universidad de sonora...marysol navarro burruel director de tesis:dra. martha guzmán partida...

UNIVERSIDAD DE SONORA

División de Ciencias Exactas y Naturales

Programa de Posgrado en Matemáticas

“Formulaciones Equivalentes de la Propiedad de

Radon-Nikodým de un Espacio de Banach"

T E S I S

Que para obtener el grado académico de:

Maestra en Ciencias

(Matemáticas)

Presenta:

Marysol Navarro Burruel

Director de Tesis: Dra. Martha Guzmán Partida

Hermosillo, Sonora, México, 29 de agosto de 2008

Dr. Fernando Luque VázquezUniversidad de Sonora, Hermosillo, México.

Dr. Adolfo Minjarez SosaUniversidad de Sonora, Hermosillo, México.

Dr. Carlos Bosch GiralInstituto Tecnológico Autónomo de México, Cd. de México.

Dr. Martha Guzmán PartidaUniversidad de Sonora, Hermosillo, México.

iv

Faltan palabras para expresar mi gratitud a aquél que ha sido la

razón de mi existir y la razón también de esta tesis. Definitivamente

dedico esta tesis a mi Señor

Jesucristo

Una vez más lo hemos hecho juntos y estoy segura que es el comienzo de algomaravilloso a tu lado.

Te amo mi Dios.

v

Agradecimientos:

A mi papá Vicente Miranda Torres (mi xochito) y mi mamá Ana María BurruelBorquéz. Los quiero muchísimo, son un regalo de Dios para mi vida, se que nome pudo dar mejores padres que ustedes, siempre me han apoyado, han sido par-ticipes de mis desesperos, de mis tristezas y por supuesto en todos los momentosbellos y hermosos que me ha regalado mi Dios. Los amo.

A mi hermano Carlos Paul Navarro Burruel. Muchas gracias hermano, estoyfeliz de que aparte de ser mi hermano seas mi gran amigo, siempre me haces reíry alientas mi vida para salir adelante, lo que Dios ha hecho en ti me hace seguirfirme y confiada, creyendo más y más cada día.

A mi directora de Tesis Dra. Martha Guzmán Partida. Muchas gracias porguiarme en todo el trayecto de la realización de esta tesis, ha invertido muchotiempo y esfuerzo en esto y para mí eso es muy valioso, pero no sólo en la tesis asido de bendición para mí vida, sino durante todo el transcurso de mi vida comoestudiante en la licenciatura y por supuesto maestría, y sobre todo muchas graciaspor permitirme conocerla más como persona, he aprendido a quererla.

Muchas gracias a mis sinodales, Dr. Fernando Luque Vázquez, Dr. Adolfo Min-jarez, y Dr. Carlos Bosh por sus observaciones y sugerencias, así como el tiempodedicado al revisar esta tesis.

A mis amigos, los cuales estoy segura se dan por aludidos. Cada uno de mislogros los disfruto con ustedes pues forman parte de ellos, gracias por amarme yaceptarme tal cual soy.

Por último quiero agradecer a mi profesora Guadalupe Ávila Godoy, pues sihoy puedo culminar un escalón más de mi vida es gracias a que me ayudó aformar mis bases como profesionista y por supuesto como persona. Sabe que laquiero muchísimo.

Índice general

Introducción 1

1. Medidas Vectoriales 3

1.1. Conceptos Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Integración con Respecto a una Medida Vectorial . . . . . . . . . . . 17

2. Integración 19

2.1. Funciones Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Integral de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. La Propiedad de Radon-Nikodým y el Teorema de Representación de

Riesz 53

3.1. El Teorema de Radon-Nikodým y operadores Riesz representablesen L1(µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4. La Propiedad de Radon-Nikodým y el Teorema de Fatou 85

4.1. Funciones Armónicas y Representación de Poisson: el caso escalar . 85

4.2. Comportamiento Frontera de Integrales de Poisson . . . . . . . . . . 95

4.3. Funciones Armónicas Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4. Equivalencia del Teorema de Radon-Nikodým y el Teorema de Fatou 107

Apéndice 125

A.1. Operadores Lineales Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A.2. El Lema de Agotamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

A.3. Producto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

viii ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL 1

Introducción

El estudio de las medidas vectoriales, esto es, funciones de conjunto finita-mente aditivas, definidas en álgebras y con valores en un espacio de Banach X,dio lugar a los trabajos pioneros sobre geometría, bases e isomorfismos de espa-cios de Banach, así como también al estudio de la compacidad débil y débil∗ endichos espacios.

J.A. Clarkson en 1936 y N. Dunford y A.P. Morse en el mismo año, crearon lasnociones de convexidad uniforme y de base acotadamente completa de un espa-cio de Banach X, respectivamente, con el objeto de demostrar que toda funciónabsolutamente continua definida en el espacio euclideano y con valores en X es laintegral de su derivada. Rápidamente, estos resultados fueron reconocidos comoauténticos teoremas de Radon-Nikodým para la integral de Bochner. De hecho,fueron los primeros teoremas de tipo Radon-Nikodým para medidas vectorialesen espacios de medida abstractos.

Como veremos en este trabajo, la integral de Bochner es una generali-zacióndirecta de la integral de Lebesgue en el contexto de espacios de Banach. Sin em-bargo, para esta integral no es posible establecer de manera general el teorema deRadon-Nikodým para representar a cierto tipo de medidas vectoriales como inte-grales de Bochner indefinidas. La clase de espacios de Banach para los cuales severifica este teorema se conoce justamente como la familia de espacios de Banachcon la propiedad de Radon-Nikodým (PRN).

Existen muy diversas caracterizaciones de esta propiedad para un espacio deBanach X, las cuales varían desde contextos puramente algebraicos hasta con-textos definitivamente geométricos, como por ejemplo, el que un operador enL(L1[0, 1], X

)se factorice a través de l1 y el que todo subconjunto cerra-do, acota-

do y no vacío de X contenga un punto extremo de su envolvente convexa cerrada.Cada una de estas caracterizaciones implica un desarrollo teórico y un trabajomatemático arduo, imposible de compilar de manera autocontenida en un tra-bajo de tesis como el presente. Por esta razón, solamente presentamos un parde formulaciones equivalentes a la propiedad de Radon-Nikodým de un espa-cio de Banach. La primera formulación establece la equivalencia con el teoremade Representación de Riesz para operadores en L

(L1[0, 1], X

), mientras que la

segunda formulación establece la equiva-lencia con la propiedad de Fatou parafunciones armónicas definidas en el disco unitario y con valores en X. Esta últi-ma formulación podría parecer inesperada, ya que la propiedad de Fatou asegurala existencia de límites radiales ctp. para dicho tipo de funciones. Así que cuan-do el espacio de Banach considerado es R o C, el clásico teorema de Fatou parafunciones armónicas es equivalente al clásico teorema de Radon-Nikodým paramedidas escalares.

La herramienta matemática que se emplea para desarrollar este trabajo es bási-camente la teoría de la medida escalar y algunos resultados estándares de Análisis

2 ÍNDICE GENERAL

Funcional. Se encuentra organizado en cuatro capítulos. En el primero de ellos sepresenta la noción de medida vectorial y algunos de los conceptos relacionadoscon ésta. En el segundo capítulo, se desarrolla el concepto de integral de Bochner ylos principales resultados sobre ella. En el tercer capítulo se define la propiedad deRadon-Nikodým y se establece su equivalencia con el teorema de Representaciónde Riesz. Asimismo, se presenta una aplicación que nos permite calcular de man-era explícita el dual del espacio Lp(µ, X) cuando X∗ tiene la PRN. En el cuartocapítulo se establece la equivalencia entre la PRN y la propiedad de Fatou parafunciones armónicas vectoriales definidas en el disco unitario. Con el objeto de quela lectura de esta tesis sea básicamente autocontenida, se incluyen tres apéndicesque complementan alguna información que aparece en el cuerpo de este trabajo.

También, es necesario agregar que no sólo se ha tratado de ser exhaustivoen las pruebas de los resultados que aquí se presentan, sino de igual manera,se ha tratado de proporcionar una buena cantidad de ejemplos que ilustren lasdiferentes nociones y situaciones planteadas en cada uno de los capítulos.

Finalmente, destacamos el hecho de que la PRN ha sido y continúa siendoen la actualidad objeto de estudio de muchos analistas funcionales. Para el lectorinteresado en profundizar en la lectura y aprendizaje sobre medidas vectoriales yla Propiedad de Radon-Nikodým, lo remitimos a la excelente monografía “VectorMeasures”, de J. Diestel y J.J. Uhl (ver[A.3]).

1Capítulo

Medidas Vectoriales

En este capítulo se introducen las nociones de variación, semivariación, adi-tividad finita y aditividad numerable. En todo lo que sigue, Ω será un conjuntono vacío, F será un álgebra de subconjuntos de Ω y X será un espacio de Banach.

1.1. Conceptos Preliminares

Definición 1.1. Diremos que una función F : F → X es una medida vectorial finitamente

aditiva, o simplemente una medida vectorial si para cada par E1, E2 de elementos ajenos de

F se tiene que

F(E1 ∪ E2) = F(E1) + F(E2).

Si además, cada vez que (En)∞

n=1 ⊂ F con Ei ∩ Ej = ∅ si i 6= j y ∪∞

n=1En ∈ F , se tiene

que

F

(∞⋃

n=1

En

)=

∞∑

n=1

F(En),

(donde la convergencia en el lado derecho se entiende que es en el sentido de la norma en

X) diremos que F es una medida vectorial aditiva numerable o numerablemente aditiva.

Ejemplo 1.2. Una medida vectorial finitamente aditiva.

Sea T : L∞([0, 1]) → X un operador lineal continuo. Para cada subconjuntoLebesgue medible E de [0, 1] definamos

F(E) = T(χE).

Puesto que χE1∪E2 = χE1 + χE2 si E1 ∩ E2 = ∅, se sigue que

F(E1 ∪ E2) = T(χE1∪E2)

= T(χE1 + χE2)

= T(χE1) + T(χE2)

= F(E1) + F(E2);

4 Medidas Vectoriales

nótese que no se requiere que T sea continua para probar que F es finitamenteaditiva. Sin embargo F no necesariamente es numerablemente aditiva y para pro-bar esta afirmación utilizaremos el siguiente resultado clásico, cuya demostraciónpuede consultarse en [A.3], pág. 296.

Teorema 1.3. Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida positiva σ-finita y ba(Ω, Σ, µ) el espacio

de funciones de conjunto definidas en Σ que son finitamente aditivas, acotadas y se anulan

en conjuntos de µ-medida cero. La norma de un elemento λ ∈ ba(Ω, Σ, µ) es su variación

total, |λ|.Entonces (L∞(Ω, Σ, µ))∗ es isométricamente isomorfo al espacio ba(Ω, Σ∗, µ), donde Σ∗

es la completación de Σ.

El isomorfismo λ 7−→ Λλ está determinado por la identidad

Λλ( f ) =

∫

Ω

f (w)dλ(w), f ∈ L∞(Ω, Σ, µ)

y ‖Λλ‖ = |λ|.

Para demostrar que F no necesariamente es numerablemente aditiva basta con-siderar Ω = [0, 1], Σ la σ-álgebra de Lebesgue medibles de Ω y µ la medida deLebesgue. Sea T : L∞([0, 1]) → R un operador lineal continuo re-presentado porun elemento λ ∈ ba ([0, 1], Σ, µ) que no es aditivo numerable. Defínase F : Σ → R

comoF(E) = T(χE),

Como λ no es aditiva numerable existe una sucesión (Ej)∞

j=1 ⊂ Σ, con Ej ∩ El = ∅

si j 6= l y tal que

λ

∞⋃

j=1

Ej

6=∞∑

j=1

λ(Ej).

Entonces tenemos que

F

∞⋃

j=1

Ej

= T(χ∪∞

j=1Ej) =

∫χ∪∞

j=1Ejdλ

= λ(∪∞

j=1Ej

)6=

∞∑

j=1

λ(Ej)

=∞∑

j=1

∫χEj

dλ =∞∑

j=1

T(

χEj

)

=∞∑

j=1

F(Ej),

1.1 Conceptos Preliminares 5

es decir,

F

∞⋃

j=1

Ej

6=∞∑

j=1

F(Ej).

Ejemplo 1.4. Otra medida vectorial finitamente aditiva.

Si F es la familia de Lebesgue medibles de [0, 1], defínase ahora µ : F → L∞[0, 1]

porµ(E) = χE.

Si E1, E2 ∈ Σ y E1 ∩ E2 = ∅, entonces

µ(E1 ∪ E2) = χE1∪E2 = χE1 + χE2

= µ(E1) + µ(E2).

Sin embargo, si ahora tomamos (Ej)∞

j=1 sucesión en F tal que Ej ∩ Ek = ∅ si j 6= k

y si E = ∪∞

j=1Ej vemos que para que se verifique la igualdad

χE =∞∑

j=1

χEjen L∞[0, 1], (1.1)

requerimos que la serie converja uniformemente en el complemento de un con-junto de medida cero. Observemos que para x ∈ E la convergencia es sólo puntual(y no uniforme en E) pues en tal caso

χE(x) = lımN→∞

N∑

j=1

χEj(x),

y N = N(x), con χE(x) = 1 y∑m

j=1 χEj(x) = 1 si m ≥ N, donde EN es el único

conjunto tal que x ∈ EN .

Cuando x ∈ [0, 1] − E vemos que

χE(x) = 0 =n∑

j=1

χEj(x) para toda n ∈ N,

así que

χE(x) =∞∑

j=1

χEj(x) en [0, 1] − E,

y aquí la convergencia es uniforme.


De lo anterior, se sigue que si deseamos convergencia en L∞[0, 1] de (1.1) requeri-mos entonces que E sea un conjunto con medida de Lebesgue cero, lo cual implicaque cada Ej debe tener medida de Lebesgue cero. Como la condición (1.1) es

µ(E) =∞∑

j=1

µ(Ej),

basta entonces considerar una familia (Ej)∞

j=1 ⊂ F con µ(Ej) > 0 para al menosun j y así vemos que µ no es numerablemente aditiva.

Ejemplo 1.5. Una medida vectorial numerablemente aditiva.

Sea T : L1[0, 1] → X un operador lineal continuo. Defínase F(E) = T(χE) paracada E ⊂ [0, 1] Lebesgue medible. Rápidamente se puede observar que F es fini-tamente aditiva y de hecho, es numerablemente aditiva, para ello observemosprimero que para todo E ⊂ [0, 1] Lebesgue medible

‖F(E)‖X = ‖T(χE)‖X

≤ ‖T‖‖χE‖1

= ‖T‖λ(E),

donde λ es la medida de Lebesgue.

Así, si (En)∞

n=1 es tal que En ∩ Em = ∅ si n 6= m tenemos que∥∥∥∥∥F (∪∞

n=1En) −m∑

n=1

F(En)

∥∥∥∥∥X

= ‖F (∪∞

n=1En) − F (∪mn=1En)‖X

= ‖F (∪∞

n=m+1En)‖X

≤ ‖T‖λ (∪∞

n=m+1En) ,

donde las primeras dos igualdades se tienen por aditividad finita de F. Entoncestenemos que

lımm→∞

∥∥∥∥∥F (∪∞

n=1En) −m∑

n=1

F(En)

∥∥∥∥∥X

≤ ‖T‖ lımm→∞

λ (∪∞

n=m+1En) = 0,

debido a que λ es una medida. Así concluimos que

F(∪∞

n=1En) =∞∑

n=1

F(En).

Enseguida daremos la siguiente definición:


Definición 1.6. Sea F : F → X una medida vectorial. La variación de F es la función

|F| : F → R definida por

|F|(E) = supπ

∑

A∈π

‖F(A)‖X, (1.2)

donde el supremo se toma sobre todas las particiones π de E en un número finito de

elementos de F ajenos por pares.

Evidentemente tenemos que |F| ≥ 0. Cuando |F|(Ω) < ∞ diremos que F es unamedida de variación acotada.

Definición 1.7. Con la misma notación que en la definición anterior, defini-mos la semi-

variación de F como la función

‖F‖(E) = sup |x∗F|(E) : x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖ ≤ 1 , (1.3)

donde |x∗F| es la variación de la medida real-valuada x∗F.

Evidentemente ‖F‖ ≥ 0. Cuando ‖F‖(Ω) < ∞ diremos que F es una medida de

semivariación acotada.

Observaciones 1.8. 1. La variación de F es monótona y finitamente aditiva.

2. La semivariación de F es monótona y subaditiva.

3. Para todo E ∈ F se satisface que

‖F‖(E) ≤ |F|(E).

Demostración.

1. Sean E, G elementos de F tal que E ∩ G = ∅. Supongamos que E ∪ G =

∪nj=1 Aj con Aj ∈ F y Aj ∩ Aj′ = ∅ si j 6= j′. Entonces

n∑

j=1

‖F(Aj)‖ =n∑

j=1

‖F(Aj ∩ (E ∪ G))‖

=n∑

j=1

‖F(Aj ∩ E) + F(Aj ∩ G)‖

≤n∑

j=1

‖F(Aj ∩ E)‖ +n∑

j=1

‖F(Aj ∩ G)‖

≤ |F|(E) + |F|(G),

donde la última desigualdad se sigue por la definición de variación ya que E =

∪nj=1(Aj ∩ E) y G = ∪n

j=1(Aj ∩ G).


De aquí que

|F|(E ∪ G) ≤ |F|(E) + |F|(G).

Para la desigualdad opuesta hacemos lo siguiente: Sea ε > 0. Por definición de |F|existen colecciones finitas en F , Bjk

j=1, Clsl=1 tales que Bj ∩ Bj′ = ∅ si j 6= j′,

Cl ∩ Cl′ si l 6= l′,

E =k⋃

j=1

Bj G =s⋃

l=1

Cl

tales que

|F|(E)− ε/2 ≤k∑

j=1

‖F(Bj)‖

|F|(G) − ε/2 ≤s∑

l=1

‖F(Cl)‖.

Como E ∪ G =(∪k

j=1Bj

)∪(∪s

l=1Cl

), esto es, Bjk

j=1 ∪ Clsl=1 es una partición en

F de E ∪ G, tenemos que

|F|(E) + |F|(G) − ε ≤k∑

j=1

‖F(Bj)‖ +s∑

l=1

‖F(Cl)‖

≤ |F|(E ∪ G).

Concluimos que |F|(E) + |F|(G) ≤ |F|(E ∪ G), quedando probada la aditividadfinita de |F|.

Ahora, si A, B ∈ F y A ⊂ B entonces

|F|(B) = |F| (A ∪ (B − A))

= |F|(A) + |F|(B − A)

≥ |F|(A).

2. La subaditividad de ‖F‖ se sigue de la aditividad finita de |x∗F| y de la defini-ción de ‖F‖. De igual modo, se sigue la monotonía.

3. Sea E ∈ F , y sea x∗ ∈ X∗ tal que ‖x∗‖X∗ ≤ 1

|x∗F|(E) = supπ

∑

A∈π

|(x∗F)(A)|

≤ supπ

∑

A∈π

‖x∗‖X∗‖F(A)‖X

≤ supπ

∑

A∈π

‖F(A)‖X

= |F|(E).


Entonces ‖F‖(E) ≤ |F|(E).

Enseguida examinaremos algunos ejemplos:

Ejemplo 1.9. Una medida de variación acotada.

Sea F : Σ → X tal que F(E) = T(χE), donde Σ es la familia de Lebesgue mediblesde [0, 1] y T : L1[0, 1] → X es una transformación lineal continua. Ya hemos vistoen el Ejemplo 1.5 que F es una medida vectorial aditiva numerable. Ahora, siE ∈ Σ y E = ∪n

j=1Aj con Aj ∩ Aj′ = ∅ si j 6= j′ y Aj ∈ Σ tenemos que

n∑

j=1

‖F(Aj)‖X =n∑

j=1

‖T(χAj)‖X

≤n∑

j=1

‖T‖‖χAj‖1

=n∑

j=1

‖T‖λ(Aj)

= ‖T‖λ(E).

Entonces |F|(E) ≤ ‖T‖λ(E) para toda E ∈ Σ, en particular

|F|([0, 1]) ≤ ‖T‖.

De aquí que F es de variación acotada.

Ejemplo 1.10. Una medida de semivariación acotada pero no de variación acotada.

Sea Σ la σ-álgebra de Lebesgue medibles de [0, 1]. Defínase F : Σ → L∞[0, 1]

tal que F(E) = χE, hemos visto en el Ejemplo 1.4 que F es una medida vectorialfinitamente aditiva y no numerablemente aditiva. Veamos que F no es de variaciónacotada.

Sea E ∈ Σ tal que λ(E) > 0 y selecciónese una sucesión ajena por pares (En)∞

n=1,En ⊂ E, En ∈ Σ, tal que ∪∞

n=1En = E y λ(En) > 0 para toda n ∈ N. Para cadan ∈ N sea πn la partición de E

πn = E1, E2, ..., En−1,∪∞

k=nEk, y E0 = ∅.

Entonces

∑

A∈πn

‖F(A)‖L∞[0,1] =n−1∑

k=1

‖χEk‖L∞[0,1] + ‖χ∪∞

k=nEk‖L∞[0,1]

= n − 1 + 1

= n,


para toda n ∈ N. Así que

|F|(E) = supπ

∑

A∈π

‖F(A)‖ = ∞,

de aquí que F no es una medida de variación acotada. Que F es una medida desemivariación acotada es una consecuencia de lo que probaremos en el siguienteejemplo.

Ejemplo 1.11. Medidas vectoriales de semivariación acotada.

Sea T : L∞([0, 1]) → X un operador lineal continuo. Defínase F : Σ → X tal queF(E) = T(χE), donde Σ es la familia de Lebesgue medibles del [0, 1]. Sabemos delejemplo 1.2 que F es una medida vectorial finitamente aditiva. Además si x∗ ∈ X∗

y ‖x∗‖ ≤ 1 y π es una partición del [0, 1] en Lebesgue medibles, entonces:

0 ≤∑

A∈π

|x∗F(A)| =∑

A∈π

|x∗T(χA)|

=∑

A∈π

sgn(x∗T(χA))x∗T(χA)

= (x∗T)

(∑

A∈π

sgn(x∗T(χA))χA

)

=

∣∣∣∣∣(x∗T)

(∑

A∈π

sgn(x∗T(χA))χA

)∣∣∣∣∣

≤ ‖x∗T‖∥∥∥∥∥∑

A∈π

sgn(x∗T(χA))χA

∥∥∥∥∥L∞[0,1]

≤ ‖x∗‖‖T‖ · 1

≤ ‖T‖.

De aquí que|(x∗F)|[0, 1] ≤ ‖T‖,

para toda x∗ ∈ X∗ tal que ‖x∗‖ ≤ 1. Entonces

‖F‖ ([0, 1]) ≤ ‖T‖,

lo cual muestra que F es de semivariación acotada. Si ahora aplicamos lo queacabamos de mostrar a X = L∞[0, 1] y T el operador identidad obtenemos queF(E) = χE, la medida del ejemplo anterior. Así, F es de semivariación acotada.

Ejemplo 1.12. Una medida de semivariación no acotada.


Sea F el álgebra de subconjuntos de N que consiste de aquellos conjuntos queson finitos o que tienen complemento finito. Sea F : F → R tal que

F(E) =

#(E) si E es finito

−#(N − E) si N − E es finito.

Puede verse fácilmente que F es una medida vectorial (con valores en R) finita-mente aditiva. Sin embargo, si para cada n ∈ N escogemos la partición πn =

E1, E2, ..., En de N tal que E1 = 1, E2 = 2,..., En−1 = n − 1, En = n, n + 1, ...y consideramos el funcional lineal x∗ : R → R tal que x∗(x) = x, tenemos que‖x∗‖ = 1 y

∑

A∈π

|(x∗F)(A)| =∑

A∈π

|F(A)|

= 1 + ... + 1︸︷︷︸(n−1)−veces

+(n − 1)

= 2(n − 1) −→ ∞,

cuando n → ∞. Entonces |x∗F| (N) = ∞, de aquí que

‖F‖(N) = ∞,

es decir, F es de semivariación no acotada.

La siguiente proposición asegura que |F| es la mínima cota superior (si existe)de la familia

|x∗F| : x∗ ∈ X∗ y ‖x∗‖ ≤ 1 .

Proposición 1.13. Sea F : F → X una medida vectorial de variación acotada. Entonces

una medida no negativa µ en F es la variación |F| de F si y sólo si µ satisface:

1. |x∗F|(E) ≤ µ(E) para toda E ∈ F y para toda x∗ ∈ X tal que ‖x∗‖ ≤ 1.

2. si λ : F → R es cualquier medida que verifica |x∗F|(E) ≤ λ(E) para toda E ∈ Fy para toda x∗ ∈ X∗ tal que ‖x∗‖ ≤ 1, entonces

µ(E) ≤ λ(E) para toda E ∈ F .

Demostración.

(⇒) Supongamos que µ = |F|. Si E ∈ F y x∗ ∈ X∗ es tal que ‖x∗‖ ≤ 1, entonces

|x∗F|(E) ≤ ‖F‖(E) ≤ |F|(E) = µ(E).


Ahora, si |x∗F|(E) ≤ λ(E), usando la definición de |F|, el Teorema de Hahn-Banach y el hecho de que λ es una medida vemos que

µ(E) = |F|(E)

= supπ

∑

A∈π

‖F(A)‖

= supπ

∑

A∈π

sup |x∗F(A)| : x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖ ≤ 1

≤ supπ

∑

A∈π

sup |x∗F|(A) : x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖ ≤ 1

≤ supπ

∑

A∈π

λ(A)

= supπ

λ(E)

= λ(E),

donde π es una partición arbitraria de E.

(⇐) Por hipótesis tenemos que |x∗F| ≤ µ(E), lo cual implica que

|F|(E) = supπ

∑

A∈π

‖F(A)‖

= supπ

∑

A∈π

sup |x∗F(A)| : x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖ ≤ 1

≤ supπ

∑

A∈π

sup |x∗F|(A) : x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖ ≤ 1

≤ supπ

∑

A∈π

µ(A)

= supπ

µ(E)

= µ(E),

y puesto que

|x∗F|(E) = supπ

∑

A∈π

|x∗F(A)|

≤ supπ

∑

A∈π

‖x∗‖‖F(A)‖X

≤ supπ

∑

A∈π

‖F(A)‖X

= |F|(E),

se sigue de la suposición 2 que

µ(E) ≤ |F|(E). (1.4)


Concluimos así que µ = |F|.

Proposición 1.14. Una medida vectorial de variación acotada es numerablemente aditiva

si y sólo si su variación es también numerablemente aditiva.

Demostración.

(⇒) Supongamos que F : F → X es una medida vectorial aditiva numerable devariación acotada. Sea (En)∞

n=1 ⊂ F tal que En ∩ En′ = ∅ si n 6= n′ y ∪∞

n=1En ∈ F .Sea π una partición de ∪∞

n=1En en una colección finita de miembros de F . Entonces

∑

A∈π

‖F(A)‖ =∑

A∈π

‖F (A ∩ ∪∞

n=1En)‖ =∑

A∈π

∥∥∥∥∥

∞∑

n=1

F(A ∩ En)

∥∥∥∥∥

≤∑

A∈π

∞∑

n=1

‖F(A ∩ En)‖ =∞∑

n=1

∑

A∈π

‖F(A ∩ En)‖

≤∞∑

n=1

|F|(En),

y como esta desigualdad se obtiene para toda partición π, entonces

|F| (∪∞

n=1En) ≤∞∑

n=1

|F|(En).

Ahora, recordando que |F| es finitamente aditiva y monótona en F , así para todan ∈ N

n∑

k=1

|F|(Ek) = |F| (∪nk=1Ek)

≤ |F| (∪∞

n=1En) .

Entonces∞∑

n=1

|F|(En) ≤ |F| (∪∞

n=1En) .

(⇐) Supongamos que |F| : F → [0, ∞) es aditiva numerable. Sea (Ej)∞

j=1 ⊂ F talque E = ∪∞

j=1Ej ∈ F y Ej ∩ Ej′ = ∅ si j 6= j′.

Primero observemos que ‖F(B)‖ ≤ |F|(B) para toda B ∈ F , ahora notamos que

∞∑

j=1

‖F(Ej)‖ ≤∞∑

j=1

|F|(Ej)

= |F|(E)

< ∞,


porque estamos suponiendo que F es de variación acotada y |F| es numera-blemente aditiva. Entonces

∞∑

j=1

F(Ej) converge en X

(ya que un espacio normado X es de Banach si y sólo si toda serie absolutamenteconvergente es convergente). También, para toda n ∈ N

F(∪n

j=1Ej

)=

n∑

j=1

F(Ej).

Entonces

lımn→∞

F(∪n

j=1Ej

)=

∞∑

j=1

F(Ej).

Como

‖F(E) − F(∪n

j=1Ej

)‖ = ‖F

(E −∪n

j=1Ej

)‖

≤ |F|(

E −∪nj=1Ej

)

= |F|(∪∞

j=n+1Ej

)

=∞∑

j=n+1

|F|(Ej) → 0

cuando n → ∞, entonces

F(E) = lımn→∞

F(∪∞

j=1Ej

)

=∞∑

j=1

F(Ej).

La siguiente proposición presenta dos hechos básicos acerca de la semivariaciónde una medida vectorial.

Proposición 1.15. Sea F : F → X una medida vectorial. Entonces para E ∈ F se tiene

que

1.

‖F‖(E) = supπ

∥∥∥∥∥∥

∑

An∈π

εnF(An)

∥∥∥∥∥∥

donde el supremo se toma sobre todas las particiones π de E en una colección finita

de conjuntos ajenos de F y sobre todas las colecciones finitas εn que satisfagan

|εn| ≤ 1.


2.

sup ‖F(H)‖ : E ⊃ H ∈ F ≤ ‖F‖(E)

≤ 4 sup ‖F(H)‖ : E ⊃ H ∈ F .

Consecuentemente: una medida vectorial es de semivariación acotada en Ω si y sólo

si su rango es un subconjunto acotado de X.

Demostración.

Sea π = E1, E2, ..., Em una partición de E en subconjuntos ajenos de F y seanε1, ..., εm escalares tales que |ε1|, ..., |εm| ≤ 1. Entonces por el Teorema de Hahn-Banach tenemos

∥∥∥∥∥

m∑

n=1

εnF(En)

∥∥∥∥∥ ≤ sup

∣∣∣∣∣x∗(

m∑

n=1

εnF(En)

)∣∣∣∣∣ : x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖ ≤ 1

≤ sup

m∑

n=1

|x∗F(En)| : x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖ ≤ 1

≤ sup

m∑

n=1

|x∗F|(En) : x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖ ≤ 1

= sup |x∗F|(E) : x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖ ≤ 1≤ ‖F‖(E).

Para la desigualdad opuesta, sea x∗ ∈ X∗ con ‖x∗‖ ≤ 1 y supóngase que π =

E1, ..., Em es una partición de E ∈ F en subconjuntos ajenos de F . Entonces

m∑

n=1

|x∗F(En)| =m∑

n=1

sgn (x∗F(En)) x∗F(En)

=

∣∣∣∣∣x∗(

m∑

n=1

sgn(x∗F(En))F(En)

)∣∣∣∣∣

≤∥∥∥∥∥

m∑

n=1

(sgn (x∗F(En)) F(En))

∥∥∥∥∥

≤ sup

∥∥∥∥∥∥

∑

An∈π

εnF(An)

∥∥∥∥∥∥

,

donde el supremo se toma sobre todas las particiones π de E en una colecciónfinita de conjuntos ajenos de F y sobre todas las colecciones finitas εn quesatisfagan |εk| ≤ 1. Entonces

m∑

n=1

|x∗F(En)| ≤ sup

∥∥∥∥∥∥

∑

An∈π

εnF(An)

∥∥∥∥∥∥

,


de aquí que

|x∗F|(E) ≤ sup

∥∥∥∥∥∥

∑

An∈π

εnF(An)

∥∥∥∥∥∥

.

Por consiguiente

‖F‖(E) ≤ sup

∥∥∥∥∥∥

∑

An∈π

εnF(An)

∥∥∥∥∥∥

.

Así queda demostrada la parte 1. Para la prueba de la parte 2 notamos que siE ∈ F tenemos que

sup ‖F(H)‖ : E ⊃ H ∈ F = sup sup |x∗F(H)| : x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖ ≤ 1 : E ⊃ H ∈ F≤ sup sup |x∗F|(H) : x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖ ≤ 1 : E ⊃ H ∈ F≤ sup ‖F‖(H) : E ⊃ H ∈ F≤ ‖F‖(E),

donde la igualdad se tiene por el Teorema de Hahn-Banach, y la última desigual-dad por la monotonía de la semivariación. También si π = E1, E2, ..., Em es unapartición de E ∈ F en conjuntos ajenos de F y si x ∈ X∗ es tal que ‖x∗‖ ≤ 1entonces:

Si X es un espacio de Banach real tenemos∑

En∈π

|x∗F(En)| =∑

n∈π+

x∗F(En) −∑

n∈π−x∗F(En),

donde π+ = n : 1 ≤ n ≤ m, x∗F(En) ≥ 0 y π− = n : 1 ≤ n ≤ m, x∗F(En) < 0 ,

por lo que∑

En∈π

|x∗F(En)| =∑

n∈π+

x∗F(En) −∑

n∈π−x∗F(En)

= x∗(∑

n∈π+

F(En)

)− x∗

(∑

n∈π−F(En)

)

= x∗(

F

(⋃

n∈π+

En

))− x∗

(F

(⋃

n∈π−En

))

≤∥∥∥∥∥F

(⋃

n∈π+

En

)∥∥∥∥∥+

∥∥∥∥∥F

(⋃

n∈π−En

)∥∥∥∥∥

≤ 2 sup ‖F(H)‖ : E ⊃ H ∈ F ,

con lo cual queda demostrada la proposición para el caso real.

Cuando X es un espacio de Banach complejo, se puede ver fácilmente que se tieneuna estimación similar pero reemplazando la constante 2 por la constante 4 (sólohay que expresar x∗F en su parte real e imaginaria y aplicar el caso real).

1.2 Integración con Respecto a una Medida Vectorial 17

En vista de la parte 2 de la proposición anterior, una medida de semivariaciónacotada será también llamada medida vectorial acotada.

Definición 1.16. Sea F un álgebra de subconjuntos de Ω, F : F → X una medida

vectorial y µ una medida a valores reales y no negativa (finita) definida en F . Diremos que

F es µ-continua, lo cual denotamos F << µ, si

lımµ(E)→0

F(E) = 0.

Es necesario advertir que la notación F << µ no es lo mismo que decir que F seanula en un conjunto de µ-medida cero. Sin embargo, puede demostrarse que am-bos conceptos son equivalentes cuando tanto F como µ son aditivas numerablesy están definidas en una σ-álgebra (ver [A.3], pág. 100). Cuando F << µ usare-mos a veces la expresión “F es continua con respecto a µ” o “F es absolutamentecontinua con respecto a µ ".

1.2. Integración con Respecto a una Medida Vectorial

Es muy sencillo definir la integral de una función medible acotada con respectoa una medida vectorial acotada (esto es, de semivariación acotada).

Para este fin, sea F un álgebra de subconjuntos de Ω y F : F → X una medidavectorial acotada. Supongamos que f es una función simple definida en Ω convalores escalares, digamos

f =n∑

i=1

αiχEidonde αi 6= 0 para toda i = 1, ..., n

y Ej ∈ F para toda j = 1, ..., n con Ek ∩ El = ∅ si k 6= l.

Definamos

TF( f ) =n∑

i=1

αiF(Ei).

Es sencillo demostrar que TF define un mapeo lineal del espacio de funcionessimples en X. Además, si f es como antes y β = sup | f (ω)| : ω ∈ Ω entonces

‖TF( f )‖ =

∥∥∥∥∥

n∑

i=1

αiF(Ei)

∥∥∥∥∥

= β

∥∥∥∥∥

n∑

i=1

(αi

β

)F(Ei)

∥∥∥∥∥

≤ β‖F‖(Ω),


donde la última desigualdad se tiene por la Proposición 1.15, parte 1.

Así, si en el espacio de funciones simples sobre F consideramos la norma delsupremo, entonces TF actúa en este espacio como un operador lineal continuo talque

‖TF‖ ≤ ‖F‖(Ω).

Enseguida notamos que puesto que TF es lineal y continuo en el espacio de fun-ciones simples sobre F y toma valores en X, entonces TF tiene una única extensiónlineal continua (ver [A.3], Teorema 2.7-11, pág. 100) que denotaremos también porTF del espacio B(F ) a X, donde B(F ) es el espacio de funciones escalares en Ω

que son límites uniformes de funciones simples sobre F . La discusión anterior nospermite hacer la siguiente definición.

Definición 1.17. Sea F un álgebra de subconjuntos de Ω y F : F → X una medida

vectorial acotada. Para cada f ∈ B(F ) definimos

∫f dF = TF( f ),

donde TF es la extensión lineal continua mencionada anteriormente.

Notemos que esta integral es lineal en F y en f y satisface∥∥∥∥∫

f dF

∥∥∥∥ ≤ ‖ f ‖∞‖F‖(Ω).

2Capítulo

Integración

En este capítulo estaremos principalmente interesados en el estudio de inte-grales de funciones con valores en un espacio de Banach X, con respecto a me-didas escalares. De manera más precisa estaremos interesados en la definición ypropiedades de la integral de Bochner, también conocida como la “integral deDunford y Schwartz” y la cual es una generalización directa de la clásica integralde Lebesgue.

Estaremos siempre suponiendo que (Ω, Σ, µ) es un espacio de medida finita y queX es un espacio de Banach.

2.1. Funciones Medibles

Se estudiarán dos tipos de medibilidad: fuerte y débil. Nos enfocaremos prin-cipalmente en la medibilidad fuerte, pues la calidad de la medibilidad es directa-mente proporcional a la calidad de las aplicaciones.

Definición 2.1. Una función f : Ω → X se llama simple si existen x1, x2, ..., xn ∈ X y

E1, E2, ..., En ∈ Σ tales que

f =n∑

i=1

xiχEi,

donde χEi(w) = 1 si w ∈ Ei y χEi

(w) = 0 si w /∈ Ei.

Definición 2.2. Una función f : Ω → X se llama µ-medible o fuertemente medible

si existe una sucesión de funciones simples ( fn)∞

n=1 tal que

lımn→∞

‖ fn(w) − f (w)‖ = 0

para µ-casi toda w ∈ Ω.

20 Integración

Definición 2.3. Una función f : Ω → X se llama débilmente µ-medible si para cada

x∗ ∈ X∗ la función x∗ f : Ω → C es µ-medible. De manera más general, si Γ ⊂ X∗ y si

x∗ f es µ-medible para toda x∗ ∈ Γ, entonces f se llama Γ-medible.

Si f : Ω → X∗ es X-medible (cuando X es identificado con su imagen en X∗∗ bajo la

inclusión canónica), entonces f será llamada débil-* medible.

Es frecuente encontrar en la literatura los términos medibilidad fuerte y me-dibilidad escalar para describir la µ-medibilidad y la µ-medibilidad débil, respec-tivamente. A veces, suprimiremos el uso de µ (en ambos conceptos) cuando nohaya lugar a confusión. Puede demostrarse que la suma de medibles es medible,múltiplos escalares de medibles son medibles y límites puntuales ctp de mediblestambién son medibles.

Tenemos además el siguiente lema sencillo:

Lema 2.4. Sea f : Ω → X una función fuertemente medible. Entonces la función real

‖ f ‖ es medible.

Demostración.

Por definición de µ-medible, existe una sucesión de funciones simples fn : Ω → X

tal que

‖ fn(w) − f (w)‖ → 0

para casi toda w ∈ Ω. Así

|‖ f (w)‖ − ‖ fn(w)‖| ≤ ‖ f (w) − fn(w)‖ → 0,

entonces

‖ fn(w)‖ → ‖ f (w)‖ µ-ctp en Ω.

Por consiguiente ‖ f ‖ es medible real-valuada.

El siguiente teorema es básico en el estudio de funciones medibles.

Teorema 2.5. (Teorema de Medibilidad de Pettis)

Una función f : Ω → X es µ-medible si y sólo si

1. Existe E ∈ Σ con µ(E) = 0 y tal que f (Ω\E) es un subconjunto separable de X (“

f es µ- esencialmente separable valuada”).

2. f es débilmente µ-medible.

2.1 Funciones Medibles 21

Demostración. (⇒) Supongamos que f : Ω → X es µ-medible. Procediendo comoen la prueba del Teorema de Egoroff, construiremos una sucesión de funcionessimples ( fn)∞

n=1 tal que

lımn→∞

‖ fn − f ‖ = 0 (2.1)

µ-casi uniformemente.

En efecto: Existe una sucesión de funciones simples ( fn)∞

n=1 tal que

lımn→∞

‖ fn(w) − f (w)‖ = 0 (2.2)

para µ-casi toda w ∈ Ω. Sin pérdida de generalidad supongamos que (2.2) secumple para toda w ∈ Ω.

Definiendo para m, n ∈ N

En(m) =∞⋃

k=n

w ∈ Ω : ‖ fk(w) − f (w)‖ ≥ 1/m ,

como fk y f son medibles se sigue del Lema 2.4 que En(m) ∈ Σ, también se tieneque En+1(m) ⊂ En(m) y dado que fn(w) → f (w) para toda w ∈ Ω se sigue que∩∞

n=1En(m) = ∅.

Como µ(Ω) < +∞ se sigue que para cada m ∈ N

lımn→∞

µ (En(m)) = µ (∩∞

n=1En(m)) = µ(∅) = 0

Ahora, sea δ > 0. Para cada m ∈ N elíjase km ∈ N tal que

µ (Ekm(m)) <

δ

2m.

Sea Eδ = ∪∞

m=1Ekm(m), entonces Eδ ∈ Σ y

µ(Eδ) ≤∞∑

m=1

µ (Ekm(m))

<

∞∑

m=1

δ

2m

= δ(2 − 1)

= δ.

Además, si w /∈ Eδ entonces ω /∈ Em para toda m ∈ N y por tanto

‖ fk(w) − f (w)‖ < 1/m para toda k ≥ km.

Así, ( fk)∞

k=1 converge uniformemente a f en Ω\Eδ, quedando probada la afirma-ción (2.1).

22 Integración

En virtud de (2.1), para cada n ∈ N existe En ∈ Σ tal que µ(En) < 1/n y

lımn→∞

fn = f

uniformemente en Ω\En.

Ahora bien, cada fn es simple y así, su rango es un subconjunto acotado contenidoen un subespacio de dimensión finita de X, es decir

fn =rn∑

i=1

xiχEi,

Por lo que fn(Ω) ∈ 〈x1, ..., xrn〉 ≡ Y. Entonces Y es subespacio de X de dimensiónfinita y en espacios de dimensión finita todas las normas son equiva-lentes porlo tanto también los conceptos acotado y totalmente acotado son equivalentes. Sesigue que fn(Ω) es totalmente acotado y también fm(Ω\En) para toda m, n ∈ N.

Como fm(Ω\En) es totalmente acotado para toda m, n ∈ N afirmamos que f (Ω\En)

es totalmente acotado para toda n ∈ N (y así será separable).

Dado n ∈ N, fm → f uniformemente en Ω\En, es decir, dado ε > 0 existe N ∈ N

tal que‖ fN(w) − f (w)‖ < ε/2 para toda w ∈ Ω\En.

Como fN(Ω\En) es totalmente acotado, existe una colección finita x1, ..., xr ∈ X talque

fN(Ω\En) ⊂ ∪rj=1Bε/2(xj). (2.3)

Veamos que f (Ω\En) ⊂ ⋃rj=1 Bε(xj). Sea z ∈ f (Ω\En), así z = f (w), w ∈ Ω\En,

entonces por (2.3) existe j ∈ 1, ..., r tal que ‖ fN(w) − xj‖ < ε/2. Por tanto

‖z − xj‖ ≤ ‖z − fN(w)‖ + ‖ fN(w) − xj‖≤ ‖ f (w) − fN(w)‖ + ‖ fN(w) − xj‖< ε/2 + ε/2

= ε.

Entonces f (Ω\En) es totalmente acotado para toda n ∈ N y por tanto es separable.Por consiguiente

f (∪∞

n=1(Ω\En)) = ∪∞

n=1 f (Ω\En)

es también separable. Observando que

Ω\ ∪∞

n=1 (Ω\En) = ∩∞

n=1En,

entoncesµ (Ω\ ∪∞

n=1 (Ω\En)) = 0,


pues µ(En) < 1/n para toda n ∈ N, quedando probada así la parte 1 del Teorema.

Para probar la parte 2, notemos que como fn(w) → f (w) para casi toda w ∈ Ω

entonces para cada x∗ ∈ X∗ tendremos que x∗( fn(w)) → x∗( f (w)) para casi todaw ∈ Ω por la continuidad de x∗. Como cada fn es simple entonces x∗ fn es tambiénsimple, pues x∗ es lineal. Así, x∗ f es medible para toda x∗ ∈ X∗, lo cual muestra2.

(⇐) Sea E ∈ Σ tal que µ(E) = 0 y f (Ω\E) separable. Sea xn un subconjuntodenso y numerable de f (Ω\E). Por el Teorema de Hahn-Banach podemos hallaruna sucesión (x∗n) de miembros de X∗ tal que

x∗n(xn) = ‖xn‖ y ‖x∗n‖ = 1.

Nótese que para toda w ∈ Ω\E

‖ f (w)‖ = supn∈N

|x∗n( f (w))|. (2.4)

En efecto: sabemos por el Teorema de Hahn-Banach que para todo w ∈ Ω

‖ f (w)‖ = sup |x∗( f (w))| : x∗ ∈ X∗ y ‖x∗‖ ≤ 1 ,

entonces

supn∈N

|x∗n( f (w))| ≤ ‖ f (w)‖. (2.5)

Ahora, si w ∈ Ω\E, existe (xnk)∞

k=1 subsucesión de (xn)∞

n=1 tal que

xnk→ f (w),

así

‖ f (w)‖ = lımk→∞

‖xnk‖

= lımk→∞

|x∗nk(xnk

)|

= lımk→∞

|x∗nk(xnk

− f (w)) + x∗nk( f (w))|

≤ lımk→∞

[∣∣x∗nk(xnk

− f (w))∣∣+∣∣x∗nk

( f (w))∣∣]

≤ lımk→∞

[‖xnk

− f (w)‖ +∣∣x∗nk

( f (w))∣∣]

≤ lımk→∞

∣∣x∗nk( f (w))

∣∣

≤ supk∈N

|x∗nk( f (w))|

≤ supn∈N

|x∗n( f (w))| ,

24 Integración

de donde obtenemos que

‖ f (w)‖ ≤ supn∈N

|x∗n( f (w))| . (2.6)

Entonces de (2.5) y (2.6) vemos que

‖ f (w)‖ = supn∈N

|x∗n( f (w))| ,

quedando demostrado (2.4). En vista de esto y debido a que f es débilmentemedible vemos que la función real valuada ‖ f (·)‖ es µ-medible. Por el mismoargumento de antes, las funciones gn(·) = ‖ f (·)− xn‖, n ∈ N, son µ-medibles.

Ahora, sea ε > 0 y seaEn = w ∈ Ω : gn(w) < ε .

Como

En = w ∈ Ω\E : gn(w) < ε⋃

w ∈ E : gn(w) < ε≡ En1

⋃En2 .

Vemos que En1 ∈ Σ, mientras que En2 ∈ Σ siempre que µ sea completa, por lo queEn ∈ Σ si µ es una medida completa.

De cualquier manera, dado n ∈ N podemos encontrar Bn ∈ Σ tal que µ(Bn∆En) =

0.

Ahora, defínase g : Ω → X por

g(w) =

xn si w ∈ Bn\

⋃n−1m=1 Bm

0 en otro caso.

Entonces ‖g − f ‖ < ε µ−ctp. En efecto:

Vemos que Ω\E ⊂ ⋃∞

n=1 En, pues si w ∈ Ω\E y ε > 0 existe xn tal que

‖ f (w) − xn‖ < ε,

entonces gn(w) < ε y por tanto x ∈ En. Así que Ω\ ∪∞

n=1 En ⊂ E y por tanto

µ (Ω\ ∪∞

n=1 En) = 0,

en caso de que ∪∞

n=1En ∈ Σ.

De cualquier modo si definimos Bn = Bn −∪n−1j=1 Bj, como

Ω\ ∪∞

n=1 Bn = Ω\ ∪∞

n=1 Bn

yµ (Ω\ ∪∞

n=1 En) = 0,


dado que En es aproximable por Bn ∈ Σ, pues µ(En∆Bn) = 0, se sigue que

µ(Ω\ ∪∞

n=1 Bn

)= 0.

Si w ∈ ∪∞

n=1Bn entonces existe n tal que w ∈ Bn y por tanto en Bn y en En. Así que

g(w) = xn.

Entonces

‖g(w) − f (w)‖ = ‖xn − f (w)‖= gn(w) < ε.

Por tanto‖g − f ‖ < ε µ − ctp.

Por tanto, f puede ser µ-esencialmente uniformemente aproximada por una fun-ción g que toma una cantidad numerable de valores.

Así, tomando εn = 1/n con n ∈ N, obtenemos una sucesión (g′n)∞

n=1 de funcionesque toman sólo una cantidad numerable de valores y tal que

‖g′n − f ‖ < 1/n µ-ctp. para toda n ∈ N. (2.7)

Cada g′n tiene la forma

g′n =∞∑

m=1

xnmχEnm ,

donde Eni ∩ Enj = ∅ si i 6= j y Enm ∈ Σ.

Por (2.7) podemos hallar Dn ∈ Σ con µ(Dn) = 0 tal que

‖g′n − f ‖ < 1/n

en Ω\Dn, por lo que considerando D = ∪∞

n=1Dn tendremos

‖g′n − f ‖ < 1/n en Ω\D y µ(D) = 0.

Ahora definamos la siguiente sucesión de funciones simples:

fn = xn1χEn1 + xn2χEn2 + ... + xnnχEnn .

Dado ε > 0, existe N ∈ N tal que 1/n < ε para toda n ≥ N, por lo que

‖g′n − f ‖ < 1/n en Ω\D

siempre que n ≥ N.

26 Integración

Sean w ∈ Ω\D y n ≥ N; si w ∈ En1 ∪ En2 ∪ ... ∪ Enn, entonces g′n(w) = fn(w) porlo que

‖ fn(w) − f (w)‖ < 1/n < ε.

Si w /∈ En1 ∪ ... ∪ Enn, entonces como Ω\D = ∪∞

m=1Ekm para toda k ∈ N, exceptoquizás por un conjunto de µ-medida cero, forzosamente podemos hallar k ≥ n + 1y 1 ≤ l ≤ k tal que w ∈ Ekl y así g′k(w) = fk(w) por lo que

‖ fk(w) − f (w)‖ = ‖g′k(w) − f (w)‖< 1/k < 1/n

< ε.

Hemos mostrado que

‖ fn(·)− f (·)‖ −→ 0,

cuando n → ∞ en Ω\D con ( fn)∞

n=1 sucesión de simples y por consiguiente f :Ω → X es fuertemente medible.

La prueba del Teorema anterior produce los siguientes resultados:

Corolario 2.6. Una función f : Ω → X es µ−medible si y sólo si f es µ-ctp el límite

uniforme de una sucesión de funciones µ-medibles que toman una cantidad numerable de

valores.

Corolario 2.7. Una función f : Ω → X µ-esencialmente separable valuada es µ-medible

si existe un conjunto normante Γ ⊂ X∗ tal que la función numérica x∗ f es µ-medible para

toda x∗ ∈ Γ. (Recordemos que Γ ⊂ X∗ es normante si para toda x ∈ X

‖x‖ = sup |x∗(x)| : ‖x∗‖ = 1, x∗ ∈ Γ)

Ejemplo 2.8. Una función débilmente medible que no es fuertemente medi-ble.

Consideremos el espacio de Hilbert no separable l2 ([0, 1]) y sea et : t ∈ [0, 1]una base ortonormal de éste. Sea f : [0, 1] → l2 ([0, 1]) tal que

f (t) = et.

Ahora, dado x∗ ∈(l2 ([0, 1])

)∗= l2 ([0, 1]), sabemos por el Teorema de Repre-

sentación de Riesz que existe un único elemento x ∈ l2 ([0, 1]) tal que

x∗(u) = 〈u, x〉 para toda u ∈ l2 ([0, 1]) .

2.2 Integral de Bochner 27

Así la función x∗ f : [0, 1] → C satisface

(x∗ f )(t) = x∗ ( f (t))

= x∗(et)

= 〈et, x〉

=

⟨et,∑

s∈[0,1]

〈x, es〉es

⟩

=∑

s∈[0,1]

〈x, es〉〈et, es〉

= 〈x, et〉,

y sabemos que hay una cantidad a lo sumo numerable de t′s tal que 〈x, et〉 6= 0,ya que la suma en la cuarta igualdad tiene una cantidad a lo más numerable desumandos distintos de cero. Por tanto

x∗ f = 0 µ-ctp en [0, 1],

donde µ es la medida de Lebesgue.

Como esto ocurre para cada x∗ ∈(l2[0, 1]

)∗, se sigue que f es débilmente medible.Por otra parte, si E ⊂ [0, 1] entonces f ([0, 1]\E) es separable si y sólo si [0, 1]\E

es a lo sumo numerable. En tal caso µ(E) = 1, si E ∈ Σ. Por tanto, por el teoremaanterior tenemos que f no es µ-medible.

2.2. Integral de Bochner

Esta sección está dedicada al examen de la integral de Bochner. Algunos laconocen como “integral de Dunford y Schwartz” y otros como “Primera integralde Dunford”. La integral de Bochner es una abstracción directa de la integral deLebesgue. De hecho hay quienes han dicho que la integral de Bochner es sola-mente la integral de Lebesgue donde el valor absoluto ha sido reemplazado por lanorma. Aunque esto ocurre frecuentemente, tal comentario constituye una valo-ración errónea de la integral de Bochner. De hecho, la falla del Teorema de Radon-Nikodým para la integral de Bochner es la base de algunos de los resultados mássorprendentes en la teoría de medidas vectoriales y en la teoría de estructura deespacios de Banach.

Como vimos al inicio de la sección anterior, una función ϕ : Ω → X se llamasimple si toma un número finito de valores x1, ..., xn ∈ X y Ai = ϕ−1 (xi) ∈ Σ

para todo i = 1, ..., n. La fórmula

ϕ =n∑

i=1

xiχAi

28 Integración

se llama la representación estándar de ϕ.

Cuando µ(Ai) < ∞ para toda i = 1, ..., n diremos que ϕ es una función X-escalonada (observemos que cuando (Ω, Σ, µ) es un espacio de medida finita,la condición µ(Ai) < ∞ para toda i es superflua. De hecho, siempre estaremosconsiderando (Ω, Σ, µ) espacio de medida finita).

La integral de una función ϕ : Ω → X que es X-escalonada se define así:

∫ϕdµ =

n∑

i=1

µ(Ai)xi. (2.8)

Igual que en el caso real, puede demostrarse que si ϕ =∑m

j=1 yjχBjes otra repre-

sentación de ϕ con µ(Bj) < ∞ para toda j, entonces

∫ϕdµ =

m∑

j=1

µ(Bj)yj.

La pregunta técnica que se tiene ahora es cómo generalizar la integral de unafunción con valores en X más alla del caso de funciones escalonadas. Existenvarias generalizaciones, pero la que aquí discutiremos es la integral de Bochner.

Cuando ϕ : Ω → X es X-escalonada y E ∈ Σ, definimos∫

Eϕdµ =

∫ϕχEdµ.

Es sencillo verificar el siguiente lema:

Lema 2.9. Si ϕ : Ω → X es X-escalonada con representación estándar ϕ =∑n

i=1 xiχAi

entonces la función ‖ϕ‖ : Ω → R tal que ‖ϕ‖(w) = ‖ϕ(w)‖ es una función escalonada

a valores reales con representación estándar

‖ϕ‖ =n∑

i=1

‖xi‖χAi.

Además

∫‖ϕ‖dµ =

n∑

i=1

‖xi‖µ(Ai) y

∥∥∥∥∫

ϕdµ

∥∥∥∥ ≤∫

‖ϕ‖dµ.

Claramente, toda función ϕ : Ω → X que es X-escalonada es fuertementemedible. Para extender la noción de integral dada en (2.8) a un subespacio mayorcontenido en la clase de funciones f : Ω → X fuertemente medibles requerimosdemostrar lo siguiente:


Lema 2.10. Sea f : Ω → X fuertemente medible. Supongamos que para dos sucesiones

ϕn y ψn de funciones X- escalonadas, las funciones reales medibles ‖ f − ϕn‖ y

‖ f − ψn‖ son Lebesgue integrables para toda n ∈ N y

lımn→∞

∫‖ f − ϕn‖ = lım

n→∞

∫‖ f − ψn‖ = 0.

Entonces para toda E ∈ Σ se tiene que

lımn→∞

∫

Eϕndµ = lım

n→∞

∫

Eψndµ,

donde estos dos últimos límites son tomados con respecto a la topología de la norma en X.

Demostración.

Sean ϕn y ψn dos sucesiones de funciones X-escalonadas con las propiedadesasumidas. Sea E ∈ Σ, fijo. Entonces

∥∥∥∥∫

Eϕndµ −

∫

Eϕmdµ

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∫

E(ϕn − ϕm) dµ

∥∥∥∥

≤∫

E‖ϕn − ϕm‖dµ

≤∫

E‖ f − ϕn‖dµ +

∫

E‖ f − ϕm‖dµ.

Así

lımn,m→∞

∥∥∥∥∫

Eϕndµ −

∫

Eϕmdµ

∥∥∥∥ = 0,

lo cual muestra que∫

E ϕndµ

es una sucesión de Cauchy en X y como X es deBanach entonces converge en X. Similarmente,

∫E ψndµ

converge en X. Así

∥∥∥∥∫

Eϕndµ −

∫

Eψn

∥∥∥∥ dµ ≤∫

E‖ f − ϕn‖ dµ +

∫

E‖ f − ψn‖ dµ,

y por tanto

lımn→∞

∫

Eϕndµ = lım

n→∞

∫

Eψndµ.

La integral de Bochner fue introducida por Salomon Bochner en 1933. A contin-uación damos la definición correspondiente:

Definición 2.11. Sea f : Ω → X una función fuertemente medible. Diremos que es

Bochner integrable si existe una sucesión ϕn∞

n=1 de funciones X-escalonadas tal que la

función real medible ‖ f − ϕn‖ es Lebesgue integrable para cada n ∈ N y

lımn→∞

∫‖ f − ϕn‖dµ = 0.

30 Integración

En este caso, para cada E ∈ Σ la integral de Bochner de f sobre E se define por

∫

Ef dµ = lım

n→∞

∫

Eϕndµ, (2.9)

donde el límite se toma en la topología de la norma en X.

Observaciones 2.12. 1. A veces escribiremos∫

f dµ en vez de∫

Ωf dµ.

2. Por el Lema anterior, la integral de Bochner está bien definida pues no depende de la

sucesión particular de funciones escalonadas que se usen para aproximar f .

3. Claramente, toda función ϕ X-escalonada es Bochner integrable y si

ϕ =n∑

i=1

xiχAi,

entonces ∫

Eϕdµ =

n∑

i=1

µ(E ∩ Ai)xi para toda E ∈ Σ.

La familia de todas las funciones f : Ω → X que son Bochner integrables consti-tuye un subespacio lineal del espacio de las funciones fuertemente medi-bles deΩ en X y la integral de Bochner actúa como un operador lineal de este espacio enX. De manera más precisa:

Teorema 2.13. Si f , g : Ω → X son dos funciones Bochner integrables, α, β ∈ K (donde

K = R o C), entonces α f + βg es Bochner integrable y para toda E ∈ Σ

∫

E(α f + βg)dµ = α

∫

Ef dµ + β

∫

Egdµ.

Se omite la demostración (muy sencilla) de este teorema.

La definición de la integral de Bochner es algo complicada de aplicar, sin em-bargo, para nuestra fortuna en espacios de medida finita (que es el caso que siem-pre estaremos considerando) tenemos el siguiente criterio:

Teorema 2.14. Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida finita y f : Ω → X una función µ-

medible, entonces f es Bochner integrable si y sólo si la función ‖ f ‖ es Lebesgue integrable,

es decir, ∫

Ω

‖ f ‖dµ < ∞.


Demostración.

(⇒) Si f es Bochner integrable, sea ( fn)∞

n=1 una sucesión de funciones simples (X-escalonadas pues µ(Ω) < ∞) tal que

lımn→∞

∫

Ω

‖ fn − f ‖dµ = 0.

Entonces∫

Ω

‖ f ‖dµ ≤∫

Ω

‖ f − fn‖dµ +

∫

Ω

‖ fn‖dµ < ∞

para n suficientemente grande.

(⇐) Supongamos que f es µ-medible y que∫

Ω

‖ f ‖dµ < ∞.

Debido al Corolario 2.6 podemos escoger una sucesión de funciones µ-medibles( fn)∞

n=1 que toman solamente una cantidad a lo más numerable de valores tal que

‖ f − fn‖ ≤ 1/n para toda n ∈ N µ-ctp. (2.10)

Puesto que ‖ fn‖ ≤ ‖ f ‖ + 1/n µ-ctp y µ es finita, entonces∫

Ω

‖ fn‖dµ < ∞.

Ahora, para cada n ∈ N escribamos

fn =∞∑

m=1

xnmχEnm ,

donde Eni ∩ Enj = ∅ si i 6= j, Enm ∈ Σ, xnm ∈ X.

Como ∫

Ω

‖ fn‖dµ =

∫

∪∞

m=1Enm

‖ fn‖dµ

tenemos que ∫

∪∞

j=m+1Enj

‖ fn‖dµ → 0

cuando m → ∞, para cada n ∈ N.

Luego, dado n ∈ N existe Pn suficientemente grande tal que∫

∪∞

m=Pn+1Enm

‖ fn‖dµ <µ(Ω)

n.

Sea gn =∑Pn

m=1 xnmχEnm ; cada gn es una función simple y por (2.10) tenemos

32 Integración

∫

Ω

‖ f − gn‖dµ ≤∫

Ω

‖ f − fn‖dµ +

∫

Ω

‖ fn − gn‖dµ

≤ µ(Ω)

n+

∫

Ω

∥∥∥∥∥

∞∑

m=1

xnmχEnm −Pn∑

m=1

xnmχEnm

∥∥∥∥∥ dµ

≤ µ(Ω)

n+

∫

Ω

∥∥∥∥∥∥

∞∑

m=Pn+1

xnmχEnm

∥∥∥∥∥∥dµ

≤ µ(Ω)

n+

∫

Ω

∞∑

m=Pn+1

‖xnm‖χEnm dµ

≤ µ(Ω)

n+

∫

∪∞

m=Pn+1Enm

‖ fn‖dµ

≤ µ(Ω)

n+

µ(Ω)

n

= 2µ(Ω)

n.

Por tanto, f es Bochner integrable.

Tenemos también un Teorema de Convergencia Dominada para la integral deBochner.

Teorema 2.15. Sea f : Ω → X una función fuertemente medible y sea fn una sucesión

de funciones Bochner integrables tal que ‖ fn(w) − f (w)‖ → 0 para casi toda w ∈ Ω. Si

existe una función Lebesgue integrable no negativa g : Ω → R tal que ‖ fn‖ ≤ g para

toda n ∈ N µ-ctp, entonces f es Bochner-integrable y

lımn→∞

∫

Efndµ =

∫

Ef dµ para toda E ∈ Σ.

Demostración.

Tenemos que ‖ f − fn‖ ≤ 2g µ-ctp y ‖ f − fn‖ → 0 µ-ctp, por lo que podemosaplicar el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue a ‖ f − fn‖ y obten-emos ∫

‖ f − fn‖dµ → 0.

Ahora, para cada n ∈ N elíjase una función simple ϕn tal que

∫‖ fn − ϕn‖dµ < 1/n,


y nótese que∫

‖ f − ϕn‖dµ ≤∫

‖ f − fn‖dµ +

∫‖ fn − ϕn‖dµ → 0.

Así f es Bochner integrable y∫

Ef dµ = lım

n→∞

∫

Eϕndµ

= lımn→∞

∫

Efndµ.

Observaciones 2.16. 1. En la prueba del teorema anterior se mostró que

lımn→∞

∫

Ω

‖ f − fn‖dµ = 0.

2. Se puede substituir la convergencia ‖ fn(w) − f (w)‖ → 0 µ-ctp por convergencia

en medida:

lımn→∞

µ (w ∈ Ω : ‖ fn − f ‖ ≥ ε) = 0, para toda ε > 0.

Esto es posible pues en el caso clásico se tiene un Teorema de Convergencia Dominada

substituyendo convergencia puntual, por convergencia en medida (ver por ejemplo

[A.3], Teorema 7.8, pág 71,). Así que sólo basta aplicar esta versión del Teorema de

Convergencia Dominada clásico a las funciones ‖ f − fn‖ dominadas por 2g.

Enseguida estudiaremos más propiedades de la integral de Bochner.

Teorema 2.17. Sea f : Ω → X una función Bochner-integrable con respecto a µ. Entonces

1.

lımµ(E)→0

∫

Ef dµ = 0.

2. ∥∥∥∥∫

Ef dµ

∥∥∥∥ ≤∫

E‖ f ‖dµ para toda E ∈ Σ.

3. Si (Ej)∞

j=1 ⊂ Σ, Ek ∩ El = ∅ si k 6= j y E = ∪∞

n=1En entonces

∫

Ef dµ =

∞∑

n=1

∫

En

f dµ,

donde la suma del lado derecho es absolutamente convergente.

34 Integración

4. Si F(E) =∫

E f dµ, entonces F es una medida vectorial de variación acotada y

|F|(E) =

∫


Demostración.

Como ∫

Ω

‖ f ‖dµ < ∞

pues f es Bochner integrable, entonces

lımµ(E)→0

∫

E‖ f ‖dµ = 0.

Así, si probamos primero 2 tendremos entonces que se cumple 1. Para demostrar2 tomamos primero f simple y Bochner integrable, digamos

f =n∑

i=1

xiχEi.

Entonces

∥∥∥∥∫

Ef dµ

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∫

f χEdµ

∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∥

n∑

i=1

xiµ(E ∩ Ei)

∥∥∥∥∥

≤n∑

i=1

‖xi‖µ(E ∩ Ei)

=

∫

E‖ f ‖dµ.

Enseguida consideramos el caso en que f es Bochner integrable. Existe una suce-sión de funciones simples ( fn)∞

n=1 tal que

lımn→∞

∫

Ω

‖ fn − f ‖dµ = 0 (2.11)

y∫

Ef dµ = lım

n→∞

∫

Efndµ para toda E ∈ Σ.

Por (2.11) tenemos que∫

E‖ fn‖dµ −→

∫



Luego∥∥∥∥∫

Ef dµ

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥ lımn→∞

∫

Efndµ

∥∥∥∥

= lımn→∞

∥∥∥∥∫

Efndµ

∥∥∥∥

≤ lımn→∞

∫

E‖ fn‖dµ

=

∫

E‖ f ‖dµ,

donde la desigualdad se tiene por el caso de las funciones simples.

3. Primero notamos que la serie∞∑

n=1

∫

En

f dµ

está dominada término a término por la serie convergente de números no nega-tivos

∞∑

n=1

∫

En

‖ f ‖dµ

(≤∫

Ω

‖ f ‖dµ < ∞

),

por lo tanto∑

∞

n=1

∫En

f dµ es absolutamente convergente. Ahora notamos que∥∥∥∥∥

∫

∪∞

n=1En

f dµ −m∑

n=1

∫

En

f dµ

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥

∫

∪∞

n=m+1

f dµ

∥∥∥∥∥ ,

debido a la aditividad finita de la integral de Bochner (lo cual es muy sencillo dechecar sólo necesitamos usar la definición de

∫A f dµ, A ∈ Σ).

Ademáslım

m→∞µ (∪∞

n=m+1En) = 0,

y consecuentemente por la parte 1 tenemos∫

∪∞

n=1En

f dµ =∞∑

n=1

f dµ,

como deseábamos mostrar.

4. Notemos que si π es una partición de E ∈ Σ entonces

∑

A∈π

‖F(A)‖ =∑

A∈π

∥∥∥∥∫

Af dµ

∥∥∥∥

≤∑

A∈π

∫

A‖ f ‖dµ

=

∫

E‖ f ‖dµ.

36 Integración

Entonces

|F|(E) ≤∫

E‖ f ‖dµ < ∞ para toda E ∈ Σ.

Por consiguiente F es de variación acotada.

Para demostrar la desigualdad opuesta, sea ε > 0 y seleccionemos una sucesión( fn)∞

n=1 de funciones simples tales que

lımn→∞

∫

Ω

‖ f − fn‖dµ = 0.

Fijemos n0 ∈ N tal que ∫

Ω

‖ f − fn0‖dµ < ε.

Sea E ∈ Σ, escojamos una partición π′ de E tal que

∑

A∈π′

∥∥∥∥∫

Afn0 dµ

∥∥∥∥ =

∫

E‖ fn0‖dµ.

Esto se logra de la siguiente manera: supongamos que

fn0 =r∑

k=1

xkχAk,

donde Ω = ∪rk=1Ak, con Ak ∩ Aj = ∅ si j 6= k. Entonces

∫

E‖ fn0‖dµ =

∫ r∑

k=1

‖xk‖χAk∩Edµ

=r∑

k=1

‖xk‖µ(Ak ∩ E)

=∑

A∈π′‖xk‖µ(A)

=∑

A∈π′

∥∥∥∥∫

Afn0 dµ

∥∥∥∥ ,

donde π′ = A1 ∩ E, ..., An ∩ E.

Enseguida, escojamos una partición π de E que refine a π′ y tal que

|F|(E) −∑

B∈π

∥∥∥∥∫

Bf dµ

∥∥∥∥ < ε. (2.12)

Tal partición se escoge de la siguiente manera:


Dado ε > 0 existe π′′ partición de E tal que

|F|(E)−∑

B∈π′′

∥∥∥∥∫

Bf dµ

∥∥∥∥ < ε.

Sea π la siguiente partición de E

C = A ∩ B : A ∈ π′, B ∈ π′′ .

Así

∑

B∈π′′‖F(B)‖ =

∑

B∈π′′

∥∥∥∥∫

Bf dµ

∥∥∥∥

=∑

B∈π′′

∥∥∥∥∥∑

A∈π′

∫

A∩Bf dµ

∥∥∥∥∥

≤∑

B∈π′′

∑

A∈π′

∥∥∥∥∫

A∩Bf dµ

∥∥∥∥

=∑

C∈π

∥∥∥∥∫

Cf dµ

∥∥∥∥ .

Luego

|F|(E)−∑

C∈π

∥∥∥∥∫

Cf dµ

∥∥∥∥ ≤ |F|(E)−∑

B∈π′′‖F(B)‖ < ε.

Para esta partición π también se tiene que

∫

E‖ fn0‖dµ =

∑

B∈π

∥∥∥∥∫

Bfn0 dµ

∥∥∥∥ ,

ya que

∫

E‖ fn0‖dµ =

∫

∪B∈π B‖ fn0‖dµ

=∑

B∈π

∫

B‖ fn0‖dµ

=∑

B∈π

∥∥∥∥∫

Bfn0 dµ

∥∥∥∥ ,

38 Integración

pues π es un refinamiento de π′. Además

∑

B∈π

∣∣∣∣

∥∥∥∥∫

Bf dµ

∥∥∥∥−∥∥∥∥∫

Bfn0 dµ

∥∥∥∥

∣∣∣∣ ≤∑

B∈π

∥∥∥∥∫

Bf dµ −

∫

Bfn0 dµ

∥∥∥∥

≤∑

B∈π

∫

B‖ f − fn0‖dµ

≤∫

E‖ f − fn0‖dµ

≤ ε. (2.13)

Por tanto de (2.12) y (2.13) se sigue que

∣∣∣∣|F|(E) −∫

E‖ fn0‖dµ

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣|F|(E)−∑

B∈π

∫

B‖ fn0‖dµ

∣∣∣∣∣

≤∣∣∣∣∣|F|(E)−

∑

B∈π

∥∥∥∥∫

Bf dµ

∥∥∥∥

∣∣∣∣∣+∑

B∈π

∣∣∣∣

∥∥∥∥∫

Bf dµ

∥∥∥∥−∥∥∥∥∫

Bfn0 dµ

∥∥∥∥

∣∣∣∣

< 2ε.

Así

|F|(E) = lımn→∞

∫

E‖ fn‖dµ

=

∫

E‖ f ‖dµ,

como deséabamos mostrar.

Corolario 2.18. Si f y g son Bochner integrables y

∫

Ef dµ =

∫

Egdµ para toda E ∈ Σ.

Entonces f = g µ-ctp.

Demostración.

SeaF(E) =

∫

E( f − g)dµ,

entonces F(E) = 0 para toda E ∈ Σ, por lo tanto |F|(E) = 0 para toda E ∈ Σ, peroentonces

0 = |F|(Ω) =

∫

Ω

‖ f − g‖dµ,

y así ‖ f − g‖ = 0 µ-ctp, luego f = g µ-ctp.


El siguiente teorema exhibe una propiedad fuerte de la teoría de la integral deBochner que no tiene análogo no trivial en la teoría de integración de Lebesgue.

Teorema 2.19. Sean f : Ω → X Bochner integrable y Y un espacio de Banach. Sea

T ∈ L(X, Y). Entonces T f : Ω → Y es Bochner integrable y∫

E(T f )dµ = T

(∫

Ef dµ

)para toda E ∈ Σ. (2.14)

(Nota: Este teorema puede plantearse en condiciones más generales para T, por ejemplo

cuando T es un operador lineal cerrado, es decir, con gráfica cerrada; ver [A.3] pág. 47)

Demostración.

Para mostrar (2.14) supondremos primero que f es simple, digamos

f =n∑

i=1

xiχEi.

Como T es lineal entonces T f =∑n

i=1 T(xi)χEies también simple y así

T

(∫

Ef dµ

)= T

(n∑

i=1

xiµ(E ∩ Ei)

)

=n∑

i=1

T(xi)µ(E ∩ Ei)

=

∫

E(T f )dµ.

Ahora supongamos que f : Ω → X es Bochner integrable. Entonces existe ( fn)∞

n=1sucesión de simples tal que

lımn→∞

∫

Ω

‖ f − fn‖dµ = 0,

y ∫

Ef dµ = lım

n→∞

∫

Efndµ para toda E ∈ Σ.

Así,

T

(∫

Ef dµ

)= T

(lım

n→∞

∫

Efndµ

)

= lımn→∞

T

(∫

Efndµ

)

= lımn→∞

∫

E(T fn)dµ

=

∫

E(T f )dµ,

40 Integración

pues∫

‖T f − T fn‖dµ ≤∫

‖T‖‖ f − fn‖dµ

= ‖T‖∫

‖ f − fn‖dµ −→ 0

cuando n → ∞.

Corolario 2.20. Sean f , g : Ω → X funciones µ-medibles y supóngase que para toda

x∗ ∈ X∗ se tiene que x∗ f = x∗g µ-ctp. Entonces f = g µ-ctp.

Demostración.

Escójase una sucesión (En)∞

n=1 ⊂ Σ tal que En ⊂ En+1, ∪∞

n=1En = Ω y f , g sonambas acotadas en cada En.

(Esto puede conseguirse así: definamos

En = w ∈ Ω : ‖ f (w)‖ ≤ n, ‖g(w)‖ ≤ n,

es claro que En ⊂ En+1 y además, dado w ∈ Ω existen n0, n1 ∈ N tal que ‖ f (w)‖ ≤n0, ‖g(w)‖ ≤ n1, por lo que si N = maxn0, n1 entonces ‖ f (w)‖ ≤ N, ‖g(w)‖ ≤N, es decir w ∈ EN .)

Dado que f y g son ambas acotadas en En tenemos que∫

E‖ f χEn‖dµ < ∞,

∫

E‖gχEn‖dµ < ∞ para toda E ∈ Σ,

y así las integrales de Bochner∫

Ef χEn dµ y

∫

EgχEn dµ

existen para toda E ∈ Σ.

Puesto que para toda x∗ ∈ X∗ tenemos que x∗ f = x∗g µ-ctp se sigue que∫

Ex∗ f χEn dµ =

∫

Ex∗gχEn dµ para toda E ∈ Σ.

Entonces

x∗(∫

Ef χEn dµ

)= x∗

(∫

EgχEn dµ

)para toda E ∈ Σ. (2.15)


Fijemos E ∈ Σ y entonces como (2.15) es válida para toda x∗ ∈ X∗, se sigue delTeorema de Hahn-Banach que

∫

Ef χEn dµ =

∫

Ef χEn dµ,

y esto es válido para toda E ∈ Σ y por el Corolario 2.18 tenemos que f χEn = gχEn

µ-ctp para cada n ∈ N. Esto implica que f = g µ-ctp.

El siguiente resultado muestra que las integrales de Bochner indefinidas com-parten una propiedad muy importante con las integrales indefinidas de Lebesgue.

Teorema 2.21. Sea f Bochner integrable en [0, 1] con respecto a la medida de Lebesgue.

Entonces para casi toda s ∈ [0, 1] se tiene que

lımh→0

1h

∫ s+h

s‖ f (t) − f (s)‖dt = 0, (2.16)

consecuentemente, para casi toda s ∈ [0, 1] se tiene

lımh→0

1h

∫ s+h

sf (t)dt = f (s). (2.17)

Demostración.

Puesto que∥∥∥∥∥

1h

∫ s+h

s( f (t)− f (s))dt

∥∥∥∥∥ ≤1h

∫ s+h

s‖ f (t) − f (s)‖dt,

la afirmación (2.17) se obtiene de la afirmación (2.16). Podemos suponer sin pérdi-da de generalidad que f ([0, 1]) es un subconjunto separable de X (esta suposiciónse puede hacer debido a que el Teorema de Medibilidad de Pettis - Teorema 2.5,asegura que existe E ∈ Σ con µ(E) = 0 tal que f ([0, 1]\E) es un subconjuntoseparable de X y además que para efectos de integración E no aporta nada).

Sea xn∞

n=1 un subconjunto denso y a lo más numerable de f ([0, 1]). Por el Teo-rema clásico de Diferenciación de Lebesgue tenemos que

lımh→0

1h

∫ s+h

s‖ f (t) − xn‖dt = ‖ f (s) − xn‖ (2.18)

para casi toda s ∈ [0, 1] y para toda n ∈ N.

Sea s ∈ [0, 1] tal que (2.18) se cumple para toda n ∈ N, así

lım suph→0

1h

∫ s+h

s‖ f (t) − f (s)‖dt ≤ lım sup

h→0

(1h

∫ s+h

s‖ f (t) − xn‖dt

)

+ ‖xn − f (s)‖= 2‖ f (s) − xn‖,

42 Integración

para toda n ∈ N.

Ahora, dado ε > 0 elíjase N ∈ N tal que ‖ f (s) − xN‖ ≤ ε/2, luego

lım suph→0

1h

∫ s+h

s‖ f (t) − f (s)‖dt = 0.

Entonces

lımh→0

1h

∫ s+h

s‖ f (t) − f (s)‖dt = 0.

Enseguida, daremos un vistazo a los espacios de Lebesgue-Bochner.

Sea 1 ≤ p < ∞. Lp (Ω, Σ, µ, X) o simplemente Lp(µ, X) denotará todas lasclases de equivalencia de las funciones f : Ω → X que son µ-Bochner integrablesy tales que

‖ f ‖p =

[∫

Ω

‖ f ‖pXdµ

]1/p

< ∞.

Igual que en el caso escalar, puede demostrarse que(Lp(µ, X), ‖ ‖p

)es un espacio

de Banach.

L∞(Ω, Σ, µ, X) o simplemente L∞(µ, X) denotará todas las clases de equivalen-cia de funciones esencialmente acotadas µ-Bochner integrables f : Ω → X. Paraf ∈ L∞(µ, X) denotamos por

‖ f ‖∞ = ess sup ‖ f ‖X,

y también como en el caso escalar puede verse que (L∞(µ, X), ‖ ‖∞) es un espaciode Banach.

El símbolo Lp(µ), 1 ≤ p ≤ ∞, siempre denotará Lp(µ, X) cuando X es el campode escalares.

Uno de los aspectos más interesantes de la teoría de la integral de Bochner secentra en la siguiente pregunta:

¿Cuándo una medida vectorial surge como una integral de Bochner indefinida?

Examinaremos rápidamente esta situación:

Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida finita y F : Σ → X una medida vectorial de laforma

F(E) =

∫

Ef dµ

para alguna función Bochner integrable f .


El Teorema 2.17 garantiza que F es numerablemente aditiva, µ-continua y devariación acotada. Recíprocamente, si F : Σ → X es cualquier medida aditivanumerable, µ-continua y de variación acotada con un rango finito dimensionalentonces el clásico Teorema de Radon-Nikodým produce una función Bochner-integrable f tal que

F(E) =

∫

Ef dµ.

En efecto: Sin pérdida de generalidad se puede suponer que F : Σ → Kn yaque el rango de F es un subconjunto de dimensión finita de X y en dimensiónfinita todas las normas son equivalentes. Así, F = (F1, ..., Fn) con Fj : Σ → K,j = 1, ..., n. Entonces cada Fj es numerablemente aditiva ya que si (Ek)

∞

k=1 ⊂ Σ talque Ek ∩ El = ∅ si k 6= l, entonces

(F1 (∪∞

k=1Ek) , ..., Fn (∪∞

k=1Ek)) = F (∪∞

k=1Ek)

=∞∑

k=1

F(Ek)

=∞∑

k=1

(F1(Ek), ..., Fn(Ek)) . (2.19)

Entonces

(F1 (∪∞

k=1Ek) , ..., Fn (∪∞

k=1Ek)) = lımm→∞

m∑

k=1

(F1(Ek), ..., Fn(Ek))

= lımm→∞

(m∑

k=1

F1(Ek), ...,m∑

k=1

Fn(Ek)

)

=

(lım

m→∞

m∑

k=1

F1(Ek), ..., lımm→∞

m∑

k=1

Fn(Ek)

)

=

(∞∑

k=1

F1(Ek), ...,∞∑

k=1

Fn(Ek)

), (2.20)

donde la tercera igualdad se sigue del hecho de que en dimensión finita la con-vergencia es equivalente a la convergencia coordenada a coordenada.

Por consiguiente

Fj (∪∞

k=1Ek) =∞∑

k=1

Fj(Ek) para toda j = 1, ..., n.

Asimismo, como F es µ-continua tenemos que

lımµ(E)→0

F(E) = 0,

44 Integración

y entonces

lımµ(E)→0

Fj(E) = 0,

es decir, Fj es µ-continua para toda j = 1, ..., n.

Ahora veamos que cada Fj es de variación acotada, para ello recordemos queen vez de considerar en Kn la norma que X le hereda, podemos conside-rar lanorma euclideana o cualquiera otra norma conveniente, por ejemplo: ‖F(A)‖ =

|F1(A)|+ ... + |Fn(A)|. Entonces

∞ > |F|(Ω) = supπ

∑

A∈π

‖F(A)‖

≥ supπ

∑

A∈π

‖Fj(A)‖

= |Fj|(Ω),

para toda j = 1, ..., n. De aquí que cada Fj es de variación acotada.

Así, por el Teorema de Radon-Nikodým existen f1, ..., fn en L1(µ) tales que

Fj(E) =

∫

Ef jdµ para toda E ∈ Σ.

Afirmamos que

F(E) =

(∫

Ef1dµ, ...,

∫

Efndµ

)

=

∫

E( f1, ..., fn)dµ.

En efecto: Supongamos que f j, j = 1, ..., n, es simple, digamos

f1 = a(1)1 χA1 + ... + a

(1)r χAr

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fn = a(n)1 χA1 + ... + a

(n)r χAr

donde a(j)i es escalar y Ω = ∪r

j=1 Aj, con Aj ∩ Al = ∅ si j 6= l.


Sea f = ( f1, ..., fn), entonces para toda E ∈ Σ

F(E) =

(∫

Ef1dµ, ...,

∫

Efndµ

)

=

(r∑

i=1

a(1)i µ(Ai ∩ E), ...,

r∑

i=1

a(n)i µ(Ai ∩ E)

)

=r∑

i=1

(a(1)i µ(Ai ∩ E), ..., a

(n)i µ(Ai ∩ E)

)

=r∑

i=1

µ(Ai ∩ E)

a(1)i e1 + ... + a

(n)i en

=

∫

E

[r∑

i=1

(a(1)i e1 + ... + a

(n)i en

)χAi

]dµ

=

∫

E( f1, ..., fn)dµ,

donde ejnj=1 es la base estándar de Kn.

Queda demostrada la afirmación cuando cada f1, ..., fn es simple. En el caso gen-eral, sabemos que para cada f j : Ω → K podemos encontrar una sucesión de

funciones simples(

ϕ(j)m

)∞

m=1tal que

∣∣∣ϕ(j)m

∣∣∣ ≤ | f j|, donde

f j = lımm→∞

ϕ(j)m ctp,

y ya que cada f j ∈ L1(µ), se sigue del Teorema de Convergencia Dominada que

∫f jdµ = lım

m→∞

∫ϕ

(j)m dµ para toda j = 1, ..., n.

Así,

F(E) =

(∫

Ef1dµ, ...,

∫

Efndµ

)

=

(lım

m→∞

∫

Eϕ

(1)m dµ, ..., lım

m→∞

∫

Eϕ

(n)m dµ

)

= lımm→∞

(∫

Eϕ

(1)m dµ, ...,

∫

Eϕ

(n)m dµ

)

= lımm→∞

∫

E

(ϕ

(1)m , ..., ϕ

(n)m

)dµ

=

∫

Elım

m→∞

(ϕ

(1)m , ..., ϕ

(n)m

)

=

∫

E( f1, ..., fn)dµ,

46 Integración

donde la tercera igualdad se tiene ya que la convergencia en Kn es equivalentea la convergencia coordenada a coordenada, la cuarta por el caso previo, y laquinta igualdad por el Teorema de Convergencia Dominada, que se usa del modosiguiente:

Sea f = ( f1, ..., fn) = lımm→∞

(ϕ

(1)m , ..., ϕ

(n)m

), tenemos que

∥∥∥(

ϕ(1)m , ..., ϕ

(n)m

)∥∥∥Kn

≤n∑

j=1

|ϕ(j)m |

≤n∑

j=1

| f j| ∈ L1(µ).

Entonces la afirmación queda demostrada.

Por tanto

F(E) =

(∫

Ef1dµ, ...,

∫

Efndµ

)

=

∫

E( f1, ..., fn)dµ

=

∫

Ef dµ,

donde f ∈ L1(µ, Kn), pues podemos considerar por ejemplo ‖ f ‖ = | f1| + ... + | fn|y así

∫‖ f ‖dµ =

n∑

j=1

∫| f j|dµ < ∞.

Para la integral de Bochner general, esto ya no necesariamente se verifica.

Ejemplo 2.22. Una medida vectorial aditiva numerable con valores en c0, de variación

acotada que no tiene derivada de Radon-Nikodým.

Construcción.

Sea µ la medida de Lebesgue en [0, 1]. Si E ⊂ [0, 1] es un conjunto medible, sean

λn(E) =

∫

Esen (2nπt) dt,

y F(E) = (λ1(E), λ2(E), ..., λn(E), ...).

El Lema de Riemann- Lebesgue asegura que lımn→∞ λn(E) = 0. Así F es unamedida vectorial finitamente aditiva con valores en c0.


Además

‖F(E)‖c0 ≤ supn∈N

|λn(E)|

≤ supn∈N

∫

E|sen(2nπt)| dt (2.21)

≤ µ(E), (2.22)

para cada subconjunto medible E ⊂ [0, 1].

Así, F es µ-continua, además es de variación acotada, pues

|F| ([0, 1]) = supπ

∑

A∈π

‖F(A)‖c0

≤ supπ

∑

A∈π

µ(A)

= µ ([0, 1])

= 1,

y también F es aditiva numerable:

Sea (Ej)∞

j=1 ⊂ [0, 1] una sucesión de subconjuntos Lebesgue medibles tal que Ej ∩El = ∅ si j 6= l, y sea E = ∪∞

j=1Ej.

Debemos mostrar que F(E) =∑

∞

j=1 F(Ej), esto es

(λn(E))∞

n=1 =∞∑

j=1

(λn(Ej)

)∞

n=1 en (c0, ‖ ‖∞). (2.23)

48 Integración

En efecto,∥∥∥∥∥∥

k∑

j=1

(λn(Ej)

)n∈N

− (λn(E))n∈N

∥∥∥∥∥∥∞

=∥∥∥(

λn(E) − λn

(∪k

j=1Ej

))

n∈N

∥∥∥∞

=∥∥∥(

λn

(∪∞

j=k+1

))

n∈N

∥∥∥∞

=

∥∥∥∥∥∥

∞∑

j=k+1

λn(Ej)

n∈N

∥∥∥∥∥∥∞

= supn∈N

∣∣∣∣∣∣

∞∑

j=k+1

λn(Ej)

∣∣∣∣∣∣

≤ supn∈N

∞∑

j=k+1

∣∣λn(Ej)∣∣

≤ supn∈N

∞∑

j=k+1

µ(Ej)

=∞∑

j=k+1

µ(Ej) −→ 0,

cuando k → ∞, porque∑

∞

j=1 µ(Ej) = µ(E). Así queda demostrado (2.23)

Enseguida supóngase que existe una función Bochner integrable f : [0, 1] → c0 talque

F(E) =

∫

Ef dµ para toda E ⊂ [0, 1] Lebesgue medible.

Escríbase f = ( f1, f2, ..., fn, ...).

Definamos Λn : c0 → K tal que

Λn(x) = xn,

donde x = (xn)∞

n=1, entonces

|Λn(x)| = |xn| ≤ ‖x‖∞,

es decir, Λn es continuo y como fn = Λn f donde Λn es continuo y f es medible,se sigue que fn es medible para toda n ∈ N.

Además

λn(E) =

∫

Efndµ (2.24)


para toda E ⊂ [0, 1] Lebesgue medible y para toda n ∈ N, puesto que∫

Ef dµ =

(∫

Ef1dµ, ...,

∫

Efndµ, ...

). (2.25)

Para verificar (2.25) sabemos que existe f : [0, 1] → c0 tal que

F(E) =

∫

Ef dµ

para toda E ⊂ [0, 1] tal que E es Lebesgue medible y f es Bochner integrable.

Para cada t ∈ [0, 1] f (t) ∈ c0, digamos f (t) =(

f j(t))∞

j=1. Como (en)∞

n=1 es base de

Schauder para (c0, ‖ ‖∞), donde en =(

ejn

)∞

j=1tal que e

jn = δnj, entonces

f (t) =∞∑

j=1

f j(t)ej (en ‖ ‖∞),

es decir, si

gn(t) =n∑

j=1

f j(t)ej,

entoncesgn(t) → f (t),

cuando n → ∞ en ‖ ‖∞, y esto ocurre para toda t ∈ [0, 1].

Ahora,

‖gn(t)‖∞ = ‖( f1(t), ..., fn(t), 0, 0, ...)‖∞

= sup1≤j≤n

| f j(t)|

≤ supj∈N

| f j(t)|

= ‖ f (t)‖∞,

esto es

‖gn‖∞ ≤ ‖ f ‖∞ y ‖ f ‖∞ ∈ L1(µ).

Se sigue del Teorema de Convergencia Dominada para integrales de Bochner que∫

f dµ = lımn→∞

∫gndµ

= lımn→∞

∫( f1, f2, ..., fn, 0, 0, ...)dµ

= lımn→∞

n∑

j=1

(∫f jdµ

)ej

=∞∑

n=1

(∫fndµ

)en

=

(∫f1dµ,

∫f2dµ, ...,

∫fndµ, ...

),

50 Integración

lo que muestra (2.25) y por consiguiente

(λn(E))n∈N= F(E) =

∫

Ef dµ =

(∫

Efndµ

)

n∈N

,

de donde se concluye (2.24).

Como también

λn(E) =

∫

Esen(2nπt)dt

para toda E ⊂ [0, 1] Lebesgue medible, se sigue que fn(t) = sen(2nπt) para casitoda t ∈ [0, 1].

Enseguida consideremos el conjunto En =

t ∈ [0, 1] : fn(t) ≥ 1/√

2

.

Afirmamos que

µ(En) =14

para toda n ∈ N. (2.26)

En efecto: La gráfica de sen(2nπt) en t ∈ [0, 1], es así

t

1

−1

12n

22n

2n−22n

2n−12n 1 = 2n

2n

. . .

Figura 2.1: sen 2nπt

esto es, la gráfica de sen u en [0, 2π] “se ajusta” 2n−1 veces en [0, 1] bajo fn(t).Ahora bien, sen u ≥ 1√

2(u ∈ [0, 2π]) siempre que π

4 ≤ u ≤ 3π4 .


t

1

−1

π2

3π4

π4

1√2

Figura 2.2: sen t

Observando la siguiente figura

t

1

−1

12n+2

32n+2

12n+1

1√2

22n

· · ·

Figura 2.3: fn(t) = sen 2nπt

obtenemos que en cada período de fn(t) en [0, 1]

µ(En) = 2n−1[

22n+2

]=

14

.

Notemos ahora que

t ∈ [0, 1] : f (t) /∈ c0 =∞⋂

n=1

∞⋃

j=n

t ∈ [0, 1] : f j(t) ≥ 1/

√2

=∞⋂

n=1

∞⋃

j=n

Ej.

Entonces

µ (t ∈ [0, 1] : f (t) /∈ c0) = lımn→∞

µ(∪∞

j=nEj

)

≥ lım supn→∞

µ(En)

=14

,

52 Integración

y por consiguiente,

µ (t ∈ [0, 1] : f (t) ∈ c0) ≤34

lo cual es absurdo.

La falla del Teorema de Radon-Nikodým para la integral de Bochner no debeinterpretarse como un aspecto negativo de dicha integral. En realidad, este hechotiene repercusiones notables en Teoría de operadores pues nos permite represen-tar y clasificar operadores lineales entre cierto tipo de espacios. Asimismo, tienerepercusiones importantes en el estudio de la geometría y topología de espaciosde Banach, como por ejemplo, la validez del Teorema de Krein-Milman en ciertotipo de espacios. Igualmente, tiene consecuencias muy importantes en Teoría deProbabilidad en espacios de Banach y en la misma Teoría de Integración.

3Capítulo

La Propiedad deRadon-Nikodým y el Teoremade Representación de Riesz

En este capítulo definiremos la Propiedad de Radon-Nikodým en un espaciode Banach X y estableceremos su equivalencia con el Teorema de Re-presentaciónde Riesz. Asimismo, se presenta una aplicación que nos permite calcular de man-era explícita el dual del espacio Lp(µ, X) cuando X∗ tiene la Propiedad de Radon-Nikodým.

Si (Ω, Σ, µ) es un espacio de medida finita, los dos teoremas básicos de Teoríade la medida, el Teorema de Representación de Riesz y el Teorema de Radon-Nikodým garantizan que

L1(µ)∗ = L∞(µ)

y que si λ es una medida finita en Σ, con valores escalares y µ-continua, entoncesexiste f ∈ L1 tal que

λ(E) =

∫

Ef dµ para toda E ∈ Σ.

Cada uno de estos teoremas puede deducirse del otro y no es sorprendente quesus extensiones vectoriales se encuentren relacionadas de manera íntima.

Una posible extensión de dichos teoremas para medidas vectoriales sería de lasiguiente manera:

54 La Propiedad de Radon-Nikodým y el Teorema de Representación de Riesz

Teorema de Representación de Riesz.

Si X es un espacio de Banach y T : L1(µ) → X es un operador lineal continuoentonces existe g ∈ L∞(µ, X) tal que

T f =

∫

Ω

f gdµ

para toda f ∈ L1(µ).

Teorema de Radon-Nikodým.

Si G : Σ → X es una medida vectorial aditiva numerable, µ-continua y de variaciónacotada, entonces existe una función Bochner integrable g ∈ L1(µ, X) tal que

G(E) =

∫


Sin embargo veremos más adelante que estos dos teoremas no necesa-riamentese satisfacen todo el tiempo. De hecho, esta parte está dedicada al estudio de am-bos resultados y la relación entre ellos. Veremos que la conexión entre ambas afir-maciones es puramente formal y que si X es un espacio de Banach fijo, entonces elTeorema de Representación de Riesz describe todos los operadores T arriba men-cionados si y sólo si el Teorema de Radon-Nikodým describe todas las medidas G

arriba mencionadas.

3.1. El Teorema de Radon-Nikodým y operadores Riesz rep-

resentables en L1(µ)

En esta sección examinaremos la relación formal que existe entre el Teoremade Representación de Riesz para operadores en L1(µ) y el Teorema de Radon-Nikodým para la integral de Bochner. Empezaremos destacando los siguientesejemplos:

Ejemplo 3.1. Una medida vectorial con valores en c0 para la cual no se cumple el Teorema

de Radon-Nikodým.

Como vimos en el Ejemplo 2.22, la medida G : Σ → c0 tal que

G(E) =

(∫

Esen (2nπt) dµ(t)

)

n∈N

donde Ω = [0, 1], µ la medida de Lebesgue en Ω, proporciona un ejemplo de unamedida vectorial que no tiene derivada de Radon-Nikodým con respecto a µ.

3.1 El Teorema de Radon-Nikodým y operadores Riesz representables en L1(µ) 55

Ejemplo 3.2. Un ejemplo de un operador lineal y continuo T : L1[0, 1] → c0 para el cual

no se verifica el Teorema de Representación de Riesz.

Sea (Ω, Σ, µ) como en el ejemplo anterior. Defínase T : L1(µ) → c0 como

T f =

(∫

[0,1]f (t) sen(2nπt)dµ(t)

)∞

n=1

.

Por el Lema de Riemann Lebesgue, T es un operador lineal con valores en c0.Además

‖T f ‖ = supn∈N

∣∣∣∣∣

∫

[0,1]f (t) sen(2nπt)dµ(t)

∣∣∣∣∣

≤ supn∈N

∫

[0,1]| f (t)|| sen(2nπt)|dµ(t)

≤∫

[0,1]| f (t)|dµ(t)

= ‖ f ‖1,

así, T es acotado.

Enseguida supongamos que existe g ∈ L∞(µ, c0) tal que

T f =

∫

Ω

f gdµ para toda f ∈ L1(µ).

Entonces, si G es la medida vectorial del ejemplo anterior y E ∈ Σ se sigue que

G(E) = T (χE) =

∫

Egdµ

lo cual es imposible pues hemos visto en el Ejemplo 3.1 que no existe tal g.

Ejemplo 3.3. Una medida vectorial en L1(µ) que no tiene derivada de Radon-Nikodým.

Supongamos que (Ω, Σ, µ) es un espacio de medida finita sin átomos. (Recorde-mos que un átomo de una medida µ en la σ-álgebra Σ es un conjunto A ∈ Σ demedida positiva que no puede subdividirse en dos piezas de medida positiva máspequena, esto es: A es un átomo si µ(A) > 0 y si para cualquier B ∈ Σ tal queB ⊂ A se tiene que µ(B) = 0 o bien µ(B) = µ(A). Se dice que una medida espuramente atómica o simplemente atómica, si todo conjunto medible de medidapositiva contiene un átomo.)

Defínase G : Σ → L1(µ) tal que

G(E) = χE.

Entonces G es aditiva numerable:


Sea (Ej)∞

j=1 ⊂ Σ tal que Ej ∩ El = ∅ si j 6= l y sea E = ∪∞

j=1Ej. Por demostrar que

χE = G(E) =∞∑

j=1

G(Ej) =∞∑

j=1

χEj

en la norma L1(µ). En efecto,

∥∥∥∥∥∥

n∑

j=1

χEj− χE

∥∥∥∥∥∥1

=

∫∣∣∣∣∣∣

n∑

j=1

χEj− χE

∣∣∣∣∣∣dµ =

∫∣∣∣∣∣∣

∞∑

j=n+1

χEj

∣∣∣∣∣∣dµ

=

∫ ∞∑

j=n+1

χEjdµ =

∞∑

j=n+1

∫χEj

dµ

=∞∑

j=n+1

µ(Ej) → 0,

cuando n → ∞, ya que µ es una medida en Σ.

Observamos también que G es µ-continua pues

‖G(E)‖1 = ‖χE‖1 =

∫

EχEdµ = µ(E)

por lo quelım

µ(E)→0G(E) = 0.

También G es de variación acotada puesto que para toda E ∈ Σ

|G|(E) = supπ

∑

A∈π

‖G(A)‖1 = supπ

∑

A∈π

‖χA‖1

= supπ

∑

A∈π

µ(A) = supπ

µ(E) = µ(E).

Supongamos que existe una función Bochner integrable g : Ω → L1(µ) tal que

G(E) =

∫


Definamos el operador T : L∞(µ) → L1(µ) tal que

T f =

∫

Ω

f gdµ para toda f ∈ L∞(µ).

T es un operador compacto pues dado que g es Bochner integrable podemos elegiruna sucesión de funciones simples (gn)∞

n=1 tal que

lımn→∞

∫

Ω

‖g − gn‖L1(µ)dµ = 0.


Definamos Tn : L∞(µ) → L1(µ) tal que

Tn( f ) =

∫

Ω

f gndµ.

Claramente Tn es lineal y también es continuo pues

‖Tn( f )‖L1(µ) =

∥∥∥∥∫

Ω

f gndµ

∥∥∥∥L1(µ)

≤∫

Ω

‖ f gn‖L1(µ)dµ

≤ ‖ f ‖∞

∫

Ω

‖gn‖L1(µ)dµ.

Además, como cada gn toma solamente un número finito de valores, se sigue queel operador Tn es un operador lineal continuo de rango finito y por consiguiente,del Teorema A.30 se sigue cada Tn es un operador compacto.

También, si f ∈ L∞(µ) tenemos

‖(T − Tn)( f )‖ ≤∫

Ω

| f |‖g − gn‖L1(µ)dµ

≤ ‖ f ‖∞

∫

Ω

‖g − gn‖L1(µ)dµ → 0,

cuando n → ∞. Por tanto‖T − Tn‖ → 0,

cuando n → ∞, luego, del Teorema A.31 se sigue que T es compacto.

Así, dado que χE : E ∈ Σ es un subconjunto acotado de L∞(µ), se tiene queT(χE) : E ∈ Σ es un subconjunto relativamente compacto de L1(µ).

Por otra parte dado que µ no tiene átomos, el conjunto

T(χE) : E ∈ Σ = G(E) : E ∈ Σ= χE : E ∈ Σ

contiene una sucesión (χEn)∞

n=1 tal que µ(En) = µ(Ω)/2 y si m 6= n entoncesµ(En∆Em) = µ(Ω)/4.

Esto implica que

‖χEn − χEm‖1 = µ(En∆Em)

= µ(Ω)/4

y por consiguiente T(χEn) : n ∈ N no posee subsucesión convergente, es decir,T no es compacto, lo cual es una contradicción, (ver el Teorema A.29).


Ejemplo 3.4. El Teorema de Representación de Riesz no se verifica para el operador iden-

tidad en L1(µ).

Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida finita sin átomos y sea T : L1(µ) → L1(µ)

el operador identidad.

Si se cumpliera el Teorema de Representación de Riesz para este operador, en-tonces existiría una función µ-medible esencialmente acotada g : Ω → L1(µ) talque

f = T f =

∫

Ω


En particular tendríamos

χE =

∫


y χE = G(E) es la medida del ejemplo anterior, así, g sería la derivada de Radon-Nikodým de la medida G, lo cual como hemos visto es imposible.

En lo que sigue, (Ω, Σ, µ) será un espacio de medida finita y X un espacio deBanach.

Definición 3.5. Diremos que un espacio de Banach X tiene la propiedad de Radon-

Nikodým con respecto a (Ω, Σ, µ) si para cada medida vectorial numerablemente adi-

tiva G : Σ → X, µ-continua y de variación acotada, existe g ∈ L1(µ, X) tal que

G(E) =

∫


Definición 3.6. Diremos que un espacio de Banach X tiene la propiedad de Radon-

Nikodým si X tiene la propiedad de Radon-Nikodým con res-pecto a todo espacio de

medida finita.

Definición 3.7. Diremos que un operador lineal acotado T : L1(µ) → X es Riesz Repre-

sentable (o simplemente, representable) si existe g ∈ L∞(µ, X) tal que

T f =

∫

Ω


Observaciones 3.8. 1. De acuerdo a los ejemplos 3.1 y 3.3, el espacio c0 no tiene

la propiedad de Radon-Nikodým y L1(µ) no tiene la propiedad de Radon-Nikodým

cuando µ no tiene átomos.


2. Si la medida µ no es puramente atómica entonces Ω contiene un subconjunto Ω0 de

medida positiva tal que µ/Ω0 no tiene átomos. Modificando el ejemplo 2 del modo

siguiente:

G(E) = χE∩Ω0

obtenemos un ejemplo de una medida con valores en L1(µ) que no tiene derivada de

Radon-Nikodým. Por lo tanto, cuando µ no es puramente atómica, el espacio L1(µ)

no tiene la propiedad de Radon-Nikodým.

3. Si (Ω, Σ, µ) es puramente atómica entonces todo espacio de Banach X tiene la

propiedad de Radon-Nikodým con respecto a (Ω, Σ, µ).

En efecto: Observemos primero que como µ(Ω) < ∞ y positiva, el espacio sólopuede tener una colección a lo más numerable de átomos ajenos por pares. Parachecar esta afirmación denotemos por A a la colección de todos los átomos ajenospor pares de µ.

Ahora, seaAn = A ∈ A : µ(A) ≥ 1/n

para toda n ∈ N. An es una colección finita para cada n ∈ N, pues de otro modo,tendríamos una colección (An)∞

n=1 ⊂ An0 para algún n0 ∈ N, para la cual secumpliría que

µ

(∞⋃

n=1

An

)=

∞∑

n=1

µ(An) ≥∞∑

n=1

1n0

= ∞,

lo cual es implosible.

Puesto que todo A ∈ A verifica que µ(A) > 0 se sigue que

A =∞⋃

n=1

An.

Por tanto A es a lo sumo numerable.

Sea (En)∞

n=1 la colección de todos los átomos ajenos por pares de µ. Necesaria-mente

µ

(Ω\

⋃

n∈N

En

)= 0,

ya que en otro caso, esto es, si µ (Ω\⋃n∈NEn) > 0 dado que µ es puramente

átomica tendríamos que existe un átomo D ⊂ Ω\⋃n∈NEn.

Como D∩ Ej = ∅ para toda j ∈ N esto produce un nuevo elemento en la colección(En)n∈N lo cual es imposible ya que dicha colección tiene a todos los átomos ajenospor pares de µ. Así queda probada esta afirmación. Por consiguiente, podemos


suponer sin pérdida de generalidad que existe una colección numerable de átomosajenos por pares de µ, digamos (En)∞

n=1 tales que

Ω =∞⋃

n=1

En y µ(En) > 0.

Supongamos que G : Σ → X es una medida vectorial aditiva numerable µ-continua y de variación acotada. Definamos g : Ω → X tal que

g =∞∑

n=1

G(En)

µ(En)χEn .

Se tiene entonces que∫

Ω

‖g‖dµ =∞∑

n=1

‖G(En)‖ < ∞

puesto que para cada n ∈ N

∞ > |G|(Ω) ≥n∑

k=1

‖G(Ek)‖ +∥∥G(∪∞

k=n+1Ek

)∥∥ ≥n∑

k=1

‖G(Ek)‖,

así g ∈ L1(µ, X) y además para toda E ∈ Σ

G(E) =

∫

Egdµ. (3.1)

Para comprobar esto observemos lo siguiente:

Para cada n ∈ N

∫

En∩Egdµ =

G(En)

µ(En)µ(En ∩ E) =

G(En) si µ(En) = µ(En ∩ E)

0 si µ(En ∩ E) = 0.

Cuando µ(En ∩ E) = 0 entonces G(En ∩ E) = 0, luego

∫

En∩Egdµ =

G(En) si µ(En) = µ(En ∩ E)

G(En ∩ E) si µ(En ∩ E) = 0.

Cuando µ(En) = µ(En ∩ E) entonces dado que

µ(En) = µ(En ∩ E) + µ(En − E)

se sigue que µ(En − E) = 0 y como G es µ-continua tenemos que G(En − E) = 0,de aquí que G(En) = G(E ∩ En). Por tanto

∫

En∩Egdµ = G(En ∩ E),


luego

G(E) =∞∑

n=1

G(En ∩ E)

=∞∑

n=1

∫

En∩Egdµ

=

∫

Egdµ,

como habíamos asegurado en (3.1).

La conexión fundamental entre operadores representables en L1(µ) y medidasvectoriales con derivadas de Radon-Nikodým está contenida en el si-guiente Lemafundamental:

Lema 3.9. Sea T : L1(µ) → X un operador lineal acotado. Defínase para E ∈ X

G(E) = T(χE).

Entonces, T es representable si y sólo si existe g ∈ L1(µ, X) tal que

G(E) =

∫

Egdµ para todo E ∈ Σ.

En tal caso, la función g ∈ L∞(µ, X) y

T( f ) =

∫

Ω


Además ‖g‖∞ = ‖T‖.

Demostración.

(⇒) Si T es representable entonces existe g ∈ L∞(µ, X) tal que

T( f ) =

∫

Ω

f gdµ

para toda f ∈ L1(µ).

Así, si E ∈ Σ entonces

G(E) = T(χE) =

∫

Egdµ.

(⇐) Supongamos que

G(E) = T(χE) =

∫

Egdµ (3.2)


para alguna g ∈ L1(µ, X) y para toda E ∈ Σ.

Puesto que para cada E ∈ Σ se tiene

‖G(E)‖ = ‖T(χE)‖ ≤ ‖T‖‖χE‖1 = ‖T‖µ(E),

se sigue que la variación |G| de G satisface

|G|(E) ≤ ‖T‖µ(E) para toda E ∈ Σ.

y como

|G|(E) =

∫

E‖g‖dµ

tenemos entonces que

‖g‖ ≤ ‖T‖ ctp (3.3)

(de otro modo, existiría E ∈ Σ, µ(E) > 0 tal que ‖g(w)‖ > ‖T‖ para w ∈ E. Luego

|G|(E) =

∫

E‖g‖dµ > ‖T‖µ(E)

lo cual es imposible.) Así g ∈ L∞(µ, X).

Falta demostrar que ‖g‖∞ = ‖T‖ y

T( f ) =

∫

Ω

f gdµ.

Para ello notamos primero que si ϕ es simple, (3.2) implica que

T(ϕ) =

∫ϕgdµ.

Así, eligiendo una sucesión de funciones simples ( fn)∞

n=1 que converge a f enL1(µ) tendremos

T( f ) = lımn→∞

T( fn)

= lımn→∞

∫fngdµ

=

∫f gdµ

donde la primera igualdad se obtiene debido a la continuidad de T y la últimadebido al Teorema de convergencia dominada para integrales de Bochner (pues la


sucesión ( fn)∞

n=1 ⊂ L1(µ) de funciones simples se puede elegir tal que | fn| ≤ | f |,así | fn|‖g‖ ≤ | f |‖g‖ para toda n ∈ N). Por consiguiente

‖T( f )‖ =

∥∥∥∥∫

Ω

f gdµ

∥∥∥∥

≤∫

Ω

| f |‖g‖∞dµ

= ‖g‖∞‖ f ‖1,

entonces‖T‖ ≤ ‖g‖∞,

y como en (3.3) se tiene la desigualdad opuesta se sigue que

‖T‖ = ‖g‖∞

Teorema 3.10. Sea X un espacio de Banach y (Ω, Σ, µ) un espacio de medida finita.

Entonces X tiene la propiedad de Radon-Nikodým con respecto a (Ω, Σ, µ) si y sólo si

cada operador lineal continuo T : L1(µ) → X es representable.

Demostración.

(⇒) Supongamos que X tiene la propiedad de Radon-Nikodým con respecto a(Ω, Σ, µ). Sea T : L1(µ) → X un operador lineal continuo.

Definamos G : Σ → X tal que

G(E) = T(χE).

Si (En)∞

n=1 ⊂ Σ es tal que Ei ∩ Ej = ∅ si i 6= j, dado que

χ∪∞

n=1En =∞∑

n=1

χEn

en la norma de L1(µ), se sigue que G es aditiva numerable.

Debido a la linealidad y continuidad de T se tiene que

G (∪∞

n=1En) = T(

χ∪∞

n=1En

)=

∞∑

n=1

T (χEn) =∞∑

n=1

G(En).

Además, como‖G(E)‖ ≤ ‖T‖µ(E)

se sigue que G es µ-continua y de variación acotada.


Puesto que X tiene la propiedad de Radon-Nikodým con respecto a (Ω, Σ, µ),existe g ∈ L1(µ, X) tal que

G(E) =

∫

Egdµ para toda E ∈ Σ,

por el Lema anterior tenemos que T es representable.

(⇐) Recíprocamente, supongamos que todo operador en L(L1(µ), X

)es re-presentable.

Sea G : Σ → X una medida vectorial aditiva numerable, µ-continua y de variaciónacotada.

Por la Proposición 1.14, la variación |G| también es aditiva numerable. Asimismo,|G| es µ-continua ya que G lo es. Por el Teorema de Radon-Nikodým para el casoescalar aplicado a las medidas |G| y µ podemos encontrar una función no negativay finita ctp, h ∈ L1(µ) tal que

|G|(E) =

∫

Ehdµ para toda E ∈ Σ.

Si En = w ∈ Ω : n − 1 ≤ h(w) < n, n ∈ N entonces Ω = ∪∞

n=1En, Ei ∩ Ej = ∅ sii 6= j y además para toda n ∈ N

(n − 1)µ(E) ≤ |G|(E) ≤ nµ(E)

para toda E ∈ Σ tal que E ⊂ En.

Ahora, fijemos n ∈ N; si f es una función simple, digamos

f =

p∑

i=1

αiχAi,

αi escalares, i = 1, ..., p, con Ai ∈ Σ, Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j, definamos un operadorlineal

Tn( f ) =

p∑

i=1

αiG(En ∩ Ai) =

∫

En

f dG.

Entonces

‖Tn( f )‖ =

∥∥∥∥∥

p∑

i=1

αiG(Ai ∩ En)

∥∥∥∥∥

≤p∑

i=1

|αi|‖G(Ai ∩ En)‖

≤p∑

i=1

|αi||G|(Ai ∩ En)

≤p∑

i=1

|αi|nµ(Ai ∩ En)

≤ n‖ f ‖1.


Se sigue que Tn se extiende a un operador lineal continuo de L1(µ) a X (por elTeorema de la extensión lineal acotada, ver [A.3] pág. 100).

Como por hipótesis, todo elemento de L(L1(µ), X

)es representable, existe gn ∈

L∞(µ, X) tal que

Tn( f ) =

∫

Ω

f gndµ.

Además, para toda E ∈ Σ

G(E ∩ En) = Tn(χE) =

∫

Egndµ.

Así, hemos generado una sucesión (gn)∞

n=1 en L∞(µ, X) tal que

G(E ∩ En) =

∫

Egndµ para toda E ∈ Σ.

Defínase g : Ω → X tal que

g(w) = gn(w) si w ∈ En.

Ya que G es aditiva numerable tenemos que para toda E ∈ Σ

G(E) = lımm→∞

G (E ∩ [∪mn=1En])

= lımm→∞

∫

E∩[∪mn=1En]

gdµ.

Además ‖g‖ ∈ L1(µ) porque dado que

G(En) =

∫

En

gndµ,

se sigue que

|G|(En) =

∫

En

‖gn‖dµ.

Entonces

∫

∪mn=1En

‖gn‖dµ =m∑

n=1

∫

En

‖gn‖dµ

=m∑

n=1

|G|(En)

= |G| (∪mn=1En)

≤ |G|(Ω) < ∞


pues G es de variación acotada. Así, para toda m ∈ N

∫

∪mn=1En

‖g‖dµ ≤ |G|(Ω)

y como

‖g‖χ∪mn=1En

ր ‖g‖

cuando m → ∞, se sigue del Teorema de Convergencia Monótona que∫

‖g‖dµ = lımm→∞

∫

∪mn=1En

‖g‖dµ ≤ |G|(Ω).

Ahora, dado que

gχE∩(∪mn=1En) → gχE

ctp en X y∥∥∥gχE∩(∪m

n=1En)

∥∥∥ ≤ ‖g‖ ∈ L1(µ),

se sigue del Teorema de Convergencia Dominada para integrales de Bochner que

G(E) = lımm→∞

∫

E∩(∪mn=1En)

gdµ =

∫

Egdµ.

Por tanto X tiene la propiedad de Radon-Nikodým con respecto a (Ω, Σ, µ).

Es importante destacar que no existe un análogo del teorema anterior para oper-adores en Lp(µ), 1 < p ≤ ∞. En [A.3], pág. 108, puede consultarse un ejemplodonde se ilustra esta situación.

Ejemplo 3.11. Un ejemplo sencillo de un espacio con la propiedad de Radon-Nikodým.

Consideremos el espacio

l1 =

x = (xn)

∞

n=1 ∈ CN :

∞∑

n=1

|xn| < ∞

.

Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida finita y G : Σ → l1 una medida vectori-al aditiva numerable, µ-continua y de variación acotada. Así para toda E ∈ Σ,G(E) = (Gn(E))∞

n=1 donde Gn : Σ → C es una medida compleja, lo cual se obtienecomo en (2.19) y (2.20), solo recordando que convergencia en l1 implica conver-gencia puntual coordenada a coordenada.


Además, si E ∈ Σ y µ(E) = 0 entonces G(E) = 0 lo cual implica que Gn(E) = 0,es decir, Gn es µ-continua para toda n ∈ N. También

|G|(E) = supπ

∑

A∈π

‖G(A)‖l1 < ∞

y

‖G(A)‖l1 =∞∑

n=1

|Gn(A)| ≥ |Gn(A)| para toda n ∈ N,

por lo que

∞ > supπ

∑

A∈π

‖G(A)‖l1 ≥ supπ

∑

A∈π

|Gn(A)| = |Gn|(E).

Entonces Gn es de variación acotada.

Por el Teorema de Radon-Nikodým escalar dado n ∈ N existe gn ∈ L1(µ) tal que

Gn(E) =

∫

Egndµ para toda E ∈ Σ.

Seag = (gn)

∞

n=1,

veamos que g ∈ L1(µ, l1) y que

G(E) =

∫


En efecto: Dado E ∈ Σ y dado ε > 0, para cada k ∈ N existe πk partición finita deE tal que

|Gk(E)| − ε

2k<

∑

A∈πk

|Gk(A)|.

Entonces para toda n ∈ N tenemosn∑

k=1

|Gk|(E) −n∑

k=1

ε

2k<

n∑

k=1

∑

A∈πk

|Gk(A)|

=∑

A∈πk

n∑

k=1

|Gk(A)|

≤ supπ

∑

A∈π

n∑

k=1

|Gk(A)|

≤ supπ

∑

A∈π

∞∑

n=1

|Gn(A)|

= supπ

∑

A∈π

‖G(A)‖l1

= |G|(E).


Por consiguiente

∞∑

n=1

|Gn|(E) ≤ |G|(E) < ∞.

De aquí que

∫

E‖g‖l1 dµ =

∫

E

∞∑

n=1

|gn|dµ

=∞∑

n=1

∫

E|gn|dµ

=∞∑

n=1

|Gn|(E) < ∞

para toda E ∈ Σ. Por tanto g ∈ L1(µ, l1).

Resta mostrar que

G(E) =

∫


Bastará ver que∫

Egdµ =

(∫

Egndµ

)∞

n=1. (3.4)

Supongamos que g =∑r

i=1 αiχAi, donde

αi =(

α(i)n

)∞

n=1∈ l1.

Así g = (gn)∞

n=1 donde

gn =r∑

i=1

α(i)n χAi

.

Entonces∫

Egdµ =

r∑

i=1

αiµ(E ∩ Ai)

=r∑

i=1

(α

(i)n µ(E ∩ Ai)

)∞

n=1

=

(r∑

i=1

α(i)n µ(E ∩ Ai)

)∞

n=1

=

(∫

Egndµ

)∞

n=1.

3.2 Aplicaciones 69

Así (3.4) es válida para funciones simples.

En el caso general, sea (ϕm)∞

m=1 sucesión de simples tal que

lımm→∞

∫‖ϕm − g‖l1 dµ = 0, (3.5)

donde ϕm =(

ϕ(m)n

)∞

n=1.

Así, para toda E ∈ Σ

∫

Egdµ = lım

m→∞

∫

Eϕmdµ

= lımm→∞

(∫

Eϕ

(m)n

)∞

n=1

=

(∫

Egndµ

)∞

n=1,

pues convergencia en l1 implica convergencia coordenada a coordenada y (3.5)implica que ∫

Egndµ = lım

m→∞

∫

Eϕ

(m)n dµ.

3.2. Aplicaciones

En esta sección identificaremos el espacio dual de Lp(µ, X) para 1 ≤ p < ∞.Veremos que la afirmación Lp(µ, X)∗ = Lq(µ, X∗) (donde 1

p + 1q = 1) es en realidad

una reformulación de la propiedad de Radon-Nikodým para X∗.

Como siempre, X será un espacio de Banach y (Ω, Σ, µ) un espacio de medidafinita. Empezaremos haciendo las siguientes observaciones.

Observacion 3.12. Para 1 ≤ p < ∞, las funciones simples son densas en Lp(µ, X).

En efecto: debido al Corolario 2.6, dada f ∈ Lp(µ, X) existe una sucesión defunciones µ-medibles ( fn)∞

n=1 que toman solamente una cantidad a lo más numer-able de valores tal que

‖ f − fn‖ ≤ 1n

para toda n ∈ N µ-ctp.

Entonces

‖ fn‖p ≤(‖ f ‖ +

1n

)p

≤ 2p

[‖ f ‖p +

1np

],


y como µ(Ω) < ∞ se sigue que∫

‖ fn‖pdµ < ∞.

Escribiendo fn =∑

∞

m=1 xnmEnm, donde Eni ∩ Enj = ∅ si i 6= j, Enm ∈ Σ y xnm ∈ X,tenemos que como

∫

Ω

‖ fn‖pdµ =

∫

∪∞

m=1Enm

‖ fn‖pdµ,

entonces∫

∪∞

j=m+1Enj

‖ fn‖pdµ −→ 0,

cuando m → ∞, para cada n ∈ N.

Así, dado n ∈ N existe Pn suficientemente grande tal que

∫

∪∞

m=Pn+1Enm

‖ fn‖p<

µ(Ω)

n.

Sea ϕn =∑Pn

m=1 xnmχEnm , cada ϕn es simple y

∫

Ω

‖ f − ϕn‖p ≤ 2p

∫

Ω

‖ f − fn‖pdµ +

∫

Ω

‖ fn − ϕn‖pdµ

≤ 2p

µ(Ω)

np+

∫

Ω

∥∥∥∥∥

∞∑

m=1

xnmχEnm −Pn∑

m=1

xnmχEnm

∥∥∥∥∥

p

dµ

≤ 2p

µ(Ω)

np+

∫

Ω

∥∥∥∥∥∥

∞∑

m=Pn+1

xnmχEnm

∥∥∥∥∥∥

p

dµ

≤ 2p

[µ(Ω)

np+

∫

∪∞

m=Pn+1

‖ fn‖pdµ

]

≤ 2p

[µ(Ω)

np+

µ(Ω)

n

].

Así, hemos hallado una sucesión de funciones simples (ϕn)∞

n=1 tal que ϕn → f enLp(µ, X) lo cual muestra la densidad.

Observacion 3.13. Para p = ∞, las funciones de L∞(µ, X) que toman una cantidad

numerable de valores son densas en L∞(µ, X).

Esto es una consecuencia directa del Corolario 2.6.

3.2 Aplicaciones 71

Lema 3.14. Para 1 ≤ p < ∞, 1q + 1

p = 1, Lq(µ, X∗) se puede incluir isométricamente en

Lp(µ, X)∗.

Demostración.

Sea g ∈ Lq(µ, X∗) y sea (gn)∞

n=1 una sucesión de funciones simples en Lq(µ, X∗)que converge a g µ-ctp.

Supongamos que f ∈ Lp(µ, X) y definamos 〈 f , g〉 : Ω → C tal que

〈 f , g〉(w) = g(w) ( f (w)) .

Observemos que para cada n ∈ N la función 〈 f , gn〉 es medible pues si gn =∑ri=1 α∗

i χAicon α∗

i ∈ X∗ entonces

〈 f , gm〉(w) =r∑

i=1

χAi(w) (α∗

i ( f (w)))

=r∑

i=1

(χAi· α∗

i f ) (w),

la cual es una función medible con valores escalares (recordar que medibilidadfuerte implica medibilidad débil).

Ahora, notamos que

|〈 f , gn〉(w)− 〈 f , g〉(w)| = |gn(w) ( f (w)) − g(w) ( f (w))|= |(gn(w) − g(w)) ( f (w))|≤ ‖gn(w) − g(w)‖X∗ ‖ f (w)‖X −→ 0,

cuando n → ∞ ctp, y así tenemos que 〈 f , g〉 es medible.

Además, se tiene que∫

Ω

|〈 f , g〉(w)| dµ(w) ≤∫

Ω

‖ f (w)‖X‖g(w)‖X∗dµ(w)

≤ ‖ f ‖p‖g‖q

debido a la desigualdad de Holder.

Lo anterior implica que el funcional l : Lp(µ, X) → C tal que

l( f ) =

∫

Ω

〈 f , g〉dµ

es un elemento de Lp(µ, X)∗ tal que

|l( f )| ≤ ‖ f ‖p‖g‖q.


Entonces

‖l‖ ≤ ‖g‖q.

Para probar la desigualdad opuesta ‖g‖q ≤ ‖l‖ haremos lo siguiente:

Sea ε > 0. Supongamos primero que

g =∞∑

i=1

x∗i χEi, (3.6)

donde (x∗i )∞

i=1 ⊂ X∗ y (Ei)∞

i=1 es una partición a lo más numerable de Ω en miem-bros de Σ con µ(Ei) > 0 para toda i ∈ N.

Por el Teorema de Representación de Riesz para el caso escalar tenemos

‖g‖q = sup∣∣∣∣∫

‖g‖Xhdµ

∣∣∣∣ : h ∈ Lp(µ), ‖h‖p ≤ 1

,

y así podemos elegir h ≥ 0 en Lp(µ) tal que 0 < ‖h‖p ≤ 1 y tal que

‖g‖q −ε

2<

∫

Ω

‖g‖Xhdµ. (3.7)

Por definición de

‖x∗i ‖X∗ = sup |x∗i (z)| : z ∈ X, ‖z‖ = 1 , (3.8)

podemos elegir para cada i ∈ N, xi ∈ X tal que ‖xi‖ = 1 y

‖x∗i ‖ −ε

2‖h‖1< |x∗i (xi)| . (3.9)

Ahora definamos f ∈ Lp(µ, X) por

f =∞∑

i=1

[sgn(x∗i (xi))] xihχEi.

Así

‖ f ‖p = ‖h‖p ≤ 1,

3.2 Aplicaciones 73

y tendremos que

∫

Ω

〈 f , g〉dµ =

∫

Ω

h∞∑

i=1

sgn(x∗i (xi))x∗i (xi)χEidµ

=

∫

Ω

h∞∑

i=1

|x∗i (xi)| χEidµ

≥∫

Ω

h∞∑

i=1

[‖x∗i ‖ −

ε

2‖h‖1

]χEi

dµ

=

∫

Ω

h‖g‖dµ − ε

2‖h‖1

∫

Ω

hdµ

≥ ‖g‖q −ε

2− ε

2= ‖g‖q − ε,

donde la primera desigualdad se sigue de (3.9) y la última desigualdad de (3.7).Entonces

∣∣∣∣∫

Ω

〈 f , g〉dµ

∣∣∣∣ =∫

Ω

〈 f , g〉dµ ≥ ‖g‖q.

Por tanto |l( f )| ≥ ‖g‖q, y de aquí que ‖l‖ ≥ ‖g‖q pues ‖ f ‖p ≤ 1.

Así ‖l‖ = ‖g‖q cuando g ∈ Lq(µ, X∗) y g toma una cantidad a lo sumo numerablede valores.

Para el caso general, sea g ∈ Lq(µ, X∗). Por el Corolario 2.6 podemos escoger unasucesión (gn)∞

n=1 de funciones con una cantidad a lo sumo numerable de valoresen Lq(µ, X∗) tal que

lımn→∞

‖gn − g‖q = 0.

Para cada n ∈ N sea ln : Lp(µ, X) → C tal que

ln( f ) =

∫

Ω

〈 f , gn〉dµ.

y l : Lp(µ, X) → C tal que

l( f ) =

∫

Ω

〈 f , g〉dµ.

Entonces, ya sabemos que ‖ln‖ = ‖gn‖q y además

‖ln − l‖ ≤ ‖gn − g‖q −→ 0,

cuando n → ∞. Por lo tanto

‖l‖ = lımn→∞

‖ln‖ = lımn→∞

‖gn‖q = ‖g‖q.


Sintetizando: Hemos demostrado que la función Λ : Lq(µ, X∗) → Lp(µ, X)∗ talque

Λ(g) =

∫

Ω

〈·, g〉dµ

es un isomorfismo isométrico en su imagen, con lo cual Lq(µ, X∗) queda identifi-cado con un subespacio de Lp(µ, X)∗.

Es sencillo dar ejemplos de situaciones en las que Lq(µ, X∗) es un subes-paciopropio de Lp(µ, X)∗, como lo muestra el siguiente resultado.

Teorema 3.15. Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida finita, 1 ≤ p < ∞ y X un espacio

de Banach. Entonces Lp(µ, X)∗ = Lq(µ, X∗) donde 1p + 1

q = 1, si y sólo si X∗ tiene la

propiedad de Radon-Nikodým con respecto a µ.

Demostración.

De acuerdo al Lema anterior, hemos probado que Lq(µ, X∗) siempre está incluidoisométricamente como subconjunto de Lp(µ, X)∗ para 1 ≤ p < ∞.

Supongamos que X∗ tiene la propiedad de Radon-Nikodým con respecto a µ. Parał ∈ Lp(µ, X)∗ definamos G : Σ → X∗ por

G(E)(x) = l (xχE) para E ∈ Σ.

Nótese que efectivamente G(E) ∈ X∗ puesto que

|G(E)(x)| = |l(xχE)| ≤ ‖l‖‖xχE‖p = ‖l‖‖x‖‖χE‖p.

Además, G es aditiva numerable pues si (Ej)∞

j=1 ⊂ Σ tal que Ek ∩ El = ∅ si k 6= l

y E = ∪∞

j=1Ej entonces para toda x ∈ X

G(∪∞

j=1Ej)(x) = l(

xχ∪∞

j=1Ej

)= l

∞∑

j=1

xχEj

=∞∑

j=1

l(

xχEj

)=

∞∑

j=1

G(Ej)(x).

La segunda igualdad se verifica en virtud de que

xχ∪∞

j=1Ej=

∞∑

j=1

xχEj

3.2 Aplicaciones 75

en la norma de Lp(µ, X) puesto que

∥∥∥∥∥∥xχE −

n∑

j=1

xχEj

∥∥∥∥∥∥p

=∥∥∥xχE − xχ∪n

j=1Ej

∥∥∥p

=∥∥∥xχ∪∞

j=n+1Ej

∥∥∥p

=

[∫

∪∞

j=n+1Ej

‖x‖pdµ

]1/p

= ‖x‖

∞∑

j=n+1

µ(Ej)

1/p

−→ 0,

cuando n → ∞ pues µ(E) =∑

∞

n=1 µ(En).

Para ver que |G|(Ω) < ∞, sea E1, ..., En una partición finita de Ω y x1, ..., xn

elementos de la bola unitaria cerrada de X. Entonces

n∑

i=1

|G(Ei)(xi)| =n∑

i=1

|l(xiχEi)|

=n∑

i=1

sgn (l(xiχEi)) l(xiχEi

)

=n∑

i=1

l (sgn (l(xiχEi)) xiχEi

)

= l

(n∑

i=1

sgn(l(xiχχEi))xiχEi

)

≤ ‖l‖∥∥∥∥∥

n∑

i=1

sgn (l(xiχEi)) xiχEi

∥∥∥∥∥p

≤ ‖l‖∥∥∥∥∥

n∑

i=1

χEi

∥∥∥∥∥p

(3.10)

= ‖l‖µ(Ω)1/p.

La desigualdad (3.10) se obtiene así: si llamamos ai = sgn (l(xiχEi)) xi ∈ X en-


tonces ‖ai‖X ≤ 1 y así

∥∥∥∥∥

n∑

i=1

aiχEi

∥∥∥∥∥p

=

[∫ n∑

i=1

‖ai‖pXχEi

dµ

]1/p

=

[n∑

i=1

‖ai‖pXµ(Ei)

]1/p

≤[

n∑

i=1

µ(Ei)

]1/p

= µ(Ω)1/p.

Por consiguiente, tenemos que para toda x1, ..., xn ∈ X tal que ‖xj‖ ≤ 1 para todaj = 1, ..., n

n∑

i=1

|G(Ei)(xi)| ≤ ‖l‖µ(Ω)1/p

y tomando supremos sobre todas las posibles n-adas de elementos de X con normamenor o igual a 1 obtenemos

n∑

i=1

‖G(Ei)‖X∗ ≤ ‖l‖µ(Ω)1/p.

Como dicha desigualdad vale para toda partición finita E1, ..., En de Ω en med-ibles de Σ obtenemos

|G|(Ω) ≤ ‖l‖µ(Ω)1/p< ∞.

Observemos también que G es µ-continua porque si E ∈ Σ y µ(E) = 0 entoncesχE = 0 µ-ctp, de aquí que ‖χE‖p = 0, entonces ‖xχE‖p = 0 para toda x ∈ X.

Como |l (xχE) | ≤ ‖l‖ ‖xχE‖p = 0, entonces l (xχE) = 0, lo cual implica queG(E)(x) = 0 para toda x ∈ X o G(E) = 0.

Puesto que X∗ tiene la propiedad de Radon-Nikodým con respecto a µ, existe unafunción Bochner integrable g : Ω → X∗ tal que

G(E) =

∫

Egdµ para toda E ∈ Σ. (3.11)

Esto implica que si f ∈ Lp(µ, X) es una función simple entonces

l( f ) =

∫

Ω

〈 f , g〉dµ. (3.12)

En efecto, si f =∑n

j=1 xjχEj, xj ∈ X entonces

3.2 Aplicaciones 77

∫

Ω

〈 f , g〉dµ =

∫

Ω

g

n∑

j=1

xjχEj

dµ =

∫

Ω

n∑

j=1

g(

xjχEj

)dµ

=n∑

j=1

∫

Ω

g(

xjχEj

)dµ =

n∑

j=1

∫

Ω

(gχEj

)(xj)dµ

=n∑

j=1

(∫

Ω

gχEjdµ

)(xj) =

n∑

j=1

G(Ej)(xj)

=n∑

j=1

l(

xjχEj

)= l

n∑

j=1

xjχEj

= l( f ),

la quinta igualdad se obtiene debido a que el operador Tj : X∗ → C tal queTj(ϕ) = ϕ(xj) es lineal y continuo y por tanto se puede intercambiar bajo el signode integral (ver Teorema 2.19), y la sexta igualdad se obtiene de (3.11).

Ahora, deseamos extender (3.12) para todos los elementos de Lp(µ, X). Para ello,escojamos una sucesión creciente (En)∞

n=1 ⊂ Σ tal que ∪∞

n=1En = Ω y tal que g

es acotada en cada En. (Por ejemplo, Ω = ∪∞

n=1w : ‖g(w)‖X∗ < n, En = w :‖g(w)‖X∗ < n, En ⊂ En+1, En ∈ Σ y g es acotada en En.)

Ahora, fijemos n0 ∈ N y consideremos el funcional∫

En0

〈·, g〉dµ : Lp(µ, X) → C tal que

(∫

En0

〈·, g〉dµ

)( f ) =

∫

En0

〈 f , g〉dµ.

Este es un funcional lineal acotado ya que∣∣∣∣∣

∫

En0

〈 f , g〉dµ

∣∣∣∣∣ ≤∫

En0

‖g(w)‖X∗‖ f (w)‖Xdµ(w)

≤ n0

∫

En0

‖ f (w)‖Xdµ(w)

≤ n0

∫

Ω

‖ f ‖Xdµ

≤ n0‖ f ‖pµ(Ω)1/q,

donde 1p + 1

q = 1.

Además, este funcional coincide con l en la familia de funciones simples con so-porte en En0 .


Así, si f ∈ Lp(µ, X), f χEn0puede aproximarse en la norma de Lp(µ, X) por fun-

ciones simples (ϕn)∞

n=1 con soporte en En0 por lo que usando la continuidad delfuncional ∫

En0

〈·, g〉dµ

vemos que

l(

f χEn0

)= lım

n→∞l(ϕn)

= lımn→∞

∫

En0

〈ϕn, g〉dµ

=

∫

En0

〈 f , g〉dµ

=

∫ ⟨f , gχEn0

⟩dµ,

esto es,

l(

f χEn0

)=

∫ ⟨f , gχEn0

⟩dµ para toda f ∈ Lp(µ, X). (3.13)

Además, puesto que gχEn0es acotada, se sigue que gχEn0

∈ Lq(µ, X∗).

Debido a la representación (3.13), igual que en el Lema anterior tenemos que

‖gχEn0‖q ≤ ‖l‖,

y esta última desigualdad es válida para toda n0 ∈ N. Ahora bien, como

‖gχEn‖q ≤ ‖gχEn+1‖q para toda n ∈ N

se sigue del Teorema de Convergencia Monótona que∫

‖g‖qdµ =

∫lım

n→∞‖gχEn‖qdµ

= lımn→∞

∫‖gχEn‖qdµ

≤ ‖l‖q< ∞.

Entonces g ∈ Lq(µ, X∗).

Así para toda f ∈ Lp(µ, X) tenemos

l( f ) = l(

lımn→∞

f χEn

)= lım

n→∞l( f χEn)

= lımn→∞

∫〈 f , gχEn〉 dµ = lım

n→∞

∫〈 f χEn , g〉 dµ

=

∫〈 f , g〉dµ,

3.2 Aplicaciones 79

donde la primera igualdad se tiene en la norma de Lp(µ, X) y la última igualdadse obtiene así:

|〈 f χEn , g〉| ≤ ‖ f χEn‖p‖g‖q ≤ ‖ f ‖p‖g‖q < ∞,

para toda n ∈ N y

〈 f χEn , g〉 (w) = (g(w)) ( f χEn(w)) −→ (g(w)) ( f (w)) = 〈 f , g〉(w),

por lo que se puede aplicar el Teorema de convergencia dominada.

Igual que en el Lema anterior se tiene que

‖l‖ = ‖g‖q.

Esto nos ha demostrado que Lp(µ, X)∗ coincide con Lq(µ, X∗) donde la igualdaddebe entenderse como isomorfismo isométrico.

Demostraremos ahora la otra implicación.

Supongamos que Lp(µ, X)∗ = Lq(µ, X∗) y sea G : Σ → X∗ una medida vectorialaditiva numerable, µ-continua y de variación acotada.

1. Demostraremos que si E0 ∈ Σ y tiene µ-medida positiva, entonces G tieneuna derivada de Radon-Nikodým en un conjunto B ∈ Σ, B ⊂ E0 con µ(B) >

0.

La condición 1 junto con Lema A.32 nos permitirán completar la demostración.

Demostremos 1. Sea E0 ∈ Σ con µ-medida positiva. Así existe k ∈ N suficiente-mente grande tal que

µ(E0) >|G|(E0)

k(3.14)

Consideremos la medida escalar kµ − |G| restringida a los subconjuntos de E0 enΣ. Por el Teorema de Descomposición de Hahn para el caso escalar (ver [A.3],pág.81) podemos encontrar conjuntos Bk, Nk ⊂ Σ tal que Bk, Nk ∈ E0, Bk ∩ Nk = ∅

y E0 = Bk ∪ Nk con

(kµ − |G|) (E) ≥ 0 para toda E ∈ Σ tal que E ⊂ Bk

(kµ − |G|) (E) ≤ 0 para toda E ∈ Σ tal que E ⊂ Nk

Notamos además que µ(Bk) > 0, pues de no ser así tendríamos µ(Bk) = 0 y comoG es µ-continua entonces |G|(Bk) = 0, así

|G|(E0) = |G|(Nk)

µ(E0) = µ(Nk)


Por tanto kµ(E0) = kµ(Nk) ≤ |G|(Nk) = |G|(E0). Entonces

kµ(E0) ≤ |G|(E0)

o

µ(E0) ≤|G|(E0)

k,

lo cual contradice (3.14).

Llamemos B a dicho conjunto Bk. Hemos así encontrado un subconjunto B de E0,B ∈ Σ, µ(B) > 0 tal que

|G|(E) ≤ kµ(E) para toda E ∈ Σ con E ⊂ B.

Definamos para una función simple

f =n∑

i=1

xiχEi

donde xi ∈ X, Ei ∈ Σ y Ei ∩ Ej = ∅ si i 6= j,

l( f ) =n∑

i=1

G(Ei ∩ B)(xi).

Entonces

|l( f )| =

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

G(Ei ∩ B)

µ(Ei ∩ B)(µ(Ei ∩ B)xi)

∣∣∣∣∣

≤n∑

i=1

∣∣∣∣G(Ei ∩ B)

µ(Ei ∩ B)(µ(Ei ∩ B)xi)

∣∣∣∣

≤n∑

i=1

‖G(Ei ∩ B)‖X∗

µ(Ei ∩ B)‖µ(Ei ∩ B)xi‖X

≤n∑

i=1

|G|(Ei ∩ B)

µ(Ei ∩ B)‖µ(Ei ∩ B)xi‖

≤ kk∑

i=1

‖µ(Ei ∩ B)xi‖

≤ k‖ f ‖1

≤ kµ(Ω)1/q‖ f ‖p.

Puesto que l es lineal en la familia de funciones simples de Lp(µ, X) y es continuadebido a la estimación anterior entonces tiene una extensión lineal acotada a todoel espacio Lp(µ, X) y con la misma norma.

3.2 Aplicaciones 81

Por hipótesis existe g ∈ Lq(µ, X∗) tal que

l( f ) =

∫

Ω

〈 f , g〉dµ para toda f ∈ Lp(µ, X).

ComoG(E ∩ B)(x) = l (xχE) =

∫

E〈x, g〉dµ

para toda x ∈ X y E ∈ Σ, entonces dado que toda g ∈ Lq(µ, X∗) es Bochnerintegrable, usando Teorema 2.19 aplicado al operador Tx : X∗ → C tal que Tx(ϕ) =

ϕ(x) obtenemos

G(E ∩ B)(x) =

(∫

Egdµ

)(x) para toda x ∈ X

y para toda E ∈ Σ. Entonces

G(E ∩ B) =

∫


Hemos así demostrado 1.

Para finalizar, por el Lema A.32 tenemos que existe (An)∞

n=1 ⊂ Σ tal que Ai ∩ Aj =

∅ si i 6= j, Ω = ∪∞

n=1An y además existe gn ∈ Lq(µ, X∗) tal que

G(E ∩ An) =

∫

Egndµ para toda n ∈ N

y para toda E ∈ Σ.

Así,

|G|(An) = |G|(Ω ∩ An) =

∫

Ω

‖gn‖dµ = ‖gn‖1.

Entonces∞∑

n=1

‖gn‖1 =∞∑

n=1

|G|(An) = |G|(Ω) < ∞.

Por consiguiente

g =∞∑

n=1

gn converge en L1(µ, X∗),

y para toda E ∈ Σ

G(E) =∞∑

n=1

G(E ∩ An) =∞∑

n=1

∫

Egndµ

=

∫

E

(∞∑

n=1

gn

)dµ =

∫

Egdµ.


Queda así demostrada la implicación y todo el teorema.

Es posible dar una descripción de Lp(µ, X)∗, 1 ≤ p < ∞, cuando X∗ no tiene lapropiedad de Radon-Nikodým. Se puede demostrar que Lp(µ, X)∗ ∼= Vq(µ, X∗), elespacio de todas las medidas vectoriales con valores en X∗ que tienen q-variaciónacotada, donde 1

q + 1p = 1 (ver [A.3], pág. 115).

Finalizaremos esta sección con los siguientes comentarios:

Hasta el momento, sólo hemos dado dos ejemplos de espacios que no tienen lapropiedad de Radon-Nikodým, a saber, c0 y L1(µ) cuando µ no tiene átomos.También vimos que si µ es puramente atómica entonces todo espacio de BanachX tiene la propiedad de Radon-Nikodým con respecto a µ.

Es natural preguntarse qué espacios de Banach tienen la propiedad de Radon-Nikodým. El siguiente resultado nos proporciona una familia de ejemplos.

Proposición 3.16. Los espacios de Hilbert tienen la propiedad de Radon-Nikodým.

Demostración.

Sea H un espacio de Hilbert y (Ω, Σ, µ) un espacio de medida finita. EntoncesL2(µ, H) es él mismo un espacio de Hilbert y por el Teorema de Representaciónde Riesz para espacios de Hilbert existe una isometría sobre entre L2(µ, H) yL2(µ, H)∗, la cual es lineal conjugada.

Así, podemos permitirnos la identificación

L2(µ, H) = L2(µ, H)∗

De igual modo, podemos identificar H = H∗. Luego

L2(µ, H)∗ = L2(µ, H∗)

y debido al Teorema anterior, se sigue que H = H∗ tiene la propiedad de Radon-Nikodým.

Aunque no lo haremos en esta tesis, se pueden demostrar resultados más téc-nicos que nos permiten dar más ejemplos de espacios de Banach con la propiedadde Radon-Nikodým.

Por ejemplo puede demostrarse que (C[0, 1], ‖ ‖∞) no tiene la propiedad de Radon-Nikodým (ver [A.3], ejemplo 8, pág. 73).

3.2 Aplicaciones 83

Asimismo, puede demostrarse que los espacios de Banach reflexivos tienen lapropiedad de Radon-Nikodým (ver [A.3], Corolario 13, pág. 76).

Recordemos que un espacio de Banach X es reflexivo si la inclusión canónica

X −→ X∗∗

x 7−→ x,

donde x( f ) = f (x), es sobreyectiva (sabemos que este mapeo es siempre unaisometría lineal).

Los espacios de Hilbert son ejemplos particulares de espacios reflexivos. Otrosejemplos conocidos son los espacios de Lebesgue Lp(m), 1 < p < ∞, esto debidoal Teorema de Representación de Riesz para estos espacios. Aquí m es la medidade Lebesgue en Rn, aunque el resultado es también cierto si m es cualquier medidaσ-finita.

Finalmente, puede demostrarse que la propiedad de Radon-Nikodým de un espa-cio de Banach X respecto a (Ω, Σ, µ) es “independiente” de este espacio de mediday sólo depende del espacio (T ,B, λ) donde T = ∂D la frontera del disco unitario,B los borelianos de T y λ la medida de Lebesgue normalizada en T , es decir,dλ = dx

2π .

La prueba de esta afirmación está sustentada en los siguientes resultados.

Teorema 3.17. Si (Ω, Σ, µ) es un espacio de medida σ-finito entonces exis-ten medidas υ

y ρ sobre Σ, tales que υ es puramente atómica, ρ no tiene átomos y

µ = υ + ρ.

Demostración.

(Referencia: ver [A.3], pág. 82)

Teorema 3.18. Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida finita.

1. Si (Ω, Σ, µ) es puramente atómico, entonces todo espacio de Banach tiene la propiedad

de Radon-Nikodým con respecto a (Ω, Σ, µ).

2. Si µ no es puramente atómica, entonces un espacio de Banach tiene la propiedad

de Radon-Nikodým respecto a (T ,B, λ) si y sólo si tiene la propiedad de Radon-

Nikodým respecto a (Ω, Σ, µ).

Demostración.

La primera afirmación fue demostrada en las Observaciones 3.8, inciso 3. La se-gunda afirmación puede consultarse en [A.3], pág. 21-24.

Y para concluir esta sección referimos al lector a [A.3], pág. 218-219, para consultaruna lista amplia de espacios de Banach con la propiedad de Radon-Nikodým ysin dicha propiedad.

4Capítulo

La Propiedad deRadon-Nikodým y el Teoremade Fatou

En este último capítulo demostraremos la equivalencia entre el Teorema deRadon-Nikodým y el Teorema de Fatou sobre la existencia de límites radiales encasi todo punto de funciones armónicas y acotadas definidas en el disco unitarioy con valores en un espacio de Banach X.

Para comprender el caso vectorial necesitamos la teoría escalar, la cual se estudiaráen la siguiente sección.

4.1. Funciones Armónicas y Representación de Poisson: el

caso escalar

Sea Ω ⊂ Rn un abierto y conexo, y f : Ω → C. Diremos que f es armónica sif ∈ C2(Ω) y satisface la ecuación de Laplace ∆ f = 0, donde

∆ =n∑

j=1

∂2

∂x2j

Nos centraremos en el estudio de funciones armónicas en el plano. Si F ∈ H(Ω),es decir, F es función holomorfa en Ω ⊂ R2, entonces F es armónica y u = Re(F),v = Im(F) son armónicas a valores reales.

El siguiente Teorema es un resultado muy sencillo de verificar utilizando lasecuaciones de Cauchy-Riemman.

Teorema 4.1. Sea u una función definida en Ω con valores en R donde Ω ⊂ R2 y es

simplemente conexo. Entonces u es armónica en Ω si y sólo si existe F ∈ H(Ω) tal que

u = Re(F).

86 La Propiedad de Radon-Nikodým y el Teorema de Fatou

Teorema 4.2. Sea u una función armónica con valores reales definida en el disco D(0, R).

Entonces u tiene la siguiente representación

u(

reiθ)

=∞∑

k=−∞

akr|k|eikθ (4.1)

para 0 ≤ r < R, −π ≤ θ ≤ π y la convergencia es uniforme en compactos de D(0, R).

Demostración.

Existe F ∈ H (D(0, R)) tal que u = ReF, además

F(z) =∞∑

k=0

ckzk

en D(0, R), con convergencia uniforme en compactos de D(0, R).

Así,

u(z) =F(z) + F(z)

2,

con z = reiθ , 0 ≤ r = |z| < R, −π ≤ θ ≤ π. Entonces

u(reiθ) =12

[∞∑

k=0

ckrkeikθ +∞∑

k=0

ckrke−ikθ

].

Definiendo a0 = 12 (c0 + c0) = Re(c0)

si k > 0 ak = ck.

si k < 0 ak = ck.

Obtenemos

u(reiθ) =∞∑

k=−∞

akr|k|eikθ ,

con convergencia uniforme en compactos de D(0, R).

Supongamos que R > 1 y restrinjamos (4.1) al círculo unitario (r = 1). Generamosla función

t → u(eit),

con t ∈ [−π, π], tal que

u(eit) =∞∑

k=−∞

akeikt,

4.1 Funciones Armónicas y Representación de Poisson: el caso escalar 87

la cual converge uniformemente para t ∈ [−π, π].

Calculemos el coeficiente de Fourier de esta función correspondiente a la frecuen-cia n

12π

∫ π

−πu(eit)e−int =

12π

∫ π

−π

(∞∑

k=−∞

akeikt

)e−intdt

=∞∑

k=−∞

ak1

2π

∫ π

−πei(k−n)tdt

= an.

Substituyendo en (4.1) obtenemos

u(

reiθ)

=∞∑

k=−∞

(1

2π

∫ π

−πu(eit)e−iktdt

)r|k|eikθ

=1

2π

∫ π

−π

(∞∑

k=−∞

r|k|ek(θ−t)

)u(eit)dt.

Definición 4.3. El núcleo de Poisson para el disco unitario D es la función

Pr(t) =∞∑

k=−∞

r|k|eikt t ∈ [−π, π]. (4.2)

La serie (4.2) converge uniformemente si 0 ≤ r < 1.

Además observemos que

∞∑

k=−∞

r|k|eikt = 1 +∞∑

k=1

rkeikt +∞∑

k=1

rke−ikt

= 1 + 2Re∞∑

k=1

(reit)k

= 1 + 2Re

[1

1 − reit− 1]

=1 − r2

1 − 2r cos t + r2 .

Por tanto

Pr(t) =∞∑

k=−∞

r|k|eikt =1 − r2

1 − 2r cos t + r2 t ∈ [−π, π].


También observemos que1 − r

1 + r≤ Pr(t) ≤ 1 + r

1 − r

para r ∈ [0, 1) y para toda t ∈ [−π, π].

Así, de todo lo anterior podemos concluir:

Teorema 4.4. Sea u armónica real definida en D(0, R) donde R > 1. Entonces

u(reiθ) =1

2π

∫ π

−πPr(θ − t)u(eit)dt

= (Pr ∗ u1) (θ),

para 0 ≤ r < R y −π ≤ θ ≤ π, donde u1(t) = u(eit).

Haciendo algunos cálculos podemos observar fácilmente que

Pr(t) =∞∑

k=−∞

r|k|eikt =1 − r2

1 + r2 − 2r cos t= Re

[1 + z

1 − z

], (4.3)

con t ∈ [−π, π], 0 < r < 1, z = reit, de donde se observa claramente que P(z) =

Pr(t) es armónica como función de z.

Propiedades 4.5. 1. Pr(t) es positivo, continuo y 2π-periódico como función de t ∈R.

2. Para toda r ∈ (0, 1)1

2π

∫ π

−πPr(t)dt = 1.

3. Para toda δ > 0sup

δ<|t|≤π

Pr(t) −→ 0,

cuando r → 1.

Demostración.

1. Se obtiene directamente de (4.3) y dado que para t ∈ R

1 − r

1 + r≤ Pr(t) ≤ 1 + r

1 − r.

2.

12π

∫ π

−πPr(t)dt =

12π

∫ π

−π

∞∑

k=−∞

r|k|eiktdt

=∞∑

k=−∞

r|k|1

2π

∫ π

−πeiktdt

= 1.


3. Supongamos que δ < |t| ≤ π. Dado que cos δ ≥ cos |t| = cos t, tenemos que

Pr(t) =1 − r2

1 + r2 − 2r cos t

≤ 1 − r2

1 + r2 − 2r cos δ

≤ 1 − r2

1 − cos2 δ.

Por tanto

0 ≤ Pr(t) ≤ 1 − r2

1 − cos2 δ−→ 0,

cuando r → 1. Asísup

δ<|t|≤π

Pr(t) −→ 0,

cuando r → 1.

El núcleo de Poisson es un caso particular de:

Definición 4.6. Una identidad aproximada (o una aproximación de la identidad) en T =

∂D, D el disco unitario, es una familia de funciones en L1(T ), (φα)α∈I donde I es un

conjunto dirigido que cumple:

1.

supα∈I

12π

∫ π

−π|φα(t)|dt ≡ K < ∞.

2. Para toda α ∈ I1

2π

∫ π

−πφα(t) = 1.

3. Para toda δ > 0 ∫

δ<|t|≤π|φα(t)|dt −→ 0.

Proposición 4.7. Sea u : D → C. Entonces u es armónica y

sup0≤r<1

12π

∫ π

−π|u(reit)|pdt ≡ M < ∞. (4.4)

donde 1 < p < ∞, si y sólo si existe una función f ∈ Lp(T ) tal que

u(reiθ) =1

2π

∫ π

−πPr(θ − t) f (t)dt

= (Pr ∗ f )(θ),


para 0 ≤ r < 1, −π ≤ θ ≤ π.

Además si ur(θ) = u(reiθ), con θ ∈ [−π, π], entonces para toda 0 < r < 1(

12π

∫ π

−π

∣∣∣u(reit)∣∣∣

pdt

)1/p

≤ ‖ f ‖p si 1 < p < ∞.

Demostración.

(=⇒) Sea (rn)∞

n=1 una sucesión en (0, 1) tal que rn ր 1. Sea

fn(t) = u(rneit),

entonces para toda n ∈ N

‖ fn‖pp =

12π

∫ π

−π|u(rneit)|pdt ≤ M,

entonces ( fn)∞

n=1 se encuentra en una bola cerrada del espacio Lp(T ) ∼=(

Lp′(T ))∗

,

con 1p + 1

p′ = 1, y por el Teorema de Banach Alaoglu dicha bola es débil-* compactay siendo Lp′ separable, entonces dicha bola es metrizable en la topología débil-*.Así, existe una subsucesión de ( fn)∞

n=1 (que denotaremos del mismo modo parasimplificar notación) y una función f ∈ Lp(T ) tal que fn → f en la topologíadébil-* de (Lp′(T ))∗ = Lp(T ). Así para toda g ∈ Lp′(T ) tenemos

12π

∫ π

−πfn(t)g(t)dt −→ 1

2π

∫ π

−πf (t)g(t)dt,

cuando n → ∞, esto es

12π

∫ π

−πu(rneit)g(t)dt −→ 1

2π

∫ π

−πf (t)g(t)dt

cuando n → ∞.

Para g(t) = Pr(θ − t) ∈ Lp′(t)

12π

∫ π

−πPr(θ − t)u(rneit)dt −→ 1

2π

∫ π

−πPr(θ − t) f (t)dt, (4.5)

cuando n → ∞.

La función definida en D(0, r−1n ), z 7→ u(rnz), es armónica en un disco de radio

r > 1. Así, por el Teorema 4.4 el lado izquierdo de (4.5) es u(rnreiθ). Por tanto

u(

rnreiθ)−→ 1

2π

∫ π


cuando n → ∞, y como u(rnreiθ

)→ u(reiθ) cuando rn → 1, se sigue que

u(reiθ) =1

2π

∫ π

−πPr(θ − t) f (t)dt.


(⇐=) Veamos que u es armónica y que

sup0≤r<1

12π

∫ π

−π|u(reit)|pdt ≡ M < ∞.

En efecto:

u(reiθ) =1

2π

∫ π


=1

2π

∫ π

π

∞∑

k=−∞

r|k|eik(θ−t) f (t)dt

=∞∑

k=−∞

r|k|eikθ

[1

2π

∫ π

−πf (t)e−iktdt

].

Sea

ak = f (k) =1

2π

∫ π

−πf (t)e−iktdt k ∈ Z.

Entonces si f toma valores reales

u(reiθ) =∞∑

k=−∞

akr|k|eikθ

= 1 +∞∑

k=1

akrkeikθ +∞∑

k=1

a−krke−ikθ

= 1 +∞∑

k=1

akrkeikθ +∞∑

k=1

akrke−ikθ

= 1 + 2Re∞∑

k=1

akrkeikθ

= Re

[1 + 2

∞∑

k=1

ak

(reiθ)k]

.

Es decir

u(z) = Re

[1 + 2

∞∑

k=1

akzk

],

por tanto u es armónica.

Si f toma valores en C

u(reiθ) = Pr ∗ (Re f + iIm f )(θ)

= (Pr ∗ Re f )(θ) + i(Pr ∗ Im f )(θ).

Por tanto u es armónica.


Ahora si 1 < p < ∞, f ∈ Lp(T ) entonces

‖u(rei·)‖p ≤ 12π

∫ π

−πPr(t)‖ f (· − t)‖pdt

= ‖ f ‖p1

2π

∫ π

−πPr(t)dt

= ‖ f ‖p,

donde la desigualdad se debe a la desigualdad integral de Minkowski y la últimaigualdad a la Propiedad 4.5 inciso 2.

Proposición 4.8. Sea u : D → C. Entonces u es armónica en el disco unitario D y u está

uniformemente en L∞(T ) es decir:

sup|u(reit)| ≡ M < ∞ : 0 ≤ r ≤ 1,−π ≤ t ≤ π

, (4.6)

si y sólo si existe f ∈ L∞(T ) tal que

u(reiθ) =1

2π

∫ π


= (Pr ∗ f )(θ),

con 0 ≤ r < 1 y −π ≤ θ ≤ π.

Además si ur(θ) = u(reiθ) con θ ∈ [−π, π]

sup0≤r<1

‖ur‖∞ ≤ ‖ f ‖∞.

Demostración.

Es la misma prueba que la de la proposición anterior pero ahora observandoque L∞(T ) =

(L1(T )

)∗ y que L1(T ) es separable. Además, supongamos quef ∈ L∞(T ), entonces

|u(reiθ)| ≤ 12π

∫ π

−πPr(t)| f (θ − t)|dt

≤ ‖ f ‖∞

12π

∫ π

−πPr(t)dt

= ‖ f ‖∞.

En el siguiente teorema observaremos qué ocurre cuando p = 1.


Teorema 4.9. Sea u : D → C. Entonces u es armónica en D y está uniformemente en

L1(T ), es decir

sup0≤r<1

∫ π

−π|u(reit)|dt ≡ M < ∞, (4.7)

si y sólo si existe una medida de Borel compleja en T tal que

u(reit) =1

2π

∫ π

−πPr(θ − t)dµ(t) = (Pr ∗ µ)(θ)

En tal caso, si ur(θ) = u(reiθ), con θ ∈ [−π, π]

sup0<r<1

‖ur‖1 ≤ 12π

|µ|(T).

Demostración.

(=⇒) sea (rn)∞

n=1 una sucesión tal que rn ր 1 y fn(t) = u(rneit). Dado que

‖ fn‖1 =

∫ π

−π

∣∣∣u(

rneit)∣∣∣ dt ≤ M

( fn) está en una bola cerrada de L1(T ) → M(T ) = (C(T ))∗, donde M(T ) es elespacio de Banach formado por las medidas de Borel complejas en T con la norma‖µ‖ = |µ|(T ), pues dada f ∈ L1(T )

L1(T ) → M(T )

f 7−→ µ f ,

dondeµ f (E) =

12π

∫

Ef (x)dx.

y además

‖µ f ‖ = |µ f |(T ) =1

2π

∫

T| f |dx = ‖ f ‖1,

donde la primera igualdad se tiene por definición y la segunda fue demostradaen el Teorema 2.17.

Como M(T ) es isométricamente isomorfo a (C(T ))∗ y C(T ) es separable dichabola es débil-* compacta y es metrizable en esa topología. Así existe una subsuce-sión de ( fn)∞

n=1 que denotaremos de la misma forma y µ ∈ M(T ) tal que fn → µ

en la topología débil-* de (C(T ))∗, esto es: para toda g ∈ C(T )

12π

∫ π

−πfn(t)g(t)dt −→ 1

2π

∫ π

−πg(t)dµ(t).


Sea g(t) = Pr(θ − t) la cual es continua en T , entonces

u(rnreit) =1

2π

∫ π

−πPr(θ − t)u(rneit)dt −→ 1

2π

∫ π

−πPr(θ − t)dµ(t),

y comou(rnreit) −→ u(reiθ)

cuando n → ∞, se sigue que

u(reiθ) =1

2π

∫ π

−πPr(θ − t)dµ(t).

(⇐=)

u(reiθ) =1

2π

∫ π

−π

∞∑

k=−∞

r|k|eik(θ−t)dµ(t)

=∞∑

k=−∞

r|k|eikθ

[1

2π

∫ π

−πe−iktdµ(t)

]

=∞∑

k=−∞

akr|k|eikθ , (4.8)

donde

ak = µ(k) =1

2π

∫ π

−πe−iktdµ(t),

los coeficientes de Fourier de µ.

Supongamos que µ toma valores reales, de (4.8) tenemos que

u(reiθ) = a0 +∞∑

k=1

akrkeikθ +∞∑

k=1

a−krke−ikθ

= a0 + 2Re∞∑

k=1

akrkeikθ ,

y haciendo z = reiθ tenemos que

u(reiθ) = Re

[a0 + 2

∞∑

k=1

akzk

],

la cual es armónica en D pues a0 + 2∑

∞

k=1 akzk es holomorfa en D.

Ahora, si µ toma valores en C se escribe µ = µ1 + iµ2, con µ1 y µ2 reales y se aplicael caso anterior.

4.2 Comportamiento Frontera de Integrales de Poisson 95

Finalmente

12π

∫ π

−π|u(reit)|dt =

12π

∫ π

−π

∣∣∣∣1

2π

∫ π

−πPr(θ − t)dµ(t)

∣∣∣∣ dt

≤ 12π

∫ π

−π

12π

∫ π

−πPr(θ − t)d|µ|(t)dt

=1

2π

∫ π

−π

[1

2π

∫ π

−πPr(θ − t)dt

]d|µ|(t)

=1

2π|µ|(T ),

donde la penúltima igualdad se tiene por el Teorema de Fubini y la última igual-dad por la Propiedad 4.5 inciso 2.

Corolario 4.10. Sea u armónica en D y positiva, entonces existe una medida de Borel

positiva µ en T tal que u = P(µ), es decir,

u(reiθ) =1

2π

∫ π


Demostración.

Para cada r ∈ (0, 1)

12π

∫ π

−π|u(reit)|dt =

12π

∫ π

−πu(reit)dt = u(0),

donde la última igualdad se debe a la Propiedad del Valor Medio para funcionesholomorfas.

Por tanto u está uniformemente en L1(T ) y así existe µ ∈ M(T ) tal que

u(reiθ) =1

2π

∫ π


Además µ es positiva porque es el límite débil-* de medidas positivas.

4.2. Comportamiento Frontera de Integrales de Poisson

Teorema 4.11. Sea (φα)α∈I una identidad aproximada en T y sea f una función 2π

periódica. Entonces

1. φα ∗ f → f en Lp(T ) siempre que f ∈ Lp(T ), 1 ≤ p < ∞.

2. φα ∗ f → f uniformemente en T si f ∈ C(T ).


Demostración.

1. Supongamos que f ∈ Lp(T ), 1 ≤ p < ∞

|(φα ∗ f )(θ) − f (θ)| =

∣∣∣∣1

2π

∫ π

−πf (θ − t)φα(t)dt − 1

2π

∫ π

−πf (θ)φα(t)dt

∣∣∣∣

≤ 12π

∫ π

−π| f (θ − t) − f (θ)| |φα(t)|dt

Por la desigualdad integral de Minkowski

‖φα ∗ f − f ‖p ≤ 12π

∫ π

−π‖ f (· − t) − f ‖p|φα(t)|dt

=1

2π

∫

|t|≤δ‖ f (· − t) − f ‖p|φα(t)|dt

+1

2π

∫

δ<|t|≤π‖ f (· − t) − f ‖p|φα(t)|dt

≤ sup|t|<δ

‖ f (· − t) − f ‖p1

2π

∫

|t|<δ|φα(t)|dt

+‖ f ‖p

π

∫

δ<|t|≤π|φα(t)|dt,

donde δ la elegiremos de la siguiente manera:

Mostraremos que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

‖ f (· − t) − f ‖p < ε si |t| < δ,

y así, sup ‖ f (· − t) − f ‖p ≤ ε si |t| < δ. En efecto:

Sea ε > 0, existe g ∈ C(T ) tal que ‖ f − g‖p < ε. Para θ ∈ [−π, π], sean ft(θ) =

f (θ − t) − f (θ), gt(θ) = g(θ − t) − g(θ). Entonces

‖ ft‖p ≤ ‖ ft − gt‖p + ‖gt‖p

≤ ‖ f (· − t) − g(· − t)‖p + ‖ f − g‖p + ‖gt‖p

< 2ε + ‖gt‖p. (4.9)

Como gt(θ) → 0 si t → 0, y para toda t y θ ∈ [−π, π] |gt(θ)| ≤ 2‖g‖∞, por elTeorema de Convergencia Dominada tenemos que ‖gt‖p → 0 si t → 0.

Es decir, existe δ > 0 tal que |t| < δ implica ‖gt‖p < ε. Por tanto, de (4.9) si |t| < δ

se sigue que ‖ ft‖p < 3ε, y ‖ f (· − t) − f (·)‖p < 3ε.


Así, para el δ hallado previamente

‖φα ∗ f − f ‖p ≤ sup|t|≤δ

‖ f (· − t) − f ‖p1

2π

∫ δ

−δ|φα(t)|dt +

‖ f ‖p

π

∫

δ<|t|≤π|φα(t)|dt

≤ 3ε1

2π

∫ π

−π|φα(t)|dt +

‖ f ‖p

π

∫


≤ εK +‖ f ‖p

πε,

si α es “suficientemente grande”, por la Definición 4.6.

2. Ahora sea f ∈ C(T ), como f es uniformemente continua en T , dado ε > 0existe δ > 0 tal que |u − v| < δ implica | f (u) − f (v)| < ε.

Entonces para toda θ ∈ [−π, π]

|( f ∗ φα)(θ)− f (θ)| ≤ 12π

∫ π

−π| f (θ − t) − f (θ)||φα(t)|dt

=1

2π

∫

|t|<δ| f (θ − t) − f (θ)| |φα(t)|dt

+1

2π

∫

δ<|t|≤π| f (θ − t) − f (θ)| |φα(t)|dt

≤ ε

2π

∫ π

−π|φα(t)|dt +

‖ f ‖∞

π

∫


≤ εK + ε,

de nuevo por la Definición 4.6, si α es “suficientemente grande”.

Corolario 4.12. 1. Si f ∈ Lp(T ), 1 ≤ p < ∞ y u(reiθ) = (Pr ∗ f ) (θ) con 0 < r <

1, θ ∈ [−π, π]. Entonces

12π

∫ π

−π

∣∣∣u(reit) − f (t)∣∣∣

pdt −→ 0,

cuando r → 1.

2. Si f ∈ C(T ), u(reiθ) = (Pr ∗ f )(θ) con reiθ ∈ D. Entonces

u(reit) −→ f (t) uniformemente en t ∈ [−π, π],

cuando r → 1.

Demostración.

Como (Pr)0<r<1 es una identidad aproximada el resultado se sigue directamentedel teorema anterior.


Observemos que con los resultados anteriores podemos resolver el Pro-blema

Clásico de Dirichlet, el cual afirma que dada una función f ∈ C(T ) podemoshallar una función u : D → C tal que u es armónica en D, u es continua en D y u

restringida a la frontera de D coincide con f . Una solución de este problema (dehecho es única) es la función u : D → C tal que

u(reiθ) =

(Pr ∗ f )(θ) si 0 ≤ r < 1f (θ) si r = 1

En efecto, sabemos que u(reiθ) = (Pr ∗ f )(θ) ≡ u(reiθ) es armónica y además u

coincide con f en la frontera de D. Sólo falta probar que u es continua en ∂D.

Sea θ0 ∈ [−π, π] y z = reiθ , con 0 ≤ r < 1, donde z0 = eiθ ∈ ∂D. Entonces debidoa la continuidad de f y al Corolario 4.12 parte 2 tenemos

|u(z) − u(z0)| = |u(z) − f (θ0)| = |u(z) − f (θ)| + | f (θ) − f (θ0)|= |u(reiθ) − f (θ)| + | f (θ) − f (θ0)| −→ 0,

si z = reiθ −→ z0 = eiθ0 . Y si r = 1

|u(z) − u(z0)| = | f (θ) − f (θ0)| −→ 0,

si z = reiθ −→ z0 = eiθ0 . Con esto queda resuelto el Problema clásico de Dirichlet.

Para el caso p = ∞ se tiene el siguiente resultado cuya prueba, aunque sencilla,la omitiremos para no abultar demasiado esta sección. El lector interesado puedeconsultar [A.3], pág. 11.

Teorema 4.13. Sea (φα)α∈I una identidad aproximada en T . Entonces

1. Si f ∈ L∞(T ) y fα = φα ∗ f tenemos que fα → f en la topología débil-* de M(T ).

2. Si µ ∈ M(T ) y fα = φα ∗ µ se tiene que fα → µ en la topología débil-* de M(T ).

Corolario 4.14. 1. Sea f ∈ L∞(T ) y u = P( f ), es decir u(reiθ) = (Pr ∗ f )(θ).

Entonces u(reiθ) → f cuando r → 1 en la topología débil-* de L∞(T ).

2. Sea µ ∈ M(T ) y

u = P(µ) =1

2π

∫ π


Entonces u(rei·) → µ, cuando r → 1 en la topología débil-* de M(T ).


Ωc(z0)

z0

Figura 4.1: Región de convergencia no tangencial

Enseguida abordamos el estudio del comportamiento frontera puntual de la in-tegral de Poisson de una medida. De manera más general examinamos el com-portamiento no tangencial, es decir, cuando nos aproximamos a la frontera sobreregiones del tipo 4.1, en las cuales ninguna curva que se aproxime a z0 puede sertangente a ∂D.

Teorema 4.15. Sean µ en M(T ) y u = P(µ). Sea

F(θ) =

∫ θ

0dµ(t), θ ∈ [−π, π].

Entonces F es una función de variación acotada en [−π, π] y por tanto exis-te F′(θ) para

casi toda θ en [−π, π]. Sea θ1 uno de tales puntos. Entonces u(reiθ) → F′(θ1) cuando

z = reiθ N.T.→ eiθ1 (no tangencialmente), es decir: u(reiθ) → F′(θ1) cuando z = reiθ se

mueve dentro de la siguiente región

reiθ : |θ − θ1| < c(1 − r) (4.10)

para cada c > 0. (A este límite le llamamos límite no tangencial).

Demostración. Sin pérdida de generalidad supongamos que θ1 = 0 y que F′(θ1) =

F′(0) = 0, pues una vez mostrado el Teorema para este caso el caso general pro-cede considerando la medida dλ(t) = dµ(t) − F′(0)dt.

Sea ε > 0, como F es diferenciable en 0 y F′(0) = 0, existe δ > 0 tal que∣∣∣∣F(t)

t

∣∣∣∣ < ε si |t| < δ.

Podemos elegir |1 − r| suficientemente pequeno tal que c(1 − r) <δ4 . Así |θ| <

δ4 .


Demostraremos que u(reiθ) → F′(θ1) = 0 uniformemente en θ para r suficiente-mente cerca de 1.

Podemos escribir

u(reiθ) =1

2π

∫ π

−πPr(θ − t)dµ(t)

=1

2π

∫

δ<|t|<πPr(θ − t)dµ(t) +

12π

∫ δ

−δPr(θ − t)dµ(t). (4.11)

Nótese que∣∣∣∣∣

12π

∫

δ<|t|<πPr(θ − t)dµ(t)

∣∣∣∣∣ ≤1

2π

∫

δ<|t|<πPr(θ − t)d|µ|(t)

≤ 12π

sup|t|> δ

2

Pr(t)

∫ π

−πd|µ|(t),

pues obsérvese que si |t| > δ y |θ| < δ/4

|θ − t| ≥ |t| − |θ| > δ − δ/4 ≥ δ/2,

y comosup

|t|>δ/2Pr(t) −→ 0 cuando r → 1

se tiene que1

2π

∫

δ<|t|≤πPr(θ − t)d|µ|(t) −→ 0,

cuando r → 1.

Ahora estimemos el sumando restante en (4.11); integrando por partes tene-mos:

12π

∫ δ

−δPr(θ − t)dµ(t) =

12π

[Pr(θ − t)F(t)]δ−δ −1

2π

∫ δ

−δF(t)

∂Pr(θ − t)

∂tdt. (4.12)

Se tiene que

12π

[Pr(θ − t)F(t)]δ−δ =1

2πPr(θ − δ)F(δ) − 1

2πPr(θ + δ)F(−δ).

Pero |θ ± δ| ≥ |δ| − |θ| > δ − δ/4 > δ/2, por tanto

Pr(θ ± δ) ≤ sup|t|>δ/2

Pr(t) −→ 0,

cuando r → 1.


De aquí y por (4.12) el problema se reduce a estudiar la integral

12π

∫ δ

−δ

∂Pr(θ − t)

∂tF(t)dt =

12π

∫ δ

−δ

2(1 − r2)r sen(θ − t)

(1 − 2r cos(θ − t) + r2)2 F(t)dt.

Podemos tomar sin pérdida de generalidad θ > 0 y dividir a esta integral en

12π

[∫ 0

−δ+

∫ 2θ

0+

∫ δ

2θ

]2(1 − r2)r sen (θ − t)

(1 − 2r cos(θ − t) + r2)2 F(t)dt. (4.13)

Para el primer sumando, usamos

|F(t)| < ε|t| = ε(−t) ≤ ε(θ − t),

y haciendo el cambio de t por (θ − t) tenemos que

1π

∣∣∣∣∣

∫ θ+δ

θ

(1 − r2)r sen t

(1 − 2r cos t + r2)2 F(t)dt

∣∣∣∣∣ ≤ε

π

∫ θ+δ

θ

(1 − r2)r sen t

(1 − 2r cos t + r2)2 tdt

≤ ε

π

∫ π

0

(1 − r2)r sen t

(1 − 2r cos t + r2)2 tdt.

Ahora integramos por partes esta última integral y obtenemos

ε

2π

∫ π

0

2(1 − r2)r sen t

(1 − 2r cos t + r2)2 tdt =ε

2π

(− [tPr(t)]π0 +

∫ π

0Pr(t)dt

)

=ε

2π

(−[

t(1 − r2)

1 + r2 − 2r cos t

]π

0+ π

)

=ε

2π

[−π(1 − r)(1 + r)

1 + r2 + 2r+ π

]

=ε

2

[− (1 − r)

(1 + r)+ 1]

≤ ε

2< ε.

Para el segundo sumando de (4.13), usamos

|F(t)| < εt y |θ − t| < θ,


de lo cual se sigue que |sen(θ − t)| < θ, y así

12π

∣∣∣∣∣

∫ 2θ

0

2(1 − r2)r sen(θ − t)

(1 − 2r cos(θ − t) + r2)2 F(t)dt

∣∣∣∣∣ ≤ε

2π

∫ 2θ

0

2(1 − r)(1 + r)rθt

(1 − r)4 dt

≤ ε

2π

∫ 2θ

0

2(1 + r)rθt

(1 − r)3 dt

≤ ε

π

(1 + r)rθ

(1 − r)3

[t2

2

]2θ

0

=ε

π

(1 + r)rθ

(1 − r)38θ2

2

≤ 4ε

π

(1 + 1)

(1 − r)3 θ3

<8c3

πε.

Para el tercer sumando de (4.13) usamos

|F(t)| < εt ≤ 2ε(t − θ),

y hacemos lo mismo que con el primer sumando usando el cambio de t por t − θ.

.

Corolario 4.16. Sea f ∈ L1 ([−π, π]), y sea u = P( f ). Entonces u(z) → f (θ) cuando

zN.T.→ eiθ para casi toda θ ∈ T .

Demostración. Sea dµ(t) = f (t)dt, y

F(θ) =

∫ θ

0dµ(t) =

∫ θ

0f (t)dt.

Entonces por el Teorema de Diferenciación de Lebesgue F′(θ) = f (θ) ctp y así

u(z) −→ f (θ),

cuando zN.T.→ eiθ .

En particular para casi toda θ ∈ T existe el límite radial

lımr→1

u(reiθ) = f (θ).

Observemos que el corolario anterior también es válido para Lp(T ) con 1 ≤p ≤ ∞, ya que L∞(T ) ⊂ Lp(T ) ⊂ L1(T ) para 1 ≤ p ≤ ∞. Además si u : D → C es


armónica y u satisface (4.4) ó (4.6) o bien (4.7), entonces u tiene valores frontera notangenciales ctp (y por tanto radiales ctp). De modo particular tenemos el Teorema

de Fatou:

“Toda función armónica y acotada en D tiene valores frontera no

tangenciales ctp.” (4.14)

Como comentario adicional es pertinente señalar que la construcción de funcionesarmónicas en el disco unitario sin límites no tangenciales ctp. es un asunto notrivial. Por otra parte, en [A.3], vol. I, pág. 280, se hace la siguiente construccón:Sea γ0 una curva cerrada simple que pasa por el punto z = 1 y cuyos puntosrestantes yacen en el interior del círculo unitario. Supóngase además que γ0 estangente al círculo unitario en z = 1 y que γθ es la curva que se obtiene rotando aγ0 alrededor del origen por un ángulo θ. Entonces usando productos de Blaschkese puede construir una función F analítica y acotada definida en el disco unitariotal que, para casi toda θ, F(z) no tiende a algún límite cuando z tiende a eiθ dentrode γθ .

Por último, cabe destacar que cuando una función armónica u : D → C satisfaceque

sup0≤r<1

12π

∫ π

−π|u(reit)|pdt < ∞ para algún p > 1

entonces u se puede recuperar a través de su función frontera. De hecho, sabemosque u = P( f ) = (Pr ∗ f ).

Sin embargo, cuando p = 1, es decir, si u es tal que

sup0≤r<1

12π

∫ π

−π

∣∣∣u(reit)∣∣∣ dt < ∞ (4.15)

no siempre es posible recuperar a u sólo conociendo sus valores frontera no tan-genciales, pues u no es la integral de Poisson de su función frontera. Por ejemplo,sea

u(reit) = Pr(t) =∞∑

−∞

r|k|eikt,

la cual es una función armónica que satisface (4.15), su función frontera es 0, puesPr(t) → 0 cuando r → 1 para toda t 6= 0 en [−π, π]. Sin embargo u > 0, y nopuede ser la integral de Poisson del 0, la cual es idénticamente cero. De hechou = P(δ), donde δ es la delta de Dirac.


4.3. Funciones Armónicas Vectoriales

En esta sección demostraremos una caracterización muy útil de la armonicidaden el caso vectorial.

Definición 4.17. Sea u : D → X, donde X es un espacio de Banach, diremos que:

1. u es continua en x0 ∈ D si

lımx→x0

‖u(x)− u(x0)‖X = 0.

2. u es diferenciable en x0 ∈ D si existe u′(x0) ∈ X tal que

lımh→0

u(x0 + h) − u(x0)

h= u′(x0).

u′(x0) es la derivada de u en x0.

3. u es armónica si u ∈ C2(D, X), es decir, u es continua con segundas derivadas

continuas y cumple la ecuación de Laplace ∆u = 0.

4. u es débilmente armónica si 〈u(·), x∗〉 es armónica para toda x∗ ∈ X∗.

Proposición 4.18. Sea u : D → X, con X un espacio de Banach, y supóngase que

∂u

∂x1: D → X

existe. Entonces, para toda x∗ ∈ X se tiene que

∂

∂x1〈u(z), x∗〉 =

⟨∂

∂x1u(z), x∗

⟩.

Demostración.

Observemos que

〈u(z + h), x∗〉 − 〈u(z), x∗〉h

=

⟨u(z + h) − u(z)

h, x∗⟩

,

y como x∗ es continua entonces

∂

∂x1〈u(z), x∗〉 = lım

h→0

⟨u(z + h) − u(z)

h, x∗⟩

=

⟨lımh→0

u(z + h) − u(z)

h, x∗⟩

=

⟨∂u(z)

∂x1, x∗⟩

.

4.3 Funciones Armónicas Vectoriales 105

Por tanto∂

∂x1〈u(z), x∗〉 =

⟨∂

∂x1u(z), x∗

⟩.

Corolario 4.19. Si u ∈ C2(D, X), entonces para todo x∗ ∈ X∗

∆〈u(z), x∗〉 = 〈∆u(z), x∗〉.

Proposición 4.20. Sea X un espacio de Banach, u : D → X. Son equivalentes:

1. u es armónica.

2. u es débilmente armónica.

3. Para cada n ∈ Z existe cn ∈ X tal que

u(reiθ) =∞∑

n=−∞

cnr|n|einθ , (4.16)

donde la serie es absolutamente convergente en la topología de X y la convergencia

es uniforme sobre compactos de D.

Demostración.

1)⇒ 2). Como u es armónica tenemos que ∆u = 0. Sea x∗ ∈ X∗. Entonces

∆ 〈u(·), x∗〉 = 〈∆u(·), x∗〉 = 0,

por tanto u es débilmente armónica.

2) ⇒ 3). Sea reiθ ∈ D y elíjase r1 tal que r < r1 < 1. Por la representación usual dePoisson tenemos para ρ < r1

⟨u(ρeiθ), x∗

⟩=

12π

∫

TPρ(θ − t)

⟨u(r1eit), x∗

⟩dt

=1

2π

∫

T

⟨Pρ(θ − t)u(r1eit), x∗

⟩dt

=

⟨1

2π

∫

TPρ(θ − t)u(r1eit)dt, x∗

⟩.

Por lo tanto⟨

u(ρeiθ), x∗⟩

=

⟨1

2π

∫

TPρ(θ − t)u(r1eit)dt, x∗

⟩,


para toda x∗ ∈ X∗ y ρ < r1, de aquí que

u(ρeiθ) =1

2π

∫

TPρ(θ − t)u(r1eit)dt.

Si r < r2, con r2 6= r1 tenemos también para ρ < r2

⟨u(ρeiθ), x∗

⟩=

12π

∫

TPρ(θ − t)

⟨u(r2eit), x∗

⟩dt,

por lo que procediendo como antes obtenemos

12π

∫

TPρ(θ − t)u(r1eit)dt =

12π

∫

TPρ(θ − t)u(r2eit)dt, (4.17)

es decir, el valor de la integral no varía eligiendo cualquier r < R.

Ahora escribimos la representación en serie del núcleo de Poisson y obtenemos

u(ρeiθ) =1

2π

∫

T

(∞∑

n=−∞

ρ|n|ein(θ−t)

)u(r1eit)dt.

Por la convergencia absoluta en D(0, r1), y uniforme en D(0, r1) de la serie se tiene

12π

∫

T

(∞∑

n=−∞

ρ|n|ein(θ−t)

)u(r1eit)dt =

∞∑

n=−∞

(1

2π

∫

Tu(r1eit)e−intdt

)ρ|n|einθ .

Si llamamoscn =

12π

∫

Tu(r1eit)e−intdt,

por (4.17) tenemos que estos coeficientes están determinados de manera únicapara cada z ∈ D, pues si

12π

∫

Tu(r2eit)e−intdt,

es otra representación de cn, con r2 6= r1, r < r2, entonces

∞∑

n=−∞

(1

2π

∫

Tu(r1eit)e−intdt

)ρ|n|einθ =

12π

∫

T

(∞∑

n=−∞

ρ|n|ein(θ−t)

)u(r1eit)dt

=1

2π

∫

T

(∞∑

n=−∞

ρ|n|ein(θ−t)

)u(r2eit)dt

=∞∑

n=−∞

(1

2π

∫

Tu(r2eit)e−intdt

)ρ|n|einθ .

De aquí que1

2π

∫

Tu(r1eit)e−intdt =

12π

∫

Tu(r2eit)e−intdt,

4.4 Equivalencia del Teorema de Radon-Nikodým y el Teorema de Fatou 107

y por tanto los coeficientes cn están determinados de manera única para cadaz ∈ D. Además como la serie del núcleo de Poisson converge absolutamente enD(0, r1) y uniformemente en D(0, r1) y cn es acotado, se sigue que la serie

u(ρeiθ) =∞∑

n=−∞

cnρ|n|einθ

converge absolutamente en la topología de X y uniformemente en compactos deD.

3) ⇒ 1). Sea reiθ ∈ D. Debido a que la serie (4.16) es absolutamente convergente yconverge uniformemente en compactos de D, podemos intercambiar el laplacianocon la serie (ver [A.3] Teorema 1.26, pág. 20) y obtener

∆u(reiθ) = ∆

(∞∑

n=−∞

r|n|cneinθ

)

=∞∑

n=−∞

∆

(cnr|n|einθ

).

Ahora aplicamos la forma polar de la ecuación de Laplace con v(reiθ) = r|n|einθ

para obtener

∆cnr|n|einθ = cn∆r|n|einθ

= cn

∂2v

∂r2 +1r

∂v

∂r+

1r2

∂2v

∂θ2

= cn1r2

r

∂

∂r

(r

∂v

∂r

)+

∂2v

∂θ2

= cn1r2

r

∂

∂r

(r(

einθ |n|r|n|−1))

+ r|n|einθ(−n2)

= cn1r2

r

∂

∂r

(einθ |n|r|n|

)− n2r|n|einθ

= cn1r2

reinθ |n|2r|n|−1 − n2r|n|einθ

= cn1r2 0

= 0.

Por lo tanto u es armónica.

4.4. Equivalencia del Teorema de Radon-Nikodým y el Teo-

rema de Fatou

Definición 4.21. Un espacio de Banach X se dice que tiene la propiedad de Fatou si para

toda función armónica u con valores en X y acotada, es decir supz∈D ‖u(z)‖X < ∞, existe


f ∈ L∞ ([0, 1], X) tal que

lımr→1−

u(re2πit) = f (t)

para casi todo t ∈ [0, 1].

La demostración del siguiente lema es análoga a la del caso escalar (ver el Teorema4.15).

Lema 4.22. Sea f ∈ L1 ([0, 1], X). Entonces la integral de Poisson de f , definida por

P( f )(re2πit) =

∫ 1

0f (s)Pr(t − s)ds

es una función armónica con valores en X que verifica

lımr→1−

P( f )(reit) = f (t)

para casi todo t ∈ [0, 1].

Demostración.

Primero veamos que P( f ) es una función armónica. Sea z = re2πit y x∗ ∈ X∗,entonces

∆ 〈P( f )(z), x∗〉 = ∆

⟨∫ 1

0f (s)Pr(t − s)ds, x∗

⟩

= ∆

∫ 1

0〈 f (s)Pr(t − s), x∗〉 ds

=

∫ 1

0〈∆( f (s)Pr(t − s)), x∗〉 ds

=

∫ 1

0〈0, x∗〉 ds

= 0,

donde la tercera igualdad se debe al Teorema de Convergencia Dominada y alCorolario 4.19. Por tanto P( f ) es armónica con valores en X.

Ahora por el Teorema 2.21, la derivada de

F(θ) =

∫ θ

0f (eit)dt

es f (eit) casi dondequiera.

Sea θ1 uno de tales puntos, igual que en el caso escalar podemos suponerθ1 = 0 y f (eiθ1) = 0, y proseguimos como en el Teorema 4.15.


Para ε > 0, tomamos δ > 0 tal que si |t| < δ entonces∥∥∥∥

F(t)

t

∥∥∥∥ < ε.

Podemos elegir |r − 1| suficientemente pequeno de manera que |θ| < δ/4.

Representando a P( f )(reiθ) como integral de Poisson

P( f )(reiθ) =1

2π

∫ π

−πPr(θ − t) f (eit)dt

=

[∫

δ<|t|<π+

∫ δ

−δ

]Pr(θ − t) f (eit)dt.

Como en el caso escalar∥∥∥∥∥

12π

∫

δ<|t|<πPr(θ − t) f (eit)dt

∥∥∥∥∥ ≤ supδ2 <|t|

Pr(t)‖ f ‖1

que tiende a cero si r tiende a 1, además

12π

∫ δ

−δPr(θ − t) f (eit)dt =

12π

[Pr(θ − t) f (t)]δ−δ −1

2π

∫ δ

−δF(t)

∂Pr(θ − t)

∂tdt,

el primer sumando tiende a cero y el segundo es igual a

12π

∫ δ

−δ

2(1 − r2)r sen(θ − t)

(1 − 2r cos(θ − t) + r2)2 F(t)dt.

Suponiendo θ > 0, dividimos la integral como

12π

[∫ 0

−δ+

∫ 2θ

0+

∫ δ

2θ

]2(1 − r2)r sen(θ − t)

(1 − 2r cos(θ − t) + r2)2 F(t)dt.

Para el primer y tercer sumando, observando que

‖F(t)‖ < ε|t| = ε(−t) ≤ ε(θ − t)

y‖F(t)‖ < εt < 2ε(t − θ),

respectivamente, haciendo los cambios t por θ − t en el primer sumando y t − θ

en el segundo, obtenemos∥∥∥∥∥

12π

∫ 0

−δ

2(1 − r2)r sen(θ − t)

(1 − 2r cos(θ − t) + r2)2 F(t)dt

∥∥∥∥∥ ≤ ε


en el primer sumando y análogamente en el tercero.

Para el segundo sumando usando

‖F(t)‖ < εt y |θ − t| < θ

como en el Teorema 4.15 obtenemos∥∥∥∥∥

12π

∫ 2π

0

2(1 − r2)r sen(θ − t)

(1 − 2r cos(θ − t) + r2)2 F(t)dt

∥∥∥∥∥ ≤8c3

πε.

Hacemos la aclaración que de aquí en adelante trabajaremos en [0, 1] en vez de[−π, π], para facilitar el desarrollo del trabajo, por lo cual se hacen los cambios devariables pertinentes, es decir, t 7→ 2πt.

Lema 4.23. Sea T ∈ L(L1[0, 1], X

). Entonces la integral de Poisson de T, definida por

P(T)(

re2πit)

= T (Pr(t − ·))

es una función armónica con valores en X.

Demostración.

Demostraremos que es débilmente armónica y por la Proposición 4.20 P(T) seráarmónica.

Sea x∗ ∈ X∗, observemos que

〈P(T), x∗〉(

re2πit)

=⟨

P(T)(

re2πit)

, x∗⟩

= x∗ (T(Pr(t − ·)))= (x∗T) (Pr(t − ·))= fx∗ (Pr(t − ·))= P( fx∗)

(re2πit

),

donde fx∗ es la función que representa al elemento del dual de L1([0, 1]) dado porla composición x∗T.

Como

∆P ( fx∗) (z) = ∆ fx∗ (Pr(t − ·))= fx∗ (∆Pr(t − ·))= 0,


donde z = re2πit, se sigue que P(T) es armónica.

Ahora tenemos el siguiente Lema sobre la representación de la Integral dePoisson en el disco en el caso vectorial.

Lema 4.24. Sea u : D(0, R) → X armónica, con R > 1. Entonces

u(

re2πiθ)

=

∫ 1

0Pr(θ − t)u

(e2πit

)dt, 0 < r < 1.

Demostración.

Por el caso escalar, para toda x∗ ∈ X∗

⟨u(

re2πiθ)

, x∗⟩

=

∫ 1

0Pr(θ − t)

⟨u(

e2πit)

, x∗⟩

dt

=

⟨∫ 1

0Pr(θ − t)u

(e2πit

)dt, x∗

⟩,

de donde se concluye la representación deseada.

El siguiente Lema será utilizado para demostrar el Teorema central de esteCapítulo, sobre la equivalencia del Teorema de Radon-Nikodým y el Teorema deFatou en un espacio de Banach.

Lema 4.25. Si Y es un espacio de Banach separable entonces L1([0, 1], Y) es separable.

Demostración.

Sabemos que L1 ([0, 1]) ⊗ Y es denso en L1 ([0, 1], Y) (ver Apéndice A.3), así quesólo bastará encontrar un subconjunto denso y a lo más numerable en L1 ([0, 1])⊗Y.

Sea D =

yj : j ∈ N

un subconjunto denso y a lo más numerable de Y y seaε > 0. Tomemos cualquier elemento f ∈ L1 ([0, 1]) ⊗ Y, digamos

f =n∑

j=1

xj f j, xj ∈ Y, f j ∈ L1([0, 1]).

Para cada j = 1, ..., n existe yj ∈ D tal que

‖xj − yj‖Y <ε

2 (‖ f1‖1 + ... + ‖ fn‖1).


También como C[0, 1] es denso en L1[0, 1] entonces para toda j = 1, ..., n existeϕj ∈ C[0, 1] tal que

∥∥ϕj − f j

∥∥1 <

ε

2 (‖y1‖Y + ... + ‖yn‖Y).

Por tanto:∥∥∥∥∥∥

n∑

j=1

yj ϕj −n∑

j=1

xj f j

∥∥∥∥∥∥L1([0,1],Y)

≤

∥∥∥∥∥∥

n∑

j=1

(yj − xj) f j

∥∥∥∥∥∥L1([0,1],Y)

+

∥∥∥∥∥∥

n∑

j=1

(yj

(ϕj − f j

))∥∥∥∥∥∥

L1([0,1],Y)

≤n∑

j=1

‖yj − xj‖Y‖ f j‖1 +n∑

j=1

‖yj‖Y‖ϕj − f j‖1

<ε

2+

ε

2= ε.

Así, el conjunto∑n

j=1 yj ϕj : yj ∈ D, ϕ ∈ C[0, 1], n ∈ N

es denso en L1 ([0, 1])⊗Y

pero no es numerable.

Como los polinomios en [0, 1] con coeficientes racionales son densos en C[0, 1] conla norma ‖ ‖∞, si P denota a esta familia tendremos que

n∑

j=1

yj pj : yj ∈ D, pj ∈ P, n ∈ N

es denso y a lo más numerable en L1 ([0, 1]) ⊗ Y, pues para f como antes y ε > 0existe ϕj ∈ C[0, 1], j = 1, ..., n, tal que

∥∥∥∥∥∥f −

n∑

j=1

yj ϕj

∥∥∥∥∥∥L1([0,1],Y)

< ε/2,

y también para toda j = 1, ..., n existe pj ∈ P tal que

‖ϕj − pj‖∞ <ε

2 (‖y1‖Y + ... + ‖yn‖Y),

luego∥∥∥∥∥∥

f −n∑

j=1

yj pj

∥∥∥∥∥∥L1([0,1],Y)

< ε/2 +

∥∥∥∥∥∥

n∑

j=1

yj(ϕj − pj)

∥∥∥∥∥∥1

≤ ε/2 + ε/2

= ε.


Enseguida formularemos el Teorema principal de este Capítulo que establecela equivalencia entre la propiedad de Radon-Nikodým y el Teorema de Fatou paraun espacio de Banach X. Aunque esta equivalencia es válida para espacios de Ba-nach en general, la demostración que aquí presentamos (de hecho, sólo una de lasimplicaciones) supone que el espacio de Banach X∗ es separable. Esta suposiciónnos permite utilizar el Teorema de Banach Alaoglu, herramienta muy socorrida enAnálisis Funcional.

Con el objeto de compensar esta restricción presentamos también un esbozode dicha demostración en el caso general.

Así, supondremos que X es un espacio de Banach con dual X∗ separable. Ten-emos entonces el siguiente resultado:

Teorema 4.26. X tiene la propiedad de Radon-Nikodým si y sólo si X tiene la propiedad

de Fatou.

Demostración.

Supongamos que X tiene la propiedad de Radon-Nikodým. Sea u : D → X unafunción armónica y acotada.

Sean rn = 1 − 12n y fn(t) = u

(rne2πit

). ( fn)∞

n=1 es una sucesión de funciones con-tinuas con valores en X tal que

supn∈N

‖ fn‖∞ ≤ supz∈D

‖u(z)‖ < ∞.

Como X → X∗∗ tenemos las inclusiones isométricas

C ([0, 1], X) → L(

L1([0, 1]), X)→ L

(L1([0, 1]), X∗∗

)(4.18)

dadas por f 7−→ Tf tal que

Tf (φ) =

∫ 1

0φ(t) f (t)dm(t)

y T 7−→ jT donde j : X −→ X∗∗ es la inclusión canónica.

Para ver que las inclusiones dadas por (4.18) son isométricas procedemos del mo-do siguiente:

(C([0, 1], X), ‖ ‖∞) −→(L(

L1([0, 1]), X)

, ‖ ‖)

f 7−→ Tf .


Como X tiene la propiedad de Radon-Nikodým, de acuerdo al Lema 3.9 y alTeorema 3.10, el operador Tf es representable por g ∈ L∞ ([0, 1], X) y ‖Tf ‖ = ‖g‖∞.Así

∫ 1

0f (t)φ(t)dt =

∫ 1

0g(t)φ(t)dt para toda φ ∈ L1 ([0, 1])

o∫ 1

0( f (t) − g(t)) φ(t)dt = 0 para toda φ ∈ L1 ([0, 1]) .

Entonces

f = g ctp en [0, 1]. (4.19)

(Podemos verificar esta afirmación de la siguiente manera: Si β ∈ L∞ ([0, 1], X) estal que

∫ 1

0β(t)φ(t)dt = 0 para toda φ ∈ L1([0, 1]),

para toda x∗ ∈ X∗ y φ ∈ L1 ([0, 1]) tenemos que

0 =

⟨x∗,∫ 1

0β(t)φ(t)dt

⟩=

∫ 1

0(x∗β) (t)φ(t)dt = 0.

Entonces por el Teorema de Representación de Riesz para el caso escalar tenemos

∥∥Tx∗β

∥∥ = sup‖φ‖1≤1

∣∣∣∣∣

∫ 1

0(x∗β)(t)φ(t)

∣∣∣∣∣ = ‖x∗β‖∞

= 0.

Así x∗β = 0 ctp para toda x∗ ∈ X∗, de aquí que β = 0 ctp.)

Además, de (4.19) se sigue que ‖Tf ‖ = ‖ f ‖∞.

Ahora consideramos

L(

L1([0, 1]), X)−→ L

(L1([0, 1]), X∗∗

)

T 7−→ jT,

donde j es la inclusión canónica j : X → X∗∗ tal que j(x) = x, x(x∗) = x∗(x), conx∗ ∈ X∗, y ‖x‖X = ‖x‖X∗∗ .

Tenemos que

‖jT‖L(L1([0,1]),X∗∗) = sup‖ϕ‖1≤1

‖(jT)(ϕ)‖X∗∗

= sup‖ϕ‖1≤1

‖T(ϕ)‖X

= ‖T‖L(L1([0,1]),X).


Con esto concluimos la prueba de nuestra afirmación.

Ahora, de acuerdo al Teorema A.39 y Corolario A.40 se tiene que(

L1([0, 1])⊗πX∗)∗

=(

L1 ([0, 1], X∗))∗

= L(

L1([0, 1]), X∗∗)

,

y puesto que la sucesión ( fn)∞

n=1 es una sucesión acotada en el espacio L1 ([0, 1], X∗)∗

y L1 ([0, 1], X∗) es separable (por ser X∗ un espacio separable, ver Lema 4.25),podemos aplicar el Teorema de Banach-Alaoglu y encontrar T ∈ L

(L1([0, 1]), X∗∗)

y una subsucesión (nk)∞

k=1 de números naturales tales que ( fnk)∞

k=1 converge a T

en la topología débil-* de L1 ([0, 1], X∗)∗.

En particular, tendremos que para toda φ ∈ L1([0, 1]) y para toda x∗ ∈ X∗

lımk→∞

∫ 1

0

⟨u(

rnke2πit

)φ(t), x∗

⟩dt = T(φ)(x∗),

esto es,

lımk→∞

⟨Tfnk

(φ), x∗⟩

= 〈T(φ), x∗〉 . (4.20)

Veamos primero que

Tfnk(φ) −→ T(φ) para toda φ ∈ L1([0, 1]), (4.21)

y que T(φ) ∈ X.

Sea φm(t) = e−2πimt, con m ∈ Z. Tenemos que

Tfnk(φm) =

∫ 1

0fnk

(t)e−2πimtdt

= fnk(m).

Afirmamos que(

fnk(m)

)∞

k=1es una sucesión de Cauchy en X para cada m ∈ Z.

En efecto; si k ≤ k′ tenemos que 0 < rnk< rnk′ < 1, luego

fnk(t) = u

(rnk

e2πit)

= u

(rnk′

(rnk

rnk′

)e2πit

)

=

∫ 1

0P rnk

rnk′

(t − θ)u(

rnk′ e2πiθ)

dθ

=

(P rnk

rnk′∗ fnk′

)(t),


para toda t ∈ [0, 1].

Entonces para toda m ∈ Z tenemos

fnk(m) = P rnk

rnk′

(m) fnk′ (m).

Usando la representación para el núcleo de Poisson en serie obtenemos

P rnkrn

k′(m) =

∫ 1

0P rnk

rnk′

(t)e−2πimtdt

=

∫ 1

0

∑

l∈Z

(rnk

rnk′

)|l|e2πilte−2πimtdt

=∑

l∈Z

(rnk

rnk′

)|l| ∫ 1

0e2πi(l−m)tdt

=

(rnk

rnk′

)|m|.

Así, para toda m ∈ Z

fnk(m) =

(rnk

rnk′

)|m|fnk′ (m).

Por consiguiente, para cada m ∈ Z

∥∥∥ fnk(m) − fnk′ (m)

∥∥∥ =

∣∣∣∣∣

(rnk

rnk′

)|m|− 1

∥∥∥∥∥

∥∥∥ fnk′ (m)∥∥∥

−→ 0,

cuando k, k′ −→ ∞, porquernkrn

k′−→ 1 y

∥∥∥ fnk′ (m)∥∥∥ es acotado en X para toda

m ∈ Z ya que u es acotada.

Así, como X es completo, para cada m ∈ Z existe xm ∈ X tal que

xm = lımk→∞

fnk(m),

esto es,lımk→∞

Tfnk(φm) = xm,

por lo que para toda x∗ ∈ X∗

lımk→∞

⟨Tfnk

(φm), x∗⟩

= 〈xm, x∗〉 .


Como también tenemos en virtud de (4.20) que

lımk→∞

⟨Tfnk

(φm), x∗⟩

= T(φm)(x∗) para toda x∗ ∈ X∗,

se sigue de lo anterior que

T(φm) = xm ∈ X para toda m ∈ Z. (4.22)

Usando la linealidad de T y (4.22) vemos que para todo polinomio trigonométricoP se tiene que T(P) ∈ X.

Ahora, si φ ∈ L1([0, 1]) existe (Pn)∞

n=1 sucesión de polinomios trigonométricos talque Pn −→ φ en L1([0, 1]) y como T es continuo y T(φ) ∈ X∗∗ se tiene que

T(φ) = lımn→∞

T(Pn),

con T(Pn) ∈ X, por lo que T(φ) ∈ X.

(Esto se puede argumentar así:

(T(Pn))∞

n=1 ⊂ X → X∗∗

isométricamente, luego (T(Pn))∞

n=1 es de Cauchy en X y X es completo. Entonces

T(Pn) −→ y ∈ (X, ‖ ‖X) ,

por tanto y ∈ (X∗∗, ‖ ‖X∗∗). Por lo que T(φ) = y ∈ X.)

Por consiguiente, dada φ ∈ L1([0, 1]) y dado ε > 0 existe un polinomio trigonométri-co P, digamos

P(t) =m∑

l=−m

cle−2πilt

tal que ‖P − φ‖1 < ε. Así∥∥∥Tfnk

(φ) − T(φ)∥∥∥

X≤∥∥∥Tfnk

(φ)− Tfnk(P)∥∥∥

X+∥∥∥Tfnk

(P) − T(P)∥∥∥

X

+ ‖T(P)− T(φ)‖X

≤∥∥∥Tfnk

∥∥∥ ‖φ − P‖1 +∥∥∥Tfnk

(P)− T(P)∥∥∥

X+ ‖T‖ ‖P − φ‖1

≤ 2Kε +∥∥∥Tfnk

(P)− T(P)∥∥∥

X(4.23)

donde ∥∥∥Tfnk

∥∥∥ = ‖ fnk‖∞ ≤ sup

z∈D

‖u(z)‖X ≡ K1,


‖T‖ = K2 y K = max K1, K2. Pero

Tfnk(P) = Tfnk

(m∑

l=−m

cle−2πilt

)

=m∑

l=−m

clTfnk(φl),

por lo que

lımk→∞

Tfnk(P) =

m∑

l=−m

cl lımk→∞

Tfnk(φl) =

m∑

l=−m

clxl

=m∑

l=−m

clT(φl) = T

(m∑

l=−m

clφl

)

= T(P)

en (X, ‖ ‖)X, y así (4.23) puede ser estimado por 2Kε + ε si k es suficientementegrande, luego

Tfnk(φ) −→ T(φ) en (X, ‖ ‖X)

cuando k → ∞ para cada φ ∈ L1([0, 1]). Con esto queda totalmente demostrada laafirmación (4.21).

Enseguida mostremos que P(T) = u. En efecto, Por el Lema 4.23 P(T) es unafunción armónica con valores en X y

P(T)(

re2πit)

= T (Pr(t − ·))= lım

k→∞

Tfnk(Pr(t − ·))

= lımk→∞

∫ 1

0u(

rnke2πis

)Pr(t − s)ds

= lımk→∞

u(

rrnke2πit

)

= u(

re2πit)

,

donde la segunda igualdad se tiene por (4.21) y la cuarta igualdad por el Lema4.24.

Definamos ahora la siguiente medida vectorial

µ(E) = T (χE) = lımk→∞

∫

Eu(

rnke2πit

)dt.

Como se ha demostrado en ocasiones anteriores

χ∪∞

j=1 Aj=

∞∑

j=1

χAjen L1([0, 1]),


si Ai ∩ Aj = ∅ cuando i 6= j.

Por lo que usando el hecho de que T es lineal y continuo vemos que

µ(∪∞

j=1Aj

)=

∞∑

j=1

µ(Aj),

es decir, µ es numerablemente aditiva. Además µ << m, pues

‖µ(E)‖X ≤ ‖T‖m(E),

por lo que|µ|([0, 1]) ≡ |µ| ≤ ‖T‖.

Puesto que X tiene la propiedad de Radon-Nikodým, existe f ∈ L1 ([0, 1], X) talque

µ(E) =

∫

Ef dµ para toda E ∈ B.

Por el Lema 3.9 tenemos que f ∈ L∞ ([0, 1], X) y T es representable por f , esto es

T(ϕ) =

∫ 1

0ϕ(t) f (t)dt para toda ϕ ∈ L1([0, 1]).

Como

P( f )(

re2πit)

=

∫ 1

0f (s)Pr(t − s)ds

= T (Pr(t − ·))= u

(re2πit

),

se sigue del Lema 4.22 la existencia de

lımr→1

P( f )(

re2πit)

= f (t)

para casi toda t ∈ [0, 1].

Por tanto, X tiene la propiedad de Fatou.

(⇐=) Supongamos que X tiene la propiedad de Fatou y sea µ una medida vectori-al con valores en X tal que µ es numerablemente aditiva, µ << m y |µ|([0, 1]) < ∞.Estudiemos primero el siguiente caso para µ y m:

Existe c > 0 tal que |µ|(E) ≤ cm(E) para toda E ∈ B.


Así, podemos definir el operador Tµ : L1([0, 1]) −→ X del modo siguiente: si

ϕ =m∑

k=1

αkχEk,

con αk escalar, Ek ∈ B para 1 ≤ k ≤ m, Ek ∩ El = ∅ si k 6= l, entonces

Tµ(ϕ) =∞∑

k=1

αkµ(Ek).

Puesto que

∥∥Tµ(ϕ)∥∥ ≤

m∑

k=1

|αk|‖µ(Ek)‖ ≤ Cm∑

k=1

|αk|m(Ek) = C‖ϕ‖1,

podemos extender continuamente Tµ a todo L1([0, 1]) (ya que las funciones sim-ples son densas en este espacio) y esta extensión posee la misma norma.

Ahora definamos la integral de Poisson del operador Tµ, esto es, u = P(Tµ

). De

acuerdo al Lema 4.23, u es una función armónica con valores en X y además∥∥∥u(

re2πit)∥∥∥

X=∥∥Tµ (Pr(t − ·))

∥∥X

≤ ‖Tµ‖ ‖Pr(t − ·)‖1

= ‖Tµ‖≤ C,

esto es, ‖u(z)‖X ≤ C para toda z ∈ D.

Como X tiene la propiedad de Fatou existe f ∈ L∞ ([0, 1], X) tal que

lımr→1

u(

re2πit)

= f (t) para casi todo t ∈ [0, 1].

Así, para toda x∗ ∈ X∗

lımr→1

⟨u(

re2πit)

, x∗⟩

= 〈 f (t), x∗〉

para casi todo t ∈ [0, 1] y por la teoría escalar se tiene entonces que

⟨u(

re2πit)

, x∗⟩

=

∫ 1

0Pr(t − θ) 〈 f (θ), x∗〉 dθ

=

⟨∫ 1

0Pr(t − θ) f (θ)dθ, x∗

⟩.


Entoncesu(

re2πit)

= P( f )(

re2πit)

.

Por consiguiente tenemos que

P( f ) = u = P(Tµ),

y como µ(E) = Tµ(χE) entonces por el Lema 3.9 existe g ∈ L∞ ([0, 1], X) tal que Tµ

está representado por g, por lo que

P( f ) = u = P(Tµ) = P(g),

y usando la unicidad de la solución del problema de Dirichlet obtenemos f = g

ctp y así para toda E ∈ B

µ(E) = Tµ (χE) =

∫

Ef dµ,

que es lo que deseábamos mostrar, ya que f ∈ L1 ([0, 1], X).

Ahora, para resolver el caso general emplearemos el siguiente argumento:

Dada µ << m consideremos la función maximal

µ∗(θ) =

|µ|(I)

m(I): θ ∈ I, I intervalo

.

(el supremo se toma sobre todos los intervalos I que contienen a θ).

Como es sabido, la función µ∗ es de tipo débil (1, 1) (ver [A.3], pág.43), esto es,existe una constante absoluta K tal que

m (θ : µ∗(θ) > λ) ≤ K

λ|µ|([0, 1]). (4.24)

Ahora escribamos para cada n ∈ N

An = θ ∈ [0, 1] : µ∗(θ) ≤ n .

Puesto que la desigualdad (4.24) nos dice que la medida del conjunto de puntosdonde µ∗ es muy grande es muy pequena, se sigue que

[0, 1] = (∪∞

n=1 An) ∪ N donde m(N) = 0.

Definiendo para toda n ∈ N µn(E) = µ (E ∩ An) tendremos

‖µn(E)‖ = ‖µ(E ∩ An)‖ ≤ |µ|(E ∩ An)

≤ nm(E ∩ An) ≤ nm(E).


Por el caso anterior existe fn ∈ L1 ([0, 1], X) tal que

µn(E) =

∫

Efndm para toda E ∈ B,

además fn está determinada de manera única en An.

Observamos ahora que como (An)∞

n=1 es una sucesión creciente entonces si k > n

se tiene que fn = fk sobre An, por lo cual podemos definir ctp sobre [0, 1]

f (t) = fn(t) si t ∈ An,

y en vista de que µ es numerablemente aditiva tendremos que para toda E ∈ B

µ(E) = lımn→∞

µ(E ∩ An) = lımn→∞

∫

Efndm =

∫

Ef dm.

Entonces X tiene la propiedad de Radon-Nikodým.

La demostración de la implicación (⇒) en el Teorema anterior, para cualquierespacio de Banach, sigue el esquema que se resume a continuación:

Se representa a la función u = P(µ) para alguna medida vectorial µ numera-blemente aditiva, con valores en X, definida en B y de variación acotada.

Se escribe µ = µc + µs donde |µc| << m y |µs|⊥m.

La hipótesis sobre X asegura la existencia de f = dµc

dm ∈ L1 ([0, 1], X) y así

u = P( f ) + P(µs).

El primer sumando tiene valores frontera no tangenciales y el segundo también(iguales a 0 ctp).

Conclusiones

Como comentamos en la introducción de este trabajo, la propiedad de Radon-Nikodým de un espacio de Banach X surgió a raíz del estudio sobre diferenciabil-idad de funciones definidas en subconjuntos del espacio euclideano y con valoresen X, de hecho, la diferenciabilidad depende de las características del espacio ran-go de dichas funciones, como subconjunto de X. Pero no sólo en el tema de ladiferenciabilidad la propiedad de Radon-Nikodým jugó y sigue jugando un papelrelevante. Ha sido además fundamental para representar a operadores lineales pormedio de integrales, para entender la estructura topológica y geométrica de ciertotipo de espacios de Banach y en general, para clasificar a éstos, por lo cual estatesis es particularmente apropiada desde el punto de vista didáctico.


También es importante destacar algunas de las razones por las cuales esta tesisha sido escrita, una de ellas es que su lectura sea básicamente autocontenida,pues no se encuentran unificados ni desarrollados de modo tan exhaustivo en laliteratura; de igual manera, se ha tratado de proporcionar una buena cantidadde ejemplos que ilustren las diferentes nociones y situaciones planteadas en cadauno de los capítulos, aunque debemos reconocer que en el último de éstos noshizo falta proporcionar ejemplos. Esto ha sido así porque no es fácil encontrarlosen la literatura y de hecho, una asignatura pendiente es la construcción de dichosejemplos.

Por último proporcionaremos una lista de propiedades equivalentes a la propiedadde Radon-Nikodým, que no se abordaron en la tesis pero es importante destacar.

Cada una de las siguientes condiciones es necesaria y suficiente para que un es-pacio de Banach X tenga la propiedad de Radon-Nikodým:

1. Todo subespacio lineal cerrado de X tiene la propiedad de Radon-Nikodým.

2. Todo subespacio lineal, cerrado y separable de X tiene la propiedad deRadon-Nikodým.

3. Toda función f : [0, 1] → X de variación acotada es diferenciable casi entodas partes.

4. Toda función f : [0, 1] → X de variación acotada es débilmente diferen-ciableexcepto en un conjunto fijo de medida cero.

5. Toda función absolutamente continua f : [0, 1] → X es diferenciable casi entodas partes. En este caso tenemos que

f (b) − f (a) =

∫ b

af ′(t)dt,

para cualesquier a, b ∈ [0, 1].

6. Toda función absolutamente continua f : [0, 1] → X es débilmente difer-enciable excepto en un conjunto fijo de medida cero. En este caso tenemosque

x∗( f (b)− f (a)) =

∫ b

ax∗ f ′(t)dt

para toda a y b ∈ [0, 1] y para toda x∗ ∈ X∗.

7. Todo operador T : L1[0, 1] → X lineal y acotado se factoriza a través de l1.Esto es, existen operadores lineales continuos L : l1 → X y S : L1(µ) → l1 talque T = LS.


8. Todo subconjunto cerrado, no vacío y acotado de X contiene un punto ex-tremo de su envolvente convexa cerrada.

9. Si D es un subconjunto no vacío, cerrado y acotado de X, entonces existeuna funcional lineal acotada en X que alcanza su valor máximo en D.

Para complementar esta información remitimos al lector interesado a [A.3],pág. 217-218.

Apéndice

A.1. Operadores Lineales Compactos

Definición A.27. Sean X y Y espacios normados. Un operador T : X → Y se llama

operador lineal compacto (o un operador lineal completamente continuo) si T es lineal y

para todo subconjunto acotado M de X, la imagen T(M) es relativamente compacto, esto

es, la cerradura T(M) es compacto.

Lema A.28. 1. Todo operador lineal compacto T : X → Y es acotado.

2. Si dimX < ∞, el operador identidad I : X → X no es compacto, a pesar de que I es

continuo.

Demostración.

1. Como la esfera unitaria U = x ∈ X : ‖x‖ = 1 es acotada, y dado que T escompacto se sigue que (T(U)) es compacto y por tanto es acotado, de aquí que

sup‖x‖=1

‖T(x)‖ < ∞.

Entonces T es acotado.

2. Por supuesto, la bola unitaria cerrada

M = x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1

es acotada.

Si dimX = ∞, se sigue que M no es compacto, entonces

I(M) = M = M

no es relativamente compacto.


Teorema A.29. Sean X y Y espacios normados y T : X → Y un opera-dor lineal. En-

tonces T es compacto si sólo si T envía toda sucesión acotada (xn)∞

n=1 en X en una sucesión

(T(xn))∞

n=1 en Y y que posee una subsucesión convergente.

Demostración.

(⇒) Si T es compacto y (xn)∞

n=1 es acotada, entonces (T(xn))∞

n=1 en Y es compactoy por definición se sigue que T(xn) tiene una subsucesión convergente.

(⇐) Supongamos que toda sucesión acotada (xn)∞

n=1 tiene una subsucesión (xnk)∞

k=1tal que (T(xnk

))∞

k=1 converge en Y.

Sean B ⊂ X un subconjunto acotado de X, y (yn)∞

n=1 cualquier sucesión en T(B).Entonces yn = T(xn) para algún xn ∈ B, y (xn)∞

n=1 es acotado pues B es acotado.Por hipótesis, T(xn) contiene una subsucesión convergente. Entonces (T(B)) escompacto y como (yn) es una sucesión arbitraria en T(B) por definición se sigueque T es compacta.

De este Teorema es obvio que la suma T1 + T2 de dos operadores lineales com-pactos es compacto. Similarmente, αT1 es compacto, donde α es cualquier escalar.Entonces tenemos que los operadores lineales compactos de X en Y forman unespacio vectorial.

Teorema A.30. Sean X y Y espacios normados y T : X → Y un operador lineal. Entonces

1. Si T es acotado y dimT(X) < ∞, el operador T es compacto.

2. Si dimX < ∞, el operador T es compacto.

Demostración.

1. Sea (xn)∞

n=1 cualquier sucesión acotada en X. Entonces la desigualdad

‖T(xn)‖ ≤ ‖T‖‖xn‖

muestra que (T(xn))∞

n=1 es acotado y dado que dimT(X) < ∞ se sigue que T(xn) esrelativamente compacto, entonces (T(xn))

∞

n=1 tiene una subsucesión convergentey como (xn)∞

n=1 es una sucesión arbitraria de X, por el teorema anterior se sigueque T es compacto.

2. Dado que dimX < ∞ sabemos que todo operador lineal en X es acotado, portanto T es acotado y como

dimT(X) ≤ dimX < ∞

por la parte 1 tenemos que T es compacto.

Diremos que T ∈ L(X, Y) con dimT(X) < ∞ es un operador de rango finito.

A.1 Operadores Lineales Compactos 127

Teorema A.31. Sea (Tn)∞

n=1 una sucesión de operadores lineales compactos de un espacio

normado X a un espacio de Banach Y. Si (Tn)∞

n=1 converge en la topología de la norma en

L(X, Y), digamos

‖Tn − T‖ → 0,

cuando n → ∞. Entonces T es un operador compacto.

Demostración.

Mostraremos que para cualquier sucesión acotada (xm)∞

m=1 en X, la imagen (T(xm))∞

m=1tiene una subsucesión convergente, y por el Teorema A.29 tendremos que T escompacto.

Como T1 es compacto, (xm)∞

m=1 tiene una subsucesión (x1m)∞

m=1 tal que (T(x1m))∞

m=1es de Cauchy. Similarmente (x1m)∞

m=1 tiene una subsucesión (x2m)∞

m=1 tal que(T2(x2m))∞

m=1 es de Cauchy. Continuando de esta manera vemos que la sucesión“diagonal ” (ym)∞

m=1 = (xmm)∞

m=1 es una subsucesión de (xm)∞

m=1 tal que para todoentero positivo fijo n la sucesión

(Tn(ym))∞

m=1

es de Cauchy.

Como (xm)∞

m=1 es acotada existe c tal que ‖xm‖ ≤ c para toda m ∈ N. Entonces‖ym‖ ≤ c para toda m ∈ N. Sea ε > 0, como Tn → T, existe n = p tal que

‖T − Tp‖ < ε/3c.

Como(Tp(ym)

)m∈N

es de Cauchy, existe N tal que

∥∥Tp(yj) − Tp(yk)∥∥ ≤ ε/3.

Entonces obtenemos para j, k > N

‖T(yj) − T(yk)‖ ≤ ‖T(yj) − Tp(yj)‖ + ‖Tp(yj) − Tp(yk)‖ + ‖Tp(yk) − T(yk)‖≤ ‖T − Tp‖‖yj‖ + ε/3 + ‖Tp − T‖‖yk‖<

ε

3cc +

ε

3+

ε

3cc

= ε.

Esto muestra que (T(ym))∞

m=1 es una sucesión de Cauchy y como Y es completo,es convergente.


A.2. El Lema de Agotamiento

Lema A.32. Sea G : Σ → X una medida vectorial. Supongamos que P es una propiedad

de G tal que:

1. G tiene la propiedad P en cada conjunto µ-nulo.

2. Si G tiene la propiedad P en E ∈ Σ, entonces G tiene la propiedad P en cada A ∈ Σ

contenido en E.

3. Si G tiene la propiedad P en E1 y E2 (ambos miembros de Σ) entonces G tiene la

propiedad P en E1 ∪ E2.

4. Todo A ∈ Σ de µ-medida positiva contiene un conjunto B ∈ Σ de µ-medida positiva

tal que G tiene la propiedad P en B.

Entonces existe una sucesión (An)∞

n=1 de miembros de Σ ajenos por pares tal que Ω =

∪∞

n=1An y tal que G tiene la propiedad P en cada An.

Demostración.

SeaA = E ∈ Σ : G tiene la propiedad P en E

y sea c = supµ(A) : A ∈ A.

Escójase una sucesión (Bn)∞

n=1 en A tal que

lımn→∞

µ(Bn) = c.

Sea En = ∪nk=1Bk; En ∈ A por el inciso 3. Además lımn→∞ µ(En) = c, porque

µ(En) ≤ c para toda n ∈ N y µ(Bn) ≤ µ(En), por lo que

c = lımn→∞

µ(Bn) ≤ lımn→∞

sup µ(En) ≤ c

c = lımn→∞

µ(Bn) ≤ lımn→∞

ınf µ(En) ≤ c.

Entonceslım

n→∞µ(En) = c.

También En ⊂ En+1 para toda n ∈ N. Ahora, si ocurriese que µ (Ω\ ∪∞

n=1 En) > 0,entonces el inciso 4 asegura la existencia de A ∈ A con µ(A) > 0 tal que

A ⊂ Ω\ ∪∞

n=1 En.

Pero (A ∪ En)∞

n=1 es una sucesión en A con

lımn→∞

µ(A ∪ En) = lımn→∞

[µ(A) + µ(En)] = µ(A) + c > c,

A.3 Producto Tensorial 129

lo cual contradice la definición de c. Así, A0 = Ω\ ∪∞

n=1 En tiene µ-medida cero.Escribiendo

A1 = E1, A2 = E2\E1, , ..., An = En\En−1,

obtenemos una sucesión (An)∞n=0 con las características requeridas.

A.3. Producto Tensorial

Sean E, F y M tres espacios vectoriales sobre C, y φ un mapeo bilineal de E× F

en M.

Definición A.33. Decimos que E y F son φ-linealmente disjuntos si dado x1, ..., xrun subconjunto finito de E, y1, ..., yr un subconjunto finito de F, que tienen el mismo

número de elementos, los cuales satisfacen

r∑

j=1

φ(xj, yj) = 0,

entonces, si x1, ..., xr son linealmente independientes se tiene que y1 = ... = yr = 0, y si

y1, ..., yr son linealmente independientes, x1 = ... = xr = 0.

Definición A.34. Un producto tensorial de E y F es el par (M, φ) que consiste de un

espacio vectorial M y de un mapeo bilineal φ de E × F en M tal que

La imagen de E × F genera al espacio M.

E y F son φ-linealmente disjuntos.

Se tiene una definición equivalente a la definición de elementos φ-linealmentedisjuntos, la cual se da en la siguiente proposición:

Proposición A.35. Sean E, F y M tres espacios vectoriales, y φ un mapeo bilineal de

E × F en M. Entonces E y F son linealmente disjuntos si y sólo si dados xj y yk, con

1 ≤ j ≤ r, 1 ≤ k ≤ s conjuntos linealmente independientes de E y F, respectivamente, el

conjunto de vectores de M, φ(xj, yk), es linealmente independiente.

Se puede demostrar que el producto tensorial siempre existe y es único salvoisomorfismos. Denotaremos por E ⊗ F el producto tensorial de E y F, y el mapeocanónico φ de E × F en E ⊗ F lo denotaremos por

(x, y) 7−→ x ⊗ y.


Definición A.36. Sean E y F dos espacios vectoriales topológicos localmente convexos, y

E ⊗ F el producto tensorial de E y F. Llamaremos π-topología (o topología proyectiva) en

E ⊗ F la topología más fuerte localmente convexa para la cual el mapeo bilineal canónico

(x, y) 7−→ x ⊗ y de E × F en E ⊗ F es continuo, y lo denotaremos por E ⊗π F.

Sean E y F dos espacios localmente convexos, p y q seminormas en E y F, respecti-vamente. Se pueden definir seminormas en el producto tensorial de E y F, p ⊗ q,de la siguiente manera:

Para toda θ ∈ E ⊗ F,(p ⊗ q)(θ) = ınf

∑

j

p(xj)q(yj),

donde el ínfimo es tomado sobre todas los conjuntos de pares finitos (xj, yj) talesque

θ =∑

j

xj ⊗ yj.

Además, para toda x ∈ E y y ∈ F,

(p ⊗ q)(x ⊗ y) = p(x)q(y).

Proposición A.37. La seminorma p ⊗ q es una norma si y sólo si p y q son normas.

Cuando (E, p) y (F, q) son espacios normados, se obtiene un espacio normado(E ⊗ F, p ⊗ q), el cual es llamado el producto tensorial proyectivo de (E, p) y(F, q).

Definición A.38. Denotaremos por E⊗π F la completación d E ⊗π F.

Sea X un espacio normado y Ω un espacio topológico localmente compacto.Definimos C(Ω, X) como el espacio de las funciones continuas de Ω en X, con latopología de la convergencia uniforme en subconjuntos compactos de Ω. Se puededemostrar que cuando Ω es compacto y X es un espacio de Banach entonces(C(Ω, X), ‖ ‖∞), donde

‖ f ‖∞ = supx∈X

‖ f (x)‖,

es un espacio de Banach.

Denotaremos por C(Ω) ⊗ X el subespacio de C(Ω, X) que consiste de las fun-ciones cuya imagen está contenida en un subespacio finito dimensional de X;C(Ω) ⊗ X es el producto tensorial de C(Ω) y X. Así

C(Ω) ⊗ X =

n∑

j=1

xj f j : xj ∈ X, f j ∈ C(Ω), n ∈ N

.

A.3 Producto Tensorial 131

También es cierto que C(Ω) ⊗ X es denso en C(Ω, X). De la misma manera, elespacio L1([0, 1]) ⊗ X se puede describir así:

L1([0, 1]) ⊗ X =

n∑

j=1

xj f j : xj ∈ X, f j ∈ L1([0, 1]), n ∈ N

,

el cual es subespacio de L1([0, 1], X).

Teorema A.39. Sea X un espacio de Banach. La inyección canónica de L1 ⊗ X en L1(X)

puede ser extendida como una isometría lineal de L1⊗πX sobre L1(X).

Consecuentemente L1 ([0, 1], X) es isométricamente isomorfo a L1([0, 1])⊗πX.

Por último tenemos el siguiente resultado cuando Y es también un espacio deBanach:

Corolario A.40. El espacio de Banach L(X, Y∗) es isométricamente isomorfo a (X⊗πY)∗.

Un elemento ψ∗ ∈(X⊗πY

)∗corresponde a ψ∗ ∈ L(X, Y∗) si y sólo si

ψ∗(x ⊗ y) = ψ(x)(y)

para toda x ∈ X, y ∈ Y.

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