universidad tecnologica equinoccial - … 1 modelos... · 2−7 +10=0 ( −2)( −5)=0 entonces x =...
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA EQUINOCCIAL
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Unidad 1.- MODELOS MATEMATICOS, METODOS
CUANTITATIVOS, OPTIMIZACION
1.1 Introducción a la Investigación Operativa
1.2 Definiciones, clases, tipos de modelos
1.3 Representaciones y consideraciones
1.4 Formulación de modelos y análisis de modelos matemáticos
1.5 Análisis cuantitativo, solución matemática y gráfica
1.6 Aplicaciones
La investigación operativa para la toma de decisiones es la aplicación de la metodología científica
a través de modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo.
Un Modelo es una representación simplificada e idealizada de la realidad
Modelos Analíticos
Aproximan el mundo real, nos dan la libertad de experimentar.
SISTEMA
REALMODELO
DECISION FINAL
DECISION OPTIMA
IMPLEMENTACIÓNRESULTADOS
COMPARACION
(+) O (-)
AJUSTES
MODELO
PROBLEMADECISIONES
RESULTADOS
AB
ST
RA
CIO
N INT
ER
PR
ET
AC
ION
ANALISIS
INTUICION
MUNDO
SIMBOLICO
MUNDO
REAL
PROCESO DE CONSTRUCCION DE UN MODELO
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Razones para construir modelos analíticos de problemas de toma de decisiones: ¿Por qué se construye un modelo de avión antes de construir el de verdad? Menos costoso cometer errores en modelo Modelo da intuición sobre problema real Modelo permite experimentar Ayuda a entender mejor el problema
“Un modelo es una abstracción cuidadosamente seleccionada de la realidad”
Modelo Mental.- Creado solamente en la mente de forma abstracta como ayuda para visualizar el sujeto o
sistema, es el inicio para los otros modelos.
Modelo Físico.- Es una representación del sistema o sujeto que estudiamos en cuanto a sus propiedades
reales.
- Modelo Icónico.- Es una representación física de algunos objetos, ya sea en forma idealizada o en escala
distinta, es decir que sus propiedades sean las mismas que tiene lo que representa, ejemplo: fotos, cuadro,
maqueta, plano, etc.
.- Modelo Analógico.- Son los que por analogía pretenden representar el sujeto o sistema en estudio,
ejemplo. Diagrama de flujo, mapas de carreteras, manómetros, termómetros, etc.
Modelo Simbólico.- Es aquel que usa datos, variables y relaciones matemáticas para representar
propiedades abstractas.
- Modelo esquemático.- Es aquel que requiere que sus datos sean cuantificables y sea factible expresar en
forma numérica, ejemplo: malla académica, diagramas, mapas a escala, etc.
Tipos de MODELOS
Un Modelo es Una representación simplificada e idealizada de la realidad
MODELO
MENTAL SIMBOLICO
ANALOGICOSICONICOS
FISICO
ESQUEMATICOS MATEMATICOS
MODELO
MENTAL SIMBOLICO
ANALOGICOSICONICOS
FISICO
ESQUEMATICOS MATEMATICOS
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- Modelo matemático.- Son aquellos que por medio de ecuaciones o formulas representan un sistema real
original.
La solución del modelo dará la solución que se necesita? Se beben tomar en cuenta factores cualitativos que el modelo no está considerando
Proceso de resolución de problemas
INSUMOS
INCONTROLABLES
(PARAMETROS)
INSUMOS
CONTROLABLES
(DECISIONES)
MODELO
MEDIDAS DE
DESEMPEÑO
VARIABLES DE
CONSECUENCIA
NO
RESOLUCION
DE PROBLEMAS
DEFINIR EL PROBLEMA
DETERMINAR CRITERIOS DE EVALUACION
IDENTIFICAR ALTERNATIVAS
EVALUAR ALTERNATIVAS
ELEGIR UNA OPCION
IMPLEMENTAR LA DECISION
EVALUAR RESULTADOS
TOMA DE
DECISIONES
RESOLUCION
DEL MODELOFORMULACION DEL MODELO
Y RECOLECCION DE DATOSSOLUCION
MODELO
MODIFICADO
GENERACION DE
REPORTES E
IMPLEMENTACIÓN
¿ES
VALIDA LA
SOLUCION?
NO
SI
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Problema 1 La compañía Equinoccio con su gerente Sandra Gómez está evaluando la posibilidad de introducir una nueva línea de productos. Después de estudiar el proceso de producción y costos de las materias primas y nuevo equipo, Sandra ha estimado que los costos variables de cada unidad producida y vendida serian de $6, y que los costos fijos anuales serian de $60000. a. Si el precio de venta se estableciera en $18 por unidad, ¿Cuántas unidades tendría que producir
y vender Sandra para alcanzar el punto de equilibrio? b. Sandra pronostica ventas de 10000 unidades en el primer año si el precio de venta se establece
en $14 cada una. ¿Cuál sería la contribución total de este nuevo producto a las utilidades durante el primer año?
c. Sandra pronostica que si el precio de venta se establece en $12,50, las ventas del primer año se incrementarían a 15000 unidades. ¿Qué estrategia de precios ($14 ó $12,50) daría por resultado la mayor contribución total a las utilidades?
d. ¿Qué otras consideraciones serian importantes para tomar la decisión acerca de fabricar y comercializar el nuevo producto?
MODELOS MATEMMODELOS MATEMÁÁTICOSTICOS
U = I - C
CT = CF + CV
I = P*Q
TIPO 1 TIPO 2 TOTOAL
UTILIDADES 128 378 506
CONTRIBUCIÓN 4 7
MO REQUERIDA 25,6 59,4 85
MP UTILIZADA 672 972 1644
MO POR UNIDAD 0,8 1,1
MP POR UNIDAD 21 18
CANTIDAD PRODUCIDA 32 54
HOJA DE CÁLCULO
TIPO 1 TIPO 2 TOTOAL
UTILIDADES 128 378 506
CONTRIBUCIÓN 4 7
MO REQUERIDA 25,6 59,4 85
MP UTILIZADA 672 972 1644
MO POR UNIDAD 0,8 1,1
MP POR UNIDAD 21 18
CANTIDAD PRODUCIDA 32 54
HOJA DE CÁLCULO
1. FORMULACI1. FORMULACIÓÓN DEL MODELO Y N DEL MODELO Y
RECOLECCIRECOLECCIÓÓN DE DATOSN DE DATOS
2. RESOLUCI2. RESOLUCIÓÓN DEL MODELON DEL MODELO
MÉTODO ÓPTIMO Mejores valores posibles
MÉTODO HEURÍSTICO Valores aceptables
3. VALIDACI3. VALIDACIÓÓN DE LA SOLUCIN DE LA SOLUCIÓÓNN
4. MODIFICACI4. MODIFICACIÓÓN DEL MODELON DEL MODELO
5. GENERACI5. GENERACIÓÓN DE REPORTES E N DE REPORTES E
IMPLEMENTACIIMPLEMENTACIÓÓNN
Los valores numéricos determinados por el modelo, implican
decisiones específicas (asignación de recursos).
Se debe hacer un seguimiento de la eficacia del modelo.
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Resolución Datos:
Costo unitario 𝐶𝑢 = 6 $/𝑢 Costo Fijo 𝐶𝐹 = 6000 $
a) P = 18 $/u
Modelo: {𝐼 = 18 𝑥
𝐶 = 6𝑥 + 6000𝑈 = 12𝑥 − 6000
En el equilibrio La utilidad es cero o el ingreso es igual al costo
La cantidad en el equilibrio es 500 unidades
X I C U
0 0 6000 -6000
500 9000 9000 0
1000 18000 12000 6000
7
b) 𝑋 = 1000 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑃 = 14 $/𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑
Modelo {𝐼 = 14 𝑥
𝐶 = 6𝑥 + 6000𝑈 = 8𝑥 − 6000
c) 𝑋 = 1500 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑃 = 12.50 $/𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑
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Modelo {𝐼 = 12.50 𝑥
𝐶 = 6𝑥 + 6000𝑈 = 6.5𝑥 − 6000
𝑈 = 6.5 ∗ 1500 − 6000 = 3750 $
𝑃 = 14 $/𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑
Modelo {𝐼 = 14 𝑥
𝐶 = 6𝑥 + 6000𝑈 = 8𝑥 − 6000
𝑈 = 8 ∗ 1500 − 6000 = 6000 $
La utilidad mayor sera cuando el precio se fija a 14 $/u
d) Para un precio de 18 $/u se tiene un punto de equilibrio cuando se alcanzan las 500
unidades, que sería la mejor condición
Problema 2
Una compañía de dulces vende sus cajas de chocolates a $2 cada una. Si x es el número de cajas producidas a la semana (en miles), entonces el administrador sabe que los costos de producción están dados, en dólares, por C = 1000 + 1300x + 100x2 a) Determine el modelo matemático. b) Determine el nivel de producción en que la compañía no obtiene utilidades ni pérdidas (punto de equilibrio) y su gráfico c) Cual debería ser el intervalo de producción recomendado? d) Cual será la utilidad máxima?
a) Modelo matemático
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜: 𝐼 = 2000𝑋
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜: 𝐶 = 1000 + 1300𝑋 + 100𝑋2
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑈 = 700𝑋 − 100𝑋2 − 1000
b) Punto de equilibrio Utilidad igual a cero
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑈 = 700𝑋 − 100𝑋2 − 1000 = 0
𝑋2 − 7𝑋 + 10 = 0
(𝑋 − 2)(𝑋 − 5) = 0
Entonces X = 2 y X = 5
9
X I C U
0 0 1000 -1000
0,5 1000 1675 -675
1 2000 2400 -400
1,5 3000 3175 -175
2 4000 4000 0
2,5 5000 4875 125
3 6000 5800 200
3,5 7000 6775 225
4 8000 7800 200
4,5 9000 8875 125
5 10000 10000 0
5,5 11000 11175 -175
6 12000 12400 -400
6,5 13000 13675 -675
7 14000 15000 -1000
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
0 1 2 3 4 5 6
Utilidad vs Cantidad
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c) El intervalo recomendado seria entre 200 y 500 unidades, donde se tiene ganancia
Cantidad: 2000 < 𝑋 < 5000 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
d) La utilidad máxima 𝑑𝑈
𝑑𝑋= 0
𝑑𝑈
𝑑𝑋= 700 − 200𝑋 = 0 Entonces X=3500 unidades y la Umax = 225 $
Caso de Estudio
La empresa pastelera “La Mana” obtiene ganancias al producir pasteles de manzana combinando dos
ingredientes (frutas y masa de pan congelada) que los compra y mediante un proceso adecuado de
producción logra un producto de calidad, los cuales vende a tiendas, micro mercados y supermercados de
la localidad. El fundador de la compañía el Gerente Sr. Juan Pérez, se ha propuesto construir un modelo
en hoja electrónica para estudiar las alternativas, a partir de la definición de caja negra, trabajando en forma
retrospectiva iniciar en una medida de desempeño permita determinar sus elementos conceptuales.
El hecho de que la empresa necesita obtener ganancias inmediatas facilita la elección de las ganancias
semanales como medida de desempeño. Al meditar en la situación, el gerente concluye que, una vez
considerado todo lo demás, su decisión más crítica consistirá en determinar el precio de los pasteles al
mayoreo. El plan del gerente le impide modificar el tamaño o la calidad de los pasteles, y las tiendas de
distribución agregan simplemente un cargo extra al costo por el cual adquieren los pasteles (el precio al
mayoreo de La Mana). Así, las cantidades de pasteles vendidas, y por consiguiente sus costos, están
determinados por el precio de los pasteles al mayoreo. Entonces, el gerente concluye que el precio de los
pasteles de manzana es la variable de decisión y será lo que determine sus ganancias, junto con los
parámetros de costo, ver la figura siguiente:
Entre los parámetros del costo figuran: el costo fijo por concepto de alquiler, pago de intereses sobre un
préstamo comercial, y así sucesivamente; el costo unitario por pastel de fruta y la masa; el costo unitario
del procesamiento del pastel, que incluye la cocción, el empaque y la entrega.
La siguiente parte del proceso es la construcción del modelo, la creación de la lógica que se introducirá en
la caja negra. Para algunos gerentes sin experiencia en la construcción de modelos, los diagramas de
influencia son un recurso útil para estructurar su pensamiento y romper con el bloqueo paradigmático del
modelador.
Los diagramas de influencia son un instrumento apropiado para organizar el procedimiento para la
construcción de modelos, y brindan la ventaja adicional de ser el primer paso para la documentación del
modelo. Un diagrama de influencia muestra las conexiones entre las variables exógenas (externa) del
modelo y una medida de desempeño, dejando a continuación la definición de la lógica matemática del
modelo.
MODELO
Precio del pastel
Costo unitario del relleno
Costo unitario de la masa
Costo unitario del procesamiento del pastel
Costo fijo
GANANCIAMODELO
Precio del pastel
Costo unitario del relleno
Costo unitario de la masa
Costo unitario del procesamiento del pastel
Costo fijo
GANANCIA
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La creación del diagrama empieza con una variable para medir el desempeño, y esta descomponer en dos
o más variables intermedias, las cuales se combinaran matemáticamente en el modelo y permitirán definir
el valor de esa medida de desempeño.
Relación e interrelación entre las variables, en forma gráfica
El paso siguiente en la construcción del modelo requiere la especificación de las ecuaciones que indican
las relaciones entre las variables
El gerente considera que la demanda de pasteles es una función del precio de las mismas y que los precios
más altos producen una demanda (ventas) más baja. El Sr. Pérez estima que al precio de $12 sus pasteles
no tendrán demanda alguna y que, por debajo de ese precio lograría vender cada semana 4000 pasteles
más por cada dólar que redujera el precio. Suponiendo, solo para simplificar, que la relación de demanda
pudiera expresarse por medio de una ecuación lineal, contaríamos con la siguiente relación para expresar
la demanda semanal, en miles de pasteles lo cual sería válido solamente mientras el precio del pastel este
entre $0 y $12
GANANCIAS
INGRESOS COSTOS
COSTOS DE
PROCESAMIENTO
Costo de los
ingredientes
Cantidades de
Ingredientes
requeridosPasteles
demandados
PRECIO
DEL PASTEL
Costo unitario
de la masa
Costo unitario
de procesamiento
del pastel
Costos
fijos
Costo unitario
del relleno
COSTOS
Ganancias =
Ingresos =
Costo total =
Costo de los ingredientes =
Costo de procesamiento =
Ingresos – Costo Total
Precio del pastel * Pasteles demandados
Costo de procesamiento + Costo de los ingredientes + Costo fijo
Cantidad de Costo unitario + Cantidad Costo unitario
relleno del relleno de masa de la masa
Pasteles demandados * Costo unitario de procesamiento de pasteles
Ganancias =
Ingresos =
Costo total =
Costo de los ingredientes =
Costo de procesamiento =
Ingresos – Costo Total
Precio del pastel * Pasteles demandados
Costo de procesamiento + Costo de los ingredientes + Costo fijo
Cantidad de Costo unitario + Cantidad Costo unitario
relleno del relleno de masa de la masa
Pasteles demandados * Costo unitario de procesamiento de pasteles
Cantidad de pasteles
demandados= 48 – 4 * Precio del PastelCantidad de pasteles
demandados= 48 – 4 * Precio del Pastel
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Para iniciar con el cálculo suponemos un precio de un pastel, en este caso 8$/u, que sirve como valor inicial
en el proceso de evaluación del modelo
La información que se dispone de la empresa es la siguiente:
Los resultados:
- Cantidad de Pasteles demandados y vendidos 𝑄 = 48 − 4 ∗ 8 = 16 en miles
- Ingresos 𝐼 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑥 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 = 𝑄 ∗ 𝑃 = 16 ∗ 8 = 128
- Costo de procesamiento 𝐶𝑝 = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ∗ 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝐶𝑝 = 2,05 ∗ 16 = 32,8
- Costo de los ingredientes 𝐶𝑖 = (𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑜 + 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎) ∗ 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝐶𝑖 = (3,48 + 0,30) ∗ 16 = 60,48
- Costos generales 𝐶𝑔 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 (𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠) = 12
- Costo total 𝐶𝑇 = 𝐶𝑝 + 𝐶𝑖 + 𝐶𝑔 = 32,8 + 60,48 + 12 = 105,28
- Ganancias 𝐺 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 128 − 105,28 = 22,72
La ganancia de $22,72 para una cantidad de pasteles vendidos de 16 considerando un precio inicial de
8$/u
La Mana. Modelo de ganancias semanales
Variable de decision
Precio del pastel 8
Parametros
Costo unitario de procesamiento del pastel $/u 2,05
Costo unitario del relleno de fruta $/u 3,48
Costo unitario de la masa $/u 0,30
Costo fijo (miles $) 12
Ecuacion de la demanda de pasteles
Interseccion 48
Pendiente -4
Resultados fisicos (miles)
Pasteles demandados y vendidos 16
Resultados financieros (miles $)
Ingresos $ 128
Costo de procesamiento $ 32,8
Costo de los ingredientes $ 60,48
Costos generales $ 12
Costo total $ 105,28
Ganancias (antes de impuestos) $ 22,72
La Mana. Modelo de ganancias semanales
Variable de decision
Precio del pastel 8
Parametros
Costo unitario de procesamiento del pastel $/u 2,05
Costo unitario del relleno de fruta $/u 3,48
Costo unitario de la masa $/u 0,30
Costo fijo (miles $) 12
Ecuacion de la demanda de pasteles
Interseccion 48
Pendiente -4
Resultados fisicos (miles)
Pasteles demandados y vendidos 16
Resultados financieros (miles $)
Ingresos $ 128
Costo de procesamiento $ 32,8
Costo de los ingredientes $ 60,48
Costos generales $ 12
Costo total $ 105,28
Ganancias (antes de impuestos) $ 22,72
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El Gerente de la empresa de pasteles “La Mana”, estableció en forma real, de acuerdo a valores históricos
el costo de procesamiento unitario, observar en la siguiente tabla:
Considerando el costo unitario de procesamiento del pastel de 2,05 $/u que el gerente lo estableció
aproximadamente por su experiencia para evaluar el modelo original
𝐶𝑝 = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ∗ 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝐶𝑝 = 2,05 $/𝑢 ∗ 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
Número de
pasteles
Costo de
procesamiento
(miles) Real
8 12,80
10 17,50
12 21,60
14 25,90
16 32,80
18 39,60
20 46,00
22 56,10
24 63,60
Número de
pasteles
Costo de
procesamiento
(miles) Modelo
8 16,40
10 20,50
12 24,60
14 28,70
16 32,80
18 36,90
20 41,00
22 45,10
24 49,20
Costo de procesamiento vs. Cantidad de pasteles
y = 2,05x
0,00
25,00
50,00
75,00
5 10 15 20 25
Número de pasteles (miles)
Cos
to d
e pr
oces
amie
nto
(mile
s $)
Costo de
procesamiento
Real
Costo de
procesamiento
M odelo
14
Al efectuar el ajuste con línea de tendencia considerando los datos reales, mediante la hoja de cálculo
Excel, se establece la línea recta y el coeficiente de correlación
Con los datos reales del costo de procesamiento, se observa que el gráfico tiene una tendencia lineal como
el costo de procesamiento del modelo establecido inicialmente, pero se puede mejorar al ajustar a una
curva polinomial cuadrática, para lo cual utilizamos la hoja de cálculo y se obtiene la ecuación que permite
el ajuste correspondiente para realizar los nuevos cálculos, y gráficamente observamos que la ecuación
cuadrática tiende a pasar por todos los puntos y el valor de correlación es mayor.
Variables:
𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑒𝑙𝑒𝑠
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
Modelo por experiencia
𝑦 = 2,05 ∗ 𝑥
y = 3,1792x - 15,7667R² = 0,9815
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5 10 15 20 25 30
Co
sto
de
pro
cesa
mie
nto
mo
de
lo c
on
aju
ste
lin
eal
Número de pasteles (miles)
y = 0,0931x2 + 0,1999x + 5,5844
R² = 0,9987
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5 10 15 20 25 30
Co
sto
de
pro
cesa
mie
nto
Mo
de
lo c
uad
ráti
co
Número de pasteles (miles)
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Modelo con ajuste lineal
𝑦 = 3,1792𝑥 − 15,7667
Modelo con ajuste polinomial cuadrático
𝑦 = 0,0931𝑥2 + 0,2𝑥 + 5,5844
La Mana, utilizando el modelo con ajuste polinomial cuadrático Modelo de ganancias semanales Curva polinomial cuadrática
Variable de decisión
Precio del Pastel 8 $/u
Parámetros
Costo unitario de relleno de fruta 3,48 $/u
Costo unitario de la masa 0,30 $/u
Costo fijo (miles $) 12
Coeficientes de la ecuación
Ecuación de la demanda de pasteles 𝑌 = 48 − 4 ∗ 𝑃
Intersección 48
Pendiente -4
Ecuación de procesamiento de costos 𝑦 = 0,0931𝑄2 + 0,2𝑄 + 5,5844
Intersección 5,5844
Coeficiente lineal 0,2
Coeficiente cuadrático 0,0931
Resultados físicos
Pasteles demandados y vendidos 16
Resultados financieros
Ingresos 𝐼 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑥 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 = 𝑄 ∗ 𝑃 = 16 ∗ 8 = 128
Costo de procesamiento 𝐶𝑝 = 0,0931 ∗ 162 + 0,2 ∗ 16 + 5,5844 = 32,6180
Costo de los ingredientes 𝐶𝑖 = (3,48 + 0,30) ∗ 16 = 60,48
Costos generales (fijos) 𝐶𝑔 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 (𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠) = 12
Costo total 𝐶𝑇 = 𝐶𝑝 + 𝐶𝑖 + 𝐶𝑔 = 32,618 + 60,48 + 12 =
105,098
Ganancias antes de impuestos = Ingresos - Costo total
𝐺 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 128 − 105,098 = 22,9020
16
Para el análisis calcular el valor óptimo del precio de los pasteles de tal manera de obtener la máxima
ganancia, se realizan varias alternativas en cuanto al cálculo, dando valores desde $6 hasta $11,
obteniendo un comportamiento aproximadamente de una función cuadrática como se observara en el
siguiente gráfico, para varios precios; es notorio que el valor máximo de las ganancias está entre $9 y $9.50
para el precio de los pasteles.
El valor máximo está comprendido entre 8,5 y 9,5 para el precio de los pasteles de acuerdo al gráfico
anterior
La Mana
Modelo de ganancias semanales
Curva cuadratica
Variable de decisión
Precio del Pastel 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5
Parámetros
Costo unitario de relleno de fruta 3,48
Costo unitario de la masa 0,3
Costo fijo (miles $) 12
Coeficientes de la ecuación
Ecuacion de la demanda de pasteles
Interseccion 48
Pendiente -4
Ecuacion de procesamiento de costos
Intersección 5,5844
C>oeficiente lineal 0,2
Coeficiente cuadratico 0,0931
Resultados fisicos
Pasteles demandados y vendidos 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6
Resultados financieros
Ingresos 144 143 140 135 128 119 108 95 80 63
Costo de procesamiento 64,01 55,04 46,82 39,35 32,62 26,63 21,39 16,89 13,14 10,14
Costo de los ingredientes 90,72 83,16 75,6 68,04 60,48 52,92 45,36 37,8 30,24 22,68
Costos generales fijos 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
Costo total 166,73 150,20 134,42 119,39 105,10 91,55 78,75 66,69 55,38 44,82
Ganancias (antes de impuestos) -22,73 -7,20 5,58 15,61 22,90 27,45 29,25 28,31 24,62 18,18
y = -5,4896x2 + 99,67x - 423,13R² = 1
-30,00
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11
GA
NA
NC
IA
PRECIO DE LOS PASTELES
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Realizando el cálculo para dicho intervalo se obtiene la siguiente tabla:
𝑦 = −5,4896𝑥2 + 99,67𝑥 − 423,13
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −10,9792𝑥 + 97,67 = 0
𝑥 = 9,0781 Precio del pastel para el valor máximo de las ganancias
Resultado aproximado a valores enteros
La decisión sería: Precio del pastel = 9 $/u
Pasteles demandados = 12 en miles
Ganancias esperadas = 29,25 $ en miles
Precio del Pastel 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5
Ingresos 119,00 116,96 114,84 112,64 110,36 108,00 105,56 103,04 100,44 97,76 95,00
Costo total 91,55 88,93 86,34 83,78 81,25 78,75 76,28 73,84 71,43 69,05 66,69
Ganancias (antes de impuestos) 27,45 28,03 28,50 28,86 29,11 29,25 29,28 29,20 29,01 28,71 28,31
y = -5,4896x2 + 99,67x - 423,13R² = 1
27,00
27,50
28,00
28,50
29,00
29,50
8,4 8,6 8,8 9 9,2 9,4 9,6
GA
NA
NC
IA (
en
mile
s $
)
PRECIO DE LOS PASTELES
18
Graficando las curvas de ingreso, costos totales y ganancias en función del precio de los pasteles.
Evaluación analítica del caso de estudio
Datos:
𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟑𝟏𝒃 = 𝟎, 𝟐𝒄 = 𝟓, 𝟓𝟖𝟒𝟒𝑪𝑹 = 𝟑, 𝟒𝟖𝑪𝑴 = 𝟎, 𝟑𝑪𝑮 = 𝟏𝟐
Desarrollo
Demanda:
𝑸 = 𝟒𝟖 − 𝟒 ∗ 𝑷
Ingreso: 𝑰 = 𝑷 ∗ 𝑸
𝐼 = 𝑃 ∗ (48 − 4𝑃) = 𝟒𝟖𝑷 − 𝟒𝑷𝟐
𝑰 = 𝟒𝟖𝑷 − 𝟒𝑷𝟐
Costos: 𝑪𝑻 = 𝑪𝑮 + 𝑪𝒊 + 𝑪𝑷
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 + 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 + 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
Costo general
𝐶𝐺 = 12
Costo ingredientes
𝐶𝑖 = (𝐶𝑅 + 𝐶𝑀) ∗ 𝑄
𝐶𝑖 = (3,48 + 0,3) ∗ (48 − 4𝑃)
𝐶𝑖 = 3,78(48 − 4𝑃)
𝑪𝒊 = 𝟏𝟖𝟏, 𝟒𝟒 − 𝟏𝟓, 𝟏𝟐𝑷
-50
0
50
100
150
200
6 7 8 9 10 11 12 13
GA
NA
NC
IAS,
IN
GR
ESSO
, C
OST
OS
PRECIO DE LOS PASTELES
COSTO
INGRESO
UTILIDAD
19
Costo procesamiento
𝐶𝑃 = 𝑎𝑄2 + 𝑏𝑄 + 𝑐
𝐶𝑃 = 0,0931𝑄2 + 0,2𝑄 + 5,5844
𝐶𝑃 = 0,0931(48 − 4𝑃)2 + 0,2(48 − 4𝑃) + 5,5844
𝐶𝑃 = 0,0931(2304 − 384𝑃 + 16𝑃2) + 0,2(48 − 4𝑃) + 5,5844
𝑪𝑷 = 𝟏, 𝟒𝟖𝟗𝟔𝑷𝟐 − 𝟑𝟔, 𝟓𝟓𝟎𝟒𝑷 + 𝟐𝟐𝟗, 𝟔𝟖𝟔𝟖
Costo Total
𝐶𝑇 = 12 + 181,44 − 15,12𝑃 + 1,4896𝑃2 − 36,5504𝑃 + 229,6868
𝑪𝑻 = 𝟏, 𝟒𝟖𝟗𝟔𝑷𝟐 − 𝟓𝟏, 𝟔𝟕𝟎𝟒𝑷 + 𝟒𝟐𝟑, 𝟏𝟐𝟔𝟖
Utilidad
𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑈 = −4𝑃2 + 48𝑃 − (1,4896𝑃2 − 51,6704𝑃 + 423,1268)
La ecuación de la utilidad en función del precio de los pasteles 𝑈 = 𝑓(𝑃)
𝑼 = −𝟓, 𝟒𝟖𝟗𝟔𝑷𝟐 + 𝟗𝟗, 𝟔𝟕𝟎𝟒𝑷 − 𝟒𝟐𝟑, 𝟏𝟐𝟔𝟖
Para encontrar el valor máximo, derivar e igualar a cero
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −10,9792𝑃 + 99,6704 = 0
Entonces, 𝑷 = 𝟗, 𝟎𝟕𝟖𝟏, el precio del pastel en el valor máximo de la utilidad
La utilidad máxima es: 𝑈𝑚𝑎𝑥 = −5,4896(9,0781)2 + 99,6704(9,0781) − 423,1268
𝑈𝑚𝑎𝑥 = 29,2816 $ (𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠)
En resumen:
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎: 𝑃 = 9,0781 $
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑄 = 11,6876 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠: 𝐼 = 106,1012 $ 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 76,8266 $ 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠
𝑈𝑚𝑎𝑥 = 29,2816 $ (𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠)
20
Resolución analítica:
Cantidad: 𝑄 = 48 − 4𝑃
Ingreso: 𝐼 = 𝑃𝑄 = 𝑃(48 − 4𝑃) = 48𝑃 − 4𝑃2
Costo general: 𝐶𝑔 = 12
Costo de ingredientes: 𝐶𝑖 = (𝐶𝑚 + 𝐶𝑅)𝑄 = (𝐶𝑚 + 𝐶𝑅)(48 − 4𝑃)
𝐶𝑖 = −4(𝐶𝑚 + 𝐶𝑅)𝑃 + 48(𝐶𝑚 + 𝐶𝑅)
Costo de procesamiento: 𝐶𝑝 = 𝑎𝑄2 + 𝑏𝑄 + 𝑐 = 𝑎(48 − 4𝑃)2 + 𝑏(48 − 4𝑃) + 𝑐
𝑪𝒑 = 𝟏𝟔𝒂𝑷𝟐 − (𝟑𝟖𝟒𝒂 + 𝟒𝒃)𝑷 + 𝟒𝟖𝒃 + 𝟐𝟑𝟎𝟒𝒂 + 𝒄
Costo Total: 𝐶𝑇 = 𝐶𝑔 + 𝐶𝑖 + 𝐶𝑝
𝐶𝑇 = 12 − 4(𝐶𝑚 + 𝐶𝑅)𝑃 + 48(𝐶𝑚 + 𝐶𝑅) + 16𝑎𝑃2 − (384𝑎 + 4𝑏)𝑃 + 48𝑏 + 2304𝑎 + 𝑐
𝐶𝑇 = 16𝑎𝑃2 − [4(𝐶𝑚 + 𝐶𝑅) + 384𝑎 + 4𝑏]𝑃 + 𝐶𝑔 + 48(𝐶𝑚 + 𝐶𝑅) + 2304𝑎 + 48𝑏 + 𝑐
Utilidad: 𝑈 = 𝐼 − 𝐶𝑇
𝑈 = 48𝑃 − 4𝑃2 − {16𝑎𝑃2 − [4(𝐶𝑚 + 𝐶𝑅) + 384𝑎 + 4𝑏]𝑃 + 𝐶𝑔 + 48(𝐶𝑚 + 𝐶𝑅) + 2304𝑎 + 48𝑏 + 𝑐}
𝑈 = −4(1 + 4𝑎)𝑃2 + 4[12 + (𝐶𝑚 + 𝐶𝑅) + 96𝑎 + 𝑏]𝑃 − 𝐶𝑔 − 48(𝐶𝑚 + 𝐶𝑅) − 2304𝑎 + 48𝑏
+ 𝑐
𝑑𝑈
𝑑𝑃= −8(1 + 4𝑎)𝑃 + 4[12 + (𝐶𝑚 + 𝐶𝑅) + 96𝑎 + 𝑏] = 0
Precio en el punto óptimo (máxima utilidad): 𝑷 =[𝟏𝟐+(𝑪𝒎+𝑪𝑹)+𝟗𝟔𝒂+𝒃]
𝟐(𝟏+𝟒𝒂)
Con el valor del precio evaluar la utilidad máxima, el ingreso, y el costo total
21
Caso práctico para su resolución
La empresa Equipos Industriales Ecuatorianos con domicilio en la región norte de Guayaquil, ubicación que la considera de enorme potencial para sus productos nacionales que también los importa, está contemplando la producción de un nuevo tipo de aspiradora para mantenimiento de la industria, la misma que se puede vender a un precio variable a determinarse de acuerdo a la política de la empresa y el estudio de los niveles de producción, costos y beneficios. La Gerencia de la compañía desea conocer un sistema que permita planear en forma óptima la política de precios y los niveles de producción de este articulo para lo cual han realizado estudios que se presentan a continuación: I.- Para la demanda del artículo involucra un estudio de mercado, para los datos se consideró que no se
realizaría ninguna acción de mercadeo
II.- Si la empresa realiza un gasto en publicidad de $40000,00 de forma de incrementar la demanda, gerencia dispone de la siguiente información
III.- Si los gastos de promoción y publicidad se incrementan a $90000,00 para aumentar la demanda del
artículo, la información sería la siguiente
Para cada caso, costo variable de cada artículo $1500,00; Costo fijo por periodo $750000,00 Plantear a.- Un sistema gráfico que indique las relaciones e interrelaciones de los componentes del sistema b.- Desarrollar un modelo matemático que permita optimizar los diferentes parámetros para maximizar las utilidades c.- Resolver el modelo de forma de optimizar su resultado, para un enfoque global d.- Cual sería su decisión si tendrá que ser el asesor de la gerencia de la empresa.
Precio de venta $ /
unidad
Demanda en
unidades
3000 505
4000 443
5000 296
6000 148
7000 103
Precio de venta $ /
unidad
Demanda en
unidades
3000 539
4000 429
5000 319
6000 209
7000 99
Precio de venta $ /
unidad
Demanda en
unidades
3000 549
4000 439
5000 329
6000 219
7000 109
22
23
24
25
Resolución considerando cada uno de los niveles de propaganda
Si GP=0
Precio de venta
$ / unidad
Demanda en
unidades
3000 505
4000 443
5000 296
6000 148
7000 103DEMANDA VS. PRECIO (GP=0)
y = -0,109900x + 848,500000
R2 = 0,970917
0
100
200
300
400
500
600
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Precio
Dem
an
da
a -0,1099 Po 4610,328
b 848,5 Uo 313187,7
Cv 1500 No 341,825
Cf 750000
26
Si GP=40000
Si GP=90000
Precio de venta
$ / unidad
Demanda en
unidades
3000 539
4000 429
5000 319
6000 209
7000 99
DEMANDA VS. PRECIO (GP=40000)
y = -0,1100x + 869,0000
R2 = 1,0000
0
100
200
300
400
500
600
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
PRECIO
DE
MA
ND
A
a -0,11 Po 4700
b 869 Uo 336400
Cv 1500 No 352
Cf 790000
Precio de venta
$ / unidad
Demanda en
unidades
3000 549
4000 439
5000 329
6000 219
7000 109
27
Resumiendo los valores obtenidos
Para encontrar los valores óptimos, evaluaremos cada variable con respecto a la máxima utilidad, además
supondremos un comportamiento polinómico de segundo orden de la forma:
Y= AX2 + BX + C
Utilidad vs. Gasto de propaganda
DEMANDA VS. PRECIO (GP=90000)
y = -0,1100x + 879,0000
R2 = 1,0000
0
100
200
300
400
500
600
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
PRECIO
DE
MA
ND
A
a -0,11 Po 4745,455
b 879 Uo 318627,3
Cv 1500 No 357
Cf 840000
Gasto Nivel Utilidad
Propaganda Precio Producción Máxima
GP P N Umax
0 4610 342 313187,72
40000 4700 352 336400,00
90000 4745 357 318627,27
Gasto Utilidad
Propaganda Máxima
GP Umax
0 313187,72
40000 336400,00
90000 318627,273
28
La utilidad óptima sería de $337044 si solamente consideramos los gastos de propaganda que el valor
óptimo es de $47894
Utilidad vs. Precio
Utilidad max. vs. GP
y = -0,00001040x2 + 0,99620096x + 313187,72179254
310000,00
315000,00
320000,00
325000,00
330000,00
335000,00
340000,00
0 20000 40000 60000 80000 100000
Gasto de propaganda
Uti
lid
ad
ÓptimoUop
GPop
A -0,0000104 Uop 337044
B 0,99620096 GPop 47894
C 313187,722
Utilidad
Precio Máxima
P Umax
4610 313187,72
4700 336400,00
4745 318627,273
Utilidad max. vs. Precio
y = -4,80922743x2 + 45034,33910614x - 105089159,82963700
310000,00
315000,00
320000,00
325000,00
330000,00
335000,00
340000,00
4600 4620 4640 4660 4680 4700 4720 4740 4760
Precio
Uti
lid
ad
max.
Uop
Pop
Óptimo
A -4,80922743 Uop 337945
B 45034,3391 Pop 4682
C -105089160
29
La utilidad óptima sería de $337945 si solamente consideramos los precios que el valor óptimo es de $4682
Utilidad vs. Nivel de producción
La utilidad óptima sería de $337945 si solamente consideramos los niveles de producción que el valor
óptimo es de 350 unidades
La propuesta final que se obtiene del modelo matemático presentado para este caso, es de valores
aproximados que en la realidad pueden ser redondeados para una aplicación práctica, considerar que los
modelos nos informan soluciones que serán siempre referenciales pero la decisión final será de los gerentes
o responsables de la implementación.
Es así como,
La demanda o nivel de producción al saber que la suposición de no mantener inventario sería de 350
unidades para alcanzar el punto óptimo
El precio para cada unidad podría ser de $4700, que es un valor cercano al óptimo
En cuanto al gasto de propaganda, sería conveniente tener un gasto aproximado de $48000 para obtener
el máximo
Las utilidades que se espera alcanzar estarían en $338000.
Nivel Utilidad
Producción Máxima
N Umax
342 313187,72
352 336400,00
357 318627,273
Utilidad max. vs. Nivel de producción
y = -384,57004534x2 + 269105,61669363x - 46739010,17798050
310000,00
315000,00
320000,00
325000,00
330000,00
335000,00
340000,00
340 342 344 346 348 350 352 354 356 358
Nivel de producción
uti
lid
ad
max.
Uop
Nop
Óptimo
A -384,570045 Uop 338131
B 269105,617 Nop 350
C -46739010,2
30
Cuestionario:
VERDADERO – FALSO 1.- Generalmente, cuanto más complicado es el modelo, tanto más útil puede ser. 2.- Los modelos suelen pasar por alto gran parte de la realidad del mundo 3.- los modelos de decisión requieren valores numéricos para las variables de decisión 4.- Un modelo de decisión capta a menudo las interacciones y el intercambio de ventajas y desventajas entre ciertas variables o cantidades de interés. 5.- Generalmente no hay una sola forma correcta de construir el modelo de una situación administrativa. 6.- Por definición, los modelos de optimización siempre ofrecen la mejor decisión para la situación del mundo real 7.- Un modelo sustituye satisfactoriamente el juicio y la experiencia de un ejecutivo. 8.- una de las funciones importantes de los gerentes puede consistir en la evaluación de los modelos (para determinar si dichos modelos deben usarse y si los resultados son convenientes ser implementados) 9.- Aunque las hojas de cálculo electrónicas facilitan el cómputo, no producen un verdadero impacto sobre la toma de decisiones. 10.- Los datos solo son necesarios cuando la construcción del modelo ha finalizado. OPCIÖN MÜLTIPLE 1.- Un modelo es: a. una representación selectiva de la realidad b. una abstracción c. una aproximación d. una idealización e. todo lo anterior f. ninguna de las anteriores 2.- Con frecuencia, las decisiones están basadas en a. una evaluación de datos numéricos b. números producidos por modelos c el uso de modelos intuitivos que nunca son escritos d. todo lo anterior e. ninguna de las respuestas anteriores 3.- Un modelo a. no puede ser útil a menos que refleje con mucho detalle una situación real b. es un instrumento para quien está a cargo de tomar decisiones c. rara vez se somete a revisión después de haber sido construido d. todo lo anterior 4.- Un modelo a. obliga al gerente a ser explícito en cuanto a sus objetivos
b. obliga al gerente a identificar explícitamente los tipos de decisiones que influyen en los objetivos c. obligan al gerente a reconocer en forma explícita las restricciones impuestas a los valores que las variables pueden asumir.
d. todo lo anterior 5.- Los modelos a. desempeñan distintos papeles en los diferentes niveles de la empresa b. rara vez se utilizan en el proceso de planeación estratégica c. son una forma costosa de tomar decisiones de rutina diarias
d.- solo permiten tomar decisiones teóricas que no son aplicables en la realidad
31
Caso práctico de estudio TECNO COPIAS Pedro y Jorge Páez han decidido fundar una compañía, TECNOCOP, que instalará máquinas de autocopiado en los locales de los clientes: bibliotecas, universidades, colegios, centros comerciales, etc. Ellos han planeado mantener sus costos de capital en un nivel mínimo, alquilando copiadoras para uso de trabajo pesado, provistas de un dispositivo adjunto de autoservicio que funciona con monedas. Además del costo de alquiler y otros gastos de la copiadora, TECNOCOP pagaría una cuota a la organización cliente que le proporcionara espacio para instalarla. La cuota consistiría en un pago mensual fijo por el alquiler del espacio. Como parte de su plan de negocios, Pedro y Jorge hicieron las siguientes suposiciones: Número de copiadoras alquiladas 40 Precio cobrado por copia $0,05 Costo Variable por copia (materiales, reparación, etc) $0,03 Tarifa de alquiler mensual de espacio para copiadora $150 Otros gastos mensuales Costo de alquiler por copiadora $250 Trabajo de recolección de moneda por copiadora $35 Costos fijos diversos por copiadora $50 a.- Desarrollar un modelo que represente estos datos b.- Los Pérez consideran varios convenios alternativos sobre los pagos de alquiler de espacio para las copiadoras. Además de proponer la cuota fija de alquiler mensual de $150 por copiadora, podrían preferir que se le pagaran solamente $50 al mes por el alquiler del espacio para copiadora, pero recibiendo el pago de una comisión de medio centavo por cada copia producida. En una tercera opción que ahora está bajo estudio se propondría un alquiler fijo de $75, más el pago de un centavo de comisión por copia, que solo pagaría por la parte del volumen mensual que rebasara un cifra limite determinada, por ejemplo 20000 copias al mes. Se necesita se elabore un modelo con estas nuevas alternativas y se analice cuál sería el punto de equilibrio para cada opción, para valores óptimos.
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Ronaldo vende decoraciones artesanales para jardín en ferias de la ciudad. El costo variable para realizarlas es $20 por cada una y las vende a $50. El costo de renta del kiosco en las ferias es de $150. ¿Cuántas decoraciones debe vender Ronaldo para quedar en el punto de equilibrio? Realizar el grafico que indique el punto de equilibrio y las zonas de pérdida y ganancia Si los ingresos son de 2250$, ¿Cuál será la utilidad esperada? Si el precio de una decoración cambia a 40$, ¿Cuántos productos deberá vender para alcanzar el punto de equilibrio 2.- Una cadena de restaurantes está estudiando la posibilidad de añadir trucha fresca de rio en su menú. Los clientes podrían elegir entre pescar su propia trucha en un arroyo de montaña simulado, o simplemente pedir que el camarero saque la trucha con una red. Para operar el arroyo se necesitan $10600 por concepto de costos fijos anuales. Los costos variables se estiman en $6,70 por trucha. La empresa desea alcanzar el punto de equilibrio con la venta de 800 comidas de trucha al año. ¿Cuál deberá ser el precio del nuevo plato? 3.- Diana planea financiar su educación universitaria vendiendo programas informáticos para la carrera de la universidad. Existe un costo fijo de $400 por imprimir los programas y el costo variable
32
es de $3. También hay una cuota de $1000 que se paga a la universidad por el derecho a vender estos programas. Si Diana logra vender los programas a $5 cada uno, ¿Cuántos programas tendría que vender para alcanzar el punto de equilibrio? ¿Cuál sería su ingreso en esta situación? Diana está preocupada de que las ventas se caigan porque no compren sus programas debido a que existen pocos estudiantes en la materia de uso. De hecho, piensa que venderá tan solo 500 programas el siguiente semestre. Si fuera posible elevar el precio de venta del programa y de todas formas vender 500 ¿Cuál deberá ser el precio para que Diana alcance el punto de equilibrio con la venta de 500 programas? Para cada caso anterior realizar el grafico que corresponda y explique su respuesta. 4.- Ana es una especialista en el área financiera y brinda asesoría para una jubilación satisfactoria. La empresa ofrece seminarios sobre el importante tema de la planeación del retiro. Por un seminario típico, la renta del espacio en un hotel es de $1000 y el costo de publicidad e imprevistos es cerca de $10000 por seminario. El costo de materiales y regalos especiales por cada asistente es $60 por cada persona que asiste. La empresa cobra $250 por persona para asistir al seminario, ya que así parecería competitiva frente a otras empresas del mismo ramo. ¿Cuántas personas deben asistir a cada seminario para que ANA alcance el punto de equilibrio? ¿Cuál sería su ingreso en esta situación? Si por una buena negociación en los materiales y regalos el costo cambia a $50 por persona, ¿Cuántas personas deben asistir a cada seminario para que ANA alcance el punto de equilibrio? ¿Cuál sería su ingreso en esta situación? Para cada caso anterior realizar el gráfico que corresponda y explique su respuesta. 5.- Determinar la cantidad de equilibrio de Fabricaciones Industriales dada la información siguiente: costo fijo total, $1200; costo variable por unidad, $2; ingreso total por la venta de X
unidades es I = 100√X; ¿establecer el modelo matemático para las utilidades, costos e ingresos?, graficar las funciones e indicar las zonas de perdida y ganancia de las utilidades, interprete y comente los resultados 6.- Gina ha iniciado su propia compañía ABC que fabrica camisetas impresas para ocasiones especiales. Como está comenzando a operar, renta el equipo a un taller de impresiones local cuando es necesario. El costo de usar el equipo es de $300. Los materiales utilizados en una camiseta cuestan $9 y Gina puede venderlas en $14 cada una. Si Gina vende 18 camisetas, ¿Cuál será su ingreso total? ¿Cuál será su costo variable total? ¿Cuántas camisetas debe vender Gina para alcanzar el punto de equilibrio? ¿Cuál es el ingreso total en este caso? Si la utilidad esperada y proyectada para cumplir con el plan estratégico deberá ser de 1750, ¿Cuántas camisetas debe vender? Si los ingresos son de 2250$, ¿Cuál será la utilidad esperada? Si el precio de una camiseta cambia a 12$, ¿Cuántas camisetas deberá vender para alcanzar el punto de equilibrio Para cada caso anterior realizar el grafico que corresponda y explique su respuesta