UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADO EN
CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICAS
TEMA:
LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA
AUTOR
URETA SANTOS ROQUE GREGORIO
DIRECTOR
FIS. LENIN JÁCOME
BAHÍA DE CARÁQUEZ
FEBRERO DE 2012
i
CARTA DE CERTIFICACIÓN DEL TUTOR
En mi calidad de Tutor del Trabajo de Grado presentado por el señor Roque Gregorio
Ureta Santos, para optar el Grado Académico de Licenciado en Ciencias de la
Educación – Mención MATEMÁTICAS cuyo título es: LAS MATEMÁTICAS Y LA
NATURALEZA, Considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes
para ser sometidos a la presentación pública y evaluación por parte del Jurado
examinador que se designe. En la ciudad de Quito D. M. a los cuatro días del mes de
diciembre del 2012.
Fis. Lenin Jácome
TUTOR DE LA CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ii
PÁGINA DE AUTORÍA DE LA TESIS
Yo, Roque Gregorio Ureta Santos, declaro bajo juramento que el trabajo aquí descrito
es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o
calificación profesional; que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen
en este documento y que no he plagiado dicha información
Roque Gregorio Ureta Santos
iv
AGRADECIMIENTO
Principalmente a mi padre, artífice de mi carrera profesional, mi madre, hermanos,
esposa y demás personas que de una u otra manera me ayudaron en el desarrollo de la
misma
v
ÍNDICE
CARTA DE CERTIFICACIÓN DEL TUTOR ...................................................................... I
PÁGINA DE AUTORÍA DE LA TESIS ................................................................................ II
DEDICATORIA ....................................................................................................................III
AGRADECIMIENTO .......................................................................................................... IV
ÍNDICE .................................................................................................................................. V
ÍNDICE DE TABLAS .......................................................................................................... VII
ÍNDICE DE FIGURAS ....................................................................................................... VIII
RESUMEN EJECUTIVO .......................................................................................................X
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 1
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN ........................................................................ 2
1.1. TEMA DE INVESTIGACIÓN ............................................................................................... 2
1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................................... 2
1.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ...................................................................................... 2
1.4. OBJETIVOS...................................................................................................................... 2
1.4.1 Objetivo General ...................................................................................................... 2
1.4.2. Objetivos Específicos .............................................................................................. 3
1.5. JUSTIFICACIÓN................................................................................................................ 3
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO ............................................................................................................... 4
2.1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA .......................................................................................... 4
2.1.1. LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA ..................................................... 4
2.1.1.3. DE LAS MATEMÁTICAS Y NATURALEZA ................................................... 6
2.1.1.3.1. RELACIÓN MATEMÁTICAS Y NATURALEZA............................................ 7
2.1.1.3.4. RECTÁNGULOS DE FIBONACCI y ESPIRALES DE SHELL ...................... 11
2.1.1.3.5. LOS NÚMEROS DE FIBONACCI, LA SECCIÓN ÁUREA Y PLANTAS ..... 13
2.1.1.4. VERDURAS Y FRUTAS ................................................................................... 14
2.1.2. APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS .............................................................. 15
2.2. HIPÓTESIS .................................................................................................................. 23
2.3. VARIABLES ............................................................................................................... 23
2.3.1. VARIABLE INDEPENDIENTE ........................................................................... 23
2.3.2. VARIABLE DEPENDIENTE ............................................................................... 23
2.4. OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES ................................................. 24
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN .................................................................... 26
3.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN ............................................................................ 26
3.2. TIPO DE LA INVESTIGACIÓN .................................................................................. 26
3.2.1. CORRELACIONAL.............................................................................................. 26
3.2.2. BIBLIOGRÁFICA ................................................................................................ 26
3.2.3. DE CAMPO .......................................................................................................... 26
vi
3.3. MÉTODOS DE LA INVESTIGACIÓN ........................................................................ 26
3.3.1. MÉTODO DEDUCTIVO-INDUCTIVO ................................................................ 27
3.3.2. MÉTODO EXPERIMENTAL ............................................................................... 27
3.4. POBLACIÓN Y MUESTRA ........................................................................................ 27
3.4.1. POBLACIÓN ........................................................................................................ 27
3.4.2. MUESTRA............................................................................................................ 27
3.5. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN ........ 27
3.5.1. LA OBSERVACIÓN ............................................................................................. 27
3.5.2. la encuesta ............................................................................................................. 28
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS ............................................ 29
4.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS......................................................................... 29
4.1.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADO DE LAS ENCUESTAS .............................. 29
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .................................................................... 49
5.1. CONCLUSIONES ........................................................................................................ 49
5.1.2. RECOMENDACIONES ............................................................................................ 51
CAPÍTULO VI
LA PROPUESTA.................................................................................................................. 53
6.1 TEMA DE LA PROPUESTA ........................................................................................ 53
6.2 JUSTIFICACIÓN .......................................................................................................... 53
6.3 OBJETIVOS ................................................................................................................. 54
6.4. POBLACIÓN OBJETO ................................................................................................ 55
6.5 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ................................................................................ 55
6.5.1. WEBQUEST ........................................................................................................ 55
6.5.2. historia de la webquest ........................................................................................... 55
6.5.3. Partes en que se compone una WebQuest ............................................................... 56
6.5.4. BIOGRAFÍA de leonardo de pisa .......................................................................... 56
6.6. LISTADO DE CONTENIDOS TEMÁTICOS ............................................................... 58
6.7 DESARROLLO DE LA PROPUESTA .......................................................................... 58
6.7.1. WEBQUEST ......................................................................................................... 58
ANEXOS ............................................................................................................................... 73
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................. 85
WEBGRAFÍA ....................................................................................................................... 85
vii
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla No. 4.1. Pregunta Nº 1 – Estudiantes ........................................................................................... 30
Tabla No. 4.2. Pregunta Nº 2 – Estudiantes ........................................................................................... 31
Tabla No. 4.3: Pregunta Nº 3 – Estudiantes ........................................................................................... 32
Tabla No. 4.5. Pregunta Nº 4 – Estudiantes ........................................................................................... 33
Tabla No. 4.6: Pregunta Nº 5 – Estudiantes ........................................................................................... 34
Tabla No. 4.7: Pregunta Nº 6 – Estudiantes ........................................................................................... 35
Tabla No. 4.8. Pregunta Nº 7 – Estudiantes ........................................................................................... 36
Tabla No. 4.9. Pregunta Nº 8 – Estudiantes ........................................................................................... 37
Tabla No. 4. 10: Pregunta Nº 1 – Profesores de Matemáticas ................................................................. 39
Tabla No. 4. 11: Pregunta Nº 2 – Profesores de Matemáticas ................................................................. 40
Tabla No. 4. 12: Pregunta Nº 3 – Profesores de Matemáticas ................................................................. 41
Tabla No. 4. 13: Pregunta Nº 4 – Profesores de Matemáticas ................................................................. 42
Tabla No. 4. 14: Pregunta Nº 5 – Profesores de Matemáticas ................................................................. 43
Tabla No. 4. 15: Pregunta Nº 6 – Profesores de Matemáticas ................................................................. 44
Tabla No. 4. 16: Pregunta Nº 7 – Profesores de Matemáticas ................................................................. 45
Tabla No. 4. 17: Pregunta Nº 8 – Profesores de Matemáticas ................................................................. 46
Tabla No. 4. 18: Pregunta Nº 9 – Profesores de Matemáticas ................................................................. 47
viii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura No. 2.1. Fractales en las Montañas del Tibet ............................................. 9
Figura No. 2.2. Fibonacci en el apareamiento de los conejos ............................. 10
Figura No. 2.3. Rectángulos Fibonacci .............................................................. 11
Figura No. 2.4. caracol siguiendo las leyes fibonacci ......................................... 12
Figura No. 2.5. Observando la serie Fibonacci en la constitución de un árbol .... 14
Figura No. 2.6. Fractal en la col de bruselas ...................................................... 14
Figura No. 2.7. Una Col Común ........................................................................ 15
Figura No. 4.1. Representación Porcentual sobre la opinión de los
estudiantes acerca del futuro de su educación ............................ 30
Figura No. 4.2. Representación Porcentual sobre la opinión de los
estudiantes acerca de la incidencia de las matemáticas en su
educación .................................................................................. 31
Figura No. 4.3. Gráfico porcentual acerca de la relación existente entre las
matemáticas y la naturaleza ....................................................... 32
Figura No. 4.4. Representación Porcentual acerca del conocimiento de
ciertas series número como la es la serie Fibonacci ................... 33
Figura No. 4.5. Representación Porcentual que permite conocer si el
estúdiate cree que se puede utilizar a la propia naturaleza
como material didáctico para aprender matemáticas .................. 34
Figura No. 4.6. Representación Porcentual que permite conocer si el
maestro de matemáticas alguna vez les llevo fuera del aula
de clase para enseñar matemáticas............................................. 35
Figura No. 4.7. Representación Porcentual que muestra la frecuencia con
que los profesores de matemáticas han hecho
comparaciones entre lo aprendido con los elementos de la
naturaleza. ................................................................................ 36
Figura No. 4.8. Representación Porcentual que muestra el deseo de los
estudiantes de salir y compartir con la naturaleza ...................... 37
Figura No. 4.9. Representación gráfica que muestra la relación entre las
matemáticas y la naturaleza ....................................................... 39
ix
Figura No. 4.10. Representación gráfica que muestra Si los profesores
conocen la serie Fibonacci ........................................................ 40
Figura No. 4.11. Representación gráfica que muestra el uso de materiales
didácticos en clases de matemáticas .......................................... 41
Figura No. 4.12. Representación gráfica que muestra el uso de materiales
didácticos en clases de matemáticas .......................................... 42
Figura No. 4.13. Representación gráfica que demuestra a los profesores de
matemáticas usar productos de la naturaleza para sus
ejercicios matemáticos .............................................................. 43
Figura No. 4.14. Representación gráfica que demuestra el tiempo dedicado a
impartir sus clases ya sea en la mañana o tarde o noche ............. 44
Figura No. 4.15. Representación gráfica que muestra la visión de los
profesores de matemáticas en cuanto a los ejemplos y
relaciones en sus clases ............................................................. 45
Figura No. 4.16. Representación gráfica que afirman el ecosistema de la zona
de bahía de Caráquez es propicio para la enseñanza de las
matemáticas y su relación con la naturaleza .............................. 46
Figura No. 4.17. Representación gráfica que demuestra la frecuencia del
trabajo de investigación de los profesores de matemáticas
con sus estudiantes. ................................................................... 47
x
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación
LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA
Autor: ROQUE GREGORIO URETA SANTOS
Director: FIS. LENIN JÁCOME
Fecha: Quito 2010
RESUMEN EJECUTIVO
Probablemente cuando se mira en derredor, específicamente la naturaleza, nos
maravillamos de su hermosura, las figuras que en ella se vislumbran, esa perfecta
combinación de colores e imágenes que a más de un fotógrafo le fascina capturar y que
nos permiten soñar, que nos cambian el ánimo, que relaja la mente, y anima a recordar
eventos buenos de la vida.
Si se miran poquito más allá de los colores y la belleza, la imponencia y la
majestuosidad, veremos que cada objeto animado o inanimado está conformado en
prácticamente su totalidad de figuras, triángulos en algunos árboles, círculos perfectos
en las estrellas, planetas, el sol, o la luna, rectángulos, cuadrados y la combinación de
ellos para crear nuevas formas.
Pero no es frecuente que se relacione la geometría, física y la propia matemática con la
naturaleza, los científicos se están dando a la tarea de descubrir qué tipo de matemática
se encuentran implícitas dentro de cada maravilloso objeto natural y más aún cuando se
ahonda en el conocimiento matemático para descubrir cómo funcionan ciertos
fenómenos de la naturaleza y cómo se puede hacer uso de esa comprensión científica
para recrear un nuevo ambiente, creado por el hombre para satisfacer las necesidades
del ser mismo ser humano, como volar, o crear energía, producir fuerza, aumentar la
velocidad, etc.
Lo más fácil de ver en la naturaleza es la geometría, ángulos, puntos y las agrupaciones
de figuras geométricas, Gallen Rowel es un fotográfico que dedica su vida a fotografiar
xi
todas las formas posibles de la naturaleza y logrando plasmar toda la belleza geométrica
y colorida en sus fotos, aunque formas muy complejas, nos recuerdan formas simples,
eso es belleza.
Aumentar la práctica de observar “patrones” o “series matemáticas” en la naturaleza,
como la serie Fibonacci, que es la más fácil de percibir y de esta el número de oro, ya
sea en las plantas, árboles, no importa donde se mire, inclusive en las formas
microscópicas vemos un mundo de geometrías y patrones matemáticos.
Pero lo más sorprendente es que cada átomo de nuestro ser está conformado por un
número incontable de patrones geométricos que se repiten a lo largo y ancho de nuestra
sustancia, para llegar a la conclusión que el hombre es matemática pura.
1
INTRODUCCIÓN
Las ciencias matemáticas cumplen un rol fundamental en la historia de la humanidad,
está presente en todos los ámbitos de las sociedades antiguas y modernas, su rol
formativo, explícito y deducible se encuentra escondido tras cada aspecto del cual se
compone nuestra madre naturaleza, y en todas las formas de vida del planeta y el
universo, desde la composición de las moléculas siguiendo un patrón inherente a las
series matemáticas hasta la conformación de galaxias, constelaciones y todo cuerpo
celeste(PERAL, 2000).
Al seguir estos modelos o patrones nos permitirá entender, hacer una explicación y
porque no decir predecir el comportamiento de los hombres, teniendo en consideración
que todas las cosas tangibles siguen patrones de desarrollo y rutina; la naturaleza está
diseñada y combinada con toda clase de formas geométricas e increíble sucesión
numérica. Las plantas adoran las formas geométricas. Las flores de la petunia son
pentágonos perfectos, las hojas de la capuchina muestran los radios de la circunferencia,
las palmeras desarrollan sus hojas en semicírculos(PEREZ, 2005).
La proporción fractal consiste en la repetición de la estructura de un elemento a menores
escalas. Como el romanesco, esta variedad de la col es uno de los ejemplos de cómo la
proporción fractal se presenta continuamente en la naturaleza.Al cortar una naranja por
la mitad, se ve una circunferencia con los radios definidos. La geometría está presente
en todas las plantas, con proporciones casi perfectas. El diámetro de la copa de un árbol
se corresponde con el de su conjunto de raíces, y las hojas forman pequeñas
circunferencias.(NATURE, 2005)
Se conoce al número áureo como pi y se escribe con la sucesión 1,6180… hasta el
infinito. Esta proporción se encuentra en la nervadura de las ramas, la distancia entre las
espirales de una piña, la relación entre las ramas principales y el tronco… El número
áureo es una proporción común en la naturaleza.(Vizworld, 2010)
El conocimiento de la naturaleza es un ejemplo a seguir de cómo debe ser la manera de
desenvolvernos en todos los ámbitos de nuestra vida, tanto en lo laboral como
sentimental, y el proceder mismo de los seres humanos.
2
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN
1.1. Tema de investigación
Las matemáticas en la naturaleza
1.2. Planteamiento del Problema
Cuando la personas se quedan en silencio por un momento y abren sus ojos junto con
los sentidos al observar la conformación de una hoja de un árbol nos percatamos que su
ramificación es tal que pareciera que no fue creada al azar ya que tiene un diseño
específico, estructural, lógico y serial, o la relación existente entre las distancias de las
curvas que forman un espiral que tiene un caracol, la distancia de los hoyos que se
observan en la piña, la reproducción sistemática de los conejos, la relación entre los ojos
de una persona junto con su nariz en relación a sus orejas.
Sin duda alguna se impresiona mucho, por tal virtud no queda más que una interrogante
en nuestras cabezas. ¿La naturaleza fue creada en base a las matemáticas? ¿Existe
relación entre los objetos de la naturaleza y las matemáticas? Entonces ¿Con qué parte
de las matemáticas las puedo relacionar?
1.3. Formulación del Problema
¿Hay matemáticas en la Naturaleza?
1.4. Objetivos
1.4.1 OBJETIVO GENERAL
Comprender las relaciones existentes entre las matemáticas y la naturaleza realizando
un estudio investigativo con el propósito de crear un material didáctico que incentive los
jóvenes a la observación y cuidado de la naturaleza.
3
1.4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Comparar ciertas plantas y la estructura para relacionarlas con las matemáticas
Descubrir en que parte de la naturaleza se desarrolla las series y patrones
matemáticos.
Percibir la relación existente entre la serie Fibonacci y los elementos de la
naturaleza
Comprender el significado de la fractalidad y su relación aspecto – tamaño con
ciertos vegetales
1.5. Justificación
Cierto pensamiento popular, “Quién domina los números dominará el mundo”, al
parecer cada día que transcurre se vuelve más creíble porque con la relación tan directa
que existe entre todo lo creado y manipulado por la misma naturaleza, tiene un cierto
comportamiento parecido a un algoritmo, con manifestaciones que incluyen patrones o
plantillas específicas muy relacionadas con las matemáticas.
El conocimiento de los patrones que se observan en la naturaleza, y en todo cuanto nos
rodea nos ayuda a pensar y cuidar nuestro entorno, pero más allá de eso permite a la
industria crear nuevos implementos en beneficio de nuestra tecnología y evolución, por
ejemplo, cuando las águilas planean haciendo un vuelo estable, se reconoce la inclusión
matemática y física, eso nos ayuda a mejorar nuestras naves, el movimiento al nadar de
los tiburones y la constitución de su piel ayuda a los nadadores profesionales a mejorar
su estilo de natación, entre otras cosas.
Por todo lo expuesto con esta investigación se beneficia todos los seres humanos, tanto
para el desarrollo evolutivo del hombre y el desarrollo tecnológico en miras a un futuro
con conocimiento profundo del funcionamiento de la naturaleza para que el ser humano
pueda entenderse a sí mismo como un ente útil al mejoramiento de su propio mundo.
4
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. Fundamentación Teórica
2.1.1. LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA
Las matemáticas es una ciencia exacta que parte desde aforismos y proposiciones
manipuladas que resuelven un problema, Se rumora entre los matemáticos que los
objetos matemáticos sean estos números, funciones o proposiciones no existen,
simplemente es un recurso producido por la mente humana, Albert Einstein dijo
“Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son
ciertas, no se refieren a la realidad”
2.1.1.1. HISTORIA.
En el sitio Wikipedia se encuentra un extracto acerca de la historia de las matemáticas
en cuanto a sus precursores, a saber:
PITÁGORAS
(582-500 a. C.). Fundador de la escuela pitagórica, cuyos principios se regían por el
amor a la sabiduría, a las matemáticas y música.
EUCLIDES
(365-300 a. C.). Sabio griego, cuya obra “Elementos de Geometría” está considerada
como el texto matemático más importante de la historia.
ARQUÍMEDES
(287-212 a. C.). Fue el matemático más importante de la Edad Antigua. También
conocido por una de sus frases: “Eureka, Eureka, lo encontré”. Su mayor logro fue el
descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro
que la circunscribe. Su principio más conocido fue el Principio de Arquímedes, que
consiste en que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y
hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.
5
FIBONACCI
(1170-1240). Matemático italiano que realizó importantísimas aportaciones en los
campos matemáticos del álgebra y la teoría de números. Descubridor de la Sucesión de
Fibonacci, que consiste en una sucesión infinita de números naturales.
RENÉ DESCARTES
(1596-1650). Matemático francés, que escribió una obra sobre la teoría de las
ecuaciones, en la cual se incluía la regla de los signos, para saber el número de raíces
positivas y negativas de una ecuación. Inventó una de las ramas de las matemáticas, la
geometría analítica.
ISAAC NEWTON
(1643-1727). Matemático inglés, autor de los Philosophiaenaturalis principia
mathematica. Abordó el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y
desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Abordó el desarrollo del
cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y
analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de
ecuaciones.(Wikipedia, Wikipedia.org, 2010)1
SUCESIÓN FIBONACCI
La sucesión de los números de Leonardo de Pisa o llamado también Fibonacci se
desarrolló cuando estaba observando a los conejos y su reproducción, esta es una
secuencia de números que lógicamente comienza en 0 y 1 sumados estos dos últimos
números tendremos 1, sumados estos dos últimos tendremos 2, de igual manera
sumados tendremos 3 luego 5 y así sucesivamente tal como lo muestra la siguiente
ilustración:
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987
1Tomado de Wikipedia.org, 2010, fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
6
2.1.1.2.NATURALEZA
La naturaleza se refiere a todos los fenómenos físicos, químicos y vida en general, es en
otras palabras la esencia, propiedades y características de cada ser que se encuentra en
el universo, se podría decir también que es el conjunto de todo ser vivo (animales y
plantas) y fenómenos que se producen sin la mano del hombre (lluvias, tormentas,
erosión, etc.) (definicion.de, 2010)2
2.1.1.3. DE LAS MATEMÁTICAS Y NATURALEZA
Bruce Harvey, en su blog afirma que las matemáticas no se pueden utilizar en ningún
campo sin disciplina, para predecir el comportamiento de los procesos naturales. La
manipulación de las ecuaciones de forma válida matemáticamente puede o no producir
un modelo válido. Las matemáticas deben ir de la mano con una comprensión de la
forma en que la naturaleza es capaz de hacer las matemáticas.(harvey, 1997)3
En su blog propone que la naturaleza tiene tres mecanismos con los que hacer la
matemática.
Considérese la posibilidad de una carga eléctrica. Se ha asociado con él algún tipo de
campo que se extiende hacia fuera de él en perfecta simetría. La situación tiene una
geometría en la que todos los puntos a la misma distancia de la carga de tener la misma
magnitud del campo. En todos los puntos en el espacio de la dirección del campo es
paralelo a la radio de la carga al punto. En todos los puntos en el espacio, el campo está
dirigido en el mismo sentido hacia adentro o hacia afuera. A medida que seguimos hacia
el exterior de campo, se extiende a través del espacio a fin de que en cualquier
momento, la magnitud,ser inversamente proporcional a la superficie de la esfera a través
de ese punto y se centró en la carga. De esta manera, la naturaleza utiliza la geometría
de la situación para determinar el campo. He aquí la ecuación
Expresando esta geometría.
2 Tomado de Definicion.es, Fuente citada: http://definicion.de/naturaleza/ 3Tomado de Harvey bruce, Fuente: http://users.powernet.co.uk/bearsoft/Maths.html
7
Considérese ahora una segunda carga y de alguna manera de anclaje y que la primera
carga en el espacio. También tiene un campo. Permite llamar a los dos campos y .
Los campos de las dos cargas son independientes y están presentes en cada punto del
espacio sin distorsionar los demás. Se llama a esto el principio de súper imposición
tomando prestado el nombre de la matemática de las ecuaciones diferenciales y le da un
significado mucho más potente y deletreándolo con más letras. (De hecho, es esta
propiedad fundamental de la naturaleza que permite a su homónimo a trabajar en la
solución de ecuaciones diferenciales por los matemáticos.)
Ahora vamos a introducir una tercera carga que se mueve libremente. Nos damos cuenta
de que es afectada por la presencia de los cargos primero y segundo y se mueve con una
aceleración que revela que los campos están afectando. Podríamos calcular esta
aceleración mediante el cálculo y y agregar luego los dos vectores. Multiplique
este vector resultante por y se obtiene la aceleración. La naturaleza es capaz de
realizar una suma de vectores de dos campos eléctricos en el lugar de una carga que es
afectada por ellas.
Aquí, pues, son los tres mecanismos por los cuales la naturaleza es capaz de hacer que
las cosas sucedan. Son GEOMETRÍA, SÚPER IMPOSICIÓN y SUMA DE
VECTORES. Si el universo es un modelo matemático, entonces estos son los tres
procesos por los cuales se lleva a cabo las matemáticas a través del espacio.(harvey,
1997)4
2.1.1.3.1. RELACIÓN MATEMÁTICAS Y NATURALEZA
¿QUÉ ES UN FRACTAL?
Según www.wikipedia.org Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura
básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto
por el matemático BenoîtMandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa
quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
4Tomado de Harvey bruce, Fuente: http://users.powernet.co.uk/bearsoft/Maths.html
8
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Es autosimilar.- Su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.
Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la
geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas
costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es
aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el
detalle infinito, tienen límites en el mundo natural(Wikipedia, es.wikipedia.org,
2010)5
2.1.1.3.2.FRACTALES OCURRENTES EN LA NATURALEZA
La geometría de los fractales nos brinda una nueva apreciación del mundo natural y de
los patrones que observamos en ella.
Hay muchas cosas que antes llamado “el caos” ahora se sabe que siguen sutiles leyes
del comportamiento fractal. Así que muchas cosas resultó ser fractal que la palabra
"caos" en sí mismo (en la ciencia operacional) ha redefinido, o en realidad por el
momento oficialmente por primera vez define como seguir las reglas pero por lo general
determinista inherentemente impredecibles sobre la base de las ecuaciones no lineales
iterativas. Los fractales son impredecibles en los detalles específicos aún determinista
cuando se ve como un patrón total en muchos aspectos, esto refleja lo que se observa en
los pequeños detalles y diseño total de la vida en toda su variedad física y mental,
también(Miquel, 2006)6
5Tomado de es.wikipedia.org fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal
6Tomado de Miguel.com, Fuente: http://www.miqel.com/fractals_math_patterns/visual-math-natural-fractals.html
9
Figura No. 2.1. Fractales en las Montañas del Tibet
Fuente: http://www.miqel.com/fractals_math_patterns/visual-math-natural-fractals.html
2.1.1.3.3.CONEJOS EN LA SERIE FIBONACCI.
El problema original fue investigado por Fibonacci en el año de 1202, que fue acerca de
la rapidez con que se reproducían estos animales en las mejores circunstancias.
Supongamos que un par de conejos recién nacidos, un macho, una hembra, se colocan
en un campo. Los conejos son capaces de aparearse, a la edad de un mes para que al
final de su segundo mes una hembra pueda producir otro par de conejos. Supongamos
que nuestros conejos nunca mueren y que la hembra siempre produce una nueva pareja
(un macho y una hembra) cada mes a partir del segundo mes. El enigma que planteó
Fibonacci fue…
¿Cuántos pares habrá en un año?
Al final del primer mes, se aparean, pero todavía hay un sólo un par.
Al final del segundo mes la hembra produce un nuevo par, así que ahora hay 2
pares de conejos en el campo.
Al final del tercer mes, la hembra original produce un segundo par, haciendo tres
pares en todo en el campo.
Al final del cuarto mes, la hembra original ha producido otro nuevo par, la
hembra nacida hace dos meses, produce su primer par también, lo que hace 5
pares.
10
Figura No. 2.2. Fibonacci en el apareamiento de los conejos Fuente: http://myscienceblogs.com/matematika/2008/02/25/kelinci-fibonacci/
Elaborado por: El Autor
El número de pares de conejos en el campo al comienzo de cada mes es 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13 21, 34, …
Otro punto de vista del árbol familiar del conejo es:
Todos los conejos nacidos en el mismo mes son de la misma generación y se encuentran
en el mismo nivel en el árbol.
Los conejos han sido número único para que en la misma generación que los conejos
nuevos están numerados en el orden del número de sus padres. Así, 5, 6 y 7 son los
hijos de 0, 1 y 2, respectivamente.
Los conejos etiquetado con un número de Fibonacci son los hijos del conejo original (0)
en la parte superior del árbol.
11
Hay un número de Fibonacci de conejos en cada nueva generación, marcada con un
punto.Hay un número de Fibonacci de conejos en total, de arriba hacia abajo a cualquier
generación.
2.1.1.3.4.RECTÁNGULOS DE FIBONACCI Y ESPIRALES DE SHELL
Podemos hacer otra representación que muestra los números de Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13,21,… si empezamos con dos pequeños cuadrados de tamaño de un lado
de la otra. En la parte superior de ambos dibujar un cuadrado de tamaño 2 (= 1 +1).
11
23
5
8
13
Figura No. 2.3. Rectángulos Fibonacci
Elaborado por: El Autor
Ahora podemos dibujar una nueva plaza – que afectan tanto un cuadrado unidad y la
última plaza de la cara 2 – por lo que tener lados 3 unidades de longitud, y luego otro
tocando tanto el cuadrado de 2 y el cuadrado de 3 (que tiene lados de 5 unidades) .
Podemos seguir añadiendo cuadrados alrededor de la imagen, cada nueva plaza que
tiene una parte que es tan larga como la suma de las partes. Este conjunto de rectángulos
cuyos lados son dos sucesivos números de Fibonacci de longitud y que se componen de
cuadrados con los lados que son números de Fibonacci, llamaremos a los rectángulos de
Fibonacci.
12
Figura No. 2.4. Caracol siguiendo las leyes Fibonacci
Fuente:http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#rabeecow
La espiral no es una espiral matemática (ya que se compone de fragmentos que forman
parte de los círculos y no salgan a la cada vez más pequeños), pero es una buena
aproximación a una especie de espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza.
Estas espirales se ven en la forma de conchas de caracoles y conchas de mar y, la espiral
en las plazas, hace una línea desde el centro de la espiral de aumento por un factor del
número de oro en cada cuadrado. Así que los puntos de la espiral son 1.618 veces más
lejos del centro después de un cuarto de vuelta. En su conjunto a su vez los puntos de
una radio a cabo desde el centro son 1,6184 = 6.854 veces más lejos que cuando la
última curva cruzó la línea radial mismo.(Vizworld, 2010)7
Cundy y Rollett (Modelos Matemáticos, segunda edición 1961, página 70) dicen que
esta espiral se produce en caracoles y flores cabezas refiriéndose a D‟Arcy Thompson
El crecimiento y la forma. Aquí Thompson está hablando de una clase de espiral con un
factor de expansión constante a lo largo de una línea central y no sólo los depósitos con
un factor de expansión Phi.
7Fuente: http://www.vizworld.com/
13
Debajo están las imágenes de secciones transversales de un caracol Nautilus. Ellos
muestran la curva de la espiral de la concha y las cámaras internas que el animal con
que se completan a medida que crece. Las cámaras ofrecen la flotabilidad en el agua.
Varias organizaciones y empresas tienen un logotipo basado en este diseño, con la
espiral de Fibonacci y plazas en algún momento con la concha de Nautilus
superpuestos. Es incorrecto decir que esto es un Phi-espiral. En primer lugar la “espiral”
es sólo una aproximación, ya que está formado por separados y distintos cuartos de
círculos, en segundo lugar el (verdadero) aumenta en espiral en un factor de Phi cada
cuarto de vuelta por lo que es más correcto llamarlo una espiral Phi4.
2.1.1.3.5.LOS NÚMEROS DE FIBONACCI, LA SECCIÓN ÁUREA Y PLANTAS
Una de las plantas, en particular, muestra los números de Fibonacci en el número de
“puntos de crecimiento” que tiene. Supongamos que cuando una planta saca un nuevo
brote y tiene que crecer dos meses antes de que sea lo suficientemente fuerte como para
apoyar la ramificación. Si se ramifica cada mes después de que en el punto de
crecimiento, (Surrey, 2010)8
Una planta que crece en gran medida de este tipo es el “sneezewort”: ptarmicaAchillea,
En muchas plantas, el número de pétalos es un número Fibonacci:
8Tomado de surrey.com, Fuente: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
14
Figura No. 2.5. Observando la serie Fibonacci en la constitución de un árbol
Fuente:http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#rabeecow
2.1.1.4.VERDURAS Y FRUTAS
El brócoli y coliflor (o Romanesco) se ve y se sabe a una mezcla de brócoli y coliflor.
Cada florecilla es la cúspide, y es una versión idéntica pero más pequeña de toda la cosa
y esto hace que las espirales sean fáciles de ver.
Figura No. 2.6. Fractal en la col de bruselas
Fuente: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#rabeecow
Aquí está una foto de una coliflor normal. Se observa la forma en que es casi un
pentágono en el esquema. Mirando con atención, se puede ver un punto central, donde
15
las florecillas son menores. Las flores están organizadas en espiral alrededor de este
centro en ambas direcciones.
Figura No. 2.7. Una Col Común
Fuente: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#rabeecow
2.1.2. APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
Uno de los temas claves de la Educación Matemática es cómo debe ser el desarrollo de
la lección para generar aprendizaje efectivo (podría usarse el término "significativo",
como en AUSUBEL (1968), pero dentro de una perspectiva más amplia) por parte de
los estudiantes en torno al conocimiento matemático, tanto en sus contenidos como en el
uso de sus métodos. De igual forma, se plantea como objetivo el fortalecimiento de
destrezas en el razonamiento abstracto, lógico y matemático, cuyas aplicaciones no sólo
se dan en las ciencias y tecnologías sino en toda la vida del individuo.
De alguna manera, es éste el verdadero laboratorio y taller en el cual se condensa todo:
aquí adquiere sentido toda la formación recibida por parte de los profesores así como las
condiciones curriculares, pedagógicas, matemáticas e incluso de infraestructura que
intervienen en el proceso de enseñanza aprendizaje; se invocan muchos vectores.
Sin embargo, en algunos aspectos propiamente pedagógicos en el desarrollo de la
lección. Las preguntas emergen: ¿qué debe aprenderse en una lección de matemáticas?
¿Cuál debe ser la orientación más conveniente para lograr éxito en el aprendizaje
efectivo de las matemáticas por medio de la lección? En relación con lo primero, una
lección de matemáticas debe proporcionar aprendizaje en el lenguaje y la cultura
matemáticos, los algoritmos y procedimientos específicos de las matemáticas, destrezas
de cómputo y medición pertinentes, pero también formas de razonamiento y destrezas
16
en la construcción de modelos de naturaleza matemática, y entrenamiento y habilidades
para la formulación y resolución de problemas. Todos estos objetivos deben ser
realizados. ¿Qué se debe privilegiar estratégicamente? El dilema, para empezar, se
puede poner en términos de cuáles dimensiones de las matemáticas deben poseer un
énfasis en los procesos de enseñanza: ¿los aspectos conceptuales o aquellos de
procedimiento?
2.1.2.1. CONCEPTOS, PROCEDIMIENTOS, NATURALEZA DE LAS
MATEMÁTICAS
Para buscar una respuesta, en primer lugar, vamos a precisar los términos que usaremos.
El conocimiento conceptual es aquel que se conecta fácilmente a otro conocimiento.
Mientras tanto, el conocimiento de procedimientos, procedimental, refiere a los
símbolos y las reglas que se memorizan sin relación con el entendimiento de esos
símbolos y reglas. Estas dimensiones participan en la definición de los alcances de una
clase. Puede llamarse este último también conocimiento algorítmico. Como bien
consignan Monereo et al:
"llamamos a un procedimiento algorítmico cuando la sucesión de acciones que hay que
realizar se halla completamente prefijada y su correcta ejecución lleva a una solución
segura del problema o de la tarea (por ejemplo, realizar una raíz cuadrada o coser un
botón). En cambio, cuando estas acciones comportan un cierto grado de variabilidad y
su ejecución no garantiza la consecución de un resultado óptimo (por ejemplo,
planificar una entrevista o reducir el espacio deun problema complejo a la identificación
de sus principales elementos más fácilmente manipulables) hablamos de procedimientos
heurísticos". (Monereo et al 1998)
Procedimientos heurísticos están íntimamente asociados a conocimiento conceptual.En
las visiones más tradicionales en la Educación Matemática se afirma que lo esencial es
el dominio de los aspectos de cómputo antes de abordar los contenidos conceptuales. En
esta visión se demanda un rendimiento rápido en el arte del cómputo, y el manejo de
técnicas. Se afirma que en algún momento -siempre posterior- se tratará con los
aspectos conceptuales. Sin embargo, la mayor parte de las veces sucede que el espacio
17
destinado a los procedimientos es demasiado grande y la conexión con los conceptos,
con la comprensión, se ve profundamente debilitada.
Las visiones educativas más modernas, sin embargo, subrayan el carácter conceptual de
las matemáticas y la importancia de relacionar los conceptos con los que el estudiante
ya posee; en particular, lo que se llama el conocimiento informal que previamente los
estudiantes poseen, y su bagaje cultural. Y se apunta a la utilización de situaciones
matemáticas no rutinarias que exijan una elaboración no mecánica.
Una orientación en esta dirección empuja hacia la heurística, aplicaciones, modelos, que
conecten con los entornos sociales y físicos, recursos a la historia que permitan
evidenciar el estatus cognoscitivo de los conceptos empleados. Por supuesto,
adelantando nuestra opinión, en las matemáticas coexisten ambos tipos de
conocimiento, el punto es desarrollar una estrategia eficaz que favorezca el aprendizaje;
sin duda, los profesores deben buscar que los estudiantes establezcan las conexiones
entre el conocimiento conceptual y el procedimental.
Toda esta discusión está en correspondencia directa con la percepción que se tenga
sobre las matemáticas. Si se afirma que es, por ejemplo, un lenguaje desprovisto de
contacto con el mundo empírico, como en el Neopositivismo, las implicaciones son de
un tipo (Ayer 1936). Si el punto de vista es logicista (como en Frege o Russell) se
enfatiza la deducción, al margen de conceptos contextualizados o relaciones con el
entorno (Ruiz 1990). Si lo que se subraya son sus dimensiones formales y estructurales,
su consistencia por ejemplo (HILBERT), se plantea otra orientación (Ruiz 1990). Y otra
visión pedagógica emerge si se piensa en las matemáticas como reflejos inductivos
empíricos (MILL). Se puede pensar en las matemáticas como ciencia de patrones
abstractos (Resnik 1975 y 1982). El asunto puede ser más explícito en cuanto a los
procedimientos; como bien reporta Vilanova et al:
"Thompson (1992) señala que existe una visión de la matemática como una disciplina
caracterizada por resultados precisos y procedimientos infalibles cuyos elementos
básicos son las operaciones aritméticas, los procedimientos algebraicos y los términos
geométricos y teoremas; saber matemática es equivalente a ser hábil en desarrollar
procedimientos e identificar los conceptos básicos de la disciplina.
18
La concepción de enseñanza de la matemática que se desprende de esta visión conduce
a una educación que pone el énfasis en la manipulación de símbolos cuyo significado
raramente es comprendido." (Vilanova et al , 2001)
Otra visión de las matemáticas, cercana al constructivismo filosófico y al
cuasiempirismo (a lo ImreLakatos o recientemente Philip Kitcher o Paul Ernest; Ruiz
2003):
"Una visión alternativa acerca del significado y la naturaleza de la matemática consiste
en considerarla como una construcción social que incluye conjeturas, pruebas y
refutaciones, cuyos resultados deben ser juzgados en relación al ambiente social y
cultural. La idea que subyace a esta visión es que "saber matemática" es
"hacermatemática".
Lo que caracteriza a la matemática es precisamente su hacer, sus procesos creativos y
generativos. La idea de la enseñanza de la matemática que surge de esta concepción es
que los estudiantes deben comprometerse en actividades con sentido, originadas a partir
de situaciones problemáticas. Estas situaciones requieren de un pensamiento creativo,
que permita conjeturar y aplicar información, descubrir, inventar y comunicar ideas, así
como probar esas ideas a través de la reflexión crítica y la argumentación. Esta visión de
la Educación Matemática está en agudo contraste con la anterior." (Vilanova et al 2001)
¿Qué son, entonces, las matemáticas? Las matemáticas deben verse, ya en nuestra
opinión, como una ciencia natural aunque con características específicas (que incluso
empujan hacia una reinterpretación de lo que son las ciencias). Las implicaciones de
esto son varias: como ciencia natural, empuja una relación íntima entre las matemáticas
y el mundo material y social. En términos epistemológicos: una relación mutuamente
condicionante entre el objeto y el sujeto, una interacción de influjos recíprocos y
cambiantes. También, se plantea una relación entre las matemáticas y las otras ciencias:
una íntima vinculación teórica e histórica del conocimiento científico, lo que las hace un
instrumento imprescindible para el progreso de éstas. Nuestra perspectiva de fondo:
". las matemáticas obtienen sus nociones elementales del mundo físico que siempre
interviene y las operaciones o acciones que el sujeto realiza a partir de aquellas también
corresponden al mundo. Las abstracciones originales, las abstracciones " reflexivas"
19
(que son las que señala Piaget), y todos los diferentes tipos de abstracciones (siempre
más o menos subjetivas) están vinculados a la realidad.
En la gestación, desarrollo y utilización de los métodos de las matemáticas el sujeto
nunca deja de recibir la influencia directa del objeto. Nuestra propia naturaleza posee
características generales biológicas o físicas que corresponden al resto del universo. . los
resultados matemáticos no son simples generalizaciones inductivas ni tampoco son
réplicas mentales impresas por el objeto en un sujeto pasivo; varios factores siempre
interactúan.
La aplicabilidad o la armonía de las matemáticas con el mundo no se puede explicar con
énfasis unilaterales colocados ya sea en el papel del sujeto o en el del objeto. Para
nosotros: en algún lugar de la relación entre ambos es que se encuentra la mejor
explicación." (Ruiz 2000)
Podemos añadir que las matemáticas refieren al análisis de situaciones reales y a los
procesos para representarlas en una forma simbólica abstracta adecuada (Davis y Hersh
1981).
Si adoptamos estos últimos puntos de vista, la conclusión es tajante: el propósito de la
Educación Matemática no puede ser planteado prominentemente como la memorización
de hechos y el desarrollo de cálculos y sus destrezas asociadas. Es decir, una formación
basada en los aspectos de procedimiento, la repetición y memorización de éstos, debilita
las posibilidades para crear habilidades en el razonamiento matemático y corresponder
apropiadamente con la naturaleza de ésta como disciplina cognoscitiva.
El asunto es más grave aún: una Educación Matemática basada en procedimientos y
manipulación de símbolos (a veces sin sentido), con poca relación con los conceptos,
formas de razonamiento y aplicaciones, es un poderoso obstáculo para que los
estudiantes puedan comprender el valor y la utilidad de las matemáticas en su vida.
Es posible estar de acuerdo con una aproximación que enfatiza los aspectos
conceptuales en la formación matemática, sin embargo una cosa es declararlo y otra
cosa es realizarlo. En la mayoría de ocasiones las lecciones se desarrollan dando
dominantemente un gran espacio a la solución mecánica de ejercicios rutinarios, con
20
poca presencia de problemas o proyectos que involucren varias formas de razonamiento
o diferentes disciplinas matemáticas.
2.1.2.2. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
Los sistemas de evaluación, por ejemplo, tienden a favorecer los procesos memorísticos
y la presencia mayoritaria de los llamados problemas de un solo paso. Son comunes en
varios países, en particular en pruebas masivas, los exámenes estandarizados de
selección única que, en general, no poseen ejercicios de varios pasos mentales. No es,
por supuesto, que la metodología de la selección única en exámenes, normalmente a
corregir por lectora óptica, no pueda poseer ejercicios de una mayor complejidad.
Lo que sucede es que el sistema fomenta evaluaciones con ejercicios de un solo paso,
cargados de repetición, aplicación rutinaria y mecánica. Para dar un ejemplo: las
pruebas del Bachillerato en Costa Rica. Esto, por supuesto, a la larga condiciona los
procesos educativos de una manera más global.
La formación se restringe a contenidos y mecanismos que serán evaluados con este tipo
de estrategias de evaluación, con debilidades profundas en la profundidad y utilidad de
las matemáticas.
Otro ejemplo: en la clase se suelen evadir los problemas complejos porque éstos
requieren un tratamiento más amplio, que consume normalmente más tiempo de la
lección. Y la estructura de las jornadas educativas y los currículos, y la misma presión
de pruebas nacionales, parecieran no permitir adoptar otro tipo de estrategia.
Varios factores en los curricula dominantes de diferentes maneras apuntalan una
enseñanza conductista cargada de metodologías y didácticas preprogramadas.
Todo esto, presente en la formación matemática de muchos países, constituye uno de los
problemas más graves para que un sistema educativo pueda responder a los retos de un
planeta sometido a una extraordinaria tensión y en donde el conocimiento se ha vuelto
la piedra de toque (Ruiz 2001).
Una vez que se ha establecido el valor estratégico de los razonamientos matemáticos
abstractos, y el significado de los conceptos, el debate recae naturalmente sobre cuál
21
debería ser la mejor orientación pedagógica para lograr el aprendizaje de las
matemáticas y su mejor utilización dentro de un sistema educativo.
En lo que sigue, entonces, vamos a puntualizar algunos elementos metodológicos para
fortalecer una orientación en ese sentido. Empezamos por lo más general.
2.1.2.3. LA LECCIÓN DE MATEMÁTICAS
El desarrollo de la lección exige una evaluación cuidadosa de sus objetivos: el más
apropiado para una lección de matemáticas debe ser siempre apuntar hacia las formas de
razonamiento más general, propiamente matemáticas.
Cuando el objetivo se reduce a enseñar la solución de un problema específico o un
procedimiento particular solamente, el resultado en la formación matemática es muy
débil. Puesto de otra forma: se trata de encontrar en los aspectos específicos particulares
la estructura cognoscitiva y la dimensiones abstractas involucradas; es decir, establecer
un puente entre lo particular y lo abstracto, no quedarse en lo particular, y tampoco, por
supuesto, en solamente lo abstracto. Esto es muy importante. `
Nunca se puede perder de vista que las matemáticas son ciencias de lo abstracto; puesto
de otra manera: la disciplina de las matemáticas trabaja los aspectos más generales de la
realidad.
La intervención de los sentidos es mayor en estos últimos. Las operaciones mentales
involucradas también son otras. Las matemáticas, aunque referidas a un mundo material
y social, se han construido de manera cíclica y permanente como construcciones
cognoscitivas cada vez más alejadas del mundo sensorial. No obstante, sus formas de
razonamiento y de creación intelectual se mantienen íntimamente asociadas a otras
partes del conocimiento humano.
Para la Educación Matemática no se trata de circunscribir los contenidos y objetivos
educativos a realizar en un marco de las matemáticas consideradas como un cuerpo
abstracto, sino de conducir a los estudiantes al dominio de conceptos, métodos y
destrezas matemáticas a través de procesos pedagógicos y didácticos específicos. La
Educación Matemática no es matemática pero tampoco es educación en general.
22
El objetivo de la clase, entonces, busca fortalecer el razonamiento abstracto partiendo de
la experiencia y el contexto del alumno, el conocimiento aprendido previamente. Esto
significa el uso de escaleras y andamios apropiados. Este es el gran territorio de las
didácticas específicas de las matemáticas.
La historia de las matemáticas, las aplicaciones de las matemáticas y sus
contextualizaciones, las motivaciones, la escogencia de las situaciones educativas, los
instrumentos usados como textos o materiales audiovisuales, las tecnologías, etc., son
relevantes en este contexto.
La historia de las matemáticas puede ser usada de múltiples maneras, aunque su uso
depende de la filosofía que se asuma (Ruiz 2003). No sólo como interesantes anécdotas
o la presentación de contextos para entender las construcciones matemáticas, sino
comoun recurso para determinar incluso la lógica de un currículo, por ejemplo el orden
de presentación de algunos contenidos, o para realizar un vínculo con otras disciplinas
cognoscitivas o la cultura en general.
La historia puede ser usada para propiciar no sólo la confrontación con problemas de las
matemáticas a partir de las condiciones históricas específicas que permiten valorar el
significado de los resultados, sino también para la realización de los objetivos en la
comunicación y verbalización de conceptos y procedimientos matemáticos.
Los modelos matemáticos que permiten establecer su relación con el entorno social o
físico también permiten valorar el significado y la utilidad de las matemáticas.
Las tecnologías diversas pueden participar en este proceso no sólo para simplificar
cálculos rutinarios y simples, ofrecer más tiempo para otras formas de razonamiento,
sino también para, en algunos casos, "visualizar" matemáticas, aumentar procesos de
interacción y actividad, o potenciar las posibilidades para el enfrentamiento con
problemas matemáticos interesantes.
Las nuevas tecnologías, especialmente aquellas de la comunicación, permitirían también
abordar la interacción educativa a partir de la participación de más personas, incluso de
diferentes latitudes (lo que enriquecería el proceso de enseñanza y aprendizaje). Aquí
encuentra un sentido relevante el uso de las disciplinas dedicadas al análisis de datos
23
como la estadística y la probabilidad, que permiten la construcción de modelos sencillos
de usar en las matemáticas preuniversitarias.
2.2. HIPÓTESIS
El complemento de un enfoque pedagógico que contemple la conexión de las
matemáticas con la naturaleza incide en un deficiente aprendizaje de la misma
2.3. VARIABLES
2.3.1. VARIABLE INDEPENDIENTE
Enfoque Pedagógico – Las Matemáticas en la Naturaleza
2.3.2. VARIABLE DEPENDIENTE
Aprendizaje de las matemáticas
24
2.4. OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES
Variable Independiente: Enfoque Pedagógico – Las Matemáticas en la Naturaleza
ABSTRACTO CONCRETO
CONCEPTUALIZACIÒN CATEGORÍAS INDICADORES ÍTEMS BÁSICOS TÉCNICAS/INSTRUME
NTOS
El enfoque pedagógico se fundamenta en el concepto de
educación para la formación y
el desarrollo humano integral
y social
-Las Matemáticas en
la naturaleza
-Sucesión Fibonacci
-Fractalidad
-Animales,
-Sección aurea y plantas
-Verduras y frutas
-Rectángulos y Espirales
-¿Qué relación cree que existe
entre las matemáticas y la
naturaleza?
-¿Conoce la serie Fibonacci?
-Encuesta a los
estudiantes del Colegio
“Clemente Ponce Borja”
-Encuestas dirigidas a los
profesores de
matemáticas.
* Formulario
Estructurado
Un enfoque pedagógico es
una teoría desde la cual se
concibe un proceso y unas
estrategias de enseñanza
aprendizaje.
Proceso
enseñanza=aprendiz
aje
-Educación
-Ilustración
-¿Considera usted que la
educación les permita forjar un
mejor porvenir?
-¿Alguna vez les llevo un
profesor fuera del aula para
enseñarles matemáticas?
-¿Te gustaría a hacer camping?
Encuesta a los
estudiantes del Colegio
“Clemente Ponce Borja”
* Formulario
Estructurado
25
Variable Dependiente: Incidencia en el Aprendizaje de las matemáticas
ABSTRACTO CONCRETO
CONCEPTUALIZACIÒN CATEGORÍAS INDICADORES ÍTEMS BÁSICOS TÉCNICAS/INSTRUME
NTOS
Disciplina caracterizada por
resultados precisos y
procedimientos infalibles
cuyos elementos básicos
son las operaciones
aritméticas, los
procedimientos algebraicos
y los términos geométricos
y teoremas; saber
matemática es equivalente a
ser hábil en desarrollar
procedimientos e identificar
los conceptos básicos de la
disciplina.Thompson (1992)
-Aprendizajes
-Conceptos
-Procedimientos
-Naturaleza de las
matemáticas
-¿Que beneficio considera
usted que el aprendizaje de las
matemáticas incide en su
educación?
-¿Cree que se puede aprender
matemáticas al aire libre
utilizando la naturaleza como
material didáctico?
-Encuesta a los
estudiantes del Colegio
“Clemente Ponce Borja”
* Formulario
Estructurado
La concepción de
enseñanza de la matemática
conduce a una educación
que pone el énfasis en la
manipulación de símbolos
cuyo significado raramente
es comprendido." (Vilanova
et al , 2001)
-Evaluación Estrategias de
aprendizajes
-¿De los siguientes materiales
didácticos a continuación cuál
o cuáles de ellos utiliza
normalmente usted para dar sus
clases de matemáticas?
-Encuesta a los
profesores de
matemáticas.
*Formulario
Estructurado
26
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
3.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
3.2. TIPO DE LA INVESTIGACIÓN
En el proceso de desarrollo del conocimiento científico, se utilizaron los siguientes tipos
de investigación:
3.2.1. CORRELACIONAL
Porque se busca con esta investigación la relación existente entre la matemática y la
naturaleza tal como planteamos el problema con las siguientes preguntas: ¿La
naturaleza fue creada en base a las matemáticas? ¿Existe relación entre los objetos de la
naturaleza y las matemáticas? Entonces ¿Con qué parte de las matemáticas las puedo
relacionar
3.2.2. BIBLIOGRÁFICA
Con el propósito de conocer, ampliar, profundizar y de deducir diferentes enfoques,
teorías, conceptualizaciones y criterios de diversos autores sobre el fenómeno a
investigar, se utilizó páginas electrónicas y enlaces web de los principales autores que
sustentaban la fundamentación de las matemáticas y la naturaleza.
3.2.3. DE CAMPO
Se aplicó la modalidad de campo por ser un método científico que permite un estudio
sistemático al tratamiento del tema garantizando efectividad en la investigación. Estudia
los hechos en el lugar en que se producen, siendo una investigación directa: de
investigadores a investigados, cuya finalidad es establecer la relación entre la
matemática y la naturaleza.
3.3. MÉTODOS DE LA INVESTIGACIÓN
Para el estudio de las matemáticas en la naturaleza se utilizaron los diferentes métodos
de la investigación:
27
3.3.1. MÉTODO DEDUCTIVO-INDUCTIVO
Se utilizó el método deductivo, que permitió partir de una premisa general del tema para
llegar al caso particular enfatizando en la teoría y en la explicación, a la vez que
permitirá teorizar los temas matemáticos para aplicarlos en la institución educativa y así
aplicar el método para instruir e incentivar a los estudiantes al amor por las matemáticas
3.3.2. MÉTODO EXPERIMENTAL
En el estudio del tema para observar los efectos en algunos productos de la naturaleza,
con el propósito de precisar resultados
3.4. POBLACIÓN Y MUESTRA
3.4.1. POBLACIÓN
La población a considerar es el Ciclo Básico del colegio Nocturno Fiscal “CLEMENTE
PONCE BORJA”, de la parroquia de Leónidas Plaza, es decir 8º, 9º, y 10º, Año de
Educación Básica, esto es 46 estudiantes en total para la realización de la encuesta a los
estudiantes, en cuanto a los profesores de matemáticas se tomó en cuenta así mismo al
100% de los profesores de matemáticas de los colegios del sector de Leónidas Plaza,
3.4.2. MUESTRA
100% del ciclo básico del colegio “Clemente Ponce Borja” = 46 estudiantes 100% de
los profesores de matemáticas del sector de Leónidas Plaza = 12 profesores
3.5. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE LA
INFORMACIÓN
3.5.1. LA OBSERVACIÓN
Para el desarrollo de la investigación se utilizólos sentidos de la vista, laaudición, el
olfato, el tacto y el gusto, con los que se realiza observaciones yacumula hechos que
ayudarona la identificación de la matemática como a su posterior resolución que tiene
en relación a la naturaleza.
28
Entre los elementos de la observación está el investigador, el objeto de estudio que es la
matemática y la naturaleza. Se utilizó los instrumentos como Fichas de observación.
Los resultados de la investigación están descritos en forma cualitativa y cuantitativa, de
acuerdo con los objetivos y apoyada en el marco teórico, para llegar a las conclusiones
de los objetivos específicos las mismas que contribuyeron al desarrollo del tema.
3.5.2. LA ENCUESTA
Se ha considerado a la encuesta como un método para recolectar los datos necesarios
para recabar información veraz y oportuna para recoger la información que los
estudiantes del colegio “Nicolás Clemente Ponce Borja” tienen para el éxito de este
trabajo de investigación. Este método ha permitido explorar sistemáticamente lo que los
estudiantes saben, sienten, profesan o creen.
Ha representado una serie preguntas y respuestas de los entrevistados que se limitan a
las categorías dadas previamente
Se hará un cuestionario con respuestas preestablecidas donde se sugiere al entrevistado
a situarse, pero no se le dará la posibilidad de explicar lo que piensan puesto que son
preguntas cerradas.
29
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS
4.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
4.1.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADO DE LAS ENCUESTAS
4.1.1.1. ENCUESTAS REALIZADAS A LOS ESTUDIANTES
30
1) Considera usted que la educación les permitirá forjar un mejor porvenir
Tabla No. 4.1. Pregunta Nº 1 – Estudiantes
Figura 4.1. Representación Porcentual sobre la opinión de los estudiantes acerca del futuro de su educación
Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º. Y 10º. Año de básica del Colegio Mixto
Nacional “Clemente Ponce Borja”
Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- Según los resultados obtenidos 32 de los 46 estudiantes encuestados que
representa el 70% está totalmente de acuerdo que la educación será la fuente de un
mejor porvenir en su futuro, junto a un número menor que este, 13, representando el
28% está de acuerdo con la apreciación dada, cabe destacar que deliberadamente se les
ubicó estas dos opciones para notar el grado de aceptación hacia el estudio, 1 solo
estudiante está en desacuerdo que constituye el 2%, y cero estudiantes están en total
desacuerdo.
Interpretación.- De acuerdo a la pregunta establecida a los estudiantes se nota que
están convencidos que el estudio y solamente el estudio les permitirá forjar un mejor
porvenir para sus vidas y las de los suyos, esto es bueno porque según datos recopilados
verbalmente la campaña educativa constante y continua ha retocado un efecto positivo
en la mayoría de los jóvenes
En total desacuerdo
0%
En desacuerdo2%
De acuerdo28%
Totalmente de acuerdo
70%
¿Considera usted que la educación les permitirá forjar un mejor porvenir?
31
2) Que beneficio considera usted que el aprendizaje de las matemáticas incide en
su educación
Tabla No. 4.2. Pregunta Nº 2 – Estudiantes
Figura4.2. Representación Porcentual sobre la opinión de los estudiantes acerca de la incidencia de las matemáticas en su educación
Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º. Y 10º. Año de básica del Colegio Mixto
Nacional “Clemente Ponce Borja” Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- Según los resultados obtenidos 43 de los 46 estudiantes encuestados que
representa el 94% considera que el adquirir conocimientos matemáticos incide de
manera directa en su educación es decir están de acuerdo que estudiar matemáticas
embarga un gran beneficio el 4% piensa que es de mediano beneficio el 2% poco
beneficio y el 0% que no tiene ningún beneficio ni provecho aprender matemáticas
Interpretación.- Los estudiantes están completamente conscientes de la importancia
que tiene la materia en cuestión por encima de otras materias inclusive, de la misma
manera, observando las anotaciones hacia la materia de matemáticas los estudiantes se
referían que se sigue trabajando con lo común y cotidiano que es enseñar matemáticas
en pizarra, que necesitan otro incentivo para mejorar en el interés de la misma.
De mucho beneficio
94%
Mediano beneficio
4%
Poco beneficio2%
No existe un beneficio
0%
Que beneficio considera usted que el aprendizaje de las matemáticas incide en su educación
32
3) Qué relación cree usted que existe entre las matemáticas y naturaleza
Tabla No. 4.3: Pregunta Nº 3 – Estudiantes
Figura 4.3. Gráfico porcentual acerca de la relación existente entre las matemáticas y la
naturaleza Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º. Y 10º. Año de básica del Colegio Mixto
Nacional “Clemente Ponce Borja”
Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- se pretende indagar en el estudiante para pesar el grado de relación entre la
naturaleza y las matemáticas por tal virtud los estudiantes respondieron del manera
bastante diversa, 15 estudiantes de 46 encuestados que representa el 33% creen que
existe “MUCHA” relación entre las ciencias exactas y la naturaleza.
12 Estudiantes que representan el 26% reconocen que no saben si existe alguna
conexión entre lo antes mencionado, el 11% de los encuestados creen que no existe
ninguna relación matemática – naturaleza, el 4% creen que existe poca relación el 17%
creen que existe algo o cierta conexión entre ellos y el 9% piensan que existe una
conexión completa entre los números, series y demás tipos de cálculos y la naturaleza.
Interpretación.- Existe un número alarmantemente elevado de estudiantes que no
saben si hay relación entre las matemáticas y la naturaleza, esto es porque nunca se les
ha hablado del vínculo existente, es triste también que los un buen número de alumnos
pienses que no existe o que haya algo o un poco de relación entre ellas, recalco que no
están siendo incentivados al reconocer la relación existente.
Casi la mitad de los chicos encuestados si suponen que exista bastante o una relación
completa, esto es gratificante por se sabe que no existe un terreno árido en el cual se
pretenda trabajar y de alguna manera cambiar la mentalidad de los estudiantes con
respecto al tema en mención.
No sé26%
Ninguna11%
Poca4%
Algo17%
Mucha33%
Completa9%
Qué relación cree usted que existe entre las matemáticas y naturaleza
33
4) Conoces la serie Fibonacci
Tabla No. 4.4. Pregunta Nº 4 – Estudiantes
Figura 4.4. Representación Porcentual acerca del conocimiento de ciertas series número como
la es la serie Fibonacci Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º. Y 10º. Año de básica del Colegio Mixto
Nacional “Clemente Ponce Borja”
Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- de toda la población encuetado que son 46 estudiantes 35 que representan el
76% reconocen no saber acerca de la existencia de la serie numérica Fibonacci, en
contraste al 24% que son 11 estudiantes que afirman conocer la serie en mención.
Interpretación.- es indudable el desconocimiento general acerca de la existencia de la
serie numérica Fibonacci, pero no solamente la serie perse sino que también cualquier
clase de serie numérica, por eso es muy importante incluir en los pensum matemáticos
las series numéricas, porque estas ayudan al desarrollo del pensamiento.
Si24%
No76%
Conoces la serie Fibonacci
34
5) Crees que se puede aprender matemáticas al aire libre utilizando la naturaleza
como material didáctico
Tabla No. 4.5: Pregunta Nº 5 – Estudiantes
Figura 4.5. Representación Porcentual que permite conocer si el estúdiate cree que se puede utilizar a la propia naturaleza como material didáctico para aprender matemáticas
Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º. Y 10º. Año de básica del Colegio Mixto
Nacional “Clemente Ponce Borja” Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- 30 de los 46 estudiantes que fueron escogidos para realizar la encuesta
representando el 65% afirman que si se puede dar clases de matemáticas al aire libre y
que prácticamente están dispuestos a realizar un cambio en su educación
El 15% sostienen que no se puede utilizar la naturaleza o medios del cual se componen
para la enseñanza, y el 20% no saben o no están seguros de no saber nada al respecto
del tema.
Interpretación.- por lo visto y encontrado en las encuestas se observa una cosa, que si
están abiertos los estudiantes a probar nuevas experiencias en cuanto al aprendizaje de
las matemáticas y no solamente creen que sería beneficioso para ellos sino también lo
esperan como parte de su educación.
No sé20%
No15%Si
65%
Crees que se puede aprender matemáticas al aire libre utilizando la naturaleza como material didáctico
35
6) Alguna vez algún profesor les llevo fuera del aula para enseñarles matemáticas
Tabla No. 4.6: Pregunta Nº 6 – Estudiantes
Figura 4.6. Representación Porcentual que permite conocer si el maestro de matemáticas
alguna vez les llevo fuera del aula de clase para enseñar matemáticas. Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º. Y 10º. Año de básica del Colegio Mixto
Nacional “Clemente Ponce Borja”
Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- El universo de esta encuesta es completo, es decir se utiliza a todos los
estudiantes del ciclo básico del colegio en mención, y de estos 43 alumnos que
representan el 93% señalan que nunca se los ha sacado de clases para enseñarles
matemáticas, y que esperan que algún momento se haga parte fundamental de su
enseñanza.
Por el contrario solamente 3 alumnos que representa el 7% señalan que si han salido
hacia la naturaleza para aprender las ciencia numérica.
Interpretación.- Por simple observación se deduce que en nuestro medio no existe ni
siquiera un laboratorio destinado para la enseñanza de las matemáticas, nos estamos
quedando estancados en el aula de clase, y por entrevista extra oficial con los
estudiantes, están dispuestos y animados a recibir sus futuras clases en la naturaleza.
Opciones F %
Sí 3 7%
No 43 93%
46 100%
Sí7%
No93%
Alguna vez algún profesor les llevo fuera del aula para enseñarles matemáticas
36
7) Le han hecho comparaciones entre lo aprendido y la naturaleza en sus clases de
matemáticas
Tabla No. 4.7. Pregunta Nº 7 – Estudiantes
Figura 4.7. Representación Porcentual que muestra la frecuencia con que los profesores de
matemáticas han hecho comparaciones entre lo aprendido con los elementos de la naturaleza. Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º y 10º. Año de básica del Colegio Mixto
Nacional “Clemente Ponce Borja”
Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- En esta pregunta el 54% de los estudiantes es decir 25 de los encuestados
dicen que nunca los profesores de matemáticas les ha hecho comparaciones entre los
temas aprendidos en clases con elementos de la naturaleza ya sean estos vivos o inertes.
El 20% es decir 9 estudiantes expresan que alguna vez se les hizo comparaciones, de la
misma manera el 20% también confiesan que sus profesores les han hecho las
comparaciones pertinentes, pero solamente el 7% estamos hablando de 7 personas dicen
que siempre les han hecho las comparaciones del caso.
Interpretación.- de acuerdo a esta pregunta más de la mitad de los estudiantes no han
escuchado ninguna clase de comparación, es decir que no pueden establecer las
semejanzas que tiene nuestro entorno con lo que aprende en el salón de clases, aunque
también hablamos que un poco menos de la mitad de ellos alguna vez o muchas veces le
han hecho dichas comparaciones.
Nunca54%
Alguna vez20%
Muchas veces20%
Siempre6%
Le han hecho comparaciones entre lo aprendido y la naturaleza en sus clases de matemáticas
37
8) Te gustaría salir a hacer camping
Tabla No. 4.8. Pregunta Nº 8 – Estudiantes
Figura 4.8. Representación Porcentual que muestra el deseo de los estudiantes de salir
y compartir con la naturaleza
Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º y 10º. Año de básica del Colegio
Mixto Nacional “Clemente Ponce Borja”
Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- 41 estudiantes de los 46 encuestados lo cual representa el 89% sostienen que
les gustaría salir a hacer camping, y un 11% no lo quieren.
Interpretación.- la gran mayoría de ellos tienen un deseo de compartir más un
ambiente campestre y un roce con la naturaleza que le rodea, eso hace prever que aún
hay respeto y complacencia por nuestra naturaleza, creen que si cambian de ambiente
del aula a la naturaleza podrán aprender de mejor manera las matemáticas.
Sí89%
No11%
Te gustaría salir a hacer camping
38
4.1.1.2. ENCUESTAS REALIZADAS A LOS PROFESORES DE
MATEMÁTICAS
Para esta encuesta se tomó en cuenta solamente profesores de matemáticas de varias
instituciones educativas de Bahía de Caráquez y Leónidas Plaza,
Los profesores de matemáticas de un colegio particular este es la Institución educativa
“La Inmaculada”, en la Universidad Laica Eloy Alfaro dos de los profesores de mayor
renombre (los cuales están impresos en los anexos), dos colegios fiscales nocturnos
como lo son el colegio Clemente Ponce Borja y el colegio nocturno Bahía de Caráquez.
Se tomó una muestra de 12 profesores de matemáticas, tomando en consideración que
en Bahía de Caráquez, ciudad relativamente pequeña con no muchas instituciones
educativas y los profesores de matemática prácticamente se dedican a tiempo completo
es decir, trabajan tanto en universidades como en colegios en diferentes horarios.
39
1) Qué relación cree usted que existe entre las matemáticas y naturaleza
Tabla No. 4. 9: Pregunta Nº 1 – Profesores de Matemáticas
Figura 4.9. Representación gráfica que muestra la relación entre las matemáticas y la
naturaleza
Fuente: Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de Bahía de Caráquez Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- de los doce profesores de matemáticas encuestados 8 que representan el 67%
piensan que existe mucha relación entre la naturaleza y las matemáticas, y 4 profesores
que representa el 33% opinan que la relación es completa, el resto de las opciones, las
cuales son ninguna, poca y algo rindieron un 0%.
Interpretación.- Esto es una buena noticia puesto que los profesores si están de acuerdo
que existe una relación intrínseca entre las matemáticas y la naturaleza, el hecho es que
en contraste con los resultados de los estudiantes que ellos no entienden bien cuáles son
las conexiones entre lo antes mencionado, opino que los profesores deben comenzar a
involucrar ya a la naturaleza en sus clases
No sé0%
Ninguna0%
Poca0%
Algo0%
Mucha67%
Completa33%
Qué relación cree usted que existe entre las matemáticas y naturaleza
40
2) Conoce usted la serie Fibonacci
Tabla No. 4. 10: Pregunta Nº 2 – Profesores de Matemáticas
Figura 4.10. Representación gráfica que muestra Si los profesores conocen la serie Fibonacci Fuente: Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de Bahía de Caráquez
Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- de toda la población encuestada que son 12 profesores de matemáticas 9 que
representan el 75% que no conocen acerca de la existencia de la serie numérica
Fibonacci, en contraste al 25% que son 3 profesores que afirman conocer la serie en
mención.
Interpretación.- es indudable el desconocimiento general acerca de la existencia de la
serie numérica Fibonacci, no solamente en los estudiantes sino también en los
profesores, es por esta razón que los estudiantes tampoco conocen la serie, ni ninguna
otra clase de series numéricas.
Sí25%
No75%
Conoce usted la serie Fibonacci
41
3) De los siguientes materiales didácticos a continuación cuál o cuáles de ellos
utiliza normalmente usted para dar sus clases de matemáticas
Tabla No. 4. 11: Pregunta Nº 3 – Profesores de Matemáticas
Figura 4.11. Representación gráfica que muestra el uso de materiales didácticos en clases de
matemáticas
Fuente: Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de Bahía de Caráquez
Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- de los encuestados que son 12 profesores todos ellos usan pizarra y
marcadores, 9 de ellos utilizan juegos de razonamiento lógico y matemáticos, 3 de ellos
utilizan otros tipos de materiales didácticos y solo uno de ellos utiliza fichas de dominó
u otro juego, uno de los profesores dijo que utilizaba flores u otro ser viviente para
demostrar algo en matemáticas.
Interpretación.- Es importante destacar la sinceridad con que los profesores
respondieron sus preguntas, y concuerdan en que se debe utilizar elementos prácticos de
la naturaleza, pero que en nuestro medio no existe un módulo que enseñe o explique la
manera de hacerlo, por tal virtud es bueno que se incluya en las memorias o libros o
pensum de matemáticas modelos y ejemplos de cómo utilizar elementos naturales para
impartir sus clases, de la misma manera, conocer ejemplos reales y útiles en el uso de
las matemáticas con la vida práctica.
0
2
4
6
8
10
12
14
P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6
Encu
est
ado
s
De los siguientes materiales didácticos a continuación cuál o cuáles de ellos utiliza normalmente usted para dar
sus clases de matemáticas
42
4) La aplicación de las matemáticas que usted enseña dentro del aula de clase está
orientada a…
Tabla No. 4. 12: Pregunta Nº 4 – Profesores de Matemáticas
Figura 4.12. Representación gráfica que muestra el uso de materiales didácticos en clases de
matemáticas
Fuente: Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de Bahía de Caráquez
Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- para 4 de los profesores de matemáticas es más importante resolver
ejercicios matemáticos y algebraicos, 2 de ellos prefieren enseñar para mejorar la
economía de los estudiantes 4 de los profesores encuestados enseñan destrezas para
enfrentar los problemas que tiene la vida real.
Interpretación.- Según el resultado de las encuestas a los profesores de matemáticas
les preocupa conocer de reglas y procedimientos matemáticos inclusive encaminan al
estudiante a que sean buenos con los números para hacer dinero, pero es muy
lamentable saber que nuestros profesores de matemáticas con sus enseñanzas no
encaminan a los estudiantes a preocuparse por nuestra bella naturaleza, o lo que es peor
no enseñan a enamorarse de nuestro entorno ni hacer algo por ella.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
P 1 P 2 P 3 P 4 P 5
Encu
est
ado
s
La aplicación de las matemáticas que usted enseña dentro del aula de clase está orientada a…
43
5) Con qué frecuencia realiza casos prácticos con productos de la naturaleza en su
clase
Tabla No. 4. 13: Pregunta Nº 5 – Profesores de Matemáticas
Figura 4.13. Representación gráfica que demuestra a los profesores de matemáticas usar
productos de la naturaleza para sus ejercicios matemáticos
Fuente: Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de Bahía de Caráquez
Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- solamente 2 de los 12 profesores encuestados que representa el 17% siempre
utilizan productos extraídos de la naturaleza para enseñar matemáticas , en contraste con
el 83% de ellos que raras veces han utilizado un producto natural, un 0% sostiene que
nunca han utilizado productos naturales en sus clases.
Interpretación.- como indica la pregunta el 0% de los profesores nunca han utilizado
productos, esto quiere decir que alguna vez o un día han utilizado elementos de la
naturaleza en sus clases de matemáticas.
Siempre17%
Rara vez 83%
Nunca0%
Con que frecuencia realiza casos prácticos con productos de la naturaleza en su clase
44
6) Qué tiempo dedica a su actividad de docencia en el área de matemáticas
Tabla No. 4. 14: Pregunta Nº 6 – Profesores de Matemáticas
Figura 4.14. Representación gráfica que demuestra el tiempo dedicado a impartir sus clases ya sea en la mañana o tarde o noche
Fuente: Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de Bahía de Caráquez
Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- 7 de 12 profesores trabajan una parte del día ya sea por la mañana o tarde o
noche, esto representa el 58% de los encuestados, 5 profesores de matemáticas que
representan el 42% de los encuestados trabajan dos partes del día, es decir
prácticamente dedican todo su día de trabajo a la docencia.
Interpretación.- En esta pregunta se quiso descubrir el tiempo que dedican los
profesores de matemáticas a sus labores cotidianas educativas, hace algunos años atrás
los profesores solían cumplir tres partes del día en sus labores de enseñanzas ahora
como vemos algunos casi la mitad de ellos dedican una parte o dos, pero ninguno tres.
Una parte del día
58%
Dos partes del día
42%
Tres partes del día0%
Qué tiempo dedica a su actividad de docencia en el área de matemáticas
45
7) Cree usted que lograría un aprendizaje significativo con sus estudiantes si
emplea ejemplos de las matemáticas relacionándola con la naturaleza
Tabla No. 4. 15: Pregunta Nº 7 – Profesores de Matemáticas
Figura 4.15. Representación gráfica que muestra la visión de los profesores de matemáticas en
cuanto a los ejemplos y relaciones en sus clases
Fuente: Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de Bahía de Caráquez Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- el 100% de los encuestados están de acuerdo con que si se lograría un
aprendizaje significativo si se utilizará elementos de la naturaleza,
Interpretación.- No es difícil entender que todos los profesores están completamente
de acuerdo con la pregunta en cuestión.
Si100%
No0%
Cree usted que lograría un aprendizaje significativo con sus estudiantes si emplea ejemplos de las matemáticas
relacionándola con la naturaleza
46
8) La naturaleza de su entorno ofrece productos que sirven como ejemplos reales
para dar una explicación en su clase
Tabla No. 4. 16: Pregunta Nº 8 – Profesores de Matemáticas
Figura 4.16. Representación gráfica que afirman el ecosistema de la zona de bahía de Caráquez
es propicia para la enseñanza de las matemáticas y su relación con la naturaleza
Fuente: Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de Bahía de Caráquez Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- En esta pregunta el 100% de los encuestados es decir los doce profesores de
matemáticas saben que nuestro entorno ofrece una variedad de ejemplos para mostrar en
el aula de clase.
Interpretación.- Los profesores de matemáticas de nuestra localidad saben que pueden
utilizar cualquier elemento de la naturaleza unos piensan esto porque la naturaleza es
todo, o porque ofrece buenos y bastante material, porque ofrece ejemplos en casos
prácticos, porque se ven en las figuras geométricas, lograría también mayor interés en
los estudiantes y mejor participación de ellos, conocen también que muchos temas
presentan ejes transversales que se ven en la naturaleza.
Sí 100%
No0%
No se0%
La naturaleza de su entorno ofrece productos que sirven
como ejemplos reales para dar una explicación en su clase
47
9) Con qué frecuencia realiza trabajo de investigación de campo junto con sus
estudiantes para verificar la relación de la matemática con la naturaleza
Tabla No. 4. 17: Pregunta Nº 9 – Profesores de Matemáticas
Figura 4.17. Representación gráfica que demuestra la frecuencia del trabajo de investigación
de los profesores de matemáticas con sus estudiantes. Fuente: Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de Bahía de Caráquez
Elaborado por: Roque Ureta Santos
Análisis.- El 25% de los profesores encuestados confiesan que nunca realizaron un
trabajo de investigación de campo para relacionar las matemáticas y la naturaleza a sus
estudiantes el 42% cuando el caso lo amerite, el 335 afirman que eventualmente lo
hacen, pero lo alarmante es que ninguno de los profesores encuestados hacen este tipo
de investigación campo con los estudiantes de manera regular.
Interpretación.- Si el 42% de los docentes afirma que hacen investigación únicamente
cuando el caso lo ameritase observa que casi la mitad de lo docente no incrementan sus
conocimientos, lo cual afecta de manera negativa al desarrollo evolutivo de la educación
de nuestro país, ningún maestro docente hace investigación de manera continua para
mejorar el desarrollo enseñanza – aprendizaje.
Nunca25%
Cuando el caso lo amerite
42%
Eventualmente33%
Siempre0%
Con que frecuencia realiza trabajo de investigación de
campo junto con sus estudiantes para verificar la relación de la matemática con la naturaleza
48
4.1.1.3. COMPROBACIÓN DE HIPÓTESIS
Según lo verificado, en la tabla comprobación de Hipótesis, se puede apreciar que la
hipótesis previamente dada esta confirmada en un 82%, esto da pie a que si se
introdujera a la naturaleza como recurso didáctico y comparativo, se agregaría un
elemento adicional en la educación, esta es el amor a los números y la naturaleza,
aparentemente se observa la disposición de los maestros a incursionar en nuevos
métodos de enseñanza aprendizaje como es la inclusión de la naturaleza en sus
enseñanzas. Por tal motivo la comprobación de hipótesis nos confirma que el proyecto
es completamente viable y aplicable
49
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1. CONCLUSIONES
En la naturaleza se encuentra una relación completa con los números ya sea en la
formación del caracol donde se aprecia la serie Fibonacci, o en la cría de los
conejos, en las plantas por ejemplo la col de Bruselas se ve claramente la
fractalidad en ellos, las series numéricas y cálculos matemáticos se ven
reflejados en toda la naturaleza.
Las matemáticas y la naturaleza están profundamente relacionadas. Encontrar
sus vínculos tiene algo de misterioso y reconfortante como cuando percibimos la
secuencia de Fibonacci en los árboles que nos rodean.
La inclusión del estudio de la naturaleza en la matemática genera en el
estudiante curiosidad y sed de conocimientos, es decir quiere saber más, esto da
hincapié para que las matemáticas dejen de ser aburridas en el ámbito estudiantil
sino que sea de agrado para ellos
Por todo lo visto aprendido, estudiado e investigado, se nota que el estudio de
las matemáticas utilizando un enfoque académico con la naturaleza, hará que los
estudiantes se entusiasmen, y les guste mejor el aprendizaje de las matemáticas,
por medio de este estudio se puede ver claramente que los estudiantes
aprenderán de mejor manera y amarán la naturaleza.
Nuestro sistema educacional está mejorando, indudablemente y es una gran idea
incluir esta relación existente entre las matemáticas y la naturaleza, recordemos
que los profesores debían trabajar en varias instituciones para poder solventar su
economía, pero con el alza de sueldos ya no necesitan hacerlo, y eso hace que
tengan más tiempo para preparar mejor sus clases y actualizarse.
La mayoría de los profesores de matemáticas no tienen conocimiento de la
existencia de series como la de Fibonacci o acerca de la fractalidad, se han
sectorizado en el uso de Baldor en su gran mayoría y por medio de esto se intuye
que la investigación sobre nuevas formas de manejo de la educación matemática
50
no crece por la apatía de los profesores de matemáticas en los colegios del sector
de Bahía de Caráquez.
Algo interesante acerca de la investigación es que los maestros de matemáticas
han coincidido en la importancia de utilizar materiales didácticos tales como
elementos de la naturaleza y por el otro lado el internet, que posee herramientas
esenciales como los audiovisuales o el WebQuest.
La zona de la investigación en cuestión posee una posición geográficamente
privilegiada, en la cual de manera relativamente fácil se puede acceder a una
gran cantidad de elementos naturales muy útiles para hacer comparaciones entre
su materia y la naturaleza propiamente dicha.
La inclusión de las matemáticas en la naturaleza y la materia de matemáticas per
se tiene un cien por ciento de apoyo por los maestros, puesto que para ellos
inclusive, le permite darle un aire fresco a tan complicada materia como lo es la
matemática.
51
5.1.2. RECOMENDACIONES
Ya que existen muy pocos datos acerca de la relación existente entre las matemáticas
como tal y la naturaleza, y mucho menos un proyecto en el cual se integre nuestro
habitad y la ciencia de los números como material didáctico para enseñar las ciencias
exactas, el proyecto pretende incentivar al estudiante hacia el amor de las ciencias
precisas por medio de este extenso y gratuito recurso como lo es nuestro ecosistema
para hacer ejemplos y comparaciones.
Es por esto que los profesores de matemáticas de nuestro medio deben hacer que el
estudiante sienta una atracción hacia los números así como un apego y respeto hacia
nuestro gran hogar como lo es nuestra madre tierra.
A los profesores de matemáticas que comiencen a buscar conexiones y ejemplos
de los temas a los cuales ellos trabajan/enseñan y crear un plan de enseñanza
aprendizaje llevando al estudiante al entorno natural y mostrar con ejemplos de
la naturaleza el ejercicio aprendido en el salón de clase.
Buscar información en la web acerca de las matemáticas en la naturaleza y que
no se dedique a resolver ejercicios matemáticos y algebraicos solamente y
acercar a los estudiantes al respeto y mantenimiento de la naturaleza.
Es importante que se incluya en el pensum de estudios de matemáticas las series
lógicas con relación directa en la naturaleza, puesto que la investigación del
presente proyecto arrojó resultados sorprendentes en cuanto a la aceptación que
tiene esta variable no solamente en los profesores sino también en todos los
alumnos que quieren aprender a manejar los números.
Los maestros deberían de visitar el entorno natural de la zona de Bahía de
Caráquez, y buscar nuevas formas de relacionar la naturaleza con la materia de
matemática, buscar relacionar los temas que está implementando en su aula de
clase para así aumentar el deseo del aprendizaje de las matemáticas en su lugar.
Para mejorar el aprendizaje de las matemáticas los maestros deben utilizar
herramientas como la WebQuest para darle más opciones de estudios a los
estudiantes de hoy en día, esta es una herramienta que orienta al estudiante hacía
la investigación.
52
Renovar eventualmente la manera de cómo se enseña matemática, llevar al
estudiante al medio ambiente, sacarle del aula de clase para aprender de una
manera más animada y a la vez aprendiendo a amar el entorno natural que le
rodea es una buena estrategia para incentivar al estudiante y animarle al estudio
de las matemáticas
De cierto modo es importante utilizar los números para mejorar la económica de
los estudiantes, pero también amar y respetar nuestro entorno.
53
CAPÍTULO VI
LA PROPUESTA
6.1 TEMA DE LA PROPUESTA
WebQuest: Las matemáticas en la naturaleza; la serie Fibonacci
6.2 JUSTIFICACIÓN
Existen muy pocos datos acerca de la relación existente entre las matemáticas como tal
y la naturaleza, y mucho menos un proyecto en el cual se integre nuestro hábitat y la
ciencia de los números como material didáctico para enseñar las ciencias exactas, el
proyecto pretende incentivar al estudiante hacia el amor de las ciencias precisas por
medio de este extenso y gratuito recurso como lo es nuestro ecosistema para hacer
ejemplos y comparaciones.
Cabe mencionar que no solamente el estudiante sentirá una atracción hacia los números
sino también un apego y respeto hacia nuestro gran hogar como lo es nuestra madre
tierra.
La creación de una WebQuest como una herramienta de material didáctico para la
investigación y aprendizaje de los estudiantes, ya que desde la aparición del internet las
tareas investigativas de los estudiantes dieron lugar a un término muy subjetivo“Copia
& Pega”, por este motivo y a la par del desarrollo de la revolución educativa que Bernie
Dodge creó se cree que esta herramienta será de mucha utilidad a los maestros de
matemáticas de la localidad de Bahía de Caráquez
Es por esto que la presente propuesta tiene como motivo principal incentivar al
estudiante a inclinarse a la investigación real como medio para obtener mejores
resultados académicos y real entendimiento de la relación entre las matemáticas y la
naturaleza, además de conocer el nivel de conocimientos hacia las series numéricas, el
afecto hacia la naturaleza, y por medio de ello crear una propuesta que involucre estas
tres variables: Los Números, la Naturaleza y los estudiantes que fusionados lleguen a
una intersección de conocimiento ameno.
54
Figura No. 4.8. Gráfico Conocimiento Ameno
Elaborado por: El Autor
6.3 OBJETIVOS
GENERAL
Conocer la relación directa entre las matemáticas y la naturaleza estudiando la serie
Fibonacci utilizando herramientas modernas educativas como la WebQuest
ESPECÍFICOS
Aprender la serie Fibonacci, su historia y relación con la naturaleza
Aprender a calcular el número de oro y la divina proporción, y en qué lugares de
la naturaleza los encontramos
Conocer la biografía de Leonardo de Pisa
Utilizar herramientas como la WebQuest para resolver talleres acerca del tema
en cuestión
Generar una guía didáctica para el uso de esta WebQuest por parte de cualquier
docente
CONOCIMIENTO AMENO
Números
Naturaleza Estudiantes
55
6.4. POBLACIÓN OBJETO
La población objeto está dada por los estudiantes de noveno año de educación básica del
Colegio Nacional Mixto “Clemente Ponce Borja”
6.5 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
6.5.1. WEBQUEST
Una WebQuest es una técnica de aprendizaje por descubrimiento guiada por el docente
sin que el alumno así lo sienta, es una herramienta que planifica la investigación en el
internet dejando que el estudiante construya su aprendizaje con la dirección y
supervisión implícita del docente. La WebQuest se la localiza en el internet para guiar la
investigación realizada por el estudiante y así lograr que el estudiante en mención
obtenga los conocimientos requeridos.(YouTube.com, 2009)9
6.5.2. HISTORIA DE LA WEBQUEST
La WebQuest fue creada por el profesor Bernie Dodge de la Universidad Estatal de San
Diego en San Diego California, denominado el “Frank Lloyd Wright de los Ambientes
de Aprendizaje” por la revista “EducationWorld” Bernie Dodge es un profesor de
Tecnología Educativa es reconocido como uno de los 30 innovadores más importantes e
tecnología Educativa en los Estados Unidos.
La WebQuest nació cuando el Profesor Bernie Dodge estaba dictando un curso sobre
una simulación educativa llamada “Arquetipo” entonces decidió preparar el material
para que los maestros trabajaran en grupo y determino las partes esenciales de la
WebQuest, él se dio cuenta que había diseñado una nueva forma de enseñar y le
encantó.(Starr, 2002)10
9Tomado de YouTube.com, Fuente: http://www.youtube.com/watch?v=ctWH3QitTIk
10Tomado de Editeka.com; Autor: STARR, linda, Fuente: http://www.eduteka.org/reportaje.php3?ReportID=0011
56
6.5.3. PARTES EN QUE SE COMPONE UNA WEBQUEST
Una WebQuest se compone básicamente de: Introducción, Tarea, Proceso, Recursos,
Evaluación, Guía Didáctica.(Moreira, 2009)11
Introducción: Es la información necesaria que el alumno necesita conocer antes de
iniciar el proceso de investigación, esta debe mostrar una actividad atractiva y divertida,
orienta al alumno sobre la actividad e incrementa el interés.
Tarea: Orienta al alumno sobre el producto final que deberá realizar, describe
claramente del resultado final
Procesos: Da las pautas que organizan paso a paso la actividad del alumno, es la parte
fundamental para los alumnos.
Recursos: Es la listas de sitios web evaluados y seleccionados con previamente por el
docente.
Evaluación: La importancia de conocer los criterios y aspectos de la evaluación por
parte de los alumnos desde el principio de las WebQuest.
Conclusión: lo que han aprendido los alumnos y lo que pueden mejorar
6.5.4. BIOGRAFÍA DE LEONARDO DE PISA
En el siglo 12 existía un niño llamado Leonardo, quien nació en Italia, pero creció en
Argelia en África y a quién le encantaba jugar con los números. Leonardo había
aprendido de su padre los números romanos: I,V,X,V, pero en Argelia aprendió los
números arábigos: 1,2,3,4,5 y comprendió que estos números le daban más
posibilidades que los romanos. Su sueño era volver a Italia y enseñar a las personas a
utilizar estos números.(Hispanos, 2009)12
11
Citado por MOREIRA, Manuel Angel, Fuente: http://webpages.ull.es/users/manarea/webquest/componentes.htm 12Tomado de PadresHispano.com Fuente: http://padreshispanos.com/proyectos_para_nios
57
Leonardo escribió varios libros sobre matemáticas y en ellos utilizó el nombre de su
padre Bonacci y la palabra hijo que en latín se dice filius y las combinó en una nueva
palabra: Fibonacci.
Leonardo introdujo en Europa una serie de conceptos matemáticos que se conocían en
la India desde la antigüedad entre ellos la famosa serie que se conoce como los
"números de Fibonacci". Aquí presentamos como funciona esta secuencia:
0+1=1
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
5+8=13
8+13=21 ….
¿Cómo se presentan los números de Fibonacci en la naturaleza?
En muchos ejemplos de naturaleza, nos encontramos con los números de Fibonacci.
Uno de ellos es la forma en que se ordenan las semillas en el girasol de la fotografía. Si
cuentas bien los espirales que se forman hacia la derecha y hacia la izquierda, verás que
hay 34 curvas en un sentido y 21 en el otro: ambos son números consecutivos de la
sucesión de Fibonacci.
También podremos observar los números de Fibonacci en el estudio de poblaciones
idealizadas de conejos (el ejemplo inicial que usó Fibonacci), vacas y abejas; en el
número de espirales que forman los granos de frutos como las piñas de pino; en el
ordenamiento de las hojas en una rama. (Neoteo, 2009)13
La razón por la que los números de Fibonacci pueden encontrarse en tantos ejemplos de
la naturaleza, se relaciona estrechamente con el nexo que existe entre esta sucesión y el
número áureo. Como lo explica el profesor y matemático inglés, Dr. Ron Knott
(Universidad de Surrey, Reino Unido):
13Tomado de neoTeo.com, Fuente: http://www.neoteo.com/la-sucesion-de-fibonacci-en-la-naturaleza
58
"¿Por qué encontramos el número Phi tantas veces, al estudiar el crecimiento de las
plantas? La respuesta está en los empaques (packings): encontrar la mejor manera de
ordenar los objetos para minimizar espacio perdido. Si te preguntaran cuál es la mejor
forma de empacar objetos, seguramente responderías que depende de la forma de los
objetos, ya que los objetos cuadrados quedarían mejor en estructuras cuadradas,
mientras que los redondos se ordenan mejor en una estructura hexagonal. (…) Pero,
¿cómo ordenar las hojas alrededor de un tallo, o las semillas en una flor, cuando ambas
siguen creciendo? Al parecer, la Naturaleza usa el mismo patrón para disponer las
semillas en una flor, los pétalos en sus bordes, y el lugar de las hojas en un tallo. Aún
más, todos estos ordenamientos siguen siendo eficaces a medida que la planta crece.
Este patrón corresponde a un ángulo de rotación a partir del punto central, mediante el
cual los nuevos elementos (hojas, pétalos) se van organizando a medida que crecen".
(Neoteo, 2009)14
6.6. LISTADO DE CONTENIDOS TEMÁTICOS
WebQuest
O Introducción
O Tarea
O Proceso
O Recurso
O Evaluación
O Guía Didáctica
Plan de Clase usando como recurso la WebQuest
6.7 DESARROLLO DE LA PROPUESTA
6.7.1. WEBQUEST
TEMA: Las Matemáticas y la Naturaleza
OBJETIVO
Conocer la relación directa entre las matemáticas y la naturaleza estudiando la serie
Fibonacci utilizando herramientas modernas educativas como la WebQuest
14Tomado de neoTeo.com, Fuente: http://www.neoteo.com/la-sucesion-de-fibonacci-en-la-naturaleza
59
DURACIÓN: 10 horas repartidas en dos horas diarias (1 semana)
PARTICIPANTES:
Estudiantes de Noveno año de educación básica
DIRIGIDO A:
Estudiantes y profesores de matemáticas de noveno año de educación básica
TIEMPO ACTIVIDAD METODOLOGÍA RESPONSABLE RECURSOS
40 „ Ver el video con
la información
sobre la serie
Fibonacci en la
naturaleza
Ingresar a la
página web para
resolver el
WebQuest
Resolver las
tareas
Clase dinámica
Profesor de 9no.
Año de educación
básica
Internet
Plantas
Papel
Video
DESARROLLO DEL WEBQUEST
EXPOSICIÓN DE CONTENIDOS
Puedes utilizar un material didáctico muy interesante que es llamado WebQuest, sigue
el siguiente link: http://www.cepdeorcera.org/majwq/wq/ver/1736 aquí encontraras un
material bonito en interesante para aprender más acerca de la serie Fibonacci.
60
6.7.1.1. INTRODUCCIÓN
LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA
Probablemente cuando miramos a nuestro alrededor, específicamente la naturaleza, nos
maravillamos de su hermosura, las figuras que en ella se vislumbran, esa perfecta
combinación de colores e imágenes que a más de un fotógrafo le fascina capturar y que
nos permiten soñar, que nos cambian el ánimo, que relaja nuestra mente, y nos anima a
recordar eventos buenos de nuestra vida.
Si miramos un poquito más allá de los colores y la belleza, la imponencia y la
majestuosidad, veremos que cada objeto animado o inanimado está conformado en
prácticamente su totalidad de figuras, triángulos en algunos árboles, círculos perfectos
en las estrellas, planetas, el sol, o la luna, rectángulos, cuadrados y la combinación de
ellos para crear nuevas formas.
Los patrones y series matemáticas se repiten constantemente en todas las creaciones
naturales animadas o inanimadas, en este WebQuest vamos a analizar:
La maravillosa conexión entre las matemáticas y la Naturaleza,
La series de Sucesión de Fibonacci
61
Suerte y adelante
6.7.1.2. TAREA
Estos son los objetivos de este trabajo:
Estudiar las sucesiones matemáticas.
Investigar quién fue Fibonacci y cuál fue su aporte.
Investigar la sucesión de Fibonacci, como se calcula y cuál es el número de oro.
Investiga cómo se refleja la serie Fibonacci en la Naturaleza (plantas, nubes,
etc), en el cuerpo humano y en el mundo microscópico.
Relacionar el número áureo con la sucesión de Fibonacci.
Obtener conclusiones de todo tu trabajo de investigación
Para realizar este trabajo pueden formar grupos de 3 personas, y en la misma
computadora donde se encuentran crearán un documento en Word donde plasmen su
informe para después realizar una presentación en PowerPoint con no menos de 20
diapositivas.
Tarea 1.
Crear una carpeta en Mis Documento con el nombre del grupo y dentro de ella otra
carpeta con el nombre de recursos, almacenarán allí toda la información recopilada,
sobre las sucesiones matemáticas, la serie Fibonacci, cómo se calcula el número de oro,
62
y quién fue Fibonacci y cuál fue su aporte. Utilice los enlaces a sitios web que se
encuentran en la sección de recursos. El objetivo de esta tarea es que realice un
documento en Word respondiendo las preguntas propuestas.
Tarea 2
Después de consultar todos los enlaces de páginas web y videos en la sección de
recursos deberás responder las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es el nombre de Fibonacci y cuál fue su aporte?
2. ¿Cómo se construye la serie Fibonacci?
3. ¿Cómo se calcula el número de oro?
4. ¿En qué plantas se observa la serie Fibonacci?
5. ¿En qué animales marinos se percibe la serie Fibonacci?
6. ¿Cuál es la relación entre el número áureo y la sucesión Fibonacci?
7. Investiga los diferentes elementos que se encuentran en la naturaleza y el cuerpo
humano donde puede encontrarse la sucesión de Fibonacci. Busca ejemplos de
ese tipo en Internet y captura varias imágenes.
63
Tarea 3
Realice una exposición oral entregando su informe impreso hecho en Word y
proyectando una presentación creada en PowerPoint con los resultados de su
investigación en frente de todos sus compañeros.
No olvides:
Que encontrarás suficientes enlaces en la pestaña de recursos para realizar tu
investigación, así mismo puedes también utilizar motores de búsqueda como Google, y
por supuesto puedes buscar libros en bibliotecas.
¿Qué esperas?
A Trabajar!!!...
6.7.1.3. PROCESO
Para llevar a cabo cada una de las tres tareas deben organizarse de la siguiente forma:
Formarán grupos de 3 compañeros en una sola computadora.
Lean con mucha atención la Introducción y las Tareas y comenten entre ustedes
lo que se pide:
Estar bien claros en lo que se les pide:
64
o Lo primero que tienen que ver es qué se pide en el trabajo, es decir la
TAREA
o Segundo, cómo lo deben realizar eso lo encuentran en la pestaña da de
RECURSOS.
o Y muy importante lo que se les va a evaluar es decir en la pestaña
(EVALUACIÓN)
Después van a ir viendo cada una de las webs y los enlaces que se les facilita en
la pestaña RECURSOS para el desarrollo de las tareas que se les está pidiendo.
Elaboración de la tarea 1: En el esquema de la tarea 1 deben recogerse las
características y propiedades de las sucesiones y progresiones, tanto aritmética
como geométrica, así como todo aquello que consideren de interés, no olvidar
como se calcula el número de oro, los aportes de Fibonacci.
Elaboración de la tarea 2: deben contestarse todas las preguntas que se recogen
en la tarea 2. En las preguntas de investigación y ejemplos pueden extenderse
todo lo que quieran.
Elaboración de la tarea 3: en la exposición deben de recogerse todos aquellos
aspectos que les parezca más interesantes y curioso.
Al Final de cada sesión: Al finalizar cada sesión guarden su trabajo en una
carpeta con el nombre del grupo y dentro del informe los nombres de cada
miembro.
Recomendación: Para las tareas 1 y 3 no intenten extenderse mucho. Poco texto
e ideas claras y esquematizadas, es mucho mejor.
6.7.1.4. EVALUACIÓN
La evaluación de esta actividad constará de tres apartados:
Evaluación del trabajo individual dentro del grupo: basada en las
observaciones que realizará el profesor mientras desarrollan las distintas tareas y
que dará lugar a una calificación individual.
Evaluación del trabajo final del grupo: dará lugar a una calificación común
para los componentes del grupo.
65
Evaluación de la presentación oral: el profesor calificará cada intervención
individual y la creatividad del grupo.
La evaluación global de la actividad será un promedio de estos tres apartados.
Los diferentes aspectos evaluados en cada caso se detallan en las siguientes matrices de
evaluación:
Evaluación del Trabajo en grupo
Nota: Rúbrica evaluativa tomada de Eduteka.com15
Calificación /
Criterio
Excelente
(4)
Bien
(3)
Satisfactorio
(2)
Mejorable
(1)
Preparación y
predisposición
Trae el material
necesario y siempre
está listo para trabajar.
Casi siempre trae
el material
necesario y está
listo para trabajar.
Casi siempre trae
el material
necesario, pero
algunas veces se demora
en trabajar.
A menudo olvida
el material
necesario o no
está listo para trabajar.
Participación Proporciona siempre
ideas útiles cuando
participa en el grupo y
en la discusión en
clase.
Por lo general,
proporciona ideas
útiles cuando
participa en el
grupo y en la
discusión en clase.
Algunas veces
proporciona ideas
útiles cuando
participa en el
grupo y en la
discusión en clase.
Rara vez
proporciona ideas
útiles cuando
participa en el
grupo y en la
discusión en clase.
Puede negarse a
participar.
Actitud Nunca critica
públicamente el trabajo de los otros.
Siempre tiene una
actitud positiva hacia
él.
Rara vez critica
públicamente el trabajo de los
otros. A menudo
tiene una actitud
positiva hacia él.
Ocasionalmente
critica en público el trabajo de los
otros. Tiene una
actitud positiva
hacia él.
Con frecuencia
critica en público el trabajo de los
demás. Raramente
tiene una actitud
positiva hacia él.
Resolución de
problemas
Busca y sugiere
soluciones a los
problemas.
Mejora
las soluciones
sugeridas por
otros.
No sugiere ni
mejora las
soluciones, pero
está dispuesto a
admitir soluciones
ajenas.
No trata de
resolver
problemas o
ayudar a otros a
resolverlos. Deja a
los demás hacer el
trabajo.
Concentración
en el trabajo
Se mantiene centrado
en el trabajo que se
necesita hacer.
La mayor parte
del tiempo se
centra en el
trabajo que se
necesita hacer.
Otros miembros
del grupo pueden
contar con esta
persona.
Algunas veces se
centra en el
trabajo que se
necesita hacer.
Algunas veces,
otros miembros
del grupo
deben regañarle y
recordarle que se
Raramente se
centra en el
trabajo que se
necesita hacer.
Deja que otros lo
hagan.
15Tomado de eduteka.com, Tipos de Rúbricas evaluativas, Fuente: http://www.eduteka.org/proyectos/RubricPresentacion.php3
66
mantenga centrado.
Utilización del
tiempo
Utiliza bien el tiempo
durante todo el
proyecto para asegurar
que las cosas estén
hechas a tiempo. El
grupo no tiene que
reajustar la fecha
límite o trabajar en las
responsabilidades por
la demora de esta persona.
Utiliza bien el
tiempo durante
todo el proyecto,
pero pudo haberse
demorado en
algún aspecto. El
grupo no tiene que
reajustar la fecha
límite o trabajar
en las responsabilidades
por la demora de
esta persona.
Tiende a
demorarse, pero
siempre tiene las
cosas hechas para
la fecha límite. El
grupo no tiene que
reajustar la fecha
límite o trabajar
en las
responsabilidades por la demora de
esta persona.
Rara vez tiene las
cosas hechas para
la fecha límite y el
grupo ha tenido
que reajustar la
fecha límite o
trabajar en las
responsabilidades
de esta persona
porque el tiempo ha sido gestionado
inadecuadamente.
Control de la
calidad en el
trabajo
Frecuentemente
controla la eficacia del
grupo y hace
sugerencias para que
sea efectivo
Frecuentemente
controla la
eficacia del grupo
y trabaja para que
el grupo sea más
efectivo
Ocasionalmente
controla la
eficacia del grupo
y trabaja para que
éste sea más
efectivo
Rara vez controla
la eficacia del
grupo y no trabaja
para que éste sea
más efectivo
Desempeño
del rol
Cumplió
exhaustivamente todas
sus responsabilidades
Cumplió con
todas sus
responsabilidades
Casi siempre
cumplió con sus
responsabilidades
A veces
cumplió sus
responsabilidades
Para la evaluación del trabajo Final
Calificación
/
Criterio
Excelente
(4)
Bien
(3)
Suficiente
(2)
Mejorable
(1)
Trabajo en
Grupo
El trabajo se ha
desarrollado
cooperativamente,
repartiendo de
forma equilibrada
las funciones y
planificando las
tareas. Cada uno
desarrolló su rol a la perfección.
El trabajo se ha
desarrollado con un
reparto adecuado de
funciones, acatando
los roles definidos
El trabajo se ha
desarrollo con un
inadecuado reparto de
funciones y escasa o
nula planificación.
El trabajo se ha
desarrollado de
forma
prácticamente
individual, sin
acatar los roles
correspondiente
s.
Cantidad de
Información
Toda la información
es correcta. Todos
los temas han sido
tratados y todas las
preguntas contestad
as
Casi toda la
información es
correcta. Todos los
temas han
sido tratados y la
mayor parte de las
preguntas contestad
as
Hay alguna
información que no es
correcta. Todos los
temas han sido tratados
pero la mayor parte de
las preguntas fueron
contestadas escuetame
nte
Hay
información
incorrecta. Uno
o más temas no
están tratados.
Redacción No hay errores de
gramática,
ortografía o puntuación.
Casi no hay errores
de gramática,
ortografía o puntuación.
Hay pocos errores de
gramática, ortografía o
puntuación.
Hay muchos
errores de
gramática, ortografía o
puntuación.
Organizació
n y
claridad
La información está
muy bien
organizada. Cada
sección incluye una
La información está
organizada
Casi todas las
secciones incluyen
La información, en
general no ha sido bien
organizada. La mayor
parte de las
La información
proporcionada
no parece estar
organizada.
67
introducción, un desarrollo y una
conclusión clara.
una introducción, un desarrollo y una
conclusión clara.
secciones incluyen una introducción, un
desarrollo y una
conclusión clara.
Más de la mitad de las
secciones no
incluyen una
introducción,
un desarrollo y
una conclusión
clara.
Diseño La presentación
tiene un formato
muy atractivo. Hay
una buena combinación de
texto y gráficos
La presentación
tiene un
formato atractivo.
Hay gráficos que no añaden comprensión
al texto.
La presentación tiene
un formato escasamente
atractivo. Hay una
buena combinación de texto y gráficos.
La presentación
tiene un
formato poco
atractivo y confuso. No
hay buena
combinación de
texto y gráficos
Uso de las
TIC
Usa con éxito los
enlaces sugeridos
para encontrar
información, y
navega a través de
los sitios fácilmente
y sin ayuda.
Puede usar los
enlaces sugeridos
para encontrar
información, y
navega a través de
los sitios fácilmente
y sin ayuda.
Puede usar
ocasionalmente los
enlaces sugeridos para
encontrar información,
y navega a través de los
sitios fácilmente y sin
ayuda.
Necesita ayuda
o supervisión
para usar los
enlaces
sugeridos y/o
navegar a través
de los sitios.
Esfuerzo El trabajo final demuestra que los
alumnos se
esforzaron al
máximo
El trabajo final demuestra que los
alumnos se
esforzaron.
El trabajo final demuestra que a los
alumnos les faltó
esfuerzo
El trabajo final demuestra que
los alumnos no
se esforzaron
nada
Evaluación de la presentación oral
Calificación /
Criterio
Excelente
(4)
Bien
(3)
Satisfactorio
(2)
Mejorable
(1)
Comprensión Demuestra una
completa
comprensión del
tema.
El alumno
puede contestar con precisión casi
todas las
preguntas
formuladas por la
audiencia.
Demuestra una
buena comprensión
del tema.
El alumno
puede contestar con
precisión la mayoría de las
preguntas
formuladas por la
audiencia.
Demuestra una buena
comprensión de
partes del tema.
El alumno
puede contestar con
precisión unas pocas preguntas formuladas
por la audiencia.
No parece
entender muy
bien el tema.
El alumno no
puede contestar
las preguntas formuladas por
la audiencia.
Vocabulario Usa un
vocabulario
técnico muy
apropiado.
Usa un vocabulario
técnico apropiado.
Usa un vocabulario
técnico básico.
Usa un
vocabulario
técnico muy
poco apropiado.
Duración La duración de la
presentación es la
estipulada.
La duración de la
presentación es
ligeramente diferente de la
estipulada.
La duración de la
presentación es algo
diferente de la estipulada.
La duración de la
presentación es
notablemente mayor o menor
que la estipulada.
Escucha otras
presentaciones
Escucha
atentamente.
Casi siempre
escucha
atentamente.
Algunas veces parece
no estar escuchando.
No escucha y
molesta.
68
6.7.1.5.CONCLUSIÓN
Con este WebQuest hemos aprendido la relación existente entre los números y las
matemáticaspuesto que como ya sabes en la naturaleza encontramos una relación
completa con los números ya sea en la formación del caracol donde se aprecia la serie
Fibonacci, o en la cría de los conejos, en las plantas por ejemplo la col de Bruselas se ve
claramente la fractalidad en ellos, las series numéricas y cálculos matemáticos se ven
reflejados en toda la naturaleza.
Las matemáticas y la naturaleza están profundamente relacionadas. Encontrar sus
vínculos tiene algo de misterioso y reconfortante como cuando percibimos la secuencia
de Fibonacci en los árboles que nos rodean.
La inclusión del estudio de la naturaleza adentro las matemática te ha generado
curiosidad y sed de conocimientos, es decir quieres saber más, esto da hincapié para que
las matemáticas dejen de ser aburridas en el ámbito estudiantil sino que sea de agrado
para ustedes
Espero que con este trabajo no solamente hayas aprendido algo nuevo, sino también que
haya despertado en ti esa sed de conocer más acerca de este tan apasionante tema.
6.7.1.6. GUÍA DIDÁCTICA
1) Objetivos del área o áreas implicadas:
Que los estudiantes conozcan las diferentes series numéricas
Que los estudiantes aprendan que es la serie Fibonacci y en qué parte de la naturaleza lo
encuentran
Que los estudiantes investiguen acerca de Leonardo de Pisa (Fibonacci)
Que los maestros utilicen esta WebQuest como material didáctico
2) Contenidos:
Leonardo de Pisa Biografía y aportes científicos
Sucesión numérica Fibonacci
69
La sucesión Fibonacci y su relación con la naturaleza
Relación de la serie Fibonacci y el número áureo
3) Distribución temporal prevista:
Este trabajo de investigación implica leer artículos web, biografías, observación de
fotografías y observación de videos, por lo tanto el proceso temporal se lo hará de la
siguiente manera:
Tarea 1:
Tiempo Tarea
(00:30) Sucesiones.
(00:30) Teoría con ejercicios resueltos y una autoevaluación.
(00:30) Sucesiones.
(00:30) Teoría de sucesiones, progresiones aritméticas, progresiones geométricas
y ejemplos.
(00:30) Más sucesiones
(00:30) Juega con sucesiones
Para la tarea 1 (03:30)
Tarea 2
Tiempo Tarea
(00:10) Fibonacci, la Magia de los números (1ª parte)
(00:10) Fibonacci, la Magia de los números (2ª parte)
(00:30) Biografía de Fibonacci
(00:30) La sucesión de Fibonacci en la naturaleza
(00:10) Relación de Fibonacci con la naturaleza
(00:30) Fibonacci y la música
(00:30) Relación de Fibonacci con el número aúreo y con la fotografía
(00:30) Fotografías
(00:30) LiberAbaci
Para la tarea 2 (03:30)
Tarea 3
Puesto que la tarea 3 es el desarrollo de las actividades es decir el informe en Word y la
presentación en PowerPoint así que esta parte de criterio del estudiante
Resumen: el tiempo mínimo para resolver las actividades es de 7 horas y 3 para el
informe, en total 10 horas divididos en 5 días es decir 2 horas diarias.
70
El trabajo de investigación y su exposición tiene una semana de plazo para desarrollarla,
por eso el estudiante deberá dedicar por lo menos 2 horas diarias, para terminar el
trabajo con efectividad.
4) Los conocimientos previos que deberían poseer los alumnos:
Para el desarrollo de esta investigación el estudiante no debe poseer conocimientos
previos acerca de matemáticas, pero si como redactar un informe y desarrollar una
presentación en PowerPoint, tener la agudeza de sintetizar un informe, y tener expresión
corporal y oral para la exposición
5) Material previsto (ordenadores, programas, lápices, etc.):
Los materiales previstos para el buen desarrollo de esta actividad es la siguiente:
Para la investigación propiamente dicha:
Internet
Software de Ofimática (Word y PowerPoint)
Para la presentación del informe
Papelógrafo
Cartulina
Marcadores de colores
Recortes o impresiones
6) Organización del espacio (tanto para el trabajo con ordenadores, como para los
debates, creación de murales, grabaciones, ensayos, etc. )
Reunirse con los compañeros de grupo en la casa de ellos cada día, para tomar estudiar
y tomar notas para el desarrollo del informe, escoger una casa que tenga una mesa
grande para diseñar el papelógrafo el último día después que tengan todos los datos para
el informe
71
7) La mejor organización de los grupos de trabajo:
El grupo es de 5 personas y como se escribió anteriormente es preciso que se reúnan en
una casa diferente cada día y el último día con todas las notas recogidas escribir el
desarrollo del informe y diseñar la presentación PowerPoint
8) Recursos complementarios para el profesor (herramientas, utilidades,
documentos, libros, etc.):
Para esta investigación no se necesitan recursos complementarios puesto que toda la
información permitente al trabajo se encuentra en la ficha de recursos, pero si obtiene
información adicional o entrevistas por cuenta propia está bien para superar las
expectativas el profesor.
9) Necesidad o no de contar con el apoyo de otros profesores:
Este punto queda a disposición y decisión del estudiante.
10) La implicación de diferentes áreas:
La presente investigación contiene implicaciones en áreas como:
Computación
Redacción
Oratoria
Diseño Gráfico
Aritmética
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA LICENCIATURA EN CIENCIAS
DE LA EDUCACIÓN
PLANIFICACIÓN DIDÁCTICA DE CLASE
1.- DATOS INFORMATIVOS
ÁREA: Matemáticas
NOMBRE DEL BLOQUE: Series
Numéricas (Fibonacci)
METODOLOGÍA: Método Crítico Iconográfico
EJE DE APRENDIZAJE: Serie Numérica,
Relación de la serie en la Naturaleza
EJE TRANSVERSAL: Aprendizaje de la
relación existente entre la serie y algunos
lugares donde se encuentran en la naturaleza
COLEGIO: Clemente Ponce Borja AÑO DE BÁSICA: 9ºde Básica
PERÍODO: 40 minutos
TIEMPO: 1 hora
DOCENTE: Roque Ureta Santos
FECHA: Febrero – 2012
OBJETIVO DEL BLOQUE: Comprender los conceptos y conocer los procesos para la solución de
problemas relacionados con la serie numérica (Fibonacci) con el entorno natural y social del estudiante y
con el desarrollo y práctica de los valores humanos
2. DISEÑO
DESTREZA PROCESO
DIDÁCTICO
RECURSOS
DIDÁCTICOS
INDICADORES ESENCIALES
DE
EVALUACIÓN/ACTIVIDADES
DE LOGRO
Conceptualizar,
Interpretar,
analizar e
integrar series
numéricas.
Plantear e
identificar lo
que es una serie
numérica
Reconocer la
semejanza
entre la serie y
elementos de la
naturaleza
ANTICIPACIÓN
Biografía de
Leonardo de Pisa
CONSTRUCCIÓN
Conceptualización
de series Numéricas
Creación de la serie
Relación con la
naturaleza
Ejemplo de la
relación
Pizarrón
Marcadores
Computadora
Sistema de
Audio
Propone bases para iniciar en
el mundo de las series
numéricas
Conoce la importancia de la
relación existente entre la
serie y la naturaleza
Anexo Nº 1. Encuestas a los estudiantes del colegio Clemente Ponce Borja
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACION A DISTANCIA CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la educación
EELL CCOOMMPPLLEEMMEENNTTOO DDEE UUNN EENNFFOOQQUUEE PPEEDDAAGGÓÓGGIICCOO QQUUEE CCOONNTTEEMMPPLLEE LLAA CCOONNEEXXIIÓÓNN DDEE LLAASS
MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS CCOONN LLAA NNAATTUURRAALLEEZZAA IINNCCIIDDEE EENN UUNN DDEEFFIICCIIEENNTTEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE DDEE LLAA MMIISSMMAA
Cuestionario – Estudiantes
INSTRUCCIÓN
A continuación se presenta una serie de ítems para que sean respondidos por usted. Lea detenidamente cada
enunciado, marque una sola alternativa con una “X” dentro de la casilla correspondiente.
Solicitamos absoluta sinceridad en sus respuestas, pues de ellas depende el éxito de la investigación
1) Considera usted que la educación les permitirá
forjar un mejor porvenir
1. En total desacuerdo
2. En desacuerdo
3. De acuerdo
4. Totalmente de acuerdo
2) Que beneficio considera usted que el
aprendizaje de las matemáticas incide en su
educación
1. De mucho beneficio
2. Mediano beneficio
3. Poco beneficio
4. No existe un beneficio
3) Qué relación cree usted que existe entre las
matemáticas y naturaleza
1. No sé
2. Ninguna
3. Poca
4. Algo
5. Mucha
6. Completa
4) Conoces la serie Fibonacci
1. Si
2. No
5) Crees que se puede aprender matemáticas al
aire libre utilizando la naturaleza como material
didáctico
1. No sé
2. No
3. Si
6) Alguna vez algún profesor les llevo fuera del
aula para enseñarles matemáticas
1. Sí
2. No
7) Le han hecho comparaciones entre lo aprendido
y la naturaleza en sus clases de matemáticas
1. Nunca
2. Alguna vez
3. Muchas veces
4. Siempre
8) Te gustaría salir a hacer camping
1. Sí
2. No
Le agradezco por su colaboración en esta encuesta, en las siguientes líneas por favor escriba como cree usted
que sea la mejor manera que un profesor enseñe matemática:
Anexo Nº 2. Encuesta realizada a los profesores de matemáticas de la zona
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACION A DISTANCIA CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la educación
EELL CCOOMMPPLLEEMMEENNTTOO DDEE UUNN EENNFFOOQQUUEE PPEEDDAAGGÓÓGGIICCOO QQUUEE CCOONNTTEEMMPPLLEE LLAA CCOONNEEXXIIÓÓNN DDEE LLAASS
MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS CCOONN LLAA NNAATTUURRAALLEEZZAA IINNCCIIDDEE EENN UUNN DDEEFFIICCIIEENNTTEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE DDEE LLAA MMIISSMMAA
Cuestionario – Profesores de matemáticas
INSTRUCCIÓN
A continuación se presenta una serie de ítems para que sean respondidos por usted. Lea detenidamente cada
enunciado, marque una sola alternativa con una “X” dentro de la casilla correspondiente.
Solicitamos absoluta sinceridad en sus respuestas, pues de ellas depende el éxito de la investigación
1) Qué relación cree usted que existe entre las matemáticas y naturaleza
1. No sé
2. Ninguna
3. Poca
4. Algo
5. Mucha
6. Completa
2) Conoce usted la serie Fibonacci
1. Si
2. No
3) De los siguientes materiales didácticos a continuación cuál o cuáles de ellos utiliza normalmente usted para
dar sus clases de matemáticas
1. Pizarra y marcadores
2. Juegos de razonamiento lógico y matemático
3. Fichas de Dominó u otros
4. Flores, arboles u otro ser viviente
5. Rocas, cascadas, sol, u otro ser inerte
6. Otros
4) La aplicación de las matemáticas que usted enseña dentro del aula de clase está orientada a…
1. Resolver ejercicios matemáticos, algebraicos, etc.
2. Mejoramiento del manejo del dinero y la economía de sus estudiantes
3. Enseñar los estudiantes destrezas para enfrentar con inteligencia los problemas de la vida real
4. Acercar a los estudiantes hacia el respeto y mantenimiento de la naturaleza y el entorno que le rodea
5. Otra
5) Con que frecuencia realiza casos prácticos con productos de la naturaleza en su clase
1. Siempre
2. Rara vez
3. Nunca
1) Qué tiempo dedica a su actividad de docencia en el área de matemáticas
1. Una parte del día
2. Dos partes del día
3. Tres partes del día
2) Cree usted que lograría un aprendizaje significativo con sus estudiantes si emplea ejemplos de las
matemáticas relacionándola con la naturaleza
1. Sí
2. No
Porque: ..................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
3) La naturaleza de su entorno ofrece productos que sirven como ejemplos reales para dar una explicación en
su clase.
1. Sí
2. No
3. No se
4) Con que frecuencia realiza trabajo de investigación de campo junto con sus estudiantes para verificar la
relación de la matemática con la naturaleza
1. Nunca
2. Cuando el caso lo amerite
3. Eventualmente
4. Siempre
Le agradezco por su colaboración en esta encuesta, en las siguientes líneas por favor escriba que implementos
necesita un colegio para que los estudiantes aprendan y se interesen por el estudio de las matemática s:
Anexo Nº 3. Fichas de observación
Universidad: Tecnológica Equinoccial - Quito
Fecha: 01 de marzo de 2011
Observador: Roque Ureta Santos
Código Verdura Figura Cantidad Observacion
col001 Col de Bruselas Triangulo 5 por capas Fractalidad
col002 Col de Bruselas Triangulo 6 por capas Fractalidad
arb001 Árbol de mango Tallos y ramas 1,1,2,3,5,8,14 Serie Fibonacci
arb002 Arbol de mango Tallos y ramas 1,1,2,2,3,5 No se aplica el Fibonacci
Ficha de Observación
BIBLIOGRAFÍA
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