Métodos Cuantitativos II 1 MAE Luis Fernando López

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II

Logaritmos Escriba en forma logarítmica: a) 28 = 256 b)(1/3)-1 = 3 c) (1/5)3 = 1/125 d) 52 = 25 e) 272/3=9 f) 6-2=1/36 g) b0 = 1 h) (1/3)-1 = 3 i) 5-3= 1/125

Escriba en forma exponencial: a) Log 2 16 = 4 b) Log 12 1/1728 = -3 c) Log 1/3 1/81 =4 d) Log 2 8 = 3 e) Log 2 128 = 7 f) Log 12 1/1728 = -3 g) Log 6 216 = 3 h) Log 3 1/27 = -3

Encontrar el valor de x si: a) logx 2 =1/8 b) logx 25 = 2 c) log2 x = 6 d) ln e = x d) log2 (x2 – 1) = log2 8 i) log (x2 + 64) = 2 e) log5 1/125= x Calcular el valor de (sin calculadora): a) 25log5 b) 5log 25 c) 3log9 d) 2log 4

e) 43 27log f) 3log 27 g) 25log5 h)

4log16log

5

5

i) 8log

32log

6

6 j) 9log81log

5

5 k) 5log

125log

3

3

Métodos Cuantitativos II 2 MAE Luis Fernando López

Aplicar las propiedades:

a) x

1 -x log 2

b) 2

3

1)2(x x -1 5x

Log

c) 3)-3)(x(x

5)-x(x22

2

bLog

d) 45

7

zyxLn

e) 33

42

)2(13

xxxLn

f) 3/1

2

2

)4(43

x

xxLn

g) 2/12

5 2

wbyzx

Ln

h) 86

92

2

xx

xLog

Escriba el logaritmo como una sola expresión.

1) 1/2 log (x2 – 1) – 1/2 log (x2 + 1) 2) 3logx –log2 – log (x + 5) 3) 2 log (x + 6) + 3 log (x + 3) - [5 log 2 + 3 log (x + 2)] 4) 3log x + 2 log (x + 1) 5) 2(log x – log 4)

6) 1ln1ln1

ln 2

x

xx

xx

7) 3log x + 2log y – 1/3log y – 3log z – 3log w

8)

267

432 2

2

2

xxxLog

xxxLog

9) ln(x2 – 9)-ln(x2 +7x+12) 10) 2log2 +3logx -1/2log(x+3) – 1/2log(x-2)

11) )4(3/15)1(3 2222 xLogxLogLogxLog

12) )5()2(32 2 xLnxLnLnx

Métodos Cuantitativos II 3 MAE Luis Fernando López

Ecuaciones Exponenciales

1) xxx 4)8(2 Sol x = 0 2) 2.18 x Sol x = -0.088 3) xx 63 4 Sol x = 6.34 4) 322 32 x Sol x = 1 5) 32)1ln( xe x Sol x = 2 6) 52327 xx Sol x = 5 7) 062 132 xx Sol x = 9.5475 8) 2/1)2(3 xe Sol x = 1.7689 9) xx 10)5(2 Sol x = 1

10) 51 xe Sol x = -0.6094 11) xx ee 343 Sol x = 0.07192 12) 125 xx e Sol x = 2.7782 13) 9)7(4 2 x Sol x = 0.2083 14) 312 )2()2(8 xx Sol x = -1

15) x

x

23821

2

Sol x = 3

16) 0152

xx eee Sol x = 2.56, x = -1.56 17) xx 10010 2 Sol x = -2 18) 332 xe Sol x = -0.95 19) 122 83 xx Sol x = -0.03849 20) xe x 5)46ln( 2

Sol x = 4/3 , x = -1/2 21) 4)()( xxxx eeee No tiene solución 22) 01 xxex Sol x = 0 , x = 1

23) 342

2

y

y

ee Sol x = 0.3466

24) 2254

2

2

x

x

ee Sol x = -0.3466

25) 43 11 xx ee Sol x = -1 26) 2)2/1(273 xx Sol x = -12 27) 2)5(3 2 xx Sol x = 0.1605 28) 21624

2

xx Sol x = 2 , x = -4 29) 55 3 xe Sol x = 3 30) 325 103 xx Sol x = -1.4764 31) 022 xx ee Sol x = 2/3 32) 1023 1x x Sol x = 3.97

Métodos Cuantitativos II 4 MAE Luis Fernando López

33) 423 2x x Sol x = 0.5579 34) x22)(3 2x Sol x = 0.3745 35) 75.0325.0 12 x Sol x = 1

36) 451

33

51

13

24x

x Sol x = -3

37) 3155

325 2313

xx Sol x = -4

38) 543 393 xx Sol x = -3

39) xx

x

253

23

2793

Sol x = -11/7

40) 284 2 3 xxx Sol x = 12/13

41) xe 3.061800200

Sol x = -2.3105

42) 543 9273 xx Sol x = -7/5 43) 9030 4.1 xe Sol x = 0.7847 44) 1232 43 xx Sol x = 0.1336 45) 232 52 xx Sol x = 5.1063

46) 10010 123

x

x

Sol x = -5/3 47) 416)5)(4( 2 x Sol x = -1 48) 42 12 x Sol x = 3/2 49) 27312 3 x x Sol x = -3/4

50) 812

21 x Sol x = ±2

51) 3283 x Sol x = 5 52) 510 2 x Sol x = -1.3010 53) xx 22 )9(3)3(9 Sol x = -5/3

54) x

x

xx

2727

93 123

Sol x = 1

55) 2532 22 xx ee Sol x = 0.8047

56) 31

55

325

23

1-3x

x Sol x = 2/5

Métodos Cuantitativos II 5 MAE Luis Fernando López

Ecuaciones Logarítmicas

1) 25loglog x Sol x = 20 2) 2)5(log)5(log 1212 xx Sol x = 17 3) )1log(log)4log( xxx Sol x = 2 4) 8ln2ln5ln x Sol x = 4 5) 12ln)1ln(ln xx Sol x = 4 6) 1ln)2ln()4ln( 2 xx Sol x = 3 7) )3log()2log()6log()1log( xxxx Sol x = 9/2 8) 3)2(log5 x Sol x = 123 9) 1)12(loglog 33 xx Sol x = 1

10) )23log(log 2 xx Sol x = -1 , x = -2 11) 2)4(log3 x Sol x = 5 12) xx 1010 log2)127(log Sol x = 3 , x = 4

13)

xx 2ln2ln3ln Sol x = 1/2

14) 1)21(log 2/13/1 x Sol x = -4

15) 4log2log)2log( xx Sol x = 2/15 16) 1log

33355)4(log27log)2(log xx Sol x = 6.16

17) 9ln2/1)6ln(ln xx Sol x = 0.4641 18) 02)1()23( xLnxLn Sol x = 1.2278 19) 52/12)1(2/1 22 LogxLog Sol x = 79 20) )7()1()72( 999 xLogxLogxLog Sol x = 10 21) 0))(( 248 xLogLogLog Sol x = 16 22) xLogxLogx 2)( 2 Sol x = 4 23) xLnx Lnx )( Sol x = 15.15 24) ln(2x-3) –lne = e Sol x = 22.09

25) 2)23log()16log( 2

xx

Sol x = 1.859

26) 2/12loglog x Sol x = 20 27) 1ln)1ln()1ln( 2 xx Sol x = 2 28) )2(log2)62(log 22 xx No tiene solución 29) 03)2(log)(log 22 xx Sol x = 4 30) 2logloglog)1log( 2 xxx Sol x = 1 31) 5 )2(log)2(log 22 xx Sol x = 6

Métodos Cuantitativos II 6 MAE Luis Fernando López

32) )4ln()6ln(ln xxx Sol x = 6 33) 2 9log)4(log2 33 x Sol x = 5 34) )1(log1)3(log 55 xx Sol x = 2 35) 3)3(log)9(log 4

24 xx Sol x = 67

36) 2log )2log()4log( 2 xx Sol x = 4 37) 1 )2(log)6(log 55 xx Sol x = -1 38) 1log15log xx Sol x = 5 39) 1log

333327log)2(log x Sol x = 79

40)

2/12ln2ln3ln xx Sol x = 2/3

41) 2)12(log xe Sol x = 4.1945 42) 0)1(log xe Sol x = 2

43) 31ln)1ln()1ln( 2 xx Sol x=2

44) )3ln(2ln1ln

x

xx Sol x = 1 , x = -2

45) 2 )1(log)13(log 33 xx Sol x = -5/3

46)

10

log3log2 xx Sol x = 100

47) )1log(2)3log(log xxx Sol x = 1 48) 0)1log(2log2 xx No Sol. 49) 0)1log(log 22 xx Sol x = -1/2 50) )5log(2)11log(2log 2 xx Sol x = 1/3 , x = 3 51) 2 9log)4(log 3

23 x Sol x = 5, x = -13

52) 1ln)1(log)1(log 222 xx Sol x = 2

53) 2)1ln()23ln( xx Sol x = 1.2278 54) 0)1ln()23ln( xx Sol x = 3/2 55) 1)2ln(log x Sol x = 6.5809

56) xx Lnx )5( 2 Sol x =2.7781 57) )3log()2log()6log()1log( xxxx Sol x =3/2

Métodos Cuantitativos II 7 MAE Luis Fernando López

Funciones Exponenciales Graficar

1) y = 2(x+1/2) +3

2) y+2 = 3(-x+1) +1

3) y = -3(2)(x-4) +6

4) y = (1/2)(2x) – 1

5) y = -(2)(2-x)+7

6) y=ex+3 -2

Métodos Cuantitativos II 8 MAE Luis Fernando López

7) f(x) = -5+3x

8) f(x) = -1 +ex-3

+

9) 1)2/3(1)( xxf

10) eexf x 2)(

11) 1)5/3(2)( 12 xxf

12) 2)( 2 xexf

Métodos Cuantitativos II 9 MAE Luis Fernando López

13) 1)( 1 xexf

14) 2)4()( xxf

15) 13)( 2 xxf

16) 2)( 3 xexf

17) 3)2/1()( 2 xxf

18) 2/1)3/2()( xxf

Métodos Cuantitativos II 10 MAE Luis Fernando López

Funciones Logarítmicas

1) f(x) = log2 (x+2)

2) f(x) = log1/2 (x+1)-3

3) f(x) = log (-x+1)+2

4) f(x) = log4 (x+1)-4

5) y= ln(x-1) -2

6) (x) = 3-log2(x+3)

Métodos Cuantitativos II 11 MAE Luis Fernando López

7) 3)12()( 2/1 xLogxf

8) )54(2)( 3/2 xLogxf

9) 2)4(2/1)( xLnxf

10) 3)21()( 2 xLogxf

11) 2)1()( xLnxf

12) 2)()( 2 xLogxf

Métodos Cuantitativos II 12 MAE Luis Fernando López

13) 3)12()( 2/1 xLogxf

Secciones Cónicas Parte I

1) 49x 22 y

2) 3636x 22 y

3) 3636x 22 y

4) 5022x 22 y

Métodos Cuantitativos II 13 MAE Luis Fernando López

5) 3662x 22 y

6) 362x6 22 y

7) 164x 22 y

8) 100254x 22 y

9) 36189x 22 y

10) 7298 22 yx

Métodos Cuantitativos II 14 MAE Luis Fernando López

11) 75)2(51)15(x 22 y

12) 16)3(1)(x 22 y

13) 32)3(41)2(x 22 y

14) 25)4()1(x 22 y

15) 100)3(101)4(x 22 y

16) 125

)1(16

(x) 22

y

Métodos Cuantitativos II 15 MAE Luis Fernando López

17) 14

)2/1(16

4)(x 22

y

18) 1)2/1(41/2)4(x 22 y

19) 9)1((x) 22 y

20) 1)(95)(x 2

2

y

21) 1

4)1(

25)3( 22

yx

22) 36)3(4)3(36 22 yx

Métodos Cuantitativos II 16 MAE Luis Fernando López

23) 18)2()3(9 22 yx

24) 14

)2()1(2

2

yx

25) 13)-y(251)3(x

91 22

26) 32)2(2)4(2 22 yx

27) 4)2(2 2 xy

28) 4)( 2 yx

Métodos Cuantitativos II 17 MAE Luis Fernando López

29) 9)( 2 xy

30) 6)2( 2 yx

31) 3)1( 2 xy

32) 4)2( 2 xy

-

33) 1)3( 2 xx

Métodos Cuantitativos II 18 MAE Luis Fernando López

Secciones Cónicas Parte II

1) 214 22 yxx

2) 0364 22 yyxx

3) 010242 yxx

4) 026344 22 yyxx

5) 017168549 22 yyxx

6) 036122 yx

Métodos Cuantitativos II 19 MAE Luis Fernando López

7) 0208441114436 22 yyxx

8) 01816433 22 yyxx

9) 221549805 22 yyxx

10) 036244369 22 yyxx

11) 1622 2 xxy

12) 51305 2 yyx

Métodos Cuantitativos II 20 MAE Luis Fernando López

13) 02799616189 22 yyxx

14) 05242 22 yyxx

15) 964 22 yyxx

16) 05242 22 yyxx

17) 964 22 yyxx

18) 11932162416 22 yyxx

Métodos Cuantitativos II 21 MAE Luis Fernando López

19) 251410 22 yyxx

20) 11189164 22 yyxx

21) 167293216 22 yyxx

22) 32613244 22 yyxx

23) 29189164 22 yyxx

24) 0892 22 yxx

Métodos Cuantitativos II 22 MAE Luis Fernando López

25) 2799616189 22 yyxx

26) 282 xxy

27) 542 2 xxy

28) yyx 432 2

29) 442 yyx

30) )2(16)4( 2 yx

Métodos Cuantitativos II 23 MAE Luis Fernando López

31) 32613244 22 yyxx

32) 01116382 22 yyxx

33) 0189 22 yyx

34) 964 22 yyxx

35) 0892 22 yxx

Métodos Cuantitativos II 24 MAE Luis Fernando López

Logaritmos

Forma Logarítmica Forma Exponencial

xayx ya log

Donde a˃0, a≠1, x ˃0

Propiedades

1) yxxy aaa loglog)(log

2) yxyx

aaa logloglog

3) xnx an

a loglog

4) xa xa log

5) xa xa log

Logaritmo Común Es el logaritmo que tiene base 10

xx 10log log

Logaritmo Natural

Es el logaritmo que tiene base e Donde e = 2.7182

xxe ln log

Métodos Cuantitativos II 25 MAE Luis Fernando López

Formula Cambio de Base

lnln

logloglog

ax

axxa

Propiedades para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas

1. Si x=y entonces ax =ay

2. Si ax =ay entonces x=y

3. Si x=y entonces log x=log y

4. Si log x=log y entonces x=y

Métodos Cuantitativos II 26 MAE Luis Fernando López

Circulo

Centro en Origen (0,0)

222x ry

Centro en (h,k)

222 )(h)-(x rky

Métodos Cuantitativos II 27 MAE Luis Fernando López

Elipse

Centro en Origen (0,0)

1by

ax

2

2

2

2

Centro en (h,k)

1b

k)-(ya

h)-(x2

2

2

2

Métodos Cuantitativos II 28 MAE Luis Fernando López

Hipérbola

Centro en Origen (0,0)

1by

ax

2

2

2

2

1ax

by

2

2

2

2

Centro en (h,k)

1b

k)-(ya

h)-(x2

2

2

2

1a

h)-(xb

k)-(y2

2

2

2

Métodos Cuantitativos II 29 MAE Luis Fernando López

Parábola

k 2h)-a(xy

0a 0a

h 2k)-a(yx

0a 0a