Variables yFunciones

Octubre 2012

Diplomado en Administracin de Riesgos

Curso Propedutico

Profesor: Juan Francisco Islas A.

(segunda parte)

Identificacin de funciones a partir de grficas

S es funcin

No es funcin

No es funcin

No es funcin

S es funcin

S es funcin

Identificacin analtica de funciones (a partir de ecuaciones) Cules de las siguientes ecuaciones son funciones y por qu ?

72 += xy xy =2 2xy =

1562 ++= xxy 6422 =+ yx4=x

No es funcin

No es funcin

No es funcin

S es funcin

S es funcin

S es funcin

Valuacin de funciones

6=xii) en

( ) 106 = f

Valuar la funcin

i) en 4=x

( ) 10220

27261

17

267

266 ==+=+=+=f

( ) 9727244 =+=+=f ( ) 94 = f

( ) 72+= xxf

Tipos de funciones

Funcin linealFuncin cuadrtica

Funcin polinomial de grado

Funcin racional

Funcin potencia

( ) bmxxf +=( ) 02 ++= acbxaxxf

n( ) 0011 +++= nnnnn aaxaxaxf L

( ) = naxxf n( ) ( )( ) ( ) 0= xhxh

xgxf

Tipos de funciones. Ejemplos

Funciones linealesFunciones cuadrticas

Funciones polinomiales

Funciones racionales

Funciones potencia

( ) 47 = xxf( ) 285 2 += xxxf

( ) 5924 23 ++= xxxxf

( ) 62xxf =( ) 4

492 +

= xxxxf

( ) xxg 3= ( ) 9=xh( ) xxxg 62 = ( ) 26xxh =

( ) 72 35 += xxxg( ) 2

25 = xxxxg

( ) 21xxg = ( ) 34 = xxh

Grficas de funciones

xxf =)(

1)( = xxf

3)( 2 = xxf

1254)( 2

2

++=

xxxf

linealcuadrtica

racionalpotencia

Tipos de funciones. Caracterizacin de dominio

El dominio de las funciones lineales, cuadrticas y polinomiales es el conjunto de los nmeros reales.

xEl dominio de las funciones racionales y

potenciales excluye cualquier valor de que implique una operacin indefinida.

( ) 47 = xxf ( ) 285 2 += xxxf ( ) 5924 23 ++= xxxxf

( ) 4492 +

= xxxxf

( ) 021 == xxxxg( ) 044 33 == xxxxh

Ejemplos de identificacin de dominio

1974 2 += xxy{ }= xxD |( ) ,

Ejemplos de identificacin de dominio

5= ty Funcin potencia( )215= tEl dominio de esta funcin potencia excluye a todo

que implica una operacin indefinida:la raz cuadrada no est definida para los nmeros negativos.

5

Ejemplos de identificacin de dominio

( )96+= xxy

Funcin racional conformada por una funcin lineal entre una funcin cuadrtica.

El dominio de esta funcin racional excluye a

yque implican una operacin indefinida:la divisin entre cero no estdefinida.

0=x{ }0,9,| = xxxxD( ) ( ) ( ) ,00,99,

Ejemplos de identificacin de dominio

xy 5= Funcin racional conformada por una funcin lineal entre una funcin potencia.

El dominio de esta funcin racional excluye a todo

que implican una operacin indefinida:la divisin entre cero no est definida y la raz cuadrada para nmeros negativos no est definida.

0x{ }0,| >= xxxD

( ),0

Ejemplos de identificacin de dominio

362 = xxy ( )( )66 += xx

x Funcin racional conformada por una funcin lineal entre una funcin cuadrtica.

El dominio de esta funcin racional excluye a

y queimplican una operacin indefinida: la divisin entre cero no est definida.

6=x 6=x

{ }6,6,| = xxxxD( ) ( ) ( ) ,66,66,

Ejemplos de identificacin de dominio

( )47= xxy

Funcin racional conformada por una funcin lineal entre una funcin cuadrtica.

El dominio de esta funcin racional excluye a

y queimplican una operacin indefinida: la divisin entre cero no est definida.

0=x 4=x

{ }4,0,| = xxxxD ( ) ( ) ( ) ,44,00,

Ejemplos de identificacin de dominio

xxy = 8

3 Funcin racional conformada por una funcin lineal entre una funcin potencia.El dominio de esta funcin racional excluye a todo

que implica una operacin indefinida:la divisin entre cero no estdefinida y la raz cuadrada para nmeros negativos no est definida.

8x{ }8,|

Ejemplos de identificacin de dominio

( )( )956

= xxxy Funcin racional conformada por

una funcin lineal entre una funcin cuadrtica.

El dominio de esta funcin racional excluye a

y queimplican una operacin indefinida: la divisin entre cero no estdefinida.

5=x 9=x

{ }9,5,| = xxxxD( ) ( ) ( ) ,99,55,

Ejemplos de identificacin de rango

xy 2={ }= yyR |

( ) ,

Ejemplos de identificacin de rango 2xy =

El rango de esta funcincuadrticaes el conjunto de los nmeros reales no negativos.

Funcin cuadrtica{ }0,| = yyyR)[ ,0

Ejemplos de identificacin de rango

xy 5={ }= yyR |

( ) ,

Ejemplos de identificacin de rango (dominio acotado)

41para5 = xxyFuncin lineal condominio acotado

El rango de esta funcinlinealcon dominio acotado es el conjunto cerrado

que pertenece al conjunto de los nmeros reales.

{ }520,| = yyyR[ ]5,20

520 y[ ]5,20 0

y

y20 5[ ]

20 5

d o m i n i o

r

a

n

g

o

Ejemplos de identificacin de rango

23 = xy{ }= yyR |

( ) ,

Ejemplos de identificacin de rango (dominio acotado)

22para23 = xxyFuncin lineal condominio acotado

El rango de esta funcinlinealcon dominio acotado es el conjunto cerrado

que pertenece al conjunto de los nmeros reales.

{ }48,| = yyyR[ ]4,8

48 y[ ]4,8

0y

y8 4

8 4[ ]

d o m i n i o

r

a

n

g

o

lgebra de funciones

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 0=

=

=

+=+

xgxgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgfadicin

diferencia

producto

cociente

lgebra de funciones. Ejemplos

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )xgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgf

=

=

=

+=+Sean las funcionesentonces

35)( += xxf 84)( = xxgy

( ) ( ) 598435 =++= xxx( ) ( ) 118435 +=+= xxx( ) ( ) 2428208435 2 =+= xxxx

28435

+= xxx

Tarea 2

i) Para cada una de las funciones mostradas en la diapositiva 8, determine el dominio, el rango y elabore sus grficas.

ii) Determine el rango para cada una de las funciones mostradas en las diapositivas 9 a 16.

iii) Elabore, en forma analtica y con apoyo del mtodo de tabulacin, las grficas de las funciones matemticas de las diapositivas 9 a 22.

iv)Resuelva los ejercicios 3.7, 3.8, 3.9 y 3.10 de Dowling (1992), pginas 71-74 .