variantes no tempo

8/16/2019 Variantes no tempo

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

TÓPICOS ESPECIAIS EM ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS

RICARDO LUIZ SPONCHIADO

TRABALHO 03

SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO

PATO BRANCO

2015

RELATÓRIO DE TRABALHO AVALIATIVO


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2

RICARDO LUIZ SPONCHIADO

TRABALHO 03

SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO

Relatório apresentado à disciplina de

Tópicos Especiais de Análise de SistemasDinâmicos, do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica – PPGEE, da Universidade TecnológicaFederal do Paraná – UTFPR, CâmpusPato Branco.

Prof. Dr. Jean Patric Da Costa.

PATO BRANCO2015


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3

SUMÁRIO

1. Introdução ............................................................................................................. 4

2. Objetivos ............................................................................................................... 5

3. Exemplos .............................................................................................................. 6

Exemplo 4.8 ............................................................................................................... 6

Exemplo 4.9 ............................................................................................................... 7

Exemplo 4.10 ............................................................................................................. 8

4. Problemas ............................................................................................................. 10

Problema 4.01 .......................................................................................................... 10

Problema 4.03 .......................................................................................................... 11

Problema 4.06 .......................................................................................................... 14

Problema 4.07 .......................................................................................................... 15

Problema 4.10 .......................................................................................................... 16

Problema 4.16 .......................................................................................................... 16

Problema 4.20 .......................................................................................................... 18

Problema 5.21 .......................................................................................................... 20

Referências ............................................................................................................... 21


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4

1. INTRODUÇÃO

A principal razão deste relatório é introduzir a noção de análise de sistemaslineares variante no tempo através de revisão e resolução de problemas presentes na

literatura.


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5

2. OBJETIVOS

O objetivo geral deste trabalho é o estudo e resolução de exercíciosconsiderando a referência Linear System Theory and Design- C.T. Chen listados a

seguir:

Refazer os exemplos 4.8, 4.9, 4.10;

Resolver os problemas 4.1, 4.3, 4.6, 4.7, 4.10, 4.16, 4.20

Resolva o exercício proposto em aula 5.21.


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6

3. EXEMPLOS

Exemplo 4.8

Considere o sistema homogêneo:

1 1

2 2

0 0 0 0( )

0 0

x x

x x t

x xt t

Ou1( ) 0 x t e 2 ( ) ( ) 0 x t tx t

A solução de 1( ) 0 x t para 0 0t é 1 1( ) (0) x t x .

A solução de 2 1 1( ) ( ) (0) x t tx t tx é

2

2 1 2 1 20

( ) (0) d (0) 0.5 (0) (0)t

x t x x t x x

Assim temos

1

2

2

(0) 1 1(0) ( )

(0) 0 0.5

x

t

x t

x x

e

12

2

(0) 1 1(0) ( )(0) 2 0.5 2

x

t

x t

x x

As duas condições de estado inicial são linearmente independentes, assim

2 2

1 1( )

0.5 0.5 2t

t t

X

que é a matriz fundamental.


7/21

7

Exemplo 4.9

Considere a equação homogênea do Exemplo 4.8. A matriz fundamental calculada é

2 2

1 1( )

0.5 0.5 2t

t t

X

Calculando a inversa

21

2

0.25 1 0.5( )0.25 0.5

t t

t

X

Assim, a matriz de transição de estado é determinado por

2

0

0 2 22 2 200

1 01 1 0.25 1 0.5( , )

0.5( ) 10.5 0.5 2 0.25 0.5

t t t

t t t t t

Φ

Onde a matriz de transição deve satisfazer

0 0, ,t t t t t t

Φ A Φ

Com as seguintes propriedades:

,

t t Φ I

1

1 1 10 0 0 0, ,t t t t t t t t

Φ X X X X Φ

0 1 1 0, , ,t t t t t t Φ Φ Φ


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8

Exemplo 4.10

Considere ( ) t g t te ou ( )( , ) ( ) ( )

t g t g t t e

É fácil verificar que

( )t

t t

t

te g t e te

e

Assim, a representação por espaço de estados fica

0 0(t) ( ) ( )

0 0

( ) ( )

t

t

t t

tet u t

e

y t e te t

x x

x

Considerando como uma implementação a resposta ao impulso

( ) t g t te

. Atransformada de Laplace da resposta ao impulso é

2 2 2

1 1ˆ( )

( ) 2

t g s te

s s s

E considerando a forma canônica de realização de sistemas, dada por

1 2

1 2 1

1ˆ

1 r r sp r r s s s s s

d s d s

G N N N N N

Tem-se as equações


9/21

9

2 11

0 0 0

0 000

00 0 0

0

r r

p I

p p p p

p

p

p

I I I I

I

I

x x u

I

1 2 1 ˆ r r y N N N N x G u

Logo

˙ 2 12

01 0

t t t

x x u

0 1 y t t x

Que representa uma nova realização para resposta impulso.


10/21

10

4. PROBLEMAS

Problema 4.01

Mostre que a solução

cos sin(t) (0)

sin cos

t t

t t

x x

é oscilação é gerada por

0 1

1 0

x x

Assim

0 1

1 0

x x Ax

21

11

det

A

j

Igualando ℎ() = 0 + e sendo () = . Para = , temos

0 1 jt

e j

E para = −, temos

0 1 jt

e j


11/21

11

Isolando tem-se

12

jt jt e e

sent j

Agora isolando para 0, tem-se

0 1 cos jt

e j t

Como

cost cost sent

e t sent sent cost

AI A

Logo

0cost sent

t sent cost

x x

Problema 4.03

Discretize a equação de estado para 1T e T .

0 1 1

2 2 1

( ) 2 3

u

y t

x x

x

para os períodos de amostragem = 1

e =

.


12/21

12

Primeiro devemos encontrar . Sendo assim, temos

21

2 21det

A

1 j

Igualando ℎ() = 0 + e sendo () = . Para = −1 − , temos

1

0 1 1

j t e j

E para = −1 + , temos

1

0 1 1 j t

e j

Isolando 0 e , temos

0 sent

e t

1t

e sent cost

Logo

0 10 1

2 2

t e

AI

sen

2 sen

t t

t

t t

e sent cost e t

e

e t e sent cost

A

Deve-se aplicar o tempo de discretização sendo t = T = 1


13/21

13

1 1

1 1

1 cos 1 sen 1

2 sen 1 1 cos 1

d

e sen e

e

e e sen

AA

0,5083 0,3046

0,6191 0,1108d e

AA

Como A não possui autovalores iguais a zero, calcula-se por

1d d

B A A I B

Seu uso elimina a necessidade do cálculo de uma série infinita. Logo, temos

0 1 0,5083 0,3046 1 0 1

2 2 0, 6191 0,1108 0 1 1d

B

1.0471

0.1821d

B

Assim, a equação de estado é dada por

0, 5083 0, 3046 1.052

10, 6191 0,1108 0.1871

k k k

x x u

1 2 3k k y x

Realizando os mesmos passos anteriores para = = , chegamos a

0, 0432 0 1, 5648

10 0, 0432 1, 0432

k k k

x x u

1 2 3k k y x


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14

Problema 4.06

Verifique que

1

1

1 1

0

0

( )

bu

b

y t c c

x x

x

pode ser transformada em

( )

u

y t

x Ax b

c x

com

1 1 1 1 1

0 1

0

1

2 Re( c ) 2 Re( c )c b b

A

b

x

Através da transformação x Qx onde

1 1

1

1 1

b b

b b

Q

Considerando as propriedades de da transformação de equivalência, temos

1

1

A QAQ

B QB

C CQ

Assim


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15

Problema 4.07

Verifique se a equação

1

2

3

1

2

3

1 2 3 1 2 3

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 10 0 0 0 0

( )

b

b

bu

b

bb

y t c c c c c c

x x

x

Pode ser transformada em

2

2

1 2 3

A I 0 b

x = 0 A I x + b u

0 0 A b

y = c c c x


16/21

16

Problema 4.10

Considere a matriz racional 1x2

1 2 4 3 21 2 3 4

1ˆ ( ) s d d

s s s s

G

3 2 3 2

11 21 31 41 12 22 32 42[ s s s s s s ] x

Mostre que sua forma canônica observável realização pode ser reduzido de como

1 11 12

2 21 22

3 31 32

4 41 42

1 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

( ) 1 0 0 0 y t d d

x x u

x u

Problema 4.16

Encontre matrizes fundamentais e matrizes de transição de estado para

0 1

0 t

x x

e

21

0 1

t

e

x x

Então temos

20,52 2 2 2( ) (0) e

t x tx x t x


17/21

17

20.5

1 2 1 2 1

0

( ) ( ) (0) (0)

t t

x x t x t e dt x x

Para1

(0)0

x

Tem-se

1(t)

0 x

Para

0(0)1

x

Tem-se

2

2

0.5

0

0.5

(t)

t t

t

e dt

x

e

Assim a matriz fundamental é

2

2

0.5

0

0.5

1(t)

0

t t

t

e dt

x

e

2 22 2

2

2

0.5 0.50.5 0.51

00.5 0

0.5

11(t)

0 1 0

t t t t t t

t

t

e e dt e e dt x

e

e

A matriz de transição de estados é dada por

22

2 2

0.50.5

10

0.5( )

1( , ) ( ) ( )

0

c

c

c

t t t

c t

t t

e e dt

t t x t x t

e


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18

Problema 4.20

Encontre a matriz de transição de estados para

sin

0 cos

t o

t

x x

2

1 1

2

sin 0

0 cos

x xt

x xt

1 1 sin x x t t

2 2 cos x x t t

Aplicando

1 1 0

cost x t e x

2 2 0 sent

x t e x

Para

1

00

x

Temos

0

cost e

t

x

E para


19/21

19

0

01

x

Temos

0

sent t

e

x

Logo, a matriz fundamental é dada por

0

0

cost

sent

e

t

e

X

Aplicando a regra prática para inversão de matrizes de ordem 2, temos

1 0

0

cost

sent

e

t

e

X

Como

10,t t t t

Φ X X

Temos

0

0

0

0,

0

cost cost

sent sent

e

t t

e

Φ


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20

Problema 5.21

Considere a equação variante no tempo

2

2

t

x tx u

y e x

Cheque se é BIBO estável, marginalmente estável ou assintoticamente estável:

Cômpute a “matriz” de transição 0( , )t t

Cômute a resposta ao impulso ( , )t g

2 2

0 02 ( )

0( , )t

t tdt t t

t t e e

2 2 22 2

g( , ) ( , ) 1 t t t

t e t e e

2 2

0 0

g( , ) t t t

t t t d e d e

A equação é BIBO estável.


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21

REFERÊNCIAS

Chen, C.-T. (1999). Linear System Theory and Design (3rd ed.). New York: OxfordUniversity Press.

Khalil, H. K. (1996). Nonlinear Systems (2nd ed.). New Jersey: Prentince-Hall.

Lathi, B. P. (2007). Sinais e Sistemas Lineares (2nd ed.). Porto Alegre: Bookman.

Nise, N. S. (2002). Engenharia de Sistemas de Controle (3rd ed.). LTC.

Nise, N. S. (2011). Control Systems Engineering (6th ed.). Pomona: John Wiley &Sons.

Oppenheim, A. V. (2010). Sinais e Sistemas (2nd ed.). São Paulo: Pearson PrenticeHall.

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