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W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O E x p r e s i o n e s A l g e b r a i c a s

Página 33

UUNNIIDDAADD 33:: EEXXPPRREESSIIOONNEESS AALLGGÉÉBBRRAAIICCAASS

Se denomina variable real a un símbolo (generalmente una letra) que se usa para representar un número real

arbitrario. Se denomina constante real a un símbolo que se usa para representar un número real fijo.

Se denomina expresión algebraica a toda combinación de constantes y variables relacionadas entre sí por los signos de las operaciones suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación. Las expresiones

algebraicas permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

3.1 MONOMIOS

Se llama monomio a toda constante o bien, a toda expresión algebraica, en la cual las potencias de las variables son de exponentes enteros positivos y están relacionados únicamente por la multiplicación y además no contiene letras

en el denominador.

En un monomio se puede distinguir el factor numérico (coeficiente) y el factor literal (variables y exponentes). Por ejemplo en el monomio zyx 276 el coeficiente es 6

y el factor literal es zyx 27 . Si dos o más monomios

tienen igual factor literal, entonces se dice que son semejantes entre sí.

3.1.1 Operaciones con monomios

3.1.1.1 Suma o resta de monomios semejantes

La suma o resta de monomios semejantes entre sí, es igual a un monomio cuyo coeficiente y factor literal es igual a la suma o resta de los coeficientes y factor literal respectivamente de los monomios que se suman o restan.

Los siguientes son ejemplos de monomios:

a. zyx 276 b. 13

x c. abc

37

d. 25

Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas que no son monomios:

a. x6 b. 3

4

y

x c.

239 yx

d. 2

1

3z

Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas:

a. 3

455

z

yx c. xyyx 324 2

b. ba

ba

d. 4323 cbaa

Ejemplo No. 29

Ejemplo No. 30


Página 34

3.1.1.2 Multiplicación de monomios

La multiplicación de dos o más monomios es igual a un monomio cuyo coeficiente y factor literal es igual al producto de los coeficientes y al producto de los factores literales respectivamente de los monomios que se multiplican.

3.1.1.3 División de monomios

La división de dos monomios es igual a un monomio cuyo coeficiente y factor literal es igual al cociente de los

coeficientes y al cociente de los factores literales respectivamente de los monomios que se dividen.

Realice las siguientes operaciones:

a. 73

45

72

48

nm

nm b. 532

72

2

36

zyx

zyx

Solución:

c. 32

73

45

3

2

72

48nm

nm

nm

3

2

3

2

n

m

d. 44

532

72

182

36zy

zyx

zyx

4

4

18z

y

e.


a. zyxyx 33

653215 b. xyyxxy 3334

27 42

Solución:

a. zyxyx 33

653215 zyx 65

225

b. 653

273334

27 842 yxxyyxxy

657 yx

d.


a. axaxax 252 b. ayyxayyx 454 22

Solución:

a. axaxaxax 12252

52 ax

53

b. ayyxayyxayyx 4514454 222

ayyx 23

c.

Ejemplo No. 31

Ejemplo No. 32

Ejemplo No. 33


Página 35

3.2 POLINOMIOS

Se llama polinomio a toda expresión algebraica que es monomio o una suma de monomios.

Si un polinomio está formado por la suma de dos monomios no semejantes entre si recibe el nombre de binomio. Si

un polinomio está formado por la suma de tres monomios no semejantes entre si recibe el nombre de trinomio.

Un polinomio de variable x es una suma de la forma:

01

1

1 axaxaxaxP n

n

n

n

En donde n es un entero no negativo y cada coeficiente ka , es un número real. Si 0na , se dice que el polinomio

tiene grado n .

3.2.1 Operaciones con polinomios

3.2.1.1 Suma o resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios, primero se eliminan los paréntesis y luego se suman los términos semejantes.

3.2.1.2 Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios, cada término del primer polinomio se debe multiplicar por cada término del segundo polinomio.


a. 135352 2323 xxxxx b. 354752 2323 xxxxx

Solución:

a. Se eliminan los paréntesis: 135352 2323 xxxxx

Se suman términos semejantes: 1353251 23 xxx 456 23 xxx

b. Se eliminan los paréntesis: 354752 2323 xxxxx

Se suman términos semejantes: 3755241 23 xxx 4573 23 xxx

Los siguientes son ejemplos de polinomios:

a. nm23 c. abcbcacab 843

b. yxxy31243 d. x10

Ejemplo No. 34

Ejemplo No. 35


Página 36

3.2.1.3 División de polinomios

Para multiplicar dos polinomios, cada término del primer polinomio se debe multiplicar por cada término del segundo polinomio.

Procedimiento:

1. Se ordenan el dividendo y el divisor según las potencias descendentes de una misma literal. 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el resultado es el primer término

del cociente. Se multiplica todo el divisor por este término y se resta el producto obtenido del dividendo.

3. El residuo obtenido en el paso 2 se toma como nuevo dividendo y se repite el proceso del paso 2 para obtener el segundo término del cociente.

4. Se repite este proceso hasta que se obtenga un residuo nulo o de grado inferior que el del divisor.

3.2.1.3.1 Algoritmo de la división para polinomios

Si )(xf y )(xp son polinomios y si ,0)( xp entonces existen polinomios únicos )(xq y )(xr tales que:

)(

)()(

)(

)(

xp

xrxq

xp

xf , o bien )(xf = )(xp )()( xrxq

Donde 0)( xr o el grado de )(xr es menor que el grado de )(xp . El polinomio )(xq es el cociente y )(xr

es el residuo en la división de )(xf entre )(xp

Realice la siguiente operación (obtenga el cociente y el residuo):

1

332

x

xx

Realice la siguiente operación:

1532 32 xxx

Solución:

Un método consiste usar la propiedad distributiva, tratando al polinomio 153 xx como si fuera un solo

termino. Veamos:

1531521532 33232 xxxxxxxx

A continuación se utiliza dos veces la propiedad distributiva y se suman términos semejantes:

315321021532 323532 xxxxxxxx 3152132 235 xxxx

Ejemplo No. 36

Ejemplo No. 37


Página 37

1. Realice las siguientes operaciones:

a. baba 55 34 g. 6)5()73(4 22222 xxxxxxx

b. xyxy 32 h. 1)1( xx

c. baba 835 324 i. 45253 238 xxxx

d. zxmmx 452 223 j. 1085613257 23234 xxxxxxx

e. 13424525 2323 xxxxxx k. 21

24

34 15

x

xx

f. 1085613257 23234 xxxxxxx l. xx

xx

2

3

2

423

2. Exprese la división de 10162

3203 xxx entre 23 x como

)(

)()(

)(

)(

xp

xrxq

xp

xf

3. En una división el divisor es 12 x , el cociente es 222 xx y el residuo es 14 x . Halle el dividendo.

3.3 PRODUCTOS NOTABLES

Es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo

resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.

En la siguiente tabla aparecen algunas de las fórmulas más conocidas de productos notables que son útiles en diversos problemas de multiplicación.

Actividad No. 9

Solución:

Se realiza la división algebraica de polinomios:

332 xx

1x

xx 2

4x

34 x

44 x

7

Cociente: 4x Residuo: 7

Aplicando el algoritmo de la división, se obtiene:

1

74

1

332

xx

x

xx

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_(expresi%C3%B3n)

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n


Página 38

Nombre Fórmula

Diferencia de cuadrados 22 bababa

Cuadrado de una suma 2222 bababa

Cuadrado de una diferencia 2222 bababa

Cubo de una suma 3223333 babbaaba

Cubo de una diferencia 3223333 babbaaba

Desarrolle los siguientes productos notables:

a. 33 22 xx g.

2

2

3

2

3 3

xx

b.

2

2

zz h. 232 32 zz

c. 3223 zy i. 3223 zy

Actividad No. 10

Desarrolle los siguientes productos notables:

a. 2222 2323 xyyxxyyx d.

3

2

2

a

b

b

a

b. 242 32 aa

e. 33

2

4 23

x

c. 254

4932

32 nmnm

Solución:

a. 23223232 232323 xyyxxyyxxyyx6224 49 yxyx

b. 24422

22

42 6622262 aaaaaa 864 6342 aaa

c. 254

4954

4932

32

232

32

254

4932

32 2 nmnmnmnmnmnm

108

16818664

94 3 nmnmnm

d.

3

2

2

2

2

2

22

32

3

2

2

33a

b

a

b

b

a

a

b

b

a

b

a

a

b

b

a6

3

2

2

3

6

33a

b

a

b

b

a

b

a

e. 323

2

42

3

2

43

3

2

43

3

2

4 2232323333

xxxx

84623 33639

21 xxx

Ejemplo No. 38


Página 39

d. 33 1x j. 334 52 xx

e. 23 yx k. 3nn qp

f. 2nm xx

l. 23 yx

3.4 FACTORIZACIÓN

Factorización es una técnica que consiste en escribir una expresión matemática en forma de un producto. El objetivo es escribir una expresión matemática en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. A

continuación se presentaran algunas técnicas que se utilizan en la factorización de polinomios.

3.4.1 Factorización por factor común

La factorización de polinomios por factor común consiste en la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

3.4.2 Factorización por agrupación de términos

Consiste en agrupar los términos del polinomio de manera adecuada y luego encontrar una factorización mediante

las propiedades distributivas.

Factorice:

bdadbcac 224

Solución:

Se agrupan los dos primeros términos y los dos últimos, y luego se procede de la siguiente manera:

)2()24(224 bdadbacbdadbcac )2()2(2 badbac

)2)(2( badc

Factorice:

a. 332442 101525 yxyxyx

b. 22 2818 abaab

Solución:

a. 332442 101525 yxyxyx xyxyyx 2355 2222

b. 22 2818 abaab 2232 baba

Ejemplo No. 39

Ejemplo No. 40

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_primos

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_irreducible


Página 40

3.4.3 Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio de la forma ba o ba . Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma:

Trinomio cuadrado perfecto Factorización 22 2 baba = 2

ba 22 2 baba = 2ba

3.4.4 Trinomio de la forma cbxx 2

Un trinomio de la forma cbxx 2

se identifica por tener tres términos, un término literal elevado al cuadrado

con coeficiente uno, un término literal lineal con coeficiente diferente de uno (o uno) y un término independiente. Se

factoriza de la siguiente manera:

Trinomio de la forma cbxx 2 Factorización

cbxx 2 = nxmx

donde bnm y cnm

3.4.5 Trinomio de la forma cbxax 2

Un trinomio de la forma cbxax 2

se identifica por tener tres términos, un término literal elevado al cuadrado

con coeficiente distinto de uno, un término literal lineal con coeficiente diferente de uno (o uno) y un término

independiente. Se factoriza por medio de un procedimiento para expresarlo de la forma cbxx 2 .

Factorice:

a. 1272 xx

b. 124 24 mm

Solución:

a. 1272 xx 34 xx

b. 124124 22224 mmmm 26 22 mm

Factorice:

a. 9124 2 xx

b. 2

81642

344

169 nnmm

Solución:

a. 222 332229124 xxxx 232 x

b. 2

98

982

43

22

432

81642

344

169 2 nnmmnnmm

2

982

43 nm

Ejemplo No. 41

Ejemplo No. 42

http://es.wikiversity.org/w/index.php?title=Polinomio&action=edit&redlink=1

http://es.wikiversity.org/w/index.php?title=Tres&action=edit&redlink=1

http://es.wikiversity.org/w/index.php?title=Binomio&action=edit&redlink=1


Página 41

3.4.6 Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados tiene la forma 22 ba y se factoriza de la siguiente manera:

Diferencia de cuadrados Factorización 22 ba = baba

3.4.7 Suma de cubos

Una suma de cubos tiene la forma 33 ba y se factoriza de la siguiente manera:

Suma de cubos Factorización 33 ba = 22 bababa

Factorice:

333 151125 aa

Solución:

333 151125 aa 22115515 aaa

152515 2 aaa

Factorice:

a. 169 2 a

b. 84 8116 yx

Solución:

a. 222 43169 aa

4343 aa

b. 4242242284 9494948116 yxyxyxyx 2242 323294 yxyxyx

Factorice:

1284 2 xx

Solución:

Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del término elevado al cuadrado:

441244848412841284412

412

442 xxxxxxxx 443 xx

Ejemplo No. 43

Ejemplo No. 44

Ejemplo No. 45


Página 42

3.4.8 Diferencia de cubos

Una diferencia de cubos tiene la forma 33 ba y se factoriza de la siguiente manera:

Diferencia de cubos Factorización 33 ba = 22 bababa

3.4.9 Factorización por completación de cuadrados

Para completar cuadrado con una expresión de la forma:

bxx 2 bxx 2 bxax 2 bxax 2

Se procede de la siguiente manera:

4

2

2

2 2bbxbxx

Factorice:

a. 2444 2 xx c. 444 22 yyx

b. 335 25 yxyx d.

4416 yx

Solución:

a. 642444 22 xxxx 234 xx

b. 223335 2525 yxyxyxyx yxyxyx 553

c. 442444 2222 yyxyyx 2222 yx 22 22 yxyx

22 22 yxyx

d. 22244 416 yxyx 2222 44 yxyx 22224 2 yxyx

22422 yxyxyx

Factorice:

278 3 a

Solución:

333 32278 aa 22332232 aaa 96432 2 aaa

Ejemplo No. 46

Ejemplo No. 47


Página 43

4

2

2

2 2bbxbxx

a

ba

bab xaxxabxax

4

2

2

22 2

a

ba

bab xaxxabxax

4

2

2

22 2

3.4.10 División sintética

Un polinomio xP tiene como factor a cx , si y solamente sí 0cP . Para la división sintética del polinomio

01

1n

1n

n

n axa....xaxaxP

entre cx se procede de la siguiente manera:

1. Se comienza con el siguiente esquema (se colocan ceros para cualquier coeficiente faltante del polinomio dado)

na 1na 2na 1a 0a

c

na

2. Se multiplica na por c y el producto nca , se coloca debajo de 1na . A continuación se suma 1na con nca

y se coloca el resultado nn caab 11 en la columna de 1na , debajo de la línea.

na 1na 2na 1a 0a

c

nca

na 1b

Factorice completando cuadrados:

a. 1 2 xx

b. 2432 xx

Solución:

a. 4

5

2

11

4

1

2

11

22

2

xxxx

2

5

2

1

2

5

2

1xx

2

15

2

51xx

b. 24

121

12

763

24

49

12

763

6

76376

22

22

xxxxxx

144

121

12

76

2

x

12

11

12

7

12

11

12

76 xx

2

3

3

16 xx 3213 xx

Ejemplo No. 48


Página 44

3. Se multiplica 1b por c y el producto 1cb , se anota debajo de 2na . A continuación se suma

2na con 1cb y

se coloca el resultado 122 cbab n en la columna de 2na , debajo de la línea.

na 1na 2na 1a 0a

c

nca 1cb

na 1b 2b

4. Se continúa este proceso hasta obtener la suma final 10 ncbar . Los números:

n-1n-221n , bb, ... , , b, ba

Son los coeficientes del cociente )(xQ . Es decir:

n-1n-2

2n

1

1n

n bx b... xbxaQ(x)

r es el residuo.

Si el polinomio: 0

n

n

n

n axa....xaxaxP

1

1

1

Tiene coeficientes enteros y además q

p es un cero (raíz) racional de xP tal que p y q no poseen un factor

primo común, entonces:

El numerador p del cero es un divisor del término constante 0a

El denominador q del cero es un divisor del término constante na

Utilice la división sintética para hallar el cociente )(xQ y el residuo r si el polinomio 8252 34 xxx se

divide entre 3x

Solución:

Debido a que el divisor es )3(3 xx , entonces el valor de c en la expresión cx es 3c . Por lo

tanto, la división sintética adopta la siguiente forma:

2 5 0 2 8

3

6 3 9 33

2 1 3 11 25

Según se ha indicado, las cuatro primeras cifras del tercer renglón son los coeficientes del cociente )(xQ y el

último número es el residuo r . En consecuencia: 1132)( 23 xxxxQ y 25r

Además, utilizando el algoritmo de la división, tenemos que:

25113238252 2334 xxxxxxx

Ejemplo No. 49


Página 45

1. Factorice:

a. xyxa 126 g. 22423 nm

b. xyyxm 2 h. 424 yx

c. xyxyx 4664 2 i. 327 x

d. 169 2 mm j. 83 z

e. 93025 2 yy k. 66 yx

f. 4129 22 abba l. 13 x

2. Factorice empleando completación de cuadrados:

a. 452 mm d. 584 2 pp

b. 1832 xx e. 273 2 xx

c 142 tt f. 332 2 xx

3. Factorice empleando división sintética:

a. 64 23 mmm c. pppp 842 234

b. 4642 24 xxx d. 344 23 xxx

4. Factorice las siguientes expresiones:

a. 81223 23 xxx d. 123 xxx

b. 251016 22 xyx e. 3222 babbaa

c. 22 62 yxyx f. 201319273 22 yxyxyx

Actividad No. 11

Aplique división sintética y el algoritmo de la división para factorizar el polinomio 223 xx

Solución:

Según el resultado anterior, los posibles ceros (o raíces) racionales del polinomio 223 xx son los

divisores de 20 a , ya que 1na , de manera que para el polinomio 223 xx tenemos que los

divisores de 2 son 1 y 2 , luego aplicando la división sintética para 1c se tiene:

1 1 0 2

1

1 2 2

1 2 2 0

Por tanto 1x es un factor de 223 xx , luego aplicando el algoritmo de la división, la factorización del

polinomio es:

)22)(1(2 223 xxxxx , donde 222 xx es irreducible en los reales.

Ejemplo No. 50


Página 46

3.5 FRACCIONES ALGEBRAICAS

El cociente de dos expresiones algebraicas se llama fracción algebraica. Para el proceso de simplificación de una fracción algebraica se puede usar las propiedades de los cocientes, puesto que las variables representan números reales, en particular la propiedad:

b

a

d

d

b

a

bd

ad , donde 0bd

Usualmente se desarrolla este proceso de simplificación afirmando que se puede cancelar un factor común distinto de cero en el numerador y denominador de un cociente. En la práctica, se cancela el factor común, suponiendo que todos los denominadores son diferentes de cero. Fracción algebraica está simplificada o reducida a su mínima

expresión, si tanto el numerador como el denominador no tienen factores polinomiales comunes de grado positivo ni factores enteros comunes mayores que 1 .

Para simplificar una fracción algebraica, se factorizan tanto el numerador como el denominador y posteriormente, suponiendo que los factores del denominador no son cero, se cancelan los factores comunes.

3.5.1 Producto y cociente de fracciones algebraicas

Recuerde que:

bd

ac

d

c

b

a

bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a

Simplifique las siguientes fracciones algebraicas:

a. 16

121752

2

x

xx

b. )9)(2(

)2)(96(22

2

xxx

xxx

Solución:

a.

)4)(4(

)4)(35(

16

121752

2

xx

xx

x

xx

4

35

x

x, para 4x

b.

)3)(3)(2(

)2()3(

)9)(2(

)2)(96( 2

22

2

xxxx

xx

xxx

xxx

)3(

3

xx

x, para 0x y 3x

Ejemplo No. 51


Página 47

Para sumar o restar dos fracciones algebraicas, por lo general se halla un común denominador y se usan las siguientes propiedades de los cocientes:

d

ca

d

c

d

a

d

ca

d

c

d

a

Para sumar o restar fracciones algebraicas, si los denominadores de las expresiones no son los mismos, es

recomendable determinar el mínimo común denominador (MCD) de los cocientes y realizar la operación usual

entre fracciones. Para determinar el MCD, se descompone cada denominador en factores primos y luego se forma

el producto de los diversos factores primos, utilizando el mayor exponente que aparezca en cada factor primo.

Determine el MCD de las siguientes fracciones: 62

2 ;

123

5 ;

44

322

2

2 xxx

x

xx

x


a. 3

22

1

962

2

x

x

x

xx

b. 8

42

4

83

23

2

4

x

xxx

x

xx

Solución:

a.

311

1332

31

2296

3

22

1

962

2

2

2

xxx

xxx

xx

xxx

x

x

x

xx 1

32

x

x, para 1x

b. xxx

x

x

xx

x

xxx

x

xx

42

8

4

8

8

42

4

823

3

2

4

3

23

2

4

xxxx

xxx

424

88232

34

4222

42282

23

xxxxx

xxxxx

4222

4224222

22

xxxxx

xxxxxxx

422 xx , para todo Rx

Ejemplo No. 52

Ejemplo No. 53


Página 48

3.5.2 Suma y resta de fracciones algebraicas

1. Simplifique:

a. xx

xxx

9

2143

23

d.

8

42

4

83

23

2

4

x

xxx

x

xx

b. cxdycydx

dxcydycx

2222

e. xx

xxx

xx

x

827

469

253

494

234

2

2

c. 1

222

23

x

xxx

f.

4

82

3

m

m

2. Realice las operaciones indicadas (reduzca a una fracción sencilla en términos mínimos). Recuerde que debe hallar el mínimo común denominador (MCD):

Actividad No. 12

Realice las operaciones indicadas (reduzca a una fracción más sencilla)

22

3

23

1

23

2

xxxx

x

Solución:

El mínimo común denominador (MCD) de los denominadores es )23(2 xx . Por lo tanto:

222

3

23

1

)23(

23

23

1

23

2

xxxx

x

xxxx

x

)23(

)23(3)2(2

2

xx

xxxx

)23(

6922

22

xx

xxx

)23(

6932

2

xx

xx

)23(

)23(32

2

xx

xx

Solución:

Al descomponer cada denominador en factores primos, se obtiene:

22 244 xxx

22343123 22 xxxx

23262 2 xxxx

Luego el MCD de 62

2 ;

123

5 ;

44

322

2

2 xxx

x

xx

x es 32223

2 xxx

Ejemplo No. 54


Página 49

a. 32

5125

x

x

x

x

x

d.

2

3

4

6

44

1222

xx

x

xx

x

b. 9

18

3

4

3 2

tt

t

t

t e.

Senx1

Cosx

Cosx

Senx

c. 12

23

32

4

1

3222

xx

x

xx

x

x

3.5.3 Fracciones compuestas

Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos.

1. Simplifique las siguiente fracciones complejas (reduzca a la forma más simple)

a.

ba

b

a

a

b

11

Rta/ ab

b.

65

61

3

1

2

1

2

xx

xx Rta/ xx 5

12

Actividad No. 13

Simplifique (reduzca a la forma más sencilla)

a. ax

ax

13

13

b. 2

ab

ba

ab

ba

Solución:

a.

axaxaxax

ax

ax

axxa

ax

xa

ax )1)(1(

)(3

)1)(1(3333

)1)(1(

)1(3)1(3

13

13

)1)(1(

3

ax

b.

222

22

)(

))((

22 ba

baba

ab

baba

ab

ba

ab

ba

ab

ba

ba

ba

Ejemplo No. 55


Página 50

c.

xx

x

xx

xx

xx

11

11

11

21

12

2

Rta/ x

1

d.

ba

ba

baba

ba

ab

b

ba

ba

ba

ba

b

ba

22

22

22

2

2

4

2 Rta/

ba

ba

)2(2

e.

111

1

11

11

2

2

22

a

a

b

a

b

baba

b Rta/

b

a

1

f.

3

233

23

233

312

1

2

1

213

133 )3(

xa

xxaxxxa

Rta/

34

33

33

2 xax

xa

g. x

xxx

xx1

212

1

11

121

2

12

12

2

2

12

Rta/ x

x 12

h. 3

2

3

121

1

3

1

16

12

1

1

3

122

xxx

x

x Rta/ 1

13 x

2. Despeje x en las siguientes igualdades:

a. txacbxax 2 b. ctxcbxax 2 c. trxsxrxa

Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de

cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.

1. El resultado de la operación 11 xx

es:

A. 0 C. 2 B. x2 D. 22 x

Autoevaluación No. 2


Página 51

2. El resultado de la operación 22 11 xx

es:

A. 0 C. 22x

B. 22x D. 22 2 x

3. El valor numérico de la expresión 12 xy cuando 3x y 2y es:

A. 11 C. 13

B. 9 D. 15

4. La expresión que representa el doble de un número más tres veces el mismo número es:

A. x5 C. xx 32

B. 52 x D. 24 x

5. La expresión baba 22

es igual a:

A. 33 ba C. 3223 babbaa

B. 3223 2 bbaa D. 2222 babbaa

6. La expresión 112x

es igual a:

A. 2x C. xx 22

B. xx 2 D. 22 x

7. La expresión 4444 baba

es igual a:

A. 88 ba C. 8448 2 bbaa

B. 8448 2 bbaa D. 88 ba

8. Si 343 2 aakaa , el valor de k

es:

A. 1 C. 2 B. 1 D. 3

9. La expresión 11 yxyx es igual a:

A. 12 22 yxyx C. 12 22 yxyx

B. 122 yx D. 12 22 yxyx

10. El polinomio xzxyyzzyx 222222 es igual a:

A. 2zyx C. 2

zyx

B. 2zyx D. 2zyx

11. La expresión 22yxyx es igual a:

A. xy4 C. 22 yx

B. 22 yx D.

22 242 yxyx


Página 52

12. La expresión baba 22 es igual a:

A. ba C. ab

B. ba D. 22 bbaa

13. El polinomio 12 xx es el resultado de:

A. 1

13

x

x C.

1

13

x

x

B. 1

13

x

x D.

1

13

x

x

14. El residuo de la división 1123 2 xxx es:

A. 1 C. 1 B. 0 D. 4

15. El factor común en el polinomio 21 xxn

es:

A. 2x C. nx

B. x D. 1nx

16. La expresión 11 mmx

es igual a:

A. 1mx C. 1mx

B. 1xm D. 11 xm

17. La expresión 122 xx es igual a:

A. 21x C. 2xx

B. 21x D. 21xx

18. El trinomio 652 xx se factoriza como:

A. 16 xx C. 16 xx

B. 16 xx D. 16 xx

19. El trinomio 145 2 xx se factoriza como:

A. 115 xx C. 115 xx

B. 115 xx D. 114 xx

20. La expresión 133 23 xxx

es igual a:

A. 31x C. 31x

B. 13 xx D. 13 xx

21. El binomio 14 x es igual a:

A. 111 2 xxx C. 111 2 xxx

B. 111 2 xxx D. 111 2 xxx


Página 53

22. La expresión ab

ba

es igual a:

A. 1 C. b

B. 1 D. a

23. La expresión 1

1

1

mm

x es igual a:

A. 1

1

m

x C.

1

1

m

x

B. m

x D.

22

1

m

x

24. La expresión 2

11

xx es igual a:

A. 0 C. x

1

B. x

1 D. 2

1

x

x

25. x

11 es igual a:

A. 0 C. x

1

B. x

1 D.

xx

1

26. La expresión 1

1

1

m

x

x

m es igual a:

A. 1 C. m

B. 1m

m D.

mx

x

27. La expresión 1

2

m

m es igual a:

A. 1

2

m

m C.

m

m 22

B. 22 m

m D.

m

m 2

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