valor presente valor futuro

Finanzas para no

financieros

Matemáticas financieras

Valor del dinero a través del

tiempo, interés y equivalencias

Elaborado por Luis Olmedo Figueroa D

Contenido a desarrollar • Conceptos fundamentales

– Valor del dinero a través del tiempo.

– Interés.

– Tasa de interés.

• Interés

– Simple.

– Interés compuesto.

• Tipos de tasa de interés.

– Tasa nominal.

– Tasa efectiva.

• Equivalencias.


Valor del dinero a través del tiempo

Hoy Mañana

Inflación

Costo de oportunidad

Riesgo


Flujo de caja 100.000

1 2 3 4 5 6

20.000 20.000 20.000 20.000 20.000

20.000

El banco XYZ, le presta al señor Pérez la suma de $100.000 a 6 meses, luego de

realizar un acuerdo con el banco llegaron a la conclusión de cancelar $20.000

mensuales, a una tasa mensual del 2%, ¿usted aceptaría el crédito?

Observa como el dinero pierde valor a través del tiempo.

Si no esta de acuerdo hasta cuanto cancelaría mensualmente.


Interés y tasa de interés

• Uso del dinero.

• Costo.

• Diferencia entre el valor de hoy y el de mañana.

• Ecuación

I = F – P, expresión monetaria.

Tasa de interés; i = I/P indicador porcentual.


Interés Simple y Compuesto

Simple

• Capital inicial no varia.

• Tasa de interés siempre se pagan. sobre el mismo capital, es decir intereses siempre iguales.

• I = P*i*n

• F = P*(1+ni)

Compuesto

• Capital varia periodo a periodo.

• Se capitalizan los intereses; es decir los intereses se adicionan al saldo de capital anterior.

• In = P*i*(1+i)^n-1

• F = P*(1+i)^n


Aplicaciones – interés simple

• Carlos tiene un capital $4.000.000. Invierte el 60 % del capital al 15% anual y el 40% restante lo presta a un hermano al 1% mensual, revisemos los intereses mensuales.

El 60% de $4.000.000 es 4.000.000 * 0,60 = 2.400.000

La inversión de Carlos fue: $2.400.000 al 15 % anual y $1.600.000 al 1% mensual.

Interés mensual de $2.400.000

I = 2.400.000 * 0,15/12 * 1 = 30.000

Interés mensual de 1.600.000

I = 1.600.000 * 0,01 * 1 = 16.000

Interés mensual total

30.000 + 16.000 = 46.000

Todos los meses son el mismo valor, es decir solo se necesita multiplica por el número de veces el interés mensual.


Aplicaciones – interés compuesto

• Carlos tiene un capital $4.000.000. Invierte el 60 % del capital al 15% anual pagadero mes vencido y el 40% restante lo presta a un hermano al 1% mensual, revisemos los intereses mensuales.

El 60% de $4.000.000 es 4.000.000 * 0,60 = 2.400.000

La inversión de Carlos fue: $2.400.000 al 15 % anual y $1.600.000 al 1% mensual.

Interés para el primer mes de $2.400.000

I = 2.400.000 * 0,15/12 * (1+0,15/12)^0 = 30.000

Interés para el segundo mes de $2.400.000

I = 2.400.000 * 0,15/12 * (1+0,15/12)^1 = 30.375, y así sucesivamente

Interés para el primer mes de 1.600.000

I = 1.600.000 * 0,01 * (1+0,01)^0 = 16.000

Interés para el segundo mes de 1.600.000

I = 1.600.000 * 0,01 * (1+0,01)^1 = 16.160, y así sucesivamente.


Aplicaciones – interés compuesto

Interés total para el primer mes.

30.000 + 12.000 = 46.000

Interés total para el segundo mes.

30.375 + 16.160 = 46.535 y así sucesivamente.

2.400.000 * (1+(0,15/12))^12 = 2.785.810,84

1.600.000 * (1+0,01)^12 = 1.802.920,05; total 4.588.730,89

4.000.000 + (46.000 * 12) = 4.552.000; interés simple

El señor Rodríguez entra a laborar a una compañía ganado un sueldo

mensual de $500.000 y espera recibir un aumento anual promedio

de 10%. ¿Cuánto tendrá por sueldo al cabo de cinco años?

500.000 * (1+0,1)^5 = 525.505


Equivalencia

• Problema

fundamental de las

matemáticas

financieras.

¿Cómo comparo

cifras en diferentes

fechas en el tiempo?

Las equivalencias


Tasas de interés y equivalencias

financieras

• Tasa nominal: tasa de interés expresada

para un periodo, la cual debe tener el

valor, la frecuencia de pago y la

liquidación de intereses.

• Tasa efectiva: tasa de interés que mide el

costo ó rentabilidad efectiva y resulta de

capitalizar la nominal.


Equivalencias financieras

Las equivalencias las podemos dividir en

vencidas y anticipadas, de acuerdo a su

modalidad de pago.

Equivalencia básica en modalidad vencida:

Ie = [(1+in)^t]-1.

Equivalencia básica en modalidad.

anticipada:

Ie = [(1-in)^-t]-1


Calculo de equivalencias

• El Banco le concede un crédito a una tasa de interés de D.T.F.+ 4 mes vencido, donde la D.T.F = 7% E.A., calcular el costo del crédito expresado en tasa efectiva anual.

• Para poder sumar linealmente las tasas de interés, debemos convertirlas a tasas nominales.

• De la formula base despejamos la in = (1+ie)1/12-1

• El interés arrojado es un interés nominal mensual, el cual debemos pasar a anual M.V.

• Sumamos las dos tasas y ese costo total lo convertimos a tasa efectiva anual.


Ejemplo

•in = (1+ie)1/12-1

In = [(1+0,07)^(1/12)] -1 = 0,005654

0,005654*12 = 0,0678*100 = 6,78%

6,78% + 4 = 10,78% Anual M.V.; 10,78/12 = 0,898%

M.V

Ie = [(1+(0,00898)^12] -1 = 0,1132 =11,32%

Calculo de equivalencias

• El día de hoy usted ingresa a laborar y es

llamado de personal para que determine

que fondo de pensiones desea, ellos le

ofrecen tres alternativas, ¿Usted cual

tomaría?

• Alternativa A = 14.8% E.A.

• Alternativa B = 1.2% M.V.

• Alternativa C = 3.5% T.A.


Ejemplo

• Alternativa A = 14,8%

• Alternativa B = ie = [(1+0,12)^12]-1 =

0,159834 *100 = 15,9834%

• Alternativa C = ie = [(1-0,035)^-4]-1 =

• 0,153163*100 = 15,3163%

• La mejor alternativa de inversión es B.

Valor presente

• Cálculo de una suma presente equivalente a un

valor futuro.

• El señor Pérez, recibirá una suma de

$50.000.000 dentro de siete meses, sin

embargo el necesita saber cuanto vale esa

suma el día de hoy, con el fin de asegurar el

pago de materiales de construcción, si la tasa

de interés mensual del proveedor es del 1.2%

M.V., ¿Cuánto tiene hoy el señor Pérez para

comprometerse?


Valor presente

• Solución

VF = 50.000.000

Plazo 7 meses

Interés 1,20%

VP = VF

(1+i)n

VP = 50.000.000 = 45.994.554,52

1,087085211


Valor futuro

• Es el resultado de calcular el valor

equivalente de un bien a precios de hoy,

dentro de un periodo de tiempo con un

reconocimiento de intereses.

• Si usted invierte $1.000.000 a seis meses

en un CDT y le reconocen mensualmente

el 1%, ¿Cuánto dinero le entregarán al

final del plazo?


Valor futuro

• Solución

VP = 1.000.000

Plazo 6 meses

Interés 1%

VF = VP*(1+i)n

VP = 1.061.520,15


valor presente valor futuro

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