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7/25/2019 Variables Aleatorias.pptx

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VariablesAleatoriasDiscretas


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Distribuciones discretas. Son aquellas donde las variables asumen un

nmero limitado de valores, por ejemplo el nmero de aos de estudio.

Discretas

Binomial

Geomtrica

Binomial negativaHipergeomtrica

Multinomial

oisson


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Distribucin Binomial

n! nmero de intentos

! probabilidad de un "ito en cualquier intento

#$%p&!q! probabilidad de un 'racaso en cualquier

intento

(#"& ! probabilidad de " "itos en n intentos

q n ! probabilidad des'avorable

$% q n ! robabilidad de un "ito ) por lo menosp * q ! $


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Propiedades de la distribucin

Distribucin binomial

Media + ! n p

Varianza

Desviacin

estndar

Distribucin binomial

Media + ! n p

Varianza

Desviacin

estndar


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Ejercicio

studios demuestran que en las carreteras de -olombia el

/0 de los conductores emplean el cintur)n de seguridad

al conducir. Se seleccion) una muestra de $/ conductoresen una de nuestras carreteras. Determinar la probabilidad1

a& 2ue e"actamente 3 lleven el cintur)n de seguridad

b& 2ue 3 ) menos de los conductores lleven puesto el

cintur)n de seguridad.

"! 3

n!$/

p! /.

q!/.4a& "!3 B#"!3&! 5$.60

b& " 3 #"!3, , 6, 4, 7, 5, $, /& ) #$% "!8, 9, $/& B#":3&! 87.70


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Ejercicio

;n $/0 de los empleados de producci)n en determinada empresa estar $/ trabajadores de producci)n para un estudio riguroso

del ausentismo.

a& ?-u


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Ejercicio para resolver

3.3 Aa probabilidad de que un auto se descomponga en

una carretera es de /.5/.Suponga que 54 autos circulanpor la carretera. -u


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3.8 Aa probabilidad de que en una tormenta se produ>caun apag)n de lu> es de /.9. Si observamos 6 tormentas,

cucan1

a& Jres

Il menos dos

Il menos uno pero no m


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Distribucin Geomtrica

l nmero de muestras requeridas para generar una 'alsaalarma sigue una distribuci)n geomtrica, que es un caso

especial de distribuci)n binomial negativa.

!$, 5, 7,K LC

Donde1

p#"& ! probabilidad de que ocurra un "ito en el ensao " por primera nica ve>

p ! probabilidad de "ito

q ! probabilidad de 'racaso


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Esperanza de la Distribucin

Geomtrica


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Ejercicio

Aos registros de una compa=a constructora de po>os,

indican que la probabilidad de que uno de sus po>os

nuevos, requiera de reparaciones en el trmino de un ao

es de /.5/. ?-uo

construido por esta compa=a en un ao dado sea el

primero en requerir reparaciones en un ao@

" ! 6 que el quinto po>o sea el primero que requiera reparaciones en un aop ! /.5/ ! probabilidad de que un po>o requiera reparaciones en el trmino de

un ao

q ! /.8/ ! probabilidad de que un po>o no requiera reparaciones en el trmino

de un ao

p#" ! 6& !


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Ejercicio

;na maquina detecta 'allas en los productos que elabora

una 'abrica. Si los productos tienen una probabilidad de

'alla del 60, calcular la probabilidad de que la maquinaencuentre su primer producto de'ectuoso en la octava

ocasi)n que selecciona un producto para su inspecci)n

De'inir "ito1 salga de'ectuoso el producto.

! 8

p ! /./6

q ! $ % /./6 ! /.96

#!8& ! #/.96&3#/./6& ! /./749


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$/.$ Si /./6 es la probabilidad de que cierto instrumento

de medici)n su'ra una desviaci)n e"cesiva, ?-u


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Distribucin Binomial Negativa

sta distribuci)n puede considerarse como

una e"tensi)n o ampliaci)n de la distribuci)ngeomtrica . Aa distribuci)n binomial

negativa es un modelo adecuado para tratar

aquellos procesos en los que se repite un

determinado ensao o prueba asta conseguir

un nmero determinado de resultados

'avorables #por ve> primera&.


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alores mltiples.

Cmero determinado de ensaos de Bernoulli.Cmero no de'inido de pruebas separados o separables.

Dos resultados mutuamente e"cluentes #I. I&

#I& ! p N #I& ! q ! $%q

O! nmero de "itos

Bernoulli #p, P& probabilidad de "itos nmero

de "itos.


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O! nmero de "itos


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Ejercicio

n la serie de campeonato de la CBI #Cational BasPetball

Issociation&, el equipo que gane 4 de 3 juegos ser< el ganador.

Suponga que los equipos A B se en'rentan en los juegos decampeonato que el equipo A tiene una probabilidad de /.66 de

ganarle al equipoB.

a& ?-u


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Solucin

a& b #N 4, /.66& !

b&P#el equipoA gana la serie de campeonato& es

b #4N 4, /.66& * b #6N 4, /.66& * b #N 4, /.66& * b #3N 4,

/.66& ! /./9$6 * /.$43 * /.$867 * /.$8 ! /./87.

c

&P

#el equipoA

gana la eliminatoria& esb #7N 7, /.66& * b #4N 7, /.66& * b #6N 7, /.66& ! /.$4 *

/.554 * /.5/5$ ! /.697$.


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Distribucin ipergeomtrica

s utili>ada cuando el muestreo se reali>a sin reposici)n la muestra que

obtenemos de la poblaci)n es relativamente pequea por lo tanto la

probabilidad de "ito no pertenece igual de un ensao a otro.

C! Jamao de la poblaci)n

p! cantidad de "itos en la poblaci)n

"! nmero de "itos de la muestra

n! tamao de la muestra o nmero de ensaos

alor esperado! #"& ! nQp

arian>a ! n p#$%p&Q


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Ejercicio

Aa 'abrica de juguetes, tiene 6/ empleados en el

departamento de ensamble. De estos, 4/ pertenecen a un

sindicato $/ no. se van a elegir 6 empleados aleatoriamente,para que integren un comit que ablara con el gerente acerca

de la ora de inicio de distintos turnos. ?-ucan al sindicato@

E! 47.$/0

#"&! 5.$66!7

ar#"&! $.$5


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Ejercicio

;na compa=a de bienes ra=ces nacional planea comprar/ locales en la Rndia de los cuales el 5/ 0 estaba

in'ectados de termitas. Si e"traemos con prop)sito de

control de plagas una muestra del $/0 de los locales.

?-u


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9.$ n una jaula a $/ roedores recin nacidos1 6

macos 6 embras. Si se eligen al a>ar 6, cu


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9.5 Ha 3 ombres 7 mujeres en la clase. -ada

estudiante tiene la misma probabilidad de estar ausente

que los dem


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Distribucin !ultinomial

s similar a la distribuci)n binomial, con la di'erencia de que en lugar

de dos posibles resultados en cada ensao, puede aber mltiples

resultados

Donde1

X1 = x11 indica que el suceso $ apare>ca "$ veces

n1 indica el nmero de veces que se a repetido el suceso

1 es la probabilidad del suceso $


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Ejercicio

n las elecciones se presentaron 4 partidos pol=ticos1 el obtuvo un 4/0 de los votos, el el 7/0, el

M;M; el 5/0 el AIAI el $/0 restante. ?-uar, 7

aan votado al , $ al M;M; $ al AIAI@


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Solucin

Donde1

X1 = El partido lo aan votado 7 personas

n1 6 veces p11 4/0

P = 0,0!"

s decir, que la probabilidad de que las 6 personas elegidas

aan votado de esta manera es tan s)lo del 5,60


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Ejercicio

n una 'iesta, el 5/0 de los asistentes son espaoles, el

7/0 'ranceses, el 4/0 italiano el $/0 portugueses. n

un pequeo grupo se an reunido 4 invitados1 ?cual es la

probabilidad de que 5 sean espaoles 5 italianos@


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Solucin

P = 0,0#$%

or lo tanto, la probabilidad de que el grupo est 'ormado

por personas de estos pa=ses es tan s)lo del 7,840.


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$$.$ l departamento de bomberos de una localidadreporta que el 4/0 de los incendios ocurre en casa

abitaci)n, 7/0 en o'icinas 7/ 0 en 'abricas. ?-uar, 7 sean en casa abitaci)n, 7 en o'icinas 5 en'abricas@


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$$.7 ;na tienda de msica vende 7 tipos de aparatos1

$60 de precios altos, 490 de precios medios 70 de

precios bajos, ?cu


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Distribucin Poisson

sta 'unci)n de distribuci)n de variable discreta se emplea para calcular las

probabilidades asociadas a la variable aleatoria dentro de un intervalo continuo

de tiempo o espacioN este intervalo es generalmente una unidad de medidaconocida1 cm5, Pm, gramos, litros, pulgadas, etc.

Ilgunos de los problemas que presentan como un 'en)meno con distribuci)n de

oisson son1

% Aos embotellamientos que se producen por d=a.

% Cmero de llamadas por ora.

% De'ectos por m5 de tela.

% Cmero de de'ectos por lote de un proceso de producci)n.

% Cmero de negocios cerrados por semana.


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Distribucin Poisson

I este tipo de problemas se les conoce el nmero de "itos " obtenidos

por unidad de medida en n ensaosN pero es totalmente imposible conocerel nmero de 'racasos #n % "&.

Se dice que se da un proceso de oisson si se pueden observar eventos

discretos en un intervalo continuo en 'orma tal que si se acorta el

intervalo lo su'iciente1

$.% Aa probabilidad de observar e"actamente un "ito en el intervalo es

estable.

5.% Aa probabilidad de observar dos o m


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Distribucin Poisson

Aa distribuci)n de oisson se e"presa mediante la siguiente ')rmula.

Donde1

n ! Cmero de ensaos

" ! Cmero de "itos esperados en n ensaose ! 5.3$858...

! n p ! -onstante igual al nmero de "itos promedio por unidad de medida

p ! robabilidad constante durante el proceso igual al nmero de "itos

promedio por unidad de medida.


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Distribucin de Poisson

l carse con las

siguientes ')rmulas1

+! ! np

!

+ ! Media

! arian>a

! Desviaci)n est


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Ejercicio

;n conmutador recibe en promedio 6 llamadas sobre autos

e"traviados por ora. ?-uar reciba@

a& Cinguna llamada.

b& "actamente 7 llamadas.c& Co m


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Solucin

ara este problema ! 6, en otros casos deber< calcularse

con1 ! n p.

a& Cinguna llamada. " ! / #&!/.//3497

b& "actamente 7 llamadas1 " ! 7 #&!/.$4/4

c& Co m


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Ejercicio

La probabilidad de que haya un accidente en una compaade manufactura es de 0.02 por cada da de trabajo. Si setrabajan 300 das al ao, cu!l es la probabilidad de tener 3accidentes"

#omo la probabilidadp es menor que 0.$, y el producto n *p es menor que $0 %300 & 0.02 ' (), entonces, aplicamos

el modelo de distribuci*n de +oisson

-l realiar el c*mputo tenemos que +%/ ' 3) ' 0.012

+or lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laboralesen 300 das de trabajo es de .1.


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jercicio

&i un banco recibe en promedio " c'e(ues sin )ondo por d*a, +culesson las probabilidades de (ue reciba,

a- cuatro c'e(ues sin )ondo en un d*a dado

&olucin

x = variable (ue nos de)ine el n.mero de c'e(ues sin )ondo (ue lle/an

al banco en un d*a cual(uiera = 0, 1, , #, , etc, etc

= " c'e(ues sin )ondo por d*a

e = 21$

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