Materia: Estadística I

Maestro: Dr. Francisco Javier Tapia Moreno

Semestre: 2015-2

Universidad de SonoraDepartamento de Matemáticas

Área Económico Administrativa

Hermosillo, Sonora, a 21 de septiembre de 2015.

Introducción

Las medidas de forma evalúan la forma que adopta la

distribución de frecuencias respecto al grado de distorsión

(inclinación) que registra respecto a valor promedio tomado

como centro de gravedad, el grado de apuntamiento

(elevamiento) de la distribución de frecuencias.

A mayor elevamiento de la distribución de frecuencia

significará mayor concentración de los datos en torno al

promedio, por tanto, una menor dispersión de los datos.

Las medidas que estimaremos en esta ocasión son:

1. La asimetría , 2. el sesgo y 3. La curtosis.

3

Simetría. Se dice que la distribución es simétrica cuando los datos de una población se distribuyen con igual frecuencia y alejamiento por debajo y por encima de la media aritmética.

A. Si la distribución de frecuencias es unimodal, entonces Mediana = Moda = Media.

B. Si la distribución de frecuencia es simétrica, entonces Mediana = Moda = Media (el recíproco no siempre es cierto)

C. Para distribuciones bimodales y rectangulares sólo la media y la mediana son idénticas:

La simetría determina que la población es homogénea en relación a la variable de estudio.

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Medidas de forma Asimetría. Se clasifica como asimétrica toda distribución

donde los datos menores que la media aritmética son

más frecuentes que los datos mayores que la media, o

viceversa. En este caso, se dice que la población es

heterogénea para la variable en estudio.

1.Distribución asimétrica a la derecha: los datos mayores

que la media aritmética son menos frecuentes que los

datos menores que la media.

La media tiene el valor más

grande de las tres medidas de

tendencia central en una

distribución asimétrica positiva.

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Medidas de forma

2.Distribución asimétrica a la izquierda: los datos por debajo

de la media aritmética son menos frecuentes que los mayores.

La media tiene el valor más

pequeño de las tres medidas de

tendencia central en una

distribución asimétrica negativa.

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Coeficiente de asimetría de Pearson.

Resultados posibles:

a) Si Sk < 0 entonces la distribución es asimétrica a la izquierda.

b) Si Sk = 0 entonces la distribución es simétrica.

c)Si Sk > 0 entonces la distribución es asimétrica a la derecha.

estándar Desviación

Mediana)(Media*3Sk

a) b) c)

Coeficiente de Asimetría de Fisher.

Donde Af representa el coeficiente de asimetría de Fisher, Xi cada

uno de los valores de la población, (µ) la media de la población, σ

la desviación estándar de la población, y (fi) la frecuencia de cada

valor.

Donde Af representa el coeficiente de asimetría de Fisher, Xi cada

uno de los valores en la muestra, 𝑋 la media de la muestra, S la

desviación estándar de la muestra, y (fi) la frecuencia de cada

valor.

3

1

3)(

N

fX

Ai

k

i

i

f

3

1

3)(

Sn

fXX

Ai

k

i

i

f

Los resultados posibles son:

a) Si Af < 0 entonces la distribución está sesgada a la izquierda.

b) Si Af = 0 entonces la distribución no está sesgada.

c)Si Af > 0 entonces la distribución está sesgada a la derecha.

a) b) c)

Interpretación del coeficiente de asimetría de Fisher Af .

Af < 0 (distribución asimétrica negativa; existe mayor concentración de valores a la izquierda de la media que a su derecha).

Af = 0 (distribución simétrica; existe la misma concentración de valores a la derecha y a la izquierda de la media).

Af > 0 (distribución asimétrica positiva; existe mayor concentración de valores a la derecha de la media que a su izquierda).

El Coeficiente de Curtosis de Fisher analiza el

grado de concentración que presentan los valores alrededor

de la zona central de la distribución.

Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de

curtosis:

El Coeficiente de Curtosis para la población se calcula usando

Donde (Cf) representa el coeficiente de curtosis de Fisher, (Xi)

cada uno de los valores, (µ) la media de la población, σ la

desviación estándar de la población, y (fi) la frecuencia de cada

valor.

Para la muestra se usa la fórmula

Donde (Cf) representa el coeficiente de curtosis de Fisher, (Xi)

cada uno de los valores de la muestra, (𝑋 ) la media de la

muestra, S la desviación estándar de la muestra, y (fi) la

frecuencia de cada valor.

3

)(

4

1

4

N

fX

Ci

k

i

i

f

3

)(

4

1

4

Sn

fXX

Ci

k

i

i

f

a) Si Af < 0 La distribución es platicúrtica y presenta un reducido

grado de concentración alrededor de los valores centrales de la

variable.

b) Si Af = 0 la distribución es mesocúrtica y presenta un grado de

concentración promedio alrededor de los valores centrales de la

variable (el mismo que presenta una distribución normal).

c) Af > 0 la distribución es leptocúrtica y presenta un elevado

grado de concentración alrededor de los valores centrales de la

variable.

a) b) c)

Ejemplo 1: Una granja ganadera regional, registró durante el

mes de febrero 2015 el nacimiento de 14 terneros

respectivamente, cuyos pesos al nacer (en kilogramos) fueron

los siguientes: 22, 31, 32, 44, 35, 36, 37, 38, 44, 49, 40, 50,

41.

Resolución. Para calcular el coeficiente de asimetría de

Pearson se requiere obtener los valores de la media, la

mediana y la desviación estándar que ya fueron obtenidas en

clases anteriores. La media es 38.5 kg, la mediana es 39 kg y la

desviación estándar es 7.36676529 kg. Así que

𝑨𝑷 =𝟑 ∗ (𝟑𝟖. 𝟓 − 𝟑𝟗)

𝟕. 𝟑𝟔𝟔𝟕𝟔𝟓𝟐𝟗= −𝟎. 𝟐𝟎𝟑𝟔𝟏𝟕𝟏𝟖

Se concluye que la distribución de los pesos de los corderos es

asimétrica negativa. Es decir, hay más corderos que pesan

menos del promedio.

Para calcular los coeficientes de asimetría y curtosis de Fisher,

elaboramos una tabla como la de la diapositiva siguiente.

Tabla para calcular los coeficientes de asimetría y

curtosis de Fisher

Ternero X 𝑿 − 𝑿 𝑿− 𝑿 𝟐 𝑿 − 𝑿 𝟑 𝑿 − 𝑿 𝟒

1 22 22 − 38.5 = −16.5 272.25 -4492.125 74120.0625

2 31 31 − 38.5 = −7.5 56.25 -421.875 3164.0625

3 32 32 − 38.5 = −6.5 42.25 -274.625 1785.0625

4 44 44 − 38.5 = 5.5 30.25 166.375 915.0625

5 35 35 − 38.5 = −3.5 12.25 -42.875 150.0625

6 36 36 − 38.5 = −2.5 6.25 -15.625 39.0625

7 37 37 − 38.5 = −1.5 2.25 -3.375 5.0625

8 38 38 − 38.5 = −0.5 0.25 -0.125 0.0625

9 44 44 − 38.5 = 5.5 30.25 166.375 915.0625

10 49 49 − 38.5 = 10.5 110.25 1157.625 12155.0625

11 40 40 − 38.5 = 1.5 2.25 3.375 5.0625

12 40 40 − 38.5 = 1.5 2.25 3.375 5.0625

13 50 50 − 38.5 = 11.5 132.25 1520.875 17490.0625

14 41 41 − 38.5 = 2.5 6.25 15.625 39.0625

Totales 539 0 705.5 -2217 110787.875

Aplicamos las relaciones dadas anteriormente para calcular los

coeficientes de asimetría y curtosis de Fisher. Esto es,

𝑨𝒇 =−𝟐𝟐𝟏𝟕

𝟏𝟒 ∗ (𝟕. 𝟑𝟔𝟔𝟕𝟔𝟓𝟐𝟗)𝟑= −𝟎. 𝟑𝟗𝟔𝟏𝟎𝟐𝟏𝟏

Se concluye que la distribución de los pesos de los corderos

está sesgada a la izquierda. Es decir, existe mayor

concentración de valores a la izquierda de la media que a su

derecha).

Similarmente calculamos el coeficiente de curtosis.

𝑪𝒇 =𝟏𝟏𝟎𝟕𝟖𝟕. 𝟖𝟕𝟓

𝟏𝟒 ∗ (𝟕. 𝟑𝟔𝟔𝟕𝟔𝟓𝟐𝟗)𝟒− 𝟑 = 𝟎. 𝟑𝟏𝟑𝟎𝟔𝟔𝟖𝟑

Se concluye que la distribución es leptocúrtica y presenta un

elevado grado de concentración alrededor de los valores

centrales de la variable.

Ejemplo 2. Se ha tomado una muestra de 48 personas y se les ha

preguntado el número de revistas que leen al mes. Los resultados

son los siguientes:

Número de

revistas

Número de

personas

1 1

2 20

3 12

4 10

5 3

6 2

Total 48

Calcular e interpretar las

medidas de forma siguientes:

a) Coeficiente de asimetría

de Pearson.

a) Coeficiente de asimetría

de Fisher

b) Coeficiente de curtosis de

Fisher

Ejemplo con datos resumidos.

Resolución. Para calcular el coeficiente de asimetría de Pearson

se requiere obtener los valores de la media, la mediana y la

desviación estándar que ya fueron obtenidas en clases anteriores.

La media es 3 revistas, la mediana es 3 revistas y la desviación

estándar es 1.16691993 revistas. Así que

𝑨𝑷 =𝟑 ∗ (𝟑 − 𝟑)

𝟏. 𝟏𝟔𝟔𝟗𝟏𝟗𝟗𝟑= 𝟎.

Se concluye que la distribución de la lectura de las revistas es

simétrica. Es decir, existe la misma concentración de valores a la

derecha y a la izquierda de la media).

Para calcular los coeficientes de asimetría y curtosis de Fisher,

elaboramos una tabla como la de la diapositiva siguiente.

Ejemplo con datos resumidos.

No. de

Revistas

𝑿𝒊

No. de

Personas.

𝒇𝒊

𝒇𝒊 ∗ 𝑿𝒊 𝒇𝒊*(𝑿𝒊 − 𝑿 ) 𝒇𝒊* 𝑿𝒊 − 𝑿 𝟐 𝒇𝒊* 𝑿𝒊 − 𝑿 𝟑 𝒇𝒊* 𝑿𝒊 − 𝑿 𝟒

1 1 1

1*(1-3)= -2 1 ∗ (1 − 3)2 = 4 1 ∗ (1 − 3)3 = -8 1 ∗ (1 − 3)4 = 16

2 20 40

20*(2-3)= -20 20∗ 2 − 3 2 = 20 20∗ 2 − 3 3 = −20 20∗ 2 − 3 4 = 20

3 12 36

12*(3-3)= 0 12 ∗ (3 − 3)2= 0 12 ∗ (3 − 3)3= 0 12 ∗ (3 − 3)4= 0

4 10 40

10*(4-3)= 10 10 ∗ (4 − 3)2=10 10 ∗ (4 − 3)3=10 10 ∗ (4 − 3)4=10

5 3 15

3*(5-3)= 6 3 ∗ (5 − 3)2=12 3 ∗ (5 − 3)3= 24 3 ∗ (5 − 3)4= 48

6 2 12

2*(6-3)= 6 2 ∗ (6 − 3)2=18 2 ∗ (6 − 3)3= 54 2 ∗ (6 − 3)2= 162

Totales 48 144 0 64 60 256

Aplicamos las relaciones dadas anteriormente para calcular los

coeficientes de asimetría y curtosis de Fisher. Esto es,

𝑨𝒇 =𝟔𝟎

𝟔 ∗ (𝟏. 𝟏𝟔𝟔𝟗𝟏𝟗𝟗𝟑)𝟑= 𝟔. 𝟐𝟗𝟑𝟐𝟕𝟔𝟔𝟖

Se concluye que la distribución de la lectura de revistas está

sesgada a la derecha. Es decir, existe mayor concentración de

valores a la derecha de la media que a su izquierda).

Similarmente calculamos el coeficiente de curtosis.

𝑪𝒇 =𝟐𝟓𝟔

𝟔 ∗ (𝟏. 𝟏𝟔𝟔𝟗𝟏𝟗𝟗𝟑)𝟒− 𝟑 = 𝟐𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟒𝟏𝟔𝟕

Se concluye que la distribución es leptocúrtica y presenta un

elevado grado de concentración alrededor de los valores

centrales de la variable.