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UNIVERSIDAD DE PANAM FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA COLOQUIOS MATEMTICOS OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT. REPRESENTACION MATRICIAL EXPOSITORES PROFESOR JORGE E. HERNNDEZ, Ph.D. ABRIL, 2013

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RESUMEN En el presente trabajo presentamos los proyectores (ortogonales) como una aplicacin del problema de la mejor aproximacin y estudiamos sus propiedades fundamentales. Tambin presentamos un teorema que caracteriza los proyectores. Posteriormente utilizamos las propiedades de los proyectores para descomponer un espacio de Hilbert como suma directa de un subespacio cerrado y su complemento ortogonal. Basados en la descomposicin representamos a los operadores lineales acotados sobre H mediante una matriz y utilizamos esta representacin para estudiar, desde un ngulo diferente, los operadores lineales positivos.

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Dado un espacio con producto interno X, un subconjunto no vacio K de X y. Existir un tal que ?

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A los elementos de este conjunto los llamaremos una mejor aproximacin a x por elementos de K y a la funcin la llamaremos la proyeccin (mtrica) sobre K.

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Si para todo, entonces diremos que K es un conjunto proximal. Si es un conjunto unitario para todo, entonces diremos que K es un conjunto de Chebyshev. En este caso se puede considerar a como una funcin univaluada donde es el nico elemento del conjunto

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Preguntas: Existencia: Cules conjuntos son proximales? Unicidad: Cules conjuntos son Chebyshev? Caracterizacin de la mejor aproximacin: Cmo se reconocen? Error de la mejor aproximacin: Cmo se calcula el error de la aproximacin d(x, K). Calcular la mejor aproximacin. Continuidad de la mejor aproximacin.

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Teorema (Existencia y Unicidad): Sean X un espacio con producto interno y K un subconjunto no vaco convexo y completo X. Entonces, para cada existe un nico tal que es decir K es un conjunto de Chebyshev. Teorema (Caracterizacin): Sean X un espacio con producto interno, K un subespacio completo de X y Entonces es decir,, para todo

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Corolario: Sean H un espacio de Hilbert y Y un subespacio cerrado de H. Entonces Y es un conjunto de Chebyshev y

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Del corolario anterior se tiene que si Y es un subespacio cerrado de H, entonces para todo se tiene que x = y + z donde. Luego como, se tiene que y si tal que entonces. Adems

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Ejemplo: Sea Y un subespacio de dimensin finita n del espacio de Hilbert H. Por el proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt podemos encontrar una base ortonormal de Y. Luego para cada se tiene que Como para todo i = 1,..., n.

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de donde Por consiguiente,

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es lineal. Es un operador lineal acotado y

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para todo ; o sea que o sea que es idempotente. o sea que es un operador auto-adjunto.

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Definicin: Sean H un espacio de Hilbert y un operador lineal acotado. P es una proyeccin (o una proyeccin ortogonal) si P es autoadjunto e idempotente; o sea que Observaciones: 1. Si Y es un subespacio cerrado de H, entonces son operadores proyecciones. 2. Si P es una proyeccin sobre H, entonces Ran(P) es un subespacio cerrado de H.

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Teorema: Sean H un espacio de Hilbert y una proyeccin, entonces Demostracin: Ker(P) es un subespacio cerrado de H. Como Ran(P) es cerrado, As pues

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Teorema: Sea una proyeccin. Entonces donde Y = Ran(P). Demostracin: Sea entonces x = y + z con De donde P(x) = P(y) + P(z) = P(y) = y. As pues

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Definicin: Sean H un espacio de Hilbert y un operador lineal acotado auto-adjunto T es un operador positivo si para todo En este caso escribimos En base a la definicin anterior podemos definir una relacin de orden parcial en el conjunto de los operadores lineales acotados y auto-adjuntos definidos en un espacio de Hilbert H como sigue

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Se prueba sin mayor dificultad que si H es un espacio de Hilbert complejo, entonces es reflexiva, antisimtrica y transitiva. Teorema: Sea H un espacio de Hilbert y Y un subespacio cerrado de H. Entonces es un operador positivo. para todo

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Representacin Matricial de Operadores Lineales Acotados en Espacios de Hilbert. Denotemos por el conjunto de los operadores lineales acotados positivos sobre el espacio de Hilbert H. Sea Y un subespacio cerrado de H. Entonces Denotemos por la proyeccin sobre Y y sea T un operador lineal acotado sobre H. Entonces

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PTP + PT(I P) + (I P) TP + (I P) T (I P) = PT + PT PTP+TP PTP + T TP PT + PTP = T o sea que T= PTP + PT(I P) + (I P) TP + (I P) T (I P)

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Denotemos

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Sea entonces Por lo tanto,

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As podemos hacer la identificacin Si entonces Por lo tanto podemos escribir donde

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Note adems que para todo. para todo. Por consiguiente

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Si entonces y por lo tanto donde

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Si entonces donde

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Sea ahora un operador idempotente tal que T(H) = Y. Entonces T(y) = y para todo Por lo tanto, As pues donde

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entonces

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Si y a, d son operadores invertibles, entonces Por lo tanto, A es un operador invertible y

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Si y a, d son operadores invertibles, entonces Por lo tanto A es un operador invertible y

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En general, si se prueba que si, los correspondientes operadores son invertibles, entonces En efecto,

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Sea un operador lineal positivo en un espacio de Hilbert complejo H. Entonces un operador auto-adjunto es llamado raz cuadrada de T si Si adems entonces A es llamado la raz cuadrada positiva de T y lo denotamos por

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Ejemplo: T es lineal T es un OLA,

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Sea Luego Y es un subespacio cerrado de y Note que

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Como, se tiene que Si entonces As pues

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Teorema: Sea H un espacio de Hilbert complejo y un operador lineal acotado positivo. Entonces T posee una nica raz cuadrada positiva A. Adems si es tal que LT = TL, entonces LA = AL. Propiedades: Sea H un espacio de Hilbert complejo y un operador positivo. Entonces 1. 2. 3.

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Teorema: Sea H un espacio de Hilbert complejo y Entonces i. ii. iii. R(T) es cerrado s y slo s

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Teorema (Teorema de Douglas): Sea H un espacio de Hilbert complejo y sean Los siguientes enunciados son equivalentes a. Existe un tal que AD = B b. c. Existe un nmero real positivo tal que Si una de estas condiciones es satisfecha, entonces existe un nico operador tal que AX = B; N(X) = N(B) y Ms an X es llamado la solucin reducida de la ecuacin AX = B.

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Teorema: Sean H un espacio de Hilbert complejo y con representacin matricial entonces i. Ii.

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Sean H un espacio de Hilbert complejo y. Definamos la funcin Propiedades:

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es una forma sesquilineal acotada y no negativa.

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no es un producto interno sobre H. Como A es inyectivo es inyectivo. Si A es inyectivo, entonces es un producto interno sobre H.

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Teorema: Sea invertible. Entonces es un producto interno equivalente a de donde Como A es invertible,

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Definicin: Sean y,. El A-ortogonal de S se denota por y se define por Propiedades: 1. 2. Si Y es un subespacio cerrado de H, entonces

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Definicin: Sean y. Un operador es un A-adjunto de T si para todo Propiedades: Sean y 1. W es un A-adjunto de T 2. Si A es invertible, entonces todo operador posee un A-adjunto

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Definicin: Sean y. T es A-autoadjunto si Definicin: Sean y Z un subespacio cerrado de H. El par (A, Z) es compatible si, donde

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Problema: Sean M, N subespacios cerrados de H. 1. 2. 3. Sea

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Analisis Matricial II Operadores en Espacios de Hilbert Matrix Analysis Generalized Orthogonal Projections and Shorted Operators Oblique Projections and Abstract Spliner Soluciones Reducidas de Ecuaciones Tipo Douglas y Proyecciones Oblicuas BIBLIOGRAFA [1]. Antezona, J. y Stojanoff, D.: Analisis Matricial II Operadores en Espacios de Hilbert. Espaa, 2008. [2]. Bhatia, R.: Matrix Analysis, Berlin-New York, Springer 1997. [3]. Corach, G; Maestripieri, A. and Stojanoff, D.: Generalized Orthogonal Projections and Shorted Operators. Servicio de Publicaciones, Universidad de Rioja, Espaa, 2001. [4]. Corach, G; Maestripieri, A. and Stojanoff, D.: Oblique Projections and Abstract Spliner. Journal of Aproximation Theory, 117, 2 (2002), 189 206. [5]. Gonzlez, M.C.: Soluciones Reducidas de Ecuaciones Tipo Douglas y Proyecciones Oblicuas. Tesis Doctoral. Universidad Nacional de la Plata, 2009.