Capitulo I. Variedades algebraicas afines.

Al conjunto solucion de un sistema de ecuaciones algebraicas lo llamamos variedadalgebraica afın. Uno lo considera como objetos de la geometrıa en espacios afines. Eneste capıtulo estudiaremos sus propiedades basicas y su relacion con la teorıa de ideales.

1. Definiciones y propiedades basicas de variedades algebraicas afines.

Un sistema de ecuaciones algebraicas sobre un campo K es un sistema de la forma

f1(X1, ..., Xn) = 0...fm(X1, ..., Xn) = 0

(1)

donde f1, ..., fm son polinomios en las variables X1, ..., Xn con coeficientes en el campo K.Dado un sistema de ecuaciones (1) nos interesamos en forma natural en el conjunto desoluciones ya sea en Kn o en Ln donde L es una extension del campo K. Un caso especialdel sistema (1) es el de sistemas lineales

n∑i=1

aikXk − bi = 0 (aik, bi ∈ K; i = 1, ...,m) (2)

que son estudiados en algebra lineal. Para dichos sistemas hay respuestas sencillas paralas siguientes preguntas que uno puede hacerce tambien para los sistemas (1):

a) En que casos el sistema (1) tiene solucion?b) Es posible describir el conjunto solucion mediante una representacion parametrica y sies ası, en que forma se puede calcular?c) Como puede uno imaginarse (dibujar) el conjuto solucion en forma geometrica?d) Es posible medir el tamano del conjunto solucion por medio de alguna funcion de di-mension?e) En que casos tiene el sistema (1) un conjunto finito de soluciones, cuantas solucionesexisten en tal caso y como podemos calcular dicho numero?f) Como saber cuando dos sistemas de ecuaciones comparten en mismo conjunto solucion?g) Si V es el conjunto solucion de un sistema (1), cuantos polinomios son extrictamentenecesarios para poder describir el conjunto V como solucion de un sistema de ecuaciones?

Naturalmente para sistemas de ecuaciones algebraicas en general, las respuestas alas preguntas anteriores son mucho mas dificiles que para el caso de sistemas lineales.Necesitaremos algun tiempo de estudio para poder dar respuestas satisfactorias a dichaspreguntas. En el capıtulo VI trataremos las preguntas d) y g) y en el capıtulo VIII nosdedicaremos a la pregunta e).

Denotemos por AnL = Ln = {(x1, ..., xn)|xi ∈ L} al espacio afın de dimension n sobre

una extension L del campo K. En dicho espacio se definen, como se hace para el caso de

1

algebra lineal, los subespacios afines (en especial puntos, rectas e hiperplanos) junto conel concepto de paralelismo.

Definicion 0.1 Un subconjunto V ⊂ AnL se llama K-variedad algebraica afın (o conjunto

algebraico afın) si existe un sistema de ecuaciones algebraicas (1) para el cual el conjuntoV es el conjunto de soluciones de dicho sistema. Decimos entonces que V esta definidosobre K y llamamos a (1) el sistema de definicion para V . El campo K es el campo dedefinicion y L el campo coordenado para V . A los puntos V ∩ An

K los llamamos puntosK-racionales de V .

Es claro que si en (1) sucede que m = 0 entonces tenemos V = AnL como conjunto

solucion. Tambien el conjunto vacio resulta ser variedad algebraica afın con el sistema deecuaciones dado por una unica ecuacion 1 = 0.

Una K-variedad es tambien una K ′-variedad para cualquier subcampo K ′ ⊂ L quecontenga los coeficientes de algun sistema de definicion de la variedad V . Esto sucedeclaramente si K ′ es un campo intermedio de la extension L/K.

Continuamos con algunos resultados sencillos para variedades algebraicas afines.

Teorema 0.2 La nocion de K-vairedad algebraica afın es invariante bajo transforma-ciones de coordenadas afines definidas sobre K, esto es transformaciones de la forma

(Y1, ..., Yn) = (X1, ..., Xn) · A + (b1, ..., bn)

donde A = (ai,k) es una matriz de n× n y donde ai,k, bi ∈ K.

Claramente tenemos que al sustituir

(X1, ..., Xn) = (Y1, ..., Yn) · A−1 − (b1, ..., bn) · A−1

en el sistema (1) podemos obtener el sistema de definicion en las variebles Y1, ..., Yn parala variedad resultante. Uno aplica transformaciones afines para simplificar los sistemas ypoder con mas facilidad encontrar soluciones de estos. Tambien utilizamos transforma-ciones de coordenadas para cituar nuestras variedades algebraicas en una mejor posicion.

Teorema 0.3 Intersecciones e uniones finitas de K-variedades algebraicas afines en AnL

son de nuevo K-variedades afines.

Demonstracion: Es suficiente demostrarlo para dos variedades V1 y V2. Sea V1 y V2

definidas por los sistemas fi = 0 (i = 1, ...,m) y gj = 0 (j = 1, ..., l) respectivamente.Entonces V1 ∩ V2 esta definido por el sistema fi = 0, gj = 0 (i = 1, ...,m; j = 1, ..., l), esdecir por la conjuncion de los dos sistemas. La union V1 ∪ V2 esta definida por el sistema

fi · gj = 0 (i = 1, ...,m; j = 1, ..., l).

2

2

Como ejemplo tenemos la interseccion de dos superficies algebraicas en A3L que es una

curva algebraica. El concepto exacto de curva algebraica en dimensiones superiores seracontemplado en el estudio de teorıa de la dimension (Cap. VI). La union finita de rectas(configuracion de rectas) son tambien variedades algebraicas, por ejemplo, la union derectas sobre las que yacen las aristas de un poliedro.

Un numero finito de puntos K-racionales en AnL son de nuevo K-variedad.

Teorema 0.4 (Producto de variedades). Sean V1 ⊂ An1L y V2 ⊂ An2

L dos K-variedadesentonces tambien el producto cartesiano.

V1 × V2 ⊂ An1L × An2

L = An1+n2L

es una K-variedad.

Demonstracion: Sea V1 el conjunto solucion del sistema fi = 0 (i = 1, ...,m) confi ∈ K[X1, ..., Xn1 ] y V2 el conjunto solucion de gj = 0 (j = 1, ..., l) con gj ∈ K[Y1, ..., Yn2 ].Considerando el sistema conjunto fi y gj visto como sistema en el anillo de polinomiosK[X1, ..., Xn1 , Y1, ..., Yn2 ] vemos que su conjunto solucion es exactamente V1 × V2. 2

Considerar el producto de una variedad V ⊂ An1L con una recta en An2

L da lugar a uncilindro en An1+n2

L .

Teorema 0.5 a) Si L contiene un numero infinito de elementos y si n ≥ 1 entoncesexiste un numero infinito de puntos de An

L fuera de una K-variedad V 6= AnL.

b) Si L es algebraicamente cerrado y n ≥ 2 entonces toda K-hipersuperficie en AnL contiene

un numero infinito de puntos.

Demonstracion: a) Basta demostrar la afirmacion para el caso de una hipersuperficie.Supongamos que dicha hipersuperficie esta definida por el polinomio f ∈ K[X1, ..., Xn].Podemos suponer que la indeterminada Xn aparece en f , ası podemos escribir

f = φ0 + φ1 ·Xn + ... + φt ·X tn (3)

donde φi ∈ K[X1, ..., Xn] (i = 1, ..., t), t > 0 y φt 6= 0. Aplicando induccion podemossuponer que existe (x1, ..., xn−1) ∈ Ln−1 tal que φt(x1, ..., xn−1) 6= 0. Entonces el polinomiof(x1, ..., xn−1, Xn) es un polinomio no indenticamente cero en L[Xn] que posee unicamentun numero finito de raices. Dado que L es infinito existe un numero infinito de posiblesxn ∈ L para las cuales f(x1, ..., xn−1, xn) 6= 0.b) Sea la hipersuperfice definida por f = 0 con f dada como en (3). Dado que n ≥ 2 yque un campo algebraicamente cerrado es infinito tenemos por a) que existe un numeroinfinito de puntos (x1, ..., xn−1) ∈ Ln−1 tales que φt(x1, ..., xn−1) 6= 0. Para cada dichopunto (x1, ..., xn−1) posee f(x1, ..., xn−1, Xn) una raiz xn en L. De esta forma mostramosque f tiene un numero infito de raices. 2

3

Teorema 0.6 Sea n ≥ 1 y L algebraicamente cerrado. Sean dos hipersuperficies Hi

definidas por las igualdades fi = 0 (i = 1, 2) donde f1, f2 ∈ K[X1, ..., Xn] son dospolinomios libres de factores comunes. Entonces tenemos que

H1 ∩H2 6= Hi (i = 1, 2)

Para la demostracion aplicaremos el siguiente lema.

Lema 0.7 Sea R un dominio de factorizacion con campo de cocientes K. Sean f1, f2 ∈R[X] primos relativo, entonces tambien lo son en K[X]. Existe entonces d ∈ R \ {0} ya1, a2 ∈ R[X] tales que

d = a1f1 + a2f2

Demonstracion: Supongamos que tenemos fi = αih donde αi, h ∈ K[X] (i = 1, 2),donde h no es constante. Recorriendo los denominadores de los coeficientes de h a los αi,por medio de productos y cocientes con elementos de R, podemos suponer que h ∈ R[X].Escribamos ahora

αi =∑

γikXk (γik ∈ K, i = 1, 2).

Sea η ∈ R el comun denominador de γik. Tenemos que

ηfi = φih (i = 1, 2)

donde φi := ηαi ∈ R[X]. Un elemento primo de R que sea divisor de η no puede serdivisor de φ1 y φ2 al mismo tiempo ya que η es el comun divisor de los coeficientes de α1

y α2. Dicho divisor debe ser entonces divisor de h ası que tenemos la igualdad

fi = φih∗ (i = 1, 2)

donde h∗ ∈ R[X] es un polinomio no constante. Esto contradice la hipotesis de que f1 y f2

eran primos relativos en R[X]. Se sigue entonces que f1, f2 son primos relativos tambienen K[X].

Aplicando algoritmo de Euclides existen polinomios A1, A2 ∈ K[X], tales que

1 = A1f1 + A2f2.

Multiplicando la igualdad por un comun denominador d de los coeficientes de Ai (i = 1, 2)tenemos la igualdad esperada

d = a1f1 + a2f2 (a1, a2 ∈ R[X])

2

Demonstracion: (de 0.6)Podemos suponer que Xn aparece en f1. Escribimos entonces f1 = φ0 +φ1Xn + ...+φtX

tn

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como en (3). Por el lema 0.7 existe un polinomio d ∈ K[X1, ..., Xn−1] \ {0} y a1, a2 ∈K[X1, ..., Xn] tales que

d = a1f1 + a2f2. (4)

Escojamos por 0.5 a) un punto (x1, ..., xn−1) ∈ Ln−1 tal que

d(x1, ..., xn−1) · φt(x1, ..., xn−1) 6= 0.

Dado que L es algebraicamente cerrado existe algun xn ∈ L tal que f1(x1, ..., xn) = 0.De (4) no puede suceder que tambien f2(x1, ..., xn) = 0 porque entonces tendriamos qued(x1, ..., xn−1) = 0. Ası que (x1, ..., xn) ∈ H1 pero (x1, ..., xn) 6∈ H1 ∩H2. 2

Corolario 0.8 Dadas dos curvas H1 y H2 en el plano definidas por dos polinomios primosrelativos entonces H1∩H2 esta formado por un numero finito de puntos. En otras palabras,un sistema de ecuaciones

f1 = 0, f2 = 0

con polinomios f1, f2 ∈ K[X1, X2] primos relativos, tiene como conjunto solucion a unnumero finito de puntos en A2.

Demonstracion: En esta situacion d ∈ K[X1] es un polinomio con un numero finito deraices. Existe entoces un numero finito de posibles valores que puede tomar la coorde-nada X1 para los puntos de H1 ∩H2. Por un argumento simetrico para la coordenada X2

tenemos el resultado. 2

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