7/17/2019 Uno

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Teoremas Clasicos

Isaac Milla Morales

September 2015

TEOREMA DE LA APLICACI ON ABIERTA

Sean X e Y espacios de Banach y sea A ∈ L(X, Y ) tal que R(A) = Y .Entonces, existe r > 0 tal que

B Y (θ, r ) ⊆ A B X (θ, 1)

Demostraci´ on. La demostracion de este teorema se realizara en dos etapas.Etapa 1 Sean X e Y espacios de Banach y sea T : X → Y lineal tal queR (A) = Y . Entonces, existe r > 0 tal que B (θ, 2r ) ⊆ A B (θ, 1) .En efecto Para cada n ∈ N denamos X n = nA B (θ, 1) . Puesto que A es so-breyectivo, dado y ∈ Y existe x ∈ X tal que A(x ) = y. Si N ∈ N es tal que

x < N , entonces y = NT ( xN ) = NT (z) con z < 1, lo cual prueba que

y ∈ X N y por lo tanto Y = n ∈ N

. Asi aplicando el Lema de Baire se deduce que

existe k ∈ N tal que int (X k ) = 0, o bien, equivalentemente, intA (B (θ, 1)) = 0.Se sigue que existen y0 ∈ Y y r > 0 tales que B (y0 , 4r ) ⊆ A (B (θ, 1)).

En particular, puesto que claramente y0 ∈ A B (θ, 1) , existe una sucesion{zn }n ∈ N ⊆ B (θ, 1) tal que y0 = lımx →∞

T (zn ), y por lo tanto − y0 = lımx →∞

T (− zn )

lo cual indica que − y0 tambien pertenece a A B (θ, 1) . A partir de este hechoy de la inclusion se obtiene que

B (θ, 4r ) ⊆ A B (θ, 1) + A B (θ, 1) = 2A B (θ, 1) (1)

En efecto,sea z ∈ B (θ, 4r ) → z = z + y0 + ( − y0 ) con (z + y0 ) ∈ B (y0 , 4r ) ⊆A B (θ, 1) y (− y0 ) ∈ A B (θ, 1) . Ademas, es facil ver que la igualdad en sesigue de la convexidad de A B (θ, 1) .Finalmente, de se deduce que B (θ, 2r ) ⊆ A B (θ, 1) , lo cual completa la demos-tracion.Etapa 2

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