® • ~ 2015

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA ~

INSTITUTO DE INVESTIGACION v/ DE LA FACUL TAO DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

INFORME FINAL DEL TEXTO (

"TEXTO: MODELADO MATEMÁTICO DE t/ SISTEMAS DINÁMICOS"

AUTOR: JUUO CESAR BORJAS CASTAÑEDA ~ PERIODO DE EJECUCION: 01 de abril del 2014 al 31 de marzo del 2015 /

RESOLUCION DE APROBACION: RR No 314-2014-R /

CALLAO, 2015

l. INDICE /

Lista de figuras -./"

11. INTRODUCCION \/"

111. ' CONTENIDO ./

INDICE

Capitulo 1. Modelado matemático de sistemas dinámicos

1.1 Modelo matemático

1.2 Función de transferencia

1.3 Diagrama de bloques

1.4 Modelado en el espacio de estados

1.5 Linealización de modelos matemáticos no lineales

Capítulo 2. Sistemas mecánicos

2.1 Sistemas mecánicos traslacionales

2.2 Sistemas mecánicos rotacionales

2.3 Sistemas mecánicos traslacional-rotacional

Capítulo 3. Sistemas eléctricos y electrónicos

3.1 Sistemas eléctricos

3.2 Sistemas electrónicos

Capítulo 4. Sistemas de fluidos y sistemas ténnicos

4.1 Sistemas de nivel de liquido

4.2 Sistemas neumáticos e hidráulicos

4.3

IV.

V.

VI.

Sistemas ténnicos /

REFERENCIALE}-'

APENDICES

ANEXOS /

1

2

3

4

4

4

9

10

11

15

18

19

34

42

54

54

58

62

62

66

70

73

74

76

1

Figura No 1.1 Figura No 1.2 Figura No 1.3 Figura No 2.1 Figura N° 2.2 Figura N° 2.3 Figura No 2.4 Figura No 2.5 Figura N° 2.6 Figura No 2. 7 Figura N° 2.8 Figura No 2.9 Figura No 2.1 O Figura No 2.11 Figura No 2.12 Figura No 2.13 Figura No 2.14 Figura No 2.15 Figura No 2.16 Figura No 2.17 Figura No 2.18 Figura No 2.19 Figura No 2.20 Figura No 2.21 Figura No 2.22 Figura N° 2.23 Figura No 2.24 Figura No 3.1 Figura No 3.2 Figura No 3.3 Figura No 3.4 Figura No 3.5 Figura No 3.6 Figura N° 4.1 Figura No 4.2 Figura No 4.3 Figura N° 4.4

LISTA DE FIGURAS

Paracaidista en cafda libre Elemento de un diagrama de bloques Sistema de control multivariable MIMO Elementos mecánicos traslacionales Movimiento de un cohete Sistema mecánico masa resorte Sistema mecánico masa resorte amortiguador Sistema mecánico acoplado Diagrama de cuerpo libre Sistema mecánico acoplado Máquina de Atwood Péndulo doble Péndulo ffsico doble Elementos mecánicos rotacionales Masa rotacional Rotor en medio viscoso Sistema rotacional acoplado Un par de engranajes dentados Un rotor de motor y carga acoplada Movimiento de la mano Péndulo invertido y carro Grúa puente con carga colgante Diagrama de cuerpo libre carro--grúa Diagrama de cuerpo libre del péndulo Sistema masa-resorte-péndulo Péndulo amortiguador Péndulo simple Elementos eléctricos Circuito serie RLC Circuito RC de dos etapas Circuito amplificador con operacional Filtro T Circuito electrónico T con direcciones de corriente Sistema de nivel Sistema de nivel de dos tanques Sistema de presión Sistema térmico

5 10 13 20 20 22 24 25 25 27 29 30 32 34 34 35 36 37 38 39 42 45 46 46 48 50 53 54 55 56 58 60 61 62 64 67 70

2

11. INTRODUCCION

El texto presenta las técnicas matemáticas para la obtención de modelos

matemáticos de los sistemas dinámicos. Aplicando la Segunda Ley de Newton, las

Ecuaciones de lagrange y otras definiciones de la Física Clásica se obtiene las

ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento, tanto de traslación, rotación o una

combinación de ambos. En el caso de los sistemas eléctricos, las ecuaciones

dinámicas se hallan aplicando las leyes de Kircchoff, propiedades de la Ley de Ohm

y teoremas de análisis de los circuitos eléctricos. En el caso de los sistemas

electrónicos se incluye el Operacional como dispositivo lineal para la obtención de la

dinámica del sistema, adicionando la ganancia correspondiente.

Este texto está escrito para estudiantes de ingeniería de Pregrado (eléctrica,

electrónica y otra especialidades) y también para estudiantes de Postgrado, con la

finalidad de que se pueda utilizar como texto para el modelamiento de los procesos

o plantas, objetos de control.

Las ecuaciones dinámicas encontradas, están listas para su análisis tanto como

función de transferencia, como su análisis en ecuaciones de estado y de esta manera

observar su comportamiento ante una señal de prueba y así determinar la estabilidad

del sistema para el caso de sistemas lineales e invariantes con el tiempo. También

se toca el caso de sistemas no lineales y se conduce a su linealización.

El texto está organizado en 4 capítulos. A continuación se describe brevemente el

contenido de cada capitulo. El capitulo 1 presenta las definiciones preliminares del

modelado matemático de sistemas dinámico. El capitulo 2 aborda los sistemas

mecánicos. El capitulo 3 trata de los sistemas eléctricos y electrónicos y el capitulo

4 trata de los sistemas de fluidos y de los sistemas térmicos.

Se ha incluido figuras que detallan el sistema del cual se quiere encontrar su modelo

matemático; estas han sido elaboradas con el software Visio.

3

111. CONTENIDO

CAPITULOI

MODELADO MATEMATICO DE SISTEMAS DINAMICOS

1.1 MODELO MATEMATICO

Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o una

ecuación que expresa las características esenciales de un sistema ffsico o de un

proceso en términos matemáticos. En general el modelo se representa mediante una

relación funcional de la forma:

variable ( variables funciones ) d d . = f . d nd" ,parametros, d f epen tente m epe lentes e uerza

Donde:

variable dependiente = comportamiento o estado de un sistema variable independiente = dimensiones que determinan el comportamiento

(1.1)

parámetros = reflejo de las propiedades o la composicion del sistema funciones de fuerza = influencias externas que actuan sobre el sistema

La expresión matemática ( 1.1) va desde una simple relación algebraica hasta un

enorme y complicado grupo de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, la segunda

ley Newton del movimiento, la cual establece que la razón de cambio del momentum

con respecto al tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que actúa sobre

él. Le expresión matemática, o el modelo, de la segunda ley es la conocida ecuación

F = ma, donde F es la fuerza neta que actúa sobre el objeto, m es la masa del objeto

y a es su aceleración. La segunda ley puede escribirse de la forma

F a=- (1.2)

m Donde a es la variable dependiente que refleja el comportamiento del sistema, F es

la función de fuerza y m es un parámetro que representa una propiedad del sistema.

Obsérvese que en este caso especifico no existe variable independiente porque aún

no se predice como varia la aceleración con respecto al tiempo o al espacio.

4

La ecuación posee varias de las características típicas de los modelos matemáticos

del mundo físico:

1. Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.

2. Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir, ignora

los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus

manifestaciones esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton no incluye los

efectos de la relatividad, que tienen una importancia cuando se aplica a objetos y

fuerzas que interactúan sobre o alrededor de la superficie de la Tierra, a

velocidades y en escalas visibles a los seres humanos.

3. Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a

emplearse con la finalidad de predecir. Por ejemplo, dada la fuerza aplicada sobre

un objeto de masa conocida, la ecuación se emplea para calcular la aceleración.

Debido a su forma algebraica sencilla, la solución de la ecuación se obtiene con

facilidad. Sin embargo, es posible que otros modelos matemáticos de fenómenos

físicos sean mucho más complejos y no se resuelven con exactitud, o que requieran

para su solución de técnicas matemáticas más sofisticadas que la simple algebra.

Para ilustrar un modelo más complicado de este tipo, se utiliza la segunda ley de

Newton para determinar la velocidad final de la caída libre de un cuerpo que se

encuentra cerca de la superficie de la tierra. Nuestro cuerpo en caída libre será el de

un paracaidista, como se muestra en la ftgura 1.1

Figura 1.1 Paracaidista en caída libre

Fv

m

Fd

S

Un modelo para este caso se obtiene expresando la aceleración como la razón de

cambio de la velocidad con respecto al tiempo.

dv F=ma=m-dt

Donde ves la velocidad de caída del paracaidista, m es la masa, Fes la fuerza

resultante, Fa es la fuerza hacia abajo debida a la atracción de la gravedad y F, es la

fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire.

Fa=mg

F11 = CV

Aquí e es el coeficiente de resistencia o arrastre.

Fa -F11 =ma

dv mg-cv=m­

dt dv

--c....-- = dt g--v m

f d ~fñ V - g) = - .:_ f dt mv-g m

ln (~ v - g) = -: t + In( K)

ln(: v- g) = ln( e-~t) + ln(K) = ln(Ke-~t) e ~ -v-g=Ke m m

Inicialmente el paracaidista esta en reposo, es decir v = O en t = O entonces K = - g

Resolviendo se encuentra que

mg( ct) v=c 1-em (1.3)

Note que la ecuación (1.3) obtenida es un ejemplo de la forma general de ecuación

modelo, donde v = v(t) es la variable dependiente, tes la variable independiente, e

y m son parámetros y g es la función de fuerza. A la ecuación obtenida se le llama

solución analítica o exacta ya que satisface con exactitud la ecuación diferencial

6

original. Por desgracia, hay muchos modelos matemáticos que no pueden resolverse

con exactitud. En muchos de estos casos, la única alternativa consiste en desarrollar

una solución numérica que se aproxime a la solución exacta. Como ya se mencionó,

los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema matemático

para lograr resolverlo mediante operaciones aritméticas. Esto puede ilustrarse para

el caso de la segunda ley de Newton, observando que la razón de cambio de la

velocidad con respecto al tiempo se puede aproximar por el método de Euler,

mediante:

dv .L\v v(t¡+1) - v(t¡) -:::-=-..;..;...;;; __ _.;.... dt .L\t ti+1 - t¡

(1.4)

Donde Av y At son diferencias en la velocidad y en el tiempo, respectivamente,

calculadas sobre intervalos finitos, v(t¡) es la velocidad en el tiempo inicial t¡ y v(ti+1)

es la velocidad algún tiempo más tarde ti+1· A la ecuación anterior se le denomina

una aproximación en diferencia finita dividida de la derivada en el tiempo t¡.

Sustituyendo en la ecuación, tenemos

v(tt+l)- v(t¡) e ) -----= g- -v(tt

ti+1 - tt m

v(tt+t) = v(t¡) + [o-~ v(tD] (tt+t - t¡) (1.5)

v[i + 1] = v[i] +[o-~ v[i]] (t[i + 1]- t[i]) (1.6)

Note que el termino entre corchetes en el lado derecho de la propia ecuación

diferencial. Es decir, este término nos da un medio para calcular la razón de cambio

o la pendiente de v. Así, la ecuación diferencial se ha transformado en una ecuación

que puede utilizarse para determinar algebraicamente la velocidad en tt+t usando la

pendiente y los valores anteriores de v y t. Si se da un valor inicial para la velocidad

en algún tiempo t¡, es posible calcular con facilidad la velocidad en un tiempo

posterior tt+t· Este nuevo valor de la velocidad en ti+t sirve para calcular la velocidad

en tt+z y asi sucesivamente. Es decir, a cualquier tiempo,

valor nuevo= valor anterior+ pendiente x tamaño del paso (1.7)

Obsérvese que esta aproximación formalmente se conoce como método de Euler.

7

Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas distintas. Dependiendo

del sistema del que se trate y de las circunstancias específicas, un modelo

matemático puede ser más conveniente que otros. Por ejemplo, en problemas de

control optimo, es provechoso usar representaciones en el espacio de estados. En

cambio, para los análisis de la respuesta transitoria o dela respuesta en frecuencia

de sistemas lineales con una entrada y una salida invariantes en el tiempo, la

representación mediante la función de transferencia puede ser más conveniente que

cualquier otra. Una vez obtenido un modelo matemático de un sistema, se usan

diversos recursos analiticos, asf como computadoras para estudiarlo y sintetizarlo.

Simplicidad contra precisión. Al obtener un modelo matemático se debe establecer

un compromiso entre la simplicidad del mismo y la precisión de los resultados del

análisis. Al obtener un modelo matemático razonablemente simplificado, a menudo

resulta necesario ignorar ciertas propiedades físicas inherentes al sistema. En

particular, si se pretende obtener un modelo matemático de parámetros

concentrados lineal (es decir, uno en el que se empleen ecuaciones diferenciales),

siempre es necesario ignorar ciertas no linealidades y parámetros distribuidos que

pueden estar presentes en el sistema dinámico. Si los efectos que estas propiedades

ignoradas tienen sobre la respuesta son pequet'ios, se obtendrá un buen acuerdo

entre los resultados del análisis de un modelo matemático y los resultados del estudio

experimental del sistema físico. Se debe ser consciente de que un modelo de

parámetros concentrados lineal, que puede ser válido si opera a bajas frecuencias,

tal vez no sea válido en frecuencias suficientemente altas, debido a que la propiedad

no considerada de los parámetros distribuidos puede convertirse en un factor

importante en el comportamiento dinámico del sistema.

Sistemas lineales. Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de

superposición. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación

simultánea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas

individuales. Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se

calcula tratando una entrada cada vez y sumando los resultados.

8

Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuación

diferencial lineal a partir de soluciones simples. Si en una investigación experimental

de un sistema dinámico son proporcionales la cusa y el efedo, lo cual implica que se

aplica el principio de superposición, el sistema se considera lineal.

Sistemas lineales invariantes y variantes en el tiempo. Una ecuación diferencial

es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones solo de la variable

independiente. Los sistemas dinámicos formados por componentes de parámetros

concentrados lineales invariantes con el tiempo se describen mediante ecuaciones

diferenciales lineales invariantes en el tiempo (de coeficientes constantes). Tales

sistemas se denominan sistemas lineales invariantes en el tiempo (o lineales de

coeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante ecuaciones

diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo se denominan sistemas

lineales variantes en el tiempo. Un ejemplo de un sistema de control variante en el

tiempo es un sistema de control de naves espaciales. (La masa de una nave espacial

cambia debido al consumo de combustible.)

1.2 FUNCION DE TRANSFERENCIA

La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial

lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre la transformada de

Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformadas de Laplace de la

entrada (función excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales

son cero.

. . L[salida] Y(s) Func1.on de transferencla = G(s) =.![entrada] = X(s) (1.8)

A partir del concepto de función de transferencia es posible representar la dinámica

de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. si la potencia más alta de sen

el denominador de la función de transferencia es igual a n, el sistema se denomina

sistema de orden n-ésirño.

9

Comentarios acerca de la función de transferencia.

1. la función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque

es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la

variable de salida con la variable de entrada.

2. la función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente

de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.

3. la función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la

entrada con la salida; sin embargo no proporciona información acerca de la

estructura física del sistema.

4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o

respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la

naturaleza del sistema.

5. Si se desconoce la función de transferencia de un subsistema, puede

establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la

salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona

una descripción completa de las caracteristicas dinámicas del sistema, a diferencia

de su descripción fisica.

1.3 DIAGRAMAS DE BLOQUES

El diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones

que lleva a cabo cada componente y el flujo de senales. Tales diagramas muestran

las relaciones existentes entre los diversos componentes.

Figura 1.2 Elemento de un diagrama de bloques

entrada ---.~ Funcion de

Transferencia G(s)

salida

A diferencia de una representación matemática puramente abstracta, un diagrama

de bloques tiene la ventaja de indicar de forma más realista el flujo de senales del

10

sistema real. En un diagrama de bloques todas las variables del sistema se enlazan

unas con otras mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente

bloque es un símbolo para representar la operación matemática que sobre la señal

de entrada hace el bloque para producir la salida. Un diagrama de bloques contiene

información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye

información de la construcción física del sistema. En consecuencia, muchos sistemas

diferentes y no relacionados pueden representarse mediante el mismo diagrama de

bloques.

1.4 MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS

La tendencia moderna en los sistemas de ingeniería es hacia una mayor

complejidad, debido sobre todo a que se requieren tareas más complejas y buena

precisión. Los sistemas complejos pueden tener múltiples entradas y múltiples

salidas y pueden ser variantes en el tiempo. Debido a la necesidad de cumplir

requisitos cada vez más exigentes en el comportamiento de los sistemas de control,

el aumento de la complejidad del sistema y el fácil acceso a la computadora a gran

escala, la teoría moderna de control, que es una nueva aproximación al análisis y

diseno de los sistemas de control complejo, se ha desarrollado desde 1960. Esta

nueva aproximación se basa en el concepto de estado. El concepto de estado por si

mismo no es nuevo, puesto que ha existido durante bastante tiempo en el campo de

la dinámica clásica y en otros campos.

Estado. El estado de un sistema dinámico es el conjunto de variables más pequeño

(llamadas variables de estado), de forma que el conocimiento de estas variables en

t = t0 , junto con el conocimiento de la entrada para t ~ t0 , determinan

completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t ~ t 0 .

Variables de estado. Las variables de un sistema dinámico son las variables que

constituyen el menor conjunto de variables que determinan el estado del sistema

dinámico. Si al menos se necesitan n variables x1, x2, ••• , xn para describir

completamente el comportamiento de un sistema dinámico (de forma que una vez

11

que la entrada para t > t0 esta dada y el estado inicial en t = t0 esta especificado,

el estado futuro del sistema está determinado completamente), entonces tales n

variables son un conjunto de variables de estado.

Vector de estado. Si se necesitan n variables de estado para describir

completamente el comportamiento de un sistema dado, entonces esas n variables

de estado se pueden considerar como las n componentes de un vector x. este vector

se denomina vector de estado. Un vector de estado es, por lo tanto, un vector que

determina univocamente el estado del sistema x(t) en cualquier instante del tiempo

t > t 0 especificado.

Espacio de estados. El espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados están

formados por el eje x1 , eje x2 , ... , eje Xn donde x1, x2, ..• Xn son las variables de estado,

se denomina espacio de estados. Cualquier estado se puede repres4entar como un

punto en el espacio de estados.

Ecuaciones en el espacio de estados

El estado de un sistema se describe por el conjunto de ecuaciones diferenciales de

primer orden escritas en función de las variables de estado (x1, x2, ... Xn). Estas

ecuaciones pueden escribirse de forma general como

f1 = au X1 + a12Xz + ··· + a1nXn + bu U1 + ··· + b1m Um

Xz = a21X1 + azzXz + ··· + aznXn + bz1U1 + ··· + bzmUm

En forma matricial

[~1] [au x2 _ a21 . - . . . . . Xn an1

(1.9)

12

La matriz de columnas formada por las variables de estado se denomina vector de

estado y se escribe

{1.10)

El vector de las senales de entrada se define como u. Entonces el sistema puede

representarse en forma compacta de la ecuación diferencial de estados como

x =Ax+Bu {1.11)

Esta ecuación suele denominarse ecuación de estado. Donde A es una matriz

cuadrada de n x n y B es una matriz den x m. En general, las salidas de un sistema

lineal pueden relacionarse con las variables de estado y con las senales de entrada

por la ecuación de salida

y= Cx+Du {1.12)

La figura 1.3 es la representación en diagramas de bloque de la ecuación de estado

y la ecuación de salida.

Figura 1.3 Sistema de control multivariable MIMO

• + y

13

Correlación entre funciones de transferencia y ecuaciones en el espacio de estados

A continuación se obtendrá la función de transferencia de un sistema con una sola

entrada y una sola salida a partir de las ecuaciones en el espacio de estados.

x =Ax+8u

y=Cx+Du

Tomando transformadas de laplace a estas ecuaciones, se obtiene

sX(s)- x(O) = AX(s) + 8u(s)

Y(s) = CX(s) + DU(s)

X(s) = (si- A)-1x(O) +(si- A)-18U(s)

Y(s) = C(si- A)-1x(O) + C(si- A)-1x(0)8U(s) + DU(s)

Si la condición inicial x(O) = o X(s) =(si- A)-18U(s)

Y(s) = C(si- A)-1x(0)8U(s) + DU(s)

la función de transferencia será

Y(s) = C(sl- A)-18 + D U(s)

(1.13)

A manera de aplicación, sea un sistema definido por las siguientes ecuaciones en el

espacio de estado

x =[~S =~]x +[~]u y= [1 2]x

En este caso D =O, por lo que, la función de transferencia en lazo cerrado será

T(s) = C(sl- A)-18

si -A = [s + S 1 ] -3 s+l

14

( l A)-1 1 [s + 1 -1 ] s - = (s + S)(s + 1) + 3 3 s + 5

1 [S + 1 -1 ] [2] T(s) = (s + S)(s + 1) + 3 [1 2] 3 s + 5 5

1 ( 2s- 3] T(s)=s2+6s+8[1 2] 5s+31

12s +59 T(s) = -:s2~+-6s_+_8

1.5 LINEALIZACION DE MODELOS MATEMATICOS NO LINEALES

Sistemas no lineales. Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de

superposición. Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no

puede calcularse tratando cada entrada a la vez y sumando los resultados.

Aunque muchas relaciones físicas se representan a menudo mediante ecuaciones

lineales, en la mayor parte de los casos las relaciones reales no son verdaderamente

lineales. De hecho, un estudio cuidadoso de los sistemas físicos revela que incluso

los llamados "sistemas lineales" solo lo son en rango de operación limitados. En la

práctica muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc.,

involucran relaciones no lineales entre las variables. Por ejemplo la salida de un

componente puede saturarse para senales de entrada grandes. Puede haber una

zona muerta que afecte a las sefiales pequenas. (La zona muerta de un componente

es un rango pequeño de variaciones de entrada a las cuales el componente es

insensible.) Puede ocurrir una no linealidad de ley cuadrática en algunos

componentes. Por ejemplo, los amortiguadores que se utilizan en los sistemas físicos

pueden ser lineales para operaciones a baja velocidad, pero pueden volverse no

lineales a altas velocidades, y la fuerza de amortiguamiento puede hacerse

proporcional al cuadrado de la velocidad de operación.

Linealización de sistemas no lineales. En la ingenierfa de control, una operación

normal del sistema puede ocurrir alrededor de un punto de equilibrio, y las senales

15

pueden considerarse pequeñas alrededor del equilibrio. (Debe señalarse que hay

muchas excepciones a tal caso.) Sin embargo, si el sistema opera alrededor de un

punto de equilibrio y si las señales involucradas son pequeñas, es posible aproximar

el sistema no lineal mediante un sistema lineal. Este sistema lineal es equivalente al

sistema no lineal, considerando dentro de un rango de operación limitado. Tal modelo

linealizado (lineal e invariante con el tiempo) es muy importante en la ingeniería de

control.

El procedimiento de Linealización que se presenta aquí se basa en el desarrollo de

la función no lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación y la retención

solo del ténnino lineal. Debido a que no se consideran los términos de orden superior

del desarrollo en serie de Taylor, estos términos no considerados deben ser

suficientemente pequeños; es decir, las variables solo se desvían ligeramente de la

condición de operación.

Aproximación lineal de modelos matemáticos no lineales. Con la finalidad de

obtener un modelo matemático lineal para un sistema no lineal, se supone que las

variables solo se desvían ligeramente de alguna condición de operación.

Considérese un sistema cuya entrada es x(t) y cuya salida es y(t). La relación entre

y(t) y x(t) se obtiene mediante

y=f(x)

Si la condición de operación normal corresponde a x, y , la ecuación es expande en

series de Taylor alrededor de ese punto, del modo siguiente

df 1 d 2/ y = f(x) = f(x) + dx (x- x) + 2! dx2 (x- x)2 + ... (1.14)

Donde las derivadas~· =~·· ... se evalúan en x = x. Si la variación x - x es pequeña,

es posible no considerar los términos de orden superior en x - x. Entonces tenemos

y = f(x) ~ f(x) + df (x- x) dx

y= y+K(x-x)

Donde y = f(x) y K = ~ en x = x

y-y= K(x-x)

16

Considérese un sistema no lineal cuya salida y es una función de dos entradas x1 y

x2 de modo que

Y= f(xl, Xz)

Con la finalidad de obtener una aproximación lineal para este sistema no lineal, es

posible expandir la ecuación en series de Taylor alrededor del punto de operación

normal x1, x2 , entonces la ecuación se convierte en

Y= f(X¡,Xz) + [:~ (xl- x1)- ::. (x2- Xz)]

1 ¡az¡ iJ2 az¡ l +- ~(x1- X1)2 + 2 (xl- X1)(x2- Xz) + - 2 (x2- Xz) 2 + ··· 2! iJx1 iJx1 OXz iJx2

(1.15}

Donde las derivadas parciales se evalúan en x1 = x1 y x2 = x2 . Cerca del punto de

operación normal, es posible no considerar los términos de orden superior.

A continuación, el modelo matemático lineal de este sistema no lineal alrededor de

la condición de operación normal se obtiene mediante

y- y= K1Cx1- x1) + K2Cx2- Xz) cony = !Cx1,x2)

K iJf _ - K iJf - -1 = -

0 enx1 = x1,x2 = x2 , 2 = -

0 enx1 = x1,x2 = x2

x1 ' Xz

Como ejemplo se linea liza la ecuación no lineal z = xy, en la región

5 <X< 7, 10 S x S 12.

Se pide encontrar el error si la ecuación linealizada se utiliza para calcular el valor

de z cuando x=5 e y=10. Escogiendo x = 6,y = 11 entonces z = xy = (6)(11) = 66.

Se va a obtener la ecuación linealizada alrededor del punto x = 6,y = 11.

Desarrollando la ecuación no lineal en series de Taylor alrededor del punto x, y sin

considerar los términos de orden más aHos, se tiene

z- z = a(x - x) + b(y- y)

iJ(xy) iJ(xy) a = = y = 11, b = - = x = 6

iJx iJy

z- 66 = 11(x- 6) + 6(y- 11)

Cuando x=5, y=10 entonces z = 66 + 11(5- 6) + 6(10- 11) = 49

El valor exacto de z es 50. El error es, por lo tanto, 50-49 = 1. En términos de

porcentaje el error es del 2%.

17

CAPITULO 11

SISTEMAS MECANICOS

En esta sección se analizara el modelo matemático de los sistemas mecánicos. La

ley fundamental que controla los sistemas mecánicos es la segunda ley de Newton,

que se aplica a cualquier sistema mecánico. También se aplicara la ecuación de

Lagrange para deducir las ecuaciones del movimiento usando energías potenciales

y cinéticas.

Segunda ley de Newton.

La derivada del momento lineal o ímpetu de un cuerpo respecto al tiempo es igual a

la fuerza que actúa sobre él, es decir

F=p (2.1)

Donde p = mv es el momento, m es la masa y v la velocidad. Esta ecuación se usa

cuando la masa es variable como ocurre en los cohetes. Pero cuando la masa es

constante, entonces

. d(mv) dv d2x F=p= =m-=ma=m-

dt dt dt2 (2.2)

donde a es la aceleración y x es el desplazamiento

Ecuaciones de Lagrange de movimiento

Considerando un sistema con N grados de libertad que se describe por medio de un

conjunto de N coordenadas generalizadas q¡ para i = 1. 2 • .... N. Estas coordenadas

son irrestrictas e independientes; es decir no están relacionadas entre si por medio

de condiciones geométricas o cinemáticas. Entonces, en términos de las

coordenadas generalizadas elegidas, las ecuaciones de Lagrange tiene la forma

j = 1.2 • ..... N (2.3)

18

donde i¡i son las velocidades generalizadas, T es la energía cinética del sistema, V

es la energía potencial, O es la función de disipación de Rayleigh y Qi es la fuerza

generalizada que aparece en la j-ésima ecuación.

Las fuerzas generalizadas Q i se obtienen con

~ orz ~ ow1 Qi = ¿Fz.~+ ¿Mz.-¡¡:-:

l q} l qJ (2.4)

donde F1 y Mt son las representaciones vectoriales de las fuerzas y los momentos

aplicados externamente, el índice l indica cual fuerza o momento externo se esta

considerando, r1 es el vector de posición para el lugar donde la fuerza se aplica y 6}z

es la velocidad angular del sistema con respecto al eje a lo largo del se aplica el

momento considerado. El símbolo"." Que aparece en la ecuación indica el producto

escalar puntual de dos vectores.

Para sistemas conservativos

!!_(iJT)- iJT + iJD + iJV =O j = 1,2, .... ,N dt aqi aqi oqi aqi (2.5)

2.1 SISTEMAS MECANICOS TRASLACIONALES

Elementos mecánicos lineales traslacionales. En la figura siguiente se muestran

un conjunto de elementos mecánicos pasivos, suponiendo movimiento traslacional.

El primer elemento que se describe es un amortiguador viscoso. El amortiguador

viscoso traslacional se compone de un cilindro con un pistón móvil. El cilindro está

lleno con un fluido y un camino con restricción permite que el fluido retorne al lado

opuesto del pistón. Los amortiguadores viscosos producen una fuerza o par que

varian con la velocidad traslacional. Estos dispositivos disipan energia y no la

almacenan.

Los otros fenómenos que se muestran son relaciones para masas y resortes lineales.

La masa y los resortes almacenan energia como energia cinética o energía potencial,

respectivamente.

19

Figura 2.1 Elementos mecánicos traslacionales

- .. 1•(1) ~ Vrscoso (N.slm) f (t) -.~-- 1

B

Masa (Kg)

,.__ v(t)

f(t)-[J

f(t)=Bl(t)

f(t)=~t) dt

f(t)=Kx(t)

Primer problema de Tsiolkovski. Un cohete de vuelo vertical hacia arriba arroja

un chorro continuo de gas. Determinar la velocidad v del cohete, si la velocidad

relativa v7 de salida de los gases es de modulo constante y está dirigida en sentido

opuesto al movimiento del cohete. Despréciese la resistencia del aire y la fuerza de

la gravedad.

Figura 2.2 Movimiento de un cohete

X

t V

¡ mg

~ Vr

De la ecuación de Mescherski del movimiento de un punto de masa variable

dv dm m dt = F + dt (u - v) (2.6)

20

Aquí m es la masa variable del punto (del cuerpo en movimiento de traslación

vertical); ves su velocidad absoluta; u es la velocidad absoluta de las partículas

expulsadas; F es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el punto.

Si observamos que u - v = vr es la velocidad relativa (respecto al punto en

movimiento) de las partículas expulsadas, entonces la ecuación de Mescherski

puede ser escrita así:

dv dm m-=F+-v dt dt r

En el caso cuando la velocidad absoluta u de las partículas expulsadas sea nula, la

ecuación de Mescherski toma la fonna

dv dm m-=F--v

dt dt d dt(mv) = F

Para el caso que se examina F = o dv dm

m-=-v. dt dt r

dm dv=-vr­

m

Lv L. mdm dv=-vr -

vo mo m

V = v0 + Vrln (';:) (2.7)

Esta ecuación se llama la fónnula de Tsiolkovski; donde v0 y mo son la velocidad y

la masa iniciales del cohete (al iniciarse la salida de los gases). Esta fónnula puede

utilizarse para cálculos aproximados de la velocidad del cohete en los casos cuando

la fuerza de resistencia y la fuerza de gravedad son pequenas en comparación con

la fuerza de reacción

dm R=-v. dt r

(2.8)

21

Segundo problema Tsiolkovski. Se estudia el lanzamiento vertical de un cohete

tomando en cuenta la fuerza de gravedad. Las demás condiciones son las mismas

que en el primer problema. Supongamos que la parte adiva de la trayedoria no es

muy grande en comparación con el radio de la Tierra. Consideremos que la

aceleración de la fuerza de gravedad es constante e igual a su valor en la superficie

terrestre. La ecuación de Mescherski se escribirá en la forma siguiente:

dv dm m-=-mg--v dt dt T

dm dv= -gdt-v­

T dt

J.: dv = -f.'[ u + v, ;j dt

V = Vo - gt + Vrln e::)

(2.9)

(2.10)

En particular, si es constante no solamente la velocidad relativa vr de salida de los

gases, sino también el gasto de estos rh =-p.= constante. Entonces

m=m0 -p.t

v = v0 - gt + Vrln ( mo ) m0 - p.t

Aqui p. es la masa que se gasta por unidad de tiempo.

Sistema mecánico masa resorte

(2.11)

Este sistema consta de un carro de masa m que se desliza por un piso liso sin

rozamiento y conedado a un resorte de constante k, que se opone al movimiento del

sistema.

Figura No 2.3 Sistema mecánico masa resorte

22

m = masa del carro

f = fuerza aplicada al carro

k = constante del resorte

x = el desplazamiento

f~c = fuerza del resorte que se opone al movimiento

Por el método de la segunda ley de Newton

{- fk =mi

fk =kx

Reemplazando, encontramos la ecuación del movimiento

mx+kx=f

Aplicando la ecuación de Lagrange

d (oT) oT oD ov dt oq

1 - oq

1 + oq

1 + oq

1 = Q¡

d (oT) oT oD ov dt OX - OX + OX + OX = Qx

D = O, no hay amortiguador viscoso

La energía cinética es T = i mx2

La energía potencial es V = i kx2

ov -=kx ox oT OX =O

oT ox=m.X

.!!:_ (oT) = mx dt ox

Qx=f

Reemplazando, tenemos el mismo resultado que en (2.12)

m.X+kx=f

(2.12)

(2.13)

23

Sistema mecánico masa resorte amortiguador

Al sistema mecánico anterior se le ha agregado un elemento de oposición viscoso

de constante b, el cual también dificulta el movimiento.

Figura No 2.4 Sistema mecánico masa resorte amortiguador

b

f

Por el método de la segunda ley de Newton

lb = fuerza de oposicion viscosa

t- fk- lb =mx lk =kx

tb =bx Reemplazando encontramos la ecuación del movimiento

mx + bx + kx == f

Aplicando la ecuación de Lagrange

Tenemos

La energia cinética es

La energla potencial es

d ( iJT) iJT iJD iJV dt éJilj - éJqi + iJqi + éJqi = Qi

1 T =-mf2

2

1 V =-kx2

2

(2.14)

24

La función de disipación es

1 D =-bx2

2

éJD -=bx ax av -=kx éJx

éJT éJT éJx = O, ox = m:X

!!:.. (8T) = mx dt ox

Qx=f

Reemplazando, tenemos el mismo resultado de la ecuación (2.14)

mx+bx+kx = f

Sistema mecánico acoplado

Este sistema consta de dos masas acopladas mediante resorte.

Figura No 2.5 Sistema mecánico acoplado

Aplicando la segunda ley de Newton y obteniendo los diagramas de cuerpo libre

fl ....... 1---1 ml

Figura N° 2.6 Diagramas de cuerpo libre

1---1~· f2 t2 ...... 1---1 m2

(2.15)

25

Enm1:

Enm2:

f2- A= m1x1

k2Cx2- x1)- k1x1 = m1x1

m1x1 + (k2 + k1)x1 - k2x2 =o

f- f2 = m2x2

f:;: m2x2 + k2(x2- Xt)

m2x2 + k2x2 - k2x1 = f

las ecuaciones (2.16) y (2.17) representan la dinámica del sistema

Aplicando la ecuación de lagrange

las energías cinéticas de m1 y m2 son:

la energía cinética total es

1 . 2 T1 = 2m1x1 ,

1 . 2 1 . 2 T = T1 + T2 = 2m1Xt + lm2x2

D=O las energías potenciales de m1 y m2 son:

1 2 1 2 Vl = zktXv V2 = lk2(X2- Xt)

La energfa potencial total es

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

26

fJT

fJD ax1 =o, fJT -=0, OXt

-a· =mt:Xv Xt

:t (:~) = m1x1.

éJD -=0 éJxz

éJT -=0 éJx2

fJT -. = mzXz fJx2

!!:_ (a~) = m2xz dt éJx2

Reemplazando en la ecuación de Lagrange obtenemos el mismo modelo matemático

por este método.

m1x1 + (k2 + k1)x1 - k2x2 =O

mzXz + kzXz - kzXt = f

Sistema mecánico acoplado por resorte y amortiguador viscoso

Este sistema esta acoplado mediante resorte y un amortiguador viscoso; donde todo

el sistema está en movimiento.

Figura No 2. 7 Sistema mecánico acoplado

k ~xl

f

27

Aplicando la ecuación de Lagrange al sistema

d ( iJT) iJT iJD iJV dt OX¡ - iJx

1 + iJx

1 + iJx

1 = (Q¡)z

d ( iJT) iJT iJD iJV dt iJ:X

2 - iJx

2 + iJ:X

2 + iJx

2 = (Q2)x

Las energfas cinéticas de m1 y m2 son:

1 . 2 f2 = -m2X2

2

La energía cinética total es

La energía potencial es

La energía disipada es

1 2 V= -k(x1 - x2)

2

1 D = -b(x1 - x2) 2

2 iJD iJD

-0

. = b(x1 - :X2), X¡

-. = -b(x1 - x2 ) iJx2

iJT

iJT --o OX¡- 1

-0 . = m1x11 X¡

iJT -=0 iJx2

iJT -. = mzXz iJx2

!!:._ ( iJT ) = m1x1 !!:._ ( iJT. ) = m2x2 dt iJ:X1 1

dt iJx2

{Q¡)z = f, (Qz)x =O

av av -= k(x1 -x2) ,-= -k(X1 -x2) iJx1 iJx2

Reemplazando en la ecuación de Lagrange obtenemos el modelo matemático

(2.20)

(2.21)

28

La máquina de Atwood

La máquina de Atwood está compuesta por dos masas m1 y m2 suspendidas de un

hilo inextensible y sin masa que pasa sobre la polea de radio R que tampoco tiene

masa ni rozamiento. Como la longitud del hilo es fqa, la posición de todo el sistema

puede especificarse por una única variable, que puede ser la distancia x.

y

Figura N° 2.8 Máquina de Atwood

ml

Usando x como la coordenada generalizada, encontramos la ecuación lagrangiana

del movimiento. Debido a que la cuerda tiene una longitud fija, las alturas x e y de

las dos masas no puede variar independientemente. En lugar de ello,

X+ y+1CR = l

La longitud de la cuerda, así que y se puede expresar en términos de x como

y= -x + const

Por lo tanto, podemos usar x como nuestra coordenada generalizada. Vemos que

'Y=-x De forma que la energía cinética del sistema es

1 ·2 1 ·2 1 ·2 T=2m1x +2m2y =2Cmt+m2)x

Mientras que la energía potencial es

V = -m1gx - m2gy = -(m1 - m2)gx + const

29

Ellagrangiano será

La ecuación del movimiento de Lagrange es

iJL d (iJL) ax = dt oi (2.22)

Obtenemos

Entonces la aceleración será

(2.23)

La escoger m1 y m2 bastantes cercanos el uno del otro, podemos hacer que la

aceleración sea mucho menor que g, y por consiguiente mucho más fácil de medir.

Péndulo doble

Un péndulo doble de longitud L 1 y L2 con masas m1 y m2 se muestran en la figura.

A partir de las ecuaciones de Lagrange se derivara las ecuaciones dinámicas del

movimiento.

m2

Figura No 2.9 Péndulo doble

v2

30

La energía cinética del péndulo es dado por

1 2 . 1 2 T = -m1v1 + -m2v2 2 2

Donde las velocidades de las masas m1 y m2 están dadas por

2 ( . )2 v1 = Lt81

La energía cinética del péndulo es dado por

V= m1gL1(1- cos81) + m2g[L1(1- cos81)+L2(1- cos82 )]

La ecuación de Lagrange es

:!_(iJT) _ iJT + iJD + iJV =O dt iJq¡ iJq¡ iJq¡ iJq¡

D=O

d (iJT) iJT iJV dt iJq¡ - iJq¡ + iJq¡ = o

donde

d sen8 ~ 8, cos(82 - 81) ~ 1, dt cos(82 - 81 ) ~ O

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

31

Sustituyendo

iJT iJV

081 =O,

081 = m1gL1sen81 + m2gL1sen81

La primera ecuación del movimiento, está dada por

(m1 + m2)L181 + m2L282 + (m1 + m2)g81 =O (2.28)

Similarmente

2 - -= m2L282 + m2L1L281

iJT iJV

062 =O,

062 = m2gL2sen82

Y la segunda ecuación del movimiento es

L282 + g82 + 81 L1 = O (2.29)

Péndulo doble físico

El péndulo doble fisico de masas m1 y m2 se muestra en la figura. a1 y a2 son las

distancias desde los centros de masas a los correspondientes puntos pivot

respectivamente. Derivando la ecuación del movimiento

Figura No 2.1 O Péndulo fisico doble

m2

32

Sea (x11 y1) y (x2, y2) las coordenadas de los centros de masa 01 y 02 , ] 1 y h los

momentos de inercia de los péndulos con respectos a los ejes de rotación. Tomando

momentos con respecto a los puntos A y B, tenemos

] 2B2 = -m2gu2sen82 - m2x2u2cos82 + (m2u2sen82).y2

Jt01 = -m1gx1 + m1y1x1 - m1f 1y1 + m2y2Lsen81 - m2x2y2 - m2y2x2 - m2gLsen81

Entonces

x1 = u1sen81

x2 = Lsen81 + u2sen82

Yt = U¡COS8¡

y2 = Lsen81 + u2sen82

•• • 2 x1 = u1 cos8181 - u1 sen8181 •• •• • 2 •• • 2 x2 = Lcos8181 - Lsen8181 + u2cos82 82 - u2sen8282

.• .2 y1 = -u1sen8181 - u1cos8181

•• •• • 2 •• • 2 y2 = -Lsen8181 - Lcos8181 - u2sen8282 - u2cos8282

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de momentos, obtenemos

lz02 + m 2 (u2L cos(82 - 81) B1 + u2L sen(82 - 81)Bf + u~B2 + u2gsen82 ] = O

] 1B1 + m1(u~B1 + a1gsen81) + m2 (L2B1 + a2Lcos(82 - 81) B2]

+ m2 (a2Lsen(81 - 82)Bf + gLsen81 ] =O

Asumiendo pequeñas oscilaciones

senO~ 8, cose:::::: 1

Despreciando términos de alto orden, las ecuaciones del movimiento serán

(2.30)

(2.31)

33

2. 2 SISTEMAS MECANICOS ROTACIONALES

Elementos mecánicos lineales rotacionales. El amortiguador viscoso rotacional

es un concepto similar al traslacional y la resistencia al movimiento se presenta como

par de carga. La fuerza resistente varia proporcionalmente a la velocidad angular.

La masa inercial y el resorte torsional almacenan energía cinética y energra potencial

respectivamente. El par que presenta el resorte torsional es proporcional al

desplazamiento angular.

Figura No 2.11 Elementos mecánicos rotacionales

8 Amortiguamiento

Viscoso (N.m.slrad)

J Momento de inercia

(Kg.m2)

K Resorte tonsional

(n.mlrad)

Masa rotacional

S_) J ~ )

w(t)

T(t) €) )~ o)-' . "-"'--~

w(t) T(t)

<~)) ) ------t~ w(t)

Figura N° 2.12 Masa rotacional

T(t)=Bw(t)

T(t)=Jdv(t) dt

T(t)=KB(t)

34

En la figura se muestra un masa J que está rotando sobre un elemento viscoso b

ante un torque rotacional aplicado.

k = constante del resorte de torsion

b = constante de amortiguamiento viscoso

w = velocidad angular

T = torque torsional

] = momento de inercia de la masa

a = aceleracion angular

8 = desplazamiento angular

Tr = torque resultante

Tk = torque del resorte

Tb = torque viscoso

El torque resultante es

Tr=Ja T - Tb - Tk =JO Tk = k8, Tb = biJ

Reemplazando obtenemos el modelo matemático del sistema rotacional

¡o + biJ + k8 = T

Sistema rotacional en un medio viscoso

Figura N° 2.13 Rotor en medio viscoso

Reemplazando obtenemos el modelo matemático del sistema

]ii + biJ = T

(2.32}

(2.33)

35

Sistema rotacional acoplado

Figura No 2.14 Sistema rotacional acoplado

Como hay dos masas que giran con energfa cinética almacenada, la selección de

variables de estado que está directamente relacionado con el almacenamiento de

energfa conduce a x1 = w1 y x 2 = Wz.

Es aparente que debería existir una variable que estuviese relacionada con la

energía potencial almacenada para cada uno de los tres resortes de torsión, pero

dos de los resortes están fijos por un extremo, y el conocimiento de la deflexión

angular de dos es suficiente para detenninar el tercero. El utilizar x3 = 81 y x4 = 82

completa la selección de variables de estado. Sumando los pares sobre las dos

masas con las variables seleccionadas produce las ecuaciones de primer orden.

dw1 T1 = h dt+ b1w1 + k181 + kz(81- 82)

dwz Tz = 1z dt + bzWz + k382 + kz(8z- 81)

d81 d82 dt = w1 ' dt = Wz

El modelo matricial vectorial es

b1 (k1 + kz) kz 1 o o

~~]= 11 11 11

~} 11

bz kz (k3 + kz) 1 [~~] o -- - o 12 lz 12 lz (2.34)

1 o o o o o o 1 o o o o

36

Si la deflexión angular del centro del resorte se denota por Be, entonces

y= Be= x3 -x4

Y la ecuación de salida es

y = [O O 1 -1] ~~] + [O O] ~~~] Sistemas de engranajes

(2.35)

Los sistemas de reducción de engranajes se utilizan normalmente con motores en

un intento de optimizar la potencia que se dispone a altas velocidades. Aunque

existen muchos tipos diferentes de configuraciones de engranajes, las relaciones

fundamentales se describen usando un par de ruedas dentadas tal como se muestra

en la figura.

Figura No 2.15 Un par de engranajes dentados

Tl,w1,91

T1 = torque aplicado al engranaje 1 T2 = torque aplicado al engranaje 2 r1 = radio del engranaje 1 r2 = radio del engranaje 2 N1 = numero de dientes del engranaje 1 N2 = numero de dientes del engranaje 2 w1 = velocidad angular del engranaje 1 w2 = velocidad angular del engranaje 2 B1 = desplazamiento angular del engranaje 1 B2 = desplazamiento angular del engranaje 2

Como las fuerzas aplicadas y de carga sobre los dientes del engranaje que están en

contacto son iguales, la magnitud de los pares respectivos debe estar en proporción

directa al radio. La relación de los radios es, por supuesto, igual a la relación de las

37

circunferencias. Por lo tanto, la relación del par aplicado al par transmitido es igual a

la relación del número de dientes del engranaje tales que

Tt Nt T2 = N2

Con la rotación de los engranajes, las distancia recorridas a lo largo de las

circunferencias deben ser iguales y esta igualdad se pueda plantear en términos del

producto del cambio en ángulo y el radio tal que

81R1 = 82R2

Derivando con respecto al tiempo se obtiene

Finalmente

(2.36)

Rotor de motor con carga

Si se conecta el rotor de un motor a una carga con engranajes, entre el motor y la

carga se obtiene un sistema tal como se muestra en la figura.

Figura No 2.16 Un rotor de motor y carga acoplada

bl

Tl, wl, 91

J1

En la figura Ta es el par desarrollado por el motor y ft y b1 son los momentos de

inercia y de rozamiento viscoso asociados con el rotor del motor. Si T1 es el par de

carga que se refleja a través de los engranajes, entonces

38

y el par de carga es

dw2 r2 = h-;¡;- + b2w2

Combinando ecuaciones, tenemos

dw1 N1 { dw2 ) Td = lt-;¡;- + bt Wt + N

2 h-;¡;- + b2w2

Los términos que se expresan en función de la velocidad de salida se pueden reflejar

al lado fuente de los engranajes. Obsérvese que la velocidad angular se relaciona

inversamente con la relación de los dientes y las derivadas de la velocidad angular

deben presentar la misma relación. Con todos os términos de la ecuación,

expresados en función de la velocidad de entrada

(2.37)

Donde

Nt 2

leq = lt + (NJ h • (2.38)

Biomecánica de la mano.

Consideremos el movimiento de rotación de la mano en el plano X-Y, que se ilustra

en la figura.

e

Figura No 2.17 Movimiento de la mano

,--- mg

¡.-----~--~ .... Mg

brazo

39

El ángulo 9 describe este movimiento. La mano sostiene un objeto de masa M, y el

antebrazo tiene una masa m y longitud l. Si utilizamos modelos simplificados para

las fuerzas que generan los músculos, entonces el bíceps proporciona una fuerza de

magnitud Fb = -kb9, donde kb es una constante, y el tríceps proporciona una fuerza

de magnitud Ft = -ktv, donde kt es una constante y ves la magnitud de la velocidad

con la cual el tríceps es estirado.

Además, se supone que el antebrazo se puede tratar como una viga rígida. Se

obtiene la ecuación rectora no lineal del movimiento. Este sistema se linealiza para

oscilaciones pequenas con respecto a la posición de equilibrio del sistema.

La ecuación del movimiento del sistema se deduce del equilibrio de momentos con

respecto al centro del antebrazo o el punto de pivoteo (codo) si este punto es fijo. Si

se supone que el pivote es un punto fijo, la ecuación se aplica para efectuar un

balance de momentos con respecto al punto O. entonces la ecuación toma la forma

M =J0 0k

donde k es el vector unitario, ] 0 es la inercia rotatoria del antebrazo y el objeto que

sostiene la mano. El momento neto M, que actúa con respecto del punto O debido a

la carga de gravedad y a las fuerzas debido al bíceps y al tríceps, se expresa por

medio de

Donde

l M= -Mglcos9- mg2cos9 + Fba- Fta

l .. -MglcosB- mg2cos8 + Fba- Fta- ]0 8 =O

Fb = -kbB

Ft = ktv = ktaiJ

1 lo = -ml2 + Ml2

2

{M+;) l20 + kta2 iJ + kba9 + (M + ;) glcos8 = O (2.39)

En esta ecuación, el término de la inercia se debe a la rotación del antebrazo y de la

masa final y el término de amortiguamiento se debe al tríceps. Además, el término

de rigidez se debe al bíceps, y hay otro término a causa de la gravedad que hace a

40

la ecuación no lineal debido a la presencia del término cose. Este último término

influye en la posición de equilibrio estático y la rigidez del sistema, y esta influencia

depende de la magnitud de 8.

Para la posición de equilibrio estático, obsérvese que los términos del momento

externo dependientes del tiempo están ausentes en la ecuación y deben igualar el

término de la velocidad y el de la aceleración a cero para encontrar la posición de

equilibrio fJ = 80 es una solución de la ecuación transcendental

kba80 + (M + ;) glcosfJ0 = O

Para el sistema lineal que rige las oscilaciones pequeñas con respecto a la

posición de equilibrio estático, si se consideran ahora las oscilaciones con

respecto a la posición de equilibrio estático y se expande la variación angular en la

forma

8 = 80 + fJ entonces de linealiza el término no lineal cos8 . Para hacerlo, efectuamos las

expansiones de la serie de Taylor de este término y conservamos solo los términos

lineales en fJ. Esto origina

cos8 = cos( 80 + fi) ~ cos 80 - fisen80 + ··· Al evaluar las derivadas de 8 con respecto al tiempo, se encuentra que

.. d2 ~ ;: 8 = dt2 ( 80 + 8) = 8

d(. ~);.. 8 = dt 80 +8 = 8

Luego de sustituir en las ecuaciones correspondientes se llega a la siguiente

ecuación lineal del movimiento que rige las oscilaciones pequeñas del antebrazo con

respecto a la posición de equilibrio

(M+;) l2D + kta20 + [kba8- (M+ ;)glsen80 ] fJ =O (2.40)

Se debe notar que la carga por gravedad influye en la rigidez lineal del sistema

linealizado.

41

2.3 SISTEMAS MECANICOS TRASLACIONAL-ROTACIONAL

El péndulo invertido. Un péndulo invertido montado en un carro manejado por un

motor aparece en la figura N«»21. Este es un modelo del control de posición de un

propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del problema del control de

posición es conservar el propulsor primario espacial en una posición vertical.)

El péndulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en

cualquier dirección, a menos que se le aplique una fuerza de control conveniente.

Aqui se considera solo un problema en dos dimensiones, en el cual el péndulo solo

se mueve en el plano de la página. Se aplica al carro la fuerza de control u.

supóngase que el centro de gravedad de la barra del péndulo está en su centro

geométrico. Obténgase un modelo matemático para este sistema.

y

Figura 2.18 Péndulo invertido y carro

L

~+--- x--+t

H

8 =el angulo de la barra respecto de la línea vertical u = fuerza de control aplicada al carro (xa.Ya) =coordenadas del centro de gravedad de la barra del pendulo. L = 2l = longuitud de la barra m = masa de la barra M = masa del carro 1 = momento de inercia de la barra alrededor de su centro de gravedad a = aceleracion angular

42

Las coordenadas del centro de gravedad son

Xcc = x + lsen8, Ycc = lcos8

El movimiento rotacional de la barra alrededor de su centro de gravedad. En este

caso la suma de momentos alrededor del centro de gravedad de la barra (de sentido

positivo en la dirección de las agujas del reloj.

LMcc =leca

a=8

¡jj = V(lsen9) - H(lcos9) (2.41)

El movimiento horizontal del centro de gravedad de la barra del péndulo se obtiene

mediante.

LFx=max

ax =!ice

H =micc (2.42)

El movimiento vertical del centro de gravedad de la barra del péndulo se obtiene

mediante.

LFx=max

ay= Ycc

V-mg =:Ycc

El movimiento horizontal del carro se describe mediante:

l:Fx = max

u-H =Mi

(2.43)

(2.44)

Como se debe mantener el péndulo invertido en posición vertical, entonces el ángulo

de rotación es muy pequeño (Linealización).

sen8:;:: 8, cosO:;:: 1

43

luego las ecuaciones linealizadas, son:

Xcc = x + l8, YcG = l 10 = Vl8- Hl

Xcc = x +lO

Ycc =O

H = m(x + lii) V-mg =O

u-H=Mx

u= Mx +H = Mx+m(x+ lO)

Se obtienen las ecuaciones que describen el movimiento compuesto del sistema

péndulo invertido. Estas ecuaciones constituyen el modelo matemático lineal

(M+ m)x + mlO =·u

(1 + ml2)8 + mlx = mgl8

x1 = 8 Xz = iJ x3 =x x4=x

X1 = iJ = Xz

Xz = jj x3 = x = x4

x4 =x

. (M + m)mgl ml X= X- U 2 (M+m)l+mMl2 1 (M+m)l+mMl2

. 1 + ml2 m2 l 2g x4 = (M+m)l+mMllu- (M+m)l+mMl2x1

(2.45)

(2.46)

44

La ecuación de estado y salida tienen la forma

x =Ax+Bu

y= Cx+Du

o 1 o o o

~~= (M+m)mgl

ElJ ml o o o -

(M+ m)/+ mMl2 x2 + (M+ m)/+ mML2 u (2.47) o 3 o

m2l2g o o 1 4 1 +ml2

(M + m)I + mML2 o o /;0

(M + m)I + mMl2

g~] = [~ ~ ~ ~1 E~l (2.48)

El momento de inercia de la barra alrededor de su centro de gravedad es 1 = i ml2

Grúa puente con carga colgante. Es un sistema mecánico que consta de

movimientos traslacional y rotacional.

Figura No 2.19 Grúa puente con carga colgante

1 .. X

u

Los diagramas de cuerpo libre se muestran en las figuras siguientes.

45

Figura No 2.20 Diagrama de cuerpo libre carro-grúa

Figura No 2.21 Diagrama de cuerpo libre del péndulo

p

mg e

Ya que el carro de la figura está obligado a moverse por el carril solamente en la

dirección x, tiene sentido ignorar otros movimientos. Esto se ha supuesto en su

diagrama de cuerpo libre

F=Ma

u-N-bx=Mx

Las tuerzas de reacción desconocidas N y P pueden eliminarse en las ecuaciones

del movimiento.

Aplicando la segunda ley de Newton al péndulo en la dirección x, da

N= mi+ (mlcos8)B- mliJ2sen8

46

Perpendicular al péndulo da

PsenO +N senO- mgsenO = mlB + TT1Xcos8

Aplicando suma de momentos alrededor del centro de masa

-PlsenO- NlcosO = 18

Donde 1 es el momento de inercia alrededor del centro de masa del péndulo. las

fuerzas de reacción se eliminan fácilmente combinando ambas ecuaciones

(1 + ml2)0 + mglseno··= -mlxcosO (2.49)

Se requiere una ecuación que describa el movimiento del carro, para completar el

conjunto.

(M+ m)x + bx + mlBcosO - mli:J2sen0 = u (2.50)

Las ecuaciones (2.49) y (2.50) representan la dinámica no lineal de la grúa-puente.

Para movimientos pequenos alrededor de la vertical, cos8 ~ 1, senO ~ O, li2 -o Por lo tanto la ecuación se simplifica y obtenemos las ecuaciones dinámicas

linealizadas de la grúa puente

(I + ml2)8 + mglO = -mlx (2.51)

(M + m)x + bx + ml8 = u (2.52)

Además podríamos asumir que el péndulo tiene un pequeño movimiento con

respecto a una dirección vertical hacia arriba, como es el caso para el péndulo

invertido que se muestra en la figura, en cuyo caso cosO ~ -1, senO ~ -o, entonces

(1 + ml2)8 - mglO = mlx (2.53)

(M + m)x + bx - ml8 = u (2.54)

47

Sistema masa-resorte-péndulo en movimiento libre

El sistema de la figura consiste en un carro que se desplaza en forma traslacional y

lleva un péndulo con movimiento rotacional.

Figura No 2.22 Sistema masa-resorte-péndulo

Usando la ecuación de lagrange se deduce las ecuaciones del movimiento del

sistema. Tomando a x y 8 como coordenadas generalizadas para el sistema

tenemos, para la posición de la particula m:

x1 = x + lsen8, y1 = lcos8

la forma general de la ecuación de lagrange considerando es lagrangiano es

i = 1,2, ... , n (2.55)

L=T-V (2.56)

Para este caso de dos grados de libertad

d (iJL) iJL dt iJx - iJx = (Qx)n (2.57)

(2.58)

48

Como el sistema es conservativo, entonces

d (iJL) iJL di iJqi - iJqi = o

En este caso

~(iJL) _ iJL =O ~(iJ~) _ iJL =O dt iJx iJx ' dt iJO iJO

Sea v la velocidad de la partrcula. Entonces

v2 = (x + lBcos0)2

+ (lilsen0)2

= .±2 + l2 i12 + 2lxiJcosO

La energfa cinética es y potencial

1 1 T = -Mx2 +-mv2

2 2

T = ~Mx2 + ~m(x2 + fl(}2 + 2lxécos0) 2 2

T =~(M+ m)x2 + ~m(l2iJ2 + 2l:técos0), 1

V= 2kx2 + mgl(1- cosO)

El Lagrangiano es

L = T- V= ~(M+ m)x2 + ~m(l2iJ 2 + 2lxécos0)- ~kx2 -mgl(1- cosO) 2 2 2

Para la coordenada x, tenemos

iJL . iJL iJx =(M+ m)x + mlOcosO, iJx = -kx

d (iJL) e·· .2 ) dt iJx = (M+ m)i + ml O cosO - O senO

Y la ecuación de movimiento, es

(M+ m)i + ml(BcosO- iJ 2sen0) + kx =O

Para la coordenada o tenemos

iJL . iJIJ = ml(l6 + xcosO)

d (iJL) ( .. . ) dt iJ{J = ml lO+ icosO- :tOsenO

iJL ( . ) iJO = -ml xO + g senO

Y la ecuación del movimiento es

lB + icosO + gsenO = O (2.59)

49

Péndulo amortiguador

Considere el sistema de dos grados de libertad que se muestra en la figura, en que

se utiliza la coordenada generalizada x para ubicar la masa m1 y la otra coordenada

generalizada 8 se utiliza para especificar la posición angular del péndulo.

Figura N° 2.23 Péndulo amortiguador

__.X

ml f

Este tipo de sistema puede modelar un péndulo amortiguador, el cual tiene muchas

aplicaciones. Se supone que la masa de la varilla de longitud L es insignificante.

En este ejemplo se obtienen las ecuaciones rectoras no lineales del movimiento y

después se linealizan con respecto a una posición de equilibrio del sistema.

La posición de la masa m2 es

Tm = (x + Lsen8)i- Lcos8}

En consecuencia, la velocidad de la masa m2 es

drm ( . ) . V m = dt = x + L8cos8 i + L8sen8}

La energía cinética del sistema es

50

La energfa potencial del sistema es

1 V = 2 kx2 + m2nL(1 - cosO)

donde se elige la referencia en la posición inferior del péndulo, o sea, cuando cuelga

verticalmente. Usando las ecuaciones de Lagrange

dd (oiJ~)- iJiJT + iJiJ~ + iJiJV = Qi j = 1,2, .... ,N t qj qj qj qj

Entonces

d (iJT) iJT iJD iJV dt iJx - iJx + iJx + iJx = Q1

d (iJT) éJT éJD iJV dt oiJ - éJB + ao + éJB = Q2

Qt = f, Qz = O, D = O

Luego se reduce a

Luego de sustituir en las ecuaciones de Lagrange, se obtiene

(2.60)

(2.61)

51

Posiciones de equilibrio estático. Si hacemos que las aceleraciones, velocidades

y fuerza dependiente del tiempo f sean iguales a cero en las ecuaciones, las

ecuaciones que rigen las posiciones de equilibrio x0 y 80 del sistema son

kx0 =O

m2gLsen80 = O

Según estas ecuaciones, las posiciones de equilibrio del sistema que se obtienen

son (X0 , 80 ) = (0,0)

(Xo, 80 ) = (0,7C)

Donde la primera de las ecuaciones corresponde a la posición inferior del péndulo y

la segunda corresponde al péndulo cuando ha girado 180°.

Linealización. Si consideramos oscilaciones pequeñas con respecto a la posición

de equilibrio (0,0) y se linealizan las ecuaciones del movimiento dadas por las

ecuaciones dinámicas del modelo matemático, en forma similar a lo que se mostró

al emplear las ecuaciones, se obtiene

(m1 + m2)x + m2LB + kx = f (2.62)

(2.63)

Lo cual en forma matricial se expresa como

(2.64)

En esta ecuación, la carga de gravedad aparece de manera explícita en las

ecuaciones que gobiernan las oscilaciones pequeñas con respecto a la posición de

equilibrio estático. En este caso, las ecuaciones rectoras están acopladas debido a

los términos diferentes de cero que se encuentran fuera de la diagonal en la matriz

de inercia.

52

Péndulo de movimiento libre

Usando la ecuación de Lagrange en la forma general

Figura No 2.24 Péndulo simple

1

1 1

1

1 1 1

169sene

1 -r-'

mg

La energía cinética es

1 2 1 2"2 • T = -mv = -ml 8 con v = l8 2 2

La energia potencial

V= -mglcos8

El Lagrangiano

La ecuación de Lagrange es

!!.. (al:) _ aL = 0 dt o8 o8

oL 2 • d (oL) 2 •• --:- = ml 8, - --:- = ml 8 o8 dt o8 •

aL -= -mglsen8 o8

ml20 + mglsen8 = O .. g 8 +-sen8 =O

l

Linealizando sen8 ~ 8, entonces se obtiene

8+ 9 8=0 l

(2.65)

(2.66)

53

CAPITULO 111

SISTEMAS ELECTRICOS Y ELECTRONICOS

Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las de corrientes

y voltajes de Kirchhoff. Un modelo matemático de un circuito eléctrico se obtiene

aplicando una o ambas leyes de Kirchhoff. La ley de corrientes de Kirchhoff (ley de

nodos) plantea que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de

un nodo es cero. La ley de voltajes de Kirchhoff (ley de mallas) plantea que en

cualquier instante determinado la suma de los voltajes alrededor de cualquier malla

en un circuito eléctrico es cero.

3.1 SISTEMAS ELECTRICOS

Elementos eléctricos lineales. Los elementos son resistencia, autoinducción y

condensador, con la hipótesis que R, L y C son constantes. Los elementos se

describen como pasivos porque pueden disipar o almacenar energia, pero no pueden

introducirla al sistema. La resistencia disipa energía y la autoinducción y el

condensador almacenan energfa en un campo eléctrico o magnético

respectivamente.

Resistencia (ohmios)

lnductancia (henrios)

Capacitancia (faradios)

Figura No 3.1 Elementos eléctricos

i(t)---.

~(Q R

i(t)---.

~(QL i(t)---.

v(t)=Ri(t)

v(t) = L di(t) dt

i(t)=Cdt(t) dt

54

Circuito serie RLC con salida a condensador

Figura 3.2 Circuito serie RLC

Sumando los voltajes distribuidos en los elementos nos dan el voltaje de entrada

17R + VL + 170 = 17¡

Además tenemos que

di dv0 vR = Ri, vL = L dt. i = e dt

di d2 i dt =e dt2

dv0

17R =Re dt

d2vo 17L =Le dt2

Reemplazando, entonces obtenemos la ecuación diferencial dinámica lineal del

sistema eléctrico que constituye el modelo matemático.

(3.1)

Tomando transformadas de laplace, se encuentra la función de transferencia del

sistema dinámico, que es el modelo matemático en Laplace.

LCs2Yo(s) + Resv;,(s) + Vo(s) = "t(s)

(Les2 +Res+ 1)Yo(s) = Vi(s)

Y;,(s) 1 T(s)----~--­

- Vi(s) - Les2 +Res+ 1

Transformando la ecuación diferencial a ecuaciones de estado

(3.2)

55

x2 = V0 -+ x2 = V0

LCv0 + RCv0 + 170 = Vt

LCx2 + RCx2 + x1 = u, con u = Vt

1 R 1 Xz = - LC x1 - L Xz + LC u

Ordenando para la fonna matricial

x1 = Ox1 + Xz + Ou

1 R 1 Xz = - LC x1 - L Xz + LC u

Luego el modelo matemático en fonna matricial es

[.] [o 1]x [o] X1 - 1 R 1 + 1 u x2 - -- -- [xz) -LC L LC

, y= [1 O][~~]

Circuito eléctrico en cascada

(3.3)

Muchos sistemas realimentados tienen componentes que se cargan uno al otro,

configurando asf varias etapas del paso de la senal. En la figura siguiente tenemos

un circuito eléctrico de dos etapas RC constituyendo así un filtro pasa bajo de dos

etapas o de segundo orden.

Rl

Figura No 3.3 Circuito RC de dos etapas

Vx R2

o--~~ I ~---r~---o + ~ til 121 +

Vi Vo

o--------~--J[~-------c-2_][~---o Introduciendo un voltaje de nodo desconocido vx que luego tendrá que eliminarse ya

la ecuación diferencial solo debe estar representada por la senal de entrada y la

senat de salida juntos con sus parámetros R y C.

56

Por la ley de corrientes de Kirchhoff: i = í1 + i2

. dvx . dv0

11 = C1 dt , lz = Cz dt

Vt - Vx dvx dv0 ---=C1-+C2 - parai R1 dt dt

Derivando la última ecuación

De la ecuación para i

Reemplazando

Vt dV0 1 { dv0 ) (dv0 d2v0 ) --C2-=- v +R2C2 - +C1 -+R2C2 -

R1 dt R1 o dt dt dt2

Vi dv0 1 { dv0 ) (dv0 d2V0 )

Rt = Cz dt + Rt Vo + RzCz dt + Ct dt + RzCz dt2

Entonces la ecuación diferencial del modelo matemático es

d 2v0 dv0 R1C1 R2 Cz dt2 + (R1 C1 + RzCz + RtCz) dt + 170 = Vt (3.4)

El modelo matemático en transformadas de Laplace, es decir la función de

transferencia es

Vo(s) 1

V¡(s) = R1C1R2C2s 2 + (R1C1 + R2C2 + R1C2)s + 1 (3.5)

El modelo matemático en ecuaciones de estado se obtiene haciendo

(3.6)

57

x1 = Vo -+ .xl = Vo = Xz

. . .. 1 (R1C1 + R2Cz + RtCz) 1 x2 = Vo-+ x2 = Vo =-R1C1R2C2 Xt- . R1ClR2C2 ... x2 + R1C1R2C2 u

u=vi

En fonna matricial

x = [ 01 _ (R1C1 + i2C2 + R1C2)jx + f ~ ]u (3.7)

R1C1R2C2 R1C1R2C2 Ul1C1R2C2

y = [1 O]x (3.8)

3.2 SISTEMAS ELECTRONICOS

Estos sistemas además de llevar resistencias, condensadores y bobinas, también

incluyen elementos lineales como el amplificador operacional que proporciona la

ganancia y alta impedancia a la entrada de señal.

Circuito amplificador con operacional

Además de los parámetros RLC, estos sistemas electrónicos incluyen al amplificador

operacional como elemento activo que introduce una ganancia, baja impedancia de

salida y alta impedancia de entrada.

Figura 3.4 Circuito amplificador con operacional

Por la ley de corrientes de Kirchhoff: i = i1 + i 2

De las propiedades del opamp: v+ = v- = v0

58

. d(v¡- Vx) . d(vx- V0 )

t = el dt , t2 = c2 dt

d(v¡- Vx) Vx- V0 d(vx- V0 )

C¡ dt = R1

+ C2 dt

d(vx- 170 ) V0 c2 =-

dt R2

Despejando esta última, se obtiene

dvx dv0 V0 -=-+-dt dt R2C2

Tomando la segunda derivada

d2vx d 2v0 1 dv0 --=--+---dt2 dt2 R2C2 dt

Ordenando y tomando la segunda derivada

dv¡ V0 dv0 Vx dvx C¡-+-+C2-=-+{C¡ +C2)-

dt R1 dt R1 dt

d2v¡ 1 dv0 d2v0 1 dvx d2vx C¡ dt2 + R

1 dt +C2 dt2 = R

1 dt+ (C1 + C2) dt2

Reemplazando las ecuaciones deducidas

d 2v¡ 1 dv0 d2v0 1 dv0 V0 d2v0 1 dv0

C1 dt2 + R1

dt +C2 dt2 = R1

dt + R1R

2C

2 + (C1 + C2) dt2 + R

2C

2 dt

Obtenemos la ecuación diferencial del modelo matemático que relaciona la salida

con la entrada

(3.9)

El modelo en transformadas de laplace será

T(s) = l'o(s) = . R1R2C1C2s2

\lf(s) R1R2C1C2s2 + R1(C1 + C2)s + 1 (3.10)

El modelo en ecuaciones de estado será

59

De la forma

En forma matricial

b0 = 1, b1 = O, b2 = O

R1CC1 + Cz) 1 a1 = • a2 =

R1R2 C1C2 R1R2C1C2

Po= bo = 1

R1(C1 + Cz) Pt = b1- a1Po =- RlRzCtCz

Circuito electrónico tipo T

(3.11)

(3.12)

Este circuito electrónico incluye un filtro T y además un amplificador operacional

como aislador o seguidor de voltaje.

e Vi

Figura No 3.5 Filtro T

V o

60

Definiendo el sentido de las corrientes y el voltaje de nodo vx desconocido

Figura No 3.6 Circuito electrónico T con direcciones de corriente

Del circuito de la figura

C2

v+ = v- = V0

i = i1 + i2

d(v0 - Vt) Vx = Vo + RzCz dt

dvx dv0 d2(V0 - Vt) dt = dt + RzCz dt2

Reemplazando y simplificando se obtiene el modelo matemático

V o

d2v0 dv0 d2vt dvi R1C1R2C2 dtZ + CR1C1 + RzC2 + RtCz) dt + Vo = R1C1R2C2 dtZ + CR1C2 + R2 Cz) dt + Vt

(3.13)

61

CAPITULO IV

SISTEMAS DE FLUIDOS Y SISTEMAS TÉRMICOS

4.1 SISTEMAS DE NIVEL DE LIQUIDO

Sistema de nivel de líquido de un tanque

Es importante entender las matemáticas de cómo se comportan los sistemas de

depósitos acoplados. Este es un modelo de sistemas y es una parte importante de

análisis de sistemas de control. Para empezar, observe un sistema de depósito

simple tal como se muestra en la figura siguiente

Figura No 4.1 Sistema de nivel

Oi

/1' 1

H

El modelo del sistema está determinado para relacionar el flujo Qi dentro del tanque

con el flujo Qo, dejando la válvula al botón del tanque. Usando una ecuación de

equilibrio de flujo dentro del tanque es posible escribir:

dH Qi- Qo =A dt (4.1)

Donde A es el área transversal del tanque y H es la altura del fluido. Si la válvula es

diseñada para comportarse como un orificio, entonces el fluido que pasa por la

válvula será relacionado con el nivel de fluido en el tanque, por la expresión:

Q0 = Cda.J2gH (4.2)

En la ecuación (4.2) a es el área transversal del orificio, Cd es llamado el coeficiente

de descarga de la válvula. Este coeficiente toma en cuenta todas las características

62

del fluido, pérdida e irregularidades en el sistema como ambos lados de la ecuación

de balance. La ecuación (4.2) toma a Cd como una constante, por lo que Qo tiene

una relación no lineal con el nivel H para todas las posibles condiciones de operación.

Idealmente, la relación no lineal está definida por la ecuación (4.2), pero en una

válvula real hay una ecuación no lineal más compleja. Combinando las ecuaciones

(4.1) y (4.2) tenemos:

{4.3)

Esta ecuación es el modelo matemático que describe el comportamiento del sistema

y podemos ver de nuevo cosas no lineales en el modelo del sistema. En el problema

del nivel del tanque la no linealidad es suave y puede ser hecho lineal en un nivel

particular de operación H mediante el uso de la pendiente de la no linealidad en H.

Esto tiene el resultado importante que el modelo del sistema linealizado tiene

parámetros que dependen de las condiciones de operación. Los sistemas dinámicos

cambiaran como los cambios normales en el nivel de operación.

El modelo del sistema {3), es una ecuación diferencial de primer orden relacionando

el nivel del flujo de entrada Qi con el nivel de salida del agua H. en orden, para

disefiar un controlador lineal para el nivel del tanque, debemos linealizar la ecuación

considerando pequefias variaciones h cerca del nivel normal de operación del fluido

en el tanque. La ecuación es la siguiente:

n=n°+h

Donde no es el nivel normal de operación y es una constante, h es un pequefio

cambio cercano a ese nivel. Para pequefias variaciones de h cercanas a no podemos

aproximar la función no lineal mediante la tangente de no. Esto permite una ecuación

diferencial lineal:

dh T-+h=gq· dt l

(4.4)

Donde qi es la variación en el flujo de entrada Q¡ necesitado para mantener el nivel

de operación no. La constante de tiempo T y la ganancia gson función de los

parámetros y niveles de operación.

63

Sistema de nivel de líquidos de dos tanques

La planta consiste en un sistema de nivel de liquidos de dos tanques con interacción.

Figura N° 4.2 Sistema de nivel de dos tanques

~~ /1\

Tanquel ]~el

J Hl+hl Rl R2

H2+h2

-Q+ql Q+q2

Donde:

_ (m3) Q = velocidad del flujo en estado estacionario -seg

H1 = nivel del liquido estacionario en estado 1

H2 = nivel del liquido estacionario en estado 2

q1 = desviacion pequeña de la velocidad de la valvula 1

q2 = desviacion pequeña de la velocidad de la valvula 2

R1 = resistencia hidraulica al paso del flujo en la valvula 1

R2 = resistencia hidraulica al paso del flujo en la valvula 2

h1 = desviacion pequeña de la altura en el estado 1

h2 = desviacion pequeña de la altura en el estado 2

el = capacitancia del tanque 1

C2 = capacitancia del tanque 2

Considerando que el flujo a través de una restricción es laminar, la relación entre la

velocidad del flujo en estado estable y la altura en estado estable en el nivel de

restricción se obtiene que la resistencia es

dH H R = dQ = Q

64

La resistencia del flujo laminar es constante y análoga a la resistencia eléctrica.

Las ecuaciones dinámicas para el tanque 1 son:

h1 - h2 dh1 R1 = q1, el dt = q - q1

Las ecuaciones dinámicas para el tanque 2 son:

h2 dh1 Rz = q2, el dt = q - qt

Reemplazando se obtiene

Derivando

Reemplazando y ordenando se obtiene la ecuación dinámica del modelo matemático

que relaciona la salida con la entrada:

d2qz dqz elR1CzRz dt2 + (C1R1 + ezRz + Rzet) dt + qz = q (4.5)

Tomando transformadas de Laplace con condiciones iniciales iguales a cero se

obtiene la función de transferencia de esta planta consistente en un sistema de nivel

de dos tanque, considerando que el flujo es laminar

Qz 1 Q = e1R1e2R2s 2 + (e1R1 + e2R2 + R2e1)s + 1

(4.6)

65

4.2 SISTEMAS NEUMATICOS E HIDRAULICOS

En las aplicaciones industriales es frecuente equiparar los sistemas neumáticos y los

sistemas hidráulicos. A continuación se ofrece una breve comparación de estos dos

tipos de sistemas.

Comparación entre sistemas. El fluido que suele encontrarse en los sistemas

neumáticos es el aire; en los sistemas hidráulicos es el aceite. Y son principalmente

las propiedades distintas de los fluidos incorporados las que caracterizan las

diferencias entre estos dos sistemas:

1. El aire y los gases son comprensibles, pero el aceite no lo es.

2. El aire no tiene la propiedad lubricante y siempre contiene vapor de agua. El

aceite funciona como fluido hidráulico al igual que como lubricante.

3. La presión de operación normal de los sistemas neumáticos es mucho más

baja que de los sistemas hidráulicos.

4. La potencia de salida de los sistemas neumáticos son considerablemente

menores que los hidráulicos.

5. La precisión de los actuadores neumáticos es deficiente a bajas velocidades,

en tanto la precisión de los hidráulicos es satisfactoria en todas las

velocidades.

6. En los sistemas neumáticos se permite un cierto escape externo, pero que

debe evitarse el escape interno debido a que la diferencia de presión efectiva

es bastante pequena. En los sistemas hidráulicos se permite un cierto grado

de escape interno, pero debe evitarse el escape externo.

7. En los sistemas neumáticos no se requieren tubos de recuperación cuando

se usa aceite, en tanto que siempre se necesitan en los sistemas hidráulicos.

8. La temperatura de operación normal de los sistemas neumáticos es de 5 a

60°C (41 a 140°F). sin embargo el sistema neumático opera en el rango de O

a 200°C. los sistemas neumáticos son insensibles a los cambios de

temperatura, a diferencia de los sistemas hidráulicos, en los cuales la fricción

de los fluidos provocada por la viscosidad depende en gran parte de la

66

temperatura. La temperatura de operación normal de los sistemas hidráulicos

es de 20 a 70°C.

9. Los sistemas neumáticos no corren el riesgo de incendiarse o explotar, al

contrario que los sistemas hidráulicos.

Sistemas neumáticos. Las últimas décadas han visto un gran desarrollo de los

controladores neumáticos de baja presión para sistemas de control industrial que en

la actualidad se usan ampliamente en los procesos industriales. Entre las razones

de que estos controladores resulten atractivos están que son a prueba d explosiones,

son sencillos y fáciles de mantener.

Sistemas de presión. Para el sistema de presión de la figura. Se suponen

desviaciones pequeñas en las variables a partir de sus valores en estado estable

respectivos, este sistema se considera lineal.

P+pi

Donde:

Figura No 4.3 Sistema de presión

Resistencia R

--~• P+po

Capacitanda e

P = presion del gas en el recipiente en estado estable

Pi = cambio pequeño _en la presion del gas que entra

Po = cambio pequeño en la presion del gas en el recipiente

V = volumen del recipiente

m = masa del gas en el recipiente

q = flujo del gas

p = densidads del gas

67

Para valores pequeños de Pi y p0 , la resistencia R obtenida mediante la ecuación

cambio en la diferencia de presion del gas R = cambio en el flujo del gas

R = d(AP) dq

Donde d(AP) es un cambio pequeño en la diferencia de presión de gas y dq es un

cambio pequeño en el flujo de gas.

R =Pi-po q

la capacitancia del recipiente a presión se define mediante

cambio en el gas almacenado e = cambio en la presion del gas

e= dm =Vdp dp dp

Como el cambio de presión dp0 multiplicado por la capacitancia e es igual 1 gas

añadido al recipiente durante dt segundos, se obtiene

edp0 = qdt

edPo = Pt -Po dt R

lo cual se escribe como

~ ( 7 Re dt + Po = Pt 4. )

Entonces la función de transferencia del sistema de primer orden es

P0 (s) 1 Pt(s) = RCs + 1 (4.S)

donde RC tiene es la constante de tiempo del sistema

Sistemas hidráulicos. El uso de la circuitería hidráulica en las maquinas

herramientas, los sistemas de control de aeronaves y operaciones similares se ha

extendido debido a factores tales como positividad, precisión, flexibilidad, una alta

razón de peso-potencia, sus rápidos arranques, paro e inversión, que realiza con

suavidad y precisión, así como la simplicidad de sus operaciones.

68

La presión de operación de los sistemas hidráulicos es entre 145 y 500 lbf fplg 2

(entre 1 y 35 MPa). En algunas operaciones especiales la presión puede subir hasta

los 70 MPa. Por el mismo requerimiento de potencia, el peso y el tamano de la unidad

hidráulica se reducen a fin de aumentar la presión del suministro.

Es común una combinación de sistemas electrónicos e hidráulicos debido a que así

se combinan las ventajas del control electrónico y la potencia hidráulica.

Ventajas de los sistemas hidráulicos.

1. El fluido hidráulico funciona como lubricante, además de disipar el calor

generado en el sistema hacia un intercambiador de calor conveniente.

2. Los actuadores hidráulicos pequenos desarrollan fuerzas o pares grandes.

3. Los actuadores hidráulicos tienen una velocidad de respuesta más alta para

arranques, paros e inversiones de velocidad rápidos.

4. Los actuadores hidráulicos operan sin daño bajo condiciones continuas,

intermitentes, invertidas y de perdida de velocidad.

5. La disponibilidad de actuadores lineales y rotacionales aporta flexibilidad al

diseño.

6. Debido a los bajos escapes en los actuadores hidráulicos, la disminución de

la velocidad cuando se aplica una carga es pequeña.

Desventajas de los sistemas hidráulicos.

1. No es tan sencillo contar con la potencia hidráulica como con la potencia

eléctrica.

2. El costo de un sistema hidráulico puede ser más alto que el de un sistema

eléctrico comparable cuando realice una función similar.

3. Existen riesgos de incendio y explosión, a menos que se usen fluidos

resistentes al fuego.

4. Debido a que es dificil mantener un sistema hidráulico libre de escapes, el

sistema tiende a ser complicado.

69

5. El aceite contaminado puede provocar fallos en el funcionamiento adecuado

de un sistema hidráulico.

6. Como resultado de las características no lineales y otras condiciones

complejas implícitas, en el diseño de los sistemas hidráulicos complejos es

muy complicado.

7. Por lo general, los circuitos hidráulicos tienen características deficientes de

amortiguamiento. Si un circuito hidráulicos no se diseña de forma adecuada

pueden ocurrir o desaparecer fenómenos inestables, dependiendo de las

condiciones de operación.

Comentarios. Es necesaria una atención especial a fin de asegurar que el sistema

hidráulico sea estable y satisfactorio en todas las condiciones de operación. Como

la viscosidad del fluido hidráulico afecta de manera significativa los efectos de

amortiguamiento y la fricción de los circuitos hidráulicos, deben realizarse pruebas

de estabilidad a la temperatura de operación más alta posible. Obsérvese que casi

todos los sistemas hidráulicos son no lineales. Sin embargo, en ocasiones es posible

linealizar los sistemas no lineales con el fin de reducir su complejidad y permitir

soluciones suficientemente precisas para la gran parte de los propósitos.

4.3 SISTEMAS TERMICOS

Considérese el sistema que aparece en la figura. Se supone que el tanque está

aislado para eliminar las pérdidas de calor hacia el aire circundante.

Fig. N°4.4 Sistema térmico

Liquido caliente r-~--~~----------.. .-----

Liquido fri"'"-----' mezclador ---.. ----------------~

70

También se supone que no hay almacenamiento de calor en el aislamiento y que el

liquido del tanque está perfectamente mezclado, por lo que tiene una temperatura

estable. De este modo, se usa una sola temperatura para describir la del liquido en

el tanque y la del líquido que sale.

Sean:

8i = temperatura en estado estable del liquido que entra, oc 80 = temperatura en estado estable del liquido que sale, °C

G = velocidad de flujo del liquido en estado estable, Kgfseg

M = masa del liquido en el tanque, Kg

e= calor especifico delliquido,KcalfKg oc R = resiostencia termica, oc segfkcal

C = capacitancia termica, K cal ¡oC

H =entrada del flujo de calor en estado estable,Kcalfseg

Supóngase que la temperatura del líquido que entra se mantiene constante y que el

flujo de calor de entrada al sistema (calor que proporciona el calefactor) cambia

repentinamente de H a H + h¡ donde hi representa un cambio pequefto en el flujo de

calor de entrada. El flujo de calor de salida cambiara, entonces de forma gradual, de

Ha H + h0 • La temperatura del liquido que sale también cambiara de 80 a 80 + 8.

Para este caso h0 , e , R se obtienen, respectivamente como

h0 = Gc8

C=Mc

8 1 R=-=-

h0 Gc

La ecuación diferencial para este sistema es

Que puede reescribirse como

Cd8 = (ht - h0 )dt

d8 C-=ht-h dt o

71

d8 RC dt + 8 = Rht

Obsérvese que la constante de tiempo del sistema es igual a RC o M/G segundos.

La función de transferencia se obtiene mediante

80 (S) R Hi(s) = RCs + 1

En la práctica, la temperatura del liquido que entra puede fluctuar y actuar como

perturbación de carga. (Si se pretende mantener una temperatura de salida

constante, puede instalarse un controlador automático que ajuste el flujo de calor de

entrada, con el propósito de compensar las fluctuaciones de temperatura del líquido

que entra.) Si la temperatura del liquido que entra cambia repentinamente de

Bt a Bt + 8i, mientras que el flujo de calor de entrada H y el flujo del liquido G se

conservan constantes, el flujo de calor de salida cambiara H a H + h0 y la

temperatura del liquido que sale cambiara de 80 a 80 + 8.

La ecuación diferencial para este caso es

Cd8 = (Gc8i - h0 )dt

d8 C-= Gc8t-h dt o

Que puede escribirse como d8

RC-+ 8 = 8· (4.2) dt l

La función de transferencia que relaciona 8 y 8t se obtiene mediante 8(s) 1 8i(s) = RCs + 1 <4·3)

Si este sistema ténnico está sujeto a cambios en la temperatura del Uquido que entra

y en el flujo de calor de entrada, en tanto que el flujo del liquido se conserva

constante, el cambio 9 en la temperatura del liquido que sale se obtiene mediante la

siguiente ecuación:

d8 RC-+8 = 8· +Rh· dt l '

(4.4)

72

IV. REFERENCIALES

BALACHANDRAN, BALAKUMAR. Vibraciones. México: Thomson, 2006

BOL TON, W. lngenierla de control. México: Alfaomega, 2001

BOLZERN, PAOLO. SCATIOLINI, RICCARDO. SCHIAVONI, NICOLA. Fundamentos de control automático. España: Me Graw Hill, 2009

CHAPRA, STEVEN C. CANALE, RAYMONO P. Método numéricos para ingenieros. México: McGraw-Hilllnteramericana, 2008.

CREUS SOLE, ANTONIO. Neumática e Hidráulica. España: Alfaomega, 2007.

DORF, RICHARD. BISHOP, ROBERT. Sistemas de control moderno. España: Pearson educativa, 2005.

FERNANDEZ RAf'iADA, ANTONIO. Dinámica Clásica. México: Fondo de cultura económica, 2005.

FRANKLIN, GENE. POWELL, DAVID, EMAMI-NAEINI, ABBAS. Control de sistemas dinámicos con retroalimentación. USA: Addison Wesley, 1991.

HUANG, T.C. Mecánica para Ingenieros, Dinámica. México: Fondo educativo interamericano, S.A., 1967

KUO, BENJAMIN. Sistemas de control automático. México: Prentice Hall, 1996.

LEWIS, PAUL. YANG, CHANG. Sistemas de control en ingenierla. España: Prentice Hall, 2000.

NAVARRO VIADANA, RINA.Ingeniería de control. México: Me Graw Hill, 2004.

OGATA, KATSUHIKO. Ingeniería de control moderna. España: Pearson educación, 201 O.

STARZHINSKI, V. Mecánica Teórica. URSS: Mir, 1985.

TAYLOR, JOHN R. Mecánica clásica. España: Reverte, 2013

THOMSON, WILLIAM T. Teoría de vibraciones. México: Prentice-Hall, 1982

UMEZ-ERONINI, ERONINI. Dinámica de sistemas y control. Mexico: Thomson, 2001.

73

V. APENDICE (Autoría propia)

Coordenadas generalizadas

Consideremos un sistema binario de N partículas, a = 1, ... , N con posiciones ra.

Decimos que los parámetros q11 ••• , qn son un conjunto de coordenadas

generalizadas para el sistema si cada posición ra se puede expresar como una

función de q11 ... , qn y posiblemente del tiempo t.

Ta = Ta(Qv ... ,qn, t), a= 1, ... ,N

y al revés, cada q¡ se puede expresar en términos de las ra y posiblemente t,

qi=q¡(rv ... ,rN,t), i=l, ... ,N

Además, necesitamos que el número de coordenadas generalizadas n sea el más

pequeño que permita parametrizar el sistema de esta manera.

En nuestro mundo tridimensional, el número n de coordenadas generalizadas para

N partículas es ciertamente no mayor que 3N, y para un sistema ligado es

normalmente menor.

Grados de libertad

El número de grados de libertad de un sistema es el número de coordenadas que

pueden variar de manera independiente en un pequeño desplazamiento, es decir, el

número de direcciones independientes en el que se puede mover un sistema a partir

de cualquier configuración inicial.

Por ejemplo un péndulo simple tiene un grado de libertad, mientras que el péndulo

doble tiene dos grados de libertad.

Cualquier partícula con libertad para moverse en las tres dimensiones tiene tres

grados de libertad, mientras que un gas compuesto por N partículas tiene 3N.

En todos los ejemplos proporcionados hasta el momento, el número de grados de

libertad equivalen al número de coordenadas generalizadas necesarias para

describir la configuración del sistema. Un sistema con esta propiedad,

aparentemente natural se dice que es holómono. Es decir un sistema holómono tiene

n grados de libertad y puede describirse mediante n coordenadas generalizadas.

74

Fuerza conservativa

En física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo total realizado por el

campo sobre una partícula que realiza un desplazamiento en una trayectoria cerrada

(como la órbita de un planeta) es nulo. El nombre conservativo se debe a que para

una fuerza de ese tipo existe una forma especialmente simple (en términos

de energía potencial) de la ley de conservación de la energía. Las fuerzas que

dependen sólo de la posición son típicamente conservativas. Un ejemplo de fuerza

conservativa es la fuerza gravitatoria de la mecánica newtoniana. Las fuerzas

dependientes del tiempo o de la velocidad (por ejemplo, la fricción o rozamiento) son

típicamente no conservativas. La mayoría de sistemas físicos fuera del equilibrio

termodinámico son no-conservativos; en ellos la energía se disipa por procesos

análogos al rozamiento.

Momento de inercia

El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando

un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional

puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia.

Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse

por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el

llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de

sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema

de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo

depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende

de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso

del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento

angular longitudinal de un sólido rígido.

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VI. ANEXOS

En el desarrollo del texto no se ha utilizado tablas, cuadros figuras graficas como

fuente de información.

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