Rutinas para la aplicacion y visualizacion de tecnicas para eltratamiento de ecuaciones diferenciales basadas en simetrıas

Concepcion MURIEL, Juan Luis ROMERO, Ma Carmen MARQUEZ

Departamento de Matematicas, Universidad de Cadiz,

11510 Puerto Real, Cadiz, Espana

11 de junio de 2012

Palabras clave: Grupos uniparametricos de transfor-maciones locales, simetrıas de Lie, reducciones de orden.

RESUMEN

Presentamos una coleccion de rutinas dinamicas einteractivas, creadas con el programa Mathematica, parael tratamiento de ecuaciones diferenciales ordinariasutilizando la teorıa de las simetrıas de Lie.

1.INTRODUCCION

El tratamiento clasico de las ecuaciones diferencialesordinarias que aparece en la mayorıa de los librosde texto no es sistematico. En ellos se presenta unacoleccion de tecnicas especıficas de integracion para cadatipo de ecuacion: los procedimientos son diferentes paraecuaciones homogeneas, ecuaciones lineales, ecuacionesseparables, ecuaciones exactas o con factores integrantes,etc. No fue hasta finales del siglo XIX, con los trabajosdel matematico noruego Shopus Lie, cuando todasestas teorıas y metodos quedaron integrados en unprocedimiento universal, utilizando los llamados gruposde transformaciones infinitesimales, que posteriormentedieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre degrupos de Lie.

En la practica, la aplicacion de la teorıa de Lie exigerealizar una enorme cantidad de calculos para derivarla solucion de una ecuacion diferencial dada, que seincrementa cuanto mayor sea el orden de la ecuacion oel numero de variables y ecuaciones involucradas. En elpasado, esto supuso una barrera para usar la teorıa de Lie,solventada hoy en dıa por la potencia de los ordenadorespara realizar calculos largos y complejos. Por esta razon,en las ultimas decadas se han producido importantesprogresos, tanto en la aplicacion de las teorıas inicialescomo en la introduccion de diversas generalizaciones([2],[6], [7],[9],[10]).

En la actualidad, la mayorıa de programas de softwarematematico incluyen comandos y rutinas para el calculoy aplicacion de los grupos de simetrıa de Lie ([5]). Paque-tes como “DEtools” para MAPLE ([4]),“MathLie” paraMATHEMATICA ([1]), “symmgrp.max” para MACSY-MA y MAXIMA ([3],[5]) y “NUSY” para REDUCE ([8])se centran en los aspectos computacionales de la teorıa ypermiten calcular grupos de simetrıa y aplicarlos para labusqueda de soluciones de las ecuaciones en estudio. Nues-

tra aportacion en este trabajo es presentar una coleccionde rutinas y comandos, creados con el programa Math-ematica, para visualizar los objetos y los procedimientosque intervienen en la aplicacion de este tipo de tecnicas.

La eleccion del programa Mathematica para elaborarel material ha sido motivada, entre otras razones, porqueposee un lenguaje de programacion de alto nivel yporque las ultimas versiones del programa (a partir dela version 6.0) permiten crear graficos interactivos en dosy tres dimensiones e incluyen comandos de manipulaciondinamica muy adecuados para el diseno y presentacion denuestros resultados ([11]).

2. GRUPOS UNIPARAMETRICOS DE

TRANSFORMACIONES LOCALES

El material presentado incluye una serie de rutinasy comandos relacionados con el concepto de grupouniparametrico de transformaciones infinitesimales.

Definicion 1.– Un grupo uniparametrico de trans-formaciones locales actuando diferenciablemente en unabierto M de Rn consiste en una pareja (U , ψ), donde Ues un abierto de R×M tal que 0 ×M ⊂ U ⊂ R×M yψ es una aplicacion diferenciable: ψ : U →M que verificalas siguientes propiedades:

1. Si (t, x) ∈ U , (s, ψ(t, x)) ∈ U y (s+ t, x) ∈ U entoncesψ(s, ψ(t, x)) = ψ(s+ t, x).

2. Para cada x ∈M, ψ(0, x) = x.

3. Si x ∈ M , existe un t ∈ R tal que (s, x) ∈ U y(−s, x) ∈ U para cada |s| < t.

La siguiente rutina comprueba si una determinadaaplicacion ψ verifica las propiedades 1,2 y 3.

gu[ψ,p] := Evaluate [ ψ[t, ψ[s, p]] == ψ[s+ t, p],ψ[0, p] == p, ψ[t, ψ[−t, p]] == p ] //FullSimplify//TableForm

Ejemplo 1: La aplicacion ψ1 : U1 = R × R2 → R2

definida por

ψ1(t, (x, u)) = (x+ t, etu) (1)

verifica las propiedades 1,2 y 3 de la Definicion 1.Por tanto, la pareja (ψ1,R × R2) define un grupouniparametrico de transformaciones actuando sobre R2.

Ejemplo 2: La aplicacion ψ2 : U2 =]− π, π[×R2 → R2

definida por

ψ2(t, (x, u)) = (x cos(t)−u sen(t), u cos(t)+x sen(t)) (2)

define un grupo uniparametrico de transformacionesactuando sobre R2, ya que se verifican las propiedades 1,2y 3 de la Definicion 1. El punto ψ2(t, (x, u)) es el puntoque resulta de girar t radianes el punto (x, u).

La Definicion 1 puede ser interpretada como ladescripcion del movimiento de una partıcula por la accionde un campo de velocidades: ψ(t, p) es la posicion en elinstante de tiempo t de la partıcula que en el instante t = 0ocupaba la posicion p. Esta interpretacion resulta muyutil para comprender de forma intuitiva las propiedadesde la Definicion 1. Por ejemplo, si el tiempo se expresa ensegundos, la propiedad 1 indica que la posicion al cabo det2 segundos, contados desde la posicion ψ(t1, p), coincidecon la posicion de la partıcula si el tiempo transcurre t1+t2segundos desde su posicion inicial. La Figura 1 muestraesta propiedad para el grupo uniparametrico (1).

Figura 1: Grupo uniparametrico: Propiedad 1

Posiciónt0=0® 81, 1<

t1 Posición ent1=0.6® 81.6, 1.82212<

t2t1+t2

Posición ent1+t2=1.7® 82.7, 5.47395<

5 10

-1

1

2

3

4

5

6

La trayectoria que describe la partıcula que ocupa laposicion inicial p es la curva parametrizada ψp(ε) =ψ(ε, p); por la propiedad 3, dichas curvas estan definidasen algun intervalo de la forma ]−t0, t0[⊂ R. Se ha disenadouna rutina interactiva, utilizando el comando Manipulate,para representar graficamente la trayectoria que describecada partıcula al variar t. La posicion inicial se puedeseleccionar directamente con el cursor sobre la grafica (verFigura 2).

Figura 2: Trayectorias

t

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

ΨHt,Hx,uLL=8x Cos@tD - u Sin@tD, u Cos@tD + x Sin@tD<

t

-4 -2 2

-2

-1

1

2

3

ΨHt,Hx,uLL=8t+ x, ãt u<

Generador infinitesimal y ecuaciones de Lie

El concepto de generador infinitesimal surge como elcampo de velocidades del movimiento y se determinaen cada punto como un vector tangente a la curva quedescribe el movimiento de una determinada partıcula:

Definicion 2.– Sea (U , ψ) un grupo uniparametricode transformaciones locales actuando diferenciablementesobre un abierto M de Rn. Llamamos generadorinfinitesimal asociado a (U , ψ) al campo vectorial sobreM cuyo valor en x ∈M es la derivacion definida por:

vxg =d

dt

∣∣∣∣t=0

(g ψx) = lımt→0

g(ψ(t, x))− g(x)

t(3)

para cada g ∈ C∞(M).

La siguiente instruccion calcula el generador infinitesi-mal asociado al grupo uniparametrico:

generadorinfinitesimal[ψ , ε ]:=D[ψ, ε]/.ε→ 0

Por ejemplo, para calcular el generador infinitesimalasociado al grupo uniparametrico (1) en un puntoarbitrario (x, u) definimos el grupo y usamos dichainstruccion:

ψ[ε ,p ]:=p[[1]] + ε,Exp[ε] ∗ p[[2]]generadorinfinitesimal[ψ[t, x, u], t]

El resultado da las coordenadas (1, u) del campovectorial v en el punto (x, u). Es usual utilizar la notacion

v =∂

∂x+ u

∂

∂u(4)

para expresar el campo como derivacion (ver (3)).

Si en cada punto p ∈ M se representa el vector vp,se obtiene un vector tangente en p a la trayectoria quedescribe el punto p. En otras palabras, la trayectoriaψp es una curva integral del campo v que pasa porp para el instante de tiempo t = 0. Introduciendocoordenadas locales en M, x1, · · ·xn, en las que la

expresion del campo vectorial v sea v =∑n

i=1 ξi(x)

∂

∂xi,

una curva integral de v, definida parametricamente porx = (σ1(ε), · · · , σn(ε)), es solucion del siguiente sistemade ecuaciones diferenciales ordinarias:

dxi

dε= ξi(x), i = 1, · · · , n. (5)

Si el campo vectorial v es diferenciable, el teoremade existencia y unicidad de solucion para sistemas deecuaciones diferenciales ordinarias garantiza que existesolucion unica de (5) para cada conjunto de condicionesiniciales x(0) = x0, x0 ∈ M. Esto implica la existencia deuna curva integral maximal, definida en un intervalo Ix0 ,que pasa a traves de un punto dado σ(0) = x0.

Con estas notaciones, consideremos el conjunto D(v) =(ε, x) ∈ R×M : ε ∈ Ix y la aplicacion

ψv : D(v) →M(ε, x) 7→ ψv(ε, x) = σ(ε)

(6)

Se verifica que la pareja (D(v), ψv) define un grupouniparametrico local y v es el generador infinitesimal delgrupo. Las ecuaciones (5), conocidas con el nombre deecuaciones de Lie ([6]), permiten determinar las ecuacionesdel movimiento a partir de su campo de velocidades.

La siguiente rutina permite calcular el grupo uni-parametrico asociado a un campo vectorial v en las va-riables var y utiliza la letra t para el parametro del grupo:

flujo[v , t , var ]:=Module[vsus, sistema, condini,vsus = v/.Table [var[[i]]→ ai[t], i, 1,Length[var]] ;sistema = Table [a′i[t] == vsus[[i]], i, 1,Length[var]] ;condini = Table [ai[0] == v[[i]], i, 1,Length[var]] ;Table [ai[t], i, 1,Length[var]] /.DSolve [sistema, condini,Table [ai[t], i, 1,Length[var]] , t]] [[1]]

Las instrucciones VectorPlot y VectorPlot3D, paraacciones sobre R2 y R3 respectivamente, son utilizadaspara representar el campo de velocidades. Conocido elcampo de velocidades, las rutinas construidas permitendibujar la trayectoria que describe una partıcula eligiendosu posicion inicial. Las condiciones iniciales puedencambiarse de forma interactiva pulsando con el cursorsobre la propia grafica.

Figura 3: Generador infinitesimal y trayectorias

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

ΨHt,Hx,uLL=8x cosHtL - u sinHtL, u cosHtL + x sinHtL<

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

ΨHt,Hx,uLL=8t + x, ãt u<

3. TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES

Un grupo de transformaciones locales (U , ψ) puedeactuar (localmente) sobre los puntos de la grafica de unafuncion diferenciable f : Ω ⊂ R→ R :

Γf = (x, f(x)) : x ∈ Ω ⊂ R2, (7)

y generar un conjunto de puntos

ψ(t,Γf ) = (x, u) = ψ(t, (x, u)) : (x, u) ∈ Γf (8)

para cada t ∈ R y (x, u) ∈ Γf tales que (t, (x, u)) ∈ U .

El conjunto (8) no tiene por que ser necesariamente lagrafica de otra funcion f : Ω ⊂ X → U . Sin embargo,para cada punto del dominio de definicion de f, podemosdeterminar un entorno de t = 0, dependiente del puntoconsiderado, de forma que para cada elemento t de eseentorno, el conjunto ψ(t,Γf ) sea la grafica de una funciondiferenciable ([9]). Llamaremos funcion transformadade f por t a la aplicacion ψ(t, f) definida de esta forma.

En la siguientes graficas se dibuja la grafica de la funcionf(x) = sen(x) y el correspondiente conjunto (8) parael grupo uniparametrico (1). Opcionalmente se puedenvisualizar tambien el generador infinitesimal del grupo(con el uso de la orden StreamPlot) y el transformado decada punto de la grafica.

Esta rutina dinamica es muy efectiva para mostrar elcaracter local del procedimiento si se utilizan ejemplos bienelegidos que permitan visualizar la hipotetica necesidad de

Figura 4: Transformacion de funciones

Campo

Puntost

2.1

x0

f HxL=sinHxL

ΨH2.1,sinHxLL

-15 -10 -5 5 10 15

-15

-10

-5

5

10

15

Campo

Puntost

2.1

x0

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

hacer una restriccion, tanto en los elementos del grupo quepueden actuar, como en los puntos de la grafica que puedentransformarse. Por ejemplo, en la Figura 5 se utilizan lagrafica de la funcion f(x) = sen(x) y el grupo de lasrotaciones (2) para ilustrar dichas situaciones.

Figura 5: Caracter local de la transformacion de funciones

Campo

Puntost

x0

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

Campo

Puntost

x0

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

4. GRUPOS DE SIMETRIA

Una expresion de la forma:

∆(x, u, u1, · · · , un) = 0 (9)

tal que ∆un 6= 0, denotara una ecuacion diferencialordinaria de orden n con variable independiente x, variabledependiente u, y donde, para 1 ≤ i ≤ n, ui denota laderivada de orden i de u con respecto a x.

Sea X = R, con coordenada x, el espacio que representaa la variable independiente y U = R, con coordenadau, el espacio que representa a la variable dependiente.Usaremos la notacion U (n) para el espacio euclıdeocoordenado por u, u1, · · · , un y u(n) para (u, u1, · · · , un).La ecuacion (9) puede interpretarse geometricamente comouna hipersuperficie en el espacio euclıdeo X × U (n) dedimension n+ 2, que denotaremos por H∆ :

H∆ = (x, u(n)) ∈ X × U (n) : ∆(x, u(n)) = 0. (10)

Cada funcion diferenciable f : Ω → U, con Ω ⊂ X,define una aplicacion:

Ω ⊂ X → U (n)

x 7→ (f(x), f1)(x), · · · , fn)(x)),(11)

que asigna a cada x ∈ Ω el valor de la funcion f sobre esepunto y el valor en x de cada una de las derivadas hastaorden n de la funcion. Llamaremos a esta nueva funcion laprolongacion n−esima de f y sera denotada por pr(n)f.Con estas notaciones, si f es solucion de (9), entonces lagrafica de su prolongacion n−esima:

Γpr(n)f = (x, pr(n)f(x)) : x ∈ Ω ⊂ Ω× U (n), (12)

es una subvariedad de dimension 1 contenida en lahipersuperficie H∆.

Ası, por ejemplo, una ecuacion diferencial ordinariade primer orden define, localmente, una superficie en elespacio jet de orden 1, X×U (1), localmente isomorfo a R3.La grafica de una solucion de la ecuacion define una curvaen el espacio X ×U ' R2. Su primera prolongacion defineuna curva completamente contenida en la superficie H∆.Utilizando estas ideas, se disena una rutina que permitedeterminar por visualizacion directa si una determinadafuncion es o no solucion de una ecuacion dada. En la Figura6 se muestra la superficie asociada a la ecuacion

u′(x) = e−xu(x)2 + u(x) + ex, (13)

es decir, la superficie de R3

H∆ = (x, u, u1) ∈ R3 : u1 − e−xu2 − u− ex = 0 (14)

junto con las graficas de las funciones fc(x) = ex tan(c +x) y gc(x) = ex + c en el plano XU, ası comode sus correspondientes prolongaciones de orden 1. Laconstante c ∈ R puede cambiarse para obtener distintasfunciones. Solo en la figura de la izquierda las graficasde pr(1)fc(x) estan incluidas en la superficie (14), lo queindica que fc(x) = ex tan(c + x)c∈R define una familiauniparametrica de soluciones de la ecuacion (13).

Figura 6: Soluciones de una ecuacion diferencial de primer orden

c

fcHxL=ãx tanHc+ xL

-4

-2

0

2

4x

-10

-5

0

5

10

u

0

5

10

u'

c

gcHxL=c+ ãx

-4

-2

0

2

4x

-10

-5

0

5

10

u

0

5

10

u'

Grupos de simetrıa de ecuaciones diferenciales

Los grupos de simetrıa de una ecuacion son aquellos quetransforman soluciones de la ecuacion en soluciones de laecuacion:

Definicion 3.– Un grupo uniparametrico de transforma-ciones locales (U , ψ) actuando diferenciablemente en unabierto M ⊂ X × U es un grupo de simetrıa de laecuacion (9) si para cualquier solucion f : Ω ⊂ X → Ude la ecuacion y para cada t ∈ R tal que la funcion trans-formadas ψ(t, f) este definida, se verifica que ψ(t, f) estambien solucion de la ecuacion.

Una simetrıa de Lie de la ecuacion es un generadorinfinitesimal de un grupo de simetrıa de la ecuacion.

Ejemplo 3: Para cada c ∈ R, la funcion fc(x) =ex tg(x + c) es solucion de la ecuacion (13). Utilizando elgrupo uniparametrico (1), se verifica que ψ1(t, fc) = fc−t,que sigue siendo solucion de la ecuacion (13).

Utilizando algunas de las rutinas anteriores, se disena unprocedimiento para decidir graficamente si un determinadogrupo uniparametrico transforma soluciones de unaecuacion en soluciones de la misma ecuacion, en cuyocaso define un grupo de simetrıa de la ecuacion dada.En la Figura 7 se muestran los resultados de la rutinacorrespondientes al Ejemplo 3. En la figura de la izquierdase representa la accion del grupo sobre graficas desoluciones del ecuacion. El usuario puede elegir el valor de cque determina la solucion cuya grafica quiere representary el valor de t para representar la grafica de la funciontransformada con el parametro t. En la figura de laderecha se observa que todas las graficas de las primerasprolongaciones estan contenidas en la superficie que definela ecuacion, es decir, las funciones consideradas sonsoluciones de la ecuacion diferencial considerada.

Figura 7: Grupo de simetrıa

Campo

Puntost

x0

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

c

t

fcHxL=ãx tanHc+ xL ,c=-2

ΨHt, fcL=ãx tanHc- t + xL,c=-2,t=-2.28

-4

-2

0

2

4x

-10

-5

0

5

10

u

0

5

10

u'

Si un grupo uniparametrico (U , ψ) actua diferenciable-mente en un abierto M ⊂ X × U, podemos construir ungrupo uniparametrico de transformaciones locales, que de-notaremos por (U (n), ψ(n)), que actua en en el espacioM (n) = M × U (n) de la siguiente forma: para evaluar laaccion de t ∈ R sobre un elemento (x0, u

(n)0 ) ∈ M (n) se

elige una funcion f tal que u(n)0 = pr(n)f(x0); se transfor-

ma dicha funcion mediante el elemento t y se valoran susderivadas en el punto transformado:

ψ(n)(t, x0, u(n)0 ) = (x0, pr

(n)(ψ(t, f))(x0)). (15)

Es facil comprobar que la definicion es correcta porque nodepende de la funcion f que se elija ([9]).

Definicion 4.– Sea M ⊂ X × U un conjunto abiertoy sea v un campo vectorial en M ; sea (D(v), ψ) sucorrespondiente grupo uniparametrico de transformacioneslocales actuando en M. Denotemos por (D(v)(n), ψ(n)) alcorrespondiente grupo uniparametrico de transformacioneslocales actuando diferenciablemente en M (n).

Llamamos la n-prolongacion de v, y la denotamos porpr(n)v o por v(n) al campo vectorial definido en M (n) comoel generador infinitesimal de (D(v)(n), ψ(n)).

La siguiente formula, que nos permite calcular explıcita-mente la expresion en coordenadas de la prolongacion decampos vectoriales, es fundamental en el calculo de gruposde simetrıa ([9]):

Formula de prolongacion

Sea v = ξ(x, u)∂

∂x+ η(x, u)

∂

∂uun campo vectorial

definido en un abierto M ⊂ X × U. La n-prolongacionde v es el campo vectorial:

pr(n)v = v +

n∑i=1

η(i)(x, u(i))∂

∂ui(16)

definido en M (n) ⊂ X × U (n), donde, para cada i =1, · · · , n, los coeficientes η(i)(x, u(i)) estan dados por:

η(i)(x, u(i)) = Dx(η(i−1)(x, u(i−1)))−Dx(ξ(x, u))ui. (17)

La siguiente rutina permite calcular por recurrencia loscoeficientes de la prolongacion de orden k de un campovectorial v en las variables va :

prolongacion[k , v , va ]:=Module[i,Flatten[Table[v[[i]], i, 1, 2],Table[Dt[v[[2]]− v[[1]]Dt[va[[2]], va[[1]]], va[[1]], i]+v[[1]]Dt[va[[2]], va[[1]], i+ 1], i, 1, k]]]

Por ejemplo, para calcular la prolongacion de orden 2del campo vectorial (4) usamos la instruccion:

prolongacion[2, 1, u, x, u]//TraditionalForm1, u, du

dx, d2udx2

La salida indica que

pr(2)v =∂

∂x+ u

∂

∂u+ u1

∂

∂u1

+ u2∂

∂u2

. (18)

Las rutinas creadas para calcular el grupo uniparametri-co asociado a un campo vectorial son validas para los cam-pos pr(n)v. Una adaptacion de las rutinas empleadas en laFigura 3, pero utilizando la instruccion VectorPlot3D, sonvalidas para las prolongaciones de orden n = 1 en R3.

El resultado fundamental que permite calcular gruposde simetrıa de un sistema de ecuaciones diferencialesa partir de sus ecuaciones es el criterio de invarianza([2],[9],[10]). Este criterio caracteriza las simetrıas de Liede la ecuacion (9) como los campos vectoriales v tales que

pr(n)v[∆(x, u(n))] = 0, cuando ∆(x, u(n)) = 0. (19)

La siguiente rutina comprueba que el campo vectorial(4) es simetrıa de Lie de la ecuacion (13) utilizando elcriterio de invarianza:

AplicaCampo[v , ec , vars ]:=Sum[v[[i]] ∗D[ec, vars[[i]], 1], i, 1,Length[vars]];

Module[vars, ec, v, ecexp,vars = x, u, u1;ec = u1− u∧2 ∗ Exp[−x]− u− Exp[x];ecexp = Solve[ec == 0, vars[[3]]][[1]];v = 1, u, u1;FullSimplify[AplicaCampo[v, ec, vars]/.ecexp]]

0

La salida es 0, lo que comprueba analıticamente elresultado que refleja la Figura 7. Ambos procedimientospermiten conectar de forma comprensiva la definicion, masgeometrica, de grupo de simetrıa, con la caracterizacion,mas analıtica y tecnica, del criterio de invarianza.

5. REDUCCIONES DE ORDEN

El procedimiento usual para reducir el orden de unaecuacion, mediante simetrıas de Lie utiliza la llamadatecnica de los invariantes diferenciales ([6]). Una formade calcular dichos invariantes consiste en determinar uncambio local de coordenadas X = X(x, u), U = U(x, u)mediante el cual la simetrıa de Lie que se utiliza en elproceso se escribe en forma canonica: v = ∂

∂U. La siguiente

rutina se utiliza para determinar las correspondientesfunciones X,U para el campo vectorial (4), generadorinfinitesimal del grupo uniparametrico (1):

Module[vars, v, nvars,vars = x, u;v = 1, u;nvars = X,U;DSolve[Thread[AplicaCampo[v,Through[nvars[vars[[1]], vars[[2]]]], vars]== 0, 1],Through[nvars[vars[[1]], vars[[2]]]], vars]]X[x, u]→ C[1]

[e−xu

], U [x, u]→ x+ C[2]

[e−xu

]Si elegimos las funciones C[1] = Id y C[2] = 0 se obtiene

el cambio de variables

X = e−xu, U = x. (20)

El proceso de expresar un campo en forma canonica sesuele llamar proceso de rectificacion del campo, porquemediante dicho cambio de variables las trayectorias sonlıneas rectas. La Figura 8 muestra el resultado derepresentar el campo (4) y sus curvas integrales en ambossistemas de coordenadas para visualizar geometricamenteel proceso de rectificacion.

Utilizando las nuevas variables el campo vectorial pr(n)vse escribe en la forma pr(n)v = ∂

∂U. Por (19), la ecuacion

en el nuevo sistema de coordenadas esta definida por unafuncion que no depende de la variable U :

∆(X,U1, · · · , Un) = 0. (21)

Denotando W = U1, la ecuacion (21) es una ecuacionde orden n − 1 en las variables X,W. Si W = f(X)es solucion de dicha ecuacion reducida, integrando conrespecto a X la expresion U1 = f(X), se obtiene unasolucion de la ecuacion (21) y, por tanto, de la ecuacion(9) cuando se escribe en terminos de las variables x, u.

Figura 8: Rectificacion del campo

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

ΨHt,Hx,uLL=8t + x, ãt u<

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

ΨHt,HX,ULL=8X , t +U<

Si n = 1, (21) puede escribirse localmente en la formaU1 = F (X), lo que permite obtener las soluciones dela ecuacion (21) mediante una simple cuadratura. Porejemplo, en las variables (20), la ecuacion (13) se escribeen la forma

U1 =1

1 +X2(22)

Por integracion se obtiene U(x) = arctan(X) + c, c ∈ R.Utilizando el cambio de variables (20) se calcula la familiauniparametrica de soluciones de la ecuacion (13):

u = fc(x) = e−x tan(x+ c). (23)

La transformacion de la subvariedad que define laecuacion, mediante el cambio de coordenadas queproporciona la simetrıa de Lie, explica graficamente laeficacia del proceso seguido para reducir el orden dela ecuacion. En la Figura 9 la curva que define laecuacion reducida es la proyeccion de la superficie en elplano XU ′. Utilizando el comando Manipulate se observacomo dicha curva se despliega en un haz (en un familiauniparametrica) de soluciones de la ecuacion original.

Figura 9: Utilizacion de la simetrıa de Lie

Campo

Puntost

x0

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

c

t

fcHxL=c+ tan-1HxL ,c=0.23

ΨHt, fcL=c+ t + tan-1HxL,c=0.23,t=-1

-2

-1

0

1

2X

-2

-1

0

1

2

U

0.0

0.5

1.0

U'

6. CONCLUSIONES

La coleccion de rutinas presentadas en este trabajopodrıa resultar util para el diseno de un curso deecuaciones diferenciales mas innovador con respecto ala ensenanza tradicional, en la lınea seguida en [6]. Enlugar de memorizar metodos de resolucion muy diferentesentre sı para cada tipo de ecuacion, se transmite unprocedimiento unificado y valido para mas ecuaciones.

Ademas, con la ayuda de las aplicaciones dinamicas einteractivas que presentamos en este trabajo, se facilitacomprension de conocimientos matematicos previos,avanzados y a menudo abstractos, que podrıan superarla formacion y el interes de alumnos o investigadores enciencias aplicadas.

Agradecimientos: Los autores agradecen la ayuda delgrupo FQM201 de la junta de Andalucıa y del proyectoMTM2009-11875 del Ministerio de Ciencia e Innovacion.

REFERENCIAS

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[2] G W Bluman and S C Anco, Symmetry and inte-gration methods for differential equations, Springer-Verlag, New York, 2002.

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