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Universidad Los Ángeles de Chimbote CURSO ESTADÍSTICA APLICADAFACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS

LECTURA 07: PRUEBA DE HIPÓTESIS (PARTE I)

TEMA 15: PRUEBA DE HIPOTESIS: DEFINICIONES GENERALES

1. INTRODUCCIONEl propósito de análisis estadístico es reducir el nivel de incertidumbre en el proceso de decisiones. Los gerentes pueden tomar mejores decisiones solo si tienen suficiente información a su disposición. La prueba de hipótesis es una alternativa analítica muy efectiva para obtener esta valiosa información. Por ejemplo el gerente de sistemas de una empresa desea determinar si el tiempo de vida medio de computadoras de la marca COMPAQ es mayor de 10 años ( 10=µ ). Un productor de software de computador desea certificar que la proporción de sus productos que son defectuosos es menor del 3% ( 03.0p < ). El gerente de una empresa desea saber si la implementación de un nuevo programa de capacitación mejora la productividad de sus vendedores respecto al número de clientes que desean tener una tarjeta de crédito ( 30>µ ).Las ilustraciones de esta naturaleza son virtualmente ilimitadas en diferentes escenarios productivos, de negocios, económicos, financieros, laborales, etc. Si se pueden obtener respuestas a estas preguntas y a muchas otras con algún grado de garantía la toma de decisiones se vuelve más segura y es menos probable que conduzca a un error costoso.

2. DEFINICIONES GENERALESA continuación daremos a conocer algunas definiciones generales que se usan para llevar a cabo una prueba de hipótesis:

a) Hipótesis estadística: Es una suposición o afirmación respecto de un parámetro poblacional. Por ejemplo:- El número promedio de ingenieros de sistemas que se insertan al mercado

laboral es de al menos 3 de ellos.- El 20% de las familias chimbotanos tienen Internet en su hogar.- El sueldo medio de los trabajadores de la Uladech es de S/. 800.00 mensuales.

Todas estas hipótesis tienen algo en común, las poblaciones de interés son tan grandes que no es factible estudiar todos sus elementos. Como ya sabemos, una alternativa a estudiar la población entera es tomar una muestra de la población de

___________________________________________________________________________ 1Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Setiembre 2010Versión : 2


interés. De esta manera podemos probar una afirmación para determinar si la evidencia soporta o no la afirmación.

b) Prueba de hipótesis: Es un procedimiento basada en la evidencia muestral y en la teoría de la probabilidad que se lleva acabo para decidir si se acepta o rechaza un hipótesis estadística planteada.

c) Tipos de hipótesis: Cualquier investigación estadística implica la existencia de hipótesis o afirmaciones de las poblaciones que se estudian. Hay dos tipos de hipótesis: la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

c.1.) Hipótesis nula (Ho): Es aquella que establece que el parámetro tiene determinado valor y se formula con la intención de rechazarla.

La hipótesis nula es una afirmación que será aceptada si los datos de la muestra no nos proveen de evidencia convincente de que es falsa, es decir, si se acepta la hipótesis nula decimos que la evidencia no es suficiente para rechazarla pero no podemos afirmar que es verdadera.

c.2) Hipótesis alternativa: Es una hipótesis diferente a la hipótesis nula, es la que suponemos que es verdadera y deseamos establecer. La hipótesis alterna es la afirmación que se acepta si se rechaza la hipótesis nula. Esta hipótesis, también llamada hipótesis de investigación. La hipótesis alterna es aceptada si la evidencia proporcionada por la muestra es suficiente para afirmar que la Ho es falsa.

d) Tipos de errores: Al realizar una prueba de hipótesis no sabemos si en una determinada acción (rechazo o aceptación de la hipótesis nula) cometemos un error o no.• Error Tipo I: Consiste en rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.

• Error Tipo II: Consiste en aceptar la hipótesis nula cuando es falsa.

Si Ho es la hipótesis nula (sometida a prueba) y H1 es la hipótesis alternativa, entonces estas hipótesis junto con las dos posibilidades de decisión podemos esquematizarla en la siguiente tabla:



DECISIÓNESTADO DE LA NATURALEZA

Ho verdadera Ho falsa

Aceptar Ho1 - α

Decisión correcta β

Error Tipo I

Rechazar Hoα

Error Tipo I 1− β

Decisión correcta

Es obvio quien toma las decisiones, quiere reducir al máximo las probabilidades de cometer cualquiera de estos dos tipos de errores, esto no es fácil, pues las probabilidades de cometer error tipo I y II son inversamente proporcionales, para cualquier prueba dada. De ahí que, cuanto menor es el riesgo de cometer un error tipo I, tanto mayor es la probabilidad de cometer un error tipo II y viceversa. Sin embargo dada la regla de decisión, es posible reducir ambos tipos de errores en forma simultánea, aumentando el tamaño de la muestra.

e) Nivel de significacion (α): Se denomina nivel de significación de una prueba de hipótesis a la probabilidad de cometer un error tipo I.

El nivel de significancia es simbolizado por α, y también es conocido como nivel de riesgo. Este último término es más apropiado porque es el riesgo que se toma de rechazar una hipótesis verdadera.

α = P[error tipo I] = P [Rechazar Ho / Ho es verdadera]α = P[error tipo I] = P [Aceptar H1 / H1 es falsa]

No hay un nivel de significancia para todos los estudios, se puede utilizar cualquier valor de probabilidad entre 0 y 1. Tradicionalmente, el nivel de 0.05 es aplicado a proyectos de investigación, el nivel 0.01 a control de calidad, y 0.10 a sondeos políticos. Usted como investigador debe decidir el nivel de significancia antes de colectar la muestra de datos.

Los niveles de significación más usados son: α = 0.05 y 0.01. Estos dos números son usados tan frecuentemente que cuando Ho es rechazada en α = 0.05, podemos decir que el resultado es significativo y cuando Ho es rechazada en



α = 0.01, decimos que el resultado es altamente significativo.

NOTA: La probabilidad de cometer un error tipo II se representa por β, es decir:

β = P[error tipo II] = P[Aceptar Ho / Ho falsa]β = P[error tipo II] = P[Rechazar H1 / H1 es verdadera]

fig. 16

R.A. : Región de aceptación.R.R. : Región de rechazo.

f) Tipos de prueba:• Prueba de cola izquierda: Si la región de rechazo está a la izquierda del

punto crítico C.

fig. 17


β αR.A. R.R.C

1-α 1-β

R.R. C R.A.α

1-α

0ˆf ( / H )θ 1

ˆf ( / H )θ

0ˆf ( / H )θ


• Prueba de cola derecha: Si la región de rechazo está a la derecha del junto crítico C.

fig. 18• Prueba bilateral: Si la región de aceptación es un intervalo cerrado entre los

puntos crítico C1 y C2.

fig. 19

g) Pasos de una prueba de hipótesis:1. Formulación de la hipótesis nula y alternativa de acuerdo al problema.2. Especificación del nivel de significación.3. Selección de la estadística de prueba.4. Establecimiento de los criterios de decisión.5. Realización de cálculos.6. Decisión.


R.R.CR.A.

α

1-α

R.A.C1

α /2R.R.

α /2C

2 R.R.

1-α

0ˆf ( / H )θ

0ˆf ( / H )θ


TEMA 16: PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONALLa media poblacional es un parámetro de decisión muy importante. Es de interés conocer si una media poblacional ha aumentado, disminuido o ha permanecido inalterado, o también podemos estar interesados en determinar si una media poblacional es significativamente mayor o menor que un valor supuesto.

1. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL USANDO LA ESTADISTICA Z.

CASO I: Uso de la estadística Z.i) Muestra grande (n ≥ 30), varianza poblacional conocida, población normal o no. ii) Muestra grande (n ≥ 30), varianza poblacional desconocida (σ2 ≅ s2) y población

normal o no. iii) Muestra pequeña (n < 30), varianza poblacional conocida y población normal.

1. Formulación de hipótesis: a) Ho: µ ≥ µo b) Ho: µ ≤ µo c) Ho: µ = µo

H1: µ < µo H1: µ > µo H1: µ ≠ µo

2. Nivel de significancia: α

3. Estadística de prueba:

• Para i y iii

)1,0(nn/

xZ 0 →

σµ−

=

• Para ii

)1,0(nn/s

xZ 0 →

µ−=


α

R.A.: Zk < Z

1 - α , se acepta HO.

R.R.: Zk > Z

1 - α , se rechaza HO.

Z1- α

α

1 - α

0


4. Establecimiento de los criterios de decisión:• Prueba de cola izquierda :

• Prueba de cola derecha:


R.A.: Z

K > - Z

1- α , se acepta HO.

R.R.: ZK < - Z

1- α , se rechaza HO.

0-Z

1- α

1- α

R.R R.A.

R.A. R.R.


• Prueba bilateral :

.

5. Cálculos: Obtención del valor experimental.

• Para i y iii

n/x

Z 0k

σµ−

=

• Para ii

n/sxZ 0

kµ−=

6. Decisión:Se compara el valor experimental con el valor crítico.Si Zk ∈ R.A., se acepta HO.Si Zk ∈ R.R., se rechaza HO.


R.A.: -Z1 – α/2 < Zk < Z1 - α/2 ,se acepta H0.

R.R.: Zk < -Z1 - α/2 O Zk > Z1 – α/2 ,se rechaza H0.

α/2α/2

1-α

R.R.R.A.R.R.0-Z1- α/2 Z1- α/2


NOTA: Si se tiene una población finita de tamaño N se corrige la estadística de prueba de la siguiente manera:

a) Para i y iii: b) Para ii:

1NnN

n

xZ 0

−−σ

µ−=

1NnN

nsx

Z 0

−−

µ−=

Ejemplo 1:El gerente de una empresa selecciona aleatoriamente entre sus trabajadores una muestra de 169 y anota el número de horas de trabajo que cada uno de ellos ha perdido por causa de accidentes laborales en el año 2001. A partir de la información obtenida determina, en esos 169 trabajadores, un número medio de horas perdidas por accidentes laborales en el 2007 de 36,5 horas y una desviación estándar de 10 horas.a) ¿Podríamos rechazar, con un nivel de significación del 1% la hipótesis de que el número medio de horas perdidas a causa de accidentes laborales en esa empresa durante el año 2007 fue de 35 horas?b) ¿Y para un nivel de significación del 5%?

Solución: Utilizamos Caso I - iia) 1. Formulación de la hipótesis :

H0 : µ = 35H1 : µ ≠ 35

2. Nivel de significancia : α= 0.01

3. Estadística de prueba:Análisis:● n=169

(n>30)


x 36.5=

s 10=


● Varianza poblacional desconocida (se obtiene a través de la muestra)

● Población no normal● Usar Estadística Z – Caso I - ii

4. Establecimiento de los criterios de decisión:

5. Cálculos :

0kx 36.5 35Z 1.95s / n 10 / 169

− µ −= = =

6. Decisión :Zk=1.95<2.576, aceptamos Ho.No se rechaza la hipótesis ; es decir el número medio de horas pérdidas a causa de accidentes laborales es de 35 horas.

b) Si el nivel de significación fuera del 5%, entonces 1.95 <1.96 y también se acepta HO. Entonces no se rechaza la hipótesis ; es decir el número medio de horas pérdidas a causa de accidentes laborales es de 35 horas.

Ejemplo 2:Una empresa estudia introducir un nuevo sistema de producción para mejorar su productividad media establecida actualmente por persona y día. Se estima que el


2s 10 s 100= ⇒ =

-2.576 2.576

R.A.: -2.576≤ ZK ≤ 2.576, se acepta H

O.

R.R.: ZK

< -2.576 o ZK

>2.576, se rechaza HO.

α/2=0.05α/2=0.05

1- α = 0.99

0R.R. R.R.R.A.


cambio no será rentable si no consigue elevar dicho número por encima de 45 unidades. Realizada una prueba con la nueva tecnología aplicada a 35 personas, se obtuvo una producción media de 46.5 y no se observó ningún cambio apreciable en la dispersión que estaba establecida en 1.5 .uσ = por día ¿Se debe efectuar el cambio tecnológico. A un nivel de significancia del 5%.

Solución: Utilizamos Caso I - ii1. Formulación de la hipótesis:

H0 : µ = 45H1 : µ > 45

2. Nivel de significancia: α = 0.05

3. Estadística de prueba :Análisis:● n=35

(n>30)● Varianza poblacional conocida.

σ =1.5 σ 2= 2.25● Población no normal● Usar Estadística Z – Caso I - i

0xZ n(0,1)/ n− µ= →

σ

4. Establecimiento de los criterios de decisión :


1.645

0.05

1 - α =0.95

R.A.: ZK

< 1.645, se acepta HO.

R.R.: ZK

> 1.645, se rechaza HO.

0R.A. R.R.

x 46.5=


5. Cálculos:

6. Decisión :ZK = 0.17 < 1.645, entonces aceptamos Ho.No se debe efectuar el cambio tecnológico.

Ejemplo 3:Tiendas Metro, una cadena de tiendas de artículos de consumo extendida por todo el país, afirmaba en Radio Programas del Perú que no abren tienda en ninguna localidad a menos que la renta media de la vecindad sea de 1200 dólares como mínimo. Una encuesta de 200 familias en una localidad determinada da una renta media de 1182 dólares, con una desviación estándar de 157 dólares. ¿Deben abrir la tienda si se cumplen todos los demás criterios de emplazamiento deseable a un nivel de significancia del 1%?

Solución:1. Formulación de la hipótesis:

H0 : µ ≥ 1200H1 : µ < 1200

2. Nivel de significancia : α = 0.01


(n>30)● Varianza poblacional desconocida (se obtiene a través de la muestra)

● Población no normal● Usar Estadística Z – Caso I - ii

0xZ n(0,1)s / n

− µ= →


0kx 46.5 45Z 0.17/ n 1.5 / 35− µ −= = =

σ

x 1182=

s 157=

2s 157 s 24649= ⇒ =



5. Cálculos:

6. Decisión:Zk = -1.62 > -2.326, entonces aceptamos Ho.

La renta media de la vecindad es de 1200 dólares como mínimo.

2. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL USANDO LA ESTADISTICA T.

CASO II: Uso de la estadística t.La muestra es pequeña (n< 30), varianza poblacional desconocida 2 2( s )σ ≅ y población normal.


-2.326α = 0.01

R.A.: ZK ≥ -2.326, se acepta H

O.

R.R.: ZK

< -2.326, se rechaza HO.

1-α = 0.99

0

R.R. R.A.

0kx 1182 1200Z 1.62s / n 157 / 200

− µ −= = = −


1. Formulación de hipótesis estadística:a) HO: µ ≥ µo b) HO: µ ≤ µo c) HO: µ = µo

H1: µ < µo H1: µ > µo H1: µ ≠ µo

2. Nivel de significancia: α

3. Estadística de prueba:

Donde: (n-1) son los grados de libertad.


• Prueba de cola izquierda :


R.A.: tK > - t

1-α , n-1, se acepta H

O.

R.R.: tK < - t

1-α , n-1, se rechaza H

O.

0-t1-α, n-1

α

1-α

R.A.R.R..

1n0 tn/s

xt −→

µ−=

R.A.: tk < t

1-α , n-1, se acepta H

o.

R.R.: tk > t

1-α , n-1, se rechaza H

o.

t1-α, n-1

α

1 - α

0


• Prueba de cola derecha:

• Prueba bilateral :


R.A R.R

1 /2,n 1t − α −− 1 / 2,n 1t − α −

R.A.: t1 - α /2, n-1

< tk < t

1 - α /2, n-1 , se acepta HO .

R.R.: tk < - t

1 - α /2, n-1 o t

k > t

1 - α /2, n-1 , se rechaza HO.

α/2α/2

1-α

R.A. R.R.R.R.

0


5. Cálculos:

n/sx

t 0k

µ−=

6. Decisión:Se compara el valor experimental con el valor crítico Si t k ∈ RA. , aceptamos Ho.Si t k ∈ R.R. , rechazamos Ho.

NOTA: Si se tiene una población finita de tamaño N se corrige la estadística de prueba. Así:

1NnN

nsx

t 0k

−−

µ−=

Ejemplo 4:En una ciudad se quiere hacer un estudio rápido para valorar el consumo de agua en los domicilios particulares durante los meses de mayor sequía. Para ello se seleccionaron al azar 15 domicilios y se midieron sus consumos en metros cúbicos durante el mes de agosto y su obtuvo un consumo medio muestral de 3m7.18x = y

una desviación estándar muestral de 3m6s = . Se sabe además que el consumo de agua se distribuye normalmente. En vista de estos datos. ¿Hay suficiente evidencia estadística al nivel de 0.05, a favor de la hipótesis de que el consumo medio de los particulares durante el mes de agosto es mayor que 18 m3?

Solución:

1. Formulación de la hipótesis: H0 : µ = 18 H1 : µ > 18

2. Nivel de significancia: α = 0.05




(n<30)


● Población normal● Usar Estadística T – Caso II

Como n=14, entonces:

Entonces el valor tabular estara dado por:



1n0 tn/s

xt −→

µ−=

14t t→

R.A.: tk ≤ 1.761, se acepta H

O.

R.R.: tk > 1.761, se rechaza H

O.

1.761

α=0.05

1 - α = 0.95

0

R.A R.R

s 6=

2s 6 s 36= ⇒ =

x 18.7=


5. Cálculos:

0kx 18.7 18t 0.45s / n 6 / 15

− µ −= = =

6. Decisión:tk=0.45 < 1.761, entonces aceptamos Ho. El consumo medio de agua de los particulares en el mes de agosto no es mayor de 18m3.

Ejemplo 5:Una Marca discográfica preocupada por el creciente desarrollo de los Vendedores informales de mùsica en CD emprende una investigación sobre esta variante de la Economía informal, la Gerencia cree que mantienen una venta media de 50 CD`s en un fin de semana. Para realizar la investigación se entrevistaron 20 vendedores desplegados en la Av. Abancay de la Ciudad de Lima, registrando el siguiente resultado:Ventas de CD's (copias):

55 51 50 51 71 65 60 55 50 5059 50 77 76 53 57 66 72 46 47

¿Que tan cierta es la sospecha de la Gerencia, a un nivel de significancia del 5%?

Solución: Caso II

1. Formulación de Hipótesis :H0 : µ = 50H1 : µ ≠ 50


3. Estadística de prueba :Análisis:

● n=20 (n<30)


x 58.55=

s 9.64=






5. Cálculos :

6. Decisión: tk = 3.97 ∈ R.R., por lo tanto se rechaza Ho. No es cierta la sospecha del gerente, la venta media de CDs en el mercado informal es mayor.


R.A.: tk ∈ [-2.093, 2.093], se acepta H

O.

R.R.: tk < -2.093 o t

k > 2.093, se acepta H

O.

-2.093 2.093α=0.025 α=0.025

1- α =0.95

R.R R.A R.R

0

1n0 tn/s

xt −→

µ−=

2s 9.64 s 92.93= ⇒ =

19t t→

0kx 58.55 50t 3.97s / n 9.64 / 20

− µ −= → =


Ejemplo 6:Para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, un grupo de inversionistas tomó una muestra de n =10 de esta clase de valores. La media y desviación estándar resultaron: . Se sabe además que el rendimiento sigue una distribución normal ¿Existe evidencia para decir que el verdadero rendimiento anual promedio es igual o mayor 8.5%? con α= 0.1?

Solución:1. Formulación de la hipótesis:

H0 : µ ≥ 8.5 H1 : µ < 8.5



(n<30)● Varianza poblacional desconocida (se obtiene a través de la muestra)




x 8.4% y s 0.1%= =

s 0.1=

2s 0.1 s 0.01= ⇒ =

1n0 tn/s

xt −→

µ−=

9t t→

x 8.4=



5. Cálculos:

6. Decisión:Zk = -3.16<-1.383, entonces rechazamos HO.

No existe evidencia para decir que el rendimiento anual promedio es mayor o igual a 8.5, el rendimiento anual promedio de los valores es menor de 8.5%


-1.383

α = 0.1

R.A.: ZK ≥ - 1383, se acepta H

O.

R.R.: ZK

< --1.383, se rechaza HO.

1-α = 0.90

0

R.R. R.A.

0kx 8.4 8.5Z 3.16s / n 0.1/ 10

− µ −= = = −

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