Universidad Nacional Autónoma de México.

Facultad de Ciencias.

Licenciatura en Matemáticas (y troncos comunes con ella).

Notas de introducción al Análisis Matemático: Cálculo Integral y Diferencial.

Redacción de Manuel Ignacio Castillo López.

Introducción

Insistir en la productividad y provecho del ocio es una tarea natural de todo científico. El Dr. Humberto; al iniciar sus cursos siempre nos insiste en que debemos entender el para qué de lo que hacemos. En éste case -el cálculo integral y diferencial- es uno de los mayores inventos del hombre. En palabras del profesor:

“Si un día vinieran los extraterrestres y nos preguntaran acerca de los mayores logros intelectuales que ha tenido la humanidad; entre otros, mencionaríamos el cálculo.”

Desde antes que se registrara la historia, la humanidad ya hacía calculo. Utilizando cierta información para estudiar la dinámica de las cosas a travéz de una otra cosa; ese es uno de los más grandes usos del cálculo.

No sólo aquel profesional de las ciencias exactas debe enfrentar, dominar y amar al cálculo; es útil hasta para cocinar. Los economistas usan cálculo, los ingenieros usan cálculo, los contadores usan cálculo, los administradores, los médicos... De una manera u otra; hasta cierto punto y con unas u otras aplicaciones: El calculo es una herramienta fundamental para el estudio de la dinámica.

Dinámica respecto del tiempo, de otras cosas; tipos de cambio, energía, memoria... Cambio de una propiedad a otra.

Éste escrito tiene como fin último el no sólo revisar ciertos temas; sino también, analizarlos y observarlos desde otra perspectiva: La del mismo estudiante, de manera que otro estudiante pueda ver, que es lo que los docentes tratan de hacernos entender. No se pretende tener un escrito más sobre el tema; pues libros de análisis matemático y cálculo ya hay muchos; varios de ellos: muy buenos. Pretendemos hacer reflexiones de los temas, tocar algunos puntos importantes que por diversas situaciones no aparecen en los libros y son ignorados algunos cursos. También se busca reflejar un poco de la filosofía de la ciencia, discreta en éstos temas.

Al leer éstas notas recuerda que no sólo estas; quizás, preparando un examen o juntando créditos para titulación. También estas abriendo nuevos panoramas o revisando nuevas posibilidades en panoramas ya abiertos. La ciencia no es algo que podamos definir con facilidad -es uno de esos muchos conceptos abstractos; como algunas definiciones matemáticas, los sentimientos o el amor- pero al final es algo maravilloso que si es bien comprendida: proporciona más que una forma de vida.

“El idioma en el que Dios escribió el universo, son las matemáticas”.– Galileo Galilei.

Contenido.

Un poco de historia y representaciones geométricas.............................................3Números Naturales.............................................................................3Números Enteros................................................................................5Números Racionales............................................................................6

Punto de acumulación.................................................................7Números Irracionales..........................................................................8Números Reales................................................................................10

Modelo de una teoría.................................................................10Axiomas de los números reales.....................................................11Deducción de los axiomas............................................................11

La cardinalidad, los números cardinales, los números infinitos y transfinitos.............13Particiones de conjuntos.....................................................................14Cardinalidad de un conjunto................................................................15Los números Cardinales......................................................................16Cardinalidad de conjuntos de números....................................................16Relaciones de equivalencia..................................................................18

La derivada como operador; las funciones derivables como conjunto.......................19Definición de derivada.......................................................................19Algunas propiedades de la derivada.......................................................20¿Qué significa la derivada, para qué se usa?. Representación geométrica..........20

El método de Arquímedes...........................................................................23Teorema de Arquímedes.....................................................................24

Las funciones integrables como conjunto, el operador integral y su inversa...............29La antiderivada...............................................................................30La integral.....................................................................................30Notación de integral, antiderivadas y otros procesos similares......................33

Bibliografía............................................................................................34

Un poco de historia y representaciones geométricas

Naturales

Desde épocas inmemorables; la humanidad se ha encontrado con los números y las matemáticas una y otra vez irremediablemente. En nuestra capacidad de supuesto raciocinio, el instinto de sobrevivir, la intuitiva pasión por aprender; nuestra sociedad por uno u otro motivo se a llegado a encontrar con ésta intangible ciencia.

Intangible; porque en éste mundo y ésta dimensión, jamás veremos a un ocho en los columpios, ni al infinito en una puesta de Sol. Quizás en algún otro mundo así sea... Pero sea que los números existan sutilmente en el universo o sean producto de la mente humana (cosa que no parece ser cierta), son parte de nuestra vida; junto con las matemáticas.

Si vagamos por un valle, la alfombra de pasto sobre el campo tiene forma de un plano. Vectores de fuerzas que suman 0 a cada paso: De modo que no rompamos el suelo hasta caer al centro de la Tierra ni el suelo nos rompa el pie. Derivadas calculando valores en cada instante que cae un objeto. Elipses, con sus focos y ejes en las órbitas de cada

planeta. Cantidades naturales de objetos; y hasta racionales de dinero. Medidas infinitas de amor y maravilla: El mundo, la vida; son desde un punto de vista una gran teoría universal de matemáticas.

Pero; ¿de dónde vienen nuestros conceptos de números y sus representaciones? Es una pregunta que todo aquel individuo que se deja cultivar y maravillar por la gloria del conocimiento debería hacerse en algún momento: De donde viene lo que sabemos y porqué.

Se nos ha enseñado de toda la vida; como se es intuitivo también, que existe un conjunto de cardinalidad aleph cero (infinito conmensurable), llamado los números naturales, que usamos para asociar elementos de éste conjunto a únicos elementos de otro conjunto cualquiera. La cardinalidad de ese subconjunto de número naturales usados en orden para asociar biyectivamente los elementos del otro conjunto, es el número de elementos del segundo conjunto. Un proceso que lleva grandes teorías encima para decir simplemente que existen cuatro planetas en el sistema solar interior; que son veinte los dedos en un ser humano que no sufre deformaciones ni alteraciones genéticas sobre su cuerpo o bien mutilaciones. Que hay 10 dígitos del 0 al 9 o que hay un universo.

Mucho tiempo antes de las civilizaciones, ya se tenía la idea de agrupar objetos de diferente cardinalidad como un conjunto. Es decir, muy primitivamente se tenía un concepto intuitivo de que es que existan 3 cosas o 5. Antes de aprender a contar es común que agrupemos cosas en conjuntos de una cardinalidad determinada.

Los números naturales; como se les bautizó, son el conjunto de números “que utilizamos para contar”. Muchos debaten en que si el 0 es un número natural o no; pero considerando la idea intuitiva de lo que son; el 0 es un natural. Si no es así, cuente: ¿cuantos gatos voladores de ojos cafés están volando en el lugar en el que se encuentra?, ¿cuantas veces ha visto a Chuck Norris viajar en el metro? Los números se que asignan a las cardinalidades buscadas anteriormente es 0.

Si aún desea pensar que el 0 no es natural; esta bien, sólo considere que la siguiente construcción de los enteros depende del 0, si desea comenzar desde el 1; sólo aumente una unidad.

Por contradictorio que pueda parecer el siguiente enunciado: estará de acuerdo que lo que siempre va a existir es el vacío. Es decir: Siempre puede haber nada de algo. Denotamos al conjunto vacío como usualmente se hace con ∅ .

Luego, tome el conjunto que contiene al vacío {∅}Ahora tome el que contiene al vacío y al anterior {∅ , {∅}}Después; tome el que contiene al vacío y los dos anteriores {∅ , {∅}, {∅ , {∅}}}Podemos repetir éste proceso infinitamente y así tendremos que cada conjunto esta definido en base al anterior (que esta definido con el anterior y el anterior ... Hasta regresar al vacío).

A éstos bichos se les llama “naturales”, son elementos del conjunto de los naturales y notemos que:

ℕ={∅ , {∅}, {∅ , {∅}}, {∅ ,{∅}, {∅ ,{∅}}}}0, 1, 2, 3, ...

El cero es el conjunto del vacío. El uno es el conjunto que tiene al cero. El dos es el conjunto que tiene al cero y el uno. El tres es el conjunto que tiene al cero, uno y dos. Y así n∈ℕ

Así es como se definen los números naturales. Usando álgebra uno puede divertirse un poco jugando con ellos definiendo operaciones y esas cosas.

Representar a los naturales geométricamente consiste en dibujar una serie ordenada de puntos. Estamos con esto afirmando que el hecho de que cada elemento este contenido en otro nos indique que ese elemento contenido es menor que el otro natural; por lo que tenemos definida una relación de orden en los naturales por la cual sabemos que 0<1<2<3<...

. . . 0 1 2 3 4 5 ...

Note que al conjunto de los números naturales se le denota por ℕ . Refiere al nombre en sí (Natural, como se escribe también en inglés).

Enteros

Aquellos que “jugaron” suficiente con los números naturales se percataron que podían establecer la operación suma de manera que queda bien definida en el conjunto. Pero al tratar de definir la inversa; la resta, notaron que sólo era posible definirla cuando:n ,m ,k∈ℕ ;k=m−n⇔mn De otra manera; m - n nos devuelve un k que no está en los

naturales... Entonces... ¿donde está?

Con el paso del tiempo, las personas tuvieron mayor contacto con las matemáticas y entonces los números pasaron de ser entes abstractos (tan abstractos que la definición anterior es sólo una convención, realmente no podemos definir “número”; si con todo y que sean constantes), a ser parte de la vida diaria.

Entonces si uno tenía 2 vacas y compraba a alguien más un campo para sembrar por el precio de 5 vacas; y el vendedor acepta tomar las 2 que tiene y después recibir las otras 3, ¿cuantas vacas le quedan al comprador? La respuesta ahora nos parece obvia: -3.

Hoy con el uso del dinero es muy común encontrarse con los famosos “números rojos”; un apodo que se le da a los números negativos en campos como la administración, economía, contaduría... Cuando uno tiene (por uno entiéndase un ente económico, persona física, moral y esas cosas) una deuda.

Del ejemplo anterior, observe que la resta que se hace; tiene una m < n. Hemos entonces dado la respuesta a donde están esas k=m - n con m<n : En el conjunto de los números enteros. La próxima vez que pregunten a uno la dirección de k; al menos sabremos que vive en la ciudad de los enteros.

Los números enteros no son más que una extensión de los naturales para poder definir la resta. Sin embargo; esa simple extensión trajo consecuencias impresionantes donde después se puedo definir que es un anillo, anillo abeliano, conmutativo, conjuntos de ideales, mínimo común múltiplo, máximo común divisor, entre otras propiedades importantes de los enteros y otros anillos. No detallaremos mucho estas cuestiones, pues refieren más a un curso de álgebra; si bien son necesarias de aprender, comprender y trabajar.

El conjunto de los enteros se denota usualmente con el símbolo ℤ y refiere a la palabra alemana “Zahlen” (numero en plural -números- del singular Die Zahl -El número- Se pronuncia die tsal ó die tsalen).

Note que hacer que la resta quede bien definida, requiere que ∀ z∈ℤ ,∃n ,m∈ℤ∣z=m−nY la representación geométrica de los enteros es muy similar a la de los naturales:

. . . . . . -3 -2 -1 0 1 2 3

Y así como con los naturales podemos jugar también con éste nuevo conjunto de números y definir operaciones, etc... Recuerde que éste “juego”; mejor dicho: El estudio de los números enteros, reveló propiedades muy importantes y definió un tipo de conjuntos (los anillos) que básicamente son aquellos conjuntos que se comportan como los números enteros.

Racionales

Resulta que hubo una operación “latosa”; como sucedió con la resta en los naturales, con los enteros. Al extender el producto en los naturales a los enteros; nos encontramos con el problema que tenía la suma en los naturales: No se podía definir completamente la operación inversa, bien conocida como el cociente (a.k.a. División).

Note que desde que se definió el producto en los naturales no se podía definir por completo la división; pues algunos cocientes resultaban en números “todavía más afuera” que aquellos que resultaban de una resta.

Extender los naturales para tener una resta bien definida no resuelve el problema del cociente. Podemos definir la división como: n ,m∈ℤ . n∣m⇔∃k∈ℤ: n∗k=m . Observamos que es un inverso a la multiplicación; pues si n*k = m entonces podemos regresarnos haciendo n|m = k.

K es un número entero; por definición. Ahora ¿qué pasa si tomamos una n, m en los enteros tal que no existe ninguna k en los enteros que satisfaga la igualdad n*k = m? ¿En donde vive ese número k?

Para encontrar respuesta a ésta pregunta se definió el conjunto de los números racionales. Los números racionales son las famosas fracciones. Son todos aquellos números que son producto de un cociente; sea entero o no. Tienen varias representaciones: La decimal (Eg. 0.4) y la fraccional que es la más precisa (Eg. 4/10).

El conjunto de los números racionales se denota por ℚ ; que quiere representar “Quotient”; que viene del latín y aún se usa en varias lenguas europeas. Vemos como es claro hasta por la “Q” que los racionales son resultado de un cociente.

Nuevamente, se puede uno poner a investigar éste nuevo conjunto de números, extender definiciones, etc... Sobre lo que se tenía y propiedades nuevas. Entre las propiedades nuevas con las que nos podemos topar al estudiar éste conjunto es que podemos definir un campo; donde éste conjunto de los racionales es el más pequeño de ellos.

Observe que el conjunto de los números enteros es infinito. Y podemos en los racionales tener lo siguiente: n/m. Si fijamos a n, lo podemos dividir entre una infinidad de números. Ahora si fijamos a m, podemos escoger de entre una infinidad de números n. Jugando con eso; podemos intuitivamente darnos cuenta de que la infinidad de los números racionales es muy especial.

Definición. x es punto deacumulacion de A conjunto⇔∀∂0 ;∃a∈V ∂O x , a∈A

En cristiano esto quiere decir que “x” es punto de acumulación de un conjunto si y sólo si para toda delta mayor que 0; la vecindad perforada (es decir, ignorando el centro; en este caso x) de radio delta con centro en x tiene al menos un elemento del conjunto.

Ejemplo.

Sea A={1n,n∈ℕ}

0 1/6 1/4 1/3 1/2 1

De los puntos del conjunto (marcados en azul) tomamos algunos para ver si son puntos de acumulación (marcados en rojo). El 1 sólo cumple la definición para ciertas deltas (una vecindad de radio delta se marca al rededor de cada punto rojo con una elipse) relativamente grandes; pero es para toda. Por lo tanto no es punto de acumulación. Pasa lo mismo con algunos puntos; incluso no dentro del conjunto. Pero el 0; para toda delta mayor que cero por grande o pequeña que sea siempre va a tener un elemento de A. Por lo tanto 0 es punto de acumulación de A.

Cualquier elemento del conjunto de los números racionales es punto de acumulación del mismo. El 0 es punto de acumulación de los racionales. El 1.5 es punto de acumulación. El 100 el 0.8... Esto se debe a que entre dos números racionales uno siempre podrá encontrar otro racional, y otro y otro. No importa que tan pequeña o grande sea delta: Siempre existe al menos un elemento de los racionales. De hecho: Son una infinidad.

Esto es fácil de notar. Podemos comenzar observando que 1 y 2 son números racionales. Luego tomamos el promedio (1+2)/2 = 3/2. Tome cualquiera de los dos anteriores y repita el proceso usando el resultado: (1 + 3/2)/2 = 5/4, (1 + 5/4)/2=9/8... Esto esta bien definido pues la suma de dos números racionales es racional, y el cociente de dos racionales es racional.

Recuerde que el extender los naturales hasta éste punto es precisamente resultado de

buscar definir bien ciertas operaciones. Por la propiedad anterior, se dice que los números racionales son densos. Pero a continuación notaremos algo “raro” en ellos.

Y bien; pareciera que tenemos completos a todos los posibles conjuntos de números. Tenemos números enteros para contar, contar incluso faltantes de algo y denotar con números negativos y hasta fracciones de cosas; como centavos por ejemplo: Son fracciones de una moneda.

Sin embargo, desde épocas muy remotas, los antiguos Griegos descubrieron; que aún hay más. Y aunque el próximo conjunto no es consecuencia de extender una operación; aún existe una extensión, pero para estudiarla primero necesitamos conocer a esos bichos muy raros con los que tropezaron los griegos.

Antes de avanzar; demos la representación geométrica de los números racionales:

−∞ 0 ∞

Pero... ¿Qué pasa? ¿Porqué está llena de hoyos? ¿Que un conjunto denso no debería dibujar una recta? ¿Es que el universo está por colapsar sobre sí mismo? Resulta que esos hoyos son resultado de ciertas distancias que no pueden ser medidas con ninguno de los conjuntos de los que se han hablado hasta ahora.

Irracionales

Uno de los mayores usos desde tiempos inmemorables de los números ha sido para medir. De hecho la idea de números racionales se concibió mucho antes de jugar con operadores: Se concibió al medir. Para medir uno elige una unidad; la que sea. Una yarda, un pie, un metro, la longitud de mi nariz, el largo del brazo de la hermanita menor... Y en base a esa unidad uno mide. Pero es usual que las medidas no sean enteras y sean fracciones de enteros.

Los antiguos e iluminados Griegos; antes de convertir a su país en en un lugar de desorden y uno de los desequilibrares de la economía europea, eran una civilización muy avanzada que legó a la historia varios de los primeros más grandes e ilustrados científicos y filósofos de los tiempos.

Había; entre varios de ellos, un hombre de nombre Pitágoras. Es llamado por muchos como “el padre de las matemáticas”, era un intelectual que en base a sus descubrimientos y sus ideas fundó la escuela pitagórica donde se hacían profundos estudios a la ciencia matemática, con las pocas herramientas con las que contaban en ese entonces.

Se le atribuye a Pitágoras uno de los teoremas más fundamentales en la geometría y trigonometría: El teorema de Pitágoras. Éste señor se dio cuenta de que

“La suma de los cuadrados de los catetos de un triangulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa”

a c a2b2=c2

b

Haciendo simple álgebra sobre la relación anterior se observa que:a2b2=c2

a2b2=c

¿Qué tiene de espectacular esto?

Tome un triángulo rectángulo donde a = b = 1.c= 2

Entonces... ¿es c un natural? ¿un entero? ¿un racional? Resulta que no es ninguno de ellos.

...Pero tampoco es del diablo...

Sin embargo Pitágoras no pudo comprender que no fuera del Diablo y cuentan que la sociedad pitagórica guardó en secreto aquel descubrimiento y posteriormente al no encontrar una solución al problema: Pitágoras se suicido.

Para mayor frustración de Pitágoras, esa c no es el único bicho raro. Los griegos también se dieron cuenta que la relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo es un bien conocido bicho raro que pertenece a la familia de c. A ese se le denota como ∏

Luego; Euclídes, a quien se le puede considerar “el padre de la lógica”, demostró que la raíz cuadrada de todo número primo es uno de esos bichos raros. Considerando que el conjunto de los números primos es infinito... Entonces sólo por eso es claro que esos bichos son una infinidad.

Después de muchos, muchos años; se aceptó que éstas cosas raras existieran y se les llamó “números irracionales” o “inconmensurables” y se observa que:

∀ l∈ℚc ,¬∃n , p ,q∈ℤ: l=pqn ; donde denotamos al conjunto de los números Irracionales

por ℚc .

Note que si tomamos el triangulo de donde se obtuvo aquella c y lo colocamos sobre la semi-recta de los racionales y “dejamos caer” la hipotenusa sobre la semi-recta; caerá en uno de los muchos puntos que no figuran en la semi-recta racional.

Éste conjunto infinito; geométricamente, es la infinidad de puntos que le faltan a los racionales para ser una recta completa, densa y continua. Los irracionales también cumplen la propiedad de ser densos: entre cualesquiera dos números irracionales existen una infinidad de números irracionales. Deducimos de ello que cualquier número irracional es punto de acumulación de los números irracionales.

Note que la representación geométrica de los irracionales es la misma que de los racionales:

−∞ 0 ∞

Observación: El 0 no es irracional. Aparece sólo como referencia... ¿o sí lo es?

Reales

Si tomamos todos los conjuntos de números descritos anteriormente; los naturales, los enteros, los racionales y los irracionales (note que basta tomar los racionales y los irracionales puesto que los naturales están contenidos en los enteros y éstos en los racionales) y los metemos en un mismo conjunto tendremos un nuevo conjunto de números llamado el conjunto de los números reales.

Es el conjunto de números con el que trabaja la mayorías de las personas (que ocupan números) y podríamos pensar que define todas las operaciones y soluciona todos los problemas que presentaban los otros conjuntos de números. Excepto... Que existen algunas operaciones (o funciones) que no se pueden definir por completo en los reales... Como logaritmo o raíces... La potencia par de un número negativo siempre es positiva; entonces ¿cuál es la raíz de un número negativo? Para poder definir esas operaciones completamente, se expanden los reales a otro conjunto que es el de los números complejos. Éstos tienen una parte real (un numero real) y un imaginario (que es de la forma raíz cuadrada de -1).

¡Chiste! ¡Chiste! ¡Chiste!¿Qué es un niño complejo?

Un niño con madre real y padre imaginario.

No nos preocuparemos por ahora del estudio de los números complejos; pues por ahora estamos trabajando con funciones reales de una variable real. De hecho; el curso que vamos a estudiar; incluye la Teoría de los números reales.

Definición. Se dice que M es un modelo de la teoría T si y sólo sí para todo axioma en T, son aplicables bajo M. (Originalmente tengo “verdaderos en M”; pero... Hablar sobre la verdad de un axioma nos introduce mucho en la epistemología en relación a la verdad científica (filosofía de la ciencia); cosa que haría con mucho gusto, pero no es el punto en este escrito...)

.M ,r , f . Donde:M esun conjuntoEl modelor esuna relacion de ordenf Son funciones sobre a∈M

Notación: M ┫T M es modelo de la teoría T.

Tras el breviario cultural sobre estudio de teorías; volvamos a la teoría de los números reales. Las propiedades que heredan los reales de los otros conjuntos de números se

axiomatizan en la teoría de los números reales. Como en general se busca que una teoría tenga el menor número de axiomas posibles, se definen sólo 16; mientras que otras propiedades son consecuencias lógicas de éstos 16 axiomas.

Esto se debe a que la filosofía con la que los científicos acordaron (digo acordaron porque yo no estuve allí para votar; y la verdad me parece defectuoso en varios sentidos el sistema axiomático) trabajar; es el sistema axiomático, donde todo aquello que pueda ser encontrado consecuencia de otro algo es un teorema, lema o corolario. Los axiomas son cosas muy básicas que damos por hecho sin significar que sean realmente verdaderos o falsos. Intuitivamente la mayoría de los axiomas son ciertos... Pero he allí el porque yo creo defectuoso al sistema axiomático.

Además, si la mente no puede definirse a sí misma y la lógica es una serie de procesos mentales.... ¿contradicción? ¿o que es eso?

En fin... Procedamos a conocer los 16 axiomas de la teoría de los números reales.

Axiomas de los números reales.

1. Cerradura de la suma. ∀ a ,b∈ℝ , ab∈ℝ2. Asociatividad de la suma ∀ a ,b , c∈ℝ ,abc=abc 3. Conmutatividad de la suma ∀ a ,b∈ℝ , ab=ba4. Neutro aditivo ∃0∈ℝ :∀ x∈ℝ , x0=x5. Inverso aditivo ∀ a∈ℝ ; a≠0,∃−a∈ℝ :a−a=06. Cerradura del producto ∀ a ,b∈ℝ , a∗b∈ℝ7. Asociatividad del producto ∀ a ,b , c∈ℝ ,a∗b∗c=a∗b∗c8. Conmutatividad del producto ∀ a ,b∈ℝ , a∗b=b∗a9. Neutro multiplicativo ∃1∈ℝ :∀ a∈ℝ , a∗1=a10. Inverso multiplicativo ∀ a∈ℝ ,∃ a−1∈ℝ :a∗a−1=1,a≠011. Distributividad ∀ a ,b , c∈ℝ , a∗bc=a∗ba∗c12. Tricotomía ab , ó ,ba ,ó ,a=b13. Transitividad ∀ a ,b , c∈ℝ ; ab ∧bc ac14. Conservación de la desigualdad bajo la suma ∀ a ,b , c∈ℝ ; abacbc15. Conservación de la desigualdad bajo el producto ∀ a ,b , c∈ℝ ; aba∗cb∗c16.Del Supremo

∀ S⊆ℝ ; S≠∅:∃M ∈ℝ :∀a∈S ;aM ;∃M 1∈ℝ :∀ a∈S ,aM 1 , M 1M

Deducción de los axiomas.

Los axiomas de los números reales pueden deducirse de todo lo estudiado anteriormente. Para llegar a los números reales, comenzamos por los naturales, luego pasamos a los enteros, racionales e irracionales para finalmente llegar a los reales. Veremos de aquí en el mismo orden como se expusieron; como se pueden deducir los axiomas de los reales.

1. La suma en los naturales se define como una operación cerrada (y si no se define se demuestra que la suma de cualesquiera dos naturales es otro natural). Al extender la suma a los enteros sucede una cosa rara: Podemos sumar un número positivo con uno negativo (o viceversa). Sin embargo, esto no altera la cerradura. Sumar o restar

cualesquiera dos números enteros no nos arroja un ente extraño: Siempre caemos de vuelta en los enteros. En los racionales pasa exactamente lo mismo; y todo lo anterior es demostrable. Sin embargo, al entrar en el campo de los números irracionales si comienzan a suceder cosas “mágicas”. Vea el simple ejemplo: La suma de cualquier irracional por su inverso aditivo (∏ + (-∏)) nos devuelve siempre 0 que es un racional. Pero no hay nada que temer: Los reales son básicamente la mezcla de éstos dos últimos conjuntos de números; entonces aunque la suma de dos irracionales nos puede arrojar un racional, ambos siempre son reales.

2. Por motivos análogos a los anteriores se deduce el axioma 2; que se cumple desde los naturales.

3. Nuevamente la explicación es análoga a la primera. “El orden de los sumandos no altera la suma”. Sean naturales, enteros, racionales o irracionales.

4. Éste puede presentar un problema si es que el lector insiste que el 0 no es un número natural. Si lo es, entonces sabemos que el primer elemento de los números naturales; osease el 0, sumado a cualquier otro sucesor de un natural, nos devuelve el ente sumado a 0. Por otro lado, en el conjunto de los enteros, sabemos que existe siempre un bicho llamado 0 y sumado o restado a cualquier otro entero nos devuelve el otro cualquier entero. Éste ente se hereda a los racionales y aunque no existe tal bicho en los irracionales, esta en los racionales, y entendemos que en los reales la suma de ∏ + 0 = ∏.

5. En los naturales sabemos que no existen los inversos aditivos, porque nos salimos del conjunto... Pero precisamente se cae en los enteros. Incluso los irracionales tienen inverso aditivo.

6. Análogo a 1.7. Análogo a 2.8. Análogo a 3.9. Al definir la multiplicación en los naturales decimos que 1*n = n. Y es una propiedad

que se hereda a los otros conjuntos. Y aunque en los irracionales no existe el 1, al mezclarlos con los racionales y definir los reales, axiomatizamos dicho suceso y podremos afirmar cosas del tipo ∏*1=∏

10. Ésta deducción del axioma es consecuencia de extender los enteros a los racionales; pues hasta éste conjunto no se habla de inversos multiplicativos. Los racionales entonces son números enteros y sus inversos multiplicativos... Y muchos otros entes resultados de dividir cualesquiera dos enteros. Resulta que en los irracionales también se da dicha propiedad y el número 1/∏ es un número irracional. Al final todos los reales tienen inverso multiplicativo (excepto el 0).

11. Al definir propiedades de los conjuntos que en su mezcla conforman a los reales se produce la propiedad de la distributividad y bajo éste conjunto se axiomatiza. Es decir, desde los naturales sabemos que 2 * (3 + 4) = 14 = 2*3 + 2*4 = 6 + 8 = 14.

12. Ésta puede resultar una propiedad muy obvia por lo siguiente: Si uno se toma dos números, los que sean: naturales, enteros, racionales o irracionales... Es más, si quieres agarra uno de uno y otro de otro. Te vas a encontrar que uno o es más grande que el otro, o es más pequeño que el otro o son iguales. No sucedería que tomáramos dos números y resulta que al mismo tiempo uno es más pequeño y más grande que el otro, o son iguales pero uno es más grande y cosas raras así.

13. Si tomamos dos números cualquiera; natural, entero, racional o irracional; nuevamente no importa si mezclamos, nos daremos cuenta que al sumarle otro el que sea, se conserva la tricotomía. Vea el siguiente ejemplo: Si tomamos el 5 y el 8 y

le sumamos 12.6; sabemos que 5 < 8 y luego 17.6 < 20.614.Análogo al anterior.15. Éste se deduce de que los racionales y los inconmensurables son densos. Entonces los

reales también son densos y decimos que para todo conjunto acotado superiormente de reales, va a existir la más pequeña de las cotas superiores: El supremo.

Note que éstas son simples deducciones de los axiomas, no son los motivos ni justificaciones para ellos. Recuerde que por definición un axioma es algo que se da por hecho: No importa si es verdad o no en el fondo.

Observamos que estudiar a los números en la forma que se realizó en éste capítulo nos llevo a entender de mejor manera el como se pueden deducir los axiomas de los reales y en consecuencia, entenderemos de mejor manera dichos axiomas (eso espero...)

Ahora que conocemos un poco sobre los conjuntos de los números, estudiemos un poco más... ¿que significa que tengan tantos bichos esos conjuntos? ¿como los podemos medir? Y ¿tendrán límite? ¿existe una forma de medir ese “limite”?

Cada cuerpo tienesu armonía y

su desarmonía.En algunos casos

la suma de armoníaspuede ser casiempalagosa.

En otrosel conjunto

de desarmoníasproduce algo mejor

que la belleza.- Poema de Mario Benedetti. “Teoría de Conjuntos.”

La cardinalidad, los números cardinales, los números infinitos y transfinitos.

Imaginemos que tenemos a todos los conjuntos posibles. Notaremos que algunos de ellos son finitos y otros son infinitos. Algunos finitos como el conjunto {0,1,2} que tiene 3 elementos o bien los ℕ ; que son infinitos.

Pero ¿qué es el infinito? ¿cómo podemos hablar de la cardinalidad de un conjunto infinito? ¿con que bases nos podemos atrever a hablar de algo que apenas conocemos o tenemos idea? Podemos empezar notando que hay más conjuntos infinitos que finitos: Cosa curiosa; en el mundo “real” (lo que sea que eso sea), observamos únicamente conjuntos finitos: n árboles, n personas, n granos de arena en la playa, n estrellas en el firmamento...

Recordemos; antes que nada, que la cardinalidad es el número de elementos de un conjunto. Para “contar” los elementos de un conjunto hacemos una biyección con los números naturales. Esto es algo que hacemos sin darnos cuenta siempre que contamos cosas; Si vemos sillas hacemos una biyección: Hay 0 sillas si no hay ninguna, hay 1 silla si

sólo hay una (valga las redundancias), hay 2 sillas si hay dos de ellas... Note que no necesariamente todos los conjuntos que queramos contar tienen el mismo numero de elementos que los naturales; esto hace que la función contar sea inyectiva la mayoría de las veces, así que consideremos que al contar estamos tomando un subconjunto de ℕ que tiene los elementos que necesitamos:

ℕ Nota:0 Hay quienes consideran que el 0 no es natural.12 Hay n (n = 3) caritas felices. Si asociamos en3 orden a cada carita un natural (supongamos que. se ha definido el orden en ℕ ); observamos. que el mayor corresponde a 3..

Quisiéramos partir “a el conjunto de todos los conjuntos” en pequeños pedazos para ver como es que son los conjuntos en sí mismos (hablando de su cardinalidad). Primero pongamos en claro que no puede haber un “conjunto de todos los conjuntos”; pues éste se contendría a sí mismo, al ser también un conjunto. Asto provoca contradicciones y paradojas, por ello pensemos al “conjunto de todos los conjuntos” como aquel conjunto que contiene a todos los conjuntos excepto a sí mismo.

¿Cómo será cada pedacito de ese conjunto? Primero notemos que cada subconjunto (cada “trozo”) del conjunto C f∪C I es una partición

Definición Una partición de un conjunto A es un subconjunto propio de A; tal que la unión de todos los dicho subconjuntos propios de A es A y la intersección de cualesquiera dos de ellos; o más, es el vacío.

Sea Aunconjunto. P=P1 , ... ,Pm ; Pm⊂A; Aes particion⇔∪i=1

mPi=A ,∩P i=∅

Conjuncts Finite

Conjuncts Infinitos

Cf=

CI=

Cf

CI

Partir (o al menos imaginar que partimos) “al conjunto de todos los conjuntos” en pequeños pedazos, nos lleva a otra incógnita: ¿Cómo podemos definir a esos pedazos para partir el conjunto? ¿Qué propiedades tienen? Partimos el “conjunto de todos los conjuntos” precisamente para estudiar como sería cada pedacito; pero notemos que incluso la idea tan sencilla anterior es “capciosa”: Pues estamos dando por hecho ya que cada pedacito tiene un conjunto o un conjunto de conjuntos que cumplen una cierta propiedad (recuerde que los elementos de un conjunto tienen ciertas caracterizadoras comunes; cumplen una propiedad: Si son reales, mayores, menores y/o iguales a, si son sillas, si son objetos tangibles... Algo tienen en común todos ellos y por esa propiedad los agrupamos y decimos son un conjunto [¿será que se podría definir “conjunto” por éste camino?])

Pero “el conjunto de los conjuntos” no se limita a contener conjuntos números: Sus elementos también pueden ser cosas, objetos o quizás hasta personas. ¿Qué tendrán en común el conjunto de todos los programas para un determinado sistema operativo y el conjunto de todos los elefantes que vuelan y son rosas? En primer instancia; podríamos simplemente reír y pensar que no hay absolutamente nada en común entre ellos. Pero que tal... ¿Su número de elementos?

Todos los conjuntos tienen un número de elementos bien definido (o al menos que podremos definir bien). Así como el conjunto de todos los ateos que creen en Dios es vacío; le corresponde el número 0 de elementos, existe el conjunto de todos los humanos que habitan el planeta Tierra; aproximadamente más de 6 mil millones (6,000'000,000). Aunque no sabemos con exactitud el número de humanos habitantes de la Tierra, es un conjunto con un número determinado de elementos, al menos en teoría si podríamos saber cuantos somos en toda la Tierra. A éste “número de elementos” le llamamos cardinalidad.

Definición La cardinalidad del conjunto A; denotada de ambas formas #A ó |A|, es el número de elementos diferentes que conforman a A.

En un principio; esto nos remite a la biyección que proponíamos al principio: A cada elemento de A le asociamos un elemento de los naturales y nos fijábamos en el mayor natural asociado: Ese es el número de elementos... ¿o no?

Reflexionemos sobre el conjunto de todos los granos de arena en una playa. Quizás sean n veces más que el número de seres humanos que habitan la Tierra; pero seguro son un número finito. El número de partículas de polvo en una calle; o hasta en todo el mundo, quizás sea todavía más grande que el número de granos de arena en una playa: Pero seguro son finitos.

¿Y que tal el número de veces que yo soy igual con migo mismo? ¿El número de vueltas que se le puede dar al planeta? ¿El número de veces que se ama a una persona en el mismo instante? Todos ellos son infinitos; y ¿será posible biyectarlo con los naturales, es más ¿Qué pasa con el número de naturales? O más “fácil” ¿Cuantos números racionales hay entre dos enteros? Más pequeño: ¿Cuantos racionales hay entre 1/9999 y 1/99991? La respuesta a todos ellos: Una infinidad.

Probablemente; por intuición, hemos dado por hecho toda la vida (lo que sea que eso sea) que existen números infinitos o una cosa abstracta (más abstracta que un número [¿huh?]) a

la que llamamos infinito. Podemos hacer todo un estudio alrededor de éste ente; pero por ahora nos enfocaremos a un sólo aspecto que nos sirve para tratar al “conjunto de conjuntos” y sus particiones.

Asto es: ¿será único el infinito? Tomemos un concepto intuitivo y sencillo de infinito: El infinito natural. Los números naturales los conocemos como el conjunto {0,1,2,3...} Y esos puntos suspensivos siguen y siguen y siguen y siguen... ...y siguen...

...Pasan al 25, al 10 y a muchísimos números más y sigue y sigue... ...Y nunca se⁹⁹⁹⁹⁹⁹⁹⁹⁹ detiene (o hasta donde sabemos).

¿Como “medir” al infinito? Volviendo a los conjuntos; sabemos que:

Teorema. Una función de A en B es inyectiva si y sólo sí la cardinalidad de A es menor o igual que la de B.

f : A B; f iny⇔∣A∣∣B∣

Teorema. Una función de A en B es suprayectiva si y sólo sí la cardinalidad de A es mayor o igual que la de B.

f : AB; f supra⇔∣A∣∣B∣Corolario. Una función de A en B es biyectiva si y sólo sí la cardinalidad de A es igual a la de B.

f : AB; f biy⇔∣A∣=∣B∣

Usando lo anterior, podemos determinar cuando un conjunto tiene una cardinalidad mayor, menor y/o igual a otro: Si existe una función inyectiva, suprayectiva o biyectiva entre esos conjuntos.

Antes de seguir notemos la siguiente definición.

Definición Los números cardinales, son aquellos que nos sirven para contar los elementos de un conjunto.

Es el subconjunto de los naturales que usamos en el dominio de una función biyectiva que llamamos “conteo”; que va a otro conjunto cualquiera A.

Los teoremas y el corolario anterior; nos dan una herramienta extra para comparar conjuntos finitos (hablando de sus cardinalidades). Pero a éstas alturas; eso es algo “trivial”, así que pasemos a lo interesante: Comparar o “medir” cardinalidades infinitas.

Intuitivamente, resulta obvio pensar (y sólo pensar) que el conjunto de los números enteros tiene una cardinalidad mayor a la de los naturales. Resulta casi obvio, pues los naturales son todos los enteros positivos; algunos consideran al cero y otros no, pero sea el 0 elemento de los naturales o no, los enteros negativos no figuran en ese conjunto pero sí en los enteros. Así que ¿será la cardinalidad de ℤ es 2∣ℕ∣ ?

Eso querría decir que no existe ninguna biyección entre esos dos conjuntos. Pero para nuestra sorpresa; se ha dado ya la siguiente función:

f :ℕ⇒ℤ , f n=−1n[n2] , donde [ x ]eselℤmayor o igual a x.

Es función; y es biyectiva. Según el último corolario entonces...

∣ℕ∣=∣ℤ∣

Antes de recurrir al hipotético suicidio de Pitágoras, el intento suicida de Einstein o la gran frustración de Galileo o de Kepler, notemos que esa función biyectiva de los naturales a los enteros no es única. Existen más de ellas. Y así como éstas existen funciones biyectivas de los naturales a los racionales... Sí; así es:

∣ℕ∣=∣ℚ∣

...No, no son seguros los cambios de carrera...

Dejaremos al curioso lector sediento de datos; que indague en las bibliotecas (o en Google) al menos una de las muchas funciones biyectivas entre éstos conjuntos. Aquel impaciente lector, puede también buscar una función inyectiva que valla completamente de uno de éstos conjuntos al otro y una suprayectiva que valla completamente del otro al uno de éstos. (Entonces a las cardinalidades no les queda más que ser iguales).

Podríamos comenzar a pensar que el infinito es único; pues la infinidad de naturales es la misma infinidad de enteros y son la misma infinidad de racionales. ¿Será que son la misma infinidad de Irracionales y de reales; respecto a la de los conjuntos anteriores? Resulta que no es así.

La cardinalidad de los irracionales es mayor que la de los números naturales/enteros/racionales. Entre ninguno de éstos se ha podido establecer una biyección con los irracionales: Sólo se ha encontrado que todos ellos tienen un cardinal menor o igual a los irracionales (pero nunca se ha demostrado la igualdad). Como los reales son la unión de los racionales con los irracionales; es fácil deducir que los reales con mayores que los irracionales. Pero no es de esa manera. De hecho, la cardinalidad de los irracionales es igual a la de los reales. Asto puede contradecir nuestro razonamiento pues si los irracionales son más grandes que los racionales (que contiene a los enteros y naturales); entonces los reales deberían ser dos veces los irracionales. Pero son iguales.

...No; tampoco estoy usando; ni usaré, una ouija, ni estudio sentado en un pentágono invertido.

“Yo sólo quiero conocer el pensamiento de Dios; el resto, son detalles”.-Albert Einstein.

Entonces no existe un único infinito. Tenemos el infinito de los racionales que es el mismo de los enteros e igual con los naturales, y otro infinito más grande que es el de los irracionales que es igual al de los reales. Y hay aún más grandes.

Considerando éstos infinitos como números; se les llama aleph ℵ , y con un subíndice se indica que infinito son: aleph cero es el cardinal de los conjuntos numerables, se supone (por ciertas disputas entre los matemáticos) que aleph uno es el cardinal de los reales; que

es el mismo de los irracionales. En general es el cardinal de los conjuntos no numerables. A éstos números infinitos cardinales; se les llama números transfinitos.

En general hemos tratado todos los temas que buscábamos tratar en éste apunte de clase, pero aún le debemos al lector; como fue que queda la división en particiones del conjunto de todos los conjuntos en base a todo lo ya estudiado.

Teorema. Una relación es de equivalencia si y sólo sí:• Es reflexiva.• Es transitiva.• Es simétrica.

Teorema. Toda partición de un conjunto determina una relación de equivalencia.

Las particiones Pm del conjunto de todos los conjuntos entonces, determinan una relación de equivalencia. Y según la propiedad que encontramos en común a todos los conjuntos; sin importar sus elementos, ésta es su cardinalidad.

Demostración La relación “igualdad de cardinalidad” es de equivalencia.PD. R :AB ; R={ A , B∣∣A∣=∣B∣}; A~B

PD. R esreflexiva , i.e. A~AEs verdadero , pues : A~A∣A∣=∣A∣

PD. Res simétrica , i.e. A~B B~AEsverdadero , pues :A~B∣A∣=∣B∣∣B∣=∣A∣B~A

PD. Res transitiva , i.e. A~B∧B~CA~CTambienes cierto pues : A~B∣A∣=∣B∣∧B~C∣B∣=∣C∣⇒∣A∣=∣C∣ A~C

Por lo tanto ; Res de equivalencia.

Entonces, en los conjuntos finitos, tendremos a los conjuntos en una partición cuya cardinalidad es uno: El número de verdades absolutas, el número de veces que existe una persona en un instante, el número de conjuntos de números naturales... Otra partción es la de los conjuntos con cardinalidad dos: El número de Estrellas en un sistema solar binario, el número de premios nobel de Madame Curie, el número de dígitos en módulo binario... Y así con todas las posibles particiones dentro del conjunto de los conjuntos finitos. Notemos que la cardinalidad se convierte en una etiqueta de cada partición.

Y así, tendremos a las etiquetas; dadas por los números transfinitos, para los conjuntos infinitos; que dependiendo “que tan infinitos sean”, tendrán una etiqueta diferente: Aleph cero para los infinitos numerables, aleph uno para los no-numerables, los reales y los irracionales y así para otros conjuntos.

Así; después de una explicación que ha requerido de ciertas; pero importantes, herramientas matemáticas, logramos partir “el conjunto de todos los conjuntos” en particiones que determinaron una relación de equivalencia dada por la igualdad del

cardinal de los conjuntos; a la cual se le asocia una etiqueta correspondiente a los números naturales y otros a los números transfinitos.

¿Serán los números transfinitos una especie de conjunto de números naturales para contar infinitos?

“Existen dos cosas infinitas: El universo y la estupidez humana. Y del universo no estoy tan seguro”

-Albert Einstein.

La derivada como operador, las funciones derivables como conjunto.

Ahora que estudiamos un poco sobre conjuntos, hagamos un análisis respecto a como podemos ver a la derivada como un operador.

Si la derivada fuese una función; tendría un dominio y un contradominio. El dominio de las funciones derivables sería el conjunto de todas las funciones derivables y su contradominio todas las funciones consecuencia de derivar una función.

Definición. Una función es derivable si y sólo sí: limh0

f xh− f x h

Existe y ese límite

es la derivada de f.

Sea entonces Df x=limh 0

f xh− f xh

la regla de correspondencia de la función

derivada (La derivada de f(x) es...)

Entonces, todas las funciones en donde el límite anterior exista; son derivables. Note que para cada x es diferente y se debe considerar el hecho de que el límite exista en un intervalo, además la función será continua en el intervalo y de lo anterior se observa que todo punto del intervalo debe ser punto de acumulación del intervalo; si se quiere demostrar que una función es derivable en dicho intervalo.

Sabiendo esto; hagamos notar al lector que existen funciones; como las que conocemos, cuyas soluciones son cierto tipo de número (de los previamente estudiados: Naturales, enteros, racionales o irracionales; y también complejos, etc...) y existen otro tipo de funciones cuyas soluciones son otras funciones. A éstas se les llama ecuaciones funcionales.

Quizás alguna vez ha escuchado hablar de ecuaciones diferenciales; bien, éstas son un tipo de ecuaciones funcionales.

Típicamente, las ecuaciones funcionales tienen una infinidad de soluciones; pero en un caso particular sólo una es la interesante; “la buena”.

Más adelante haremos otro comentario sobre las ecuaciones diferenciales, cuando conozcamos otra “operación” sobre funciones: la derivada.

En fin; ahora que conocemos a la derivada y la consideramos una función sobre funciones reales de variable real, que va del conjunto de todas las funciones derivables a otro conjunto de funciones que son el resultado de derivar una función derivable; quisiéramos jugar un poco con éste operador.

Podemos definir algunas operaciones tales como:• suma. D f g =Df Dg• Producto escalar. Seac constante∈ℝ ; Dc∗ f =cDf• Producto. D f ∗g = f∗DgDf∗g• Composición. D f °g =[Df °g ]∗Dg• División. D [

fg]=

dDf − fDg

g2

Las propiedades anteriores son completamente demostrables por definición. Ahora quisiéramos ver como es respecto a sus conjuntos:

¿Sera inyectiva?No. Esto se observa fácilmente porque si tomamos dos funciones iguales en la imagen, veremos que pueden venir de dos distintas. Por ejemplo, en el dominio podemos tomar la función constante 5 y observaremos que puede venir de f(x) = 5x o f(z) = 5z + 8.

¿Será suprayectiva?Sí. Pues para toda función en el contradominio; el conjunto de las funciones que se obtienen de derivar una función (note que desde aquí se dijo la respuesta), existe una función derivable tal que la derivada de dicha función es la tomada del contradominio.

Por lo tanto, sabemos que tiene inversa por la derecha... ¿Quién sería dicha función inversa?

Antes de avanzar indagando sobre la inversa de la derivada; hagamos notar que es lo que se puede hacer con éste operador nuevo.

¿Qué significa la derivada, para qué se usa?

Los griegos ya conocían; de una manera muy “primitiva”, a la derivada. Ellos la apreciaban como la secante de una curva. Decían ellos que la secante nunca debe intersectar en más de un punto a la gráfica, por ello sólo trabajaban con las secantes de secciones cónicas.

En rojo, la secante.

No fue hasta que Pierre de Fermat se atrevió a definir la secante más allá del “exterior” de una sección cónica. Entonces se aceptó que podía cruzar en más de un punto a una curva.

Ahora, observemos qué significa el límite con el que se definió la derivada.

Df x=limh 0

f xh− f xh

Escojamos una h muy grande. Notemos que lo que se va a tener es la siguiente secante:

x x+h

Ahora tendemos a 0...

x x+h

x x+h

x x+h

x x+h

x x+h

x x+h

x x+h

x=x+0

Observamos que geométricamente, estamos pasando de tener la secante a tener la pendiente de la recta en el punto x. ¿cómo es eso? ¿qué es ese fenómeno?

Lo que sucede allí es un cambio instantáneo. En general podemos estudiar cuando algo pasa de un estado a otro: Cuando alguien pasa de un estado de ánimo, cuando la bolsa cae abruptamente...

Por otro lado, tenemos la posibilidad de predecir. La recta tangente al punto x, dado por la

derivada, nos esta diciendo a donde va “a parar la cosa” si la función siguiera el camino por donde ha venido.

Las mejores aproximaciones para hacer estas “predicciones”, son cuando nos paramos en una x+h lejos de x; una h muy grande. Pero sería como decir “Quiero saber como van a estar mis finanzas dentro de 10 años... Entonces espero 10 años y lo sabré.” o “Quiero saber en 10 días cuanto se degrada un material radiactivo... Entonces espero 10 días y lo sabré”... He aquí un campo de estudio que podemos considerar con estas predicciones.

Podemos definir una relación de equivalencia con el operador D. Decimos entonces que 2 funciones son equivalentes si y sólo sí su derivada es la misma.

Del capítulo anterior, notamos que la relación de equivalencia nos está partiendo el conjunto de todas las funciones derivables.

Luego, notemos que para toda función resultado de hacer Df, proviene de una infinidad de funciones: Tantas como números reales, pues observamos que si:Df x =Dg x f x c=g x , c∈ℝ

Por lo tanto, considerando las particiones, la cardinalidad del conjunto de todas las funciones derivables es igual a aleph1; la cardinalidad del conjunto de los números reales.

...Que fuerte mano.

Al final hemos estudiado de manera breve y directa que y cómo es la derivada de una función. Ahora; se había mencionado que es una “función” suprayectiva. Por lo tanto, tiene inversa por la derecha... ¿Quién es?

Para dar a conocer la función “antiderivada”; estudiemos un poco el siguiente método.

“Aveces, para hacer feliz a alguien, hay que llevarlo fuera de éste mundo.”-Dr. Pablo Barrera Sánchez (Académico de la facultad)

El método (de exhaución) de Arquímedes.

Uno de los primeros en calcular áreas de curvas fue el griego Arquímedes. Se dio cuenta, además de muchísimas otras cosas más; que si inscribía figuras regulares en un área cualquiera que quisiera calcular, podría obtener una muy buena aproximación. Entre la infinidad de integrales que se pueden calcular; una de las más antiguas fue la de x2 , mediante la “cuadratura” que propuso Arquímedes. No se preocupe por el término “integral”; lo estudiaremos al terminar éste capítulo.

Originalmente Arquímedes calculó el área encerrada en una sección parabólica, pero su método es fácilmente abstraible para ocuparlo para determinar el área bajo de la misma. Además si tomamos el resultado que obtuvo Arquímedes, es fácil hacer álgebra y determinar el área bajo la parábola; tomando el rectángulo en el que queda inscrito y haciendo la diferencia del área.

Observe la siguiente sucesión geométrica:

Si seguimos colocando triángulos y triángulos pareciera que en algún momento terminaríamos de cubrir el interior de la sección parabólica. Aunque nosotros imaginamos y aceptamos el concepto de infinito y límites al infinito; los griegos no lo hacían. En gran parte se debe a que creían que el infinito era algo cercano a la Divinidad y estaba lejos y fuera del alcance de los mortales.

De cualquier manera; Arquímedes trabajando con dicha succione geométrica postulo el siguiente teorema:

Teorema de Arquímedes. El área de una sección parabólica es igual a 4/3 el área del triángulo inscrito en ella.

Es altamente recomendado que se realicen los trazos mientras se lee la demostración; de ese modo sera más (quizás el único por el cual es) comprensible.

Tomemos la sección parabólica en el intervalo [a ,b]⊂ℝ ,0∈[a ,b]∧∣a−0∣=∣b−0∣ , y la altura de la sección como f x =x2 ,[ f 0 , f x0] , x0∈Domx2∧ x0∈ℝ

.∪0 . El primer

triángulo de la sucesión tiene sus vértices en {a , f a ,0, f 0 ,b , f b} .

a , f a b , f b

a 0, f 0 b

Ahora; sean a' y b' tales que a' = a/2 y b' = b/2. Demos por hecho que la función esta definida en esos puntos (que de hecho así es). Los siguientes triángulos de la sucesión están

entonces en los puntos: {a , f a ,a2, f

a2 , 0, f 0}∧{0, f 0 ,

b2, f

b2 ,b , f b} .

0, f aa , f a b , f b Note que el punto 0, f a no está

definido en la función. Además; es equivalente escribir

0, f b=0, f a

a2, f

a2

b2, f

b2

aa2

0, f 0b2

b

Aquí notaremos lo siguiente:Proposición. El área del triangulo con vértices en {0, f 0 ,0, f a , b , f b } es igual a

4 veces el área del triángulo {0, f 0 ,b2, f

b2 , b , f b} .

Arquímedes argumenta que: como b2

es el punto medio de ∣b−0∣ ; se sigue que:

∣b2−0∣∣b−0∣

=12

Sabiendo que (por ciertas propiedades geométricas) ∣ b2 ,0−b2, f

b2∣

∣b ,0−b , f b∣=∣ b2−0

2

∣b−02

=14

Puesto que ∣b ,0−b , f b∣=∣ b2 ,0−b2, f b∣

Obtuvo ∣ b2 ,0−b2, f

b2∣= 14 ∣

b2,0−

b2, f b∣

Observe ahora; digamos, la parte derecha de la sección parabólica; es decir de [0, b]. Tome

el triángulo que se forma en los vértices {0, f 0 ,b ,0 ,b , f b} Tome la linea que

pasa por el punto b2, f

b2 (La linea que pasa por el vértice de uno de los dos triángulos

inscritos en el segundo proceso de cuadrar la parábola y es paralela a la linea que une el punto b con f(b)).

Sea G el punto donde éste mismo segmento de recta intersecta al lado

{0, f 0 ,b , f b} del triangulo {0, f 0 ,b2, f

b2 , b , f b}

Por semejanza de triángulos; ∣ b2 ,0−G∣=∣b ,0−b , f b∣=12

Puesto que

∣b ,0−b , f b∣=∣ b2 ,0−b2, f b∣ se tiene que: ∣ b2 ,0−G∣=

12∣

b2,0−

b2, f b∣ Por lo

tanto G es el punto medio de ∣ b2 ,0−b2, f b∣ y de ello ∣ b2 ,0−G∣=∣G−

b2, f

b2∣

Debido a que ∣ b2 ,0−G∣=12 ∣

b2,0−

b2, f b∣ se sigue

que12∣

b2,0 −G∣=14∣

b2,0−

b2, f b∣ pero entonces ∣ b2 ,0−

b2, f

b2∣ es el punto

medio de ∣ b2 ,0−G∣ ; por lo tanto: ∣ b2 ,0−b2, f

b2∣=∣ b2 ,0−G∣ Por sustitución:

∣ b2 , f b2−G∣=12∣G−

b2, f b ∣

Ahora notemos que por lo anterior:

Area {b2, f b ,G ,b , f b}=2 Area {G ,

b2, f

b2 ,b , f b}

Ahora; “del otro lado del triángulo” observamos que:

Area {b2, f b ,G ,0, f 0}=2 Area {G ,

b2, f

b2 ,0, f 0} Realizando una suma:

Area {b2, f b ,G ,b , f b}Area {

b2, f b ,G ,0, f 0}

.=2 Area {G ,b2, f

b2 ,b , f b}Area {G ,

b2, f

b2 , 0, f 0}

Observe con cuidado el diagrama y note que:

Area {b2, f b ,0, f 0 ,b , f b}=2 Area {0, f 0 ,

b2, f

b2 ,b , f b}

También sucede que:

Area {b2, f b ,0, f 0 ,0, f b}=2 Area {

b2, f

b2 ,0, f 0 ,b , f b}

Por sustitución en las igualdades:

Area {0, f 0 ,0, f b ,b , f b}=4 Area {0, f 0 , b2, f

b2 ,b , f b} ; lo que satisface

la proposición.

Ahora, recordemos que se trabajó con sólo la mitad de la sección parabólica. Como es simétrica simplemente podemos concluir que:

2 Area {0, f 0 ,0, f b ,b , f b}=Area {a , f a ,0, f 0 ,b , f b}

La simetría también implica que

Area {0, f 0 ,b2, f

b2 ,b , f b}Area {0, f 0 ,

a2, f

a2 ,a , f a}

.=2 Area {0, f 0 ,b2, f

b2 ,b , f b}

Por la conclusión de la proposición

2 Area {0, f 0 ,b2, f

b2 , b , f b }=

12Area {0, f 0 ,0, f b ,b , f b}

Luego, por simetría

Area {0, f 0 ,0, f b ,b , f b}=12Area {b , f b ,0, f 0 ,a , f a}

Por lo tanto: 2 Area {0, f 0 ,b2, f

b2 , b , f b }=

14Area {b , f b ,0, f 0 ,a , f a}

Cada sucesión de triángulos tendrá un área de la forma

14 2

Area {b , f b ,0, f 0 ,a , f a}

Obtendremos los próximos 4 triángulos inscribiendo en los puntos medios; de la misma forma que se formo la sucesión anterior.

{a , f a ,3a4, f 3

a4 ,

a2, f

a2}

{a2, f

a2 ,

a4, f

a4 ,0, f 0}

{0, f 0 ,b4, f

b4 ,

b2, f

b2 ,}

{b2, f

b2 ,3

b4, f 3

b4 ,b , f b}

Y así seguimos para los próximos 8, 16, 32, 64...

Sea B=Area {b , f b , 0, f 0 , a , f a } Si seguimos un paso finito de pasos lo que se hizo hasta ahora; observaremos que:

An=114 14 2

14 3

⋯ 14 n

B Y si lo hacemos tender al infinito:

lim.n∞∑i=0

n

14 i

B=43B

Con lo cual queda demostrado el teorema de Arquímedes. (Coloque cuadrito aquí)

Ahora; ¿es posible calcular la integral moderna de la función x² usando el teorema de Arquímedes? La respuesta es sí y éste es el procedimiento.

Tomemos el mismo intervalo anterior; [a, b] con |a-0| = |b-0| y la altura dada por f(a)=f(b)Considere el rectángulo que encierra a la parábola. Note que su área es:

∣a−b∣ f a

Por el teorema de Arquímedes el área encerrada en la sección parabólica es:43B

Sea B el triangulo con vértices en {(a, f(a)), (0, 0), (b, f(b))}. Entonces el área de la sección parabólica se reescribe como:

43∣a−b∣ f a

2

.=2∣a−b∣ f a

3

Como la integral nos proporciona el área bajo la curva y aquí tenemos el área encerrada en ella; basta con hacer la diferencia de áreas con el rectángulo que encierra todo:

∣a−b∣ f a−2∣a−b∣ f a

3

.=∣a−b∣ f a

3

¡Es el área bajo la curva en el intervalo [a, b]!...Si ya se que no se parece a la integral de x²... Pero no te enojes, todavía no me voy.

Lo que aquí tenemos es el área bajo toda la curva encerrada en [a, b] y la clásica integral de x² va de [0, b]. Sabemos que x² es simétrica respecto a las coordenadas (eje “y” pues) entonces sabemos 2 cosas:

∫0

b

f x =∣a−b∣ f a

6

por otrolado ;como∣a−0∣=∣0−b∣⇒∣a−b∣2=∣b∣

⇒∣a−b∣ f a

6=2∣b∣ f b6

Como0b , sea x0=b y f b=x02

⇒x0⋅x0

2

3=

x03

3=∫

0

b

f x

...Sin lugar a dudas... Arquímedes “calculó” la integral de x².

“Denme un lugar en el cual pararme y moveré a la Tierra”-Arquímedes.

Las funciones integrales como conjunto, el operador integral y su inversa.

Previo al capítulo anterior se estudio a la derivada como un operador y a las funciones derivables como conjunto. Utilizando el método de Arquímedes, se logró calcular el área sobre y bajo una curva de una parábola (la imagen en el plano de la función x²). Le llamamos al área bajo la curva “Integral de 'a' a 'b' de x²”. Y se obtuvo x³/3.

¿Qué pasa si derivamos a x³/3? Obtenemos x²....

...Haber momento... ¿Qué dijo?

D(x³/3) = x²

... ¡Es la función inversa (por la derecha) de la derivada!!!

El cálculo de la “integral” efectivamente es la “inversa” de la derivada.

En realidad esto no es 100% así, pero podemos pensar en que lo anterior es cierto y vamos a sustentar ésta hipótesis en el Teorema fundamental del cálculo el cual será estudiado más adelante.

Por ahora no debemos precipitarnos y debemos definir bien a la integral... Estamos queriendo decir que es la inversa de la derivada sólo por que se cumplió para x².

Aprender es una emoción.Y es una emoción rica.

-Dr. Humberto A. Carrillo C.

Comencemos por decir que no es lo mismo “antiderivar” que “integrar”... No son lo mismo pero cuando se estudie el teorema fundamental del cálculo entenderemos el puente entre éstos dos procesos.

Por ahora hagamos de cuenta que son lo mismo.

Definamos a la antiderivada como lo siguiente:

Definición. La “función” antiderivar es aquella que va del conjunto de las funciones que son resultado de derivar alguna función y va al conjunto de las funciones derivables; siendo para cada función en el dominio correspondiente a una de las que cumple que: Df = f'; con f' en el dominio.

Note que la definición anterior se cumple sin importar que la integral y antiderivada sean o no procesos inversos. Note que para cada función en el dominio de la antiderivada; existen una infinidad de funciones de las que vienen, pero todas diferían por una constante real; ¿lo recuerda? (Deberías).

Si consideramos a la antiderivada como una función multivaluada (es decir, no es una función) entonces podemos afirmar que:D−1 f ' x= f x: D f x c = f ' x , c∈ℝ

Se tiene que la antiderivada define una familia de funciones de las que podemos elegir una como primitiva. Por ello, siempre que se solicite las soluciones a D ¹f(x) debemos recordar⁻ siempre sumar dicha constante en la regla de correspondencia que se obtenga de antiderivar. Sin embargo; hay muchos abusos de notación en esto, por lo que más adelante se hará un breve énfasis en la notación.

La antiderivada queda entonces bien definida; ahora ¿qué pasa con la integral?

La integral no es un proceso “trivial”... Pero eso no implica que sea difícil de entender o realizar... Bueno... Quizás aveces... Pero sólo aveces...

Volvamos a la idea de calcular áreas bajo la curva que dibuja en el plano una función. Ésta es la idea básica de la que sale todo. Supongamos que tenemos una función que dibuja lo siguiente:

¿Cómo calcular el área bajo esa curva? Hubo una vez, en un país muy lejano; donde alguna vez el germánico y el sajón evolucionaron para dar nacimiento al idioma alemán, que después se mezclaría con el latín para a su vez dar origen al inglés, un país devastado por

dos guerras mundiales, que durante la segunda fue el eje central del conflicto; cuyo líder solicitó el diseño del tan conocido VolksWagen Bocho, un país que hoy en día es una de las primeras economías europeas y uno de los mayores centros de innovación tecnológica; hablamos claro de Alemania, un científico que bajo la enseñanza de Carl Friedrich Gauss; logró conceptualizar una manera de definir la integral.

Hablamos ni nada más ni nada menos que de Georg Friedrich Bernhard Riemann. Riemann encontró que si uno toma una función en un intervalo y considera el área que hay tomando el punto mínimo de la función en el intervalo y otra con el punto máximo; estaría aproximando, con mucho error; el área bajo la curva.

Luego podemos tomar una partición de dicho intervalo. La partición es una sucesión ordenada de elementos del intervalo. De hecho la primer partición sería el intervalo completo. Y lo que se hace es “refinarlo”. Es decir, metemos otro punto en la partición tal que ese punto es parte del intervalo.

Ahora tendremos dos rectángulos; haciendo el mismo procedimiento anterior: Por un lado tomar a la altura como el ínfimo de las imágenes del intervalo formado por el subintervalo resultado de refinar la partición y por otro el máximo.

Si repetimos éste proceso haciendo tender la norma de la partición; la cual se define como la mayor de las “bases” de todos los intervalos consecuencia de una partición, la hacemos tender a 0; estaremos obteniendo (una muy buena aproximación de) la integral de la función.

El rectángulo de altura el máximo (verde) de las imágenes en el intervalo de la partición.Note que no es que este encima del azul, pero lo tapa; es decir ambos están sobre el eje X hasta el máximo o ínfimo; según el caso. Llamemosle “Suma superior” al verde.Abajo el rectángulo de ancho un elemento de

a b la partición, y altura el mínimo entre elPartición del intervalo [a, b], subintervalo formado por esos elementos dellamemosle P; P = [a, b]. la partición (azul). Llamemosle suma inferior.

Se refino la partición, se le incluyo un elemento llamado x0

a x0 b

Nota: No es necesario meter elementos de dos en dos o con algún orden para hacer refinamientos. Pueden ser como sea.

a x1 x0 x2 b

a x3 x1 x0 x2 x4 b

Observemos que de la sucesión geométrica anterior se tiene que las sumas inferiores, la suma del área de todos los rectángulos por debajo de la curva; esta creciendo, mientras que la suma superior; la suma de los triángulos que llegan hasta el máximo de cada subintervalo, esta decreciendo... En el límite se observa lo siguiente:

Dio igual en que color se ponga; representando las sumas superiores o inferiores: azul o verde. Ambas coincidieron.

La norma de las particiones tendió a cero y la base de los rectángulo es suficientemente pequeña. La suma inferior y superior; si las vemos como un conjunto de sumas inferiores e inferiores, donde están cada una de las posibles a formar con cada partición (una por partición); alcanzaron valores máximos e ínfimos respectivamente.

Podemos hablar de máximos e ínfimos en éstos conjuntos de sumas, pues al final son números reales. Como ya se ha estudiado, los reales tienen varias propiedades; y entre ellas está el axioma del supremo. Notamos que en éste fenómeno sucedió que las sumas superiores se hicieron iguales a las sumas inferiores.

Definición. Se dice que una función f es integrable, (Riemann Integrable) si y sólo sí:• f está acotada.• Sup{Sumas inferiores} = Inf{Sumas superiores}

¡Chiste! ¡Chiste! ¡Chiste!¿Cuales son las únicas funciones integrables?

Las trigo - no-métricas.

Llamemos Integral inferior al Sup{Sumas inferiores} e integral superior al Inf{sumas superiores}.

Notación:

∫a

b

f x Integral inferior

∫a

b

f x Integral superior

∫a

b

f x Integral de f x

Ahora conocemos “la función inversa de la derivada” y una definición de la integral (que por lo pronto es “inversa de la derivada”).

Hagamos un pequeño resumen sobre las diferentes notaciones utilizadas para éstos “operadores”.

Notación de integral, antiderivadas y de otros procesos relacionados.

Las notaciones usuales para la derivada de una función son:x Notacion de Newton. Se coloca un punto por cadaderivada que se calcule.

Df xSi derivamosmás deuna vez ,usamos DDD...Df x

f ' x Secolocan tantascomillas comoderivadas secalculen : f ' ' ' ... ' x

d k fdx

k∈ℕ y representa el numerode veces que se diriva.

Esta notaciones bastantebuena , pues sabemos cuantas veces se deriva y respectode quevariable dx

d k f x dx

La cual es equivalente a la anterior.

En integral es donde se da el mayor abuso de notación. La notación más correcta para integral; no antiderivada, integral, es:

∫x

y dyNota: estamos entendiendo que el límite inferior de integración es 0.

Las siguientes son notaciones que se usan, pero bajo abuso:

∫ f Para la integral definida de f x

∫n

x

y dy Para la familia de primitivas. Esto ya noes funcionla antiderivada como funcion , esun número real.

∫x

ydy=xc Es equivalente a la anterior , fijando ac dandoleun valor real

∫ f x dx Para la familia de primitivas de f asi como :

∫ f x ,∫ f dx obien∫ f

“La ciencia no es más que un refinamiento del pensamiento cotidiano.”- Albert Einstein.

Bibliografía• Norman B. Hasser, Joseph P. LaSalle, Joseph A. Sullivan. “Análisis Matemático: Curso

de Introducción. Vol. I” Ed. Trillas, 2a. Edicion, México, 1990.• Michael Spivak. “Calculus. Cálculo Infinitesimal.” Ed. Reverté, 2a. Edición, España,

1992.• Alexander J. Hahn. “Basic Calculus: From Archimedes to Newton to its Role in Science”,

Ed. Springer, University of Notre Dame, E.E.U.U.• Tom M. Apóstol. “Calculus Vol. 1”, Ed. Reverté, 2a. Edicion.