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UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
RECURSOS DIDÁCTICOS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
CÓDIGO: 3060
CENTRO UNIVERSITARIO:
DESAMPARADOS
PROYECTO FINAL
ESTUDIANTE: Randall Serrano Valenciano.
SÁBADO 19 DE ABRIL DE 2008
2
INTRODUCCIÓN
El realizar propuestas siempre conlleva a disyuntivas donde quizás todos
tengan razón, es por la naturaleza subjetiva de estas lo que hace que se llamen
propuestas, el hecho de ofrecer una manera de transmitir un conocimiento no
quiere decir que sea la mejor.
En estudios realizados se concluye que la mejor manera de transmitir el
conocimiento es ofrecerlo de la manera en que el emisor lo entiende. Así con
ayuda de ciertas adecuaciones que den valor agregado al servicio profesional
de educar se puede llegar a ser un excelente profesor.
En el presente trabajo se realizan propuestas referentes a dos temas
importantes en la enseñanza secundaria, operaciones con números reales y la
interpretación de gráficas de funciones cuadráticas, esta última con apoyo de
un software graficador llamado Equation Grapher.
3
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Objetivo General
- Ofrecer una manera lógica y accesible a todos los estudiantes de
sétimo año, acerca de la manera en que se deben resolver
operaciones con números enteros.
Objetivos Específicos
- Dar una base matemática importante que permita a los
estudiantes un concreto dominio del tema, para años lectivos
posteriores.
- Ofrecer una manera no conductista de la resolución de ejercicios
de operaciones con números enteros.
- Transmitir la idea de que las matemáticas, y en específico el tema
a desarrollar no es un simple contenido del programa
educacional, sino algo importante en la vida diaria.
Contenidos por desarrollar
- Números naturales y números enteros: concepto, números
opuestos. Operaciones (suma, resta, multiplicación, división).
Prioridad y uso de paréntesis. Combinación de operaciones con
potencias.
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Tiempo probable
- El desarrollo del tema en su totalidad abarcará aproximadamente 4
lecciones, suponiendo que la lección dura 80 minutos, el tiempo
requerido es de 320 minutos.
Requerimientos del aula
- Aula ventilada.
- Aula muy bien iluminada.
- Paredes pintadas con colores frescos, claros.
- Pupitres en buen estado.
Materiales que necesitarán los estudiantes
- Cuaderno.
- Lápices.
- Borrador.
- Lapicero.
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Materiales que necesitará el docente
- Pizarra acrílica.
- Pilots acrílicos.
- Once “bolitas” de estereofón. (En el desarrollo de la lección se
explicará para qué). *ILUSTRACIÓN MÁS ADELANTE.
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Conocimientos previos por parte del alumno
- El alumno deberá dominar a la perfección el concepto de la teoría
y práctica de las operaciones fundamentales (multiplicación,
división, suma y resta).
Explicación detallada del desarrollo de la lección
Al iniciar la lección se ofrece una motivación de ejemplos de la vida diaria
respecto al tema a desarrollar:
A menudo utilizamos números enteros, por ejemplo en meteorología, para
asignar valores de temperatura bajo cero; en historia, para fechar sucesos
ocurridos antes del comienzo de la era cristiana (lo indicamos con las letras
a.C., que significan antes de Cristo); en geografía, para medir las
profundidades de las fosas submarinas; y por supuesto, en matemáticas.
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I. Temperaturas
Este mapa muestra distintas temperaturas mínimas registradas en diferentes
puntos de Francia un día del mes de febrero. También se muestran junto al
termómetro de mercurio graduado en grados centígrados: hay temperaturas
sobre cero, que aparecen escritas sin el signo más “+”, y temperaturas bajo
cero que llevan delante el signo menos “-”. Decimos que las temperaturas
sobre cero son positivas, mientras que las temperaturas bajo cero son
negativas. La temperatura 0 no es ni positiva ni negativa.
II. Líneas del tiempo
Vercingetórix venció al ejército de Julio César en el año 52 a.C. en la batalla de
Gergovia. Si ubicamos este acontecimiento sobre una línea del tiempo, estaría
situado a la izquierda del 0, que se acordó tomar como el comienzo de la era
cristiana.
En 1492 Cristóbal Colón descubrió América.
En julio de 1969, el astronauta Neil Armstrong pisó la Luna.
8
Estos dos acontecimientos están situados a la derecha del 0 en la línea
temporal.
Podemos asociar los números -52, 1.492 y 1.969 a estos tres acontecimientos.
A las fechas ubicadas a la izquierda del 0 se les asocian números negativos; a
las ubicadas a la derecha del 0 se les asocian números positivos.
III. Montañas y fosas oceánicas
Para medir la altura de las montañas o la profundidad de las fosas oceánicas,
usamos como punto de referencia el nivel del mar, al que asignamos el número
0; a las cimas de las montañas les asignamos números positivos y al fondo de
las fosas oceánicas números negativos.
Ejemplos:
—el punto más alto de África está situado en Tanzania, en la cumbre del monte
Kilimanjaro, a 5.895 metros de altura; le corresponde el número 5.895 o
+5.895;
—próxima al archipiélago de las islas Marianas en el océano Pacífico, se
encuentra la fosa de las Marianas, con una profundidad de unos 11.000
metros; le asignamos el número –11.000.
Para adentrarse en el tema de las operaciones con números enteros es
importante empezar a transmitir el concepto de números negativos y positivos.
Esto porque en la escuela no se adentra en el tema y no se llega a sétimo año
con la concepción de que también existe “número negativos”.
9
El mejor recurso mediante el cual se puede representar este tema es la “Recta
Numérica”:
Este recurso es encontrado muy comúnmente en las aulas, pero no pasa de
ser un simple concepto plasmado en el cuaderno. La propuesta personal radica
en ofrecer a los estudiantes una más concreta de visualizar la recta numérica,
bastan 11 “bolitas” de estereofón debidamente numeradas del -5 al 5, 5 azules
representarán los números negativos, otras 5 anaranjadas los números
positivos y una de color blanco será el cero. Las “bolitas” se repartirán a 11
estudiantes de manera al azar, y ellos se tendrían que posicionar al frente de la
clase en el orden natural establecido por la recta numérica, de manera que los
mismos estudiantes sabrán que los números negativos van a la izquierda del
cero y los positivos a la derecha. Considero que esto ofrecerá una experiencia
participativa y visual a todos los estudiantes, de querer realizar la actividad con
todo el grupo perfectamente en un patio de la institución y con más bolitas se
realiza el ejercicio.
Ya superado el tema de la concepción de los números negativos y positivos y
del orden de estos en la recta numérica, se procede a ofrecer las reglas de
símbolos en las operaciones. La propuesta es simplemente transmitir a los
estudiantes la regla de la siguiente manera:
Para multiplicación o división:
10
- “Símbolos iguales dan positivo.”
- “Símbolos diferentes dan negativo.”
Ejemplo:
– 5 • 4 = – 20
5 • – 4 = – 20
– 5 • – 4 = 20
5 • 4 = 20
Recomiendo aplicar una tarea de 20 ejercicios respaldada con un
quiz de comprobación de la misma, además de los ejercicios
resueltos en clase.
Para sumas o restas:
Siempre que se tenga el símbolo menos (–) antes de un número lo
sustituiremos por la palabra “debo”, y cuando sea un más (+) los
sustituiremos por la palabra “pago”. De esta manera si al final
quedamos debiendo se pone el menos y si pagamos de más se pone
el +.
– 5 – 4 + 6 = – 3
Debo 5 debo 4 pago 6, sigo debiendo 3
En el estudio de las operaciones fundamentales con números
enteros se efectúan combinaciones entre las operaciones anteriores,
en este caso se procede siguiendo una regla muy sencilla:
Se efectúan primeramente las multiplicaciones y divisiones “de
izquierda a derecha”, una vez resueltas todas estas operaciones se
procede a realizar las sumas y restas, importante destacar este
punto, siempre se dejan las sumas y restas para el final.
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Ejemplo:
8 + 2 • –2 + 4 =
8 – 4 + 4 =
8
Teniendo todo lo anterior claro otro aspecto que debe quedar muy
claro es el uso correcto de los paréntesis, es importante tener en
cuenta la priorización de estos, ya que el resultado final de la
operación dependerá directamente del uso de los paréntesis. Al
efectuar operaciones combinadas en donde aparecen paréntesis
redondos, cuadrados y llaves se debe seguir el siguiente orden de
prioridad:
1. Redondos ( )
2. Cuadrados [ ]
3. Llaves { }
Ejemplo:
–3 { 4 + 5 [ ( 3 – 5 ) ( 5 ÷ – 5 ) ] } =
–3 { 4 + 5 [ (–2 • – 1 ) ] } =
–3 { 4 + 5 [ 2 ] } =
–3 { 4 + 10 } =
–3 • 14 =
–42
Tarea de 30 ejercicios con quiz de comprobación
12
Potencias:
Respecto a la potencialización se dan graves problemas a la hora de
resolver una operación con números enteros, es de vital importancia
el entendimiento de lo que es una potencia, se da el caso de que los
estudiantes multiplican la base por el exponente, aspecto que es
completamente un error grave en la resolución de un ejercicio.
Una potencia se compone de una base y un exponente, el exponente
nos indica el número de veces que se debe multiplicar la base por si
misma, ejemplo:
5 3 = 5 • 5 • 5
En estos casos la ley de signos cobra vital importancia, normalmente
en libros de texto se dan una serie de reglas que se deben aprender
memorísticamente pero que el estudiante nunca llega a comprender,
la manera en que se debe explicar es la siguiente:
- Las potencias de base negativa y exponente impar son negativas,
ya que cuando se realiza la operación el números de símbolos
negativos es impar por lo que tendríamos al final un + • – que
resulta negativo.
- Cuando las potencias son de base negativa y con exponente par
el resultado es positivo, ya que el número de símbolos positivos
es par y obtendríamos al final un – • – que resulta +.
Considero que la mejor manera es que los propios estudiantes
comprendan lo que está sucediendo con la potencia y no que se
aprendan “recitadas” una serie de reglas que en el futuro se olvidan
y nunca se comprendieron.
Algunos casos particulares:
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- Toda potencia elevada a la cero es igual a uno.
- Los demás casos “especiales” se obtienen aplicando
correctamente las reglas anteriormente mencionadas, no
considero necesario gastar valioso tiempo en una clase
explicando además de todo lo anterior que un número elevado a
uno es el mismo número, o que cero elevado a cualquier número
es cero. Simplemente aplicando el concepto de potencia se
resuelve la operación:
0 9 = 0 • 0 • 0 • 0 • 0 • 0 • 0 • 0 • 0 = 0
Cuando el exponente es negativo se procede a anotar un uno como
dividendo y como divisor la potencia cambiando el exponente a
positivo. En otras palabras “se le da vuelta a la fracción”, con la
salvedad que se debe aclarar que cualquier número está dividido
entre uno, esto para usar a conveniencia en ocasiones como la
siguiente:
3 – 2 = 1 / 3 2
Respecto a potencias se tienen varios aspectos a considerar,
llamados “Leyes de Potencias”, a continuación se enumeran:
1. Multiplicación: Potencias de igual base, se conserva la base y se
suman los exponentes.
2 3 • 2 5 = 2 8
2. División: Potencias de igual base, se conserva la base y se
restan los exponentes.
2 3 / 2 5 = 2 – 2 = 1 / 2 2
14
3. Potencia de una potencia: Se conserva la base y se multiplican
los exponentes.
(2 3) 4=2 12
4. Cuando se trate de potencia de un producto o de una división, se
procede a elevar cada factor al exponente.
(2 • 6) 4 = ( 2 4 • 6 4 )
(2 / 2) 3 = (2 3 / 2 3)
Tarea de 30 ejercicios, con la modalidad de que en la siguiente
lección se llamará al azar a estudiantes para que resuelvan un
ejercicio de la tarea en la pizarra, así hasta completar los 30. Se
permite el apoyo de compañeros.
Todo lo anterior corresponde a la materia prima para la resolución de
operaciones combinadas, en general se debe seguir la siguiente
priorización:
1. El orden de prioridad, de los paréntesis, antes mencionado.
2. Se realizan las potencias.
3. Se efectúan las multiplicaciones y divisiones “de izquierda a
derecha”.
4. Realizamos sumas y restas.
Ya teniendo todo lo anterior claro y debidamente practicado se
procede a realizar operaciones combinadas con las variaciones que
estas puedan tener:
15
[ (17 – 15) 4 + ( 2 – 3 ) 2 – ( 1 – 2 ) 3 ] =
[ ( 2 ) 4 + ( –1 ) 2 – ( –1 ) 3 ] =
[ 16 + 1 – –1 ] =
[ 16 + 1 +1 ] =
18
Nota: Todo lo anterior se debe respaldar con tareas y ejercicios
resueltos en clase, esto es solo la muestra del método a seguir.
Las notas en color verde corresponden a la manera en que yo, como
profesor, evaluaría el tema, considero de vital importancia un dominio
al 100% de este contenido ya que durante toda la secundaria se
necesitará de este conocimiento. Las operaciones con números
enteros dan la base matemática para emprender los contenidos
establecidos. El aplicar quices lejos de ser un peso para los
estudiantes, son de gran ayuda, aunque en su momento no se sienta
así, pequeñas evaluaciones hacen que el estudiante llegue mejor
preparado al examen.
Criterios utilizados para seleccionar los recursos didácticos mencionados.
- Dinámica de clase.
- Adecuación al uso.
- Apoyo mutuo.
- Aprendizaje significativo.
- Participación estudiantil, no solo del profesor (Cognoscitivismo).
INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS CON FUNCIONES CUADRÁTICAS
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Objetivo General
Brindar un conocimiento claro y específico a todos los estudiantes,
de cómo determinar y distinguir características fundamentales de
funciones cuadráticas.
Objetivos Específicos
- Ofrecer todos los elementos básicos necesarios para el estudio de
la función cuadrática.
- Proporcionar de conocimientos fundamentales a los estudiantes
para que puedan determinar características de funciones cuadráticas
a partir del criterio o de la gráfica.
- Incentivar a los alumnos al uso de recursos tecnológicos para un
mejor análisis del tema.
Contenidos por desarrollar
- Función cuadrática: definición, ámbito, eje de simetría, vértice,
intersecciones con los ejes, concavidad, gráfica, variación.
Tiempo probable
Para el desarrollo del tema en su totalidad se estima un tiempo de
cuatro lecciones de 80 minutos cada una.
Requerimientos del aula
- Aula ventilada.
- Aula muy bien iluminada.
- Paredes pintadas con colores frescos, claros.
- Pupitres en buen estado.
Materiales o equipo que necesitarán los estudiantes
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- Cuaderno.
- Lápices.
- Regla.
- Borrador.
- Lapicero.
- Computadora con su debido software instalado (Equation
Grapher), basta con una computadora de escritorio en el hogar.
Materiales o equipo que necesitará el docente
- Pizarra acrílica.
- Pilots acrílicos, distintos colores.
- Regla grande para la pizarra.
- Computadora con videobin para una adecuada exposición visual
a todos los estudiantes.
- Software Equation Grapher.
Conocimientos previos por parte del alumno
- El estudiante deberá dominar a la perfección conocimientos
generales de álgebra, las distintas reglas para la resolución de
operaciones y ecuaciones de segundo grado.
- También se deberá contar con una base de concepto y análisis
de lo que es dominio y ámbito, cruce con los ejes, crecimiento y
decrecimiento, dado por el estudio previo de la función lineal.
Dirección electrónica del Software que se utilizará
http://www.mfsoft.com/equationgrapher/
Explicación detallada del desarrollo de la lección.
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Considero una buena motivación ofrecer un poco de historia acerca del término
“función” y de los matemáticos que lo empezaron a emplear, así como su
definición y comprensión:
¿Qué es una función?
Se define como función el término usado para indicar la relación o
correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por
primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar
una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried
Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva,
como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el
definido en 1829 por el matemático alemán Peter Dirichlet. Dirichlet entendió la
función como una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son
fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen
a la variable independiente x, o a varias variables independientes x1, x2, ..., xk.
Los valores, tanto de la variable dependiente, como de las variables
independientes, son números reales o complejos. La expresión y = f (x), leída
“y es función de x” indica la interdependencia entre las variables x e y; f (x) se
daba normalmente en forma explícita, como f (x) = x2 – 3x + 5, o mediante una
regla expresada en palabras, como f (x) es el primer entero mayor que x para
todos aquellos x que sean reales (véase número). Si a es un número, entonces
f (a) es el valor de la función para el valor x = a. Así, en el primer ejemplo,
f (3) = 32 – 3 • 3 + 5 = 5, f (–4) = (–4)2 – 3(–4) + 5 = 33.
Ya en el desarrollo de la clase se utilizará un software, este programa nos
proporcionará una manera digital de observar la función graficada, de tal
manera que lo realizado a mano se compruebe con el software.
Primeramente se define la función cuadrática, esta consta de lo siguiente:
f (x) = a x 2+ b x + c
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Como su nombre lo indica (cuadrática) siempre se tendrá el exponente 2 en la
variable, este de estar ausente la función ya no sería cuadrática.
Puede faltar cualquiera de los otros componentes pero el indispensable es la
variable al cuadrado.
Ya teniendo la definición de función cuadrática nos adentramos a dar inicio a
todo el análisis que se debe realizar para una correcta graficación de la función.
El primer paso será definir la concavidad de la curva, respecto a lo siguiente:
- Si a > 0 es cóncava hacia arriba.
- Si a < 0 es cóncava hacia abajo.
Con esto se procede a calcular el discriminante, este nos dirá como se
comporta la función en términos de cruce con el eje x, la fórmula es la
siguiente:
Δ = b2 – 4ac
- Si Δ > 0 la función cruza dos veces por el eje x.
- Si Δ < 0 la función no cruza el eje x.
- Si Δ = 0 la función cruza una sola vez por el eje x.
El cruce con el eje “y” es dado por el par ordenado (0,c).
Sabiendo que la función pasa por el eje x, se procede a encontrar estos puntos
de intersección, este procedimiento es el mismo que para cualquier función:
- Para encontrar el cruce con el eje x la función se iguala a cero, ya
que cuando esta pasa por “x”, en el eje “y” es cero, por lo que se
da la igualación. Se procede a resolver la ecuación por métodos
ya conocidos como inspección o por fórmula general y los dos
resultados son los cruces, de ser el discriminante igual a cero nos
va resultar un solo cruce, de ser el discriminante negativo la raíz
de la fórmula general se indefine por lo que no se obtiene un
resultado.
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Teniendo el cruce con el eje x y con el eje “y” se procede a calcular el vértice,
este par ordenado no ofrece el punto máximo ó mínimo, dependiendo de la
concavidad de la función, la fórmula es la siguiente:
Vértice = ( –b / 2a , – Δ / 4a )
Todo lo anterior nos proporciona la información suficiente para graficar la
función, pero no basta con la graficación, se debe aprender a analizarla, de
manera que se distinga el régimen de variación, el ámbito, el dominio, el eje de
simetría etc… Para este análisis el software representa una excelente
herramienta para el estudiante.
Ejemplo: y = x2 – 2x – 3
1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
x
yy = x^2-2x-3
El programa ofrece la opción de distinguir el vértice y los cruces con los ejes, de tal manera que se representa con los círculos rojos. En la pantalla sale un cuadro con la siguiente información:
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y = x^2-2x-3
Minimum: Ymin=-4 for x = 1
y = x^2-2x-3
Y-Intersection: y = -3
y = x^2-2x-3
Root: x = 3
y = x^2-2x-3
Root: x = -1
Ese “minimum” representa el vértice y lo ofrece en par ordenado, seguidamente proporciona la información referente a los cruces con los ejes. Mi propuesta es que el estudiante realice el procedimiento a mano, y que mediante el software verifique lo realizado y analice la gráfica.
A continuación se ofrece mi propuesta de análisis de gráfica:
Ya con la función debidamente graficada se puede tener resultados
importantes para el análisis completo de la curva.
Los puntos que priorizo en mi propuesta son:
- Visualización del eje de simetría.
- Análisis rápido del régimen de variación.
- Identificación del ámbito.
Eje se simetría:
Se define como la parte “x” del vértice, –b / 2a, nos proporciona una recta que
divide completamente la curva a la mitad.
Considero importante la visualización oportuna del eje de simetría pues de esto
dependo el siguiente punto del análisis.
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Régimen de variación:
Consiste en identificar el intervalo de crecimiento y decrecimiento de la función,
lo único que se necesita para realizar la interpretación es conocer el eje de
simetría y la concavidad de la función, de esta forma, independientemente de la
función, de que si esta para o no por el eje x, independientemente de la
posición del vértice, el solo hecho de conocer el eje de simetría y la concavidad
nos permite conocer el régimen de variación.
Identificación del ámbito:
El proceso se asemeja al anterior, nada más que ahora necesitamos la parte
“y” del vértice, – Δ / 4a, esto sumado a la concavidad de la función nos ofrece
lo necesario para conocer el ámbito de la curva:
Al final de la lección se graficarán las funciones practicadas de manera digital,
brindando un apoyo en la comprobación de la gráfica.
Ejemplo: y= x 2 – x – 2
1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
x
yy = x^2-x-2
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y = x^2 – x – 2 Minimum: Ymin= –2,25 for x = 0,5
Así el par ordenado (– b / 2a , – Δ / 4a ) desarrollado en esta función
corresponde a (–2.25 , 0.5 ).
De este modo sabiendo que el vértice es: (–2.25 , 0.5) se procede a interpretar
la gráfica de acuerdo a la propuesta:
Ámbito: Basta conocer la parte “y” del vértice, así al ser cóncava hacia arriba se
observa que el conjunto de imágenes se encuentra en el intervalo: [–2.25, +∞ [
Régimen de variación: Conociendo el eje de simetría (la parte “x” del vértice),
este nos divide el crecimiento del decrecimiento de la curva. En este caso los
paréntesis deben escribirse abiertos pues en este punto simétrico la función no
crece ni decrece. Al ser cóncava hacia arriba se observa que:
Decrece: ] –∞, 0,5 [
Crece: ] 0,5, +∞ [
En puntos anteriores se explicaba que una función cuadrática puede que no
cruce el eje “x”, esto dependiendo del resultado del discriminante. Un ejemplo
de una función de este tipo es y = -5x^2+3x-2, donde gráficamente sucede lo
siguiente:
1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
x
yy = -5x^2+3x-2
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Este es un caso de concavidad hacia abajo, naturalmente el cálculo de este
discriminante resulta negativo, por lo que el estudiante interpretará la gráfica
exactamente igual a lo propuesto, con la diferencia de que los cruces con el eje
“x” no existen.
Lo anterior representa un estudio completo de interpretación de gráficas de
funciones cuadráticas, aclaro que el software será utilizado como medio de
comprobación ya que considero necesario para la interpretación de gráficas,
conocer a la perfección el procedimiento a seguir para la graficación.
Se dejará una extenuante tarea de graficar e interpretar en su totalidad 15
funciones. Esto se dejará a modo de trabajo extra clase ya que se realizará a
mano y con una comparación digital impresa para cada una, después de
entregado el trabajo se aplicará un quiz de comprobación.
Criterios que utilizó para seleccionar el Software mencionado.
- Innovación.
- Facilidad de ejecución.
- Accesibilidad.
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CONCLUSIÓN
En relación con las operaciones con números enteros los recursos utilizados
son sumamente comunes y accesibles y más que materiales son
metodológicos, por lo que me voy a referir más al tema de la función
cuadrática.
A pesar de que el recurso tecnológico cobra relevancia día con día no se puede
dejar de lado los procedimientos lógicos para la graficación de una función, por
ello en mi propuesta se toma en cuenta la manera manual de la graficación, se
debe tener en cuenta que la tecnología está hecha para que los seres humanos
la utilicemos, no que ella utilice de nosotros.
El utilizar medios tecnológicos nos ofrece muchas discrepancias por parte de
las personas involucradas en el sistema educativo, una desventaja es la
desigualdad social con la que se cuenta en Costa Rica, existen escuelas de
muy escasos recursos, a veces nulos, lo que hace imposible la implementación
de un software para la enseñanza. También aunque se cuente con este tipo de
tecnología se requiere de cierta capacitación al estudiante por lo que puede
que se den casos improductivos con la aplicación del recurso.
Por otra parte la tecnología ofrece maneras distintas de ver las cosas,
personalmente pienso que en materia de gráficas un software brinda exactitud
para poder comparar lo realizado paso a paso en el cuaderno, soy enfático en
esto puesto que considero importante el dominio del tema manual.
Para concluir pienso que en un mundo globalizado y con tantos adelantos en
materia científica se ve necesaria la implementación de recursos en el área
educativa, ya que debemos acoplarnos al mundo y la tecnología es una de las
fuerzas que mueven a este actualmente.
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Bibliografía
- Matemáticas 7º, Primera edición 2005.
Lic. Vinicio Porras Navarro-M.Sc. Gustavo Gamboa Sevilla.
- Enciclopedia Encarta 2007. Microsoft.
- Dirección de Internet: www.mep.go.cr
- Dirección de Internet: http://www.mfsoft.com/equationgrapher/
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ANEXOS
Como anexo al proyecto adjunto una guía de manejo eficiente del software,
apoyo importante que los estudiantes deberán poseer y estudiar.
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EQUATION GRAPHER
i. Función cuadrática. Gráfico de las siguientes funciones: y = x2 y = x2 ± a, a > 0 y = (x ± a)2, a > 0 y = ax2 + bx + c
ii. Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje X
Actividad Propuesta
En esta actividad se espera que los alumnos puedan graficar la parábola y analizar sus propiedades fundamentales: convexidad, vértice, eje de simetría e interceptos con los ejes con el software graficador shareware bajado de Internet EQUATION GRAPHER.
Esta actividad permite desarrollar los OFT. En el área de ámbito y crecimiento y autoformación personal capacidad de conocer la realidad, utilizar el conocimientoy relacionar la información relevante, en el área, del ámbito desarrollo del pensamiento: habilidades de investigación; habilidades de resolución deproblemas y de pensamiento lógico; y a habilidades de generalización y demodelización a partir de relaciones observadas; las habilidades comunicativas, quese vinculan con la capacidad de exponer ideas; habilidades de análisis,interpretación y síntesis de información y en el área de ámbito persona y su entorno trabajo en equipo.
Recursos • Sala de computación con el software EQUATION GRAPHER instalado en TODOS los computadores. La dirección en Internet de donde bajarlo es:
• http://www.mfsoft.com/equationgrapher/
• Guía impresa para cada alumno. (está más adelante)
• Al menos una impresora (preferentemente de tinta) y papel suficiente para imprimir unas ocho hojas por computador.
Acciones
Iniciar la sesión formando grupos de dos o tres alumnos por computador. Ejecutar EQUATION GRAPHER y seguir las instrucciones
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I. INGRESO DE LA FUNCIÓN
1. Construye el gráfico de la función y = x2 , llamada parábola, escribiendo: x^2 en la línea de ingreso, como muestra la siguiente figura:
2. Luego presiona la tecla ENTER y tendrás tu gráfico.
3. Imprímelo haciendo clic en el menú File (arriba a la izquierda) y luego en Print Graph
II. EJE DE SIMETRÍA Y VÉRTICE
1. Observa cuidadosamente la gráfica de la parábola y verás que la función
a. Es simétrica respecto del eje Y y su eje de simetría tiene ecuación x=0
b. Tiene el vértice o el mínimo en el punto (0,0)
2. La simetría se determina como una recta que hace las veces de espejo. En nuestro caso, el “espejo” o dicho matemáticamente “el eje de simetría” es la recta vertical x = 0 (o sea la recta que pasa por x =0). Aquí la señalamos:
30
Por lo tanto, diremos que la ecuación del eje de simetría de la parábola es: x = a , donde a es el valor del eje X por donde pasa este eje de simetría.
3. Y el vértice o mínimo, ¿estará realmente en el punto (0,0) ?.
Haremos que el software lo determine. Haz un
clic en el botón y luego abre un rectángulo con el mouse sobre la gráfica de la parábola encerrando al punto que suponemos es el vértice o mínimo. Así:
4. Al soltar el botón del mouse aparecerá en la ventana Log (abajo a la izquierda) la siguiente leyenda:
Ahí aparecen nuestra función, el tipo de punto, mínimo en este caso, y las coordenadas del mismo, o sea:
Minimum: Ymin=0 for x=0 dice que el mínimo está en (0,0)
III. ESTUDIO DE LA CONCAVIDAD
1. Ahora estudiaremos la diferencia que existe con la función y = 2 x2 . Escribe en la línea de ingreso 2x^2 y luego Enter. ¿En qué cambió la parábola?. ¿Se cerró?. Ahora grafica 3x^2, 4x^2 y 5x^2. Al terminar debería quedar así →
31
2. Es claro ver que cuando aumenta el coeficiente numérico de x2 la parábola se va cerrando.
3. Escribe ahora en la línea de ingr0.8x^2, 0.5x^2,
0.3x^2, 0.1x^2 y 0.05x^2. ¿En qué cambió la parábola?. ¿Se abrió?. Al terminar
eso
debería quedar así →.
disminuyendo (sin llegar a ser negativo) la parábola se va abriendo.
s re sólo
simultáneamente.
az clic en el botón
También es claro ver que cuando el coeficiente numérico de x2 va
4. Para continuar deberemos eliminar algunafunciones. El softwapermite graficar 12
H y
2 y luego clic en el botón OK.
aparecerá una ventana con todas las funciones actualmente graficadas. Mantén presionada la tecla CONTROL y haz clic en las
funciones: 2x^2, 4x^2, 0.5x^2, 0.05x^
5. Por último, escribe en la línea de ingreso -3x^2, -x^2, -0.8x^2 y -0.3x^2. ¿En qué cambió la parábola?.
Se comporta de la misma manera cuando el coeficiente numérico es positivo, sólo que las ramas apuntan hacia abajo.
Al terminar debería quedar así →
6. Podemos concluir que la CONCAVIDAD de la parábola y = ax2 es:
32
POSITIVA Si a es positiva
NEGATIVA Si a es negativa
IV. ESTUDIO DE LA TRASLACIÓN
1. Borra TODAS las funciones anteriores. (con el botón ) y grafica las siguientes funciones: x^2, x^2 + 2, x^2 + 4, x^2 - 2, y x^2 - 4 . Debería quedar así:
2. Claramente, la parábola y = x2 + q:
SUBE Si q es positivo
BAJA Si q es negativo
3. Grafica ahora siguientes funciones: (x-2)^2, (x-4)^2, (x+2)^2 y (x+4)^2.. Debería quedar así:
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4. Es fácil ver que, la parábola y = (x – p)2 se desplaza hacia la:
DERECHA Si p es positivo IZQUIERDA Si p es negativo
Nota: En la fórmula debe aparecer siempre –p. En el caso de la función y = (x + 3)2 debe escribirse y = (x – (-3))2 por lo que p tendría el valor –3.
5. Si combinamos los tres casos (a, p y q) tenemos que es posible graficar cualquier parábola usando la función:
y = a(x - p)2 + q o su expandida: y = ax2 + bx + c
Ejemplos:
Valor de los parámetros
Función Resultante
Función Expandida
a=1, p=2, q=3
y = (x - 2)2 + 3
y = x2 - 4x + 7
a= -2, p=-4, q= -1
y = -2 (x +4)2 - 1
y = -2 x2 - 16x - 33
a= 5, p=1, q= -2
y = 5 (x -1)2 - 2
y = 5x2 - 10x + 3
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Las gráficas de los ejemplos se muestran aquí:
y = a(x - p)2 + q
y = ax2 + bx +
c
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7. Como puedes ver son las mismas. Si determinamos los vértices o mínimos de las tres parábolas (de la misma manera que en II.3 y II.4) tendremos que:
FUNCIÓN
PARÁMETROS
VÉRTICE
EJE DE SIMETRÍA
Y = (x - 2)2 + 3
a=1, p=2, q=3
( 2 , 3 ) = ( p , q )
x = p o sea x = 2
y = -2 (x +4)2 - 1
a= -2, p=-4, q= -1
( 4 , -1 ) = ( p , q )
x = p o sea x = -4
y = 5 (x -1)2 - 2
a= 5, p=1, q= -2
( 1 , -2 ) = ( p , q )
x = p o sea x = 1
8. Por lo tanto si nuestra parábola está escrita de la forma y = a(x - p)2 + q su vértice estará en el punto de coordenada ( p , q ). Si está en la forma expandida (o sea y = ax2 + bx + c ), podemos hacer una equivalencia para poder calcular su vértice donde:
p = -b / (2a) y q = (4ac – b2) / (4a)
EJEMPLO:
La función y = -3x2 + 6x - 1 con a = -3, b = 6 y c = -1 tiene su vértice en:
p = -b / (2a) = -6 / (2·(-3)) = -6 / -6 = 1
q = (4·(-3)·(-1) – 62) / (4·(-3)) = (12 – 36) / (-12) = -24 / -12 = 2
Por lo tanto el vértice de la parábola y = -3x2 + 6x – 1 es el punto ( p , q ) = ( 1 , 2 )
V. ESTUDIO DE LOS INTERCEPTOS
Borra todo y tomemos como función ejemplo a y = x2 – 5x + 6
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INTERCEPTO CON EL EJE Y
1. Grafica y = x2 – 5x + 6
2. Encontraremos el punto donde la función corta al eje Y con el software de manera similar a como encontramos el vértice.
Haz clic en el botón y
luego encierra en un rectángulo la zona donde está el intercepto, así:
37
En la ventana Log (abajo a la izquierda) aparecerá lo que buscamos. Así:
dica que la intersección de la parábola con el n el punto y = -2.
Usando la misma gráfica, hacemos clic en el botón
Ineje Y está e
CON EL EJE X
y encerramos en un rectángulo, nuevam ro el área en donde está un intercepto y luego encerramos el área donde está el otro. En la ventana Log aparecerá:
o sea una raíz (root) o intercepto con el eje X 2 y la otra raíz o intercepto está en x = 1.
EJERCICIOS: Para las siguientes funciones:
-
c. y = (x + 1)2
y = (x + 1) + 2
Construye el gráfico y determina:
1. Convexidad,
2. Vértice
3. Eje de simetría,
4. Intercepto con el eje Y
1. Usando el software, estudiar la parábola y = 5x2 - 6x + 8 (gráfico,
ente, prime
está en x = -
a. y = -x2 - 1
b. y = 0.2x2 3
d. 2
5. Intercepto con el eje X
Evaluación
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2. Construye, con el software, una parábola que tenga su vértice en el punto ( -1 ,
3. Construye una parábola que tenga los interceptos con el eje X en x = 3 y x =
4. Determina la función y la gráfica de una parábola que tenga su eje de simetría en x = -1 y que su intercepto con el eje Y sea y = 0. Imprímela.
Determina la función y la gráfica de una parábola que tenga los su vértice en el punto ( 3 , 4 ).
convexidad, vértice, eje de simetría interceptos con los ejes X e Y)
-2 ) y sus ramas hacia abajo. Imprímela.
1. Imprímela.
5.