UNIDAD III:DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Variable Aleatoria

Si a cada resultado de un experimento de probabilidad se le asigna un valor numérico, entonces a medida que se observan los resultados del experimento se observan valores de una variable aleatoria. Este valor numérico es el valor de la variable aleatoria.

VARIABLE ALEATORIA: Es la variable que asume un valor numérico para cada uno de los resultados que aparecen en el espacio muestral de un experimento de probabilidad.

En un experimento de probabilidad, cada evento debe también definirse de modo que se le asigne solo un valor de la variable aleatoria (eventos mutuamente excluyentes), y todo evento debe poseer un valor asignado (eventos totalmente incluyentes).

Variable Aleatoria

Ejemplos:

Se lanzan cinco monedas y se observa el “numero de caras” visible. La variable aleatoria x es el número de caras observadas y puede adoptar valores enteros de 0 a 5.

Sea la “longitud del cable” de un aparato eléctrico una variable aleatoria. Los valores posibles para esta variable con valores numéricos entre 12 y 72 pulgadas para casi todos los aparatos eléctricos.

Las variables aleatorias numéricas pueden subdividirse en dos clases: variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

Variable Aleatoria

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Es la variable aleatoria cuantitativa que puede adoptar una cantidad numerable de valores.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Es una variable aleatoria cuantitativa que puede adoptar una cantidad innumerable de valores.

La variable aleatoria en la que se eligen 0 y 1 para describir dos posibles valores se denomina Variable aleatoria de Bernoulli.

Función de Probabilidad

Algunas veces es conveniente escribir una regla que exprese algebraicamente la probabilidad de un evento en términos del valor de la variable aleatoria. Esta expresión suele escribirse como una formula y se denomina función de probabilidad.

FUNCION DE PROBABILIDAD: Regla que asigna probabilidades a los valores de las variables aleatorias.

Función de ProbabilidadEjemplo: Un dado ha sido modificado de modo que tiene una cara con un punto, dos caras con dos puntos y tres caras con tres puntos. Sea x el número de puntos observados cuando se lanza el dado. La tabla presenta la distribución de probabilidad del experimento.

x P(x)

1

2

3

Cada probabilidad puede representarse como un valor dividido entre 6. Así:

¿Cuál sería la función de probabilidad para el experimento de lanzar un dado normal?

Función de ProbabilidadToda función de probabilidad debe poseer las dos propiedades de la probabilidad:

•La probabilidad asignada a cada valor de la variable aleatoria debe estar entre 0 y 1, inclusive.•La suma de las probabilidades asignadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria debe ser igual a 1.

Así, el conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una función de probabilidades, una función de masa de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X para cada resultado posible de x.

Función de ProbabilidadLa función de distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta X con distribución de probabilidad f(x) es:

EJERCICIOS• Una trabajadora social está llevando a cabo un estudio sobre la estructura familiar; obtiene informaciones sobre el número de hijos por familia, en cierta comunidad, a partir de los datos del censo. Identifique la variable aleatoria de interés, determine si es discreta o continua.

• Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas:X= número de accidentes automovilísticos por año en Tijuana.Y= El tiempo para jugar 18 hoyos de golf.M= La cantidad de leche que una vaca especifica produce anualmente.N= El numero de huevos que una gallina pone mensualmente.P= El número de permisos para construcción que emite cada mes una ciudad;Q= El peso de grano producido por acre. 

EJERCICIOS • Un embarque foráneo de cinco automóviles extranjeros contiene 2 que tienen ligeras manchas de pintura. Si una agencia recibe 3 de estos automóviles al azar, liste los elementos del espacio muestral S con las letras B y N para “manchado” y “sin mancha”, respectivamente; luego a cada punto muestral asigne un valor x de la variable aleatoria X que representa el numero de automóviles que la agencia compra con manchas de pintura. • Los datos del censo a menudo se usan para obtener distribuciones de probabilidad de algunas variables aleatorias. Los datos del censo, de familias con un ingreso combinado de $50000 o más, en un estado en particular, muestran que 20% no tienen hijos, 30% tienen un hijo, 40% tienen dos hijos y 10% tienen tres hijos. Con base en esta i información, elabore la distribución de probabilidad para x, que representa el número de hijos por familia en este grupo de ingresos.