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UTN (FRH) AM I

CTEDRA

MIRIAM

MACAGNA

TRABAJO PRCTICO

FUNCIONES REALES

2014

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UNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONAL FRH ANLISIS MATEMTICO I

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TRABAJO PRCTICO N 1 FUNCIONES REALES

Intervalos Reales

Ej. 1-01 Dados los siguientes conjuntos, exprselos como intervalos o unin

de intervalos, represntelos en el eje real y si es posible- calcule laamplitud del intervalo.

021

82/

211/

13

21/

022/

2

x

xRxD

xxRxC

xRxB

xxRxA

Ej. 1-02 Dados los siguientes intervalos reales, exprselos como conjuntos

utilizando (si es posible) la notacin de mdulo; represntelos en el eje real

y si es posible- calcule la amplitud del intervalo.

A= (-6;-1) B= (-1/3; 2) C= (-3;) D=(-9;7) U (-7;5)Ej. 1-03 Indique cules intervalos de los ejercicios 1-01 y 1-02, pueden ser

entorno de algn punto, clasifique el entorno y escrbalo simblicamente.

Funciones: Dominio Imagen Caractersticas Grficas:desplazamientos, paridad, inyectividad, sobreyectividad,

crecimiento/decrecimiento Funcin Inversa

Ej.1-04 Analice la grfica de cada una de las siguientes relaciones,

determine dominio e imagen e indique si cumple las condiciones de relacin

funcional:

a. b. c. d.

e. f. g. h.

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2

Y

Y

4

3

Ej.1-05

Sea el dibujo, la representacin grfica de una

funcin f.

Observando el dibujo conteste:

a) f(2)=.. f(-1)=.. f(0) =..b)Encontrar {x / c) Encontrar {x / d)Encontrar las pre-imgenes de -1 y las imgenes de 3.

Ej. 1-06 Dada la siguiente representacin grfica de una funcin f, observe

el dibujo y conteste:

a) Para qu valores de x, es f(x)>0b) Para qu valores de x, es f(x)

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3

t 0 2 4 6 8 10 12

T 8 7 3 0 1 7 11

a)Trace una grfica aproximada de T = f (t).

b)Utilice la grfica para estimar la temperatura a las 11 hs.c) Indique los intervalos en que T es creciente y en que T es decreciente.d)Realice una nueva grfica considerando una temperatura inicial To = 2,

es decir T=To+f (t).e)Realice una nueva grfica considerando un tiempo inicial to = 3 hs., es

decirT = f(t+to).

Funciones Enteras o Polinmicas

Ej. 1-11 Encuentre la ecuacin de la relacin lineal que definen los

siguientes datos, En qu casos la ecuacin hallada no responde a unafuncin lineal? Grafique todos los casos:

a)Pasa por (0,3) con m =4

3.

b) Intersecta al eje y en y = 5 con m = -2.c) Es paralela a f(x) = - 3.x+2 y pasa por (-1,2)d)Es perpendicular a 2.x 3.y 2 = 0 y pasa por (-2,5) .e)Pasa por (3, -4) y por (5, 2)

Ej. 1-12 Dos magnitudes x e y, directamente proporcionales, siempredescriben una funcin lineal que pasa por el origen de ecuacin y = a.x con

a.

Por ejemplo, el alargamiento de un muelle es proporcional al peso que

colguemos de l: A = k. P. Si se tiene en cuenta la longitud inicial del

muelle, la ecuacin anterior se puede escribir A = L = LfL0= k.P

(donde significa variacin, y kes la constante de proporcionalidad

entre L y P).

Resuelva:

Un muelle mide 7cm cuando colgamos de l 10 gr y mide 13 cm cuando

colgamos 80 gr. Escriba la ecuacin que liga la longitud L en funcin del

peso P. Cul es la longitud del muelle cuando no colgamos ningn peso?

Cul es la variacin de longitud por cada 10 gr?

Teniendo en cuenta que el muelle empieza a deformarse y a perder

elasticidad cuando se alarga 5 veces su longitud inicial, cul es el dominio

de definicin de la funcin L(P)?

Ej. 1-13 En algunos pases como E.E.U.U. y el Reino Unido se utiliza otrosistema de medicin de la temperatura, conocido como grados Fahrenheit.

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Si le dicen que 10C = 50F y que 60C = 140F, obtenga la ecuacin que

le permita traducir temperaturas de C a F. Cuntos F corresponden a

0C? Y a 100C?

Cuntos C son 300F?

Ej. 1-14 Halle las coordenadas del vrtice, eje, raices, ordenada al origen ygrfico de las siguientes funciones cuadrticas,

a) 025y8x2x2

b)Tiene su vrtice en el origen y pasa por el punto (1,3)

c)Pasa por los puntos (0,0) ; (-1,3) y (1,4)

Ej. 1-15 Dibuje las grficas de las siguientes funciones cbicas:

a) 2

x

y

3

b) 2xy

3 c) y = (x -1)

3

d) y= (x+2)

3

+ 1

Ej. 1-16 Resuelva grfica y analticamente los siguientes sistemas de

ecuaciones:

a)

3x5y

4x5x3y 2

b)

2

12

xy

xy c)

1x2y

2xy 3

Ej. 1-17 Para construir una caja sin tapa, se cortan cuadrados de x cm de

lado en las cuatro esquinas de un cartn de 10cm de ancho por 8cm de

largo, y se doblan los lados.

a)Exprese la funcin A (x), rea de la base.b)Exprese la funcin V (x), volumen de la caja.c) Realice la grfica para cada funcin anterior, e indique dominio e imagen

en cada caso.

Funciones Algebraicas Fraccionarias

Ej. 1-18 Descomponga las siguientes funciones homogrficas en la suma de

una entera ms otra fraccionaria. Indique adems el dominio, los ceros, lospolos y la grfica de cada una.

a)1x

2x3y

b)

3x2

1x4y

c)

1x3

xy

Ej. 1-19 Descomponga las siguientes funciones algebraicas fraccionarias en

la suma de una entera ms otra fraccionaria. Indique adems el dominio,

los ceros, los polos y la grfica de cada una.

a)2x

6x5x

y

2

b)

1x

3x2x

y 2

2

c)

3

2

x

1x3xy

d)

1x

x2

y 2

3

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b)

e)

c)

Cnicas y Funciones Irracionales

Ej. 1-20 Empareje cada ecuacin con su grfica, y halle las ecuaciones

explcitas de las funciones que se desprenden de cada una:

1) 1yx 22 2) 1

4

)1y(

16

)2x( 22

3) 1

4

y

9

)2x( 22

4) 14

y

9

x 22 5) 16)1y()3x( 22 6) 1

4

x

9

y 22

Ej. 1-21 Dibuje la circunferencia y escriba su ecuacin, teniendo en cuenta

los siguientes datos:

a)Centro en el origen y radio 3. b) Centro en (-2,-2) y radio 5.

Ej. 1-22 Represente las curvas dadas por las ecuaciones, y clasifquelas enelipses, hiprbolas o parbolas:

a) 116

y

25

x 22 b) 1

4

xy

22 c) 4)1x()4y.(4 22

d) 16yx e) 021y16x6y4x 22 f) 1yx

Ej. 1-23 Defina el dominio y las intersecciones con los ejes de cada una de

las siguientes funciones irracionales; luego represente grficamente:

a) b) c)

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Ej. 1-24 Resuelva grfica y analticamente los siguientes sistemas de

ecuaciones:

a) {

b)

4xy

16yx 22

Funciones Trascendentes

Ej. 1-25 Realice la grfica de las siguientes funciones de mdulo:

a) || b) | | c) || d) | |

Ej. 1-26

a)Dibuje en un mismo grfico las siguientes funciones exponenciales :

a1)

x

3y

a2)

x

3

1

y

a3)

x

ey

a4)

x

ey

b)Encuentre la funcin exponencial xa.C)x(f , tal que la grfica de la

misma pasa por los puntos (1,6) y (3,24). Represntela.

Ej. 1-27 La masa de madera de un bosque aumenta en un 40% cada 100

aos. Si tomamos como unidad de masa vegetal (biomasa) la que haba en

el ao 1.800, que consideramos instante inicial, y como unidad de tiempo

100 aos, la funcin t4,1)t(M nos da la cantidad de masa vegetal M, en un

instante cualquiera t, expresado en siglos a partir de 1800.

a)Calcule la cantidad de madera que haba en 1900, 1990, 2000, 1600 y1550.

b)Averige cundo habr de una masa de madera triple que en 1800, ycundo haba la tercera parte. Observe que los dos perodos de tiemposson iguales, ocurre lo mismo con los resultados, en comparacin a1800?

c) La cantidad de madera que hay en un cierto instante to, se triplica al

transcurrir un cierto intervalo de tiempo h. Es decir: 00 tht

4,1.34,1

Calcule el valor de h y compare con el resultado del tem b).

Ej. 1-28 Puede ser exponencial una funcin y = f (x) que cumpla la

siguiente tabla de valores?

x 1 3 5 7 9 11 13

y 3,85 5,08 6,71 8,85 11,69 15,43 20,37

Si la respuesta es no, explique el por qu; si es s, arme su ecuacin xa.Cy

con los valores reales de Cy de acorrespondientes.

Ej. 1-29 A partir de la grfica de y =ln x, trace un esquema aproximado

de las grficas correspondientes a las siguientes expresiones:

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a) y= ln (x-2) b) y= ln x + 2 c) y= - ln x

d) y = ln (-x) e) y = ln x f) y = xln

Ej. 1-30 Halle analtica y grficamente la solucin de los siguientes

sistemas trascendentes (analice la grfica previamente y utilice sucesivas

aproximaciones con calculadora cientfica)

a)

1ey

2y

x b)

2xy

xlny

Ej. 1-31 Empareje las ecuaciones de las siguientes funciones circulares con

las grficas correspondientes, escriba en cada caso dominio, imagen, races

o ceros, polos, paridad y asntotas. Defina la funcin inversa de cada una y

esboce su grfica.

a) y = sen x b) y = cos x c) y = tg xd) y = cosec x e) y = sec x f) y = cotg x

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Ej. 1-32 A partir de la grfica de y = sen x, trace un esquema aproximado

de las grficas correspondientes a las siguientes expresiones e indique :

amplitud, fase, frecuencia y fase inicial

a) y = sen x + 1 b) y = - 2.sen x c) y = sen ( 2x )

d) y = sen (x -2

) e) y = sen ( x -4

) f) y =2

1 sen (2

x +3

)

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Ej. 1-33Resuelva grfica y analticamente los siguientes sistemas

trigonomtricos:

a)

xcosy

xseny b)

xseny

x2seny c)

x2

seny

x22

seny

Ej. 1-34 Empareje las ecuaciones de las siguientes funciones hiperblicas

con las grficas correspondientes; escriba en cada caso dominio, imagen,

races o ceros, polos, paridad y asntotas. Defina la funcin inversa de cada

una y esboce su grfica.

a) y = Sh x b) y = Ch x c) y = Th x

d) y = Sech x e) y = CSech x f) y = CTh x

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Ej. 1-35 Investigue tablas de equivalencias trigonomtricas y realice:

a)Transforme en sumas de senx y/o cosx las siguientes funciones dengulo suma:a1) sen (x + y) a2) Ch (x + y) a3) cos (x y)

b)Transforme las siguientes funciones de ngulo doble (2x) enexpresiones equivalentes con funciones de ngulo simple (x) :b1) y = Ch 2x b2) y = sen 2x b3) y = Th 2x

c) Escriba dos expresiones trigonomtricas equivalentes para:C1) sen2x c2) cos2x c3) Sh2x c4) Ch2x

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{ =2 cos =3

Funciones y Curvas expresadas en forma paramtrica

Ejemplo:

t 2

Ej. 1-36Dadas las funciones, expresadas en forma paramtrica, halle los pares

ordenados (x; y) que las satisfacen, de acuerdo con las condiciones

indicadas. Exprese en forma explcita e indique a qu familia de curvas

representa cada una. Indique si son funciones o relaciones funcionales

a)

1t.2y

1t.3x , para a1) t = - 1 a2) t = 0 a3) x = - 6 a4) y = 4

b)

tsen.2y

tcos.4x 2

, para b1) t = 0 b2) t = 4

b3) x = 1 b4) y =4

Ej. 1-37 Suponiendo que la posicin de una partcula en el instante t est

dada por:

.20cos.2sin.3 11 tsiendotytx

y la posicin de una segunda partcula se da con :

.20sin1cos3 22 tsiendotytx

a)Trace la grfica de las trayectorias de las dos partculas. Cuntos puntosde interseccin existen?

b)Las partculas se encuentran en algn lugar al mismo tiempo?c) Qu sucede si la trayectoria de la segunda partcula est dada por:

.20sin1cos3 22 tsiendotytx

Coordenadas Polares

Ej. 1-38

a)Halle las coordenadas rectangulares, que corresponden a los siguientes

puntos dados en polares: a1)

6.3,4 a2)

4.5,1

b)Pase la ecuacin rectangular a forma polar:

b1) 9yx 22 b2) x = 10 b3) y = 4 b4) 3 x y +2 = 0

x y t

2 0 0

-2 0

0 -3 3/2

0 3 /2

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Ej. 1-39

a)Halle las coordenadas polares, que corresponden a los siguientes

puntos dados en rectangulares

a1) (- 3, 4) a2) b)Pase la ecuacin polar a forma rectangular, y dibuje en coordenadas

polares:

b1) sen.4r b2)6

b3) 2senr2 b4) r = 4

Funciones Reales: Dominio Imagen Races Polos Propiedades

Composicin Funcin Inversa Paridad - Grficos

Ej. 1-40 Cules de las siguientes funciones son pares? Cules impares?

Cules no tienen paridad?

a) 24)(1 xxf b) 3)(2 xxf c)24)(3 xxf d)

1

3)(4

2 x

xxf

Ej.1-41Determinar dominios y codominios apropiados para que con las

siguientes expresiones se obtengan funciones biyectivas. Hallar las

correspondientes funciones inversas dando tambin sus dominios y

codominios:

a) y = x2 b) y =x

1x c) y = xln d) y = - 2x9

Ej.1-42 Halle la ecuacin explcita y determine el dominio e imagen, paraque las siguientes relaciones sean funcionales. Grafique.

4yx)a 2 01y4x2yx)b 22

Ej.1-43

a)Dadas las funciones f(x) = x y g(x) = 1x2 , hallea1) y = f [g (x)] a2) y = f [g (-4)] a3) y = g [f (x)]

b)Dadas las funciones f (x) =x

1y g (x) = 1x2 , halle:

b1) y =f [g (x)] b2) y = g [f (2

1)] b3) y =g [f (x)]

Ej. 1-44 Halle y = f(x) + g(x); y = f(x) g(x) ; y = f(x).g(x) ;

y = f(x) / g(x) para :

a) f(x) = xe ; g(x) = 2x b)f(x) = 1x.3x.2 2 ; g(x) = 2.x 1

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Ej. 1-45

a)Considerando que las funciones compuestas dadas corresponden ay = (f o g o h)(x), halle las funciones simples y = f(x) , y = g(x) e

y = h(x):

a1) )1xln(y 2

a2)xsen

ey a3)3 x

etgy

d)Halle la funcin inversa de cada una de las funciones compuestas deltem a)

Ej. 1-46Efecte el grfico de las siguientes funciones:

a)

2xx

]2,3(xx

3x2

y b)

2

.3x1

2

.3;

2xxsen

2x1

y d) xseny

Ej. 1-47 Halle el dominio de:

a)x1

xy

b)

8x

1xlny

3

2

c)x

x1senarcy

Ej. 1-48 Responda con verdadero o falso, justificando las respuestas en

cada caso:

a) La ecuacin x.3xy.x 22 determina una funcin con frmula de la

formaF(x;y)= 0

b)Si la imagen de una funcin consta de un solo nmero, entonces sudominio tambin consta de un solo nmero.

c) Si f (x) y g (x) tienen el mismo dominio, entonces)x(g

)x(f)x(h tiene

tambin ese dominio.d)El dominio natural de la funcin tangente es el conjunto de los nmeros

reales.e)Si cos x = cos y, entonces x = y.

f) Si f (x) es biyectiva entonces )x(f 1

es igual a)x(f

1.

g)Las rectas a.x+y = c y - x + ay = c son perpendiculares.

h)La funcin2

32

x

xx.)x(f

es impar.

i) Si 32 x)x(gyx)x(f , entonces fggf .

j) Si 21 xx y la funcin f (x) es decreciente, entonces )x(f)x(f 21 .

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