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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

MÓDULO # 11: ONDAS MECÁNICAS –SONIDO-

Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas

Introducción

Fundamentos

Cualidades del sonido: la intensidad

Cualidades del sonido: el timbre

Cualidades del sonido: el tono

Tubos sonoros: repaso

La voz humana

El Efecto Doppler

Taller

Introducción

Las ondas que se propagan a lo largo de un resorte como

consecuencia de una compresión longitudinal del mismo

constituyen un modelo de ondas mecánicas que se asemeja

bastante a la forma en la que el sonido se genera y se

propaga. Las ondas sonoras en los fluidos se producen

también como consecuencia de una compresión del medio a lo

largo de la dirección de propagación. Son, por tanto, ondas

longitudinales.

La campana de un timbre vibra al ser golpeada por su

correspondiente martillo, lo que da lugar a compresiones sucesivas del medio que la rodea, las cuales se

propagan en forma de ondas. Un diapasón, la cuerda de una guitarra o la de un violín producen sonido según

un mecanismo análogo.

En los sólidos se dan ondas sonoras transversales además de las longitudinales. Dichas ondas transversales

aparecen en los sólidos porque en éstos las fuerzas entre las moléculas ordenadas no actúan tan solo en la

misma dirección de la onda sino también en dirección transversal a la misma. Como las fuerzas

recuperadoras para el movimiento trasversal son más débiles, la velocidad de la onda transversal es en

general menor que la de la onda longitudinal. En este módulo sólo se analizarán las ondas sonoras longitudinales.

En definitiva, para que se produzca un sonido, es necesario que exista un cuerpo que vibre y un

medio elástico que propague esas vibraciones. Los sonidos son diferentes unos de otros, la voz de un ser

humano se puede distinguir del sonido que emiten los pájaros, de un instrumento musical o del viento; pero

para que pueda transmitirse requiere de un medio que puede ser gaseoso, sólido o líquido. El ser humano

2

requiere del aire para comunicarse mediante los diversos sonidos, los peces del agua y algunos animales

como los topos y castores de la tierra que es sólida. En el vacío el sonido no se propaga.

El sonido se propaga más rápido en el estado sólido que en el estado líquido y se propaga más rápido en el

estado líquido que en el gaseoso. La razón de esto tiene que ver con la cercanía de las partículas en cada

uno de estos medios y en la magnitud de la interacción eléctrica entre ellas. El sonido en el hierro se

propaga a unos 5 000 m/s, en el agua a unos 1 500 m/s y en el aire a temperatura ambiente a unos 340m/s.

En relación a la frecuencia, el oído humano es capaz de captar sonidos emitidos entre los 16 Hz y los

20 000 Hz. Los ultrasonidos tienen una frecuencia mayor a los 20 000 Hz y los infrasonidos una

frecuencia menor a los 16 Hz.

En resumen, las ondas sonoras en los fluidos son longitudinales y mecánicas.

Fundamentos

En éste módulo se tratarán sólo las ondas sonoras en un gas. En el módulo 8 se explicó cómo es que en un

gas cuando se propaga una onda longitudinal se presentaban simultáneamente tres ondas: onda de

deformación (elongación), onda de presión y onda de densidad. Las tres viajan con la misma velocidad igual a

o

BV = [1]

ρ

en donde B (se mide en Pa) es el módulo de compresibilidad del gas y o su densidad volumétrica en estado

de equilibrio (se mide en kg.m-3) aunque las ondas de elongación están desfasadas π

2 (es decir

espacialmente λ

4 respecto a las ondas de presión. En el aire a del aire a unos 25 ºC el valor es

aproximadamente 340 m/s. Se acostumbra hablar del sonido como una ONDA de PRESIÓN.

Tener en cuenta que la onda de presión corresponde a oscilaciones de la presión alrededor de la presión

atmosférica, es decir, a oscilaciones de la denominada presión manométrica. La onda de deformación (o

elongación), corresponde a oscilaciones de las partículas alrededor de sus posiciones de equilibrio. Un valle

en la onda de presión, corresponde a una presión manométrica negativa, o sea, a una expansión. Una cresta

corresponde a una presión manométrica positiva, o sea, a una compresión.

Además, la amplitud de presión oP y la amplitud de elongación A se relacionan mediante la expresión:

o oP = BkA = Vρ ωA [2]

Ejemplo 1:

Demostrar la expresión [2].

Solución:

3

Sea la onda viajera de deformación (elongación),

y = A sen kx - ωt (1)

La ley de Hooke aplicada a fluidos es (ver módulo 9),

yP = - B (2)

x

Por lo tanto la onda viajera de presión es,

P = - BkA cos kx - ωt (3)

Definiendo a oP como la amplitud de presión se obtiene,

oP = - P cos kx - ωt (4)

y,

oP = BkA (5)

Observar que la onda de elongación y la de presión están desfasadas π

2 como se ha repetido ya varias

veces: P es la presión manométrica y oP la amplitud de presión manométrica.

De (5) y como,

kV = ω

se obtiene,

o oP = Vρ ωA (6)

Ejemplo 2:

A 400 Hz el sonido más débil que se puede escuchar corresponde a una amplitud de presión de alrededor

8,00x10-5 N.m-2. Calcular la amplitud de deformación A, suponiendo una densidad del aire de 1,29 kg.m-3 y

una velocidad del sonido de 345 m.s-1

Solución:

Como

ω = 2πf

4

La ecuación [2] toma la forma,

o oP = 2πVρ f A

Y por lo tanto,

o

o

P A =

2πVρ f

Reemplazando,

-5

o 2

NP = 8,00×10

m

o 3

kgρ = 1,29

m

mV = 345

s

f = 400 Hz

se obtiene,

-11A = 7,16×10 m

Esta amplitud de vibración de las partículas del gas es del orden de las dimensiones moleculares (10-12 m), y

mucho menor que la separación molecular media en un gas. En la práctica se prefiere tratar la onda sonora

estudiando la onda de presión.

En la siguiente simulación se ilustra la onda longitudinal viajando en un gas.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas viajeras > Ondas viajeras

longitudinales en gas. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 1. Se

despliega la simulación de la Figura 2. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente

los resultados.

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Figura 1

Figura 2

Velocidad de sonido en el aire

Cuanto mayor es la temperatura del aire mayor es la velocidad de propagación del sonido a través de el. La

velocidad del sonido en el aire aumenta 0,6 m/s por cada 1º C de aumento en la temperatura. Una velocidad

V aproximada (en m/s) puede ser calculada mediante la siguiente fórmula empírica:

V = 331,5 + 0,6t [3]

6

en donde t es la temperatura en oC

Cualidades del sonido: la intensidad

El oído es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las diferencias que puedan existir

entre ellos en lo que concierne a alguna de las tres cualidades que caracterizan todo sonido y que son la

intensidad, el tono y el timbre. Aun cuando todas ellas se refieren al sonido fisiológico, están relacionadas

con diferentes propiedades de las ondas sonoras.

La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se capte como fuerte o como débil, está

relacionada con la intensidad de la onda sonora correspondiente, también llamada intensidad acústica. La

intensidad acústica es una magnitud que da idea de la cantidad de energía que está fluyendo por el medio

como consecuencia de la propagación de la onda. Se define como la energía que atraviesa por segundo una

superficie unidad dispuesta perpendicularmente a la dirección de propagación. Equivale a la potencia por

unidad de superficie y se expresa en W.m-2.

Ley del inverso cuadrado

En el módulo 10 ecuación [10] se mostró que la intensidad media de una onda mecánica armónica plana,

2 21I = ρω A V [4]

2

Esta sería entonces la intensidad media de la onda sonora considerada armónica plana y se mantendría

constante en su propagación (obviamente bajo la consideración de no disipación de energía).

Pero en general la onda sonora no es plana sino esférica debido a que las fuentes son en general puntuales.

Por tanto, la intensidad decrece a medida que el sonido avanza, de acuerdo a la ley del inverso cuadrado,

2

1 2

2

2 1

I R = [5]

I R

siendo R la distancia a la fuente sonora.

Nivel de intensidad

La ley de Weber-Fechner:

Establece una relación cuantitativa entre la magnitud de un estímulo físico y como este es percibido. Fue

propuesta en primer lugar por Ernst Heinrich Weber (1795-1878), y elaborada hasta su forma actual por

Gustav Theodor Fechner (1801-1887). Ernst Heinrich Weber estableció su ley de la sensación (o Ley de

Weber) en la que formulaba la relación matemática que existía entre la intensidad de un estímulo y la

sensación producida por éste. Estos y otros descubrimientos llevaron a la convicción de que era posible

explicar mediante principios físico-químicos todos los actos humanos. La ley expresa que la relación entre

el estímulo y la percepción corresponde a una escala logarítmica:

7

La sensación crece con el logaritmo del estímulo. Esta relación logarítmica significa que si un estímulo

crece como una progresión geométrica (es decir multiplicada por un factor constante), la percepción

evolucionará como una progresión aritmética (es decir con cantidades añadidas).

Aplicada esta ley al sonido expresa que el nivel sonoro crece con el logaritmo de la intensidad, es decir

cuando la intensidad crece en progresión geométrica, la sonoridad crece en progresión aritmética. A esta

escala se le denomina nivel de intensidad y se expresa en dB (decibel):

o

Iβ = 10 log [6]

I

donde I0 es una intensidad de referencia: para el caso del aire se ha tomado 10-12 W.m-2. Un nivel de

intensidad acústica de 10 db corresponde a una intensidad diez veces mayor que la intensidad

correspondiente a un nivel de intensidad de cero db; un nivel de intensidad de 20 dB representa una

intensidad 100 veces mayor que la que corresponde a un nivel de 0 db y así sucesivamente. El nivel de

intensidad mide la sensación y la intensidad mide el estímulo. En la tabla 1 se ilustra las equivalencias

entre las intensidades y los niveles de intensidad de ondas sonoras en el aire y en la tabla 2 se ilustra

ejemplos de ondas sonoras cotidianas y su valor aproximado de nivel de intensidad .

Tabla 1: Intensidad y Nivel de Intensidad I (W.m-2) (dB)

100 120

10-1 110

10-2 100

10-3 90

10-4 80

10-5 70

10-6 60

10-7 50

10-8 40

10-9 30

10-10 20

10-11 10

10-12 0

Tabla 2: Ejemplos cotidianos de niveles de intensidad sonora Ejemplo (dB)

Sonido más tenue que percibe el oído humano 0

Biblioteca silenciosa 30

Conversación normal, máquina de cocer, máquina de escribir 60

Cortadora de pasto, herramientas pesadas, tráfico pesado 90

Motosierra, Martillo neumático 100

Concierto de rock pesado, bocina de auto 115

Explosión, Motor de jet 140

8

Ejemplo 3:

Camila gritando genera un sonido de 70 dB, ¿Cuántas personas deberían gritar con la intensidad de Camila

para generar entre todos un sonido de 80 dB?

Solución:

La escala en dB no es una escala lineal por lo que no se podrá hacer reglas de tres con sus conversiones. Por

lo tanto para lograr hacer la regla de tres es necesario convertir los niveles de intensidad a intensidades

empleando la ecuación [6].

Para =70 dB,

-12

I70 = 10 log

10

-5

2

WI = 10

m

Para =80 dB,

-12

I80 = 10 log

10

-4

2

WI = 10

m

Por lo tanto realizando la regla de tres se obtiene,

-4

-5

1×10# personas = 10

10

Ejemplo4:

¿Duplicar la intensidad del sonido a cuántos decibeles corresponde?

Solución:

Empleando la ecuación [6],

11

o

Iβ = 10 log

I

22

o

Iβ = 10 log

I

9

2 1 2 o 1 oβ - β = 10 log I - 10 log I - 10 log I + 10 log I

2 1 2 1β - β = 10 log I - 10 log I

22 1

1

Iβ - β = 10 log

I

y como 2 1I = 2I se obtiene

β = 10 log 2

β = 3,0 dB

Es decir un aumento en 3 dB en el nivel de intensidad del sonido equivale a duplicar la intensidad del

sonido.

Ejemplo 5:

Una fuente puntual emite un sonido tal que a 1,00 m de ella tiene un nivel de intensidad igual a 40,0 dB. ¿A

qué distancia no se escuchará el sonido emitido por la fuente?

Solución:

Como la fuente sonora es puntual la onda sonora correspondiente es esférica y por lo tanto se cumple la ley

del inverso cuadrado, ecuación [5],

2

1 2

2

2 1

I R =

I R

Primero hay que obtener las intensidades correspondientes a los niveles de intensidad. Para R1 1β = 40 dB

y por lo tanto de la ecuación [6],

1

-12

I40 = 10 log

10

-8

1 2

WI = 10

m

Para R2 1β = 0 dB y por lo tanto de la ecuación [6],

10

2

-12

I0 = 10 log

10

-12

2 2

WI = 10

m

Reemplazando estas intensidades en la ley del inverso cuaddaro,

2

1 12

2

R ×IR =

I

12 1

2

IR = R

I

2R = 100 m

Cualidades del sonido: el timbre

El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentes de diferentes instrumentos,

aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido a esta misma cualidad es posible reconocer a una persona

por su voz, que resulta característica de cada individuo. El timbre está relacionado con la complejidad de

las ondas sonoras que llegan al oído. Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros; sólo los

diapasones generan este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representados por una

onda armónica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar a un sonido más rico que resulta de

vibraciones complejas. Cada vibración compleja puede considerarse compuesta por una serie de vibraciones

armónico simples de una frecuencia y de una amplitud determinadas (teorema de Fourier), cada una de las

cuales, si se considerara separadamente, daría lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonos parciales es

característica de cada instrumento y define su timbre: cada instrumento posee su propio espectro de

Fourier. Debido a la analogía existente entre el mundo de la luz y el del sonido, al timbre se le acostumbra

denominar también color del tono.

En resumen, el timbre depende del espectro de Fourier del instrumento. Varios instrumentos podrían

tener la misma frecuencia fundamental (tono), Figura 3, pero se diferenciarán en sus armónicos

superiores.

Figura 3: Igual tono pero diferente timbre

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Cualidades del sonido: el tono

El tono es la cualidad del sonido mediante la cual el oído le asigna un lugar en la escala musical, permitiendo,

por tanto, distinguir entre los graves y los agudos. La magnitud física que está asociada al tono es la

frecuencia fundamental. Los sonidos percibidos como graves corresponden a frecuencias fundamentales

bajas, mientras que los agudos son debidos a frecuencias fundamentales altas. Así el sonido más grave de

una guitarra corresponde a una frecuencia de 82,4 Hz y el más agudo a 698,5 Hz. Junto con la frecuencia,

en la percepción sonora del tono intervienen otros factores de carácter psicológico. Así sucede por lo

general que al elevar la intensidad se eleva el tono percibido para frecuencias altas y se baja para las

frecuencias bajas. Entre frecuencias comprendidas entre 1 000 y 3 000 Hz el tono es relativamente

independiente de la intensidad.

Tubos sonoros: repaso

Recordar los resultados obtenidos para los tubos sonoros en el módulo sobre ondas estacionarias, módulo 8.

Las frecuencias propias (o frecuencias de resonancia) para los tubos cerrados cumplen,

n

2n-1 Vf = , n=1,2,3,... [7]

4L

y las de los tubos abiertos cumplen,

n

nVf = , n=1,2,3,... [8]

2L

en donde L es la longitud de la columna de gas, es decir, del tubo que la contiene, V la velocidad de

propagación del sonido en el gas.

La voz humana

El aparato fonatorio involucra una serie de órganos que comparte con el sistema respiratorio y el digestivo.

Para lograr comprender el proceso de la fonación y la función que cumple cada parte del aparato fonatorio

en dicho proceso, se lo puede dividir en tres partes:

Sistema productor de energía: vías respiratorias inferiores, diafragma y músculos del tórax.

Sistema generador de sonido: laringe y cuerdas vocales.

Sistema de resonancia: faringe, cavidad bucal y cavidad nasal.

En la Figura 4A se ilustra la anatomía del sistema fonatorio y en la Figura 4B un modelo físico del mismo.

Sistema generador: las cuerdas vocales

Las cuerdas vocales se abren y cierran rápidamente produciendo variaciones en la presión generando una

onda de presión que constituye el sonido básico del habla (pero sin amplificación, es muy débil). Desde el

punto de vista físico las cuerdas vocales no pueden asimilarse exactamente a un instrumento de cuerda ni a

un instrumento de viento aunque en algunos aspectos se asemejan. Tiene masa y tensión como los primeros

y actúan sobre una corriente de aire como los segundos: la frecuencia de vibración de las cuerdas vocales

depende de la tensión muscular, de la masa de tejido involucrado en la vibración y del caudal del flujo de

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aire que proviene de los pulmones, componentes que varían voluntariamente durante el proceso de fonación.

Normalmente la frecuencia fundamental f1 de vibración de las cuerdas vocales es del orden de 120 Hz para

los hombres, 250 Hz para las mujeres. El espectro completo del sonido generado por está compuesto por la

frecuencia fundamental f1 y la serie de frecuencias correspondientes a los armónicos o múltiplo de f1.

Figura 4

Sistema de resonancia: cavidad resonante (tubo sonoro)

Por último el tracto vocal el cual está conformado por tres cavidades (la faringe, la nasal y la vocal)

produce modulaciones en el sonido originado en las cuerdas vocales comportándose como un complejo

sistema de resonancia que filtra y refuerza componentes del sonido original: el aire contenido en el tracto

vocal recibe el tren de pulsos cuasi periódicos que se genera en la cuerdas vocales y comienza a vibrar en

una forma bastante compleja según las frecuencias naturales de resonancia de las distintas cavidades que

lo componen. Estas frecuencias corresponden aproximadamente a las de un tubo cerrado (el tracto se

puede asimilar a un tubo de sección uniforme cerrado a nivel de la glotis y abierto en la boca),

n

2n-1 Vf = , n=1,2,3,... [7]

4L

De esta forma el aparato fonador se comporta como un emisor de sonido compuesto por un sistema

productor de sonido, cuerdas vocales, y un sistema de resonancia, el tracto vocal.

Si se toma como valores normales para la longitud del tracto vocal 17 cm en los hombres y 13 cm en las

mujeres las longitudes de onda para los primeros cuatro modos resonancia y sus correspondientes

frecuencias (también denominadas frecuencias formantes) tomando como velocidad del sonido 349 m/s se

ilustran en la Tabla 3.

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Tabla 3

Armónico 1 Armónico 2 Armónico 3 Armónico 4

Hombre Longitud de onda (cm) 68 22,67 13,66 9,71

Frecuencia (Hz) 500 1 500 2 500 3 500

Mujer Longitud de onda (cm) 52 17,33 10,4 7,43

Frecuencia (Hz) 650 1 960 3 270 4 580

Resumiendo:

El sistema generador (laringe + cuerdas vocales) produce un conjunto de vibraciones armónicas sonoras

con una frecuencia fundamental que depende de la tensión y de la masa de las cuerdas vocales. En general

esta frecuencia es menor en lo hombres que en las mujeres porque las cuerdas de los hombres tienen más

masa: 120 Hz lo hombres y 250 Hz en las mujeres (estos valores son estimaciones). Los múltiplos de estas

frecuencias corresponden a los armónicos sucesivos: hombres (240 Hz, 360 Hz, 480 Hz, …), mujeres (500

Hz, 750 Hz, 1 000 Hz…).

Para el sistema de resonancia (faringe + cavidad bucal + cavidad nasal) las frecuencias propias

corresponden aproximadamente a las de un tubo cerrado. En la tabla 3 se dan estimaciones de las

frecuencias correspondientes a los cuatro primeros armónicos para un hombre y para una mujer (estas son

estimaciones de las frecuencias formantes de los sonidos en el habla).

Los sonidos cuyas frecuencias formantes están cercanas a frecuencias de sistema generador entran

en resonancia y se amplifican.

La voz del pato Donald

Las frecuencias formantes de la cavidad de resonancia son proporcionales a la velocidad del sonido en la

cavidad, ecuación [7]. Si se inhala helio las frecuencias formantes de la cavidad del habla se ven

aumentadas en un factor de 2,9: la velocidad del sonido en el helio es 2,9 veces mayor que la velocidad del

sonido en el aire. Así se genera una voz parecida a la del Pato Donald

El Efecto Doppler

El efecto Doppler consiste en la variación de la frecuencia de una onda percibida por un observador cuando

la fuente de la perturbación y/o el observador están en movimiento.

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Este efecto fue analizado por Christian Doppler (1803 - 1853) para dar explicación de la variación en

frecuencia de las ondas luminosas que provienen de cuerpos celestes, aunque el fenómeno pueda observarse

más fácilmente en las ondas sonoras.

Se presentan tres casos:

Fuente en movimiento y observador quieto.

Fuente quieta y observador en movimiento.

Fuente y observador en movimiento.

Fuente en movimiento y observador quieto

En este caso supóngase que la fuente F de

ondas sonoras está en movimiento con

velocidad u , Figura 5. Esta fuente emite

ondas de frecuencia f y longitud de onda

λ . Se mostrará que el observador O

recibirá las ondas que se mueven con

velocidad de propagación V con una

frecuencia f y una longitud de onda λ :

se tomará como positivo el sentido de las velocidades concorde con el sentido de la velocidad de

propagación de la onda, es decir el sentido F O (es decir, de fuente hacia observador).

Si la fuente estuviera quieta, después de cierto tiempo t , necesario para que el observador reciba la

primera onda, la fuente habría emitido N ondas,

N = f t (1)

que ocuparían la distancia,

FO = Nλ (2) .

Si, mientras se emiten las ondas, la fuente se mueve (hacia el observador) con velocidad u , entonces al

tiempo t , el mismo número N de ondas debe ocupar un distancia F O < FO dado que la fuente se ha

desplazado una distancia,

FF = ut (3)

Esto implica que si en una distancia menor debe distribuirse el mismo número N de ondas, la longitud de

onda debe acortarse de manera que,

F O = Nλ (4)

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Es evidente que,

FO = FF + F O

y por lo tanto de (2), (3 y (4),

Nλ = ut + Nλ (5)

Reemplazando (1),

f t λ = u t + f t λ

f λ = u + f λ (6)

Teniendo en cuenta que la velocidad de propagación V de las ondas es independiente del movimiento de la

fuente, la variación de la longitud de onda implica una variación de la frecuencia de manera que,

V = λf = λ'f' (7)

Reemplazadas (7) en (6),

f f = (8)

V - u V

Esta ecuación muestra que la frecuencia percibida por el observador aumenta si la fuente se acerca

( u > 0 ) y disminuye si la fuente se aleja ( u < 0 ).

Los otros dos casos pueden reducirse a este caso escogiendo un sistema de referencia con respecto al cual

el observador esté quieto. Este será el camino que se seguirá a continuación.

Fuente quieta y observador en movimiento

Supóngase que la fuente esté quieta y el observador está en movimiento con velocidad w con respecto al

sistema de referencia S. Si se escoge un sistema de referencia S’ en el cual el observador esté quieto, la

fuente se moverá con velocidad - w mientras que las ondas se propagaran con velocidad V - w . De esta

forma el caso se redujo al de la ecuación (8) y por lo tanto se obtiene,

f f

= V - w - - w V - w

f f = (9)

V V - w

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Fuente y observador en movimiento

Supóngase que la fuente F se mueve con velocidad u y el observador O con velocidad w ; como en el caso

anterior podemos escoger un sistema de referencia S’ en el cual el observador esté quieto. En este sistema

S’ la fuente se moverá con velocidad u - w mientras las ondas se propagan con velocidad V - w ; si se

reemplaa en la ecuación (8) se otiene,

f f

= V - w - u - w V - w

f f = [9]

V - u V - w

Esta es la expresión que se empleará para el efecto Doppler.

Convenio de signos:

Recordar que se considerará V siempre positiva; u y w serán positivas si tienen el sentido de V de lo

contrario se tomarán negativas.

La aplicabilidad de la ecuación [9] está sometida a la condición V > w dado que si el observador se mueve

con velocidad superior a la velocidad de las ondas no sería alcanzado por la perturbación, además w > V ;

implicaría valores negativos para f , resultado que no tendría sentido. Por la misma razón debe ser

V > u dado que si la fuente se mueve más rápido que las ondas la ecuación [9] conduciría a frecuencias f

negativas.

Ejemplo 6: Este ejemplo mostrará la NO SIMETRÍA del efecto Doppler y la explicación de esto.

Una ambulancia emite una frecuencia de 1 000 Hz. Calcular la frecuencia que percibe un conductor de un

auto si: (a) la ambulancia se acerca a éste con una rapidez igual a 30,0 m/s y el carro del conductor está en

reposo, (b) la ambulancia está en reposo y el conductor se acerca a la ambulancia con una rapidez igual a

30,0 m/s.

Nota: mostrar que en ambos casos da una frecuencia mayor a 1 000 Hz pero no dan el mismo valor como

aparentemente se podría pensar (esta es la denominada NO SIMETRÍA del efecto Doppler). Dar las

razones físicas de esto

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Solución:

En la Figura 6 se ilustra cada uno de los casos.

Figura 6

Reemplazando los valores del caso (a) en la ecuación [9] y despejando f’ se obtiene,

1 000 f

= 340 - 30 340

f = 1 097 Hz

Reemplazando los valores del caso (b) en la ecuación [9] y despejando f’ se obtiene,

1 000 f

= 340 340 - 30

f = 1 088 Hz

Observar que en ambos casos da mayor que 1 000 Hz pero no da igual. La razón de esto es la siguiente:

En el caso (a) el observador mide una longitud de onda menor pero las ondas de sonido se acercan a él

con la velocidad de 340 m/s. En la Figura 7 se ilustra por qué cuando la fuente se mueve el observador

hacia donde se acerca detecta menor longitud de onda, λ < λ , mientras que el observados que observa

la fuente alejándose detecta mayor longitud de onda, λ > λ . El fundamento de esto es que la fuente

puntual emite ondas esféricas con centro en ella y cuando esta se mueve el centro va cambiando dando

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como resultado que los frentes de onda se pegan hacia donde se mueve la fuente y se alejan entre ellos

en el sentido contrario.

Figura 7

Por lo tanto como,

λf = V

Vf =

λ

y como el numerador permanece constante pero el denominador disminuye (la fuente se acerca al

observador), entonces la frecuencia detectada por el observador se incrementa.

En el caso (b) la fuente está en reposo y por lo tanto todos los frentes de onda son concéntricos y por

lo tanto no hay variación en la longitud de onda; sin embargo el observador al acercarse a la fuente con

una rapidez igual a 30,0 m/s ve que la onda sonora se acerca a él con una rapidez mayor e igual a 370

m/s. En este caso el denominador de la expresión anterior permanece constante pero aumenta del

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numerador generando también un aumento en la frecuencia detectada. Sin embargo no es lo mismo un

aumento en la frecuencia debido a un aumento en el numerador que a una disminución en el

denominador.

En definitiva, el aumento de la frecuencia percibida por el observador en el caso (a) es debido a una

disminución en la longitud de onda captada por el observador y en el caso (b) a un aumento en la velocidad

de propagación percibido por el observador.

Ejemplo 7: Ecografía Doppler

Enunciado y figura 8 tomados de: http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/No_me_salen/ONDAS/ond_2_ad_02.html

La velocidad media del flujo sanguíneo en una arteria de perro es

2,3 x 10-2 m/s. ¿Cuál es la frecuencia media del sonido detectado en un

aparato Doppler de medida si la frecuencia de la fuente es 105 Hz (la

velocidad del sonido en la sangre es 1 570 m/s)? ¿A cuántas pulsaciones

Doppler equivalen?

Nota: las pulsaciones Doppler se calculan haciendo la diferencia entre la

frecuencia emitida por la fuente y la recibida.

Solución:

En la Figura 9 se ilustra las dos partes

en las cuales se debe dividir la

solución. En la primera parte se toma

como fuente el instrumento de

ultrasonido y como observador los

glóbulos rojos: corresponde a la onda

sonora que incide en los glóbulos. En la

segunda parte se toma como fuente

los glóbulos rojos y como observador

el instrumento ultrasónico:

corresponde a la onda reflejada por

los glóbulos rojos. Se debe anotar que

en la reflexión NO se cambia la

frecuencia de la onda, es decir, la

frecuencia con la cual llega la onda que

incide en los glóbulos es igual a la frecuencia de las ondas que salen de la reflexión en éstos.

Con base en lo anterior y suponiendo la sangre moviéndose hacia el aparato ultrasónico se tiene para el

Doppler de ida,

20

1u = 0

1 g

mw = V = - 0,023

s

1f =100 000 Hz

1f = ?

mV = 1 570

s

Reemplazando en la ecuación [9] se obtiene,

1f100 000

= 1 570 1 570 - 0,023

1f = 100 014, 65 Hz

Para el Doppler de regreso se tiene,

2

mu = + 0,023

s

2w = 0

2f = 100 014,65 Hz

2f = ?

mV = 1 570

s

Reemplazando en la ecuación [9] se obtiene,

2f100 014,65

= 1 570 - 0,023 1 570

2f = 100 016,12 Hz

Esta es la frecuencia de la onda de regreso detectada por el instrumento. Las pulsaciones Doppler son

iguales a,

1 2Δf = f - f

Δf = 100 000 - 100 016,12 Hz

21

Δf = 16,1 Hz

Es decir se detectan 16,1 pulsaciones por segundo. Pece muy poca la diferencia pero el instrumento es

capaz de detectarla.

Este examen médico denominado “Doppler venoso o arterial” es muy preciso y exacto para detectar

trombos en la sangre: en este caso el aparato mide Δf y con base en esto calcula la velocidad de la sangre.

Ejemplo 10: Sobre el efecto Doppler en la luz y su uso en astronomía.

Tomado textualmente de: http://home.earthlink.net/~astronomia/_/Main/T_doppler.html

El efecto Doppler en astronomía es una herramienta esencial, ya que éste suministra información para

investigar el movimiento y la composición química de las estrellas lejanas. Para entender cómo el efecto

Doppler nos da esta información, considere los siguientes hechos:

Cuando la luz emitida por una estrella pasa por sus capas de gas más externas, las ondas de

determinadas longitudes de onda son absorbidas por estos átomos.

En el espectro de la luz emitido por la estrella aparecen estas líneas de absorción como bandas oscuras.

Cuando una estrella se aleja de nosotros o se acerca, el efecto Doppler cambia las longitudes de onda

percibidas, haciendo que las líneas en los espectros cambien de lugar.

Figura 10

La gráfica ilustra un ejemplo del espectro de absorción de la luz de la estrella. Las dos líneas negras

corresponden a luz que fue absorbida por loa átomos de la atmósfera de la estrella. El primer espectro

corresponde a una estrella en reposo relativo a nosotros que observamos desde la Tierra. El segundo

espectro corresponde a una estrella que se aleja de nosotros. Notar como las líneas del espectro se corren

hacia el rojo. Finalmente, el último espectro corresponde a una estrella que se acerca a nosotros. Notar

como las líneas del espectro se corren hacia el violeta.

22

Taller

1. Una persona es capaz de distinguir entre dos sonidos que le llegan con una diferencia de 0,10 s.

(a) Demostrar que podrá distinguir entre sonidos simultáneos de dos fuentes que estén a 34 m. (b) Si

su propia voz se reflejase en una pared percibirá dos sonidos diferentes, fenómeno conocido con el

nombre de eco. Demostrar que la distancia mínima a la superficie reflectante para que se detecte el

eco es igual a 17 m.

2. Una fuente puntual radia el sonido uniformemente en todas las direcciones. A una distancia de 10,0 m,

la intensidad del sonido es 10-4 W/m2. ¿A qué distancia del foco la intensidad es 10-6 W/m2? ¿Qué

potencia está radiando el foco?

Rp. 100 m, 0,126 W.

3. Una unidad de aire acondicionado opera con un nivel de intensidad de sonido de 73 dB. Si se pone a

trabajar en un cuarto, con un nivel de sonido ambiental de 68 dB ¿Cuál será el nivel de intensidad

resultante?

Rp. 73,9 dB

4. Tres frecuencias de resonancia sucesivas de un tubo de órgano son 1 310, 1 834 y 2 358 Hz. ¿Está el

tubo cerrado por un extremo o abierto por los dos? Hallar la frecuencia fundamental y la longitud del

tubo.

Rp. Es cerrado en un extremo, 262 Hz, 32,4 cm

5. Un estudiante sostiene un diapasón que oscila a 256 Hz. Camina hacia una pared con una rapidez

constante de 1,33 m/s (a) ¿Cuántas pulsaciones escucha? (b) ¿Cuán rápido debe caminar para escuchar

5 pulsaciones por segundo?

Rp: (a) 1,99 Hz (b) 3,38 m/s

6. La fuente de sonido del sistema de sonar de un barco opera a 25,0 kHz. La rapidez del sonido en el

agua es de 1 480 m/s. (a) Calcular la longitud de onda de las ondas emitidas por la fuente. (b) Calcular

las pulsaciones que se detectan debido a la reflexión de las ondas en una ballena que viaja directamente

hacia el barco a 5,85 m/s.

Rp: (a) 0,0592m (b) 198 Hz

7. Una sonda Doppler emite con una frecuencia de 2 MHz. Encontrar las pulsaciones Doppler captadas por

la sonda debido a la reflexión de las ondas en los glóbulos rojos que se alejan de ésta con una velocidad

igual a 0,10 m/s.

Rp. 260 Hz