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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

E. T. S. I. DE TELECOMUNICACIÓN

T E S I S DOCTORAL

CONTRIBUCIÓN A LA TEORÍA DE DISEÑO Y A LA

TECNOLOGÍA DE LAS LENTES DE FRESNEL PARA SU

USO COMO CONCENTRADORES EN

APLICACIONES FOTOVOLTAICAS

Autor: EDUARDO LORENZO PIGUEIRAS

Director:

GABRIEL SALA PAÑO

Año: 1982

TESIS DOCTORAL: “Contribución a la teoría de diseño y a la tecnología de las lentes de Fresnel para su uso como concentrado res en aplicaciones fotovoltaicas”.

AUTOR: Eduardo Lorenzo Pigueiras

El tribunal nombrado para juzgar la tesis doctoral arriba citada, compuesto por los siguientes señores:

P R E S I D E N T E : Prof. Dr. Antonio Luque López VOCALES: Profesores: Dr. Ronald Winston, Dr. Jesús Sánchez Miñana, Dr. Carlos

Dehesa Martínez

PONENTE (en su caso):

DIRECTOR DE T E S I S : Prof. Dr. Gabriel Sala Pano

Acuerda otorgarle la calificación de

Sobresaliente Cum Laude

Madrid, 14 de Abril de 1982

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación

TESIS DOCTORAL

CONTRIBUCIÓN A LA TEORÍA DE DISEÑO Y A LA TECNOLOGÍA DE LAS LENTES DE FRESNEL PARA SU USO COMO CONCENTRADORES EN

APLICACIONES FOTOVOLTAICAS AUTOR: Eduardo Lorenzo Pigueiras DIRECTOR: Gabriel Sala Pano

AÑO: 1982

I

AGRADECIMIENTO

Los trabajos presentados en esta tesis doctoral han sido realizados en el marco de las

investigaciones que sobre el aprovechamiento fotovoltaico de la energía solar, se l levan a cabo en el

Laboratorio de Semiconductores de la E.T.S.I Telecomunicación. De todos los miembros de este

laboratorio he recibido, a lo largo de los cuatro años que han durado estos trabajos, apoyo constante y

generoso s in el que esta tesis no hubiera podido realizarse. A todos ellos, por igual , quiero expresar

mi agradecimiento más sincero.

También quiero expresar mi agradecimiento a todas las personas ajenas a este laboratorio que,

de una u otra forma, me han prestado su colaboración. Singularmente importante ha sido la ayuda de

R. Sordo y Valentín, de Fonogram, S.A., en los procesos de electroformación de moldes.

Por último quiero recordar de forma especial a José Pinero que ha realizado la mayor parte

del trabajo experimental con un tesón y una eficacia verdaderamente excepcionales. Más que otra

cosa, esto debería ser nuestra tesis doctoral.

II

RESUMEN

Esta tesis doctoral desarrolla dos aspectos relacionados con el empleo de lentes de Fresnel

como concentradores fotovoltaicos:

Por un lado se analiza un concentrador de una o de dos etapas en el que la primera etapa está

constituida por una lente de Fresnel de forma arbitraria (plana, curva, etc.) en el supuesto de que la

segunda etapa, cuando existe, hace que el colector resulte isotópicamente iluminado si la primera etapa

es una fuente de Lambert. Las conclusiones que se derivan de este análisis permiten optimizar el diseño

de cualquier lente de Fresnel, en el sentido de conseguir la mayor concentración posible para un ángulo

de aceptancia determinado.

Por otro lado se presenta un nuevo tipo de lente de Fresnel compuesta por un vidrio actuando

de soporte y una capa de silicona, adherida a él, que actúa como material refractante. Esta lente,

llamada lente híbrida, se ha mostrado muy adecuada para estas aplicaciones ya que combina unas

excelentes características ópticas con una gran durabilidad, bajo coste y facilidad de fabricación. Se han

construido y medido 144 de estas lentes que están en funcionamiento en el Panel Solar Fotovoltaico de

Concentración "Ramón Areces", pudiendo así comprobar de forma experimental la v i a b i l i da d de este

tipo de lentes y la sencillez y f iabi l idad de su proceso de fabricación. Asimismo se ha desarrollado un

método novedoso de fabricación de moldes que util izando procedimientos convencionales de

mecanización permite conseguir lentes con eficacias superiores al 85%.

Por último se ha construido y medido una lente lineal de Fresnel en vidrio laminado, sin

posterior mecanización, pudiendo comprobar que con el estado actual de esta tecnología no parece

pos ib le conseguir lentes con una eficacia superior al 60%.

III

ABSTRACT

This doctoral thesis develops two aspects related to the use of Fresnel lenses as photovoltaic

concentrators:

On one hand it analyzes a one stage or two stages concentrator; the first stage is constituted by

an arbitrarily shaped Fresnel lens (flat, curved, etc.) in the assumption that the second stage, when it

exists, makes possible for the concentrator to be isotropically illuminated if the first stage is a

Lambertian source. The conclusions derived from this analysis al low to optimize the design of any

Fresnel lens, in order to obtain the highest concentration possible for a given acceptance angle.

On the other hand it presents a new type of Fresnel lens made of glass acting as support,

covered by a silicone layer, acting as refracting material. This lens, cal led hybrid lens, has proved to

be very adequate for these applications, since it combines excellent optical characteristics with

durability, low cost and easiness of fabrication. 144 of these lenses were made and measured and they

are being used in the "Ramón Areces" concentration photovoltaic solar array; this way we were able to

verify the v iab i l i ty of this type of lenses and the simplicity and reliability of the fabrication

process. Also we developed a new method to fabricate masters and which using conventional

mechanization methods achieves lenses with efficiencies above 85%.

Finally, we made and measured a lineal Fresnel lens of laminated glass, without later

mechanization, being able to verify that with the present state of this technology is not possible to

obtain lenses with efficiencies above 60%.

IV

ÍNDICE

AGRADECIMIENTO................................................. I

RESUMEN............................................................... II

ABSTRACT ............................................................. III

ÍNDICE.................................................................... IV

CAPITULO 0. INTRODUCCIÓN ............................................ 1

CAPITULO I. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE DISEÑO DE UNA LENTE DE

FRESNEL PARA APLICACIONES FOTOVOLTAICAS ………... 6

I. 1. Planteamiento general del problema.......................... 7

I.2. Principios básicos de la óptica de los concentradores no formadores de imagen ……………………….………… 7

I.3. La lente termodinámica .......................................... 13

I.4. La lente uniforme.................................................. 14

I.5. Figuras ……………………………………………………… ... 15

CAPITULO II. ANÁLISIS TEÓRICO DE UN CONCENTRADOR QUE INCORPORE

LENTES DE FRESNEL …………………………………………….. 20

II.1. Introducción ........................................................ 21

II.2. Definición de parámetros básicos ........................... 22

II.3. Análisis de las posibles configuraciones ……………… 24

II.3.a. Concentradores con lente plana ……………………… 24

II.3.b. Concentradores con lentes-tejado ……………………. 24

II.3.c. Concentradores con lente óptimamente curvada ……. 25

II.4. El efecto de la aberración cromática ............................... 26

V

II.5. El efecto de los rayos no meridianos .............................. 29

II.6. Comparación de lentes de Fresnel y espejos parabólicos

para su uso como concentradores de energía solar ............. 30

II.6.a. Consideraciones previas................................. 30

II.6.b. Procedimiento............................................. 31

II.6.c. Discusión y conclusiones .............................. 33

II.7. Conclusiones sobre lentes de Fresnel ............................. 34

II.8. Una nueva posibilidad: las lentes de Fresnel no ideales . 35

II.9. Figuras ……………………………………………………… 36

CAPITULO III. ANÁLISIS DE LA ILUMINACIÓN RECIBIDA POR EL

RECEPTOR ........................................................................ 65

III.1. Introducción ....................................................... 66

III.2. Definición de la lente ideal de Fresnel ………………... 66

III.3. Discretización del espectro solar .................................. 67

III.4. Pérdidas de transmisión ....................................... 69

III.5. Irradiancia debida a un diente i y a una longitud de

onda jλ ……………………………………………… 69

III.6. Irradiancia total en la superficie receptora ............... 71

III.7. Corriente generada en la superficie de una célula solar.. 72

III.8. Limitaciones del modelo ....................................... 72

III.8.a. Modelo aplicado a lentes ..................................... 73

III.8.b. Modelo aplicado a lentes circulares .................. 73

III.9. Comentario final.................................................. 73

III.10. Figuras ………………………………………………… 75

VI

CAPITULO IV. DISEÑO DE LENTES DE FRESNEL PARA APLICACIONES

FOTOVOLTAICAS .............................................................. 80

IV. 1. Parámetros y objetivos de diseño ......................... 81

IV.2. Diseño termodinámico ........................................ 82

IV.3. Diseño uniforme .................................................. 84

IV.4. Minimización de las pérdidas de dispersión

en las lentes no planas ................................................. 86

IV.5. Figuras ……………………………………………… 87

CAPITULO V. TECNOLOGÍA DE LENTES DE FRESNEL ... 91

V.l. Introducción ......................................................... 92

V.2. La lente híbrida de vidrio y silicona ....................... 94

V.3. Durabilidad. Pruebas de envejecimiento acelerado. 95

V.4. Proceso de fabricación de la lente híbrida ………….. 97

V.5. El problema de los moldes.................................... 98

V.6. Figuras ………………………………………………… 101

CAPITULO VI. PRODUCCIÓN PILOTO Y CARACTERIZACIÓN 106

VI.1. Producción piloto ................................................ 107

VI.2. Caracterización.................................................... 107

VI.2.1. índice de refracción .................................... 107

VI.2.2. Eficiencia óptica ........................................ 108

VI.2.3. Perfil de iluminación .................................. 112

VI.2.4. Ángulo de aceptancia.................................. 113

VI.3. Figuras ………………………………………………... 115

CAPITULO VII. EXPERIENCIAS REALIZADAS ................. 130

VII.1. Introducción...................................................... 131

VII

VII.2. Experiencia "Ramón Areces" .............................. 131

VII.3. Experiencia G.E.A ............................................. 132

VII.4. Experiencia en vidrio laminado ........................... 132

CAPITULO VIII. CONCLUSIONES........................................... 134

VIII.1. Conclusiones del trabajo teórico ............................. 135

VIII.2. Conclusiones del trabajo tecnológico ……………….. 137

APÉNDICE A. LUGARES GEOMÉTRICOS EN LOS QUE HAN DE APOYARSE LAS LENTES DE FRESNEL .......................................................... 139

APÉNDICE B. PERFILES DE LAS LENTES CURVAS DE

FRESNEL ............................................................................................. 147

APÉNDICE C. TRAZADO DE RAYOS A TRAVÉS DE UNA LENTE DE FRESNEL............................................................................. 162

APÉNDICE D. LISTADO Y MANEJO DE PROGRAMAS PARA EL CÁLCULO DE LA ILUMINACIÓN RECIBIDA POR EL RECEPTOR ……………….. 170

APÉNDICE E. DISEÑO TERMODINÁMICA DE UNA LENTE PLANA DE FRESNEL: PROGRAMAS E INSTRUCCIONES DE USO ……………………. 182 APÉNDICE F. DISEÑO ANALÍTICO DE UNA LENTE PLANA DE FRESNEL............................................................................. 187

APÉNDICE G. DISEÑO POR EL PROCEDIMIENTO DE GRUPOS DE UNA LENTE PLANA DE FRESNEL ……………………………………………... 195

VIII

APÉNDICE H. CARACTERÍSTICAS DEL SYLGARD-182........... 198 BIBLIOGRAFÍA ................................................................... 205 PUBLICACIONES INTERNACIONALES PROPIAS RELACIONADAS CON ESTA TESIS DOCTORAL ………………………………………………………… 211

CAPÍTULO 0

INTRODUCCIÓN

0.1. INTRODUCCIÓN.

Por un lado, el constante aumento que, desde el año 1973, sufren los precios de las fuentes de

energía no renovables y, por otro, la perspectiva de un modelo de desarrollo descentralizado que ofrecen las

fuentes de energía renovables, han hecho que el interés por la obtención de energía eléctrica directamente

del sol, mediante el empleo del efecto fotovoltaico, haya crecido en los últimos años.

El principal obstáculo en el camino que, s in duda, ha de llevar a la ut i l ización en gran escala de

esta idea reside en el elevado coste que tienen actualmente las células solares. Por esta razón, la mayor

parte de los esfuerzos de los investigadores se concentra, más que en la resolución de problemas

científicos, propiamente dichos, en conseguir abaratar los costes de obtención de este tipo de energía. Uno

de los caminos, en este sentido, consiste en el empleo de la concentración(1). Esta idea permite reducir la

superficie de cé lu la que se necesita para obtener una determinada potencia, sustituyéndola por superficie

de concentrador, mucho más barato.

Frente a esta ventaja económica, los generadores fotovoltaicos de concentración presentan dos

inconvenientes: necesitan de órganos móviles que les permitan apuntarse al sol para mantener las células

en el foco de los concentradores y no aprovechan la radiación difusa que, incluso en climas claros,

constituye una parte apreciable de la radiación solar. Sin embargo, esta última desventaja se ve

compensada -al menos en un clima como el de la España seca- por el hecho de que al orientarse

continuamente al sol la superficie que le enfrentan y, por lo tanto, la energía incidente es mayor que en los

paneles estáticos.

Un buen concentrador, para aplicaciones fotovoltaicas, debe satisfacer tres condiciones

fundamentales: mantener invariables, después de largas exposiciones a la intemperie sus características

ópticas y geométricas; tener una alta eficiencia y poderse fabricar a bajo coste. Además, a la hora de

juzgar sobre la calidad de un concentrador, son muy dignas de tener en cuenta otras características, tales

como la facilidad de fabricación, montaje y mantenimiento; estabilidad de las propiedades de

iluminación frente a variaciones de temperatura; protección de las células receptoras, etc. A la

vista de esto, una de las posibilidades que se muestran como más prometedoras la constituyen las

lentes de Fresnel(2-3).

2

Curiosamente, la invención de las lentes de Fresnel está ligada a la energía solar: Buffon

las propuso, en el siglo XIX, como medio de evitar las grandes pérdidas de absorción de las

lentes convencionales, cuando eran utilizadas para encender fuego a distancia o fundir metales

aprovechando la radiación del sol(4). Años más tarde, Fresnel las perfeccionó y utilizó en los

faros marítimos.

En los últimos años, han sido desarrollados un buen número de generadores fotovoltaicos

de concentración que incorporan este tipo de lentes(5-17) y que han demostrado la viabil idad de

esta solución. Se han obtenido eficiencias ópticas del 85% y costes en el rango de los 30 $/m2. Es

de señalar que, a pesar del avanzado estado del arte que estas experiencias parecen indicar, no

existe una teoría general de diseño que permita optimizar las lentes para estas aplicaciones.

Con algunas excepciones(18-20)que no han conseguido aceptación, el material utilizado

hasta hoy en la construcción de lentes de Fresnel ha sido el polimetil-metacrilato (mezclado con

un estabilizador frente a la radiación ultravioleta), debido al avanzado estado de desarrollo de su

industria y a sus excelentes características ópticas. Los principales inconvenientes de este

material residen en la baja resistencia a la abrasión que supone un motivo de degradación en

intemperie y en el alto coeficiente de dilatación que hace que el tamaño de las zonas iluminadas

varié apreciablerrente con la variación de temperatura ambiente(21). Por otro lado, si el

procedimiento de fabricación utilizado es la inyección, la liberación de las tensiones internas del

material provocada por los ciclos térmicos de la intemperie hace que las lentes se deformen y

pierdan sus características de enfoque. Este último inconveniente se elimina si las lentes se

fabrican por colada, pero entonces el precio resulta muy elevado.

Esta tesis doctoral, enmarcada en las investigaciones sobre alta concentración que se

desarrollan en el Laboratorio de Semiconductores del Instituto de Energía Solar, pretende cubrir

un doble objetivo: por un lado desarrollar una teoría de diseño de lentes de Fresnel para su uso como

concentradores de la radiación solar en aplicaciones fotovoltaicas y, por otro, la búsqueda y puesta a punto

de tecnología de materiales adecuados para la fabricación de estas lentes.

Creemos que esta tesis es de interés para la comunidad científica internacional en cuanto que

3

pretende cubrir lagunas existentes en un campo de indudable importancia. Y creemos que es de interés para

nuestro país en cuanto que pretende desarrollar una tecnología nacional que suponga un avance en el

camino de la innovación industrial y la independencia energética. En este sentido hay que señalar que una

característica importante de las técnicas de concentración es que desplazan el peso relativo de la célula

solar, en los generadores fotovoltaicos, a favor de los costes de elementos ópticos y de ingeniería c ivi l ,

más al alcance de un país con tecnología media como es el nuestro, permitiendo además una fabricación

menos automatizada de la célula. En otras palabras, la opción de concentración frente a la de panel plano,

es menos intensiva en capital y más intensiva en mano de obra.

Esta memoria se in ic ia con el planteamiento más general del diseño de un concentrador (Capítulo

I) especificando su objetivo, según que el rendimiento del colector dependa o no de la forma en como, en

un instante dado, la energía se distribuye sobre su superficie, e introduciendo los conceptos y bases teóricas

necesarios para abordarlo. Se dedica especial atención a las ideas que sobre los concentradores no

formadores de imagen fueron desarrolladas inicialmente en el Argonne National Laboratories y que, más

recientemente, han recibido un notable impulso en nuestro laboratorio. En este sentido se demuestra, para el

caso de un concentrador bidimensional y simétrico que para una extensión angular determinada de la fuente

de iluminación, el plano se divide en dos regiones: en una de ellas es imposible que apoye sus extremos un

concentrador ideal, es decir, que haga llegar al colector toda la potencia que llega a su entrada y en la otra

es imposible que lo haga un concentrador lambertiano, es decir, que haga llegar al colector la máxima

potencia posible. Este teorema constituye una aportación original que a nuestro juicio tiene gran interés

puesto que abre las puertas del estudio de un tipo de concentradores no desarrollados hasta la fecha:

aquellos que aún a costa de perder parte de la potencia que llega a su entrada hacen incidir sobre

el colector la mayor cantidad posible de ella.

En el Capitulo II analizamos, restringiéndonos al caso de las lentes ideales, las

condiciones que debe cumplir una lente de Fresnel para alcanzar la mayor concentración posible,

y por lo tanto, para llevar al colector la mayor cantidad de energía posible. Esta característica

define una lente que llamamos "lente termodinámica" y que responde totalmente a uno de los

objetivos de diseño fijados en el Capítulo I. Por último, en este capítulo, estudiamos el efecto

que sobre esta lente tienen la aberración cromática y el comportamiento de los rayos no

meridianos y damos un esquema de lo que creemos debe ser la continuación de este trabajo.

4

En el Capítulo III analizamos la forma del perfil de iluminación que sobre la superficie

de una célula solar proyecta una lente de Fresnel para lo que hemos puesto a punto un modelo

matemático que simula con buena precisión el comportamiento de dicha lente. Este modelo se

utiliza en el Capítulo IV para poner a punto dos procedimientos para diseñar lentes que

produzcan perfiles de iluminación uniformes. Tales lentes, llamadas "lentes uniformes"

completan el cubrimiento de los objetivos que fija el Capítulo I.

En el Capítulo V se presenta la tecnología de una combinación de dos materiales para la

construcción de lentes de Fresnel: un vidrio que actúa como soporte de una fina capa de silicona

transparente, que actúa de material refractante. Esta combinación de materiales, patentada por G.

Sala(22) en 1978, ha demostrado poseer unas excelentes propiedades para este tipo de

aplicaciones, después de haberse utilizado en la construcción de las lentes que forman parte del

"Panel Solar Ramón Areces"(13) y del "Generador Fotovoltaico Espectralmente Adaptado"(15).

Estas experiencias, así como la caracterización y medida de las lentes son el objeto de los

últimos capítulos.

5

CAPÍTULO I

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE DISEÑO DE UNA LENTE DE FRESNEL

PARA APLICACIONES FOTOVOLTAICAS

I.1. PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA.

En cuanto al problema del diseño, parece obvio que la mejor lente posible es aquel la que

integrada en un sistema maximiza la energía produce da por dicho sistema. Para traducir esta definición

en un criterio de diseño que defina unívocamente una lente existen, al menos, dos posibilidades. La

una consiste en suponer que la Energía Solar se transforma en energía útil con un rendimiento que no

depende de la forma de la distribución instantánea de la radiación solar sobre la superficie del colector.

En este caso, la mejor lente posible es aquella que maximiza la energía colectada y le llamamos lente

termodinámica. La otra posibilidad consiste en suponer que dicho rendimiento es máximo cuando la

mencionada distribución es uniforme. En este caso, la mejor lente posible es aquel la que consigue tal

uniformidad y le llamamos lente uniforme.

Desgraciadamente la lente termodinámica y la lente uniforme no coinciden por lo que para cada

caso concreto habrá que definir la mejor lente posible como un compromiso entre ambas. No obstante,

esta tesis se centra en el estudio de tales lentes porque su generalidad permite comprender en toda su

amplitud el problema de la concentración con este tipo de dispositivos.

I.2. PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA ÓPTICA DE LOS CONCENTRADORES NO FORMADORES

DE IMAGEN.

Hemos abordado el estudio de la lente termodinámica tomando como punto de partida las ideas

sobre los concentradores no formadores de imagen que han sido desarrolladas inicialmente en la

Universidad de Chicago por el equipo del Prof. Winston(26) y, más recientemente, en esta Universidad

por nuestro propio equipo bajo la dirección del Prof. Luque(54). La novedad de estas ideas en relación con

la óptica tradicional aconseja resumir previamente algunos conceptos:

Decimos que una fuente luminosa es vista por un concentrador como una fuente extensa de

Lambert cuando todos los puntos de la apertura del concentrador resultan iluminados por todos los

puntos de la fuente y con igual intensidad. Al conjunto de los ángulos de incidencia sobre la superficie

del concentrador de los rayos procedentes de una fuente extensa le llamamos extensión angular de la

fuente.

7

Se dice que un concentrador es Lambertiano cuando al ser i luminado por una fuente extensa de

Lambert, es visto por el colector como otra fuente extensa de Lambert de mayor extensión angular.

Se dice que un concentrador es ideal cuando hace inc idi r en el colector todos los rayos

procedentes de la fuente.

Concentración geométrica Cg de un concentrador es la relación entre el área de su superficie de

apertura y el área de la superficie del colector. Concentración óptica CO de un concentrador es la

relación entre las potencias recibidas por el colector cuando está iluminado por el concentrador,

supuesto este sin pérdidas, y cuando está iluminado directamente por la fuente, en la posición en la que

recibe la máxima potencia.

Existe un l imi te CTH termodinámico(25) para la concentración óptica que en el caso de un

concentrador bidimensional y simétrico vale

( )1.sin

1 ICTH α=

A los concentradores capaces de alcanzar este l ímite les llamamos concentradores óptimos.

Supongamos ahora un concentrador bidimensional y simétrico apoya sus extremos en los

puntos AA' (Fig. I.1) y que concentra sobre un colector 00' la energía que recibe de una fuente extensa

de Lambert, colocada en el infinito, con una extensión angular 2α y que radia con una densidad

angular de energía B.

A lo largo de cualquier línea MM1 que atraviesa este sistema (Fig. I.1) podemos calcular la

integral

( )2.sin' IdxdED

MM ∫= θθ

donde el dominio de integración se extiende a todos los puntos que son atravesados por algún rayo y a

8

todas las direcciones en las que llegan dichos rayos. Esta integral se l lama étendue o invariante de

Lagrange y representa una medida de la potencia que puede atravesar dicha línea. Un buen ejemplo para

comprender esta última afirmación consiste en calcular la potencia que atraviesa la entrada del

concentrador. Evidentemente esta potencia PS será:

( )∫ ∫−

+

⋅==α

π

απ

θθ2

2

'

'

3.sin IEBdxdBP AAS

A

Ad

es decir, el producto de la étendue en AA1 por la densidad angular de energía de la fuente.

Supongamos ahora que variamos la posición del punto A sobre todo el plano (A1 varía de forma

que se mantenga la simetría inicialmente supuesta). A cada posición de este punto le corresponde una

concentración óptica que según la ecuación (I.3) será igual al cociente entre las étendues calculadas

sobre la superficie del colector cuando este está dentro y fuera del concentrador, es decir

( )4.sin'002

)('000 I

dentroEC

α=

Si el concentrador es ideal, puede demostrarse(25) que la étendue es constante en todo el

sistema y entonces

( )5.sin'2''00 IAAEE AA α==

de lo que resulta

( )6.'00'

0 ICAAC g==

por lo que en este tipo de concentradores hablaremos solamente de concentración.

Si el concentrador es Lambertiano, puede demostrarse(28) que la étendue en el colector vale

9

( ) ( )7.'2'00 IE ρρ −=

con lo que

( ) ( )8.sin'00'

0 ICαρρ −

=

Si igualamos las ecuaciones (1.6) y (1.8) se obtiene la ecuación

( ) ( )9.sin

'' IAAαρρ −

=

Esta ecuación define una curva en el plano (Fig. 1.2) en la que necesariamente ha de apoyar sus extremos

un concentrador que sea a la vez ideal y lambertiano.

Por otro lado, Luque y M. Agost(29), han demostrado que entre todos los posibles concentradores que

apoyen sus extremos en una misma apertura de entrada, es precisamente el concentrador lambertiano el que envía

el máximo de potencia al colector. Combinando estas dos ultimas afirmaciones se llega a un teorema, señalado por

primera vez en esta tesis doctoral, que puede enunciarse diciendo: "Existe una curva, definida por la ecuación

(I.9) que d iv i de al plano en dos regiones tales que si un concentrador apoya sus extremos en la región superior no

puede ser ideal pero si lambertiano mientras que si los apoya en la región inferior no puede ser lambertiano pero

si ideal".

Si se piensa en que la concentración geométrica constituye, evidentemente, un l ími te para la

concentración óptica, la demostración de este teorema es senc i l l a puesto que en la región superior

( ) ( )10.sin

'' IAAαρρ −

>

lo que se traduce en que si un concentrador apoya sus extremos en dicha región

( )11.0 ICC MAXg >

y, por lo tanto, el concentrador no puede ser ideal.

Análogamente, en la región inferior

10

( ) ( )12.sin

'' IAAαρρ −

<

con lo que para un concentrador situado dentro de e l la

MAXg CC 0<

y por lo tanto, el concentrador no puede ser lambertiano.

Una importante consecuencia de este teorema que a primera vista puede resultar paradójica es

que los concentradores que hacen inc id i r sobre un colector, la mayor cantidad posible de energía

proveniente de una fuente dada no son aquellos que envían al colector todos los rayos que llegan a su

entrada sino aquellos que, aun a base de perder rayos, son vistos por el colector como si fuesen fuentes de

Lambert. Esto se comprende fácilmente si se piensa que en cada una de las posiciones resultantes del

desplazamiento de A a lo largo de la recta ctew ='' , se coloca el mejor concentrador posible. En la

Fig.I.3 hemos representado los correspondientes valores de Cg y de C0. Como puede observarse los

concentradores de la zona rayada aun perdiendo rayos ( ) son los que permiten alcanzar el 0g CC >

mayor valor de C0 y por lo tanto los que colectan la mayor cantidad de energía.

En otras palabras, los concentradores que no pierden rayos son los que hacen el mejor uso

posible del área de apertura del concentrador pero no los que hacen el mejor uso posible del área del

colector. Los concentradores que hacen el mejor uso posible del área del colector son aquellos que

hacen llegar a el la mayor cantidad posible de rayos aunque para ello también tengan que enviar rayos

fuera del colector.

Supongamos ahora (Fig. I.4) que un concentrador que se apoye en los puntos AA' y que es visto

por un colector 00' como si fuese una fuente de Lambert. Como hemos visto anteriormente este

concentrador es de todos los posibles concentradores que se apoyan en AA' el que más energía lleva al

colector y su concentración óptica viene dada por la ecuación (I.8). Para que esta concentración óptica sea

igual al l ími te termodinámico CTH definido en la ecuación (1.1) ha de ocurrir que

( )13.'00' I=−ρρ

11

y esto solo ocurre cuando los puntos A y A' están situados en la misma línea que el colector (Fig. I.4), es decir,

cuando el concentrador rodea totalmente la cara útil del colector y, por lo tanto, este recibe rayos procedentes de

todas las direcciones en el hemisferio θ < π<0 . En este caso la étendue en el colector viene dada por

( )14.'002'00 IE =

En cualquier otro caso puede, no obstante, incrementarse C0 hasta CTH introduciendo una segunda etapa

concentradora cuya apertura de entrada se apoye en los puntos 00' (por lo que ve a la primera etapa como una

fuente de Lambert) y diseñada de tal manera que el colector reciba rayos procedentes de todas las direcciones. Tal

segunda etapa ha sido estudiada por R. Winston(55) recibe el nombre de C.E.C. y es un concentrador ideal.

La étendue en la boca de entrada de esta segunda etapa (Fig. I.5) y la concentración óptica C01 de la

primera etapa vienen dadas, respectivamente, por las ecuaciones (I.7) y (I.8), la étendue en el colector es

( )15.2 IWEC =

con lo que la concentración óptica C02 de la segunda etapa es

( ) ( )16.'

'0002 IC

ρρ −=

La concentración óptica C0T total del sistema resulta entonces

( )17.sin

102010 ICCCC THT ==×=

α

Por último, aun cuando el concentrador que apoya sus extremos en A y A1 no sea lambertiano, un

procedimiento para incrementar su concentración consiste en añadir una segunda etapa diseñada de tal forma que

si la primera fuese lambertiana el colector resultaría isotópicamente iluminado. En este caso lo que

ocurre es que

( ) ( )18.'2'00 IE ρρ −<

( ) ( )19.'

'0002 IC

ρρ −<

12

( )20.0 ICC THT <

I.3. LA LENTE TERMODINÁMICA.

Al enunciado y total comprensión del teorema explicado en el apartado anterior hemos llegado

en las últimas etapas del desarrollo de esta tesis doctoral. Por ello, al igual que todos los

concentradores que han sido desarrollados hasta ahora, solo hemos abordado en profundidad el

problema de las lentes de Fresnel ideales.

Para ello hemos considerado que debido principalmente, a los errores de seguimiento propios de

cualquier sistema concentrador y al tamaño finito del sol este puede ser visto como una fuente extensa

de Lambert colocada en el infinito y hemos analizado un concentrador bidimensional de dos etapas,

iluminado por dicha fuente, en el que la primera etapa está constituida por una lente de Fresnel ideal y

la segunda etapa por un C.E.C. También hemos analizado un concentrador de una sola etapa constituida

por la lente, sin más que situar directamente el receptor en la entrada de la segunda etapa. Obviamente la

lente termodinámica es, en cada caso, la que permite alcanzar la mayor concentración posible para un

valor determinado de la extensión angular de la fuente.

En el capítulo siguiente se demuestra que una lente de Fresnel para que sea ideal (exceptuando

el irrealizable caso de una lente constituida por un material de índice de refracción infinito) ha de

apoyar necesariamente sus extremos en la región interior de la curva definida por la ecuación (0.9), por

lo que no puede ser nunca lambertiana y el concentrador de dos etapas no puede ser óptimo. Otra

conclusión interesante del capítulo siguiente es que en el caso del concentrador de una sola etapa para

cada valor de la extensión angular de la fuente, cada índice de refracción y cada forma de lente (plana,

de tejado, curva, etc.) existe un par de puntos en los que necesariamente ha de apoyar sus extremos la

lente termodinámica. También se concluye que en el caso del concentrador de dos etapas, si bien la

mayor concentración se consigue cuando no se utiliza primera etapa, razones de índole práctico

aconsejan normalmente ut i l izar la lente termodinámica del caso anterior. Por último se explican las

razones físicas de la no-lambertianeidad de las lentes ideales de Fresnel y se establecen las líneas

generales del estudio de las lentes de Fresnel no ideales que a nuestro juicio debe de ser la continuación

de esta tesis doctoral.

13

I.4. LA LENTE UNIFORME.

El estudio de la lente uniforme es conceptualmente, más sencillo que el de la lente

termodinámica puesto que puede realizarse en el ámbito de la óptica geométrica clásica y así ha sido

tratado por diversos autores(9)(45)(58)(57). En los Capítulos III y IV hemos estudiado con cierto detenimiento

dos procedimientos para diseñar lentes que produzcan iluminaciones uniformes y hemos puesto a punto

los modelos matemáticos y programas de ordenador necesarios para su implementación.

14

CAPÍTULO II

ANÁLISIS TEÓRICO DE UN CONCENTRADOR QUE INCORPORE

LENTES DE FRESNEL

II.1. INTRODUCCIÓN.

Debido al tamaño finito del sol y a los errores de seguimiento propios de cualquier

sistema concentrador, la fuente solar puede ser considerada como una fuente extensa, colocada en

el infinito, con una cierta extensión angular. Por otro lado, el principio de trabajo de un

concentrador es la transformación de los rayos procedentes de la fuente con una dispersión

angular relativamente pequeña, en rayos que llegan al colector con una dispersión angular mayor.

En este sentido, un concentrador puede ser considerado como una fuente secundaria con una

extensión angular mayor que la de la fuente original.

Este capítulo analiza un sistema concentrador bidimensional de dos etapas, iluminado

por una fuente extensa, colocada en el infinito, de extensión angular α± , cuando la primera

etapa está constituida por una lente lineal de Fresnel de forma arbitraria, que satisface la

condición de hacer incidir en el colector todos los rayos que, procedentes de dicha fuente,

lleguen a su entrada. Un concentrador de una sola etapa, constituida por la lente, es también

analizado, sin más que situar directamente el receptor en la entrada de la segunda etapa.

Supondremos que la segunda etapa, del concentrador de dos etapas, considera a la primera

como una fuente de Lambert(23-24) (recordemos que una fuente de Lambert es aquella que radia

uniformemente por todos sus puntos) y que está diseñada de tal forma que los rayos emitidos por

dicha fuente que lleguen a su entrada alcancen el receptor y que la étendue (también llamada

invariante de Lagrange) se conserve dentro de e l l a ( 2 5 ) . El máximo de concentración del sistema

de dos etapas se obtiene, entonces, cuando sobre el receptor inciden rayos en todas las

direcciones(25), es decir, con una dispersión angular π± .

En estas condiciones, la étendue en el colector es

( )1.22 IIPE =

donde P es el perímetro óptico del receptor y, si hacemos unidad la dimensión de la entrada de la

segunda etapa la concentración geométrica de esta etapa es

21

( )2.21

22 II

EPC ==

También supondremos que las dimensiones de los dientes de la lente de Fresnel son muy

pequeñas frente a las dimensiones del receptor.

Hemos limitado este análisis a lentes de Fresnel con un plano de simetría que atraviese

perpendicularmente el centro de la entrada de la segunda etapa y con los dientes enfrentados a el la , por

considerar que son las únicas que tienen interés práctico.

II.2. DEFINICIÓN DE PARÁMETROS BÁSICOS.

Vamos a considerar (Fig. II.1) un concentrador de dos etapas, cuya primera etapa esté constituida

por una lente l ineal de Fresnel, simétrica con respecto al plano que intercepta perpendicularmente al centro

de la entrada de la segunda etapa, y que cumple la condición de que el plano tangente a su superficie en los

extremos de la lente forma, con el plano de la entrada de la segunda etapa, un ángulo φ . Para que este

concentrador tenga un ángulo de aceptancia α, es decir, sea capaz de hacer inc id i r en el receptor todos los

rayos procedentes de una fuente de extensión angular α, es preciso que los dientes extremos de la lente estén

situados en unos puntos ( )ωρ,M y tengan un ángulo θ, tal que los rayos procedentes de los extremos de

la fuente sean refractados de manera que alcancen los bordes de la entrada de la segunda etapa. La Fig. II.2

muestra los lugares geométricos de estos puntos, correspondientes a algunos valores de φ y para un índice

de refracción n = 1,42 (el cálculo de estos lugares geométricos está detallado en el Apéndice A).

Definimos el concentrador óptimo, en general, como aquel que es capaz de proporcionar la mayor

concentración posible para un ángulo de aceptancia determinado. Esta concentración, a la que también

llamamos concentración termodinámica, viene dada por(25-27)

[ ]3.sin

1 IICTH α=

22

Si hacemos unidad la entrada de la segunda etapa, la concentración geométrica de la primera etapa

es

( )4.''cos''21 IIC ωρ=

donde los parámetros geométricos están definidos en la Fig. II.1.

La étendue en la entrada de la segunda etapa puede calcularse utilizando el método propuesto por

Winston y Welford(28)

( ) ( )5.'22 IIE ρρ −=

La concentración geométrica total de las dos etapas se calcula haciendo uso de

las ecuaciones I I . 2, I I . 4 y I I . 5 y resulta

( ) ( )6.'1''cos''221 IICCCT ρρ

ωρ−

=×=

El cociente es representativo de la diferencia entre el concentrador óptimo y el THT CC /

concentrador de dos etapas de igual ángulo de aceptancia y, por ello, lo utilizaremos como medida de la

cal idad termodinámica de este último.

Es interesante observar que la ecuación II.6 depende exclusivamente de parámetros geométricos y

que ha sido obtenida s in tener en cuenta la naturaleza de la primera etapa. Así pues, la ecuación

( )7.1/ IICC THT =

define el lugar geométrico de los puntos en los que debe apoyarse la primera etapa, sea lente o no, de un

concentrador de dos etapas para que sea ideal. La Fig. II.3 muestra estos lugares geométricos para algunos

valores de α. Vemos que la primera etapa se hace más ancha conforme aumenta α, y que cuando la primera

etapa se diseña con y=0, el límite óptimo se consigue sin segunda etapa.

A. Luque y J.M. Gómez Agost(29) han demostrado que la étendue máxima posible sobre la entrada

de la segunda etapa se consigue si, como estamos suponiendo aquí, la primera etapa es una fuente de

23

Lambert. Esto quiere decir que las curvas de la Fig. II.3 delimitan la región del espacio, donde, en

principio, debería encontrarse un dispositivo óptico que convirtiera una fuente extensa, situada en el

infini to y limitada a α± , en una fuente de Lambert finita.

II.3. ANÁLISIS DE LAS POSIBLES CONFIGURACIONES.

Atendiendo únicamente a la forma de la lente de Fresnel que incorporen, cabe imaginarse tres tipos

posibles de concentradores:

II.3.a. Concentradores con lente plana.

Una lente plana situada a una distancia FA de la entrada de la segunda etapa (Fig. II.2) ha de apoyar

sus extremos en los puntos A y A' de la curva correspondiente a 0=φ .

Utilizando los programas detallados en el Apéndice A, hemos estudiado la variación de los

cocientes y C , en función de la luminosidad D de la lente ( ), u t i l izando THCC /1 THT C/ AFAAD /'=

como parámetros n y α. En las Figs. II.4(a) y II.4(b) hemos representado los resultados correspondientes a

1=α y , respectivamente. Vemos que cuanto menor es D mayor es el cociente C y por 42,1=n THT C/

lo tanto, mayor la concentración alcanzable con las dos etapas; no obstante, valores de D muy pequeños no

tienen, normalmente, interés práctico debido al excesivo tamaño que llega a tener la segunda etapa. Fijado

un valor de D, el concentrador de dos etapas se aproxima tanto más al concentrador óptimo cuanto mayor es

el índice de refracción. Fijado un valor de n, existe un valor de D al que corresponde el máximo de

concentrador de la primera etapa, a partir del cual disminuye la concentración del sistema de dos etapas sin

aumentar, por ello, la concentración de la primera etapa; por lo tanto valores de D superiores a este no

ofrecen interés para sistemas de dos etapas; por el contrario, si no se u t i l i za segunda etapa, razones de

empaquetamiento pueden aconsejar valores de D iguales o superiores al señalado. Por último, tanto

THCC /1 son poco sensibles a las variaciones de α, aunque aumenten cuando lo hace α.

II.3.b. Concentradores con lentes-tejado.

24

Una forma de aumentar la concentración de una lente plana de Fresnel, para una apertura y un

ángulo de aceptancia determinados, consiste en ut i l izar lentes-tejado(30), compuestas por dos mitades

planas que forman con la horizontal un ángulo φ . Resulta claro que una lente así, de ángulo 1φ , ha de

apoyar sus extremos en puntos como los BB1 y B’1, o B2 y B’2, de la curva correspondiente a 1φ de la Fig.

II.2 y de tal forma que la totalidad, de la lente esté dentro de la zona limitada por dicha curva; lentes como la

que apoya sus extremos en B3 y B’3 no están permitidas, porque no todos los rayos que llegan a la lente

procedentes de la fuente, alcanzan la entrada de la segunda etapa.

La Fig. II.5, muestra la variación de los cocientes y en función de D (definida THCC /1 THT CC /

ahora como BfBBD /'= ) para º30=φ y 42,1=n ; la línea de puntos corresponde a las lentes no

permitidas, antes señaladas. Puede observarse que, para cualquier D, estos cocientes son mayores que los

correspondientes a la lente plana del mismo n, lo que indica la mejora introducida en el sistema. El

concentrador de dos etapas más próximo al concentrador óptimo resulta ser el correspondiente a la lente (B1

B’1) que apoya su vértice en el punto P, situado a una distancia, del centro de la entrada de la segunda etapa,

igual a ( )αtg21 . En la Fig. II.6 hemos representado, para este concentrador, , y D en THCC /1 THT CC /

función de φ . Vemos que existe un valor deφ a partir del cual el concentrador, tanto si está constituido por

una como por dos etapas, pierde interés práctico.

Por lo demás, los comentarios hechos para los concentradores con lentes planas mantienen aquí su

validez, decrece cuando aumenta D. Dado n, existe un valor de D al que corresponde un máximo THT CC /

de . Dado D, y , aumentan con α y con n. THCC /1 THCC /1 THT CC /

II.3.c. Concentradores con lentes óptimamente curvadas.

El método descrito anteriormente para las lentes tejado se puede extender a lentes compuestas por

varios segmentos (por ejemplo la S1 S2 S3 S’3 S’2 S’1 de la Fig. II.2) y el resultado es que, conforme aumenta

el número de sectores que componen la lente, aumenta y . Así pues, el mejor sistema de THT CC / THCC /1

dos etapas posible es el que utiliza una lente compuesta por un número infinito de lados, es decir, una

lente óptimamente curvada que, además, resulta ser la lente de mayor concentración posible.

25

En el Apéndice B se describe el procedimiento utilizado para calcular el perfil de esta lente. En las

Figs. II.7 y II.8 respectivamente, hemos representado algunos de estos perfiles, y los cocientes y THCC /1

THT CC / correspondientes. Puede observarse que el concentrador, tanto si es de una como de dos etapas,

se aproxima al concentrador óptimo cuando aumenta n, de forma que para ∞=n , el perfil de la lente

coincide con el lugar geométrico de los puntos en los que debe apoyarse, independientemente de su

naturaleza, la primera etapa de un concentrador de dos etapas, para que dicho concentrador sea óptimo

(véase la Fig. II.3 y el apartado II.2). Esto quiere decir que una lente óptimamente curvada con = ∞n

simula una fuente de Lambert. También es interesante señalar que una lente curva de y que llegue ∞=n

hasta y=0 es, por si sola, un concentrador óptimo.

Por otro lado, para un n fijo, tanto el concentrador de una etapa como el de dos etapas son más

próximos al concentrador ideal cuanto mayor es α. Estos resultados coinciden con los reportados por

Kritchman(31-32) para lentes de alta concentración.

II.4. EL EFECTO DE LA ABERRACIÓN CROMATICA,

En los sistemas de concentración que ut i l izan lentes de Fresnel la distancia, medida en el plano del

receptor, entre los rayos rojo y violeta que proceden de un mismo rayo de luz blanca, puede llegar a ser del

orden de la dimensión del receptor. El lo da idea de la importancia de tener en cuenta este tipo de efectos a

la hora de diseñar estos sistemas, como han hecho algunos autores(9)(10)(11)(33)(34). En este apartado se

describe un método para tener en cuenta la aberración cromática y se definen unos parámetros que

permiten cuantificar la degradación de un concentrador, a causa de esta aberración.

Vamos a considerar (Fig. II.9), como en el caso anterior, un concentrador de dos etapas cuya

primera etapa esté constituida por un material cuyo índice de refracción es función de la longitud de onda,

simétrica con respecto al plano que intercepta perpendicularmente al centro de la entrada de la segunda

etapa y que cumple la condición de que el plano tangente a su superficie en los extremos de la lente forma,

con el plano de la entrada de la segunda etapa, un ánguloφ . Para que este concentrador tenga un ángulo de

aceptancia α, es preciso que los dientes extremos de la lente estén situados en unos puntos ( )ωρ,M y

tengan un ángulo θ tal que los rayos extremos 1 y 2 de la fuente sean refractados de manera que los rayos

26

violeta 1V y rojo 2R, correspondientes, alcancen los bordes de la entrada de la segunda etapa. El efecto de

la aberración cromática se tiene en cuenta utilizando, en las expresiones relacionadas con estos rayos, los

índices de refracción n V y n R correspondientes a sus respectivas longitudes de onda. En los Apéndices A y

B se detalla este proceso.

Para evaluar los efectos de la aberración cromática, así como para conocer la importancia de

considerar esta aberración a la hora de diseñar un concentrador, hemos definido los parámetros

( ) ( )( ) ( )8.

1

111 II

CCC

NA

ANA −=Δ

y

( ) ( )( ) ( )9.IIC

CC

NAT

ATNATT

−=Δ

donde el subíndice A hace referencia a una lente en cuyo diseño se ha tenido en cuenta la aberración

cromática, usando dos índices de refracción diferentes n R y nV. El subíndice NA se refiere a otra lente cuyo

diseño ha sido hecho, sin tener en cuenta esta aberración, usando un único índice de refracción

( )10.2

IInn

n RV +=

Estos parámetros son representativos de la degradación de la calidad termodinámica del

concentrador, debida a esta aberración. Por ello, valores altos de los mismos indican que debe de ser tenida

en cuenta a la hora de realizar un diseño.

Utilizando las expresiones deducidas en los Apéndices A y B, hemos estudiado el lugar

geométrico de los puntos en los que ha de apoyarse la lente de Fresnel para que el concentrador

correspondiente, sea de una o de dos etapas, tenga un ángulo de apertura prefijado. Este estudio ha sido

realizado teniendo y sin tener en cuenta la aberración cromática y para los casos de una lente plana, una

lente tejado y una lente curva (en este último caso, el perfil de la lente coincide con el lugar geométrico y

su c á l c u l o puede verse en el Apéndice B). Asimismo, hemos estudiado la variación de los parámetros

27

THCC /1 , , e con la luminosidad D de la lente y el ángulo de aceptancia α. THT CC / 1Δ TΔ

Hemos utilizado los índices de refracción correspondientes a la silicona empleada en las lentes

híbridas que hemos construido (ver capítulo V), n = 1,42, cuando no consideramos aberración cromática y

nR= 1,4172 y nV = 1,4306 en caso contrario. Hemos variado α entre 0,26 (valor correspondiente al

semiángulo con el que es visto el disco solar desde la superficie de la tierra) hasta 5º (valor a partir del cual

los efectos de la aberración cromática se hacen prácticamente inapreciables).

Los resultados obtenidos se muestran en las Figs. II.10(a), II.10(b), II.10(c), II.11(a), II.11(b),

II.11(c), II.12(a), II.12(b) y II.12(c). Es interesante resaltar algunas conclusiones:

a) Ni los lugares geométricos mencionados ni los parámetros y (líneas THCC /1 THT CC /

continuas en las Figs. II.10(a), II.10(b), II.11(a), II.11(b), II.12(a) y II.12(b)) muestran variaciones

apreciables con α cuando no se tiene en cuenta la aberración cromática. Sin embargo, si ésta es tenida en

cuenta (líneas discontinuas en las mismas figuras) las variaciones observadas son muy importantes.

b) Los efectos de la aberración cromática son similares para los tres tipos de lentes estudiadas.

c) Los parámetros e resultan ser, muy aproximadamente, iguales en todos los casos. Por 1Δ TΔ

esta razón, les hemos llamado en las Figs. II.10(c), II.11(c) y II.12(c). Δ

d) Los parámetros e siguen, con respecto a α, una ley hiperbólica llegando a valer 0,6 para 1Δ TΔ

α = 0,26. Esto da cuenta de la gran importancia de considerar la aberración cromática a la hora de diseñar

sistemas de alta concentración. Por el contrario, para α > 5º Δ es despreciable y, por lo tanto, no es

necesario inc lui r esta complejidad en los modelos cuando se diseñan sistemas de media o baja

concentración.

e) e aumentan rápidamente con D para pequeños valores de éste. Por el contrario se 1Δ TΔ

mantienen razonablemente constantes para valores grandes de D.

28

II.5. EL EFECTO DE LOS RAYOS NO MERIDIANOS.

En este capítulo y hasta este momento, hemos estudiado exclusivamente sistemas concentradores

bidimensionales. Tanto el método de anál is i s como, en general, los resultados obtenidos son generalizables

para sistema tridimensional con la precaución de tener en cuenta el efecto de "desenfoque" que se produce, si

se utilizan lentes de Fresnel, cuando los rayos inciden en la superficie del concentrador con un cierto ángulo

con respecto al plano de referencia del sistema bidimensional (plano del papel en la Fig. II.1). Este efecto

está representado en la Fig. II.13 en la que puede verse como en un sistema concentrador simétrico con

respecto al plano x=0, dos rayos 1 y 2 incidiendo con igual ángulo Pα con respecto al plano de simetría

pero con diferente ángulo Mα con respecto al plano Z=0, interceptan al plano del receptor en puntos P1 y P2

situados a diferente distancia del plano X=0. Si el sistema concentrador no es simétrico con respecto al

plano X=0 -por ejemplo, una lente de Fresnel con dientes circulares- este efecto es doble ya que además del

desenfoque ( ) en el sentido del eje X, aparece otro (23 XX ≠ 3Z 2Z≠ ) en el sentido del eje Z.

Para cuantificar de alguna forma este efecto, cuya consideración es, evidentemente, de suma

importancia en sistemas con seguimiento en un solo eje, hemos uti l izado un procedimiento consistente en

estudiar, para un concentrador con una luminosidad D y ángulos del diente extremoφ y extφ prefijados, la

variación d e Pα -definido ahora como el ángulo de aceptancia en el plano X=0- con Mα , utilizando como

parámetro la concentración. Para ello hemos estudiado (véase el Apéndice C), para varios valores de Pα y

Mα , el punto donde un rayo refractado por el diente extremo de la lente alcanza al plano del receptor. La

distancia desde este punto al plano X=0, en el caso de una lente lineal, o a la recta X=Y=0, en el caso de una

lente circular, determina la máxima concentración alcanzable por el sistema. En las Figs. II.14 y II.15 hemos

representado esta variación para una lente lineal y una lente circular, respectivamente, definida por los

siguientes valores: n = 1,52, D = 1,25, φ = 30° y extφ = 4,38. Los resultados son cualitativamente

similares para cualquier otra lente y algunas observaciones resultan de interés:

a) En los sistemas que uti l izan lentes circulares a decrece muy rápidamente cuando aumenta Mα .

Este resultado era de esperar y está en consonancia con la práctica usual de ut i l izar seguimiento en dos ejes

para este tipo de sistemas.

29

b) En los sistemas que incorporan lentes l ineales el decrecimiento de Pα es muy suave hasta

un cierto valor de Mα , ( ≤Mα 20° en el caso representado) a partir de la cual se hace muy acusado.

c) Cuanto mayor es la concentración, menor es el valor de Mα para el que el concentrador pierde

necesariamente energía ( Pα = 0). Esto debe ser tenido muy en cuenta cuando se piense en las lentes de

Fresnel para sistemas lineales de concentración con seguimiento en un solo eje.

Estos resultados coinciden sustancialmente con los reportados por otros autores(5, 30, 35) aun

cuando hayan ut i l izado otros procedimientos para cuantificar este efecto.

II.6. COMPARACIÓN DE LENTES DE FRESNEL Y ESPEJOS PARABÓLICOS PARA SU USO COMO

CONCENTRADORES DE ENERGÍA SOLAR.

II.6.a. Consideraciones previas.

Es preciso señalar que una comparación entre varios concentradores que tenga como objetivo

decidir categóricamente cual es el mejor de ellos, no puede hacerse sin considerar las características de la

aplicación concreta en la que vayan a ser utilizados. Por otro lado, es necesario tener en cuenta

multitud de factores, tanto teóricos (relación entre la concentración y el ángulo de apertura, etc.)

como tecnológicos (durabilidad, facilidad de instalación, etc.) lo que hace inútil cualquier intento

de generalización.

No obstante, un parámetro importante en el diseño de cualquier concentrador es su

luminosidad ya que, en general, los concentradores con mayor luminosidad son más compactos y

como consecuencia, tanto la estructura de soporte como el mecanismo de seguimiento que

necesitan resultan más baratos. Por ello, en este apartado vamos a comparar la concentración

alcanzable en concentradores de una y de dos etapas cuando la primera etapa es un espejo

parabólico o una lente de Fresnel (plana, de tejado u óptimamente curvada) en función de la

luminosidad del concentrador.

Para ello necesitamos introducir el concepto de concentración óptica C0 de un

concentrador, definida como la relación entre las potencias recibidas por el receptor cuando está

30

situado dentro del concentrador, supuesto éste sin pérdidas, y cuando está situado fuera del

concentrador en la posición en que recibe la máxima potencia. Si el concentrador es simétrico,

como ocurre con las lentes de Fresnel, la concentración óptica coincide con la concentración

geométrica C y es simplemente:

( )11.'00'

0 IIAACC ==

Si el concentrador es asimétrico, como ocurre con los espejos parabólicos

( ) ( )12.cos0 IICC βα +⋅=

donde los parámetros geométricos 'AA , '00 y β, así como la luminosidad D de los

concentradores, están definidos en la Fig. II.16. El factor ( )α β+cos tiene en cuenta que la

orientación en la que el colector recibe más energía cuando está situado fuera del concentrador no

es la de AA’ sino la posición normal a la bisectriz del ángulo 2α.

El l ímite termodinámico CTH definido en la ecuación II.3 es realmente un l ímite para la

concentración óptica(25-27). Este valor sólo puede ser alcanzado cuando la iluminación en el colector es

isotrópica y esto no puede conseguirse con un concentrador constituido por un simple espejo parabólico(24)

diseñado para reflejar todos los rayos en el receptor o una lente de Fresnel de igual diseño -salvo el caso de

una lente curva con un índice de refracción infinito-, como hemos visto en el apartado II.3 de este mismo

capitulo; por lo tanto, con este tipo de concentradores la concentración óptica alcanzable es inferior a CTH.

Un procedimiento para aumentar esta concentración, consiste en añadir al concentrador una segunda etapa

diseñada de tal forma que, considerando la primera etapa como una fuente de Lambert, la étendue se

conserve dentro de e l l a y la iluminación en el colector resulte isotrópica(26).

Por último hay que señalar que, tal como la hemos definido, valores muy altos de luminosidad no

suponen necesariamente concentradores muy compactos, esto resulta evidente si pensamos en la forma de

una lente-curva o una lente-tejado de elevado φ .

II.6.b. Procedimiento.

Para que un concentrador envié todos los rayos procedentes de una fuente de extensión angular a α

31

un colector dado (o a la entrada de una segunda etapa concentradora) es preciso que todo el se encuentre

situado dentro de la región del espacio delimitado por el lugar geométrico de los puntos que tienen la

propiedad de que los rayos que l legan a ellos procedentes de los extremos de la fuente alcanzan, después de

ser reflejados o refractados, los bordes del receptor. Si el concentrador es un espejo este lugar geométrico es

un círculo. Si el concentrador es una lente de Fresnel, este lugar geométrico depende de la forma de la lente

y del índice de refracción y ha sido detalladamente analizado en el apartado II.3. En la Fig. II.17 hemos

superpuesto estos lugares geométricos para los casos de una lente plana, una lente tejado de φ = 30°, una

lente-tejado de φ = 50° -este valor es justamente el que permite alcanzar el máximo de concentración de

primera etapa, cuando está constituida por una lente-tejado-, una lente óptimamente curvada y un espejo

parabólico. En cualquiera de estos cuatro casos, el concentrador queda perfectamente definido cuando se e l igen los puntos A

y A' (Véase la Fig. II.16) en los que apoya sus extremos y que deben encontrarse en los lugares geométricos antes

mencionados. Las líneas de puntos de la Fig. II.17 dan lugar a lentes no permitidas porque (véase el apartado II.3b) parte de

su perfil está fuera de la zona del espacio delimitada por dichos lugares geométricos y en consecuencia, no todos los rayos

que llegan a la lente formando con la vertical un ángulo α≤ , son refractados hacia el colector. Además, la elección de los

puntos A y A' en los que se apoya el concentrador, define unívocamente la luminosidad D y la concentración óptica CO1 del

mismo (o concentración óptica de la primera etapa). Hemos obtenido, mediante simples consideraciones geométricas los

valores de ambos parámetros -véase el apéndice A y la referencia 24- y en la Fig. II.18 hemos representado CO1, normalizado

con respecto a CTH, en función de D.

Como hemos señalado repetidamente, podemos aumentar la concentración óptica del concentrador añadiendo una

segunda etapa diseñada para que todos los rayos procedentes de la primera etapa, considerada como una fuente de Lambert,

lleguen al colector y de tal forma que la iluminación en el sea isotrópica. En estas condiciones la étendue en la entrada de 2E

la segunda etapa es(28)

( )13.'0'00''02 IIAAAAE −−+=

y la concentración óptica C02 de la segunda etapa resulta

( )14.'002'002'00

202 II

EEPC

C

===

estando y P definidos por la ecuación II.1. CE

32

La concentración óptica C0T del concentrador de dos etapas viene dada por

( )15.02010 IICCC T ×=

Este valor, en función de D y normalizado con respecto a CTH también ha sido representado en la

Fig. II.18.

Todos los cálculos han sido hechos para α = Io y n = 1,52. Los resultados son muy parecidos para

cualquier otro ángulo inferior a 10°. Las concentraciones aumentan lentamente cuando aumenta n (Véase el

apartado II.3).

II.6.c. Discusión y conclusiones.

De la observación de la Fig. II.18 pueden extraerse las siguientes conclusiones:

a) En concentradores de dos etapas, C0T alcanza el límite termodinámico para D=0 y va

disminuyendo conforme aumenta D. Por otro lado, para una luminosidad dada, la concentración óptica

alcanzable utilizando un espejo como primera etapa es mayor que cuando se ut i l iza una lente plano o una

lente tejado pero menor que cuando se uti l iza una lente óptimamente curvada.

b) En concentradores de una sola etapa constituida por un espejo, una lente plana o una lente

tejado existe un valor de D al que corresponde un máximo de C01. Este máximo es mayor con un espejo

que con cualquier lente si exceptuamos la lente tejado de 50°. En este último caso la ganancia alcanzable es

sensiblemente igual , pero una lente-tejado de 50° resulta mucho menos compacta que un espejo. Por otro

lado, para una misma luminosidad la concentración óptica alcanzable cuando se u t i l i za un espejo es

mayor que cuando se ut i l iza una lente-tejado y ésta, a su vez, mayor que cuando se ut i l iza una lente

plana.

Si el concentrador de una sola etapa está constituido por una lente óptimamente curvada C01 es

superior al caso de un espejo, para todos los valores de D. El máximo antes mencionado es sensiblemente

33

mayor que en el caso de un espejo y aparece para valores muy grandes de D, de manera que la lente

correspondiente rodea prácticamente al colector y hace innecesario el uso de una segunda etapa.

c) En los concentradores de una sola etapa, es conveniente utilizar valores de D superiores al

correspondiente al máximo de C01 ya que, alrededor de este punto, C01 varia lentamente con D con lo que

ligeras disminuciones de C01 se traducen en aumentos de capacidad muy apreciables.

d) En concentradores de dos etapas la concentración óptica alcanzable es mayor cuanto menor es

D; no obstante, valores de D muy pequeños no tienen, normalmente, interés práctico debido a que

conllevan segundas etapas de gran concentración y por lo tanto, de excesivo tamaño. Un buen diseño debe

perseguir una segunda etapa de baja concentración y consecuentemente una D próxima a la

correspondiente al máximo de C01. También aquí, pueden ser conveniente valores de D desviados de éste.

Si la desviación se realiza hacia valores de D mayores se obtendrán concentradores más compactos pero

con menor C0T. Si la desviación se realiza hacia valores de D menores se obtendrán concentradores menos

compactos pero con mayor C0T.

Como puede observarse, parte de estas conclusiones ya habían sido señaladas en el apartado II.3.

No obstante, hemos juzgado oportuna su repetición en aras de una mayor coherencia de este apartado.

II.7. CONCLUSIONES SOBRE LENTES DE FRESNEL.

En este capítulo hemos demostrado que una lente de Fresnel ideal, salvo el irrealizable caso de una

lente curva con n , no permite alcanzar valores de concentración iguales al límite termodinámico, ni ∞=

aún en el caso de ut i l izar una segunda etapa, puesto que ha de apoyar sus extremos en unos determinados

puntos del plano comprendidos en la zona más interior de las dos zonas en las que, para cada valor de α y

según el teorema explicado en el Capítulo I, la ecuación (I.9) d iv ide al plano. Ahora bien, en dicha zona

no puede encontrarse ningún concentrador lambertiano y, por otro lado, sólo este tipo de concentradores

permite alcanzar el límite de concentración. La conclusión es obvia: "Una lente de Fresnel ideal no puede

ser un concentrador óptimo, porque no es lambertiana".

34

Si pensamos que por definición, una fuente de Lambert hace que todos los puntos de la entrada de

la segunda etapa estén iluminados por todos los puntos de la fuente y además, con la misma intensidad,

resulta fácil comprender el porqué una lente de Fresnel no es una fuente de Lambert, puesto que si la fuente

es plana o de tejido no todos los puntos de la entrada de la segunda etapa están iluminados por todos los

puntos de la primera etapa y si la lente es curva, la no lineal i dad de la ley de refracción hace que si bien

todos los puntos de la primera etapa iluminan a todos los puntos de la entrada de la segunda etapa, no lo

hacen con la misma intensidad. Esta situación está reflejada en la Fig. II.19. En efecto, si la lente es plana o

tejado, un punto tal como el A está iluminado solo por algunos puntos de la lente y si la lente es curva,

puntos como los B y C son iluminados por un mismo punto de la lente con diferente intensidad.

II.8. UNA NUEVA POSIBILIDAD: LAS LENTES DE FRESNEL NO IDEALES.

Como ya comentábamos en el Capítulo I, los concentradores que hacen el mejor uso posible del

área del colector son aquellos que, aún a costa de perder parte de la potencia que l lega a su apertura de

entrada, resultan vistos por el colector como si fuesen fuentes de Lambert.

En este sentido, sería de gran interés el estudio de las lentes de Fresnel que apoyasen sus extremos

en zonas tales como la rayada de la Fig. II.20. En esta figura, la curva es el lugar geométrico de los puntos

en los que debe apoyarse una lente tejado de ángulo φ y el valor del ángulo está relacionado con el iA

problema de la reflexión total por ángulo límite. Es obvio que dichas lentes pierden rayos pero que, a

cambio, ganan en lambertianeidad. Un posible esquema de trabajo se estudia para estas lentes como varían,

en función de la luminancia, la concentración óptica y la concentración geométrica de las mismas.

35

CAPÍTULO III

ANÁLISIS DE LA ILUMINACIÓN RECIBIDA POR EL RECEPTOR

III.1. INTRODUCCIÓN.

En este Capítulo se presenta un modelo matemático que permite conocer, con mucho detalle, las

características de la iluminación que proyecta una lente de Fresnel sobre una zona receptora. Este modelo,

relativamente complejo, tiene en cuenta la dependencia del índice de refracción con la longitud de onda, la

respuesta espectral del receptor, la distribución espectral de la energía procedente del sol y el tamaño

finito de este.

Su ut i l idad es doble en cuanto que, como hace el capítulo siguiente, puede ser utilizado "a priori"

para fines de diseño, o "a posteriori" para estudiar la iluminación debida a diseños que se hayan realizado

atendiendo a otros principios.

III.2. DEFINICIÓN DE LA LENTE IDEAL DE FRESNEL.

El modelo analizado ut i l iza una lente ideal de Fresnel que hace ciertas las siguientes

suposiciones:

- La lente no tiene defectos de fabricación.

- La difracción debida al borde de los dientes es despreciable.

- Las pérdidas ocurren únicamente por reflexión y absorción.

- El sol es un disco que radia uniformemente por todos sus puntos y que se ve desde la tierra

bajo un ángulo de 32'.

- La lente está perfectamente apuntada al sol.

- La parte de luz que alcanza los flancos verticales de los dientes es despreciable.

- Las dimensiones de los dientes y el espesor de la lente son muy pequeñas comparadas con la

distancia focal y con las dimensiones del receptor.

- La lente circular (lineal) es simétrica con respecto al eje (plano) que atraviesa

perpendicularmente el centro del receptor.

- La densidad de energía incidente, el índice de refracción del material de la lente y la respuesta del receptor son

66

función de la longitud de onda.

III.3. DISCRETIZACION DEL ESPECTRO SOLAR.

La irradiancia global de la fuente solar G, definida como la energía por unidad de área y por unidad de tiempo

(W ) es: 2/ m

( ) ( )1.0

IIIdhG λλ∫∞

=

( )12/ −⋅ λλ mW( )λhdonde es la densidad espectral de irradiancia correspondiente a la longitud de onda .

( )λhSi suponemos que permanece constante para pequeños intervalos de λ , podemos escribir

( ) ( )2.IIIhGGj j

jjj∑ ∑ Δ== λ

y definiendo

( )3.IIIGWG jj =

resulta ser un factor de peso tal que jW

( ) ( )( ) ( )4.III

hh

Gh

W

jjj

jjjjj ∑ Δ

Δ=

Δ=

λλλ

es evidente que

( )5.1 IIIW jj

=∑

Con esta aproximación, conseguimos discretizar la dependencia de la radiación solar con la longitud de onda,

facilitando enormemente el cálculo.

En la Tabla III.1 pueden verse los valores de que hemos utilizado y que jW

pueden calcularse fácilmente a partir de los datos de Parry Moon(36) para una

67

iluminación AM1.

68

III.4. PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN.

Las pérdidas de transmisión se deben a la absorción en el cuerpo de la lente y a las reflexiones en

las dos superficies de la misma. Estas últimas pueden calcularse utilizando la fórmula de Fresnel. Cuando

se utiliza la lente como concentrador solar, los rayos procedentes del extremo del disco solar llegan

formando un ángulo de 16' con los rayos que inciden normalmente. La pequeñez de este ángulo permite

utilizar, sin cometer un error apreciable, únicamente la transmitancia para incidencia normal.

Así pues, la transmitancia para un diente determinado se obtiene como el producto de las

transmitancias de Fresnel y debidas a las superficies de la lente, por la transmitancia del cuerpo 1τ 2τ aτ

de la misma.

Refiriéndonos al diente de la Fig. III.1

( )6.21 IIIa ττττ ⋅⋅=

donde

( )( )7.

14

21 IIIn

n+

=τ

( ) ( )( ) ( )8.

2sincossin2sincos1

2

2

2 IIIθββ

θβθβτ+

+⋅⋅+=

( )( ) ( )9.sinsin IIInarca θθτ −=

III.5. IRRADIANCIA DEBIDA A UN DIENTE i Y A UNA LONGITUD DE ONDA . jλ

Supongamos que un diente i (Fig. III.2), de ángulo , es atravesado por una energía que se iEiθ

distribuye sobre la superficie del receptor entre los puntos X y X1 2. Si, como nuestro modelo supone, el

sol es un disco que radia uniformemente por todos sus puntos, en la superficie iluminada por este diente

la densidad de energía por ángulo es constante.

69

Es evidente que

( )10.IIIGAE ijjiLi τ⋅⋅=

donde es el área de la lente correspondiente al diente i y la transmitividad del diente i para la iLA ijτ

longitud de onda j.

( )xI ijLa irradiancia sobre un dx correspondiente a un θd es

( ) ( )11.IIIAdDxI

Rij

θ⋅=

donde AR representa el área de receptor correspondiente al dx y D es la densidad angular de energía

( ) ( )12.12

IIIE

D i

θθ −=

Si se trata de una lente lineal

( )13.IIIdx

yAA

R

iL Δ=

donde A es la anchura del diente i. Por otro lado es fácil ver que y

( )14.cos

22 IIIxf

frdx

d x

+==

θθ

Con lo que

( ) ( ) ( )15.2212

IIIxf

fyGxI ijj

ij +⋅

−

⋅Δ⋅=

θθτ

Si los dientes de la lente son circulares

( )16.IIIdx

yxy

AA

R

iL Δ⋅=

con lo que

70

( ) ( ) ( )17.2212

IIIxf

fxyyG

xI ijjij +

⋅⋅−

⋅Δ⋅=

θθτ

Puede observarse que, como era de esperar y al contrario de lo que ocurre cuando los dientes son

lineales, en este caso no se pierde la información sobre la procedencia de los rayos.

Para el cálculo de los puntos X1 y X2 fijémonos en la Fig. III.3

( )18.21 IIIpyyX −Δ

−=

( )19.221 IIImyyX −Δ

+=

donde

( ) Ci tgytgfp γθΔ−=

aftgm γ=

y, teniendo en cuenta la ley de Snell

( )( ) ( )20.'sinarcsin IIIn iia θαθγ −−=

( )( ) ( )21.'sinarcsin IIIn iiC θαθγ −+=

( )22.sin1arcsin' IIIn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= αα

III.6. IRRADIANCIA TOTAL EN LA SUPERFICIE RECEPTORA.

El perfil de irradiancia en la superficie receptora se calcula, en cada uno de sus puntos, sumando la

contribución de cada diente y de cada longitud de onda, es decir

( ) ( ) ( )23.IIIxIxIi j

ij∑∑=

71

La transmitividad total de la lente es la relación entre las energías entrante y saliente

( )24.IIIAG

AG

j iiLj

j iiLijj

∑ ∑∑ ∑

=τ

τ

III.7. CORRIENTE GENERADA EN LA SUPERFICIE DE UNA CÉLULA SOLAR.

Todo lo expuesto anteriormente para la irradiancia es repetible para la generación de portadores sin

más que mul t ip l i car por , siendo un factor de peso (expresado en mA/mW) que tiene en cuenta jG jn jn

la eficiencia cuántica de la célula a cada longitud de onda.

Este puede incluir, si se desea, la reflexión de la luz en la superficie de la célula. De esta jn

manera, es posible tomar en consideración el efecto de las capas antirreflexivas, aunque en general la

tecnología de las capas antirreflexivas en células solares ha alcanzado un grado de desarrollo tal que la (38)reflexión y sus variaciones con la longitud de onda pueden ser ignoradas en una buena aproximación .

En el Apéndice D presentamos los l istados e instrucciones de manejo que sirven para calcular los

perfiles de irradiancia y generación.

III.8. LIMITACIONES DEL MODELO.

Para comprobar la exactitud de este modelo hemos comparado la iluminación simulada por el

modelo para una lente cuyos dientes tienen todos un ángulo de cero grados con la iluminación proyectada

por un cristal plano. Se el igió esta prueba inicial porque su resultado es perfectamente conocido y porque

facilita el estudio separado de cada una de las suposiciones de la simulación.

72

III.8.a. Modelo aplicado a lentes.

En este caso el modelo no ha planteado ningún problema y se ha revelado de una gran exactitud.

La Fig. III.4 muestra el perfil de irradiancia debido a un diente y a una longitud de onda supuesta

por este modelo.

(33)(37)Otros autores utilizan un modelo, vál ido únicamente para lentes lineales, que supone que

dicho perfil es un pulso. Aunque los programas no se presentan en esta memoria, hemos puesto a punto este

modelo y lo hemos comparado con el nuestro. Aunque dicha comparación no ha sido muy exhaustiva,

parece que ninguno de los dos métodos plantea limitaciones de cálculo, que los dos tienen análoga

precisión y que si los dientes de la lente son muy grandes este método exige un menor tiempo de ordenador

que el util izado por nosotros.

III.8.b. Modelo aplicado a lentes circulares.

El modelo supone que toda la energía que atraviesa una sección de un diente lo hace a través de un

único punto situado en el centro de la misma (Véase la Fig. III.2). Esto implica que, en ese punto, existe una

densidad de energía infinita que, desde luego, no se corresponde con la realidad. Como consecuencia, en los

puntos muy próximos al centro del receptor, aparece una irradiancia infinita que no es real.

La Fig. III.5 muestra el resultado que se obtuvo al calcular el perfil de irradiancia cuando la lente es

un cristal plano. El ancho de los dientes utilizado fue de 0,8 mm. El resultado es correcto para . mmX 3≥

III.9. COMENTARIO FINAL.

El modelo presentado en este capítulo, además de ser lo suficientemente claro como para permitir

una fácil comprensión del problema, se ha mostrado suficientemente preciso en los cálculos que se

presentan en la práctica. Por esta razón, hemos renunciado a i nc lu i r en el algunas posibles mejoras como,

por ejemplo, la no uniformidad de la radiación de los puntos del disco solar que hacen más largo el proceso

73

de cálculo sin ofrecer una contrapartida significativa, como hemos podido comprobar introduciendo en

él estas mejoras.

74

CAPÍTULO IV

DISEÑO DE LENTES DE FRESNEL PARA APLICACIONES FOTOVOLTAICAS

IV.1. PARÁMETROS Y OBJETIVOS DE DISEÑO.

De una manera general, los parámetros que el diseño de una lente de Fresnel debe de concretar

pueden dividirse en dos tipos: Parámetros tecnológicos que como su nombre indica, están ligados a la

tecnología adoptada para fabricar la lente y parámetros ópticos, ligados a las características de la

iluminación necesaria en cada aplicación en concreto. El primer grupo incluye el material y espesor de

la lente y el tamaño de los dientes. El segundo grupo incluye los ángulos de los dientes y la luminancia

de la lente.

En cuanto a los primeros sólo se puede generalizar que su elección ha de ser el resultado de un

compromiso entre características mecánicas y de coste, por un lado, y una alta eficiencia, por el otro. La

elección del material para la fabricación de las lentes se trata con cierto detalle en el siguiente capítulo

de este trabajo. El espesor de las lentes ha de ser suficiente para que, una vez montadas, mantengan su

forma y soporten sin romperse los fenómenos meteorológicos (viento, granizo, etc.) propios de la zona

donde vayan a ser instaladas; sin embargo, una vez satisfechos estos requisitos, razones de peso, coste y

transparencia abogan por los espesores pequeños. El paso del dentado, es decir, la distancia entre centros

de dientes consecutivos ha de ser suficientemente pequeño para que la cantidad de material y con ella el

coste de las lentes no sea elevada, pero ha de ser lo suficientemente grande como para que la pérdida

debida a la difracción en los bordes de los dientes resulte muy pequeña. Pasos de dentado comprendidos

entre 0,7 y 1 mm parecen ser las mejores soluciones de este compromiso.

En cuanto a los que hemos llamado parámetros ópticos y puesto que el objetivo más general de

cualquier sistema fotovoltaico es la maximización de la potencia generada, podría pensarse (ver

Capítulo II) que el objetivo del diseño ha de ser únicamente la maximización del ángulo de aceptancia

de las lentes, para una razón de concentración dada o viceversa. Sin embargo, la influencia que sobre el

rendimiento de las células solares puede tener la forma del perfil de iluminación hace que la

uniformidad de dicho perfil resulte muchas veces un objetivo interesante. Así pues, cabe hablar de dos

tipos diferentes de diseño que llamaremos "termodinámico" y "uniforme", respectivamente, según cual

sea el objetivo buscado.

81

IV.2. DISEÑO TERMODINÁMICO.

Del objetivo de diseño indicado en el apartado anterior se desprende que, en este caso, la lente

buscada es aquella que maximiza los cocientes o , definidos en el Capítulo II. En THT CC / THCC /1

ese capítulo hemos analizado, con todo detalle, el efecto que sobre dichos cocientes tiene la luminancia

de la lente; por esta razón aquí nos limitaremos a recordar las conclusiones más interesantes desde el

punto de vista del diseño (Fig. II.18):

a) En los sistemas de concentración de una sola etapa constituida por una lente plana o una

lente tejado, para un índice de refracción y un ángulo de tejado determinados, existe un valor de D al

que corresponde un máximo de (para n = 1,42 estos valores son D = 0,8 y = 0,24). THCC /1 THCC /1

Este será pues el valor óptimo de luminancia. Valores mayores pueden estar recomendados en algunas

ocasiones por razones de empaquetamiento de los sistemas. Valores menores no deben de utilizarse

en ningún caso.

b) En sistemas de concentración de dos etapas, constituidas la primera por una lente plana

o una lente tejado y la segunda por un concentrador ideal, el máximo se alcanza con D = 0, es THT CC /

decir, cuando no se usa lente. No obstante, este valor de D -en general todos los valores pequeños-

impone a la segunda etapa un tamaño tan grande que normalmente carece de interés práctico y que es

necesario reducir introduciendo una primera etapa, aún a costa de separarnos del óptimo de diseño.

Conforme crece el valor de D aumenta el alejamiento del óptimo pero, a cambio, se reduce el tamaño de

la segunda etapa. Esto ocurre hasta que se alcanza el valor de D al que corresponde el máximo de

concentración de la primera etapa, a partir del cual el sistema se aleja del ideal sin ganar nada a cambio.

Por tanto, este valor de luminancia nunca debe ser sobrepasado.

c) Tanto para sistemas de concentración de una como de dos etapas, las lentes tejado

constituyen un excelente método para aumentar, con respecto a las lentes planas, la concentración

alcanzable con la primera etapa, para una apertura y un ángulo de aceptancia determinados. Este

aumento es mayor cuanto mayor es el ángulo φ del tejado, hasta un valor que depende del índice de

refracción ( 50=φ para n = 1,42) que no debe de ser nunca sobrepasado. En contra del aumento de este

ángulo está el aumento de superficie de lente y por lo tanto de peso y de coste que implica. Valores de

φ comprendidos entre 20° y 30° parecen ser una buena solución de compromiso.

82

d) En sistemas de concentración de una etapa constituida por una lente óptimamente

curvada es posible alcanzar concentraciones bastante próximas a la del concentrador ideal

( = 0,8, para n = 1,42 y α = 5°) utilizando lentes que "envuelvan" completamente al receptor, THCC /1

es decir, lentes con . No obstante, luminancias mucho menores (∞→D 2≈D ) suponen un coste de

lente apreciablemente más pequeño y permiten obtener el 80% de la concentración alcanzable con

∞→D . Por ello, estos valores de luminancia son los más recomendables.

e) En los sistemas de concentración de dos etapas cuya primera etapa es una lente

óptimamente curvada el máximo se tiene, al igual que si la primera etapa es una lente plana o THT CC /

una lente tejado, con D = 0. Sin embargo, el precio, en términos de alejamiento del concentrador ideal,

pagado por la reducción del tamaño de la segunda etapa mediante el uso de una primera etapa es ahora

mucho menos elevado, por lo que valores relativamente grandes de D ( 2≈ ) son ahora aconsejables.

f) Si el sistema concentrador, tanto si está constituido por una sola etapa o por dos etapas,

tiene un ángulo de aceptancia pequeño (α < 5°) es necesario tener en cuenta la aberración cromática a

la hora de diseñar la lente. En estos casos es especialmente recomendable el uso de materiales poco

dispersivos, es decir, cuyo índice de refracción varíe muy poco con la longitud de onda.

g) Cuanto mayor es el índice de refracción del material utilizado para construir las

lentes, mayor es el acercamiento de la concentración geométrica a la concentración termodinámica;

pero, por otro lado, mayores son las pérdidas de reflexión en ambas caras de la lente. Valores de n

comprendidos entre 1,3 y 1,6 son una buena solución de compromiso.

En cuanto a los ángulos de los dientes, en los casos de una lente plana y una lente tejado, el

objetivo de diseño que estamos persiguiendo les impone un valor tal que los rayos más y menos

refractados por cada diente, alcancen al receptor (si el concentrador es de una sola etapa) o a la entrada de

la segunda etapa (si el concentrador es de dos etapas) en puntos simétricos con respecto al eje óptico del

sistema. Esta situación está reflejada en la Fig. IV.1.

Es fácil demostrar que si las dimensiones de los dientes de la lente son despreciables frente

a las del receptor, el valor del ángulo 6 es aquel que satisface la ecuación

( )1.221 IVβββ =+

83

donde

( )( ) ( )2.sinarcsin 11 IVnR θαθβ −−=

( )( ) ( )3.sinarcsin 221 IVnV θαθβ −+=

( ) ( 4.sin1arcsin1 IVnR

φαφα −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= )

( ) ( 5.sin1arcsin2 IVnV


⎞⎜⎜⎝

⎛−= )

En el Apéndice E, se presenta un programa, para una calculadora de mesa TI-59, que resuelve la

ecuación IV.1, en el caso de una lente plana. Este programa ha sido utilizado en algunos diseños

concretos(43-44), de cuya experiencia hablaremos en otro capítulo.

En el caso de lentes óptimamente curvadas, los valores de los ángulos de los dientes de la lente

vienen definidos unívocamente por el criterio de definición de la propia lente (véase el Apéndice B).

IV.3. DISEÑO UNIFORME.

Del objetivo de diseño que hemos definido, para este caso, en el Apartado IV.1, se deduce que la

lente ideal es, ahora, aquella que, con pérdidas nulas, provoca una generación de portadores uniforme en

toda la superficie de la célula solar.

A modo de inciso, es conveniente señalar que no existe ninguna evidencia de que la

uniformidad de iluminación sea lo más favorable para conseguir el máximo rendimiento de las células

solares. Seguramente este problema no es independiente de la forma de las mallas de contacto de las

células y se necesitaría un estudio, en cada caso concreto, para determinar la forma de iluminación más

conveniente. A falta de este estudio que se escapa de los objetivos de esta tesis doctoral, se acepta

comúnmente(9)(45) la hipótesis de idealidad que hemos definido.

La distancia entre la lente y el receptor, parámetro que define la luminancia de la lente una vez

84

fijado el tamaño de la misma, ha de elegirse teniendo en cuenta que su aumento supone un aumento de

la transmitividad de la lente (las pérdidas por reflexión en los dientes de la lente disminuyen al tener

estos un ángulo menor) pero también del peso y tamaño de la estructura de soporte. Luminancias entre

0,8 y 1 resultan ser buenas soluciones de compromiso.

En cuanto a los valores de los ángulos de los dientes, nosotros hemos estudiado dos

procedimientos diferentes para su diseño:

El primero es un procedimiento que hemos llamado analítico, especialmente útil para lentes

con simetría esférica, en el que se parte de un conjunto inicial de valores que, en principio, puede ser

cualquiera y se determina, utilizando el modelo desarrollado en el Capítulo III, el perfil de generación

que ocasionan. A continuación se van variando algunos de estos valores, se observa la correspondiente

variación del perfil de generación y se aceptan o se rechazan los nuevos valores según que el nuevo

perfil se asemeje más o menos que su precedente al perfil ideal. Es pues un procedimiento de tanteo

donde la intuición juega un papel muy importante. A modo de ejemplo, en el Apéndice F presentamos un

diseño realizado según este procedimiento.

El segundo procedimiento consiste en d iv id i r la lente en grupos de dientes contiguos de tal

forma que todos los dientes del mismo grupo tengan el mismo ángulo y éste sea tal que la luz refractada

por dicho grupo de dientes i lumine todo el área de la célula. La Fig. IV.2 explica gráficamente este

procedimiento que hemos llamado por grupos y que resulta especialmente útil en lentes l ineales y lentes

colmena(14). Al Apéndice G presenta el diseño de las lentes que incorpora el Generador Fotovoltaico

Espectralmente Adaptado y que ha sido realizado según este procedimiento.

A la vista de la Fig. IV.2, podría pensarse que este procedimiento de diseño permite obtener

perfiles de generación perfectamente uniformes, sin más que hacer que el tamaño de los grupos de

dientes de igual ángulo sea igual al tamaño de la cé lula solar receptora. Sin embargo, debido a la

aberración cromática de los materiales utilizados en la fabricación de las lentes el tamaño de la zona

iluminada por un grupo de dientes de igual ángulo es mayor que el tamaño de dicho grupo y depende de

la distancia entre el centro del grupo y el centro de la lente. Esto hace que los perfiles de generación

obtenidos en la realidad tengan forma trapezoidal, como muestra la Fig. IV.3.

85

IV.4. MINIMIZACIÓN DE LAS PÉRDIDAS DE DISPERSIÓN EN LAS LENTES NO PLANAS.

Una parte importante de las pérdidas por dispersión que ocurren en una lente de Fresnel se

deben al "redondeamiento", siempre presente en mayor o menor grado, de los picos de los dientes.

Sin embargo, cuando se utilizan lentes curvas o lentes tejado, es posible, manteniendo los

flancos de los dientes perpendiculares a la base de la lente -condición esta imprescindible para separar

las lentes de los moldes en los procesos de fabricación- hacer que dichos picos se sitúen en zonas

ópticamente no activas disminuyendo, por consiguiente, las pérdidas de dispersión correspondientes. La

Fig. IV.4 explica claramente esta situación.

En lentes planas no es posible hacer esto ya que sería necesario que el ángulo ξ del flanco del

diente fuese mayor que 90° y ello impediría el necesario desmoldeo en los procesos de fabricación.

86

CAPÍTULO V

TECNOLOGÍA DE LENTES DE FRESNEL

V.1. INTODUCCIÓN.

Aunque las condiciones exigibles a un concentrador solar dependen de la aplicación

concreta para la que vaya a ser utilizado, puede decirse que una lente de Fresnel para aplicaciones

fotovoltaicas ha de satisfacer, al menos, tres condiciones fundamentales: tener una alta eficiencia

óptica, ser muy resistente a la intemperie y ser susceptible de fabricarse a bajo coste. Además, otras

características como la facilidad de montaje y mantenimiento, el grado de sofisticación de la

tecnología necesaria para su fabricación, la estabilidad de la i luminación frente a las variaciones

de temperatura, etc., han de ser debidamente analizadas a la hora de decidir sobre la bondad de este

t ipo de lentes.

Si bien en la literatura(18-19) es posible encontrar referencias sobre un amplio número de

materiales (acetato de celulosa, poliestireno, etc.) que alguna vez han sido empleados en la

construcción de lentes de Fresnel, sólo el polimetil-metacrilato, mezclado con un estabilizador

frente a la radiación ultravioleta, ha conseguido aceptación debido, sobre todo, al avanzado grado

de desarrollo de la industria de este material.

Las lentes de metacrilato pueden fabricarse por inyección o por colada; en ambos casos

exhiben unas excelentes características ópticas (se han conseguido eficiencias del 87% con lentes de

dientes curvos obtenidas por colada(2)) pero presentan algunos problemas que aconsejan el estudio

de otras alternativas. En efecto, si se u t i l iza el procedimiento de inyección, la liberación de las

tensiones internas del material provocada por los ciclos térmicos de la intemperie hace que las

lentes pierdan rápidamente sus características de i luminac ión al variar la forma de sus dientes.

Este inconveniente se e l imina cuando se uti l iza el procedimiento de colada pero entonces el precio

resulta muy elevado (incluso en cantidades muy grandes no es de esperar un precio por debajo de

50 $/m2(2)). En ambos casos, las lentes tienen, si no se emplean recubrimientos especiales que las

encarecen, una baja resistencia a la abrasión(46-47) y un al to coeficiente de di latación que hace, por

un lado, que las características de i luminac ión varíen con la temperatura ambiente(31) y por otro,

que la instalación resulte complicada para piezas de gran tamaño.

Una alternativa que, en principio, resulta muy atractiva es el vidrio debido a sus

92

excepcionales cualidades de durabi l idad, rigidez y facilidad de mantenimiento y montaje.

Desgraciadamente, la elevada tensión superficial de este material hace que la obtención por moldes

de lentes de vidrio con una eficiencia del 75% y una relación de concentración relativamente

elevada resulte un procedimiento d i f íc i l y caro que es preciso descartar(2). Se ha ensayado la

laminación del vidrio, para la fabricación de lentes l ineales (48); este procedimiento resulta muy

barato pero la cal idad óptica que permite es mediocre como consecuencia de la poca exactitud en

la reproducción de los moldes y de una cierta rugosidad en las superficies. No obstante esta

tecnología resulta prometedora dentro de ciertos límites de luminancia y concentración. En el

Capítulo VII de esta memoria se describe la experiencia que, en colaboración con Cristalería

Española, S.A., hemos realizado sobre esta tecnología.

Otros candidatos -quizás los únicos con posibi l idades reales de éxito(2)- son los sistemas

de dos materiales, es decir, un material transparente y rígido de soporte al que se adhiere otro

material, fácilmente moldeable, en el que se gravan los dientes de la lente. En este sentido,

Jebens(20) ensayó la combinación vidrio-epoxi usando como molde una réplica en s i l icona de una

lente acrílica. Esta combinación presentó graves problemas de durabilidad -el epoxi se fractura y se

despega del vidrio- que aconsejaron su rechazo. Por otro lado los moldes de s i l icona resultaron

ser --inestables dimensionalmente y poco resistentes al uso.

Casi simultáneamente en el tiempo (Jebens in ic ió sus trabajos en Febrero de 1978 y

nosotros en Octubre de 1977) comenzaron nuestros trabajos sobre una idea propuesta por G.

Sa la ( 2 2 ) : la combinación vidrio-sil icona de cuyas características se trata en este capítulo.

93

V.2. LA LENTE HÍBRIDA DE VIDRIO Y SILICONA.

Una lente híbrida de vidrio si l icona (ver Fig. V.1) está constituida por un vidrio soporte al

que se adhiere una fina de s i l icona transparente que actúa de material refractante(49-50).

Razones de precio aconsejan ut i l izar vidrio comercial (si bien ha de procurarse que su

contenido en hierro sea bajo para que resulte lo más transparente posible) y así lo hemos hecho

nosotros. Este material exhibe unas características que lo hacen idóneo para esta aplicación: bajo

precio; gran rigidez; duración prácticamente il imitada, aún en las condiciones ambientales más

difíci les y transmitancia razonablemente buena en la región espectral de trabajo (ver Fig. V.2).

Por otro lado, la creciente demanda de vidrio para aplicaciones de energía solar ha hecho

aparecer en el mercado las primeras muestras de vidrio de alta transparencia con un coste

razonablemente bajo (concretamente es posible encontrar vidrio con una absortancia del 2% a un

precio que excede sólo en un 20% al v idr io flotado convencional) y se espera que, en un plazo de

dos años, estos vidrio tengan el mismo precio que el vidrio convencional.

Como sil icona hemos utilizado Sylgard-182, fabricada por Dow Corning Company. Esta

s i l icona, cuya hoja de características puede verse en el apéndice H, resulta muy adecuada para esta

apl icación debido a que tiene las características siguientes: gran transparencia (ver Fig. V.3); gran

resistencia a los agentes de la intemperie(21) (51), buena adherencia al vidrio; gran resistencia a la

fatiga térmica, como consecuencia de su f lexibi l idad; facilidad de manejo; baja toxicidad y buena

estabi l idad dimensional. Por otro lado, aunque se trata de un material relativamente caro, la

cantidad de si l icona que se precisa para fabricar una lente es tan pequeña que el coste total de la

lente puede ser muy pequeño.

Las características combinadas de ambos materiales hacen que la lente híbrida tenga las

siguientes características:

a) Alta resistencia a la intemperie, como consecuencia de la gran

resistencia a la abrasión del vidrio y de la elevada estabilidad del vidrio y de la

94

silicona frente a la radiación ultravioleta.

b) Excelentes características ópticas. En efecto, si se elige un vidrio adecuado, pueden

alcanzarse transmitancias comparables a las que exhiben las lentes de metacrilato.

Por otro lado, el índice de refracción de la silicona, nS = 1,42, si bien resulta

ligeramente menor que el del metacrilato, nm = 1,52, es lo suficientemente elevado

como para permitir luminancias razonablemente elevadas.

c) Gran rigidez y estabilidad dimensional frente a variaciones de temperatura. Esta

característica hace que, por un lado, la instalación de estas lentes, aún en el caso de

vidrios de gran tamaño, resulte muy sencil la y por otro, que las características de

enfoque se mantengan constantes con las variaciones de la temperatura ambiente.

d) Por último, la capacidad de las siliconas para reproducir perfectamente los moldes

donde polimerizan, en condiciones de presión atmosférica y temperaturas inferiores

a los 100°C, unido a su adherencia natural al vidrio, permiten un proceso de

fabricación de lentes (ver el apartado V.4) sencillo, fácilmente automatizable y

que supone un bajo coste en equipamiento.

V.3. DURABILIDAD. PRUEBAS DE ENVEJECIMIENTO ACELERADO.

Con el objeto de comprobar el comportamiento en intemperie de la lente híbrida hemos

realizado dos series de pruebas de envejecimiento acelerado. Una primera serie que, aún s in

ajustarse a ninguna normativa estándar, simuló, a nuestro juicio, con gran dureza las condiciones

ambientales que pueden afectar a las lentes. La segunda serie consistió en un conjunto de pruebas

realizadas en los laboratorios de BRESSEL, S.A., s imilares a las que se someten los equipos

electrónicos que son instalados en intemperie.

En todas las pruebas hemos medido la adherencia entre el v idr io y la sil icona, la forma de

los dientes y la transmitancia de la lente, antes y después de su realización. En las Tablas V.1 y V.2

se especifican las pruebas de envejecimiento y las modificaciones experimentales por la lente.

95

Con respecto a la única variación que hemos podido apreciar, es preciso señalar que la

disminución de la adherencia entre el v idr io y la silicona se produjo después del primer c ic lo a

150°C para mantenerse constante en los demás ciclos. Esto parece indicar que tal disminución se

debe más bien a la alta temperatura ut i l izada que a la fatiga térmica que los ciclos podrían haber

ocasionado y, por lo tanto, no es de esperar un efecto s i mi l a r causado por la intemperie.

Por otro lado, las 144 lentes que han sido instaladas en el "Panel -Ramón Areces", no

exhiben ninguna modificación después de un año de la fecha de instalación.

A la vista de lo expuesto en este apartado es de esperar que las lentes híbridas tengan un

excelente comportamiento, en lo que a resistencia a la intemperie se refiere.

V.4. PROCESO DE FABRICACIÓN DE LA LENTE HÍBRIDA.

La polimerización del Sylgard-182 es del tipo conocido como "polimerización por adición",

caracterizada porque el polímero se forma en presencia de un catalizador y s in pérdida de otras

sustancias. La faci l idad con que esta se produce unida a la no toxicidad de los componentes y a la

gran capacidad que el Sylgard-182 tiene para reproducir perfectamente las superficies de los moldes

donde polimeriza, permiten un proceso de fabricación muy sencillo, de fácil automatización que

precisa de muy poco equipo y que, básicamente, comporta los siguientes pasos:

1. Preparación del vidrio. Este paso consiste en una limpieza convencional (agua y

jabón) del vidrio a continuación de la cual se nebuliza sobre la superficie a la que posteriormente se

adherirá la sil icona, un cloroxilano que tiene como objeto mejorar dicha adherencia. Esta operación

debe de hacerse dos horas antes de la inyección de la silicona. Nosotros hemos utilizado un producto

comercial del mismo fabricante que la sil icona (1200 -Primer); el producto tuvo, en general, un buen

comportamiento si bien su degradación con el tiempo -aún almacenado en las debidas condiciones-

fue bastante rápida de forma que, a los ocho meses de recibido, producía justamente el efecto

contrario al perseguido.

97

2. Preparación de la silicona. Una vez mezclados los dos componentes de la sil icona

(monómero y catalizador), se desgasifica esta introduciéndola en una campana en la que se hace el

vacío, para evitar la aparición de burbujas en las lentes. Durante el tiempo que transcurra entre este

paso y el siguiente, la si l icona debe de guardarse en un frigorífico para evitar su polimerización.

3. Inyección de la si l icona entre el molde y el vidrio, con la ayuda de un "sándwich"

cuyo esquema puede verse en la Fig. V.4. Si las lentes tienen forma cuadrada o rectangular, la

s i l i cona ha de inyectarse por el centro de la misma dejando, en las esquinas del molde unos

orificios para permitir la salida de aire. La aparición de silicona por estos orificios indica que todo el

espacio comprendido entre el molde y el vidrio ha sido rellenado. En ese momento se obturan estos

orificios y se f inal iza la inyección.

4. Polimerización de la s i l icona introduciendo, durante una hora, el "sándwich" de

la Fig. V.4 en una estufa a 100°C.

5. Despegado del molde. Este último paso, debido a que el molde (véase el apartado

V.5) es flexible se realiza con gran facilidad tirando de una de las esquinas del mismo.

En el Capítulo VII se describen los resultados de la producción piloto realizada por este

procedimiento que ha resultado de gran fiabilidad.

V.5. EL PROBLEMA DE LOS MOLDES.

El principal problema tecnológico que presentan las lentes híbr idas de Fresnel estriba en la

consecución de un molde que satisfaga los siguientes requisitos:

Tener una gran perfección mecánica, tanto en lo que se refiere a la precisión en los valores

de los ángulos de los dientes como a la terminación especular de los flancos de los mismos.

Ser dimensionalmente muy estable, en el rango de temperaturas utilizado, en el proceso

98

de fabricación.

Permitir un fácil desmoldeo, una vez polimerizada la si l icona.

Ser poco degradable con el uso.

Para resolver este problema, hemos ensayado cuatro tipos de materiales que pueden verse

en la Tabla V.3.

Los resultados experimentales fueron los siguientes:

- Las siliconas y las resinas epoxilicas inhiben la polimerización del Sylgard-182.

- Los plásticos permiten muy buen desmoldeo pero son muy inestables

dimensionalmente (el uso de estos moldes obl iga a no superar 40°C con lo que la velocidad de

polimerización de la s i l i cona resulta excesivamente lenta) y se degradan con el uso.

- Los metales, en especial el níquel cromado, posibi l i tan un fácil desmoldeo siempre

y cuando se disponga de una cierta f l ex ib i l idad en el molde. Por otro lado, los moldes de níquel

cromado tienen buena es tabi l idad dimensional, son muy resistentes al uso y pueden obtenerse con

relativa facilidad, por electroformación sobre casi cua lquier material.

99

Por ello, la solución que consideramos más idónea para la construcción de los moldes,

comporta dos pasos:

1) Construir un molde patrón en un material (por ejemplo acero duro) que, por un lado,

sea susceptible de ser pu l ido hasta una calidad de espejo y, por otro, resulte

inalterado por los procesos de electroformación.

2) Electroforma con níquel , sobre el anterior, los moldes de uso.

La construcción del molde patrón no ofrece problemas en lo que a precisión dimensional se

refiere, ya que los requisitos exigibles en este terreno entran en el rango de lo alcanzable con una

máquina herramienta convencional. Sin embargo el acabado especular de los flancos de los dientes

no puede conseguirse uti l izando los procedimientos convencionales de pul ido (mecánico y

electroquímico), posteriores a la mecanización de la pieza, debido a que deforman excesivamente los

dientes de la lente. En el Capítulo VII se detallan los fa l l idos experimentos que hemos realizado en

este sentido. Por ello hemos ensayado con éxito, un procedimiento, l igado al p r inc ip io de la lente

de Fresnel, consistente en construir una lente cuasi-convencional que, una vez pul ida , puede

proyectarse sobre un plano horizontal de forma que el resultado sea la lente de Fresnel buscada. La

Fig. V.5 expl ica gráficamente este procedimiento cuya principal ventaja radica en que permite pulir

mecánicamente, con lo que se consigue el mejor acabado superficial posible, sin introducir

deformaciones en los dientes ni redondear sus vértices. En el Capítulo VII se explican los detalles

del experimento concreto que hemos realiza do.

100

****

103

****

104

CAPÍTULO VI

PRODUCCIÓN PILOTO Y CARACTERIZACIÓN

VI.1. Producción piloto.

Hemos realizado una producción piloto de 150 lentes cuadradas, de 38 centímetros de lado y

dientes circulares, para su instalación en el Panel Fotovoltaico de Concentración "Ramón Areces".

Debido a las dificultades para disponer, en los plazos de tiempo que este proyecto exigía, de un molde

patrón ajustado a nuestros diseños, utilizamos como tal una lente de metacrilato especialmente

diseñada para aplicaciones fotovoltaicas, aún a sabiendas de que la diferencia entre los índices de

refracción del metacrilato y de la s i l icona se traduciría en unas características de iluminación

inadecuadas.

El proceso de fabricación, descrito en el capítulo anterior, resultó fiable y no presentó

problemas dignos de mención.

VI.2. Caracterización.

Para poder establecer una comparación, hemos medido las lentes construidas por nosotros y la

lente de metacrilato util izada como molde patrón.

Todas las medidas, exceptuando las del índice de refracción, han sido realizadas utilizando el

sol real como fuente y el panel Ramón Areces como estructura de soporte y seguimiento.

VI.2.1. Índice de refracción.

La información proporcionada por los fabricantes de sil iconas no incluye la variación, con la

longitud de onda, del índice de refracción de este material. Esto, unido a la necesidad de este dato para

poder diseñar lentes, hizo que su medida fuese uno de nuestros objetivos experimentales. Las medidas

han sido realizado para longitudes de onda del espectro vis ible; en el resto de la región espectral de

interés hemos supuesto que esta variación se rige por una ley s imi la r a como lo hace en el caso del

metacrilato. Como veremos en este mismo apartado, al hablar de la medida de la eficiencia, los

experimentos confirman la validez de esta suposición.

107

VI.2.2. Eficiencia óptica.

La eficiencia óptica n viene definida por la relación

( )1.VICCn

g

r=

Cg representa la concentración geométrica y Cr la concentración real, definida esta última por

( )2.2

1 VIEECg =

donde E1 y E2 son, respectivamente, las energías que llegan al colector cuando está situado dentro y

fuera del concentrador.

Hemos medido Cr suponiendo que es igual al cociente entre la corriente de cortocircuito Ics1

de una célula solar cuando está iluminada por la lente y la corriente de cortocircuito Isc2 de la misma

célula solar cuando está situada dentro de un tubo que limita el ángulo de incidencia de los rayos que

llegan a la célula al mismo valor que el ángulo de aceptancia de la lente. Realmente esta suposición

solo es correcta si la célula resulta uniformemente i luminada por la lente. En cualquier otro caso, el

porcentaje de energía perdida como consecuencia de la sombra que introducen los contactos de la célula es

diferente en las dos situaciones de la misma y, por lo tanto, 21 scsc II no es exactamente igual a 21 EE . Esto

nos llevó a realizar las medidas con dos cé lu las con diferentes diagramas de metalización: una célula de las

108

que incorpora el panel Ramón Areces(13) y una células de las que llevará el Generador Espectralmente

Adaptado(52).

En las Figs. VI.2 y VI.3 hemos representado, en función de la distancia f entre lente y célula, la eficiencia

óptica de las lentes. Es interesante hacer los siguientes comentarios:

a) η es menor en las lentes híbridas que en las lentes de metacrilato. Las causas de esta diferencia se

ana l izan en el comentario c) de este mismo apartado.

b) La f correspondiente a η máximo es, en ambas lentes, ligeramente mayor cuando se mide con la

cé lu la G.E.A. que cuando se mide con la c é lu la R.A. La explicación a este fenómeno hay que

buscarla, por un lado, en la aberración cromática de las lentes y, por otro, en la diferente respuesta

espectral de las células. En efecto, la respuesta espectral de la c é lu l a G.E.A. (52) está centrada

en longitudes de onda mayores que la de la célula R.A.; ahora bien, por ser menor el n

correspondiente, estas longitudes de onda resultan menos refractadas y por lo tanto, su "distancia

focal" es mayor.

La s i m i l i t u d de este efecto en ambas lentes constituye un argumento en favor de la validez de la

suposición hecha para la forma de la variación de n con λ.

c) La f correspondiente a η máximo no coincide con la distancia fT a la que hay que colocar las

cé lu las para obtener la máxima potencia (50,5 y 38 centímetros, respectivamente, para la lente

híbrida y la lente de metacrilato). Esto se debe a que el factor de forma (también llamado factor de

llenado) de las células varia con la forma del perfil de i l u m in a c ió n (53) de manera que la

pérdida de energía, consecuencia de trabajar a fT se ve sobradamente compensada por el mejor

rendimiento de la célula que supone la mayor uniformidad de la iluminación a esta

distancia.

Además, para analizar las causas de las pérdidas que se producen en las lentes, hemos

medido las pérdidas por absorción de las mismas y que resultaron ser 4,6% para la lente híbrida y

prácticamente nulas para la lente de metacrilato. Este resultado se obtuvo tanto con la célula G.E.A.

como con la célula R.A.

En la Tabla VI.2 puede verse el desglose de las pérdidas que ocurren en ambas lentes, para la

109

distancia correspondiente a la máxima eficiencia óptica y para fT, con las dos células utilizadas en la

medida. Las pérdidas por reflexión se han calculado teóricamente, a partir de los índices de refracción.

Las pérdidas por dispersión se calculan como la diferencia entre la eficiencia óptica y la suma de las

pérdidas por reflexión y por absorción. Este concepto de pérdidas por dispersión incluye las originadas

por las imperfecciones mecánicas del molde y las debidas a la incompleta coincidencia entre la zona

ocupada por la célula y la zona iluminada. La dependencia de esta última con la distancia entre lente y

célula y con la longi tud de onda explican las notables variaciones que exhiben las pérdidas de

dispersión en la Tabla VI.2.

Es importante señalar que la disminución de eficiencia de la lente híbrida con respecto a la

lente de metacrilato se debe, en parte, a la mayor absorción del vidrio, comparada con la del

metacrilato y en parte, a que el diseño de la lente es adecuado para un n como el del metacrilato, pero

no lo es para un n como el de la si l icona de las lentes hibridas. Ambos factores son fácilmente

superables uti l izando vidrios blancos (ver el apartado V.2) y moldes convenientemente diseñados.

110

VI.2.3. Perfil de iluminación.

Para medir el perfil de i luminación hemos construido un senci l lo aparato que permite

desplazar, a lo largo de uno cualquiera de los diámetros de la zona i luminada , entendiendo por

diámetro toda línea, contenida en el plano de la zona i luminada, que pase por el punto de

intersección de dicho plano con el eje óptico de la lente, un sensor constituido por una célula solar cuya

superficie activa es un circulo de 1mm de diámetro. La señal proporcionada por esta célula solar,

junto con una señal de posición proporcionada por dicho aparato, se l l e v a n a un trazador X-Y que, de

esta manera, entrega directamente una representación gráfica de la irradiancia como función de la

posición.

Con este aparato, hemos analizado la i luminac ión proyectada por las lentes sobre un plano

receptor situado a fT, trazando los perfiles de iluminación de los cuatro diámetros de dicho plano

cuyas direcciones coinciden con las de los lados y diagonales de las lentes. Esto nos ha permitido

realizar representaciones tridimensionales que no han podido ser i nc lu ídas en esta memoria por causa

de la dif icultad de su edición. En las Figs. VI.4 y VI.5 pueden verse los perfiles correspondientes a

dos de estos diámetros de direcciones coincidentes, respectivamente, con un lado y una diagonal de las

lentes. Las unidades han sido debidamente ajustadas para que el eje de las ordenadas represente la

concentración real Crx en cada punto.

Especialmente notable resulta la diferencia entre ambas lentes en lo que a desuniformidad de

i luminac ión se refiere. En efecto, mientras que con la lente de metacrilato el valor de Crx varía entre

un máximo de 88 y un mínimo de 43,4, con la lente híbrida estos valores máximo y mínimo son,

respectivamente, 314,6 y 2,6. Para cuantificar el efecto de esta mayor desuniformidad, hemos medido

el factor de forma FF de una célula RA iluminada con cada una de las lentes. El resultado obtenido fue

FF = 0,54 y FF = 0,46 con la lente de metacrilato y con la lente híbrida, respectivamente, lo que supone

una disminución del 15% en el rendimiento de la célula y pone de manifiesto la importancia de estos

efectos, al menos en estos n ive les de concentración.

La circunferencia inscrita en las lentes divide a las mismas en dos zonas que llamaremos

central y de esquinas. Hemos analizado, por separado, la i luminación debida a cada una de estas

112

zonas. Las Figs. VI.6 a VI.9 muestran los resultados, cualitativamente similares para ambas lentes, en

los que puede observarse como mientras que el perfil de iluminación correspondiente a la zona central

es prácticamente independiente de cual sea el diámetro elegido para realizar el trazado; el

correspondiente a la zona de esquinas varia de forma sustancial, de unos diámetros a otros. Esto

concuerda totalmente con las previsiones del diseñador de la lente de metacrilato.

Finalmente, hemos podido comprobar que la forma de la i luminación varía muy rápidamente

con la distancia entre la lente y la célula, en las-proximidades de fT. Este efecto puede observarse en las

Figs. VI.10 y VI.11, donde hemos representado los perfiles de i luminac ión correspondientes a

f = 47,5 cm para la lente híbrida (recordemos que fT = 50,5 cm) y f = 42 cm para la lente de metacrilato

(fT = 38 cm).

Los desajustes que se observan en los perfiles de las Figs. VI.4 a VI.11, como por ejemplo la

desigualdad entre los valores de Crx en el punto central de la zona i l uminada que se obtienen al

trazar diferentes diámetros, se deben fundamentalmente a los º5,0± de tolerancia del equipo de

seguimiento del que dispusimos para realizar las medidas y que resulta excesivo para este uso.

VI.2.4. Ángulo de aceptancia.

Hemos realizado esta medida aprovechando el que a la caída de la tarde de los meses de

verano, el ángulo azimutal del sol permanece prácticamente constante. Esto permite, en un sistema de

seguimiento en azimut y altura, como el ut i l izado por nosotros, variar de forma controlada el ángulo

iα de incidencia de los rayos solares, entendiendo por tal el ángulo formado por la perpendicular al

disco solar con el eje óptico del sistema. En efecto, manteniendo el seguimiento del ángulo de

elevación del sol, iα coincide, en este caso, con el error de seguimiento del ángulo azimutal que

puede ser modificado fácilmente desde el control de seguimiento del panel.

En función de iα y para varios valores de f, hemos medido la corriente de cortocircuito ISC de

una cé lula solar iluminada por las lentes que, con la advertencia hecha en el apartado IV.2.2, está

directamente relacionada con la energía que incide sobre la misma. El efecto más significativo que

113

hemos observado consiste en la variación del ángulo de aceptancia de los concentradores con el perfil

de iluminación de tal manera que las iluminaciones que tienden a concentrar toda la energía en las

proximidades del punto central tienen mayor ángulo de aceptancia que aquellas que reparten la luz de

manera uniforme. Este efecto se aprecia claramente en las Figs. VI.12 y VI.13, en las que hemos

representado ISC en función de iα para las lentes híbrida y de metacrilato, respectivamente, situadas a

fT. Si definimos el ángulo a de aceptancia como aquel para el que ISC alcanza el 90% de su valor

máximo, de las Fig. VI.12 y VI.13, respectivamente se obtiene α = 1,79o y α = 0,83º.

Tanto este efecto como la forma de las Figs. VI. 12 y VI. 13, es perfectamente explicable si

pensamos en un sencillo modelo en el que la variación de iα tuviese como consecuencia el

desplazamiento del perfil de iluminación sobre el plano del receptor, dejando inalterada su forma. En la

Fig. VI.14 hemos representado esta situación para dos perfiles de iluminación aproximados a los perfiles

de iluminación de ambas lentes a fT (véanse las Figs. VI.4 y VI.5); la Fig. VI.15 muestra el área de

intersección de dichos perfiles, con el área de la célula, en función de iα . Puede observarse la

s imi l i tud existente entre las curvas de esta última figura y las de las Figs. VI.12 y VI.13.

114

****

119

CAPÍTULO VII

EXPERIENCIAS REALIZADAS

VII.1. INTRODUCCIÓN.

La construcción de una lente de Fresnel, del tamaño de los que normalmente se precisan para

aplicaciones solares, con los medios normalmente disponibles en un laboratorio de investigación, resulta

un proceso largo y costoso que l im i t a a solo unos pocos el número de experiencias completas que, en el

marco de una tesis doctoral, pueden l levarse a cabo, entendiendo como tales al conjunto de las siguientes

fases: diseño de la lente, construcción del molde, fabricación de la lente, medidas y extracción de

conclusiones. Todos los trabajos que hemos realizado para esta tesis doctoral, están enmarcados en las tres

experiencias que, por orden cronológico, pasamos a describir.

VII.2. EXPERIENCIA "RAMÓN ARECES" (1978-1980).

El objetivo planteado por esta experiencia fue la fabricación e instalación en un panel fotovoltaico

de concentración(13) de 144 lentes híbridas cuadradas de 38 cm de lado, para i luminar células redondas de

5 cm de diámetro.

Los intentos realizados, dentro de los plazos de tiempo impuestos por el proyecto, en el sentido de

disponer de un molde fabricado en España -objetivo prioritario en este proyecto- y ajustado a nuestros

diseños no tuvieron el éxito deseado. Por lo que se recurrió a u t i l izar como molde patrón una lente

acrí l ica de las que dispone el mercado, aún a sabiendas de que la diferencia entre los índices de refracción

del plástico de la lente acrílica y de la silicona de la lente híbrida, produciría perfiles de iluminación

diferentes de los deseados. Ut i l izando como molde de uso un electro formado de níquel sobre este molde

patrón, fabricamos las 144 lentes sin mayores dificultades. Los pormenores de esta producción piloto, así

como el comportamiento experimental de las lentes fabricadas ha sido descrito en los capítulos V y VI. A

nuestro juicio los logros más importantes fueron:

a) Demostrar la viabilidad de la lente híbrida como concentrador de energía solar ya que,

comparada con otros tipos de concentradores, permite conseguir similares características ópticas, con un

menor costo y una mayor durabi l idad.

131

b) La puesta a punto de todos los pasos de una tecnología de fabricación sencilla, de gran

repetibilidad y muy adecuada para países o industrias que no dispongan de un desarrollo tecnológico muy

sofisticado.

c) La adquisición de una experiencia en el campo de las lentes de Fresnel que permite afirmar que su

industrialización en España es posible sin ninguna dificultad.

VII.3. EXPERIENCIA G.E.A. (1980-1983).

Esta experiencia, aún inconclusa, tiene como objetivo la fabricación e instalación en un panel

fotovoltaico de concentración(15) de 250 lentes rectangulares de 38,5 x 36,4 cm, compuesta, a modo de

panel, por hexágonos regulares de 3,5 cm de lado, para la iluminación de células solares similares a las de la

experiencia anterior.

De esta experiencia que actualmente in ic i a la fase de producción cabe destacar dos logros

importantes:

a) La puesta a punto de un procedimiento novedoso de fabricación de moldes patrones (véase el

capítulo V) que permite conseguir lentes de eficiencias superiores al 85%.

b) La integración en una única placa de vidrio de varias lentes con lo que se reduce el trabajo de

instalación en los paneles y se aumenta la estanqueidad de estos.

VII.4. EXPERIENCIA EN VIDRIO LAMINADO (1981).

Esta experiencia, cuyas fases de fabricación de molde y lente corrieron a cargo de Cristalería

Española, tenía como objetivo estudiar la v i a b i l i dad de esta tecnología para fabricar lentes de Fresnel,

habida cuenta de su disponibilidad, su bajo coste y su alta durabilidad. Para ello se construyó una lente-

tejado de φ = 30° y apertura = 80 cm. (El diseño de esta lente puede verse en la referencia 44). Los

132

pormenores de la fabricación y medida de esta lente no han sido incluidos en esta tesis doctoral por

considerar que esta investigación no ha alcanzado todavía suficiente madurez. Las conclusiones a las que

hemos podido l legar son las siguientes:

a) Con el estado actual de esta tecnología, es posible construir lentes para concentraciones

inferiores a 10 con una eficiencia cercana al 60%.

b) Es conveniente una investigación más a fondo en esta tecnología que, a pesar de sus

inconvenientes (véase el capítulo V) puede cubrir muy ventajosamente un ampl io campo de aplicaciones

de energía solar.

133

CAPÍTULO VIII

CONCLUSIONES

VIII.1. CONCLUSIONES DEL TRABAJO TEÓRICO.

Basados en los principios de la óptica de los concentradores no formadores de imagen, hemos

desarrollado una teoría para concentradores bidimensionales que aporta fundamentalmente dos

novedades al campo de la concentración solar:

a) El enunciado del siguiente teorema: "Existe una curva cuya forma está definida por

una ecuación conocida (Ec.0-9) que d iv ide al plano en dos regiones tales que en la región superior no

puede apoyar sus extremos ningún concentrador ideal mientras que en la región inferior no puede

apoyar sus extremos ningún concentrador lambertiano". La principal conclusión de este teorema es

que el mejor concentrador posible, entendiendo por tal el que lleva la mayor cantidad posible de

energía desde una fuente a un colector, no es el concentrador que no pierde ninguno de los rayos que

llegan a su entrada, sino el que es visto por el colector como si fuese una fuente de Lambert aunque

para ello forzosamente tenga que perder rayos.

Esto supone una innovación importante que abre las puertas del estudio de un nuevo tipo

de concentradores ya que, al igual que las lentes de Fresnel tratadas en esta Tesis Doctoral, todos los

concentradores que han sido estudiados hasta ahora son aquellos que no pierden rayos. Esta tesis no

se ha centrado en este nuevo tipo de concentradores debido a que el enunciado y total comprensión del

teorema anterior no hemos llegado hasta las últimas etapas del desarrollo de esta tesis.

b) Los principios que han de regir el diseño de cualquier lente de

Fresnel que no pierda rayos y que pueden resumirse en los puntos siguientes:

1) En los sistemas de concentración de una sola etapa constituida por una lente plana o

una lente tejado, para un índice de refracción y un ángulo de tejado determinados, existe un valor de

luminancia al que corresponde un máximo de concentración alcanzable para un ángulo de aceptancia

dado. Este será pues el valor óptimo de luminancia. Valores mayores pueden estar recomendados en

algunas ocasiones por razones de empaquetamiento de los sistemas. Valores menores no deben de

utilizarse en ningún caso.

135

2) En sistemas de concentración de dos etapas, constituidas la primera por una lente

plana o una lente tejado y la segunda por un concentrador ideal, el máximo de concentración se

alcanza cuando no se u t i l iza lente. No obstante, esto impone a la segunda etapa un tamaño tan grande

que normalmente carece de interés práctico y que es necesario reducir introduciendo una primera

etapa, aún a costa de separarnos del óptimo de diseño. Conforme crece el valor de la luminancia de la

lente aumenta el alejamiento del óptimo pero, a cambio, se reduce el tamaño de la segunda etapa. Esto

ocurre hasta que se alcanza el valor de la luminancia al que corresponde el máximo de concentración

de la primera etapa, a partir del cual el sistema se aleja del ideal sin ganar nada a cambio. Por tanto,

este valor de luminancia nunca debe de ser sobrepasado.

3) En sistemas de concentración de una etapa constituida por una lente óptimamente

curvada es posible alcanzar concentraciones bastante próximas a la del concentrador ideal utilizando

lentes que "envuelven" completamente al receptor, es decir, lentes con luminancia tendiendo a infinito.

No obstante, luminancias mucho menores (≈2) suponen un coste de lente apreciablemente más

pequeño y permiten obtener el 80% de la concentración máxima alcanzable. Por ello, estos valores de

luminancia son los más recomendables.

4) En los sistemas de concentración de dos etapas cuya primera etapa es una lente

óptimamente curvada el máximo de concentración se obtiene, al igual que si la primera etapa es una

lente plana o una lente tejado cuando no se util iza lente. Sin embargo, el precio, en términos de

alejamiento del concentrador ideal, pagado por la reducción del tamaño de la segunda etapa mediante el

uso de una primera etapa es ahora mucho menos elevado, por lo que valores relativamente grandes de

D ( 2) son ahora aconsejables. ≈

5) Si el sistema concentrador, tanto si está constituido por una sola etapa o por dos etapas,

tiene un ángulo de aceptancia pequeño (α < 5o) es necesario tener en cuenta la aberración cromática a

la hora de diseñar la lente. En estos casos es especialmente recomendable el uso de materiales poco

dispersivos, es decir, cuyo índice de refracción varíe muy poco con la longitud de onda.

136

6) Cuanto mayor es el índice de refracción del material ut i l izado para construir las lentes,

mayor es el acercamiento a la concentración geométrica ideal; pero, por otro lado, mayores son las

pérdidas de reflexión en ambas caras de la lente. Valores de n comprendidos entre 1,3 y 1,6 son una

buena solución de compromiso.

7) Una lente curva con un índice de refracción tendiendo a infinito simula una fuente de

Lambert y es, por lo tanto un concentrador óptimo e ideal.

VIII.2. CONCLUSIONES DEL TRABAJO TECNOLÓGICO.

a) Se ha demostrado que la lente híbrida de Fresnel, compuesta de -vidrio y silicona, tiene

unas características que la hacen muy adecuada para ser empleada como concentrador solar ya que,

cuando se la compara con otros tipos de concentradores, especialmente con la lente acrí l ica de

Fresnel que han conseguido una amplia difusión, ofrece ventajas de coste, durabilidad y sencillez de

fabricación, al tiempo que exhibe similares características ópticas.

b) Se han puesto a punto todas las fases de un procedimiento de fabricación de lentes híbridas

que se ha mostrado fiable, fácilmente automatizare y que necesita de muy poco equipamiento para su

implementación, por lo que resulta muy adecuado para laboratorios de investigación y para países que

no poseen una tecnología muy sofisticada.

Con este procedimiento se ha hecho una fabricación piloto de 144 lentes de Fresnel que han

sido incorporadas al Panel Fotovoltaico de Concentración "Ramón Areces" y que no presentan

problemas después de 19 meses de funcionamiento continuado. Estas lentes tienen una eficiencia del

74% y el perfil de iluminación que proporcionan es poco uniforme como consecuencia de haber

utilizado como molde patrón una lente de metacrilato cuyo índice de refracción difiere del de la

silicona empleada en nuestras lentes. Sin embargo, las medidas realizadas muestran que si se util iza

un vidrio de bajo contenido de hierro y un molde convenientemente diseñado, pueden conseguirse sin

dificultad lentes con eficiencias superiores al 85% y cuya iluminación -sea aceptablemente uniforme.

137

c) Se ha desarrollado un procedimiento de fabricación de moldes patrones que utilizando

procesos mecánicos convencionales permite, sin embargo, conseguir una elevada precisión y un alto

grado de terminación superficial pudiendo, gracias a ello, fabricar s in dificultad lentes con las

eficiencias señaladas en la conclusión anterior.

Este procedimiento está siendo utilizado para fabricar el molde de las lentes que incorporará

el Generador Fotovoltaico Espectral mente Adaptado que está siendo desarrollado en nuestro

laboratorio.

138

APÉNDICE A

LUGARES GEOMÉTRICOS EN LOS QUE HAN DE APOYARSE

LAS LENTES DE FRESNEL

APÉNDICE A.

En este Apéndice se estudian los lugares geométricos de los puntos en los que ha de apoyarse una lente de

Fresnel para que el concentrador de dos etapas correspondiente tenga un ángulo de aceptancia α, así como los parámetros

1C , , y para el caso más general posible, es decir, para una lente de forma arbitraria, con TC THCC /1 THT CC /

un ángulo φ en sus extremos y construida con un material cuyo índice de refracción varíe con la longitud de onda.

La ap l i cac ió n de la ley de Snell en las dos superficies del diente extremo de la lente de Fresnel (Fig. AA.l)

conduce a las siguientes expresiones:

( ) ( ) ( )1.sinsin 1 AAnR αφαφ +=+

( ) ( ) ( )2.sinsin 2 AAnV αφαφ +=−

( ) ( ) ( )3.sinsin 1 AAnR θβαθ +=−

( ) ( ) ( )4.'sinsin 2 AAnV θβαθ +=−

de las que, fácilmente, se deducen

( ) ( 5.sin1arcsin1 AAnR


⎞⎜⎜⎝

⎛+= )

( ) ( 6.sin1arcsin2 AAnV


⎞⎜⎜⎝

⎛−= )

( )( ) ( )7.sinarcsin' 2 AAnV θαθβ −−=

( )8.coscos

sinsin

1

1 AAn

narctgR

R⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

βααβ

θ

140

La ecuación (AA.8) define el ángulo que ha de tener el extremo de cualquier lente de Fresnel que se apoye en la

dirección W.

Por otro lado, la aplicación del teorema del seno al triángulo M00' conduce a la expresión

( ) ( )9.90'sin

'2

sinAA

W −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=β

βπ

ρ

que define el lugar geométrico de los puntos ( )WM ,ρ donde debe apoyarse una lente de Fresnel, con

pendiente φ en el extremo, para que el sistema resultante tenga un ángulo de aceptancia α.

De este caso general se deriva el caso de la lente plana haciendo 0=φ y el caso de no

considerar aberración cromática haciendo nnn VR == .

Con estas expresiones y las vistas en el Capítulo II, hemos construido un programa, para una

calculadora de mesa HP-91, al que llamamos “Lugar geométrico (aberración cromática)”. Este

programa, cuyo listado puede verse en las páginas siguientes, calcula, para un par de índices de

refracción y un ángulo de aceptancia dados, el lugar geométrico ya mencionado y los parámetros C , 1

TC CC / CC /, y . TH1 THT

141

APÉNDICE B

PERFILES DE LAS LENTES CURVAS DE FRESNEL

A.B.l. Introducción.

En este apéndice se estudia el cálculo de los perfiles de las 1entes curvas de Fresnel

en el caso más general que considera aberración cromática.

De la forma como se han derivado las lentes curvas (apartado II.3.c) es fácilmente

deducible que los rayos incidentes en cualquier punto de la lente, procedentes de los

extremos de la fuente, son refractados de manera que los rayos rojo y violeta,

correspondientes, alcanzan los bordes de la entrada de la segunda etapa, (Fig. AB.l) y de este

hecho se deduce que el perfil de la lente buscada es justamente el que hace que la pendiente

en cada punto coincida con el ángulo correspondiente al lugar geométrico, calculado en el

apéndice A, que pasa por dicho punto. Por lo tanto, este perfil puede definirse mediante la

ecuación diferencial que resulta de introducir en AA.5 y AA.6 la expresión

( )1.ABdxdy=φ

Nosotros hemos resuelto numéricamente esta ecuación ut i l izando el procedimiento

que pasamos a describir:

Fijémonos en la Fig. AB.2 y supongamos, por un momento, que conocemos un

punto ( 111 ,WP )ρ de la curva que queremos conocer.

Sobre la dirección WWW Δ−= 12 , podemos calcular dos puntos ( )222 ,WP ρ y

( )333 ,WP ρ como los que muestra la figura, entre los que evidentemente se encuentra el

punto de la curva correspondiente a esta dirección, de forma que los segmentos 21PP y

están, respectivamente, -"por debajo" y "por encima" de la curva buscada. 31PP

Igualmente, sobre la dirección WWW Δ−= 23 , podemos calcular los puntos P4 y P5

tales que los segmentos 42 PP y 53PP se encuentren, con respecto a la curva que queremos

conocer, "por debajo" y "por encima", respectivamente.

148

Repitiendo sucesivamente este procedimiento a partir de un punto in i c i a l conocido

-punto P de la Fig.II.2- se obtienen dos líneas de segmentos que cuando tiende a cero, WΔ

convergen hacia la curva que queremos conocer. Esto está implementado en el programa,

para una calculadora de mesa TI-59, que adjuntamos al final de este apéndice.

Veamos ahora como se calculan 1φ , P2 y P3, a partir de P1.

A.B.2. Cálculo de ( )111 Pφφ = .

Es obvio que, en el punto P1 (ver Fig. AA.l)

( )2.sin

1cos'11

11 ABW

Warctg ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

ρρ

β

Por otro lado, por pertenecer P1 al lugar geométrico, calculado en el apéndice A,

correspondiente al ángulo 1φ

( )( ) ( )3.sinarcsin' 1211 ABnV θαθβ −−=

donde

( ) ( 4.sin1arcsin 112 ABnV


⎞⎜⎜⎝

⎛−= )

( )5.sincossincos

11

111 AB

WnnWarctg

R

R⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

αα

θ

( ) ( 6.sin1arcsin1 ABnR


⎞⎜⎜⎝

⎛+= )

Con las expresiones (AB.2) y (AB.3), definimos la función

149

( ) ( )( ) 7.sinarcsinsin

1cos121

11

11 ABnW

Warctgf V θαθρ

ρφ −−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += ( )

cuyo cero -que se puede conocer- es justamente 1φ .

A.B.3. Cálculo de ( )222 ,WP ρ .

El teorema del seno en el triángulo 0P1P2 conduce a

( )( ) ( )8.

sinsin

22

1212 AB

WW

+−−

=φφπ

ρρ

Por otro lado, por pertenecer P2 al lugar geométrico, calculado como en

el apéndice A, correspondiente a 2φ

( )( ) ( )9.

2'sin

'2sin

22

22 AB

W πβ

βπρ

−+

−=

donde

( )( ) ( )10.sinarcsin' 2222 ABnV θαθβ −−=

( )11.sincossincos

11

122 AB

WnnWarctg

R

R⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

αα

θ

( ) ( )12.sin1arcsin 222 ABnV


⎞⎜⎜⎝

⎛−=

( ) ( 13.sin1arcsin 221 ABnR

φφαα −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= )

Con las expresiones (AB.8) y (AB.9) definimos la función

150

( ) ( )( )

( )( ) ( )14.

2'sin

'2sin

sinsin

22

2

22

1212 AB

WWWf

πβ

βπ

φφπ

ρφ−+

−−

+−−

=

El cero de esta función que se puede conocer una vez fijado W2 permite conocer 2φ que, introducido en la

expresión (AB.8), lleva directamente al valor de 1ρ .

A.B.4. Cálculo de ( )233 ,WP ρ .

La apl icación del teorema del seno al t r iángulo 0P1P3 lleva a

( )( ) ( )15.

sinsin

21

1113 AB

WW

+−−

=φφπ

ρρ

expresión que permite conocer directamente P3, a partir de P1 y W2.

151

APÉNDICE C

TRAZADO DE RAYOS A TRAVÉS DE UNA LENTE DE FRESNEL

Para realizar un trazado de rayos, a través de una lente de Fresnel, lo más cómodo es

ut i l izar la formulación vectorial de la ley de refracción(25). La Fig.C.l muestra los vectores

r y 'r unitarios de los rayos incidente y refractado en un punto de una superficie que separa

dos medios de índices de refracción n y n'; n es el vector unitario normal a la superficie en

ese punto. La ley de refracción es entonces

( ) ( )1..'''' CAnnrnnrnrnrn ⋅−⋅+=

La ecuación (C.l) no puede utilizarse directamente en procedimientos numéricos

porque 'r está incluido en el coeficiente de n . Para modificarla se realizan los productos

escalares con lo que

( ) ( )2..cos'cos'' CAnInInrnrn −+=

Ahora bien, la ley de la refracción dice que

( )3..sin'sin' CAInIn =

de donde

( ) ( )4..cos1'

1'cos2

1

22

CAInnI

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Sustituyendo en (C.2)

( ) ( )5..cos'

cos1'

1'

'2

1

22

CAnInnI

nnr

nnr

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

o, en forma vectorial

( )( ) ( ) ( )6..'

1'

1'

'2

12

2

CAnrnnnrn

nnr

nnr

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

Esta fórmula ha sido util izada para realizar el programa CRUCE que ca lcula para un rayo

incidente en un punto de una lente, el punto de cruce del rayo refractado con el plano del receptor. El

listado del programa y -las instrucciones para su uso pueden verse en las páginas siguientes.

PROGRAMA CRUCE.

Este programa pregunta las componentes Mα y Pα a de un rayo incidente sobre un diente,

definido por sus ángulos φ y θ y por su posición (Pix, Piy, Piz), de una lente con un determinado n y

da como resultado las coordenadas (Pcx, Pcy, Pcz) del punto de cruce del rayo refractado con el plano

del receptor. El sistema de coordenadas ut i l izado es el mismo de la Fig. VI.13.

APÉNDICE D

LISTADO Y MANEJO DE PROGRAMAS PARA EL CÁLCULO DE LA

ILUMINACIÓN RECIBIDA POR EL RECEPTOR

Hemos preparado el proceso de anál i s i s de las lentes en dos pasos. Inicialmente se

ca lcula el valor de los ángulos de los dientes de la lente y a continuación se calcula el

perfil de irradiancia y generación provocado por dicha lente.

1er. PASO.

Util iza el programa "LEDA" (véase el l istado al final del anexo) que trabaja de la

siguiente manera:

Pregunta el número de dientes que tiene la lente ("NUMERO TOTAL DE

DIENTES") y el número de dientes cuyo rayo, correspondiente a un determinado índice de

refracción, intercepta a la superficie receptora en un punto determinado ("NUMERO,

DESTINO, ÍNDICE"), esta última pregunta se repite hasta completar el número total de

dientes de la lente.

Este programa da como resultado los valores, expresados en radianes, de los ángulos

de la lente.

2 o PASO.

Se u t i l iza el programa "ELP" (compuesto, a su vez, por un programa principal y

dos subrutinas) que, cuando se le contesta a las dos preguntas: "PRIMER Y ULTIMO

DIENTE" y "PRIMERA Y ULTIMA LANDA", ca lcula el perfil de irradiancia y de

generación debido a los dientes y rayos espectrales comprendidos entre los datos que se le

han dado como respuesta.

NOTA 1.

Por razones de comodidad, hemos incluido en sentencias DATA los datos

correspondientes a una de las lentes analizadas. Evidentemente, estos datos pueden variarse

para cualquier otra lente.

171

NOTA 2.

Si los valores de los ángulos de los dientes se determinan por separado, hay que

introducirlos en el programa "ELP" y realizar solamente el 2o paso.

NOTA 3.

Si la lente es lineal, hay que sustituir la instrucción 31 de la subrutina "CASO" por

GIJ = ADI * Q * TIJ * (FI1 - FI2)/ABS (GAMA-GAMC)/ADX

172

LISTADO DE “LEDA”

173

0001: REAL NR 0002: DIMENSlON N( 250), NR (250), X (250), TETA (250) 0003: D.ATA F/500./ 0004: DATA R/200./ 0005: WRITE (5,7) 0006:7 FORMAT( ‘NUMERO T O T A L DE D I E N T E S ’ ) 0007: READ (5,8) NTD 0008:8 F0RMAT( I3) 0009: ADI = R/NTD 0010: Y = R - ADl/2. 0011: N(1) =0 0012: NT = 0 0013: I = 2 0014:1 CONTINUE 0015: WRITE (5,3) 0016: CALL F R E M A T 0017: READ (5,2) N(I), X (I), NR(I) 0018: 2 F O R M A T (V ) 0019:3 FORMAT (‘NUMERO, DESTINO, INDICE’) 0020: NT = NT + N(I) 0021: IF ( N T . G E . N T D ) G O T O 4 0022: J = I + 1 0023: GO TO 1 0024:4 CONTINUÉ 0025: K = I – 1 0026: K2 = 0 0027: DO 6 I = 1,K 0028: K1 = K2 + 1 0029: K2 = K1 + N(I+1) – 1 0030: D0 6 J=K1,K2 0031: A = Y - X(I+1) 0032: B = NR (I+1) * SQRT (F**2 + (Y – X(I + 1))**2) - F 0033: C = A/B 0034: TETA (J) = ATAN(C) 0035: Y=Y - ADI 0036: WRIT E (7,5 ) TETA (J) 0037: 5 F ORM A T (F10.8) 0038: 6 CONTINUE 0039: S T OP 0040: END

>> ERROR COUNT: 0OOO, P S F C T S I ZE : 0352, D S E C T SI7E: 1778; REV. 5

174

LISTADO DE “ELP”

175

APÉNDICE E

DISEÑO TERMODINÁMICO DE UNA LENTE PLANA DE FRESNEL:

PROGRAMAS E INTRUCCIONES DE USO

Este programa calcula, en grados, los valores de los dientes de la lente plana de

Fresnel más próxima al ideal termodinámico, resolviendo para cada diente y con el método

de Newton, la ecuación siguiente:

( )( ) ( )( ) ( )1.22sinarcsinsinarcsin 21 Efyarctgnn VR ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−++− θαθαθ

donde

( )2.sin1arcsin1 EnR

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= αα

( )3.sin1arcsin2 EnV

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= αα

siendo α el ángulo de aceptancia del sistema, f la distancia entre la lente y la boca de la 2ª

etapa receptora y nR y nV los índices de refracción correspondientes a las longitudes de

onda menos y más refractadas, respectivamente.

Para una lente cuyos dientes tengan una anchura constante, el programa calcula

todos los dientes comenzando por el más alejado del centro de la lente.

Las páginas siguientes muestran en detalle del programa y las instrucciones de uso.

183

APÉNDICE F

DISEÑO ANALÍTICO DE UNA LENTE PLANA DE FRESNEL

Este apéndice calcula los valores de los ángulos de los dientes de la zona central de una

lente híbrida cuadrada de dientes circulares, para que la generación de portadores sobre la superficie

de la célula solar iluminada resulte lo más uniforme posible.

Otros datos son:

Lado de la lente ............................................ 40 cm

Anchura de los dientes.................................... 0,8 mm

Número de ángulos diferentes .......................... 40

Luminancia de la lente.................................... 0,8

Diámetro de la célula ..................................... 5 cm

La generación de portadores sobre la superficie de la célula solar se analiza con el método y

programas descritos en el Apéndice D.

Como punto de partida se utilizaron tres criterios diferentes de diseño de dientes:

1) Llevar todos los rayos de los dientes a un punto y colocar la célula en un plano por encima

de ese punto (Fig. AF.l). Por similitud con las lentes convencionales, le llamaremos criterio focal.

188

2) Llevar todos los rayos al borde exterior de la célula (Fig. AF.2). Le llamaremos criterio

del extremo.

3) Llevar todos los rayos al centro de la célula (Fig. AF.3). Le llamaremos criterio central.

189

Los tres criterios se probaron utilizando los índices de refracción correspondientes a varias

longitudes de onda y se l legó a las siguientes conclusiones:

a) La variación del índice de refracción con la longitud de onda, es suficientemente lenta

como para que no haya variaciones apreciables, al -uti l izar el correspondiente a una u otra longitud

de onda, en amplios márgenes de esta. Por ello se decidió ut i l izar el índice correspondiente a los

650 mm, que ofrecía la ventaja de ser el más próximo al infrarrojo conocido con toda exactitud.

b). El criterio focal nunca produce pendientes suficientemente grandes en el borde de la

célula (Fig. AF.4).

c) El criterio del extremo produce pendientes aceptablemente grandes en el borde de la

célula, pero deja muy desangelada la zona central. (Fig. AF.5).

d) El criterio central consigue el resultado inverso al del punto anterior (Fig. AF.6).

Por lo tanto, ninguno de estos criterios por si solo constituye una buena solución y ello hizo

que se ensayaran otros criterios resultantes de combinar los iniciales. De estos nuevos criterios el

más adecuado consiste en hacer que los 21 dientes exteriores l leven sus rayos al extremo de la

célula, mientras que los restantes lo hacen a un punto situado a 1 cm del centro de la misma. El perfil

de generación de portadores resultante puede verse en la Fig. AF.7. En e l l a puede observarse una

cierta desuniformidad inherente al número de ángulos diferentes fijados en este diseño. Sin

embargo, es de esperar que en una lente real esta desuniformidad se vea suavizada por lo que la

complejidad necesaria para conseguir su e l iminación quizás no esté justificada.

190

APÉNDICE G

DISEÑO POR EL PROCEDIMIENTO DE GRUPOS

DE UNA LENTE PLANA DE FRESNEL

En este apéndice se describe el diseño de una lente plana de Fresnel, de forma cuadrada, compuesta por

ce ld i l l as hexagonales unidas entre si como lo hacen las ce ld i l las de los paneles de una colmena (Fig. AG.l). Cada

ce ld i l l a , está constituida por varios dientes de igual ángulo, de tal manera que toda la energía incidente sobre e l l a es

refractada de forma que se distribuye uniformemente sobre la superficie de la célula.

Resulta evidente que el ángulo de los dientes de cada c e l d i l l a ha de ser tal que un rayo que incida sobre su

centro y perpendicular al plano de la lente se refracte de tal forma que alcance el centro de la célula solar. Por otro lado,

los dientes han de estar colocados de manera que sus aristas sean perpendiculares a la línea que une el centro de la

c e l d i l l a con el centro de la lente. Ambas condiciones l levan, por simples consideraciones geométricas a las

ecuaciones siguientes

( )( )

( )1..2

1222

2122

GAfYXfn

YXarctg

ii

iii

−++

+=θ

y

( )2..ˆ GAYX

arctgBi

i⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Donde , son las coordenadas del centro de la c e l d i l l a y f es la distancia entre la lente y la cé lu l a solar. El iX iY

ángulo B está definido en la Fig. AG.l.

Con este procedimiento, hemos diseñado una lente rectangular (36,36 cm x 31,49 cm), para iluminar

células redondas de 5 cm de diámetro, con una distancia entre lente y cé lu la de 45, 94 cm. Esta lente se encuentra

actualmente en proceso de fabricación, y será i n c lu ida en un panel fotovoltaico que se está construyendo en nuestro

laboratorio(15).

196

APÉNDICE H

CARACTERÍSTICAS DEL SYLGARD 182

BIBLIOGRAFÍA

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DOCTORAL

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