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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL

SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADO EN

CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICAS

TEMA:

LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA

AUTOR

URETA SANTOS ROQUE GREGORIO

DIRECTOR

FIS. LENIN JÁCOME

BAHÍA DE CARÁQUEZ

FEBRERO DE 2012

i

CARTA DE CERTIFICACIÓN DEL TUTOR

En mi calidad de Tutor del Trabajo de Grado presentado por el señor Roque Gregorio

Ureta Santos, para optar el Grado Académico de Licenciado en Ciencias de la

Educación – Mención MATEMÁTICAS cuyo título es: LAS MATEMÁTICAS Y LA

NATURALEZA, Considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes

para ser sometidos a la presentación pública y evaluación por parte del Jurado

examinador que se designe. En la ciudad de Quito D. M. a los cuatro días del mes de

diciembre del 2012.

Fis. Lenin Jácome

TUTOR DE LA CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

ii

PÁGINA DE AUTORÍA DE LA TESIS

Yo, Roque Gregorio Ureta Santos, declaro bajo juramento que el trabajo aquí descrito

es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o

calificación profesional; que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen

en este documento y que no he plagiado dicha información

Roque Gregorio Ureta Santos

iii

DEDICATORIA

A mi familia

iv

AGRADECIMIENTO

Principalmente a mi padre, artífice de mi carrera profesional, mi madre, hermanos,

esposa y demás personas que de una u otra manera me ayudaron en el desarrollo de la

misma

v

ÍNDICE

CARTA DE CERTIFICACIÓN DEL TUTOR ...................................................................... I

PÁGINA DE AUTORÍA DE LA TESIS ................................................................................ II

DEDICATORIA ....................................................................................................................III

AGRADECIMIENTO .......................................................................................................... IV

ÍNDICE .................................................................................................................................. V

ÍNDICE DE TABLAS .......................................................................................................... VII

ÍNDICE DE FIGURAS ....................................................................................................... VIII

RESUMEN EJECUTIVO .......................................................................................................X

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 1

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN ........................................................................ 2

1.1. TEMA DE INVESTIGACIÓN ............................................................................................... 2

1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................................... 2

1.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ...................................................................................... 2

1.4. OBJETIVOS...................................................................................................................... 2

1.4.1 Objetivo General ...................................................................................................... 2

1.4.2. Objetivos Específicos .............................................................................................. 3

1.5. JUSTIFICACIÓN................................................................................................................ 3

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO ............................................................................................................... 4

2.1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA .......................................................................................... 4

2.1.1. LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA ..................................................... 4

2.1.1.3. DE LAS MATEMÁTICAS Y NATURALEZA ................................................... 6

2.1.1.3.1. RELACIÓN MATEMÁTICAS Y NATURALEZA............................................ 7

2.1.1.3.4. RECTÁNGULOS DE FIBONACCI y ESPIRALES DE SHELL ...................... 11

2.1.1.3.5. LOS NÚMEROS DE FIBONACCI, LA SECCIÓN ÁUREA Y PLANTAS ..... 13

2.1.1.4. VERDURAS Y FRUTAS ................................................................................... 14

2.1.2. APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS .............................................................. 15

2.2. HIPÓTESIS .................................................................................................................. 23

2.3. VARIABLES ............................................................................................................... 23

2.3.1. VARIABLE INDEPENDIENTE ........................................................................... 23

2.3.2. VARIABLE DEPENDIENTE ............................................................................... 23

2.4. OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES ................................................. 24

CAPÍTULO III

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN .................................................................... 26

3.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN ............................................................................ 26

3.2. TIPO DE LA INVESTIGACIÓN .................................................................................. 26

3.2.1. CORRELACIONAL.............................................................................................. 26

3.2.2. BIBLIOGRÁFICA ................................................................................................ 26

3.2.3. DE CAMPO .......................................................................................................... 26

vi

3.3. MÉTODOS DE LA INVESTIGACIÓN ........................................................................ 26

3.3.1. MÉTODO DEDUCTIVO-INDUCTIVO ................................................................ 27

3.3.2. MÉTODO EXPERIMENTAL ............................................................................... 27

3.4. POBLACIÓN Y MUESTRA ........................................................................................ 27

3.4.1. POBLACIÓN ........................................................................................................ 27

3.4.2. MUESTRA............................................................................................................ 27

3.5. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN ........ 27

3.5.1. LA OBSERVACIÓN ............................................................................................. 27

3.5.2. la encuesta ............................................................................................................. 28

CAPÍTULO IV

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS ............................................ 29

4.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS......................................................................... 29

4.1.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADO DE LAS ENCUESTAS .............................. 29

CAPÍTULO V

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .................................................................... 49

5.1. CONCLUSIONES ........................................................................................................ 49

5.1.2. RECOMENDACIONES ............................................................................................ 51

CAPÍTULO VI

LA PROPUESTA.................................................................................................................. 53

6.1 TEMA DE LA PROPUESTA ........................................................................................ 53

6.2 JUSTIFICACIÓN .......................................................................................................... 53

6.3 OBJETIVOS ................................................................................................................. 54

6.4. POBLACIÓN OBJETO ................................................................................................ 55

6.5 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ................................................................................ 55

6.5.1. WEBQUEST ........................................................................................................ 55

6.5.2. historia de la webquest ........................................................................................... 55

6.5.3. Partes en que se compone una WebQuest ............................................................... 56

6.5.4. BIOGRAFÍA de leonardo de pisa .......................................................................... 56

6.6. LISTADO DE CONTENIDOS TEMÁTICOS ............................................................... 58

6.7 DESARROLLO DE LA PROPUESTA .......................................................................... 58

6.7.1. WEBQUEST ......................................................................................................... 58

ANEXOS ............................................................................................................................... 73

BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................. 85

WEBGRAFÍA ....................................................................................................................... 85

vii

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla No. 4.1. Pregunta Nº 1 – Estudiantes ........................................................................................... 30


Tabla No. 4.3: Pregunta Nº 3 – Estudiantes ........................................................................................... 32






Tabla No. 4. 10: Pregunta Nº 1 – Profesores de Matemáticas ................................................................. 39









viii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura No. 2.1. Fractales en las Montañas del Tibet ............................................. 9

Figura No. 2.2. Fibonacci en el apareamiento de los conejos ............................. 10

Figura No. 2.3. Rectángulos Fibonacci .............................................................. 11

Figura No. 2.4. caracol siguiendo las leyes fibonacci ......................................... 12

Figura No. 2.5. Observando la serie Fibonacci en la constitución de un árbol .... 14

Figura No. 2.6. Fractal en la col de bruselas ...................................................... 14

Figura No. 2.7. Una Col Común ........................................................................ 15

Figura No. 4.1. Representación Porcentual sobre la opinión de los

estudiantes acerca del futuro de su educación ............................ 30

Figura No. 4.2. Representación Porcentual sobre la opinión de los

estudiantes acerca de la incidencia de las matemáticas en su

educación .................................................................................. 31

Figura No. 4.3. Gráfico porcentual acerca de la relación existente entre las

matemáticas y la naturaleza ....................................................... 32

Figura No. 4.4. Representación Porcentual acerca del conocimiento de

ciertas series número como la es la serie Fibonacci ................... 33

Figura No. 4.5. Representación Porcentual que permite conocer si el

estúdiate cree que se puede utilizar a la propia naturaleza

como material didáctico para aprender matemáticas .................. 34

Figura No. 4.6. Representación Porcentual que permite conocer si el

maestro de matemáticas alguna vez les llevo fuera del aula

de clase para enseñar matemáticas............................................. 35

Figura No. 4.7. Representación Porcentual que muestra la frecuencia con

que los profesores de matemáticas han hecho

comparaciones entre lo aprendido con los elementos de la

naturaleza. ................................................................................ 36

Figura No. 4.8. Representación Porcentual que muestra el deseo de los

estudiantes de salir y compartir con la naturaleza ...................... 37

Figura No. 4.9. Representación gráfica que muestra la relación entre las

matemáticas y la naturaleza ....................................................... 39

ix

Figura No. 4.10. Representación gráfica que muestra Si los profesores

conocen la serie Fibonacci ........................................................ 40

Figura No. 4.11. Representación gráfica que muestra el uso de materiales

didácticos en clases de matemáticas .......................................... 41

Figura No. 4.12. Representación gráfica que muestra el uso de materiales

didácticos en clases de matemáticas .......................................... 42

Figura No. 4.13. Representación gráfica que demuestra a los profesores de

matemáticas usar productos de la naturaleza para sus

ejercicios matemáticos .............................................................. 43

Figura No. 4.14. Representación gráfica que demuestra el tiempo dedicado a

impartir sus clases ya sea en la mañana o tarde o noche ............. 44

Figura No. 4.15. Representación gráfica que muestra la visión de los

profesores de matemáticas en cuanto a los ejemplos y

relaciones en sus clases ............................................................. 45

Figura No. 4.16. Representación gráfica que afirman el ecosistema de la zona

de bahía de Caráquez es propicio para la enseñanza de las

matemáticas y su relación con la naturaleza .............................. 46

Figura No. 4.17. Representación gráfica que demuestra la frecuencia del

trabajo de investigación de los profesores de matemáticas

con sus estudiantes. ................................................................... 47

x

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL

SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación


Autor: ROQUE GREGORIO URETA SANTOS

Director: FIS. LENIN JÁCOME

Fecha: Quito 2010

RESUMEN EJECUTIVO

Probablemente cuando se mira en derredor, específicamente la naturaleza, nos

maravillamos de su hermosura, las figuras que en ella se vislumbran, esa perfecta

combinación de colores e imágenes que a más de un fotógrafo le fascina capturar y que

nos permiten soñar, que nos cambian el ánimo, que relaja la mente, y anima a recordar

eventos buenos de la vida.

Si se miran poquito más allá de los colores y la belleza, la imponencia y la

majestuosidad, veremos que cada objeto animado o inanimado está conformado en

prácticamente su totalidad de figuras, triángulos en algunos árboles, círculos perfectos

en las estrellas, planetas, el sol, o la luna, rectángulos, cuadrados y la combinación de

ellos para crear nuevas formas.

Pero no es frecuente que se relacione la geometría, física y la propia matemática con la

naturaleza, los científicos se están dando a la tarea de descubrir qué tipo de matemática

se encuentran implícitas dentro de cada maravilloso objeto natural y más aún cuando se

ahonda en el conocimiento matemático para descubrir cómo funcionan ciertos

fenómenos de la naturaleza y cómo se puede hacer uso de esa comprensión científica

para recrear un nuevo ambiente, creado por el hombre para satisfacer las necesidades

del ser mismo ser humano, como volar, o crear energía, producir fuerza, aumentar la

velocidad, etc.

Lo más fácil de ver en la naturaleza es la geometría, ángulos, puntos y las agrupaciones

de figuras geométricas, Gallen Rowel es un fotográfico que dedica su vida a fotografiar

xi

todas las formas posibles de la naturaleza y logrando plasmar toda la belleza geométrica

y colorida en sus fotos, aunque formas muy complejas, nos recuerdan formas simples,

eso es belleza.

Aumentar la práctica de observar “patrones” o “series matemáticas” en la naturaleza,

como la serie Fibonacci, que es la más fácil de percibir y de esta el número de oro, ya

sea en las plantas, árboles, no importa donde se mire, inclusive en las formas

microscópicas vemos un mundo de geometrías y patrones matemáticos.

Pero lo más sorprendente es que cada átomo de nuestro ser está conformado por un

número incontable de patrones geométricos que se repiten a lo largo y ancho de nuestra

sustancia, para llegar a la conclusión que el hombre es matemática pura.

1

INTRODUCCIÓN

Las ciencias matemáticas cumplen un rol fundamental en la historia de la humanidad,

está presente en todos los ámbitos de las sociedades antiguas y modernas, su rol

formativo, explícito y deducible se encuentra escondido tras cada aspecto del cual se

compone nuestra madre naturaleza, y en todas las formas de vida del planeta y el

universo, desde la composición de las moléculas siguiendo un patrón inherente a las

series matemáticas hasta la conformación de galaxias, constelaciones y todo cuerpo

celeste(PERAL, 2000).

Al seguir estos modelos o patrones nos permitirá entender, hacer una explicación y

porque no decir predecir el comportamiento de los hombres, teniendo en consideración

que todas las cosas tangibles siguen patrones de desarrollo y rutina; la naturaleza está

diseñada y combinada con toda clase de formas geométricas e increíble sucesión

numérica. Las plantas adoran las formas geométricas. Las flores de la petunia son

pentágonos perfectos, las hojas de la capuchina muestran los radios de la circunferencia,

las palmeras desarrollan sus hojas en semicírculos(PEREZ, 2005).

La proporción fractal consiste en la repetición de la estructura de un elemento a menores

escalas. Como el romanesco, esta variedad de la col es uno de los ejemplos de cómo la

proporción fractal se presenta continuamente en la naturaleza.Al cortar una naranja por

la mitad, se ve una circunferencia con los radios definidos. La geometría está presente

en todas las plantas, con proporciones casi perfectas. El diámetro de la copa de un árbol

se corresponde con el de su conjunto de raíces, y las hojas forman pequeñas

circunferencias.(NATURE, 2005)

Se conoce al número áureo como pi y se escribe con la sucesión 1,6180… hasta el

infinito. Esta proporción se encuentra en la nervadura de las ramas, la distancia entre las

espirales de una piña, la relación entre las ramas principales y el tronco… El número

áureo es una proporción común en la naturaleza.(Vizworld, 2010)

El conocimiento de la naturaleza es un ejemplo a seguir de cómo debe ser la manera de

desenvolvernos en todos los ámbitos de nuestra vida, tanto en lo laboral como

sentimental, y el proceder mismo de los seres humanos.

2

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN

1.1. Tema de investigación

Las matemáticas en la naturaleza

1.2. Planteamiento del Problema

Cuando la personas se quedan en silencio por un momento y abren sus ojos junto con

los sentidos al observar la conformación de una hoja de un árbol nos percatamos que su

ramificación es tal que pareciera que no fue creada al azar ya que tiene un diseño

específico, estructural, lógico y serial, o la relación existente entre las distancias de las

curvas que forman un espiral que tiene un caracol, la distancia de los hoyos que se

observan en la piña, la reproducción sistemática de los conejos, la relación entre los ojos

de una persona junto con su nariz en relación a sus orejas.

Sin duda alguna se impresiona mucho, por tal virtud no queda más que una interrogante

en nuestras cabezas. ¿La naturaleza fue creada en base a las matemáticas? ¿Existe

relación entre los objetos de la naturaleza y las matemáticas? Entonces ¿Con qué parte

de las matemáticas las puedo relacionar?

1.3. Formulación del Problema

¿Hay matemáticas en la Naturaleza?

1.4. Objetivos

1.4.1 OBJETIVO GENERAL

Comprender las relaciones existentes entre las matemáticas y la naturaleza realizando

un estudio investigativo con el propósito de crear un material didáctico que incentive los

jóvenes a la observación y cuidado de la naturaleza.

3

1.4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Comparar ciertas plantas y la estructura para relacionarlas con las matemáticas

Descubrir en que parte de la naturaleza se desarrolla las series y patrones

matemáticos.

Percibir la relación existente entre la serie Fibonacci y los elementos de la

naturaleza

Comprender el significado de la fractalidad y su relación aspecto – tamaño con

ciertos vegetales

1.5. Justificación

Cierto pensamiento popular, “Quién domina los números dominará el mundo”, al

parecer cada día que transcurre se vuelve más creíble porque con la relación tan directa

que existe entre todo lo creado y manipulado por la misma naturaleza, tiene un cierto

comportamiento parecido a un algoritmo, con manifestaciones que incluyen patrones o

plantillas específicas muy relacionadas con las matemáticas.

El conocimiento de los patrones que se observan en la naturaleza, y en todo cuanto nos

rodea nos ayuda a pensar y cuidar nuestro entorno, pero más allá de eso permite a la

industria crear nuevos implementos en beneficio de nuestra tecnología y evolución, por

ejemplo, cuando las águilas planean haciendo un vuelo estable, se reconoce la inclusión

matemática y física, eso nos ayuda a mejorar nuestras naves, el movimiento al nadar de

los tiburones y la constitución de su piel ayuda a los nadadores profesionales a mejorar

su estilo de natación, entre otras cosas.

Por todo lo expuesto con esta investigación se beneficia todos los seres humanos, tanto

para el desarrollo evolutivo del hombre y el desarrollo tecnológico en miras a un futuro

con conocimiento profundo del funcionamiento de la naturaleza para que el ser humano

pueda entenderse a sí mismo como un ente útil al mejoramiento de su propio mundo.

4

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

2.1. Fundamentación Teórica

2.1.1. LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA

Las matemáticas es una ciencia exacta que parte desde aforismos y proposiciones

manipuladas que resuelven un problema, Se rumora entre los matemáticos que los

objetos matemáticos sean estos números, funciones o proposiciones no existen,

simplemente es un recurso producido por la mente humana, Albert Einstein dijo

“Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son

ciertas, no se refieren a la realidad”

2.1.1.1. HISTORIA.

En el sitio Wikipedia se encuentra un extracto acerca de la historia de las matemáticas

en cuanto a sus precursores, a saber:

PITÁGORAS

(582-500 a. C.). Fundador de la escuela pitagórica, cuyos principios se regían por el

amor a la sabiduría, a las matemáticas y música.

EUCLIDES

(365-300 a. C.). Sabio griego, cuya obra “Elementos de Geometría” está considerada

como el texto matemático más importante de la historia.

ARQUÍMEDES

(287-212 a. C.). Fue el matemático más importante de la Edad Antigua. También

conocido por una de sus frases: “Eureka, Eureka, lo encontré”. Su mayor logro fue el

descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro

que la circunscribe. Su principio más conocido fue el Principio de Arquímedes, que

consiste en que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y

hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.

5

FIBONACCI

(1170-1240). Matemático italiano que realizó importantísimas aportaciones en los

campos matemáticos del álgebra y la teoría de números. Descubridor de la Sucesión de

Fibonacci, que consiste en una sucesión infinita de números naturales.

RENÉ DESCARTES

(1596-1650). Matemático francés, que escribió una obra sobre la teoría de las

ecuaciones, en la cual se incluía la regla de los signos, para saber el número de raíces

positivas y negativas de una ecuación. Inventó una de las ramas de las matemáticas, la

geometría analítica.

ISAAC NEWTON

(1643-1727). Matemático inglés, autor de los Philosophiaenaturalis principia

mathematica. Abordó el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y

desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Abordó el desarrollo del

cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y

analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de

ecuaciones.(Wikipedia, Wikipedia.org, 2010)1

SUCESIÓN FIBONACCI

La sucesión de los números de Leonardo de Pisa o llamado también Fibonacci se

desarrolló cuando estaba observando a los conejos y su reproducción, esta es una

secuencia de números que lógicamente comienza en 0 y 1 sumados estos dos últimos

números tendremos 1, sumados estos dos últimos tendremos 2, de igual manera

sumados tendremos 3 luego 5 y así sucesivamente tal como lo muestra la siguiente

ilustración:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987

1Tomado de Wikipedia.org, 2010, fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

6

2.1.1.2.NATURALEZA

La naturaleza se refiere a todos los fenómenos físicos, químicos y vida en general, es en

otras palabras la esencia, propiedades y características de cada ser que se encuentra en

el universo, se podría decir también que es el conjunto de todo ser vivo (animales y

plantas) y fenómenos que se producen sin la mano del hombre (lluvias, tormentas,

erosión, etc.) (definicion.de, 2010)2

2.1.1.3. DE LAS MATEMÁTICAS Y NATURALEZA

Bruce Harvey, en su blog afirma que las matemáticas no se pueden utilizar en ningún

campo sin disciplina, para predecir el comportamiento de los procesos naturales. La

manipulación de las ecuaciones de forma válida matemáticamente puede o no producir

un modelo válido. Las matemáticas deben ir de la mano con una comprensión de la

forma en que la naturaleza es capaz de hacer las matemáticas.(harvey, 1997)3

En su blog propone que la naturaleza tiene tres mecanismos con los que hacer la

matemática.

Considérese la posibilidad de una carga eléctrica. Se ha asociado con él algún tipo de

campo que se extiende hacia fuera de él en perfecta simetría. La situación tiene una

geometría en la que todos los puntos a la misma distancia de la carga de tener la misma

magnitud del campo. En todos los puntos en el espacio de la dirección del campo es

paralelo a la radio de la carga al punto. En todos los puntos en el espacio, el campo está

dirigido en el mismo sentido hacia adentro o hacia afuera. A medida que seguimos hacia

el exterior de campo, se extiende a través del espacio a fin de que en cualquier

momento, la magnitud,ser inversamente proporcional a la superficie de la esfera a través

de ese punto y se centró en la carga. De esta manera, la naturaleza utiliza la geometría

de la situación para determinar el campo. He aquí la ecuación

Expresando esta geometría.

2 Tomado de Definicion.es, Fuente citada: http://definicion.de/naturaleza/ 3Tomado de Harvey bruce, Fuente: http://users.powernet.co.uk/bearsoft/Maths.html

7

Considérese ahora una segunda carga y de alguna manera de anclaje y que la primera

carga en el espacio. También tiene un campo. Permite llamar a los dos campos y .

Los campos de las dos cargas son independientes y están presentes en cada punto del

espacio sin distorsionar los demás. Se llama a esto el principio de súper imposición

tomando prestado el nombre de la matemática de las ecuaciones diferenciales y le da un

significado mucho más potente y deletreándolo con más letras. (De hecho, es esta

propiedad fundamental de la naturaleza que permite a su homónimo a trabajar en la

solución de ecuaciones diferenciales por los matemáticos.)

Ahora vamos a introducir una tercera carga que se mueve libremente. Nos damos cuenta

de que es afectada por la presencia de los cargos primero y segundo y se mueve con una

aceleración que revela que los campos están afectando. Podríamos calcular esta

aceleración mediante el cálculo y y agregar luego los dos vectores. Multiplique

este vector resultante por y se obtiene la aceleración. La naturaleza es capaz de

realizar una suma de vectores de dos campos eléctricos en el lugar de una carga que es

afectada por ellas.

Aquí, pues, son los tres mecanismos por los cuales la naturaleza es capaz de hacer que

las cosas sucedan. Son GEOMETRÍA, SÚPER IMPOSICIÓN y SUMA DE

VECTORES. Si el universo es un modelo matemático, entonces estos son los tres

procesos por los cuales se lleva a cabo las matemáticas a través del espacio.(harvey,

1997)4

2.1.1.3.1. RELACIÓN MATEMÁTICAS Y NATURALEZA

¿QUÉ ES UN FRACTAL?

Según www.wikipedia.org Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura

básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto

por el matemático BenoîtMandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa

quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

4Tomado de Harvey bruce, Fuente: http://users.powernet.co.uk/bearsoft/Maths.html

8

Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.

Es autosimilar.- Su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.

Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la

geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas

costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es

aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el

detalle infinito, tienen límites en el mundo natural(Wikipedia, es.wikipedia.org,

2010)5

2.1.1.3.2.FRACTALES OCURRENTES EN LA NATURALEZA

La geometría de los fractales nos brinda una nueva apreciación del mundo natural y de

los patrones que observamos en ella.

Hay muchas cosas que antes llamado “el caos” ahora se sabe que siguen sutiles leyes

del comportamiento fractal. Así que muchas cosas resultó ser fractal que la palabra

"caos" en sí mismo (en la ciencia operacional) ha redefinido, o en realidad por el

momento oficialmente por primera vez define como seguir las reglas pero por lo general

determinista inherentemente impredecibles sobre la base de las ecuaciones no lineales

iterativas. Los fractales son impredecibles en los detalles específicos aún determinista

cuando se ve como un patrón total en muchos aspectos, esto refleja lo que se observa en

los pequeños detalles y diseño total de la vida en toda su variedad física y mental,

también(Miquel, 2006)6

5Tomado de es.wikipedia.org fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal

6Tomado de Miguel.com, Fuente: http://www.miqel.com/fractals_math_patterns/visual-math-natural-fractals.html

9

Figura No. 2.1. Fractales en las Montañas del Tibet

Fuente: http://www.miqel.com/fractals_math_patterns/visual-math-natural-fractals.html

2.1.1.3.3.CONEJOS EN LA SERIE FIBONACCI.

El problema original fue investigado por Fibonacci en el año de 1202, que fue acerca de

la rapidez con que se reproducían estos animales en las mejores circunstancias.

Supongamos que un par de conejos recién nacidos, un macho, una hembra, se colocan

en un campo. Los conejos son capaces de aparearse, a la edad de un mes para que al

final de su segundo mes una hembra pueda producir otro par de conejos. Supongamos

que nuestros conejos nunca mueren y que la hembra siempre produce una nueva pareja

(un macho y una hembra) cada mes a partir del segundo mes. El enigma que planteó

Fibonacci fue…

¿Cuántos pares habrá en un año?

Al final del primer mes, se aparean, pero todavía hay un sólo un par.

Al final del segundo mes la hembra produce un nuevo par, así que ahora hay 2

pares de conejos en el campo.

Al final del tercer mes, la hembra original produce un segundo par, haciendo tres

pares en todo en el campo.

Al final del cuarto mes, la hembra original ha producido otro nuevo par, la

hembra nacida hace dos meses, produce su primer par también, lo que hace 5

pares.

10

Figura No. 2.2. Fibonacci en el apareamiento de los conejos Fuente: http://myscienceblogs.com/matematika/2008/02/25/kelinci-fibonacci/

Elaborado por: El Autor

El número de pares de conejos en el campo al comienzo de cada mes es 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13 21, 34, …

Otro punto de vista del árbol familiar del conejo es:

Todos los conejos nacidos en el mismo mes son de la misma generación y se encuentran

en el mismo nivel en el árbol.

Los conejos han sido número único para que en la misma generación que los conejos

nuevos están numerados en el orden del número de sus padres. Así, 5, 6 y 7 son los

hijos de 0, 1 y 2, respectivamente.

Los conejos etiquetado con un número de Fibonacci son los hijos del conejo original (0)

en la parte superior del árbol.

11

Hay un número de Fibonacci de conejos en cada nueva generación, marcada con un

punto.Hay un número de Fibonacci de conejos en total, de arriba hacia abajo a cualquier

generación.

2.1.1.3.4.RECTÁNGULOS DE FIBONACCI Y ESPIRALES DE SHELL

Podemos hacer otra representación que muestra los números de Fibonacci

1,1,2,3,5,8,13,21,… si empezamos con dos pequeños cuadrados de tamaño de un lado

de la otra. En la parte superior de ambos dibujar un cuadrado de tamaño 2 (= 1 +1).

11

23

5

8

13

Figura No. 2.3. Rectángulos Fibonacci


Ahora podemos dibujar una nueva plaza – que afectan tanto un cuadrado unidad y la

última plaza de la cara 2 – por lo que tener lados 3 unidades de longitud, y luego otro

tocando tanto el cuadrado de 2 y el cuadrado de 3 (que tiene lados de 5 unidades) .

Podemos seguir añadiendo cuadrados alrededor de la imagen, cada nueva plaza que

tiene una parte que es tan larga como la suma de las partes. Este conjunto de rectángulos

cuyos lados son dos sucesivos números de Fibonacci de longitud y que se componen de

cuadrados con los lados que son números de Fibonacci, llamaremos a los rectángulos de

Fibonacci.

12

Figura No. 2.4. Caracol siguiendo las leyes Fibonacci

Fuente:http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#rabeecow

La espiral no es una espiral matemática (ya que se compone de fragmentos que forman

parte de los círculos y no salgan a la cada vez más pequeños), pero es una buena

aproximación a una especie de espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza.

Estas espirales se ven en la forma de conchas de caracoles y conchas de mar y, la espiral

en las plazas, hace una línea desde el centro de la espiral de aumento por un factor del

número de oro en cada cuadrado. Así que los puntos de la espiral son 1.618 veces más

lejos del centro después de un cuarto de vuelta. En su conjunto a su vez los puntos de

una radio a cabo desde el centro son 1,6184 = 6.854 veces más lejos que cuando la

última curva cruzó la línea radial mismo.(Vizworld, 2010)7

Cundy y Rollett (Modelos Matemáticos, segunda edición 1961, página 70) dicen que

esta espiral se produce en caracoles y flores cabezas refiriéndose a D‟Arcy Thompson

El crecimiento y la forma. Aquí Thompson está hablando de una clase de espiral con un

factor de expansión constante a lo largo de una línea central y no sólo los depósitos con

un factor de expansión Phi.

7Fuente: http://www.vizworld.com/

13

Debajo están las imágenes de secciones transversales de un caracol Nautilus. Ellos

muestran la curva de la espiral de la concha y las cámaras internas que el animal con

que se completan a medida que crece. Las cámaras ofrecen la flotabilidad en el agua.

Varias organizaciones y empresas tienen un logotipo basado en este diseño, con la

espiral de Fibonacci y plazas en algún momento con la concha de Nautilus

superpuestos. Es incorrecto decir que esto es un Phi-espiral. En primer lugar la “espiral”

es sólo una aproximación, ya que está formado por separados y distintos cuartos de

círculos, en segundo lugar el (verdadero) aumenta en espiral en un factor de Phi cada

cuarto de vuelta por lo que es más correcto llamarlo una espiral Phi4.

2.1.1.3.5.LOS NÚMEROS DE FIBONACCI, LA SECCIÓN ÁUREA Y PLANTAS

Una de las plantas, en particular, muestra los números de Fibonacci en el número de

“puntos de crecimiento” que tiene. Supongamos que cuando una planta saca un nuevo

brote y tiene que crecer dos meses antes de que sea lo suficientemente fuerte como para

apoyar la ramificación. Si se ramifica cada mes después de que en el punto de

crecimiento, (Surrey, 2010)8

Una planta que crece en gran medida de este tipo es el “sneezewort”: ptarmicaAchillea,

En muchas plantas, el número de pétalos es un número Fibonacci:

8Tomado de surrey.com, Fuente: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

14

Figura No. 2.5. Observando la serie Fibonacci en la constitución de un árbol

Fuente:http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#rabeecow

2.1.1.4.VERDURAS Y FRUTAS

El brócoli y coliflor (o Romanesco) se ve y se sabe a una mezcla de brócoli y coliflor.

Cada florecilla es la cúspide, y es una versión idéntica pero más pequeña de toda la cosa

y esto hace que las espirales sean fáciles de ver.

Figura No. 2.6. Fractal en la col de bruselas

Fuente: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#rabeecow

Aquí está una foto de una coliflor normal. Se observa la forma en que es casi un

pentágono en el esquema. Mirando con atención, se puede ver un punto central, donde

15

las florecillas son menores. Las flores están organizadas en espiral alrededor de este

centro en ambas direcciones.

Figura No. 2.7. Una Col Común

Fuente: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#rabeecow

2.1.2. APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

Uno de los temas claves de la Educación Matemática es cómo debe ser el desarrollo de

la lección para generar aprendizaje efectivo (podría usarse el término "significativo",

como en AUSUBEL (1968), pero dentro de una perspectiva más amplia) por parte de

los estudiantes en torno al conocimiento matemático, tanto en sus contenidos como en el

uso de sus métodos. De igual forma, se plantea como objetivo el fortalecimiento de

destrezas en el razonamiento abstracto, lógico y matemático, cuyas aplicaciones no sólo

se dan en las ciencias y tecnologías sino en toda la vida del individuo.

De alguna manera, es éste el verdadero laboratorio y taller en el cual se condensa todo:

aquí adquiere sentido toda la formación recibida por parte de los profesores así como las

condiciones curriculares, pedagógicas, matemáticas e incluso de infraestructura que

intervienen en el proceso de enseñanza aprendizaje; se invocan muchos vectores.

Sin embargo, en algunos aspectos propiamente pedagógicos en el desarrollo de la

lección. Las preguntas emergen: ¿qué debe aprenderse en una lección de matemáticas?

¿Cuál debe ser la orientación más conveniente para lograr éxito en el aprendizaje

efectivo de las matemáticas por medio de la lección? En relación con lo primero, una

lección de matemáticas debe proporcionar aprendizaje en el lenguaje y la cultura

matemáticos, los algoritmos y procedimientos específicos de las matemáticas, destrezas

de cómputo y medición pertinentes, pero también formas de razonamiento y destrezas

16

en la construcción de modelos de naturaleza matemática, y entrenamiento y habilidades

para la formulación y resolución de problemas. Todos estos objetivos deben ser

realizados. ¿Qué se debe privilegiar estratégicamente? El dilema, para empezar, se

puede poner en términos de cuáles dimensiones de las matemáticas deben poseer un

énfasis en los procesos de enseñanza: ¿los aspectos conceptuales o aquellos de

procedimiento?

2.1.2.1. CONCEPTOS, PROCEDIMIENTOS, NATURALEZA DE LAS

MATEMÁTICAS

Para buscar una respuesta, en primer lugar, vamos a precisar los términos que usaremos.

El conocimiento conceptual es aquel que se conecta fácilmente a otro conocimiento.

Mientras tanto, el conocimiento de procedimientos, procedimental, refiere a los

símbolos y las reglas que se memorizan sin relación con el entendimiento de esos

símbolos y reglas. Estas dimensiones participan en la definición de los alcances de una

clase. Puede llamarse este último también conocimiento algorítmico. Como bien

consignan Monereo et al:

"llamamos a un procedimiento algorítmico cuando la sucesión de acciones que hay que

realizar se halla completamente prefijada y su correcta ejecución lleva a una solución

segura del problema o de la tarea (por ejemplo, realizar una raíz cuadrada o coser un

botón). En cambio, cuando estas acciones comportan un cierto grado de variabilidad y

su ejecución no garantiza la consecución de un resultado óptimo (por ejemplo,

planificar una entrevista o reducir el espacio deun problema complejo a la identificación

de sus principales elementos más fácilmente manipulables) hablamos de procedimientos

heurísticos". (Monereo et al 1998)

Procedimientos heurísticos están íntimamente asociados a conocimiento conceptual.En

las visiones más tradicionales en la Educación Matemática se afirma que lo esencial es

el dominio de los aspectos de cómputo antes de abordar los contenidos conceptuales. En

esta visión se demanda un rendimiento rápido en el arte del cómputo, y el manejo de

técnicas. Se afirma que en algún momento -siempre posterior- se tratará con los

aspectos conceptuales. Sin embargo, la mayor parte de las veces sucede que el espacio

17

destinado a los procedimientos es demasiado grande y la conexión con los conceptos,

con la comprensión, se ve profundamente debilitada.

Las visiones educativas más modernas, sin embargo, subrayan el carácter conceptual de

las matemáticas y la importancia de relacionar los conceptos con los que el estudiante

ya posee; en particular, lo que se llama el conocimiento informal que previamente los

estudiantes poseen, y su bagaje cultural. Y se apunta a la utilización de situaciones

matemáticas no rutinarias que exijan una elaboración no mecánica.

Una orientación en esta dirección empuja hacia la heurística, aplicaciones, modelos, que

conecten con los entornos sociales y físicos, recursos a la historia que permitan

evidenciar el estatus cognoscitivo de los conceptos empleados. Por supuesto,

adelantando nuestra opinión, en las matemáticas coexisten ambos tipos de

conocimiento, el punto es desarrollar una estrategia eficaz que favorezca el aprendizaje;

sin duda, los profesores deben buscar que los estudiantes establezcan las conexiones

entre el conocimiento conceptual y el procedimental.

Toda esta discusión está en correspondencia directa con la percepción que se tenga

sobre las matemáticas. Si se afirma que es, por ejemplo, un lenguaje desprovisto de

contacto con el mundo empírico, como en el Neopositivismo, las implicaciones son de

un tipo (Ayer 1936). Si el punto de vista es logicista (como en Frege o Russell) se

enfatiza la deducción, al margen de conceptos contextualizados o relaciones con el

entorno (Ruiz 1990). Si lo que se subraya son sus dimensiones formales y estructurales,

su consistencia por ejemplo (HILBERT), se plantea otra orientación (Ruiz 1990). Y otra

visión pedagógica emerge si se piensa en las matemáticas como reflejos inductivos

empíricos (MILL). Se puede pensar en las matemáticas como ciencia de patrones

abstractos (Resnik 1975 y 1982). El asunto puede ser más explícito en cuanto a los

procedimientos; como bien reporta Vilanova et al:

"Thompson (1992) señala que existe una visión de la matemática como una disciplina

caracterizada por resultados precisos y procedimientos infalibles cuyos elementos

básicos son las operaciones aritméticas, los procedimientos algebraicos y los términos

geométricos y teoremas; saber matemática es equivalente a ser hábil en desarrollar

procedimientos e identificar los conceptos básicos de la disciplina.

18

La concepción de enseñanza de la matemática que se desprende de esta visión conduce

a una educación que pone el énfasis en la manipulación de símbolos cuyo significado

raramente es comprendido." (Vilanova et al , 2001)

Otra visión de las matemáticas, cercana al constructivismo filosófico y al

cuasiempirismo (a lo ImreLakatos o recientemente Philip Kitcher o Paul Ernest; Ruiz

2003):

"Una visión alternativa acerca del significado y la naturaleza de la matemática consiste

en considerarla como una construcción social que incluye conjeturas, pruebas y

refutaciones, cuyos resultados deben ser juzgados en relación al ambiente social y

cultural. La idea que subyace a esta visión es que "saber matemática" es

"hacermatemática".

Lo que caracteriza a la matemática es precisamente su hacer, sus procesos creativos y

generativos. La idea de la enseñanza de la matemática que surge de esta concepción es

que los estudiantes deben comprometerse en actividades con sentido, originadas a partir

de situaciones problemáticas. Estas situaciones requieren de un pensamiento creativo,

que permita conjeturar y aplicar información, descubrir, inventar y comunicar ideas, así

como probar esas ideas a través de la reflexión crítica y la argumentación. Esta visión de

la Educación Matemática está en agudo contraste con la anterior." (Vilanova et al 2001)

¿Qué son, entonces, las matemáticas? Las matemáticas deben verse, ya en nuestra

opinión, como una ciencia natural aunque con características específicas (que incluso

empujan hacia una reinterpretación de lo que son las ciencias). Las implicaciones de

esto son varias: como ciencia natural, empuja una relación íntima entre las matemáticas

y el mundo material y social. En términos epistemológicos: una relación mutuamente

condicionante entre el objeto y el sujeto, una interacción de influjos recíprocos y

cambiantes. También, se plantea una relación entre las matemáticas y las otras ciencias:

una íntima vinculación teórica e histórica del conocimiento científico, lo que las hace un

instrumento imprescindible para el progreso de éstas. Nuestra perspectiva de fondo:

". las matemáticas obtienen sus nociones elementales del mundo físico que siempre

interviene y las operaciones o acciones que el sujeto realiza a partir de aquellas también

corresponden al mundo. Las abstracciones originales, las abstracciones " reflexivas"

19

(que son las que señala Piaget), y todos los diferentes tipos de abstracciones (siempre

más o menos subjetivas) están vinculados a la realidad.

En la gestación, desarrollo y utilización de los métodos de las matemáticas el sujeto

nunca deja de recibir la influencia directa del objeto. Nuestra propia naturaleza posee

características generales biológicas o físicas que corresponden al resto del universo. . los

resultados matemáticos no son simples generalizaciones inductivas ni tampoco son

réplicas mentales impresas por el objeto en un sujeto pasivo; varios factores siempre

interactúan.

La aplicabilidad o la armonía de las matemáticas con el mundo no se puede explicar con

énfasis unilaterales colocados ya sea en el papel del sujeto o en el del objeto. Para

nosotros: en algún lugar de la relación entre ambos es que se encuentra la mejor

explicación." (Ruiz 2000)

Podemos añadir que las matemáticas refieren al análisis de situaciones reales y a los

procesos para representarlas en una forma simbólica abstracta adecuada (Davis y Hersh

1981).

Si adoptamos estos últimos puntos de vista, la conclusión es tajante: el propósito de la

Educación Matemática no puede ser planteado prominentemente como la memorización

de hechos y el desarrollo de cálculos y sus destrezas asociadas. Es decir, una formación

basada en los aspectos de procedimiento, la repetición y memorización de éstos, debilita

las posibilidades para crear habilidades en el razonamiento matemático y corresponder

apropiadamente con la naturaleza de ésta como disciplina cognoscitiva.

El asunto es más grave aún: una Educación Matemática basada en procedimientos y

manipulación de símbolos (a veces sin sentido), con poca relación con los conceptos,

formas de razonamiento y aplicaciones, es un poderoso obstáculo para que los

estudiantes puedan comprender el valor y la utilidad de las matemáticas en su vida.

Es posible estar de acuerdo con una aproximación que enfatiza los aspectos

conceptuales en la formación matemática, sin embargo una cosa es declararlo y otra

cosa es realizarlo. En la mayoría de ocasiones las lecciones se desarrollan dando

dominantemente un gran espacio a la solución mecánica de ejercicios rutinarios, con

20

poca presencia de problemas o proyectos que involucren varias formas de razonamiento

o diferentes disciplinas matemáticas.

2.1.2.2. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

Los sistemas de evaluación, por ejemplo, tienden a favorecer los procesos memorísticos

y la presencia mayoritaria de los llamados problemas de un solo paso. Son comunes en

varios países, en particular en pruebas masivas, los exámenes estandarizados de

selección única que, en general, no poseen ejercicios de varios pasos mentales. No es,

por supuesto, que la metodología de la selección única en exámenes, normalmente a

corregir por lectora óptica, no pueda poseer ejercicios de una mayor complejidad.

Lo que sucede es que el sistema fomenta evaluaciones con ejercicios de un solo paso,

cargados de repetición, aplicación rutinaria y mecánica. Para dar un ejemplo: las

pruebas del Bachillerato en Costa Rica. Esto, por supuesto, a la larga condiciona los

procesos educativos de una manera más global.

La formación se restringe a contenidos y mecanismos que serán evaluados con este tipo

de estrategias de evaluación, con debilidades profundas en la profundidad y utilidad de

las matemáticas.

Otro ejemplo: en la clase se suelen evadir los problemas complejos porque éstos

requieren un tratamiento más amplio, que consume normalmente más tiempo de la

lección. Y la estructura de las jornadas educativas y los currículos, y la misma presión

de pruebas nacionales, parecieran no permitir adoptar otro tipo de estrategia.

Varios factores en los curricula dominantes de diferentes maneras apuntalan una

enseñanza conductista cargada de metodologías y didácticas preprogramadas.

Todo esto, presente en la formación matemática de muchos países, constituye uno de los

problemas más graves para que un sistema educativo pueda responder a los retos de un

planeta sometido a una extraordinaria tensión y en donde el conocimiento se ha vuelto

la piedra de toque (Ruiz 2001).

Una vez que se ha establecido el valor estratégico de los razonamientos matemáticos

abstractos, y el significado de los conceptos, el debate recae naturalmente sobre cuál

21

debería ser la mejor orientación pedagógica para lograr el aprendizaje de las

matemáticas y su mejor utilización dentro de un sistema educativo.

En lo que sigue, entonces, vamos a puntualizar algunos elementos metodológicos para

fortalecer una orientación en ese sentido. Empezamos por lo más general.

2.1.2.3. LA LECCIÓN DE MATEMÁTICAS

El desarrollo de la lección exige una evaluación cuidadosa de sus objetivos: el más

apropiado para una lección de matemáticas debe ser siempre apuntar hacia las formas de

razonamiento más general, propiamente matemáticas.

Cuando el objetivo se reduce a enseñar la solución de un problema específico o un

procedimiento particular solamente, el resultado en la formación matemática es muy

débil. Puesto de otra forma: se trata de encontrar en los aspectos específicos particulares

la estructura cognoscitiva y la dimensiones abstractas involucradas; es decir, establecer

un puente entre lo particular y lo abstracto, no quedarse en lo particular, y tampoco, por

supuesto, en solamente lo abstracto. Esto es muy importante. `

Nunca se puede perder de vista que las matemáticas son ciencias de lo abstracto; puesto

de otra manera: la disciplina de las matemáticas trabaja los aspectos más generales de la

realidad.

La intervención de los sentidos es mayor en estos últimos. Las operaciones mentales

involucradas también son otras. Las matemáticas, aunque referidas a un mundo material

y social, se han construido de manera cíclica y permanente como construcciones

cognoscitivas cada vez más alejadas del mundo sensorial. No obstante, sus formas de

razonamiento y de creación intelectual se mantienen íntimamente asociadas a otras

partes del conocimiento humano.

Para la Educación Matemática no se trata de circunscribir los contenidos y objetivos

educativos a realizar en un marco de las matemáticas consideradas como un cuerpo

abstracto, sino de conducir a los estudiantes al dominio de conceptos, métodos y

destrezas matemáticas a través de procesos pedagógicos y didácticos específicos. La

Educación Matemática no es matemática pero tampoco es educación en general.

22

El objetivo de la clase, entonces, busca fortalecer el razonamiento abstracto partiendo de

la experiencia y el contexto del alumno, el conocimiento aprendido previamente. Esto

significa el uso de escaleras y andamios apropiados. Este es el gran territorio de las

didácticas específicas de las matemáticas.

La historia de las matemáticas, las aplicaciones de las matemáticas y sus

contextualizaciones, las motivaciones, la escogencia de las situaciones educativas, los

instrumentos usados como textos o materiales audiovisuales, las tecnologías, etc., son

relevantes en este contexto.

La historia de las matemáticas puede ser usada de múltiples maneras, aunque su uso

depende de la filosofía que se asuma (Ruiz 2003). No sólo como interesantes anécdotas

o la presentación de contextos para entender las construcciones matemáticas, sino

comoun recurso para determinar incluso la lógica de un currículo, por ejemplo el orden

de presentación de algunos contenidos, o para realizar un vínculo con otras disciplinas

cognoscitivas o la cultura en general.

La historia puede ser usada para propiciar no sólo la confrontación con problemas de las

matemáticas a partir de las condiciones históricas específicas que permiten valorar el

significado de los resultados, sino también para la realización de los objetivos en la

comunicación y verbalización de conceptos y procedimientos matemáticos.

Los modelos matemáticos que permiten establecer su relación con el entorno social o

físico también permiten valorar el significado y la utilidad de las matemáticas.

Las tecnologías diversas pueden participar en este proceso no sólo para simplificar

cálculos rutinarios y simples, ofrecer más tiempo para otras formas de razonamiento,

sino también para, en algunos casos, "visualizar" matemáticas, aumentar procesos de

interacción y actividad, o potenciar las posibilidades para el enfrentamiento con

problemas matemáticos interesantes.

Las nuevas tecnologías, especialmente aquellas de la comunicación, permitirían también

abordar la interacción educativa a partir de la participación de más personas, incluso de

diferentes latitudes (lo que enriquecería el proceso de enseñanza y aprendizaje). Aquí

encuentra un sentido relevante el uso de las disciplinas dedicadas al análisis de datos

23

como la estadística y la probabilidad, que permiten la construcción de modelos sencillos

de usar en las matemáticas preuniversitarias.

2.2. HIPÓTESIS

El complemento de un enfoque pedagógico que contemple la conexión de las

matemáticas con la naturaleza incide en un deficiente aprendizaje de la misma

2.3. VARIABLES

2.3.1. VARIABLE INDEPENDIENTE

Enfoque Pedagógico – Las Matemáticas en la Naturaleza

2.3.2. VARIABLE DEPENDIENTE

Aprendizaje de las matemáticas

24

2.4. OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES

Variable Independiente: Enfoque Pedagógico – Las Matemáticas en la Naturaleza

ABSTRACTO CONCRETO

CONCEPTUALIZACIÒN CATEGORÍAS INDICADORES ÍTEMS BÁSICOS TÉCNICAS/INSTRUME

NTOS

El enfoque pedagógico se fundamenta en el concepto de

educación para la formación y

el desarrollo humano integral

y social

-Las Matemáticas en

la naturaleza

-Sucesión Fibonacci

-Fractalidad

-Animales,

-Sección aurea y plantas

-Verduras y frutas

-Rectángulos y Espirales

-¿Qué relación cree que existe

entre las matemáticas y la

naturaleza?

-¿Conoce la serie Fibonacci?

-Encuesta a los

estudiantes del Colegio

“Clemente Ponce Borja”

-Encuestas dirigidas a los

profesores de

matemáticas.

* Formulario

Estructurado

Un enfoque pedagógico es

una teoría desde la cual se

concibe un proceso y unas

estrategias de enseñanza

aprendizaje.

Proceso

enseñanza=aprendiz

aje

-Educación

-Ilustración

-¿Considera usted que la

educación les permita forjar un

mejor porvenir?

-¿Alguna vez les llevo un

profesor fuera del aula para

enseñarles matemáticas?

-¿Te gustaría a hacer camping?

Encuesta a los



* Formulario

Estructurado

25

Variable Dependiente: Incidencia en el Aprendizaje de las matemáticas

ABSTRACTO CONCRETO

CONCEPTUALIZACIÒN CATEGORÍAS INDICADORES ÍTEMS BÁSICOS TÉCNICAS/INSTRUME

NTOS

Disciplina caracterizada por

resultados precisos y

procedimientos infalibles

cuyos elementos básicos

son las operaciones

aritméticas, los

procedimientos algebraicos

y los términos geométricos

y teoremas; saber

matemática es equivalente a

ser hábil en desarrollar

procedimientos e identificar

los conceptos básicos de la

disciplina.Thompson (1992)

-Aprendizajes

-Conceptos

-Procedimientos

-Naturaleza de las

matemáticas

-¿Que beneficio considera

usted que el aprendizaje de las

matemáticas incide en su

educación?

-¿Cree que se puede aprender

matemáticas al aire libre

utilizando la naturaleza como

material didáctico?

-Encuesta a los



* Formulario

Estructurado

La concepción de

enseñanza de la matemática

conduce a una educación

que pone el énfasis en la

manipulación de símbolos

cuyo significado raramente

es comprendido." (Vilanova

et al , 2001)

-Evaluación Estrategias de

aprendizajes

-¿De los siguientes materiales

didácticos a continuación cuál

o cuáles de ellos utiliza

normalmente usted para dar sus

clases de matemáticas?

-Encuesta a los

profesores de

matemáticas.

*Formulario

Estructurado

26

CAPÍTULO III

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

3.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN

3.2. TIPO DE LA INVESTIGACIÓN

En el proceso de desarrollo del conocimiento científico, se utilizaron los siguientes tipos

de investigación:

3.2.1. CORRELACIONAL

Porque se busca con esta investigación la relación existente entre la matemática y la

naturaleza tal como planteamos el problema con las siguientes preguntas: ¿La

naturaleza fue creada en base a las matemáticas? ¿Existe relación entre los objetos de la

naturaleza y las matemáticas? Entonces ¿Con qué parte de las matemáticas las puedo

relacionar

3.2.2. BIBLIOGRÁFICA

Con el propósito de conocer, ampliar, profundizar y de deducir diferentes enfoques,

teorías, conceptualizaciones y criterios de diversos autores sobre el fenómeno a

investigar, se utilizó páginas electrónicas y enlaces web de los principales autores que

sustentaban la fundamentación de las matemáticas y la naturaleza.

3.2.3. DE CAMPO

Se aplicó la modalidad de campo por ser un método científico que permite un estudio

sistemático al tratamiento del tema garantizando efectividad en la investigación. Estudia

los hechos en el lugar en que se producen, siendo una investigación directa: de

investigadores a investigados, cuya finalidad es establecer la relación entre la

matemática y la naturaleza.

3.3. MÉTODOS DE LA INVESTIGACIÓN

Para el estudio de las matemáticas en la naturaleza se utilizaron los diferentes métodos

de la investigación:

27

3.3.1. MÉTODO DEDUCTIVO-INDUCTIVO

Se utilizó el método deductivo, que permitió partir de una premisa general del tema para

llegar al caso particular enfatizando en la teoría y en la explicación, a la vez que

permitirá teorizar los temas matemáticos para aplicarlos en la institución educativa y así

aplicar el método para instruir e incentivar a los estudiantes al amor por las matemáticas

3.3.2. MÉTODO EXPERIMENTAL

En el estudio del tema para observar los efectos en algunos productos de la naturaleza,

con el propósito de precisar resultados

3.4. POBLACIÓN Y MUESTRA

3.4.1. POBLACIÓN

La población a considerar es el Ciclo Básico del colegio Nocturno Fiscal “CLEMENTE

PONCE BORJA”, de la parroquia de Leónidas Plaza, es decir 8º, 9º, y 10º, Año de

Educación Básica, esto es 46 estudiantes en total para la realización de la encuesta a los

estudiantes, en cuanto a los profesores de matemáticas se tomó en cuenta así mismo al

100% de los profesores de matemáticas de los colegios del sector de Leónidas Plaza,

3.4.2. MUESTRA

100% del ciclo básico del colegio “Clemente Ponce Borja” = 46 estudiantes 100% de

los profesores de matemáticas del sector de Leónidas Plaza = 12 profesores

3.5. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE LA

INFORMACIÓN

3.5.1. LA OBSERVACIÓN

Para el desarrollo de la investigación se utilizólos sentidos de la vista, laaudición, el

olfato, el tacto y el gusto, con los que se realiza observaciones yacumula hechos que

ayudarona la identificación de la matemática como a su posterior resolución que tiene

en relación a la naturaleza.

28

Entre los elementos de la observación está el investigador, el objeto de estudio que es la

matemática y la naturaleza. Se utilizó los instrumentos como Fichas de observación.

Los resultados de la investigación están descritos en forma cualitativa y cuantitativa, de

acuerdo con los objetivos y apoyada en el marco teórico, para llegar a las conclusiones

de los objetivos específicos las mismas que contribuyeron al desarrollo del tema.

3.5.2. LA ENCUESTA

Se ha considerado a la encuesta como un método para recolectar los datos necesarios

para recabar información veraz y oportuna para recoger la información que los

estudiantes del colegio “Nicolás Clemente Ponce Borja” tienen para el éxito de este

trabajo de investigación. Este método ha permitido explorar sistemáticamente lo que los

estudiantes saben, sienten, profesan o creen.

Ha representado una serie preguntas y respuestas de los entrevistados que se limitan a

las categorías dadas previamente

Se hará un cuestionario con respuestas preestablecidas donde se sugiere al entrevistado

a situarse, pero no se le dará la posibilidad de explicar lo que piensan puesto que son

preguntas cerradas.

29

CAPÍTULO IV

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS

4.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

4.1.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADO DE LAS ENCUESTAS

4.1.1.1. ENCUESTAS REALIZADAS A LOS ESTUDIANTES

30

1) Considera usted que la educación les permitirá forjar un mejor porvenir

Tabla No. 4.1. Pregunta Nº 1 – Estudiantes

Figura 4.1. Representación Porcentual sobre la opinión de los estudiantes acerca del futuro de su educación

Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º. Y 10º. Año de básica del Colegio Mixto

Nacional “Clemente Ponce Borja”

Elaborado por: Roque Ureta Santos

Análisis.- Según los resultados obtenidos 32 de los 46 estudiantes encuestados que

representa el 70% está totalmente de acuerdo que la educación será la fuente de un

mejor porvenir en su futuro, junto a un número menor que este, 13, representando el

28% está de acuerdo con la apreciación dada, cabe destacar que deliberadamente se les

ubicó estas dos opciones para notar el grado de aceptación hacia el estudio, 1 solo

estudiante está en desacuerdo que constituye el 2%, y cero estudiantes están en total

desacuerdo.

Interpretación.- De acuerdo a la pregunta establecida a los estudiantes se nota que

están convencidos que el estudio y solamente el estudio les permitirá forjar un mejor

porvenir para sus vidas y las de los suyos, esto es bueno porque según datos recopilados

verbalmente la campaña educativa constante y continua ha retocado un efecto positivo

en la mayoría de los jóvenes

En total desacuerdo

0%

En desacuerdo2%

De acuerdo28%

Totalmente de acuerdo

70%

¿Considera usted que la educación les permitirá forjar un mejor porvenir?

31

2) Que beneficio considera usted que el aprendizaje de las matemáticas incide en

su educación


Figura4.2. Representación Porcentual sobre la opinión de los estudiantes acerca de la incidencia de las matemáticas en su educación


Nacional “Clemente Ponce Borja” Elaborado por: Roque Ureta Santos

Análisis.- Según los resultados obtenidos 43 de los 46 estudiantes encuestados que

representa el 94% considera que el adquirir conocimientos matemáticos incide de

manera directa en su educación es decir están de acuerdo que estudiar matemáticas

embarga un gran beneficio el 4% piensa que es de mediano beneficio el 2% poco

beneficio y el 0% que no tiene ningún beneficio ni provecho aprender matemáticas

Interpretación.- Los estudiantes están completamente conscientes de la importancia

que tiene la materia en cuestión por encima de otras materias inclusive, de la misma

manera, observando las anotaciones hacia la materia de matemáticas los estudiantes se

referían que se sigue trabajando con lo común y cotidiano que es enseñar matemáticas

en pizarra, que necesitan otro incentivo para mejorar en el interés de la misma.

De mucho beneficio

94%

Mediano beneficio

4%

Poco beneficio2%

No existe un beneficio

0%

Que beneficio considera usted que el aprendizaje de las matemáticas incide en su educación

32

3) Qué relación cree usted que existe entre las matemáticas y naturaleza

Tabla No. 4.3: Pregunta Nº 3 – Estudiantes

Figura 4.3. Gráfico porcentual acerca de la relación existente entre las matemáticas y la

naturaleza Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º. Y 10º. Año de básica del Colegio Mixto



Análisis.- se pretende indagar en el estudiante para pesar el grado de relación entre la

naturaleza y las matemáticas por tal virtud los estudiantes respondieron del manera

bastante diversa, 15 estudiantes de 46 encuestados que representa el 33% creen que

existe “MUCHA” relación entre las ciencias exactas y la naturaleza.

12 Estudiantes que representan el 26% reconocen que no saben si existe alguna

conexión entre lo antes mencionado, el 11% de los encuestados creen que no existe

ninguna relación matemática – naturaleza, el 4% creen que existe poca relación el 17%

creen que existe algo o cierta conexión entre ellos y el 9% piensan que existe una

conexión completa entre los números, series y demás tipos de cálculos y la naturaleza.

Interpretación.- Existe un número alarmantemente elevado de estudiantes que no

saben si hay relación entre las matemáticas y la naturaleza, esto es porque nunca se les

ha hablado del vínculo existente, es triste también que los un buen número de alumnos

pienses que no existe o que haya algo o un poco de relación entre ellas, recalco que no

están siendo incentivados al reconocer la relación existente.

Casi la mitad de los chicos encuestados si suponen que exista bastante o una relación

completa, esto es gratificante por se sabe que no existe un terreno árido en el cual se

pretenda trabajar y de alguna manera cambiar la mentalidad de los estudiantes con

respecto al tema en mención.

No sé26%

Ninguna11%

Poca4%

Algo17%

Mucha33%

Completa9%

Qué relación cree usted que existe entre las matemáticas y naturaleza

33

4) Conoces la serie Fibonacci


Figura 4.4. Representación Porcentual acerca del conocimiento de ciertas series número como

la es la serie Fibonacci Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º. Y 10º. Año de básica del Colegio Mixto



Análisis.- de toda la población encuetado que son 46 estudiantes 35 que representan el

76% reconocen no saber acerca de la existencia de la serie numérica Fibonacci, en

contraste al 24% que son 11 estudiantes que afirman conocer la serie en mención.

Interpretación.- es indudable el desconocimiento general acerca de la existencia de la

serie numérica Fibonacci, pero no solamente la serie perse sino que también cualquier

clase de serie numérica, por eso es muy importante incluir en los pensum matemáticos

las series numéricas, porque estas ayudan al desarrollo del pensamiento.

Si24%

No76%

Conoces la serie Fibonacci

34

5) Crees que se puede aprender matemáticas al aire libre utilizando la naturaleza

como material didáctico


Figura 4.5. Representación Porcentual que permite conocer si el estúdiate cree que se puede utilizar a la propia naturaleza como material didáctico para aprender matemáticas


Nacional “Clemente Ponce Borja” Elaborado por: Roque Ureta Santos

Análisis.- 30 de los 46 estudiantes que fueron escogidos para realizar la encuesta

representando el 65% afirman que si se puede dar clases de matemáticas al aire libre y

que prácticamente están dispuestos a realizar un cambio en su educación

El 15% sostienen que no se puede utilizar la naturaleza o medios del cual se componen

para la enseñanza, y el 20% no saben o no están seguros de no saber nada al respecto

del tema.

Interpretación.- por lo visto y encontrado en las encuestas se observa una cosa, que si

están abiertos los estudiantes a probar nuevas experiencias en cuanto al aprendizaje de

las matemáticas y no solamente creen que sería beneficioso para ellos sino también lo

esperan como parte de su educación.

No sé20%

No15%Si

65%

Crees que se puede aprender matemáticas al aire libre utilizando la naturaleza como material didáctico

35

6) Alguna vez algún profesor les llevo fuera del aula para enseñarles matemáticas


Figura 4.6. Representación Porcentual que permite conocer si el maestro de matemáticas

alguna vez les llevo fuera del aula de clase para enseñar matemáticas. Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º. Y 10º. Año de básica del Colegio Mixto



Análisis.- El universo de esta encuesta es completo, es decir se utiliza a todos los

estudiantes del ciclo básico del colegio en mención, y de estos 43 alumnos que

representan el 93% señalan que nunca se los ha sacado de clases para enseñarles

matemáticas, y que esperan que algún momento se haga parte fundamental de su

enseñanza.

Por el contrario solamente 3 alumnos que representa el 7% señalan que si han salido

hacia la naturaleza para aprender las ciencia numérica.

Interpretación.- Por simple observación se deduce que en nuestro medio no existe ni

siquiera un laboratorio destinado para la enseñanza de las matemáticas, nos estamos

quedando estancados en el aula de clase, y por entrevista extra oficial con los

estudiantes, están dispuestos y animados a recibir sus futuras clases en la naturaleza.

Opciones F %

Sí 3 7%

No 43 93%

46 100%

Sí7%

No93%

Alguna vez algún profesor les llevo fuera del aula para enseñarles matemáticas

36

7) Le han hecho comparaciones entre lo aprendido y la naturaleza en sus clases de

matemáticas


Figura 4.7. Representación Porcentual que muestra la frecuencia con que los profesores de

matemáticas han hecho comparaciones entre lo aprendido con los elementos de la naturaleza. Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º y 10º. Año de básica del Colegio Mixto



Análisis.- En esta pregunta el 54% de los estudiantes es decir 25 de los encuestados

dicen que nunca los profesores de matemáticas les ha hecho comparaciones entre los

temas aprendidos en clases con elementos de la naturaleza ya sean estos vivos o inertes.

El 20% es decir 9 estudiantes expresan que alguna vez se les hizo comparaciones, de la

misma manera el 20% también confiesan que sus profesores les han hecho las

comparaciones pertinentes, pero solamente el 7% estamos hablando de 7 personas dicen

que siempre les han hecho las comparaciones del caso.

Interpretación.- de acuerdo a esta pregunta más de la mitad de los estudiantes no han

escuchado ninguna clase de comparación, es decir que no pueden establecer las

semejanzas que tiene nuestro entorno con lo que aprende en el salón de clases, aunque

también hablamos que un poco menos de la mitad de ellos alguna vez o muchas veces le

han hecho dichas comparaciones.

Nunca54%

Alguna vez20%

Muchas veces20%

Siempre6%

Le han hecho comparaciones entre lo aprendido y la naturaleza en sus clases de matemáticas

37

8) Te gustaría salir a hacer camping


Figura 4.8. Representación Porcentual que muestra el deseo de los estudiantes de salir

y compartir con la naturaleza

Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º y 10º. Año de básica del Colegio

Mixto Nacional “Clemente Ponce Borja”


Análisis.- 41 estudiantes de los 46 encuestados lo cual representa el 89% sostienen que

les gustaría salir a hacer camping, y un 11% no lo quieren.

Interpretación.- la gran mayoría de ellos tienen un deseo de compartir más un

ambiente campestre y un roce con la naturaleza que le rodea, eso hace prever que aún

hay respeto y complacencia por nuestra naturaleza, creen que si cambian de ambiente

del aula a la naturaleza podrán aprender de mejor manera las matemáticas.

Sí89%

No11%

Te gustaría salir a hacer camping

38

4.1.1.2. ENCUESTAS REALIZADAS A LOS PROFESORES DE

MATEMÁTICAS

Para esta encuesta se tomó en cuenta solamente profesores de matemáticas de varias

instituciones educativas de Bahía de Caráquez y Leónidas Plaza,

Los profesores de matemáticas de un colegio particular este es la Institución educativa

“La Inmaculada”, en la Universidad Laica Eloy Alfaro dos de los profesores de mayor

renombre (los cuales están impresos en los anexos), dos colegios fiscales nocturnos

como lo son el colegio Clemente Ponce Borja y el colegio nocturno Bahía de Caráquez.

Se tomó una muestra de 12 profesores de matemáticas, tomando en consideración que

en Bahía de Caráquez, ciudad relativamente pequeña con no muchas instituciones

educativas y los profesores de matemática prácticamente se dedican a tiempo completo

es decir, trabajan tanto en universidades como en colegios en diferentes horarios.

39


Tabla No. 4. 9: Pregunta Nº 1 – Profesores de Matemáticas

Figura 4.9. Representación gráfica que muestra la relación entre las matemáticas y la

naturaleza

Fuente: Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de Bahía de Caráquez Elaborado por: Roque Ureta Santos

Análisis.- de los doce profesores de matemáticas encuestados 8 que representan el 67%

piensan que existe mucha relación entre la naturaleza y las matemáticas, y 4 profesores

que representa el 33% opinan que la relación es completa, el resto de las opciones, las

cuales son ninguna, poca y algo rindieron un 0%.

Interpretación.- Esto es una buena noticia puesto que los profesores si están de acuerdo

que existe una relación intrínseca entre las matemáticas y la naturaleza, el hecho es que

en contraste con los resultados de los estudiantes que ellos no entienden bien cuáles son

las conexiones entre lo antes mencionado, opino que los profesores deben comenzar a

involucrar ya a la naturaleza en sus clases

No sé0%

Ninguna0%

Poca0%

Algo0%

Mucha67%

Completa33%

Qué relación cree usted que existe entre las matemáticas y naturaleza

40

2) Conoce usted la serie Fibonacci


Figura 4.10. Representación gráfica que muestra Si los profesores conocen la serie Fibonacci Fuente: Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de Bahía de Caráquez


Análisis.- de toda la población encuestada que son 12 profesores de matemáticas 9 que

representan el 75% que no conocen acerca de la existencia de la serie numérica

Fibonacci, en contraste al 25% que son 3 profesores que afirman conocer la serie en

mención.

Interpretación.- es indudable el desconocimiento general acerca de la existencia de la

serie numérica Fibonacci, no solamente en los estudiantes sino también en los

profesores, es por esta razón que los estudiantes tampoco conocen la serie, ni ninguna

otra clase de series numéricas.

Sí25%

No75%

Conoce usted la serie Fibonacci

41

3) De los siguientes materiales didácticos a continuación cuál o cuáles de ellos

utiliza normalmente usted para dar sus clases de matemáticas


Figura 4.11. Representación gráfica que muestra el uso de materiales didácticos en clases de

matemáticas

Fuente: Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de Bahía de Caráquez


Análisis.- de los encuestados que son 12 profesores todos ellos usan pizarra y

marcadores, 9 de ellos utilizan juegos de razonamiento lógico y matemáticos, 3 de ellos

utilizan otros tipos de materiales didácticos y solo uno de ellos utiliza fichas de dominó

u otro juego, uno de los profesores dijo que utilizaba flores u otro ser viviente para

demostrar algo en matemáticas.

Interpretación.- Es importante destacar la sinceridad con que los profesores

respondieron sus preguntas, y concuerdan en que se debe utilizar elementos prácticos de

la naturaleza, pero que en nuestro medio no existe un módulo que enseñe o explique la

manera de hacerlo, por tal virtud es bueno que se incluya en las memorias o libros o

pensum de matemáticas modelos y ejemplos de cómo utilizar elementos naturales para

impartir sus clases, de la misma manera, conocer ejemplos reales y útiles en el uso de

las matemáticas con la vida práctica.

0

2

4

6

8

10

12

14

P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6

Encu

est

ado

s

De los siguientes materiales didácticos a continuación cuál o cuáles de ellos utiliza normalmente usted para dar

sus clases de matemáticas

42

4) La aplicación de las matemáticas que usted enseña dentro del aula de clase está

orientada a…


Figura 4.12. Representación gráfica que muestra el uso de materiales didácticos en clases de

matemáticas



Análisis.- para 4 de los profesores de matemáticas es más importante resolver

ejercicios matemáticos y algebraicos, 2 de ellos prefieren enseñar para mejorar la

economía de los estudiantes 4 de los profesores encuestados enseñan destrezas para

enfrentar los problemas que tiene la vida real.

Interpretación.- Según el resultado de las encuestas a los profesores de matemáticas

les preocupa conocer de reglas y procedimientos matemáticos inclusive encaminan al

estudiante a que sean buenos con los números para hacer dinero, pero es muy

lamentable saber que nuestros profesores de matemáticas con sus enseñanzas no

encaminan a los estudiantes a preocuparse por nuestra bella naturaleza, o lo que es peor

no enseñan a enamorarse de nuestro entorno ni hacer algo por ella.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

P 1 P 2 P 3 P 4 P 5

Encu

est

ado

s

La aplicación de las matemáticas que usted enseña dentro del aula de clase está orientada a…

43

5) Con qué frecuencia realiza casos prácticos con productos de la naturaleza en su

clase


Figura 4.13. Representación gráfica que demuestra a los profesores de matemáticas usar

productos de la naturaleza para sus ejercicios matemáticos



Análisis.- solamente 2 de los 12 profesores encuestados que representa el 17% siempre

utilizan productos extraídos de la naturaleza para enseñar matemáticas , en contraste con

el 83% de ellos que raras veces han utilizado un producto natural, un 0% sostiene que

nunca han utilizado productos naturales en sus clases.

Interpretación.- como indica la pregunta el 0% de los profesores nunca han utilizado

productos, esto quiere decir que alguna vez o un día han utilizado elementos de la

naturaleza en sus clases de matemáticas.

Siempre17%

Rara vez 83%

Nunca0%

Con que frecuencia realiza casos prácticos con productos de la naturaleza en su clase

44

6) Qué tiempo dedica a su actividad de docencia en el área de matemáticas


Figura 4.14. Representación gráfica que demuestra el tiempo dedicado a impartir sus clases ya sea en la mañana o tarde o noche



Análisis.- 7 de 12 profesores trabajan una parte del día ya sea por la mañana o tarde o

noche, esto representa el 58% de los encuestados, 5 profesores de matemáticas que

representan el 42% de los encuestados trabajan dos partes del día, es decir

prácticamente dedican todo su día de trabajo a la docencia.

Interpretación.- En esta pregunta se quiso descubrir el tiempo que dedican los

profesores de matemáticas a sus labores cotidianas educativas, hace algunos años atrás

los profesores solían cumplir tres partes del día en sus labores de enseñanzas ahora

como vemos algunos casi la mitad de ellos dedican una parte o dos, pero ninguno tres.

Una parte del día

58%

Dos partes del día

42%

Tres partes del día0%

Qué tiempo dedica a su actividad de docencia en el área de matemáticas

45

7) Cree usted que lograría un aprendizaje significativo con sus estudiantes si

emplea ejemplos de las matemáticas relacionándola con la naturaleza


Figura 4.15. Representación gráfica que muestra la visión de los profesores de matemáticas en

cuanto a los ejemplos y relaciones en sus clases


Análisis.- el 100% de los encuestados están de acuerdo con que si se lograría un

aprendizaje significativo si se utilizará elementos de la naturaleza,

Interpretación.- No es difícil entender que todos los profesores están completamente

de acuerdo con la pregunta en cuestión.

Si100%

No0%

Cree usted que lograría un aprendizaje significativo con sus estudiantes si emplea ejemplos de las matemáticas

relacionándola con la naturaleza

46

8) La naturaleza de su entorno ofrece productos que sirven como ejemplos reales

para dar una explicación en su clase


Figura 4.16. Representación gráfica que afirman el ecosistema de la zona de bahía de Caráquez

es propicia para la enseñanza de las matemáticas y su relación con la naturaleza


Análisis.- En esta pregunta el 100% de los encuestados es decir los doce profesores de

matemáticas saben que nuestro entorno ofrece una variedad de ejemplos para mostrar en

el aula de clase.

Interpretación.- Los profesores de matemáticas de nuestra localidad saben que pueden

utilizar cualquier elemento de la naturaleza unos piensan esto porque la naturaleza es

todo, o porque ofrece buenos y bastante material, porque ofrece ejemplos en casos

prácticos, porque se ven en las figuras geométricas, lograría también mayor interés en

los estudiantes y mejor participación de ellos, conocen también que muchos temas

presentan ejes transversales que se ven en la naturaleza.

Sí 100%

No0%

No se0%

La naturaleza de su entorno ofrece productos que sirven

como ejemplos reales para dar una explicación en su clase

47

9) Con qué frecuencia realiza trabajo de investigación de campo junto con sus

estudiantes para verificar la relación de la matemática con la naturaleza


Figura 4.17. Representación gráfica que demuestra la frecuencia del trabajo de investigación

de los profesores de matemáticas con sus estudiantes. Fuente: Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de Bahía de Caráquez


Análisis.- El 25% de los profesores encuestados confiesan que nunca realizaron un

trabajo de investigación de campo para relacionar las matemáticas y la naturaleza a sus

estudiantes el 42% cuando el caso lo amerite, el 335 afirman que eventualmente lo

hacen, pero lo alarmante es que ninguno de los profesores encuestados hacen este tipo

de investigación campo con los estudiantes de manera regular.

Interpretación.- Si el 42% de los docentes afirma que hacen investigación únicamente

cuando el caso lo ameritase observa que casi la mitad de lo docente no incrementan sus

conocimientos, lo cual afecta de manera negativa al desarrollo evolutivo de la educación

de nuestro país, ningún maestro docente hace investigación de manera continua para

mejorar el desarrollo enseñanza – aprendizaje.

Nunca25%

Cuando el caso lo amerite

42%

Eventualmente33%

Siempre0%

Con que frecuencia realiza trabajo de investigación de

campo junto con sus estudiantes para verificar la relación de la matemática con la naturaleza

48

4.1.1.3. COMPROBACIÓN DE HIPÓTESIS

Según lo verificado, en la tabla comprobación de Hipótesis, se puede apreciar que la

hipótesis previamente dada esta confirmada en un 82%, esto da pie a que si se

introdujera a la naturaleza como recurso didáctico y comparativo, se agregaría un

elemento adicional en la educación, esta es el amor a los números y la naturaleza,

aparentemente se observa la disposición de los maestros a incursionar en nuevos

métodos de enseñanza aprendizaje como es la inclusión de la naturaleza en sus

enseñanzas. Por tal motivo la comprobación de hipótesis nos confirma que el proyecto

es completamente viable y aplicable

49

CAPÍTULO V

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1. CONCLUSIONES

En la naturaleza se encuentra una relación completa con los números ya sea en la

formación del caracol donde se aprecia la serie Fibonacci, o en la cría de los

conejos, en las plantas por ejemplo la col de Bruselas se ve claramente la

fractalidad en ellos, las series numéricas y cálculos matemáticos se ven

reflejados en toda la naturaleza.

Las matemáticas y la naturaleza están profundamente relacionadas. Encontrar

sus vínculos tiene algo de misterioso y reconfortante como cuando percibimos la

secuencia de Fibonacci en los árboles que nos rodean.

La inclusión del estudio de la naturaleza en la matemática genera en el

estudiante curiosidad y sed de conocimientos, es decir quiere saber más, esto da

hincapié para que las matemáticas dejen de ser aburridas en el ámbito estudiantil

sino que sea de agrado para ellos

Por todo lo visto aprendido, estudiado e investigado, se nota que el estudio de

las matemáticas utilizando un enfoque académico con la naturaleza, hará que los

estudiantes se entusiasmen, y les guste mejor el aprendizaje de las matemáticas,

por medio de este estudio se puede ver claramente que los estudiantes

aprenderán de mejor manera y amarán la naturaleza.

Nuestro sistema educacional está mejorando, indudablemente y es una gran idea

incluir esta relación existente entre las matemáticas y la naturaleza, recordemos

que los profesores debían trabajar en varias instituciones para poder solventar su

economía, pero con el alza de sueldos ya no necesitan hacerlo, y eso hace que

tengan más tiempo para preparar mejor sus clases y actualizarse.

La mayoría de los profesores de matemáticas no tienen conocimiento de la

existencia de series como la de Fibonacci o acerca de la fractalidad, se han

sectorizado en el uso de Baldor en su gran mayoría y por medio de esto se intuye

que la investigación sobre nuevas formas de manejo de la educación matemática

50

no crece por la apatía de los profesores de matemáticas en los colegios del sector

de Bahía de Caráquez.

Algo interesante acerca de la investigación es que los maestros de matemáticas

han coincidido en la importancia de utilizar materiales didácticos tales como

elementos de la naturaleza y por el otro lado el internet, que posee herramientas

esenciales como los audiovisuales o el WebQuest.

La zona de la investigación en cuestión posee una posición geográficamente

privilegiada, en la cual de manera relativamente fácil se puede acceder a una

gran cantidad de elementos naturales muy útiles para hacer comparaciones entre

su materia y la naturaleza propiamente dicha.

La inclusión de las matemáticas en la naturaleza y la materia de matemáticas per

se tiene un cien por ciento de apoyo por los maestros, puesto que para ellos

inclusive, le permite darle un aire fresco a tan complicada materia como lo es la

matemática.

51

5.1.2. RECOMENDACIONES

Ya que existen muy pocos datos acerca de la relación existente entre las matemáticas

como tal y la naturaleza, y mucho menos un proyecto en el cual se integre nuestro

habitad y la ciencia de los números como material didáctico para enseñar las ciencias

exactas, el proyecto pretende incentivar al estudiante hacia el amor de las ciencias

precisas por medio de este extenso y gratuito recurso como lo es nuestro ecosistema

para hacer ejemplos y comparaciones.

Es por esto que los profesores de matemáticas de nuestro medio deben hacer que el

estudiante sienta una atracción hacia los números así como un apego y respeto hacia

nuestro gran hogar como lo es nuestra madre tierra.

A los profesores de matemáticas que comiencen a buscar conexiones y ejemplos

de los temas a los cuales ellos trabajan/enseñan y crear un plan de enseñanza

aprendizaje llevando al estudiante al entorno natural y mostrar con ejemplos de

la naturaleza el ejercicio aprendido en el salón de clase.

Buscar información en la web acerca de las matemáticas en la naturaleza y que

no se dedique a resolver ejercicios matemáticos y algebraicos solamente y

acercar a los estudiantes al respeto y mantenimiento de la naturaleza.

Es importante que se incluya en el pensum de estudios de matemáticas las series

lógicas con relación directa en la naturaleza, puesto que la investigación del

presente proyecto arrojó resultados sorprendentes en cuanto a la aceptación que

tiene esta variable no solamente en los profesores sino también en todos los

alumnos que quieren aprender a manejar los números.

Los maestros deberían de visitar el entorno natural de la zona de Bahía de

Caráquez, y buscar nuevas formas de relacionar la naturaleza con la materia de

matemática, buscar relacionar los temas que está implementando en su aula de

clase para así aumentar el deseo del aprendizaje de las matemáticas en su lugar.

Para mejorar el aprendizaje de las matemáticas los maestros deben utilizar

herramientas como la WebQuest para darle más opciones de estudios a los

estudiantes de hoy en día, esta es una herramienta que orienta al estudiante hacía

la investigación.

52

Renovar eventualmente la manera de cómo se enseña matemática, llevar al

estudiante al medio ambiente, sacarle del aula de clase para aprender de una

manera más animada y a la vez aprendiendo a amar el entorno natural que le

rodea es una buena estrategia para incentivar al estudiante y animarle al estudio

de las matemáticas

De cierto modo es importante utilizar los números para mejorar la económica de

los estudiantes, pero también amar y respetar nuestro entorno.

53

CAPÍTULO VI

LA PROPUESTA

6.1 TEMA DE LA PROPUESTA

WebQuest: Las matemáticas en la naturaleza; la serie Fibonacci

6.2 JUSTIFICACIÓN

Existen muy pocos datos acerca de la relación existente entre las matemáticas como tal

y la naturaleza, y mucho menos un proyecto en el cual se integre nuestro hábitat y la

ciencia de los números como material didáctico para enseñar las ciencias exactas, el

proyecto pretende incentivar al estudiante hacia el amor de las ciencias precisas por

medio de este extenso y gratuito recurso como lo es nuestro ecosistema para hacer

ejemplos y comparaciones.

Cabe mencionar que no solamente el estudiante sentirá una atracción hacia los números

sino también un apego y respeto hacia nuestro gran hogar como lo es nuestra madre

tierra.

La creación de una WebQuest como una herramienta de material didáctico para la

investigación y aprendizaje de los estudiantes, ya que desde la aparición del internet las

tareas investigativas de los estudiantes dieron lugar a un término muy subjetivo“Copia

& Pega”, por este motivo y a la par del desarrollo de la revolución educativa que Bernie

Dodge creó se cree que esta herramienta será de mucha utilidad a los maestros de

matemáticas de la localidad de Bahía de Caráquez

Es por esto que la presente propuesta tiene como motivo principal incentivar al

estudiante a inclinarse a la investigación real como medio para obtener mejores

resultados académicos y real entendimiento de la relación entre las matemáticas y la

naturaleza, además de conocer el nivel de conocimientos hacia las series numéricas, el

afecto hacia la naturaleza, y por medio de ello crear una propuesta que involucre estas

tres variables: Los Números, la Naturaleza y los estudiantes que fusionados lleguen a

una intersección de conocimiento ameno.

54

Figura No. 4.8. Gráfico Conocimiento Ameno


6.3 OBJETIVOS

GENERAL

Conocer la relación directa entre las matemáticas y la naturaleza estudiando la serie

Fibonacci utilizando herramientas modernas educativas como la WebQuest

ESPECÍFICOS

Aprender la serie Fibonacci, su historia y relación con la naturaleza

Aprender a calcular el número de oro y la divina proporción, y en qué lugares de

la naturaleza los encontramos

Conocer la biografía de Leonardo de Pisa

Utilizar herramientas como la WebQuest para resolver talleres acerca del tema

en cuestión

Generar una guía didáctica para el uso de esta WebQuest por parte de cualquier

docente

CONOCIMIENTO AMENO

Números

Naturaleza Estudiantes

55

6.4. POBLACIÓN OBJETO

La población objeto está dada por los estudiantes de noveno año de educación básica del

Colegio Nacional Mixto “Clemente Ponce Borja”

6.5 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

6.5.1. WEBQUEST

Una WebQuest es una técnica de aprendizaje por descubrimiento guiada por el docente

sin que el alumno así lo sienta, es una herramienta que planifica la investigación en el

internet dejando que el estudiante construya su aprendizaje con la dirección y

supervisión implícita del docente. La WebQuest se la localiza en el internet para guiar la

investigación realizada por el estudiante y así lograr que el estudiante en mención

obtenga los conocimientos requeridos.(YouTube.com, 2009)9

6.5.2. HISTORIA DE LA WEBQUEST

La WebQuest fue creada por el profesor Bernie Dodge de la Universidad Estatal de San

Diego en San Diego California, denominado el “Frank Lloyd Wright de los Ambientes

de Aprendizaje” por la revista “EducationWorld” Bernie Dodge es un profesor de

Tecnología Educativa es reconocido como uno de los 30 innovadores más importantes e

tecnología Educativa en los Estados Unidos.

La WebQuest nació cuando el Profesor Bernie Dodge estaba dictando un curso sobre

una simulación educativa llamada “Arquetipo” entonces decidió preparar el material

para que los maestros trabajaran en grupo y determino las partes esenciales de la

WebQuest, él se dio cuenta que había diseñado una nueva forma de enseñar y le

encantó.(Starr, 2002)10

9Tomado de YouTube.com, Fuente: http://www.youtube.com/watch?v=ctWH3QitTIk

10Tomado de Editeka.com; Autor: STARR, linda, Fuente: http://www.eduteka.org/reportaje.php3?ReportID=0011

56

6.5.3. PARTES EN QUE SE COMPONE UNA WEBQUEST

Una WebQuest se compone básicamente de: Introducción, Tarea, Proceso, Recursos,

Evaluación, Guía Didáctica.(Moreira, 2009)11

Introducción: Es la información necesaria que el alumno necesita conocer antes de

iniciar el proceso de investigación, esta debe mostrar una actividad atractiva y divertida,

orienta al alumno sobre la actividad e incrementa el interés.

Tarea: Orienta al alumno sobre el producto final que deberá realizar, describe

claramente del resultado final

Procesos: Da las pautas que organizan paso a paso la actividad del alumno, es la parte

fundamental para los alumnos.

Recursos: Es la listas de sitios web evaluados y seleccionados con previamente por el

docente.

Evaluación: La importancia de conocer los criterios y aspectos de la evaluación por

parte de los alumnos desde el principio de las WebQuest.

Conclusión: lo que han aprendido los alumnos y lo que pueden mejorar

6.5.4. BIOGRAFÍA DE LEONARDO DE PISA

En el siglo 12 existía un niño llamado Leonardo, quien nació en Italia, pero creció en

Argelia en África y a quién le encantaba jugar con los números. Leonardo había

aprendido de su padre los números romanos: I,V,X,V, pero en Argelia aprendió los

números arábigos: 1,2,3,4,5 y comprendió que estos números le daban más

posibilidades que los romanos. Su sueño era volver a Italia y enseñar a las personas a

utilizar estos números.(Hispanos, 2009)12

11

Citado por MOREIRA, Manuel Angel, Fuente: http://webpages.ull.es/users/manarea/webquest/componentes.htm 12Tomado de PadresHispano.com Fuente: http://padreshispanos.com/proyectos_para_nios

57

Leonardo escribió varios libros sobre matemáticas y en ellos utilizó el nombre de su

padre Bonacci y la palabra hijo que en latín se dice filius y las combinó en una nueva

palabra: Fibonacci.

Leonardo introdujo en Europa una serie de conceptos matemáticos que se conocían en

la India desde la antigüedad entre ellos la famosa serie que se conoce como los

"números de Fibonacci". Aquí presentamos como funciona esta secuencia:

0+1=1

1+1=2

1+2=3

2+3=5

3+5=8

5+8=13

8+13=21 ….

¿Cómo se presentan los números de Fibonacci en la naturaleza?

En muchos ejemplos de naturaleza, nos encontramos con los números de Fibonacci.

Uno de ellos es la forma en que se ordenan las semillas en el girasol de la fotografía. Si

cuentas bien los espirales que se forman hacia la derecha y hacia la izquierda, verás que

hay 34 curvas en un sentido y 21 en el otro: ambos son números consecutivos de la

sucesión de Fibonacci.

También podremos observar los números de Fibonacci en el estudio de poblaciones

idealizadas de conejos (el ejemplo inicial que usó Fibonacci), vacas y abejas; en el

número de espirales que forman los granos de frutos como las piñas de pino; en el

ordenamiento de las hojas en una rama. (Neoteo, 2009)13

La razón por la que los números de Fibonacci pueden encontrarse en tantos ejemplos de

la naturaleza, se relaciona estrechamente con el nexo que existe entre esta sucesión y el

número áureo. Como lo explica el profesor y matemático inglés, Dr. Ron Knott

(Universidad de Surrey, Reino Unido):

13Tomado de neoTeo.com, Fuente: http://www.neoteo.com/la-sucesion-de-fibonacci-en-la-naturaleza

58

"¿Por qué encontramos el número Phi tantas veces, al estudiar el crecimiento de las

plantas? La respuesta está en los empaques (packings): encontrar la mejor manera de

ordenar los objetos para minimizar espacio perdido. Si te preguntaran cuál es la mejor

forma de empacar objetos, seguramente responderías que depende de la forma de los

objetos, ya que los objetos cuadrados quedarían mejor en estructuras cuadradas,

mientras que los redondos se ordenan mejor en una estructura hexagonal. (…) Pero,

¿cómo ordenar las hojas alrededor de un tallo, o las semillas en una flor, cuando ambas

siguen creciendo? Al parecer, la Naturaleza usa el mismo patrón para disponer las

semillas en una flor, los pétalos en sus bordes, y el lugar de las hojas en un tallo. Aún

más, todos estos ordenamientos siguen siendo eficaces a medida que la planta crece.

Este patrón corresponde a un ángulo de rotación a partir del punto central, mediante el

cual los nuevos elementos (hojas, pétalos) se van organizando a medida que crecen".

(Neoteo, 2009)14

6.6. LISTADO DE CONTENIDOS TEMÁTICOS

WebQuest

O Introducción

O Tarea

O Proceso

O Recurso

O Evaluación

O Guía Didáctica

Plan de Clase usando como recurso la WebQuest

6.7 DESARROLLO DE LA PROPUESTA

6.7.1. WEBQUEST

TEMA: Las Matemáticas y la Naturaleza

OBJETIVO

Conocer la relación directa entre las matemáticas y la naturaleza estudiando la serie

Fibonacci utilizando herramientas modernas educativas como la WebQuest

14Tomado de neoTeo.com, Fuente: http://www.neoteo.com/la-sucesion-de-fibonacci-en-la-naturaleza

59

DURACIÓN: 10 horas repartidas en dos horas diarias (1 semana)

PARTICIPANTES:

Estudiantes de Noveno año de educación básica

DIRIGIDO A:

Estudiantes y profesores de matemáticas de noveno año de educación básica

TIEMPO ACTIVIDAD METODOLOGÍA RESPONSABLE RECURSOS

40 „ Ver el video con

la información

sobre la serie

Fibonacci en la

naturaleza

Ingresar a la

página web para

resolver el

WebQuest

Resolver las

tareas

Clase dinámica

Profesor de 9no.

Año de educación

básica

Internet

Plantas

Papel

Video

DESARROLLO DEL WEBQUEST

EXPOSICIÓN DE CONTENIDOS

Puedes utilizar un material didáctico muy interesante que es llamado WebQuest, sigue

el siguiente link: http://www.cepdeorcera.org/majwq/wq/ver/1736 aquí encontraras un

material bonito en interesante para aprender más acerca de la serie Fibonacci.

http://www.cepdeorcera.org/majwq/wq/ver/1736

60

6.7.1.1. INTRODUCCIÓN


Probablemente cuando miramos a nuestro alrededor, específicamente la naturaleza, nos

maravillamos de su hermosura, las figuras que en ella se vislumbran, esa perfecta

combinación de colores e imágenes que a más de un fotógrafo le fascina capturar y que

nos permiten soñar, que nos cambian el ánimo, que relaja nuestra mente, y nos anima a

recordar eventos buenos de nuestra vida.

Si miramos un poquito más allá de los colores y la belleza, la imponencia y la

majestuosidad, veremos que cada objeto animado o inanimado está conformado en

prácticamente su totalidad de figuras, triángulos en algunos árboles, círculos perfectos

en las estrellas, planetas, el sol, o la luna, rectángulos, cuadrados y la combinación de

ellos para crear nuevas formas.

Los patrones y series matemáticas se repiten constantemente en todas las creaciones

naturales animadas o inanimadas, en este WebQuest vamos a analizar:

La maravillosa conexión entre las matemáticas y la Naturaleza,

La series de Sucesión de Fibonacci

61

Suerte y adelante

6.7.1.2. TAREA

Estos son los objetivos de este trabajo:

Estudiar las sucesiones matemáticas.

Investigar quién fue Fibonacci y cuál fue su aporte.

Investigar la sucesión de Fibonacci, como se calcula y cuál es el número de oro.

Investiga cómo se refleja la serie Fibonacci en la Naturaleza (plantas, nubes,

etc), en el cuerpo humano y en el mundo microscópico.

Relacionar el número áureo con la sucesión de Fibonacci.

Obtener conclusiones de todo tu trabajo de investigación

Para realizar este trabajo pueden formar grupos de 3 personas, y en la misma

computadora donde se encuentran crearán un documento en Word donde plasmen su

informe para después realizar una presentación en PowerPoint con no menos de 20

diapositivas.

Tarea 1.

Crear una carpeta en Mis Documento con el nombre del grupo y dentro de ella otra

carpeta con el nombre de recursos, almacenarán allí toda la información recopilada,

sobre las sucesiones matemáticas, la serie Fibonacci, cómo se calcula el número de oro,

62

y quién fue Fibonacci y cuál fue su aporte. Utilice los enlaces a sitios web que se

encuentran en la sección de recursos. El objetivo de esta tarea es que realice un

documento en Word respondiendo las preguntas propuestas.

Tarea 2

Después de consultar todos los enlaces de páginas web y videos en la sección de

recursos deberás responder las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es el nombre de Fibonacci y cuál fue su aporte?

2. ¿Cómo se construye la serie Fibonacci?

3. ¿Cómo se calcula el número de oro?

4. ¿En qué plantas se observa la serie Fibonacci?

5. ¿En qué animales marinos se percibe la serie Fibonacci?

6. ¿Cuál es la relación entre el número áureo y la sucesión Fibonacci?

7. Investiga los diferentes elementos que se encuentran en la naturaleza y el cuerpo

humano donde puede encontrarse la sucesión de Fibonacci. Busca ejemplos de

ese tipo en Internet y captura varias imágenes.

63

Tarea 3

Realice una exposición oral entregando su informe impreso hecho en Word y

proyectando una presentación creada en PowerPoint con los resultados de su

investigación en frente de todos sus compañeros.

No olvides:

Que encontrarás suficientes enlaces en la pestaña de recursos para realizar tu

investigación, así mismo puedes también utilizar motores de búsqueda como Google, y

por supuesto puedes buscar libros en bibliotecas.

¿Qué esperas?

A Trabajar!!!...

6.7.1.3. PROCESO

Para llevar a cabo cada una de las tres tareas deben organizarse de la siguiente forma:

Formarán grupos de 3 compañeros en una sola computadora.

Lean con mucha atención la Introducción y las Tareas y comenten entre ustedes

lo que se pide:

Estar bien claros en lo que se les pide:

64

o Lo primero que tienen que ver es qué se pide en el trabajo, es decir la

TAREA

o Segundo, cómo lo deben realizar eso lo encuentran en la pestaña da de

RECURSOS.

o Y muy importante lo que se les va a evaluar es decir en la pestaña

(EVALUACIÓN)

Después van a ir viendo cada una de las webs y los enlaces que se les facilita en

la pestaña RECURSOS para el desarrollo de las tareas que se les está pidiendo.

Elaboración de la tarea 1: En el esquema de la tarea 1 deben recogerse las

características y propiedades de las sucesiones y progresiones, tanto aritmética

como geométrica, así como todo aquello que consideren de interés, no olvidar

como se calcula el número de oro, los aportes de Fibonacci.

Elaboración de la tarea 2: deben contestarse todas las preguntas que se recogen

en la tarea 2. En las preguntas de investigación y ejemplos pueden extenderse

todo lo que quieran.

Elaboración de la tarea 3: en la exposición deben de recogerse todos aquellos

aspectos que les parezca más interesantes y curioso.

Al Final de cada sesión: Al finalizar cada sesión guarden su trabajo en una

carpeta con el nombre del grupo y dentro del informe los nombres de cada

miembro.

Recomendación: Para las tareas 1 y 3 no intenten extenderse mucho. Poco texto

e ideas claras y esquematizadas, es mucho mejor.

6.7.1.4. EVALUACIÓN

La evaluación de esta actividad constará de tres apartados:

Evaluación del trabajo individual dentro del grupo: basada en las

observaciones que realizará el profesor mientras desarrollan las distintas tareas y

que dará lugar a una calificación individual.

Evaluación del trabajo final del grupo: dará lugar a una calificación común

para los componentes del grupo.

65

Evaluación de la presentación oral: el profesor calificará cada intervención

individual y la creatividad del grupo.

La evaluación global de la actividad será un promedio de estos tres apartados.

Los diferentes aspectos evaluados en cada caso se detallan en las siguientes matrices de

evaluación:

Evaluación del Trabajo en grupo

Nota: Rúbrica evaluativa tomada de Eduteka.com15

Calificación /

Criterio

Excelente

(4)

Bien

(3)

Satisfactorio

(2)

Mejorable

(1)

Preparación y

predisposición

Trae el material

necesario y siempre

está listo para trabajar.

Casi siempre trae

el material

necesario y está

listo para trabajar.

Casi siempre trae

el material

necesario, pero

algunas veces se demora

en trabajar.

A menudo olvida

el material

necesario o no

está listo para trabajar.

Participación Proporciona siempre

ideas útiles cuando

participa en el grupo y

en la discusión en

clase.

Por lo general,

proporciona ideas

útiles cuando

participa en el

grupo y en la

discusión en clase.

Algunas veces

proporciona ideas

útiles cuando

participa en el

grupo y en la


Rara vez

proporciona ideas

útiles cuando

participa en el

grupo y en la


Puede negarse a

participar.

Actitud Nunca critica

públicamente el trabajo de los otros.

Siempre tiene una

actitud positiva hacia

él.

Rara vez critica

públicamente el trabajo de los

otros. A menudo

tiene una actitud

positiva hacia él.

Ocasionalmente

critica en público el trabajo de los

otros. Tiene una

actitud positiva

hacia él.

Con frecuencia

critica en público el trabajo de los

demás. Raramente

tiene una actitud

positiva hacia él.

Resolución de

problemas

Busca y sugiere

soluciones a los

problemas.

Mejora

las soluciones

sugeridas por

otros.

No sugiere ni

mejora las

soluciones, pero

está dispuesto a

admitir soluciones

ajenas.

No trata de

resolver

problemas o

ayudar a otros a

resolverlos. Deja a

los demás hacer el

trabajo.

Concentración

en el trabajo

Se mantiene centrado

en el trabajo que se

necesita hacer.

La mayor parte

del tiempo se

centra en el

trabajo que se

necesita hacer.

Otros miembros

del grupo pueden

contar con esta

persona.

Algunas veces se

centra en el

trabajo que se

necesita hacer.

Algunas veces,

otros miembros

del grupo

deben regañarle y

recordarle que se

Raramente se

centra en el

trabajo que se

necesita hacer.

Deja que otros lo

hagan.

15Tomado de eduteka.com, Tipos de Rúbricas evaluativas, Fuente: http://www.eduteka.org/proyectos/RubricPresentacion.php3

66

mantenga centrado.

Utilización del

tiempo

Utiliza bien el tiempo

durante todo el

proyecto para asegurar

que las cosas estén

hechas a tiempo. El

grupo no tiene que

reajustar la fecha

límite o trabajar en las

responsabilidades por

la demora de esta persona.

Utiliza bien el

tiempo durante

todo el proyecto,

pero pudo haberse

demorado en

algún aspecto. El

grupo no tiene que

reajustar la fecha

límite o trabajar

en las responsabilidades

por la demora de

esta persona.

Tiende a

demorarse, pero

siempre tiene las

cosas hechas para

la fecha límite. El

grupo no tiene que

reajustar la fecha

límite o trabajar

en las

responsabilidades por la demora de

esta persona.

Rara vez tiene las

cosas hechas para

la fecha límite y el

grupo ha tenido

que reajustar la

fecha límite o

trabajar en las

responsabilidades

de esta persona

porque el tiempo ha sido gestionado

inadecuadamente.

Control de la

calidad en el

trabajo

Frecuentemente

controla la eficacia del

grupo y hace

sugerencias para que

sea efectivo

Frecuentemente

controla la

eficacia del grupo

y trabaja para que

el grupo sea más

efectivo

Ocasionalmente

controla la

eficacia del grupo

y trabaja para que

éste sea más

efectivo

Rara vez controla

la eficacia del

grupo y no trabaja

para que éste sea

más efectivo

Desempeño

del rol

Cumplió

exhaustivamente todas

sus responsabilidades

Cumplió con

todas sus

responsabilidades

Casi siempre

cumplió con sus

responsabilidades

A veces

cumplió sus

responsabilidades

Para la evaluación del trabajo Final

Calificación

/

Criterio

Excelente

(4)

Bien

(3)

Suficiente

(2)

Mejorable

(1)

Trabajo en

Grupo

El trabajo se ha

desarrollado

cooperativamente,

repartiendo de

forma equilibrada

las funciones y

planificando las

tareas. Cada uno

desarrolló su rol a la perfección.

El trabajo se ha

desarrollado con un

reparto adecuado de

funciones, acatando

los roles definidos

El trabajo se ha

desarrollo con un

inadecuado reparto de

funciones y escasa o

nula planificación.

El trabajo se ha

desarrollado de

forma

prácticamente

individual, sin

acatar los roles

correspondiente

s.

Cantidad de

Información

Toda la información

es correcta. Todos

los temas han sido

tratados y todas las

preguntas contestad

as

Casi toda la

información es

correcta. Todos los

temas han

sido tratados y la

mayor parte de las

preguntas contestad

as

Hay alguna

información que no es

correcta. Todos los

temas han sido tratados

pero la mayor parte de

las preguntas fueron

contestadas escuetame

nte

Hay

información

incorrecta. Uno

o más temas no

están tratados.

Redacción No hay errores de

gramática,

ortografía o puntuación.

Casi no hay errores

de gramática,

ortografía o puntuación.

Hay pocos errores de

gramática, ortografía o

puntuación.

Hay muchos

errores de

gramática, ortografía o

puntuación.

Organizació

n y

claridad

La información está

muy bien

organizada. Cada

sección incluye una

La información está

organizada

Casi todas las

secciones incluyen

La información, en

general no ha sido bien

organizada. La mayor

parte de las

La información

proporcionada

no parece estar

organizada.

67

introducción, un desarrollo y una

conclusión clara.

una introducción, un desarrollo y una

conclusión clara.

secciones incluyen una introducción, un

desarrollo y una

conclusión clara.

Más de la mitad de las

secciones no

incluyen una

introducción,

un desarrollo y

una conclusión

clara.

Diseño La presentación

tiene un formato

muy atractivo. Hay

una buena combinación de

texto y gráficos

La presentación

tiene un

formato atractivo.

Hay gráficos que no añaden comprensión

al texto.

La presentación tiene

un formato escasamente

atractivo. Hay una

buena combinación de texto y gráficos.

La presentación

tiene un

formato poco

atractivo y confuso. No

hay buena

combinación de

texto y gráficos

Uso de las

TIC

Usa con éxito los

enlaces sugeridos

para encontrar

información, y

navega a través de

los sitios fácilmente

y sin ayuda.

Puede usar los

enlaces sugeridos

para encontrar

información, y

navega a través de

los sitios fácilmente

y sin ayuda.

Puede usar

ocasionalmente los

enlaces sugeridos para

encontrar información,

y navega a través de los

sitios fácilmente y sin

ayuda.

Necesita ayuda

o supervisión

para usar los

enlaces

sugeridos y/o

navegar a través

de los sitios.

Esfuerzo El trabajo final demuestra que los

alumnos se

esforzaron al

máximo

El trabajo final demuestra que los

alumnos se

esforzaron.

El trabajo final demuestra que a los

alumnos les faltó

esfuerzo

El trabajo final demuestra que

los alumnos no

se esforzaron

nada

Evaluación de la presentación oral

Calificación /

Criterio

Excelente

(4)

Bien

(3)

Satisfactorio

(2)

Mejorable

(1)

Comprensión Demuestra una

completa

comprensión del

tema.

El alumno

puede contestar con precisión casi

todas las

preguntas

formuladas por la

audiencia.

Demuestra una

buena comprensión

del tema.

El alumno

puede contestar con

precisión la mayoría de las

preguntas

formuladas por la

audiencia.

Demuestra una buena

comprensión de

partes del tema.

El alumno

puede contestar con

precisión unas pocas preguntas formuladas

por la audiencia.

No parece

entender muy

bien el tema.

El alumno no

puede contestar

las preguntas formuladas por

la audiencia.

Vocabulario Usa un

vocabulario

técnico muy

apropiado.

Usa un vocabulario

técnico apropiado.

Usa un vocabulario

técnico básico.

Usa un

vocabulario

técnico muy

poco apropiado.

Duración La duración de la

presentación es la

estipulada.

La duración de la

presentación es

ligeramente diferente de la

estipulada.

La duración de la

presentación es algo

diferente de la estipulada.

La duración de la

presentación es

notablemente mayor o menor

que la estipulada.

Escucha otras

presentaciones

Escucha

atentamente.

Casi siempre

escucha

atentamente.

Algunas veces parece

no estar escuchando.

No escucha y

molesta.

68

6.7.1.5.CONCLUSIÓN

Con este WebQuest hemos aprendido la relación existente entre los números y las

matemáticaspuesto que como ya sabes en la naturaleza encontramos una relación

completa con los números ya sea en la formación del caracol donde se aprecia la serie

Fibonacci, o en la cría de los conejos, en las plantas por ejemplo la col de Bruselas se ve

claramente la fractalidad en ellos, las series numéricas y cálculos matemáticos se ven

reflejados en toda la naturaleza.

Las matemáticas y la naturaleza están profundamente relacionadas. Encontrar sus

vínculos tiene algo de misterioso y reconfortante como cuando percibimos la secuencia

de Fibonacci en los árboles que nos rodean.

La inclusión del estudio de la naturaleza adentro las matemática te ha generado

curiosidad y sed de conocimientos, es decir quieres saber más, esto da hincapié para que

las matemáticas dejen de ser aburridas en el ámbito estudiantil sino que sea de agrado

para ustedes

Espero que con este trabajo no solamente hayas aprendido algo nuevo, sino también que

haya despertado en ti esa sed de conocer más acerca de este tan apasionante tema.

6.7.1.6. GUÍA DIDÁCTICA

1) Objetivos del área o áreas implicadas:

Que los estudiantes conozcan las diferentes series numéricas

Que los estudiantes aprendan que es la serie Fibonacci y en qué parte de la naturaleza lo

encuentran

Que los estudiantes investiguen acerca de Leonardo de Pisa (Fibonacci)

Que los maestros utilicen esta WebQuest como material didáctico

2) Contenidos:

Leonardo de Pisa Biografía y aportes científicos

Sucesión numérica Fibonacci

69

La sucesión Fibonacci y su relación con la naturaleza

Relación de la serie Fibonacci y el número áureo

3) Distribución temporal prevista:

Este trabajo de investigación implica leer artículos web, biografías, observación de

fotografías y observación de videos, por lo tanto el proceso temporal se lo hará de la

siguiente manera:

Tarea 1:

Tiempo Tarea

(00:30) Sucesiones.

(00:30) Teoría con ejercicios resueltos y una autoevaluación.

(00:30) Sucesiones.

(00:30) Teoría de sucesiones, progresiones aritméticas, progresiones geométricas

y ejemplos.

(00:30) Más sucesiones

(00:30) Juega con sucesiones

Para la tarea 1 (03:30)

Tarea 2

Tiempo Tarea

(00:10) Fibonacci, la Magia de los números (1ª parte)

(00:10) Fibonacci, la Magia de los números (2ª parte)

(00:30) Biografía de Fibonacci

(00:30) La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

(00:10) Relación de Fibonacci con la naturaleza

(00:30) Fibonacci y la música

(00:30) Relación de Fibonacci con el número aúreo y con la fotografía

(00:30) Fotografías

(00:30) LiberAbaci

Para la tarea 2 (03:30)

Tarea 3

Puesto que la tarea 3 es el desarrollo de las actividades es decir el informe en Word y la

presentación en PowerPoint así que esta parte de criterio del estudiante

Resumen: el tiempo mínimo para resolver las actividades es de 7 horas y 3 para el

informe, en total 10 horas divididos en 5 días es decir 2 horas diarias.

70

El trabajo de investigación y su exposición tiene una semana de plazo para desarrollarla,

por eso el estudiante deberá dedicar por lo menos 2 horas diarias, para terminar el

trabajo con efectividad.

4) Los conocimientos previos que deberían poseer los alumnos:

Para el desarrollo de esta investigación el estudiante no debe poseer conocimientos

previos acerca de matemáticas, pero si como redactar un informe y desarrollar una

presentación en PowerPoint, tener la agudeza de sintetizar un informe, y tener expresión

corporal y oral para la exposición

5) Material previsto (ordenadores, programas, lápices, etc.):

Los materiales previstos para el buen desarrollo de esta actividad es la siguiente:

Para la investigación propiamente dicha:

Internet

Software de Ofimática (Word y PowerPoint)

Para la presentación del informe

Papelógrafo

Cartulina

Marcadores de colores

Recortes o impresiones

6) Organización del espacio (tanto para el trabajo con ordenadores, como para los

debates, creación de murales, grabaciones, ensayos, etc. )

Reunirse con los compañeros de grupo en la casa de ellos cada día, para tomar estudiar

y tomar notas para el desarrollo del informe, escoger una casa que tenga una mesa

grande para diseñar el papelógrafo el último día después que tengan todos los datos para

el informe

71

7) La mejor organización de los grupos de trabajo:

El grupo es de 5 personas y como se escribió anteriormente es preciso que se reúnan en

una casa diferente cada día y el último día con todas las notas recogidas escribir el

desarrollo del informe y diseñar la presentación PowerPoint

8) Recursos complementarios para el profesor (herramientas, utilidades,

documentos, libros, etc.):

Para esta investigación no se necesitan recursos complementarios puesto que toda la

información permitente al trabajo se encuentra en la ficha de recursos, pero si obtiene

información adicional o entrevistas por cuenta propia está bien para superar las

expectativas el profesor.

9) Necesidad o no de contar con el apoyo de otros profesores:

Este punto queda a disposición y decisión del estudiante.

10) La implicación de diferentes áreas:

La presente investigación contiene implicaciones en áreas como:

Computación

Redacción

Oratoria

Diseño Gráfico

Aritmética

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA LICENCIATURA EN CIENCIAS

DE LA EDUCACIÓN

PLANIFICACIÓN DIDÁCTICA DE CLASE

1.- DATOS INFORMATIVOS

ÁREA: Matemáticas

NOMBRE DEL BLOQUE: Series

Numéricas (Fibonacci)

METODOLOGÍA: Método Crítico Iconográfico

EJE DE APRENDIZAJE: Serie Numérica,

Relación de la serie en la Naturaleza

EJE TRANSVERSAL: Aprendizaje de la

relación existente entre la serie y algunos

lugares donde se encuentran en la naturaleza

COLEGIO: Clemente Ponce Borja AÑO DE BÁSICA: 9ºde Básica

PERÍODO: 40 minutos

TIEMPO: 1 hora

DOCENTE: Roque Ureta Santos

FECHA: Febrero – 2012

OBJETIVO DEL BLOQUE: Comprender los conceptos y conocer los procesos para la solución de

problemas relacionados con la serie numérica (Fibonacci) con el entorno natural y social del estudiante y

con el desarrollo y práctica de los valores humanos

2. DISEÑO

DESTREZA PROCESO

DIDÁCTICO

RECURSOS

DIDÁCTICOS

INDICADORES ESENCIALES

DE

EVALUACIÓN/ACTIVIDADES

DE LOGRO

Conceptualizar,

Interpretar,

analizar e

integrar series

numéricas.

Plantear e

identificar lo

que es una serie

numérica

Reconocer la

semejanza

entre la serie y

elementos de la

naturaleza

ANTICIPACIÓN

Biografía de

Leonardo de Pisa

CONSTRUCCIÓN

Conceptualización

de series Numéricas

Creación de la serie

Relación con la

naturaleza

Ejemplo de la

relación

Pizarrón

Marcadores

Computadora

Sistema de

Audio

Propone bases para iniciar en

el mundo de las series

numéricas

Conoce la importancia de la

relación existente entre la

serie y la naturaleza

ANEXOS

Anexo Nº 1. Encuestas a los estudiantes del colegio Clemente Ponce Borja

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA EQUINOCCIAL

SISTEMA DE EDUCACION A DISTANCIA CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la educación

EELL CCOOMMPPLLEEMMEENNTTOO DDEE UUNN EENNFFOOQQUUEE PPEEDDAAGGÓÓGGIICCOO QQUUEE CCOONNTTEEMMPPLLEE LLAA CCOONNEEXXIIÓÓNN DDEE LLAASS

MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS CCOONN LLAA NNAATTUURRAALLEEZZAA IINNCCIIDDEE EENN UUNN DDEEFFIICCIIEENNTTEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE DDEE LLAA MMIISSMMAA

Cuestionario – Estudiantes

INSTRUCCIÓN

A continuación se presenta una serie de ítems para que sean respondidos por usted. Lea detenidamente cada

enunciado, marque una sola alternativa con una “X” dentro de la casilla correspondiente.

Solicitamos absoluta sinceridad en sus respuestas, pues de ellas depende el éxito de la investigación

1) Considera usted que la educación les permitirá

forjar un mejor porvenir

1. En total desacuerdo

2. En desacuerdo

3. De acuerdo

4. Totalmente de acuerdo

2) Que beneficio considera usted que el

aprendizaje de las matemáticas incide en su

educación

1. De mucho beneficio

2. Mediano beneficio

3. Poco beneficio

4. No existe un beneficio

3) Qué relación cree usted que existe entre las

matemáticas y naturaleza

1. No sé

2. Ninguna

3. Poca

4. Algo

5. Mucha

6. Completa

4) Conoces la serie Fibonacci

1. Si

2. No

5) Crees que se puede aprender matemáticas al

aire libre utilizando la naturaleza como material

didáctico

1. No sé

2. No

3. Si

6) Alguna vez algún profesor les llevo fuera del

aula para enseñarles matemáticas

1. Sí

2. No

7) Le han hecho comparaciones entre lo aprendido

y la naturaleza en sus clases de matemáticas

1. Nunca

2. Alguna vez

3. Muchas veces

4. Siempre

8) Te gustaría salir a hacer camping

1. Sí

2. No

Le agradezco por su colaboración en esta encuesta, en las siguientes líneas por favor escriba como cree usted

que sea la mejor manera que un profesor enseñe matemática:

Anexo Nº 2. Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de la zona

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA EQUINOCCIAL

SISTEMA DE EDUCACION A DISTANCIA CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la educación

EELL CCOOMMPPLLEEMMEENNTTOO DDEE UUNN EENNFFOOQQUUEE PPEEDDAAGGÓÓGGIICCOO QQUUEE CCOONNTTEEMMPPLLEE LLAA CCOONNEEXXIIÓÓNN DDEE LLAASS

MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS CCOONN LLAA NNAATTUURRAALLEEZZAA IINNCCIIDDEE EENN UUNN DDEEFFIICCIIEENNTTEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE DDEE LLAA MMIISSMMAA

Cuestionario – Profesores de matemáticas

INSTRUCCIÓN

A continuación se presenta una serie de ítems para que sean respondidos por usted. Lea detenidamente cada

enunciado, marque una sola alternativa con una “X” dentro de la casilla correspondiente.

Solicitamos absoluta sinceridad en sus respuestas, pues de ellas depende el éxito de la investigación


1. No sé

2. Ninguna

3. Poca

4. Algo

5. Mucha

6. Completa

2) Conoce usted la serie Fibonacci

1. Si

2. No

3) De los siguientes materiales didácticos a continuación cuál o cuáles de ellos utiliza normalmente usted para

dar sus clases de matemáticas

1. Pizarra y marcadores

2. Juegos de razonamiento lógico y matemático

3. Fichas de Dominó u otros

4. Flores, arboles u otro ser viviente

5. Rocas, cascadas, sol, u otro ser inerte

6. Otros

4) La aplicación de las matemáticas que usted enseña dentro del aula de clase está orientada a…

1. Resolver ejercicios matemáticos, algebraicos, etc.

2. Mejoramiento del manejo del dinero y la economía de sus estudiantes

3. Enseñar los estudiantes destrezas para enfrentar con inteligencia los problemas de la vida real

4. Acercar a los estudiantes hacia el respeto y mantenimiento de la naturaleza y el entorno que le rodea

5. Otra

5) Con que frecuencia realiza casos prácticos con productos de la naturaleza en su clase

1. Siempre

2. Rara vez

3. Nunca

1) Qué tiempo dedica a su actividad de docencia en el área de matemáticas

1. Una parte del día

2. Dos partes del día

3. Tres partes del día

2) Cree usted que lograría un aprendizaje significativo con sus estudiantes si emplea ejemplos de las

matemáticas relacionándola con la naturaleza

1. Sí

2. No

Porque: ..................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................

3) La naturaleza de su entorno ofrece productos que sirven como ejemplos reales para dar una explicación en

su clase.

1. Sí

2. No

3. No se

4) Con que frecuencia realiza trabajo de investigación de campo junto con sus estudiantes para verificar la

relación de la matemática con la naturaleza

1. Nunca

2. Cuando el caso lo amerite

3. Eventualmente

4. Siempre

Le agradezco por su colaboración en esta encuesta, en las siguientes líneas por favor escriba que implementos

necesita un colegio para que los estudiantes aprendan y se interesen por el estudio de las matemática s:

Anexo Nº 3. Fichas de observación

Universidad: Tecnológica Equinoccial - Quito

Fecha: 01 de marzo de 2011

Observador: Roque Ureta Santos

Código Verdura Figura Cantidad Observacion

col001 Col de Bruselas Triangulo 5 por capas Fractalidad

col002 Col de Bruselas Triangulo 6 por capas Fractalidad

arb001 Árbol de mango Tallos y ramas 1,1,2,3,5,8,14 Serie Fibonacci

arb002 Arbol de mango Tallos y ramas 1,1,2,2,3,5 No se aplica el Fibonacci

Ficha de Observación

Anexo Nº 4. Fotografías

WebQuest en el Internet

BIBLIOGRAFÍA

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PEREZ, S. A. (2005). Curvas en la Naturaleza. El salvador: IES Salvador Dalí.

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universidad tecnolÓgica equinoccial...

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