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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA “AJUSTE DE DATOS ASTRONÓMICOS POR MEDIO DE MÍNIMOS CUADRADOS” TESIS: PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICAS APLICADAS PRESENTA: VIRGILIO VÁZQUEZ HIPÓLITO DIRECTORES DE TESIS: M.C. JUAN RAMÓN TIJERINA GONZÁLEZ Dr. LAURENT LOINARD CORVAISIER HUAJUAPAN DE LEÓN, OAXACA. SEPTIEMBRE DE 2006.

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA

“AJUSTE DE DATOS ASTRONÓMICOS POR MEDIO DE MÍNIMOS CUADRADOS”

TESIS: PARA OBTENER EL TÍTULO DE

LICENCIADO EN MATEMÁTICAS APLICADAS

PRESENTA: VIRGILIO VÁZQUEZ HIPÓLITO

DIRECTORES DE TESIS: M.C. JUAN RAMÓN TIJERINA GONZÁLEZ

Dr. LAURENT LOINARD CORVAISIER

HUAJUAPAN DE LEÓN, OAXACA. SEPTIEMBRE DE 2006.

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Índice General

Agradecimientos v

Introducción vii

1 Introducción a la Astronomía 11.1 HISTORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Babilonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Egipto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 China . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Centroamérica y Perú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.5 Grecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.6 Edad Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.7 El renacimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.8 La Astronomía Moderna y Contemporánea . . . . . . . . 8

1.2 ESTRELLAS Y MEDIO INTERESTELAR . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Evolución Estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Poblaciones Estelares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Medio Interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 La interacción del Sol con el medio interestelar . . . . . . 19

1.3 GALAXIAS Y COSMOLOGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Galaxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Tipos de Galaxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3 Vía Láctea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.4 El grupo local y el super grupo local . . . . . . . . . . . . 221.3.5 Cúmulos de galaxias y supercúmulos de galaxias . . . . . 231.3.6 Cosmología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Astrometría 272.1 COORDENADAS

YTRIGONOMETRÍA ESFÉRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.1 Coordenadas Astronómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 DISTANCIA A LOS SISTEMAS ESTELARES . . . . . . . . . . 352.3 EL ARREGLO DE GRANDES LÍNEAS DE BASE . . . . . . . 36

iii

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iv ÍNDICE GENERAL

2.3.1 ¿Qué es la RadioAstronomía? . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.2 Centro de Operaciones del Arreglo VLBA . . . . . . . . . 382.3.3 El Correlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.4 El Producto Terminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.5 Estación del Hardware del VLBA . . . . . . . . . . . . . . 392.3.6 La ciencia con el VLBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Complejo del Tauro, T-Tauri y estudios previos del VLBA. 433.1 COMPLEJO DEL TAURO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Las constelaciones: un aparente imágen estelar. . . . . . . 433.1.2 Los objetos observables en Tauro . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 ESTUDIOS ÓPTICOS E INFRARROJO . . . . . . . . . . . . . 443.3 OBSERVACIONES VLBA PREVIAS DE T-TAURI SUR . . . . 46

4 Método de mínimos cuadrados. 494.1 MÍNIMOS CUADRADOS COMO

UN ESTIMADOR DE MÁXIMAVEROSIMILITUD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 AJUSTE CHI-CUADRADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 REGRESIÓN LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 MÍNIMOS CUADRADOS PARA UN

MODELO LINEAL GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5 SOLUCIÓN USANDO ECUACIONES NORMALES . . . . . . . 554.6 LA ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN . . . . . . . . . . . . 57

4.6.1 Eliminación sobre Columnas-Aumentadas deMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.6.2 Pivoteando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Generalización al caso de ecuaciones acopladas 615.1 PLANTEAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 RESOLUCIÓN MATEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 IMPLEMENTACIÓN EN FORTRAN 77 . . . . . . . . . . . . . 66

6 Resultados y Conclusiones. 756.1 DISTANCIAS OBTENIDAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2 CÁLCULO DE MASAS ESTELARESEN EL SISTEMA T-TAURI CON LADISTANCIA ACTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Referencias 79

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Agradecimientos

A mis padres Juvencio Vázquez García y Margarita HipólitoGonzález por la comprensión que me han tenido y por su gran apoyo en cadamomento de mi vida.

A mi asesor M.C. Juán Ramón Tijerina Gonzáles, por la ayuda ycolaboración que me ha brindado para la realización de esta tesis.

A mi coasesor, el Doctor Laurent Loinard Corvaisier, por su tiempotan valioso que me aportó para realizar esta tesis y por su gran comprensióndurante todo el desarrollo de la misma.

Al M.C. Juán Carlos Mendoza Santos por sus consejos y ayuda queme brindó durante los cinco años de mi carrera.

A cada uno de mis sinodales: M.C. Gustavo Yáñez Navarro, M.C.Juán Carlos Mendoza Santos y el Dr. Arturo Aguirre López, por su apoyo y eltiempo invertido en la revisión de esta tesis.

v

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vi AGRADECIMIENTOS

A mi hermano Antonio Vázquez Hipólito y su esposa GuadalupeHerrera Castro, por haber permitido hacer mis sueños realidad y por confiar

en mí.

A mis hermanos: Manuel Ramiro, Antonio, Rufino, Rufina, y Eloy por habercompartido conmigo sus experiencias y por sus palabras siempre positivas.

A la memoria de mi primo, Mario Hipólito Chávez, por habercompartido conmigo sus grandes experiencias de la vida.

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Introducción

Para un observador en la tierra, el cielo aparece como una estructura bidimen-sional, comúnmente llamada esfera celeste. Por lo tanto, la posición de un astro(estrella, planeta,galaxia, etc.) se mide especificando, sobre esta esfera dos ángu-los contados a partir de un ecuador y un meridiando de referencia. La elección dedichos elementos de referencia es la que define el sistema de coordenadas. Paraastros localizados fuera del sistema Solar, el marco de coordenadas más usadoes el llamado sistema ecuatorial, que usa como referencias el ecuador celeste yel meridiano que pasa por la posición del Sol en el equinoccio de primavera. Eneste sistema, las dos coordenadas angulares se llaman ascensión recta (α) y ladeclinación (δ). Mientras que la declinación se mide en grados de −90o a +90o,la ascensión recta se mide en horas de 0h a 24h (1h = 15o).Debido a la naturaleza bidimensional de la esfera celeste, es imposible cono-

cer a priori la distancia a los objetos celestes. En particular, una estrellaaparentemente débil puede estar cercana y ser intrínsicamente débil, o ser intrín-sicamente brillante, pero estar relativamente lejana. Esto es muy problemático,ya que sin conocer la distancia a un objeto dado, es imposible determinar suscaracterísticas básicas (luminosidad, masa, tamaño, etc.). En consecuencia, elproblema de la determinación de las distancias en el universo es un problemacentral en la astronomía. Desafortunadamente, solamente existe una maneradirecta de determinar la distancia a una estrella. Este método es análogo a unatriangulación y se basa en la medición del desplazamiento aparente del objetosobre la esfera celeste debido al movimiento de la Tierra alrededor del Sol. Sivemos una estrella proyectada sobre la esfera celeste en una cierta direccióna una fecha dada, 6 meses después, la veremos proyectada en una direcciónligeramente distinta.Si definimos la Unidad Astronómica (UA) como la distancia de la Tierra al

Sol, y que llamamos d la distancia del Sol a la estrella, entonces el ángulo decambio de posición θ (llamado paralaje) se puede calcular como:tan θ ≈ θ = 1UA

dYa que la distancia de la Tierra al Sol es bien conocida, la medición de θ

(a partir de imágenes obtenidas en varias épocas a lo largo de un año) permitedeterminar directamente la distancia d. Este método muy simple, conceptual-mente es difícil poner en práctica, porque el ángulo θ es siempre muy pequeño,de hecho, eso justifica la aproximación tan θ ≈ θ en la ecuación anterior. Aún

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viii INTRODUCCIÓN

para estrellas cercanas, su valor es del orden de unos pocos milisegundos de arco.Para poner este valor en perspectiva, cabe mencionar que un instrumento ca-paz de medir un cambio de posición de 1 milisegundo de arco tendría suficienteresolución para distinguir una moneda de 1 peso localizada a 4000 km.Además de su cambio aparente de posición debido a la orbita de la Tierra,

las estrellas también tienden a tener un movimiento real relativo al Sol llamadomovimiento propio. Por lo tanto, el camino que seguirán sobre la esfera celesteserá la combinación de su paralaje y de su movimiento propio, posiblementeacelerado. La trayectoria debida a la paralaje es la proyección de la orbita ter-restre (casi circular) perpendicularmente a la línea de visión. En consecuencia,para una estrella localizada en la dirección perpendicular al plano de la orbitaterrestre, será un círculo; para una estrella en la dirección del plano de la orbitaterrestre, será un pequeño segmento; y en caso general, será una pequeña elipse.Es importante notar que mientras que el tamaño de dicha elipse solamente de-pende de la distancia a la estrella, su orientación y forma solamente dependen dela posición de la estrella en el cielo. Eso permite representar la trayectoria comoel producto del ángulo de paralaje θ por una función f(α, δ, t) que describe laforma de la elipse. Proyectando sobre los ejes de ascensión recta y declinación,podemos escribir la ecuación de movimiento de una estrella como:

α(t) = α0 + µαt+ aαt2

2+ θ.fα(α, δ, t), (1)

δ(t) = δ0 + µδt+ aδt2

2+ θ.fδ(α, δ, t), (2)

donde, µα y µδ son las proyecciones del movimiento propio de la estrella sobrelos ejes de ascensión recta y declinación, respectivamente. fα y fδ son lasproyecciones del movimiento de paralaje sobre esos ejes. Además aα es la a-celeración en alfa y aδ es la aceleración en delta. Finalmente, α0 y δ0 son lascoordenadas de la fuente a una época de referencia (generalmente el primero deenero de 2000).Las dos ecuaciones anteriores muestran que si uno mide las coordenadas αi

y δi de una estrella en múltiples épocas ti; sus coordenadas a una época dereferencia, su movimiento propio y su paralaje se pueden determinar usando unajuste de mínimos cuadrados. En total, el número de parámetros que debendeterminarse son 7: α0, δ0, µα, µδ, aα, aδ y el ángulo de paralaje θ. Cada obser-vación proporciona dos datos (α y δ); por lo que se requieren por lo menos 4observaciones para resolver éste problema.Usando un arreglo de 10 radiotelescopios repartidos en todo el territorio de

Estados Unidos llamado VLBA por sus iniciales en inglés (Very Long BaselineArray), se ha iniciado recientemente un programa observacional diseñado paramedir la paralaje a una serie de estrellas jóvenes. Obtener distancias precisas aestos objetos es un paso importante para entender como procede la formaciónde las estrellas en el Universo. Para una de las fuentes (llamada T-Tauri), se hadeterminado la paralaje usando un juego de 7 observaciones obtenidas cada dosmeses entre septiembre de 2003 y septiembre de 2004. Para esta misma fuente,

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se tienen ya otras 5 observaciones dando un total de 12 observaciones. Actual-mente, se ha realizado un ajuste por separado a los datos de ascensión recta ydeclinación. Dicho en otras palabras, se ha obtenido un ajuste para la ecuaciónde la ascensión recta y otro ajuste separado a la ecuación de la declinación.Sería mejor, sin embargo, obtener un ajuste simultáneo de las dos ecuaciones,ya que los parámetros que minimizan cada ecuación no necesariamente son losque minimizan las dos conjuntamente. Esta modificación del código de ajustees la meta de la tesis.

Este trabajo se encuentra dividido en 6 capítulos.

. En el primer capítulo se da a conocer la literatura astronómica, loindispensable que hay que conocer acerca de la Astronomía, por ejemplo suhistoria; también daremos conceptos importantes acerca de las Estrellas y lo quees el Medio Interestelar. Finalmente daremos a conocer los tipos de Galaxiasy un poco de Cosmología; que son temas primordiales para el estudio de laAstronomía.

. El capítulo 2 está dedicado a los tipos de coordenadas que existen en laAstronomía y las relaciones que existen entre ellas, se da a conocer la idea básicade lo que es una esfera celeste y como ubicar los objetos celestes sobre la esfera.Además en este capítulo se proporciona el concepto de lo que es el ángulo deparalaje, para la medición de las distancias, y por último nos enfocamos a loques el VLBA.

. En el capítulo 3 nos concentraremos a conocer el complejo del Tauroy a conocer nuestra estrella objetivo T-Tauri, su fecha de descubrimiento y losestudios que se ha hecho sobre ella. Además se describen las observaciones quese le han hecho a T-Tauri, lo que se ha analizado y lo que falta por analizar.También dará a conocer el porqué de la necesidad de las ecuaciones acopladas.

. En el capítulo 4 recordamos algunos conceptos previos acerca de loque es el método de mínimos cuadrados desde la presentación simple hasta laformalización general.

. El capítulo 5 es el capítulo primordial de la tesis; aquí se desarrollarála generalización de mínimos cuadrados al caso de ecuaciones acopladas, dondese planteará el problema y se dará su solución matemática. Además estarádedicado a la implementación en Fortran 77.

. En el capítulo 6 se presentan los resultados a los que se han llegado,primeramente se obtiene el ajuste simultáneo pero sin considerar la aceleración,posteriormente se obtiene el ajuste simultáneo con aceleración constante; juntocon estos dos casos y el ajuste obtenido en el artículo de Loinard et al. (2005)se hace una comparación general para determinar la calidad de cada ajuste.

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x INTRODUCCIÓN

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Capítulo 1

Introducción a laAstronomía

1.1 HISTORIA

La astronomía es una de las ciencias más antiguas y al mismo tiempo de las másmodernas. A veces desdeñada bajo el supuesto de que es considerada como unaactividad contemplativa y ociosa en torno a objetos que nada tenían que ver conla vida cotidiana; pero realmente si se ocupó de los asuntos propios del hombre.Desde muy temprano, se ha usado para anticipar los eventos de la naturaleza,de carácter cíclico, que permitían la supervivencia del hombre: la caza, la pesca,la agricultura y el transporte.Aunque el hombre en la vida citadina no observa las estrellas y se ha alejado

de la naturaleza primitiva, habitando un medio más artificial, si ha entrado enla era de los cohetes lunares y los satélites. Hoy es indiscutible la importanciade esta ciencia que ha llegado a las mentes de un sector nutrido de la población.La astronomía y las ciencias vecinas están conociendo un crecimiento verdade-ramente explosivo, que se traduce, sobre todo, en el número cada vez mayor detrabajos científicos.La imbricación de la astronomía con otras ciencias como la filosofía, la física,

la meteorología, la geología, entre otras, es cada vez más evidente.Ciertamente la astronomía no fue nunca, ni siquiera en los primeros pasos

de su evolución, una actividad puramente contemplativa e inútil para la vidapráctica de las colectividades humanas. Las observaciones astronómicas en-traron en el proceso de recolección y procesamiento de información, útil para laconstrucción del futuro; pues le es propio a esta especie, a diferencia de los ani-males, anticipar los hechos y prevenir las necesidades del futuro de una maneraconsciente. Los problemas del calendario, el cálculo del tiempo o la orientaciónen el campo y en el mar pertenecen a las bases mismas de nuestra cultura ycivilización y sólo pueden resolverse mediante observaciones de los astros.Observando el doble carácter, astronómico y mitológico, en la denominación

1

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2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA

de los días de la semana; que en su orden se relacionan con la Luna, Marte, Mer-curio, Júpiter, Venus, Saturno y el Sol (Apolo), vemos que la astronomía tuvoen los primeros albores de su historia otra aplicación "utilitaria": la astrología.Según la cosmovisión de entonces toda la naturaleza, incluidos los astros de as-pecto llamativo y movimiento errático, era animada y estaba poblada por dioses,espíritus y demonios, que influían definitivamente en los acontecimientos de laTierra, como sequías, inundaciones y sismos, y en los acontecimientos humanos,como guerras, pestes y cambios de gobierno.El deseo de anticipar eventos, que eran tenidos por designios de las di-

vinidades astrales, llevó a estudiar cuidadosamente las trayectorias planetarias,en la medida en que los sencillos instrumentos de medición y teorías rudimen-tarias de entonces lo permitían. Si no contaban con aparatos ópticos, ni eldesarrollo de las matemáticas, poseían instrumentos sencillos de medición deángulos y dispositivos de alineamiento. Las series de observaciones obtenidasasí a lo largo de los siglos e incluso milenios condujeron finalmente a valoresnuméricos bastante precisos. Especialmente avanzado estaba el conocimientode la duración del año ligado a las estaciones, del mes al ciclo lunar y de lasemana a las fases lunares, como claros estaban los períodos de los movimientosde los planetas. En esta fase del desarrollo de la astronomía no existía aúnpreocupación alguna por la explicación teórica del movimiento de los astros.En el mundo antiguo hay que resaltar los siguientes centros y épocas de la

astronomía:

1.1.1 Babilonia

Los inicios de la astronomía babilónica se remontan al tercer milenio A.C..Alcanzó su auge hacia 600 − 500 A.C. y decayó en el último siglo antes denuestra era. Para ver la precisión de muchos de sus datos astronómicos vamosa dar algunos ejemplos: según los babilónicos la duración media entre dos faseslunares iguales (mes sinódico o lunación) es de 29.530641 días; el valor modernoes de 29.530589 días (ver calendario actual). El valor hallado en el siglo II o IA.C. para la revolución sinódica de los planetas, es decir, el tiempo entre dosposiciones similares con respecto a la Tierra, no difería en más del 1% del día,del valor actual: en el caso de Venus, por ejemplo es de 583.91 días en lugar de583.92 días. Sólo en el caso de Marte con, 779.995 días en lugar de 779.94 días,aparece una desviación algo mayor, que, sin embargo, tampoco tiene por quéser del todo real, porque como hasta hace bien poco no se podían observar losplanetas con instrumentos de medida modernos (desarrollo de los sistemas deBessel en el siglo XIX), no es posible realizar con absoluta seguridad un cálculoretrospectivo de las revoluciones que, siempre sometidas a perturbaciones, erandiferentes hace 2 ó 3 mil años.La observación babilónica más antigua de un eclipse de Sol total (de entre

las fechadas con seguridad) se remonta al 15 de junio de 763 A.C. Sin embargola periodicidad de los eclipses se había observado bastante antes, seguramenteen el siglo III A.C. El descubrimiento del Ciclo de Saros (23 meses sinódicoso 18 años 111/3 días; ver Calendario actual) es, en este contexto, una de las

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1.1. HISTORIA 3

contribuciones más notables de la astronomía babilónica.Los babilonios recurrieron en principio al ciclo lunar para confeccionar un

calendario. Cada 12 meses de 30 días componían un año. Para absorber eldesfase respecto de la duración real del año solar (365, 25 días) se agregaba devez en cuando un mes más. Reglas fijas para intercalar este mes no las huboen el siglo VI A.C.. A partir del 383 A.C. se previeron 7 meses para intercalarcada 19 años (año lunisolar).La división del día comenzaba con la puesta de Sol. Hacia 1700 A.C. apro-

ximadamente se conocía ya la división en 24 horas iguales.Las constelaciones más importantes recibieron ya sus nombres en el tercer

milenio A.C. La astronomía moderna adoptó la mayoría de los nombres ba-bilónicos para las constelaciones del zodíaco.

1.1.2 Egipto

El calendario egipcio, a diferencia del babilónico, se apoyaba en el ciclo solar.En el milenio IV A.C. se conocía el año solar de 365 días, con 12 meses de30 días y 5 días complementarios. El comienzo del año venía determinado porel orto heliaco de la estrella Sirio, es decir, por su primera aparición en elamanecer después de su período de invisibilidad. Este acontecimiento coincidíaoriginariamente con el inicio de la crecida del Nilo. Observaciones posterioresrevelaron un retraso del orto heliaco de Sirio, y la creciente del Nilo no volvía acoincidir hasta 1460 años después (período sothíaco). De ahí se dedujo que laverdadera duración del año era de 365, 25 días. A partir del 238 A.C. se agregópor eso a cada cuarto año un día intercalado.Aparte de diversas constelaciones estelares, existía en Egipto una división

del zodíaco en 36 decanos, regidas por divinidades.

1.1.3 China

Cuenta la historia de los desdichados astrónomos de la corte, Hsi y Ho, quefueron ejecutados por haber puesto en peligro la seguridad del mundo, al dejarde predecir un eclipse de Sol.Al igual que en Babilonia, el antiguo calendario chino de principios del siglo

II A.C. es un año lunisolar con ciclos bisiestos de 19 años. La obra Calendariode Tres Ciclos, aparecida hacia el principio de nuestra era y cuyo autor es LiuHsin, describe la historia de la astronomía china desde el tercer milenio. Losastrónomos de la corte imperial china observaron fenómenos celestes extraordi-narios cuya descripción ha llegado en muchos casos hasta nuestros días. Estascrónicas son para el investigador una fuente valiosísima porque permiten com-probar la aparición de nuevas estrellas, cometas, etc. También los eclipses seregistraban de esta manera.Por el contrario, el estudio de los planetas y de la Luna no estuvo hasta el

siglo I A.C. en condiciones de proporcionar predicciones suficientemente exactasde los fenómenos celestes y de los eclipses. La antigua astronomía solar china

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4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA

difiere mucho de la babilónica y la occidental. El ecuador celeste se dividía en28 casas y el número de constelaciones ascendía a 284.

1.1.4 Centroamérica y Perú

Si los distintos pueblos del México antiguo llegaron hasta la fase jeroglífica, losmayas lograron la fase silábico-alfabética en su escritura. La numeración iniciadapor los olmecas con base vigesimal, la perfeccionan los mayas, en los siglos IIIy IV A.C.. Los mayas conocieron desde el tercer milenio A.C. como mínimoun desarrollo astronómico muy polifacético. Muchas de sus observaciones hanllegado hasta nuestros días (por ejemplo un eclipse lunar del 15 de febrero de3379 A.C.) y se conocían con gran exactitud las revoluciones sinódicas de losplanetas, la periodicidad de los eclipses, etc. El calendario comienza en unafecha cero, que posiblemente sea el 8 de junio de 8498 A.C. en nuestro cómputodel tiempo, aunque no es del todo seguro. Los mayas tenían además un año de365 días (con 18 meses de 20 días y un mes intercalado de 5 días).También la astronomía inca, en el Perú, tuvo en parte un gran desarrollo.

Los incas, conocían la revolución sinódica de los planetas con admirable exac-titud. Las anotaciones en los quipus (cordeles con nudos) dan 115.88 días paraMercurio, 584.8 días para Venus y 398.88 días para Júpiter. Los valores moder-nos son respectivamente 115.88 dias, 583.92 dias y 398.88 dias. El calendarioconsistía en un año solar de 365 días, repartidos en 12 meses de 30 días y 5 díasintercalados.Todas las culturas pertenecientes al período de desarrollo comentado tenían

una cosa en común y es que tomaban los fenómenos celestes como fenómenosdados, sin buscar para nada explicaciones ocultas. A la Tierra se le atribuía laforma de un disco plano, rodeada de la bóveda celeste.

1.1.5 Grecia

Para los Pitagóricos (572 − 48 A.C.), el cielo en su totalidad son números yarmonía. Se predica la igualdad entre todos los seres vivos. Mientras despre-cian el provecho económico y consideran que el trabajo está reservado para losesclavos, no escatiman esfuerzos para pensar en asuntos imposibles, de dondesurgen conceptos fundamentales como los números irracionales, las cónicas, elinfinito. Por oposición a este modo de pensar, el pensamiento práctico de Ar-químedes (287 − 212 A.C.) expresado en sus aportes a la ingeniería, con laspoleas y palancas, el empuje hidrostático, el tornillo sinfín, es la antítesis.Tales de Mileto (640 A.C.), el primero de los grandes astrónomos, creía que

el Universo era esférico. Aristóteles (384 A.C.) combatió la idea de una Tierraplana, basando sus puntos de vista en el cambio de posiciones de estrellas en elcielo con la latitud y en la forma circular de la sombra de la Tierra proyectadasobre la Luna durante un eclipse.El director de la Biblioteca de Alejandría, Eratóstenes (aproximadamente

en 280-200 A.C.), mide el tamaño de la Tierra utilizando la altura del Sol demediodía. Con la sombra de un elemento vertical proyectada en dos puntos

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1.1. HISTORIA 5

distintos, halló una diferencia de valor de 7◦ 1/7 para la distancia angular en-tre Asuán y Alejandría. Como la distancia horizontal entre ambos lugares era,según mediciones suyas anteriores, de 5,000 estadios, halló por métodos pura-mente geométricos, cuando aún no se había desarrollado la trigonometría, queel perímetro total de la esfera terrestre era

(5000)(360◦)/717 = 252000 estadios = 39690 Km.

Hiparco (190-120 A.C.), el astrónomo griego más importante, inventó latrigonometría, hizo un catálogo de más de 1000 estrellas y descubrió la precesióndel eje terrestre. Sus trabajos fueron la base para la gran obra de Ptolomeo,que se escribiría en el siglo II D.C.También a otros astros se les atribuyó una forma esférica. Anaxágoras

sostenía que el Sol era una roca incandescente y Demócrito afirmaba que la VíaLáctea consistía en numerosas estrellas. Una de las mayores contribuciones dela astronomía griega, entre las concepciones clásicas sobre las consideracionesdel Universo como finito y geocéntrico –al lado de El Timeo de Platón, laMetafísica y el Tratado del Cielo y el Mundo de Aristóteles– fue el intento deexplicar el movimiento de los planetas mediante una teoría de Hiparco y ClaudioPtolomeo (87-170 D.C.) que compiló en Almagesto todo el saber astronómicode la época.Los siete planetas, entre los que tradicionalmente figuraban también la Tierra

y la Luna, se movían en siete esferas alrededor de la Tierra, la cual ocupabael centro (sistema geocéntrico). De adentro hacia afuera se sucedían la Luna,Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno. Más allá de la órbita deSaturno se hallaba la esfera de las estrellas fijas. La Tierra no ocupaba el centroexacto de cada órbita, es decir, las órbitas planetarias eran algo excéntricas.Sólo el Sol y la Luna se movían en círculo; los demás planetas recorrían unepiciclo cuyo centro se deslizaba a lo largo de un círculo llamado deferente.El sistema de Ptolomeo es geocéntrico, para más detalle ver [4]. Se supone

la Tierra completamente estática, mientras todos los cuerpos celestes giran entorno suyo, por ser ella el centro del Universo. Obsérvense unos círculos menoresllamados epiciclos y otros mayores, los deferentes. Los centros de los epiciclos delos planetas interiores se localizan sobre la recta Tierra-Sol, y la de los exteriores,sobre los deferentes. Epiciclos y deferentes son círculos, y los círculos suponenser la geometría del movimiento perfecto.La teoría de los epiciclos de Ptolomeo permitía no sólo dar una explicación

teórica al movimiento de los planetas, sino también obtener predicciones fiables.Al lado de la teoría geocéntrica aparecieron otras como la de Aristarco de

Samos (310 a 250 A.C.). Según él, el Sol (Helios) se hallaba en el centro yalrededor de él giran en círculo los planetas, entre ellos la Tierra.Los griegos fueron también los primeros en intentar medir distancias en el

cosmos. Aristarco, aplicando métodos de paralaje, al proyectar la sombra de laTierra sobre la Luna eclipsada, y que la Luna en los eclipses mostraba el mismotamaño aparente del Sol, halló que la razón de las distancias Luna-Sol era de1/19. El diámetro de la Luna, según él, era 0.36 veces la de la Tierra, y el del

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6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA

Sol 6.75 el de ésta, pues ambas cantidades deben guardar la misma proporciónde las distancias.

1.1.6 Edad Media

Este período caracterizado por el dominio de la teología sobre las demás disci-plinas intelectuales, va del año 476 D.C. cuando culmina el esplendor del imperioromano de occidente centrado en Roma, hasta el año 1453 cuando culmina elimperio romano de oriente, por la caída de Constantinopla en manos de losturcos otomanos.Sobresalen Boecio ( 480 a 5249), Cosmas Indicopleustes de Alejandría S.

VI, Isidoro de Sevilla (570 a 636), Beda el Venerable de Inglaterra (673 a 735),Al-Manzur de Bagdad (siglo VIII) Harun Al Raschid (765-809), Thabit VenQurrah (836-901), Al Battani (868-929), Al Fargani (siglo IX), Ibn al Haytham(965-1039), Abubacer (? -1185), Averroes (1126-1198), Thierry de Chartres(? - 1150), Alfonso X el Sabio en Toledo (1221-1284), Roger Bacon (1214-1294), Pietro de Abano (1250-1316), Tomas de Aquino (1225-1274), Jean Buri-lan (1300-1358), Nicilás de Oresme (1323-1382), Nicolás de Cusa (1401-1464)El legado de la astronomía griega pasó en los siglos X a XV a manos de los

árabes principalmente. Tradujeron la obra de Ptolomeo, el Almagesto; a muchasde las principales estrellas de las constelaciones les dieron nombres especialesque aún hoy se conservan, y confeccionaron diversos catálogos de estrellas ytablas planetarias. Debe advertirse que muchos de los nombres babilónicos opersas, de las estrellas, son luego tomados y traducidos a su lengua por losgriegos, para que los árabes les hagan suyos después, y finalmente, lleguen a lossabios alfonsíes quienes los acuñan en castellano y arabismos.

1.1.7 El renacimiento

Este período es el punto de llegada del humanismo y alcanza su mayor esplendoren el período que va desde 1492 hasta 1529.- Nicolás Copernico (1473-1543). Considerado el verdadero artífice de la

nueva astronomía. Basado en la lectura de autores antiguos que hacían refe-rencia al sistema heliocéntrico de Aristarco de Samos observó lo improbable delSistema Ptolemaico. Escribió el Commentariolus, que versa sobre la arquitec-tura del sistema planetario y en el cual postula que la Tierra gira alrededor desu eje y que ésta y los planetas se mueven alrededor del Sol; a estas ideas llegóno tanto por mediciones y observaciones como por razonamientos teóricos.Lo cierto es que con las teorías copernicanas no se podían obtener predic-

ciones precisas de los movimientos planetarios, por lo que se vio obligado aintroducir gran número de epiciclos para que la teoría coincidiera hasta ciertopunto con los hechos. El problema estribaba en que Copérnico se limitó a órbitascirculares.La nueva concepción del mundo no provocó mayor preocupación, mientras

no se extrajo de ella la inquietante consecuencia de que, si la Tierra no ocupa

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1.1. HISTORIA 7

una situación privilegiada en el Universo, tampoco existen privilegios socialesque sean absolutos e inmodificables.Esta abolición de los privilegios dentro de la naturaleza, y por ende en la

sociedad, expresada abiertamente con plena transparencia, constituyó el meollodel pensamiento copernicano que el más grande filósofo del renacimiento, Gior-dano Bruno, propagó por toda Europa hasta ser excomulgado por las iglesiasCatólica, Luterana y Calvinista, condenado a prisión en las mazmorras de laSanta Inquisición durante siete años y terminar por ser quemado vivo en Romaa sus 52 años, el 17 de febrero del año 1600, sin que se haya retractado de suherética posición.- Tycho Brahe (1546-1601) - Johannes Kepler (1571-1630). Brahe, desde los

observatorios de Dinamarca, observa entre otras cosas la órbita de Marte congrandes cuadrantes de pared. Fueron estas las medidas de posición astronómicamás precisas antes de la invención del telescopio, pues el error medio en lasdeterminaciones de los astros era del orden de los 2

0de arco.

Ya en Praga nombra ayudante suyo a Kepler, de quien conoció su obra Mys-terium Cosmographicum. A la muerte de Brahe, Kepler evalúa las observacionesde Marte y en 1609 publica su Astronomía Nova, con las dos primeras leyes queseñalan el movimiento elíptico y las áreas barridas por los radiovectores planeta-rios. La tercera ley de Kepler se publica en 1619 en su obra Harmonices Mundi.Son aportes de Kepler, además, la creación de la ciencia-ficción, el principio dela acción de la luna en las mareas, y el principio de la cámara oscura como sufuncionamiento en la óptica del ojo.- Galileo Galilei (1564-1642). Fué un defensor de la teoría copernicana, lo que

le trajo grandes conflictos con la Inquisición de Roma, donde se le prohibió seguirdefendiendo éste sistema. No obstante, era la teoría de la transubstanciaciónreferida al sacramento de la Eucaristía, y no la teoría geocéntrica, el verdaderomeollo del problema.Este astrónomo que en 1610, al descubrir los cuatro satélites principales de

Júpiter, encuentra la comprobación objetiva de la teoría copernicana, tambiéndescubrió las leyes de la caída libre, de la inercia, de la oscilación del péndulo ylos principios de escala en la resistencia de materiales. Con Galileo se inicia laFísica moderna, al introducir el Método Científico y al transformar el tiempo, deuna función discreta a una función continua. Desde 1609 construyó un telescopioe hizo hallazgos y observaciones (manchas solares, cuatro lunas de Júpiter, fasesde Venus, montañas lunares, etc.), que publicó en 1610 en Siderius Nuncius.Con las fases de Venus, advierte la rotación de este planeta entorno al Sol y noa la Tierra.La difusión del telescopio indujo en el siglo XVII una oleada de nuevos

descubrimientos. Entre los astrónomos de ésta época tenemos a Simón Marius(lunas de Júpiter, detección de la nebulosa de Andrómeda en 1612), ChristophScheiner (primera obra sistemática de las manchas solares), Johannes Hevelius(observaciones de la Luna y los cometas), Christian Huygens (descubrimiento delanillo de Saturno y de Titán el mayor satélite del planeta), Giovanni DoménicoCassini (hizo numerosas observaciones planetarias, descubrió cuatro satélites deSaturno), Olaus Römer (determinación de la velocidad de la luz a partir de los

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8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA

eclipses de los satélites de Júpiter), John Flamsteed (fundación del observatoriode Greenwich en 1675, catálogo estelar).- Isaac Newton (1643-1727). Nacido un año después de la muerte de Galileo,

es el creador de la Ley de Gravitación Universal, según la cual la caída de loscuerpos y el movimiento de los astros, se rigen por una misma fuerza. De aquíla importancia de dicha ley expresada como una teoría matemática capaz deexplicar el movimiento de los cuerpos celestes.En 1671 construyó un telescopio reflector, y al tiempo revoluciona los prin-

cipios de la óptica con su descubrimiento de los colores en el espectro visible.Además, para sus desarrollos, creó su propia herramienta: el cálculo diferencial(que denominó Fluxiones), cuando contemporáneamente lo hacía Leibniz, porseparado.El descubrimiento de la Ley de la Gravitación Universal permitió, no sólo

asentar el sistema copernicano sino, aumentar la precisión de los cálculos deórbitas lunares y planetarias, pues la ley también tenía en cuenta las perturba-ciones gravitatorias entre los cuerpos que intervienen.En el siglo XVIII y principios del XIX la mecánica celeste se desarrolla. No

existe el computador. Halley calcula la órbita elíptica del cometa de 1682. Kantatribuye en 1755 la génesis del sistema solar a un proceso mecánico. Lagrangeestudia en 1788 el conocido problema de los tres cuerpos y algunos casos espe-ciales con solución. Laplace publica en 1799 su Mecánica Celeste y descubrela invariabilidad del eje mayor de las órbitas planetarias. Leverrier y Adamspredicen la existencia de Neptuno por las perturbaciones que sufre Urano y elplaneta es descubierto en 1846 en el Observatorio de Berlín. Bessel deduce en1844, por las perturbaciones del movimiento propio de Sirio, la existencia de sucompañera desconocida, que efectivamente es observada en 1862.También, la técnica instrumental maduró en los siglos XVIII y XIX, lo mismo

que las técnicas y métodos de medida experimentan un avance continuo. Nacenlos primeros catálogos estelares. Con las investigaciones sobre el espectro solary las rayas oscuras que llevan su nombre (1814), con la creación del análisisespectral por R. W. Bunsen y G. R. Kirchhoff (1895) y con la introducción delos métodos de fotografía y los fotómetros en la segunda mitad del siglo XIX,se funda la astrofísica.

1.1.8 La Astronomía Moderna y Contemporánea

- Edwin Hubble (1889-1953). La época grande de la cosmología se inicia aprincipios de éste siglo con la construcción de grandes telescopios como el deMonte Wilson en California (100 pulgadas). En 1917 los astrónomos identificanestrellas individuales en galaxias cercanas. Se inicia la gran discusión entreCurtis y Shapley, el primero sosteniendo la existencia de Universos islas y elsegundo, un verdadero experto en estrellas cefeidas, resistiéndose a que nuestragalaxia perdiera su condición de privilegio; en el Smithsoniano, el 26 de abrilde 1920 confrontan sus tesis como si tratara de Copérnico y Ptolomeo. Para1924 Hubble había descubierto 36 cefeidas en "nebulosas" espirales (galaxias)

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1.2. ESTRELLAS Y MEDIO INTERESTELAR 9

extendiéndose así y de manera definitiva, el tamaño del Universo más allá de laVía Láctea.Hubble utiliza esos faros del Universo, constituidos por estrellas variables

pulsantes de período regular. En 1929 da una noticia sorprendente, por susimplicidad y trascendencia, en un trabajo suyo titulado "Una relación entrela distancia y la velocidad radial de las nebulosas extragalácticas", en el queadvierte que mientras más lejos está una galaxia, con mayor velocidad se alejade nosotros; en esta relación, a doble distancia doble velocidad de recesión, atriple distancia triple velocidad de recesión.... Las consecuencias: el Universose expande. Ese Universo homogéneo e isótropo, que se expande de formarelativista, que según Lemaitre debió nacer de una explosión, tiene un límiteconstituido por su tejido de expansión, cuyos cuerpos viajan aproximándose ala velocidad de la luz.- Albert Einstein (1879-1955) y Stephen Hawking (1942). Einstein elimina

el concepto newtoniano de espacio absoluto y demuestra que la luz además deser onda, también se comporta como partícula. Con su expresión E = mc2 de1905, al formular la Teoría Especial de la Relatividad (TER), los cuerpos puedenconvertirse en luz y viceversa: Materia y Energía son entonces dos aspectos dela misma cosa. En 1916 publica la Teoría General de la Relatividad (TGR),que considera la aceleración de los cuerpos y con la cual la gravedad se explica,no como una fuerza a distancia sino, como la deformación del Espacio-Tiempocausado por la masa de los astros: La Masa le dice al Espacio como se curve yel Espacio le dice a la Masa como se mueva.El soporte para la TER y la TGR está en la teoría Electromagnética de

Maxwell (1831-1879), en el concepto de campo de Hertz (1857-1894) y Lorentz(1853-1928), y en el espacio seudo euclídeo de Minkowsky (1864-1909) y lageometría curva de Riemann (1826-1866). Los aportes de A. Einstein, al ladode la Teoría Cuántica de Max Plank (1858-1947), la Teoría Atómica de NielsBohr (1885-1962) y la Nueva Teoría Cuántica de 1925, permiten rehacer losfundamentos de la concepción del Universo.Hoy los Modelos Cosmológicos y la Astronomía Observacional se muestran

como poderosos soportes y única vía para continuar el desarrollo que antespudieron jalonar los grandes aceleradores de partículas. Ahora es poco viable re-currir a los procedimientos de antes a causa del enorme costo que tienen los méto-dos instrumentales de la física de partículas, para avanzar en el conocimientodel Universo y de las leyes que rigen el cosmos.

1.2 ESTRELLAS Y MEDIO INTERESTELAR

1.2.1 Evolución Estelar

Las estrellas llegan a existir varios miles de millones de años, por lo cual nopuede observarse la evolución de una única estrella desde su nacimiento hastasu muerte. Sin embargo, es posible construir un modelo de la evolución estelaral examinar numerosas estrellas que se encuentran en diferentes etapas de su

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10 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA

Figura 1.1: Esta fotografía, obtenida por el Telescopio Espacial Hubble, muestrauna región de formación de nuevas estrellas en la nebulosa M16, ubicada a 6,500años luz de la Tierra en la constelación Serpens.

existencia.El nacimiento de una estrella tiene lugar en el medio interestelar, ver fig. 1.1;

donde existen grandes masas de hidrógeno, helio y otros elementos en menorproporción, todos en forma gaseosa, los cuales van desarrollando débiles atrac-ciones gravitatorias entre sí. Esta interacción tiende a agrupar ese material ennubes mayores, que a su vez se unen con otras similares hasta llegar a la primeraetapa de la evolución estelar: una gran acumulación de gas y polvo, a la que sedenomina nucleo pre-estelar.A medida que se suma más material, la gravedad se hace cada vez más

intensa. Cuando la protoestrella alcanza entre 0.1 y 1.4 veces la masa de nuestroSol, la densidad y temperatura en su núcleo aumenta progresivamente, hastacausar el inicio de una reacción nuclear: millones de toneladas de átomos dehidrógeno se fusionan a cada segundo, desprendiendo gran cantidad de energíay transformándose en helio.Mientras que la gravedad atrae a estos materiales hacia el núcleo, la irra-

diación del calor producido por las reacciones nucleares los empuja hacia afuera,por lo que se llega a un equilibrio hidrostático estable: a partir de ese momento,puede decirse que ha nacido una estrella.En 1911 el astrónomo holandés Ejnar Hertzsprung, al observar las estre-

llas de algunos cúmulos estelares, notó que existía una relación directa entresu magnitud absoluta y su temperatura, véase [6]. Dos años más tarde, el

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1.2. ESTRELLAS Y MEDIO INTERESTELAR 11

Figura 1.2: Diagrama H-R.

estadounidense Henry Norris Russell obtuvo el mismo resultado al estudiar todaslas estrellas cuya distancia al Sol ya era conocida.Precisamente, si se representan gráficamente los tipos espectrales o tempera-

turas de distintos tipos de estrellas en función de su magnitud absoluta, ver fig.1.2, obtenemos lo que en honor a ambos astrónomos es denominado "diagramaHertzsprung-Russell":Las estrellas son muy diferentes entre sí, por lo que se suele adoptar la masa

del Sol (aproximadamente 300,000 veces la de la Tierra) como unidad paracompararlas, ver fig. 1.3. Tomando este valor como parámetro, la masa de unaestrella puede ir de 0.08 a 100 masas solares, si bien la mayoría tiene una masaaproximadamente similar a la de nuestro Sol, y las estrellas que sobrepasan las10 masas solares son poco comunes.El rango de densidad de la materia en las distintas estrellas también es muy

amplio. Por ejemplo, una gigante roja, ver fig. 1.4, como Betelgeuse es menosdensa que el aire que respiramos, mientras una muestra de material de unaenana blanca del tamaño de un terrón de azúcar pesaría en la Tierra más deuna tonelada.El tiempo que una estrella transcurre en la secuencia principal varía según su

masa: a menor masa, la estrella es capaz de mantenerse consumiendo hidrógenopor mucho más tiempo que una de mayor masa. De hecho, actualmente, nuestroSol se halla en la secuencia principal y esta etapa continuará por alrededor de5,000 millones de años más.

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12 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA

Figura 1.3: Posición de nuestro Sol en el diagrama H-R.

Figura 1.4: Esta figura muestra la etapa de la vida de las estrellas.

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1.2. ESTRELLAS Y MEDIO INTERESTELAR 13

El modo en que se produce la muerte de una estrella depende decisivamentede su masa inicial. Si posee entre 0.08 y 8 masas solares, las capas exterioresde la estrella son expulsadas al espacio, formando lo que se conoce como unanebulosa planetaria; al detenerse la fusión nuclear en su interior, el núcleo inertede la estrella se convierte en una enana blanca.Muchas estrellas conforman sistemas múltiples, mayormente binarios, en los

cuales dos estrellas orbitan una alrededor de la otra de acuerdo a las leyes deKepler. Los sistemas binarios son muy útiles, dado que el análisis de las órbitasde sus integrantes es la única forma de determinar directamente la masa de lasestrellas.Cuando una enana blanca y una gigante roja forman un sistema binario, se

provoca un flujo de material desde la más grande hacia la más pequeña, creandoun disco de acreción a su alrededor.Una vez que la enana blanca acumula suficiente material, se producen reac-

ciones de fusión nuclear y la estrella aumenta súbitamente su brillo, convirtién-dose en una nova hasta volver a agotar su combustible. El proceso se repitecíclicamente; por ejemplo, la estrella T Coronae Borealis se convirtió en novaen 1866 y nuevamente en 1946.Si la masa inicial de la estrella está por arriba de 8 masas solares, todo

sucede mucho más rápido. Cuando cesan las reacciones nucleares, el núcleoahora formado de hierro implosiona bajo su propia gravedad, tras lo cual seproduce una explosión masiva, y la estrella se convierte en una supernova. Lamayor parte del material de la estrella es expulsado al espacio, creando una nubede gas en expansión en cuyo centro se forma un cuerpo de altísima densidad(miles de billones de toneladas por centímetro cúbico) y unos pocos kilómetrosde diámetro, formado enteramente por neutrones, o bien un agujero negro.La estrella de neutrones resultante gira rápidamente (en algunos casos, muchas

veces por segundo), y posee un poderoso campo magnético que direcciona lospulsos de radio emitidos por la estrella de manera similar a la de un faro, creandouna fuente de radio pulsátil que los radioastrónomos denominan púlsar (contrac-ción del inglés "pulsating star", estrella pulsátil). La rotación de este tipo deobjetos se desacelera gradualmente, y eventualmente el púlsar se enfría hastaconvertirse en un objeto inerte.El primer púlsar fue descubierto en 1967 por Jocelyn Bell en M1, la Nebulosa

del Cangrejo, ver fig. 1.5, y es el remanente de la explosión de la supernova delaño 1054, que por algunos días fue visible a ojo desnudo en pleno día.

1.2.2 Poblaciones Estelares

Son dos diferentes grupos de estrellas. En la población I entran las estrellasde formación reciente como el Sol, que se encuentran en los brazos espirales delas galaxias; estas estrellas tienen elementos más pesados o metálicos. En lapoblación II entran estrellas viejas, a veces contemporáneas con la formación dela galaxia, que se encuentran o en el núcleo galáctico o en los cúmulos globularesdel halo. En la población II las estrellas casi no contienen elementos pesados, sonde primera generación, con escaso contenido metálico pero ricas en hidrógeno.

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14 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA

Figura 1.5: Esta fotografía muestra la Nebulosa Cangrejo, M1, en la constelaciónde Tauro, a 7,000 años luz de la Tierra. La nube de gas en expansión es ilu-minada por el pulsar (flecha) remanente de la explosión de una supernova en elaño 1054, que fue observada por astrónomos chinos.

Las poblaciones pueden dividirse así:1. Población I extrema (estrellas O y B, estrellas δ Cephei, cúmulos abiertos).2. Población I más vieja (estrellas A, gigantes normales, estrellas con fuertes

rayas metálicas).3. Población II intermedia (estrellas Mira de período corto, estrellas con

velocidades superiores a los 30 km/s, perpendiculares al plano galáctico).4. Población II del halo (estrellas en cúmulos globulares, estrellas RR Lyrae,

subenanas).Al observar nuestra galaxia, ver fig. 1.6, podemos identificar algunas estruc-

turas, como el halo, el núcleo, el plano medio galáctico y el eje de rotación delsistema y el disco galáctico.El halo es el volumen redondeado de la galaxia formado por cúmulos cer-

rados con órbitas poco circulares y muy inclinadas respecto al plano medio dela galaxia. La región es pobre en gas y polvo; y las estrellas orbitan a granvelocidad. El disco es el contorno de los brazos espirales localizados en el planomedio, donde hay estrellas jóvenes y se encuentran sumergidas en medio de gasy polvo. Las estrellas aquí, en cúmulos galácticos generalmente, están orbitandocon trayectorias muy circulares y siempre perpendiculares al eje de rotación dela galaxia. La rotación galáctica es diferencial. Los objetos del centro son rápi-dos y los del disco lentos. El Sol podría pasar de un brazo a otro, mientrastransita la galaxia con órbita casi circular.

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1.2. ESTRELLAS Y MEDIO INTERESTELAR 15

Figura 1.6: Perfil de la Vía Láctea con la posición relativa del Sol y las dos Nubesde Magallanes. En detalle los cúmulos estelares abiertos y cerrados típicos deesta galaxia.

1.2.3 Medio Interestelar

Una galaxia como la nuestra contiene unos cien mil millones de estrellas, quesuman el 90 por ciento de su masa total. Sin embargo, esas estrellas sólo ocupanuna pequeña parte del volumen total de la Vía Láctea. Se conoce como mediointerestelar a la materia y energía que ocupa esos espacios, existentes entre lasestrellas del común de las galaxias.El medio interestelar está formado por una mezcla sumamente diluída de

átomos, moléculas, polvo, radiación electromagnética, rayos cósmicos y camposmagnéticos. La materia generalmente tiene dos componentes principales, laspartículas de polvo y el gas. Por lo general, un 99 por ciento de la masa del mediointerestelar está compuesto por partículas de gas, principalmente hidrógeno yhelio.El 1 por ciento restante contiene minúsculas partículas compuestas de sili-

catos, carbono, hielo de agua o hierro, de forma irregular y con un tamaño menora un micrón. Se trata de material eyectado por las estrellas en las últimas etapasde su evolución, rico en elementos pesados, que se condensa al exponerse al fríodel espacio interestelar y forma granos de polvo, que más adelante desempeñanun papel determinante en la formación de los planetas.Como resultado de la nucleosíntesis primordial, el gas que compone el medio

interestelar contiene un 75 por ciento de hidrógeno, un 25 por ciento de helio, ytrazas de otros elementos de mayor peso atómico, denominados genéricamente"metales". Normalmente es un gas extremadamente tenue, con una densidad

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16 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA

típica de 1 átomo por centímetro cúbico, siendo un vacío muy superior al quees posible obtener en los mejores laboratorios terrestres.A pesar de que las condiciones físicas del medio interestelar pueden variar

drásticamente de una región a otra, la relación entre gas y polvo es aproxima-damente constante en toda la galaxia. Precisamente, a causa de su rol inter-mediario entre la evolución estelar y la dinámica a gran escala de las galaxias,el medio interestelar es una de las áreas de estudio más importantes de la as-trofísica moderna.Dado que las condiciones imperantes en el medio interestelar son muy dis-

tintas a las que existen en la Tierra, las reacciones químicas que se desarrollanen el medio interestelar resultan diferentes a las terrestres. Por esta razón, re-cientemente se ha desarrollado una nueva rama de la astronomía, denominadaastrofísica molecular, que tiene como objeto el estudio de la química en el mediointerestelar.Las estrellas se forman en regiones frías del medio interestelar a partir de

nubes de hidrógeno neutro, cuya existencia es muy común en el plano galáctico.A su vez, reabastecen al medio interestelar de materia y energía a través delviento estelar, la expulsión de su envoltura y las explosiones de supernovas. Esteintercambio, es el que define la rapidez con que una galaxia agota su contenidogaseoso, y por lo tanto, determina la duración del período de formación estelaractiva en esa galaxia.Los vientos estelares poseen velocidades típicas de 100 a 3,000 kilómetros

por segundo, y la tasa de pérdida de materia en las estrellas masivas alcanzaa veces una milésima parte de la masa del Sol por año. Además, las estrellasmasivas emiten una gran cantidad de energía en forma de fotones, que ionizanel hidrógeno atómico del medio interestelar circundante, calentando el plasmahasta temperaturas del orden de los 10,000 oK. Ese gas, ionizado por la radiaciónestelar, recibe el nombre de región HII.El estado actual de nuestros conocimientos sobre el medio interestelar que

circunda al Sol se muestra en la figura 1.7 de 10 años luz a la redonda. En laactualidad, el Sol está atravesando un sector de la denominada Nube InterestelarLocal, en color violeta, que mide 60 años luz de diámetro y se está apartandode la asociación de estrellas jóvenes de Scorpius-Centaurus.El sector que estamos atravesando se mueve perpendicularmente (flecha

naranja) al movimiento del Sol en el espacio (flecha amarilla). Los límites de laNube Interestelar Local fueron determinados mediante la observación en longi-tudes de onda visibles y ultravioletas de algunas estrellas cercanas como Sirius,Alpha (α) Centauri y Altair, que revelaron la cantidad relativa de gas que seinterpone entre ellas y nuestro sistema solar. Actualmente, el Sol se encuentraa 4 años luz del borde de la Nube Interestelar Local. En este diagrama, losmovimientos son indicados en relación a las estrellas cercanas.En la figura 1.8 de 1,500 años luz a la redonda del Sol puede verse una

perspectiva más amplia de nuestro brazo de la Vía Láctea, obtenida a partirde numerosas observaciones y deducciones teóricas. La Nube Interestelar Localreside en un "agujero" de baja densidad en el medio interestelar, conocido comola Burbuja Local, mostrado en negro y con un diámetro de 300 años luz.

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1.2. ESTRELLAS Y MEDIO INTERESTELAR 17

Figura 1.7: Nube Interestelar Local.

Figura 1.8: Burbuja Local.

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18 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA

En las cercanías se encuentran varias nubes moleculares de alta densidad,incluyendo la Grieta de Aquila, rodeada de regiones de formación estelar, cadauna de las cuales se muestra en color rojo. La Nebulosa Goma de Mascar, encolor verde, es una región HII, compuesta de hidrógeno ionizado a alta tempe-ratura.Dentro de la Nebulosa Goma de Mascar está el remanente de la Supernova

de Vela, en color rosado, cuyo material se está expandiendo para formar capasfragmentadas similares a la Nube Interestelar Local. Futuras observacionesayudarán a los astrónomos y astrofísicos a discernir más sobre nuestro vecindariogaláctico y cómo éste puede haber afectado el clima de la Tierra en el pasado.Uno de los grandes descubrimientos de la astronomía observacional del siglo

pasado fué la detección a partir de 1937 de una serie de líneas muy estrechasen el espectro de estrellas levemente enrojecidas, que no podían tener un origenestelar. Astrónomos como Dunham, Adams, Swings y Rosenfeld concluyeronque se trataba de moléculas presentes en el difuso medio interestelar. Estoprovocó el descubrimiento de las denominadas nubes moleculares, de pequeñotamaño pero sumamente masivas, donde se están formando nuevas estrellas.Gracias a la elevada densidad en el interior de estas nubes, el resultado

de esas reacciones es una sorprendente cantidad de moléculas complejas, in-cluyendo moléculas orgánicas, que han sido detectadas mediante observacionesespectroscópicas: agua, alcoholes, éteres, cetonas, hidrocarburos, aminas y alde-hídos, entre otros.Los rayos cósmicos y la radiación de las estrellas que nacen en el interior

de dichas nubes también ionizan al gas circundante; a las bajas temperaturasque reinan en el interior de estas nubes, los iones resultan tremendamente reac-tivos. Se estima que la superficie de los granos de polvo actúa asimismo comocatalizador de esas reacciones y como superficie de sostén para los reactivos,que se condensan sobre ellos. Al expandirse en el espacio, la interacción de unaburbuja interestelar con este tipo de nubes moleculares puede dar origen a laformación de nuevas generaciones de estrellas.El medio interestelar también es responsable del fenómeno denominado ab-

sorción o extinción cósmica, por el cual la intensidad de la luz de una estrelladecrece a medida que se propaga a través del medio interestelar. La extinciónes causada por la refracción y absorción de fotones en ciertas longitudes deonda. Por ejemplo, una longitud de onda de absorción típica es la del hidrógenoatómico, 121,5 nanómetros, a la que se denomina transición Lyman-alpha. Re-sulta casi imposible ver la luz emitida por una estrella en esa longitud de onda,ya que la mayor parte de la misma es absorbida durante su propagación hastala Tierra.Generalmente se divide al medio interestelar en tres fases, de acuerdo al

modelo desarrollado inicialmente por Christopher McKee y Jeremiah Ostrikeren 1977, y que ha resultado la base de los estudios realizados desde entonces.Dependiendo de la temperatura del gas componente del medio interestelar, sehabla de fase "caliente" (millones de grados Kelvin), "tibia" (miles de gradosKelvin) o "fría" (decenas de grados Kelvin). La determinación de las propor-ciones relativas de estas tres fases en el medio interestelar es todavía un tema

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1.2. ESTRELLAS Y MEDIO INTERESTELAR 19

Figura 1.9: Viento Solar y Viento Interestelar

de considerable discusión en la comunidad astronómica internacional.

1.2.4 La interacción del Sol con el medio interestelar

El viento solar, ver fig. 1.9, que emana del Sol llena un volumen del espacioalrededor del sistema solar, llamado heliósfera, que interactúa con el flujo demateria en el medio interestelar. El viento solar es un gas ionizado, que reducesu velocidad a niveles subsónicos al llegar al denominado "shock de terminación"y se detiene efectivamente al llegar a la heliopausa, el límite exterior de laheliósfera. Las partículas cargadas del viento interestelar (líneas blancas), en sumayoría iones de hidrógeno, son desviados a lo largo del límite de la heliósfera(la heliopausa), mientras las partículas neutrales (flecha rosa), en su mayoríaátomos de hidrógeno y helio, penetran la heliósfera.El viento interestelar también "sopla" en dirección contraria al viento solar

(líneas blancas dentro de la heliósfera), forzándolo a fluir formando una helio-cola. Debido a que el viento solar cambia a lo largo de los ciclos de actividadsolar, y el medio interestelar es una estructura heterogénea, hay una interacciónsiempre cambiante entre la heliósfera y su entorno galáctico. En este diagramalos límites de las características heliosféricas están mapeados de acuerdo a sustemperaturas relativas.Aunque los iones, ver fig. 1.10, del medio interestelar resultan desviados

alrededor de la heliósfera, la mayor parte de los átomos interestelares neutrosfluyen a través del sistema solar. De hecho, un 98 por ciento del gas difuso en elinterior de la heliósfera excluyendo al material asociado con cuerpos planetariosy cometas es de origen interestelar; la densidad del material interestelar y el

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20 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA

Figura 1.10: Movimientos relativos del Sol, la Nube Interestelar Local y el vientointerestelar.

viento solar se equiparan cerca de la órbita de Júpiter. Aunque pueda resultarsorprendente, esto se debe a que el viento solar debe llenar un volumen cada vezmayor a medida que se aleja del Sol, por lo cual su densidad es inversamenteproporcional al cuadrado de su distancia al Sol. En cambio, la densidad de losátomos neutros del viento interestelar cambia muy poco al fluir a través de laheliósfera, hasta que finalmente éstos resultan ionizados.La primera detección de materia de origen interestelar dentro del sistema

solar fue efectuada en 1960 por un satélite de observación de la geocorona ter-restre, una capa de átomos de hidrógeno neutro que se forma en la parte exte-rior de la atmósfera de nuestro planeta. Se detectó la presencia de átomos dehidrógeno neutro con una distribución espacial distinta a la de la geocorona, loque evidenciaba su origen interestelar.

1.3 GALAXIAS Y COSMOLOGÍA

1.3.1 Galaxias

Las galaxias son gigantescas agrupaciones de estrellas, gas y polvo, para másdetalle consultar [6]. En su interior, las estrellas se organizan en cúmulos quehan nacido de una misma nube de gas y polvo. Dichas estrellas, aunque con-génitas, pueden estar unidas por la gravedad, o bien, pueden estar alejándoselentamente unas de otras. En el primer caso, se trata de cúmulos globulareso cerrados, donde el grupo tiene forma esférica, y está constituido por milesde estrellas viejas. En el segundo caso, por regla general, se tienen cúmulosgalácticos o abiertos, denominados así por su forma irregular dada la dispersiónde las estrellas, cuyo número de miembros es de algunos cientos de estrellas.Distinguimos en la galaxia su núcleo, su halo y su plano medio con brazos espi-ralizados.

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1.3. GALAXIAS Y COSMOLOGÍA 21

Figura 1.11: Sistema de clasificación de las galaxias. La frecuencia de las elíp-ticas es 15%, de las lenticulares 6%, de las espirales 76% y de las irregulares3%.

1.3.2 Tipos de Galaxias

Según Edwin Hubble, la clasificación de las galaxias según su forma está dadapor la figura 1.11. Con E se codifican las elípticas, con SO las lenticulares, conS las espirales, con SB las barradas y con Ir las irregulares.

Se ha propuesto un esquema evolutivo de las galaxias sugiriendo que e-llas empiezan sus vidas como estructuras esféricas que paulatinamente se vanachatando, al contraerse gravitacionalmente, haciéndose elípticas y aumentandosu velocidad rotacional. A su vez, las elípticas evolucionarán a espirales normaleso barradas, mientras los núcleos van perdiendo importancia volumétrica y losbrazos se van desarrollando. Las irregulares, en éste esquema, son las galaxiasmás jóvenes que acabarían; como quiera que nunca muestran estructura espiralo elipsoidal definida y que son agregados de polvo, gas y estrellas distribuidasaleatoriamente, siendo el resultado final de la evolución galáctica.

Pero la dificultad de esta teoría, en la cual las galaxias esféricas se transfor-man en elípticas, y estas en espirales, aparece cuando las observaciones señalanque las galaxias esféricas son tan lentas en su rotación, que difícilmente seachatarían; aún más, las elípticas no pueden desarrollar brazos espirales mien-tras su rotación no sea diferencial en un grado mínimo, ni pueden generar espi-rales teniendo más masa que estas.

En la actualidad se cree que la morfología de las galaxias se debe más biena la interracción que tuvieron en el pasado con otras galaxias.

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22 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA

Figura 1.12: La vía Láctea con las nubes de Magallanes y el Sol sobre el brazode Orión. Se muestra la rotación galáctica.

1.3.3 Vía Láctea

Es nuestra galaxia, ver fig. 1.12, con 100 mil millones de estrellas. El diámetroes de 100 mil años luz, el espesor de 20 mil años luz y estamos sobre el planogaláctico, a 30 mil años luz del centro. La galaxia muestra por lo menos tresbrazos así: el de Sagitario a 24 mil años luz del centro galáctico, el de Orión(conteniendo el Sol) a 30 mil años luz del centro galáctico y el de Perseo a 36mil años luz. El Sol órbita la galaxia a 250 kms−1 y tarda unos 200 millones deaños en completar su órbita, véase [6].Las dos nubes de Magallanes son satélites de la Vía Láctea a modo de un

sistema planetario; la mayor de las nubes a 160 mil años luz tiene 10000 millonesde estrellas y un diámetro de 35 mil años luz; y la menor a 190 mil años luztiene 10 mil millones de estrellas y un diámetro de 20 mil años luz. Ambas sontipo irregular mientras la Vía Láctea es del tipo Sb.

1.3.4 El grupo local y el super grupo local

El grupo local lo conforman unas 30 galaxias siendo las más importantes lanuestra y la de Andrómeda (que en estrellas supera en 1.5 veces a la Vía Láctea).En este cúmulo reducido tenemos también M 32 (compañera de Andrómeda),M 33 (Nebulosa del Triángulo), And I, And II, And III (también compañerosde Andrómeda), Leo I, Leo II (ambos a 750 mil años luz), las del catálogo NGCde números 6822 (tipo Ir), 185 (tipo E0), 205 (tipo E6) y 147 (tipo E4), la IC1613 (galaxia Ir de 10000 a. l. de diámetro), la Carina, la Formax, la Draco y

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1.3. GALAXIAS Y COSMOLOGÍA 23

Sculptor.Pero el grupo local pertenece al súper grupo local cuyo centro es Virgo a

50 millones de años luz de nosotros y compuesto por miles de galaxias ligadasgravitacionalmente en cúmulos. Entre sus muchos miembros diseminados enun volumen de unos 75 millones de años luz, se destacan Osa Mayor, CanesVenatici, Sculptor, grupo local, M 66, M 101, M 81, los NGC 4274, NGC 3245,NGC 5566, etc.No obstante hay otros supercúmulos con cúmulos tan destacados como Boyero,

el más lejano fotografiado, distante unos 5 mil millones de años luz y quien sealeja a la mitad de la velocidad de la luz, o el de Cabellera con unos 1000miembros brillantes a 400 años luz ubicado, como su nombre lo indica, en laconstelación Cabellera de Berenice.

1.3.5 Cúmulos de galaxias y supercúmulos de galaxias

Las galaxias se organizan en colonias desde docenas hasta miles en cada una, lla-madas cúmulos de galaxias. Estos a su vez, se organizan en cúmulo de cúmulos,los cuales se distribuyen uniformemente en el espacio.Algunos cúmulos galácticos (nombres dados por la región), son:Virgo, a 36 a.l., con 2500 objetos, alejándose a 1150 kms−1.Pegaso I a 130 a.l., con 100 objetos, alejándose a 3800 kms−1.Piscis a 130 a.l., con 100 objetos, alejándose a 5000 kms−1.Cáncer a 160 a.l., con 150 objetos, alejándose a 4800 kms−1.Perseo a 175 a.l., con 500 objetos, alejándose a 5400 kms−1.Gemini a 570 a.l., con 200 objetos, alejándose a 23300 kms−1.Bootes a 1240 a.l., con 150 objetos, alejándose a 39400 kms−1.

1.3.6 Cosmología

Aún los astrónomos no saben con exactitud la edad del Universo y menos siéste es cerrado o abierto. La mayor parte admite que tenga 13.8 mil millonesde años, y prácticamente, todos admiten que se originó a partir del big bang,véase [6].Una de las pruebas del Big Bang es la expansión que se deduce al observar

el corrimiento al rojo de las galaxias lejanas, hecho que nos lleva a un origende materia comprimida si retrocedemos en el tiempo. En tales circunstanciasdeberíamos observar la luz de la gran explosión y deberían existir unos determi-nados desechos en la composición química del Universo, a causa de las reaccionesnucleares ocurridas durante el paroxismo.Ambas evidencias se tienen, de un lado la radiación de fondo de 3◦K y de

otro, las grandes cantidades de helio y las concentraciones de deuterio, isótopodel hidrógeno, que está presente en todo el Universo en una proporción de 20 a30 partes por millón, confirmando que la temperatura, tres minutos después dela explosión, estaba en el justo punto para facilitar que los núcleos de deuteriose formaran, pues en las estrellas no pueden porque los enlaces de un neutróncon un protón (deuterio) no son muy fuertes.

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24 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA

Figura 1.13: OA tiempo de Hubble (1/H); OB tiempo cósmico, Universo abierto;OC tiempo cósmico, Universo cerrado.

Ninguna de estas posibilidades conduce a aclarar por qué la curvatura mediadel espacio tiempo es tan próxima a cero. Las observaciones actuales nos danun error en la masa del Universo, entre diez veces y la décima parte de un valorcrítico, que se correspondería con curvatura cero. De no ser así, la velocidad conla cual se ha expandido en los inicios (tiempo de Planck) no hubiese alcanzadoun justo valor cercano al valor crítico, con una precisión de uno por 1060, quepermitiera el que la materia no se disipe tan velozmente, como para no permitirla formación de galaxias, ni tan lentamente, como para que la gravedad hubierainterrumpido rápidamente la actual estructura que ofrece el Universo.Conforme se han determinado, con mayor precisión las distancias a las ga-

laxias más lejanas, se hizo necesario modificar la constante de Hubble. Comobien es sabido, ella está dada por el cociente de la velocidad de recesión de unagalaxia y la distancia a la misma, en años luz.Si la distancia que nos separa de la galaxia B, ver fig. 1.13, es el doble de

la que nos separa de la galaxia A, entonces la galaxia B se está alejando denosotros con una velocidad que el doble de la velocidad de la galaxia A. Estarelación, conocida como la Ley de Hubble, se puede expresar así:

velocidad de recesión = constante de Hubble x distancia.(Como v = d/t , el inverso de la constante será tiempo).

Trabajando en el tejido de expansión del Universo, para conocer su distan-cia, con el valor H = 65 kms−1Mpc−1, donde la velocidad alcanza el límite c,

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1.3. GALAXIAS Y COSMOLOGÍA 25

tenemos:300000 km/s = 65 Kms−1 x Mpc−1 x radio del Universo visible, donde

Mpc=Megaparsecs y 1 Parsec=3.08568025x1016m.Teniendo en cuenta que 1 parsec equivale a una distancia de 3.26 años luz, a

fin de obtener el valor del tiempo por la antigüedad de lo observado, calculamosla distancia a la cual se encuentran los objetos más antiguos y lejanos, así:

radio del Universo visible = 300000/65 x 106 x 3.26 años luz,radio del Universo visible = 15000 millones años luz .

De esta manera, la edad del Universo, correspondiente a la constante deHubble de 65 Kms−1x Mpc−1 y dada por el inverso de la constante H de Hubblees:Tiempo de Hubble = 15000 millones años.

Surge, ahora un nuevo problema, los datos confirmados por otras determi-naciones astronómicas, como la presencia de halos galácticos con materia pocoluminosa, sugieren que nuestro Universo sería el descrito por la Teoría de laRelatividad General, y que se corresponde con un espacio cerrado. En tal casosu densidad, necesariamente, debe superar un valor crítico, para que el espaciosea cerrado y limitado.A partir de datos astrofísicos disponibles en la actualidad, aquella densidad

supera en 100 veces a la densidad media de la materia condensada en estrellas ygalaxias. Ello conduce entonces a la posibilidad de que exista materia obscurapor una cuantía de entre 10 y 100 veces la materia observable.Si en el futuro se pudiera llegar a afirmar que esa masa oscura no existe en

realidad, habría que realizar una profunda revisión de las concepciones teóricasactuales a pesar de su magnífica cohesión lógica y múltiples comprobaciones devalidez.

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26 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA

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Capítulo 2

Astrometría

2.1 COORDENADASYTRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

2.1.1 Coordenadas Astronómicas

Llamaremos espacio tridimensional al conjunto de números reales (x, y, z), verfig. 2.1. Cada terna ordenada se llama punto de este espacio. Para fijar laposición del punto necesitamos un sistema de referencia formado por tres rectaso ejes coordenados que se cortan en un punto llamado origen y una unidad demedida. A estos tres números se les llama coordenadas cartesianas respecto alsistema OXY Z.Se puede definir también la posición respecto a un punto cualquiera P (x, y, z)

mediante coordenadas polares. Proyectando el punto P sobre el plano OXY ydefiniendo la dirección hacia P mediante dichos ángulos, basta tomar la distanciar sobre esa dirección para llegar a P .Las coordenadas polares se relacionan con las cartesianas mediante:x = r cosφ cos θ

y = rsenφ cos θ

z = rsenθ

En Astronomía la posición de un astro se determina ordinariamente mediantecoordenadas polares, para más detalle consulte [10]. Sin embargo y dado queen principio la distancia r es desconocida, solo nos preocupará la dirección OPdel astro, determinable mediante las coordenadas angulares ϕ y θ. Lo quehacemos es proyectar todos los astros sobre una esfera de radio arbitrario, que sedenomina esfera celeste. Tal esfera está centrada en el observador. En realidad elobservador, prescindiendo de irregularidades topográficas, solo vé una semiesferaceleste, limitada por un plano que pasa por el pie del observador y que corta ala esfera celeste en un círculo llamado horizonte, véase [8].

27

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28 CAPÍTULO 2. ASTROMETRÍA

Clasificación de los sistemas de referencia:

Los sistemas de referencia se clasifican, según la elección del origen, en:Coordenadas topocéntricas: Centradas en el observador.Coordenadas geocéntricas: Centradas en el centro de la Tierra.Coordenadas heliocéntricas: Centradas en el centro del sistema Solar.Coordenadas galácticas: Centradas en el centro de la Galaxia.Atendiendo a que sus valores dependan o no de la posición del observador

las coordenadas se clasifican en :Locales : Coordenadas Horizontales y HorariasNo Locales: Coordenadas Ecuatoriales , Eclípticas, GalácticasProcederemos con las coordenadas Locales:

Coordenadas horizontales

Vertical : En cada lugar de la superficie terrestre, la dirección de la plomadadetermina, sin ambigüedad y con gran precisión , la dirección de la vertical dellugar, que corta a la esfera celeste en dos puntos llamados zenit y nadir.Eje del mundo: Es el eje de rotación de la esfera celeste causado por el

movimiento de rotación de la Tierra. Este eje corta a la esfera celeste en dospuntos llamados Polos, Norte al situado sobre la esfera celeste en nuestro he-misferio, y Sur al opuesto.Horizonte astronómico: Es el plano que pasa por el observador y es per-

pendicular a la vertical. Su intersección con la esfera celeste se llama línea delHorizonte.Plano meridiano del lugar : Es el plano determinado por la Vertical y el Eje

del mundo. Su intersección con la esfera celeste es el meridiano del lugar.Línea meridiana: El plano meridiano y el horizonte se cortan según una

recta llamada meridiana. Su intersección con la esfera celeste determina lospuntos cardinales norte y sur.Línea perpendicular: Es una línea perpendicular a la meridiana y situada en

el plano del horizonte. Su intersección con la esfera celeste determina los puntoscardinales este y oeste.Latitud del lugar : Al ángulo formado por la meridiana y el eje del mundo se

llama latitud.La vertical, meridiana, y perpendicular forman un triedro en el que si tomamos

los ejes coordenados tal como están dibujados en la figura 2.2 resulta inverso óretrógrado. Las coordenadas (x, y, z) se denominan rectilíneas horizontales.

Las coordenadas esféricas horizontales

Acimut a : Es el arco, ver fig. 2.2, de horizonte contado desde el punto surhasta la intersección del horizonte con la vertical del astro, en sentido retrogradode 0◦ a 360◦.

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2.1. COORDENADAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 29

Figura 2.1: Espacio tridimensional.

Altura h: Es la distancia esférica del astro al horizonte. Varia de 0◦ a 90◦

cuando la estrella está por arriba del horizonte y de 0◦ a −90◦ cuando está pordebajo.

Distancia zenital z : Es el arco complementario a la altura. Es decir ladistancia de un astro al zenit, z = 90− h.

Las líneas coordenadas son los Verticales caracterizados por a = cte y losalmucantarantes con h = cte o z = cte. Los verticales son círculos máximos quepasan por el zenit y nadir y los almucantarantes son círculos menores paralelosal horizonte.

Por tratarse de coordenadas esféricas cualquiera:

Figura 2.2: Coordenadas esfericas horizontales

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30 CAPÍTULO 2. ASTROMETRÍA

Figura 2.3: Coordenadas esféricas horarias.

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ r cos(h) cos(a)r cos(h)sen(a)

rsen(h)

⎞⎠.Coordenadas esféricas horarias

Ecuador celeste: Es el plano, ver fig. 2.3, que pasa por el observador y esperpendicular al eje del mundo. Su intersección con la esfera celeste también sellama Ecuador.Círculos horarios : Son los círculos máximos de la esfera celeste que pasan

por los polos celestes.Paralelos celestes : Son los círculos menores paralelos al Ecuador .El eje del mundo, la intersección del plano meridiano con el plano del

ecuador, y la perpendicular, determinan un triedro centrado en el observador,que tal como está dibujado en la figura 2.3 y figura 2.4 es retrógrado. Lascoordenadas de un punto A(x0, y0, z0) se llaman rectilíneas horarias.Las coordenadas esféricas horarias son:Ángulo Horario H: Es el arco de ecuador, ver fig. 2.4, medido desde la

recta de intersección del plano meridiano y el plano del ecuador, hasta el círculohorario del astro, en sentido retrógrado y desde 0h a 24h.Declinación δ: Es el ángulo medido desde el círculo del astro al Ecuador.

Positiva hacia el Norte y negativa hacia el Sur Varia pues entre 90o y −90o.Distancia Polar P: Es el complementario de la Declinación.Las líneas coordenadas son las líneas horarias y los paralelos celestes. Por

tratarse de coordenadas esféricas se cumplirá:

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2.1. COORDENADAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 31

Figura 2.4: Coordenadas esfericas horarias.

⎛⎝ x0

y0

z0

⎞⎠ =

⎛⎝ r0cos(δ) cos(H)

r0cos(δ)sen(H)

r0sen(δ)

⎞⎠.Relación entre coordenadas horizontales y horarias

La relación entre las coordenadas horizontales y horarias viene dada por lasexpresiones conocidas como Fórmulas de Bessel,véase [10]:cos(δ) cos(H) = sen(φ) cos(h) cos(α) + cos(φ)sen(h),cos(δ)sen(H) = cos(h)sen(α),sen(δ) = − cos(φ) cos(h) cos(α) + sen(φ)sen(h).Para la relación inversa (Horarias a Horizontales):cos (h) cos(α) = sen(φ) cos(δ) cos(H)− cos(φ)sen(δ),cos (h)sen(α) = cos (δ)sen(H),sen(h) = cos(φ) cos(δ) cos(H) + sen(φ)sen(δ).Los sistemas de coordenadas horizontales y horarias dependen del lugar del

observador sobre la superficie de la Tierra, son por tanto sistemas locales. Laaltura y el azimut, merced al movimiento de la esfera celeste, cambian con laposición del observador y para un mismo observador cambian con el tiempo.En las coordenadas horarias el movimiento diurno solo afecta al ángulo horarioH, mientras la declinación permanece fija con el tiempo. Observadores sobre elmismo meridiano terrestre miden la misma declinación y ángulo horario pero nosi varía la longitud del observador. Los sistemas que estudiaremos a continuacióntienen las coordenadas celestes independientes de la posición del observador yse denominan no locales.

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32 CAPÍTULO 2. ASTROMETRÍA

Figura 2.5: Esta figura muestra la Oblicuidad de la Eclíptica.

Figura 2.6: En esta vista se muestran los dos equinoccios que son la interseccióndel ecuador celeste con la eclíptica.

Coordenadas ecuatoriales

El Sol, merced al movimiento real de la Tierra, describe una trayectoriaaparente sobre la esfera celeste denominada, al igual que el plano que la contiene,eclíptica. A la línea perpendicular a dicho plano se le llama Eje de la Eclíptica,mientras que Oblicuidad de la Eclíptica: Es el ángulo que forma la eclíptica conel ecuador, véase [3]. Actualmente vale 23o26

0, ver fig. 2.5.

La Línea de Equinoccios: Es la intersección del Ecuador con la Eclíptica,ver fig. 2.6. La intersección de esta línea con la esfera celeste son los puntosequinocciales. Se llama punto vernal o punto Aries, al punto sobre la esferaceleste donde se ubica el Sol al pasar del hemisferio sur al norte.Punto libra: Se denomina punto libra al punto diametralmente opuesto al

punto Aries. Es el punto en el que el Sol pasa del Hemisferio Norte al Sur,cosa que ocurre hacia el 21 de Septiembre; iniciandose el otoño en el HemisferioNorte y la primavera en el Hemisferio Sur.Triedro de referencia ecuatorial : La línea de equinoccios (eje x), el diámetro

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2.1. COORDENADAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 33

Figura 2.7: Sistema de coordendas ecuatoriales.

ecuatorial perpendicular (eje y) y el eje del mundo (eje z), forman un triedroen el que cualquier punto viene representado por unas coordenadas rectilíneasecuatoriales.Las coordenadas esféricas ecuatoriales son:Ascensión Recta (α) arco, ver fig. 2.7, contado en directo sobre el ecuador y

a partir del punto Aries. Un giro completo son 24 horas, así que 1 hora equivalea 15o. Una hora tiene 60 minutos de arco y 1 minuto 60 segundos de arco. 4minutos equivalen por cierto a 1o y es una antigua medida caldea de tiempollamada us.Declinación (δ): Ángulo que forma el astro con el ecuador, al igual que en

coordenadas Horarias.De la relación entre coordenadas cartesianas y esféricas:⎛⎝ x

yz

⎞⎠ =

⎛⎝ r cos(δ) cos(α)r cos(δ)sen(α)

rsen(δ)

⎞⎠.

Relación entre coordenadas horarias y ecuatoriales.

La única relación a establecer es entre el ángulo horario H y la AscensiónRecta α.El Tiempo sidéreo en un lugar e instante dado es el ángulo horario que forma

el meridiano del lugar con el punto Aries en ese instante y representa el tiempoque ha transcurrido desde que el punto Aries pasó por el meridiano del lugar.

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34 CAPÍTULO 2. ASTROMETRÍA

Figura 2.8: Sistema de coordenadas eclípticas.

Cuando un astro culmina o pasa por el meridiano H = 0 por lo que el tiemposidéreo local es la ascensión recta del astro.

Coordenadas eclípticas

Las coordenadas esféricas eclípticas son:Longitud celeste (l): Es el arco de la Eclíptica contado a partir del punto

Aries ver fig. 2.8 y en sentido directo.Latitud celeste (b): Es el ángulo que este astro forma con la eclíptica.La relación entre coordenadas cartesianas y esféricas permite escribir:⎛⎝ x

0

y0

z0

⎞⎠ =

⎛⎝ r0cos(b) cos(l)

r0cos(b)sen(l)

r0sen(b)

⎞⎠.Relación entre coordenadas ecuatoriales y eclípticas.

La relación entre las coordenadas ecuatoriales y eclípticas viene dada por lasexpresiones conocidas como Fórmulas de Bessel:cos(b) cos(l) = cos(δ) cos(α),cos(b)sen(l) = cos(ε) cos(δ)sen(α) + sen(ε)sen(δ),sen(b) = −sen(ε) cos(δ)sen(α) + cos(ε)sen(δ).Para la relación inversa (Eclípticas a Ecuatoriales)cos(δ) cos(α) = cos(b) cos(l),

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2.2. DISTANCIA A LOS SISTEMAS ESTELARES 35

Figura 2.9: La paralaje de una estrella.

cos(δ)sen(α) = cos(ε) cos(b)sen(l)− sen(ε)sen(b),

sen(δ) = sen(ε) cos(b)sen(l) + cos(ε)sen(b).

2.2 DISTANCIAALOS SISTEMAS ESTELARES

La astrometría tiene como propósito medir de manera muy precisa la posiciónde los astros. Através de observaciones repetidas de la misma porción de cielo,se puede medir movimientos. Este movimiento puede tener dos orígenes:i) puede resultar el desplazamiento real del objeto;ii) o bien puede resultar a causa del movimiento de la Tierra alrededor del

Sol,y permite medir distancias através de un método de triangulación.Supongamos ver fig. 2.9 una estrella cercana. Al observarla desde los ex-

tremos de un diámetro de la órbita de la Tierra (observaciones separadas seismeses), la imagen de la estrella aparecerá proyectada sobre la bóveda celesteen dos puntos distintos, (A y B). Como el diámetro de la orbita de la Tierrase conoce, el triángulo que hacen las visuales, cuya base mide dos U.A., tienesolución.Si el arco AB midiera dos segundos, el ángulo alfa, la media de AB, valdría un

segundo de arco, y la distancia del Sol a la estrella mediría un parsec, equivalentea 3.26 años luz. El ángulo alfa se denomina la paralaje trigonométrica de laestrella.Este método funciona hasta unos cientos de parsecs. Más distante a esto, el

ángulo α de paralaje se vuelve demasiado pequeño y hay que recurrir a otrosmétodos.

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36 CAPÍTULO 2. ASTROMETRÍA

Por ejemplo, existen estrellas variables pulsantes, que permiten el cálculode distancias mayores (que es la misma para todo el cúmulo estelar al cualpertenecen), para más detalle consulte [4]. Este método sirvió para determinarla distancia a la galaxia Andrómeda, que inicialmente se estimó en un millón deaños luz y que, posteriormente, cuando se advierte la diferencia entre cefeidas dela población I y de la población II, se encuentra que la distancia a Andrómedaestaba errada.Para los sistemas estelares más lejanos, nos basamos en el corrimiento al

rojo que muestran las galaxias, como nubecillas en las cuales ya no se haceposible diferenciar estrellas individuales. No obstante, el comparar galaxias deun mismo tipo o forma, nos permite afirmar con alguna aproximación que las queaparecen en las imágenes con menor tamaño y brillo se encuentran a mayoresdistancias, que sus similares de gran tamaño y luminosidad.

2.3 ELARREGLODEGRANDES LÍNEASDEBASE

El arreglo de grandes líneas de base (VLBA por sus siglas en inglés: Very LongBaseline Array, ver fig. 2.10) es un sistema de diez antenas de radio-telescopios,cada uno con un plato de 25 metros de diámetro y un peso de 240 tons, ver fig.2.11. Desde Mauna Kea sobre la Isla Grande de Hawai hasta St.Croix en la Islade Virginia en los Estados unidos de América, el VLBA ocupa mas de 5,000millas, proporcionando a los astrónomos la visión más aguda que cualquier otrotelescopio sobre la tierra o en el espacio. El VLBA tenía una habilidad para verdetalles finos equivalente a ser capaz de leer un periódico en los Angeles desdeNueva York. Una visión general del VLBA describe brevemente su equipo ydiseño.Las 10 antenas del VLBA son idénticas, manufacturados por la Universal

Antenna Division del RSI. Las componentes fueron construidas en Texas, yentonces fueron transportadas en cada sitio por camión (excepto St. Croix yMauna Kea). Una vez llegadas al sitio, se tomó seis a ocho meses para juntar laantena. La construcción fué empezada sobre los arreglos en 1986 y se completóen 1992.

2.3.1 ¿Qué es la RadioAstronomía?

Nosotros somos capaces de ver objetos porque nuestros ojos detectan la luzemitida o reflejada por dichos objetos. La luz consiste de ondas electromagnéti-cas. Los diferentes colores de la luz son ondas electromagnéticas de diferenteslongitudes de onda.La luz visible, sin embargo, cubre solamente una pequeña parte del rango de

longitud de onda en el cual las ondas electromagnéticas pueden ser producidas.Las ondas de radio son ondas electromagnéticas de longitudes de onda muchomás grandes que la de la luz, véase [6].

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2.3. EL ARREGLO DE GRANDES LÍNEAS DE BASE 37

Figura 2.10: Very Long Baseline Array.

Figura 2.11: Partes de un radiotelescopio.

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38 CAPÍTULO 2. ASTROMETRÍA

Figura 2.12: Centro de Operaciones del Arreglo VLBA.

Durante siglos, los astrónomos han aprendido acerca del cielo por el estudiode la luz que viene desde objetos astronómicos, primero por simple observacióna los objetos y más tarde haciendo el uso de fotografías. Muchos objetos as-tronómicos emiten ondas de radio, como también ondas de luz, pero este hechono fue descubierto hasta 1932. Desde entonces, los astrónomos han desarrolla-do sistemas sofisticados tales como el VLBA que les permite hacer imágenes apartir de las ondas de radio emitidas por objetos astronómicos.

Un número de objetos celestes emiten más fuertemente las longitudes de ondade radio que la de la luz, así, la radioastronomía ha revelado muchas sorpresasen la segunda mitad del último siglo. Al estudiar el cielo con telescopios radio yópticos, los astrónomos pueden conseguir un entendimiento mucho más completode los procesos para entender el universo.

2.3.2 Centro de Operaciones del Arreglo VLBA

Desde el Array Operations Center (AOC) en Socorro, Nuevo México, los o-peradores del VLBA, ver figura 2.12, son capaces de controlar y monitorearlas estaciones vía remota a través del Internet. Los operadores pueden dirigirlas antenas, seleccionar las frecuencias de radio para la observación, controlarla grabadora y monitorear el estado del equipo de cada sitio. En tiempo-realmuestra si el estado de los arreglos es adecuado para los observadores, así comotambién monitorear sus experimentos.

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2.3. EL ARREGLO DE GRANDES LÍNEAS DE BASE 39

Figura 2.13: Análisis de un objeto con otro tipo de onda.

2.3.3 El Correlador

Los datos grabados en cada sitio del VLBA son mandados de regreso al AOC, porprocesamiento del correlador, una computadora de propósito-especial con alta-interpretación que combina los datos desde cada estación para producir un únicoconjunto de datos a partir del cual las imágenes de alta-resolución pueden serhechas. El correlador efectúa complejas operaciones matemáticas que permitencombinar las señales recibidas por las diez antenas. El correlador, diseñado yconstruido por el Observatorio Nacional de Radio Astronomía (NRAO, por sussiglas en Inglés), es capaz de efectuar 750 billones de operaciones por segundo.

2.3.4 El Producto Terminado

El resultado que se obtuvo desde el correlador es proporcionado a los astrónomosteóricos para involucrarse con la observación, el análisis más detallado y proce-samiento de los datos. Esto se puede realizar en el AOC o en la universidad sedede los observadores. Dependiendo de sus intereses científicos, los investigadorespueden hacer imágenes en una variedad de formas, incluyendo tanto blanco ynegro, como formatos de color, ver fig. 2.13.

2.3.5 Estación del Hardware del VLBA

Receptores de Radio.

Aunque son extremadamente sofisticados, los receptores de radio del VLBAefectúan funciones bastante similar a la del cualquier radio, ellos conviertenlas ondas de radio recogidas por la antena en señales eléctricas que pueden seramplificadas y procesadas por equipos electrónicos adicionales. Los receptoresde radio del VLBA están entre los más sensitivos del mundo. Ellos son enfriadospor refrigeradores de helio líquido a temperaturas cercanas al cero absoluto (-273 grados Celsius) para ayudar a recibir señales extremadamente débiles desdeel espacio. Las señales naturales desde los cuerpos astronómicos son billones

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40 CAPÍTULO 2. ASTROMETRÍA

de veces más débiles que las señales recibidas por sistemas de comunicacionesordinarias .

Grabadoras, Estación de computadoras.

Las señales de los receptores son amplificadas, digitalizadas y organizadas en unformato estandarizado, después son grabados en grabadores ultrarápidos. Unavez que las cintas contienen los datos registrados, se envían desde las estacionesdel VLBA al correlador, en el centro de las operaciones de arreglos (AOC) enSocorro, Nuevo México. La estación de computadora en cada sitio controlatodas las estaciones del equipo y asegura de que todas trabajen juntas correc-tamente. Cada computadora en un sitio también se comunica por Internet conun sistema de computadora maestra en el AOC, de modo que los operadorespuedan supervisar la condición en cada estación simultáneamente.

El reloj atómico (MASER de hidrógeno).

Para la exactitud, cada estación utiliza este dispositivo para sincronizar susrelojes. Utilizando una resonancia natural de los átomos del hidrógeno comoun estándar, las estaciones son capaces de mantener un cronometraje con unaexactitud de un segundo en un millón de años. Este grado de exactitud esnecesario para permitir que el correlator combine los datos de cada estación enuna sola imagen.

Estación meteorológica.

Debido a que cada sitio es operado remotamente desde el AOC, es necesariopara los operadores estar enterados de las condiciones meteorológicas que puedenafectar la calidad de los datos obtenidos durante una observación, o la seguridaddel equipo. Cada estación envía continuamente al sistema informático principalen el AOC información sobre la temperatura del aire, el punto de condensación,la velocidad del viento, la dirección del viento, la presión barométrica y la pre-cipitación.

2.3.6 La ciencia con el VLBA

La visión aguda del VLBA, o la resolución, es una herramienta ideal para apren-der nuevas cosas sobre una amplia variedad de objetos y de procesos astronómi-cos.El VLBA puede mostrar nuevos detalles de los núcleos más potentes de los

cuasares lejanos, los cuales expulsan enormes cantidades de energía. Puedehacer medidas exactas de la velocidad de los residuos de las estrellas que es-tallaron, conocidas como supernovas. Puede reducir la gran incertidumbre quetodavía prevalece sobre algo tan fundamental como el tamaño de nuestro uni-verso. Más cercano al hogar, el conocimiento exacto de la posición geográfica decada estación permite que el VLBA sea utilizado para estudiar el movimiento

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2.3. EL ARREGLO DE GRANDES LÍNEAS DE BASE 41

de las placas continentales y así, de los procesos de la Tierra que producenterremotos y los volcanes.Muchos de los descubrimientos del VLBA eran totalmente inesperados. In-

cluso antes de llegar a ser completamente operacionales, el VLBA produjo re-sultados inesperados, incluyendo el descubrimiento de áreas inusuales de monó-xido de silicio alrededor de viejas estrellas y de un jet extrañamente torcido departículas rápidas que venían del núcleo de una galaxia a una distancia de 300millones de años luz.El VLBA es financiado por la Fundación Nacional de la Ciencia. Éste puede

usarse por cualquier científico de los Estados Unidos y el exterior. Científicos quedesean utilizar el VLBA envían propuestas al Observatorio Nacional de Radioastronomía, describiendo lo que quieren observar y los beneficios científicos queesperan ganar de la observación. Estas propuestas se envían a científicos fueradel NRAO para revisión y comentarios. Finalmente, un comité de asignación detiempo concede el tiempo de observación, tomando en cuenta el mérito científicode las propuestas, según lo indicado por los revisores. Este proceso es típico enobservatorios astronómicos internacionales.

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42 CAPÍTULO 2. ASTROMETRÍA

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Capítulo 3

Complejo del Tauro,T-Tauri y estudios previosdel VLBA.

3.1 COMPLEJO DEL TAURO

3.1.1 Las constelaciones: un aparente imágen estelar.

Desde nuestra perspectiva visual como habitantes de un pequeño planeta orbi-tando alrededor de una estrella en una cierta galaxia espiral, observamos, entodas las direcciones de la bóveda celeste, agrupaciones aparentes de estrellasque llamamos constelaciones.Decimos que son agrupaciones aparentes porque, realmente, no tienen que

estar –de hecho no lo están en general— agrupadas físicamente. Es esta la mismasituación que se nos plantea en nuestra vida cotidiana cuando observamos a lolejos dos objetos que aparentan estar juntos, y, ante la duda de si lo están o no,nosotros nos movemos lateralmente a una distancia suficiente para observarlosdesde una perspectiva lateral. Es en ese momento cuando, vistos desde otroángulo, comprobamos si están entre sí próximos o no.Este movimiento lateral es muy sencillo de realizar en nuestros avatares de

la vida cotidiana, pero es evidente que, a escala astronómica, es imposible con latecnología existente en nuestra civilización. Es imposible para nosotros salir dela Vía Láctea, nuestra galaxia espiral, para poder observar “lateralmente” unacierta estrella doble, por ejemplo, de la que sospechamos que no es una doblefísica, interactuando gravitacionalmente, sino que es una doble de perspectiva.Existen métodos radiométricos, espectrométricos, etc.., que nos permiten

calcular la distancia de la estrellas que observamos a simple vista, y sabemosque en general la distancia a nosotros, de astros de una misma constelación,varía grandemente. Algunas de ellas distan más entre sí de lo que nos parece.Sin embargo aparecen agrupadas, formando, para nuestra perspectiva visual,

43

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44CAPÍTULO 3. COMPLEJODEL TAURO, T-TAURI Y ESTUDIOS PREVIOS DEL VLBA.

constelaciones. Por eso hemos de entender que las constelaciones son imágenesestelares aparentes, que solo tienen sentido para un observador que se encuentreen nuestra posición.

3.1.2 Los objetos observables en Tauro

Una de las constelaciones más interesantes de observar es la Constelación deTauro, una constelación del Zodíaco cuya línea de visión desde nuestra posiciónes atravesada por el Sol en los días finales del mes de mayo y en los días de juniopróximos al solsticio de verano, para pasar, después, a Géminis.En Tauro se pueden observar; fundamentalmente, y de forma muy sencilla,

con simples medios de aficionados, varios objetos interesantísimos, algunos dis-tinguibles a simple vista:Una gigante roja: Observable a simple vista, es la alfa-tauri, a 68 años luz

de nosotros.Varias estrellas dobles visuales: Zeta-tauri, Sigma-tauri, Tau-tauri y Phi-

tauri, todas ellas fácilmente separables y con magnitudes visuales asequibles alos telescopios de aficionados.Varios cúmulos abiertos: Hay dos de estos cúmulos, observables a simple

vista, las Híadas y las Pléyades formados por estrellas azules, muy jóvenes, degran interés observacional. El resto de los cúmulos son menos asequibles a laobservación.Una gran nebulosa: La famosa Nebulosa del Cangrejo, objeto Messier M1,

que corresponde a una explosión de supernova ocurrida en el año 1054.Esta constelación contiene también numerosas estrellas, invisibles a simple

vista, pero muy interesantes.Una de ellas es T-Tauri, esta estrella fué descubierta al final del siglo XIX

por el astrónomo inglés Hind quien la identificó por tener una nebulosa peculiarcercana a ella.

3.2 ESTUDIOS ÓPTICOS E INFRARROJO

El espectro de T-Tauri es distinto al de la mayoría de las estrellas, ya que tienelineas de emisión que no se encuentran generalmente. Además, resulta ser muyenrojecida, lo cual evidencía una gran cantidad de polvo circunestelar. A partirde estudios detallados, se ha concluido que T-Tauri es una estrella muy joven,todavía embebida en el núcleo de gas y polvo del que se formó. De hecho, seconvirtió en el prototipo de estrellas jóvenes; se habla de las estrellas T-Taurispara describir estrellas jovenes en general.Estudios infrarrojos relativamente recientes (de los años ochentas) revelaron

que T-Tauri no es una estrella soltera, sino que tiene una compañera localizada a0.7 segundos de arco al Sur. Para distinguir entre estas dos componentes, se re-fiere comunmente a la estrella T-Tauri misma como T-Tau N (por T-Tau Norte)y a su compañera como T-Tau S (Por T-Tau Sur), para más detalle consultar[12]. Mientras que T-Tau N es detectable (aunque débil) en la parte visible del

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3.2. ESTUDIOS ÓPTICOS E INFRARROJO 45

Figura 3.1: Sistema múltiple T-Tauri, de baja luminosidad (20 veces la del Sol),en el complejo molecular del Tauro (Koresko 1997).

espectro electromagnético, su compañera solamente se detecta a longitudes deonda mayores (infrarrojo y radio). T-Tau S es, de hecho, más brillante que T-Tau N en el infrarrojo, véase [15]. Además, mientras que el brillo de T-Tauri Nha sido constante en años recientes, después de variaciones históricas significati-vas, ver [12], grandes variaciones fotométricas han sido observadas recientementeen T Tauri S, ver [12]. Estudiando la distribución de la energía espectral de T-Tauri S, Koresko et al. (1997) encontró una temperatura bolométrica de ∼500K , mucho más baja que la de una estrella T-Tauri normal (TTS) y típico de laclase de protoestrellas mas jóvenes (fuentes llamadas de tipo I), véase [14].Una posible interpretación de la gran variabilidad de T-Tauri S es que, como

ocurre en FU Orionis, la luminosidad es enteramente dominada por la acreción(Ghez et al. 1991). La variabilidad entonces surgiría de cambios en la tasa deacreción sobre la estrella. Más recientemente, Beck et al. (2004) encontró queel flujo de una línea de emisión —sospechada de ser apoderada por acreción—correlaba con el flujo continuo en un camino que cualitativamente concuerdacon el escenario FU Orionis. Sin embargo, Beck et al. también encontró uncolor significativamente variable para T-Tauri S, aparentemente contradictorioa dicho modelo.Observaciones muy recientes de alta resolución angular han mostrado que

T-Tau S es, a su vez, un sistema doble, para más información del sistema binarioconsulte [7], haciendo del sistema T- Tau un sistema triple. En estas imágenes,ver Fig. 3.1, la componente Sur se subdivide en dos estrellas llamadas T-TauSa y T-Tau Sb.Espectros infrarrojos muestran que T-Tau Sb es una estrella T-Tauri clásica

de baja masa, de un tipo espectral ∼M1, afectada por una extinción significante(Av ≥ 8 mag; [15]). T Tauri Sa, por otro lado, tiene un espectro contínuomonótono con solamente una fuerte línea de emisión Brγ, y podría ser unaestrella joven más masiva. Pertenece a la clase misteriosa de objetos llamadoscompañera infrarrojas (IRC por sus siglas en inglés), que parecen ser estrellas

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46CAPÍTULO 3. COMPLEJODEL TAURO, T-TAURI Y ESTUDIOS PREVIOS DEL VLBA.

jóvenes muy extinguidas (la extinción hacia T-Tau Sa parece ser Av = 40).La binaridad de T-Tauri S lleva a reconsiderar la variabilidad de dicha fuente:¿es solamente una de las dos componentes la que varía?, o ¿son las dos? Esinteresante notar, en este sentido, que la estrella más brillante en el infrarrojoha cambiado, de ser T-Tau Sa en el pasado a ser T-Tau Sb el la actualidad,véase [15].Una posible explicación de la grande extinción que afecta a T-Tau Sa es que

posee un pequeño disco circunstelar. Este escenario, evocado por Hogerheijdeet al. (1997), Koresko (2000), y Beck et al. (2004), parecía ganar terrenocuando Walter et al. (2003) detectó una extendida característica absorbida quees enteramente opaca a los fotones ultravioleta para la localización de T-TauriS. Sin embargo, el tamaño de esta estructura , ∼70 AU, es mucho más largo queel tamaño supuesto del disco circunestelar alrededor de T-Tau Sa. Hasta ahora,la localización del material extinguidor en frente de T-Tau Sa se ha quedadosujeto a debate.Se sabe desde hace mucho tiempo que T-Tau es una fuente emisora de ra-

diación en radio, la cual se origina en dos estructuras, una asociada con T-TauN, y la otra con T-Tau Sb. Esta última es una fuente de radio variable, generadapor el proceso de emisión girosincrotrón (Skinner y Brown 1994), y puede serestudiada con el VLBA.

3.3 OBSERVACIONESVLBAPREVIASDET-TAURI SUR

Observaciones previas de T-Tau S con el VLBA se reportaron en el artículo“Multi-epoch VLBA observations of T-Tauri South “[11] desarrollado por Lau-rent Loinard, Amy J. Mioduszewski, Luis F. Rodríguez, Rosa A. González,Mónica I. Rodríguez, y Rosa M. Torres. Excepto Amy J. Mioduszewski quienes del National Radio Astronomy Oservatory, USA todos los demás investi-gadores son del Centro de Radioastronomía y Astrofísica, Universidad NacionalAutónoma de México, Morelia, Michoacán, México. En éste artículo, se presen-tan los resultados de una serie de siete observaciones continuas de 3.6 cm (8.42GHz) de T-Tau S obtenida cada dos meses entre Septiembre del 2003 y Sep-tiembre del 2004 con el Very Long Baseline Array (VLBA) del National RadioAstronomy Oservatory (NRAO), véase [9].La posición absoluta de la estrella cambia significativamente de una época

a otra. Esos desplazamientos resultan de la combinación de un movimientoaparente paralíctico y de movimientos propios a la fuente. En consecuencia, sepuede modelar la trayactoria que describe la fuente en el cielo luego en términosde la posición de la estrella a una época de referencia generalmente se tomaenero de 2000 que denotamos como J2000.0 (αJ2000.0 y δJ2000.0) , su movimientopropio en la ascensión recta y la declinación (µα y µδ), y su paralaje π. Estoscinco elementos astrométricos fueron deducidos de las posiciones medidas dela estrella por minimización del χ2 asociado con esta descripción usando un

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3.3. OBSERVACIONES VLBA PREVIAS DE T-TAURI SUR 47

Figura 3.2: Esta figura muestra el ajuste por separado obtenida en el artículode Loinard, véase [11].

esquema iterativo. Los resultados para los cinco parámetros astrométricos son:αJ2000.0 = 04

h21m59s.424015± 0s.000009,δJ2000.0 = 19

03200500.71957± 000.00013,

µα cos δ = 3.29± 0.30masyr−1,µδ = −0.75± 0.31masyr−1,π = 7.07± 0.14mas.

El paralaje reportado aquí para T-Tauri corresponde a una distancia d =

141.5± 2.82.7

pc, un valor mucho más preciso que el fue obtenido por el satélite

Hipparcos para T-Tauri N (d = 177 ± 7039

pc; Perryman et al. 1997). Con

esta medida, T-Tauri viene a ser la segunda estrella joven en Tauro con unadistancia conocida a este nivel de precisión. El primero fue V773 Tau, parala cual Lestrade et al. (1999) determinó un paralaje de 6.74 ± 0.25mas(d =

148.3 ± 5.75.3

pc) usando observaciones multi-épocas globales del VLBI (Very

Long Baseline Interferometry). Para V773 Tau, la distancia VLBI fue también

significativamente más precisa que la de Hipparcos (d = 101± 4022

pc).

La trayectoria descrita sobre el cielo por la fuente T-Tau S así como el mejorajuste se muestra en la Figura 3.2.

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48CAPÍTULO 3. COMPLEJODEL TAURO, T-TAURI Y ESTUDIOS PREVIOS DEL VLBA.

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Capítulo 4

Método de mínimoscuadrados.

4.1 MÍNIMOS CUADRADOS COMOUN ESTIMADOR DE MÁXIMAVEROSIMILITUD

Supóngase que se desea ajustar N puntos (xi, yi), i = 1, . . . , N , a un módelo quetiene M parámetros aj , j = 1, . . . ,M . El modelo predice una relación funcionalentre las medidas independientes y variables dependientes,

y(x) = y(x; a1 . . . aM ).

Queremos minimizar para obtener los valores ajustados de cada una de lasaj . Para realizar esto se utiliza el ajuste de mínimos cuadrados,

minimizar sobre a1...aM :

NXi=1

[yi − y(xi : a1...aM )]2. (4.1)

Supóngase que cada punto yi tiene un error de medida que es aleatorioindependiente y que tiene una distribución normal (Gaussiano) alrededor delmodelo real y(x). Y supóngase que la desviación estándar σ de la distribuciónnormal son las mismas para todos los puntos. Entonces la probabilidad delconjunto de datos es el producto de las probabilidades de cada punto,

PαΠNi=1

(exp[−1

2

µyi − y(xi)

σ

¶2]∆y

). (4.2)

49

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50 CAPÍTULO 4. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS.

Maximizar (4.2) es equivalente a maximizar su logaritmo, o minimizar elnegativo de su logaritmo, es decir,

"NXi=1

(yi − y(xi))2

2σ2

#−N log∆y. (4.3)

Dado que N , σ, y ∆y son todos constantes, minimizar esta ecuación esequivalente a minimizar a (4.1), para más detalle consultar[1].Por lo tanto el ajuste de mínimos cuadrados es una estimación de máxima

verosimilitud de los parámetros ajustados, si los errores de medida son inde-pendientes y distribuidas normalmente con desviación estándar constante, paramás detalle ver [1].

4.2 AJUSTE CHI-CUADRADO

Si cada punto (xi, yi) tiene su propia desviación estándar conocida σi, entoncesla ecuación (4.2) es modificada solamente poniendo el subíndice i sobre el sím-bolo σ. Lo mismo sucede en la ecuación (4.3), así que los estimadores de máximaverosimilitud para los parámetros del modelo se obtiene minimizando la expre-sión

χ2 ≡NXi=1

µyi − y(xi; a1...aM )

σi

¶2, (4.4)

llamado el “Chi-Cuadrado”.Si asumimos que todas las medidas tienen la misma desviación estándar,

tendremos que σi = σ , y que el modelo se ajusta bien, entonces podemosproceder primero asignando una constante arbitraria σ a todos los puntos, luegoajustar los parámetros del modelo para minimizar χ2, y finalmente recalcular

σ2 =NXi=1

(yi − y(xi))2

N −M. (4.5)

Si tomamos la derivada de la ecuación (4.4) con respecto a los parámetrosak, obtenemos ecuaciones donde ocurre el mínimo para la chi-cuadrada,

0 =NXi=1

µyi − y(xi)

σ2i

¶µ∂y(xi; ...ak...)

∂ak

¶k = 1, ...,M. (4.6)

La ecuación (4.6) es en general, un conjunto de M ecuaciones no linealespara las M ak desconocidas, consultar [1].

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4.3. REGRESIÓN LINEAL 51

4.3 REGRESIÓN LINEALConsideraremos el problema de ajustar un conjunto de N puntos (xi, yi) a unmodelo de línea recta

y(x) = y(x; a, b) = a+ bx. (4.7)

Este problema es frecuentemente llamado regresión lineal. Asumimos que laincertidumbre σi asociado con cada medida yi es conocido, y que los x0is (valoresde las variables dependientes) son exactamente conocidos.Para medir que tan bien el modelo concuerda con los datos, usaremos la

función chi-cuadrada (4.4), el cual en este caso es

χ2(a, b) =NXi=1

µyi − a− bxi

σi

¶2. (4.8)

La ecuación (4.8) se minimiza para determinar a y b . Para encontrar sumínimo, las derivadas de χ2(a, b) con respecto a a, b tienen que ser iguales acero.

0 =∂χ2

∂a= −2

NXi=1

yi − a− bxiσ2i

, (4.9)

0 =∂χ2

∂b= −2

NXi=1

xi(yi − a− bxi)

σ2i. (4.10)

Estas condiciones pueden ser rescritas en una forma conveniente si definimoslas siguientes sumas:

S ≡NXi=1

1

σ2i, Sx ≡

NXi=1

xiσ2i

, σ2f =NXi=1

σ2i

µ∂f

∂yi

¶2, (4.11)

Sxx ≡NXi=1

x2iσ2i

Sxy ≡NXi=1

xiyiσ2i

. (4.12)

Con estas definiciones obtenemos de (4.9) y (4.10) las siguientes dos ecua-ciones con dos incógnitas

aS + bSx = Sy, (4.13)

aSx + bSxx = Sxy. (4.14)

La solución de las ecuaciones se obtiene de la siguiente manera:

a =SxxSy − SxSxy

∆, (4.15)

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52 CAPÍTULO 4. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS.

b =SSxy − SxSy

∆, (4.16)

donde

∆ = SSxx − (Sx)2. (4.17)

De las ecuaciones (4.15) y (4.16) se obtienen los parámetros a y b que ajustanmejor el modelo.Considerando la propagación de los errores, muestra que la varianza en el

valor de cualquier función será

σ2f =NXi=1

σ2i

µ∂f

∂yi

¶2. (4.18)

Para la línea recta, las derivadas de a y b con respecto a yi puede ser direc-tamente evaluada desde la solución:

∂a

∂yi=

Sxx − Sxxiσ2i∆

, (4.19)

∂b

∂yi=

Sxi − Sxσ2i∆

. (4.20)

Resumiendo sobre los puntos, obtenemos

σ2a =1

∆Sx2 , (4.21)

σ2b =S

∆, (4.22)

las cuales son las varianzas en los estimadores de a y b , respectivamente. Y lacovarianza entre a y b esta dado por

Cov(a, b) =−Sx∆

. (4.23)

El coeficiente de correlación entre la incertidumbre en a y la incertidumbreen b, el cual es un número entre −1 y 1, esta dado por

rab =−Sx√SSxx

. (4.24)

Un valor positivo de rab indica que los errores en a y b tienen poca proba-bilidad de tener el mismo signo, mientras que un valor negativo indica que loserrores están anticorrelacionados, poca probabilidad de tener signos opuestospara más detalle ver [1].Las formulas (4.15) y (4.16) se pueden rescribir de la siguiente manera:Si definimos

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4.3. REGRESIÓN LINEAL 53

ti =1

σi

µxi −

SxS

¶; i = 1, 2, ..., N (4.25)

y

Stt =NXi=1

t2i , (4.26)

entonces sustituyendo estas igualdades en (4.15) tenemos lo siguiente:

b =SSxy−SxSy

S

Sxx − 2(Sx)2

S + (Sx)2

S

, (4.27)

luego

b =

PNi=1

xiyiσ2i− Sx

S

PNi=1

yiσ2iPN

i=1x2iσ2i− 2SxS

PNi=1

xiσ2i+

S2xS2

PNi=1

1σ2i

(4.28)

o bien

b =

PNi=1

(xi−SxS )yi

σ2iPNi=1

1σ2i

¡xi − Sx

S

¢2 , (4.29)

por lo tanto

b =1

Stt

NXi=1

tiyiσi

. (4.30)

Por otro lado, la ecuación (4.16) se escribe,

a =SSxxSy − Sy(Sx)

2 − SxSSxy + (Sx)2 Sy

S(SSxx − (Sx)2), (4.31)

de donde

a =

Sy(SSxx−(Sx)2)−Sx(SSxy−SxSy)SSxx−(Sx)2

S, (4.32)

luego ocupando la ecuación (4.16), se obtiene finalmente que,

a =Sy − Sxb

S(4.33)

Haciendo sustituciones análogas a las anteriores se obtienen las siguientesfórmulas:

σ2a =1

S

Ã1 +

(Sx)2

SSxx

!, (4.34)

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54 CAPÍTULO 4. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS.

σ2b =1

Stt, (4.35)

Cov(a, b) = − SxSStt

, (4.36)

rab =Cov(a, b)

σaσb. (4.37)

4.4 MÍNIMOS CUADRADOS PARA UNMODELO LINEAL GENERAL

En este caso el propósito es ajustar un conjunto de datos (xi, yi) a un modeloque no sea solamente de una combinación lineal de 1 y x (es decir a + bx ),sino mas bien una combinación lineal de cualquiera M funciones especificas dex . Por ejemplo, las funciones podrían ser 1, x, x2, ..., xM−1 , en cuyo caso sucombinación lineal general,

y(x) = a1 + a2x+ a3x2 + ...+ aMxM−1, (4.38)

es un polinomio de grado M − 1. O bien, las funciones podrían ser senos ycosenos, en cuyo caso su combinación lineal general es una serie armónica.La forma general de este tipo de modelo está dado por

y(x) =MXk=1

akXk(x), (4.39)

donde X1(x), ...,XM (x) son funciones arbitrarias fijas de x, llamadas funcionesbásicas.Para este modelo lineal la función χ2 queda,

χ2 =NXi=1

"yi −

PMk=1 akXk(xi)

σi

#2. (4.40)

Podemos construir una matriz A de la siguiente manera⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

X1(x1)σ1

X2(x1)σ1

... XM (x1)σ1

X1(x2)σ2

X2(x2)σ2

... XM (x2)σ2

. . ... .

. . ... .

. . ... .X1(xN )σN

X2(xN)σN

... XM (xN )σN

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

También definimos un vector b de longitud N por

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4.5. SOLUCIÓN USANDO ECUACIONES NORMALES 55

bi =yiσi, (4.41)

y un vector a cuyos componentes serán los parámetros por ajustar, a1, ..., aM .

4.5 SOLUCIÓNUSANDOECUACIONESNOR-MALES

El mínimo de (4.40) ocurre donde la derivada de χ2 con respecto a los M pará-metros ak son iguales a cero. Por lo tanto tenemos que

NXi=1

1

σ2i

⎡⎣yi − MXj=1

ajXj(xi)

⎤⎦Xk(xi) = 0, k = 1, ...,M (4.42)

NXi=1

Xk(xi)

σ2i

MXj=1

Xj(xi)aj −NXi=1

yiXk(xi)

σ2i= 0, (4.43)

MXj=1

NXi=1

Xj(xi)Xk(xi)ajσ2i

=NXi=1

yiXk(xi)

σ2i. (4.44)

Luego, podemos rescribir a (4.42) de la siguiente manera

MXj=1

αkjaj = βk, (4.45)

donde

αkj =NXi=1

Xj(xi)Xk(xi)

σ2i, (4.46)

o equivalentemente

α = ATA, (4.47)

es una matriz de MxM, y

βk =NXi=1

yiXk(xi)

σ2i, (4.48)

o equivalentementeβ = AT b, (4.49)

el cual es un vector de longitud M .

Page 65: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

56 CAPÍTULO 4. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS.

Las ecuaciones (4.42) ó (4.45) se llaman ecuaciones normales del problema demínimos cuadrados. Dichas ecuaciones pueden ser resueltas para encontrar loselementos del vector a por métodos estándares, descomposición LU y sustituciónhacia atrás, descomposición Cholesky, o eliminación Gauss-Jordan. En formamatricial, las ecuaciones normales pueden ser rescritas como αa = β o como

(ATA)a = AT b. (4.50)

Consideremos

aj =MXk=1

α−1jk βk =MXk=1

Cjk

"NXi=1

yiXk(xi)

σ2i

#, (4.51)

y que las varianzas asociadas a los estimadores aj pueden obtenerse como

σ2(aj) =NXi=1

σ2i

µ∂aj∂yi

¶2. (4.52)

Note que σjk es independiente de yi, así que

∂aj∂yi

=NXk=1

CjkXk(xi)

σ2i. (4.53)

Consecuentemente, encontramos que

σ2(aj) =NXi=1

σ2i

ÃMXk=1

CjkXk(xi)

σ2i

!2, (4.54)

σ2(aj) =NXi=1

³PMk=1CjkXk(xi)

´2σ2i

, (4.55)

σ2(aj) =NXi=1

PMk=1CjkXk(xi)

PMl=1 CjlXl(xi)

σ2i, (4.56)

σ2(aj) =MXk=1

MXl=1

CjkCjl

"NXi=1

Xk(xi)Xl(xi)

σ2i

#. (4.57)

El término que esta entre los corchetes es justamente la matriz α. Ya queesta es la matriz inversa de C, (4.57) se reduce inmediatamente a

σ2(aj) = Cjj . (4.58)

En otras palabras, los elementos de la diagonal de C son las varianzas de losparámetros ajustados a, para más detalle ver [1] .Como no solamente queremos calcular la solución del vector a sino también

calcular la matriz de covarianza C, es más conveniente usar la eliminación deGauss-Jordan.

Page 66: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

4.6. LA ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN 57

4.6 LA ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDANPara una matriz invertible, la eliminación de Gauss-Jordan es más eficienteque cualquier otro método. Para resolver un conjunto de ecuaciones lineales, laeliminación de Gauss-Jordan produce tanto la solución de las ecuaciones parauno o mas vectores b del lado derecho de la igualdad, como la matriz inversaA−1.Por claridad, y para evitar escribir puntos suspensivos detallaremos el método

solamente para el caso de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas, y con tres dife-rentes vectores como segundo miembro que se suponen conocidos. Este métodose puede extender en el caso de matrices de dimensión NxN , con M conjun-tos de vectores al lado derecho de la igualdad, de una manera completamenteanáloga.

4.6.1 Eliminación sobre Columnas-Aumentadas deMatrices

Consideremos la ecuación lineal matricial

⎡⎢⎢⎣a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

⎤⎥⎥⎦·⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎜⎝

x11x21x31x41

⎞⎟⎟⎠ ∪⎛⎜⎜⎝

x12x22x32x42

⎞⎟⎟⎠ ∪⎛⎜⎜⎝

x13x23x33x43

⎞⎟⎟⎠ ∪⎛⎜⎜⎝

y11 y12 y13 y14y21 y22 y23 y24y31 y32 y33 y34y41 y42 y43 y44

⎞⎟⎟⎠⎤⎥⎥⎦

=

⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎜⎝

b11b21b31b41

⎞⎟⎟⎠ ∪⎛⎜⎜⎝

b12b22b32b42

⎞⎟⎟⎠ ∪⎛⎜⎜⎝

b13b23b33b43

⎞⎟⎟⎠ ∪⎛⎜⎜⎝1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

⎞⎟⎟⎠⎤⎥⎥⎦ (4.59)

Aquí el punto (·) indica multiplicación matricial, mientras la notación ∪ sólosignifica columna aumentada.La matriz solución deA[x1 ∪ x2 ∪ x3 ∪Y] = [b1 ∪ b2 ∪ b3 ∪ I],donde A y Y son matrices cuadradas, el símbolo ∪ denota la columna de

aumentación, las b0is y x0is son vectores columnas, e I es la matriz identidad,

simultáneamente resuelve el conjunto lineal

Ax1 = b1 Ax2 = b2 Ax3 = b3yAY = I

Ahora bien es necesario verificar los siguientes hechos acerca de (4.59):1) Intercambiar cualesquiera dos filas de A y las filas correspondientes

de los b0s y de I , no altera (o modificar cualquier paso) la solución x0s y Y. Si

Page 67: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

58 CAPÍTULO 4. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS.

no mas bien, sólo equivale a escribir el mismo conjunto de ecuaciones linealesen un orden diferente.2) De la misma manera, el conjunto de solución es impermutable y no

hay paso alterado si remplazamos cualquier fila enA por una combinación linealde sí mismo y cualquier otra fila, tanto como hacer la misma combinación linealde las filas de los b0s y de I.3) Intercambiando cualesquiera dos columnas deA da el mismo conjunto

de solución solamente si intercambiamos simultáneamente filas correspondientesde los x0s y de Y. En otras palabras, este intercambio modifica el orden de lasfilas en la solución. Si hacemos esto, necesitaremos modificar la solución parareacomodar las filas a su orden original.Eliminación Gauss-Jordan usa una o más de las operaciones de arriba para

reducir la matriz A a la matriz identidad. Cuando esto se haya completado,el lado derecho viene a ser el conjunto solución, como se ve inmediatamente de(4.59).

4.6.2 Pivoteando

En “eliminación Gauss-Jordan sin pivote” solamente la segunda operación enla lista anterior se utiliza. La primera fila es dividida por el elemento a11 (estaserá una combinación lineal trivial de la primera fila con cualquier otra fila –coeficiente cero para la otra fila). Entonces la cantidad derecha de la primerafila es restada con cada una de las otras filas con el fin de hacer todos losa0i1s restantes iguales a cero. La primera columna de A ahora concuerda conla matriz identidad. Movemos a la segunda columna y dividimos la segundafila por a22, entonces sustraemos la cantidad derecha de la segunda fila conlas filas 1,3, y 4, así para hacer sus entradas en la segunda columna cero. Lasegunda columna ahora es reducida a la forma identidad. Y así sobre la terceray cuarta columna. Así como hicimos operaciones sobre A, también realizamosoperaciones correspondientes sobre los b0s y la I.Obviamente entrariamos en problemas si nunca encontramos un elemento

cero sobre la diagonal cuando vamos a dividir por el elemento diagonal. (Elelemento que dividimos se llama elemento pivote o nada más pivote). No tanobvio, pero verdadero, es la razón que eliminación Gauss-Jordan sin pivote (nousa del primer o tercer procedimiento en la lista de arriba) es numéricamenteinestable en la presencia de cualquier error de redondeo, aún cuando un pivotecero es no encontrado.¿Pero, cuál es este magico pivote? Nadamás que intercambiando filas (pivo-

teo parcial) o filas y columnas (pivoteo total), pero cómo colocar un elementoparticularmente deseable en la posición diagonal del cual el pivote se acerca aser seleccionado, para más detalle ver [1]. Puesto que no queremos desordenar laparte de la matriz identidad que ya habiamos construido, podemos elegir entreelementos que están tanto:(i) sobre columnas de abajo (o sobre) el primero que esté cerca para ser

normalizado,

Page 68: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

4.6. LA ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN 59

como también(ii) sobre columnas a la derecha (o sobre) de la columna que estamos cerca

por eliminar.

Page 69: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

60 CAPÍTULO 4. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS.

Page 70: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

Capítulo 5

Generalización al caso deecuaciones acopladas

5.1 PLANTEAMIENTO

En el artículo de Loinard et al. (2005) mencionado en el capítulo 3, sección 3.3,el ajuste de mínimos cuadrados se hizo de manera aproximada. Suponiendo unmovimiento propio uniforme (sin aceleración), la ascención recta y la declinacióncambian como función del tiempo de la siguiente forma:

α(t) = α0 + µαt+ θ.fα(α, δ, t), (5.1)

δ(t) = δ0 + µδt+ θ.fδ(α, δ, t). (5.2)

donde la notación es la misma que en la ecuacón (1) y (2), ver pag. viii.

Se puede ver que la paralaje θ aparece en las dos ecuaciones, de modo quedichas ecuaciones quedan acopladas, hecho que no fue tomado en cuenta en elartículo [11], donde se resolvieron las dos ecuaciones por separado. Eso permitióobtener dos valores de la paralaje, y el valor final dado en el artículo fue elpromedio de los dos.

La meta de esta tesis fue encontrar una solucion más elegante y correcta de laminimización de mínimos cuadrados requerida para resolver las dos ecuacionesanteriores.

Además, se hicieron 5 nuevas observaciones de T-Tau S, elevando el númerototal de observaciones de 7 a 12, y se encontró un error en el correlador delVLBA, que inducía un efecto sistemático y un aumento en el error astrométrico

61

Page 71: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

62CAPÍTULO 5. GENERALIZACIÓN AL CASODE ECUACIONES ACOPLADAS

de cada observación. Estos dos hechos nos llevaron a considerar un modelodonde el movimiento propio no es uniforme, sino que puede estar acelerado.En este caso, el movimiento de T-Tauri sobre la esfera celeste es la combi-

nación de su movimiento de paralaje y de un movimiento propio acelerado, sutrayectoria se puede describir como:

α(t) = α0 + µαt+ aαt2

2+ θ.fα(α, δ, t), (5.3)

δ(t) = δ0 + µδt+ aδt2

2+ θ.fδ(α, δ, t), (5.4)

donde α0 y δ0 son las coordenadas de la fuente a una época de referencia, µαy µδ son las proyecciones del movimiento propio de la estrella sobre los ejes deascensión recta y declinación, respectivamente. Además aα es la aceleración enalfa y aδ es la aceleración en delta.Y por último fα y fδ están dadas como:

fα(α, δ, t) = α+ θ.(Xsen(α)− Y cos(α))/(15 cos(δ)), (5.5)

fδ(α, δ, t) = δ + θ.(X cos(α)sen(δ) + Y sen(α)sen(δ)− Z cos(δ)), (5.6)

donde (α, δ) es la posición baricéntrica, θ es el paralaje en segundo de arco,X,Y,Z son las coordenadas baricéntricas de la Tierra en unidades Astronómicas,para más detalle ver [2].La meta de este proyecto es deducir los parámetros a0, δ0, µα, µδ, aα, aδ y θ de

la serie de observaciones realizadas, a través del método de mínimos cuadradosaplicado a las ecuaciones acopladas.El ajuste por separado a cada coordenada es un problema estándar de mí-

nimos cuadrados. Podemos escribir un χ2α asociado a la primera ecuación y unχ2δ asociado a la segunda, y minimizar cada uno. Sin embargo, el coeficiente θaparece en ambas, por lo que las dos ecuaciones son acopladas. El coeficiente θque queremos determinar es el que minimiza la suma χ2α +χ

2δ .

La resolución de este problema ya no es una aplicación estándar del métodode mínimos cuadrados, sino una extensión de él.Para desarrollar un caso más general, supondremos que dos cantidades x y

y se pueden describir con P coeficientes comunes y M coeficientes separados:En este caso tenemos:

x(ti) =MXj=1

ajfxj(ti) +PXk=1

ckhxk(ti), (5.7)

y(ti) =MXj=1

bjfyj(ti) +PXk=1

ckhyk(ti). (5.8)

En nuestro caso, P = 1 y M = 3.

Page 72: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

5.2. RESOLUCIÓN MATEMÁTICA 63

Por lo tanto nuestro χ2 queda:

χ2 =NXi=1

⎡⎢⎣³xi −

PMj=1 ajfxj(ti)−

PPk=1 ckhxk(ti)

´2σ2xi

⎤⎥⎦+ (5.9)

NXi=1

⎡⎢⎣³yi −

PMj=1 bjfyj(ti)−

PPk=1 ckhyk(ti)

´2σ2yi

⎤⎥⎦ .

5.2 RESOLUCIÓN MATEMÁTICAAhora para minimizar este χ2 tenemos que derivar parcialmente con respecto alos a0s, b0s y c0s y después igualar a cero:Para cada a tenemos:

∂χ2

∂am=

NXi=1

1

σ2xi

⎛⎝xi −MXj=1

ajfxj(ti)−PXk=1

ckhxk(ti)

⎞⎠ fxm(ti) = 0, (5.10)

con m = 1, ...,M

NXi=1

xifxm(ti)

σ2xi=

MXj=1

aj

NXi=1

fxj(ti)fxm(ti)

σ2xi+

PXk=1

ck

NXi=1

hxk(ti)fxm(ti)

σ2xi. (5.11)

Ahora si definimos las siguientes variables de la forma:

θ(1)m =NXi=1

xifxm(ti)

σ2xi, (5.12)

α(1)mj =

NXi=1

fxj(ti)fxm(ti)

σ2xi, (5.13)

γ(1)mk =

NXi=1

hxk(ti)fxm(ti)

σ2xi. (5.14)

Obtenemos la siguiente igualdad:

θ(1)m =MXj=1

α(1)mjaj +

PXk=1

γ(1)mkck, (5.15)

luego,θ(1) = α(1)a+ γ(1)c. (5.16)

Page 73: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

64CAPÍTULO 5. GENERALIZACIÓN AL CASODE ECUACIONES ACOPLADAS

Por lo tanto, pasándolo a su forma matricial queda de la siguiente manera:hθ(1)

iMx1

=hα(1)

iMxM

[a]Mx1 +hγ(1)

iMxP

[c]Px1 , (5.17)

De forma análoga obtenemos cada uno de los b0s :

θ(2) = β(1)b+ γ(2)c, (5.18)

donde

θ(2)m =NXi=1

yifym(ti)

σ2yi, (5.19)

β(1)mj =

NXi=1

fyj(ti)fym(ti)

σ2yi, (5.20)

γ(2)mk =

NXi=1

hyk(ti)fym(ti)

σ2yi, (5.21)

luego

θ(2)m =MXj=1

β(1)mjbj +

PXk=1

γ(2)mkck. (5.22)

Por lo tanto, su forma matricial queda:hθ(2)

iMx1

=hβ(1)

iMxM

[b]Mx1 +hγ(2)

iMxP

[c]Px1 . (5.23)

Para cada c tenemos:

∂χ2

∂cp=

NXi=1

³xi −

PMj=1 ajfxj(ti)−

PPk=1 ckhxk(ti)

´hxp(ti)

σ2xi+ (5.24)

NXi=1

³yi −

PMj=1 bjfyj(ti)−

PPk=1 ckhyk(ti)

´hyp(ti)

σ2yi= 0,

conp = 1, ..., P.

Page 74: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

5.2. RESOLUCIÓN MATEMÁTICA 65

Luego

NXi=1

Ãxihxp(ti)

σ2xi+

yihyp(ti)

σ2yi

!=

MXj=1

aj

NXi=1

fxj(ti)hxp(ti)

σ2xi+ (5.25)

MXj=1

bj

NXi=1

fyj(ti)hyp(ti)

σ2yi+

PXk=1

ck

NXi=1

Ãhxk(ti)hxp(ti)

σ2xi+

hyk(ti)hyp(ti)

σ2yi

!.

Ahora si definimos el primer miembro de la ecuación (5.23) anterior comoθ(3)p obtenemos lo siguiente,

θ(3)p =MXj=1

ajα(2)pj +

MXj=1

bjβ(2)pj +

PXk=1

ckγ(3)pk . (5.26)

Por lo tanto

θ(3)p = α(2)a+ β(2)b+ γ(3)c, (5.27)

o bien en su forma matricial queda,

hθ(3)

iPx1

=hα(2)

iPxM

[a]Mx1 +hβ(2)

iPxM

[b]Mx1 + [γ]PxP [c]Px1 (5.28)

Ahora ya tenemos las tres ecuaciones matriciales; donde están involucradostodos los parámetros que queremos ajustar:h

θ(1)iMx1

=hα(1)

iMxM

[a]Mx1 +hγ(1)

iMxP

[c]Px1 , (5.29)

hθ(2)

iMx1

=hβ(1)

iMxM

[b]Mx1 +hγ(2)

iMxP

[c]Px1 , (5.30)

hθ(3)

iPx1

=hα(2)

iPxM

[a]Mx1 +hβ(2)

iPxM

[b]Mx1 + [γ]PxP [c]Px1 . (5.31)

Queremos trasladar las ecuaciones anteriores a la forma Ax= b; haciendoalgunos reacomodos obtenemos la siguiente matriz que es equivalente a las tresecuaciones matriciales que queremos resolver.

Page 75: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

66CAPÍTULO 5. GENERALIZACIÓN AL CASODE ECUACIONES ACOPLADAS

⎛⎜⎜⎝¡α(1)

¢MxM (0)MxM

¡γ(1)

¢MxP

(0)MxM

³β(1)

´MxM

¡γ(2)

¢MxP¡

α(2)¢PxM

³β(2)

´PxM

¡γ(3)

¢PxP

⎞⎟⎟⎠(2M+P )x(2M+P )

⎛⎝ (a)Mx1(b)Mx1(c)Px1

⎞⎠2M+P

(5.32)

=

⎛⎜⎜⎜⎝³θ(1)

´Mx1³

θ(2)´Mx1³

θ(3)´Px1

⎞⎟⎟⎟⎠2M+P

Para resolver este sistema de ecuaciones utilizaremos eliminación de GaussJordan con pivoteo.

5.3 IMPLEMENTACIÓN EN FORTRAN 77Una vez que ya tenemos la ecuación matricial 5.32, procederemos a programarloen fortran 77. A continuación se muestra el código fuente que se programó yalgunas de las explicaciones más relevantes de ella.

CÓDIGO FUENTEPROGRAMA PRINCIPAL

El siguiente código es el programa principal que se utilizó la cual se llamafit. En este código utilizamos dos archivos llamados "data1_"//source//".dat"y "data2_"//source//".dat", el primer archivo contiene las coordenadas α yδ a diferentes épocas junto con sus respectivos errores. Por otra parte el se-gundo archivo contiene el día juliano junto con las coordenadas baricéntricasde la tierra, consultar [5]. Además en este código una vez obtenido las ecua-ciones para el ajuste, utilizamos otras fechas para obtener posiciones del T-TauriSur en dichas fechas estos resultados se guardan en otros dos archivos llama-dos "res1_"//source//".dat" y "res2_"//source//".dat" para después sergraficados en el plano del cielo, como se muestra en las figuras 6.2 y 6.3.PROGRAM fitimplicit noneREAL*8 pi,j2000,oneyearINTEGER nobs,step,niter,nparam,nparam_ind,nparam_dep,mparamCHARACTER*4 sourcePARAMETER (nobs=12)PARAMETER (source="ttau")PARAMETER (nparam_ind=3)PARAMETER (nparam_dep=1)PARAMETER (nparam=7)

Page 76: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

5.3. IMPLEMENTACIÓN EN FORTRAN 77 67

PARAMETER (mparam=4)PARAMETER (step=3000)PARAMETER (pi=3.1415926535898)PARAMETER (niter=5)PARAMETER (j2000=2451545.0)PARAMETER (oneyear=365.242175)REAL*8 julday(nobs),xx(nobs),yy(nobs),zz(nobs),dummyREAL*8 alph1(nobs),alph2(nobs),alph3(nobs),alpha(nobs)REAL*8 delt1(nobs),delt2(nobs),delt3(nobs),delta(nobs)REAL*8 sigalp(nobs),sigdel(nobs),alphiter,deltiterREAL*8 am(nparam,nparam),falpha(nobs),fdelta(nobs),bv(nparam)REAL*8 chisq,d3,a3,finpar,errpar,dist,distmin,distmaxREAL*8 alphafin,deltafin,palphafin,pdeltafin,rms,rms1,rms2REAL*8 aa,dd,diff1,diff2,diff3(nobs),aalphafin,adeltafinREAL*8 cd,julian,xxx,yyy,zzz,func(mparam)REAL*8 funca(mparam),funcd(mparam)INTEGER i,j,d1,d2,k,a1,a2CHARACTER*16 filedata1,filedata2,fileres1,fileres2,fileearthINTEGER k1,k2,l,j1,j2filedata1="data1_"//source//".dat"filedata2="data2_"//source//".dat"fileres1="res1_"//source//".dat"fileres2="res2_"//source//".dat"fileearth="earth.dat"OPEN(1,file=filedata1,status=’old’)DO i=1,nobsREAD(1,*) dummy,dummy,dummy,dummy,dummy,dummy,# alph1(i),alph2(i),alph3(i),sigalp(i),delt1(i),# delt2(i),delt3(i),sigdel(i)ENDDOCLOSE(1)OPEN(2,file=filedata2,status=’old’)DO i=1,nobsREAD(2,*) dummy,dummy,dummy,# julday(i),xx(i),yy(i),zz(i)ENDDOCLOSE(2)DO i=1,nobsalpha(i)=15.0*(alph1(i)+alph2(i)/60.0+alph3(i)/3600.0)delta(i)=(delt1(i)+delt2(i)/60.0+delt3(i)/3600.0)sigalp(i)=15.0*sigalp(i)/3600.0sigdel(i)=sigdel(i)/3600.0IF (delt1(i).lt.0.0) thendelta(i)=delt1(i)-(delt2(i)/60.0)-(delt3(i)/3600.0)ENDIFENDDO

Page 77: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

68CAPÍTULO 5. GENERALIZACIÓN AL CASODE ECUACIONES ACOPLADAS

alphiter=alpha(1)deltiter=delta(1)DO l=1,nitercd = cos(deltiter*pi/180.0)DO i=1,nparambv(i)=0.0DO j=1,nparamam(i,j)=0.0ENDDOENDDODO i=1,nobsc Primer bloqueDO j=1,nparam_indcall funcsa(julday(i),funca,mparam,alphiter,deltiter,# xx(i),yy(i),zz(i))DO k=1,nparam_indam(j,k) = am(j,k)+funca(k)*funca(j)/(sigalp(i)**2)ENDDODO k=1,nparam_depk1 = 2*nparam_ind+kk2 = nparam_ind+kam(j,k1) = am(j,k1)+funca(k2)*funca(j)/(sigalp(i)**2)ENDDObv(j) = bv(j)+alpha(i)*funca(j)/(sigalp(i)**2)ENDDOc Segundo bloqueDO j=1,nparam_indj1=nparam_ind+jcall funcsd(julday(i),funcd,mparam,alphiter,# deltiter,xx(i),yy(i),zz(i))DO k=1,nparam_indk1=nparam_ind+kam(j1,k1) = am(j1,k1)+funcd(k)*funcd(j)/(sigdel(i)**2)ENDDODO k=1,nparam_depk1 = 2*nparam_ind+kk2 = nparam_ind+kam(j1,k1) = am(j1,k1)+funcd(k2)*funcd(j)/(sigdel(i)**2)ENDDObv(j1) = bv(j1)+delta(i)*funcd(j)/(sigdel(i)**2)ENDDOc Tercer bloqueDO j=1,nparam_depj1=2*nparam_ind+jj2=nparam_ind+jcall funcsa(julday(i),funca,mparam,alphiter,deltiter,

Page 78: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA - UTM

5.3. IMPLEMENTACIÓN EN FORTRAN 77 69

# xx(i),yy(i),zz(i))call funcsd(julday(i),funcd,mparam,alphiter,deltiter,# xx(i),yy(i),zz(i))DO k=1,nparam_indam(j1,k) = am(j1,k)+funca(k)*funca(j2)/(sigalp(i)**2)ENDDODO k=1,nparam_indk1 = nparam_ind+kam(j1,k1) = am(j1,k1)+funcd(k)*funcd(j2)/(sigdel(i)**2)ENDDODO k=1,nparam_depk1 = 2*nparam_ind+kk2 = nparam_ind+kam(j1,k1) = am(j1,k1)+funca(k2)*funca(j2)/# (sigalp(i)**2)+funcd(k2)*funcd(j2)/(sigdel(i)**2)ENDDObv(j1) = bv(j1)+alpha(i)*funca(j2)/(sigalp(i)**2)+# delta(i)*funcd(j2)/(sigdel(i)**2)ENDDOENDDOcall gaussj(am,nparam,nparam,bv,1,1)bv(1)=bv(1)/15a1=int(bv(1))a2=int((bv(1)-a1)*60.0)a3=((((bv(1)-a1)*60.0)-a2)*60.0)d1=int(bv(4))d2=int((bv(4)-d1)*60.0)d3=((((bv(4)-d1)*60.0)-d2)*60.0)alphafin=bv(1)deltafin=bv(4)palphafin=bv(2)*3600*1000*cdpdeltafin=bv(5)*3600*1000aalphafin=bv(3)*3600*1000*cdadeltafin=bv(6)*3600*1000finpar=bv(7)*3600*1000DO i=1,nparamam(i,i)=sqrt(am(i,i))*3600ENDDOam(1,1)=am(1,1)/15.0am(2,2)=am(2,2)*1000*cdam(3,3)=am(3,3)*1000*cdam(4,4)=am(4,4)am(5,5)=am(5,5)*1000am(6,6)=am(6,6)*1000am(7,7)=am(7,7)*1000errpar=am(7,7)

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70CAPÍTULO 5. GENERALIZACIÓN AL CASODE ECUACIONES ACOPLADAS

dist=1000.0/finpardistmin=1000.0/(finpar+errpar)distmax=1000.0/(finpar-errpar)distmin=dist-distmindistmax=distmax-distif (l.eq.niter) thenWRITE(6,20)’J2000.0 alpha:’,a1,a2,a3,am(1,1)WRITE(6,20)’J2000.0 delta:’,d1,d2,d3,am(4,4)WRITE(6,21)’Proper motion in alpha:’,palphafin,am(2,2),’mas yr-1’WRITE(6,21)’Proper motion in delta:’,pdeltafin,am(5,5),’mas yr-1’WRITE(6,21)’Acceleration in alpha:’,aalphafin,am(3,3),’mas yr-2’WRITE(6,21)’Acceleration in delta:’,adeltafin,am(6,6),’mas yr-2’WRITE(6,22)’Parallax:’,finpar,am(7,7),’mas’WRITE(6,23) ’Distance:’,dist,distmin,distmax,’pc’endifalphiter = alphafin*15.0deltiter = deltafinenddoalphafin=alphafin*15.0finpar=finpar/1000.0/3600.0palphafin=palphafin/1000.0/3600.0/cdpdeltafin=pdeltafin/1000.0/3600.0aalphafin=aalphafin/1000.0/3600.0/cdadeltafin=adeltafin/1000.0/3600.0rms=0.0rms1=0.0rms2=0.0chisq=0.0OPEN(11,file=fileres1,form=’formatted’,status=’unknown’)DO i=1,nobsaa=alphafin+(julday(i)-j2000)/oneyear*palphafin+# 0.5*((julday(i)-j2000)/oneyear)**2*aalphafin+finpar*# (xx(i)*SIN(alphafin*pi/180.0)-yy(i)*COS(alphafin*pi/180.0))# /COS(deltafin*pi/180.0)dd=deltafin+(julday(i)-j2000)/oneyear*pdeltafin+# 0.5*((julday(i)-j2000)/oneyear)**2*adeltafin+finpar*# (xx(i)*COS(alphafin*pi/180.0)*SIN(deltafin*pi/180.0)+# yy(i)*SIN(alphafin*pi/180.0)*SIN(deltafin*pi/180.0)-# zz(i)*COS(deltafin*pi/180.0))write(11,41) julday(i),aa,dd,alpha(i),delta(i)diff1=(alpha(i)-aa)*cddiff2=(delta(i)-dd)chisq=chisq+((diff1/sigalp(i))**2+(diff2/sigdel(i))**2)diff1=diff1*3600*1000diff2=diff2*3600*1000write(6,*) diff1,diff2

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5.3. IMPLEMENTACIÓN EN FORTRAN 77 71

diff3(i)=sqrt(diff1**2+diff2**2)rms1=rms1+diff1**2rms2=rms2+diff2**2rms=rms+diff3(i)**2ENDDOCLOSE(11)rms=sqrt(rms/nobs)rms1=sqrt(rms1/nobs)rms2=sqrt(rms2/nobs)chisq=chisq/(2*nobs-nparam)write(6,25) ’Post-fit rms in alpha:’,rms1,’mas’write(6,25) ’Post-fit rms in delta:’,rms2,’mas’write(6,25) ’Post-fit rms in distance:’,rms,’mas’write(6,26) ’Reduced Chi square:’,chisqOPEN(12,file=fileres2,form=’formatted’,status=’unknown’)OPEN(13,file=fileearth,status=’old’)DO i=1,stepREAD(13,*) julian,xxx,yyy,zzzaa=alphafin+(julian-j2000)/oneyear*palphafin+# 0.5*((julian-j2000)/oneyear)**2*aalphafin+finpar*# (xxx*SIN(alphafin*pi/180.0)-yyy*# COS(alphafin*pi/180.0))/COS(deltafin*pi/180.0)dd=deltafin+(julian-j2000)/oneyear*pdeltafin+# 0.5*((julian-j2000)/oneyear)**2*adeltafin+finpar*# (xxx*COS(alphafin*pi/180.0)*SIN(deltafin*pi/180.0)+# yyy*SIN(alphafin*pi/180.0)*SIN(deltafin*pi/180.0)-# zzz*COS(deltafin*pi/180.0))write(12,40) julian,aa,ddENDDOCLOSE(13)CLOSE(12)20 FORMAT(a25,10x,2(i2,1x),f10.6,1x,’+-’,f9.6)21 FORMAT(a25,10x,f10.4,1x,’+-’,f9.4,1x,a8)22 FORMAT(a25,10x,f10.4,1x,’+-’,f9.4,1x,a3)23 FORMAT(a25,10x,f6.2,1x,’-’,f4.2,1x,’+’,f4.2,1x,a3)24 FORMAT(a25,10x,f10.4)25 FORMAT(a25,10x,f10.3,1x,a3)26 FORMAT(a25,10x,f10.3)40 FORMAT(f15.4,3x,f20.12,3x,f20.12)41 FORMAT(f20.6,3x,f20.12,3x,f20.12,3x,f20.10,3x,f20.10)END

SUBPROGRAMAS

La siguiente subrutina llamada funcsa se encarga de calcular los cuatro fun-ciones que intervienen en la ecuación de la ascención recta:

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72CAPÍTULO 5. GENERALIZACIÓN AL CASODE ECUACIONES ACOPLADAS

α(t) = α0 + µαt + aαt2

2 + θ.fα(α, δ, t) = α0.afunc(1) + µα.afunc(2) +aα.afunc(3) + θ.afunc(4).SUBROUTINE funcsa(x,afunc,ma,alfa,delta,xx,yy,zz)implicit noneREAL*8 pi,j2000,oneyearPARAMETER (pi=3.1415926535898)PARAMETER (j2000=2451545.0)PARAMETER (oneyear=365.242175)INTEGER maREAL*8 x,afunc(ma),alfa,delta,xx,yy,zzafunc(1)=1afunc(2)=(x-j2000)/oneyearafunc(3)=0.5*((x-j2000)/oneyear)**2afunc(4)=(xx*SIN(alfa*pi/180.0)-yy*COS(alfa*pi/180.0))# /COS(delta*pi/180.0)ENDLa siguiente subrutina llamada funcsd se encarga de calcular los cuatro fun-

ciones que intervienen en la ecuación de la declinación:δ(t) = δ0+µδt+aδ

t2

2 +θ.fδ(α, δ, t) = α0.afunc(1)+µα.afunc(2)+aα.afunc(3)+θ.afunc(4).SUBROUTINE funcsd(x,afunc,ma,alfa,delta,xx,yy,zz)implicit noneREAL*8 pi,j2000,oneyearPARAMETER (pi=3.1415926535898)PARAMETER (j2000=2451545.0)PARAMETER (oneyear=365.242175)INTEGER maREAL*8 x,afunc(ma),alfa,delta,xx,yy,zzafunc(1)=1afunc(2)=(x-j2000)/oneyearafunc(3)=0.5*((x-j2000)/oneyear)**2afunc(4)=(xx*COS(alfa*pi/180.0)*SIN(delta*pi/180.0)+# yy*SIN(alfa*pi/180.0)*SIN(delta*pi/180.0)-zz*COS(delta*pi/180.0))END

Las siguiente subrutina llamada gaussj se encarga de calcular los siete pará-metros que intervienen en las siguientes ecuaciones,

α(t) = α0 + µαt+ aαt2

2 + θ.fα(α, δ, t)

δ(t) = δ0 + µδt+ aδt2

2 + θ.fδ(α, δ, t)utilizando el método de la eliminación de Gauss-Jordan con pivoteo.SUBROUTINE gaussj(a,n,np,b,m,mp)INTEGER m,mp,n,np,NMAXREAL*8 a(np,np),b(np,mp)PARAMETER (NMAX=50)INTEGER i,icol,irow,j,k,l,ll,indxc(NMAX),indxr(NMAX),ipiv(NMAX)

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5.3. IMPLEMENTACIÓN EN FORTRAN 77 73

REAL*8 big,dum,pivinvdo 11 j=1,nipiv(j)=011 continuedo 22 i=1,nbig=0.do 13 j=1,nif(ipiv(j).ne.1)thendo 12 k=1,nif (ipiv(k).eq.0) thenif (abs(a(j,k)).ge.big)thenbig=abs(a(j,k))irow=jicol=kendifelse if (ipiv(k).gt.1) thenpause ’singular matrix in gaussj’endif12 continueendif13 continueipiv(icol)=ipiv(icol)+1if (irow.ne.icol) thendo 14 l=1,ndum=a(irow,l)a(irow,l)=a(icol,l)a(icol,l)=dum14 continuedo 15 l=1,mdum=b(irow,l)b(irow,l)=b(icol,l)b(icol,l)=dum15 continueendifindxr(i)=irowindxc(i)=icolif (a(icol,icol).eq.0.) pause ’singular matrix in gaussj’pivinv=1./a(icol,icol)a(icol,icol)=1.do 16 l=1,na(icol,l)=a(icol,l)*pivinv16 continuedo 17 l=1,mb(icol,l)=b(icol,l)*pivinv17 continuedo 21 ll=1,n

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74CAPÍTULO 5. GENERALIZACIÓN AL CASODE ECUACIONES ACOPLADAS

if(ll.ne.icol)thendum=a(ll,icol)a(ll,icol)=0.do 18 l=1,na(ll,l)=a(ll,l)-a(icol,l)*dum18 continuedo 19 l=1,mb(ll,l)=b(ll,l)-b(icol,l)*dum19 continueendif21 continue22 continuedo 24 l=n,1,-1if(indxr(l).ne.indxc(l))thendo 23 k=1,ndum=a(k,indxr(l))a(k,indxr(l))=a(k,indxc(l))a(k,indxc(l))=dum23 continueendif24 continuereturnEND

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Capítulo 6

Resultados y Conclusiones.

6.1 DISTANCIAS OBTENIDAS

Los resultados matemáticos obtenidos en el Capítulo 5 se implementaron enFortran 77. Se hicieron dos versiones, una con términos de aceleración, el otro,suponiendo un movimiento propio uniforme. Se ejecutaron dichos programasusando como entradas las doce observaciones que se obtuvieron con el VLBA.Los resultados obtenidos para el ajuste sin aceleración son los siguientes:

J2000.0 α : 4h 21m 59.423772s ± 0.000014sJ2000.0 δ: 19o32

05.721245

00 ± 0.00020700

Movimiento propio en alfa (µα): 4.0142 ± 0.0419 mas yr−1Movimiento propio en delta (µδ): -1.2456 ± 0.0445 mas yr−1Paralaje (θ): 6.8448 ± 0.0348 masDistancia: 146.10 −0.74 + 0.75 pc

Mientras que incluyendo la aceleración se obtuvieron los siguientes resulta-dos:J2000.0 α: 4h 21m 59.424989s ± 0.000126sJ2000.0 δ: 19o32

05.718568

00± 0.00186400

Movimiento propio en alfa (µα): -3.5419 ± 0.1190 mas yr−1Movimiento propio en delta (µδ) : -0.0685 ± 0.8156 mas yr−1Aceleración en alfa (aα): 1.6352 ± 0.1687 mas yr−2Aceleración en delta (aδ): -0.2550 ± 0.1764 mas yr−2Paralaje (θ): 6.7770 ±0.0356 masDistancia: 147.56 −0.77 + 0.78pc

Las coordenadas (α, δ) de las observaciones que se había hecho con el VLBAde la fuente T-Tauri Sur en las distintas épocas se pueden representar gráfica-mente en el plano del cielo para los tres casos. Notemos que en la figura 6.1 las

75

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76 CAPÍTULO 6. RESULTADOS Y CONCLUSIONES.

Figura 6.1: Esta figura muestra los resultados obtenidos con los ajustes porseparado.

cruces que representan las posiciones medidas de la fuente están un poco másalejados de los cuadritos rellenos los cuales muestran las posiciones ajustadas.En cambio en la figura 6.2 las cruces están más próximos a los cuadritos, locual muestra un ajuste mucho mejor. Pero en la figura 6.3 es mucho mejor elajuste que se ve a comparación de las otras dos.

Ahora si hacemos la comparación de estos dos resultados y de los resultadosobtenidos en el artículo de Loinard, véase [11], podemos notar que el que daun ajuste muy bueno es el caso que incluye la aceleración, aunque el resultadoobtenido en el segundo caso sin aceleración es mucho mejor que el primer caso,esto significa que al juntar las dos ji-cuadradas si se mejora bastante la precisión;pero se mejora aún más si involucramos la aceleración. También cabe mencionarque en el segundo y tercer caso incluimos más observaciones para el ajuste, yque se corrigió un error que tenía el correlador del VLBA.

Estos resultados se publicarán en la revista internacional The AstrophysicalJournal.

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6.1. DISTANCIAS OBTENIDAS 77

Figura 6.2: Esta figura muestra los resultados obtenidos con el ajuste simultáneopero sin aceleración.

Figura 6.3: Esta figura muestra los resultados obtenidos con el ajuste simultáneoy con aceleración.

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78 CAPÍTULO 6. RESULTADOS Y CONCLUSIONES.

6.2 CÁLCULO DE MASAS ESTELARESEN EL SISTEMA T-TAURI CON LADISTANCIA ACTUAL

Para ver la importancia del hecho de encontrar distancias precisas de los cuerposcelestes a continuación procederemos analizar el siguiente artículo [13] .En este artículo los investigadores hicieron un estudio; para obtener las masas

de cada una de las estrellas del sitema binario T Tau S, utilizando el hecho de queT Tau S pertenece a un sistema triple compuesta de dos orbitas perihiélicas, seanaliza simultáneamente el movimiento de T Tau Sb en el resto de los fragmentosde T Tau Sa y T Tau N. Con este método, los autores de [13] les fue posiblelocalizar el centro de masa de T Tau S y , por lo tanto, determinar la masa deT Tau Sa y T Tau Sb sin suponer a priori el cociente de masa/flujo del sistema.Utilizando el hecho descrito se obtuvieron los siguientes parámetros:

a(10−300) = 82.1± 1.8 , semieje mayor de la elipse.

P (yr) = 21.66± 0.93, periodo orbital del sistema.µ = 0.183± 0.044 , cociente de masas.Por otra parte se cumple la siguiente relación dada por la tercera Ley de

Kepler,GMtotalP

2 = 4π2a3, Msb = µMtotal y Msa = (1− µ)Mtotal

dondeG=constante gravitacional.Mtotal=masa total del sistema.Msa= masa de Sa y Msb= masa de Sb.P=periodo orbital.

a=semieje mayor de la elipse.

Utilizando estas relaciones, junto con la distancia d = 141.5 ± 2.82.7

pc

obtenida en el artículo [11] se obtuvieron las siguientes masas:

Mtotal(Msolar) = 3.34± 0.36MSb(Msolar) = 0.61± 0.17MSa(Msolar) = 2.73± 0.31

Ahora bien, si utilizamos la distancia encontrada con nuestro ajuste simultá-neo con aceleración.Obtenemos los siguiente resultados:

Mtotal(Msolar) = 3.79± 0.36MSb(Msolar) = 0.69± 0.18MSa(Msolar) = 3.10± 0.34

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Notemos que las masas obtenidas con la distancia actual son más grandesque las obtenidas en el atrículo [13]. Esto implica, que la medición precisa de lasdistancias de los cuerpos celestes resulta de gran importancia para la comunidadcientífica en el área de la Astronomía; ya que esto permite determinar mejor suspropiedades como son: su masa en el artículo [13] que acabamos de analizar,como también la luminosidad, tamaño entre otras características que resultannecesarios conocer para así poder realizar avances científicos. Por tal razón, en elcampo de la Astronomía, más específicamente la Astrometría de estrellas resultade gran interés y los resultados que hemos aportado en esta tesis estamos segurosde que será de utilidad para otros investigadores que trabajan en distintas áreasde la Astronomía.

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80 CAPÍTULO 6. RESULTADOS Y CONCLUSIONES.

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Referencias

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[2] P. Kenneth Seidelmann, EXPLANATORY SUPPLEMENT tothe ASTRONOMICAL ALMANAC, 1992.

[3] Chaisson McMillan, ASTRONOMY A Beginner‘s Guide to theUniverse, THIRD EDITION, 2001.

[4] Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie, AN INTRODUCTION TOMod-ern Astrophysics,1996.

[5] Multiyear Interactive Computer Almanach (MICA), Us NavalObservatory, 2005.

[6] Frank Shu, The Physical Universe An Introduction to Astronomy,University Science Books, 1982.

[7] R.W. Hilditch, An Introduction to close binary stars, CambridgeUniversity Press, 2001.

[8] Kovalevsky & Seidelmann, Funtamentals of astrometry, Cam-bridge University Press,1999 .

[9] W. GILLARD DAVID, HOLDAWAY RICHARD, The astronom-ical Almanach US Naval Observatory, 2005.

[10] Arfken &Weber, Mathematical Methods for Physicists, HarcourtAcademic Press,FIFTH EDITION, 2001 .

[11] LAURENT LOINARD, AMY J. MIODUSZEWSKI, MultiepochVLBA Observations of T Tauri Sur, 2005.

[12] G. DUCHÊNE, A. M. Ghez and C. McCabe, The circumstelarenviroment of T Tauri S at High Spatial and Spetral Resolution,2005.

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82 REFERENCIAS

[13] G. DUCHÊNE, H. Beust, F. Adjali, Accurate stellar masses inthe multiple system T Tau, 2006.

[14] Loinard Laurent; Rodríguez Luis F.; Rodríguez Mónica I,Ejectionof a Low-Mass Star in a Young Stellar System in Taurus.TheAstrophysical Journal, Volume 587, Issue 1, pp. L47-L50,2005.

[15] Duchêne G.; Ghez A. M.; McCabe C,Resolved Near-InfraredSpectroscopy of the Mysterious Pre-Main-Sequence Binary Sys-tem T Tauri.The Astrophysical Journal, Volume 568, Issue 2, pp.771-778, 2005.