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Una aplicacion del teorema de la funcionimplıcita en la estabilidad de Ulam para

ecuaciones diferenciales exactas

Sandra Patricia Fajardo Fuquene

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Facultad Ciencias y Educacion

Proyecto Curricular de Matematicas

Bogota, Colombia

2015

Una aplicacion del teorema de la funcionimplıcita en la estabilidad de Ulam para

ecuaciones diferenciales exactas

Sandra Patricia Fajardo Fuquene

Trabajo de grado

Director

Luis Oriol Mora Valbuena

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Facultad Ciencias y Educacion

Proyecto Curricular de Matematicas

Bogota, Colombia

2015

Dedicado a mis Padres.

Agradecimientos

Este trabajo es el culmen de un camino en el que me di cuenta que las matematicas son el regalo que

Dios me dio para crecer como mujer, ya que en el pregrado aprendı que soy miembro de una sociedad

en la que debo ser parte activa y no ser indiferente a todas los problemas que la afectan.

Agradezco a Dios por todas las bendiciones que me da, a mis padres Juan Fajardo y Patricia Fuquene

que siempre me acompanan, apoyan y guıan, de ellos he recibido la muestra de amor mas grande, no

serıa nada sin ellos. Aunque no le puedo dar las gracias a mi papa porque ahora esta en la presencia

de Dios espero que se sienta orgulloso de mı y a mi mama que me acompana le agradezco por ser

ejemplo de fortaleza.

Tambien agradezco a mis hermanas Yury, Lucero y Juanita que han sido mi apoyo y motivacion son

parte muy importante de mi vida. A mis amigos y companeros con los que compartı los momentos mas

importantes en la carrera y aprendı que en los momentos difıciles hay que sonreır y seguir adelante.

Para terminar quiero agradecer al Profesor Oriol Mora Valbuena que me enseno que para ser ma-

tematico no solo se debe saber matematicas si no que se debe ser una gran persona, es mi ejemplo a

seguir, gracias por acompanarme en esta etapa final de la carrera.

Indice general

Introduccion 2

Objetivos 3

Metodologıa 4

1. Conceptos basicos 5

1.1. Topologıa en espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Diferenciabilidad en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Preliminares 12

2.1. Derivabilidad en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Funciones de Rn en Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Teorema de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4. Teorema de la funcion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Estabilidad 38

3.1. Estabilidad segun Hyers − Ulam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2. Estabilidad segun Hyers − Ulam − Rassias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3. Metodo del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4. Aplicacion 63

4.1. Ecuacion diferencial exacta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2. Aplicacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5. Conclusiones 73

v

Conclusiones 73

Bibliografıa 74

Introduccion

El objetivo principal de esta monografıa es conocer la importancia que tiene el teorema de la funcion

implıcita para determinar la estabilidad de Ulam en una ecuacion diferencial exacta de la forma

g(x, y)+h(x, y)y′ = 0. Para tal fin se propone hacer una reconstruccion del artıculo Implicit Function

Theorem and Its Application to a Ulam’s Problem for Exact Differential Equations escrito

por JUNG Soon−Mo en el ano 2010, el cual se encuentra en [1].

El autor de este escrito enuncia y demuestra dos teoremas; el primero es una generalizacion del teorema

“local”de la funcion implıcita, el cual garantiza que la ecuacion u(x, y) = 0 que esta escrita de forma

explıcita se puede resolver en terminos de y en todo el conjunto en la que esta definida; luego el

autor enuncia el segundo teorema en el que menciona las condiciones que debe cumplir la solucion de

una ecuacion diferencial exacta para ser estable segun Hyers − Ulam − Rassias. El enunciado y la

demostracion de estos teoremas se encuentran en el capıtulo 4 de este trabajo.

Pero para poder entender lo mencionado anteriormente es necesario primero comprender el teorema

de la funcion implıcita, motivo por el cual se desarrollan los capıtulos 1 y 2; en el primero se enuncian

las definiciones y teoremas basicos de topologıa en espacios metricos, continuidad y derivabilidad en

R, en el segundo se definen la derivada total, derivada direccional y parcial junto con las relaciones que

existen entre estas. Luego se mencionan y demuestran el teorema de la funcion implıcita con algunos

ejemplos.

Despues de tener claro el teorema de la funcion implıcita en el capıtulo 3 se define el concepto de

estabilidad segun Hyers − Ulam y segun Hyers − Ulam − Rassias y se ilustran estas definiciones con

la ecuacion funcional de Cauchy y finaliza con una breve descripcion del metodo del punto fijo que

sirve en muchos casos para determinar si una ecuacion es o no estable.

Al terminar este trabajo se podra identificar la importancia que tiene el teorema de la funcion implıcita

en la teorıa de la estabilidad en una ecuacion diferencial exacta.

2

Objetivos

Objetivo General

Conocer la importancia que tiene el teorema de la funcion implıcita para determinar la estabilidad de

Ulam en una ecuacion diferencial exacta de la forma g(x, y) + h(x, y)y′ = 0, basados en [1].

Objetivos Especıficos.

1. Realizar un estudio del teorema de la funcion implıcita en Rn.

2. Conocer el problema de Ulam en la teorıa de la estabilidad.

3. Estudiar la estabilidad de Ulam en ecuaciones diferenciales exactas de la forma

g(x, y) + h(x, y)y′ = 0.

3

Metodologıa

Para el optimo desarrollo de los objetivos planteados en esta monografıa, se realizara la lectura del

artıculo Implicit Function Theorem and Its Application to a Ulam’s Problem for Exact

Differential Equations, y se realizara una reconstruccion del mismo.

Para la reconstruccion del artıculo mencionado se realizara lo siguiente:

1. Buscar las referencias expuestas en el artıculo.

2. Realizar una busqueda adicional de bibliografıa que complemente y aclare las tematicas expuestas

en el artıculo.

3. Leer de la bibliografıa encontrada y se escogeran las mas adecuadas para el desarrollo de los

objetivos, segun el criterio del estudiante y del director de esta monografıa.

4. Se realizara una sıntesis teorica de las tematicas fundamentales que brindan las herramientas

necesarias para el desarrollo de los objetivos.

5. Se hace una relectura del artıculo, complementando los conceptos y justificaciones de las que no

hay claridad en este.

6. Se hacen las debidas correcciones al trabajo realizado.

4

Capıtulo 1

Conceptos basicos

Para el optimo desarrollo de la presente monografıa es necesario recordar los siguiente conceptos

basicos de topologıa en conjuntos, junto con algunos ejemplos.

1.1. Topologıa en espacios metricos

Un concepto de gran importancia en topologıa es el de metrica o distancia en cualquier conjunto X.

Definicion 1.1.1. Una metrica o distancia en un conjunto X es una funcion

d : X ×X → R

que satisface las siguientes propiedades para cualesquiera x, y, z en X

1. d(x, y) ≥ 0.

2. d(x, y) = 0 si y solo si x = y.

3. d(x, y) = d(y, x).

4. d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z).

Al numero d(x, y) se le llama distancia entre x e y. Definicion tomada de [4, p 117].

Definicion 1.1.2. Sean x, y puntos en Rn. Se define la distancia entre x e y como:

d(x, y) =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2.

El punto d(x, y) en R se denota por |x− y|. Ver en [5, p 48].

5

CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS 6

En las siguientes definiciones se hace uso de la definicion de distancia en Rn dada anteriormente.

Definicion 1.1.3. Sea x ∈ Rn y sea r > 0 un numero real. Se definen:

La bola abierta con centro en x y radio r como el conjunto:

{y ∈ Rn : d(x, y) < r}

este conjunto se denotara por Br(x).

El conjunto

{y ∈ Rn : d(x, y) ≤ r}.

se llama la bola cerrada con centro en x y radio r y se denotara por B∗r (x)

La frontera de una bola abierta con centro en x y radio r es el conjuto:

{y ∈ Rn : d(x, y) = r}.

Tomado de [4, p 118].

Definicion 1.1.4. Sea A un conjunto de puntos de Rn, y sea x un punto de Rn. Del punto x se dice

que es un punto interior de A si existe r > 0, con r ∈ R talque todo punto en la bola abierta con

centro en x y radio r tambien esta en A, esto es, Br(x) ⊆ A. El conjunto de todos los puntos interiores

de A se llama interior de A.

Ahora el conjunto A se dice que es un conjunto abierto si todos sus puntos son interiores, esto es,

si el interior de A es A. Definicion tomada de [5, p 49].

Ejemplo 1.1.5. Sea A = [1, 2]× (1, 2) ⊆ R2, entonces el interior de A es:

(1, 2)× (1, 2)

ası A es diferente a su interior, por lo tanto A no es un conjunto abierto.

Ejemplo 1.1.6. Sean x ∈ Rn y r > 0 entonces la bola abierta con centro en x y radio r, Br(x) es un

conjunto abierto, ya que todos sus puntos son interiores.

Teorema 1.1.7. Sea A1, A2, . . . , An una coleccion finita de conjuntos abiertos. Entonces la intersec-

cionn⋂i=1

Ai

es un conjunto abierto.


Nota: La interseccion arbitraria de conjuntos abiertos no siempre es un conjunto abierto.

Definicion 1.1.8. Sea B un subconjunto de Rn y sea x ∈ Rn, se dice que x es un punto de acu-

mulacion de B, si para todo r ∈ R, r > 0 la bola con centro en x y radio r contiene por lo menos un

punto de B distinto de x. Esto es:

Br(x) ∩ (B − {x}) 6= ∅.

Al conjunto de todos los puntos de acumulacion de B se le llama el conjunto derivado de B.

Ahora el conjunto B se dice que es un conjunto cerrado si contiene todos sus puntos de acumulacion,

esto es, que el conjunto derivado de B este contenido en B. Definicion tomada de [5, p 52].

Ejemplo 1.1.9. Sea B = (0, 1] ⊆ R. Luego el conjunto derivado de B es el intervalo cerrado [0, 1] *

(0, 1], es decir, B no es un conjunto cerrado porque no contiene todos sus puntos de acumulacion, este

ejemplo se puede ver con mayores detalles en [4, p 96].

Ejemplo 1.1.10. Sea B = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0}. El conjunto derivado de B es B, es decir que B es

un conjunto cerrado.

Teorema 1.1.11. Sea S un subconjunto de Rn. Entonces:

1. Si S es un conjunto abierto, su complemento es un conjunto cerrado.

2. Si S es un conjunto cerrado, su complemento es un conjunto abierto.

Definicion 1.1.12. Un subconjunto S de Rn se dice que esta acotado si existen x ∈ Rn y r > 0 tales

que:

S ⊆ Br(x).

Definicion tomada de [5, p 54].

Ejemplo 1.1.13. Sean x ∈ Rn y r > 0 entonces, Br(x) es un conjunto acotado.

Definicion 1.1.14. Una coleccion F de subconjuntos de un espacio X es un cubrimiento de X si la

union de los elementos de F contiene a X.

En otras palabras la coleccion F = {A1, A2, . . .} con Ai ⊆ X e i ∈ N es un cubrimiento de X si:

X ⊆⋃Ai∈F

Ai.

Al cubrimiento F de X se le llama cubrimiento abierto si esta formado por conjuntos abiertos de

X, segun [4, p 163].


Definicion 1.1.15. Un conjunto X se dice que es compacto si para todo cubrimiento abierto F de

X, existe una subcoleccion finita de F que tambien es cubrimiento de X. Ver en [4, p 164].

Ejemplo 1.1.16. El conjunto de los numeros reales R no es compacto, ya que el cubrimiento abierto

F = {(n, n+ 2) : n ∈ Z}

no contiene una subcoleccion finita que cubra a R.

Ejemplo 1.1.17. El conjunto S = {0} ∪ { 1n : n ∈ N} es compacto.

Teorema 1.1.18. Sea S un conjunto compacto, entonces S es un conjunto cerrado y acotado.

Teorema 1.1.19. Sea {Q1, Q2, . . .} una coleccion de conjuntos no vacıos en Rn tales que:

1. Qk+1 ⊂ Qk para k = 1, 2, 3, . . .

2. Cada conjunto Qk es cerrado y Q1 es acotado.

Entonces la interseccion A =∞⋂k=1

Qk es cerrada y no vacıa.

Definicion 1.1.20. Sea B un subconjunto de Rn, sean x, y puntos de B y sea θ ∈ (0, 1) el segmento

que une los puntos x e y es el conjunto:

{z ∈ Rn : z = θx+ (1− θ)y}

B es un conjunto convexo si para cada par de punto x, y en B el segmento que los une pertenece a

B. Definicion tomada de [5, p 355].

Ejemplo 1.1.21. Toda bola abierta en Rn es un conjunto convexo.

1.2. Continuidad.

Sea f una funcion definida en un subconjunto A de Rn con imagen en Rm, con m ≥ 1 y n ≥ 1.

Definicion 1.2.1. Sean f : A ⊂ Rn → Rm, x0 un punto de A y x′ un punto en Rn. Se dice que el

lımite de f(x0) cuando x0 tiende a x′ es F si:

Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 <| x0 − x′ |< δ entonces | f(x0)− F |< ε.


Este lımite se denota por:

lımx0→x′

f(x0) = F.

Definicion tomada de [5, p 75].

Definicion 1.2.2. Sea f : A ⊂ Rn → Rm y sea x0 un punto de acumulacion de A, se dice que f es

una funcion continua en x0 si:

f esta definida en x0.

Existe el lımite

lımx→x0

f(x) = F.

F = f(x0).

Esto es f es continua en x0 si:

Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 <| x0 − x |< δ entonces | f(x0)− f(x) |< ε. La funcion f es

continua en A si es continua en cada punto de A. Ver en [5, p 78].

Teorema 1.2.3. Sean f, g dos funciones continuas en un subconjunto A de Rn, entonces las funciones

f + g y f · g son tambien funciones continuas en A [5, p 80].

Teorema 1.2.4. Sea f un funcion continua en un conjunto abierto A de Rn, y sea B el recorrido de

f . Sea U un subconjutno abierto de B, entonces la imagen inversa f−1(U) es un subconjunto abierto

de A.

Teorema 1.2.5. Sea f un funcion definida en un conjunto abierto A de Rn, y sea B el recorrido de

f . Sea U un subconjutno abierto de B. Si la imagen inversa f−1(U) es un subconjunto abierto de A,

entonces f es una funcion continua en A.

Observacion: De los teoremas anteriores se puede deducir que dados una funcion f y un subconjunto

cerrado A del conjunto de imagenes de f , la imagen inversa de A bajo f es un conjunto cerrado si y

solo si f es continua.

Teorema 1.2.6. Sea f una funcion continua en un conjunto compacto S de Rn entonces f(S) ⊂ Rm

es un conjunto compacto.

Teorema 1.2.7. Sea f una funcion continua en un conjunto compacto S de Rn tal que f(S) ⊂ Rm.

Si f es una funcion inyectiva en S entonces f−1 es continua en f(S).


1.3. Diferenciabilidad en R

En esta seccion se tomara a f una funcion definida en el intervalo abierto (a, b) con imagen en R.

Definicion 1.3.1. Sea x un punto del intervalo (a, b). Se dice que f tiene derivada en x si existe el

lmite

lımt→0

f(x+ t)− f(x)

t.

A este lımite se le llama derivada de f en x y se denotara por f ′(x). Si existe la derivada de f en x

se dice que f es diferenciable en x. Ver en [5, p 104].

En el siguiente teorema se establece la relacion que existe entre una funcion diferenciable y la conti-

nuidad.

Teorema 1.3.2. Sea f una funcion diferenciable en el punto x ∈ (a, b), entonces f es continua en x.

Observacion El recıproco del teorema enterior es falso, porque existen funciones continuas en un

punto pero que su derivada no existe en ese punto.

Por ejemplo la funcion f definida en los numeros reales dada por:

f(x) = x sen

(1

x

)es continua en cero, pero su derivada no existe en cero.

Teorema 1.3.3. Sea f una funcion de valor real definida en el intervalo abierto (a, b). Si existe la

derivada de f en el punto x con x ∈ (a, b) y f ′(x) > 0, entonces existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ (a, b) tal

que:

f(y) > f(x) si y > x, para y ∈ Br(x).

f(y) < f(x) si y < x, para y ∈ Br(x).

Teorema 1.3.4. Sea f una funcion de valor real definida en el intervalo abierto (a, b). Si existe la

derivada de f en el punto x con x ∈ (a, b) y f ′(x) < 0, entonces existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ (a, b) tal

que:

f(y) < f(x) si y > x, para y ∈ Br(x).

f(y) > f(x) si y < x, para y ∈ Br(x),

[5, p 108].


Definicion 1.3.5. Sea f una funcion de valor real definida en un subconjunto A de Rn.

Se dice que f tiene un maximo local en A si existen x en A y r > 0 tal que la bola con centro en x

y radio r satisface:

f(y) ≤ f(x) para todo y ∈ Br(x) ∩A.

Si f(y) ≥ f(x) para todo y ∈ Br(x) ∩ A se dice que x es un mınimo local de f . Definicion tomada

de [5, p 109].

Existe una relacion entre un punto mınimo o maximo y la derivabilidad de una funcion, esta relacion

se evidencia en el siguiente teorema.

Teorema 1.3.6. Sea f una funcion definida en el intervalo (a, b), si f tiene un maximo o mınimo

local en un punto interior x de (a, b) y tiene derivada finita en x. Entonces f ′(x) = 0.

Observacion 1: El recıproco del teorema anterior es falso, ya que si se tiene f ′(x) = 0 no se puede

concluir que x sea un mınimo o maximo local de f . Tal es el caso de la funcion f : R → R con

f(x) = xn ; n ∈ N fijo, porque f ′(x) = nxn−1 por lo tanto f ′(0) = 0, pero 0 no es ni mınimo, ni

maximo local de f .

Observacion 2: La condicion de punto interior para x es necesaria para que se cumpla el teorema

anterior, ya que por ejemplo para la funcion f : [a, b] → R y f(x) = x, se tiene que a es un mınimo

local de f y b es un maximo local de f , pero f ′(x) = f ′(a) = f ′(b) = 1 6= 0. a y b no son puntos

interiores de [a, b].

Teorema 1.3.7. Teorema del valor medio en R. Sea f un funcion real continua en [a, b] y

derivable en todo punto del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que

f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Capıtulo 2

Preliminares

Parte de esta monografıa consiste en hacer un desarrollo teorico del teorema de la funcion implıcita,

para ello se usa la teorıa del Analisis Matematico de Tom Apostol, del cual se toman algunas nociones

basicas del concepto de diferenciabilidad en funciones de varias variables reales junto con sus principales

propiedades, el teorema de la funcion inversa y el teorema de la funcion implıcita.

Tambien se exponen algunos ejemplos convenientes para la comprension de esta sıntesis teorica.

2.1. Derivabilidad en Rn

En esta seccion se realiza una generalizacion del concepto de la derivada en Rn para n ≥ 1. Para ello se

definiran los conceptos de derivada direccional, derivada parcial y el concepto de funcion diferenciable

junto con las relaciones que existen entre ellas.

Sea f una funcion definida en un subconjunto abierto A de Rn con imagen en R y sea x un punto

interior de A.

Como x es un punto interior de A existe r > 0 talque Br(x) ⊆ A. Asi para h ∈ Rn con ‖ h ‖< r se

tiene que x+ h ∈ A. Con esto se pueden mencionar las siguientes definiciones.

Definicion 2.1.1. Sea f una funcion real definida en un conjunto abierto B de Rn y sean h 6= 0 ,

x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn. Se define la k-esima derivada parcial de f como:

∂kf(x) = lımh→0

f(x1, . . . , xk−1, xk + h, . . . , xn)− f(x1, . . . , xn)

h.

En f se pueden determinar n derivadas parciales ∂kf(x) con k = 1, 2, . . . , n. Tomada de [7, p 78].

12

CAPITULO 2. PRELIMINARES 13

Ejemplo 2.1.2. Sea f : R2 → R con

f(x, y) =

x2 − y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0);

0 si (x, y) = (0, 0).

En este caso se pueden determinar dos derivadas parciales de primer orden que son:

∂1f(0, 0) = lımt→0

f(t, 0)− f(0, 0)

t= lım

t→0

1

t

∂2f(0, 0) = lımt→0

f(0, t)− f(0, 0)

t= lım

t→0

−1

t,

las derivadas parciales no existen, porque el lımite no existe.

Ejemplo 2.1.3. Sea f : R2 → R con f(x, y) = 2x2y + y2x. Se determinara la derivada parcial

∂1f(x, y).

lımt→0

2(x+ t)2y + y2(x+ t)− (2x2y + y2x)

t= lım

t→0

(2(x+ t)2 − 2x2)y + ((x+ t)− x)y2

t

= lımt→0

2y(2xt+ t2) + y2t

t

= lımt→0

(2y(2x+ t) + y2)

= 4xy + y2

por lo tanto ∂1f(x) = 4xy + y2.

Despues de definir la derivada parcial de una funcion , es necesario definir el vector gradiente de una

funcion.

Definicion 2.1.4. Sea f una funcion definida en Rn que posee n derivadas parciales en un punto

x ∈ Rn. Se define el vector gradiente de f como

(∂1f(x), . . . , ∂nf(x))

Este vector gradiente se denotara por ∇f(x). Ver en [5, p 348].

Existe otra clase de derivada en Rn que es la derivada direccional, la cual determina la razon de cambio

de f cuando el punto x se mueve en direccion del vector u ∈ Rn.


Definicion 2.1.5. Sea f una funcion real definida en un conjunto abierto B de Rn, y sea u un vector

en Rn. Se define la derivada de f en el punto x ∈ B en direccion del vector u como

Duf(x) = lımh→0

f(x+ h · u)− f(x)

h.

A este lımite se le llama derivada direccional de f en direccion del vector u. Definicion tomada de

[7, p 77].

Ejemplo 2.1.6. Sea f : R2 → R con f(x, y) =√|xy|. Se determinara la derivada direccional de f

en el punto (0, 0) en direccion del vector (1, 1).

lımt→0

f((0, 0) + t(1, 1))− f(0, 0)

t= lım

t→0

f(t, t)− 0

t

= lımt→0

√|t|2t

= lımt→0

|t|t

como este lımite no exisite, D(1,1)f(0, 0) no existe.

Ejemplo 2.1.7. Sea f : R2 → R con

f(x, y) =

x2y

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0);

0 si (x, y) = (0, 0).

La derivada de f en el punto (0, 0) en direccion del vector v =

(1√2,

1√2

)es:

lımt→0

f((0, 0) + tv)− f(0, 0)

t= lım

t→0

1

tf

(t√2,t√2

)

= lımt→0

1

t

t3

2√

2t2

=1

2√

2.

Concluyendo Dvf(0, 0) =1

2√

2.

La deriva direccional de una funcion en un punto en cualquier direccion no implica la continuidad de

la funcion en ese punto. Tal es el caso de la funcion f : R2 → R con

f(x) =

xy

x2 + y2si (x, y) 6= 0;

0 si (x, y) = 0.


Para el punto (0, 0) existe la derivada direccional de f en toda direccion, pero no es continua en el

punto (0, 0).

El siguiente teorema menciona la realcion que existe entre la derivada parcial y la derivada direccional.

Teorema 2.1.8. Sea f una funcion real definida en un conjunto abierto A ⊆ Rn. Si existe la derivada

direccional de f en el punto x en direccion del vector u para todo u ∈ Rn, existen las n derivadas

parciales de f en x.

Demostracion. Como existe la derivada direccional de f en el punto x en direccion de todo vector u,

en particular para el vector uk = (0, . . . , 1, 0, . . . , 0) (1 en la k− esima componente) existe el lımite

lımt→0

f(x+ tuk)− f(x)

t= lım

t→0

f(x1, . . . , xk + h, . . . , xn)− f(x)

t

= ∂kf(x)

y por lo tanto la k− esima derivada parcial de f en x tambien existe. Como k = 1, 2, . . . , n, existen

las n derivadas parciales de f en x.

Observacion: El recıproco del teorema anterior es falso, ya que pueden existir las derivadas parciales

de una funcion, pero no las derivadas direccionales. Tal es el caso de la funcion f : R2 → R con

f(x) =

x+ y si x = 0 o y = 0;

1 si x 6= 0 e y 6= 0.

Para esta funcion ∂1f(0, 0) = ∂2f(0, 0) = 1, pero la derivada direccional de f en el punto (0, 0) en

direccion del vector (a1, a2) con a1 6= 0 y a2 6= 0 no existe porque el lımite

lımt→0

f(ta1, ta2)− f(0, 0)

t= lım

t→0

1

t

no existe.

Definicion 2.1.9. Sea f una funcion definida en un conjunto abierto C de Rn con valores en R, sea

x ∈ C. Se dice que f es diferenciable en x si existen las funciones Lx lineal definida en Rn de valor

real y Ex definida en Rn tales que:

f(x+ v) = f(x) + Lx(v) + ‖v‖Ex(v)


con

lımv→0

Ex(v) = 0.

Escrito de otra forma f es diferenciable en x si

lımv→0

‖f(x+ v)− f(x)− Lx(v)‖‖v‖

= 0.

A la funcion Lx se le llama derivada total de f en x. Tomado de [7, p 82].

Que Lx sea lineal quiere decir que dados u, v ∈ Rn se tiene que:

Lx(αu+ βv) = αLx(u) + βLx(v)

con α, β ∈ R.

Ejemplo 2.1.10. La funcion norma ‖ · ‖ : C ⊆ Rn → R no es diferenciable en el punto cero.

En efecto si lo fuera existen las funciones L(0,0) y E(0,0) talque para todo v ∈ Rn se tiene:

‖v‖ = L0,0(v) + ‖v‖E(0,0)(v)

con lımv→0E(0,0)(v) = 0.

Luego como

2‖v‖ = ‖v‖+ ‖ − v‖

= L(0,0)(v) + ‖v‖E(0,0)(v) + L(0,0)(−v) + ‖ − v‖E(0,0)(v)

= L(0,0)(v − v) + ‖v‖E(0,0)(v) + ‖ − v‖E(0,0)(−v)

= ‖v‖E(0,0)(v) + ‖ − v‖E(0,0)(−v)

se tiene que

lımv→0

(E(0,0)(v)− E(0,0)(−v)

)= 0 =

2‖v‖‖v‖

= 2

lo cual es una contradiccion. Por lo tanto la funcion norma no es diferenciable en el punto (0,0)[6, p

70].

Teorema 2.1.11. Sea f una funcion diferenciable en x, definida en un conjunto abierto C de Rn.

Entonces la derivada total de f en x es unica.

Demostracion. Se supone que existen dos derivadas totales Lx y Tx de f en x.

Como x es un punto interior de C, existe r > 0 tal que Br(x) ⊆ C y para v ∈ R con ‖v‖ < r se tiene


x+ v ∈ C.

Por definicion de deivada total se tiene

f(x+ v) = f(x) + Lx(v) + Ex(v)‖v‖

f(x+ v) = f(x) + Tx(v) + Fx(v)‖v‖

con

lımv→0

Ex(v) = lımv→0

Fx(v) = 0.

Para v = 0 se tiene que

Lx(v) = Tx(v) = 0.

Ahora sea h 6= 0, entonces para todo t ∈ R talque ‖th‖ < r se tiene que x+ th ∈ C.

Luego, para v = ht con t 6= 0 se tiene

f(x) + Lx(ht) + Ex(ht)‖ht‖ = f(x) + Tx(ht) + Fx(ht)‖ht‖,

lo que es igual a

Lx(ht) + Ex(ht)‖ht‖ = Tx(ht) + Fx(ht)‖ht‖

Lx(ht)− Tx(ht) = Fx(ht)‖ht‖ − Ex(ht)‖ht‖.

Entonces como t 6= 0 y Lx, Tx son lineales

Lx(h)− Tx(h) =‖h‖t‖h‖

(Fx(ht)‖ht‖ − Ex(ht)‖ht‖)

=‖h‖‖th‖

(Fx(ht)‖ht‖ − Ex(ht)‖ht‖)

= ±‖h‖(Fx(ht)− Ex(ht))

y como lımt→0 ht = 0 y lımt→0Ex(ht) = lımt→0 Fx(ht) = 0 se tiene

lımt→0

(Lx(h)− Tx(h)) = ±‖h‖ lımt→0

(Fx(ht)− Ex(ht)) = 0

es decir,

Lx(h) = Tx(h)

para todo h ∈ Rn. Obteniendo que la derivada total de f en x es unica. Ver en [6, p 65].

Teorema 2.1.12. Sea f una funcion definida en un conjunto abierto C de Rn diferenciable en un

punto x de C. Entonces la derivada direccional de f en direccion del vector u existe para todo u ∈ Rn

y


Lx(u) = Duf(x)

Demostracion. Sea u ∈ Rn.

Si u = 0 entonces

Duf(x) = lımh→0

f(x+ h · 0)− f(x)

h= 0

ademas como Tx(0) = 0 se tiene que Duf(x) = Tx(u) = 0 y se cumple el teorema para u = 0.

Como C es un conjunto abierto existe ε > 0 talque Bε(x) ⊆ C y para t ∈ R talque ‖th‖ < ε se tiene

que x+ th ∈ C.

Ahora como f es diferenciable en x, por definicion de derivada total se tiene

f(x+ th) = f(x) + Lx(th) + Ex(th)

con lımt→0Ex(ht)

‖ht‖= 0 y Tx una funcion lineal, por lo tanto con t 6= 0 se tiene

f(x+ ht)− f(x)

t− Ex(ht)

t= Tx(h)

y el lımite

lımt→0

(f(x+ ht)− f(x)

t− Ex(ht)

t

)= Tx(h).

Ademas como

lımt→0

Ex(ht)

t= ‖h‖ lım

t→0

Ex(ht)

t‖h‖

= ±‖h‖ lımt→0

Ex(ht)

‖ht‖= 0

se concluye que

Dhf(x) = lımt→0

f(x+ ht)− f(x)

t= Tx(h)

y se cumple el teorema. Tomado de [6, p 66].

El recıproco del teorema anterior es falso. Tal es el caso de la funcion f : R2 → R con

f(x, y) =

y3

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0);

0 si (x, y) = (0, 0).

En este caso existen las derivadas direccionales de f en el punto (0, 0) en toda direccion. Pero no es

diferenciable en (0, 0), ya que si lo fuera por el teorema anterior se tiene

L(0,0)(1, 0) = lımt→0

f(t, 0)− f(0, 0)

t= 0


L(0,0)(0, 1) = lımt→0

f(0, t)− f(0, 0)

t= 1

por lo tanto como L(0,0) es una funcion lineal

L(0,0)(u, v) = L(0,0)((1, 0)u+ (0, 1)v) = v

para todo (u, v) ∈ Rn. En particular para el vector (h, h) con h 6= 0 se tiene

f(h, h) = f(0, 0) + L(0,0)(h, h) + E(0,0)(h, h)

es decir

E(0,0)(h, h) = f(h, h)− h

=h3

2h2 − h

=h

2− h

= −h2

por lo tanto

E(0,0)(h, h)

‖(h, h)‖=

−h2√

2|h|

= ± 1

2√

2

es decir, que lımh→0

E(0,0)(h, h)

‖(h, h‖)no existe, lo cual contradice la definicion de funcion diferenciable. Por

lo tanto f no es diferenciable en el punto (0, 0) y el recıproco del teorema anterior es falso.

El siguiente teorema muestra la relacion que existe entre una funcion diferenciable y la continuidad

de la funcion.

Teorema 2.1.13. Sea f una funcion definida en un conjunto abierto S ⊆ Rn. Si f diferenciable en

el punto x, entonces f es continua en x.

Demostracion. Se probara que la funcion f es continua en el punto x.

En efecto, como f es una funcion diferenciable en el punto x, existe una funcion lineal Lx definida en

Rn, talque para h ∈ Rn

lımh→0

‖f(x+ h)− f(x)− Lx(h)‖‖h‖

= 0.


Luego por la definicion de lımite, para ε = 1 existe δ0 > 0 talque si 0 < ‖h‖ < δ0 entonces

‖f(x+ h)− f(x)− Lx(h)‖ ≤ ‖h‖. (2.1)

Por otro lado,

f(x+ h)− f(x) = (f(x+ h)− f(x)− Lx(h)) + Lx(h). (2.2)

De donde

‖f(x+ h)− f(x)‖ = ‖(f(x+ h)− f(x)− Lx(h)) + Lx(h)‖

≤ ‖f(x+ h)− f(x)− Lx(h)‖+ ‖Lx(h)‖.

Por lo tanto de (1,1) y (1,2) se tiene que si ‖h‖ < δ0 entonces

‖f(x+ h)− f(x)‖ ≤ ‖h‖+ ‖Lx(h)‖ = ‖h‖C

con C = (1 + Lxh).

Finalmente para ε > 0 existe δ = mın{δ0,

ε

C

}, talque si 0 < ‖h‖ < δ ≤ δ0 entonces

‖f(x− h)− f(x)‖ ≤ ‖h‖C ≤ δC ≤ ε

CC = ε

es decir,

lımh→0

f(x+ h) = f(x)

y f es continua en x. Tomado de [7, p 85].

Para determinar si una funcion es diferenciable sin usar la definicion de diferenciabilidad se menciona

el siguiente teorema.

Teorema 2.1.14. Sea f una funcion definida en un conjunto abierto C de Rn. Si existen las n

derivadas parciales de f en el punto x y son continuas, entonces f es diferenciable en el punto x.

Demostracion. Sea v ∈ Rn tal que v = λy con ‖y‖ = 1, λ = ‖v‖ y

y = y1u1 + y2u2 + . . .+ ynun

con uk el k−esimo vector coordenado unitario.

Se probara que f es diferenciable en x expresando f(x+ v)− f(x) como

f(x+ v)− f(x) = f(x+ λy)− f(x)

=

n∑k=1

{f(x+ λvk)− f(x+ λvk−1)}


con v0 = 0, v1 = y1u1, v2 = y1u1 + y2u2,. . . ,vn = y1u1 + . . .+ ynun.

El primer termino de la suma es

f(x+ λy1u1)− f(x) = λy1∂1f(x) + λy1Ex(λ)

con lımλ→0Ex(λ) = 0.

Para k ≥ 2 el k−esimo termino de la suma es

f(x− λvk−1 + λykuk)− f(x+ λvk−1) = f(bk + λykuk)− f(bk)

con bk = x+ λvk−1. Los dos puntos bk y bk + λykuk difieren solo en la k−esima coordenada.

Aplicando el teorema del valor medio para funciones definidas en R se tiene

f(bk + λykuk)− f(bk) = λyk∂kf(ak)

con ak un punto del segmento que une los puntos bk con bk + λykuk.

Luego como lımλ→0 bk = x , lımλ→0 ak = x y cada derivada parcial ∂kf(x) es continua en x para k ≥ 2

se tiene

∂kf(ak) = ∂kf(x) + Exk(λ)

con lımλ→0Exk(λ) = 0.

Ası

f(x+ v)− f(x) = λn∑k=1

∂kf(x)yk + λn∑k=1

ykExk(λ)

= ∇f(x) · v + ‖v‖E(λ)

con

E(λ) =

n∑k=1

yk(Exk)(λ).

Es decir, f es diferenciable em x con derivada total igual a ∇f(x) · v. Tomado de [5, p 357].

El recıproco del teorema anterior es falso ya que existen funciones diferenciables en un punto, pero

con derivadas parciales discontinuas en ese punto. Tal es el caso de la funcion f definida en R2 con

valores en R2 y

f(x, y) =

(x2 + y2)sen

(1√

x2 + y2

)si (x, y) 6= (0, 0);

0 si (x, y) = (0, 0).


f es diferenciable en el punto (0, 0) con derivadas parciales

∂xf(x, y) = 2xsen

(1√

x2 + y2

)− x√

x2 + y2cos

(1√

x2 + y2

)

∂yf(x, y) = 2ysen

(1√

x2 + y2

)− y√

x2 + y2cos

(1√

x2 + y2

)las cuales no son continuas en el punto (0, 0), ya que los lımites

lım(x,y)→(0,0)

x√x2 + y2

cos

(1√

x2 + y2

)

lım(x,y)→(0,0)

y√x2 + y2

cos

(1√

x2 + y2

)no existen.

2.2. Funciones de Rn en Rm

Definicion 2.2.1. Sean f1, f2, . . . , fn funciones reales definidas en un conjunto abierto C de Rn y sea

F = (f1, f2, . . . , fm), la funcion F es diferenciable en el punto x si cada fi es una funcion diferenciable

en x, con i = 1, 2, . . . ,m.

La derivada total de f es:

Lx(v) = (L1x(v), . . . , Lmx (v))

con Lix(v) la derivada total de la funcion fi en el punto x.

Definicion 2.2.2. Sean f1, f2, . . . , fm funciones reales definidas en un conjunto abierto C de Rn, y

sea f = (f1, f2, . . . , fm).

Se llama Jacobiano de f en x a la funcion Jf (x) definida por:

Jf (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂1f1(x) ∂2f1(x) . . . ∂nf1(x)

∂1f2(x) ∂2f2(x) . . . ∂nf2(x)...

.... . .

...

∂1fm(x) ∂2fm(x) . . . ∂nfm(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣O escrito de otra forma de define Jf (x) = Det[∂jfi(x)] con i = 1, 2, . . . ,m y j = 1, 2, . . . , n. Definicion

tomada de [5, p 355].


Ejemplo 2.2.3. Sea f : R3 → R2 con f(x, y, z) = (x2 + sen(xy), xy cos(z)).

Por lo tanto f1(x, y, z) = x2 + sen(xy) , f2(x, y, z) = xy cos(z) y

∂xf1(x, y, z) = 2x+ y cos(xy), ∂yf1(x, y, z) = x cos(xy), ∂zf1(x, y, z) = 0

∂xf2(x, y, z) = y cos(z), ∂yf2(x, y, z) = x cos(z), ∂zf2(x, y, z) = −xysen(z).

Asi el jacobiano de f en el punto (x, y, z) es:

Jf (x, y, z) =

2x+ y cos(xy) x cos(xy) 0

y cos(z) x cos(z) −xysen(z)

Teorema 2.2.4. Teorema de multiplicacion de Jacobianos Sea f una funcion vectorial f =

(f1, f2, . . . , fn) definida y difereciable en un conjunto abierto S de Rn.

Sea g otra funcion vectorial g = (g1, . . . , gn) definida en un conjunto abierto T de Rn con f(S) ⊆ T ,

diferenciable en f(S).

Y sea h la funcion compuesta definida por h(x) = g(f(x)) si x ∈ S, entonces para cada x ∈ S se tiene

Jh(x) = Jg(f(x)) · Jf (x)

Demostracion. Como f y g son funciones diferenciables por la regla de la cadena se tiene que h tambien

es diferenciable. Por lo tanto existen las derivadas parciales en h y enconsecuencia el jacobiano de f

en un punto de S tambien existe.

Ademas como

Jg(f(x)) · Jf (x) = det(∂jgi(f(x))) · det(∂jfi(x))

= det

(n∑k=1

∂kgi(f(x))∂jfk(x)

)

la sumatoria de la ultima ecuacion por la regla de la cadena se tiene que es igual a ∂jhi(x). Y asi

Jh(x) = Jg(f(x)) · Jf (x).

Teorema 2.2.5. Teorema del valor medio: Sea f una funcion definida en un conjunto abierto C

de Rn diferenciable en cada punto de C. Sean x e y dos puntos de C tales que el segmento que los une

L(x, y) ⊆ C. Entonces existe un punto z de L(x, y) tal que: f(y)− f(x) = ∇f(z)(y − x)

Demostracion. Sean x e y puntos fijos en Rn con x 6= y, sea h : [0, ρ]→ Rn una funcion, ρ = ‖y − x‖

y h(λ) = f(x+ λu) donde u =y − xρ

.


Asi por definicion x+ρu = x+‖y−x‖u = y y f(y) = h(ρ), de donde f(y)−f(x) = h(ρ)−h(0). Ademas

como f es diferenciable en C, h tiene derivada en el intervalo [0, ρ]. Luego aplicando el teorema del

valor medio en R, existe δ ∈ [0, ρ] talque

h(ρ)− h(0) = ρh′(δ).

Por otro lado para λ fijo y 0 < λ < ρ se dfine la funcion g definida en el intervalo [0, ρ− λ] como

g(α) = f(x+ λu+ αu) = h(λ+ α)

por lo tanto como

g′(α) = lımh→0

g(α+ h)− g(α)

h

se tiene que

g′(0) = lımh→0

f(x+ λu+ hu)− f(x+ λu)

h= Duf(x+ λu) = h′(λ).

Ahora haciendo λ = δ, h′(δ) = Duf(x+ δu) = ∇f(z) · u con z = x+ δu.

Y asi se prueba el teorema ya que z ∈ L(x, y) y f(x)− f(y) = ‖y − x‖∇f(z). Ver en [5, p 355].

2.3. Teorema de la funcion inversa

El teorema de la funcion inversa menciona las condiciones necesarias para que una funcion f definida

en Rn con valores en Rn tenga inversa, ademas define el conjunto en el que esta definida f−1, ya que

no siempre la funcion inversa se puede definir en el rango de f . De ahı que se hable de inversa local y

no global.

Para entender de la mejor forma el teorema de la funcion inversa en Rn es necesario conocer los

teoremas que se mencionan a continuacion.

Teorema 2.3.1. Sean B = Br(a) la bola abierta con centro en a y radio r en Rn, B′ = {x ∈ Rn :

d(x, a) = r} y sea B = B ∪B′.

Sea f = (f1, f2, . . . , fn) una funcion continua en B y supongase que todas las derivadas parciales

∂jfi(x) existen si x ∈ B. Si ademas f es uno a uno en B y Jf (x) es diferente de cero para cada x en

B. Entonces f(B), imagen de B bajo f , contiene una bola abierta con centro en f(a).

Demostracion. Sea g una funcion real definida en B′ como g(x) = ‖f(x) − f(a)‖, como f es uno a

uno en B, f(x) 6= f(a) para cada x en B′ por lo tanto g(x) > 0.

Ahora como f es continua en B, f es continua en B′, por lo tanto g es continua en B′. Luego como B′


es un conjunto compacto se tiene que g(B′) es un conjunto compacto. Como es compacto es cerrado

y acotado, y por ser acotado la funcion g alcanza un valor mınimo que se notara por m > 0 ya que

g(x) > 0, y sea T = Bm2f(a).

Se probara que T ⊆ f(B).

En efecto sea y un punto fijo de T y sea h una funcion definida en B tal que :

h(x) = ‖f(x)− y‖.

Por ser f continua en B se tiene que h es continua en B, ademas como B es un conjunto compacto se

tiene que la imagen de la funcion h es un conjunto compacto, por lo tanto h alcanza un valor mınimo

en algun punto de B. En el centro de B se tiene

h(a) = ‖f(a)− y‖) < m2

ya que y ∈ T . Ası si x no es un punto mınimo de h en B se debe tener de h(x) < m2 .

Si x ∈ B′ se tiene

h(x) = ‖f(x)− y‖

= ‖f(x)− f(a)− (y − f(a))‖

≥ ‖f(x)− f(a)‖ − ‖y − f(a)‖

> g(x)− m

2

>m

2,

de donde se puede concluir que el valor mınimo de la funcion h no puede estar en B′. Asi que debe

existir un punto interior c de B en el que h alcanza su valor mınimo. En este punto la funcion h2

tambien debe alcanzar su valor mınimo, donde h2 se define como

h2(x) = ‖f(x)− y‖2

= ‖(f1(x), . . . , fn(x))− (y1, . . . , yn)‖2

=

n∑i=1

|fi(x)− yi|2.

Si c es el valor mınimo de h se debe tener que para cada k = 1, . . . , n la ∂kh2(c) se anula, esto es∑n

i=1 2(fi(c)− yi)∂kfi(c) = 0.

Ademas como por hipotesis Jf (c) 6= 0 se tiene que ∂kfi(c) 6= 0, por lo tanto fi(c) − yi = 0, esto es,

fi(c) = yi para cada i = 1, 2, . . . , n lo cual es lo mismo que decir f(c) = y, es decir que h alcanza su


punto mınimo en c.

Finalmente como f(c) = y y c ∈ B, se tiene que y ∈ f(B), asi T ⊆ B y se termina la demostracion

del teorema, ya que se encontro la bola con centro en f(a) y radio m2 . Tomado de [5, p 369].

Teorema 2.3.2. Sea f = (f1, f2, . . . , fn) una funcion en Rn, talque existen las derivadas parciales de

f y ademas son continuas en un conjunto abierto C de Rn. Si Jf (a) es diferente de cero para algun

punto a de C, existe un bola abierta con centro en a en C en la que f es uno a uno.

Demostracion. Sean Z1, Z2, . . . , Zn puntos en C y sea Z = (Z1, Z2, . . . , Zn) un punto en Rn2. Sea h

una funcion definida en Rn2como

h(Z) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂1f1(Z1) ∂2f1(Z1) . . . ∂nf1(Z1)

∂1f2(Z2) ∂2f2(Z2) . . . ∂nf2(Z2)...

.... . .

...

∂1fn(Zn) ∂2fn(Zn) . . . ∂nfn(Zn)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Por hipotesis las derivadas parciales existen para cada fi(Zi) y ademas son continuas luego la funcion

h es continua en Z ya que la suma y el produto de funciones continuas es continuo.

Ahora para Z1 = Z2 = . . . = Zn = a, se tiene que h(a) 6= 0 ya que Jf (a) = h(a). Ademas como h es

continua en Rn2en particular h es continua en a existe una bola con centro en a en Rn que se notara

por B tal que h(Z) 6= 0 si cada Zi pertenece a B.

Para completar la demostracion se probara por contradiccion que f es uno a uno en B.

Por lo tanto si f no es uno a uno en B existen x, y puntos de B talque y 6= x y f(x) = f(y). Ahora

como toda bola abierta en convexa se tiene que el segmento que une a los puntos x e y esta contenido

en B, y ademas como f es diferenciable en B por tener derivadas parciales continuas aplicando el

teorema del valor medio existe zi en el segmento L(x, y) tal que

fi(x)− fi(y) = ∇fi(zi)(x− y),

pero como f(x) = f(y) se tiene

0 = ∇fi(zi)(y − x)

= (∂1fi(zi), . . . , ∂nfi(zi)) · ((y1 − x1), . . . , (yn − xn))

= ∂1fi(zi)(y1 − x1) + . . .+ ∂nfi(zi)(yn − xn)).


Obteniendo asi el sistema:

∂1f1(z1)(y1 − x1) + . . .+ ∂nf1(z1)(yn)− xn) = 0

... =...

∂1fn(zn)(y1 − x1) + . . .+ ∂nfn(zn)(yn)− xn) = 0,

luego como cada zi ∈ B se tiene que ∂jfi(zi) 6= 0 para cada i = 1, 2, . . . , n, por lo tanto el determinante

del sistema anterior es diferente de cero y existe una unica solucion para el sistema, que se da cuando

yk = xk para k = 1, 2, . . . , n. Lo cual contradice la hipotesis de contradiccion que menciona que x 6= y.

Por lo tanto f es uno a uno en B y se cumple el teorema. Demostracion tomada de [5, p 370].

Observacion: El teorema anterior garantiza que la funcion es uno a uno en una vecindad del punto

en el que el jacobiano es diferente de cero, pero no garantiza que la funcion sea uno a uno en todo

el conjunto de puntos en el que el jacobiano sea diferente de cero. Tal es el caso de la funcion f :

R2 − {(0, 0)} → R2 con

f(x, y) =

(x2 − y2√x2 + y2

,2xy√x2 + y2

)ya que

Jf (x, y) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x(x2 + 3y2)

(x2 + y2)32

. . .y(3x2 + y2)

(x2 + y2)32

.... . .

...

2y3

(x2 + y2)32

. . .2x3

(x2 + y2)32

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 2

es decir, Jf (x, y) es diferente de cero en todo el dominio de la funcion, pero no es uno a uno en este

conjunto ya que f(1, 1) = f(−1,−1) = (0,√

2).

Despues mencionar y demostrar los teoremas anteriores se podra enunciar y demostrar el teorema de

la funcion inversa en Rn.

Teorema 2.3.3. TEOREMA DE LA FUNCION INVERSA

Sea f una funcion definida en Rn tal que f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) con fi una funcion de Rn

en R con i = 1, 2, . . . , n.

Si f tiene derivadas parciales continuas en un conjunto abierto S de Rn, y existe x0 en S talque el

jacobiano de f en x0 es diferente de cero. Entonces para T = f(S) existe una funcion unica g y dos

conjuntos abiertos X ⊆ S e Y ⊆ T tales que


1. Si x′ ∈ X entonces f(x′) ∈ Y .

2. f(X) = Y .

3. f es uno a uno en X.

4. g esta definida en Y . Ademas g(Y ) = X y g(f(x′)) = x′.

5. g tiene derivadas parciales continuas en Y .

Demostracion. La demostracion del teorema de la funcion inversa se realizara en 3 pasos:

(a) Probar la existencia de la funcion g seguido de definir los conjuntos X e Y .

(b) Probar que X, Y e g cumplen 1, 2, 3, 4.

(c) Probar que g cumple 5.

En efecto:

(a) Como las derivadas parciales de f en S existen y son continuas el jacobiano de f es una funcion

continua en S por ser el producto y suma de funciones continuas, en particular el jacobiano de f

es continuo en el punto x0. Ademas como el jacobiano de f en x0 es diferente de cero, existe r > 0

talque

Br(x0) ⊆ S y Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ Br(x0).

De lo anterior como Jf (x) 6= 0 en Br(x0) ⊆ S y f tiene derivadas parciales continuas en S existe

r1 > 0 talque en la bola con centro en x0 y radio r1 f es uno a uno y Br1(x0) ⊆ Br(x0).

Ahora sea r2 > 0 con r2 < r1 y

B = {x ∈ S :| x0 − x |= r2} ∪Br2(x0).

Como Br2(x0) ⊆ Br1(x0), f es continua y es uno a uno en B, ademas Jf (x) 6= 0 para todo x en

Br2(x0) por el teorema 1.6.2.

Ahora f es diferenciable en Br2(x0) por que f tiene derivadas parciales continuas y por ser di-

ferenciable es continua en Br2(x0), ademas como f es uno a uno en Br2(x0) y Jf (x0) 6= 0, por

teorema 1.6.1 existe una bola con centro en f(x0) contenida en f(Br2(x0)) que sera llamada Y .

Con la definicion anterior de Y sea


X = f−1(Y ) ∩Br2(x0).

Con esta definicion de X se tiene que X ⊆ S, y el paso a seguir es probar que X es un conjunto

abierto.

En efecto como f es continua en Br2(x0) e Y es un conjunto abierto en T , la imagen inversa de

Y es un conjunto abierto de S. Ahora como la interseccion de conjuntos abiertos en un conjunto

abierto se tiene que X es un conjunto abierto.

Ahora se probara la existencia de la funcion g.

Como B es un conjunto cerrado y acotado es compacto, y como f es una funcion continua y uno

a uno en B existe una funcion g definida en f(B) continua y g(f(x)) = x para todo x ∈ B. Con

esto se han definido los conjuntos abiertos X,Y y la funcion g.

(b) Se porbara que si x′ ∈ X entonces f(x′) ∈ Y .

En efecto como x′ ∈ X se tiene que x′ ∈ f−1(Y ) ∩ Br2(x0), y por la definicion de interseccion de

conjuntos x′ ∈ f−1(Y ), es decir, f(x′) ∈ Y y se tiene la implicacion 1.

Ahora se probara que f(X) ⊆ Y . Para ello sea x0 ∈ X, entonces x0 ∈ f−1(Y ), es decir, f(x0) ∈ Y .

Asi f(X) ⊆ Y .

Ademas Y ⊆ f(X) ya que como Y ⊆ f(Br2(x0)) existe x′ en Br2(x0) talque f(x′) ∈ Y , en

consecuencia y x′ ∈ f−1(Y ), es decir, x′ ∈ X e Y ⊆ f(X).

Por lo tanto como f(X) ⊆ Y e Y ⊆ f(X) se tiene que f(X) = Y y se cumple 2.

A continuacion se probara que f es uno a uno en X. En efecto como X = f−1(Y ) ∩ Br2(x0),

x ⊆ Br2(x0) ⊆ Br1(x0) y f es uno a uno en Br1(x0) tambien lo es en Br2(x0), ası f es uno a uno

en X y se cumple la implicacion 3.

Ahora como g esta definida en f(B) ⊇ Y , g esta definida en Y y g(f(x)) = x. De esta forma se

cumplen las implicaciones 1, 2, 3 y 4.

(c) Finalmente se probara que g tiene derivadas parciales continuas en Y .

Para ello sea h una funcion definida en Rn2a valor real talque

h(Z) = Det(∂jfi(Zi)) con Z = (Z1, . . . , Zn) y Zi ∈ S para i = 1, 2, . . . , n.

Como Zi ∈ S se tiene que las derivadas parciales ∂jfi(Zi) son continuas para cada i = 1, 2, . . . , n,

por lo tanto h es continua en S ya que es el producto y la suma de funciones continuas.


Ahora definiendo Z ′ = Z1 = Z2 = . . . = Zn = x0 se tiene que

h(Z ′) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂1f1(x0) ∂2f1(x0) . . . ∂nf1(x0)

∂1f2(x0) ∂2f2(x0) . . . ∂nf2(x0)...

.... . .

...

∂1fn(x0) ∂2fn(x0) . . . ∂nfn(x0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= Jf (x0) 6= 0

por lo tanto por ser h continua existe r′ > 0 tal que h(Z) 6= 0 si Zi ∈ Br′(x0) para i = 1, 2, . . . , n

de tal forma que Br1(x0) ⊆ Br′(x0). Asi

Br2(x0) ⊆ Br1(x0) ⊆ Br′(x0)

y h(Z) 6= 0 si Zi ∈ Br2(x0) para cada i = 1, 2, . . . , n

Como g es una funcion continua en Rn se notara g como g(x) = (g1(x), . . . , gn(x)). Asi para probar

que g tiene derivadas paricales continuas se probara que existen las derivadas parciales de gk y

ademas que son continuas, para k = 1, 2, . . . , n.

En efecto como Y es una bola abierta con centro en f(x0) existe m > 0 talque

Y = Bm(f(x0)).

Sean ur el r−esimo vector unidad coordenada y λ ∈ R talque | λ |< m, luego y′ + λur ∈ Y con

y′ ∈ Y .

Con lo anterior se define el cociente

gk(y′ + λur)− gk(y′)

λ.

Como g(Y ) = X existen x′, x enX talque x = g(y′) y x′ = g(y′+λur). Entonces f(x′)−f(x) = λur,

es decir,

f(x′)− f(x) = (f1(x′)− f1(x), . . . , fr(x

′)− fr(x), . . . , fn(x′)− fn(x))

= (0, . . . , λ, . . . , 0)

obteniendo asi que

fi(x′)− fi(x) = 0 si i 6= r.

fi(x′)− fi(x) = λ si i = r.


Por otro lado como todo conjunto abierto es convexo se tiene que el segmento que une los puntos

x′ y x pertenece a X. Ademas como f es diferenciable en X se puede hacer uso del teorema del

valor medio en cada componente de f , para obtener que existe zi en L(x, y) talque:

fi(x′)− fi(x)

λ= ∇fi(zi)

x′ − xλ

para i = 1, 2, . . . , n. Pero comofi(x

′)− fi(x)

λtoma unicamente los valores 0 o 1 segun sea el valor

de i se tiene un sistema de n ecuaciones lineales con n incognitas de la formax′i − xiλ

. Este sistema

tiene solucion unica porque Det(∂jfiZi) = h(Z) 6= 0.

Resolviendo la k−esima incognitax′k − xk

λpor el metodo de Cramer se obtiene una solucion para

x′k − xk

λ=gk(y

′ + λur)− gk(y′)λ

como cociente de determinantes.

Como g es continua en f(B) cuando λ tiende a 0 se tiene que x′ tiende a x, por lo tanto cada zi

tiende a x ya que zi pertenece al segmento que une a los puntos x y x′.

Ahora el determinante que aparece en el denominador de la solucion del sistema tiene como lımite

el numero

Det(∂jfi(x)) = Jf (x) 6= 0

ya que x ∈ Br2(x0). Por lo tanto el lımite

lımλ→0

gk(y′ + λur)− gk(y′)

λ= ∂rgk(y

′)

existe para cada y′ en Y y cada k = 1, 2, . . . , n.

Ademas como este lımite es el cociente de dos determinantes que estan en terminos de las derivadas

parciales de cada fi las cuales son continuas se tiene que es continuo. De donde para cada K =

1, 2, . . . , n las n derivadas parciales de gk existen y son continuas, esto es que g tiene derivadas

parciales en Y .

Completando asi la demostracion del teorema de la funcion inversa. Tomado de [5, p 372].

Ejemplo 2.3.4. Sea f una funcion definida en R2 con f(s, t) = (s2 + t2, 2st) .

Para poder determinar si se puede hacer uso del teorema de la funcion inversa se encontraran los

puntos en R2 para los cuales el Jacobiano de f es diferente de cero. En efecto

Jf (s, t) =

∣∣∣∣∣∣2s 2t

2t 2s

∣∣∣∣∣∣ = 4(s2 − t2)


Entonces Jf (s, t) 6= 0 si 4(s2 − t2) 6= 0, esto es cuando s2 6= t2, es decir en todos los puntos de R2

menos en las rectas s = ±t. Asi aplicando el teorema de la funcion inversa sea

X = {(s, t) : |t| < s; s > 0}

sea Y = f(X) y sea x = s2 + t2 e y = 2st. Asi

x+ y = (s+ t)2 y x− y = (s− t2)

Despejando s y t de las ecuaciones anteriores se tiene:

s =

√x+ y +

√x− y

2

t =

√x+ y −

√x− y

2.

Definiendo asi la funcion g definida en Y como:

g(x, y) =

(√x+ y +

√x− y

2,

√x+ y −

√x− y

2

)que es la funcion inversa de f en el conjunto X, y se cumplen todas las implicaciones del teorema de

la funcion inversa para f . Ver en [7, p 141].

Ejemplo 2.3.5. Sea f : R+ × R→ R2 con f(r, ϕ) = (r cos(ϕ), r sen(ϕ)). Primero se determinara

Jf (r, ϕ) =

∣∣∣∣∣∣cos(ϕ) −r sen(ϕ)

sen(ϕ) r cos(ϕ)

∣∣∣∣∣∣ = r

por lo tanto como f esta definida en R+ × R se tiene que Jf (r, ϕ) > 0 para todo r en el dominio de

la funcion. Pero como las funciones seno y coseno son periodicas se tiene que f tambien es periodica

por lo que f no es uno a uno en todo su dominio y no existe la funcion inversa de f en su dominio.

Asi para aplicar el teorema de la funcion inversa se definen los conjuntos

U =

{(r, ϕ) : ϕ ∈

(−π2,π

2

)}V = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}

y la funcion f : U → V con f(r, ϕ) = (x, y) = (r cos(ϕ), r sen(ϕ)), asi por lo mencionado

anteriormente Jf(r, ϕ) 6= 0 y la funcion es uno a uno en U . Luego aplicando el teorema de la

funcion inversa existe una funcion g : V → U tal que g(f(r, ϕ)) = (r, ϕ) que esta definida por

g(x, y) =(√

x2 + y2, arctan(yx

))con derivadas parciales continuas.


Observacion: En el teorema de la funcion inversa la hipotesis de que la funcion debe tener derivadas

parciales continuas es necesaria, ya que por ejemplo la funcion f de valor real con

f(x) =

αx+ x2sen

(1

x

)con 0 < α < 1 y x 6= 0;

0 si x = 0.

tiene derivada en el punto cero que es α 6= 0, pero su derivada no es continua en el punto cero. Y f

no tiene funcion inversa en ninguna vecindad del punto cero [8, p 68].

Teorema 2.3.6. Sean f , g funciones que cumplen las propiedades del teorema de la funcion inversa.

Entonces Jf (x) = (Jg(y))−1 con y = f(x).

Demostracion. Sea h(x) = g(f(x)) = x, por el teorema de multiplicacion de jacobianos se tiene

Jh(x) = Jg(f(x)) · Jf (x) = 1

Por lo tanto Jf (x) = (Jg(y))−1 y se tiene el teorema.

2.4. Teorema de la funcion implıcita

Segun [8, p 2] una funcion f con dominio X y codominio Y es el subconjunto del producto cartesiano

f = X×Y = {(x, y) : x ∈ X; y ∈ Y}

que cumple:

1. Para cada x ∈ X existe un elemento (x, y) en f .

2. Si (x, y) ∈ f y (x, y) ∈ f entonces y = y.

De esta definicion se puede decir que y esta expresado en funcion de x y se puede escribir como

y = f(x).

Por otro lado la ecuacion F (x, y) = 0 no siempre representa una funcion, generalmente porque no

cumple con la condicion 2. De esto surge la pregunta ¿Cuando la ecuacion F (x, y) = 0 es funcion?

Para dar solucion a esta pregunta el teorema de la funcion implıcita menciona que bajo ciertas con-

diciones una de las variables x o y se puede expresar en funcion de la otra en una vecindad V de un

punto (u,w) para el cual F (u,w) = 0. En otras palabras el teorema de la funcion implıcita permite

decidir cuando la ecuacion F (x, y) = 0 es funcion.


Teorema 2.4.1. TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA. Sea f = (f1, . . . , fn) una fun-

cion vectorial definida en un conjunto abierto S de Rk+n con valores en Rn.

Si f tiene derivadas parciales continuas en S y existe un punto (t0;x0) de S tal que f(t0;x0) = 0 y

Jf (t0;x0) 6= 0. Entonces existen un conjunto abierto T con centro en t0 y una unica funcion vectorial

g definida en T con valores en Rn tal que

1. g tiene derivadas parciales continuas en S.

2. g(t0) = x0.

3. f(g(t); t) = 0 para todo t en T .

Demostracion. Para demostrar el teorema de la funcion implıcita es necesario hacer uso del teorema

de la funcion inversa. Para ello sea F = (F1, . . . , Fk;Fk+1, . . . , Fk+n) una funcion definida en S con

valores en Rn+k con

Fi(t;x) = ti con 1 ≤ i ≤ k

Fk+m(t;x) = fm(t;x) con 1 ≤ m ≤ n.

Ahora

JF (t;x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂1F1(t;x) . . . ∂kF1(t;x) ∂k+1F1(t;x) . . . ∂k+nF1(t;x)...

. . ....

.... . .

...

∂1Fk(t;x) . . . ∂kFk(t;x) ∂k+1Fk(t;x) . . . ∂k+nFk(t;x)

∂1Fk+1(t;x) . . . ∂kFk+1(t;x) ∂k+1Fk+1(t;x) . . . ∂k+nFk+1(t;x)...

. . ....

.... . .

...

∂1Fk+n(t;x) . . . ∂kFk+n(t;x) ∂k+1Fk+n(t;x) . . . ∂k+nFk+n(t;x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣por definicion de F es igual a

JF (t;x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 . . . 0 0 . . . 0...

. . ....

.... . .

...

0 . . . 1 0 . . . 0

∂1f1(t;x) . . . ∂kf1(t;x) ∂k+1f1(t;x) . . . ∂k+nf1(t;x)...

. . ....

.... . .

...

∂1fn(t;x) . . . ∂kfn(t;x) ∂k+1fn(t;x) . . . ∂k+nfn(t;x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂k+1f1(t;x) . . . ∂k+nf1(t;x)

.... . .

...

∂k+nfn(t;x) . . . ∂k+nfn(t, x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = Jf (t;x).

Luego como Jf (t0;x0) 6= 0 entonces JF (t0;x0) 6= 0 y ademas

F (t0;x0) = (F1(t0;x0), . . . , Fk(t0;x0);Fk+1(t0;x0), . . . , Fk+n(t0;x0))

= (t1, . . . , tk; f1(t0;x0), . . . , fn(t0;x0))

= (t0; 0)

la ultima igualdad se tiene por hipotesis.

Ası como JF (t0;x0) 6= 0 y F tiene derivadas parciales continuas en S por el teorema de la funcion

inversa existen dos abiertos X ⊆ S que contiene al punto (t0;x0) e Y ⊆ F (S) que contiene al punto

F (t0;x0) talque F es uno a uno en X e Y = F (X) y existe una funcion G definida en Y con valores

en X talque G tiene derivadas parciales continuas en Y e G(F (t;x)) = (t;x).

Ahora expresando a G como G = (w; v) con v = (v1, . . . , vn) una funcion vectorial definida en Y con

valores en Rn y w = (w1, . . . , wk) una funcion vectorial definida en Y con valores en Rk se pueden

expresar explıcitamente las funciones v y w como

(w(F (t;x)), v(F (t;x))) = (t;x)

ya que G(F (t;x)) = (t;x). Por lo tanto

v(F (t;x)) = x

w(F (t;x)) = t.

Mas aun como F es uno a uno en X y G(Y ) = X, todo punto (t1;x1) de Y se puede escribir de

manera unica como (t1;x1) = F (t′;x′) para (t′;x′) en X. Ası por definicion de F si (t1;x1) = F (t′;x′)

entonces t1 = t′ y

v(t1;x1) = v(F (t′;x′)) = x′;

w(t1;x1) = w(F (t′;x′)) = t′ = t1.

De donde G se puede escribir como

G(t1;x1) = (t1, x′)


con x′ en Rn y F (t′;x′) = (t1;x1). Por lo tanto F (t; v(t1;x1)) = F (t;x′) = (t1;x1) para todo (t1;x1)

en Y .

Con lo anterior se define T como:

T = {t : t ∈ Rk; (t; 0) ∈ Y }.

Como Y es un conjunto abierto, T tambien lo es.

Ahora sea g una funcion definida en T con valores en Rn tal que

g(t) = v(t; 0), con t ∈ T.

g tiene derivadas parciales continuas en T ya que las componentes de g tambien son componentes de

la funcion G, y G tiene derivadas parciales continuas. Con lo que queda demostrado 1.

Tambien g cumple la propiedad 2 ya que por defincion g(t0) = v(t0; 0) = x0, la ultima igualdad se

tiene porque (t0; 0) = F (t0;x0).

Ademas como F (t; v(t;x)) = (t;x) entonces f(t; v(t;x)) = x, ası tomando x = 0 por definicion de T

se tiene

f(t; g(t)) = f(t; v(t; 0)) = 0

para todo t en T y se tiene que g cumple la propiedad 3.

Por ultimo se demostrara que g es unica. En efecto si existiera otra funcion h que cumpla 1, 2 y 3

se tendria f(t; g(t)) = f(t;h(t)), pero como f es uno a uno (t; g(t)) = (t;h(t)), es decir, g(t) = h(t)

para todo t en T , por lo tanto g es unica. Terminando asi la demostracion del teorema de la funcion

implıcita. Demostracion tomada de [5, p 374].

Los siguientes ejemplos muestran el uso que tiene el teorema de la funcion implıcita.

Ejemplo 2.4.2. Sea F definida en R2 con valores en R2 talque F (x, y) = x2−y2−1. Para poder hacer

uso del teorema de la funcion implıcita primero se determina los puntos de R2 en los que F (x, y) = 0.

Para ello se define el conjunto G = {(x, y) ∈ R2 : F (x, y) = 0}, el cual es una hiperbola.

Ahora como ∂yF = −2y para (u, v) en G con v 6= 0 se tiene ∂yF (u, v) = −2v 6= 0. Asi (u, v) satisface

las hipotesis del teorema de la funcion implıcita y por lo tanto existe una vecindad S del punto u en

la cual v se puede expresar en funcion de u.

En efecto como v 6= 0 se debe tener que v > 0 o v < 0. Luego si v > 0 se define f como v = f(u) =√u2 − 1 para todo u en S, y si v < 0 se define f como v = f(u) = −

√u2 − 1 para todo u en S. En

ambos casos f es funcion y expresa a v en funcion de u.


Ahora si v = 0 entonces u = ±1 y ∂yF (u, v) = 0 y no existe ninguna vecindad de u = ±1 en el que se

puede expresar y en funcion de x. Ver en [7, p 149].

Con este ejemeplo se puede ver que si una funcion expresada en forma implıcta cumple con las

hipotesis del teorema de la funcion implıcita entonces esta funcion se puede expresar de forma explıcita,

expresando unas variables en terminos de las otras.

Ejemplo 2.4.3. Dado el sistema con variables x, y, u, v

x2 − y2 − u3 + v2 + 4 = 0

2xy + y2 − 2u2 + 3v4 + 8 = 0

se define F : R4 → R2 con F (x, y, u, v) = (x2 − y2 − u3 + v2 + 4, 2xy + y2 − 2u2 + 3v4 + 8). Para

determinar en que puntos de R2 la funcion F se puede expresar de forma explıcita se determina un

punto en el que F (x, y, u, v) = 0.

En efecto F (2,−1, 2, 1) = 0 y ademas

JF (u, v) =

∣∣∣∣∣∣−3u2 2v

−4u 12v3

∣∣∣∣∣∣ = −36u2v3 + 8uv

por lo tanto JF (2, 1) = −128 6= 0, luego por el teorema de la funcion implıcita existe una ve-

cindad T del punto (2,−1) y una funcion f = (f1, f2) definida en T con valores en R2 tal que

F (x, y, f1(x, y), f2(x, y)) = 0 para todo (x, y) en T . Por lo que se concluye que la funcion F se puede

expresar en forma explıcita.

Capıtulo 3

Estabilidad

Cuando se hace una pequena perturbacion en un sistema y el efecto que se produce no sufre cambios

muy grandes, se dice que el sistema es estable. Por ejemplo, la solucion f(x) de una ecuacion diferen-

cial se dice estable si cualquier otra funcion que comienza lo suficientemente cerca a ella cuando x = 0

tambien se mantiene cerca de f(x) para los valores de subsiguientes de x.

Otro ejemplo claro para entender el concepto de estabilidad es el pendulo simple, el cual posee dos

estados de equilibrio (posicion A, cuando el pendulo esta en reposo y el centro de gravedad de la masa

puntual esta lo mas cerca posible del suelo, y posicion B, cuando la masa se encuentra en la posicion

mas alejada del suelo). En este modelo, la posicion de equilibrio A es estable, pues si se produce una

desviacion de la posicion de equilibrio, el movimiento de la masa sera oscilatorio alrededor de dicha

posicion, mientras que la posicion B resulta ser inestable pues una pequena desviacion de dicha posi-

cion hace que la partıcula se acerque a la posicion de equilibrio A.

El concepto de estabilidad fue estudiado por primera vez por el matematico S.M. Ulam, quien en 1940

en el coloquio de matematicas de la Universidad de Wisconsin formulo la siguiente pregunta que se

encuentra en [9, p, 81]:

Sean (G1, ∗) un grupo, (G2, ·) un grupo con la metrica d(·, ·). Dado ε > 0 y f : G1 → G2 una funcion

que satisface

d(f(x ∗ y), f(x) · f(y)) < ε

para todo x, y ∈ G1 ¿ Existen δε > 0 y un homomorfismo a : G1 → G2 tal que

d(a(x), f(x)) < δε

38

CAPITULO 3. ESTABILIDAD 39

para todo x ∈ G1 ?

Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa se dice que la ecuacion a(x ∗ y) = a(x) · a(y) es

estable.

3.1. Estabilidad segun Hyers − Ulam.

Varios matematicos intentaron dar respuesta a la pregunta anterior, entre ellos D. H. Hyers quien dio

respuesta cuando G1, G2 son espacios de Banach. A partir de la respuesta dada por Hyers se da paso

a la siguiente definicion de estabilidad

Definicion 3.1.1. Estabilidad segun Hyers − Ulam Sean B1, B2 espacios normados. Se dice

que la ecuacion funcional g(f) = 0 con f : B1 → B2, es estable segun Hyers − Ulam si para todo

ε > 0 y toda funcion F : B1 → B2 que satisface

‖g(F (x))‖ ≤ ε

para todo x ∈ B1 existen δε > 0 y h solucion de la ecuacion g(f) = 0 tales que

d(F (x), h(x)) ≤ δε

para todo x ∈ B1.

Para entender el conepto de estabilidad se expone la ecuacion de Cauchy y el estudio correspondiente

para determinar si es o no estable.

ECUACION FUNCIONAL DE CAUCHY.

La ecuacion funcional de Cauchy es la siguiente:

f(x+y) = f(x) + f(y)

Definicion 3.1.2. Una funcion f : E1 → E2 se dice aditiva si es solucion de la ecuacion funcional

de Cauchy.

De los estudios realizados se concluye que si una funcion aditiva cumple ciertas condiciones es lineal.

Teorema 3.1.3. Si una funcion aditiva f : E1 → E2 satisface una de las siguientes condiciones,

entonces existe una constante c talque f(x) = cx para todo x ∈ E1, es decir, f es lineal.

f es continua en un punto.


f es acotada.

f es integrable.

f es Lebesgue medible.

[2, p 19]

Del teorema anterior se deduce que las funciones aditivas continuas en un punto son lineales, pero no

se puede concluir nada sobre las funciones aditivas discontinuas. De las soluciones no lineales solo se

ha podido enunciar y demostrar el siguiente teorema.

Teorema 3.1.4. La grafica de una funcion aditiva no lineal f : R→ R es densa en R2.

Demostracion. La grafica de f esta dada por el conjunto

G = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ R; y = f(x)}

Ahora sea x1 6= 0 un numero real. Como f es no lineal existe x2 6= 0 real talque

f(x1)

x16= f(x2)

x2

luego ∣∣∣∣∣∣x1 f(x1)

x2 f(x2)

∣∣∣∣∣∣ 6= 0

.

Por lo tanto los vectores v1 = (x1, f(x1)) , v2 = (x2, f(x2)) son linealmente independientes y generan

todo R2. Ademas como Q2 es denso en R2 existen r1, r2 ∈ Q tales que

‖v − (r1v1 + r2v2)‖ ≤ ε

para todo ε > 0. Ahora como

r1v1 + r2v2 = r1(x1, f(x1)) + r2(x2, f(x2))

= (r1x1, r1f(x1)) + (r2x2, r2f(x2))

= (r1x1 + r2x2, r1f(x1) + r2f(x2))

= (r1x1 + r2x2, f(x1r1 + r2x2))

el conjunto

G = {(x, y) ∈ R2 : x = r1x1 + r2x2; y = f(x); r1, r2 ∈ Q}


es denso en R2.

Luego como G ⊆ G se tiene que G es denso en R2 que es lo que se queria probar. Tomado de [2, p

20]

El teorema anterior muestra la dificultad que existe para determinar las principales propiedades de

una funcion aditiva no lineal, para logarar este objetivo se puede hacer un estudio de las funciones que

se acercan a ella siempre y cuando la ecuacion funcional de Cauchy sea estable segun Hyers − Ulam.

El siguiente teorema garantiza la estabilidad de la ecucion de Cauchy entre espacios de Banach.

Teorema 3.1.5. Hyers Sea f : E1 → E2 una funcion entre dos espacios de Banach talque para todo

ε > 0

‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε (3.1)

para todo x, y ∈ E1. Entonces el lımite

lımn→∞

f(2nx)

2n= g(x)

existe para cada x ∈ E1 y la funcion g : E1 → E2 es la unica funcion aditiva talque

‖f(x)− g(x)‖ ≤ ε

para todo x ∈ E1.

Demostracion. Para demostrar el teorema anterior se realizan los siguientes pasos.

1. Probar que g(x) existe.

2. Probar que g(x) es aditiva.

3. Probar ‖f(x)− g(x)‖ ≤ ε para todo x ∈ E1.

4. Probar que g es la unca funcion aditiva que satisface 3.

En efecto primero se probara que el lımite

lımn→∞

f(2nx)

2n= g(x)

existe. Para ello haciendo y = x en (3,1) se tiene

‖f(2x)− 2f(x)‖ ≤ ε


y diviendo por dos ∥∥∥∥f(2x)

2− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε (3.2)

Ahora remplazando x por 2x y dividiendo por 2 en (3,2) se tiene∥∥∥∥f(22x)

22− f(2x)

2

∥∥∥∥ ≤ ε

22(3.3)

luego por la desigualdad triangular y por (3,2), (3,3) se tiene∥∥∥∥f(22x)

22− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε(1− 1

22

).

Siguiendo el proceso de remplazar x por 2x y dividir por 2 n−veces se tiene∥∥∥∥f(2n(x))

2n− f(2n−1x)

2n−1

∥∥∥∥ ≤ ε

2n

y ∥∥∥∥f(2n−1(x))

2n−1− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε(1− 1

2n−1

)Por lo tanto ∥∥∥∥f(2nx)

2n− f(x)

∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥f(2n(x))

2n− f(2n−1x)

2n−1

∥∥∥∥+

∥∥∥∥f(2n−1(x))

2n−1− f(x)

∥∥∥∥≤ ε

2n+ ε

(1− 1

2n−1

)= ε

(1− 1

2n

)esto es ∥∥∥∥f(2nx)

2n− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε(1− 1

2n

)para todo n ∈ N. Con la desigualdad anterior se puede probar que la sucesion de funciones{

gn(x) =f(2nx)

2n

}es de Cauchy y por lo tanto es convergente ya que E2 es un espacio de Banach.

En efecto sean n > 0, m > 0 numeros naturales tales que n > m.

Remplazando x por 2mx en ∥∥∥∥f(2nx)

2n− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε(1− 1

2n

)se tiene ∥∥∥∥f(2n+mx)

2n− f(2mx)

∥∥∥∥ ≤ ε(1− 1

2n

)


y dividiendo por 2m ∥∥∥∥f(2n+m(x))

2n+m− f(2mx)

2m

∥∥∥∥ ≤ ε

2m

(1− 1

2n

)Luego como lımm→∞

1

2m= 0 se tiene que la sucesion {gn(x)} es de Cauchy y es convergente, es decir

que existe el lımite

lımn→∞

f(2nx)

2n= g(x)

para todo x ∈ E1 que es lo que se queria probar en 1.

Ahora el paso a seguir es probar que g(x) es una funcion adititva. En efecto como ‖f(x+ y)− f(x)−

f(y)‖ ≤ ε si se remplazan x por 2nx e y por 2ny se tiene

‖f(2nx+ 2ny)− f(2nx)− f(2ny)‖ ≤ ε

y ahora dividiendo por 2n ∥∥∥∥f(2nx+ 2ny)

2n− f(2

nx)

2n− f(2ny)

2n

∥∥∥∥ ≤ ε

2n

luego como f es continua haciendo el lımite cuando n→∞ se tiene

‖g(x+ y)− g(x)− g(y)‖ =

∥∥∥∥ lımn→∞

(f(2nx+ 2ny)

2n− f(2

nx)

2n− f(2ny)

2n

)∥∥∥∥= lım

n→∞

1

2n‖f(2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)‖

≤ lımn→∞

ε

2n= 0

para todo x, y ∈ E1, es decir, g es una funcion aditiva que es lo que se queria probar.

Despues de probar que g es aditiva se procede a probar que ‖f(x)− g(x)‖ ≤ ε para todo x ∈ E1. En

efecto

‖f(x)− g(x)‖ =

∥∥∥∥f(x)− lımn→∞

f(2nx)

2n

∥∥∥∥= lım

n→∞

∥∥∥∥f(x)− f(2nx)

2n

∥∥∥∥≤ lım

n→∞ε

(1− 1

2n

)= ε

Asi ‖f(x)− g(x)‖ ≤ ε.

Por ultimo se probara que g es la unica funcion aditiva que cumple la desigualdad anterior por

contradiccion. En efecto si se supone que existe otra funcion aditiva h : E1 → E2 tal que ‖h(x)−f(x)‖ ≤


ε con h(x) 6= g(x) para todo x ∈ E1.

Ademas como ‖g(x) − h(x)‖ ≤ ‖g(x) − f(x)‖ + ‖f(x) − h(x)‖ ≤ 2ε para todo x ∈ E1, y g, h son

funciones aditivas existe k ∈ N talque

‖g(x)− h(x)‖ =

∥∥∥∥kg(x)

k− kh(x)

k

∥∥∥∥=

∥∥∥∥g(kx)

k− h(kx)

k

∥∥∥∥=

1

k‖g(kx)− h(kx)‖

≤ 1

k2ε

luego haciendo el lımite cuando n→∞

lımk→∞

‖g(x)− h(x)‖ ≤ lımk→∞

2ε

k= 0

es decir, g(x) = h(x) para todo x ∈ E1 lo cual es una contradiccion. Por lo tanto g es la unica funcion

aditiva que satisface ‖f(x)− g(x)‖ ≤ ε para todo x y se cumple el teorema. Ver en [10, p 18]

Rassias en 1978 hace una generalizacion del teorema anterior para funciones no acotadas.

Teorema 3.1.6. Rassias Sean E1, E2 espacios de Banach y sea f : E1 → E2 una funcion que

satisface la desigualdad

‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(‖x‖p + ‖y‖p)

para todo x, y ∈ E1, con ε > 0 , p ∈ [0, 1).

Entoces existe una unica funcion aditiva A : E1 → E2 talque

‖f(x)−A(x)‖ ≤ 2ε

2− 2p‖x‖p

para todo x ∈ E1.

Demostracion. Sea ε > 0 y p ∈ [0, 1) luego por hipotesis se tiene

‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(‖x‖p + ‖y‖p)

para todo x ∈ E1. Haciendo y = x y diviendo por 2 en la desigualdad anterior se tiene∥∥∥∥f(2x)

2− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε‖x‖p (3.4)


Nuevamente remplazando x por 2x y dividiendo por 2 en la ultima desigualdad∥∥∥∥f(22x)

22− f(2x)

2

∥∥∥∥ ≤ 2p−1ε‖x‖p (3.5)

Asi por la desigualdad triangular y por (3,4), (3,5) se tiene∥∥∥∥f(22x)

22− f(x)

∥∥∥∥ ≤ 2p−1ε‖x‖p + ε‖x‖p

= ε‖x‖p(2p−1 + 1).

Con las desigualdades anteriores se procede a probar por induccion sobre n que∥∥∥∥f(2nx)

2n− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε‖x‖p n−1∑m=0

2m(p−1).

En efecto, por (3,4) la desigualdad se cumple para n = 1. Ahora se supone que la desigualdad es cierta

para n y se prueba para n+ 1.

Por hipotesis de induccion se tiene∥∥∥∥f(2nx)

2n− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε‖x‖p n−1∑m=0

2m(p−1)

luego remplazando x por 2x y diviendo por 2 se tiene∥∥∥∥f(2n+1x)

2n+1− f(2x)

2

∥∥∥∥ ≤ ε‖x‖p n∑m=1

2m(p−1), (3.6)

por la desigualdad triangular y por (3,4), (3,6) se tiene∥∥∥∥f(2n+1)

2n+1− f(x)

∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥f(2n+1x)

2n+1− f(2x)

2

∥∥∥∥+

∥∥∥∥f(2x)

2− f(x)

∥∥∥∥≤ ε‖x‖p

n∑m=1

2m(p−1) + ε‖x‖p

= ε‖x‖pn∑

m=0

2m(p−1)

Por lo tanto ∥∥∥∥f(2nx)

2n− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε‖x‖p n−1∑m=0

2m(p−1)

para todo n ∈ N.

Ademas como p ∈ [0, 1) se tiene 0 ≤ 2p−1 < 1 y por lo tanto la serie∑∞

m=0 2(p−1)m converege al punto


2

2− 2py

∥∥∥∥f(2nx)

2n− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε‖x‖pn−1∑m=0

2m(p−1)

≤ ε‖x‖p∞∑m=0

2m(p−1)

=ε‖x‖p22− 2p

.

Con la desigualdad anterior se procede a probar que la sucesion de funciones

{f(2nx)

2n

}converge,

para ello basta con probar que la sucesion es de Cauchy ya que E2 es un espacio de Banach.

Sean m,n > 0 numeros naturales con m− n > 0 , luego remplazando n por m− n en∥∥∥∥f(2nx)

2n− f(x)

∥∥∥∥ ≤ 2ε‖x‖p

2− 2p

se tiene la desigualdad ∥∥∥∥f(2m−nx)

2m−n− f(x)

∥∥∥∥ ≤ 2ε‖x‖p

2− 2p(3.7)

para todo x ∈ E1. Remplazando x por 2nx y dividiendo por 2n en (2,7) se tiene∥∥∥∥f(2mx)

2m− f(2nx)

2n

∥∥∥∥ ≤ 2ε

2− 2p2n(p−1)‖x‖p

Ademas lımn→∞ 2n(p−1) = 0 ya que 0 ≤ p < 1, por lo tanto

lımn→∞

∥∥∥∥f(2mx)

2m− f(2nx)

2n

∥∥∥∥ ≤ lımn→∞

2ε

2− 2p2n(p−1)‖x‖p = 0

y la sucesion

{f(2nx)

2n

}es de Cauchy que ademas como E2 es de Banach el lımite

A(x) = lımn→∞

f(2nx)

2n

existe. El paso a seguir es probar que la funcion A : E1 → E2 definida en la ultima igualdad es aditiva.

En efecto si se remplaza x por 2nx e y por 2ny y se divide por 2n en

‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(‖x‖p + ‖y‖p)

se obtiene ∥∥∥∥f(2n(x+ y))

2n− f(2nx)

2n− f(2ny)

2n

∥∥∥∥ ≤ 2n(p−1)ε(‖x‖p + ‖y‖p)

y si se hace tender n a infinito

lımn→∞

∥∥∥∥f(2n(x+ y))

2n− f(2nx)

2n− f(2ny)

2n

∥∥∥∥ ≤ lımn→∞

2n(p−1)ε(‖x‖p + ‖y‖p) = 0


es decir, A(x) es una funcion aditiva. Ahora se probara que ‖f(x)−A(x)‖ ≤ 2ε

2− 2p‖x‖p. En efecto

‖f(x)−A(x)‖ =

∥∥∥∥ lımn→∞

f(2nx)

2n− f(x)

∥∥∥∥= lım

n→∞

∥∥∥∥f(2nx)

2n− f(x)

∥∥∥∥≤ lım

n→∞

2ε

2− 2p‖x‖p

=2ε

2− 2p‖x‖p

que es lo que se queria probar.

Para finalizar la demostracion se probara que A(x) es la unica funcion aditiva que cumple la desigual-

dad anterior por contradiccion, suponiendo que existe otra funcion g : E1 → E2 aditiva diferente de

A(x) talque

‖f(x)− g(x)‖ ≤ 2ε

2− 2q

para q ∈ [0, 1). Luego por la desigualdad triangular

‖A(x)− g(x)‖ ≤ ‖A(x)− f(x)‖+ ‖f(x)− g(x)‖ ≤ 2ε

2− 2p‖x‖p +

2ε

2− 2q‖x‖q

y al multiplicar por 1 =n

nse tiene

‖A(x)− g(x)‖ =

∥∥∥∥A(nx)

n− g(nx)

n

∥∥∥∥=

1

n‖A(nx)− g(nx)‖

≤ 1

n

(2ε

2− 2p‖nx‖p +

2ε

2− 2q‖nx‖q

)= np−1

2ε

2− 2p‖x‖p + nq−1

2ε

2− 2q‖x‖q

para todo n ∈ N. Por lo tanto

lımn→∞

‖A(x)− g(x)‖ = 0

es decir, A(x) = g(x) para todo x ∈ E1 lo cual es una contradiccion, por lo tanto A(x) es la unica

funcion aditiva que satisface el teorema y de esta forma se completa la demostracion. Tomado de [2,

p 24]

El teorema anterior es cierto para p ∈ [0, 1) como ya se probo, pero es falso para p = 1 como se ve en

el siguiente contraejemplo.


CONTRAEJEMPLO p = 1 En [10, p 29] se encuentra el siguiente contraejemplo del teorema

anterior para p = 1.

Sean ε > 0, µ =ε

6y se define la funcion φ : R→ R como sigue

φ(x) =

−µ, si x ∈ (−∞,−1];

µx, si x ∈ (−1, 1);

µ, si x ∈ [1,∞).

(3.8)

a partir de φ se define la funcion f : R→ R como

f(x) =

∞∑n=0

φ(2nx)

2n. (3.9)

Para verificar que en efecto f definida en (3,9) no cumple el teorema 3,1,6 para p = 1

Se prueba que para todo x, y ∈ R

‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(‖x‖+ ‖y‖)

Se prueba que no existen δ ≥ 0 y una funcion aditiva A : R→ R tales que para todo x ∈ R

‖f(x)−A(x)‖ ≤ δ|x|

Para probar ‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(‖x‖+ ‖y‖) se divide la demostracion en tres casos.

Caso 1: Para x = y = 0 se satisface la desigualdad.

Caso 2: Para 0 < ‖x‖+ ‖y‖ < 1, existe N ∈ N talque

2−N ≤ ‖x‖+ ‖y‖ < 2−(N−1)

por lo tanto ‖2N−1x‖ < 1, ‖2N−1y‖ < 1 y ‖2N−1(x+ y)‖ < 1. Asi para cada n ∈ {0, 1, . . . , N − 1} se

cumple que 2nx, 2ny y 2n(x+ y) pertenecen al intervalo (−1, 1).

Ahora por definicion φ(x) es lineal en (−1, 1), luego para todo n ∈ {0, 1, . . . , N − 1}

φ(2n(x+ y))− φ(2nx)− φ(2ny) = 2nµ(x+ y)− 2nµx− 2nµy = 0


y

‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ =

∥∥∥∥∥∞∑n=0

φ(2n(x+ y))

2n−∞∑n=0

φ(2nx)

2n−∞∑n=0

φ(2ny)

2n

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥∞∑n=0

(φ(2n(x+ y))

2n− φ(2nx)

2n− φ(2ny)

2n

)∥∥∥∥∥≤

∞∑n=N

∥∥∥∥φ(2n(x+ y))

2n− φ(2nx)

2n− φ(2ny)

2n

∥∥∥∥≤

∞∑k=0

3µ

2k2N

=6µ

2N

=ε

2N≤ ε(‖x‖+ ‖y‖)

De esta forma se tiene que ‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(‖x‖+ ‖y‖) para 0 < ‖x‖+ ‖y‖ < 1.

Caso 3: Para ‖x‖+ ‖y‖ ≥ 1 se prueba que f esta acotada. En efecto

‖f(x)‖ =

∥∥∥∥φ(2nx)

2n

∥∥∥∥≤

∞∑n=0

∥∥∥∥φ(2nx)

2n

∥∥∥∥≤

∞∑n=0

µ

2n= 2µ.

luego como f esta acotada por 2µ se tiene

‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ‖f(x+ y)‖+ ‖ − (f(x) + f(y))‖

≤ ‖f(x− y)‖+ ‖f(x)‖+ ‖f(y)‖

= 6µ

= ε

≤ ε(‖x‖+ ‖y‖)

Con esta desigualdad se ha demostrado que ‖f(x + y) − f(x) − f(y)‖ ≤ ε(‖x‖ + ‖y‖) para todo x,

y ∈ R y acontinuacion se prueba que no existen δ ≥ 0 y una funcion aditiva A : R→ R tales que para

todo x ∈ R

‖f(x)−A(x)‖ ≤ δ|x| (3.10)

En efecto si exsitieran δ y A que cumplen (2,10) por ser f acotada A tambien lo serıa, y por el

teorema (3,1,3) A debe sey lineal, es decir, existe c ∈ R tal que A(x) = cx para todo x ∈ R. Por lo


tanto ‖f(x)−A(x)‖ = ‖f(x)− cx‖ ≤ δ|x| y∥∥∥∥f(x)

x

∥∥∥∥ ≤ δ + |c| (3.11)

para todo x ∈ R. Ahora sea M ∈ N talque µM > δ+|c| y sea x ∈ (0, 2−(M−1)). Por lo tanto 2nx ∈ (0, 1)

para n ∈ {0, 1, 2, . . . ,M − 1} y

f(x) =

∞∑n=0

φ(2nx)

2n=

M−1∑n=0

µ2nx

2n+

∞∑n=M

φ(2nx)

2n

≥M−1∑n=0

µ2nx

2n

= Mµx

de esto

∥∥∥∥f(x)

x

∥∥∥∥ ≥ ‖Mµ‖ > δ + |c|, lo que contradice la desigualdad (3,11). Por lo tanto no existen

δ ≥ 0 y una funcion aditiva A tales que

‖f(x)−A(x)‖ ≤ δ|x|

Y de esta forma f es un contrajemplo del teroema 2,1,6 para p = 1. Tomado de [9, p 27].

3.2. Estabilidad segun Hyers − Ulam − Rassias

A partir del teorema anterior el matematico T. M. Rassias en 1993 da una definicion mas general de

estabailidad para una ecuacion funcional.

Definicion 3.2.1. Estabilidad segun Hyers − Ulam − Rassias Sean E1, E2 espacios normados,

y sean

gi : Eq1 → E1

G : Ep2 × Eq1 → E2

funciones con p, q ∈ N e i = 1, 2, . . . , p. Se dice que la ecuacion funcional

G(f(g1(x1, . . . , xq)), . . . , f(gp(x1, . . . , xq)), x1, . . . , xq) = 0

es estable segun Hyers − Ulam − Rassias si para toda funcion f : E1 → E2 talque para todo

x1, . . . , xq ∈ E1

‖G(f(g1(x1, . . . , xq)), . . . , f(gp(x1, . . . , xq)), x1, . . . , xq)‖ ≤ ϕ(x1, . . . , xq)


existe una funcion H : E1 → E2 talque

G(H(g1(x1, . . . , xq)), . . . ,H(gp(x1, . . . , xq)), x1, , xq) = 0

y

‖f(x)−H(x)‖ ≤ φ(x)

para todo x ∈ E1. Lo anterior para ϕ, φ funciones definidas en Eq1 y con valores en los reales positivos.

Definicion tomada de [2, p 3]

Siguiendo esta definicion se puede decir que la ecuacion de Cauchy es estable segun Hyers − Ulam −

Rassias, como lo menciona el siguiente teorema.

Teorema 3.2.2. Rassias: Sean E1 un espacio vectorial normado, E2 un espacio de Banach, ε > 0

y ϕ una funcion definida en [0,∞) con valores en [0,∞) tal que:

1. lımt→∞ϕ(t)

t= 0.

2. ϕ(ts) ≤ ϕ(t)ϕ(s) para todo t > 0, s > 0.

3. ϕ(t) < t para todo t > 1.

Sea f : E1 → E2 una funcion que satisface

‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(ϕ(‖x‖) + ϕ(‖y‖)) para todo x, y ∈ E1.

Entonces existe una unica funcion aditiva A de E1 a E2 tal que:

‖f(x)−A(x)‖ ≤ 2ε

2− ϕ(2)ϕ(‖x‖)

para todo x ∈ E1.

Demostracion. Por hipotesis

‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε(ϕ(‖x‖) + ϕ(‖y‖))

para todo x , y ∈ E1, entonces haciendo y = x y dividiendo por 2 se tiene∥∥∥∥f(2x)

2− f(x)

∥∥∥∥ ≤ εϕ(‖x‖),

ası el paso a seguir es probar por induccion sobre n que∥∥∥∥f(2n(x))

2n− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε ϕ(‖x‖)n−1∑m=0

(ϕ(2)

2

)m. (3.12)


Para n = 1 se cumple 3,12 por hipotesis.

Ahora supongase que se cumple 3,12 para n y se procede a probar que∥∥∥∥f(2n+1(x))

2n+1− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε ϕ(‖x‖)n∑

m=0

(ϕ(2)

2

)m.

En efecto como por hipotesis de induccion∥∥∥∥f(2n+1(x))

2n+1− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε ϕ(‖x‖)n∑

m=0

(ϕ(2)

2

)msi se remplaza x por 2x y se divide por 2 se tiene∥∥∥∥f(2n+1)

2n+1− f(2x)

2

∥∥∥∥ ≤ εϕ(2‖x‖)

2

n−1∑m=0

(ϕ(2)

2

)m≤ ε ϕ(‖x‖)

n∑m=1

(ϕ(2)

2

)m,

luego ∥∥∥∥f(2n+1x)

2n+1− f(x)

∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥f(2n+1x)

2n+1− f(2x)

2

∥∥∥∥+

∥∥∥∥f(2n+1x)

2n+1

∥∥∥∥− f(x)

≤ ε ϕ(‖x‖)n∑

m=1

(ϕ(2)

2

)m+ ε ϕ(‖x‖)

= ε ϕ(‖x‖)n∑

m=0

(ϕ(2)

2

)mde lo que concluye que se cumple 3,12.

Ahora como ϕ(t) < t para todo t > 1ϕ(2)

2< 1

y ademas la serie geometrica∑n−1

m=0

(ϕ(2)

2

)mconverge a

1

1− ϕ(2)

2

=2

2− ϕ(2)se tiene

∥∥∥∥f(2n)

2n− f(x)

∥∥∥∥ ≤ 2ε ϕ(‖x‖)2− ϕ(2)

.

Por otro lado para m > n > 0 numeros naturales se tiene∥∥∥∥f(2mx)

2m− f(2nx)

2n

∥∥∥∥ =1

2n

∥∥∥∥2nf(2mx)

2m− f(2nx)

∥∥∥∥ ,


luego para y = 2nx y r = m− n se tiene que para todo x ∈ E1∥∥∥∥f(2mx)

2m− f(2nx)

2n

∥∥∥∥ =1

2n‖2−rf(2ry)− f(y)‖

≤ 1

2n2 ε ϕ(‖y‖)2− ϕ(2)

≤ 1

2n2 ε ϕ(2n)ϕ(‖x‖)

2− ϕ(2)

≤ ϕ(2n)

2n2ε ϕ(‖x‖)2− ϕ(2)

,

por lo tanto la sucesion

{f(2nx)

2n

}es de Cauchy en E2, pero como E2 es un espacio de Banach la

sucesion converge y el lımite

A(x) = lımn→∞

f(2nx)

2n

existe para todo x ∈ E1.

Despues de probar que existe la funcion A, se procede a probar que es aditiva. En efecto

‖f(2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)‖ ≤ ε < (ϕ(‖2nx‖) + ϕ(‖2ny‖))

≤ εϕ(2n)(ϕ(‖x‖) + ϕ(‖y‖)),

dividiendo por 2n se tiene

2−n‖f(2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)‖ ≤(ϕ(2)

2

)nε(ϕ(‖x‖) + ϕ(‖y‖))

pero comoϕ(2)

2< 1 el lımite lımn→∞

(ϕ(2)

2

)n= 0, por lo tanto

lımn→∞

2−n‖f(2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)‖ = 0,

de lo que se concluye que A es una funcion aditiva.

Ademas como ∥∥∥∥f(2nx)

2n− f(x)

∥∥∥∥ ≤ 2ε ϕ(‖x‖)2− ϕ(2)

y la norma es una funcion continua

‖A(x)− f(x)‖ =

∥∥∥∥ lımn→∞

f(2nx)

2n− f(x)

∥∥∥∥ ≤ 2ε ϕ(‖x‖)2− ϕ(2)

. (3.13)

Para terminar la demostracion se probara que A es la unica funcion aditiva que satisface 3,13 por

contradiccion, suponiendo que existe otra funcion aditiva L tal que

‖L(x)− f(x)‖ ≤ 2ε ϕ(‖x‖)2− ϕ(2)


para x ∈ E1. Como L, A son funciones aditivas para m ∈ N

‖A(mx)− L(mx)‖ ≤ ‖A(mx)− f(x)‖+ ‖f(x)− L(x)‖

≤ 2 ε ϕ(m‖x‖)2− ϕ(2)

+2 ε ϕ(m‖x‖)

2− ϕ(2)

=2(2 ε ϕ(m‖x‖))

2− ϕ(2)

≤ 2(2 ε ϕ(m)ϕ(‖x‖))2− ϕ(2)

pero como lımt→∞ϕ(t)

t= 0 y ‖A(x)− L(x)‖ ≤ 2(2 ε ϕ(m)ϕ(‖x‖))

m(2− ϕ(2))se tiene

lımm→∞

‖A(x)− L(x)‖ = 0

Por lo tanto A es la unica funcion aditiva que satisface 3,13 y se cumple el teorema. Tomado de [2, p

17].

De esta forma se obtiene que la ecuacion de Cauchy es estable segun Hyers − Ulam − Rassias.

3.3. Metodo del punto fijo

Existen varios metodos para determinar si una ecuacion es estable o no, entre ellos estan el metodo

directo, el metodo de inavriantes y el metodo del punto fijo. El metodo empleado en los ejemplos

anteriores es el directo. En esta seccion del trabajo se realiza una breve descripcion del metodo del

punto fijo el cual se basa en buscar respuesta a la siguiente pregunta:

¿ Cuando para una funcion f : A→ B existe x ∈ A tal que f(x) = x?

Definicion 3.3.1. Sea T una funcion de X en X, z ∈ X es un punto fijo de T si T (x) = x, esto es

que la imagen de z bajo T coincide con z. Tomado de [11, p 299]

Ejemplo 3.3.2. Sea f una funcion a valor real definida en los numero reales, tal que

f(x) =

x

2sen

(1

x

), si x 6= 0;

0, si x = 0.

El unico punto fijo de f es cero, ya que si existiera otro punto fijo z 6= 0 se tendrıa

z =z

2sen

(1

z

), es decir, 2 = sen

(1

z

)lo que es imposible.


Definicion 3.3.3. Sea (X, d) un espacio metrico. Una funcion T : X → X es una contraccion en

X si existe un real positivo α < 1 tal que para todos x, y ∈ X

d(T (x), T (y)) ≤ αd(x, y),

. Definicion tomada de [11, p 300].

Ejemplo 3.3.4. Sea (X, ‖‖) un espacio de Banach, si ademas existe la operacion producto · en X tal

que para todos x, y, z ∈ X , α ∈ R se cumple

x · (y · z) = (x · y) · z

x · (y + z) = x · y + x · z

(y + z) · x = y · x+ z · x

(αx)y = α(x · y) = x(αy)

‖x · y‖ ≤ ‖x‖‖y‖,

se dice que X es una algebra de Banach.

Sean z ∈ X tal que ‖z‖ < 1 y ‖z‖ < d < 1. La funcion T : Bd(0) → Bd(0) con T (x) =1

2(x2 + z) es

una contraccion en Bd(0) ya que

‖T (x)− T (y)‖ =1

2‖x2 − y2‖

=1

2‖(x− y)(x+ y)‖

≤ 1

2‖x− y‖‖x+ y‖

≤ 1

2‖x− y‖(‖x‖+ ‖y‖)

< d‖x− y‖

y por hiptesis d < 1.

Teorema 3.3.5. Contraccion de Banach. Sea (X, d) un espacio metrico completo con X 6= ∅. Sea

T : X → X una contraccion en X, entonces T tiene un unico punto fijo.

Demostracion. La demostracion se basa en buscar una sucesion de Cauchy en X tal que su lımite sea

un punto fijo de T .

Para ello sea x0 un punto de X y sean

x1 = T (x0), x2 = T (x1) = T (T (x0)), . . . , xn = T (xn−1) = Tn(x0),


de lo anterior se deduce que (xn) es la sucesion de las imagenes de x0 en alguna potencia de T . Ahora

como T es una contraccion existe α < 1 tal que d(T (x), T (y)) < αd(x, y) para todo x, y ∈ X, por lo

tanto

d(xm+1, xm) = d(T (xm), T (xm−1))

≤ αd(xm, xm−1)

= αd(T (xm−1), T (xm−2))

≤ α2d(xm−1, xm−2)

...

≤ αmd(x1, x0)

= αmd(T (x0), x0),

luego por la desigualdad triangular y la formula de la suma de una progresion geometrica para n > m

se tiene

d(xm, xn) ≤ d(xm, xm+1) + d(xm+1, xm+2) + . . .+ d(xn−1, xn)

≤ d(x1, x0)(αm + αm+1 + . . .+ αn−1)

= αm(

1− αn−m

1− αd(x1, x0)

),

pero como 0 < α < 1, 1− αn−m < 1 y

d(xm, xn) ≤ αm

1− αd(x0, x1).

Nuevamente como 0 < α < 1 y d(x0, x1) son fijosαm

1− αse acerca a cero a medida que m se hace lo

suficientemente grande, de esto se concluye que (xm) es una sucesion de Cauchy.

Ahora como X es un espacio completo la sucesion (xm) converge a un punto x ∈ X. Ası el paso a

seguir el probar que x es un punto fijo de T .

En efecto:

d(x, T (x)) ≤ d(x, xm) + d(xm, T (x))

≤ d(x, xm) + αd(xm−1, x)

la ultima desigualdad por ser T una contraccion, pero como (xn) converge a x, tanto d(x, xm) como

d(x, xm−1) son tan pequenas como ε, para todo ε > 0, es decir que d(x, T (x)) = 0, por lo tanto


x = T (x) y x es un punto fijo de T .

Para terminar la demostracion se prubara que x es el unico punto fijo de T por contradiccion. Si se

supone que y 6= x es un punto fijo de T entonces y = T (y) y

d(x, y) = d(T (x), T (y)) ≤ αd(x, y)

pero como α < 1 la unica posibilidad es que d(x, y) = 0, esto es, y = x lo cual es una contradiccion.

De esta forma se prueba que x es el unico punto fijo de T . Demostracion tomada de [11, p 301].

Observacion 1: En el teorema anterior la condicion de α < 1 es necesaria, ya que por ejemplo para

I un intervalo cerrado en R y f : I → I una funcion diferenciable con |f ′(t)| < 1 para todo t ∈ I, por

el teorema del valor se satisface la desigualdad

|f(x)− f(y)| < |x− y|

para todo x, y ∈ I, ası en este caso α = 1. Pero en particular para I = [1,∞) y f(x) =√x2 + 1, f no

tiene puntos fijos.

Observacion 2: El recıproco del teorema anterior es falso, porque exsiten funciones con unico punto

fijo pero que no son contraccion, tal es el caso de la funcion T : [0, 1] → [0, 1] con T (x) = 1 − x que

tiene un unico punto fijo en1

2, pero que no es contraccion ya que

|T (x)− T (y)| = | − x+ y|.

Estabilidad de la ecuacion funcional de Cauchy.

Como ya se menciono el metodo del punto fijo se puede usar para determinar si la ecuacion funcional

de Cauchy es estable segun Hyers − Ulam − Rassias o no, para ello sean E un espacio normado, F

un espacio de Banach y ϕ : [0,∞)→ [0,∞) una funcion que satisface:

1. lımt→∞ϕ(t)

t= 0.

2. ϕ(ts) ≤ ϕ(t)ϕ(s) ; para todo t, s ∈ [0,∞).

3. ϕ(t) < t para t > 1.

Teorema 3.3.6. Con la definicion de E, F y ϕ sea X el espacio formado por todas funciones g :

E → F , y sea d la metrica en X definida por

d(f, g) = ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− g(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E},


entonces (X, d) es un espacio completo.

Demostracion. Primero se probara que d como se definio es una metrica.

En efecto, sean f, g funciones en X, entonces

Por definicion de norma

cϕ(x) ≥ ‖f(x)− g(x)‖ ≥ 0

para todo x ∈ E, por lo tanto d(f, g) ≥ 0 para todo f, g ∈ X.

Por propiedades de norma se tiene que ‖f(x)− g(x)‖ = ‖g(x)− f(x)‖ para todo x ∈ E, luego

d(f, g) = ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− g(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}

= ınf{c ∈ [0,∞) : ‖g(x)− f(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}

= d(g, f)

esto es, d(f, g) = d(g, f) para todo f, g ∈ X.

Supongase que d(f, g) = 0 entonces

ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− g(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E} = 0.

Si ϕ(‖x‖) = 0 entonces cϕ(x) = 0 para todo c ∈ [0,∞) y la unica posibilidad para que ‖f(x)−

g(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖) es que ‖f(x) − g(x)‖ = 0 y por definicion de norma f(x) = g(x) para todo

x ∈ E, por lo tanto f = g.

Si ϕ(x) 6= 0 entonces sı d(f, g) = 0 es porque

ınf{c ∈ [0,∞) :‖f(x)− g(x)‖

ϕ(‖x‖)≤ c; para todo x ∈ E} = 0,

luego por definicion de ınf para todo k ∈ N existe z ∈ [0,∞) talque

0 ≤ ‖f(x)− g(x)‖ϕ(‖x‖)

≤ z ≤ 1

k;

pero como lo anterior es para todo k ∈ N

‖f(x)− g(x)‖ϕ(‖x‖)

≤ 0

para todo x ∈ E y por propiedades de ϕ(x) y de la norma se deduce que ‖f(x)− g(x)‖ = 0, es

decir, f(x) = g(x) para todo x ∈ E, por lo tanto f = g.

Ahora si se supone que f = g entonces ‖f(x) − g(x)‖ = 0 para todo x ∈ E, por lo tanto

d(f, g) = 0. De esta forma se prueba que d(f, g) = 0 si y solo si f = g para todo f, g ∈ X.


Si f, g, h ∈ X entonces:

d(f, g) + d(g, h) = ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− g(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}

+ ınf{c ∈ [0,∞) : ‖g(x)− h(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}

≥ ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− g(x)‖+ ‖g(x)− h(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}

≥ ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− h(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}

= d(f, h)

esto es, d(f, g) + d(g, h) ≥ d(f, h) para todo f, g, h ∈ X.

Con los puntos anteriores se probo que d es una metrica en X.

Para terminar la demostracion se procede a probar que (X, d) es un espacio completo. Para ello sea

(fn) una sucesion de Cauchy en X, esto es, para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que

d(fn, fm) ≤ ε, para todo n,m ≥ N.

Ahora sea x ∈ E fijo y sea (fn(x)) una sucesion de Cauchy en E, luego como F es completo existe

yx ∈ F tal que (fn(x)) converge a yx; esto para cada x ∈ E.

De esta forma sea T : E → F una funcion tal que T (x) = yx, y se procede a probar que (fn) converge

a la funcion T .

En efecto, como:

lımn→∞

ınf{c ∈ [0,∞) : ‖fn(x)− fm(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E}

es igual a

ınf{c ∈ [0,∞) : ‖T (x)− fm(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E} ≤ ε,

se concluye que para todo x ∈ E y m > N ,

ınf{c ∈ [0,∞) : ‖T (x)− fm(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E} ≤ ε

es decir, (fn) converge a la funcion T ∈ X y el espacio (X, d) es completo.

Con lo anterior ya se puede enunciar y demostrar el siguiente teorema, el cual muestra como usar el

metodo del punto fijo en la teorıa de la estabilidad, en particular en la ecuacion funcional de Cauchy.


Teorema 3.3.7. Sean E un espacio normado, F un espacio de Banach y ϕ : [0,∞) → [0,∞) una

funcion que satisface:

1. lımt→∞ϕ(t)

t= 0.

2. ϕ(ts) ≤ ϕ(t)ϕ(s) ; para todo t, s ∈ [0,∞).

3. ϕ(t) < t para t > 1.

Si dada una funcion f : E → F tal que para todo ε > 0

‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε (ϕ(‖x‖) + ϕ(‖y‖)),

entonces existe uan funcion aditiva g : E → F tal que

‖f(x)− g(x)‖ ≤ 2 ε

2− ϕ(2)ϕ(‖x‖).

Demostracion. Sea X = {g : E → F} y sea d la metrica en X definida como

d(f, g) = ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− g(x)‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E},

el espacio (X, d) es completo por el teroema anterior, y sea A : X → X una funcion definida por

A(g(x)) =1

2g(2x)

para todo x ∈ E. Parte importante de la demostracion es demostrar que A es una contraccion en X;

para eso sean g, h ∈ X y k ∈ [0,∞) tal que d(g, h) ≤ k y ‖g(x)− h(x)‖ ≤ kϕ(‖x‖) para todo x ∈ E.

Luego

‖A(g(x))−A(h(x))‖ =

∥∥∥∥1

2g(2x)− 1

2h(2x)

∥∥∥∥=

1

2‖g(2x)− h(2x)‖

≤ k

2ϕ(‖2x‖)

=k

2ϕ(2‖x‖)

=k

2ϕ(2)ϕ(‖x‖),

pero por definicion de la funcion ınf y por serϕ(2)

2< 1, se tiene que d(A(g(x)), A(h(x))) ≤ ϕ(2)

2d(g(x), h(x))

para todo x ∈ E, por lo tanto A es una contraccion en X.


Ası como (X, d) es completo y A es una contraccion en X por el teorema de contraccion de Banach A

tiene un unico punto fijo g ∈ X, es decir,

A(g(x)) =g(2x)

2= g(x) para todo x ∈ E,

ademas como d(An(f), g) ≤ αn

1− αd(x0, x1), al hacer el lımite cuando n tiende al infinito se tiene

d(An(f), g) ≤ 0, es decir, que la funcion g se puede expresar como

lımn→∞

An(f) = lımn→∞

(f(2x)

2

)n= g(x).

Por otro lado por hipotesis para y = x

‖f(2x) + 2f(x)‖ ≤ ε 2 ϕ(‖x‖)

que al dividir por dos se tiene la desigualdad,

∥∥∥∥f(2x)

2− f(x)

∥∥∥∥ ≤ ε ϕ(‖x‖), por lo tanto

d(f,A(f)) = ınf{c ∈ [0,∞) : ‖f(x)− f(2x)

2‖ ≤ cϕ(‖x‖); para todo x ∈ E} ≤ ε.

De esta forma

d(f, g) ≤ 1

1− ϕ(2)2

d(f,A(f))

≤ ε

1− ϕ(2)

2

=2 ε

2− ϕ(2)

y por definicion de la metrica en X, se tiene ‖g(x)− f(x)‖ ≤ 2 ε

2− ϕ(2)ϕ(‖x‖), que es lo que se querıa

demostrar.

Para terminar se demostrara que g es una funcion aditiva.

En efecto, como por hipotesis

‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖ ≤ ε ϕ(‖x‖+ ‖y‖)

remplzando x, y por 2nx, 2ny respectivamente se tiene

‖f(2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)‖ ≤ ε ϕ(2n)ϕ(‖x‖+ ‖y‖),

que al dividirlo por 2n y haciendo n lo suficientemente grande lleva a concluir que

lımn→∞

(‖f(2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)‖) ≤ 0

porque lımt→∞ϕ(t)

t= 0, por lo tanto g es una funcion aditiva y se cumple el teorema.


Con el teorema anterior se evidencia la aplicacion del metodo del punto fijo en la teorıa de la estabilidad

y de por terminado este capıtulo en el que se mostro las definiciones de estabilidad y un ejemplo en

la ecuacion funcional de Cauchy.

Capıtulo 4

Aplicacion

Soon−Mo Jung en [1] menciona que la teorıa de la estabilidad en ecuaciones diferenciales fue estudiada

por varias personas, entre ellos Alsina y Ger quienes en 1998 prueban la estabilidad segun Hyers −

Ulam de la ecuacion diferencial y′(t) = y(t), mas tarde Takahasi, Miura y Miyajima generalizan este

resultado para ecuaciones de la forma y′(t) = λy(t). En el ano 2010 Soon − Mo Jung en el artıculo

Implicit Function Theorem and Its Application to a Ulam′s Problem for Exact Differential Equations

por medio de una generalizacion del teorema de la funcion implıcita prueba la estabilidad segun Hyers

− Ulam − Rassias de la ecuacion diferencial exacta g(x, y) + h(x, y)y′ = 0. En este capıtulo se hace

un estudio del trabajo realizado en el artıculo en mencion.

4.1. Ecuacion diferencial exacta.

Para poder aplicar la teorıa que se expondra en este capıtulo es necesario primero determinar cuando

una ecuacion diferencial es exacta. Segun Krantz en [12, p 21] una ecuacion diferencial exacta es de

la forma

M(x, y) +N(x, y)y′ = 0. (4.1)

Si existe una funcion ψ tal que

∂xψ(x, y) + ∂yψ(x, y)y′ = 0

entonces se dice que la funcion ψ es solucion de la ecuacion diferencial 4,1. Por lo tanto dada una

solucion f de 4,1 se debe tener

∂xf(x, y) = M y ∂yf(x, y) = N,

63

CAPITULO 4. APLICACION 64

entonces∂2f

∂y∂x=∂M

∂yy∂2f

∂x∂y=∂N

∂x

es decir, que se debe cumplir ∂yM(x, y) = ∂xN(x, y) para que la ecuacion diferencial sea exacta, de

ahı el siguiente teorema.

Teorema 4.1.1. Sean M , N , ∂yM , ∂xN funciones continuas en una region conexa S, entonces la

ecuacion

M(x, y) +N(x, y)y′ = 0

es una ecuacion diferencial exacta si y solo si

∂yM(x, y) = ∂xN(x, y)

en cada punto de S.

Ejemplo 4.1.2. Sea la ecuacion diferencial

2xsen ydx+ x2 cos ydy = 0 (4.2)

Lo primero que se debe hacer es determinar si la ecuacion es exacta, para ello se identifican las

funciones M(x, y) = 2xsen y, N(x, y) = x2 cos y. Luego como

∂yM(x, y) = 2x cos y = ∂xN(x, y)

se tiene que en efecto 3,2 es una ecuacion diferencial exacta.

Ahora para determinar la solucion de dicha ecuacion, se supone que existe tal funcion y se denota por

f , luego f debe cumplir ∂xf(x, y) = M(x, y) por lo tanto al integrar se tiene∫∂xf(x, y)dx =

∫2xsen ydx = x2sen y + φ(y),

pero como ademas

N(x, y) = ∂yf(x, y) = x2 cos y + φ′(y) = x2 cos y

se tiene que φ′(y) = 0, entonces φ(y) = d con d una constante, de esta forma f la solucion de la

ecuacion diferencial 3,2 se puede expresar como f(x, y) = x2sen y + d = c de forma implıcita y de

forma explıcita como y = f(x) = sen−1c

x2con c = c− d, [12, p 22].


4.2. Aplicacion.

Segun el teorema de la funcion implıtica si la ecuacion f(x, y) = 0 satisface ciertas condiciones, tal

ecuacion se puede resolver expresando a y en terminos de x en determinados conjuntos. JUNG en [1]

hace referencia del teorema de la funcion implıcita pero global, esto es cuando la variable y se puede

expresar en terminos de x en todo su dominio y rango.

Ası como en la seccion 1,7 para demostrar el teorema de la funcion implıcita local se necesito del

teorema de la funcion inversa local, para demostrar el teorema global se necesita del teorema de la

funcion inversa global el cual se encuentra en [13].

Teorema 4.2.1. Teorema de la funcion inversa global. Sean A ⊆ Rn un conjunto abierto, f

una funcion definida en A con valores en Rn.

Si f tiene derivadas parciales continuas en A, es un a uno en A y Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ A, entonces

el conjunto f(A) es abierto en Rn y la funcion inversa

g : f(A)→ A

tiene derivadas parciales continuas.

Demostracion. El primer paso de la demostracion es probar que f(A) es un conjunto abierto. En

efecto, como f tiene derivadas parciales continuas y Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ A por el teorema

2,3,2 para cada x existe una bola abierta con centro en x en la que f es uno a uno. Ademas por

el teorema 2,3,1 existe una bola abierta con centro en f(x) contenida en f(A), luego como esto

es para cada x ∈ A se puede concluir que f(A) es un conjunto abierto, porque todos sus puntos

son interiores.

Como f es uno a uno en A la funcion g esta bien definida.

Ahora dado un conjunto abierto U de A por lo mencionado anteriormente f(U) = g−1(U)

tambien es un conjunto abierto de f(A), ası la imagen inversa de un conjunto abierto bajo g

tambien es un conjunto abierto en f(A) y g es una funcion continua.

Por otro lado parte de la demostracion consiste en probar que g es diferenciable en b = f(a) con

derivada total igual a J−1f (a). Para ello basta con demostrar que

lımv→0

g(b+ v)− g(b)− J−1f (a) · (v)

‖v‖= 0.


Sea 4(v) = g(b + v)− g(b), por teorema 2,3,2 existe una bola abierta con centro en a de radio

α en la que f es uno a uno, es decir,

|f(x0, f(x1))| ≥ α|x0, x1|

para todo x0, x1 ∈ Bα(a) y por teorema 2,3,1 existe una bola abierta C en f(A) con centro en

f(a) y radio ε. Ası para v ∈ Rn con ‖v‖ < ε se tiene que b+ v ∈ C y

|(b+ v)− b| ≥ α|g(b+ v)− g(b)|

por ser g uno a uno, por lo tanto

1

α≥ |g(b+ v)− g(b)|

|v|=|4(v)||v|

y (4.3)

g(b+ v)− g(b)− J−1f (a) · v‖v‖

=4(v)− J−1f (a) · v

‖v‖

= −Jf (a)−1(v −4(v)Jf (a)

‖4(v)‖

)(‖4(v)‖‖v‖

),

esto es posible ya que 4(v) 6= 0 y v 6= 0; ademas por 4,3 se concluye

g(b+ v)− g(b)− J−1f (a) · v‖v‖

≤−J−1f (a)

α

(v −4(v)Jf (a)

‖4(v)‖

),

asi para probar que g es diferenciable, basta con probar que

lımv→0

v −4(v)Jf (a)

‖4(v)‖= 0.

En efecto como b+ v = f(g(b+ v)) = f(4(v) + g(b)) = f(a+4(v)) se tiene

lımv→0

v −4(v)Jf (a)

‖4(v)‖= lım

v→0

f(a+4(v))− f(a)−4(v)Jf (a)

‖4(v)‖

pero como g es continua cuando v tiende a cero 4(v) tambıen tiende a cero, por lo tanto

lımv→0

g(b+ v)− g(b)− J−1f (a) · (v)

‖v‖= 0,

es decir, g es diferenciable y su derivada total es J−1f .

Por ultimo como

∂kg(b) = (∂kf(g(b)))−1

se concluye que g tiene derivadas parciales continuas, porque f tambien cumple con esa propie-

dad.

De esta forma, se termina la demostracion del teorema de la funcion inversa global. Demostracion

tomada de [13, p 65].


Para cumplir con los objetivos planteados en este trabajo, el siguiente teorema es de gran importancia,

ya que muestra la relacion que tiene el teorema de funcion implıcita con la teorıa de la estabilidad.

Esta relacion se basa en las nuevas condiciones que se adicionan al teorema de la funcion implıcita,

es importante mencionar que siguiente teorema garantiza una unica solucion global de la ecuacion

u(x, y) = 0.

Teorema 4.2.2. Sean I un subconjunto abierto de Rk diferente de vacio, J un subconjuto abierto

conexo de R. Sea u : I × J → R una funcion con derivadas parciales continuas.

Si existen a ∈ I, b ∈ J y c ∈ R tales que u(a, b) = c y

supx∈I

ınfy∈J

u(x, y) < c < ınfx∈I

supy∈J

u(x, y). (4.4)

Si ademas ∂yu(x, y) 6= 0 para todo (x, y) ∈ I × J , entonces existe una unica funcion y0 : I → J con

derivadas parciales continuas tal que:

1. y0(a) = b.

2. u(x, y0(x)) = c para todo x ∈ I.

Demostracion. Sea la funcion U : I × J → Rk+1 con

U(x, y) = (x, u(x, y)),

luego por definicion de jacobiano se tiene

JU (x, y) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂1U1(x, y) . . . ∂kU1(x, y) ∂k+1U1(x, y)...

. . ....

...

∂1Uk(x, y) . . . ∂kUk(x, y) ∂k+1Uk(x, y)

∂1Uk+1(x, y) . . . ∂kUk+1(x, y) ∂k+1Uk+1(x, y)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂1x1 . . . ∂kx1 ∂k+1x1...

. . ....

...

∂1xk . . . ∂kxk ∂k+1xk

∂1u(x, y) . . . ∂ku(x, y) ∂k+1u(x, y)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= ∂yu(x, y) 6= 0

esto es, JU (x, y) 6= 0 para todo (x, y) ∈ I × J . Para poder hacer uso del teorema 4,2,1 es necesario

probar que la funcion U es uno a uno en I × J .


Si se supone que U no es uno a uno, existen (x1, y1), (x2, y2) ∈ Rk+1 diferentes tal que U(x1, y1) =

U(x2, y2), luego (x1, u(x1, y1)) = (x2, u(x2, y2)) y por definicion de igualdad en Rk+1 se tiene que

x1 = x2; u(x1, y1) = u(x2, y2).

Ademas como ∂yu(x, y) 6= 0 y es continua para x fijo existe una vecindad en la que u(x, y) es uno a

uno en la segunda variable por el teorema 2,3,2 , por lo tanto se debe tener que y1 = y2; ası (x1, y1) =

(x2, y2) lo que es una contradiccion ya que se supuso que eran diferentes. Entonces U es uno a uno en

I × J .

De esta forma como U tiene derivadas parciales, es uno a uno en I × J y ∂yu(x, y) 6= 0 para todo

(x, y) ∈ I × J por el teorema 4,2,1 la funcion inversa V : U(I × J) → I × J existe y tiene derivadas

parciales continuas. Luego como U(x, y) = (x, u(x, y)) se tiene que V (x, u(x, y)) = (x, y) para todo

(x, y) ∈ I × J , de esta manera la funcion V mantiene fija la primera componente y se puede expresar

como

V (z, w) = (z, v(z, w)),

con v : U(I × J)→ J para todo (z, w) ∈ U(I × J).

Ahora sean a ∈ I, b ∈ J y c ∈ R tal que u(a, b) = c y

supx∈I

ınfy∈J


supy∈J

u(x, y),

se procede a probar que para todo x ∈ I existe yc,x ∈ J tal que

u(x, yc,x) = c. (4.5)

En efecto, si supone que 4,5 es falso es porque existe xc ∈ I tal que para todo y ∈ J , u(xc, y) 6= c, pero

com xc es fijo la funcion u(xc, y) es continua en J , ademas como J es un conjunto conexo se tiene que

u(xc, J) tambien es conexo.

Sin embargo como c satisface 4,4 el conjunto u(xc, J) se puede expresar como la union de dos conjuntos

no vacıos A y B con A ⊂ (−∞, c), B ⊂ (c,∞), lo que contradice la hipotesis que u(xc, J) es conexo,

por lo tanto

∀x ∈ I, ∃yc,x ∈ J : u(x, yc,x) = c.

Por otro lado como U(x, yc,x) = (x, u(x, yc,x)) = (x, c) se tiene que (x, c) ∈ U(I × J) para todo x ∈ I

y c ∈ R que cumple 4,4.

Por lo tanto

V (x, c) = (x, v(x, c)),

(x, c) = U(x, v(x, c)) = (x, u(x, v(x, c)))


por definicion de funcion inversa. De esto se concluye que c = u(x, v(x, c)) para cada x ∈ I, a partir

de esto se define la funcion y0 : I → J con y0(x) = v(x, c), como U tiene derivadas parciales continuas

y v es componente de U se tiene que v tiene derivadas parciales continuas.

Ahora como u(x, y0(x)) = u(x, v(x, c)) = c para todo x ∈ I y se cumple la implicacion 2, pero como

tambien u(a, b) = c se tiene que

(a, b) = V (a, c) = (a, v(a, c)) = (a, y0(a)),

por lo tanto y0(a) = b y se satisface la implicacion 1.

Para terminar la demostracion se probara que y0 es la unica funcion que satisface las implicaciones 1

y 2. En efecto, si existe otra funcion y1 : I → J diferente a y0 tal que y1(a) = b y u(x, y1(x)) = c para

todo x ∈ I, entonces

U(x, y0(x)) = (x, u(x, y0(x))) = (x, c)

U(x, y1(x)) = (x, u(x, y1(x))) = (x, c)

para todo x ∈ I, es decir,

U(x, y0(x)) = U(x, y1(x)),

pero como U es uno a uno en I × J se debe tener que y0(x) = y1(x) para todo x ∈ I. De esta forma

se prueba la unicidad de y0 y se termina la demostracion del teorema. Tomado de [1].

Corolario 4.2.3. Sean I un subconjunto abierto de R diferente de vacio, J un subconjuto abierto

conexo de R. Sea u : I × J → R una funcion con derivadas parciales continuas.

Si existen a ∈ I, b ∈ J y c ∈ R tales que u(a, b) = c y

supx∈I

ınfy∈J


supy∈J

u(x, y). (4.6)

Si ademas ∂yu(x, y) 6= 0 para todo (x, y) ∈ I × J , entonces existe una unica funcion y0 : I → J con

derivadas parciales continuas tal que:

1. y0(a) = b.

2. u(x, y0(x)) = c para todo x ∈ I.

Observacion. La condicion de que el conjunto J sea conexo en el teorema anterior es necesaria, ya

que por ejemplo para la funcion u : (2, 4) × (−3,−1) ∪ (4, 5) con u(x, y) = x + y se tiene I = (2, 4),

J = (−3,−1) ∪ (4, 5) un conjunto no conexo de R y

supx∈I

ınfy∈J

u(x, y) = 1


ınfx∈I

supy∈J

u(x, y) = 7.

Ası existen (3.5,−2) ∈ I×J tal que u(3.5,−2) = 1,5 y satisface 3,4, pero la funcion y0 no esta definida

ya que para 2.5 ∈ I se tiene y0(2,5) = −1 y −1 no pertenece a J .

Para finalizar, el teorema que viene a continuacion se puede considerar como el mas importante

de este trabajo, porque garantiza que si la solucion de una ecuacion diferencial exacta de la forma

g(x, y) + h(x, y)y′ = 0 cumple la conducion 3,4 entonces es estable segun Hyers − Ulam − Rassias.

Este teorema fue enunciado y demostrado por Soon − Mo Jung en su artıculo [1].

Teorema 4.2.4. Sean I un conjunto abierto de R, J un conjunto conexo de R, sean g, h funciones

continuas de I × J a R con h(x, y) 6= 0 para todo (x, y) ∈ I × J .

Sea la ecuacion diferencial exacta

g(x, y) + h(x, y)y′ = 0 (4.7)

y sea u : I × J → R una funcion tal que para todo (x, y) ∈ I × J

∂xu(x, y) = g(x, y); ∂yu(x, y) = h(x, y). (4.8)

Dadas las funciones ε : I → [0,∞) continuamente diferenciable e y : I → J que satisfacen

|g(x, y(x)) + h(x, y(x))y′(x)| ≤ ε(x) (4.9)

para todo x ∈ I, si ademas existe α ∈ I tal que

supx∈I

ınfy∈J

u(x, y) < u(α, y(α)) < ınfx∈I

supy∈J

u(x, y) (4.10)

entonces existe una unica funcion continuamente diferenciable y0 : I → J tal que

1. y0(α) = y(α),

2. u(x, y0(x)) = u(α, y(α)),

3. |u(x, y(x))− u(x, y0(x))| ≤∣∣∫ xα ε(t)dt

∣∣para todo x ∈ I.


Demostracion. Por las hipotesis 4,8 y 4,9 para todo x1, x2 ∈ I se tienen las siguientes desigualdades∣∣∣∣∫ x2

x1

d

dtu(t, y(t))dt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ x2

x1

{∂xu(t, y(t)) + ∂yu(t, y(t))y′(t)

}dt

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∫ x2

x1

|g(t, y(t)) + h(t, y(t))y′(t)|dt∣∣∣∣

≤∣∣∣∣∫ x2

x1

ε(t)dt

∣∣∣∣ ,por lo tanto

|u(x2, y(x2))− u(x1, y(x1))| ≤∣∣∣∣∫ x2

x1

ε(t)dt

∣∣∣∣ . (4.11)

Pero como ε(t) es continua en I, ε(t) es integrable en todo subintervalo compacto de I, entonces para

todo x ∈ I

|u(x, y(x))− u(α, y(α))| ≤∣∣∣∣∫ x

αε(t)dt

∣∣∣∣ . (4.12)

Por otro lado como u(x, y) tiene derivadas parciales continuas, ∂yu(x, y) = h(x, y) 6= 0 para todo

(x, y) ∈ I ×J y por 4,10 existe una funcion y0 : I → J tal que y0(α) = y(α) y u(x, y0(x)) = u(α, y(α))

segun el teorema 4,2,2, de esta forma se satisfacen las implicaciones 1 y 2.

Para finalizar por 4,12

|u(x, y(x))− u(α, y(α))| = |u(x, y(x))− u(x, y0(x))| ≤∣∣∣∣∫ x

αε(t)dt

∣∣∣∣y de esta forma se termina la demostracion. Ver en [1]

De este teorema se puede deducir que para determinar si una ecuacion diferencial exacta es estable se

debe llevar el siguiente proceso:

1. Determinar si la ecuacion diferencial es exacta.

2. Suponer que existe las funciones ε e y que satisfacen 4,9.

3. Hallar la solucion de la ecuacion diferencial, en forma explıcita u(x, y) = c.

4. Encontrar α que cumpla 4,10.

5. Aplicar el teorema 4,2,4.

Los ejemplos a continuacion ilustran este proceso.


Ejemplo 4.2.5. Dada la ecuacion diferencial

(y + 4) + xy′ = 0 (4.13)

Siguiendo los pasos mencionados, primero se determina si la ecuacion diferencial es exacta.

Para ello sean M(x, y) = y + 4 y N(x, y) = x, asi

∂yM(x, y) = 1 = ∂xN(x, y),

luego por teorema 4,1,1 se concluye que la ecuacion 4,13 es exacta.

Ahora sea ε : (0,∞)→ (0,∞) una funcion continua, y supongase que existe una funcion continuamente

diferenciable y : (0,∞)→ R tal que

|y(x) + 4 + xy′(x)| ≤ ε(x)

para todo x > 0.

Por otro lado la solucion de la ecuacion 4,13 es u(x, y) = xy + 4x, por lo tanto

supx∈(0,∞)

ınfy∈R

u(x, y) = −∞; ınfx∈(0,∞)

supy∈R

u(x, y) =∞

y existe α > 0 tal que u(α, y(α)) satisface 4,4, por lo tanto se puede hacer uso del teorema 4,2,4 y se

concluye que para todo α > 0 existe una unia funcion yα : (0,∞)→ R continuamente diferenciable tal

que

yα(α) = y(α)

u(x, yα(x)) = xyα(x) + 4x = u(α, y(α)) = αy(α) + 4α

y

|u(x, y(x))− u(x, yα(x))| = |xy(x) + 4x− xyα(x)− 4x|

= |xy(x)− xyα(x)|

= |x||y(x)− yα(x)|

≤∣∣∣∣∫ x

αε(t)dt

∣∣∣∣ |Por lo tanto

|y(x)− yα(x)| ≤ 1

|x|

∣∣∣∣∫ x

αε(t)dt

∣∣∣∣para todo x > 0.

En particular para α > 0 y ε(t) = ε se tiene que para todo ε > 0 y x > 0

|y(x)− yα(x)| =∣∣∣∣y(x)− αy(α) + 4α

x+ 4

∣∣∣∣ ≤ ε ∣∣∣1− α

x

∣∣∣ .

Capıtulo 5

Conclusiones

I Al terminar este trabajo se puede concluir que el teorema de la funcion implıcita indıca las con-

diciones necesarias bajo las cuales una funcion escrita de forma explıcita se puede expresar de

forma implıcita, esto es, expresar unas variables en funcion de otras. Es importante aclarar que

lo anterior pasa en determinado conjunto, que no siempre es el mismo en el que estan definidas

las variables.

Pero en el capıtulo 4 se muestra una generalizacion del teorema de la funcion implıcita cuando

n = k = 1, que se puede aplicar en una ecuacion f(x, y) = 0 que satisface las condiciones necesa-

rias del teorema 4,2,2. Esta generalizacion muestra que las variables que se pueden expresar en

funcion de otras no estan restringidas a un conjuto si no que son todas en las que esta definida la

funcion. Su importancia se basa en que es la herramienta principal para la deduccion de cuando

una ecuacion diferencial exacta es estable o no.

I La teorıa de la estabilidad es de gran importancia en muchas ramas de las matematicas, ya que

cuando en determinado sistema es muy difıcil casi imposible determinar su comportamiento, si

el sistema es estable a partir de los sistemas que resultan de hacer una pequena variacion se

puede llegar a las conclusiones que se desean obtener. Esta teorıa tiene muchas aplicaciones en

la solucion de ecuaciones diferenciales, ya que muchas situaciones de la vida cotidiana se pueden

describir por medio de una ecuacion diferencial y no siempre es facil realizar el analisis deseado.

La ecuacion funcional de Cauchy es un ejemplo muy importante en la comprension del concepto

de estabilidad.

73

CAPITULO 5. CONCLUSIONES 74

I Para determinar si una ecuacion diferencial exacta de la forma g(x, y) + h(x, y)y′ = 0 es estable,

primero se debe encontrar una aproximacion de dicha ecuacion que se pueda expresar de forma

explıcita y que ademas exista un punto α que satisfaga 4,4, para depues por el teorema de la

funcion implıta (global) garantizar que la ecuacion diferencial es estable segun Hyers − Ulam

− Rassias. De la desigualdad 4,4 se puede decir que es la que garantiza la estabilidad de la

ecuacion.

Bibliografıa

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Differential Equations. Acta Mathematica Sinica, English Series. Nov, 2010, Vol. 26, p. 2085−2092.

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una aplicaci on del teorema de la funci on impl cita en la...

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