ESPACIOSDEHILBERT (Geometra,Operadores,Espectros) LorenzoAbellanas Catedrtico de Mtodos Matemticos en la Universidad Complutense AlbertoGalindo Catedrtico de Mecnica Cuntica en la Universidad Complutense EUDEMA EUDEMAUNIVERSIDAD:MANUALES Cubierta: Jos Mara Cerezo Reservados todos los derechos.Ni la totalidad,ni parte de este libro,puede reproducirse o transmitirse por ningn procedimiento electr6nico o mecnico,incluyendo fotocopia,grobaci6n magntica o cualquier almacenamiento de informaci6n ysistema de recuperaci6n,sin permiso escrito de EUDEMA (Ediciones de laUniversidad Complutense,S.A.) Lorenzo Abellanas y Alberto Galindo EUDEMA, S.A.(Ediciones de la Universidad Complutense, S.A.),1987 Fortuny, 53. 28010 Madrid Depsito legal:M41.685-1988 ISBN:84-7754-035-7 Printed inSpain Imprime:Anzos, S.A.- Fuenlabrada (Madrid) ndice Introduccin........................................... ..11 l.Espacioslinealesyaplicacioneslineales.................... ..13 Espacioslineales.................................... . .13 Subespacioslineales................................. .. .14 BasesdeHamel.Dimensinlineal...................... ... .15 Sumadirectadesubespacioslineales..................... .. .16 Aplicacioneslinealesyantilineales..................... .. . ..17 Grficodeunoperadorlineal....................... .. . ...20 Isomorfismoslineales............................ . .. .. ..20 Proyectores.................................. .. . .. ...21 Ejerciciosdelcaptulo1........................ .. . .. ....23 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo1............. . .. .....25 2.Espacioslinealesnormados.................... ... .. .. ....29 Definicinyejemplos....................... ... .. . ......29 Relacinnorma-distancia..................... .. .. .......31 Sucesionesconvergentes..................... . ... .. ......32 Complecin.............................. .. .... ......34 Sumasinfinitasenespaciosnormados......... ... ...........36 Apndice:DesigualdadesdeMinkovskiyHolder(parasumas).....37 Ejerciciosdelcaptulo2.................. .... ...........39 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo2.... ..... ............42 3.EspaciosLP.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..49 Introduccin...................... ...................49 Borelianosyfuncionesborelianas..........................50 IntegraldeLebesgue.Espacio!f'1 55 Propiedadesc.d..EspaciosL1 59 EspaciosLP.. .. . .. .. . .. .. . . . . . .. . . . .. .. ... .. . .. . . .. . .61 Otraspropiedadesdelaintegral......................... ..62 ComparacinconlaintegraldeRiemann....................64 EspaciosU(!Rn).......................................65 Apndice............................................67 Ejerciciosdelcaptulo3.................................69 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo3.....................71 8LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 4.EspaciosHilbert.......................................75 Espaciosconproductoescalar(pre-Hilbert,Hilbert).............75 Propiedadesgeomtricaselementales........................76 Normainducidapor elproductoescalar.....................78 Ejemplosdeespaciosconproductoescalar...................79 Relacinnorma-productoescalar..........................80 EspaciosdeHilbert.Ejemplos............................82 Complementosortogonales...............................85 Ejerciciosdelcaptulo4.................................89 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo4.....................92 5.Bases deHilbert.Separabilidad................. ...........101 ProcesodeortonormalizacindeGram-Schmidt...............10 l Basesortonormales.................................... 102 EspaciosdeHilbertseparables............................104 Teoremadelisomorfismo................................107 Basesortonormalesybaseslineales.........................109 Algunasbasesortonormalesimportantesdefunciones...........ll O Basesortonormalesenvariasvariables......................ll4 Ejerciciosdelcaptulo5.................................116 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo5.....................118 6.Operadoreslinealesacotados.Generalidades...................123 Acotacinycontinuidaddeoperadoreslineales................123 Sobreeldominiodelosoperadoresacotados..................125 Existenciadelinversoend(H1,H2)126 Estructuraded(H 1,H 2)127 Algunosoperadoresinteresantes...........................129 Ejerciciosdelcaptulo6.................................136 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo6.....................138 7.Dualidad............................................143 Funcionaleslinealescontinuos.Espaciodual..................143 Formasbilineales......................................148 TopologadbilsobreH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150 Topologastilessobred(H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154 Apndice:Principiosbsicosdelanlisislineal.................157 Ejerciciosdelcaptulo7.............. : ..................163 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo7.....................165 8.Algunostiposimportantes deoperadoreslinealesacotados.........167 ~ o p e r a d o radjunto....................................167 Operadoresautoadjuntosacotados.........................170 Operadores(autoadjuntos)positivos........................174 Proyectoresortogonales.................................179 Operadoresunitarios...................................184 LatransformacindeFourier comooperadorunitariosobreL2 188 Isometrasparciales....................................191 ESPACIOSDEHILBERT9 Operadoresnormales...................................194 Apndice(familiassumables).............................195 9.Operadorescompactos..................................197 Generalidades........................................197 OperadoresdelaclaseHilbert-Schmidt......................201 Operadoresdeclasedetraza.............................206 10.Espectroyresolvente...................................213 Definiciones..........................................213 Propiedadestopolgicasdeu(A)yp(A).. . . . . . . . .. . .. . . . .. . .216 ComparacindelosespectrosdeAyA+. .. . . . . . . . .. . . .. . . ..219 Rangonumricoyespectro..............................220 11.Espectrodeunitariosyautoadjuntos en.s;/(H).................223 Espectrodeoperadoresnormales..........................223 Espectrodeunitarios...................................224 Espectrodeisomtricos.................................225 Espectrodeautoadjuntos end(H).. . .. . . .. . .. . . .. . . . . . . . . .225 Espectrodeproyectores.................................226 Ejemplos............................................227 12.Espectroyformacannicadeoperadores compactos.............229 Espectrodeoperadorescompactos.........................229 Descomposicinespectraldelosoperadorescompactosnormales232 Forma cannicadeuncompactoarbitrario................... 234 Triangulacindeoperadorescompactos.....................236 13.Introduccinalas ecuacionesintegrales......................241 Operadoresintegrales.Generalidades.......................241 Ecuacionesintegralesdetipocompacto......................244 Ecuacionesintegralesyecuacionesdiferenciales................246 Propiedades espectrales delosoperadores integrales detipocompacto.248 Ncleoresolvente.....................................249 Resolucindelcasodegenerado...........................250 Mtodoiterativo(SeriedeNeumann).......................253 ElmtododelosdeterminantesdeFredholm.................256 EcuacionesdeVolterra..................................259 Ecuacionesintegralesconncleosimtrico...................260 14.Descomposicinespectraldeoperadoresnormalesacotados.........265 Clculofuncionalcontinuoconunoperadorautoadjuntoacotado265 Clculofuncionalboreliano..............................270 Losproyectos espectrales................................275 Familiasespectralesymedidasespectrales....................278 Integracinrespectodeunamedidaespectral..................279 Descomposicinespectraldeautoadjuntosacotados.............280 Relacinentreu(A)y{Et}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282 10LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Representacinespectraldeoperadoresautoadjuntosacotadoscones-pectrosimple......................................285 Descomposicinespectraldeunitarios.......................289 Descomposicinespectraldenormales......................289 Apndice. . . .. .. .. . . . .. . . . .. .. . . . .. . .. . . .. . .. .. . . .. . . .. .291 Matrices....... .....................................293 Matrizasociadaaunoperador linealenA"................293 Operaciones elementales..............................293 Trazaydeterminante................................294 Productodirectodematrices...........................295 Rango.. .........................................295 TiposimportantesdematricesenMn(R)..................296 Espectroyvectorespropios............................297 Clculovariacionaldea(A),Aautoadjunta................298 Localizacindelosvalorespropios......................299 Diagonalizacin.......... ..........................302 Polinomiomnimo............... ...................302 Teoremaespectral...................................303 Clculofuncional...................................304 Casoparticular:Funcinexponencial.....................308 Listadesmbolos. . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .309 lndiceanaltico311 Biblografia.. ... .. . . . . . . . . .. . . . .. .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . . .317 1ntroduccin LateoradeoperadoreslinealesenespaciosdeHilbertsehallasituadaenuna deesascuriosasconfluenciasentrelaFsicaylaMatemtica,quesloporhbito dejandeprovocarsorpresa.Enlosltimoscincuentaaos,laFsicaharecurridoa unateoramatemticabasadaenespaciosdedimensiniriflnita,dotadosdeuna estructurageomtricadetipoeucldeo,paraformularsuspropiosproblemasy esquemasdetrabajo.Y noesmenosciertoquehadevueltogenerosamenteel favor, tantoporlascontribucionesdealgunosfisicosatemasdecarcterestrictamente matemticocomoporelplanteamientocontinuodenuevosproblemasque,asuvez, acaparanlaatencinyelesfuerzodelosmatemticos,cerrandoasunciclode intercambiosqueactadecatalizadorsobreeldesarrollodeamboscampos. Enestasnotaspretendemosdarunavisinalavezautocontenida,concisay bastante completa delateora de operadores lineales acotados enespacios deHilbert. Trasunoscaptulospreliminaressobre espacios linealesnormados,seintroducen losespaciosLPdeLebesgue.Sudefinicinenelcaptulotercerosepresentaporun mtodo ms rpidoque el clsico enteora delamedida(u-lgebras,etc.), esperando quesudificultadsevea,conello,muyatenuada. Despusdeunanlisisrelativamentedetalladodelosaspectosmselementales delageometradelosespaciosdeHilbertydelasaplicacioneslinealescontinuas, serecogenalgunascuestionesrelacionadasconlosoperadoreslinealesacotadosque sondegranimportancia,tantotericacomoprctica.Noshemos reducidoal anlisis deoperadoresacotadosconel findemantenerlaexposicinaunniveladecuado parasusfinalidadesdocentesenelprimerciclodelaLicenciatura.Dehecho,el anlisisaqupresentado facilitarenormementeallectorinteresadolaincursinen problemaslinealesnoacotados. Entrelostiposmsimportantesdeoperadoresacotadosquequedanenglobados enelalcancedeestasnotasdestacanenprimerlugarlosunitarios,autoadjuntosy proyectoresortogonales,todoselloscasosparticularesdelosllamadosoperadores normales.Aellossededicaelcaptulooctavo.Otrafamiliadegraninters,lade losoperadorescompactos,hasidoaisladaenelcaptulonoveno,porgozarde propiedadesmuypeculiares. LosCaptulosJO,11y12presentanlasnocionesbsicasdeespectroy resolvente,suspropiedadesgeneralesylaestructuraespecificadelespectrodelas familiasantescitadas. Comoaplicacininmediata delosCaptulos9 y12,enelCaptulo13seanalizan algunosaspectosbsicosenlateoradeecuacionesintegrales. Finalmente,elCaptulo14contieneelclculofuncionalparaoperadoresauto-12LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO adjuntos(msgeneralmente,normales)acotados,ensusversionescontinuay boreliana,ascomoladescomposicinespectralytpicosconellarelacionados. Sehaintentadoalolargodeestasnotaspreservarenloposibleunequilibrio convenienteentrelosresultadostericosdt!llibroyalgunosejemplosilustrativos intercaladoseneltextoatalefecto.Locualnosignificaqueseabrumeallector conunasartadeejerciciosmontoname11terepetidos,meramentemecnicos.Bienal contrario,hemosprocuradoescogerunmuestrario deejemplos,avecesbajoelttulo deejercicios,suficientementerepresentativosy,siemprequehasidoposible,dentro delosoperadores que conmayor frecuenciaaparecenenlaprctica(transformacin deFourier,matricesdensidad,operador posicin[acotado],operadoresintegrales ... ). Sloenunequilibrioadecuadoentreelestudiodelateoraabstractayla resolucindeejemplosyejerciciospuedelograrseundominiorazonabledelanlisis linealenespaciosdeHilbert. Enestemismoordendeideas,ypeseaquelateoradematricesesrequisito previoparaunosconocimientosdebaseenteorageneraldeoperadoreslineales, hemoscredoaconsejableresumirenunapndicelaspropiedadesmsdestacables delasmatricesfinitas,coneldoblefindequeellectorpuedaconsultarlas directamente,yademspensandoenquelesirvancomoalmacnparaautoproponer-seejerciciossimplesenconexinconlasideasdeltexto. Queremos agradecer a M.A.Iglesiassuesmeroen el mecanografiado del original deestasnotas. DeseamosasimismoagradeceraM.angelesSolanoyDanielMontanya,de Eudema,suinestimablecolaboracinenlaedicinyproduccindeestaobra. 1 Espacioslinealesyaplicacioneslineales 1.1.ESPACIOSLINEALES Unespaciolineal(ovectorial)sobreuncuerpoA (quetomaremos= IRC)es unatema(L,+,)formadaporunconjuntonovacoLydosaplicaciones L x L ~L,A x L -+ Lllamadassumayproductoporescalares,respectivamente, quesatisfacen: i)(L,+) esungrupoaditivo ii)A.(x+y)=A. x+A.y iii)A. (fJ x) = (A.fJ) x iv)(A+fJ) X=A X+fJ x V)} X=X Vx,yEL VA.,!JEA Corrientemente, escribiremos Len lugar de (L,+, ),sobreentendiendo fijadas lasaplicaciones( +,).YsimplificaremosA. xescribiendoA.xsencillamente, convenioquenoinduceaerror debidoalascondiciones(ii-v)precedentes. LoselementosdeLsellamanvectores;losdeA,escalares. Notaciones SeaLunespaciolinealsobreA,yseanA,B,dossubconjuntosdeL. Definimos: A+B={x+ylxEA, yEB},A+=A A.A::: { A.xix E A},A.::: AA= U A.A AEA 14LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Ejercicios J.SeaMn(A)elconjuntodematricesn x nsobreA.Definaseuna estructura de espacio lineal enMn(A)mediante las operaciones usuales conmatrices. 2.ProbarqueelconjuntoC[a,b]defuncionescontinuascomplejas definidassobre[a,b] eIResunespaciolineal,conlasoperaciones habitualesdesumadefunciones,etc. 3.TodoespaciolinealLsobreCpuedeserconsideradocomoespacio linealsobreR 4.SeaNelconjunto den-plas =(a, a2, ,an)conocie A,dotado delasoperaciones Probar queesunespaciolinealsobreA. 1.2.SUBESPACIOSLINEALES UnsubconjuntonovacoMdeunespaciolinealLsedicesubespaciolineal deL siM+McM,AMcM. Eselementalprobarque: i)Si{M Cl} e AesunafamiliadesubespacioslinealesdeL,entoncesnM Cllo estambin. Cl ii)SiM1,M2, ,Mn,sonsubespacios lineales deL, entoncesM1 +M2+ +Mn tambinloes. Entodasestasafirmaciones,Lysussubespacioslinealesseconsideransobre elmismoA. Dadounsubconjunto(novaco)XdelespaciolinealL,sellamaenvolvente lineal deXalmnimo subespacio lineal que contiene aX.Se denotar por lin(X). Comoconsecuenciasinmediatasdeestadefinicin: i)lin(X)=n M, dondeMessubespaciolinealdeL. M=>X ii)lin(X)={xeLix=A.1x1 +A.2x2+ +A.nxn,A.ieA,xieX}. Haciendohincapi en esteltimo punto, hagamos constar explcitamente antes de entrar a discutir conceptos tales como independencia lineal,etc.,que eladjetivo linealllevasiempreimplcitalaideadesumasfinitasexclusivamente.Aspues, por ejemplo,Iin(X) consta tan slo deaquellosvectores enLque son alcanzables apartir delosdelconjunto generador Xmedianteproducto por escalaresysumas finitas.IndependientementedequeelconjuntoXfuerafinitoono! Ejercicio aotn SeaX:={l,t,t2, ,tn,... }cC[O,1).HallarIin(X).Ese'=}:---un o n. elementodelin(X)? ESPACIOSDE HILBERT15 Respuesta lin(X)=conjuntodepolinomiosenlavariablet.No,pues: t : e ' ~ O ,Vk entero>O. 1.3.BASESDEHAMEL.DIMENSIONLINEAL UnsubconjuntofinitooinfinitoX(novaco)deunespaciolinealLsobreA, sedicelinealmenteindependiente(abreviadol.i.),siA1x1 + +AnXn=O,xjEX, AjE A= VAj=O(nE N). ObsrvesequeinclusoenelcasoaparentementecomplicadodeserXinfinito sededucedeladefinicinanteriorque:Xesl.i.siyslositodosubconjunto finitodeXloes. SellamabasedeH amel(obaselineal)BdeunespaciolinealLatodo subconjuntoBe L,queseal.i.maximal,esdecirtalque,ademsdeserl.i.,no estcontenidopropiamente enningnotroconjuntol.i.enL. LaexistenciadebasesdeHamelencualquierespaciolineal# {O}lagarantiza ellemadeZorn. PuedenprobarselassiguientespropiedadesrelativasalasbasesdeHamel: BHl)Todoconjuntol.i.X eL, esampliableaunabasedeHameldeL. BH2)DosbasesdeHameldeLsoncoordinables,esdecirtienenelmismo cardinal.AdichocardinalcomnatodaslasbasesdeHameldeun L#{O}dado,selellamadimensinlineal(oalgebraica)deL, denotada por dim .... (L)o,desobreentenderseA,por dim(L). Por convenio,sedefinedim(L)=OsiL={O}. BH3)V basedeHamelB deL=L=lin(B). n BH4)SiBesunabasedeHameldeL,ladescomposicinx= LAjXj,AjEA, xjEB,queexisteporBH3es,adems,nica. 1 Puede demostrarse sin esfuerzo que existen espacios lineales de dimensin arbitraria. Ejemplos l.Probar quedimc(L)< + oo =dimu(L)=2 dimc(L). 2.SeaL = C[O,1],espaciolinealsobreC.ProbarqueelconjuntoX= Un} o, donde fn(x)=e"x", es l.i. en L. (Ayuda:Teorema fundamental dellgebra.) 3.Probarquedim .... (A")=n. 4.ConsidreseelespaciolinealANdeelementos{cxj}i=(cx,cx2, ,ex",... ), concxE A yoperaciones{ex Ji+ {PJi = {cxj+ Pj}i, A{cxj}i = {Acxj}i.Probar quetienedimensininfinita. 16LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 5.Paraconvencersedequelosespaciosfuncionalessonfrecuentementeyde maneranaturaldedimensininfinita,demustresequelasfunciones{x"}O' sonl.i.encualquierespaciodefuncionesdefinidasenunabiertonovaco y quecontengaalospolinomios. 1.4.SUMADIRECTADESUBESPACIOSLINEALES Uncasoparticularmuyimportante desumadesubespacioseselsiguiente: SiM 1,M 2,. ,M"'sonsubespacioslinealesdeL,diremosquelasuma M= M 1 +M 2 + + M n esdirecta,yladenotaremos .entalcaso:M 1 Ea M 2 Ea... EBMn,cuandoladescomposicinx=x1 +x2+ +xn,xieMi, esnicaVxeM. Ejemplo IR3=lin({e1,e2})Ealin({e3})=lin({e1,e2})+lin({e2,e3})= =lin({e1,e2})Ealin({e1 +e2+e3}) dondee1,e2,e3,denotalabasecannicadeIR3. Ejercicio Demostrar quedim(M1 Ea...EBMn)=dim(M 1)+ +dim(Mn). SeaMsubespaciolinealdeL.SiM'esotrosubespaciodeLtalque L=MEBM',diremosqueM'essubespaciolinealcomplementario(ocomplemento lineal)deMenL. De (BH l) sesigue la existencia de complementolinealpara cualquier subespa-ciolinealM eL. Hastaaqusehadefinidoloquesignificadescomponerunespaciolinealen sumadirectadesubespaciossuyos.Ahoravamosconlaconstruccininversa: dadosespacioslinealesL1,L2, ,Ln,formarunespaciolinealqueseasuma directadelosL i Sea{L .. }.. eAunacoleccindeespacioslinealessobreA.Elsubconjuntodel producto cartesiano conjuntista nL...formadoporloselementos{x .. E L .. lx .. =o " salvoalosumoparaunnmerofinitodendicesoceA},tieneestructurade espaciolineal: ).{x .. } + Jl{Y .. } ={h.. + JlY .. } Investidocondichaestructuralinealconstituyeunespaciolinealqueseconoce como suma directa Ea L .. ,ycuandoAesfinitosedenotatambinporL1 Ea L2 Ea... - " Ef>Ln. ESPACIOS DEH/LBERT17 Ejercicios J.InyectarcadaL,.enconimagenisomorfaalL,..(Vase 1.7.) 2.Describir

yC[O,1]. 3.Considerarlafuncinf:xeR-+3xeRProbarquelospuntosdesu grficaconstituyenunsubespaciolinealde R2 4.Ylosdelafuncinf(x)=x2? 1.5.APLICACIONESLINEALESY ANTILINEALES Nota Reservamoseltrminoaplicacin( = ope,.ador)para asignacionesunivaluadas. Porelcontrario,cuandohablemosderelacinR:A -+ B,setratardeuna asignacin,engeneralmultivaluada,deAenB.Mstarde,alhablardeinverso, setendroportunidaddedistinguirclaramenteambosconceptos. Definicin1. 1 SeanL1,L2,espacioslinealessobreA.UnaaplicacinuoperadorTcon dominiodedefinicinD ( T),subespaciolinealdeL 1,yrecorridoR ( n = = TD(T)cL2,sedirlinealsi T(x+ y)= Tx+ Ty T(A.x)=A.Tx Vx,yeD(T),VA.eA Obsrvesequeescribimos,parasimplificar,T(x)= Tx. Si,por elcontrario,A =CyTcumple T(x+ y)= Tx+ Ty T(A.x)=I Tx sedicequeTes antilineal. Vx,yeD(T),VA.eC Undetalle,aposteriorifundamental,quevaimplcitoenladefinicinde operador linealesquetalobjetoconstadedospartes:eldominio(=conjunto de vectoresdeL1 enqueestdefinidasuactuacin)ylaactuacinconcretadeT sobreesedominio,esdecir,laasignacinx-+ Tx.Esesencialdarsecuentade quecadaTllevaasociadoundominiodedefinicin,yqueengeneralD(T)no tieneporqucoincidircontodoelespacioL 1Elsiguienteejemplopuedeser ilustrativo: 18LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Ejemplo L1 = C(O,1].Puedeaspirarseaquela aplicacinTdefinidamediantederiva-cindfdxtengapordominiotodoL1?No,evidentemente. Peromsan,inclusorestringiendonuestraatencinalasfuncionesderiva-bles,todafuncinderivablecontenidaenC(O,1]esadmisibleeneldominiode T=dfdx,siendoL2 = C[O,1]?Denuevo,respuestanegativa.Antes,por pretender unespacioinicialL1 demasiadogrande.Ahora,por serL2 demasiadopequeo, conloquealgunoselementosqueTasignaracomofuncionesderivadassalen fueradel. Elconjunto,claramentenovaco,deaplicacioneslinealesT:L 1 -+ L 2 con dominioD(T)=L1 yrecorridoR(T)cL2,admiteunaestructuranaturalde espaciolinealsobreA,sinmsquedefinir: Denotaremostalespaciolinealpor!t'(L1,L2),ysiL1 =L2 =Lpor!t'(L).El elementonulode!t'(L1,L2)lodenotaremosporO(=OL, .... L,),paraabreviarla notacin. Enparticular,eloperadoridentidad(E!t'(L))lodenotaremosporIL1 sin quehayapeligrodeconfusincon1 E A.Esinmediatoprobar,paraunoperador linealT:L1-+L2,que i)V subespaciolinealMdelL1 =>T(M) essubespaciolinealdeL2 ii)Enparticular,R(T) essubespaciolinealdeL2 iii)DefinamoslarelacininversadeT:D(T)cL1-+L2,comoT-1: R(T) eL2-+ L1 actuandoas:paracualquierYo E D(T -1)=R(T),es T-1(y0)= {xED(T)ITx= Yo} iv)Como seacaba de indicar,T-1 es generalmente una relacin,no univalua-da,peseaqueTseaunivaluada.Cundo esr-1 univaluada,esdecirun operador?Heaquuncriteriotil: Criterio1.2(existenciadeoperadorinverso) DadounoperadorlinealT:D(T)cL1 -+L2,lastresafirmacionessiguientes sonequivalentes: a)T-1 esunoperadorlineal:R(T)-+ D(T). b)Tes inyectivo. e)Tx=O=>x=O. L lcxiklesunconjuntol.i. 5.DemostrarqueenM 2 ( C)lasmatrices1,u"'u.,,u zsonl. i.[Lasmatricesu sonlasllamadasmatricesdePauli: (o-i) u.,=iO' 6.Sidim(L) = n (finita),sesabequeparatodopar desubespacioslinealesM 1, M2cL setieneM1

siemprequedim(M1)ydim(M2)seansufi-cientementegrandes.Estoyanoesciertosidim(L)esinfinita.Exhibiren C[O,Ifdos subespaciosM1,M2,dedimensinigualaladeC[O,1],ytales queM1 nM2={0}. 7.DemostrarqueM 1 +.. +Mn=M 1 $.. $M 2 siyslosiM 1 nM 2 = (Mt +M2)nM3= .. =(M1 +... +Mn_.)nMn={O}. 8.SeaT1:feD(T.)cC[O,Ii-+f'= 1) condominioD(T.)=Iin({x"ln=O,1,2,... });y sea T2:feD(T2)cC[O,1]-+f'eC[O,1] condominioD(T2)=1in({e"x"ln=O,1,2,... }). i)CalcularT 2 T 1 ii)Probarque

3T21,comooperadoreslineales. iii)DemostrarqueningnisomorfismolinealUentreD(T1)yD(T2) queentrelaceT1,T2 (enelsentidoT2 U= UT1). 24LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 9.ConsidreseenC[O,1]laconjugacinT:f(x)-+ f(x).Demostrarque: i)Tesantilineal. ii)y2 =l. iii)C[O,l]=lin({!IT/=f})=lin({!IT/=-/}). JO.SeaenC[O,1]laaplicacinP:f(x)-+f(l-x).Demostrarquecone= {!IPf= /},se tiene: i)e=e +E e_. ii)~(1 P)eselproyectordee sobreeenladireccindee+. 11.ConsidreseelespacioC'[O,oo)formadoporlasfuncionescomplejasf(x), x e [0,oo ),continuasyconlmitefinitocuandox-+ oo.Demostrarque C' [0,oo)ye [0,1]sonlinealmenteisomorfos.Seraestociertosinla restriccinimpuestaalas/(.) agrandesdistancias? 12.SeaLunespaciolinealsobreA.DefinamosunaaplicacinbilinealT: LxL-+LcomoaquellatalqueT(l1,12)eslinealencadaunodelos argumentos,ysea!l'(21(L)elespaciolinealdetalesaplicacionesbilineales. Demostrarque!f'(21(L)esisomorfoa!l'(L,!l'(L)). ESPACIOSDE HILBERT25 SOLUCIONESALOSEJERCICIOSDELCAPITULO1 1.EsclaroqueBPor otrolado,dados dossubconjuntosfinitosordenados cualesquiera(A.1, ,A.m),A.;EA,(b1, ,bn),b;EB,podemosasociarlesel elemento 1= A.1 b 1 + + A.,b, EL, r = min {m,n}.Assedefine una suprayeccin "" DadoqueAyBsonconjuntosinfinitos,loscardinalesdeU(CQD). Nota p,qtalesque+ =1 sesuelenllamarexponentesconjugados.Esintere-pq san tesealarelpapelsimtricoque juega elvalorp = q = 2. 38LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO DesigualdaddeMinkowski p;;;:: 1{ai}i. {bi}l e/K Demostracin Trivial para p= 1,o cuando ai+bi=O, Vj.En losrestantes casos, la identidad (lcxl+ lfJI)P = (lcxl+ lfJI)P-1 (lcxl+ IPD conex= aiP=biimplica,trassumar: ocococ L (iail + lbii)P= L n0(v).Probar que: a)FessubespaciolinealdeF. b)F=FF. e)Fes densoen12 JO.Mismascuestionesen(C[O,1],lllloo)conelsubconjuntoflJJdetodoslos polinomiosP( t ),tE [0,1]. 11.SeaMcFelsubconjuntodetodosaquellosv=(cx1,cx2,... )eFtalesque lcxd~lcx2l~lcx31~.. EsMsubespaciolinealcerradoen12? 12.DefinamossobreIR2 lasaplicacionesIIIIPdadaspor v=(cx,cx2)EIR2-+llvllp=[lcxdP+Icx21PPIPe!R a)Describirlasbolascentradasenelorigen,paraelcasop= l. b)Idemparap=2. e)Sea eltringulo devrtices(0,0),(0,e),(e,0).Comentar laposiblevalidez delteorema de Pitgoras para ese tringulo, en las diversas normas11 llp 13.Demustreseelsiguienteteorema,debidoaS.Banach,quehajugado-y sigue jugando- juntamente convariasgeneralizacionesposteriores,unpapel crucialenelanlisis: Teorema Sea(M,p)unespaciomtricocompleto.SeaT:M-+ Munaaplicacinpara laqueexistek< 1 talque Entonces3un(nico)xeM talqueTx=x. Adems,x=limT"x0,Vx0eM. Nota Talesaplicacionessedicequesonestrictamentecontractivas.Yse dicequexespuntofijodeT. ESPACIOSDE HILBERT41 14.SealaaplicacinT= R2-+ R2,cuya matriz enuna ciertabaseortonormal del planoe1,e2,es T=!(J3-1) 41J3 Probar queesunacontraccinestrictayhallar .supuntofijo. 15.Dar un criterio sencillo para saber qu matrices autoadjuntas son estrictamen-tecontractivasenen. 16.Culesdeestasaplicacionessoncontractivasestrictas?Buscarelpuntofijo delasquelosean. a)A:R-+ R definidaporAx =ex b)B:[2,oo)-+ oo)definidapor Bx = Jx +-x e)C:L2(R)-+L2(R)definidaporCf= T 1 d)D:[1,oo)-+[1,oo)conDx=x+-X e)E:C[O,b]-+C[O,b]con(Ef) Nota R,[2,oo)seconsideraninvestidosconlamtricaeucldeausual.Y C[a,b]connorma11 11 oo 42LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO SOLUCIONESALOSEJERCICIOSDELCAPITULO2 J.Sea{vn}'i'eB,talque Vn- v. n-+oo Dado&>0,existepuesunN0=N0(e)talquellvn-vll N0 LuegoVn>N0 =>llvnll=llvn-v+vll llvn-vll +llvll Luegollxn+p-xnll llxn+p-Xn+p-111 +...+llxn+ 1-xnll(kn+p-1 +...+k") llx1-xoll Y deladesigualdadevidentekn+p-1+... deducimosque 1 Hemosprobado (recordar que k< 1 => 1 -;:-:O) que{ esuna sucesin de Cauchy.Por ser Mcompleto por hiptesis, existe limxn,alque llamaremos x.Esdecir,x=.limxn. Elrestodelademostracinesyainmediato. a)11 Tx-xll 11 Tx- Txnll+11 Txn-xll+llxn+ 1-xli-O. n .... oc LuegoTx=x,quedemuestraelcarcterdepuntofijodex. b)EselnicopuntofijodeTenM.PorquesihubieseotroTX=x,sera yalserkll-+l.e1cequeD esunacontracc10nnoestncta.) x-y ObsrvesequeD,peseacumpliruna condicinmuyprximaalaque definealascontraccionesestrictas,notieneen[1,oo)ningnpuntofijo.

e...11l ne1ecto,x=x ex1gmax+- =X=>- =O=>xrt1,oo). XX e)IIEJ -Egll [f(t)-g(t)]dtl-glloo Luegosib < 1,entoncesEescontraccinestricta. Por ejemplo,loesenC[O,1/2].Sunicopuntofijoeselcero. 3 EspaciosLP 3.1.INTRODUCCIN En elprximo captulo iniciaremos elestudio de los espacios deHilbert, cuyos ejemplosmsimportantesenlaprcticason,talvez,losespaciosfuncionalesde Lebesgue,L 2 Pensamos queunas pocas ideas elementales son suficientes para poder trabajar mstardeunbuennmero deejemplosdeoperadoreslineales enL 2 que,deotra forma,quedaranfueradealcancepeseaconstituirunaltoporcentajedelas aplicacionesdelosespaciosdeHilbert. Yahemosdicho(Captulo2)que(C[O,1],11112)noescompleto,ylomismo puede decirse de(C(K),1111,)para cualquier compacto K eIRdeinterior novaco yparacualquiernmeroreal1 ~ p U BiEPA). j=l ii)Cerradabajocomplementos(BE fA=> IR-BE 34). Puedeprobarsequetalfamiliamnimaexiste,porquelainterseccinde cualquier coleccindefamiliasquesatisfaganlas condiciones impuestas estodava unafamiliaquelassatisface "(yesclaroquelafamiliadetodoslossubconjuntos deIRcumpleesosrequisitos). LoselementosdefAsellamanconjuntosdeBoreloborelianosdeR Ejemplos J.TodoabiertodeIResuninnumerabledeintervalosabiertos,y,enconse-cuencia,boreliano. 2.Todo cerrado,y enparticular todo compacto,deIR,son tambinborelianos (sese1 yii). ESPACIOSDEHILBERT53 3.Todacoleccinnumerabledepuntosesunboreliano,porserlounpunto (cerrado)ylapropiedadi). 4.Elconjuntodepuntosracionalesen[0,1]esboreliano. 5.Considrese la funcin f:x E IR-+ elxl E RProbar que-1 ( {a}) E 34,Va E IR. 6.Mismoejercicioconf:IR-+ IR,definidapor {x4 senx, lxlB 00 donde1recorretodaslasunionesdeintervalosabiertosdisjuntos1 =U (ai,bi), j=l paralosquesedefinepreviamentelalongitud1(1)comolasuma: 00 IU)= lbj-aA j= 1 Ntese que 1(1) ~+ oo,asque admitimos medidas infinitas lomismo que finitas. Entresuspropiedades,sonimportanteslassiguientes: l.BE24=>JL(B)=inf{JL(A)IAabierto =:JB}. 2.BE24=>JL(B)=sup{JL(C)ICcompacto eB}. 54LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 3.SeanBnEBI,n ~l,disjuntosdosados.Entonces.u( QBn)= ~ . u ( B n ) . LasdosprimerasacercanlanocindemedidadeBorel-Lebesgueanuestra intuicindequesmedirunsubconjuntodeIR,afirmandoquelamedida,u(B) puedecalcularseaproximandopordentroBmediantecompactosoporfuera medianteabiertos.Encuantoalatercera,secitarcomolapropiedadde a-aditividadde,u. Ejemplos J.,u((l))=O, ,u(IR)= OO. 2.,u((a,oo))=.u((-oo,b))=oo. 3 ..u((a,b))=lb-al. 4.,u( {x E racionalesen[0,11}) =0. 5.Todo conjuntonumerabledepuntostienemedidanula(enparticular,sies finito). 6.MdensoenIR:::;. ,u(M) =oo?No.Contraejemplo:M= Q,racionales.Es ,u(O)=O!Enefecto,Qesnumerable. Ahoraqueyasedisponedeunconceptodemedidadesubconjuntosmuy generalesdeIR,esposibleaislarunafamiliacorrespondiente,muyabundante,de funcionesquesernsusceptiblesdeintegracin. Definicin3.3 Sedicequeuna funcinf:IR-+ IResmedibleBorel,oboreliana,si-1 (B) E 91, VBEBI. Esinteresanteobservarlaanalogasiguiente: abiertos de la topologa++conjuntos borelianos funcin continua--- funcinboreliana Esconveniente extender lanocindemedibleafuncionesrealesquepuedan tomar valores oo.Ental caso, fse dir Borel si -1 (B)EBI,VBEBIy si,adems, -1{+oo}E91, -1{-oo}El. Definicin3.3' Unafuncinf(x)devalorescomplejossedicemedibleBorelsiyslosiRe f, Imfloson. Consecuenciamsomenosdirectadeladefinicinsonlassiguientespropie-dades: ESPACIOSDEHILBERT55 Proposicin3.4 Sif,g,sonrealesmedibleBorel,tambinlosonlasfuncionesf+g,A.f(A.E l!l), fg,1/1.fg. Sinembargo,suelesermstil,enlaprctica,parainvestigarsiunafdadaes deBorel,recurriralsiguiente: Criterio3.5 a)f:lll-+lll esmedibleBorelsiyslosi-1{(a,b)}EB!J,Va,Vb. b)SifnesmedibleBorel,Vn,ysifn(x)-----+ f(x),Vx,entoncesfesmedible n-ao Dore l. e)f:ill-+lll esmedibleBorelsiyslosi{x:f(x)n EntoncesesmedibleBorelyacotada,ysedefine r fdx= limrfndx JRn-+ooJR ESPACIOSDE HILBERT57 Ntesequeellmiteexiste,pues{f fndx} esunasucesinmontonano decreciente.Dicholmitepuedeserfinirooinfinito. Definicin3.8 Dada freal(nonecesariamentemedibleBorel,sean f+(x):=mx{f(x), ;f_(x):=mx{-f(x),-f-V V Ntesequealserfboreliana,1!1 =f + + f _loestambin(porlaproposicin en3.2).Demaneraque3 {lfldx. Diremosquesi{lfldx< +oo.Yparatodafe.!t'MIR)sedefine queesfinita,evidentemente. Definicin3.9 Dadafrealdefinidasobre[a,b],diremosquefe .!t'Ma,b]silafuncin :ne.!t'MIR).ysedenotarrfdx= LFdxsuintegral. Anlogamente, siBe91, y fest definida sobre B,definiremos tfdx= ifx8dx. CuandoBseaunintervalo(ex,p),finitoono,seacostumbra escribir t=J:. Definicin3./0 Dada f =u+iv compleja, definida sobreIR,sedice quefe.!t't(IR) si ilfldx1Xf +Pge.P1(1R),'VIX,Pe C.Esdecir, .P1(1R)es espaciolineal. b)L(iXf+Pg)dx=iXLfdx+PLgdx, 'VIX,pec. e) Vfe.P1(1R). d)Sife.P1(1R)y entoncesge.P1(1R). e)} f, ge.P1(1R)=> f)Dada fe.P1(1R),Ve>O,3c5>0talqueLI!IXAdx 1fdx=O< 1 1,xe-2-, b Mssorprendenteeselhechodequepuedenexhibirsefuncionescontinuas montonasparalasqueanesJ> dxO,30 tal que Llf(di)- f(ci)l 3f'c.d.en[a,b]yademsf'=g,c.d. d)fabsolutamentecontinua en[a,b] f' E [a,b]. e)J,/2,absolutamentecontinuasen[a,b]=> !d

b]. Teorema3.27(derivacinbajoelsignointegral) Seaf(x,y)una funcindefinidaymedibleBorelsobre[a,b].xx IRytalque: i)f(x0,

Vx0E[a,b]. ii)f(x, y0)es absolutamente continua en [a,b]como funcin de x, c.d. en IRy . ... )of(x,y)rol([b]'"') 111OXE .z;a,X11\\ Entonces: drr of(x,y) dx J/(x, y)dy = JRoxdy,c. d.en[a,b] 3.9.APNDICE PorsuimportancianosloparagarantizarquelosLPtienenestructura normada sino en muchas demostraciones que afectan atales espacios, enunciamos 68LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO acontinuacinlasdesigualdadesparalelasalasdelCaptulo2,peroahoraensu formulacinintegral.Denotamospor XindistintamenteIR,IR",[a,b],ocualquier celdadeIR",ocualquierborelianodeIR,IR". Proposicin3.28(desigualdadesintegralesdeHolderyMinkowski) Sip,q,son tales 1,1 fgeL1 pq Evidentede(H). 2.0)L2[a,b]cL1[a,b]. En efecto,sese (H)con p=q=2, y tmese g(x)= 1,que est en L2[a,b]! 3.0)Sinembargo,

As,

eL2(1R)-U(IR). ESPACIOS DE HILBERT69 EJERCICIOSDELCAPITULO 3 1.Demostrardirectamente,apartirdeladefinicin3.2,queelconjuntoOde losracionalesdelarectatienemedida(Borel-Lebesgue)nula. 2.Probarquelasfunciones(1),(3),(5)y(7)dadasenlosejerciciosde 3.2 sonmediblesBorel. 3.Para disipar la sospecha de quelosborelianos demedida nula fueransiempre conjuntosnumerables,demostrarqueelsiguienteconjuntoC(llamadocon-junto ternariode Cantor) esboreliano, nonumerable,y de medida nula:Dado [0,1],extraer delmismoeltercioabiertocentral(1/3,2/3).Delosdostercios restantes,eliminartambinsustercioscentrales(1/32,2/32),(7/32,8/32).Con loscuatro(tercios)2 restantes,hacerlomismo,yassucesivamente.Loque quedadel[0,1]trasestasextraccioneseselconjuntoternariodeCantor,C. . ,f 1 f{0, xracional} 4.Demostrar que la func1on: [0,1]-+ R,con va ores(x) = 1 .. 1 no , x 1rrac1ona esintegrableRiemann. 5.Sealafuncin x(x)= lim[lim{cos(k!nx)}2m] lc:-+oom-+co Probarquex()esmedibleBorel.DequconjuntoenResx funcin caracterstica? 6.Exhibirunafuncinf:[0,1]-+ R,continuaen(0,1],talquef, !f'P,\fp ;;:::l. 7.Demostrarque1 ~p < q < oo => !t'q[a,b]e!f'P[a,b]. 8.Seaf:(0,oo)-+Rdefinidacomo 1 f(x) =x(l + llnxl)2 Demostrar quesig=f11P,p;;;::1,entoncesge!f'P,gfl!t'q,\fq;;;::1,p::i:q. 9.Siseextiendeladefinicinde!f'PaloscasosOO llgoll:=oosiq>p llgtll:=oosiqv1 =v2 Naturalmente,enelcasoA= IRsobranlasconjugaciones.NoasparaA= C. Definicin4.2 Alpar(L,(., .))selellamaespacioconproductoescalar(opre-Hilbert). Un espacio deHilbertesun espacio conproducto escalar, completo enla norma llvll =(v,v)112(Denominacinqueser justificadaen4.3.) Todoelcontenidodelassecciones4.1hasta4.5esvlidoencualquier espacioconproductoescalar,nonecesariamenteHilbert.Y,dehecho,enestas secciones,(L,(.,.))denotarunespaciopre-Hilbert. 76LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO TodosubespaciolinealM e(L,(.,.))recibeporrestriccinlaestructurade espacioconproductoescalar(M,(.,.)). Nota Nohayunanimidadencuantoalosconveniosdenotacindelproductoescalar, concretamenteenloqueserefierea(PE3),puesmuchosautoresexigen,porel contrario,quelosescalaressalganintactosdelaizquierdadelacoma.A esteconvenioseadscribencasiensutotalidadlosmatemticosyaldenuestra definicinlosfsicos,comoreglageneral.Debetenerse cuidado decomprobar este detallealconsultar labibliografa. Desdeunpuntodevistageomtrico,lagranventajadelaestructurade producto escalarradica enlaposibilidadqueofrece deintroducir generalizaciones naturalesdelconceptodeortogonalidadoperpendicularidaddelageometra eucldeaclsica. Definicin4.3 Dosvectoresv,we(L,(.,.))sedirnortogonalessi(v,w)=O.Yescribiremos simblicamentev.l w. Asimismo,unconjuntodevectoresS={v,.},.eA c(L,(.,.))sedirortogonalsi (v,.,v11)=0, Vrx=I=P. Siadems(v,.,v,.)= 1,Vrx,sedicequeelconjuntoSesortonormal. Ejercicio Todoconjuntoortogonaldevectoresnonulosesl.i. Finalmente,dadosdosconjuntosS1,S2,devectoresen(L,(.,.)),diremosque S1.lS2 si(v1,v2)=0, Vv1 eS1,Vv2eS2 Antesdedarejemplosdeespaciosconproductoescalar,deduciremoslas propiedades geomtricas que gozan tales espacios como consecuencia delconcepto recinintroducidodeortogonalidad.Laanalogaconlageometraelementales perfecta. 4.2.PROPIEDADESGEOMTRICASELEMENTALES A lolargodeestaseccindenotaremosllvll :=(v,v)1'2 (razpositiva),dejando para 4.3sujustificacinrigurosacomonorma. ESPACIOSDEH/LBERT77 Teorema4.4(dePitgorasgeneralizado) Si{ v J ~esortonormalen(L,(.,.)),setiene'r/veL: nn llvii2=LI(vi, vW+IIv-})vi, v)vill2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,.__ ____ Il(v,w ) l ~ l l v l l l l w l l l (desigualdad finitadeBessel) (dP..sigualdaddeSchwarz-Cauchy-Buniakowskii) Adems:l(v,w)l= llvllllwll{v,w}nol.i. 78LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Demostracin l.Inmediatodeladefinicinde1111. 2.Evidentedelteorema4.4. 3.Obvioparav=O.Si

esortonormalyladesigualdadde w)12 llwll2,esdecir,l(v,w)l llvllllwll. ParaobtenerlaigualdadelteoremadePitgorasexige,paraelcaso notrivialv que: w)oseallvll2w=(v,w)v (CQD) 4.3.NORMAINDUCIDAPORELPRODUCTOESCALAR Teorema4.6 En un pre-Hilbert (L,(.,.)), la aplicacin v--+llvll=(v, v)112,define una norma. Demostracin Lanicapropiedadnotrivialaverificares(N4),ladesigualdadtriangular (vase2.1).Ahorabien,dadosv,weL: segnladesigualdaddeSchwarz(CQD). Volviendolavistaatrsunmomento,recordemosqueunanormadetermina automticamente sobreelLsubyacenteunaestructuramtricaasociada.Asque lacadena: Productoescalar--+ Norma--+ Mtrica(distancia)--+ Topologamtrica garantizalaexistenciasobrecualquierpre-Hilbertdeunatopologamtricadefinida medianteladistanciad:Lx L--+ por d(v,w)= llv-wll =(v-w,v-w)112 Mientras noseespecifique locontrario, toda afirmacin concerniente apropie-dadestopolgicasde(L,(.,.))harreferenciaaestatopologa. Ejercicios i)Enunpre-Hilbert,interpretar la convergenciadeuna sucesinvn--+ v entrminosdelafuncindistancia. ESPACIOSDE HILBERT19 ii)Probar quelasfuncionesL-+ A siguientessoncontinuas: v-+ llvll v-+(w,v),w fijo eL iii)LaaplicacinA x L-+ LdefinidaporA.,v-+ A.vescontinua. iv)UtilizandoladesigualdaddeSchwarz,prubeseque(.,.):LxL-+A escontinua,enelsentidodeque v)LasumavectorialLxL-+L,esdecirv1,v2-+v1+v2 tambines continua. lpsistimos enqueencualquierreferenciaacontinuidad,convergencia,clausu-ras,etc.,sobreentenderemossiemprelatopologamtricaasociadaalproducto escalar.Y sobreoC)sesuponesiemprelatopologamtricausualdeo C definidaporlanormaeucldea. 4.4.EJEMPLOSDEESPACIOSCONPRODUCTOESCALAR (EpHl)Anadmiteestructuradeespacioconproductoescalarconladefinicin: n (v,w) ='f.aifJiparav =(a.,... ,O!n),w = (fJ.,... ,fJn) 1 (EpH2)lx(A)conelproductoescalardev= w= dadopor: (v,w) = 'f. UtilizaremosconfrecuenciaH.= /x(N). (Epll3)C(K), conKcompacto,yproductoescalar: (f,g) =tf(x)g(x)dx (EpH4)

conproducto escalar: (/, g)= Lf(x)g(x)dx AnlogamenteparaL2[a,b]. 80LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Losprecedentesproductosescalaresinducensobreloscorrespondientesespa-cioslinealessubyacentes,vaelteorema4.6,lasnormasdeltipo11112 (vase Captulo 2).De ahora enadelante,cada vez que sehable de estos cuatro espacios sesobreentenderquevaninvestidosconlosproductosescalaresqueacabamos dedefinir. Que(.,.)esfinitoparacadapardevectoresdelosanterioresespacios(como hadeserparatomarvaloresenIRoC),sedebeaque:

'f.(v, v)=O,luego (PEl) =>v=O. iii)M l. l.= (Ml.)l..=> M.Evidente,porladefinicin. iv)Ml.=(M)l.=(linM)l.=(linM)l.. v)estanocindecomplementoortogonalcon decom-plementolineal(1.4).No debenconfundirse.Tras elprximoteore-masecomprendermejorla relacinentreambas. Conlanocindecomplementoortogonalseentradellenoenunacoleccin deresultadosquesoncaractersticosdelosespaciosdeHilbert,enelsentidode quelosdeBanach,engeneral,noloscomparten.Setratadepropiedadesque exigenla existencia deunproducto escalar,y quegeneralizanlasdelageometra eucldea,raznporlacuallageometradeespaciosdeHilbertesmuysimilara latan familiardeC".Peseatodonoestardemsponer enguardia allector sobreelmanejodeestaanalogaconespaciosdedimensinfinita,puessinose extremanlasprecaucionessuelecaerseengeneralizacionesintuitivamenteclaras, peronosiempreciertas.Conformeavanceensuestudio,tendrocasindever dndeterminanlasanalogas. Elteoremageomtricoqueseenunciaacontinuacinesunodelospuntales detodocuantoseguir.Distngase,depaso,entrelaspropiedadeslineales,las propiedadesmtricas(derivadasdelanocindedistancia),ylaspropiedades geomtricas(asociadasalaexistenciadeunproductoescalarylaconsiguiente nocindeortogonalidad). 86LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Teorema4.9(delaproyeccinortogonal) SiMes un subespacio lineal cerrado del espacio de Hilbert H, entonces VveH: v=v1 +v2 ,conv1 e M,v2eML ytaldescomposicinesnica. Definicin4.10 Sedicequev1 eslaproyeccinortogonaldev sobreM. Demostracin Constadedospasos.Enelprimerosecaracterizav1 comoaquelvectoren Mcuyoextremoestalamnimadistanciadelextremodev,ysepruebasu existenciayunicidad.Enelsegundosedemuestraquev-v1 eM1.. i)Sead= infllv-wll,distanciadevalsubespacioM.Porsucondicinde weM nfimo,debeexistiralgunasucesin{wn}i eMtalquelimllv-wnll =d. n-eo Probemosque{wn}iesdeCauchy,utilizandolaleydelparalelogramo: llwn-wmll2 +112v-(wn+wm)ll2 =211v- wnll2 +211v- wmll2 2 11Wn+Wmll2 2 Wn+Wm Pero112v-(wn+wm)ll=4v-2 pues 2 eM. Luegollwn-wmll2

+llv-wmll2-2d2]-+0,paran,m-+ 00(*) Mcerrado=>3limwn=v1eM.Yclaramente d=llv-v1ll. Encuantoalaunicidad,siexistiesendosV,v'1 e Mtalesque llv-v1ll=llv-v'1ll=d,ladesigualdad(*)seguirasiendovlidacambian-doWnowmpor v1,v'1,yde ella obtendramosllv1 -v; 112 y en consecuen-ciaV=V'1. ii)Faltaverquev2=v-v1 eM1..Comollv-v111 =d,tenemosVA. eA yVweM:

llv-(v1 +A.w)ll2=d2+IA.I2 llwii2-2Re[A.(v-v1,w)] estoes,IA.I2

w)]. ..b.,(w,v-v} S1fuese(v-v1, para algunweM,astana tomar 11.=llwll2 para llegaraunabsurdo(CQO). Consecuencias l. 0)H =M$ M 1.,V subespaciolinealcerradoMeH. Sinembargo,la-construccinimplcitaenelteorema4.9esmuchoms restrictivaqueunasimpleoperacindecomplementolineal.Porello convienedistinguirlamediantelasiguiente: ESPACIOS DE HILBERT87 Definicin4.11 DadossubespacioslinealescerradosM,N,deunespaciodeHilbert H,diremosqueHessumadirectaortogonaldeambos,simblicamente H=Mr.BN siademsdeserH=MffiN, secumpleMl.N. Con estadefinicin: 2. 0)H =M (;BM 1.,V subespaciolinealcerradoMeH. Comprense de nuevo en estepunto losconceptos de complementolineal ycomplementoortogonal! 3.0)SidenotamosporPMelproyectorsobreMenladireccindeM.! (vase 1.8): PM+PM.i=ln PMPM.i=O=PM.!PM SedicequePMeselproyectorortogonalsobreM. 4.0)ParatodosubconjuntonovacoS eH, setienesu =lin(S). Enefecto,esinmediatoconvencersedequelin(S) esu sinmsque recordarlasdefiniciones.Ahorabien,sifueselin (S) =F su, aplicandoel teoremadelaproyeccinortogonalalespaciodeHilbertsu (consultar 4.7,ejercicio(i))yasusubespaciocerradopropiolin(S),hallaramos algnO:Fvesutalquevl.lin(S).Estoes,veS.inSu={O},absurdo. (CQD). 5.0)UnsubespaciolinealSdeHes densoenHsiyslosiS.i={O}. 6.0)Dado{uiHortonormalenHyveH setiene: Dichodeotraforma,elproblemadeaproximacinptimaalvectorv medianteelementosdelsubespacioM=lin({ui}D,loresuelveelvector PMv. Evidentedelademostracindelteoremadelaproyeccinortogonal. Ejercicio DadossubespacioslinealescerradosM,N,deunHilbertH,con N eM,probar que: SeescribeavecesM nN .1= M e Nyselellamacomplementoortogonal deNenM. 88LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Lapropiedaddequecada subespaciocerrado deunespaciodeHilberttenga algnsubespaciocomplementariocerrado(suortogonal),facilitaenormementeel anlisisfuncionalenestosespacios,ynosecumpleengeneralparaespaciosde Banach. ESPACIOSDE HILBERT89 EJERCICIOSDELCAPITULO4 l.ConsidreseelespaciolinealrealMn(IR)dematricesrealesn x n(n> 1). DenotaremosA,B,C,... ,suselementos.Disctaseculesdelassiguientes aplicacionesA,B-+(A,B)EIRdefinidasenMn(IR)xMn(IR)sonproductos escalaresparaM n(IR):. a)(A,B)=tr A+tr B. b)(A,B)=det(AB). e)(A,B)=tr(AB). 2.Misma pregunta que en elejercicio anterior, relativa al espacio lineal complejo cn(n> 1): Denotamosv=(V,... ,vn)ECn,w=(W,... ,wn)ECn. a)(w,v)=w2v1 b)(w,v)=w1v1 +2w2v2+3w3v3++nwnvn. e)(w,v)=lwtl2+lwzl2++lwnl2 3.Demostrarquesiv,w,sonelementoscualesquiera(:o!: O)deunespaciode HilbertH,sonequivalenteslassiguientesafirmaciones: A1)3cx>Otalquew=cxv. Az)llv+wll =llvll+llwll. A3)lllvll-llwlll=llv-wll. (Ayuda:utilizarlaleydelparalelogramo.) 4.Probar queencualquier espaciodeHilbertcomplejoH: i)LaaplicacinTv.:vE H-+ (v0,v) E Cescontinua. ii)Vn-+V} =>(Vn,Wn)-+(V,W) Wn-+W 5.Culesdeestosvectorespertenecena12 = l ~ ? a)v1=(l,-1, ),-1, ... , (-l)n+l, ... ). b)Vz=G, ~ '... ,;n' } e)v3=(i,-1,-i, 1,i,... ,n ....). ( ili1i) d)v4=l,2!' 3!'4!'... , (2n-l)!' (2n)!' 90LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 6.Discutir la veracidad de las siguientes afirmaciones sobre convergencia en 12: a)Siv,.=(7+ 21n' 7-O,.. .). entonces7,O,O,... ). 1 11 b)v,.=-n 1 e)vE12=>(v, d)Lasucesine,.noesconvergenteen[2. 7.Resolverelejercicio(C)de4.6,suponiendoO O entero,dadove 12 Noo arbitrario=> Ll(v,en)l2 ~llvVLuegolaserieLl 1/m::;.. /,.(x)=O,'t/n>m.Luegoelnicolmiteposi-bleenL2[0,1],siexiste,detalsucesin{f,.}i',seralafuncin f=OeL2[0,1].Ahorabien: 1 11/,.112= foiin2dx=n+O,paran-+oo Demaneraque{f,.}i'noesconvergenteenL2[0,1]. 8.Un sencillo clculo muestra que cos xes ortogonal a sen nx, 't/n?:;l. En efecto: f2"f+" (cos x,sen nx)Lo,2,.1=cos xsen nxdx= ( -1)"cos xsen nxdx=O o- .. por serla funcincos xsen nx imparenlavariablex. Luegocos x.lM =;..PM(cos x)=O. 9.Enefecto,para m#n tenemosque: f+ .. (cosnt,cos mt)L-,.,,.1=_,.cos nt cos mtdt= 1 J+"= 2 _,.[cos(m+n)t+cos(m-n)t]dt=O f+" porque_,.cos ktdt=O,kentero#O Cuandom= n,obtenemos: f"f"1 +cos 2nt llcosntii2 =cos2 ntdt= 2 dt=n L2[-K,K)-K-K Luegoelconjunto{cosnt}noesortonormal. 96LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO JO.a)Alserve/2,hadeocurrirquelcxnl-0.Podemossuponer,pues,paran n-+oo suficientementegrande,lcxnl< l. Ahorabien, A< 1 A4 A.l.Luego,por elcriteriodecomparacindeseriescontrminosrealespositivos,vemos 00 quesiLlcxnl4 fuesedivergente,tambindeberaserloautomticamente 1 00 Llcxnl2,luegovj/2Noexiste,pues,talv. 1 00 b)TmeseCXn=n-1,conlocualLlcxnleslaseriearmnica(divergente), 1 mientrasque

5),(5=>6).Elementales. (6=> 1)Delo contrario,3vtal que Su {v}sera ortonormal.Por tanto,v.lS, lo cualesabsurdoporquedeberaverificarseque1=11vll2=Li(v .. , v)l2=0 (CQD). OlEA Notas 1)Losnmeros(v .. , v)en(B04)sedenominancoeficientesdeFourierdeven labase{v .. }.. eA 2)La identidad (B06) expresa la saturacin de la desigualdad de Bessel,vlida paraconjuntosortonormales,finitosono. Ejercicio Probarqueenlasumav= (v.. ,v)v.. ,conunconjuntodendices " arbitrario,slohayunacoleccinalosumonumerabledetrminosno nulos. (Ayuda:Dancontribucinnonulalostrminosprovenientesde en={v...IXEAII(v ...v ) l ~1/n},paraalgnnenteropositivo.Cadaenes numerable,debidoaladesigualdadfinitadeBessel.Enefecto,enno puedecontenermsden2llvll2 elementos,asquecadaenesincluso finito.Y launinUenes,por tanto,numerable.) n [Sobreconvergenciadeseriesdevectores,vaseCriterio5.15.] Ejercicio UnabaseortonormaldeH,essiemprebasedeHamelparaH? Respuestamsadelante( 5.5). 5.3.ESPACIOSDEHILBERTSEPARABLES Definicin5.5 UnespaciotopolgicoXsellamaseparablesiposeealgnsubconjunto numerabledensoenX. ESPACIOSDE HILBERT105 Ejemplos 1.EnC"elconjuntodevectoresconcomponentesracionales(partesreale imaginariaracionales)esnumerabledenso. 2.EnC[a,b]lospolinomiosconcoeficientesdetiporacionalesnumerable ydenso. Enelcasoparticular deespaciosmtricos: Proposicin5.6 UnespaciomtricoMesseparablesiyslosiposeeunabasenumerablede abiertos. Demostracin Sea{Ui}.i= 1 una basenumerable de abiertos, esdecirquetodo abiertoU eM esunindeunasubcoleccindelosUiEscojamospuntosx i e Uiporlodems arbitrarios.Esfcilprobar queelconjunto{xi}iesdensoenM. Recprocamente,dadounconjuntodepuntos{x Ji densoenM,lasbolas centradasenlosx iconradiosracionales,constituyenunabasenumerablede abiertosparaM.Bastadarsecuentadeque'v'reQ,'v'xeM,3x;deesacoleccin talqued(x,x;) convergente. Puesbien,comov hadesercombinacinlinealdelosun,tenemos: 00 v:: L(n!)-112un=A1Ua, +A2Ua, + "' +).,u"'r 1 Multiplicandoporui=>(j!)-112 =0parainfinitosvaloresdej.Absurdo! (CQD). 110LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Corolario5.14 HdeHilbertseparablededimensininfinita:::::;.todabaselinealesnonume-rable. AsqueenespaciosdeHilbertseparablesdedimensininfinitanohayque confundirbasedeHamelconbaseortonormal.Debesobretodotenersemuy encuentaquerespectodeunabaselinealdeHamel,todovectoressuma finita, mientras querespecto de una base ortonormal todo vector essuma finitao infinita. Estilteneruncriterioparasabercundounasumainfinitaconvergeenun Hilbert. Criterio5.15(convergenciadeseriesdevectores) Sea{un}funconjuntoortonormaldevectoresdeH,espaciodeHilbert. 0000 convergeenH L!A.lconvergeen 11 Demostracin 00 LA.iuiconvergeenHlasucesindesumasparcialesesdeCauchy 1 -11f.A.iuill-+0,m,n-+oof.IA.il2-+0,m,n-+oof1A.i12 esconvergentem+!m+l1 yaqueescompleto.(CQD). Nteselaanalogadeestacondicinnecesariaysuficienteconladefinicin deloselementosdeH.(i\1),dondeseexigaexactamente,paraqueunasucesin 00 (1X1, ,1Xn,...quefueseLI1Xil2por Gram-Schmidt,entonceslasfunciones {Pn(t)p112(t)}g'sonunabaseortonormalparaL2(sopp). Nota Elmtodo de Gram-Schmidt est justificado porque elproducto escalar introduci-dodefineunaestructurade-espaciodeHilbertparaelconjuntodefunciones ftalesque(/, f)p iii)Cuando sop pesacotado,la condicinimpuesta enellemaestrivialmente satisfecha.Probar as que el ejemplo anterior (1)proporciona en efecto una baseortonormal. 5.7BASESORTONORMALESENVARIASVARIABLES LaconstruccindebasesortonormalesenL2(X)dondeXesunborealiano deRn (n > 1),oenparticularparaL 2 (R),essugeridapor elsiguiente: Teorema5.18 DadosdosborelianosB1 eB2 eR;,ysendasbasesortonormales{!Jf', {gk}f'deL2(B},U(B2) respectivamente,elconjunto{fi(x)gk(y)}fk= 1 constitu-yeunabaseortonormaldeL2(B),dondeB=B1 x B2 eRm+n.(Suponemosel casonotrivial.t(B),.t(B2)#:0.)

Seahik(x,y)=fi(x)gk(y).Entonces,utilizandoelteoremadeFubini(3.8): (hikhi'k.)L(BJ= JB.gk(y)gdy>[t.fi(x)fj(x)dmx ESPACIOS DE HILBERT115 Luego{hik}./:'k=tesortonormal.Paraverqueesbaseusaremos(B03)de5.2. Bastaverque f l.hik=>/=0. Seacpi(y)=f .{(x,y)fi(x)dmx.SetieneVk: JB, Por ser{gk}baseortonormaldeL2(B2)setienecpi(y)=Oc.d.enB2 Luegof .{(x,y)fi(x)dmx=Oc.d.eny,Vj,yalser{Ji}baseortonormalpara JB, U(B1)resultaf(x,y)=Oc.d.enx,c.d.eny. ElteoremadeFubini(3.8)=>/=0eU(B).(CQD). Ejemplos A partir delasbasesde funcionesexpuestas en 5.6,pueden construirse varias basesparaespaciosL2(B),sobreborelianosen~ " .n> l,queseanproductos cartesianos. Enparticular,{(2n)-"12eik-x},dondek=(k1,... ,kn),Vkienteros,ydondekx denotaelproducto escalarusualdevectoresen~ " .esunabaseortonormalpara L2([0,2n] x...x [0,2n]) que da origen a las llamadas series mltiples deFourier. 116LORENZOABELLANASY ALBERTOGALINDO EJERCICIOSDELCAPITULO 5 l.Ortonormalizar,porGram-Schmidt,elsistemal.i.defunciones1,x,x2,en L2[0,1]. 2.Sea{ei}r,1 oo,unabaseortonormalenunHilbertcomplejoseparable Hde dimensinN, finitaono.Probar que3v:#O enHtalque{ei-v}r sigue siendounsistemaortonormalsiyslosiN< oo. 3.Calcularlosa,b,e E e,queminimizanlaintegral f2" 0 1 f(x)-a-b senx-ecos xl2dx donde f(x)=sgn(x-n). 4.Demostrar que elconjunto {P2n}o = { J2n + P2n} de funciones,extrado de labasedeHermiteenL 2 [- 1,1],esbaseortonormalparaelespaciode HilbertHformadoporlasfuncionesenL 2 [- 1,1]quesonpares. 5.Essabidoqueen=(2n)-112ei""',n=O, 1,... ,formanunabaseortonormal enL 2 [0,2n ].Demostrar que: i)TambinesunabaseortonormalparaL2[ -1t,n]. ii)LasfuncionesAcosnx, constituyenunabaseortonormalen L2[0,n]. iii)Idemcone;= Asennx,n l. 6.En 5.6sedanalgunasbasesortonormalesenL 2 (1),siendo1 unintervalo, finitoono,deR.EstasbasessondelaformalfJn(x)=p112(x)p"(x),n=O,1, 2,... ,dondepesuna funcinpositivaycontinua,yPn(x)unpolinomioreal degradon. Demostrar que Pn(x) tienen ceros reales y distintos en elinterior 1 de l. 7.ConsidreseenL2[0,1]elsiguienteconjuntodeelementos:lfJo.o= 1,y 2"'2 si m-1m-1/2

(/Jm,n(X)= -2n/2 SI m-1/2m

oen elresto donden,m,sonenteros, y1 ESPACIOSDE HILBERT117 Demostrar queformaunabaseortonormalenL2[0,1](basedeHaar). 8.Sealafuncin f(x)= I< -l)ncos(2n+ 1)x o2n+ 1 i)Pertenecefa L2[0,2n]? ii)Sumarlaserieanterior. 9.Sabiendoque

hallarelde-sarrollodelxlenseriedepolinomiosdeLegendre,enelintervalo[ -1,1]. JO.Utilizandolaexpresin [GdcesefuncingeneratrizdelospolinomiosdeHermite],desarroare-"''2e;." enseriedefuncionesdeHermitelfJn 11.EselconjuntoAcos nx,npar,unabaseortonormalenL 2 [0,1t ]? DequsubespaciodeL 2 [0,n]loes? 12.Dar unabaseortonormalparaL 2 (B),siendoB = [0,2n] x R. 118LORENZO ABELLANASYALBERTO GALINDO SOLUCIONESA LOSEJERCICIOSDELCAPITULO5 l.Seanv1 =1,v2 =x,v3 =x2DeacuerdoconelteoremadeGram-Schmidt, construimos: W1 =V1,llw1ll=1,U= 1 1 w2 =x-(u1,v2)u1 =x-1/2,llw211 =li' u2=2Jj(x-l/2) 2y 3 221 w3=x-(U,v3)u1-(u2,V3)U2=X-x+ 6 llwJII = 6Js, u3 =6J5(x2-x+ ~ ) Lasfuncionesu1,u2,u3,proporcionanelresultadoquebuscamos. 2.Laexigencia(ei-v, ek-v)=5ik=>llvll2=(ei,v)+(v,ek)=>(ei,v)=IX(constante N independiente de j).LuegoN< oo,ReIX= 11 v 112/2,yv =IXLeiPero estaltima 1 igualdad=> 11 v 112 =N I1XI2Enconsecuencia,NI1XI2 = 2 ReIX.Luegobastatomar 1X=2/N. 3.Lacombinacinlineal~(a0+b0eix+c0e-ix)quedifiereen11112 lomenos v' 2Tr posibledefeslaproporcionadaporeldesarrolloFourier(vase4.7, consecuencia6): a0=(e0,f)=O 4i b0 =(e1,f)=M: v' 2Tr 4i c0=(e_1,f)=li0=- M: v' 2Tt .d1. Sienoen=M: e'"x.Por tanto, v' 2n a=c=O, b= -8/fo 4.Por supuestoque{ P z n } ~esunsistemaortonormal,constituidopor funciones pares.Su carcter completo enHseprueba teniendo en cuenta que Vfe L 2 [- 1,1] esdesarrollableenlaforma ESPACIOSDE HILBERT119 yque(pn,f)=O siemprequen seaimpary fpar. 5.i)EsevidentequeestambinortonormalenL2[ -1t,1t].Denoser base,existira[(

-1t,1t]talque(en,/)=0, 'r/n.Pero O=(en,f>=_l_f" e-inx {(x)dx=( -l)"-l-f2" e-inx {(x-1t)dx J2ic-"J2ico Comolafuncinf(x)=f(x-1t)esunelementononuloenL2[0,21t], laigualdadanteriorviolaraelhechodeque 00 esbaseortonormal enL2[0,21t]. ii)Delocontrario,existiragEU[O,1t], talque g)=O, 'r/n.Ahora bien,lafuncinparG(x)=g(lxl),XE [ -1t,1t],defineunelementono nulodeL2[ -1t,1t],y 1f". (en,G)=M.:. g)=O v 21t_, Contradiccinconi). iii)Anlogamente,conG (x) = g (lxl)sgn (x ). 6.Comop0 esunaconstante((/)otienesignoconstantesobre/.Luego (({)0,({)1)=0, por loque(/)1 debecambiar designoalrecorrer/0,ypor tanto p 1 tiene un cero x 11 E /0Engeneral, Pntiene n ceros simples Xn 1, ,xnnE /0: .o. delocontrario,sixn. 1, ,xn. NN< n,fueranlospuntosen1enquePn cambia designo,podramos escribir Pn (x) = (x- xn. 1).. (x- xn. N)q (x ),siendo qdegradon-N ybienq;;::O, sobre/0Pero(({)i,(/)n)=O, f,P(x)pn(x)P(x)dx=O,V polinomioPdegradoD(Q)=L2(R). Adems,interesantecontrastecon(E0-3),ahoraQnoesacotadoensu dominio.Prubese! Ayuda:Comparar11/11.IIQ/11para f = X1-n.+nJ (E0-6) Seam(x)unafuncinmedibleBorelesencialmenteacotadasobreR,enel sentido de que 3h(x) medibleBorelacotada sobre R talque m(x)=h(x) c.d.Tales funcionesmediblesm(x)secaracterizanporque llmll oc.=inf{tX>OIJ.t({xllm(x)l >tX}) =0} < oo yconstituyenelespacio quepuededemostrarseesBanachbajo1111-x, Esfcilprobar queeloperadorlinealdefinidosobreL 2 (R)por: /(x)-+m(x)f(x) pertenecead'(U(R)), connorma Enparticular,sim(x) = XAAcon.t(A) eloperador correspondiente: {f(x)xeA f(x)-+XA(x)f(x)= 0 esidempotenteydenormal.Es,sencillamente,elproyectorortogonalsobreel subespaciocerradodeaquellasfuncionesconsoporteenA. (E0-7) Fijadaunafuncindedosvariablesrealesk(x, y)eL2(R2),construyamos con ellaeloperadorlineal: ESPACIOSDE HILBERT133 K:f(x)-+ Lk(x,y)f(y)dy=(Kf) (x) ElteoremadeFubini( 3.8)aseguraquek (x,)EL 2 (R),c. d.enx.Yla desigualdaddeSchwarz(osealadeHolderconp=2) afirmaque: IL k(x. Y>JdyryWdyJ esdecir,queIIKfll2 llkll2 11!112,asqueK Ed(L2(R))conIIKII llkll2 EstosoperadoresintegralessellamandeHilbert-Schmidtyjueganunpapel preponderanteenteoradeecuacionesintegralesyenlagestacindelactual contextoabstractodeespaciosdeHilbert. Tendremosocasinmsadelantedevolversobre ellosendetalle. (E0-8) SeaU(R") y fijemosunvectoraER".Eloperadorlineal U a:f(x)-+ f(x-a) es,evidentemente.unabiyeccinisomtrica:11 U .JII2 = 11!112LuegoU a Ed(L 2) conIIUall =l. Nota Esfrecuenteenlaprcticaencontraroperadoresdefinidosindirectamen-teenL2(R"),vaunaaccindirectasobrelosvectoresdeR".As,enestecaso, hayunaoperacinsubyacentedetraslacindevectoresx-+x+a,queinduce sobrelasfuncionesunaaccinUa.Enparticular,U0=IL AsimismoVa:f(x)-+e-iv=O.Locualhaceque3(a+)-1 e!t'(R(a+), D(a+)). Pero

(E0-4) Qf=O=>xf(x)=O,Vxe[a,b)=>f=O.LuegoQesinyectivo,demaneraque 3Q-1 comooperadorlinealconD(Q-1)=R(Q). Adems, sibJentoncesIIQ/112=r 11/112 1 luegoQ-.esacotado,conIIQ-111 min{lal,lbl}. Mientrasquesi eloperadorlinealQ-1 noesacotado.Trataremos elcaso O< bexplcitamente. 142LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Sea/,(x)=Jx[o,k](x).Entonces11/,11=1,'Vn(supongamosnsuficien-1 tementegrandeparaque- O,3e.lM0,conF(e)= l.Notarqueentonces H={e}E!;>M0,luegoM0 cerrado.AplicarCorolario7.8. SeaH=U[a,b],conbasedeHamelB={fa}ae[O.llenlaqueescogemos f11"(x)=x",'Vn>O,f0(x)= l.LaexistenciadetalbaseBvienegarantizadapor (BHl)yejemplo5 en 1.3. [Nota:En 5sevioque la dimensin lineal de L2[a,b]esno numerable.Puede probarsemsexactamentequetienelapotenciadelcontinuo.] DefinamosunfuncionallinealO=FF:H--+ ICmediantesuactuacinsobrela basedeHamel: { 1 rOa=O, -(Vn>O) F(;rz)= n aresto de los a PuestoquefYJeNcleodeF,FesunfuncionallinealnocontinuosobreH. ElteoremadeRieszsugierequepodemosdotarad(H, A)conunproducto escalar.Enefecto,siF1,F2ed(H, A),seanf1,f2,losvectoresdeHquedicho teoremalesasociarespectivamente.Definamoslaaplicacin (.,.): d(H, A)Xd(H, A)--+A Secompruebasindificultadque(.,.) esunproducto escalarsobred(H, A). Por elcorolario3,esteproducto escalar determinalanormapreviamente definida sobred(H, A).Y puestoqued(H, A)escompleto(6.4)sededucequed(H, A) tieneestructuradeespaciodeHilbertsobreA.Esascomoseleconsideraenel restodeestaseccin. 148LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Corolario7.9 LaaplicacinfeH-+F1e.!ii(H,A),dondeF1(g)==.(f,g),esunabiyeccin isomtricaantilineal.(SedicequesonantiisomorfosambosespaciosdeHilbert.) Demostracin La biyeccinesclara por elteorema deRiesz-Frchet.Elcarcter antilinealse debeaque: F;.1(g)=(lf,g)=I(f, g)=IF1(g) (Ydeahelcambiodeordenenladefinicinde(.,.)!).Y esisomtricapor el corolario7.7.(CQD). Notas (1)La dimensinhilbertiana deH y la desudual coinciden.Enconsecuencia, debenserisomorfos( 5.4). En efecto,esfcilver quesisecomponelaaplicacindelcorolario7.9 conuna conjugacinve H-+ ve H(dondeprefijandounabaseortonormal {u,.}de H, se definev= I,.u,., siera v= ;.,.u,.), seobtiene unisomorfismo 1111 deHconsudual. (2)Puede probarse que elespacio dual delespacio deBanachlP(resp.U) con 1 nik>nik'mik>mik 2.o) Sea g elvector con componentes todas nulas excepto las mik -simas, que .11. son1gua esa- respectivamente. nik Que ge/X.esclaroporque:llgii2=I ---3k>Otalque IITnll~ k ,Vn. Demanera queIITvll=limIITnvll~ k l l v l l .(CQD). n-+ao Corolario7.19 (Teoremadelaap6caci6nabierta,Banach) SeanB1,B2,espaciosdeBanach,yseaTe.91(B1,B2)conR(T)=B2 EntoncesTes abierta(esdecir,SabiertoenB1 => T(S) abiertoenB2). Demostracin Consultarpor ejemplo[ReedySimon]. Corolario7.20(Teoremadeloperadorinverso,Banach) SeaTe.91(B1,B2)biyectivo,conB1,B2,espaciosdeBanach.Entonces T-1e.91(B2,B1). Demostracin Elcorolario=> Tabierto=> T-1 continuo.(CQD). Corolario7.21(Teoremadelgrficocerrado) SeanB1,B2,espaciosdeBanach,yseaTe!l'(B1,B2).Entonces: Tacotado elgrficor(T) escerrado Demostracin [=>]Recordar la definicin der(T) en 1.6.Essubespacio lineal deB1 EBB2:=B. Adems,Bconlanormall[v1,v2]ll8= llv1ll8,+ llv2ll8,esunespaciodeBanach. Laafirmacindelteoremaesquer(T)esunsubespaciolinealcerradodeB. Explcitamente,hemosdeprobar quesi [vi,Tvj]--;----+[v,w]entonces[v,w] e r(n J-+"" Deotraformaan,quesi{vi}iesunasucesintalque{vTr-+v, vi convergente entoncesTvr-+ Tv. Seapues{vi}i-:--+v.Automticamente,por serTcontinuo,Tvr-:---+Tv. J-'t 00J- 00 [fo=/0 c.d.=>f0eU(IR). (CQD). EstaproposicinvieneaindicarqueelespaciodeHilbertestcompletoo saturado en elsentido de que losposibles elementos que daran producto escalar finitocontodaslasfuncionesdeL2(1R)yaestabandentrodelespacio. Siseintentauna demostracin directa delaproposicin,esdecirdeltipo:Si f0fiL2(1R),encontremos alguna geL2(1R)tal que la integral de f0g sea infinita, es muchomenosfcildeloquepudieraparecer.Inclusoesasenelcasodiscreto querecogeelprximo: Ejercicio 00 Sea{cxnH"unasucesindenmerospositivostalque'i)nPn < oo, 1 0000 'V{Pn}iquecumplaProbar que11 N Ayuda:Definanse funcionalesFNenll as:FN({Pn}i)='f.cxnPnoN= l,2,... , 1 yaplqueseBanach-Steinhaus. Enestecaso,unademostracindirectalaproporciona{Pn}icon Pn=ncxn(Utilcese elteorema deDini-Pringsheim sobre convergenciade 'f.cxf 1 series[Knopp]). Curiosamente,sinembargo,puedeprobarsequehayunconjuntodensode taleselementosdivergentes.Ellosededucedeunaversinmsprecisadel teoremadeBanach-Steinhaus,queguardamsexplcitalahuelladelteoremade Baire.Tantoesteteoremacomoelyaenunciadoenformadecorolario,suelen llamarsetambinprincipiodeacotacinuniforme. Teorema7.24(Banach-Steinhaus,2.versin) SeaF= {T.. }.. eAed(B1,B2),dondeB1,B2,sonespaciosdeBanach.Dos nicassituaciones(excluyentes)sonposibles: 162LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO a){IITII}eAesacotada(esdecirsupiiTII11 Elvector que lo representa es w est en 12 ya5,.= 4 < oo. 2.a)F1 (f)=(x.,f>Lconx.=x.1- ..... 1eL2 Portantoeslinealy continuo,convectorrepresentanteX b)No eslineal:F2(A.f)=A.2F2(f). e)Tampocoeslineal:F3(0)=FO. 3.i)Imposible,porqueF(O)= 1 esincompatibleconlalinealidad. ii)Por serf!IJdensoenL2[0,27t],lacontinuidaddelsupuestoFexigiraF=O sobreL 2LuegoelnicoejemploposibleeselfuncionalnuloF =O. 4.Bastar exhibirunasucesin{/n}fcC[-1, 1],queseadeCauchyenL2,con lmitee C( -1,+ 1],paralaque{f,.(O)}inoseadeCauchyenC. Tomemos/,.(x)=e-nx.Entonces: n-+oo L' Luegof,.-OeC(-1,+1].Y,sinembargo,/,.(0)=1+0. Nota:Estefuncionaldiscontinuorecibe,enunesquemamsgeneralde funcionaleslineales,elnombrededeltadeDirac,enhonordeltsicoingls P.A.M.Dirac. Nota:Respectodelanormalllloodelsupremo,escontinuaporque 11/lloo 166LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 5.a)Eloperador A1 que cumple q>1(w,v)=(w,Av), Vv,w,eselque sobre labase ortonormal{ei}l"actaas: b {eij~lO}.. { },o )A2ei= 0 j> 10 .Esdecir,A2 =proyectorortogonalsobrelmei 1 { On=l e)A3en=en-t n-1n ~1 211255 6.llwll=9 +16=144 =>llwll=122 convergedbilmentealw.Enefecto: (vn,v)=(w,v)+a(e"'v)- (w,v),Vv n ....cxo puestoque(B06)=>(en,v)-+0,Vv. 7.An40, porque11An-011=11Anii=1+0.n-+oo. (NtesequeAnessencillamenteelproyectorortogonalsobrelin{en}). Enconsecuencia,An ~O automticamente. 8.Simpleconsecuenciade(B06)aplicadoacualquierbaseortonormalque contengaalasucesin{gn}. 9.Lasucesinfn(x)=Xn.n+tJ(x)satisfaceloexigido,deacuerdoconelejercicio anterior. Sirvetambin{ll'n(x) },siendoll'nlasfuncionesdeHermite(vase 5.6). 8 Algunostiposimportantesdeoperadores linealesacotados Nota Apartir deaqu,A= C. 8.1.OPERADORADJUNTO Enestecaptulovanadescribirselaspropiedadesgeneralesmsinteresantes devariasfamiliasdeoperadoreslinealesacotados,cuyadefinicindepende directamentedelanocindeoperadoradjunto. Definicin8.1 Dado A E d(H),Hespacio deHilbert,sedefineeloperador adjunto deAcomo elnicooperadorA+ (E d(H))quesatisface: 1(w,Av)=(A + w,v)1Vv,wEH La existenciay unicidad deA+, para cualquier A E d(H),vienengarantizadaspor elteorema7.11. Suspropiedadesmsimportantesserecogenenelsiguiente: Teorema8.2 i)LaaplicacinA--+ A+estableceunabiyeccinantilinealisomtricade d(H). (Esdecir,IIA+II=IIAII,(r:x.A+fJB)+=aA++fJB+.) ii)(AB)+=B+ A+. iii)(A+)+ =A. iv)A,A-1Ed(H)=(A+)-1=(A-1)+Ed(H). v)IIA + All =IIAII2 168LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Demostracin i)Elcarcterantilinealeinyectivosesiguedelaspropiedadesdel productoescalar( 4.1 ).Enefecto, A+ =B+ =>(w,(A-B)v)=O,'r/v,wEH=>(A-B)v=O,'rlvEH=>A=B Encuantoalcarcterisomtricoesconsecuenciadelteoremaex-puesto en 7.2, aplicado a la formasesquilineal acotada cp(v,w) =(Av, w). Queesbiyeccinessimpleconsecuenciadeiii). ii),iii)Elementales. iv)Bastatomar adjuntosenAA-1 =A-1 A= 1,teniendoencuentaii)y el hechodeser1 +=l. v)IIA + All~IIA + IIIIAII=IIAII2utilizandolaproposicin6.9. Porotraparte,deIIAvii2=(Av,Av)=(v,A+ A v ) ~IIA + Allllvll2 dedu-cimosqueI I A I I2~ I I A +All(CQD). Ntese que ascomoA E d(H)puede tener onoasociadounoperador inverso A-1,ahorapor elcontrario,enloqueserefierealadjunto,todoA E d(H)lleva asociadosuA+(siempreexiste). Ejercicio Mustreselavaliqezdelasiguientereglaprctica:Unoperador linealacotado pasa deuno aotro lado delproducto escalar cambindolo por suadjunto. Topolgicamente,laoperacindetomar adjuntossecomportaas: Proposicin8.3 LaaplicacinA E d(H)-+ A+ E d(H),HespaciodeHilbert,escontinua: i)Enlatopologauniformeded(H), 'r/H. ii)Enlatopologafuerteded(H), siyslosidimH < oo. iii)Enlatopologadbilded(H), 'r/H. Demostracin i)SiAn ~A,entonces11 An-A 11--+ O ytomandoadjuntos=> 11 A: -A+ 11 = n-eco IIAn-AII--+0. n-eco ii)Debidoa(E0-1) en 6.5,bastaverquesidimHesinfinita,laoperacin A-+ A+noescontinua.Enefecto,seaH = 12 EBH'(12 =12 eapartirde ahora)yconsideremoseloperadorT + 1 end(/2),definidoen(E0-2), ESPACIOSDEHILBERT169 seccin 6.5,extendidotrivialmente comoceroaH'.Sabemos quen 1O, yqueT"-t 1 .:f.O.PeroT + 1 =comosecompruebafcilmente,yno obstanteT"-1 .!. O.(ParaladefinicindeT _" vaseabajoejemplo3). iii)Evidentedelasdefiniciones.(CQD). Talveznoestdemsobservar quepesealascomparaciones establecidas de 7.4entrelastrestopologasded(H)citadas,nohaycontradiccin conelcontenidodelaproposicin8.3.Recurdesequesiunaaplicacin entreespaciostopolgicosf:(X,.2")--+ (Y,.2"'),escontinuaenlastopolo-gasindicadas.2"y .2"',esautomticamentecontinua sisesustituye.2"por unatopologamsfinay .2"'por otramenosfina.Peronotienepor qu mantenersecontinuasiambasserefinanoserebajanalmismotiempo! Ejemplos 1.1 + =1.o+ =O. 2.SidimH=nAed(H),peseaserD(A)=H porhiptesisimplcitaenladefinicinde!l'(H).Podrapensarsequeelserno acotadounoperador linealvaasociadoalhechodenopoder estar definidosobre todoslosvectoresdeH.(Talocurraconlosejemplos(E04),(E05),dondeal pasarasernocontinuo,eloperadorperdadominioenciertosentido.)Perono esciertatalapreciacin.Noestardemsdarunejemploexplcitodeoperador linealdefinidosobretodoslosvectoresdeH,peronoacotadosobreH. Ejemplo(Ae!l'(H)-d(H)) Sea{enH"unabaseortonormal deH, separable.Dadoque{en} 1 esl.i., existe unabasedeHamelB={u,.},.e1011 quecontienelosencomou11".Definamos A:H-+Has: {OIU11 Au,.= o 1 si01::/:-,Vn n .11. st01=- , a gun n n yloextendemoslinealmenteaH.Evidentemente,A e !l' (H)ysinembargo, A, .91 (H),porque delocontrario,alserA e"= O,Vn,habradeserpor linealidad ycontinuidadA =0,queesfalso. Nota(DefinicindeAed(H) porsuaccinsobreunabaseortonormal) Ladiscusinanteriorhaceaconsejablepuntualizarquedadaunaasignacin univaluadaacadavectordeunabaseortonormal{en}ldeH,Hilbertseparable, digamosen-+fneH,existealosumounnicooperadorAed(H)quehaga Aen= fn,Vn. 174LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Deahquemuchasvecesserecurra,porcomodidad,adefinirunoperador AEd(H)sinmsquedarsuaccinsobreunabaseortonormal:Aen=fn (n= l, 2,... ). Sinembargo,noparatodaasignacinen-+ fnexisteunoperadorA E d(H) quelaimplemente(considrese,porejemplo,enelcasodedimHinfinita, en-+ fn=nen;obienen-+ fn=e1,Vn).Unacondicinqueaseguralaexistenciade AesqueIllfnll2O,luego3f -lim(PMPN)"=XPN. n Porltimo,alserPMPNA"=A"+ 1,severificaPMPNX =X, deforma quesiXv=vhadeserPMPNv=v.Esdecir,queveM,veN(puesdelo contrarioseraIIPNvll< llvll.luegollvll=IIPMPNvll:s::;IIPNvll< llvll;contra-diccin).Dichodeotramanera,veMnN. Recprocamente,ve MnN=> Av= v =>Xv = v. Enconsecuencia,X= P MA P Nyportanto, ii)[=>]PMA PN=PMPN=>PMPNdebeserautoadjunto,porserPMA PNun proyectorortogonal.ElloexigeobviamentePMPN=PNPM. [(PMPN)"=PMPN=>PMAPN=PMPN,pori). iii)EssuficienteindicarqueMV N=(MJ.ANJ.)\ demodoqueasuvez iv)Evidentedeloanterior(CQD). Elcomportamientobajosumasoproductosvieneresumidoenelsiguiente: Criterio8.18 DadosproyectoresortogonalesP,Q enH: a)P+Q esproyectorortogonalPQ=QP=O. (SedicequeP .LQ,puesproyectansobresubespaciosmutuamenteortogo-nalesentalcaso.) b)PQesproyectorortogonalPQ=QP. e)P-Q esproyectorortogonalQ:s::;P. YproyectanrespectivamentesobrePH(fJQH,PH AQH,PH8QH. 182LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Demostracin a)[iii]Comou-1 ed(H), U esbiyectivo.Por otrolado,(Uv,Uw)=(U+ Uv,w) =(v,w),luegoUconservaproductos escalares. ESPACIOSDE 11/LBERT185 [iii=>i]PorserUbiyectivo,sededucede(Uv,Uw)=(v,w)que(v,Uw)= (U-1v,w),Vv,wEH.Luegou-1=U+. [iiiii]LanicacosanotrivialaverificaresqueelserUisomtricoenH, que por definicin(2.4) significa11 U vil= llvll.VvE H, esequivalente ala conserva-cindeproductos escalares:(Uv,Uw)=(v,w),Vv,wEH (**). Obviamente(**)=>Uisomtrico. Para elrecproco,supuestoqueUesisomtrico,tendremosporlaidentidad depolarizacin( 4.5): 1111 Re(Uv,Uw)= IIU(v+w)ll2- IIU(v-w)ll2=llv+wll2- llv-wii2=Re(v,w) Ysustituyendow poriw=>lm(Uv,Uw)=lm(v,w)=>(CQD). [iv=>iii]Sea{e}e1 eHunabaseortonormal,ysea Ue}e1 labase transformadabajoU.EsfcilconvencersedequeUestableceunabiyeccin H-+H, explcitamenteV=LA.e++ conlasmismascomponentesque 11 v,peroreferidasalanuevabase.(Sobreelsentidodeestossumatorios,vase apndicealfinaldelcaptulo.) Adems(Uv, LJlej)= IJl=(v, w),segn elteorema5.4 en 5.2.111 [iii=>iv]Sencilloejercicio. [i v]Elemental. (CQD) Corolario8.24 SeaA E d(H)isomtrico.Entonces:Aunitario RecorridodeA= H Corolario8.25 SiA E d(H), dim(H) < oo:AisomtricoAunitario. Ejercicio Probar que una isometraT:H-+ Hcumpler+ T =1,pero no necesa-riamenteTT+ =l. Ejemplos l.Una matriz A =((Aii)) referida auna cierta base ortonormal de C",represen-taunoperadorunitariosiyslosi(A')= A-1 2.Conlanotacindelejemplo8.1,eloperadorMesunitariosiyslosi lm(x)l =1,c.d. 186LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 00 3.Con lanotacin delteorema 8.20,prubese que ~ ) n P nesunitariosiy slo 00 1 siIA.nl=l,'rlnY LPn=l. 1 4.LosoperadoresUa,V,,U(R)introducidosen6.5sonunitariosensus respectivos espaciosdeHilbert.Efectivamente, como ya seindic aldefinir-los,proporcionanbiyeccionesisomtricassobredichosespacios. 5.Heaquunejemplosencillodeoperadorisomtricoend(H) quenoes unitario. Considresesobre/2 elejemplo(E0-2) de 6.5,esdecireloperador Sucarcter isomtrico salta ala vista,pero no esunitario pues surecorrido esortogonalalvector(1,O,O,... )yenconsecuencianodenso.(Sise prefiere,msdirectamentedelapropiadefinicindeunitario,T + 1 noes biyectivo.) [Esteltimoejemploensealanicamaneraqueexiste,esencialmente, deformarisometras.Porquepuedeprobarse: Proposicin8.26(Halmos) TodaisometraenunHilbertseparableesounitariaosumadirectadeun operador unitarioy ciertonmero(finitoono)decopiasdeT + 1,osumadirecta decopiasdeT + 1.] 6.Unejemploextraordinariamenteimportantedeoperadorunitarioesla transformacindeFourier,queporsuintersrelegamosaunaseccin aparte,para exponerloconmsdetalle. Ejercicios a)U 1,U 2,unitarios+ U 1 +U 2 unitario. Contraejemplo:U 1 = U 2 =l. b)U1,U2,unitarios=>U1 U2 unitario. e)Probar quelosunitarios end(H) formanungrupoo//(H)(llama-dogrupounitariodeH). Nota:Puede incluso probarse que las topologas fuertey dbil para d(H) introducidas en 7.4 coinciden sobre o//(H) y en esta topolo-gao//(H)esungrupotopolgico. d)A e d(H)unitarioyautoadjuntoalavez=> A 2 =l. e)Elnicoproyectorortogonalunitarioesl. ESPACIOS DEHILBERT187 f)LasisometrasenJi/ (H)tienenporrecorridounsubespaciolineal cerrado.Peroestonoescierto,engeneral,paratodoA e Ji/ (H) comomuestraelsiguienteejemplo:SeaQ:f(x)-+xf(x),definido enL2[0,1].Qed(H) (E0-4,6.5).SurecorridonoesH:as 1 :Fxf(x),Vf eH;sinembargo,sigl.QH,xg(x)seraortogonal aH.Imposiblesig=FO.LuegoelrecorridodeQ no escerrado. Finalmente, para ver cmo en ciertos casos simples puede asegurarse explcita-mentelaexistenciadeuna expresindeunoperadorunitariocomocombinacin linealdeproyectoresortogonales,alamaneraquesugiereelteorema8.20yel posteriorcomentario,supongamosununitarioU ed/I(H)talqueun= 1,para algnenteron >O. Seane0,e1,... ,en-llasracesn-simasdelaunidad.Formemos: n-1n-1 ComoL i{-1 = esclaroqueU=L e;P;.SilogramosprobarquelosP; i=Oi=O sonproyectoresortogonalesyquePl.Pi,i=Fj,habremoslogradoladeseada descomposicin. Pero(U')+= u-= un-,=P;.Por otraparte,deducimosde n-1 L+ = r.s=O queLuegoquedaprobado. As,porejemplo,siU2 = 1(comoenFsicaeloperadorparidadoinversin espacial): 11 U= P 0- P 1,conPo= 2 (1 + U),P 1 = 2 (1 - U) P 0 proyectasobreelsubespaciodelasfuncionesparesyP 1 sobreeldelas impares. SiU4=1 (cualeselcaso transformacindeFourier (8.6)) con U =P0+iP1-P2-iP3 1 Po= -(1 +U +U2+U3) 4 1 P1 = (1-iU -U2+iU3) 123 P2 =(l-U+U-U) 1 P3=(l +iU-U2-iU3) 188LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Adelantandoideas,siq>"sonlasfuncionesdeHermite( 5.6),P 0,P 1,P 2 y P 3 proyectanrespectivamentesobreloscierresde: lin({q>0,q>4,... }),lin({q>3,q>7,... }),lin({rp2,q>6,... }),lin({q>1,q>5,... }) 8.6LATRANFORMACINDEFOURIERCOMOOPERADOR UNITARIOSOBREL2 LatransformacindeFourierocupaunlugarpreferenteenlasaplicaciones delAnlisisFuncionalenmuydiversoscamposdelaFsica,siempreligadaal conceptodemagnitudesduales(posicinymomento,tiempoyenerga ...).Aun cuando hacer justicia asuenorme importancia exigira dedicarlemuchas pginas, noslimitaremosenestasnotasarecogervariasfacetasdesucontenidodesdeel punto devistamatemtico,eludiendolasaplicaciones concretasquenossacaran fueradelobjetivoprincipal. En esta seccin concretamente, presentaremos la transformacin de Fourier en L 2 (R),donde aparece comoun operador unitario,y encaja por tanto en elactual contextoenquenosmovemos. SuelellamarseformalmentetransformacindeFourierala aplicacin 1f +co M- e-i"'f(x)dx V2n-co definida(cuandoexistalaintegral)sobrefuncionesfdediversosespaciosfun-cionales. Aqupretendemosdefinir' sobrelasfuncionesdeL2(R).Yelprimerpaso paraelloesdar sentidoalaaccin'sobreunabaseortonormal. Lema 8.27 Sea{rpn}olabase ortonormal deL2(R) constituida por lasfuncionesq>n(x)de Hermite( 5.6).Entonces Vn;;l!:O,VyeR Demostracin Esunlaboriosoejerciciosobreintegracinporpartes.Vaseporejemplo [Helmberg]. Portanto,puededefinirseunnicooperadorlineal'sobrelin{q>0,q>1,.. ,} talque'q>n=( -i)"q>n,Vn;;l!:O.AsparaVfelin{rp1,q>2,... }tienesentidola definicin: 1J+co. f(y)=(,f)(y)=M- e-'"'f(x)dx V 27t-co ESPACIOS DE HILBERT189 Lema8.28 i)'v'/Elin{qJ0,qJ1,

ii)unabiyeccinisomtricadelin {qJ0,qJ 1, }sobre smismo. iii)Elinversosobrelin{qJ0,qJ1, }eseloperador definidocomo 1J+ao. -1 g)(x) =M- e'"' g(y)dy, V 21t-ao g E lin {qJ0,qJ t> } Demostracin N i)Cualquier f = "f)n IPnoNfinito, es integrable Lebesgue (porque 'v' IPn EL 1 (R), o queesespaciolineal).Luego 'v'yER ii)Ydelaexpresinobtenidaparafcomocombinacinlinealdelas funcionesdeHermite(baseortonormal)sededucefcilmenteque Su carcter inyectivo se deduce en que-g)ll =0=> 11/ -gil =0, y ade-msessuprayectivoporquedadaf=tAnl'fJnsetiene iii)Consecuencia inmediata de(*), pues

-x) (CQD). Teorema8.29 a)3 un (nico) operador Ed(L2(R)) tal que 'v'/Elin{qJ0,qJ1, }: 1J+ao. M- e-'"'f(x)dx V 21t-ao 'v'yER

e'"'g(y)dy 1J+ao. J2ic-ao 'v'xER (ElsellamatransformacindeFouriersobreL2(R).) 190LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO b)Laactuacinde, ;;-1 enU(IR) vienedadaporlasfrmulas: idf +ce e-i:Jcy_l (:F f) (y)=M: -df(x)dx y2nY-ocX c.d.enIR, (!F-1g)(x)=-- --g(y)dy - idf +oceixy - l J2ir dx-ocY c.d.enIRx paraf,g E U (IR),arbitrarias. e)Sienparticular f, gEL 1 (IR)nU(IR) entonces lJ+oc. (!Ff)(y)=- e-x'f(x)dx J2ir-oc c.d.enIR, C.d.enIRx Demostracin a)Simpleaplicacindelteorema6.4,habidacuentadeque{IPn}oesbase ortonormalparaL2(1R). b)Dada una sucesin de Cauchy {fn}i e: lin{q>0,IPt>... },con lmite /EL2(1R), setiene que;; f=lim;; fn,por continuidad.Y,por otra parte, dados P ~rx. n .... oc reales,lacontinuidaddelproductoescalarpermiteescribir ffl)J+oc.1J+oc[J/1.] =limM:e-x'fn(x)dydx= limM:e-x'dyfn(x)dx= n.... ocy21r-ocn.... ocy21r-oc f + oc- iflx- iu 1e-e =limM:fn(x)dx n.... ocy21r-ocX LautilizacindelteoremadeFubini( 3.8)vienejustificadaalserfn EL 1 (IR), pues fflf+ocf+oc -ocle-ixyfn(x)ldxdy=(P-rx.)-oc1/n(x)ldxcualquierpolinomioenA,A+,estodavanormal. iv)Un operador lineal en C"esnormal siy slo sisumatrizrepresenta-tivaenunabaseortonormalesunitariamenteequivalenteauna matrizdiagonal.Enotraspalabras,siyslosi3baseortonormal respecto de la cual la matriz representativa deloperador es diagonal. vii)Quelafamiliadeoperadoresnormalesesmsampliaquelos unitarios y autoadjuntos unidos, lomuestra el ejemplo (:!)e d(IR2). viii)AnormaltalqueA2=0=>A=0. [Ayuda:(A+Av, A+ Av)=(Av, A+ A2v)=O, VveH=>A+ A=O.Luego (Av,Av)=O,VveH=>A=O.] ix)Porelcontrarioexistenoperadores(nonormales)A :;i:Otalesque A2=0.Ejemplo

x)UnaisometraparcialWesnormalsiy slosiDl(W')=R(W'). [Ayuda:vaseelteorema8.31.] 8.9.APNDICl!(FAMILIASSUMABLES) Auncuandoyaenanteriorescaptulossehanutilizadoexpresionesdesuma L sobreconjuntosarbitrariosdendices(nonumerablesengeneral),puedeser aeA conveniente,parafijarideas,exponerbrevementeelsignificadoqueseatribuyea dichossmbolos. SeaAunafamiliadendicescualquiera.Y sea{v .. }.. eAunafamiliadevectores enunespacioXconproductoescalar,quevienerotuladaporelconjuntode ndicesA. Sedicequelafamilia{v .. }.. eAeX essumable,consumaveX, siVe>O,3una subcoleccinfinitadendicesJ0=J0(e)talquellv- L v.. llA+BeCC2(H),yademsIIA+BII2 IIAII2 + IIBbporque dadaunabaseortonormal{e.,},yunsubconjuntofinitoJdendices,se cumple: [ J'2 + 11Be211)2 J'2

+[

IIAII2+ IIBII2 dedonde iii)Xe.r#(H),AeCC2(H)=>AX, XAeCC2(H),y ademsIIAXb IIXII IIAbEnefecto,si{e.,}esbaseortonormal,

IIXII2LI1Ae.,ll2= IIXII2 IIXIIIIAII2 "" Paralaotradesigualdad: I11AXe.,II2=IIIX+ A+

IIX+II2 IIA+IIt 2" y comoux+ 11 = IIXIIy IIA + 112 = IIAII2,resulta finalmente IIXIIIIAII2 iv)Laaplicacin11112:AeCC2(H)-+IIAII2eal definesobreCC2(H)unanorma. LapropiedadN 1 esobviay lasrestanteshansidoyaestablecidas. ESPACIOSDE HILBERT203 v)Dotadodeesaestructuranormada,ce2(H) escompleto.Vemoslo: Dada {en} 'f e: ce 2 (H), de Cauchy en la norma11112,automticamente lo esen1111comoconsecuenciadelprecedenteteorema9.7.Asque Faltaprobar queeEce2(H). Dado e>O,sabemosllen-emll2 0talquellvnll 'r/n,loquenosasegurallvll Yensegundolugar,dadoe>Oyunabaseortonormal{e11},3unconjunto finitoJdendicestalqueL11Ae"ll2n(?m)(x,y)=q>n(x)(?m(y).Por lotanto: k(x,y)= L kn.mf/Jn(x)(?m(Y)c.d. n.m ESPACIOSDE HILBERT205 siendo2: lkn,ml2 = Jlk(x,y)l2 dx dy.Por consiguiente, n,m n,mn,m Ntesepuesque la definicin de norma Hilbert-Schmidt dada para K en 6.5coincideconlaabstracta. (OHS4)Considreseen[2laaplicacinlinealdefinidacomo ao Aen=LAmnem m=l siendo{en} ilabaseestndar.Si2: IAmnl2 < oo,entoncesparatodo m,n v = IA.nen E 12 laserieAv= 2:(2:AmnAn)emconvergefuertementey 1mn defineA E re 2 (H). (Essencillamenteun caso semejante alanterior,peroconunamedida sobreIRdadaporunasumademedidasdiscretas,tipodeDirac, concentradasenlosnaturales.) Paraterminarestaseccinenunciaremosunresultadoque,apartedeser necesarioms abajo por razonestcnicas,tiene interspor dotar a re 2 (H) conuna estructuradeespaciodeHilbert. Proposicin9.12 SeanB,CEre2(H).EntoncesLI(Be.,,Ce.,)jtriiAII =0=>IAI112=0=> IAI=O=>A=O. Encuantoa(N4),desigualdadtriangular,seanlasrespectivasdes-composicionespolaresdeA,B,A+ B: A=WAIAI,B=W8IBI,A+B=WIA+BI EntonceslA+ Bl =w+ WA IAI +w+ WsiBI => IIA+BII1 =triA+BI=tr(w+ WAIAI)+tr(w+IIW+ WAIIIIAII1 + +IIW+ WsiiIIBII1 IIAII1 +118111 dondehemosutilizado iii). ii)A= WAIAI=>IIA + ll1 =triA +l=tr(WAIAI W.t)=tr(W1 WAIAI)=triAI= IIAII1 iii)XA=XWAIAI,XA=W'IXAI=>IXAI=W'+XWAIAI=YIAI,denotando Y=W'+ XWA Puestoque11 Yll IIXII,seobtiene: triXAI =tr(YIAI)=tr(YIAI112IAI112)=(IAI112 y+,

IIIAI112112IIIAI112 y+ 11211 y+

IIXIIIIAI11 Elotro casoesanlogo. iv)PoniendoA= WA IAI,bastaaplicariii) (CQD). ESPACIOS DE HILBERT209 Larelacinexistenteentrelostrestiposdeoperadoresmanejadoshastael momento enestecaptulo (compactos,Hilbert-Schmidty trazables)quedaaclara-da enelprximo: Teorema9.19 a)A 1 (H) 11 A 11 11 A ll2 11 A ll1 b)

Demostracin a)IIAII1=triAI=(IAI112 IAI112),

IIAII2IIAII1 dondehemosutilizadoelteorema9.7,queasuvezcompletaladoble desigualdadrequerida. b)Simpleconsecuenciadea).(CQD). Volviendoalaestructuranormadade 1 (H): Teorema9.20 1(H),11111)esBanach. Demostracin Toda sucesin de Cauchy {An} 'f en ese espacio normado es tambin de Cauchy enlllb, por elteorema ltimo, y de acuerdo con elteorema

Falta probar que

y que11An-AII1-0. Enefecto,de se n-+ oo sigue(vaseejercicio(a) alfinalde8.3)que lA-AmiYcomo 11 An-Am111 -+O,paran,m-+ oo,dadoe> O,setendr,dadaunabaseortonormal, paracualquierconjuntofinitoJ: L (e .. ,IAn-Amle.. ) A 1 (H). 00 2.UnoperadordeltipoA=:LA.nPn,A.nPn=#O,'Vn(notacinde8.4,teore-1 ma 8.20)estrazablesiyslosi'VPnesderangofinitornyadems 000000 :LIA.nlrn]A.ep(A)=>3(A-A.)-1 acotado ensudominioR(A-A.), densoenH.Que-remosprobarqueR(A-A.)=H.Sinolofuera,elteorema6.4permiteextender unvocamente (A- A.) -1 atodo elespacioH.Pero dadoque elrecorridoR(A- A.)-1 eraya(antesdelaextensin)H,concluimosqueeloperador extensin(.f-:1)-1 noesinyectivo,esdecir,3w#Otalque

(*). Pero,por otro lado, de la construccin de (,4-:'1')-1,vase 6.2,sededuce que 3enR(A-A.) algunasucesin{wn}f'-+wtalque -----' O=(A -A.)-1 w=lim(A -A.)-1 wn Aplicandoaambosmiembroseloperadorcontinuo(A- A.)sellegaauna contradiccincon(*). [ Evidente(CQD) Uncriteriomenossimpleperomsgeneralparamuchassituacionesesel siguiente: Criterio10.5 Sea A: D(A) eH-+ Hlineal.Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: a)3sucesin{vn}f'eD(A) conllvnll=l,Vn,talque(A-A.)vn-+0. b)(A-A.)-1 onoexisteosiexistenoesacotado ensudominio. Demostracin [a=>b]Si3(A-A.)-1,losvectoresWn=tienennormaunidady,sin embargo,II(A-A.)-1wnll- oo,porloque(A-A.)-1 nopuedeseracotado. n-+oo [b=>a]Si

entoncesexistealgnvconllvll=lenD(A)talque (A-A.)v=O. Luegolasucesintrivial{v,v,v,... }cumplea). Si3 (A- A.)-1,peronoesacotadoensudominio,setieneque 3w(#O)eD((A-A.)-1)talqueII(A-A.)-1wnll-00 nllwnlln-+oo Luegolasucesin{(A-A.)-1wn}f',normalizada,cumplea)(CQD). Nota SiA.eup(A),puede escogerse la tal sucesin{vn}f' eH)., con Joque estrictamen-te(A-A.)vn=O,Vn.Sinembargo,cuandoA.edc{A),porejemplo,latalsucesin {Vn} f'debetenerforzosamenteinfinitosvectoresdistintOS,yademsningunode ellosestrictamenteaniquiladopor(A- A.).Aunqueseacercaindefinidamentea ello,noloconsigue. 216LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Corolario10.6 SeaA:D(A) eH-+ Hlineal. 3{vn}feD(A),llvnll=l,talque(A-A.)vn--;;=;+0=>A.ea(A). Ejercicio Probar quelasiguienteafirmacinesfalsa: 3 {vn}f eD(A),llvnll=1,tal que O ~ ( A-A.)vn--;;=;+ O=>A.ea,(A)uac(A) [Ayuda:ConsidreseeloperadorA ed(/2)definidocomo {On impar} Aen=en,paraelqueA.=Oeap(A)] - n par n 10.2.PROPIEDADESTOPOLGICASDEa(A)Yp(A) Referentealaparticinconjuntistaaup=C,vamosaverquepes siempre unabiertoyauncerradodelplano. Lema10.7 SeaA:D(A) eH -+Hlineal.SeaA.eCtalque3(A-A.)-1 yesacotadoensu dominio.Entonces,para 'VJJ.talqueIJJ.-A.I < II(A -A.)-111-1 severificaque: i)3(A-JJ.)-1 yesacotadoensudominio. ~ ~ = ii)R(A-JJ.)noessubespaciopropiodeR(A-A.). [PorII(A-A.)-111 entendemoslanormaJe (A-A.)-1 sobresudominioR(A-A.).] Demostracin VveD(A)=> 11(.4-JJ.)vll =li(A-A.+A.-JJ.)tll ~II(A-A.)vii-IA.-JJ.IIIvll ~II(A-A.)vii-IA.-JJ.I II(A -A.)-111 II(A -A.) vil= II(A -A.) vil [1-IA.- JJ.III(A -A.)-1111~ o ysloesO cuandov =O.Asque3 (A- JJ.)-1Yesacotadoensudominio,pues llamandow:=(A-JJ.)v: ESPACIOSDE HILBERT217 Finalmente, siR(A-p) fuesesubespaciopropio de R(A-A.), 3woconllwoll =1 en R(A-A.)8R(A-p). Tomandounasucesin {wn}f ={(A-A.)vn}f e: R(A-A.)talqueWo, 1 llwo-(A-p)vnll llwo-(A-A.)vnll +IA.-plllvnllllwo-Wnll +IA.-piII(A-A.)-11111wn11 Haciendo n-+ oose llega a1pi II(A -A.)-111.contrario ala hiptesis (CQD). Teorema10.8 VA=>p(A)abierto,u(A) cerradoenIR2 Demostracin Esconsecuenciainmediatadellemaanterior. En elresto de esta seccin vamos arestringir nuestra atencin alosoperadores acotadoscondominioH. Teorema10.9(SeriedeC.Neumann) SiAed(H) yIA.I> IIAII,entonces a)A.ep(A). -1 oo(A)" b)(A -A.)-1 = TI, serieconvergenteennorma end(H). Demostracin II(A -A.)vll IA.IIIvii-IIAvlly sloesO siv=O.Luego3(A-A.)-1 y esacotadoensudominio. Falta ver que R(A-A.)=H. Observemos a tal finque cuando IA.I> IIAII. la serie -1 oo(A)" I convergeuniformemente,ypor tantoXed(H). Adems(A -A.) X= 1 =X(A -A.), fcildecomprobar.AsqueX= (A- A.)-1 pertenecead(H)(CQD). Corolario10.10 SeanA,Bed(H): 218LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Demostracin Enefecto,IIA -l B-111:::;:IIA -1IIIIB-AII lv(A")I:s:;;l,V enteron>O. Ejercicio a)noesmejorable.Considrese d(C2).EntoncesIIAII=1 ylv(A)I = Prubese. 11 Espectrodeunitariosyautoadjuntosend(H) Enestecaptuloseinvestiganaquellascaractersticasgeneralesquegozanlos espectrosdediversasfamiliasdeoperadoresacotados.Quedaaparteelespectro delosoperadorescompactos,queporsuconexinconlateoradeecuaciones integralesadquiereentidadpropiaysertratadodespus. JI. l.ESPECTRODEOPERADORESNORMALES Dado queambos alavez,unitarios y autoadjuntos acotados, caenenglobados enlosllamadosoperadoresnormales,comenzaremospor estudiarstos,puessus propiedadessondoblementeaprovechables(vase 8.8). Teorema11.1 SiA E .91 (H)esnormal,entonces: a)Av=A.v-A + v=Xv Demostracin a)Si(A -A.)v=O,elcriterio8.36=>(A + -X)v=O.Elrecprocoporsimetra. b)A.2(v1,v2)=(v1,Av2)=(A + v1,v2)=(X1 v1,v2)=A.1 (v1,v2).(CQD). Mientrasestoaclaramucholacuestindea P'nuestroprximoresultadose refiereala,,quedesaparecedeescena(afortunadamente,cabradecir). Teorema11.2 A E .91 (H)normal=> a,(A) = (/). 224LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Demostracin Si3A.eu,(A),la parte a)anterior junto conelteorema10.13conduciranaun absurdo.En efectoA.eu,(A)=>Ieup(A +)=>A.eup(A),absurdo!(CQD). Conviene hacer notar que la ortogonalidad de vectores propios contenida en el teorema11.1,parteb),noesciertaengeneralparaoperadoresarbitrarios.Es elementaldarcontraejemplos(cogerdimH = 2incluso).Sinembargo,siempre esciertaotrapropiedadmenosfuerte:laindependencialineal. Proposicin11.3 SeaA:D(A)Hlineal.Sean eup(A),A.i#A.ksij#k.Sean Avi=A.ivi,vi#O,1 ::;.j::;.N.Entoncesv1,v2,... ,vN,sonl.i. Demostracin Por induccin.EstrivialparaN= l. Supuesto ciertopara n-1, esdecir,que{viH-1 son l.i.,veamosqueson l.i.tambin. nnn-1 Enefecto,'f.Pivi=O=>0= (A-A.n)LPivi='f. Pi(A.i-A.n)vi=> 111 =>P1 =P2==Pn-1 =0=>Pn=O(CQD) Y en cuanto al u P'no est dems poner en guardia al lector sobre la existencia deoperadoreslineales(nonormales,claroest)conu rconstituidoporun continuodepuntos(vaseelejemplodelaprximaseccion11.3yaplqueseel teorema10.13). 11.2.ESPECTRODEUNITARIOS Yasabemos queu,=(/).AhoralocalizaremosloquequedauPuucdemanera muyprecisa. Teorema11.4 Uunitario=>u(U)e{A.:IA.I=l}. Demostracin Sabemos ya que {IA.I> 1}ep(A), por elteorema10.9.Adems A.=Oep(U), por elcriterio10.4,yaque3U-1=U+e.9/(H).Yellema10.7=>{1A.IIA.I2(v,v)=(Av,Av)=(v,v)=>IA.I=1 Pero ya niesu,=(/), ni est todo elu en la circunferenciaunidad.Un teorema deHalmos[vase 8.5]afirmaquetoda isometranounitaria esisomorfaasuma directadeunitariosEt>copiasdelT + 1Deahelintersdeprototipode T + 1,quepasamosaanalizar.(Esademsunbuenejerciciodeclculode espectros.) EspectrodeT + 1 Evidentemente,up(T+1)=(/),pues(T+1-A.)v=Oexigev=O.Yesclaroque {IA.I> 1}e: p(T+ 1),porque isomtrico =>11 T + 111 =l. Veamos siR(T+ 1- A.)esdenso onoen12 SeaIA.I< l.Entonceselvectorw = (1,I,P,... , n,... ) E 12 yesortogonala R(T+ 1 -A.)luegosteesnodenso.Deaqu{IA.I< 1}e: u,(T+ 1). EncuantoalosIA.I=1,yanoexistetalw E 12LuegoFtu ,. Comouescerrado,{IA.I=1}e: uc(T + 1). Ejercicio Calcularu(L 1),usandoelteorema10.13. 11.4.ESPECTRODE AUTOADJUNTOSEN d(H) Nuevamentesabemosyaqueu,=(/).Yahoralocalizaremosenloposibleel resto. 226LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Teorema11.5 { 1)a(A) eR,a.(A) =(/) A e .91 (H)autoadjunto => 2)a(A) e[inf(v,Av),sup(v,Av)] llvll=lllvll=l Demostracin VA.=a+ib,b:;{:O: JI(A-A.)vii2=11(A-a)vll2+b2llvJI2;;:b2llvll2 (=0 siy slosiv=O) por loque3(A-A.)-1 acotadoensudominioR(A-A.).Y a.=(/)=>A.ep(A). Lalocalizacinentreinf ysupdelosvaloresmediosessimpleconsecuencia delodichosobrerangonumrico(teorema10.16)(CQD). Anpuedeaadirseunanuevaprecisin,queenciertomodoratificala proposicin10.12. Proposicin11.6 SeaAautoadjunto ed(H), con m=inf(v,Av) y M=sup(v,Av).Entonces llvll=lllvll=l m,Mea(A).. Demostracin HaremosexplcitamenteelcasodeM,pueselotroesanlogo. Recordandoelejercicio1 en 10.1,podemosestudiareloperadorB =A-m, todavaautoadjuntoend(H),peroahorayacon-m.Locual, graciasalcorolario8.8permiteconcluirde11 B 11 =M-m,que3sucesin{vn} '', Jlvnll= 1,talque(vn,Bvn)---+ M -m.Luego: n-+co II(A-M)vnll2=JI(B-(M -m))vnll2=11Bvnii2-2(M -m) (vn,Bvn)+(M

-m)2-2(M -m)(vn,Bvn) dedondeII(A- M)vnll---+ O.Yelcorolario10.6finalizalademostracin. n-+co (CQD). 11.5.ESPECTRODEPROYECTORES Una subfamiliaimportantsima deautoadjuntosacotadossonlosproyectores P2=P=P+ (=proyectores ortogonales).Exceptuados los dostrivialesO,1,cuyos ESPACIOS DE H/LBERT227 espectrossonrespectivamenteu(O)={O},u(1)={1},todoslosdemstienenel mismoespectro: Teorema11.7 SeaPed(H) unproyectorortogonalnotrivial(P2 =P=P+, 0:;6P:;61). u(P)=up(P)={O,1} Demostracin Sea Mel subespacio sobre elque proyecta P.La no trivialidad exige O:;6 M :;6 H. Para cualquierveH, v=v1 +v2,v1 e M,v2eMl.. Dadoleup(P), conPv=lv,v=;60:Pv=P2v=lPv=l2v=>l2=l=>l=O,l. Y ambossonvalorespropios,puesPtM=IM,PMl.={O}. Si0:;6l:;61,leucup. Peroprobemosqueuc= (/)! ( =0 siy slo siv=O), que prueba que 3(P-l)-1 acotado en su dominio. (CQD). 11.6.EJEMPLOS l.SidimH < oo,todolodichoaqusobreoperadoresnormalessereducea lateorausualdematricesnormales(Apndice). 2.Sea eloperadorUadefinidoen por f(x)-+f(x-a), claramenteunitario. No tiene niu, (por ser unitario),niuP(porque Uaf =lf => f=0 en U(R)). Probaremosahoraqueu e (U a)= {lll =1}.Segnelcorolario10.6,bas-tarexhibirunasucesin{fn}f conllfnll =1,talqueII(Ua-A.)fnll- O. n-+oo Seal=e-8,Oe RDefinamosf(x)=.eill:x:fa. ClaramenteU a!= lf, peroffiL

Seanahoralasfuncionesfn(x)=.X-na,+na)Todastienen ..2na normal.Y adems: (CQD) 3.Q:f(x)eL2[a,b]-+xf(x)eL2[a,b],autoadjuntoacotadocomosevioen 8.1. 228LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO De la teora general se tiene u,(Q)= (/);up(Q)uuc(Q) e[inf,sup]=[a, b]. EssencilloverquelanicafeL2 talque(Q-A.)f=Oesf=O.Luego up(Q)= (/). Veamosfinalmentequeuc(Q)=u(Q)=[a,b]. Dadoa Demostracin Lema12.2 DadosAerrl(H),O#A.eC,3k;.>Otalque't/weR(A-).)admitealgunapre-.{(A-A.)vw=W ImagenVwparalaquellvwll~ k ; . l l w l l ' Demostracin Excesivamentetcnica,porloquelaomitimos.Consltese,porejemplo [Helmberg]. 230LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Yaestamosencondicionesdedar ellemaprincipal. Lema12.3

a)R(A- A.)essubespaciolinealcerradodeH. b)A.ep(A)R(A-A.)=H. Demostracin a)Escojamoscualquiersucesinde Cauchy{wn}i eR(A-A.), y la correspon-dientedepreimgenesconstruidascomoenellema12.2:{Vw} i. Contiene algunasubsucesindbilmenteconvergente(7.3),digamos(vJi. Entonces{Avn}convergefuertemente,porlacompacidaddeA,luego existeensentidofuerte limAVn=lim(Avn-wn),siendown=(A-A.)vn n-oon-oo Y comoellosignificaque{vn}iesfuertementeconvergente. Llamandou= Jimvisetiene(A-A.)u=lim(A-A.)vi=lim wieR(A