MATEMÁTICA FINANCIERASEGUNDO BIMESTRE

Laura Chamba Rueda lmchamba@utpl.edu.ec2570275 Ext. 2746

DOCENTE-UTPL

Período: Octubre 2011 - Febrero 2012

CONTENIDOS:

2

Interés Compuesto

Anualidades

Amortización

OBJETIVO:

Conocer, interpretar y aplicar

Interés compuesto, monto y valor actual con diferentes períodos de capitalización

Aplicar la tasa de interés nominal y efectiva en inversiones

Resolver problemas de interés compuesto, utilizando ecuaciones de valor

Conocer la aplicación de anualidades, amortizaciones

4

INTERÉS COMPUESTO

5

CARACTERÍSTICA PRINCIPAL

El interés generado en una unidad de tiempo se suma al capital y este valor nuevamente genera interés, tantas veces como períodos de capitalización se haya acordado entre las partes. (INTERESES SE CAPITALIZAN)

INTERÉS SIMPLE Calcula los intereses una

sola vez

El interés es menor

M= c(1+it)

El interés es constante durante todos los períodos.

INTERÉS COMPUESTO Los intereses se capitalizan

(n) número de veces

El interés es mayor

M=c(1+i)ⁿ o

C=M(1+i)‾ⁿ o

El interés crece en función al nuevo capital

A mayor número de períodos de capitalización, mayor será la diferencia entre el interés simple y compuesto.

mt

m

jCM )1( +=

mt

m

jMC

−

+= 11).1(;

1−+=

+= tiMC

it

MC

mt)m

jC(1M +=

Tasa de interés nominal

Número de capitalizaciones al año

Tiempo

Número de capitalizaciones al año

M=c(1+i)ⁿ Abreviada

7

Ejemplos:

Calcule el número de períodos de capitalización y la tasa de interés de un capital colocado a interés compuesto durante 9 años, con una tasa de interés del 18% anual capitalizable trimestralmente:

8

i=18% 0.18

j/m = 0.18/4

i=0.045 capitalizaciones al año.

t=9 años

m*t = 4*9 =36 períodos trimestrales de capitalización.

MONTO A INTERÉS COMPUESTO

Valor final después de sucesivas adiciones de los intereses.M = I + CCÁLCULOPeríodo de capitalización enteroFraccionario

9

mt)m

jC(1M +=

M=c(1+i)ⁿ Matemático

Comercial

Ejemplos:Obtenga el monto que se acumula en tres años, si un capital de $20.000 se invierte al 12% compuesto por semestres.

10

M=?C=$20.000 i = 0.12/2

=0.06 t = 2*3 = 6 períodos

capitaliza-ción

mt)m

jC(1M +=

3*2)2

12.01(000.20 +=M

$ 28.370,38

M=c(1+i)ⁿ

6)06.01(000.20 +=M

$ 28.370,38

¿Con qué tasa de interés anual capitalizable por bimestres se duplica un capital en 5 años?

En un año hay 6 bimestres

MONTO COMPUESTO CON PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN FRACCIONARIOS

12

DESARROLLO DEL

EJERCICIO

Para el cálculo del monto de una deuda de $5000 a interés compuesto, durante 6 años y tres meses de plazo, con una tasa de interés del 7% anual capitalizable semestralmente.

MATEMÁTICO

COMERCIAL

13

Para el cálculo del monto de una deuda de $5000 a interés compuesto, durante 6 años y tres meses de plazo, con una tasa de interés del 7% anual capitalizable semestralmente.

TASAS EQUIVALENTES

Son equivalentes, si con diferente período de capitalización producen igual interés en el mismo plazo.

)1( i+m

m

j

+1

14

UTILIDAD DE LAS TASAS EQUIVALENTES

15

16

¿Cuál es la tasa anual capitalizable por semestres equivalente al 10.5% anual compuesto por meses?

DESARROLLO DEL

EJERCICIO

17

¿Cuál es la tasa anual capitalizable por semestres equivalente al 10.5% anual compuesto por meses?

18

¿A qué tasa nominal, capitalizable semestralmente, es equivalente la tasa efectiva del 9%?

DESARROLLO DEL EJERCICIO

19

¿En qué tiempo, expresado en años, meses y días, un capital de $25.500 se convertirá en $ 30.000 a una tasa de interés del 4% efectiva?

DESARROLLO DEL EJERCICIO

20

¿En qué tiempo, expresado en años, meses y días, un capital de $25.500 se convertirá en $ 30.000 a una tasa de interés del 4% efectiva?

VALOR ACTUAL A INTERÉS COMPUESTO

Valor de un documento antes de la fecha de su vencimiento, a una tasa de interés establecida.

niMC −+= )1( tm

m

jMC *)1( −+=

Valor actual21

VALOR ACTUAL A INTERÉS COMPUESTO

22

23

¿Qué capital debe invertirse ahora al 12,69% anual capitalizable por bimestres para tener $40.000 en 10 meses?

DESARROLLO DEL EJERCICIO

24

¿Qué capital debe invertirse ahora al 12,69% anual capitalizable por bimestres para tener $40.000 en 10 meses?

25

VALOR ACTUAL CON TIEMPO FRACCIONARIO

DESCUENTO COMPUESTO

Diferencia entre monto y el valor atual de un documento, deuda etc.

[ ]ni)(11MDc −+−=

DESCUENTO MATEMÁTICO

DESCUENTO BANCARIO

[ ]ndiMDbc )(1 −−=

mayor

26

ECUACIONES DE VALOR

Reemplazar un conjunto de obligaciones por otro conjunto de diferentes valores o capitales en diferente tiempo considerando una fecha común.

Comparación de Ofertas

Reemplazo de Obligaciones por dos pagos iguales

27

Un pagaré de $ 85.000,oo dólares suscrito el día de hoy a 5 años 6 meses plazo, es negociado luego de transcurridos 3 años y 3 meses de la fecha de suscripción, con una tasa de interés del 15,5% anual capitalizable trimestralmente. Calcularsu valor actual a la fecha de negociación.

DESARROLLO DEL EJERCICIO

28

CÁLCULO DEL TIEMPO5 años * 12 meses + 6 meses= 66 meses / 3 meses que tiene cada trimestre = 22 trimestresTranscurre 3años * 12 meses + 3meses = 39 meses66 meses se le resta 39 meses = 27 meses se divide para tres = 9 trimestre

DESARROLLO DEL EJERCICIO

29

66 meses (5 AÑOS, 6 MESES)

En 27 meses, hay 9 trimestres

x8

30

ANUALIDADES O RENTAS

Serie de pagos periódicos iguales que se efectúan en intervalos de tiempo iguales a interés compuesto.

Anualidades comunes son las anualidades ciertas vencidas simple , aquellas que vencen al final de cada período cuyo período o pago coincide con el de capitalización

31

ANUALIDAD

32

ELEMENTOS DE UNA ANUALIDADSi el propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un año, para rentarlo en $3500 por mes, entonces:

33

MONTO DE UNA ANUALIDAD

Acumulación de capitales o fondos

Pago de una deuda

−+=i

1i)(1RS

n

VALOR ACTUAL DE UNA

ANUALIDAD

+=i

i)(1-1RA

-n

34

35

Calculemos el monto y el valor actual de una anualidad de $5.500 cada trimestre durante 5 años y 6 meses al 15% capitalizable trimestralmente.(anualidad vencida simple)

DESARROLLO DEL EJERCICIO

36

Calculemos el monto y el valor actual de una anualidad de $25.500 cada trimestre durante 5 años y 6 meses al 12% capitalizable trimestralmente.(anualidad vencida simple)

CÁLCULO DE LA RENTA EN FUNCIÓN

DEL MONTO

i

i

Sn 1)1(

R−+

=

i

n-i)(1-1

AR

+=

CÁLCULO DE LA RENTA EN FUNCIÓN DEL VALOR ACTUAL

37

38

Calcular el valor de la cuota bimestral que debe pagar una empresa que tiene una deuda de $18.500 a 4 años plazo, con una tasa de interés de 12% anual capitalizable bimestralmente.

DESARROLLO DEL EJERCICIO

39

Calcular el valor de la cuota bimestral que debe pagar una empresa que tiene una deuda de $18.500 a 4 años plazo, con una tasa de interés de 12% anual capitalizable bimestralmente.

CÁLCULO DEL TIEMPO EN FUNCIÓN

DEL MONTO

)1log(

1

i

R

SiLog

n+

+

=)1log(

)R

Ai-(1 log

ni+

=

CÁLCULO DEL TIEMPO EN FUNCIÓN DEL VALOR ACTUAL

Nota: A.i/R <, para que sea factible el cálculo de “n”.

40

41

¿Cuántos pagos de $15.000 dólares debe hacer una institución pública cada mes para cancelar una deuda de $500.000 dólares, considerando una tasa de interés del 6% anual capitalizable mensualmente

DESARROLLO DEL EJERCICIO

42

i=0,06/12=0,00

5

BIBLIOGRAFÍA:•VILLALOBOS JOSE, Matemáticas Financieras, 2007, México, Pearson• MORA ARMANDO, Matemáticas Financieras, 2009, Colombia, Alfaomega