉 = gF (x).

Demostracion: Sea α : R → R definida como α(t) = F (tx) = tgF (x), entonces tenemos

α′(t) = 〈gradF (tx), x〉 = gtg−1F (x), ası, al evaluar en t = 1, 〈gradF (x), x〉 = gF (x).

11


Teorema 2.3. : Sea F : Rn+1 → R una funcion homogenea de grado g. Entonces:

a. |gradSF |2 = |gradF |2 − g2F 2.

b. ∆SF = ∆F − g(g − 1)F − ngF .

Demostracion: a) Sea x ∈ Sn entonces gradSF = gradF − 〈gradF, x〉x = gradF − gFx.

Por lo tanto

|gradSF |2 = |gradF |2 − 2〈gFx, gradF 〉+ 〈gFx, gFx〉

= |gradF |2 − 2gF 〈x, gradF 〉+ g2F 2

= |gradF |2 − g2F 2.

b) Si ∇ y D denotan la conexion en Sn y Rn+1 respectivamente; entonces el lapaciano ∆SF

es la traza del operador V → ∇V gradSF para V ∈ TxSn; y como

∇V gradSF = DV gradSF − 〈DV grad

SF, x〉x

entonces,

DV gradSF = DV gradF −DV (gFx)

= DV gradF − gFDV x− g(V F )x

= DV gradF − gFV − g(V F )x

y

〈DV gradSF, x〉 = 〈DV gradF, x〉 − gF 〈V, x〉 − g〈(V F )x, x〉 = 〈DV gradF, x〉 − g(V F ).

Por lo tanto,

∇V gradSF = DV gradF − gFV − g(V F )x− 〈DV gradF, x〉x+ g(V F )x

= DV gradF − 〈DV gradF, x〉x− gFV.

Para calcular el laplaciano, consideremos V1, . . . Vn una base ortonormal de TxSn;

entonces V1, . . . Vn, x es una base ortonormal de TxRn+1, por lo tanto;

∆SF =n∑i=1

〈∇VigradSF, Vi〉 =n∑i=1

〈DVigradF, Vi〉−n∑i=1

〈DVigradF, x〉〈x, Vi〉−n∑i=1

〈gFVi, Vi〉

y comon∑i=1

〈DVigradF, Vi〉 = ∆F − 〈DxgradF, x〉

Ejemplos 13

recordemos

〈DxgradF, x〉 = Dx〈gradF, x〉 − 〈gradF, x〉

= Dx(gF )− gF

= gDx(F )− gF

= g〈gradF, x〉 − gF

= ggF − gF

= g(g − 1)F

entoncesn∑i=1

〈DVigradF, Vi〉 = ∆F − g(g − 1)F

Ası,

∆SF = ∆F − g(g − 1)F − ngF.

2.2. Ejemplos

a) Sea F : Rn+1 → R definida por F (x) = 〈x, p〉, p ∈ Rn+1, |p| = 1. F es homogenea de

grado 1 con

gradF = p |gradF |2 = 1

y

∆F = divgradF = 0.

Entonces

|gradSF |2 = 1− F 2 y ∆SF = 0− 0− nf = −nF.

b) Sea Rn+1 = Rj+1 × Rk+1 con j + k = n− 1. Para x = (z, w) ∈ Rj+1 × Rk+1.

F (x) = |z|2 − |w|2, es homogenea de grado 2 con

gradF = 2(z,−w)

|gradF |2 = 4(|z|2 − 2〈z, w〉+ |w|2) = 4(|z|2 + |w|2) = 4|x|2

y

∆F = 2(j − k)


Entonces

|gradSF |2 = 4|x|2 − 4F 2 = 4(|x|2 − F 2)

y

∆SF = 2(j − k)− 2F − 2nF = 2(j − k)− 2(n+ 1)F.

Capıtulo 3

Variedades isoparametricas son

subvariedades algebraicas

En este capıtulo vamos ha mostrar que las variedades isoparametricas son variedades al-

gebraicas en el siguiente sentido: Sea M una variedad isoparametrica conexa, orientada y en-

cajada en Sn con g curvaturas principales distintas. Entonces existe un polinomio homogeneo

F de grado g en Rn+1 tal que M es un subconjunto abierto de un conjunto de nivel de la

restriccion de F a Sn, y ademas, F cumple:

|gradF |2 = g2|x|2g−2

∆F =g2(m2 −m1)

2|x|g−2

donde m1, m2 son dos posibles multiplicidades distintas de las curvaturas principales. Estas

ecuaciones son conocidas como las ecuaciones diferenciales de Muzner.

Definicion 3.1. : llamaremos variedad algebraica a un subconjunto V ⊆ Rn tal que V sea el

conjunto de ceros comunes de un conjunto f1, ..., fr de polinomios de R[x1, ..., xn], es decir,

V = (a1, ..., an) ∈ Rn : fi(a1, ..., an) = 0 1 ≤ i ≤ r.

3.1. Calculo de la funcion

Consideremos de nuevo la funcion ϕ : M × R → Sn definida como ϕ(x, t) = ϕt(x) =

x cos t + νx sen t. Sabemos que el rango de esta funcion es n − 1; excepto donde cot t es una

15


curvatura principal de M . En particular para cualquier punto regular (x, t) de ϕ existe un

abierto U de (x, t) tal que ϕ es un difeomorfismo de U en ϕ(U), un abierto de Sn.

Definiremos entonces la funcion distancia τ : ϕ(U) → R como τ(p) = θ1 − π2(ϕ−1t (p)) donde

π2 es la proyeccion en la segunda componente, es decir, si p = ϕ(x, t), τ(p) = θ1 − t. Ası,

definiremos la funcion V : ϕ(U)→ R como V (p) = cos gτ(p).

Por la definicion de τ(p) se tiene que es la distancia orientable desde el primer punto focal de

la hipervariedad paralela Mt a lo largo de una geodesica hasta p. Por lo tanto si empezamos

la construccion en una hipervariedad paralela cercana a M o mejor dicho, en M , podremos

inducir las mismas funciones τ y V sobre ϕ(U).

A continuacion podemos extender V a una funcion homogenea F de grado g de Rn+1 a traves

de ϕ(U) por

F (rp) = rg cos gτ(p), p ∈ ϕ(U), r > 0.

Teorema 3.2. : La funcion F definida a traves de ϕ(U) satisface:

|gradF |2 = g2r2g−2

∆F =g2(m2 −m1)

2rg−2

donde r(z) = |z|.

Demostracion: Supongamos p = x cos t + νx sen t, un punto en ϕ(U). El vector νp =

−x sen t+νx cos t es un vector normal unitario a la hipervariedad paralela ϕt(M) en p. Ademas:

∂

∂t((ϕt)∗(x)) = νp y νp = −gradSτ

Ahora,

F (z) = |z|g cos gτ(zr

)z = rp, |z| = r

Si definimos σ : R− 0 → Sn como σ(z) =z

|z|=z

r. Entonces F (z) = rg cos g(τ σ)

y gradr = grad(|z|) =z

|z|= σ.

Por otro lado, sea w ∈ TzSn entonces 〈w, grad(τ σ)〉 = τ∗(σ∗w) y

σ∗w =w

r− 〈w

r, σ〉σ =

1

r(w − 〈w, σ〉σ)

Calculo de la funcion 17

por lo tanto,

τ∗(σ∗w) = 〈gradSτ, w〉 = 〈νp σ,1

rw〉 − 〈w, σ〉〈gradSτ, σ〉 = −1

r〈νp σ,w〉

en conclusion grad(τ σ) = −1

rν σ; y al calcular gradF obtenemos

gradF = g|z|g−1 z|z| cos g(τ σ) + |z|g sen g(τ σ)g

(1r νp σ

)= grg−1σ cos g(τ σ) + grg−1 sen g(τ σ)(νp σ)

= grg−1 (σ cos g(τ σ) + νp(σ) sen g(τ σ))

y al ser σ(z) y νp(σ(z)) ortonormales en σ(z), se tiene

|gradF |2 = g2r2g−2

Calculemos ahora ∆F . Recordemos que

gradF = grg−1W donde W = σ cos g(τ σ) + νp(σ) sen g(τ σ)

por lo tanto

∆F = div(gradF )

= 〈grad(grg−1),W 〉+ grg−1divW

entonces

〈grad(grg−1),W 〉 = 〈g(g − 1)rg−2σ,W 〉

= g(g − 1)rg−2〈σ,W 〉

= g(g − 1)rg−2 cos g(τ σ)

y

divW = 〈grad cos g(τ σ), σ〉+cos g(τ σ)divσ+〈grad sen g(τ σ), νp(σ)〉+sen g(τ σ)divνp(σ).

hallemos cada termino de divW .

〈grad cos g(τ σ), σ〉 = −g sen g(τ σ)〈grad(τ σ), σ〉

= −g sen g(τ σ)〈−1r νp(σ), σ〉

= gr sen g(τ σ)〈νp(σ), σ〉

= 0


〈grad sen g(τ σ), νp(σ)〉 = g cos g(τ σ)〈grad(τ σ), νp(σ)〉

= g cos g(τ σ)〈−1r νp(σ), νp(σ)〉

= −gr cos g(τ σ)

divσ = 〈grad|z|−1, z〉+ |z|−1divz

= −r−2〈gradr, z〉+ n+1r

= − 1r2〈 z|z| , z〉+ n+1

r

= − 1r3r2 + n+1

r

= nr

Para el termino div(νp(σ)) necesitamos el siguiente lema.

Lema 3.3. :

a. div(νp(σ)) =1

r(divνp) σ.

b. divνp = −g∑i=1

mi cot

(τ +

(i− 1)π

g

).

c. divνp = −[n cot gτ +

(m1 −m2)g

2 sen gτ

].

Observacion: Como gradSτ = −νp, se tiene que ∆Sτ = (n− 1) cot gτ +(m1 −m2)

2 sen gτg.

Demostracion: a) Sea W cualquier vector tangente de Rn+1 en cualquier punto arbitra-

rio, y sea α una curva tal que α(0) = W . Entonces

Dw(νp σ) =d

dsβ(s)|s=0 = Dσ∗wνp donde β(s) = νp σ(α(s))

Entonces para W =w

r

σ∗W =1

r

(wr− 〈w

r,w

r〉wr

)=

1

r

(wr− w

r

)= 0

Ası, para W ∈ TSn tenemos que σ∗W =1

rW . En consecuencia,

DW (νp σ) = 0 si W =w

ry DW (νp σ) =

1

r(DW νp) σ para W ∈ TSn

Calculo de la funcion 19

y se puede concluir que

div(νp σ) =

n∑i=1

〈(Dei νp) σ, ei〉ei

donde e1, . . . , en son ortonormales y tangentes a Sn. Entonces,

div(νp σ) =1

r(divνp) σ.

b) Sean nuevamente ∇ la conexion en Sn y p = ϕ(x, t) un punto en ϕ(U). Sea ei, . . . , en−1

una base ortonormal de TpMt, donde Mt = ϕt(M). Entonces

divνp =n−1∑i=1

〈∇ei νp, ei〉+ 〈∇νp νp, νp〉.

El ultimo termino es cero, y si escogemos los ei como los vectores propios del operador

de forma At de Mt, tenemos

divνp = −n−1∑i=1

〈Atei, ei〉

= −traza de At

= −g∑i=1

mi cot(θi − t)

= −g∑i=1

mi cot((θi − θ1)− (t− θ1))

= −g∑i=1

mi cot

[τ +

(i− 1)

gπ

].

c) Si todas las multiplicidades son iguales

divνp = −n− 1

g

g∑i=1

cot

[τ +

(i− 1)

gπ

]= −

(n−1g

)g cot gτ

= −(n− 1) cot gτ


Si todas las multiplicidades no son iguales, entonces g es par y m1 = m3 = . . . = mg−1,

m2 = m4 = . . . = mg. Tomemos g = 2k,

divνp = m1

k∑j=i

cot

[τ +

(j − 1)

kπ

]+m2

k∑j=1

cot

[τ +

π

2k+

(j − 1)

kπ

]

= m1k cot(kτ) +m2k cot(kτ + π

2

)= m1 cot(kτ)−m2 tan(kτ)

Ahora, tomemosm1

m1 +m2= cos2 ω y

m2

m1 +m2= sen2 ω,

y ademas,

(m1 +m2)g = 2(n− 1). Por lo tanto,

divνp =2(n− 1)k

g(cos2 ω cot kτ − sen2 ω tan kτ)

= (n− 1)cos2 ω(1 + cos gτ)− sen2 ω(1− cos gτ)

sen gτ

= (n− 1)(cos 2ω + cos gτ)

sen gτ

= (n− 1) cot gτ +g(m1 −m2)

2 sen gτ.

Realicemos entonces el calculo de ∆F

∆F = g(g − 1)rg−2 cos g(τ σ) + grg−1(−gr

cos g(τ σ))

+ grg−1 cos g(τ σ)(nr

)+ grg−1 sen g(τ σ)

(1

r

)[(1− n) cot g(τ σ)− (m1 −m2)g

2 sen g(τ σ)

]= grg−2 cos g(τ σ)(g − 1− g + n+ 1− n) + grg−2

(m2 −m1)g

2

= g2rg−2m2 −m1

2.

3.2. Subvariedad algebraica

Teorema 3.4. : La funcion homogenea F encontrada es la restriccion de un polinomio en

Rn+1.

Para mostrar este resultado es necesario realizar el siguiente calculo.

Lema 3.5. : 4|x|k = k(k + n− 1)|x|k−2 en Rn+1 para k ∈ Z+.

Subvariedad algebraica 21

Demostracion: grad|x|k = k|x|k−1 x|x|

= k|x|k−2x

4|x|k = div(grad|x|k)

= div(k|x|k−2x)

= 〈grad(k|x|k−2), x〉+ k|x|k−2divx

= k〈grad(|x|k−2), x〉+ k|x|k−2(n+ 1)

= k〈(k − 2)|x|k−4x, x〉+ k|x|k−2(n+ 1)

= k(k − 2)|x|k−4〈x, x〉+ k|x|k−2(n+ 1)

= k(k − 2)|x|k−2 + k|x|k−2(n+ 1)

= |x|k−2(k2 − k + nk)

= |x|k−2k(k + n− 1).

En nuestro caso la funcion F es una funcion homogenea de grado g que cumple

|gradRF |2 = g2|x|2g−2

4RF = c|x|g−2

donde c =g2(m2 −m1)

2.

Lema 3.6. : La funcion G = F − a|x|g donde a =g(m2 −m1)

2(g + n− 1)es armonica.

Demostracion:

4G = div(gradF − ag|x|g−2x)

= 4F − ag〈grad|x|g−2, x〉 − ag|x|g−2divx

= c|x|g−2 − ag(g − 2)|x|g−2 − ag|x|g−2(n+ 1)

= |x|g−2(c− ag(g − 2)− ag(n+ 1))

= |x|g−2(c− ag(g + n− 1))

= |x|g−2(c− c)

= 0.


Lema 3.7. : 4g|gradG|2 = 0, donde 41 = 4, 4k = 4 4k−1.

Demostracion: gradG = gradF − agrad|x|g = gradF − ag|x|g−2x, entonces

|gradG|2 = 〈gradF − ag|x|g−2x, gradF − ag|x|g−2x〉

= |gradF |2 − 2〈gradF, ag|x|g−2x〉+ a2g2|x|2g−4〈x, x〉

= g2|x|2g−2 − 2ag|x|g−2〈gradF, x〉+ a2g2|x|2g−2

= g2|x|2g−2(1 + a2)− 2ag|x|g−2〈gradF, x〉

= g2|x|2g−2(1 + a2)− 2ag2|x|g−2F

= g2|x|2g−2(1 + a2)2ag2|x|g−2(G+ a|x|g)

entonces,

|gradF |2 + 2ag2|x|g−2G = g2|x|2g−2(1 + a2)− 2a2g2|x|2g−2

= g2|x|2g−2(1− a2)Al calcular el laplaciano

4|gradG|2 + 2ag24(|x|g−2G) = g2(1− a2)4|x|2g−2

por lo tanto todo se reduce a calcular 4(|x|kG), para k ∈ Z+

4(|x|kG) = div(grad(|x|kG))

= div(|x|kgradG) + div(Ggrad|x|k)

= 2〈grad|x|k, gradG〉+ |x|kdiv(gradG) +GDiv(grad|x|k)

= 2〈k|x|k−2x, gradF − ag|x|g−2x〉+ |x|k4G+G4|x|k

= 2k|x|k−2〈x, gradF − ag|x|g−2x〉+ |x|k4G+G|x|k−2k(k + n− 1)

= 2k|x|k−2〈x, gradF 〉 − 2k|x|k−2〈x, ag|x|g−2x〉+ |x|k4G+G|x|k−2k(k + n− 1)

= 2kg|x|k−2F − 2kag|x|k+g−2 + |x|k4G+G|x|k−2k(k + n− 1)

= 2kg|x|k−2(F − a|x|g) + |x|k4G+G|x|k−2k(k + n− 1)

= 2kg|x|k−2G+ |x|k−2k(k + n− 1)G+ |x|k4G.

como la funcion G es armonica,

4(|x|kG) = 2kg|x|k−2G+ |x|k−2k(k + n− 1)G

= |x|k−2Gk(2g + k + n− 1)


Ası, si suponemos que m1 6= m2, g es par, por lo tanto para el termino 2ag2|x|g−2G al calcular

el 4g cuando me encuentre eng

2sera cero porque 4(|x|g−2G) = (2g + k + n − 1)|x|g−4G y

para g2|x|2g−2(1− a2) el g laplaciano es cero, 4|x|2g−2 = (k + n− 1)|x|2g−4.

Si m1 = m2, entonces a = 0 y por lo tanto 2ag2|x|g−2G es cero y nuevamente el g laplaciano

de g2|x|2g−2(1− a2) es cero.

Lema 3.8. : Para cualquier funcion armonica G,

4g|gradG|2 =∑(

∂g+1G

∂xi1∂xi2 · · · ∂xig+1

)2

con ij ∈ 1, 2, . . . , n+ 1 = I.

Demostracion: Notemos que |gradG|2 =n+1∑i=1

(∂G

∂xi

)2

y que para cualquier f : Rn+1 → R se

tiene la identidad (4f)2 = 2|gradf |2 + 2f4f .

Entonces usando que G es armonica, se obtiene

4|gradG|2 =

n+1∑i=1

2

∣∣∣∣grad ∂G∂xi∣∣∣∣2 =

n+1∑i=1

n+1∑j=1

(∂2G

∂xi∂xj

)2

repitiendo el procedimiento y usando que todas las derivadas parciales de G son armonicas

42|gradG|2 = 22∑∑∣∣∣∣grad ∂2G

∂xi∂xj

∣∣∣∣2 = 22∑∑∑(

∂3G

∂xi∂xj∂xk

)2

Continuando con el proceso, obtenemos

4g|gradG|2 = 2g∑(

∂g+1G

∂xi1 · · · ∂xig+1

)2

.

De los tres resultados anteriores se concluye que∂g+1F

∂xi1 · · · ∂xig+1

= 0.

Lema 3.9. : Si∂g+1F

∂xi1 · · · ∂xig+1

= 0 entonces F es una funcion polinomica de grado g, con

ij ∈ 1, 2, . . . , n+ 1 = I.

Demostracion: Aplicando induccion sobre g.

Si g = 0 entonces∂F

∂xi= 0 y por lo tanto F es constante, es decir, una funcion polinomica de

grado 0.

Asumamos g + 1 verdadera y mostremos que g + 2 tambien lo es, entonces;

∂g+2F

∂xI′=∂g+1(Fi)

∂xI= 0, Fi =

∂F

∂xiI ′ = (I, i)


por lo tanto Fi es una funcion polinomica de grado g, ahora consideremos

F (x) = F (xo) +

∫ 1

0h′(t)dt

donde h(t) = F (xo + t(x− xo)) y h′(t) = ∇F (xo + t(x− xo))(x− xo). Ası

F (x) = F (xo) +∑i

∫ 1

0Fi(x

o + t(x− xo))(xi − xoi )dt

que es una funcion polinomica de grado g + 1.

Lema 3.10. : Si F es una funcion polinomica y homogenea de grado g entonces F es un

polinomio homogeneo de grado g.

Demostracion: Sea F una funcion polinomica y de grado g, entonces f(tx) = tgf(x); si

derivamos con respecto a t a ambos lado, tenemos

〈x,∇F (tx)〉 = gtg−1F (x)∑i1

Fi1(tx)xi = gtg−1F (x)

derivando nuevamente respecto a t

∑i1i2

Fi1i2(tx)xi1xi2 = g(g − 1)tg−2F (x)

repitiendo el procedimiento g veces

∑I

FI(x)xI = g!F (x) donde ij ∈ 1, . . . , n y |I| = g

Ası, obtenemos

F (x) =∑I

FI(x)

g!xI con

FI(x)

g!constante.

Ası, la funcion construida F , es un polinomio homogeneo de grado g. Este polinomio es

llamado el polinomio de Cartan en M .


Ejemplo 3. Consideremos la variedad

M = Sk(r)× Sl(√

1− r2) = (x, y) ∈ Rk+1 × Rl+1 : | x |2= r2 y | y |2= 1− r2

M = Sn

donde 0 < r < 1 y la condicion k + l = n− 1.

De la cual sabemos que posee dos curvaturas principales λ1 = −√

1− r2r

y λ2 =r√

1− r2con

multiplicidades k y l respectivamente; por lo tanto g = 2.

Entonces el polinomio homogeneo F (z) = |x|2− |y|2 con z = (x, y) ∈ Rk+1×Rl+1; cumple las

condiciones y genera.

Debemos verificar que |gradF |2 = g2|z|2g−2 = 4|z|2 y

∆F =g2(m2 −m1)

2|x|g−2 = 2(k − l).

En efecto,

gradF = 2(x,−y)

|gradF |2 = 4(|x|2 − 2〈x, y〉+ |y|2) = 4(|x|2 + |y|2) = 4|x|2

y

∆F = 2(j − k).

Bibliografıa

[1] Thomas E. Cecil and Patrick J. Ryan. Tight and taut immersions of manifolds. Research

notes in Mat. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, MA, 1985.

[2] Do Carmo, M. Differential Geometry of Curves and Superfaces. Prentice Hall, 1976.

[3] Do Carmo, M. Riemannian Geometry. Birkhauser, 1992.

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variedades isoparametricas edwin barrios...

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